Tarskiho Definice Pravdy

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Tarskiho definice pravdy

První publikováno 10. listopadu 2001; věcná revize po 20. srpnu 2018

V roce 1933 polský logik Alfred Tarski publikoval referát, ve kterém diskutoval o kritériích, která by měla splňovat definice „skutečné věty“, a uvedl příklady několika takových definic pro konkrétní formální jazyky. V roce 1956 on a jeho kolega Robert Vaught publikovali revizi jedné z definic pravdy z roku 1933, aby sloužili jako definice pravdy pro modelové teoretické jazyky. Tato položka jednoduše přezkoumá definice a nebude se snažit prozkoumat důsledky Tarského práce pro sémantiku (přirozený jazyk nebo programovací jazyky) nebo pro filozofické studium pravdy. (Pro tyto důsledky viz záznamy o pravdě a Alfred Tarski.)

• 1. Program 1933 a sémantická koncepce

  • 1.1 Jazyk objektu a metajazyk
  • 1.2 Formální správnost
  • 1.3 Materiálová přiměřenost

• 2. Některé druhy definice pravdy na vzoru 1933

  • 2.1 Standardní definice pravdy
  • 2.2 Definice pravdy eliminací kvantifikátoru
• 3. Definice z roku 1956 a její potomci
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Program 1933 a sémantická koncepce

Na konci dvacátých let se Alfred Tarski pustil do projektu, který měl poskytnout přesné definice pojmů užitečných ve vědecké metodologii. V roce 1933 publikoval (v polštině) svou analýzu pojmu pravdivá věta. Tato dlouhá práce se zabývala dvěma úkoly: nejprve říci, co by mělo být považováno za uspokojivou definici „skutečné věty“pro daný formální jazyk, a za druhé ukázat, že existují uspokojivé definice „skutečné věty“pro řadu formálních jazyků. Začneme prvním úkolem; Část 2 se bude zabývat druhou.

Říkáme, že jazyk je plně interpretován, pokud všechny jeho věty mají významy, díky nimž jsou pravdivé nebo nepravdivé. Všechny jazyky, které Tarski zvažoval v dokumentu z roku 1933, byly plně interpretovány, s jednou výjimkou popsanou v oddíle 2.2 níže. To byl hlavní rozdíl mezi definicí z roku 1933 a pozdějším modelem-teoretickou definicí z roku 1956, kterou budeme zkoumat v oddíle 3.

Tarski popsal několik podmínek, které by uspokojivá definice pravdy měla splňovat.

1.1 Jazyk objektu a metajazyk

Pokud je diskutovaný jazyk (objektový jazyk) (L), měla by být definice uvedena v jiném jazyce známém jako metajazyk, nazvejte jej (M). Metajazyk by měl obsahovat kopii objektového jazyka (takže cokoli, co lze říci v (L), lze říci také v (M)), a (M) by také měl být schopen mluvit o větách (L) a jejich syntaxe. Nakonec Tarski dovolil, aby (M) obsahoval pojmy z teorie množin, a 1-ary predikátový symbol True se zamýšleným čtením 'je pravdivá věta (L)'. Hlavním účelem metajazyků bylo formalizovat to, co bylo řečeno o objektovém jazyce, a tak Tarski také požadoval, aby metajazyk nesl s sebou soubor axiomů vyjadřujících vše, co je třeba přijmout pro účely definování a zdůvodnění definice pravdy. Samotná definice pravdy měla být definicí Pravdy, pokud jde o ostatní výrazy metajazyku. Definice tedy měla být z hlediska syntaxe, teorie množin a pojmů, které lze vyjádřit v (L), ale nikoli sémantických pojmů, jako je 'naznačovat' nebo 'střední' (pokud jazyk objektu obsahoval tyto pojmy).

Tarski svým způsobem předpokládal, že objektovým jazykem (L) a metajazykem (M) budou jazyky nějaké logiky vyššího řádu. Dnes je obvyklejší brát nějakou metodu neformální množiny jako metajazyk; ovlivnilo by to několik podrobností Tarského papíru, ale ne jeho hlavní tah. Také dnes je obvyklé definovat syntaxi v množině teoretických pojmů, takže například řetězec písmen se stane posloupností. Ve skutečnosti je třeba použít teoretickou syntaxi množiny, pokud chceme pracovat s objektovým jazykem, který má nespočet nespočetných symbolů, jak to teoretici modelu již více než půl století dělají volně.

