Odůvodnění Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Toto je soubor v archivech Stanfordské encyklopedie filozofie. Informace o autorovi a citaci Přátelé PDF Náhled | InPho Search | PhilPapers Bibliography

Odůvodnění Logika

První publikované St 22. června 2011; věcná revize St 20. července 2011

Můžete říci: „Vím, že Abraham Lincoln byl vysoký muž. „Na druhou stranu se můžete zeptat, jak víte. Téměř určitě byste neodpověděli sémanticky, ve stylu Hintikka, že Abraham Lincoln byl vysoký ve všech situacích kompatibilních s vašimi znalostmi. Místo toho byste spíše řekli: „Četl jsem o výšce Abrahama Lincolna v několika knihách a viděl jsem jeho fotografie vedle ostatních lidí. „Jeden osvědčuje znalosti uvedením důvodu, ospravedlnění. Sémantika Hintikky zachycuje znalosti jako pravou víru. Logika odůvodnění poskytuje chybějící třetí složku Platovy charakterizace znalostí jako oprávněné skutečné víry.

• 1. Proč Odůvodnění Logika?

  • 1.1 Epistemická tradice
  • 1.2 Tradice matematické logiky

• 2. Základní složky logiky odůvodnění

  • 2.1 Logika jazyka odůvodnění
  • 2.2 Základní odůvodnění Logika J ₀
  • 2.3 Logické povědomí a konstantní specifikace
  • 2.4 Faktivita
  • 2.5 Pozitivní inspekce
  • 2.6 Negativní inspekce

• 3. Sémantika

  • 3.1 Možný svět s jediným agentem Odůvodnění Modely pro J
  • 3.2 Slabá a silná úplnost
  • 3.3 Rodina s jedním agentem
  • 3.4 Modely s jediným světem Odůvodnění
• 4. Realizační věty

• 5. Zobecnění

  • 5.1 Míchání výslovných a implicitních znalostí
  • 5.2 Modely možných světových agentů s více agenty
• 6. Russellův příklad: indukovaná faktivita
• 7. Vlastní referenčnost ospravedlnění
• 8. Kvantifikátory v Odůvodnění Logika
• 9. Historické poznámky
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Související záznamy
• Další internetové zdroje

1. Proč Odůvodnění Logika?

Odůvodnění logika je epistemická logika, která umožňuje „rozvinout“znalostní a vírové modality v termínech ospravedlnění: namísto □ X píše t: X a čte jako „X je odůvodněno důvodem t“. Jeden by mohl považovat tradiční modální operátory za implicitní modality a termíny ospravedlnění jako své explicitní výklady, které doplňují modální logiku jemnějšími epistemickými stroji. Rodina ospravedlnitelných termínů má strukturu a operace. Výběr operací vede k odlišné logice ospravedlnění. U všech běžných epistemických logik lze jejich modality zcela rozvinout do formy explicitního ospravedlnění. V tomto ohledu Odůvodnění Logika odhaluje a používá výslovný, ale skrytý obsah tradiční epistemické modální logiky.

Odůvodnění logika vznikla v rámci úspěšného projektu, který poskytl konstruktivní sémantiku pro intuicionální logicko-logické zdůvodnění abstrakce všech, ale nejzákladnějších rysů matematických důkazů. Důkazy jsou zdůvodněním možná v jejich nejčistší formě. Následně byla do formální epistemologie zavedena logika ospravedlnění. Tento článek představuje obecný rozsah logiky ospravedlnění, jak je v současné době chápán. Diskutuje o jejich vztazích s konvenční modální logikou. Kromě technického aparátu tento článek zkoumá, jak použití explicitních ospravedlňovacích výrazů vrhá světlo na řadu tradičních filozofických problémů. Subjekt jako celek je stále v aktivním vývoji. To, co je zde prezentováno, je snímek z doby psaní.

Kořeny logiky ospravedlnění lze vysledovat zpět k mnoha různým zdrojům, z nichž dva jsou podrobně rozebrány: epistemologie a matematická logika.

1.1 Epistemická tradice

Vlastnosti znalostí a víry byly předmětem formální logiky přinejmenším od Wrighta a Hintikky (Hintikka 1962, von Wright 1951). Znalosti i víra jsou považovány za modality způsobem, který je nyní velmi známý - Epistemická logika. Ale Platónova tři kritéria pro znalosti, oprávněná, pravdivá, víra (Gettier 1963, Hendricks 2005), epistemická logika skutečně funguje pouze se dvěma z nich. Možné světy a nerozeznatelnost modelu víra - člověk věří tomu, co je za všech okolností považováno za možné. Faktivita přináší do hry pravdivost - pokud něco není tak ve skutečném světě, nemůže být známo, pouze uvěřeno. Neexistuje však žádná reprezentace pro podmínku ospravedlnění. Nicméně,modální přístup byl pozoruhodně úspěšný v tom, že umožňoval vývoj bohaté matematické teorie a aplikací (Fagin, Halpern, Moses a Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek a Kooi 2007). Přesto to není celý obrázek.

Modální přístup k logice poznání je v jistém smyslu postaven na univerzálním kvantifikátoru: X je znám v situaci, pokud je X ve všech situacích nerozeznatelných od této. Na druhé straně zarovnání zdůvodňuje existenciální kvantifikátor: X je v situaci známo, pokud v této situaci existuje X. Tato univerzální / existenciální dichotomie je pro logiky známá - ve formální logice existuje důkaz pro vzorec X, a to pouze tehdy, je-li X ve všech modelech logiky pravdivý. Jeden si myslí, že modely jsou ze své podstaty nekonstruktivní, a důkazy jako konstruktivní věci. Člověk nebude pokazit obecně myšlení o ospravedlněních, stejně jako matematické důkazy. První logika ospravedlnění byla výslovně navržena tak, aby zachytávala matematické důkazy v aritmetice,něco, o čem se budeme dále zabývat v oddíle 1.2.

V Odůvodnění Logika existuje vedle kategorie vzorců druhá kategorie odůvodnění. Zarovnání jsou formální termíny vytvořené z konstant a proměnných pomocí různých operačních symbolů. Konstanty představují ospravedlnění běžně přijímaných pravd - obvykle axiomů. Proměnné označují nespecifikovaná odůvodnění. Různé logiky ospravedlnění se liší podle toho, které operace jsou povoleny (a také jinými způsoby). Jestliže t je ospravedlňující termín a X je vzorec, t: X je vzorec a je určen ke čtení:

t je zdůvodnění X.

Jedna operace, společná pro všechny logiky ospravedlnění, je aplikace, psaná jako násobení. Myšlenka je, pokud s je zdůvodnění pro A → B a t je zdůvodnění pro A, pak [s ⋅ t] je odůvodněním pro B ^[1]. To znamená, že obecně platí následující:

(1)	s:(A → B) → (t: A → [s ⋅ t]: B).

Toto je explicitní verze obvyklé distributivity znalostních operátorů a modálních operátorů obecně, a to s implikací:

(2)	□ (A → B) → (□ A → □ B).

Ve skutečnosti je vzorec (2) za mnoha problémy logické vševědoucnosti. Tvrdí, že agent ví, že vše, co vyplývá z jeho znalostních znalostí, je uzavřeno v důsledku. I když je v zásadě znatelná, znatelnost, uzavřena následkem, totéž nelze říci pro žádnou věrohodnou verzi skutečných znalostí. Rozdíl mezi (1) a (2) lze využít v diskusi o paradigmatickém příkladu červené stodoly Goldmana a Kripka; Zde je zjednodušená verze příběhu převzatého z (Dretske 2005).

Předpokládejme, že projíždím čtvrtí, ve které, bez mého vědomí, jsou roztroušeny stodoly papíru-mâché a vidím, že přede mnou je stodola. Protože mám vnímání stodoly přede mnou, věřím, že objekt přede mnou je stodola. Naše intuice naznačují, že stodolu neznám. Ale teď předpokládejme, že okolí nemá žádné falešné červené stodoly, a také si všimnu, že objekt přede mnou je červený, takže vím, že je tam červená stodola. Tato juxtapozice, která je červenou stodolou, o které vím, znamená, že existuje stodola, kterou nemám, „je rozpaky“.

V první formalizaci příkladu Červené stodoly bude logická derivace provedena v základní modální logice, ve které je □ interpretována jako „víra“modality. Potom budou některé výskyty □ podle popisu problému externě interpretovány jako „znalosti“. Nechť B je věta „předmět přede mnou je stodola“, a nechť R je věta „předmět přede mnou je červený“.

1. □ B, „věřím, že přede mnou je stodola“;
2. □ (B ∧ R), „Věřím, že přede mnou je červená stodola“.

Na metalevelu je 2 vlastně znalost, zatímco podle popisu problému 1 není znalost.

□ (B ∧ R → B), znalostní znalost logického axiomu

V rámci této formalizace se zdá, že epistemické uzavření v jeho modální podobě (2) je porušeno: řádek 2, □ (B ∧ R) a řádek 3, □ (B ∧ R → B) jsou případy poznání, zatímco □ B (řádek) 1) není znalost. Zdá se, že zde tento modální jazyk nepomáhá vyřešit tento problém.

Dále zvažte příklad Red Barn v Odůvodnění Logika, kde t: F je interpretováno jako „ Věřím F z důvodu t“. Nechť u je konkrétní individuální ospravedlnění pro víru, že B, a v, pro přesvědčení, že B ∧ R. Kromě toho ať je ospravedlněním logické pravdy B ∧ R → B. Pak je seznam předpokladů následující:

1. u: B, 'u je důvod se domnívat, že objekt přede mnou je stodola'
2. v:(B ∧ R), „v je důvod se domnívat, že objekt přede mnou je červená stodola“;
3. a:(B ∧ R → B).

