Revizní Teorie Pravdy

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Toto je soubor v archivech Stanfordské encyklopedie filozofie.

Revizní teorie pravdy

První zveřejněné 15. prosince 1995; věcná revize Pá 28. července 2006

Zvažte následující větu:

(1) není pravda.

(1)

Již dlouho je známo, že věta (1) vytváří paradox, tzv. Lhářský paradox: zdá se nemožné důsledně tvrdit, že (1) je pravda, a nemožné důsledně tvrdit, že (1) není pravda. (Podrobnosti viz oddíl 1 níže.) Vzhledem k takovému paradoxu by člověk mohl být skeptický vůči pojetí pravdy nebo přinejmenším k vyhlídkám na poskytnutí vědecky slušného účtu pravdy. Velkým úspěchem Alfreda Tarského bylo ukázat, jak dát - proti tomuto skepticismu - formální definici pravdy pro širokou třídu formalizovaných jazyků. Tarski však neukazoval, jak definovat pravdu pro jazyky (jako je angličtina), které obsahují jejich vlastní predikáty pravdy. Myslel si, že se to nedá udělat, přesně kvůli paradoxu lháře. Počítal s tím, že jakýkoli jazyk s vlastním predikátem pravdy bude nekonzistentní, pokud bude dodržovat pravidla standardní klasické logiky a bude schopen odkazovat na své vlastní věty.

S ohledem na úzkou souvislost mezi významem a pravdou se obecně platí, že jakákoli sémantika pro jazyk L, tj. Jakákoli teorie významu pro L, bude úzce souviset s teorií pravdy pro L: skutečně se běžně tvrdí, že něco jako Tarskovská teorie pravdy pro L bude ústřední součástí sémantiky pro L. Nemožnost dát tarskovskou teorii pravdy pro jazyky s jejich vlastními predikáty pravdy tedy ohrožuje projekt sémantiky pro jazyky s jejich vlastními predikáty pravdy.

Museli jsme čekat na práci Kripkeho 1975 a Martina a Woodruffa 1975 na systematický formální návrh sémantiky pro jazyky s vlastními predikáty pravdy. Základní myšlenka je jednoduchá: považujte trestné věty, jako je (1), za pravdivé ani nepravdivé. Zejména Kripke ukazuje, jak tuto myšlenku implementovat pro širokou škálu jazyků, ve skutečnosti využívá sémantiku se třemi hodnotami, pravdivými, nepravdivými a ani jedním. ^[1] Lze s jistotou říci, že Kripkeanovy přístupy nahradily tarskovský pesimismus jako novou pravověrnost týkající se jazyků s jejich vlastními predikáty pravdy.

Jedním z hlavních protivníků tříhodnotové sémantiky je revizní teorie pravdy, neboli RTT, nezávisle koncipovaná Hansem Herzbergerem a Anilem Guptou a poprvé představená v publikaci Herzberger 1982a a 1982b, Gupta 1982 a Belnap 1982 - první monografie na toto téma jsou Yaqūb 1993 a locus classicus, Gupta & Belnap 1993. RTT je navrženo tak, aby modelovalo důvody, k nimž vede lhářská věta, ve dvouhodnotovém kontextu. Ústřední myšlenkou je myšlenka procesu revize: procesu, kterým revidujeme hypotézy o pravdivosti jedné nebo více vět. Účelem tohoto článku je nastínit revizní teorii pravdy. Postupujeme takto:

• 1. Poloformální úvod

• 2. Rámování problému

  • 2.1 Pravdivé jazyky
  • 2.2 Pozemní modely
  • 2.3 Paradox lháře (opět)

• 3. Základní pojmy RTT

  • 3.1 Revizní pravidla
  • 3.2 Revizní sekvence

• 4. Interpretace formalismu

  • 4.1 Označení T
  • 4.2 „Iff“v T-biconditionals
  • 4.3 Paradoxní zdůvodnění
  • 4.4 Diplomová práce
  • 4.5 Vedení sémantiky
  • 4.6 Yaqūbova interpretace formalismu

• 5. Další otázky

  • 5.1 Tříhodnotová sémantika
  • 5.2 Změny RTT
  • 5.3 Teorie revizí pro kruhově definované koncepty
  • 5.5 Aplikace
  • 5.5 Otevřená otázka
• Bibliografie
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Poloformální úvod

Pojďme se blíže podívat na větu (1) uvedenou výše:

(1) není pravda.

(1)

Bude užitečné učinit paradoxní uvažování výslovným. Nejprve to předpokládejme

(1) není pravda.

(2)

Zdá se, že intuitivní princip týkající se pravdy je, že pro každou větu p máme tzv. T-biconditional

'p' je pravda, pokud p.

(3)

(Zde používáme 'iff' jako zkratku pro 'if and only if'.) Zejména bychom měli mít

„(1) není pravda“je pravda, pokud (1) není pravda.

(4)

Tak, od (2) a (4), dostaneme

„(1) není pravda“je pravda.

(5)

Pak můžeme použít identitu,

(1) = '(1) není pravda.'

(6)

usoudit, že (1) je pravda. To vše ukazuje, že pokud (1) není pravda, pak (1) je pravda. Podobně můžeme také tvrdit, že pokud (1) je pravda, pak (1) není pravda. Zdá se tedy, že (1) je pravdivá i nepravdivá: odtud paradox. Jak již bylo uvedeno výše, trojitý přístup k paradoxu považuje lhářskou větu (1) za pravdivou ani nepravdivou. Přesně jak, nebo dokonce, zda tento krok blokuje výše uvedené zdůvodnění, je věcí diskuse. RTT není navržen tak, aby blokoval uvažování výše uvedeného druhu, ale aby jej modeloval - nebo většinu z toho. ^[2] Jak bylo uvedeno výše, ústřední myšlenkou je myšlenka procesu revize: procesu, kterým revidujeme hypotézy o pravdivosti jedné nebo více vět.

Zvažte odůvodnění týkající se lhářské věty (1) výše. Předpokládejme, že předpokládáme, že (1) není pravda. Poté, s použitím příslušné T-biconditional, bychom mohli revidovat naši hypotézu takto:

Hypotéza:	(1) není pravda.
T-biconditional:	„(1) není pravda“je pravda, pokud (1) není pravda.
Proto:	„(1) není pravda“je pravda.
Známá identita:	(1) = '(1) není pravda'.
Závěr:	(1) je pravda.
Nová revidovaná hypotéza:	(1) je pravda.

Mohli bychom pokračovat v procesu revize tím, že znovu zrevidujeme naši hypotézu takto:

Nová hypotéza:	(1) je pravda.
T-biconditional:	„(1) není pravda“je pravda, pokud (1) není pravda.
Proto:	„(1) není pravda“není pravda.
Známá identita:	(1) = '(1) není pravda'.
Závěr:	(1) není pravda.
Nová nová revidovaná hypotéza:	(1) není pravda.

Jak proces revize pokračuje, přecházíme sem a tam mezi tím, že lhářská věta je pravdivá a nepravdivá.