1.2 Formální správnost

Definice True by měla být „formálně správná“. To znamená, že by to měla být věta formuláře

Pro všechny (x), True ((x)), pokud a pouze pokud (phi (x)), kde True nikdy nenastane v (phi); nebo v opačném případě by definice měla být prokazatelně rovnocenná větě tohoto formuláře. Ekvivalentnost musí být prokazatelná pomocí axiomů metajazyků, které neobsahují True. Definice výše uvedeného typu se obvykle nazývají explicitní, i když je Tarski v roce 1933 nazýval normální.

1.3 Materiálová přiměřenost

Definice by měla být „věcně přiměřená“(trafny - lepší překlad by byl „přesný“). To znamená, že objekty splňující (phi) by měly být přesně objekty, které bychom intuitivně považovali za skutečné věty (L), a že tato skutečnost by měla být prokazatelná z axiomů metajazyků. Na první pohled je to paradoxní požadavek: pokud dokážeme prokázat, co Tarski požaduje, právě z axiomatů metajazyků, pak už musíme mít materiálně adekvátní formalizaci „skutečné věty z (L)“v metajazyku, naznačující nekonečný ústup. Tarski ve skutečnosti uniká paradoxu tím, že používá (obecně) nekonečně mnoho vět (M) k vyjádření pravdy, jmenovitě všechny věty formuláře

) phi (s) text {if and only if} psi)

kdykoli (s) je název věty (S) z (L) a (psi) je kopie (S) v metajazyku. Technickým problémem je tedy najít jediný vzorec (phi), který nám umožní odvodit všechny tyto věty z axiomů (M); tento vzorec (phi) bude sloužit k explicitní definici True.

Tarskiho vlastní jméno pro toto kritérium materiální přiměřenosti bylo Úmluva T. Obecněji jeho jméno pro jeho přístup k definování pravdy, používat toto kritérium, bylo sémantické pojetí pravdy.

Jak sám Tarski zdůraznil, Konvent (T) rychle vede k paradoxnímu lháři, pokud má jazyk (L) dostatek prostředků k tomu, aby mluvil o své vlastní sémantice. (Viz položka o revizní teorii pravdy.) Tarskiho vlastní závěr byl, že definice pravdy pro jazyk (L) musí být dána v metajazyku, který je podstatně silnější než (L).

Je to důsledek pro základy matematiky. Teorie množin Zermelo-Fraenkel prvního řádu je široce považována za standard matematické korektnosti ve smyslu, že důkaz je správný tehdy a jen tehdy, pokud může být formalizován jako formální důkaz v teorii množin. Chtěli bychom být schopni poskytnout definici pravdy pro teorii množin; ale podle Tarského výsledku nemůže být tato definice pravdy uvedena v samotné teorii množin. Obvyklým řešením je neformální definice pravdy v angličtině. Existuje však řada způsobů, jak dát teorii množin omezené formální definice pravdy. Například Azriel Levy ukázal, že pro každé přirozené číslo (n) existuje formule (Sigma_n), která je uspokojena všemi a pouze teoretickými jmény pravých (Sigma_n) vět teorie množin. Definice (Sigma_n) je příliš technická, aby zde byla uvedena,ale stojí za to vydělat tři body. Za prvé, každá věta teorie množin je prokazatelně ekvivalentní větě (Sigma_n) pro všechny dostatečně velké (n). Za druhé, třída vzorců (Sigma_n) je uzavřena přidáním existenčních kvantifikátorů na začátku, ale ne přidáním univerzálních kvantifikátorů. Zatřetí, třída není uzavřena pod negací; tak Levy uniká Tarskému paradoxu. (Viz položka o teorii množin.) V podstatě stejná zařízení umožňují Jaakkovi Hintikkovi definovat vnitřní pravdu pro jeho logiku nezávislosti; tato logika sdílí druhou a třetí vlastnost Levyho tříd vzorců.třída vzorců (Sigma_n) je uzavřena přidáním existenčních kvantifikátorů na začátku, ale ne přidáním univerzálních kvantifikátorů. Zatřetí, třída není uzavřena pod negací; tak Levy uniká Tarskému paradoxu. (Viz položka o teorii množin.) V podstatě stejná zařízení umožňují Jaakkovi Hintikkovi definovat vnitřní pravdu pro jeho logiku nezávislosti; tato logika sdílí druhou a třetí vlastnost Levyho tříd vzorců.třída vzorců (Sigma_n) je uzavřena přidáním existenčních kvantifikátorů na začátku, ale ne přidáním univerzálních kvantifikátorů. Zatřetí, třída není uzavřena pod negací; tak Levy uniká Tarskému paradoxu. (Viz položka o teorii množin.) V podstatě stejná zařízení umožňují Jaakkovi Hintikkovi definovat vnitřní pravdu pro jeho logiku nezávislosti; tato logika sdílí druhou a třetí vlastnost Levyho tříd vzorců.