Na metalevelu popis problému uvádí, že 2 a 3 jsou případy poznání, nikoli pouze víry, zatímco 1 je víra, která není znalostmi. Takto funguje formální zdůvodnění:

1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), v zásadě (1);
2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, od 3 a 4, pomocí výrokové logiky;
3. [a ⋅ v]: B od 2 do 5 pomocí výrokové logiky.

Všimněte si, že závěr 6 je [a ⋅ v]: B, a ne u: B; drží epistemické uzavření. Na základě logiky odůvodnění bylo vyvodeno, že [a ⋅ v]: B je případ znalostí, tj. „Já vím B z důvodu a ⋅ v“. Skutečnost, že u: B není případem znalostí, nezkazí zásadu uzavření, protože posledně jmenovaný požaduje znalosti konkrétně pro [a ⋅ v]: B. Od té doby, co jsem pozoroval červenou fasádu, vím B, ale tato znalost nemá nic společného s 1, což zůstává spíše případem víry než poznání. Logická formalizace logiky reprezentuje situaci spravedlivě.

Zarovnání sledování představuje strukturu příkladu Red Barn Example způsobem, který není zachycen tradičními epistemickými modálními nástroji. Odůvodnění Logické formalizační modely, co se v takovém případě zdá; uzavření znalostí pod logickým působením je zachováno, i když „stodola“není vnímána percepčně. ^[2]

1.2 Tradice matematické logiky

Podle Brouwera, pravda v konstruktivní (intuitionistic) matematice znamená existenci důkazu, srov. (Troelstra a van Dalen 1988). V letech 1931–34 Heyting a Kolmogorov podali neformální popis zamýšlené sémantiky založené na důkazech pro intuicionální logiku (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), která je nyní označována jako sémantika Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK). Podle podmínek BHK je vzorec „pravdivý“, pokud má důkaz. Důkaz složeného prohlášení je dále spojen s důkazy o jeho složkách následujícím způsobem:

• důkaz A ∧ B sestává z dokladu o výroku A a dokladu o výroku B;
• důkaz A ∨ B je předložen předložením dokladu A nebo dokladu B;
• důkaz A → B je konstrukce přeměňující důkazy A na důkazy B;
• klam je ition výrok, který nemá žádný důkaz, ¬ A je zkratka pro A → ⊥.

Kolmogorov výslovně navrhl, že důkazní objekty ve své interpretaci („řešení problémů“) pocházejí z klasické matematiky (Kolmogorov 1932). Skutečně, ze základního hlediska nemá smysl rozumět výše uvedeným „důkazům“jako důkazům v intuicionistickém systému, které by tyto podmínky měly specifikovat.

Základní hodnota sémantiky BHK spočívá v tom, že neformálně, ale jednoznačně, navrhuje zacházet s ospravedlněním, zde matematickými důkazy, jako s objekty s operacemi.

V (Gödel 1933) podnikl Gödel první krok k rozvoji přísné sémantiky založené na důkazech pro intuicionismus. Gödel považoval klasickou modální logiku S4 za počet popisující vlastnosti prokazatelnosti:

• Axiomy a pravidla klasické výrokové logiky;
• □ (F → G) → (□ F → □ G);
• □ F → F;
• □ F → □□ F;
• Pravidlo nutnosti: pokud ⊢ F, pak ⊢ □ F.

Na základě Brouwerova chápání logické pravdy jako prokazatelnosti definoval Gödel překlad tr (F) výrokového vzorce F v intuicionistickém jazyce do jazyka klasické modální logiky: tr (F) se získá předponou každého podformulu F s prokazatelností modalita □. Neformálně vzato, když se na tr (F) použije obvyklý postup určování klasické pravdy vzorce, otestuje se prokazatelnost (nikoli pravda) každého z podformulí F, v souladu s Brouwerovými myšlenkami. Z Gödelových výsledků a McKinsey-Tarski práce na topologické sémantice pro modální logiku vyplývá, že překlad tr (F) zajišťuje správné vložení Intuitionistic Propositional Calculus, IPC, do S4, tj. Vložení intuicionistické logiky do klasické logiky rozšířena provozovatelem prokazatelnosti.

(3)	Pokud IPC prokáže F, potom S4 prokáže tr (F).

Gödelův původní cíl definovat intuicionistickou logiku z hlediska klasické provokativnosti nebyl přesto dosažen, protože nebylo navázáno spojení S4 s obvyklým matematickým pojmem prokazatelnost. Kromě toho Gödel poznamenal, že přímá myšlenka interpretace modality □ F jako F je v daném formálním systému prokazatelná, T je v rozporu s Gödelovou druhou větou o neúplnosti. Ve skutečnosti lze □ (□ F → F) odvodit v S4 pravidlem nezbytnosti z axiomu □ F → F. Na druhé straně interpretace modality □ jako predikátu formální prokazatelnosti v teorii T a F jako rozporu převádí tento vzorec na nepravdivé tvrzení, že konzistence T je interně prokazatelná v T.

Situaci po (Gödel 1933) lze popsat na následujícím obrázku, kde „X ↪ Y“je třeba chápat jako „X je interpretováno v Y“

IPC ↪ S4 ↪? ↪ KLASICKÉ ZDROJE

Na veřejné přednášce ve Vídni v roce 1938 Gödel poznamenal, že pomocí formátu explicitních důkazů:

(4)	t je důkazem F.

může pomoci při interpretaci jeho počtu prokazatelnosti S4 (Gödel 1938). Gödelova práce (Gödel 1938) bohužel zůstala nepublikovaná až do roku 1995, do této doby již byla znovu objevena Gödelianova logika explicitních důkazů a axiomatizována jako Logic of Proofs LP a dodala úplné věty spojující ji s S4 a klasickými důkazy (Artemov) 1995).

Logic of Proofs LP se stal prvním v rodině Odůvodnění Logic. Důkazní termíny v LP nejsou nic jiného než termíny BHK chápané jako klasické důkazy. U LP dostala výroková intuicionistická logika požadovanou přísnou sémantiku BHK:

IPC ↪ S4 ↪ LP ↪ KLASICKÉ PROOFS

Pro další diskusi o tradici matematické logiky viz oddíl 1 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti.

2. Základní složky logiky odůvodnění

V této části je uvedena syntaxe a axiomatika nejběžnějších systémů logiky ospravedlnění.

2.1 Logika jazyka odůvodnění

Aby bylo možné vytvořit formální účet logiky ospravedlnění, je třeba učinit základní strukturální předpoklad: ospravedlnění jsou abstraktní objekty, které mají strukturu a operace s nimi. Dobrým příkladem ospravedlnění jsou formální důkazy, které jsou již dlouho předmětem studia matematické logiky a informatiky (srov. Oddíl 1.2).

Odůvodnění Logika je formální logický rámec, který zahrnuje epistemická tvrzení t: F, což znamená „t je důvodem pro F“. Odůvodnění Logika přímo neanalyzuje, co to znamená pro t, aby ospravedlnila F mimo formát t: F, ale spíše se pokusí charakterizovat tento vztah axiomaticky. Je to podobné tomu, jak booleovská logika zachází se svými spojivy, řekněme, disjunkce: neanalyzuje vzorec p ∨ q, ale spíše předpokládá určité logické axiomy a tabulky pravdy o tomto vzorci.

Existuje několik rozhodnutí o návrhu. Odůvodnění Logika začíná nejjednodušším základem: klasickou logickou logikou a z dobrých důvodů. Zdůvodnění poskytuje dostatečně závažnou výzvu i na nejjednodušší úrovni. Paradigmatické příklady Russella, Goldmana-Kripkeho, Gettiera a dalších, lze řešit pomocí logické logiky Odůvodnění. Jádro epistemické logiky se skládá z modálních systémů s klasickou booleovskou základnou (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 atd.) A každému z nich byla poskytnuta odpovídající Odůvodnění Logická společnice založená na logické logice. A konečně, faktičnost odůvodnění není vždy předpokládána. To umožňuje zachytit podstatu diskusí v epistemologii, které se týkají otázek víry a nikoli znalostí.

Základní operace na zdůvodnění jsou aplikace a součet. Operace aplikace vezme zarovnání s at a vytvoří zarovnání s ⋅ t tak, že pokud s:(F → G) at: F, potom [s ⋅ t]: G. Symbolicky,

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G)

Toto je základní vlastnost ospravedlnění předpokládaných v kombinatorické logice a λ -calculi (Troelstra a Schwichtenberg 1996), Brouwer-Heyting-Kolmogorov sémantika (Troelstra a van Dalen 1988), realizovatelnost Kleene (Kleene 1945), Logic of Proofs LP atd..

Jakákoli dvě odůvodnění mohou být bezpečně spojena do něčeho s širším rozsahem. To se provádí pomocí operace součet '+'. Pokud s: F, pak jakýkoli důkaz t může být, kombinovaný důkaz s + t zůstává důvodem pro F. Přesněji řečeno, operace '+' vezme zarovnání s at a vytvoří s + t, což je ospravedlnění všeho, co je odůvodněno s nebo t.

s: F → [s + t]: F at: F → [s + t]: F

Jako motivaci lze uvažovat o s a t jako o dvou svazcích encyklopedie a s + t jako o sadě těchto dvou svazků. Představte si, že jeden ze svazků, řekněme s, obsahuje dostatečné odůvodnění pro tvrzení F, tj. S: F je tomu tak. Pak větší sada s + t také obsahuje dostatečné zdůvodnění pro F, [s + t]: F. V logice důkazů LP, oddíl 1.2, lze „s + t“vykládat jako zřetězení důkazů s at.