Příklad 1.1

Stojí za to vidět, jak funguje tento způsob revize v případě několika vět. Pojďme použít revizi na následující tři věty:

(8) je pravda nebo (9) je pravda.	(7)
(7) je pravda.	(8)
(7) není pravda.	(9)

Neformálně bychom mohli uvažovat následovně. Buď (7) je pravda, nebo (7) není pravda. Tedy, buď (8) je pravda, nebo (9) je pravda. Tedy (7) je pravda. Tedy (8) je pravda a (9) není pravda a (7) je stále pravda. Opakujeme-li tento proces znovu, dostaneme znovu (8) je pravda, (9) není pravda a (7) je pravda. Více formálně, zvažovat nějakou počáteční hypotézu, h ₀, o hodnotách pravdy (7), (8) a (9). Buď h ₀ říká, že (7) je pravda, nebo h ₀ říká, že (7) není pravda. V obou případech můžeme k vytvoření naší revidované hypotézy h ₁ použít T-biconditional: pokud h ₀ říká, že (7) je pravda, pak h ₁ říká, že „(7) je pravda“je pravda, tj. Že (8) je pravda; a pokud h ₀říká, že (7) je pravda, pak h ₁ říká, že „(7) není pravda“je pravda, tj. že (9) je pravda. Takže h ₁ říká, že buď (8) je pravda, nebo (9) je pravda. Takže h ₂ říká, že „(8) je pravda nebo (9) je pravda“je pravda. Jinými slovy, h ₂ říká, že (7) je pravda. Takže bez ohledu na to, co hypotéza h ₀ začneme, dvou iterací procesu revize vedou k hypotéze, že (7), je pravda. Podobně tři nebo více iterací procesu revize vedou k hypotéze, že (7) je pravdivá, (8) je pravdivá a (9) je nepravdivá - bez ohledu na naši počáteční hypotézu. V části 3 tento příklad znovu zvážíme ve formálnějším kontextu.

Jedna věc, kterou je třeba poznamenat, je, že v příkladu 1.1 proces revize přináší stabilní hodnoty pravdy pro všechny tři věty. Představa věty stabilní ve všech revizních sekvencích bude pro RTT ústředním pojmem. Revizně-teoretické zacházení je v tomto případě v rozporu s přístupem se třemi hodnotami: u většiny způsobů realizace myšlenky se třemi hodnotami se u všech tří vět (7), (8) a (9) ukázalo, že nejsou ani pravda ani nepravda. ^[3] V tomto případě RTT pravděpodobně lépe zachycuje správné neformální zdůvodnění než přístup založený na třech hodnotách: RTT přiřazuje větám (7), (8) a (9) pravdivé hodnoty, které jim byly přiřazeny. neformálním zdůvodněním uvedeným na začátku příkladu.

2. Rámování problému

2.1 Pravdivé jazyky

Cílem RTT je podat popis našeho často nestabilního a často paradoxního uvažování o pravdě - účet s dvěma hodnotami, který přiřazuje větám stabilní hodnoty klasické pravdy, když intuitivní uvažování přidělí stabilní hodnoty klasické pravdy. Představíme formální sémantiku formálního jazyka: chceme, aby tento jazyk měl jak predikát pravdy, tak zdroje, které odkazují na vlastní věty.

Uvažujme jazyk prvního řádu L, s pojivými &, ∨ a ¬, kvantifikátory ∀ a ∃, rovná se znaménko =, proměnné a některé zásoby jmen, funkční symboly a relační symboly. Řekneme, že L je jazyk pravdy, má-li rozlišovací predikát T a uvozovky 'a', které budou použity k vytvoření uvozovek: pokud A je věta L, pak 'A' je jméno. Nechť odeslané _L = {A: A je věta L}.

2.2 Pozemní modely

Kromě predikátu pravdy budeme předpokládat, že náš jazyk je interpretován zcela klasicky. Takže budeme reprezentovat T BEZ fragment pravda jazyka L o pozemní modelu, tj klasický výklad T BEZ fragmentu L. U T BEZ fragmentu L, máme na mysli prvního řádu jazyk L ^-, který má stejné názvy, funkční symboly a vztah symboly jako L, kromě unární predikát T. Protože L ^- má stejná jména jako L, včetně stejných názvů nabídek, bude mít L ^- citátový název „A“pro každou větu A z L. Tedy ∀ x T x není věta L ^-, ale '∀ x T x 'je jméno L ^- a ∀ x (x =' ∀ x T x ') je věta L ^-. Vzhledem k tomu, terénní modelace, budeme uvažovat o vyhlídky na poskytnutí splňující interpretaci T. Nejviditelnější desideratum je to, že základní model, rozšířený o interpretaci T, uspokojuje Tarskiho T-biconditionals, tj. Biconditionals formy

T  'A' iff A

Pro každou A ∈ odeslané _L. Abychom věci zpřesnili, nechte pozemní model pro L klasickým modelem M = <D, I> pro zlomek L bez T, splňujícím následující:

1. D je neprázdná doména diskursu;

2. I je funkce přiřazení

   1. ke každému jménu L člen D;
   2. ke každému n-funkčnímu symbolu L funkce od ^Dn do D; a
   3. pro každý n -ární vztahový symbol, jiný než T, funkce L od ^Dn k jedné ze dvou pravdivých hodnot v množině { t, f }; ^[4]
3. Odesláno _L ∈ D; a
4. I ('A') = A pro každou A ∈ Odeslané _L.

Klauzule (1) a (2) jednoduše určit, jaké je pro M být klasický model T BEZ fragmentu L. Ustanovení (3) a (4) zajišťují, aby L při výkladu mohla mluvit o svých vlastních větách. Vzhledem k pozemnímu modelu M pro L a jménu, funkčnímu symbolu nebo vztahovému symbolu X můžeme uvažovat o I (X) jako o interpretaci, nebo si půjčit termín od Gupty a Belnapu, označení X. Gupta a Belnap charakterizují výraz výrazu nebo konceptu ve světě w jako „abstraktní něco, co nese všechny informace o všech extenzivních vztazích [nebo konceptu] výrazu w.“Pokud chceme interpretovat T x jako „x je pravda“, pak bychom při základním modelu M chtěli najít odpovídající označení nebo vhodný rozsah označení pro T.

2.3 Paradox lháře (opět)

Mohli bychom zkusit přiřadit T klasického významu tím, že rozšiřuje M ke klasickému modelu M ‚= <D‘, I '> pro všechny L, včetně T. Připomeňme, že chceme, aby M 'uspokojil T-biconditionals: nejzřetelnější myšlenkou je pochopit' iff 'jako standardní pravdu podmíněnou biconditional. Bohužel ne každý pozemní model M = <D, I> lze rozšířit na takový M '. Uvažujme pravý jazyk L se jménem λ a základní model M = <D, I> tak, že I (λ) = ¬ T λ. A předpokládejme, že M 'je klasická expanze M na všechny L. Protože M 'je expanze M, já a já se shodneme na všech jménech L. Tak

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I '(' ¬ T λ').

Věty T λ a T  '¬ T λ' mají tedy v M 'stejnou hodnotu pravdy. Takže T-biconditional

T  '¬ T λ' ≡ ¬ T λ

je nepravdivý v M '. Toto je formalizace lhářského paradoxu s větou ¬ T λ jako urážkou lhářovy věty.

V sémantice pro jazyky schopné vyjádřit své vlastní pojetí pravdy, T obecně nebude mít klasický význam; a 'iff' v T-biconditionals nebude číst jako klasické biconditional. Tyto návrhy přijímáme v části 4 níže.

3. Základní pojmy RTT

3.1 Revizní pravidla

V Části 1 jsme neformálně načrtli ústřední myšlenku RTT, konkrétně, že můžeme použít T-biconditionals k vygenerování revizního pravidla - pravidlo pro revizi hypotézy o rozšíření predikátu pravdy. Zde budeme formalizovat tuto představu a projdeme příklad z části 1.

Obecně platí, že L je jazyk pravdy a M je základní model pro L. Hypotéza je funkce h: D → { t, f }. Hypotéza bude ve skutečnosti být předpokládaný klasický výklad pro T. Pojďme pracovat s příkladem, který zachycuje jak lhářský paradox, tak příklad 1.1 ze sekce 1. Příklad uvedeme formálně, ale důvodem poloformálním způsobem, k přechodu z jednoho předpokládaného rozšíření T na druhý.

