Matematika Booleovské Algebry

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Toto je soubor v archivech Stanfordské encyklopedie filozofie.

Matematika booleovské algebry

První publikováno 5. července 2002; věcná revize pátek 27. února 2009

Booleovská algebra je algebra dvouhodnotové logiky s pouze sentimentálními spojivy, nebo rovnocenně algebry množin pod unií a komplementací. Přísný koncept je koncept určitého druhu algebry, analogický matematickému pojetí skupiny. Tento koncept má kořeny a aplikace v logice (Lindenbaum-Tarskiho algebry a teorie modelů), teorii množin (pole množin), topologii (zcela odpojené kompaktní Hausdorffovy prostory), základy teorie množin (Booleanovy oceňované modely), teorii měr (měření) algebry), funkční analýza (algebry projekcí) a teorie prstenců (booleovské kruhy). Studie booleovských algeber má několik aspektů: teorii struktury, teorii modelů booleovských algeber, otázky rozhodnutelnosti a nerozhoditelnosti pro třídu booleovských algeber a uvedené aplikace. Kromě tohoačkoli to zde není vysvětleno, existují spojení s jinými logikami, subsumpce jako součást zvláštních druhů algebraické logiky, konečná Booleovské algebry a teorie spínacích obvodů a Booleovské matice.

• 1. Definice a jednoduché vlastnosti
• 2. Elementární algebraická teorie
• 3. Speciální třídy booleovských algeber
• 4. Struktura teorie a kardinální funkce na booleovských algebrách
• 5. Otázky rozhodnutelnosti a nerozhodnutelnosti
• 6. Lindenbaum-Tarskiho algebry
• 7. Booleovské modely
• Bibliografie
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Definice a jednoduché vlastnosti

Booleovská algebra (BA) je množina A společně s binárními operacemi + a · a unární operací - a prvky 0, 1 z A tak, že platí následující zákony: komutativní a asociativní zákony pro sčítání a násobení, distribuční zákony pro násobení při sčítání a při sčítání při násobení a následující zvláštní zákony:

x + (x · y) = x

x · (x + y) = x

x + (−x) = 1

x · (−x) = 0

Tyto zákony jsou lépe pochopeny, pokud jde o základní příklad BA, sestávající ze souboru A podskupin množiny X uzavřených v rámci operací spojení, průniku, doplňování vzhledem k X, se členy ∅ a X. Z těchto axiomů lze snadno odvodit mnoho elementárních zákonů, přičemž tento příklad je třeba věnovat motivaci. Jakýkoli BA má přirozený částečný řád ≤ definovaný tím, že říká, že x ≤ y tehdy a jen tehdy, když x + y = y. To odpovídá v našem hlavním příkladu ⊆. Zvláštní význam má dvouprvkový BA, vytvořený tak, že sada X má jen jeden prvek. Dvouprvkový BA ukazuje přímé spojení s elementární logikou. Oba členové, 0 a 1, odpovídají falešnosti a pravdě. Booleovské operace pak vyjadřují běžné tabulky pravdy pro disjunkce (s +), spojení (s ·) a negaci (s -). Důležitým elementárním výsledkem je to, že rovnice platí ve všech BA, a to pouze tehdy, pokud drží ve dvouprvkovém BA. Dále definujeme x ⊕ y = (x · - y) + (y · - x). Pak spolu s ⊕ a · spolu s 0 a 1 tvoří kruh s identitou, ve kterém je každý prvek idempotentní. Naopak, vzhledem k takovému kruhu, sčítáním ⊕ a násobením, definujte x + y = x ⊕ y ⊕ (x · y) a - x = 1 ⊕ x. Díky tomu je prsten BA. Tyto dva procesy jsou vzájemnými invertory a ukazují, že teorie booleovských algebras a prstenů s identitou, ve které je každý prvek idempotent, je definicně ekvivalentní. Toto staví teorii BA do standardního předmětu výzkumu v algebře. Atom v BA je nenulový prvek a takový, že neexistuje žádný prvek b s 0 <b <a. BA je atomová, pokud je každý nenulový prvek BA nad atomem. Konečné BA jsou atomové, ale také mnoho nekonečných BA. Pod částečným řádem ≤ výše x + y je nejnižší horní mez x a y a x · y je největší dolní mez x a y. Můžeme to zobecnit: Σ X je nejnižší horní hranice sady X prvků a Π X je největší spodní hranice sady X prvků. Tyto neexistují pro všechny množiny ve všech booleovských algebrách; pokud vždy existují, booleovská algebra se považuje za úplnou. Boolean algebra je řekl, aby byl kompletní. Boolean algebra je řekl, aby byl kompletní.

2. Elementární algebraická teorie

Několik algebraických konstrukcí má pro BA jasné definice a jednoduché vlastnosti: subalgebry, homomorfismy, izomorfismy a přímé produkty (dokonce i nekonečně mnoho algebras). Některé jiné standardní algebraické konstrukce jsou pro BA typičtější. Ideál v BA je podmnožina I uzavřená pod +, s 0 jako člen, a tak, že pokud a ≤ b ∈ I, pak také a ∈ I. I když to není okamžitě zřejmé, jedná se o stejný koncept jako prsten-teoretický koncept. Existuje dvojí představa o filtru (bez protějšku v prstenech obecně). Filtr je podmnožina F uzavřená pod ·, která má 1 jako člen, a pokud tedy a ≥ b ∈ F, pak také a ∈ F. Ultrafiltr na A je filtr F s následujícími vlastnostmi: 0 ∉ F, a pro jakýkoli ∈ A buď ∈ F nebo - a ∈ F. Pro jakýkoli ∈ A nechť S (a) = {F: F je ultrafiltr na A a a F}. Pak S je izomorfismus na BA podmnožin sady X všech ultrafiltrů na A. Tím se stanoví základní věta o reprezentaci kamenů a objasní původ BA jako konkrétní algebry množin. Navíc sady S (a) mohou být deklarovány jako základna pro topologii na X, a tím se X stává zcela odpojeným kompaktním Hausdorffovým prostorem. Tím se vytvoří vzájemná korespondence mezi třídou BA a třídou takových prostorů. Jako důsledek, který se velmi často používá v teorii BA, má mnoho BA topologické věty a koncepty. Pokud x je prvek BA, necháme 0 x = - x a 1 x = x. Pokud (x (0),… x (m - 1)) je konečná posloupnost prvků BA A, pak každý prvek subalgebry A generovaný {x (0),…,x (m - 1)} lze zapsat jako součet monomikálů e (0) x (0) ·… · e (m - 1) x (m - 1) pro e v některých sadách mapování funkcí m = {0, …, m - 1} do 2 = {0, 1}. Toto je algebraické vyjádření disjunktivní věty normální formy sentimentální logiky. Funkci f ze sady X generátorů BA A do BA B lze rozšířit na homomorfismus pouze tehdy, pokud e (0) x (0) ·… · e (m - 1) x (m - 1) = 0 vždy znamená, že e (0) f (x (0)) ·… · e (m - 1) f (x (m - 1)) = 0. Toto je Sikorského kritérium rozšíření. Každý BA A může být zabudován do kompletního BA B tak, že každý prvek B je nejmenší horní mez množiny prvků A. B je jedinečný až do A-izomorfismu a nazývá se dokončení A. Pokud je f homomorfismus z BA A do úplného BA B a A je subalgebra C,potom f může být rozšířeno na homomorfismus C do B. Toto je Sikorského věta o rozšíření. Další obecný algebraický pojem, který se vztahuje na booleovské algebry, je pojem volné algebry. To lze konkrétně konstruovat pro BA. Jmenovitě, volný BA na K je BA uzavřených otevřených podmnožin dvou elementárních diskrétních prostorů zvýšených na energii K.

3. Speciální třídy booleovských algeber

Existuje mnoho speciálních tříd booleovské algebry, které jsou důležité jak pro vlastní teorii BA, tak pro aplikace:

• Atomové BA, již zmíněné výše.
• Atomless BAs, které jsou definovány jako BA bez atomů. Například jakýkoli nekonečný BA je bez atomů.
• Kompletní BA, definované výše. To jsou zvláště důležité v základech teorie množin.
• Intervalové algebry. Jsou odvozeny z lineárně uspořádaných množin (L, <) s prvním prvkem následujícím způsobem. Jeden vezme nejmenší algebra podskupin L obsahující všechny poloviny otevřených intervalů [a, b) s a v L a b v L nebo rovné ∞. Tyto BA jsou užitečné při studiu alenber Lindenbaum-Tarski. Každá počítatelná BA je izomorfní k intervalové algebře, a tak lze spočítatelnou BA popsat indikováním uspořádané množiny tak, že je izomorfní s odpovídající intervalovou algebrou.
• Stromové algebry. Strom je částečně uspořádaná množina (T, <), ve které je správně uspořádána množina předchůdců libovolného prvku. Vzhledem k takovému stromu se uvažuje algebra podmnožin T generovaných všemi sadami tvaru {b: a ≤ b} pro některé v T.
• Superatomické BA. Jedná se o BA, které jsou nejen atomové, ale jsou takové, že každý subalgebra a homomorfní obraz je atomový.

4. Struktura teorie a kardinální funkce na booleovských algebrách

Hodně z hlubší teorie booleovských algebras, vyprávět o jejich struktuře a klasifikaci, moci být formulován v podmínkách jistých funkcí definovaných pro všechny booleovské algebry, s nekonečnými kardinály jako hodnoty. Definujeme některé z důležitějších z těchto hlavních funkcí a uvedeme některá známá strukturální fakta, zpravidla vyjádřená v nich

1. Celularita c (A) BA je supremum kardinálií množin párově disjunktních prvků A.
2. Podmnožina X BA A je nezávislá, pokud X je sada volných generátorů subalgebry, kterou generuje. Nezávislost A je nadřazenost kardinálií nezávislých podmnožin A.
3. Podmnožina X BA A je v A hustá, pokud je každý nenulový prvek A ≥ nenulový prvek X. Π-hmotnost A je nejmenší mohutnost husté podmnožiny A.
4. Dva prvky x, y z A jsou nesrovnatelné, pokud žádný z nich není ≤ druhý. Nadřazenost kardinalit podskupiny X A sestávající z párově nesrovnatelných prvků je nesrovnatelnost A.
5. Podmnožina X z A je irundundantní, pokud žádný prvek X není v subalgebře generované ostatními.

Důležitým faktem týkajícím se celularity je Erdos-Tarskiho věta: je-li celularita BA jedinečným kardinálem, pak existuje ve skutečnosti soubor nesouvislých prvků této velikosti; pro běžný limit celulárnosti (nepřístupný) existují protiklady. Každá nekonečná úplná BA má nezávislou podmnožinu stejné velikosti jako algebra. Každá nekonečná BA A má iredundantní nesrovnatelnou podmnožinu, jejíž velikost je π-hmotnosti A. Každá intervalová algebra má počítatelnou nezávislost. Superatomická algebra nemá ani nekonečnou nezávislou podmnožinu. Každá stromová algebra může být vložena do intervalové algebry. BA s pouze automorfismem identity se nazývá rigidní. Existují rigidní úplné BA, také rigidní intervalové algebry a rigidní stromové algebry.

5. Otázky rozhodnutelnosti a nerozhodnutelnosti

Základním výsledkem Tarského je, že elementární teorie booleovských algebras je rozhodnutelná. Rozhodující je i teorie booleovských algebras s význačným ideálem. Na druhé straně je teorie booleovské algebry s význačnou subalgebou nerozhodnutelná. Výsledky rozhodnutelnosti i nerozhodnosti se různými způsoby rozšiřují na logické algebry v rozšíření logiky prvního řádu.

6. Lindenbaum-Tarskiho algebry

Velmi důležitou konstrukcí, která přenáší mnoho logik a mnoho algebras jiných než booleovských algebras, je konstrukce booleovské algebry spojené s větami v nějaké logice. Nejjednodušším případem je sentimentální logika. Zde jsou symboly vět a společné spojky, které z nich vytvářejí delší věty: disjunkce, spojení a negace. Vzhledem k množině vět A v tomto jazyce jsou dvě věty s a t ekvivalentem modulo A, a to pouze tehdy, je-li dvoustranná podmínka logickým důsledkem A. Třídy ekvivalence lze převést na BA tak, že + odpovídá disjunkce, · spojce a - negaci. Každá BA je izomorfní s jednou z těchto forem. Jeden může udělat něco podobného pro teorii prvního řádu. Nechť T je teorie prvního řádu v jazyce prvního řádu L. Nazýváme vzorce φ a ψ ekvivalent za předpokladu, že T ⊢ φ ↔ ψ. Třída ekvivalence věty φ je označena [φ]. Nechť A je kolekce všech tříd ekvivalence v rámci tohoto vztahu ekvivalence. Můžeme z A udělat BA podle následujících definic, které jsou snadno odůvodněné:

[φ] + [ψ]	=	[φ ∨ ψ]
[φ] · [ψ]	=	[φ ∧ ψ]
- [φ]	=	[¬φ]
0	=	[F]
1	=	[T]

Každá BA je izomorfní k algebře Lindenbaum-Tarski. Jedním z nejdůležitějších použití těchto klasických Lindenbaum-Tarských algebras je však jejich popis pro důležité teorie (obvykle rozhodnutelné teorie). U počitatelných jazyků to lze provést popisem jejich izomorfních intervalů algebras. Obecně to dává důkladnou znalost teorie. Některé příklady jsou:

	Teorie	Isomorphic intervalová algebra na
(1)	v podstatě nerozhodnutelná teorie	Q, zdůvodnění
(2)	BAs	× čtverec kladných celých čísel, lexikograficky seřazený
(3)	lineární objednávky	× Q objednat antilexicographically, kde je k moci v obvyklém pořadí
(4)	abelianské skupiny	(Q + A) × Q

7. Booleovské modely

V teorii modelu lze namísto dvouprvkového BA vzít hodnoty v jakémkoli úplném BA. Tato booleovská modelářská teorie byla vyvinuta kolem roku 1950–1970, ale od té doby se na ní příliš nepracovalo. Ale zvláštní případ, Booleovské modely pro teorii množin, je velmi v popředí současného výzkumu v teorii množin. Ve skutečnosti tvoří rovnocenný způsob pohledu na nutící konstrukci Cohena a má některé technické výhody a nevýhody. Filozoficky se zdá být uspokojivější než koncept nucení. Zde popisujeme tento případ teorie množin; pak bude zřejmé, proč jsou zvažovány pouze soutěžit BA. Nechť B je kompletní BA. Nejprve definujeme booleovský oceňovaný vesmír V (B). Obyčejný set-teoretický vesmír lze identifikovat pomocí V (2), kde 2 je 2-elementární BA. Definice je pomocí transfinitové rekurze, kde α,β jsou ordinály a λ je limitní ordinál:

V (B, 0)	=	∅
V (B, α + 1)	=	množina všech funkcí f tak, že doména f je podmnožinou V (B, a) a rozsah f je podmnožinou B
V (B, λ)	=	spojení všech V (B, β) pro β <λ.

B-ceněný vesmír je správná třída V (B), která je spojením všech těchto V. Dále, jeden definuje poměrně komplikovanou rekurzí transfinitů nad dobře založenými množinami hodnotu množiny teoretických vzorců s prvky booleovského oceňovaného vesmíru přiřazenými jeho volným proměnným

|| x ∈ y ||	=	Σ {(|| x = t || · y (t)): t ∈ doména (y)}
|| x ⊆ y ||	=	Π {- x (t) + || t ∈ y ||: t ∈ doména (x)}
|| x = y ||	=	|| x ⊆ y || · || y ⊆ x ||
|| ¬φ ||	=	- || φ ||
|| φ ∨ ψ ||	=	|| φ || + || ψ ||
|| ∃ x φ (x) ||	=	Σ {|| φ (a) ||: a ∈ V (B)}

Bibliografie

• Halmos, P., 1963, Přednášky o booleovských algebrách, Princeton: Van Nostrand
• Heindorf, L., a Shapiro, L., 1994, Téměř projektivní booleovské algebry, Přednášky z matematiky č. 1596, Berlín: Springer-Verlag
• Jech, T., 1997, Teorie množin, 2. opravené vydání, Berlín, New York: Springer-Verlag
• Monk, JD a Bonnet, R., (eds), 1989, Handbook of Boolean algebras, 3 svazky, Amsterdam: North-Holland.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]