2.2 Základní odůvodnění Logika J ₀

Odůvodnění Termíny jsou vytvořeny z proměnných ospravedlnění x, y, z,… a odůvodňovacích konstant a, b, c,… (s indexy i = 1, 2, 3,…, které jsou vynechány, kdykoli je to bezpečné) pomocí operací “⋅ 'a' + '. Podrobnější logika uvažovaná níže také umožňuje další operace s odůvodněním. Konstanty označují atomová zdůvodnění, která systém neanalyzuje; proměnné označují nespecifikovaná odůvodnění. Základní logika ospravedlnění J ₀ je axiomatizována následujícím.

Klasická logika

Klasické výrokové axiomy a pravidlo Modus Ponens

Aplikace Axiom

s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),

Součet axiomů

s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J ₀ je logika obecných (ne nutně faktických) ospravedlnění absolutně skeptického agenta, pro kterého není žádný vzorec prokazatelně ospravedlnitelný, tj. J ₀ nedochází t: F pro žádné t a F. Takový agent je však schopen vyvodit relativní zdůvodnění závěrů formy

Pokud x: A, y: B,…, z: C drží, pak t: F.

Díky této kapacitě může J ₀ adekvátně napodobovat další systémy logiky Odůvodnění ve svém jazyce.

2.3 Logické povědomí a konstantní specifikace

Zásada logického uvědomění uvádí, že logické axiomy jsou odůvodněné ex officio: agent přijímá logické axiomy jako odůvodněné (včetně těch, které se týkají odůvodnění). Jak již bylo řečeno, logické povědomí může být v některých epistemických situacích příliš silné. Odůvodnění Logika však nabízí flexibilní mechanismus konstantních specifikací, který představuje různé odstíny logického uvědomění.

Jeden samozřejmě rozlišuje mezi předpokladem a oprávněným předpokladem. V Odůvodnění Logické konstanty se používají k reprezentaci zdůvodnění předpokladů v situacích, kdy již nejsou analyzovány. Předpokládejme, že je žádoucí předpokládat, že axioma A je pro znalce oprávněná. Jeden jednoduše postuluje e ₁: A pro nějakou důkazní konstantu e ₁ (s indexem 1). Pokud je dále žádoucí předpokládat, že tento nový princip e ₁: A je také oprávněný, lze postulovat e ₂:(e ₁: A) pro konstantu e ₂(s indexem 2). A tak dále. Sledování indexů není nutné, ale je to snadné a pomáhá při rozhodování (Kuznets 2008). Soubor všech předpokladů tohoto druhu pro danou logiku se nazývá Konstantní specifikace. Zde je formální definice:

Constant Specifikace CS pro daný zdůvodnění logiky L je množina formulí formuláře

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A (n ≥ 1),

kde A je axiom L a e ₁, e ₂,…, e _n jsou podobné konstanty s indexy 1, 2,…, n. Předpokládá se, že CS obsahuje všechny přechodné specifikace, tj. Vždy, když e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A je v CS, pak e _{n −1}:…: e ₁: A je také v CS.

V literatuře je stanoveno několik zvláštních podmínek, které se týkají konstantních specifikací. Nejběžnější jsou následující.

Prázdný

CS = ∅. To odpovídá absolutně skeptickému agentovi. Znamená to práci s logikou J ₀.

Konečný

CS je konečná sada vzorců. Jedná se o plně reprezentativní případ, protože jakékoli konkrétní odvození v Odůvodnění Logika bude zahrnovat pouze konečný soubor konstant.

Axiomaticky vhodné

Každý axiom, včetně těch nově získaných prostřednictvím samotné konstantní specifikace, má zdůvodnění. Ve formálním nastavení je pro každý axiom A konstanta e ₁ taková, že e ₁: A je v CS, a pokud e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, pak e _{n +1}: e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS, pro každé n ≥ 1. Pro zajištění vlastnosti Internalizace jsou nutné axiomaticky vhodné konstantní specifikace, diskutované na konci této části.

Celkový

Pro každý axiom A a všechny konstanty e ₁, e ₂,… e _n,

e _n: e _{n −1}:…: e ₁: A ∈ CS.

Název TCS je vyhrazen pro celkovou konstantní specifikaci (pro danou logiku). Celková konstantní specifikace je samozřejmě axiomaticky vhodná.

Nyní můžeme specifikovat:

Logika ospravedlnění s danou konstantní specifikací:

Nechť CS je konstantní specifikace. J _CS je logika J ₀ + CS; axiomy jsou osy J ₀ spolu se členy CS a jediným pravidlem pro odvozování je Modus Ponens. Všimněte si, že J ₀ je J _∅.

Logika ospravedlnění

J je logika J ₀ + Pravidlo internalizace axiomu. Nové pravidlo uvádí:

Pro každý axiom A a všechny konstanty e ₁, e ₂,…, e _n odvodíme _n: e _{n −1}:…: e ₁: A.

Ten ztělesňuje myšlenku neomezeného Logického uvědomování pro J. Podobné pravidlo se objevilo v Logic of Proofs LP, a také se očekávalo v Goldmanově (Goldman 1967). Logické vědomí, jak je vyjádřeno axiomaticky vhodnými konstantními specifikacemi, je výslovnou inkarnací pravidla nezbytnosti v modální logice: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, ale omezené na axiomy. Všimněte si, že J se shoduje s J _TCS.

Klíčovým rysem systémů Odůvodnění Logika je jejich schopnost internalizovat své vlastní derivace jako prokazatelná tvrzení v rámci svých jazyků. Tato nemovitost byla očekávána v (Gödel 1938).

Věta 1: Pro každou axiomaticky vhodnou konstantní specifikaci CS se J _CS těší Internalizaci:

Pokud ⊢ F, pak ⊢ p: F pro nějaký ospravedlňující termín p.

Důkaz. Indukce na derivační délce. Předpokládejme, ⊢ F. Jestliže F je členem J ₀, nebo člen CS, je konstanta e _n (kde n může být 1) tak, že e _n: F je v CS, od CS je axiomaticky vhodné. Pak e _n: F lze odvodit. Pokud F získá Modus Ponens z X → F a X, pak indukční hypotézou ⊢ s:(X → F) a ⊢ t: X pro některé s, t. Pomocí aplikačního axiomu ⊢ [s ⋅ t]: F.

Příklady konkrétních syntaktických derivací v logice ospravedlnění viz oddíl 2 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti.

2.4 Faktivita

Faktivita uvádí, že pro to, aby agent dospěl k závěru pravdy, stačí odůvodnění. Toto je ztělesněno v následujícím.

Factivity Axiom t: F → F.

Faktivita Axiom má podobnou motivaci jako Pravda Axiom epistemické logiky, □ F → F, která je široce přijímána jako základní vlastnost poznání.

Na rozdíl od principů aplikace a součtu není v základních systémech odůvodnění vyžadována faktičnost odůvodnění, což je činí schopnými reprezentovat jak částečná, tak faktická odůvodnění. Faktivita Axiom se objevila v Logice důkazů LP, Oddíl 1.2, jako hlavní rys matematických důkazů. Ve skutečnosti je v tomto nastavení Faktivita jasně platná: pokud existuje matematický důkaz t F, pak F musí být pravdivý.

Factiom Axiom je přijat pro ospravedlnění, která vedou k poznání. Samotná faktivita však nezaručuje znalosti, jak prokázaly příklady Gettier (Gettier 1963).

Logika aktivních ospravedlnění

• JT ₀ = J ₀ + Factivity;
• JT = J + Factivity.

Systémy JT _CS odpovídající _CS s konstantními specifikacemi jsou definovány jako v oddíle 2.3.

2.5 Pozitivní inspekce

Jedním ze společných principů poznání je identifikace poznání a poznání, které člověk zná. V modálním nastavení to odpovídá □ F → □□ F. Tato zásada má odpovídající výslovný protějšek: skutečnost, že agent přijímá t jako dostatečný důkaz pro F, slouží jako dostatečný důkaz pro t: F. Takové „meta-důkazy“mají často fyzickou podobu: zpráva rozhodčího, která osvědčuje, že důkaz v papíru je správný; výstup počítačového ověření s formálním průkazem t jako vstup; formální důkaz, že t je důkaz F, atd. Pozitivní operace introspekce '!' mohou být za tímto účelem přidány do jazyka; pak se předpokládá, že vzhledem k t, agent vytvoří ospravedlnění! t z t: F takový, že t: F →! t:(t: F). Pozitivní inspekce v této provozní podobě se poprvé objevila v Logic of Proofs LP.

Pozitivní inspekce Axiom: t: F →! t:(t: F).

Poté definujeme:

• J4: = J + pozitivní inspekce;
• LP: = JT + pozitivní inspekce. ^[3]

Logika J4 ₀, J4 _CS, LP ₀ a LP _CS jsou definovány přirozeným způsobem (viz oddíl 2.3). Přímý analog věty 1 platí i pro J4 _CS a LP _CS.

Za přítomnosti axiomu pozitivní inspekce lze omezit rozsah pravidla internalizace axiomu na internalizující axiomy, které nejsou ve tvaru e: A. Takto to bylo provedeno v LP: Axiom Internalization lze poté emulovat pomocí !! e:(! e:(e: A)) namísto e ₃:(e ₂:(e ₁: A)) atd. Pojem Konstantní specifikace lze také odpovídajícím způsobem zjednodušit. Takové modifikace jsou malé a neovlivňují hlavní věty a aplikace Odůvodnění logiky.