2. Některé druhy definice pravdy na vzoru 1933

Ve svém příspěvku z roku 1933 Tarski ukázal, že mnoho plně interpretovaných formálních jazyků má definici pravdy, která splňuje jeho podmínky. V tomto článku uvedl čtyři příklady. Jeden byl triviální definicí pro konečný jazyk; jednoduše uvedl konečně mnoho pravdivých vět. Jedna byla definice eliminátorem kvantifikátoru; viz oddíl 2.2 níže. Zbývající dva, pro různé třídy jazyka, byly příklady toho, co si lidé dnes myslí jako standardní definici Tarského pravdy; oni jsou předchůdci 1956 model-teoretická definice.

2.1 Standardní definice pravdy

Dvě standardní definice pravdy nejsou na první pohled vůbec definice pravdy, ale definice složitějších vztahů zahrnujících přiřazení (a) objektů k proměnným:

[a / text {vyhovuje vzorci} F)

(kde symbol '(F)' je zástupný symbol pro název konkrétního vzorce objektového jazyka). Spokojenost se ve skutečnosti v tomto smyslu redukuje na pravdu: (a) splňuje vzorec (F) pouze tehdy, pokud každou volnou proměnnou vezme v (F) jako název objektu, který jí přidělil (a) dělá z vzorce (F) skutečnou větu. Z toho vyplývá, že naše intuice o tom, kdy je věta pravdivá, mohou vést naše intuice o tom, kdy úkol splňuje vzorec. Nic z toho však nemůže vstoupit do formální definice pravdy, protože „brát proměnnou jako název objektu“je sémantický pojem a Tarskiho definice pravdy musí být postavena pouze na pojmech ze syntaxe a teorie množin (společně s těmi, v jazyce objektu); odvolání Oddíl 1.1. Tarskiho redukce jde ve skutečnosti opačným směrem: pokud vzorec (F) nemá volné proměnné,pak říci, že (F) je pravda, znamená, že každé zadání to splňuje.

Důvod, proč Tarski definuje spokojenost přímo a poté odvozuje definici pravdy, je ten, že uspokojení se řídí rekurzivními podmínkami v následujícím smyslu: pokud (F) je složený vzorec, pak vědět, která přiřazení splňují (F), stačí vědět, která zadání splňují bezprostřední složky (F). Zde jsou dva typické příklady:

• Přiřazení (a) vyhovuje vzorci '(F) a (G)' pouze tehdy, pokud (a) vyhovuje (F) a (a) vyhovuje (G).
• Přiřazení (a) splňuje vzorec 'Pro všechny (x), (G)' pouze tehdy, pokud pro každého jednotlivce (i), pokud (b) je přiřazení, které přiřadí (i) do proměnné (x) a je jinak přesně jako (a), pak (b) vyhovuje (G).

Pro atomové vzorce musíme použít odlišný přístup. Ale pro tyto, alespoň za předpokladu jednoduchosti, že (L) nemá žádné funkční symboly, můžeme použít metajazykové kopie (# (R)) predikátových symbolů (R) objektového jazyka. Tím pádem:

Přiřazení (a) vyhovuje vzorci (R (x, y)) pouze tehdy, pokud (# (R) (a (x), a (y)))

(Varování: výraz (#) je v metametalanguage, nikoli v metalanguage (M). Můžeme nebo nemusíme najít vzorec (M), který vyjadřuje (#) pro predikátové symboly; záleží na tom, co přesně je jazyk (L).)

S výhradou mírné výhrady v následujícím odstavci je Tarskiho definice spokojenosti kompoziční, což znamená, že třída přiřazení, která splňují složený vzorec (F), je určena pouze (1) syntaktickým pravidlem použitým k vytvoření (F) ze svých bezprostředních složek a (2) tříd úkolů, které tyto bezprostřední složky splňují. (Toto je někdy formulováno volně jako: spokojenost je definována rekurzivně. Ale tato formulace chybí ústřední bod, že (1) a (2) neobsahují žádné syntaktické informace o bezprostředních složkách.) Kompozičnost vysvětluje, proč Tarski přešel z pravdy na pravdu spokojenost. Nemůžete definovat, zda 'For all (x, G)' je true, pokud jde o to, zda (G) je true, protože obecně (G) má volnou proměnnou (x) a tak není to pravda ani nepravda.