Příklad 3.1

Předpokládejme, že L obsahuje čtyři jména non-cenovou nabídku, a, p, y a? A žádné jiné než predikáty T. Předpokládejme také, že M = <D, I> je následující:

D	=	Odesláno L
I (α)	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	T a
I (γ)	=	¬ T α
I (λ)	=	¬ T λ

Bude vhodné to nechat

A	být věta	T β ∨ T γ
B	být věta	T a
C	být věta	¬ T α
X	být věta	¬ T λ

Tím pádem:

D	=	Odesláno L
I (α)	=	A
I (β)	=	B
I (γ)	=	C
I (λ)	=	X

Předpokládejme, že hypotéza h ₀ předpokládá, že A je nepravdivý, B je pravdivý, C je nepravdivý a X je pravdivý. Tím pádem

h 0 (A)	=	F
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	F
h 0 (X)	=	F

Nyní se budeme zabývat poloformálním zdůvodněním, na základě hypotézy h ₀. Ze čtyř vět, A, B, C a X, h ₀ klade pouze B v prodloužení T. Proto, z h ₀, jsme k tomu dospěli

¬ T α	protože referent a není v prodloužení T
T p	protože referent β je v prodloužení T
¬ T γ	protože referent γ není v prodloužení T
¬ T λ	protože referent lambda není v prodloužení T.

T-dvoustranná podmínka pro čtyři věty A, B, C a X je následující:

(T A)	A je pravda, pokud T β ∨ T γ
(T B)	B je pravda, pokud T α
(T C)	C je pravda, pokud ¬ T α
(T X)	X je pravda, pokud ¬ T λ

Proto, z h ₀, jsme k tomu dospěli

A je pravda

B není pravda

C je pravda

X je pravda

Toto vytváří naši novou hypotézu h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	F
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Podívejme se znovu na naši hypotézu. Teď se budeme zabývat poloformálním zdůvodněním, na základě hypotézy h ₁. Hypotéza h ₁ klade A, C a X, ale ne B, v prodloužení T. Proto, z h ₁, jsme k tomu dospěli

T a	protože referent a je v rozšíření T
¬ T β	protože referent β je v prodloužení T
T y	protože referent γ není v prodloužení T
T λ	protože referent λ není v prodloužení T

Připomeňme dvoumístnou podmínku T pro čtyři věty A, B, C a X, uvedené výše. Důvodem h ₁ a těchto T-biconditionalů jsme došli k závěru

A je pravda

B je pravda

C není pravda

X není pravda

To vytváří naši novou novou hypotézu h ₂:

h 2 (A)	=	t
h 2 (B)	=	t
h 2 (C)	=	F
h 2 (X)	=	F

□

Formalizujme poloformální uvažování provedené v příkladu 3.1. Nejprve jsme předpokládali, že některé věty byly, nebo nebyly v prodloužení T. Zvažte běžnou teorii klasického modelu. Předpokládejme, že náš jazyk má predikát G a jméno a a že máme model M = <D, I>, který umístí referenta uvnitř do rozšíření G:

I (G) (I (a)) = t

Pak klasicky docházíme k závěru, že věta Ga je v M. Bude užitečné mít nějakou notaci pro hodnotu klasické pravdy věty S v klasickém modelu M. Napíšeme Val _M (S). V tomto případě Val _M (Ga) = t. V příkladu 3.1 jsme nezačali klasickým modelem celého jazyka L, ale pouze klasickým modelem fragmentu L bez T. Ale pak jsme přidali hypotézu, abychom získali klasický model všech L. Pojďme použít notaci M + h pro klasický model všech L, které získáte, když prodloužíte M přidělením T rozšíření pomocí hypotézy h. Po přiřazení rozšíření predikátu T, můžete vypočítat pravdivé hodnoty různých vět L. To znamená, že pro každou větu S z L můžeme vypočítat

Val _{M + h} (S)

V příkladu 3.1 jsme začali hypotézou h ₀ takto:

h 0 (A)	=	F
h 0 (B)	=	t
h 0 (C)	=	F
h 0 (X)	=	F

Pak jsme vypočítali takto:

Val M + h 0 (T α)	=	F
Val M + h 0 (T β)	=	t
Val M + h 0 (T γ)	=	F
Val M + h 0 (T λ)	=	F

A pak jsme dospěli k následujícímu:

Val M + h 0 (A)	=	Val M + H 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B)	=	Val M + H 0 (¬ T α) = f
Val M + h 0 (C)	=	Val M + h 0 (T a) = t
Val M + h 0 (X)	=	Val M + h 0 (¬ T λ) = t

Tyto závěry generovaly naši novou hypotézu, h ₁:

h 1 (A)	=	t
h 1 (B)	=	F
h 1 (C)	=	t
h 1 (X)	=	t

Všimněte si, že obecně

h ₁ (S) = Val _{M + h 0 (S).}

Nyní jsme připraveni definovat pravidlo revize dané základním modelem M = <D, I>. Obecně platí, že vzhledem k tomu, hypotéza h, ať M + H = <D, I '> je model L, který souhlasí s M na T BEZ fragmentu L, a která je taková, že I' (T) = h. Takže M + h je jen klasický model pro všechny L. Pro jakýkoli model M + h všech L a větu A, pokud L, nechť Val _{M + h} (A) je obyčejná hodnota klasické pravdy A v M + h.

Definice 3.2

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základním modelem pro L. Pravidlo revize, τ _M, je funkce mapující hypotézy do hypotéz takto:

τ M (h) (d)

=

{

t, pokud d ∈ D je věta L a Val M + h (d) = t f, jinak

Klauzule „jinak“říká, že pokud d není věta L, pak se po jedné aplikaci revize držíme hypotézy, že d není pravda. ^[5] Všimněte si, že v příkladu 3.1, h ₁ = τ _M (H ₀) a h ₂ = τ _M (H ₁). Často upustíme odběru 'M', když kontext objasní, o který základní model se jedná.

3.2 Revizní sekvence

Podívejme se na příklad 3.1 a uvidíme, co se stane, když opakujeme aplikaci pravidla revize.

Příklad 3.3 (příklad 3.2 pokračování)

Připomeňme, že L obsahuje čtyři jména non-cenovou nabídku, a, p, y a? A žádné jiné než predikáty T. Také si pamatujte, že M = <D, I> je následující:

D	=	Odesláno L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T a
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	X	=	¬ T λ

Následující tabulka ukazuje, co se stane s opakovanými aplikacemi revizního pravidla τ _M na hypotézu h ₀ z příkladu 3.1. V této tabulce budeme psát τ místo τ _M:

S	h 0 (S)	τ (h 0) (S)	τ 2 (h 0) (S)	τ 3 (h 0) (S)	τ 4 (h 0) (S)	…
A	F	t	t	t	t	…
B	t	F	t	t	t	…
C	F	t	F	F	F	…
X	F	t	F	t	F	…

Takže h ₀ generuje revizní posloupnost (viz definice 3.7 níže). A a B jsou stabilně pravdivé v této revizní posloupnosti (viz definice 3.6 níže), zatímco C je stabilně nepravdivé. Lhářská věta X není překvapivě stabilní ani nepravdivá: lhářská věta je nestabilní. Podobný výpočet by ukázal, že A je stabilně pravda, bez ohledu na počáteční hypotézu: tedy A je kategoricky pravda (viz definice 3.8).

Než uvedeme přesnou definici revizní posloupnosti, uvedeme příklad, kde bychom chtěli provést revizní proces za konečnými fázemi, h, τ ¹ (h), τ ² (h), τ ³ (h) atd. na.