2.6 Negativní inspekce

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) považovali operaci negativní inspekce za „?“což ověří, že dané tvrzení o odůvodnění je nepravdivé. Možnou motivací pro zvážení takové operace je, že operace pozitivní introspekce '!' může být považováno za schopné poskytovat přesvědčivé ověřovací úsudky o platnosti tvrzení o zdůvodnění t: F, takže když t není zdůvodněním pro F, takové „!“by měl dojít k závěru, že ¬ t: F. To je obvykle případ počítačových ověřovatelů, ověřovatelů ve formálních teoriích atd. Tato motivace je však nuanční: příklady ověřovatelů a ověřovatelů důkazů pracují s t i F jako vstupy, zatímco formát Pacuit-Rubtsova? t naznačuje, že jediný vstup pro '?' je zdůvodnění t, a výsledek? T má odůvodňovat výroky:F rovnoměrně pro všechny F s, pro které t: F nedrží. Taková operace “?“neexistuje od té doby formální matematické důkazy? t by pak měl být jediným důkazem nekonečně mnoha tvrzení ¬ t: F, což je nemožné.

Negativní Introspekce Axiom ¬ t: F →? t: (¬ t: F)

Definujeme systémy:

• J45 = J4 + negativní inspekce;
• JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
• JT45 = J45 + Factivity

a přirozeně rozšířit tyto definice na J45 _CS, JD45 _CS a JT45 _CS. Přímý analog věty 1 platí pro J45 _CS, JD45 _CS a JT45 _CS.

3. Sémantika

Dnešní standardní sémantika pro logiku ospravedlnění pochází z (Fitting 2005) - použité modely se v literatuře obecně nazývají Fitting modely, ale zde se budou nazývat možné modely ospravedlnění světa. Možné modely světového ospravedlnění jsou sloučením známé možné světové sémantiky pro logiku znalostí a víry, a to díky Hintikce a Kripkeovi, se stroji specifickými pro podmínky ospravedlnění, které představil Mkrtychev v (Mkrtychev 1997), (srov. Oddíl 3.4).

3.1 Možný svět s jediným agentem Odůvodnění Modely pro J

Přesněji řečeno, je třeba definovat sémantiku pro J _CS, kde CS je jakákoli konstantní specifikace. Formálně je možným světovým logickým logickým modelem pro J _CS struktura M = ⟨G, R, E, V⟩. Z toho je ⟨G, R⟩ standardní K rámec, kde G je množina možných světů a R je binární vztah k němu. V je mapování od výrokových proměnných k podmnožinám G, určující atomovou pravdu v možných světech.

Nová položka je E, důkazní funkce, která vznikla v (Mkrtychev 1997). Toto mapuje termíny a vzorce ospravedlnění do sad světů. Intuitivní myšlenka je, že pokud možný svět Γ je v E (t, X), pak t je relevantní nebo přípustný důkaz pro X ve světě Γ. Člověk by neměl považovat relevantní důkazy za přesvědčivé. Spíše o tom uvažujte jako o důkazech, které lze připustit u soudu: toto svědectví, tento dokument je něco, co by porota měla prozkoumat, něco, co je relevantní, ale něco, o jehož statutu určujícím pravdu je ještě třeba uvažovat. Evidenční funkce musí splňovat určité podmínky, ale ty jsou diskutovány o něco později.

Vzhledem k J _CS možnému modelu světového zdůvodnění M = ⟨G, R, E, V⟩, je pravda vzorce X v možném světě Γ označena M, Γ ⊩ X a je vyžadována ke splnění následujících standardních podmínek:

Pro každý Γ ∈ G:

1. M, Γ ⊩ P iff Γ ∈ V (P) pro P výrokový dopis;
2. není to tak, že M, Γ ⊩ ⊥;
3. M, Γ ⊩ X → Y, pokud tomu tak není, M, Γ ⊩ X nebo M, Γ ⊩ Y.

Tito jen říkají, že atomová pravda je specifikována libovolně a výroková spojení se chovají pravdivě funkčně v každém světě. Klíčovou položkou je další.

M, Γ ⊩ (t: X) a pouze tehdy, když Γ ∈ E (t, X) a pro každé Δ ∈ G s Γ R Δ máme toto M, ⊩ X

Tento stav se dělí na dvě části. Klauzule vyžadující, aby M, ⊩ X pro každý Δ ∈ G tak, že ΓR Δ je známá podmínka Hintikka / Kripke pro X, aby věřila, nebo byla uvěřitelná, v Γ. Klauzule požadující, aby Γ ∈ E (t, X) dodává, že t by mělo být relevantním důkazem pro X v Γ. Pak, neformálně, t: X je pravdou v možném světě, pokud je X věrohodný v tomto světě v obvyklém smyslu epistemické logiky, a t je relevantní důkaz pro X v tomto světě.

Je důležité si uvědomit, že v této sémantice člověk nemusí věřit něčemu z nějakého konkrétního důvodu na světě buď proto, že je prostě neuvěřitelný, nebo proto, že je, ale důvod není vhodný.

Na důkazních funkcích musí být stále kladeny určité podmínky a do obrázku musí být také uvedena konstantní specifikace. Předpokládejme, že jeden je uveden jako zarovnání. Lze je kombinovat dvěma různými způsoby: současně použít informace z obou; nebo použít informace pouze od jednoho z nich, ale nejdřív si vyberte. Každá z nich vede k základní operaci za podmínek ospravedlnění ⋅ a +, zavedených axiomaticky v oddíle 2.2.

Předpokládejme, že je relevantní důkaz pro implikaci at je relevantní důkaz pro předchůdce. Pak s a t společně poskytují relevantní důkazy pro následné. Předpokládají se následující podmínky týkající se důkazních funkcí:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

S touto podmínkou byla přidána platnost

s:(X → Y) → (t: X → [s ⋅ t]: Y)

je zajištěno.

Pokud jsou s a t důkazem, dalo by se říci, že něco je ospravedlněno jedním z s nebo t, aniž by se obtěžovalo určit, které a toto bude stále důkazem. Na důkazní funkce je kladen následující požadavek.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Není divu, že oba

s: X → [s + t]: X

a

t: X → [s + t]: X

teď držte.

Konečně by měla být brána v úvahu Konstantní specifikace CS. Připomeňme, že konstanty mají představovat důvody pro základní předpoklady, které jsou přijaty přímo. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ vyhovuje CS za předpokladu konstantní specifikace: pokud c: X ∈ CS pak E (c, X) = G.

Možný světový model odůvodnění Možným světovým ospravedlovacím modelem pro J _CS je struktura M = ⟨G, R, E, V⟩ splňující všechny výše uvedené podmínky a splňující Konstantní specifikaci CS.

Navzdory jejich podobnostem umožňují možné světové modely ospravedlnění jemnozrnnou analýzu, která u modelů Kripke není možná. Další podrobnosti viz oddíl 3 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti.

3.2 Slabá a silná úplnost

Vzorec X platí v konkrétním modelu pro J _CS, pokud je pravdivý ve všech možných světech modelu. Axiomatika pro J _CS byla uvedena v oddílech 2.2 a 2.3. Věta o úplnosti nyní nabývá očekávané podoby.

Věta 2: Vzorec X lze v J _CS prokázat pouze tehdy, je-li X platný ve všech modelech J _CS.

Věta o úplnosti, jak je právě uvedeno, se někdy označuje jako slabá úplnost. Možná je trochu překvapivé, že pro modální logiku je mnohem snazší dokázat než úplnost K. Komentáře k tomuto bodu následují. Na druhé straně je to velmi obecné, pracuje pro všechny konstantní specifikace.

V (Fitting 2005) byla také představena silnější verze sémantiky. Model M = ⟨G, R, E, V⟩ se nazývá plně vysvětlující, pokud splňuje následující podmínku. Pro každý Γ ∈ G, pokud M, Δ ⊩ X pro všechny Δ ∈ G, takže ΓR Δ, pak M, Γ ⊩ t: X pro nějaký zdůvodňovací člen t. Všimněte si, že podmínka M, Δ ⊩ X pro všechny Δ ∈ G tak, že ΓR Δ, je obvyklou podmínkou toho, že X lze uvěřit v Γ ve smyslu Hintikka / Kripke. Úplně vysvětlující tedy skutečně říká, že je-li vzorec věrohodný v možném světě, má to své opodstatnění.

Ne všechny slabé modely splňují plně vysvětlující stav. Modely, které se nazývají, se nazývají silné modely. Pokud je CS s konstantní specifikací dostatečně bohatá na to, aby věta o internalizaci obsahovala, má člověk úplnost s ohledem na silné modely, které CS splňují. Ve správném smyslu je úplnost s ohledem na silné modely rovnocenná schopnosti dokázat internalizaci.

Důkaz o úplnosti s ohledem na silné modely je velmi podobný důkazu o úplnosti s použitím kanonických modelů pro modální logiku K. Na druhé straně lze silné modely použít jako sémantický důkaz Realizační věty (viz oddíl 4)..

3.3 Rodina s jedním agentem

Doposud byla diskutována možná světová sémantika pro jednu logiku ospravedlnění, pro J, protějšek K. Nyní jsou věci rozšířeny tak, aby zahrnovaly analogie ospravedlnění jiných známých modálních logik.

Jednoduše přidáním reflexivity relace dostupnosti R k podmínkám pro model v Oddíle 3.1 získá člověk platnost t: X → X pro každé t a X a získá sémantiku pro JT, logiku analogie modální logiky T, nejslabší logika poznání. Ve skutečnosti, pokud M, Γ ⊩ t: X, pak zejména X platí v každém stavu přístupném z Γ. Protože se vyžaduje, aby vztah dostupnosti byl reflexivní, M, Γ ⊩ X. Slabé a silné věty o úplnosti jsou prokazatelné pomocí stejného strojního zařízení, jaké se použilo v případě J, a je k dispozici také sémantický důkaz Realizační věty spojující JT a T. Totéž platí pro níže popsanou logiku.