Výhrada je taková, že Tarskiho definice spokojenosti v dokumentu z roku 1933 ve skutečnosti nezmiňuje třídu úkolů, které splňují vzorec (F). Místo toho, jak jsme viděli, definuje vztah '(a) vyhovuje (F)', což určuje, co je tato třída. To je pravděpodobně hlavní důvod, proč někteří lidé (včetně samotného Tarského v rozhovoru, jak uvádí Barbara Partee) upřednostňovali nepopsat definici z roku 1933 jako kompoziční. Formát třídy, který je složen na jakémkoli zúčtování, se však objevuje v rané variantě definice pravdy v Tarského papíru z roku 1931 o definovatelných sadách reálných čísel. Tarski měl ve svém dokumentu z roku 1933 dobrý důvod pro upřednostňování formátu '(a) vyhovuje (F)', konkrétně to, že mu to umožnilo snížit set-teoretické požadavky definice pravdy. V oddílech 4 a 5 papíru z roku 1933 tyto požadavky upřesnil.

Jméno 'Composal (ity)' se poprvé objevuje v novinách Putnama v roce 1960 (publikoval 1975) a Katze a Fodora v roce 1963 o sémantice přirozeného jazyka. Když mluvíme o kompozičnosti, přistoupili jsme k přemýšlení o Tarského definici jako sémantiky, tj. Způsobu přiřazování „významů“vzorcům. (Zde považujeme význam věty za její pravdivostní hodnotu.) Složenost v podstatě znamená, že významy přiřazené vzorcům poskytují alespoň dostatek informací k určení pravdivých hodnot vět, které je obsahují. Lze se naopak zeptat, zda Tarskiho sémantika poskytuje pouze tolik informací, kolik potřebujeme o každém vzorci, abychom dosáhli pravdivých hodnot vět. Pokud je odpověď ano, říkáme, že sémantika je zcela abstraktní (pro pravdu). Jeden může ukázat docela snadno, pro některý ze standardních jazyků logiky,že Tarskova definice spokojenosti je ve skutečnosti zcela abstraktní.

Tarskiova definice spokojenosti není v současné podobě explicitní definicí, protože uspokojení pro jeden vzorec je definováno jako spokojenost pro ostatní vzorce. Abychom ukázali, že je formálně správná, potřebujeme způsob, jak ji převést na výslovnou definici. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je použití logiky vyššího řádu nebo teorie množin. Předpokládejme, že píšeme (S) pro binární vztah mezi přiřazením a vzorcem. Říkáme, že (S) je vztah spokojenosti, pokud pro každý vzorec (G, S) splňuje podmínky stanovené pro uspokojení (G) podle Tarského definice. Například pokud (G) je '(G_1) a (G_2)', (S) by měl splňovat následující podmínky pro každé přiřazení (a):

[S (a, G) text {pouze a pokud} S (a, G_1) text {a} S (a, G_2).)

Můžeme formálně definovat „vztah spokojenosti“pomocí rekurzivních klauzulí a podmínek pro atomové vzorce v Tarskově rekurzivní definici. Nyní dokážeme, indukcí složitosti vzorců, že existuje přesně jeden uspokojovací vztah (S). (Existuje několik technických jemností, ale je to možné.) Nakonec definujeme

(a) vyhovuje (F) pouze tehdy, pokud: existuje vztah spokojenosti (S) takový, že (S (a, F)).

Je to tedy technické cvičení, které prokazuje, že tato definice spokojenosti je materiálně přiměřená. Vlastně musíme nejprve napsat protějšek Úmluvy (T) pro uspokojení vzorců, ale nechám to čtenáři.

2.2 Definice pravdy eliminací kvantifikátoru

Zbývající definice pravdy v Tarskiho dokumentu z roku 1933 - třetí, jak se objevují v tomto článku - je ve skutečnosti svazek souvisejících definic pravdy, vše pro stejný objektový jazyk (L), ale v různých interpretacích. Kvantifikátory (L) se předpokládají, že se pohybují v určité třídě, nazývají se (A); ve skutečnosti jsou to kvantifikátory druhého řádu, takže se opravdu rozprostírají ve sbírce podtříd z (A). Třída (A) není výslovně pojmenována v objektovém jazyce, a tak lze dát samostatné definice pravdy pro různé hodnoty (A), jak to pokračuje Tarski. Takže v této části článku Tarski umožňuje, aby jedna a tatáž věta byla interpretována odlišně; toto je výjimka z obecného tvrzení, že jeho věty o objektovém jazyce jsou plně interpretovány. Tarski ale zůstává rovný a úzký:mluví o „pravdě“pouze ve zvláštním případě, kde (A) je třída všech jednotlivců. Pro jiné hodnoty (A) nemluví o 'pravdě', ale o 'správnosti v doméně (A)'.