Příklad 3.4

Předpokládejme, že L obsahuje nonquote jména alfa ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, a unární Predikáty G a T. Nyní specifikujeme pozemní model M = <D, I>, kde jméno a ₀ odkazuje na nějakou tautologii a kde

název a ₁ označuje větu T α ₀

název a ₂ označuje větu T a ₁

název a ₃ označuje větu T a ₂

Více formálně, nechť A ₀ je věta T α ₀ ∨ ¬ T α ₀, a pro každé n ≥ 0 nechť A _{n +1} je věta T α _n. Tak ₁ je věta T alfa ₀, a A ₂ je věta T alfa ₁, a A ₃ je věta T α ₂, a tak dále. Náš pozemní model M = <D, I> je následující:

D	=	Odesláno L
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n pro n

To znamená, že rozšíření G je následující soubor vět: {a ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = {(T α ₀ ∨ ¬ T α ₀), T alfa ₀, T ₁, T a ₂, T a ₃,…}. Nakonec nechť B je věta ∀ x (Gx ⊃ T x). Nechť h je jakákoli hypotéza, pro kterou máme, pro každé přirozené číslo n,

h (A _n) = h (B) = f.

Následující tabulka uvádí, co se stane s opakovanými aplikacemi revizního pravidla τ _M na hypotézu h. V této tabulce budeme psát τ místo τ _M:

S	h (S)	t (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	τ 4 (h) (S)	…
0	F	t	t	t	t	…
A 1	F	F	t	t	t	…
A 2	F	F	F	t	t	…
A 3	F	F	F	F	t	…
A 4	F	F	F	F	F	…
B	F	F	F	F	F	…

V 0 ^-tého stupně, každý A _n je mimo hypotetické prodloužení T. Ale z n ^th stupeň dále, A, _n je v hypotetické prodloužení T. Takže pro každé n je věta A _n trvale hypoteticky považována za pravdivou. Navzdory tomu, že není žádný konečný stupeň, při kterém všechny A _n ‚y se hypotéza, že platí: v důsledku toho je věta B = ∀ x (Gx ⊃ T x) zůstává falešný v každé konečné fázi. To navrhuje rozšířit postup následovně:

S	h (S)	τ (h) (S)	τ 2 (h) (S)	τ 3 (h) (S)	…	ω	ω + 1	ω + 2	…
0	F	t	t	t	…	t	t	t	…
A 1	F	F	t	t	…	t	t	t	…
A 2	F	F	F	t	…	t	t	t	…
A 3	F	F	F	F	…	t	t	t	…
A 4	F	F	F	F	…	t	t	t	…
B	F	F	F	F	…	F	t	t	…

Pokud tedy dovolíme, aby proces revize pokračoval i po konečných fázích, pak věta B = ∀ x Gx ⊃ T x) platí od fáze ω + ^1. dále stabilně. □

V příkladu 3.4 je intuitivním verdiktem, že nejen by měl každý A _n obdržet stabilní pravdivostní hodnotu t, ale měl by také věta B = ∀ x (Gx ⊃ T x). Jediným způsobem, jak to zajistit, je provést proces revize po konečných fázích. Takže se budeme zabývat revizí sekvence, které jsou velmi dlouho: nejen že sekvence revize mají ^tého fázi pro každého konečného počtu n, ale n ^-té fázi pro každého pořadovým číslem n. (Následující odstavec má pomoci čtenáři neznámému s pořadovými čísly.)

Jeden způsob, jak myslet na pořadová čísla, je následující. Začněte konečnými přirozenými čísly:

0, 1, 2, 3,…

Přidejte číslo ω, větší než všechny z nich, ale ne bezprostředního nástupce žádné z nich:

0, 1, 2, 3,…, co

A pak vezměte nástupce ω, jeho nástupce atd.:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Pak přidejte číslo ω + ω nebo ω × 2, větší než všechny z nich (a znovu, ne bezprostřední nástupce žádné), a začněte znovu a opakujte tento proces znovu a znovu:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2)) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

Na konci toho přidáme pořadové číslo ω × ω nebo ω ²:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω ², ω ² +1,…

Pořadová čísla mají následující strukturu: každé pořadové číslo má okamžitého nástupce známého jako pořadové číslo nástupce; a pro každou nekonečně vzestupnou posloupnost pořadových čísel existuje limitní pořadové číslo, které je větší než všechny členy sekvence a které není bezprostředním nástupcem kteréhokoli člena sekvence. Tak jsou následující nástupce řadové: 5, 178, ω + 12, (ω x 5) 56, w ² +8; a následující jsou limitní ordinály: ω, ω × 2, ω ², (ω ² + ω) atd. Vzhledem k limitnímu ordinálu η je posloupnost S objektů η-dlouhá posloupnost, pokud existuje objekt S _δ pro každý ordinální δ <η. Třídu ordinálů označíme jako On. Jakákoli sekvence S objektů je celo posloupností, pokud existuje objekt S _δ pro každý ordinální δ.

Při posuzování, zda věta dostává stabilní hodnotu pravdy, RTT zvažuje posloupnosti hypotéz délky On. Předpokládejme tedy, že S je On-dlouhá posloupnost hypotéz, a nechť ζ a η přesahují ordinály. Je zřejmé, že aby S reprezentovat proces revize, potřebujeme £ + 1 ^st hypotézy, které mají být generovány z £ ^th hypotézu pravidlem revize. Trváme tedy na tom, že S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ). Ale co bychom měli dělat ve fázi omezení? To je, jak bychom měli nastavit S _η (δ), když η je limit ordinal? Je zřejmé, že jakýkoli objekt, který je až do této fáze stabilně pravdivý [false], by měl být v této fázi pravdivý [false]. Zvažte tedy příklad 3.2. Věta A ₂Například, je pravda, až na omega ^-té fázi; takže jsme si stanovili A ₂ být pravdivý na omega ^th stupni. Pro objekty, které se až do této fáze nestabilizují, přijímají Gupta a Belnap 1993 liberální politiku: pokud konstruujeme revizní posloupnost S, pokud se hodnota objektu d ∈ D nestabilizovala do doby, kdy se dostanete do limitní fáze η, pak můžete nastavit S _η (δ) na libovolnou z t nebo f, která se vám líbí. Než uvedeme přesnou definici posloupnosti revizí, pokračujeme v příkladu 3.3, abychom viděli aplikaci této myšlenky.

Příklad 3.5 (příklad 3.3 pokračování)

Připomeňme, že L obsahuje čtyři jména non-cenovou nabídku, a, p, y a? A žádné jiné než predikáty T. Také si pamatujte, že M = <D, I> je následující:

D	=	Odesláno L
I (α)	=	A	=	T β ∨ T γ
I (β)	=	B	=	T a
I (γ)	=	C	=	¬ T α
I (λ)	=	X	=	¬ T λ

Následující tabulka ukazuje, co se stane s opakovanými aplikacemi revizního pravidla τ _M na hypotézu h ₀ z příkladu 3.1. Pro každé ordinální η označíme ^ηth hypotézu pomocí S _η (potlačení indexu M na τ). Tak S ₀ = h ₀, S ₁ = τ (H ₀), S ₂ = τ ² (H ₀), S ₃ = τ ³ (H ₀), a S _ω je ω ^th hypotéza, je určena nějakým způsobem z hypotéz, které k tomu vedly. Takže počínaje h ₀ z příkladu 3.3 začíná naše posloupnost revizí následovně:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…
A	F	t	t	t	t	…
B	t	F	t	t	t	…
C	F	t	F	F	F	…
X	F	t	F	t	F	…

Co se stane na omega ^th stupni? A a B jsou stabilně platí až do W ^th fázi, a C je stabilně falešný až do Q ^tého stupně. Takže na omega ^-té fázi, musíme mít následující:

S	S 0 (S)	S 1 (S)	S 2 (S)	S 3 (S)	S 4 (S)	…	S ω (S)
A	F	t	t	t	t	…	t
B	t	F	t	t	t	…	t
C	F	t	F	F	F	…	F
X	F	t	F	t	F	…	?