Pro ospravedlňující analog K4 další unární operátor „!“je přidán do termínu jazyk, viz oddíl 2.5. Připomeňme si, že tento operátor mapuje zarovnání na ospravedlnění, kde je myšlenka, že pokud t je zdůvodnění pro X, pak! t by mělo být zdůvodněním t: X. Sémanticky to přidává podmínky k modelu M = ⟨G, R, E, V⟩ následovně.

Za prvé, samozřejmě, R by měl být tranzitivní, ale ne nutně reflexivní. Za druhé, je vyžadována podmínka monotonie na důkazních funkcích:

Pokud ΓR Δ a Γ ∈ E (t, X), pak Δ ∈ E (t, X)

A konečně je potřeba ještě jedna podmínka funkce důkazu.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Tyto podmínky společně znamenají platnost t: X →! t: t: X a vytvoříme sémantiku pro J4, analog ospravedlnění K4, s realistickým teorémem, který je spojuje. Přidání reflexivity vede k logice, která se nazývá LP z historických důvodů.

Lze také přidat negativního operátora introspekce, „?“, Viz oddíl 2.6. Modely logiky zarovnání, které zahrnují tohoto operátora, přidávají tři podmínky. První R je symetrický. Za druhé přidáme podmínku, která se stala známou jako silný důkaz: M, Γ ⊩ t: X pro všechny Γ ∈ E (t, X). Konečně je zde podmínka funkce důkazu:

E (t, X) ⊆ E (? T, ¬ t: X)

Pokud je toto strojní zařízení přidáno k stroji pro J4, dostaneme logiku J45, ospravedlňující protějšek K45. Axiomatická spolehlivost a úplnost lze prokázat. Podobným způsobem lze formulovat související logiku JD45 a JT45.

Realizační věta zohledňující tohoto operátora byla uvedena v (Rubtsova 2006).

3.4 Modely s jediným světem Odůvodnění

Modely ospravedlnění jednotného světa byly vyvinuty značně před všeobecnějšími možnými modely ospravedlnění světa, o nichž diskutujeme, (Mkrtychev 1997). Dnes je lze nejjednodušší představu o možných modelech světového ospravedlnění, které mají jeden svět. Důkaz úplnosti pro J a další logiku ospravedlnění zmíněnou výše lze snadno upravit tak, aby se stanovila úplnost s ohledem na modely ospravedlnění jednotného světa, i když to samozřejmě nebyl původní argument. Co úplnost s ohledem na modely ospravedlnění jednotného světa nám říká, že informace o možné světové struktuře modelů ospravedlnění mohou být zcela kódovány pomocí přípustné funkce důkazu, alespoň pro dosud diskutovanou logiku. Mkrtychev použil modely ospravedlnění jednotného světa, aby stanovil rozhodnutelnost LP,a jiní je zásadně využívali při stanovení mezí složitosti pro logiku ospravedlnění a také pro ukázání výsledků konzervativnosti pro logiku ospravedlnění víry (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Výsledky složitosti byly dále použity k řešení problému logické vševědoucnosti.

4. Realizační věty

Přirozený modální epistemický protějšek tvrzení důkazů t: F je □ F, odečteno pro x, x: F. Toto pozorování vede k představě o zapomenuté projekci, která nahradí každý výskyt t: F □ F, a proto převede Odůvodnění Logická věta S na odpovídající modální logickou větu S ^o. Zapomnětlivá projekce sahá přirozeně od vět k logice.

Je zřejmé, že různé Odůvodnění Logika věty mohou mít stejný zapomnětlivý projekci, tudíž S ^o ztrácí určité informace, které byly obsažené v S. Je však snadno vidět, že zapomenutá projekce mapuje vždy platné vzorce z odůvodnění logiky (např. Axiomy J) na platné vzorce odpovídající epistemické logiky (v tomto případě K). Obráceně platí také: jakýkoli platný vzorec Epistemic Logic je zapomenutým promítáním nějakého platného vzorce odůvodnění Logic. To vyplývá z věty o korespondenci 3.

Věta 3: J ^o = K.

Tato korespondence platí pro další dvojice systémů Zdůvodnění a Epistemie, například J4 a K4 nebo LP a S4, a mnoho dalších. V takové rozšířené podobě Korespondenční věta ukazuje, že hlavní modální logiky, jako jsou K, T, K4, S4, K45, S5 a některé další, mají přesné protějšky z odůvodnění logiky.

Jádrem Korespondenční věty je následující Realizační věta.

Věta 4: Existuje algoritmus, který pro každý modální vzorec F derivovatelný v K přiřazuje důkazy výrazům každému výskytu modality ve F tak, že výsledný vzorec ^Fr lze odvodit v J. Navíc realizace přiřazuje proměnné důkazu k negativním výskytům modálních operátorů v F, což respektuje existenciální čtení epistemické modality.

Známé realizační algoritmy, které obnovují výrazy důkazů v modálních větach, používají v odpovídající modální logice neříznuté derivace. Alternativně může být Realizační věta stanovena sémanticky Fittingovou metodou nebo jejími vhodnými úpravami. V zásadě tyto sémantické argumenty také produkují realizační postupy, které jsou založeny na vyčerpávajícím hledání.

Bylo by chybné vyvodit závěr, že jakákoli modální logika má rozumný protějšek. Například logika formální prokazatelnosti GL (Boolos 1993) obsahuje Löbův princip:

(5)	□ (□ F → F) → □ F,

která zřejmě nemá epistemicky přijatelnou explicitní verzi. Zvažte například případ, kdy F je výroková konstanta ⊥ pro false. Pokud by analog věty 4 pokrýval Löbův princip, existovaly by ospravedlňující termíny s a t, takže x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. To je však pro faktické zdůvodnění intuitivně nepravdivé. Ve skutečnosti je s: ⊥ → ⊥ instancí Axiomu Factivity. Použijte Axiom Internalization pro získání c:(s: ⊥ → ⊥) pro nějakou konstantu c. Tato volba c dělá předchůdce c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitivně pravdivá a závěr nepravdivý ^[4]. Zejména Löbův princip (5) neplatí pro interpretaci důkazů (srov. (Goris 2007), v níž je uveden úplný přehled toho, které zásady GL jsou realizovatelné).

Korespondenční věta dává nový pohled na epistemickou modální logiku. Především poskytuje novou sémantiku pro hlavní modální logiku. Kromě tradičního „univerzálního“čtení □ F, které F drží ve všech možných situacích, existuje nyní přísná „existenciální“sémantika pro □ F, kterou lze číst, protože existuje svědek (důkaz, odůvodnění) pro F.

Odůvodnění Sémantika hraje v Modální logice podobnou roli, jakou hraje realizovatelnost Kleene v Intuitionistic Logic. V obou případech je zamýšlená sémantika existenciální: Brouwer-Heyting-Kolmogorovova interpretace Intuitionistic Logic (Heyting 1934, Troelstra a van Dalen 1988, van Dalen 1986) a Gödelova provizorní četba S4 (Gödel 1933, Gödel 1938). V obou případech je možné, svět sémantika universalcharakter, který je vysoce silným a dominantním technickým nástrojem. Nezabývá se však existenčním charakterem zamýšlené sémantiky. Realizace Kleene realizovatelnosti (Kleene 1945, Troelstra 1998) odhalila výpočetní sémantiku Intuitionistic Logic a Logic of Proofs, aby poskytla přesnou sémantiku BHK důkazů pro Intuitionistic a Modal Logic.

V epistemickém kontextu doplňuje Odůvodnění Logika a Korešpondenční věta novou „ospravedlňující“složku k modální logice poznání a víry. Tato nová složka byla ve skutečnosti opět starým a ústředním pojmem, o kterém široce diskutovali epistemologové hlavního proudu, ale která zůstala mimo rozsah klasické epistemické logiky. Korespondenční věta nám říká, že zdůvodnění jsou kompatibilní se systémy ve stylu Hintikka, a proto lze bezpečně začlenit do základu pro epistemickou modální logiku.

Další informace o Realizačních větách naleznete v části 4 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti.

5. Zobecnění

Doposud byly v tomto článku uvažovány pouze logiky ospravedlnění jednoho agenta, analogické logice znalostí jednoho agenta. Odůvodnění Logiku lze považovat za logiku explicitních znalostí souvisejících s konvenčnější logikou implicitních znalostí. V literatuře bylo zkoumáno několik systémů nad systémy popsané výše, které zahrnují více agentů nebo mají implicitní i explicitní operátory, nebo nějakou jejich kombinaci.

5.1 Míchání výslovných a implicitních znalostí

Protože logika ospravedlnění poskytuje explicitní ospravedlnění, zatímco konvenční logika znalostí poskytuje implicitního operátora znalostí, je přirozené zvážit kombinaci dvou v jediném systému. Nejběžnější společnou logikou explicitních a implicitních znalostí je S4LP (Artemov a Nogina 2005). Jazyk S4LP je jako jazyk LP, ale s přidaným implicitním operátorem znalostí, psaným buď K nebo □. Axiomatika je stejná jako u LP, kombinovaná s axiálností S4 pro implicitního operátora, spolu se spojovacím axiomem t: X → □ X, je možné znát vše, co má explicitní zdůvodnění.