Tyto definice pravdy nebo správnosti nespadají z definice uspokojení. Ve skutečnosti jdou mnohem méně přímou cestou, kterou Tarski popisuje jako „čistě náhodnou“možnost, která se spoléhá na „specifické zvláštnosti“konkrétního objektového jazyka. Může být užitečné uvést několik dalších technických podrobností než Tarski ve známějším zápisu než Tarski, aby bylo možné ukázat, co se týká. Tarski odkazuje své čtenáře na noviny Thoralfa Skolema v roce 1919 pro technické podrobnosti.

Dá se myslet na jazyk (L) jako na jazyk prvního řádu s predikátovými symboly (subseteq) a =. Jazyk je interpretován jako mluvení o podtřídách třídy (A). V tomto jazyce můžeme definovat:

• '(x) je prázdná množina' (viz. (x / subseteq) každou třídu).
• '(x) je atom' (viz. (x) není prázdný, ale každá podtřída (x) není rovno (x) je prázdná).
• '(x) má přesně (k) členy' (kde (k) je konečné číslo; viz. přesně existují (k) odlišné atomy (subseteq x)).
• 'V (A)' jsou přesně (k) elementy (viz. Existuje třída s přesně (k) členy, ale neexistuje žádná třída s přesně (k + 1) členy).

Nyní se snažíme prokázat:

Lemma. Každý vzorec (F) z (L) je ekvivalentní (tj. Splňuje přesně stejná přiřazení jako) nějaká booleovská kombinace vět ve tvaru 'V (A) jsou přesně (k) prvky) 'a vzorce tvaru' Existují přesně (k) prvky, které jsou v (v_1), nikoli v (v_2), nikoli v (v_3) a (v_4) '(nebo jakoukoli jinou kombinaci tohoto typu, používající pouze proměnné zdarma v (F)).

Důkazem je indukce složitosti vzorců. Pro atomové vzorce je to snadné. Pro booleovské kombinace vzorců je to snadné, protože booleovská kombinace booleovských kombinací je opět booleovskou kombinací. Pro vzorce začínající na (forall) bereme negaci. To ponechává jen jeden případ, který zahrnuje jakoukoli práci, konkrétně případ vzorce začínající existenčním kvantifikátorem. Indukční hypotézou můžeme část za kvantifikátorem nahradit booleovskou kombinací vzorců uvedených druhů. Typickým případem tedy může být:

(existuje z) (existují přesně dva prvky, které jsou v (z) a (x) a nikoli v (y)).

To platí, pouze pokud existují alespoň dva prvky, které jsou v (x) a ne v (y). Můžeme to zapsat jako: Počet prvků v (x) a ne v (y) není 0 a není 1; což je booleovská kombinace povolených vzorců. Obecný důkaz je velmi podobný, ale komplikovanější.

Když je lemma prokázána, podíváme se na to, co říká o větě. Protože věta nemá žádné volné proměnné, lemma nám říká, že je ekvivalentní booleovské kombinaci tvrzení, že (A) má daný konečný počet prvků. Takže pokud víme, kolik prvků (A) má, můžeme okamžitě vypočítat, zda je věta „správná v doméně (A)“.

Ještě jeden krok a jsme doma. Jak dokazujeme lemma, měli bychom shromáždit všechna fakta, která lze uvést v (L), jsou pravdivá v každé doméně a jsou potřebná k prokázání lemmy. Například téměř jistě budeme potřebovat větu, která říká, že (subseteq) je tranzitivní. Pro všechny tyto věty napište (T). (V Tarskiho prezentaci (T) zmizí, protože používá logiku vyššího řádu a požadované výroky o třídách se stávají věty o logice.) Dosáhneme například:

Věta. Pokud je doména (A) nekonečná, je věta (S) jazyka (L) správná v (A) pouze tehdy, pokud (S) lze odvodit od (T) a věty, že počet prvků (A) není konečné číslo.

