Hranice

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Toto je soubor v archivech Stanfordské encyklopedie filozofie.

Hranice

Poprvé zveřejněno 9. února 2004; věcná revize Sobota 29. března 2008

Přemýšlíme o hranici, kdykoli přemýšlíme o subjektu ohraničeném z jeho okolí. Existuje hranice (plocha) ohraničující vnitřek koule z jejího vnějšího povrchu; existuje hranice (hranice) oddělující Maryland a Pensylvánie. Přesné umístění hranice je někdy nejasné nebo jinak kontroverzní (jako když se pokoušíte vystopovat okraje Mount Everestu nebo dokonce hranice vlastního těla). Hranice lží někdy zkosena k jakékoli fyzické diskontinuitě nebo kvalitativní diferenciaci (jako u hranice Wyomingu nebo hranice mezi horní a dolní polovinou homogenní koule). Ale ať už jsou ostré nebo rozmazané, přirozené nebo umělé, zdá se, že u každého objektu existuje hranice, která jej vyznačuje od zbytku světa. Události mají také hranice - alespoň časové hranice. Naše životy jsou vázány naším narozením a smrtí; fotbalový zápas začal ve 3pm ostrý a skončil s konečným hvizdem rozhodčího ve 16:45. Někdy se navrhuje, aby abstraktní entity, jako jsou koncepty nebo sady, měly své vlastní hranice. Zda je tato hraniční řeč soudržná a zda odráží strukturu světa nebo organizační činnost našeho intelektu, je věcí hluboké filosofické diskuse.jsou záležitosti hluboké filozofické diskuse.jsou záležitosti hluboké filozofické diskuse.

• 1. Problémy

  • 1.1 Vlastněné vs. neznámé hranice
  • 1.2 Přírodní vs. umělé hranice
  • 1.3 Hranice ostrosti vs Vague
  • 1.4 Bezbrannost vs. objemné hranice

• 2. Teorie

  • 2.1 Realistické teorie
  • 2.2 Eliminativistické teorie
• Dodatek: Kytice nabídek
• Bibliografie
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Problémy

Euclid definoval hranici jako „to, co je koncem něčeho“(Element Bk I, Df 13), a Aristoteles to zpřesnil definováním končetiny věci x jako „první věc, mimo kterou žádná část [x], a první věc, v níž se nachází každá část [x]. “(Metafyzika 1022 ^a) Tato definice je dostatečně intuitivní a lze ji považovat za přirozený výchozí bod pro jakékoli zkoumání pojmu hranice. Ačkoli Aristotelova definice byla určena pouze pro hmotné objekty, intuitivně se vztahuje také na události (pokud mají mereologickou strukturu) a rozšířením také na abstraktní entity, jako jsou koncepty a množiny (porovnejte topologicky standardní představu o hranici) množiny x jako množiny těch bodů, jejichž všechny sousedství protínají x a komplement x. Na první pohled je však tato intuitivní charakterizace zdrojem několika hádanek, které ospravedlňují filozofické znepokojení, zejména s ohledem na hranice časoprostorových údajů, jako jsou objekty a události.

1.1 Vlastněné vs. neznámé hranice

První druh hádanky se týká intuice, že hranice odděluje dvě entity (nebo dvě části téže entity), o nichž se říká, že jsou navzájem spojité. Představte si, že cestujeme z Marylandu do Pensylvánie. Co se stane, když překročíme linii Mason-Dixon? Projdeme poslední bod p v Marylandu a první bod q v Pensylvánii? Jasně ne, vzhledem k hustotě kontinua; proto bychom měli připustit nekonečný počet dalších bodů mezi p a q, které by nebyly v žádném státě. Stejně jasně však můžeme jen stěží uznat existenci pouze jednoho z p a q, jak je diktováno standardním matematickým zpracováním kontinua; bylo by to udělení hranice mezi dvěma státy pouze jednomu ze států,a každá volba by znamenala zvláštní privilegium jednoho státu před druhým. A nemůžeme se ztotožnit ani s q, protože mluvíme o dvou sousedních státech, takže jejich území nemohou mít žádné společné části. Kde je tedy linie Mason-Dixon a jak to souvisí se dvěma sousedními entitami, které odděluje?

Hádanka není pro tento příklad specifická. Zvažte Aristotelesovu vlastní hádanku o pohybu: V okamžiku, kdy se objekt přestane pohybovat, je v pohybu nebo je v klidu? (Physics VI, 234a ff.) Nebo zvažte dilema, které Leonardo uvedl ve svých Poznámkových blocích: Co dělí atmosféru od vody? Je to vzduch nebo voda? (1938: 75-76). Nebo znovu zvažte Peirceovu hádanku: Jakou barvu má čára vymezení mezi černou skvrnou a jejím bílým pozadím? (1893: 98) Možná by se v tomto posledním případě mohla použít úvaha o postavě / zemi, která by poskytla odpověď na základě zásady, že hranice je vždy ve vlastnictví čísla - pozadí je topologicky otevřené (Jackendoff 1987, dodatek B). Ale co je to postava a co je země, pokud jde o dvě sousední poloviny černé skvrny? Co je to číslo a co je země, pokud jde o Maryland a Pennsylvánie? Co se stane, když se ponoříme do vody? V takových případech nemá intuice žádný přímý účet. Nelze však popřít, že tyto otázky definují důležitá rozhodnutí, která mají být učiněna jakoukoli teorií hranic - nebo jakoukoli teorií založenou na hranicích světa časoprostorově rozšířených entit.

1.2 Přírodní vs. umělé hranice

Druhý druh hádanky se týká skutečnosti, že Aristotelesova mereologická definice (a intuice zdravého rozumu, kterou zachycuje) se zdá být aplikovatelná pouze na říši spojitých entit. Modulo výše uvedené obtíže, myšlenka, že Maryland a Pennsylvánie jsou ohraničeny linií Mason-Dixon, je dost férová. Ale obyčejné hmotné předměty - jak lze pozorovat - nejsou přísně mluvící spojité (nebo husté) a mluvení o hranici objektu je jako mluvení o „plochém vrcholu“fakírova lůžka nehtů (Simons 1991: 91). Při bližším zkoumání jsou prostorové hranice fyzických objektů imaginární entity obklopující roje subatomových částic,a jejich přesný tvar a umístění zahrnují stejný stupeň svévole jako u matematického grafu vyhlazeného rozptýlenými a nepřesnými údaji (nebo údaji obrazů impresionistického obrazu). Podobně je při bližším zkoumání tělesná bytost v pohybu rovna skutečnosti, že vektorový součet pohybů zilionů neklidných částic, zprůměrovaný v čase, je nenulový, takže nemá smysl mluvit o okamžiku, kdy tělo přestane se pohybovat (Galton 1994: 4). Vyvstává tedy otázka, jsou hranice imaginární entity - projekce mysli - nebo jsou to skuteční obyvatelé reality?proto nemá smysl mluvit o okamžiku, kdy se tělo přestane pohybovat (Galton 1994: 4). Vyvstává tedy otázka, jsou hranice imaginární entity - projekce mysli - nebo jsou to skuteční obyvatelé reality?proto nemá smysl mluvit o okamžiku, kdy se tělo přestane pohybovat (Galton 1994: 4). Vyvstává tedy otázka, jsou hranice imaginární entity - projekce mysli - nebo jsou to skuteční obyvatelé reality?

I s odkazem na linii Mason-Dixon - a obecněji na ty hranice, které vymezují přilehlé části spojitého potrubí, jako když individuální kognitivní agent konceptualizuje černou skvrnu jako vytvořenou ze dvou polovin - lze položit otázku jejich ontologický stav. Takové hranice do různé míry odrážejí organizační činnost našeho intelektu nebo našich sociálních praktik. Mohlo by se argumentovat, že víra v jejich objektivitu představuje formu metafyzického realismu, který volá po ospravedlnění. V této souvislosti můžeme zavést koncepční rozlišení mezi přirozenými nebo bona fide hranicemi, které jsou založeny na nějaké fyzické diskontinuitě nebo kvalitativní heterogenitě mezi entitou a jejím okolím, a umělými nebo fiatovými hranicemi, které nejsou tak zakotveny v autonomní,svět nezávislý na mysli (Smith 1995). Geo-politické hranice, jako je Mason-Dixonova linie, jsou typu fiat a může se stát, že i povrchy obyčejných hmotných předmětů, jako jsou stoly nebo tenisové míče, zahrnují při bližším zkoumání nějaké artikulace fiat. Otázkou tedy je, zda existují nějaké dobré hranice? A pokud ne, je fiatová povaha naší hranice důvodem k ospravedlnění anti-realistického přístupu k hranicím? (Srovnejte také, jak se tento problém objevuje v oblasti abstraktních entit: Existují koncepty, které vyřezávají svět „v kloubech“, podle Platónova receptu v Phaedrus 265e?)při bližším zkoumání, jakési fiat artikulace. Otázkou tedy je, zda existují nějaké dobré hranice? A pokud ne, je fiatová povaha naší hranice důvodem k ospravedlnění anti-realistického přístupu k hranicím? (Srovnejte také, jak se tento problém objevuje v oblasti abstraktních entit: Existují koncepty, které vyřezávají svět „v kloubech“, podle Platónova receptu v Phaedrus 265e?)při bližším zkoumání, jakési fiat artikulace. Otázkou tedy je, zda existují nějaké dobré hranice? A pokud ne, je fiatová povaha naší hranice důvodem k ospravedlnění anti-realistického přístupu k hranicím? (Srovnejte také, jak se tento problém objevuje v oblasti abstraktních entit: Existují koncepty, které vyřezávají svět „v kloubech“, podle Platónova receptu v Phaedrus 265e?)

Kromě toho, jakmile je opozice fiat / bona fide uznána, je zřejmé, že ji lze čerpat i ve vztahu k celkovým objektům a událostem (Smith e Varzi 2000, Smith 2001). Pokud je (část) hranice celku fiatového druhu, lze na samotný celek nahlížet jako na koncepční konstrukci, proto se otázka ontologického stavu hranic stává součástí s obecnějším problémem konvenčního stavu. obyčejných předmětů a událostí (Heller 1990). To neznamená, že skončíme s imaginárními nebo jinak neskutečnými celky: jak napsal Frege, objektivita Severního moře „není ovlivněna skutečností, že je věcí naší libovolné volby, která část veškeré vody na zemský povrch označíme a zvolíme „Severní moře““(1884, § 26). To však dělá,následovat, že dotyčné entity by si užívaly individuality pouze díky našemu fiat, jako jsou cookies vyřezávané z velkého těsta: jejich objektivita je nezávislá, ale jejich individualita - jejich bytí, čím jsou, možná dokonce jejich identita a podmínky vytrvalosti, které mají - závisí na činnosti pekaře.

1.3 Hranice ostrosti vs Vague

Třetí hádanka se týká vágnosti. Aristotelova definice (stejně jako standardní topologie) naznačuje, že vždy existuje ostré vymezení mezi vnitřkem a vnějškem věci. Přesto lze pozorovat, že běžné objekty a události, stejně jako rozšíření mnoha běžných konceptů, mohou mít hranice, které jsou v jistém smyslu nejasné nebo neurčité. Mraky, pouště, hory, natož figurky impresionistického malířství, se zdá, že všechny unikly idealizované představě o ostře ohraničeném objektu. Podobně se zdá, že časové hranice mnoha událostí (natož jejich prostorové hranice) jsou neurčité. Kdy přesně začala průmyslová revoluce? Kdy to skončilo? (Kde k tomu došlo?) A koncepce, které odpovídají takovým predikátům, jako je „plešatý“nebo „vysoký“, nemají ostré hranice; jak to řekl Frege,k takovým pojmům se zdá, že odpovídá „oblasti, která není všude kolem ostrá hraniční čára, ale na místech, která se jen vágně vytrácí do pozadí“(1903: §56)