Sémanticky možné světové modely pro zdůvodnění LP nepotřebují žádné úpravy, protože již mají všechny stroje modelů Hintikka / Kripke. Jeden modeluje operátora □ obvyklým způsobem, přičemž využívá pouze vztah přístupnosti, a jeden modeluje podmínky ospravedlnění popsané v části 3.1 pomocí funkce přístupnosti i důkazu. Protože obvyklá podmínka, že □ X je na světě pravdivá, je jednou ze dvou klauzulí podmínky pro t: X je pravdivá, okamžitě se tak získá platnost t: X → □ X, a spolehlivost následuje snadno. Axiomatická úplnost je také poměrně přímá.

V S4LP jsou zastoupeny jak implicitní, tak explicitní znalosti, ale v možném sémantice modelu světového ospravedlnění slouží oběma přístupům jediný přístupový vztah. To není jediný způsob, jak toho dosáhnout. Obecně lze říci, že explicitní vztah přístupnosti znalostí může být správným rozšířením vztahu pro implicitní znalosti. To představuje vizi explicitního poznání, že má přísnější standardy pro to, co se počítá jako známé, než pro implicitní znalosti. Použití odlišných vztahů přístupnosti pro explicitní a implicitní znalosti je nezbytné, když tyto epistemické představy dodržují různé logické zákony, např. S5 pro implicitní znalosti a LP pro explicitní. Případ vícenásobných přístupových vztahů je v literatuře běžně znám jako Artemov-Fitting models, ale zde se bude nazývat možné světové modely s více agenty. (viz oddíl 5.2).

Je zajímavé, že zatímco logika S4LP se zdá docela přirozená, Realizační věta je pro ni problematická: žádná taková věta nemůže být prokázána, pokud někdo trvá na tom, co se nazývá normální realizace (Kuznets 2010). Realizace implicitních modalit znalostí v S4LP explicitním zdůvodněním, která by respektovala epistemickou strukturu, zůstává v této oblasti hlavní výzvou.

Interakce mezi implicitními a explicitními znalostmi mohou být někdy velmi choulostivé. Jako příklad uveďme následující smíšený princip negativní introspekce (opět □ by měl být chápán jako implicitní epistemický operátor),

(6)	¬ t: X → □ ¬ t: X.

Z pohledu prokazatelnosti je to správná forma negativní introspekce. Opravdu, nechť □ F je interpretováno jako F je prokazatelné at: F jako t je důkaz F v dané formální teorii T, např. V Peano Aritmetické PA. Poté (6) stanoví prokazatelný princip. Pokud t není důkazem F, pak, protože toto tvrzení je rozhodnutelné, lze jej ustanovit uvnitř T, proto je v T tato věta prokazatelná. Na druhé straně, důkaz p 't není důkazem F' závisí na t a F, p = p (t, F) a nelze jej spočítat pouze pro t. V tomto ohledu nelze □ nahradit žádným konkrétním důkazním termínem v závislosti pouze na t a (6) nelze prezentovat ve zcela explicitním formátu stylu zarovnání.

První příklady explicitních / implicitních znalostních systémů se objevily v oblasti logiky prokazatelnosti. V (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001) byl zaveden logický LPP, který kombinoval logiku prokazatelnosti GL s logikou důkazů LP, ale aby zajistil, že výsledný systém měl žádoucí logické vlastnosti, některé další operace mimo původní jazyky GL a LP byly přidány. V roce (Nogina 2006, Nogina 2007) byl nabídnut kompletní logický systém GLA pro důkaz a prokazatelnost v součtu původních jazyků GL a LP. Jak LPP, tak GLA mají úplnost vzhledem k třídě aritmetických modelů a také vůči třídě možných modelů světového ospravedlnění.

Dalším příkladem zásady prokazatelnosti, kterou nelze zcela jednoznačně uvést, je Löbův princip (5). Pro každý z LPP a GLA je snadné najít důkazní výraz l (x) takový, že

(7)	x: (□ F → F) → l (x): F

drží. Neexistuje však žádná realizace, díky níž by byly všechny tři □ s (5) explicitní. Ve skutečnosti je soubor realizovatelných principů prokazatelnosti průnikem GL a S4 (Goris 2007).

5.2 Modely možných světových agentů s více agenty

V možných světových modelech pro více agentů se používají vícenásobné přístupové vztahy, které mezi nimi souvisejí (Artemov 2006). Myšlenka je, že existuje více agentů, z nichž každý má implicitního operátora znalostí, a existují zdůvodňující termíny, kterým každý agent rozumí. Každý volně chápe explicitní důvody; tyto částky odpovídají obecným znalostem založeným na důkazech.

N-možným modelem možného světového odůvodnění je struktura ⟨G, R ₁,…, R _n, R, E, V⟩ splňující následující podmínky. G je množina možných světů. Každá ze skupin R ₁, …, R _n je dostupnost vztah, jeden pro každý prostředek. Lze je považovat za reflexní, tranzitivní nebo symetrické podle potřeby. Používají se k modelování implicitních znalostí agentů pro rodinu agentů. Vztah dostupnosti R splňuje podmínky LP, reflexivitu a transitivitu. Používá se při modelování explicitních znalostí. E je důkazní funkce, která splňuje stejné podmínky jako podmínky pro LP v oddíle 3.3. V mapuje výroková písmena do sad světů, jako obvykle. Je uložena zvláštní podmínka: pro každé i = 1,…, n, R _i ⊆ R.

Pokud M = ⟨G, R ₁,…, R _n, R, E, V⟩ je možný multiagentní model světového ospravedlnění, vztah pravdy na světě je definován vztahem M, Γ ⊩ X u většiny z obvyklých ustanovení. Jedná se zejména o tyto:

• M, Γ ⊩ K _i X pouze tehdy, pokud pro každé Δ ∈ G s Γ R _i Δ máme toto M, ⊩ ⊩ X.
• M, Γ ⊩ t: X pouze a pouze tehdy, když Γ ∈ E (t, X) a pro každé Δ ∈ G s Γ R Δ máme toto M, Δ ⊩ X.

Podmínka R _i ⊆ R znamená platnost t: X → K _i X, pro každého agenta i. Pokud existuje pouze jediný agent a vztah dostupnosti pro tento agent je reflexivní a tranzitivní, poskytuje to další sémantiku pro S4LP. Bez ohledu na počet agentů přijímá každý agent výslovné důvody jako důkaz znalostí.

Verze LP se dvěma agenty byla představena a studována v (Yavorskaya (Sidon) 2008), i když ji lze zobecnit na libovolný konečný počet agentů. V tomto má každý agent svou vlastní sadu operátorů, proměnných a konstant ospravedlnění, namísto toho, aby měl pro každého stejný soubor, jak je uvedeno výše. Kromě toho může být povolena určitá omezená komunikace mezi agenty pomocí nového operátora, který jednomu agentovi umožňuje ověřit správnost odůvodnění druhého agenta. Pro logiku dvou agentů byly vytvořeny verze sémantiky jednotného světa i obecnější možné sémantiky světového odůvodnění. To zahrnuje přímé rozšíření pojmu důkazní funkce a možných modelů světového ospravedlnění pomocí dvou přístupových vztahů. Realizační věty byly prokázány syntakticky,ale pravděpodobně by sémantický důkaz také fungoval.

Nedávno došlo k prozkoumání úlohy veřejných oznámení v logice více agentů (Renne 2008, Renne 2009).

V oddíle 5 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti je více o pojmu společné znalosti založené na důkazech.

6. Russellův příklad: indukovaná faktivita

Existuje technika, jak využít logiku Odůvodnění k analýze různých zdůvodnění téže skutečnosti, zejména pokud jsou některá zdůvodnění faktická a jiná nikoli. Chcete-li demonstrovat techniku, zvažte dobře známý příklad:

Pokud člověk věří, že poslední příjmení pozdního předsedy vlády začalo písmenem „B“, věří tomu, co je pravda, protože pozdním předsedou vlády byl sir Henry Campbell Bannerman ^[5]. Pokud však bude věřit, že pan Balfour byl pozdním předsedou vlády ^[6], bude stále věřit, že příjmení posledního předsedy vlády začalo písmenem „B“, přesto by tato víra, i když je pravdivá, nebyla považována za znalost. (Russell 1912)

Stejně jako v příkladu Červené stodoly, diskutovaném v oddíle 1.1, se zde musíme zabývat dvěma ospravedlněními pro pravdivé tvrzení, z nichž jedno je správné a druhé ne. Nechť B je věta (výrokový atom), w je určená proměnná ospravedlnění pro nesprávný důvod pro B a ra označena ospravedlňující proměnná pro pravý (tedy skutečný) důvod pro B. Poté Russellův příklad vyvolá následující sadu předpokladů ^[7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

Trochu v rozporu s intuicí lze logicky odvodit faktivitu w z R:

1. r: B (předpoklad)
2. r: B → B (předpoklad)
3. B (od 1 do 2 od Moduse Ponense)
4. B → (w: B → B) (výroková axiom)
5. w: B → B (od 3 do 4 od Moduse Ponense)

Tato derivace však využívá skutečnost, že r je faktickým důvodem pro B k závěru w: B → B, což představuje případ „indukované faktivity“pro w: B. Otázkou je, jak lze odlišit „skutečnou“faktivitu r: B od „indukované faktivity“w: B? Je zde zapotřebí nějaký druh sledování pravdy a odůvodnění Logika je vhodným nástrojem. Přirozeným přístupem je zvážit soubor předpokladů bez r: B, tj.

S = {w: B, r: B → B}

a zjistíme, že faktivita w, tj. w: B → B není odvozitelná od S. Zde je možný světový model ospravedlnění M = (G, R, E, V), ve kterém S platí, ale w: B → B ne:

• G = { 1 },
• R = ∅,
• V (B) = ∅ (a tedy ne- 1 ⊩ B),
• E (t, F) = { 1 } pro všechny páry (t, F) s výjimkou (r, B) a
• E (r, B) = ∅.