Třída všech jednotlivců je nekonečná (tvrdí Tarski), takže věta platí, když (A) je tato třída. A v tomto případě Tarski nemá žádné zábrany v tom, že říká nejen „správné v (A)“, ale „pravdivé“; takže máme definici pravdy.

Metoda, kterou jsme popsali, se točí téměř úplně kolem odstranění existenciálních kvantifikátorů od začátku vzorců; proto je známá jako metoda eliminace kvantifikátoru. Není to tak daleko, jak byste si mohli myslet ze dvou standardních definic. Ve všech případech Tarski přiřazuje každému vzorci, indukcí složitosti vzorců, popis třídy přiřazení, které vyhovují vzorci. V předchozích dvou definicích pravdy je tato třída popsána přímo; v případě eliminátoru kvantifikátoru je popsán pomocí booleovské kombinace vzorců jednoduchého druhu.

Přibližně ve stejné době, kdy psal článek z roku 1933, dal Tarski pravdu definicí kvantifikátorem pro jazyk prvního řádu pole reálných čísel. Ve svém příspěvku z roku 1931 se jeví pouze jako zajímavý způsob charakterizace souboru vztahů definovatelných vzorci. Později poskytl podrobnější účet a zdůraznil, že jeho metoda poskytla nejen definici pravdy, ale algoritmus pro určení, které věty o reálných číslech jsou pravdivé a které jsou nepravdivé.

3. Definice z roku 1956 a její potomci

V roce 1933 Tarski předpokládal, že formální jazyky, kterými se zabýval, měly dva druhy symbolů (kromě interpunkce), a to konstanty a proměnné. Konstanty obsahovaly logické konstanty, ale také jakékoli jiné termíny s pevným významem. Proměnné neměly nezávislý význam a byly prostě součástí aparátu kvantifikace.

Teorie modelu naopak pracuje se třemi úrovněmi symbolu. Existují logické konstanty ((=, / neg), & například), proměnné (jako dříve), a mezi nimi střední skupina symbolů, které nemají žádný pevný význam, ale získávají význam tím, že jsou aplikovány na konkrétní struktura. Symboly této střední skupiny zahrnují nelogické konstanty jazyka, jako jsou vztahové symboly, funkční symboly a konstantní jednotlivé symboly. Zahrnují také kvantifikátorové symboly (forall) a (existuje), protože musíme zjistit strukturu, abychom viděli, v jaké sadě se nacházejí. Tento typ tříúrovňového jazyka odpovídá matematickému použití; například píšeme operaci sčítání abelianské skupiny jako + a tento symbol znamená různé funkce v různých skupinách.

Člověk tedy musí trochu pracovat, aby definici z roku 1933 aplikoval na modelové teoretické jazyky. V zásadě existují dva přístupy: (1) Vezměte současně jednu strukturu (A) a považujte nonologické konstanty za konstanty interpretované v (A). (2) Považujte nonologické konstanty za proměnné a pomocí definice z roku 1933 popište, kdy je věta splněna přiřazením složek struktury (A) k těmto proměnným. Jak Tarski sám popisuje na několika místech, existují problémy s oběma těmito přístupy. Hlavním problémem s (1) je to, že v teorii modelů chceme velmi často používat stejný jazyk ve spojení se dvěma nebo více různými strukturami - například když definujeme elementární vložení mezi strukturami (viz položka o teorii modelů prvního řádu)). Problém s (2) je abstraktnější:je rušivé a špatné zvyklosti mluvit o vzorcích s volnými proměnnými, které jsou „pravdivé“. (V oddílu 2.2 jsme viděli, jak se Tarski vyhýbá mluvení o pravdě v souvislosti s větami, které mají různý výklad.) To, co Tarski v praxi dělal, od vzhledu jeho učebnice v roce 1936 až do konce 40. let 20. století, bylo použití verze (2) a jednoduše se vyhýbat mluvení o větach o modelech, které jsou věrné ve strukturách; místo toho dal nepřímou definici toho, co je pro strukturu, aby se stal „modelem“věty, a omluvil se, že striktně to bylo zneužívání jazyka. (Kapitola VI Tarski 1994 stále obsahuje zbytky tohoto starého přístupu.)) Tarski v praxi od uvedení své učebnice v roce 1936 do konce čtyřicátých let minulého století použil verzi (2) a jednoduše se vyhnul mluvení o pravdivosti věty modelu ve strukturách; místo toho dal nepřímou definici toho, co je pro strukturu, aby se stal „modelem“věty, a omluvil se, že striktně to bylo zneužívání jazyka. (Kapitola VI Tarski 1994 stále obsahuje zbytky tohoto starého přístupu.)) Tarski v praxi od uvedení své učebnice v roce 1936 do konce čtyřicátých let minulého století použil verzi (2) a jednoduše se vyhnul mluvení o pravdivosti věty modelu ve strukturách; místo toho dal nepřímou definici toho, co je pro strukturu, aby se stal „modelem“věty, a omluvil se, že striktně to bylo zneužívání jazyka. (Kapitola VI Tarski 1994 stále obsahuje zbytky tohoto starého přístupu.)

Koncem čtyřicátých let bylo jasné, že je potřeba přímá definice modelu - teoretická pravda. Tarski a jeho kolegové experimentovali s několika způsoby lití. Verze, kterou dnes používáme, je založena na verzi, kterou publikovali Tarski a Robert Vaught v roce 1956. Expozici viz klasická logika.

Správný způsob vymýšlení modelové teoretické definice je, že máme věty, jejichž hodnota pravdy se liší podle situace, v níž jsou použity. Nelogické konstanty tedy nejsou proměnné; jsou to definitivní popisy, jejichž odkaz závisí na kontextu. Rovněž kvantifikátory mají tuto indexovou vlastnost, že doména, přes kterou se pohybují, závisí na kontextu použití. V tomto duchu lze přidat další druhy indexování. Například struktura Kripke je indexovaná rodina struktur, se vztahem na sadu indexů; tyto struktury a jejich blízcí příbuzní jsou základem sémantiky modální, temporální a intuicionální logiky.

Již v 50. letech 20. století se teoretici zajímali o formální jazyky, které zahrnují druhy projevů odlišné od čehokoli v Tarskiho dokumentu z roku 1933. Rozšíření definice pravdy na infinitární logiku nebylo vůbec problémem. Nebyl ani žádný vážný problém ohledně většiny zobecněných kvantifikátorů navrhovaných v té době. Například existuje kvantifikátor (Qxy) se zamýšleným významem:

(QxyF (x, y)) pouze tehdy, existuje-li nekonečná množina prvků (X) prvků, které pro všechny (a) a (b) v (X, F (a, b)).

Tato definice sama o sobě ukazuje, jak by mělo jít požadované ustanovení v definici pravdy.

V roce 1961 Leon Henkin poukázal na dva druhy modelových teoretických jazyků, které okamžitě neměly pravou definici Tarského druhu. První měl nekonečné řetězce kvantifikátorů:

) forall v_1 / existuje v_2 / forall v_3 / existuje v_4 / ldots R (v_1, v_2, v_3, v_4, / ldots).)

Druhý měl kvantifikátory, které nejsou lineárně uspořádány. Pro snadnější psaní používám později Hintikkovu notaci:

) forall v_1 / existuje v_2 / forall v_3 (existuje v_4 / / forall v_1) R (v_1, v_2, v_3, v_4).)

Zde lomítko za (existuje v_4) znamená, že tento kvantifikátor je mimo rozsah dřívějšího kvantifikátoru (forall v_1) (a také mimo rámec dřívějšího existenciálního kvantifikátoru).

Henkin poukázal na to, že v obou případech lze dát přirozenou sémantiku, pokud jde o Skolemovy funkce. Například druhá věta může být parafrázována jako

) existuje f / existuje g / forall v_1 / forall v_3 R (v_1, f (v_1), v_3, g (v_3)),)

který má přímou podmínku Tarského pravdy v logice druhého řádu. Hintikka pak poznamenal, že člověk může číst Skolemovy funkce jako výherní strategie ve hře, stejně jako v záznamu o logice a hrách. Tímto způsobem lze vytvořit kompoziční sémantiku tím, že každému formuláři přiřadíte hru. Věta je pravdivá pouze tehdy, má-li hráč Myself (v Hintikkově nomenklatuře) vítěznou strategii pro hru přiřazenou této větě. Tato sémantika hry souhlasí s Tarským v konvenčních větách prvního řádu. Ale zdaleka není úplně abstraktní; pravděpodobně by se na to mělo myslet jako na operativní sémantiku, která popisuje, jak se věta ověřuje, nikoli zda je to pravda.

Ukázalo se, že problém sémantiky Tarskiho stylu pro Henkinovy dva jazyky se v obou případech lišil. První problém spočívá v tom, že syntaxe jazyka není opodstatněná: existuje nekonečná sestupná posloupnost subformul, protože jeden po druhém odstraňuje kvantifikátory. Neexistuje tedy žádná naděje na definici spokojenosti rekurzí ohledně složitosti vzorců. Nápravou je poznamenat, že výslovná forma definice Tarského pravdy v části 2.1 výše nevyžadovala rekurzivní definici; bylo potřeba jen to, aby podmínky pro vztah spokojenosti (S) to jedinečně zachytily. Pro Henkinův první styl jazyka je to stále pravda, i když důvodem již není opodstatněnost syntaxe.

Pro Henkinův druhý styl jazyka, přinejmenším v Hintikkově notaci (viz záznam o logice nezávislosti přátelské), je syntaxe opodstatněná, ale posunutí rozsahů kvantifikátoru znamená, že obvyklé klauzule kvantifikátoru v definici spokojenosti již nefungují.. Abychom získali kompoziční a plně abstraktní sémantiku, musíme se ptát, jaká přiřazení proměnných vyhovují vzorci, ale jaké množiny přiřazení vyhovují vzorci „rovnoměrně“, kde „rovnoměrně“znamená „nezávislé na přiřazení k určitým proměnným, jak ukazuje lomítka na kvantifikátorech uvnitř vzorce “. (Další podrobnosti revizí definice Tarského pravdy v tomto směru jsou v záznamu o logice závislosti.) Druhý příklad Henkina je více než teoretický,protože střety mezi sémantickým a syntaktickým rozsahem kvantifikátorů se vyskytují velmi často v přirozených jazycích.

Bibliografie

• Feferman, S., 2004, „Tarskiho koncepční analýza sémantických pojmů“, v Sémantique et Épistémologie, ed. Ali Benmakhlouf, Casablanca: Edice Le Fennec, 79–108; dotisknuto v Pattersonu 2008.
• Henkin, L., 1961, „Některé poznámky k nekonečně dlouhým formám“, v Infinitistických metodách: Sborník symposia o základech matematiky, Oxford: Pergamon Press, 167–183.
• Hintikka, J., 1996, Revidované principy matematiky, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hodges, W., 1997, „Kompoziční sémantika pro jazyk nedokonalých informací“, Logic Journal of IGPL, 5: 539–563.
• ––– 2008, „Tarskiho teorie definice“, v Patterson 2008, s. 94–132.
• Katz, J. a Fodor, J., 1963, „Struktura sémantické teorie“, Jazyk, 39: 170–210.
• Levy, A., 1965, Hierarchie vzorců v teorii množin, (Memoirs of American Mathematical Society 57), Providence: American Mathematical Society.
• Patterson, D. (ed.), 2008, New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
• Putnam, H., 1975, „Odpovídají pravdivá tvrzení realitě?“, V Mind, Language and Reality (Philosophical Papers: Volume 2), Cambridge: Cambridge University Press, 70–84.
• Skolem, T., 1919, „Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls und über Productations- and Summationsprobleme, welche gewisse Klassen von Aussagen betreffen“, Videnskapsselskapets Skrifter, I. Matem.-naturv. klasse, 3; dotisknuto v T. Skolem, Selected Works in Logic, JE Fenstad (ed.), Oslo: Universitetforlaget, s. 67–101.
• Tarski, A., 1931, „Sur les ensembleles définissables de nombres réels. I “, Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.
• –––, 1933, „Pojem pravdy v jazycích deduktivních věd“(polsky), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych 34, Varšava; dotisknuto v Zygmunt 1995, s. 13–172; rozšířený anglický překlad v Tarski 1983 [1956], s. 152–278.
• –––, 1944, „Sémantická koncepce pravdy“, filozofický a fenomenologický výzkum, 4 (3): 341–376.
• –––, 1983 [1956], Logic, Sémantika, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, 2. vydání, John Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Company; 1. vydání, Oxford: Oxford University Press, 1956.
• –––, 1994 [1936], Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd, 4. vydání, Jan Tarski (ed.), Oxford: Oxford University Press; původně publikováno jako O logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej (O matematické logice a deduktivní metodě), Lwów, Varšava: Książnica-Atlas, 1936; Německý překlad, Einführung in die Mathatische Logik a in die Methodology der Mathematik, Vienna: Julius Springer-Verlag; první anglické vydání, Oxford: Oxford University Press, 1941; 2. vydání, 1946; 3. vydání, 1985.
• Tarski, A. a Vaught, R., 1956, „Aritmetická rozšíření relačních systémů“, Compositio Mathematica, 13: 81–102.
• Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Varšava: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]