Jak je možné takovou hloupost vyložit? Jednou z možností je trvat na čistě epistemickém účtu: moudrost by spočívala výhradně v naší nevědomosti o přesném umístění příslušných hranic (Sorensen 1988, Williamson 1994). Alternativně lze zde rozlišovat mezi de de účtem a de dicto účtem. Na oplátku je moudrost skutečně ontologická; hranice Mount Everestu (řekněme) by byla vágní, pokud neexistuje žádný objektivní, určující fakt o tom, na kterém pozemku leží pozemky (Tye 1990; Copeland 1995). Podobně by z tohoto důvodu byl predikát, například „plešatý“, vágní, protože znamená vágní množinu, množinu se skutečně fuzzy hranicemi. Naproti tomu účet de dicto odpovídá čistě lingvistické (nebo koncepční) představě o nejasnosti. V tomto pohledu není žádná nejasná hranice ohraničující Mount Everest; spíše existuje spousta odlišných pozemků, každá s přesným ohraničením, ale naše jazykové praktiky nevynucovaly výběr žádného z nich jako oficiálního referenta názvu „Everest“(Lewis 1986; McGee 1997). Podobně, v tomto pohledu soubor plešatý lidí nemá fuzzy hranici; naše jazyková ustanovení spíše nespecifikují, který soubor lidí odpovídá rozšíření „plešatý“. Pro hranice fiatového druhu se účet de dicto navrhuje přirozeně: pokud proces vedoucí k vymezení hranice nemusí být přesný, může být otázka, zda něco leží uvnitř nebo vně hranice, sémanticky neurčitá. Tento účet však nesedí dobře s hranicemi bona fide (pokud existují);pokud by taková hranice byla vágní, bylo by to tak nezávisle na našich kognitivních nebo sociálních artikulacích, a proto by se zdálo, že je nutné de-účet, což znamená, že by existovala skutečná světská neurčitost.

1.4 Bezbrannost vs. objemné hranice

Čtvrtý zdroj obav se týká intuice, implicitní v Aristotelově definici, že hranice jsou entitami nižší dimenze, tj. Mají alespoň o jednu dimenzi méně než entity, které spojily. Například povrch (spojité) koule je dvourozměrný (nemá žádnou „látku“nebo „dělitelný objem“), Mason-Dixonova linie je jednorozměrná (má „délku“, ale „šířku“) a hraniční bod, jako je vrchol pyramidy, je bezrozměrný (nerozšiřuje se v žádném směru). Tato intuice je klíčem k tomu, co obvykle říkáme o hranicích. Je to však problematické, protože kontrastuje s několika nezávislými intuicemi, které jsou kusem zdravého rozumu a filosofického teoretizování. Například,v epistemologii existuje stálá tradice (od Moore 1925 do Gibson 1979), podle níž hranice hrají ve vnímání klíčovou roli: vidíme (neprůhledné) fyzické objekty nepřímo viděním jejich povrchů. Není však jasné, jak lze vidět entity, které nemají fyzický objem. Podobně často hovoříme o povrchech jako o věcech, které mohou být postaveny nebo vlhké, nebo které mohou být poškrábány, vyleštěny, broušeny atd., A není jasné, zda lze takové predikáty aplikovat na nehmotné entity. V takových případech by se spíše zdálo, že povrchy (a hranice obecněji; viz Jackendoff 1991) mají být konstruovány jako „tenké vrstvy“, které jsou schematicky označeny tak, že mají menší rozměry než celky, na které se vztahují. Není však jasné, jak lze vidět entity, které nemají fyzický objem. Podobně často hovoříme o povrchech jako o věcech, které mohou být postaveny nebo vlhké, nebo které mohou být poškrábány, vyleštěny, broušeny atd., A není jasné, zda lze takové predikáty aplikovat na nehmotné entity. V takových případech by se spíše zdálo, že povrchy (a hranice obecněji; viz Jackendoff 1991) mají být konstruovány jako „tenké vrstvy“, které jsou schematicky označeny tak, že mají menší rozměry než celky, na které se vztahují. Není však jasné, jak lze vidět entity, které nemají fyzický objem. Podobně často hovoříme o povrchech jako o věcech, které mohou být postaveny nebo vlhké, nebo které mohou být poškrábány, vyleštěny, broušeny atd., A není jasné, zda lze takové predikáty aplikovat na nehmotné entity. V takových případech by se spíše zdálo, že povrchy (a hranice obecněji; viz Jackendoff 1991) mají být konstruovány jako „tenké vrstvy“, které jsou schematicky označeny tak, že mají menší rozměry než celky, na které se vztahují.viz Jackendoff 1991) je třeba chápat jako „tenké vrstvy“, které jsou schematicky označeny tak, že mají menší rozměry než celky, na které se vztahují.viz Jackendoff 1991) je třeba chápat jako „tenké vrstvy“, které jsou schematicky označeny tak, že mají menší rozměry než celky, na které se vztahují.

Je zřejmé, že toto pojmové napětí mezi hranicemi chápanými jako entity nižší dimenze a hranicemi chápanými jako tenké vrstvy odráží nezničitelnou dvojznačnost v běžné řeči (Stroll 1979, 1988). A patrně je to pouze první koncepce, která dává vzniknout hádankám nastíněným v předchozích oddílech; Objemné hranice lze považovat za obvyklé správné části těl, které vázaly. Přesto není pochyb o tom, že obecná teorie hranic by měla mít co říci o druhé koncepci - a obecněji o interakci mezi matematickou idealizací spojenou s bývalou koncepcí a fyzickým, kognitivním a filosofickým významem této druhé koncepce.. (Galton 2007)

2. Teorie

Hranice jsou tedy na jedné straně ústředním prvkem zdravého rozumu světa a na druhé straně hluboce problematické. Můžeme tedy rozlišovat dva hlavní druhy teorií, podle toho, zda je člověk ochoten vzít problémy v nominální hodnotě (realistické teorie), nebo je zcela obejít, hranice považovat za pouhé façons de parler (vylučovací teorie).

2.1 Realistické teorie

Většina realistických teorií o hranicích, konstruovaných jako entity nižší dimenze, sdílí názor, že tyto entity jsou ontologickými parazity. Hranice nemohou existovat izolovaně od entit, které vázali, ačkoli může existovat neshoda ohledně toho, zda je tato ontologická závislost obecná (hranice nemůže existovat s výjimkou jako hranice něčeho) nebo specifická (hranice něčeho nemůže existovat s výjimkou hranice hranice tato věc) (Brentano 1976; Chisholm 1984). Tento pohled je v souladu s intuicí, že hranice, jsou-li skutečné, jsou poněkud „méně reálné“než objemné entity. Realistické teorie se však mohou výrazně lišit, pokud jde o to, jak se takové závislé, nízko-dimenzionální entity vztahují k rozšířeným entitám, které vázaly (Varzi 1997). S odkazem na první hádanku oddílu 1 tedynechť A a B jsou jakékoli dvě rozšířené entity oddělené společnou hranicí (jako je Maryland a Pensylvánie). Pak můžeme rozlišit čtyři hlavní teorie:

1. Hranice nesmí patřit ani A ani B. Toto byl nakonec Leonardo názor, ačkoli to nenajde moc podpory mezi nedávnými filozofy (možná s výjimkou Hestevold 1986 a, v mezích, Sorensen 1986). To znamená, že kontakt se může získat mezi A a B, i když jsou oba A a B topologicky otevřené, pokud mezi nimi nic leží, kromě jejich společné vnější hranice (tj. Pokud uzavření A překrývá uzavření B). Z tohoto pohledu tedy neexistuje žádný poslední bod p Marylandu a žádný první bod q Pensylvánie: státy Unie nevyužívají striktně celé území.
2. Hranice musí patřit buď k A nebo k B, ačkoli to může být neurčité, ke kterému z A a B patří. Tato teorie staví na Bolzanově pohledu (1851), který je zase zrcadlen standardním popisem bodové topologie. To znamená, že kontakt se může získat mezi A a B, pouze pokud je buď A nebo B topologicky uzavřeno, zatímco druhý je topologicky otevřen v příslušné kontaktní oblasti; ale odvolání k neurčitosti umožňuje člověku nechat záležitost nevyřešenou. Tato neurčitost může být zase chápána jako sémantická nebo epistemická, v závislosti na tom, zda je relevantní hranice fiatového druhu, jako u linie Mason-Dixon nebo bona fide (formální řešení této teorie viz Casati a Varzi 1999, kap. 5 a Varzi 2007, §2.4.1).
3. Hranice může patřit jak k A, tak k B, ale příslušné překrývání je sui generis přesně, pokud zahrnuje části menšího rozměru. Hranice nezabírají prostor, a proto není podle této teorie nepravděpodobné říci, že (například) linie Mason-Dixon patří jak Marylandu, tak Pensylvánii. V některých případech však tato teorie může vyžadovat dialetické kousnutí střely (Priest 1987). Například pokud jde o Peirceovu hádanku, pokud linie vymezení mezi černou skvrnou a jejím bílým pozadím patří oběma, musí to být bílá i černá. Východiskem by bylo popřít, že hranice, tedy nižší dimenze, si mohou užívat stejného druhu vlastností, které charakterizují rozšířená těla, jako jsou barevné vlastnosti (Galton 2003: 167f). Není však jasné, zda lze tuto strategii zobecnit. Například,Zdá se, že se dialetheia znovu objevuje s odkazem na Aristotelovu hádanku: v okamžiku, kdy (homogenní) objekt prochází přechodem od stacionárního k pohybu, musí být jak stacionární, tak pohyblivý.
4. Skutečně mohou existovat dvě hranice, jedna patřící k A a druhá patřící k B, a tyto dvě hranice by byly umístěny společně - to znamená, že by se časově shodovaly, aniž by se překrývaly mereologicky. Tento pohled lze vysledovat zpět do Brentana (1976) a byl podrobně rozpracován Chisholmem (1984, 1992/1993). To umožňuje odmítnout rozdíl mezi uzavřenými a otevřenými entitami (které Brentano považoval za „monstrózní“) a všechny rozšířené těla považoval za uzavřené. V případě hmotných těl by prostorová shoda jejich hranic představovala porušení Lockeho principu jednoho objektu na místo (Eseje, II-xxvii-1), ale opět by porušení bylo sui generis přesně do té míry, předmětné subjekty nezabírají žádný prostor (formální řešení této teorie viz také Smith 1997).

Tyto teorie se vzájemně vylučují, ale nemusí být vyčerpávající a mohou být dále artikulovány nebo integrovány, aby řešily problémy vznesené jinými hádankami oddílu 1. Například s odkazem na druhou hádanku (oddíl 1.2), Smith a Varzi (2000) mají dvoubarevnou teorii typu 2 s ohledem na hranice bona fide a typu 4 s ohledem na hranice fiat. (Takže neexistuje žádná náhoda skutečných hranic, ale pouze fiat artikulací.) Podobně lze hypotézu neurčitosti obhajovanou teoriemi typu (2) považovat za kus s takovým druhem neurčitosti, který se podílí na fenoménu nejasnosti (Oddíl 1.3). Například pro hranice hranic může být použit účet de dicto v obou případech: prohlášení o takových hranicích jsou pravdivá, pokud jsou super pravdivá, tj.platí za všech přípustných způsobů zpřesnění příslušných článků fiat (Varzi 2001 a odkazy v nich uvedené).

2.2 Eliminativistické teorie

Eliminativistické teorie přecházejí od myšlenky, že mluvení o hranicích zahrnuje nějaký druh abstrakce - myšlenku, kterou lze nalézt již ve středověké a moderní debatě o antiindivisibilismu (Zimmerman 1996, Holden 2004). Jaký druh abstrakce se týká? A jak můžeme vysvětlit naše běžné (a matematické) rozhovory o hranicích, pokud je lze vysvětlit jako fiktivní abstrakce? Se zvláštním odkazem na hranice časoprostorových údajů můžeme rozlišit dva hlavní přístupy.

1. Substantivalisté o časoprostoru mohou vidět, že abstrakce pramení ze vztahu mezi konkrétním a jeho časoprostorovou nádobou a spoléhají se na topologii časoprostoru, aby odpovídali za naši mezní řeč, pokud jde o jiné entity. Bylo například usuzováno, že těla jsou hmotným obsahem (pravidelných) otevřených oblastí vesmíru, přičemž mezní kontakt mezi těly je vysvětlen z hlediska překrývání mezi uzávěry jejich nádob. Tuto teorii lze vysledovat až k Descartes (Principles 2.xv) a explicitně ji vyslovil Cartwright (1975). Je jisté, že poskytuje hybridní účet, účet, který odvádí pouze hranice hmotných těl (a rozšířením událostí); jejich nádoby podléhají standardní topologii, ve které jsou hranice zpracovány podle teorie (2) výše. Tento účet však postačuje k obcházení výše zmíněných hádanek, protože neexistuje žádný naléhavý problém při převzetí standardní topologie pro časoprostor. Hlavním problémem teorie je spíše zdůvodnit tvrzení, že pouze některé regiony (například otevřené pravidelné regiony) jsou nádoby. (Viz Hudson 2002 pro výzvu k tomuto pohledu.) Na druhé straně existují radikálnější nehybridní teorie, které se obejdou bez hranic také s ohledem na strukturu časoprostoru (nejvlivnější instancí je takzvaná RCC počet Randell, Cui a Cohn 1992). V současné době však zůstává interpretace těchto teorií otevřenou filosofickou otázkou.k odůvodnění tvrzení, že pouze některé regiony (například otevřené pravidelné regiony) jsou nádoby. (Viz Hudson 2002 pro výzvu k tomuto pohledu.) Na druhé straně existují radikálnější nehybridní teorie, které se obejdou bez hranic také s ohledem na strukturu časoprostoru (nejvlivnější instancí je takzvaná RCC počet Randell, Cui a Cohn 1992). V současné době však zůstává interpretace těchto teorií otevřenou filosofickou otázkou.k odůvodnění tvrzení, že pouze některé regiony (například otevřené pravidelné regiony) jsou nádoby. (Viz Hudson 2002 pro výzvu k tomuto pohledu.) Na druhé straně existují radikálnější nehybridní teorie, které se obejdou bez hranic také s ohledem na strukturu časoprostoru (nejvlivnější instancí je takzvaná RCC počet Randell, Cui a Cohn 1992). V současné době však zůstává interpretace těchto teorií otevřenou filosofickou otázkou.interpretace těchto teorií však zůstává otevřenou filosofickou otázkou.interpretace těchto teorií však zůstává otevřenou filosofickou otázkou.
2. Pokud člověk není substantivalist o prostoru a / nebo čase, lze popsat abstrakci jako vyvolání myšlenky stále tenčích vrstev ohraničené entity (Stroll 1979: 279). Nejlepší formulací této myšlenky je Whiteheadova teorie „rozsáhlé abstrakce“(1916, 1919), kterou lze zpětně vysledovat alespoň k Lobachevskii (1835/1938). (Alternativní formulace lze nalézt mimo jiné v Tarski 1929, Menger 1940 a Clarke 1985). Z tohoto důvodu nejsou mezi primární entity, které obsahují pouze rozšířená těla, zahrnuty hraniční prvky, ale přesto jsou získány jako entity vyššího řádu., viz. jako třídy ekvivalence konvergentních řad vnořených těl. Například řada všech soustředných koulí obsažených v dané kouli konverguje k bodu ve středu,řada všech soustředných pravých válců stejné délky zahrnutých v daném válci konverguje k axiální linii atd. Volejte konvergentní sérii tohoto druhu jako abstraktní třídu, pokud nemá dno, tj. Pokud žádný objekt není součástí každého člena třídy. A zavolej dvě ekvivalentní souběžné konvertivní třídy, jestliže každý člen první třídy má jako součást druhého člena a naopak. (Například, abstraktní skupina koulí je ekvivalentní třídě všech kostek zapsaných ve sférách, které se sbíhají do stejného bodu ve středu.) Na každý hraniční prvek lze tedy pohlížet jako na třídu ekvivalence konvergujícího abstraktního třídy a člověk může rekonstruovat obyčejnou řeč o hranicích nižší dimenze, jako je řeč o takových entitách vyššího řádu. Tento přístup má analoga také v časové oblasti,kde jsou okamžiky někdy konstruovány jako sady časových intervalů, které se zase někdy chápou jako sady překrývajících se událostí. (Lokus classicus je Russell 1914; viz také Walker 1947, Kamp 1979 a van Benthem 1983.)

Jedna standardní námitka proti teoriím typu (2) spočívá v tom, že se zdá, že abstraktnost hranic se vynoří z abstraktnosti abstraktních teoretických konstrukcí. Jeden může vidět a malovat povrch stolu, a dokonce může vidět a malovat nekonečnou řadu stále tenčích vrstev částí stolu. Soubor těchto částí však nelze malovat (ledaže by to samozřejmě byl jen jiný způsob, jak říci, že díly jsou vymalovány). De Laguna (1922), jeden z prvních sponzorů Whiteheadovy metody, poznamenal, že identifikace bodů a dalších hranic s třídami pevných látek je vážně nesprávně interpretována: „Ačkoli vnímáme pevné látky, nevnímáme žádné abstraktní soupravy pevných látek […] Přijetím abstraktního souboru se skutečně vzdalujeme zkušeností, jako přijímání tělesa nulové délky “(922: 460).

Třetí možností, alternativou k teoriím typu (1) a typu (2), by byl „operativní“účet druhu, který obhajuje Adams (1884, 1996), kde se od abstraktního procesu odvozují hraniční prvky konkrétní pozorovatelné jsou vysvětleny pomocí „provozních zkoušek“. Je pravděpodobné, že takový účet je nejlépe považován za paralelní příběh, ten, který nabízí vysvětlení empirických znalostí o hranicích a zůstává nakonec neutrální, pokud jde o jejich ontologický stav.

Dodatek: Kytice nabídek

"Jde o to, co nemá žádnou část." Linka je bezrozměrná délka. Konce čáry jsou body. […] Povrch je ten, který má pouze délku a šířku. Konce povrchu jsou čáry. […] Hranicí je to, co je koncem všeho. “[Euklid, Elements, Bk I, Dfs 1-3, 5-6, 13]

"Nazýváme limitem končetin každé věci, tj. První věcí, mimo kterou se žádná část věci nenajde, a první věcí, uvnitř které se nachází každá její část." “[Aristoteles, Metafyzika 1022 ^a]

"Existují dva druhy příměsí." Někteří z nich, jako je Bůh a duše, mohou vydržet ve své nedotknutelnosti mimo smysly. Ale jiní, jako například čára bez těla subjektu, nejsou zcela schopni být mimo senzory, v nichž jsou. “[Abelard, Logica 'nostrorum petitioni sociorum' (1994: 26)]

„[T] kulové tělo se nedotýká plochého těla primárně částí, která je taková, že se každá jeho část dotýká plochého těla. Nedotýká se proto primárně některé části, která je před všemi ostatními dotýkajícími se částmi. Každá dotyková část je spíše taková, že polovina z ní se nedotýká okamžitě a polovina této poloviny se nedotýká okamžitě, a tak dále na nekonečno. “[William of Ockham, Quodlibetal Questions, I, q. 9, a. 2 (1991:…)]

Body jsou „věci zcela nedělitelné“, linie jsou „věci rozdělitelné pouze v jedné dimenzi“a povrchy jsou „věci rozdělitelné na dvě dimenze“. [Gregory of Rimini, komentář k větám, v secundum Sententrum (Eng. Trans. Z Duhem 1913/1959: 25-26)]

"Co je to […], které odděluje atmosféru od vody? Je nutné, aby existovala společná hranice, která není ani vzduch, ani voda, ale je bez obsahu, protože tělo vložené mezi dvě těla brání jejich kontaktu, a to se neděje ve vodě se vzduchem. […] Povrch je tedy společnou hranicí dvou těl, která nejsou spojitá a netvoří součást jednoho nebo druhého, protože pokud by povrch tvořil jeho část, měla by dělitelný objem, zatímco by to však bylo není dělitelná a nicota dělí tato těla od ostatních. “[Leonardo da Vinci, Notebooky (1938: 75-76)]

„Skutečný kontakt se vyskytuje v nějaké bytosti, která ve věcech skutečně a formálně existuje; protože samotný kontakt je skutečný a ve skutečnosti existuje řádně a formálně; proto se vyskytuje v nějaké skutečné bytosti, která formálně existuje ve věci; a přesto se to děje v nedělitelné věci; proto taková nedělitelná bytost formálně existuje v samotné věci. “[Francisco Suarez, Disputationes Metaphysicae §19 (Eng. Trans. Od Zimmerman 1996: 160)]

„[B] y superficies nemyslíme zde žádnou část okolního těla, ale pouze konec, který je mezi obklopeným tělem a obklopeným tělem, což je pouze režim; nebo […] máme na mysli společný povrch, který je povrchem, který není částí jednoho těla, nikoli druhého, a který je vždy považován za stejný, pokud si zachovává stejnou velikost a postavu. “[René Descartes, Principy filosofie, část 2, princip XV (1911: 261)]

„[S] ome School filosofové […] předpokládají, že příroda smíchala některé matematické body s nekonečně dělitelnými částmi, aby mezi nimi sloužila jako spojení a tvořila končetiny těl. Věřili tomu, že by také mohli odpovědět na námitku proti pronikavému kontaktu dvou povrchů, ale tato podvodná útěk je tak absurdní, že si nezaslouží být vyvrácena. ““[Pierre Bayle, historický a kritický slovník (1697: 370)]

"Definuji hranici těla jako agregát všech extrémních (äusserst) etherových atomů, které k němu stále patří." […] Bližší úvaha dále ukazuje, že mnoho těl zcela na určitých místech postrádá omezující atomy; žádný z jejich atomů nelze popsat jako extrémní mezi těmi, které k němu stále patří, a doprovází by jej, kdyby se začal pohybovat. [Dvě těla jsou v kontaktu], když extrémní atomy jednoho […] spolu s určitými atomy druhého tvoří souvislou prodloužení. “[Bernard Bolzano Paradoxy nekonečného § 66 (1851: 167-68)]

„Jedna ze dvou linií, na kterou by se čára rozdělila po rozdělení, by měla […] koncový bod, ale druhý žádný počáteční bod. Tento závěr byl docela správně nakreslen Bolzano, který byl takto veden k jeho monstrózní doktríně, že by existovala těla s povrchy i bez povrchů, přičemž jedna třída obsahovala tolik jako druhá, protože kontakt by byl možný pouze mezi tělem s povrch a další bez. Spíše by měl upoutat pozornost takovými důsledky na skutečnost, že celá koncepce linie a dalších souvislostí jako množiny bodů je v rozporu s pojmem kontakt, a tak přesně ruší to, co tvoří podstatu kontinuum. “[Franz Brentano, nativistické, empirické a anoetistické teorie naší prezentace vesmíru (1976: 146)]

"Pokud jsou červený povrch a modrý povrch ve vzájemném kontaktu, shoduje se červená a modrá čára." [Franz Brentano, On What is Continuous (1976: 41)]

"Jeden volá rovník imaginární linii, ale bylo by špatné říkat tomu linii, která byla pouze vymyslená." Nebyl vytvořen myšlenkou jako výsledek psychologického procesu, ale je jen zadržen nebo pochopen myšlenkou. Pokud by jeho zadržení bylo věcí jeho vzniku, pak bychom nemohli říct nic pozitivního o rovníku kdykoli před tím, než se toto předpokládané zrodilo. “[Gottlob Frege, základy aritmetiky § 26 (1884: 35)]

„Definice pojmu (možného predikátu) musí […], pokud jde o jakýkoli předmět, jednoznačně určit, zda spadá pod pojem (zda je predikát o něm skutečně uplatnitelný). […] Můžeme to metaforicky vyjádřit takto: koncept musí mít ostrou hranici. K konceptu bez ostré hranice by odpovídala oblast, která neměla po celém obvodu ostrou hranici, ale na místech, která se jen nejasně vybledla do pozadí. “[Gottlob Frege, Základní zákony aritmetiky, sv. II, §56 (1903: 159)]

„[Musíme rozlišovat mezi kategorií přírodních hranic a] kategorií umělých hranic, což jsou míněny ty hraniční linie, které, aniž by byly závislé na přirozených vlastnostech zemského povrchu, byly uměle nebo libovolně vytvořeny člověkem.. “[Lord Curzon z Kedlestonu, Frontiers (1907: 12)].

„Pokud dokážeme definovat body, díky nimž budou splněny určité podmínky, nezáleží na tom, i když by se body samy o sobě měly ukázat jako entity velmi jiného druhu, než jaké jsme předpokládali. Obě podmínky jsou (i) že body musí mít k sobě druh vztahů, které geometrie vyžaduje; a (ii) že body musí mít omezené oblasti a objemy tak, že lze rozumně vyhlásit, že tyto oblasti a objemy lze vyčerpávajícím způsobem analyzovat do souborů bodů. “[CD Broad, Scientific Thought (1959: 39)]

„Povrch“je pravdou, je gramatika podstatná; ale nejde o jméno konkrétního existujícího, ale o atribut. “[HH Price, Perception (1932: 106)]

"Domnívám se, že jsem si docela jistý, že svou ruku přímo nevnímám;" a že když jsem řekl (jak mohu správně říci), abych to „vnímal“, že „vnímal“to znamená, že vnímám (v jiném a zásadnějším smyslu) něco, co je (ve vhodném smyslu) představitelem je to určitá část jeho povrchu. “[GE Moore, Obrana zdravého rozumu (1925: 217)]

„Je […] špatné naznačovat, že všechno má povrch. Kde a co přesně je povrch kočky? “[John L. Austin, Sense and Sensibilia (1962: 100)]

"Na povrchu je většina akcí." Povrch je místem, kde se světlo odráží nebo absorbuje, nikoli vnitřek látky. Povrch se dotýká zvířete, nikoli vnitřku. Na povrchu se většinou vyskytují chemické reakce. Povrch je místem, kde dochází k odpařování nebo difúzi látek do média. A povrch je místem, kde se vibrace látky přenášejí do média. “[JJ Gibson, Ekologický přístup k vizuálnímu vnímání (1979: 23)]

"Pokud je spojitý objekt rozřezán na polovinu, stane se jedna hranice [která vymezuje dvě sousední části] dvě hranice, jedna věc se tak stane dvěma věcmi? […] Jak se však může jedna věc - i když je to jen hranice - stát dvěma věcmi? A znamená to, že když se dvě věci stanou spojitými, pak se dvě různorodé věci navzájem shodují a dvě věci se tak stávají jednou věcí? “[Roderick Chisholm, Hranice jako závislé podrobnosti (1984: 88)]

"Důvod, proč je nejasné, kde začíná outback, není ten, že tam je ta věc, outback, s nepřesnými hranicemi; spíš existuje spousta věcí s různými hranicemi a nikdo nebyl tak hloupý, aby se pokusil prosadit výběr jedné z nich jako oficiálního referenta slova „outback“. “[David K. Lewis, Plurality světů (1986: 212)]

"Neexistuje žádná linie, která by ostře oddělovala hmotu tvořící [Mount] Everest od hmoty mimo ni." Hranice Everestu jsou nejasné. Některé molekuly jsou uvnitř Everestu a některé molekuly venku. Ale některé mají neurčitý status: neexistuje žádný objektivní, určující fakt o tom, zda jsou uvnitř nebo vně. “[Michael Tye, Vague Objects (1990: 535)]

„Nejasný koncept je neomezený v tom, že žádná hranice neoznačuje věci, které pod něj spadají, od věcí, které ne, a žádná hranice neoznačuje věci, které rozhodně spadají pod to, od věcí, které tak rozhodně neudělají; a tak dále. Projevy jsou neochota vědomých subjektů nakreslit takové hranice, kognitivní nemožnost takové hranice identifikovat a zbytečnost a dokonce i disutilita takových hranic. “[Mark Sainsbury, koncepty bez hranic (1990: 257)]

Bibliografie

• Abelard, 1994, Logica 'nostrorum petitioni sociorum': glossula super Porphyrium, Eng. trans. PV Spade, „Z„ Glosses on Porphyry ““, ve PV Spade, pět textů o středověkém problému univerzálů, Indianapolis: Hackett, pp. 26-56.
• Adams, EW, 1984, 'On the Superficial', Pacific Philosophical Quarterly 65: 386-407.
• Adams, EW, 1996, 'Topology, Empiricism and Operationalism', The Monist 79: 1-20.
• Aristotle, Physics, v J. Barnes (ed.) The Complete Works of Aristotle, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, sv. 1.
• Aristotle, Metafyzics, v J. Barnes (ed.) The Complete Works of Aristotle, Princeton (NJ): Princeton University Press, 1995, sv. 2.
• Austin, JL, 1962, Sense and Sensibilia (ed. GJ Warnock), Oxford, Oxford University Press
• Bayle, P., 1697, Literární slovník a kritika, Rotterdam: Reinier Leers; Eng. Trans. RH Popkin, Historický a kritický slovník: Výběr, Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1965.
• Bolzano, B., 1851, Paradoxien des Unendlichen, ed. F. Pihonsk, Leipzig: Reclam; Eng. trans. DA Steele, Paradoxes of the Infinite, London: Routledge & Kegan Paul, 1950.
• Brentano, F., 1976, Philosophische Untersuchungen zu Raum, Zeit und Kontinuum (ed. S. Körner a RM Chisholm), Hamburg: Meiner; Eng. trans. B. Smith, Philosophical Investigations on Space, Time and Continuum, London: Croom Helm, 1988.
• Broad, CD, 1923, Scientific Thought, New York: Harcourt.
• Cartwright, R., 1975, 'Scattered Objects', v K. Lehrer (ed.), Analysis and Metaphysics, Dordrecht: Reidel, str. 153-171.
• Casati, R., a Varzi, AC, 1999, Parts and Places. Struktury prostorového zastoupení, Cambridge (MA) a Londýn: MIT Press.
• Chisholm, RM, 1984, 'Hranice jako závislé části', Grazer philosophische Studien 10: 87-95.
• Chisholm, RM, 1992/1993, „Prostorová kontinuita a teorie části a celku. Brentano Study “, Brentano Studien 4: 11-23.
• Clarke, BL, 1985, 'jednotlivci a body', Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75.
• Copeland, J., 1995, 'On Vague Objects, Fuzzy Logic and Frctal Boundaries', Southern Journal of Philosophy 33 (Suppl.): 83-96.
• Curzon, GN, 1907, Frontiers - Romanes Lecture, Oxford: Clarendon Press.
• De Laguna, T., 1922, 'Point, Line and Surface, Sets of Solids', Journal of Philosophy 19: 449-461.
• Descartes, R., Principy filosofie, v ES Hildane a GRT Ross (eds.), Cambridge: The University Press, 1911.
• Duhem, P., 1913/1959, Le système du monde; histoire des doctrines cosmologiques de Platon à Copernic, Paříž, Hermann; částečný Eng. trans. R. Ariew, Medieval Cosmology: Teorie nekonečna, Místo, Čas, Prázdnota a Pluralita Světů, Chicago: University of Chicago Press, 1985.
• Euclid, třináct knih euklidovských prvků, Eng. trans. od TL Heath. Cambridge: The University Press, 1908 (1926 ²).
• Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Köbner; Eng. trans. JL Austin, Základy aritmetiky, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
• Frege, G., 1903, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Band II, Jena, Pohle; částečný Eng. trans. PT Geach, „Základní zákony aritmetiky II“, v PT Geach a M. Black (ed.), Překlady z filozofických spisů Gottloba Frege, Oxford: Blackwell, 1952, s. 159-181, 234-244.
• Galton, AP, 1994, 'Okamžité události', v HJ Ohlbach (ed.), Časová logika: Řízení semináře ICTL, Saarbrücken: Max-Planck-Institut für Informatik, Technická zpráva MPI-I-94-230, pp. 4-11.
• Galton, AP, 2003, „O ontologickém stavu geografických hranic“, v M. Duckham et al. (eds.), Foundations of Geographic Information Science, London: Taylor and Francis, str. 151-171.
• Galton, AP, 2007, „O paradoxní povaze povrchů: ontologie na rozhraní fyzika / geometrie“, Monist 90, v tisku.
• Gibson, JJ, 1979, Ekologický přístup k vizuálnímu vnímání, Boston: Houghton Mifflin.
• Heller, M., 1990, ontologie fyzických objektů: Čtyři dimenzionální Hunkové hmoty, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hestevold, HS, 1986, 'Boundaries, Surfaces and Continuous Wholes', Southern Journal of Philosophy 24: 235-245.
• Holden T., 2004, The Architecture of Matter: Galileo to Kant, Oxford: Clarendon.
• Hudson, H., 2002, 'Liberal View of Receptacles', Australasian Journal of Philosophy 80: 432-439.
• Jackendoff, R., 1987, Consciousness and Computational Mind, Cambridge (MA): MIT Press.
• Jackendoff, R., 1991, 'Parts and Boundaries', Cognition 41: 9-45.
• Kamp, H., 1979, 'Události, Instant, a Temporal Reference', v R. Bäuerle, U. Egli a A. von Stechow (eds.), Sémantika z různých úhlů pohledu, Berlín a Heidelberg: Springer-Verlag, str. 376-417.
• Leonardo da Vinci, 1938, The Notebooks of Leonardo da Vinci, vybral Eng. trans. ed. E. MacCurdy, Londýn: Reynal a Hitchock.
• Lewis, DK, 1986, O pluralitě světů, Oxford: Blackwell.
• Lobachevskii, NI, 1835/1938, 'Novye naala geometrii's polnoj teoriejallel'nyh' [Nové principy geometrie s úplnou teorií paralel], Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta.
• McGee, V., 1997, 'Kilimanjaro' ', Canadian Journal of Philosophy 23 (Suppl.): 141-195.
• Menger, K., 1940, 'Topology without Points', Rice Institute Pamphlets 27, 80-107.
• Moore, GE, 1925, 'A Defence of Common Sense', v JH Muirhead (ed.), Contemporary British Philosophy (Second Series), London: Allen & Unwin, pp. 193-223.
• Ockham, William of, Quodlibetal Questions, Eng. trans. AJ Freddoso a FE Kelly, New Haven (CN): Yale University Press, 1991.
• Peirce, CS, 1893, „The Logic of Quantity“, v Collected Papers of Charles Sanders Peirce, sv. IV, ed. C. Hartshorne a P. Weiss, Cambridge (MA): Harvard University Press, 1933.
• Price, HH, 1932, Perception, London: Methuen.
• Priest, G., 1987, In Contradiction. Studie transkonzistentních, Boston a Dordrecht: Nijhoff.
• Randell, DA, Cui, Z. a Cohn, AG, 1992, „Prostorová logika založená na regionech a souvislostech“, v B. Nebel et al. (eds.), Principy reprezentace a zdůvodnění znalostí. Sborník ze třetí mezinárodní konference, Los Altos (CA): Morgan Kaufmann, s. 165-176.
• Russell, B., 1914, Naše znalost vnějšího světa, Londýn: Allen & Unwin.
• Sainsbury, M., 1990, 'Pojmy bez hranic', zahajovací přednáška, Katedra filozofie, King's College, Londýn; dotisknuto v R. Keefe a P. Smith (eds.), Vagueness. Reader, Cambridge (MA): MIT Press, 1996, str. 251-264.
• Simons, PM, 'Faces, Boundaries and Thin Layers', v AP Martinich a MJ White (eds.), Jistota a povrch v epistemologii a filozofické metodě. Eseje na počest Avrum Stroll, Lewiston: Edwin Mellen Press, s. 87-99.
• Smith, B., 1995, „Na kreslení čar na mapě“, v AU Frank a W. Kuhn (eds.), Teorie prostorových informací. Teoretický základ pro GIS. Sborník ze třetí mezinárodní konference, Berlín: Springer, s. 475-484.
• Smith, B., 1997, 'Hranice: Esej v meteorologii', v LH Hahnovi (ed.), The Philosophy of Roderick Chisholm, Chicago and La Salle, IL: Open Court, pp. 534-61.
• Smith, B., 2001, 'Fiat Objects', Topoi 20: 131-148.
• Smith, B., a Varzi, AC, 2000, 'Fiat and Bona Fide Boundaries, Philosophy and Phenomenological Research 60: 401-420.
• Sorensen, RA, 1986, 'Transitions', Philosophical Studies 50: 187-193.
• Sorensen, RA, 1988, Blindspots, Oxford: Clarendon Press.
• Stroll, A., 1979, „Dva koncepty povrchů“, Midwest Studies in Philosophy 4: 277-291.
• Stroll, A., 1988, Surfaces, Minneapolis: University of Minnesota Press.
• Tarski A., 1929, 'Les fondements de la géométrie des corps', Ksiga Pamitkowa Pierwszkego Polskiego Zjazdu Matematycznego, suppl. k Annales de la Société Polonaise de Mathématique 7: 29-33; Eng. trans. JH Woodger, 'Základy geometrie těles', v A. Tarski, Logics, Sémantika, Metamathematics. Papers od 1923 do 1938, Oxford: Clarendon, 1956, pp. 24-29.
• Tye, M., 1990, 'Vague Objects', Mind 99: 535-557.
• van Benthem, J., 1983, The Logic of Time, Dordrecht: Kluwer (2. vydání 1991).
• Varzi, AC, 1997, 'Hranice, Kontinuita a Kontakt', Noûs 31: 26-58.
• Varzi, AC, 2001, 'Vagueness in Geography', Philosophy & Geography 4: 49-65.
• Varzi, AC, 2007, „Prostorové zdůvodnění a ontologie: Díly, celky a umístění“, M. Aiello et al. (eds.), Handbook of Spatial Logics, Berlin, Springer, str. 945-1038.
• Walker, AG, 1947, 'Durées et instants', Revue Scientifique 85: 131-34.
• Whitehead, AN, 1916, 'La théorie relationshipniste de l'espace', Revue de Métaphysique et de Morale 23: 423-454; Eng. trans. PJ Hurley, 'Relational Theory of the Space', Philosophy Research Archives 5 (1979): 712-741.
• Whitehead, AN, 1919, Anketa týkající se principů lidských znalostí, Cambridge: Cambridge University Press.
• Williamson, T., 1994, Vagueness. Londýn: Routledge.
• Zimmerman, DW, 1996, „Nedělitelné části a rozšířené objekty: některé filosofické epizody z pravěku topologie“, Monist 79: 148-180.

Další internetové zdroje