Je snadné vidět, že podmínky uzavření aplikace a součet na E jsou splněny. V 1, w: B platí, tj.

1 ⊩ w: B

protože w je přípustný důkaz pro B na 1 a neexistují žádné možné světy přístupné od 1. Dále,

ne- 1 ⊩ r: B

protože podle E není r přípustným důkazem pro B na 1. Proto:

1 ⊩ r: B → B

Na druhou stranu,

ne- 1 ⊩ w: B → B

protože B nedrží 1.

7. Vlastní referenčnost ospravedlnění

Realizační algoritmy někdy produkují konstantní specifikace, které obsahují tvrzení autoreferenčního zdůvodnění c: A (c), tj. Tvrzení, ve kterých se zdůvodnění (zde c) vyskytuje v tvrzené nabídce (zde A (c)).

Sebepřítomnost ospravedlnění je nový jev, který se v konvenčním modálním jazyce nevyskytuje. Kromě zajímavých epistemických objektů představují taková samoreferenční tvrzení zvláštní význam ze sémantického hlediska kvůli zabudovanému začarovanému kruhu. Pro vyhodnocení c by se dalo očekávat, že nejprve vyhodnotí A a poté přiřadí objekt ospravedlnění pro A až c. To však nelze provést, protože A obsahuje c, které je ještě třeba vyhodnotit. V této oblasti byla hlavní otevřenou otázkou otázka, zda lze modální logiku realizovat bez použití autoreferenčních zdůvodnění.

Hlavním výsledkem Kuznets v (Brežněv a Kuznets 2006) je, že při realizaci S4 v LP je nevyhnutelná samoúčelnost odůvodnění. Aktuální stav věcí je dán následující větou kvůli Kuznets:

Věta 5: Při realizaci modální logiky K a D se lze vyhnout samoúčelnosti při realizaci modálních logik T, K4, D4 a S4.

Tato věta stanoví, že systém ospravedlňovacích podmínek pro S4 bude nutně samoreferenční. To vytváří vážné, i když ne přímo viditelné, omezení sémantiky prokazatelnosti. V Gödelianském kontextu aritmetických důkazů byl problém zvládnut obecnou metodou přiřazování aritmetické sémantiky k self-referenčním tvrzením c: A (c), že c je důkazem A (c). V LP Logic of Proofs to bylo řešeno netriviální konstrukcí s pevným bodem.

Self-referentiality dává zajímavý pohled na Mooreův paradox. Podrobnosti viz oddíl 6 doplňkového dokumentu Některé další technické záležitosti.

8. Kvantifikátory v Odůvodnění Logika

Přestože vyšetřování výroků Odůvodnění Logika zdaleka není dokončeno, sporadické práce probíhaly také u verzí prvního řádu. Kvantifikované verze Modal Logic již nabízejí složitost nad rámec standardní logiky prvního řádu. Kvantifikace má ještě širší pole, pokud se jedná o odůvodnění logiky. Klasicky člověk kvantifikuje „objekty“a modely jsou vybaveny doménou, v níž se kvantifikátory pohybují. Modálně může mít jedna doména společná pro všechny možné světy, nebo jedna může mít samostatné domény pro každý svět. Role Barcanova vzorce je zde dobře známa. Pro logiku Odůvodnění jsou k dispozici jak konstantní, tak proměnlivé možnosti domény. Kromě toho existuje možnost, že pro Modal Logic neexistuje analog: člověk by mohl kvantifikovat samy o sobě ospravedlnění.

Počáteční výsledky týkající se možnosti kvantifikované logiky odůvodnění byly obzvláště nepříznivé. Aritmetická sémantika prokazatelnosti pro Logic of Proofs LP se přirozeně zobecňuje na verzi prvního řádu s konvenčními kvantifikátory a na verzi s kvantifikátory na důkazech. V obou případech byly otázky axiomatizovatelnosti zodpovězeny negativně.

Věta 6: Logika důkazů prvního řádu není rekurzivně vyčíslitelná (Artemov a Yavorskaya (Sidon) 2001). Logika důkazů s kvantifikátory nad důkazy není rekurzivně vyčíslitelná (Yavorsky 2001).

Ačkoli aritmetická sémantika není možná, byla v (Fitting 2008) možná světová sémantika a teorie axiomatických důkazů dána verzi LP s kvantifikátory, které přesahují ospravedlnění. Byla prokázána spolehlivost a úplnost. V tomto bodě se možná světová sémantika odděluje od aritmetické sémantiky, což může nebo nemusí být příčinou poplachu. Bylo také ukázáno, že S4 se vnáší do kvantifikované logiky překládáním □ Z jako „existuje zdůvodnění x takové, že x: Z ^* “, kde Z ^* je překlad Z. I když je tato logika poněkud komplikovaná, našla aplikace, např. V (Dean a Kurokawa 2009b) se používá k analýze Knower Paradox, i když k této analýze byly vzneseny námitky (Arlo-Costa a Kishida 2009).

Rovněž se pracovalo na verzích Odůvodnění Logika s kvantifikátory nad objekty, a to jak s analogem Barcanova vzorce, tak bez něj. Nic z toho nebylo zveřejněno a mělo by být považováno za stále nedokončené.

9. Historické poznámky

Původní systém logiky Odůvodnění, Logika důkazů LP, byl zaveden v roce 1995 v (Artemov 1995) (viz také (Artemov 2001)), kde byly poprvé stanoveny základní vlastnosti jako Internalizace, Realizace, aritmetická úplnost. LP nabídl zamýšlenou sémantiku prokazatelnosti pro Gödelovu prokazatelnou logiku S4, čímž poskytl formalizaci Brouwer-Heyting-Kolmogorovovy sémantiky pro intuicionální výrokovou logiku. Epistemická sémantika a úplnost (Fitting 2005) byly poprvé vytvořeny pro LP. Symbolické modely a rozhodnutelnost pro LP jsou způsobeny Mkrtychevem (Mkrtychev 1997). Odhady složitosti se poprvé objevily v (Brežněv a Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Komplexní přehled všech výsledků rozhodovatelnosti a složitosti naleznete v (Kuznets 2008). Systémy J, J4,a JT byly poprvé zvažovány v (Brežněv 2001) pod různými jmény a v mírně odlišném prostředí. JT45 se objevil samostatně v (Pacuit 2006) a (Rubtsova 2006) a JD45 v (Pacuit 2006). Logika důkazů o jednom závěru byla nalezena v (Krupski 1997). Obecnější přístup ke společným znalostem založený na oprávněných znalostech byl nabídnut v (Artemov 2006). Herní sémantika odůvodnění Logická a dynamická epistemická logika s odůvodněním byla studována v (Renne 2008, Renne 2009). Souvislosti mezi Odůvodnění Logika a problém logické vševědoucnosti byly zkoumány v (Artemov a Kuznets 2009, Wang 2009). Název Odůvodnění Logika byl zaveden v (Artemov 2008), ve kterém byly formalizovány příklady Kripkeho, Russella a Gettiera; tato formalizace byla použita pro řešení paradoxů, ověření,skrytá analýza předpokladů a eliminace propouštění. V (Dean a Kurokawa 2009a) byla logika Odůvodnění Logic použita pro analýzu paradoxů Knower a Knowability.