Vstup pro S _ω (X) však může být t nebo f. Jinými slovy, počáteční hypotéza h ₀ generuje alespoň dvě revizní sekvence. Každá revizní sekvence S, která má jako počáteční hypotézu h ₀, musí mít S _ω (A) = t, S _ω (B) = t a S _ω (C) = f. Existuje však nějaká revizní posloupnost S, s h ₀ jako její počáteční hypotéza as S _ω (X) = t; a existuje nějaká revizní sekvence S ', s h ₀ jako její počáteční hypotéza, as S _ω'(X) = f. □

Nyní jsme připraveni definovat pojem revizní sekvence:

Definice 3.6

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Předpokládejme, že S je On-dlouhá posloupnost hypotéz. Pak říkáme, že d ∈ D je stabilně t [ f] v S iff pro nějaké ordinální 9, které máme

S _ζ (d) = t [ f], pro každé ordinální ζ ≥ θ.

Předpokládejme, že S je η-dlouhá posloupnost hypotéz pro nějakou limitní ordinální η. Pak říkáme, že d ∈ D je stabilně t [ f] v S iff pro nějakou ordinální θ <η máme

S _ζ (d) = t [ f], pro každé ordinální ζ takové, že ζ ≥ θ a ζ <η.

Pokud S je On-long posloupnost hypotéz a η je limit ordinal, pak S | _η je počáteční segment S až do η, ale nezahrnuje η. Všimněte si, že S | _η je η-dlouhá posloupnost hypotéz.

Definice 3.7

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Předpokládejme, že S je On-dlouhá posloupnost hypotéz. S je revizní sekvence pro M iff

• S _{ζ + 1} = τ _M (S _ζ), pro každé ζ ∈ zapnuto a
• pro každý limit ordinál η a každý d ∈ D, je-li d stabilně t [ f] v S | _η, poté S _η (d) = t [ f].

Definice 3.8

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Říkáme, že věta A je kategoricky pravdivá [false] v M iff A je stabilně t [ f] v každé revizní posloupnosti pro M. Říkáme, že A je kategoriální v M iff A je buď kategoricky pravdivý, nebo kategoricky nepravdivý v M.

Nyní tyto příklady ilustrujeme na příkladu. Příklad bude také ilustrovat nový koncept, který bude definován později.

Příklad 3.9

Předpokládejme, že L je pravda jazyk obsahující nonquote jména p, α ₀, α ₁, α ₂, α ₃, …, a unární Predikáty G a T. Nechť B je věta

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Nechť A ₀ je věta ∃ x (Gx & ¬ T x). A pro každé n ≥ 0, nechť A _{n +1} je věta T α _n. Zvažte následující pozemní model M = <D, I>

D	=	Odesláno L
I (β)	=	B
I (α n)	=	A n
I (G) (A) = t	iff	A = A n pro n

To znamená, že rozšíření G je následující soubor vět: {a ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …} = { T alfa ₀, T alfa ₁, T alfa ₂, T alfa ₃, …}. Nechť h je jakákoli hypotéza, pro kterou máme, h (B) = f a pro každé přirozené číslo n,

h (A _n) = f.

A nechť S je revizní sekvence, jejíž počáteční hypotéza je h, tj. S ₀ = h. V následující tabulce jsou uvedeny některé z hodnot S _y (C), v případě trestu C ∈ {B, A ₀, A ₁, A ₂, A ₃, …}. V horním řádku označujeme pouze pořadové číslo představující fázi procesu revize.

0

1

2

3

…

ω

ω + 1

ω + 2

ω + 3

…

ω × 2

(ω × 2) +1

(ω × 2) +2

…

B

F

F

F

F

…

F

t

t

t

…

t

t

t

…

0

F

t

t

t

…

t

F

t

t

…

t

F

t

…

A 1

F

F

t

t

…

t

t

F

t

…

t

t

F

…

A 2

F

F

F

t

…

t

t

t

F

…

t

t

t

…

A 3

F

F

F

F

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

A 4

F

F

F

F

…

t

t

t

t

…

t

t

t

…

Stojí za to kontrastovat chování věty B a věty A ₀. Z omega + 1 ^st fázi o, B je stabilizuje je pravda. Ve skutečnosti je B stabilně v každé revizní posloupnosti pro M. Tedy B je kategoricky pravdivý v M. Věta A ₀ se však nikdy zcela nestabilizuje: obvykle je pravda, ale v několika konečných fázích mezního řádu může být věta A ₀ nepravdivá. Za těchto okolností říkáme, že A ₀ je téměř stabilně pravdivá (viz definice 3.10 níže). Ve skutečnosti je A ₀ téměř stabilně pravdivá v každé revizní posloupnosti pro M. □

Příklad 3.9 ilustruje nejen pojem stability v revizní posloupnosti, ale také přibližnou stabilitu, kterou nyní definujeme:

Definice 3.10.

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Předpokládejme, že S je On-dlouhá posloupnost hypotéz. Pak říkáme, že d ∈ D je téměř stabilně t [ f] v S iff pro nějakou ordinální 9, kterou máme

pro každé ζ ≥ θ je přirozené číslo n takové, že pro každé m ≥ n, S _{ζ + m} (d) = t [ f].

Gupta a Belnap 1993 charakterizují rozdíl mezi stabilitou a blízkou stabilitou následovně: „Zjednodušující stabilita vyžaduje, aby se prvek [v našem případě věta] usadil na hodnotě x [v našem případě na pravdu] po několika počátečních výkyvech až do [an ordinální η]… Naproti tomu blízká stabilita umožňuje kolísání i po η, ale tyto fluktuace musí být omezeny na konečné regiony hned za limitními ordinály “(str. 169). Gupta a Belnap 1993 zavádějí dvě teorie pravdy, T ^* a T ^#, založené na stabilitě a téměř stabilitě. Věty 3.12 a 3.13 níže ilustrují výhodu systému T ^#, tj. Systému založeného na téměř stabilitě.

Definice 3.11

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Říkáme, že věta A platí v M pomocí T ^* iff A platí stabilně v každé revizní posloupnosti. A říkáme, že věta A platí v M pomocí T ^# iff A je téměř stabilně pravdivá v každé revizní posloupnosti.

Věta 3.12

Předpokládejme, že L je jazyk pravdy a že M = <D, I> je základní model. Pak pro každou větu A z L platí v M jako T ^{# následující}:

T '¬ A' ≡ ¬ T 'A'.

Věta 3.13

Existuje jazyk pravdy L a základní model M = <D, I> a věta A z L tak, že v M není T ^{* následující}:

T  '¬ A' ≡ ¬ T  'A'.

Gupta a Belnap 1993, oddíl 6C, upozorňují na podobné výhody T ^# oproti T ^*. Například T ^# ano, ale T ^* ne, ověřuje následující sémantické principy:

T  'A & B' ≡ T  'A' & T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta a Belnap zůstat neutrální o tom, které z T ^# a T ^* (a další alternativa, že definují, T ^c) je výhodnější.

4. Interpretace formalismu

Hlavními formálními pojmy RTT je pojem revizního pravidla (definice 3.2), tj. Pravidla pro revizi hypotéz; a posloupnost revizí (definice 3.7), posloupnost hypotéz vygenerovaných v souladu s příslušným pravidlem revize. Pomocí těchto pojmů můžeme při základním modelu určit, kdy je věta stabilní nebo téměř stabilní, pravdivá nebo nepravdivá v konkrétní revizní posloupnosti. Mohli bychom tedy definovat dvě teorie pravdy, T ^* a T ^#, založené na stabilitě a téměř stabilitě. Konečná myšlenka je, že každá z těchto teorií vydává verdikt o tom, které věty jazyka jsou kategoricky prosaditelné, vzhledem k základnímu modelu.

Všimněte si, že bychom mohli použít teoreticko-revizní pojmy k tomu, abychom rozlišovali mezi větami: Některé věty jsou nestabilní v každé revizní posloupnosti; jiní jsou stabilní v každé revizní posloupnosti, i když v některých jsou stabilně pravdiví a v jiných stabilní a tak dále. Můžeme tedy použít revizně-teoretické myšlenky k tomu, abychom poskytli podrobnou analýzu stavu různých vět a vzájemných vztahů různých vět.

Připomeňte si návrh učiněný na konci oddílu 2:

V sémantice pro jazyky schopné vyjádřit své vlastní pojetí pravdy, T obecně nebude mít klasický význam; a 'iff' v T-biconditionals nebude číst jako klasické biconditional.

Gupta a Belnap tyto návrhy vyplňují následujícím způsobem.

4.1 Označení T

Za prvé, nasvědčují tomu, že Význam T, neboť zemní modelu M, je pravidlo revize τ _M sám. Jak již bylo uvedeno v předchozím odstavci, lze dát analýzu jemnozrnný statusů a vzájemných věty na základě představ generovaných přímo a přirozeně z pravidla revize ▼ se _M. Tudíž τ _M je dobrým kandidátem na označení T, protože se zdá být „abstraktem něco, co nese všechny informace o všech [ T] rozšiřujících vztazích“v M. (Viz Gupta a Belnap charakterizace výrazu výraz, uvedený v oddílu 2 výše.)

4.2 „Iff“v T-biconditionals

Gupta a Belnap související návrh týkající se „iff“v T-biconditionals je, že spíše než klasický biconditional, tento „iff“je rozlišovací biconditional použitý k definování dříve nedefinovaného pojmu. V roce 1993 Gupta a Belnap představují revizní teorii pravdy jako zvláštní případ revizní teorie kruhově definovaných konceptů. Předpokládejme, že L je jazyk s unárním predikátem F a binárním predikátem R. Zvažte nový koncept vyjádřený predikátem G zavedený pomocí definice, jako je tato:

Gx = _df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

Předpokládejme, že začneme doménou diskurzu, D a interpretací predikátu F a vztahového symbolu R. Gupta a Belnapova revizně-teoretická úprava pojmů takto zavedených kruhově umožňuje člověku vydat kategorické výroky, pro určité d ∈ D o tom, zda d vyhovuje G nebo ne. Ostatní objekty budou nestabilní vzhledem k G: budeme schopni kategoricky tvrdit, že ani d nesplňuje G, ani že d nesplňuje G. V případě pravdy si Gupta a Belnap vezmou sadu T-biconditionals této formy

T  'A' = df A

(10)

společně definovat pojem pravdy. Pravidlo revize τ _M určuje jejich zacházení s „= _df “(„iff“zavedení definičního pojmu) společně s dvoustrannými tvary T (10).

4.3 Paradoxní zdůvodnění

Připomeňme lhářskou větu (1) od začátku tohoto článku:

(1) není pravda

(1)

V části 1 jsme tvrdili, že RTT je navržen tak, aby spíše modeloval, než blokoval, druh paradoxního zdůvodnění týkající se (1). V poznámce pod čarou 2 jsme však poznamenali, že RTT se v těchto situacích vyhýbá rozporům. Existují dva způsoby, jak to vidět. Zaprvé, zatímco RTT podporuje biconditional

(1) je pravda, pokud (1) není pravda,

relevantní „iff“není materiálem biconditional, jak je vysvětleno výše. Z toho tedy nevyplývá, že oba (1) jsou pravdivé a (1) nejsou pravdivé. Za druhé si povšimněte, že na žádné hypotéze nelze dojít k závěru, že oba (1) jsou pravdivé a (1) nejsou pravdivé. Budeme-li mít pevně na paměti, že revize-teoretické uvažování je spíše hypotetické než kategorické, nevyvodíme žádné rozpory z existence věty, jako je (1), výše.

4.4 Diplomová práce

Gupta a Belnapovy návrhy, týkající se označení T a interpretace „iff“v T-biconditionals, pěkně ladí se dvěma úzce souvisejícími intuicemi vyjádřenými v Gupta & Belnap 1993. První intuice, volně vyjádřená, je „že T - podmínky jsou analytické a opravují význam „true““(str. 6). Přesněji řečeno, stává se „Signifikační prací“(str. 31): „T-biconditionals opravují signifikaci pravdy v každém světě [kde je svět reprezentován pozemním modelem].“^[6] Vzhledem k tomu, že revize-teoretické úprava definice "Iff, a vzhledem k tomu pozemní model M, T-biconditionals (10) se, jak již bylo uvedeno, opravit navrhované Význam T, tj pravidlo revize ▼ se _M.

4.5 Vedení sémantiky

Druhou intuicí je dohled nad významem pravdy. Toto je potomek M. Kremera z roku 1988 navržený dohled nad sémantikou. Myšlenka je jednoduchá: které věty spadají pod pojem pravda by měla být stanovena (1) interpretací nesemantického slovníku a (2) empirickými fakty. V nekruhových případech je tato intuice obzvláště silná: standardní interpretace „sněhu“a „bílého“a empirický fakt, že sníh je bílý, stačí k určení, že věta „sníh je bílý“spadá pod pojem pravdy. Dozor nad pravdivostí je teze, že označení pravdy, ať už je cokoli, je fixováno pozemním modelem M. Je zřejmé, že RTT tento princip splňuje.

Stojí za to vidět, jak by teorie pravdy mohla tento princip porušit. Zvažte větu pravdy, tj. Větu, která sama o sobě říká, že je to pravda:

(11) je pravda

(11)

Jak je uvedeno výše, Kripkeho tříhodnotová sémantika umožňuje tři pravdivé hodnoty, pravdivé (t), nepravdivé (f) a ani (n). Daný základní model M = <D, I> pro jazyk pravdy L, kandidátské interpretace T jsou interpretace ve třech hodnotách, tj. Funkce h: D → {  t, f, n  }. Vzhledem k tříhodnotové interpretaci T a schématu pro vyhodnocení pravdivé hodnoty složených vět z hlediska jejich částí můžeme určit pravou hodnotu Val _{M + h} (A) = t, f nebo n, za každou větu A z L. Centrální teorém ze tří-oceňují sémantiky je, že vzhledem k tomu jakýkoliv důvod modelu M, tam je tři-cenil interpretace h T tak, že pro každou větu A, máme Val _{M + h} (T  ‚A‘) = Val _{M + h} (A). ^[7] Takový výklad T označíme jako přijatelný. Naším bodem je toto: pokud existuje pravdy, jako v (11), pak neexistuje pouze jedna přijatelná interpretace T; existují tři: jeden podle kterého (11) je pravdivý, jeden podle kterého (11) je nepravdivý, a jeden podle kterého (11) není ani jeden. Neexistuje tedy jediná „správná“interpretace Tvzhledem k pozemnímu modelu M. Zdá se tedy, že tříhodnotová sémantika porušuje dohled nad sémantikou. ^[8]

(11). RTT nepřiděluje pravdu hodnotiteli. Spíše poskytuje analýzu toho, jaké zdůvodnění by se člověk mohl zabývat s ohledem na pravdu: Pokud začneme hypotézou h, podle které (11) je pravda, pak po revizi (11) zůstane pravdivá. A pokud začneme hypotézou h, podle které (11) není pravda, pak po revizi (11) zůstane pravdivá. A to je všechno, s čím nám koncept pravdy zanechává. Vzhledem k tomuto chování (11) nám RTT říká, že (11) není ani kategoricky pravdivé, ani kategoricky nepravdivé, ale je to zcela odlišné od verdiktu, že (11) není ani pravdivé, ani nepravdivé.

4.6 Yaqūbova interpretace formalismu

Zaznamenáváme alternativní interpretaci revizně-teoretického formalismu. Yaqūb 1993 souhlasí s Guptou a Belnapem, že T-biconditionals jsou spíše definiční než materiální biconditionals, a že proto je pojem pravdy kruhový. Yaqūb však tuto kruhovost interpretuje výrazným způsobem. Tvrdí, že

protože podmínky pravdy u některých vět zahrnují odkaz na pravdu podstatným a nezměnitelným způsobem, mohou tyto podmínky získat nebo selhat pouze ve světě, který již zahrnuje rozšíření predikátu pravdy. Proto, aby proces revize určil rozšíření predikátu pravdy, musí být stanoveno počáteční rozšíření predikátu. To hodně vyplývá z kruhovitosti a bivalence. (1993, 40)

Stejně jako Gupta a Belnap, Yaqub předpokládá žádný přednostní rozšíření pro T. A stejně jako Gupta a Belnap vidí revizní posloupnosti rozšíření T, přičemž každá sekvence vytvořená počátečním předpokládaným rozšířením je „schopná pojmout (a diagnostikovat) různé druhy problematických a bezproblémových vět uvažovaných jazyků“(1993)., 41). Na rozdíl od Gupty a Belnapa však z těchto úvah vyvozuje, že „pravda v bivalentním jazyce není supervenient“(1993, 39). Vysvětluje v poznámce pod čarou: aby byla pravda nadřízená, musí být stav pravdy každé věty „zcela určen nesémantickými fakty“. Yaqūb výslovně nepoužívá pojem pojmu. Zdá se však, že Yaqūb se zavázal k tvrzení, že označení T - tj. To, co určuje pravý stav každé věty - je dáno konkrétní revizní sekvencí samotnou. A žádná revizní posloupnost není určována nesémantickými skutečnostmi, tj. Samotným pozemním modelem: revizní posloupnost je určena přinejlepším pozemním modelem a počáteční hypotézou. ^[9]

5. Další otázky

5.1 Tříhodnotová sémantika

V naší diskusi o dohlednosti nad významem pravdy jsme uvedli pouze nejmenší výklad tříhodnotové sémantiky. S ohledem na pravý jazyk L a pozemní model M jsme definovali přijatelnou tříhodnotovou interpretaci T jako interpretaci h: D → {  t, f, n  } tak, že Val _{M + h} (T 'A') = Val _{M + h} (A) pro každou větu A z L. Obecně platí, že vzhledem k tomu, pozemní modelu M, existuje mnoho přijatelné interpretace T. Předpokládejme, že každá z nich je skutečně přijatelnou interpretací. Pak sémantika s třemi hodnotami porušuje dohled nad významem T.

Předpokládejme, na druhé straně, aby se u každého pozemní modelu M, lze izolovat výsadní přijatelný výklad jako správnou interpretaci T. Gupta a Belnap předkládají řadu úvah proti sémantice s třemi hodnotami, tak koncipované. (Viz Gupta a Belnap 1993, kapitola 3.) Jedním z hlavních argumentů je, že centrální věta, tj. Že pro každý základní model existuje přijatelná interpretace, platí pouze tehdy, když je základní jazyk výslovně ochuzen určitými způsoby: například přístup se třemi hodnotami selže, pokud má jazyk spojovací ~ s následující tabulkou pravdy:

A	~ A
t	F
F	t
n	t

Jediný operátor negace, který dokáže zpracovat přístup založený na třech hodnotách, má následující tabulku pravdy:

A	¬ A
t	F
F	t
n	t

Ale zvažte lháře, který o sobě říká, že to není „pravda“, v tomto druhém smyslu „ne“. Gupta a Belnap naléhají na tvrzení, že tato věta „přestává být intuitivně paradoxní“(1993, 100). Prohlašovaná výhoda RTT je jeho schopnost popsat chování skutečně paradoxních vět: skutečný lhář je nestabilní při sémantickém hodnocení: „Bez ohledu na to, co předpokládáme, že jeho hodnota je, sémantické hodnocení naši hypotézu vyvrací.“Tříhodnotová sémantika dokáže zvládnout pouze „slabého lháře“, tj. Věty, která se jen slabě neguje, ale není zaručeno, že to bude paradoxní: „Zde se objevují lháři, ale klamou.“

5.2 Změny RTT

Zaznamenali jsme tři způsoby, jak změnit RTT. Nejprve bychom mohli omezit, které hypotézy jsou přijatelné. Například, Gupta a Belnap 1993 zavést teorii, T ^c, o pravdě na základě konzistentních hypotézy: hypotéza h odpovídá právě když množiny {A: h (A) = t } je kompletní konzistentní sadu vět. Relativní přínos T ^*, T ^# a T ^c jsou diskutovány v Gupta a Belnap 1993, kapitola 6.

Zadruhé bychom mohli přijmout restriktivnější omezení politiky, než přijímají Gupta a Belnap. Připomeňme na otázku položenou v oddíle 3: Jak bychom měli nastavit S _η (d), když η je limitní pořadové číslo? Dali jsme částečnou odpověď: jakýkoli objekt, který je až do této fáze stabilně pravdivý [nepravdivý], by měl být v této fázi pravdivý [nepravdivý]. Také jsme poznamenali, že pro objekt d ∈ D, který se nestabilizuje až do stupně η, nám Gupta a Belnap 1993 umožňují nastavit S _η (d) jako t nebo f. V podobném kontextu Herzberger 1982a a 1982b přiřadí hodnotu f nestabilním objektům. A Gupta původně navrhoval, v Gupta 1982, že nestabilní prvky obdrží jakoukoli hodnotu, kterou obdržely při počáteční hypotéze S ₀.

Tyto první dva způsoby změny RTT oba ve skutečnosti omezují pojem revizní sekvence tím, že omezují, které z našich revizních sekvencí se skutečně počítají jako přijatelné revizní sekvence. Omezení jsou v jistém smyslu lokální: první omezení je dosaženo stanovením omezení, na nichž lze použít hypotézy, a druhého omezení je dosaženo omezením toho, co se děje na limitních pořadech. Třetí možností by bylo vytvořit více globálních omezení, u nichž se předpokládané revizní sekvence považují za přijatelné. Yaqūb 1993 ve skutečnosti navrhuje mezní pravidlo, podle kterého přijatelné rozsudky o nestabilních větách v určité mezní fázi η závisí na rozsudcích vydaných v jiných mezních stádiích. Yaqūb tvrdí, že tato omezení nám umožňují vyhnout se určitým „artefaktům“. Předpokládejme například, že pozemní model M = <D, I>má dva nezávislé lháře tím, že má dvě jména a a β, kde I (α) = ¬ T a I (P) = ¬ T β. Yaqūb tvrdí, že je pouhým „artefaktem“revizní sémantiky, naivně prezentovanou, že existují revizní sekvence, ve kterých věta ¬ T α ≡ ¬ T β je stabilně pravdivá, protože dva lháři jsou nezávislí. Jeho globální omezení jsou vyvíjena tak, aby takové sekvence vylučovala. (Viz Chapuis 1996 pro další diskusi.)

5.3 Teorie revizí pro kruhově definované koncepty

Jak je uvedeno v naší diskusi, v oddíle 4 „iff“v T-biconditionals, Gupta a Belnap představují RTT jako zvláštní případ revizní teorie kruhově definovaných konceptů. Abychom znovu zvážili příklad z oddílu 4. Předpokládejme, že L je jazyk s unárním predikátem F a binárním predikátem R. Zvažte nový koncept vyjádřený predikátem G, zavedený definicí D, takto:

Gx = _df A (x, G)

kde A (x, G) je vzorec

∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∨ ∃ y (Ryx & Gx).

V této souvislosti je pozemním modelem klasický model M = <D, I> jazyka L: začneme doménou diskursu, D a interpretací predikátu F a relačního symbolu R. Chtěli bychom rozšířit M na interpretaci jazyka L + G. V této souvislosti bude tedy hypotéza považována za hypotetické rozšíření nově zavedeného konceptu G. Formálně je hypotéza jednoduše funkcí h: D → { t, f }. Vzhledem k hypotéze h považujeme M + h za klasický model M + h = <D, I '>, kde I' interpretuje F a R stejným způsobem jako já a kde I '(G) = h. Vzhledem k předpokládané interpretaci h G vytvoříme novou interpretaci G takto: a objekt d ∈ D je v novém rozšíření G jen v případě, že definiční vzorec A (x, G) platí pro d v modelu M + h. Formálně používáme pozemní model M a definici D pro definici pravidla revize, δ _{D, M}, mapování hypotéz na hypotézy, tj. Hypotetické interpretace G na hypotetické interpretace G. Zejména pro jakýkoli vzorec B s jednou volnou proměnnou x a d ∈ D můžeme standardním způsobem definovat pravou hodnotu Val _{M + h, d} (B). Pak,

5 _{D, M} (h) (d) = Val _{M + h, d} (A)

Vzhledem k tomu, pravidlo revize δ _{D, M}, lze zobecnit pojem sekvence revize, který je nyní posloupnost hypotetických rozšíření G spíše než T. Můžeme zobecnit představu, že věta B je stabilně pravdivá, téměř stabilně pravdivá atd., Vzhledem k revizní posloupnosti. Gupta a Belnap zavádějí systémy S ^* a S ^#, analogické k T ^* a T ^#, takto: ^[10]

Definice 5.1.

• Věta B platí pro definici D v přízemí modelu M v systému S ^* (zápis M ⊨ _{*, D} B) iff B je stabilně platí vzhledem ke každé revizi sekvence pro pravidla revizní delta _{D, M}.
• Věta B platí pro definici D v přízemí modelu M v systému S ^# (zápis M ⊨ _{#, D} B) právě tehdy, když B je téměř stabilně platí ve vztahu ke každé revizi sekvence pro pravidla revizní delta _{D, M}.
• Věta B platí pro definici D v systému S ^* (notace ⊨ _{*, D} B) iff pro všechny klasické pozemní modely M, máme M ⊨ _{*, D} B.
• Věta B platí pro definici D v systému S ^# (notace ⊨ _{#, D} B) iff pro všechny klasické pozemní modely M, máme M ⊨ _{#, D} B.

Jednou z otevřených otázek Gupty a Belnapu je, zda existuje pro tyto systémy úplný počet: to znamená, zda je pro každou definici D rekurzivně axiomatizovatelná jedna z následujících dvou vět: {B: ⊨ _{*, D} B} a {B: ⊨ _{#, D} B}. Kremer 1993 dokazuje, že odpověď zní ne: ukazuje, že existuje definice D taková, že každá z těchto soustav vět má složitost alespoň Π ¹ ₂, čímž stanoví dolní hranici složitosti S ^* a S ^#. (Antonelli 1994b a 2002 ukazují, že se jedná také o horní hranici.)

Kremerův důkaz využívá důvěrného vztahu mezi kruhovými definicemi, které jsou chápány jako revize - teoreticky a kruhovými definicemi, které jsou chápány jako induktivní definice: teorie induktivních definic byla po nějakou dobu zcela dobře pochopena. Kremer zejména prokazuje, že každý induktivně definovaný koncept může být definován revizí - teoreticky. Expresivní síla a další aspekty revizně-teoretického zpracování kruhových definic jsou tématem velmi zajímavé práce: viz Welch 2001, Löwe 2001, Löwe a Welch 2001 a Kühnberger et al. 2005.

5.5 Aplikace

Vzhledem k obecnému revizi Gupty a Belnapu - teoretického řešení kruhových definic - jejichž ošetřování pravdy je zvláštní případ - by se dalo očekávat, že revizně-teoretické myšlenky budou aplikovány na jiné koncepty. Antonelli 1994a aplikuje tyto myšlenky na nespravedlivě založené množiny: nespravedlivý soubor X lze považovat za kruhový, protože pro některé X ₀, …, X _n máme X ∈ X ₀ ∈… ∈ X _n ∈ X. A Chapuis 2003 aplikuje teoretické myšlenky revize na racionální rozhodování.

5.5 Otevřená otázka

Uzavřeme otevřenou otázku o T ^* a T ^#. Vzpomeňte si na definici 3.11, která definuje, kdy věta A jazyka L platí v základním modelu M pomocí T ^* nebo T ^#. Řekneme, že A platí T ^* [alternativně T ^#] iff A platí v pozemním modelu M T ^* [alternativně T ^#] pro každý pozemní model M. Naše otevřená otázka zní: Jaká je složitost množiny vět platných v T ^* [ T ^#]?

Bibliografie

• Antonelli, GA, 1994, „Složitost revize“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35: 204–218.
• Antonelli, GA, 1994, „Neodůvodněné množiny na základě revizních pravidel“, Journal of Philosophical Logic, 23: 633–679.
• Antonelli, GA, 2002, „Složitost revize, revidováno“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 43: 75–78.
• Belnap, N., 1982, „Guptovo pravidlo teorie revize pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 11: 103–116.
• Chapuis, A., 1996, „Alternativní revizní teorie pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 25: 399–423.
• Chapuis, A., 2003, „Aplikace kruhových definic: racionální rozhodnutí“, v Löwe, Malzkorn a Räsch (eds.), Základy formálních věd II: Aplikace matematické logiky ve filosofii a lingvistice, Dordrecht: Kluwer, 47–54.
• Gupta, A., 1982, „Pravda a paradox“, Journal of Philosophical Logic, 11: 1-60.
• Gupta, A., a Belnap, N., 1993, Revizní teorie pravdy, Cambridge, MA: MIT Press.
• Hammer, E., 2003, „Revizní teorie pravdy“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání jaro 2003), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
• Herzberger, HG, 1982, „Poznámky k naivní sémantice“, Journal of Philosophical Logic, 11: 61–102.
• Herzberger, HG, 1982, „Naivní sémantika a lhářský paradox“, Journal of Philosophy, 79: 479–497.
• Kremer, M., 1988, „Kripke a logika pravdy“, Journal of Philosophical Logic, 17: 225–78.
• Kremer, P., 1993, „Systémy Gupta-Belnap S ^# a S ^* nejsou axiomatizovatelné“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, S., 1975, „Nástin teorie pravdy“, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• Kühnberger, K., Löwe, B., Möllerfeld, M. a Welch, P., 2005, „Porovnání induktivních a kruhových definic: parametry, složitost a hry“, Studia Logica, 81: 79–98.
• Löwe, B., 2001 „Revizní sekvence a počítače s nekonečným množstvím času“, Journal of Logic and Computation, 11: 25–40.
• Löwe, B., a Welch, P., 2001, „Set-teoretická absolutnost a revizní teorie pravdy“, Studia Logica, 68/1: 21–41.
• Martin, R., a Woodruff, P., 1975, „O zastupování„ True-in-L “v L“, Philosophia, 5: 217–221.
• Welch, P., 2001, „O revizních teoriích Gupta-Belnap o pravdě, Kripkeanových pevných bodech a další stabilní sadě“, Bulletin for Symbolic Logic, 7: 345–360.
• Yaqūb, A., 1993, Lhář hovoří pravdu: Obrana revizní teorie pravdy, Oxford: Oxford University Press.

Další internetové zdroje