Bibliografie

• Antonakos, E. (2007). „Odůvodněné a společné znalosti: omezená konzervativnost“, v S. Artemov a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, mezinárodní sympozium, LFCS 2007, New York, NY, USA, 4. – 7. Června 2007, sborníky (Přednášky z informatiky: svazek 4514), Berlín: Springer, s. 1–11.
• Arlo-Costa, H. a K. Kishida (2009). "Tři důkazy a Knower v kvantifikované logice důkazů", ve Formální epistemologické dílně / FEW. Sborník, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA.
• Artemov, S. (1995). „Provozní modální logika“, technická zpráva MSI 95–29, Cornell University.
• –––. (2001). „Explicitní prokazatelnost a konstruktivní sémantika“, Bulletin of Symbolic Logic, 7 (1): 1-36.
• –––. (2006). „Oprávněné společné znalosti“, Teoretická informatika, 357 (1–3): 4–22.
• –––. (2008). „Logika ospravedlnění“, Recenze symbolické logiky, 1 (4): 477–513.
• Artemov, S. a R. Kuznets (2009). „Logická vševěda jako problém výpočetní složitosti“, v A. Heifetz (ed.), Teoretické aspekty racionality a znalostí, sborník z dvanácté konference (TARK 2009), vydavatelé ACM, s. 14–23.
• Artemov, S. a E. Nogina (2005). „Zavádění ospravedlnění do epistemické logiky“, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059–1073.
• Artemov, S. a T. Yavorskaya (Sidon) (2001). „K logice důkazů prvního řádu“, Moscow Mathematical Journal, 1 (4): 475–490.
• Boolos, G. (1993). The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
• Brežněv, V. (2001). „K logice důkazů“, v K. Striegnitz (ed.), Sborník ze 6. studentského zasedání ESSLLI, 13. Evropská letní škola logiky, jazyka a informací (ESSLLI'01), s. 35–46.
• Brežněv, V. a R. Kuznets (2006). „Upřesnění znalostí: jak je to těžké“, Teoretická informatika, 357 (1–3): 23–34.
• Cubitt, RP a R. Sugden (2003). „Obecné znalosti, význam a konvence: Rekonstrukce herní teorie Davida Lewise“, Economics and Philosophy, 19: 175–210.
• Dean, W. a H. Kurokawa (2009a). „Od paradoxu znalostnosti k existenci důkazů“, Synthese, 176 (2): 177–225.
• –––. (2009b). „Znalosti, důkaz a Knower“, v A. Heifetz (ed.), Teoretické aspekty racionality a znalostí, sborník z 12. konference (TARK 2009), ACM Publications, s. 81–90.
• Dretske, F. (2005). "Jsou znalosti uzavřeny při známém povzbuzení?" Případ proti uzavření “, M. Steup a E. Sosa (eds.), Současné debaty v epistemologii, Oxford: Blackwell, s. 13–26.
• Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses a M. Vardi (1995). Zdůvodnění znalostí, Cambridge, MA: MIT Press.
• Fitting, M. (2005). „Logika důkazů, sémanticky“, Annals of Pure and Applied Logic, 132 (1): 1–25.
• –––. (2006). „Náhradní věta o LP “, Technická zpráva TR-2006002, Katedra informatiky, City University v New Yorku.
• –––. (2008). „Kvantifikovaná logika důkazů“, Annals of Pure and Applied Logic, 152 (1–3): 67–83.
• –––. (2009). „Realizace a LP “, Annals of Pure and Applied Logic, 161 (3): 368–387.
• Gettier, E. (1963). "Jsou ospravedlněné věrné znalosti víry?" Analýza, 23: 121–123.
• Girard, J.-Y., P. Taylor a Y. Lafont (1989). Důkazy a typy (Cambridge Tracts in Computer Science: Svazek 7), Cambridge: Cambridge University Press.
• Gödel, K. (1933). "Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls", Ergebnisse Math. Kolloq., 4: 39–40. Anglický překlad v: S. Feferman et al. (eds.), Kurt Gödel Collected Works (svazek 1), Oxford a New York: Oxford University Press a Clarendon Press, 1986, s. 301–303.
• –––. (1938). “Vortrag bei Zilsel / Přednáška na Zilsel's” (* 1938a), v S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons a R. Solovay (eds.), Nepublikované eseje a přednášky (Kurt Gödel Collected Works: Volume III), Oxford: Oxford University Press, 1995, s. 86–113.
• Goldman, A. (1967). „Kauzální teorie významu“, The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
• Goodman, N. (1970). „Teorie konstrukcí je ekvivalentní aritmetice“, v J. Myhill, A. Kino a R. Vesley (eds.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam: North-Holland, str. 101–120.
• Goris, E. (2007). „Explicitní důkazy ve formální logice prokazatelnosti“, S. Artemov a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, mezinárodní sympozium, LFCS 2007, New York, NY, USA, 4. - 7. června 2007, sborníky (ecture Notes in Computer Science: Svazek 4514), Berlín: Springer, s. 241–253.
• Hendricks, V. (2005). Mainstreamová a formální epistemologie, New York: Cambridge University Press.
• Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlín: Springer.
• Hintikka, J. (1962). Znalosti a víra, Ithaca: Cornell University Press.
• Kleene, S. (1945). „K interpretaci intuicionistické teorie čísel“, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
• Kolmogorov, A. (1932). „Zur Deutung der Intuitionistischen Logik“, Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Anglický překlad v VM Tikhomirov (ed.), Vybrané práce AN Kolmogorov. Svazek I: Matematika a mechanika, Dordrecht: Kluwer, 1991, s. 151–158.
• Kreisel, G. (1962). „Základy intuicionistické logiky“, v E. Nagel, P. Suppes a A. Tarski (eds.), Logic, Methodology and Philosophy of Science. Sborník mezinárodního kongresu 1960, Stanford: Stanford University Press, s. 198–210.
• –––. (1965). „Matematická logika“, v T. Saaty (ed.), Přednášky v moderní matematice III, New York: Wiley and Sons, s. 95–195.
• Krupski, V. (1997). „Operační logika důkazů s podmínkou funkčnosti na důkazním predikátu“, S. Adian a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, 4. mezinárodní symposium, LFCS'97, Jaroslavl, Rusko, 6. – 12. Července 1997, Sborník (Přednášky z informatiky: Svazek 1234), Berlín: Springer, s. 167–177.
• Kurokawa, H. (2009). „Tabla a hypersequenty pro odůvodnění logiky“, v S. Artemov a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, mezinárodní sympozium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3. – 6. Ledna 2009, sborníky (Přednášky z informatiky: Svazek 5407), Berlín: Springer, s. 295–308.
• Kuznets, R. (2000). „O složitosti explicitní modální logiky“, v P. Clote a H. Schwichtenberg (eds.), Computer Science Logic, 14. mezinárodní seminář, CSL 2000, výroční konference EACSL, Fischbachau, Německo, 21. – 26. Srpna 2000, Sborník (Přednášky z informatiky: Svazek 1862), Berlín: Springer, s. 371–383.
• –––. (2008). Problémy složitosti v Odůvodnění Logika, disertační práce Ph. D., Katedra informatiky, City University of New York Graduate Center.
• –––. (2010). „Poznámka k abnormalitě realizací S4LP “, v K. Brünnler a T. Studer (eds.), Důkaz, Výpočet, Složitost PCC 2010, Mezinárodní seminář, Sborník, IAM Technické zprávy IAM-10-001, Ústav počítačů Věda a aplikovaná matematika, University of Bern.
• McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi a S. Igarishi (1978). „K modelové teorii znalostí“, Technická zpráva STAN-CS-78-667, Katedra počítačů, Stanfordská univerzita.
• Milnikel, R. (2007). „Odvozitelnost v určitých subsystémech logiky důkazů je Π ₂ ^p- úplná“, Annals of Pure and Applied Logic, 145 (3): 223–239.
• –––. (2009). „Konzervativnost pro logiku oprávněné víry“, v S. Artemov a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, mezinárodní sympozium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, USA, 3. – 6. Ledna 2009, sborníky (Přednášky z informatiky: svazek 5407), Berlín: Springer, s. 354–364.
• Mkrtychev, A. (1997). „Modely pro logiku důkazů“, S. Adian a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, 4. mezinárodní symposium, LFCS'97, Jaroslavl, Rusko, 6. – 12. Července 1997, sborníky (přednáška) Notes in Computer Science: Svazek 1234), Berlín: Springer, s. 266–275.
• Nogina, E. (2006). „K logice důkazů a prokazatelnosti“, v roce 2005 letní setkání Asociace pro symbolickou logiku, logické kolokvium'05, Atény, Řecko (28. července - 3. srpna 2005), Bulletin symbolické logiky, 12 (2): 356.
• –––. (2007). „Epistemická úplnost GLA “, v roce 2007, výroční zasedání Asociace pro symbolickou logiku, University of Florida, Gainesville, Florida (10. – 13. Března 2007), Bulletin of Symbolic Logic, 13 (3): 407.
• Pacuit, E. (2006). „Poznámka k některé explicitní modální logice“, technická zpráva PP – 2006–29, Ústav pro logiku, jazyk a výpočet, University of Amsterdam.
• Plaza, J. (2007). „Logika veřejných komunikací“, Synthese, 158 (2): 165–179.
• Renne, B. (2008). Dynamická epistemická logika s odôvodněním, disertační práce, katedra informatiky, absolventské centrum CUNY, New York, NY, USA.
• –––. (2009). „Eliminace důkazů v logice vícenásobných agentů“, v A. Heifetz (ed.), Teoretické aspekty racionality a znalostí, sborník z dvanácté konference (TARK 2009), ACM Publications, s. 227–236.
• Rose, G. (1953). „Propoziční počet a realizovatelnost“, Transactions of American Mathematical Society, 75: 1–19.
• Rubtsova, N. (2006). „O realizaci modality S5 pomocí důkazních podmínek“, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
• Russell, B. (1912). Problémy filozofie, Oxford: Oxford University Press.
• Sidon, T. (1997). „Logika zabezpečitelnosti s operacemi na důkazech“, S. Adian a A. Nerode (eds.), Logické základy informatiky, 4. mezinárodní sympozium, LFCS'97, Jaroslavl, Rusko, 6. – 12. Července 1997, sborníky (přednáška Notes in Computer Science: Svazek 1234), Berlín: Springer, str. 342–353.
• Troelstra, A. (1998). „Realizovatelnost“, v S. Buss (ed.), Handbook of Proof Theory, Amsterdam: Elsevier, s. 407–474.
• Troelstra, A. a H. Schwichtenberg (1996). Basic Proof Theory, Amsterdam: Cambridge University Press.
• Troelstra, A. a D. van Dalen (1988). Konstruktivismus v matematice (svazky 1, 2), Amsterdam: Severní Holandsko.
• van Dalen, D. (1986). „Intuitionistic logic“, v D. Gabbay a F. Guenther (eds.), Handbook of Philosophical Logic (Svazek 3), Bordrecht: Reidel, s. 225–340.
• van Ditmarsch, H., W. van der Hoek a B. Kooi (ed.), (2007). Dynamic Epistemic Logic (Synthese Library, Svazek 337), Berlín: Springer..
• von Wright, G. (1951). Esej v Modální logice, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Wang, R.-J. (2009). „Znalosti, čas a logické vševědouctví“, H. Ono, M. Kanazawa a R. de Queiroz (ed.), Logic, Language, Information and Computation, 16. mezinárodní seminář, WoLLIC 2009, Tokio, Japonsko, 21. června -24, 2009, Sborník (Přednášky z umělé inteligence: Svazek 5514), Berlín: Springer, s. 394–407.
• Yavorskaya (Sidon), T. (2001). „Logika důkazů a prokazatelnosti“, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 345–372.
• –––. (2008). „Interakce se systémy výslovného důkazu“, Teorie počítačových systémů, 43 (2): 272–293.
• Yavorsky, R. (2001). „Logika zajišťování s kvantifikátory na důkazech“, Annals of Pure and Applied Logic, 113 (1–3): 373–387.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Indiana Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje