Teorie Množin: Konstruktivní A Intuitivní ZF

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Teorie množin: Konstruktivní a intuitivní ZF

První publikované 20. února 2009; věcná revize St 13. února 2019

Konstruktivní a intuicionální teorie teorií množin Zermelo-Fraenkel jsou axiomatické teorie množin ve stylu teorie teorií množin Zermelo-Fraenkel (ZF), které jsou založeny na intuicionální logice. Byly zavedeny v 70. letech 20. století a představují formální kontext, v němž kodifikují matematiku na základě intuicionistické logiky (viz položka konstruktivní matematika). Jsou formulovány podle standardního jazyka 1. řádu Zermelo-Fraenkelovy teorie teorií a přímo nevyužívají inherentně konstruktivních myšlenek. Při práci v konstruktivním a intuicionálním ZF se tak můžeme do jisté míry spolehnout na naši znalost ZF a jeho heuristiku.

Bez ohledu na podobnosti s klasickou teorií množin se koncepce množiny definované konstruktivními a intuicionálními teoriemi množin výrazně liší od pojetí klasické tradice; liší se také od sebe navzájem. Techniky používané k práci v nich, jakož i k získání metamathematických výsledků o nich, se také v některých ohledech liší od klasické tradice, protože se zavázaly k intuicionistické logice. Ve skutečnosti, jak je běžné v intuicionistickém prostředí, existuje celá řada sémantických a důkazně teoretických metod pro studium konstruktivních a intuicionálních teorií množin.

Tato položka představuje hlavní rysy konstruktivních a intuicionálních teorií množin. Protože se pole rychle rozšiřuje, můžeme si jen krátce vybavit některé klíčové aspekty výsledků a dostupné techniky. Zaměřujeme se více na konstruktivní teorii množin, abychom zdůraznili důležité základní problémy, které v ní vyvstávají. Všimněte si, že opomínáme významnou část literatury o konstruktivním a intuicionálním ZF, která souvisí s jejich kategorickými interpretacemi. V této oblasti došlo v průběhu let k významnému vývoji natolik, že přiměřené řešení tohoto pokroku by vyžadovalo podstatné prodloužení této položky. Zainteresovaný čtenář může chtít nahlédnout do záznamu o teorii kategorií a jeho referencích (viz také přílohu Příručka programového čtení).

• 1. Podstata konstruktivní a intuitivní teorie množin

  • 1.1 Axiomatická svoboda
  • 1.2 Konstruktivní versus intuicionální teorie množin

  • 1.3 Prediktivita v konstruktivní teorii množin

    • 1.3.1 Předvídavost odloučení
    • 1.3.2 Nevyhnutelnost Powersetu
    • 1.3.3 Konstruktivní vesmír sad
• 2. Počátky konstruktivních a intuitivních teorií množin
• 3. Axioms Systems CZF a IZF
• 4. Zásady konstruktivní volby

• 5. Důkazní teorie a sémantika konstruktivního a intuitivního ZF

  • 5.1 Důkazová síla
  • 5.2 Velké sady konstruktivního a intuicionálního ZF

  • 5.3 Metamathematické vlastnosti konstruktivních a intuicionálních ZF a sémantických technik

    • 5.3.1 Disjunkční a existenční vlastnosti konstruktivního a intuicionálního ZF
    • 5.3.2 Realizovatelnost
    • 5.3.3 Kripkeho modely a sémantika s hodnotou Heyting
    • 5.3.4 Kategorické modely konstruktivní a intuicionální teorie množin
    • 5.4 Varianty konstruktivních a intuitivních teorií množin: Teorie množin s urelementy a nerozšiřujícími teoriemi množin
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Podstata konstruktivní a intuitivní teorie množin

Konstruktivní a intuicionální teorie Zermelo-Fraenkel jsou založeny spíše na intuicionální než klasické logice a představují přirozené prostředí, ve kterém lze kodifikovat a studovat matematiku na základě intuicionální logiky. Pro konstruktivní ZF bylo hlavní zaměření představovat matematickou praxi biskupa (Bishop 1967, Bishop and Bridges 1985).

Pro základní koncepty a myšlenky řízení intuicionistické logiky, konstruktivní matematiky a intuicionismu si čtenář může přát nahlédnout do následujících položek:

• intuicionistická logika,
• vývoj intuicionistické logiky,
• konstruktivní matematika,
• intuicionismus ve filozofii matematiky,
• Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Pro klasickou teorii množin viz část teorie množin.

Konstruktivní a intuicionální ZF jsou založeny na stejném jazyce prvního řádu jako klasická teorie množin ZF, která má jako logický symbol pouze binární predikátový symbol (in) (členství). To znamená, že jsou formulovány na základě intuicionistické logiky prvního řádu s rovností plus plus binární predikátový symbol (in). Můžeme tak využít jednoduchosti množiny teoretických jazyků a naší znalosti tohoto jazyka (Myhill 1975). Konstruktivní a intuitivní ZF jsou, stejně jako konstruktivní matematika v biskupském stylu, kompatibilní s klasickou tradicí v tom smyslu, že všechny jejich věty jsou klasicky pravdivé. Ve skutečnosti dva formální systémy, které budeme brát v úvahu, konstruktivní Zermelo-Fraenkel (CZF) a Intuitionistic Zermelo-Fraenkel (IZF),dají vzniknout plnému klasickému ZF pouhým doplněním principu vyloučeného středu.

1.1 Axiomatická svoboda

Klasická teorie množin Zermelo-Fraenkel je založena na klasické predikátové logice prvního řádu s rovností. Na vrcholu logických principů jsou axiomy a schémata, která popisují pojem množiny, který teorie kodifikuje. Tyto principy lze rozdělit do tří druhů. Za prvé, existují principy, které nám umožňují vytvářet nové sady z daných. Například axiom dvojice nám umožňuje vytvořit množinu, která je dvojicí dvou daných množin. Za druhé, existují principy, které určují vlastnosti množiny teoretických struktur. Například axiom extenzivity identifikuje všechny sady mající stejné prvky. Zatřetí a konečně existují axiomy, které potvrzují existenci specifických množin. Axiom nekonečna tedy říká, že existuje nekonečná množina. Tyto principy se společně nazývají set-teoretické principy.

Při zavádění verzí ZF založených na intuicionální logice je prvním krokem eliminovat z logiky princip vyloučeného středu (EM). Dalším krokem je výběr dobrého souboru teoretických principů, které věrně představují požadovaný pojem konstruktivní množiny. Ukázalo se, že tyto úkoly jsou náročnější, než by se dalo čekat. Ve skutečnosti, jak je dobře známo, systémy založené na „slabší“logice mají schopnost rozlišovat mezi výroky, které jsou rovnocenné z hlediska „silnější“logiky. V případě teorie množin jsou některé axiomy nebo schémata ZF často prezentovány jedním z mnoha klasicky ekvivalentních formulací. Klasicky je to jen otázka pohodlí, kterou použít v konkrétním čase. Při práci na základě intuicionistické logiky všakrůzné formulace klasického axiomu se mohou ukázat jako odlišné (neekvivalentní). Ve skutečnosti si lze představit nová tvrzení, která jsou klasicky ekvivalentní axiomu ZF, ale intuitivně se od něj oddělují (například axiom kolekce podskupin CZF (Aczel 1978)).

Pokud jde o první krok spočívající v odstranění principu vyloučeného středu z logiky, ukazuje se, že pouhé vytěsnění tohoto principu ze základní logiky není dostatečné; to znamená, že nestačí brát jako základ základnu intuicionistický počet, než klasický predikát. Musíme také zajistit, aby stanovené teoretické axiomy nepřinesly nežádoucí formy vyloučeného středu zpět do naší teorie. Například, jak poznamenal Myhill (1973), potřebujeme zvláštní péči při výběru vhodného prohlášení pro axiom nadace. Nadace je představena v teorii množin, aby vyloučila množiny, které jsou jejich členy, a tedy (in) - řetězce sad. Obvyklá formulace nadace tvrdí, že každý obydlený soubor (soubor s alespoň jedním prvkem) má alespoň prvek s ohledem na členský vztah. Toto prohlášení všaklze prokázat konstruktivně nepřijatelné příklady vyloučeného středu na základě skromných teoretických předpokladů. Obvyklá formulace nadace proto musí být vynechána z teorie množin založených na intuicionální logice. Důkaz viz doplňkový dokument:

Teoretické principy nekompatibilní s intuicionální logikou.

Typickým krokem při formulaci teorií množin založených na intuicionální logice je pak nahrazení základu klasicky ekvivalentním schématem indukce množiny, který nemá stejné „vedlejší účinky“, ale má podobné důsledky. ^[1]

Pokud jde o druhý krok, který se týkal výběru dobrého souboru teoretických principů, nejvíce zaujaly schémata nahrazení a oddělování a axioma sady mocností. Přesné formulace těchto principů viz doplňkový dokument:

Axiomy CZF a IZF.

Zde je typický scénář. Vzhledem k tomu, co jsou klasicky dvě varianty jediného množinového teoretického principu, vyžaduje jejich klasický důkaz ekvivalence v určitém okamžiku instanci vyloučeného středu. Obecně však tento důkaz ekvivalence nepronikne do intuicionálního kontextu, a tak to, co jsou klasicky dvě formy jednoho principu, může při intuicionistické práci vyústit ve dva odlišné principy. Výběr jednoho z nich může tedy ovlivnit představu o souboru, který takto definujeme. V kontextu konstruktivních teorií množin jako je CZF jsou mocenské sady a separace nahrazeny intuicionisticky slabšími principy. Jedním z důvodů je to, že plná síla sady energie a úplné oddělení jsou považovány za zbytečné,protože jejich slabší náhradníci se zdají být dostačující pro provádění konstruktivní matematiky. Dalším důvodem je to, že jsou považovány za filozoficky problematické, protože mohou zavádět formy impredicativity v teorii množin (viz část Prediktivita v konstruktivní teorii množin). Případ nahrazení versus sběr je nějak složitější (viz například články (Friedman a Scedrov 1985), (Rathjen 2005) a (Rathjen 2012)). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a). Dalším důvodem je to, že jsou považovány za filozoficky problematické, protože mohou zavádět formy impredicativity v teorii množin (viz část Prediktivita v konstruktivní teorii množin). Případ nahrazení versus sběr je nějak složitější (viz například články (Friedman a Scedrov 1985), (Rathjen 2005) a (Rathjen 2012)). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a). Dalším důvodem je to, že jsou považovány za filozoficky problematické, protože mohou zavádět formy impredicativity v teorii množin (viz část Prediktivita v konstruktivní teorii množin). Případ nahrazení versus sběr je nějak složitější (viz například články (Friedman a Scedrov 1985), (Rathjen 2005) a (Rathjen 2012)). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a).protože oni mohou představit formy impredicativity v teorii množin (viz sekci Prediktivita v konstruktivní teorii množin). Případ nahrazení versus sběr je nějak složitější (viz například články (Friedman a Scedrov 1985), (Rathjen 2005) a (Rathjen 2012)). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a).protože oni mohou představit formy impredicativity v teorii množin (viz sekci Prediktivita v konstruktivní teorii množin). Případ nahrazení versus sběr je nějak složitější (viz například články (Friedman a Scedrov 1985), (Rathjen 2005) a (Rathjen 2012)). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a). Je třeba zdůraznit, že zatímco přijetí obvyklé formulace nadace je v rozporu se samotným předpokladem intuicionistické logiky jako logiky na pozadí, zásady separace a sady moci nemají vůbec neslučitelnost s intuicionistickou logikou, natolik, že jsou nedílnou součástí intuitionistická teorie množin IZF (Friedman 1973a).

Abychom to shrnuli, při formulování teorie množin založených na intuicionistické logice je prvním úkolem vyloučit princip vyloučeného středu, včetně jeho případů, které by se mohly skrývat ve známých formulacích množinově teoretických axiomů. Dalším úkolem je vybrat jednu verzi každého klasického principu, která nejlépe charakterizuje požadovaný pojem množiny. To otevírá řadu možností, které může člověk udělat, protože pluralita intuicionálních principů může odpovídat jednomu klasickému principu. Je třeba zdůraznit, že z konstruktivního hlediska je tato pluralita možností (a tedy systémů), spíše než způsobující neklid, velmi žádoucí situací, protože představuje formu „axiomatické svobody“. Například nám umožňuje rozlišovat mezi množstvím matematických pojmů, a tak lépe zachycovat naše intuice jako odlišné. Rovněž nám poskytuje svobodu zvolit si pojmy a teorie, které nejlépe vyhovují danému kontextu. Navíc přijetím intuicionistické logiky můžeme do našich teorií zahrnout principy, které jsou klasicky velmi silné, aniž bychom se museli zavázat ke své klasické síle. Například, jeden může přidat pojem nepřístupného souboru k slabé konstruktivní teorii množin a získat predikativní teorii, zatímco stejný pojem vložený v klasickém kontextu se stává extrémně silným (viz sekce Prediktivita v konstruktivní teorii množin a Velké množiny v konstruktivním) a intuicionální ZF). Nakonec přirozeně vzniká bohatá oblast (meta-teoretického) studia vztahů mezi výslednými odlišnými množinami teoretických systémů. Jak lze očekávat, tato svoboda má také cenu,jako vysoce technická studie axiomatických teorií může být nezbytné rozlišit jejich principy a odhalit některé jejich jemnosti. To lze opět považovat za výhodu, protože nás to nutí k hlubší a jasnější analýze matematických pojmů a nutí nás vyvinout nové sofistikované nástroje.

1.2 Konstruktivní versus intuicionální teorie množin

Přestože existuje mnoho systémů množin založených na intuicionistické logice, můžeme v literatuře rozlišit dva hlavní trendy. Podle prvního vezmeme vše, co je k dispozici v klasické teorii množin ZF, a upravujeme pouze ty zásady, jako je nadace, které mají jasnou nekompatibilitu s intuicionální logikou. Toto dá svah teorii souboru takový jako Intuitionistic Zermelo-Fraenkel, IZF, jehož varianta byla představena už v (Friedman 1973a). (Viz Beeson 1985, kapitoly 8 a 9 a Scedrov 1985 pro dva průzkumy o IZF.) Zdá se, že za těmito teoriemi je poskytnutí matematika nejúčinnějším možným nástrojům, pokud je zachována kompatibilita s intuicionální logikou. Podle druhého přístupukromě dodržování intuiční logiky zavádíme také omezení přijatých teoretických principů, pokud výsledný systém vyhovuje konstruktivní matematické praxi. Teorie tohoto druhého druhu lze tedy chápat jako výsledek dvojího procesu restrikce s ohledem na klasický ZF. Nejprve je omezeno na intuicionistickou logiku, pak je omezeno na povolené množiny teoretických konstrukcí. Ten je motivován (1) pozorováním, že slabší principy se zdají postačovat pro konstruktivní matematickou praxi a (2) touhou držet se formy prediktivity (viz další část pro objasnění této představy o prediktivitě). Paradigmatickými příklady posledního druhu systémů jsou Myhill's Constructive Set Theory (Myhill 1975),Friedmanův systém B (Friedman 1977) a Aczelova konstruktivní Zermelo-Fraenkelova teorie množin CZF (Aczel 1978; 1982; 1986, Aczel & Rathjen 2001; Aczel & Rathjen 2010, Další internetové zdroje). Můžeme také říci, že v tomto druhém přístupu ovlivňuje základní motivace praxe ve vyšší míře.

V následující části používáme konvenci, která je dnes často používána, podle které přídavné jméno „intuitionistic“odkazuje na ty množiny teorií, jako je IZF, které jsou nepředvídatelné, zatímco „konstruktivní“odkazuje na teorie teorií, jako je CZF, které splňují určitou formu prediktivity. Všimněte si však, že tato úmluva není v literatuře vždy dodržována. Ve skutečnosti se přídavné jméno „konstruktivní“také používalo k označení implicitních teorií a „intuicionistické“se odkazovalo na predikativní základní teorie, jako je teorie typu Martin-Löf (Martin-Löf 1975; 1984). Rovněž stojí za zmínku, že současná úmluva o používání slov „konstruktivní“a „intuicionální“se liší od úmluvy učiněné v kontextu konstruktivní matematiky (viz například položka o konstruktivní matematice a také Bridges and Richman 1987)..

1.3 Prediktivita v konstruktivní teorii množin

Prediktivismus má svůj původ ve spisech Poincarého a Russella, kteří reagovali na paradoxy, které byly objeveny v Cantorových a Fregeových teoriích na počátku 20. století. Následně Weyl zásadně přispěl ke studiu predikativní matematiky (Weyl 1918, viz také Feferman 1988). Podle jednoho pojmu je definice implikativní, pokud definuje objekt odkazem na celek, který zahrnuje objekt, který má být definován. Russell se svým principem Vicious Circle Princip (VCP) zamýšlel eliminovat kruhovitost v matematice, která vyplývá z těchto implicitních definic. Russell dal různé formulace VCP, z nichž jeden je:

To, co obsahuje zjevnou proměnnou, nesmí být možnou hodnotou této proměnné (Russell 1908, van Heijenoort 1967, 163).

Poincaré, Russell a Weylová základní analýza prediktivity připravila cestu pro řadu logických analýz tohoto pojmu. Nejběžněji přijímanou analýzou jsou Feferman a Schütte (nezávisle) následující linie označené Kreiselem (Kreisel 1958, Feferman 1964 a Schütte 1965; 1965a). Teorie důkazů zde hraje klíčovou roli. Ve velmi drsných termínech bylo myšlenkou vyčlenit sbírku teorií (transfinitní postup systémů rozvětvených aritmetických řádů druhého řádu indexovaných ordinály), pomocí kterých charakterizovat určitou představu prediktivního ordinálu. Feferman a Schütteova důkazní teoretická analýza těchto teorií identifikovala ordinál, obvykle označovaný jako (Gamma_0), což je podle této představy nejméně prediktivní ordinál. Formální systém je považován za prediktivně ospravedlnitelný, pokud je prokazatelně teoreticky redukovatelný na systém rozvětvené arthmetiky druhého řádu indexovaný ordinálem menším než (Gamma_0). Proto je teorie důkazů (Gamma_0) obvykle považována za představující mez prediktivity. (Viz Feferman 2005 pro přesnější neformální popis této představy o prediktivitě a další odkazy. Viz také Crosilla 2017. Čtenář může také nahlédnout do kapitoly o prediktivismu ve vstupu do filozofie matematiky a záznamu o paradoxech a současné logice).(Viz Feferman 2005 pro přesnější neformální popis této představy o prediktivitě a další odkazy. Viz také Crosilla 2017. Čtenář může také nahlédnout do kapitoly o prediktivismu ve vstupu do filozofie matematiky a záznamu o paradoxech a současné logice).(Viz Feferman 2005 pro přesnější neformální popis této představy o prediktivitě a další odkazy. Viz také Crosilla 2017. Čtenář může také nahlédnout do kapitoly o prediktivismu ve vstupu do filozofie matematiky a záznamu o paradoxech a současné logice).

Pro konstruktivní základní teorie byly navrženy „liberálnější“přístup k prediktivismu, počínaje prací koncem 50. let v Lorenzenu, Myhillu a Wangu (viz např. Lorenzen a Myhill 1959). Hnací myšlenkou je, že v oblasti konstruktivní matematiky by měly být povoleny tzv. Induktivní definice. Intuitivní zdůvodnění induktivních definic souvisí se skutečností, že je lze vyjádřit pomocí konečných pravidel „zdola nahoru“. Důkazově teoretická síla teorií induktivních definic jde daleko za hranice Fefermana a Schütta (Buchholz, Feferman, Pohlers a Sieg 1981). V dnešních základech konstruktivní matematiky jsou tedy relativně silné teorie považovány za prediktivní. Tato liberálnější představa o prediktivitě se často nazývá zobecněná prediktivita. V této položce jednoduše píšeme prediktivitu pro generalizovanou prediktivitu a nazýváme prediktivitu vzhledem k přirozeným číslům lépe známou formu prediktivity, která vzniká v klasickém kontextu a byla analyzována Kreiselem, Fefermanem a Schütte.

Příkladem predikativní teorie v tomto smyslu je konstruktivní teorie množin CZF, protože její důkazně-teoretická síla je stejná jako u teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Systém IZF je naopak nepředvídatelný, protože jeho důkazně teoretická síla se rovná síle celého klasického ZF (Friedman 1973a).

V teoriích množin založených na intuicionální logice je prediktivita obvykle dosahována omezením principů oddělování a sady moci, protože tyto se zdají být hlavními zdroji impredicativity (když se předpokládá axiom nekonečna).

1.3.1 Předvídavost odloučení

Schéma oddělení nám umožňuje vytvořit podmnožinu dané množiny, jejíž prvky uspokojují danou vlastnost (vyjádřenou vzorcem v jazyce teorie množin). Vzhledem k množině (B) a vzorci (phi (X)) nám separace umožňuje vytvořit novou množinu, množinu těch prvků (X) z (B), pro které (phi) drží. Toto je obvykle neformálně reprezentováno jako: ({X / in B: / phi (X) }). Oddělení může vést k nepředvídavosti v případě, že vzorec (phi) obsahuje neomezené kvantifikátory, které sahají po celém vesmíru množin; ve skutečnosti při definování nového souboru oddělením můžeme tedy odkazovat na tento velmi soubor, což je v rozporu s Russellovým VCP. Například pokud definujeme množinu (C) separací jako ({X / in B: / forall Y / psi (X, Y) }), pak (C) patří mezi (Y), které je třeba zkontrolovat na vlastnost (psi). Této formě impredicativity se v konstruktivní teorii množin vyhýbáme omezením schématu separace: vyžadováním, aby všechny kvantifikátory vyskytující se ve vzorci (phi) byly v rozsahu pouze nad "dříve konstruovanými" množinami. Syntakticky to znamená, že vzhledem k množině (B) můžeme vytvořit novou množinu ({X / in B: / phi (X) }) separací, pouze pokud jsou všechny kvantifikátory v (phi) jsou omezeny; to znamená, pouze pokud všechny kvantifikátory v (phi) mají tvar (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) nebo (existuje X (X / in Y / wedge / ldots))), pro některé sady (Y).\ phi (X) }) separací, pouze pokud jsou omezeny všechny kvantifikátory v (phi); to znamená, pouze pokud všechny kvantifikátory v (phi) mají tvar (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) nebo (existuje X (X / in Y / wedge / ldots))), pro některé sady (Y).\ phi (X) }) oddělením, pouze pokud jsou omezeny všechny kvantifikátory v (phi); to znamená, pouze pokud všechny kvantifikátory v (phi) mají tvar (forall X (X / in Y / rightarrow / ldots)) nebo (existuje X (X / in Y / wedge / ldots))), pro některé sady (Y).

Vidíme, že omezující separace tímto způsobem se vyhýbá předvídavosti pozorováním, že důkazní teoretická síla CZF, která má pouze omezené oddělení, je v rozsahu prediktivity. Přidáním úplné separace k CZF však člověk získá nepředvídatelnou teorii, ve skutečnosti, jednu se stejnou důkazně-teoretickou silou jako aritmetika úplného druhého řádu (Lubarsky 2006). Viz také část 5, kde je rozebrána role teorie důkazů při analýze konstruktivních a intuicionálních teorií množin.

1.3.2 Nevyhnutelnost Powersetu

Axiom setu výkonu nám umožňuje vytvořit množinu všech podmnožin dané sady. Příklad implicitního použití sady energie je dán definicí podmnožiny přirozených čísel, (N), takto: (B: = {n / in N: / forall C / subseteq N / phi (n, C) }), kde (phi) lze považovat za omezený vzorec. Jakási (B) sama o sobě je součástí podmnožin (N), u kterých je třeba zkontrolovat (phi). Jak zdůraznil Myhill (1975, 354), je mocenská soustava obtížně ospravedlnitelná z konstruktivního hlediska: shromažďuje všechny podmnožiny dané množiny, ale nepředepisuje pravidlo, které „konstruuje“množinu z dříve dané sady, jak by se zdálo vyžadovat prediktivitu.

Myhill píše:

Ve srovnání s ostatními axiomy se zdá, že mocenská sada je zvláště nekonstruktivní a nepředvídatelná: nezahrnuje, jak to dělají ostatní, sestavování nebo rozebírání souborů, které už jeden vytvořil, ale spíše výběr z celkového počtu všech sad, které stojí ve vztahu zařazení do dané sady. (Myhill 1975, 351).

Energetická sada se zdá být zvláště problematická v případě nekonečných množin, protože „nemáme představu o tom, co je libovolná podmnožina nekonečné množiny; neexistuje způsob, jak je všechny generovat, a tak nemáme způsob, jak vytvořit množinu všech (Myhill 1975, 354). V důsledku toho se zdá, že neexistuje žádný způsob, jak dát konstruktivní smysl sadě všech podmnožin nekonečné množiny.

Myhill zásadně poznamenává, že mocenská sada není potřebná pro konstruktivní matematickou biskupskou podobu, protože ji lze nahradit jedním z jejích důsledků. Tomu se často říká Myhillův exponentizační axiom a říká, že můžeme vytvořit sadu všech funkcí z jedné dané sady do druhé. Tento axiom je jasně ekvivalentní výkonu nastavenému v klasickém kontextu, kde podmnožiny dané sady mohou být reprezentovány charakteristickými funkcemi. Při absenci principu vyloučeného středu však nejsou moc a exponentiace rovnocenné. Myhillovo základní pozorování je to, že exponentiace postačuje k provedení matematiky (Bishop 1967); například umožňuje konstrukci (Cauchyho) reálných čísel v konstruktivní teorii množin. Myhill tvrdí, že exponentiace je konstruktivně smysluplná, protože funkce je pravidlem,konečný předmět, který může být ve skutečnosti dán.

On také píše, že případ souboru moci je odlišný od případu exponentiace jak:

i v případě nekonečných množin (A) a (B) máme představu o libovolném mapování z (A) na (B). Libovolné mapování z (mathbf {Z}) do (mathbf {Z}) je částečná rekurzivní funkce spolu s důkazem, že výpočet vždy končí; podobný účet může být dán libovolnou skutečnou funkcí. Neexistuje odpovídající vysvětlení „svévolné podmnožiny“. (Myhill 1975, 354).

Myhillův exponentiační axiom je nyní součástí všech hlavních systémů konstruktivní teorie množin. V případě CZF má ve skutečnosti zesílení exponentiace, známé jako kolekce podskupin, což je také oslabení sady energie. Zobecnění exponentiace lze nalézt také v konstruktivní teorii typů.

V případě CZF může být tvrzení, že přidání axiomu s mocninou vyvolává určitou formu nepředvídatelnosti, doloženo technickým výsledkem. Rathjen (2012b) ukazuje, že CZF rozšířený o axiom setu výkonu překračuje sílu klasické teorie Zermelo setu, a proto přidání axiomu set set power do CZF nás přivádí k plně nepředvídatelné teorii. To také ukazuje, že důsledky ze sady energie do kolekce podmnožin nelze zvrátit, protože zkušební teoretická síla CZF je hluboko pod teorií Zermleo set-theory. Jinými slovy, axiom setu výkonu je mnohem silnější než exponentiace a kolekce podmnožin.

1.3.3 Konstruktivní vesmír sad

Poté, co zavedeme příslušná omezení pro napájení a oddělení, můžeme nyní čelit značné námitce. Konstruktivní a intuicionální teorie množin lze chápat jako modifikace klasické teorie množin ZF, které jsou získány: (1) nahrazením klasiky intuicionistickou logikou a (2) přesným výběrem z různých klasicky ekvivalentních principů těch, které se zdají vhodnější pro dané účely. Například bychom si mohli vybrat principy, které postačují k reprezentaci určité matematické praxe, jako je například matematika biskupského stylu. Výsledná představa o souboru se však může stát nejasnou a volba teoretických principů se může do jisté míry zdát libovolná. V případě intuicionálního ZF lze ospravedlnit výběr set-teoretických principů zkoumáním jeho sémantických interpretací,jako Heyting sémantika, nebo pohledem na její kategorické modely. V případě konstruktivní teorie množin, aby bránil tomuto druhu námitek, dal Aczel výklad CZF ve verzi teorie typu Martin-Löf (Aczel 1978). Tvrdí se, že jasnému konstruktivnímu významu je tedy přiřazen pojem CZF o souboru stanovením jeho významu v teorii typu Martin-Löf, protože ten se obvykle považuje za představující přesnou a plně motivovanou formulaci konstruktivního pojmu množina. Aczelova interpretace CZF v konstruktivní teorii typů je dána interpetujícími sadami jako stromy v teorii typů. To znamená, že v konstruktivní teorii typů je vesmír sad CZF reprezentován typem V iteračních množin postavených nad vesmírem U malých typů (Aczel 1978; Martin-Löf 1984). Tato interpretace jasně zdůrazňuje (generalizovanou) prediktivitu CZF, jejíž sady lze vnímat jako induktivní stromy vytvořené a jejichž množina teoretických vesmírů má také jasnou indukční strukturu.

Prediktivita CZF a souvisejících systémů je v souladu s filozofickými pozicemi, které jsou často spojeny s používáním intuicionistické logiky. Zejména by se zdálo, že pokud konstruujeme matematické objekty, například, pokud jsou matematické objekty mentálními konstrukcemi nějakého druhu, pak by se uchýlením k nepředvídatelným definicím vytvořila nežádoucí forma kruhovitosti. To jasně kontrastuje s názorem často spojeným s klasickou teorií množin, pro kterou lze naši matematickou aktivitu považovat za postupné odhalení vlastností vesmíru množin, jejichž existence je na nás nezávislá. Takový pohled je obvykle spojen s použitím klasické logiky a nepředvídavosti při studiu set-teoretického vesmíru. Prediktivita je také často vnímána jako souvislost s časově uznávaným rozlišením mezi skutečnou a potenciální nekonečnem. Predikativní (a tedy zejména konstruktivní) teorie jsou často považovány za vyhýbání se odkazu na skutečné nekonečno a pouze se zavázaly k potenciálnímu nekonečnu (Dummett 2000, Fletcher 2007). To se opět jeví zejména v souladu s těmi filozofickými pozicemi, které zdůrazňují lidskou dimenzi naší matematické činnosti, protože například vidí matematické objekty a pravdivost výroků o nich jako závislých na nás. Další související aspekt je často vnímán jako vztahující se k prediktivitě: pokud je vesmír sad budován v etapách naší vlastní matematickou aktivitou, pak by bylo přirozené také jej považovat za otevřený konec. Z tohoto důvodu v konstruktivním kontextukde odmítnutí klasické logiky splňuje požadavek prediktivity, je vesmír sad často popisován jako otevřený koncept, vesmír „in fieri“. Tato myšlenka je zvláště dobře doložena v konstruktivní teorii typů, kde pojem „teoreticko-teoretického vesmíru“úmyslně nechal otevřený Per Martin-Löf (tím, že pro něj nestanovil konkrétní vylučovací pravidla). Otevřená povaha vesmíru sad dláždila cestu k jeho rozšíření pomocí principů reflexe. Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014).vesmír sad je často popisován jako otevřený koncept, vesmír „in fieri“. Tato myšlenka je zvláště dobře doložena v konstruktivní teorii typů, kde pojem „teoreticko-teoretického vesmíru“úmyslně nechal otevřený Per Martin-Löf (tím, že pro něj nestanovil konkrétní vylučovací pravidla). Otevřená povaha vesmíru sad dláždila cestu k jeho rozšíření pomocí principů reflexe. Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014).vesmír sad je často popisován jako otevřený koncept, vesmír „in fieri“. Tato myšlenka je zvláště dobře doložena v konstruktivní teorii typů, kde pojem „teoreticko-teoretického vesmíru“úmyslně nechal otevřený Per Martin-Löf (tím, že pro něj nestanovil konkrétní vylučovací pravidla). Otevřená povaha vesmíru sad dláždila cestu k jeho rozšíření pomocí principů reflexe. Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014).kde představa o typu teoretického vesmíru byla úmyslně ponechána otevřená Per Martinem-Löfem (tím, že pro něj nebyla stanovena specifická vylučovací pravidla). Otevřená povaha vesmíru sad dláždila cestu k jeho rozšíření pomocí principů reflexe. Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014).kde představa o typu teoretického vesmíru byla úmyslně ponechána otevřená Per Martinem-Löfem (tím, že pro něj nebyla stanovena specifická vylučovací pravidla). Otevřená povaha vesmíru sad dláždila cestu k jeho rozšíření pomocí principů reflexe. Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014). Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014). Ty byly zkoumány jak v teorii typů, tak v konstruktivní teorii množin. Viz (Rathjen 2005a) pro přehled výsledků a základní diskusi a také oddíl 5.2. Formální analýza konstruktivního vesmíru množin a srovnání s von Neumannovou hierarchií viz (Ziegler 2014).

2. Počátky konstruktivních a intuitivních teorií množin

Intuitionistické verze teorií množin Zermelo-Fraenkel byly představeny na začátku 70. let Friedmanem a Myhillem. V (Friedman 1973) autor představuje studii formálních vlastností různých intuicionistických systémů a představuje pro ně rozšíření metody Kleeneovy realizovatelnosti. Technika realizovatelnosti se používá v (Myhill 1973), aby se ukázala vlastnost existence pro verzi intuicionistické teorie teorií Zermelo-Fraenkel (s nahrazením místo sběru). V dalším zásadním příspěvku rozšiřuje Friedman překlad intuitivní logiky s dvojitou negací tak, aby se týkal klasických a intuicionálních teorií množin (Friedman 1973a). Tyto první práce již řeší vztah mezi některými hlavními intuicionálními teoriemi množin a klasickým ZF. Také objasňují klíčový rys teorie množin založený na intuicionistické logice,hlavně že je přístupný silným konstruktivním sémantickým interpretacím, jako je realizovatelnost. Tyto techniky jsou aplikovány na studium rozhodujících metatheoretických vlastností, které jsou typické pro konstruktivní přístup a které se těší některým konstruktivním teoriím množin (viz část Sémantické techniky). Tato průkopnická práce byla plně využita a podstatně rozšířena v práci Beesona a McCartyho (viz Beeson 1985; McCarty 1984). Tato průkopnická práce byla plně využita a podstatně rozšířena v práci Beesona a McCartyho (viz Beeson 1985; McCarty 1984). Tato průkopnická práce byla plně využita a podstatně rozšířena v práci Beesona a McCartyho (viz Beeson 1985; McCarty 1984).

Konstruktivní teorie množin od samého začátku má výraznější základní poslání a je spjata s Bishopovou matematikou. Ve skutečnosti v roce 1967 Bishop vydal knihu „Základy konstruktivní analýzy“(Bishop 1967), která otevřela novou éru pro matematiku založenou na intuicionistické logice (viz položka konstruktivní matematika). Monografie podnítila v logické komunitě nové pokusy objasnit a formálně reprezentovat principy, které Bishop použil, i když pouze na neformální úrovni. První pokusy Goodman a Myhill (Goodman a Myhill 1972) využily verze Gödelova systému T (viz také (Bishop 1970) pro podobný pokus). Myhill však dospěl k závěru, že výsledná formalizace je příliš složitá a umělá (Myhill 1975, 347). Myhill místo toho navrhl systém, který je blíže neformální představě o souboru původně využívaném Bishopem a také blíže k teoretické tradici. Myhill píše (1975, 347):

Odmítáme věřit, že věci musí být tak složité - argumentace (Bishop 1967) vypadá velmi hladce a zdá se, že přímo spadá z určitého pojetí toho, co jsou sady, funkce atd., A chceme objevit formalismus, který izoluje principy, které jsou základem této koncepce, stejným způsobem, jakým teorie teorie Zermelo-Fraenkel izoluje principy, na nichž je založena klasická (nekonstruktivní) matematika. Chceme, aby tyto zásady byly takové, aby proces formalizace učinil zcela triviální, jak je tomu v klasickém případě.

Pozorujeme zde, že Myhillova konstruktivní teorie množin rozlišovala pojmy funkce, přirozené číslo a množina; úzce tedy představovala konstruktivní tradici, ve které jsou funkce a přirozená čísla koncepčně nezávislé na sadách. Dalším zásadním krokem ve vývoji konstruktivní teorie množin byl Friedmanův „Set-teoretický základ pro konstruktivní analýzu“(Friedman 1977). Zde je mezi jinými systémy definován systém zvaný B, který má ve srovnání s Myhillovými omezeními další omezení teoretických principů (zejména nemá žádnou indukci). Má také omezenou formu axiomu závislé volby. Ukázalo se, že systém B je dostatečně expresivní, aby představoval konstruktivní analýzu Bishopa (1967), zatímco byl současně důkaz - teoreticky velmi slabý (kvůli absenci nastavené indukce). Systém B je ve skutečnosti konzervativním rozšířením aritmetiky (je tedy značně pod hranicí prediktivity vzhledem k přirozeným číslům stručně připomenutým v oddíle 1.3). Systémy Myhill a Friedman byly následně upraveny společností Aczel, aby se získal systém CZF (Constructive Zermelo-Fraenkel), který je plně kompatibilní s jazykem ZF (Aczel 1978, 1982, 1986; Aczel a Rathjen 2001; 2010). CZF také nezahrnovala žádné zásady výběru. Aczel poskytl interpretaci CZF v teorii typu Martin-Löf s cílem potvrdit konstruktivní povahu teorie množin. Také posílil některé principy Myhillova systému (jmenovitě sbírku a exponentaci) na základě toho, že silnější verze jsou stále validovány interpretací v teorii typů.

Další základní systémy pro konstruktivní matematiku ve stylu biskupa byly představeny na počátku 70. let. Například: explicitní matematika S. Fefermana (Feferman 1975) a již zmíněná teorie intuitivního typu (Martin-Löf 1975; 1984). Teorie konstruktivního typu je obvykle považována za nejuspokojivější základ pro konstruktivní matematiku v biskupském stylu. Jak teorii typů, tak explicitní matematiku lze považovat za přímější vyjádření výpočetního obsahu konstruktivní matematiky. Zejména teorii typů lze chápat jako velmi obecný a expresivní programovací jazyk. Konstruktivní a intuicionistické teorie množin zobrazují svůj výpočetní obsah pouze nepřímo prostřednictvím svých sémantických interpretací (viz např. (Aczel 1977), (Lipton 1995) a oddíl sémantické techniky).

3. Axioms Systems CZF a IZF

Pro čtenáře, který je již obeznámen s teorií množin ZF, si nyní krátce vybavíme axiomy systémů CZF a IZF. Úplný seznam a vysvětlení jejich axiomů místo toho odkazujeme na doplňkový dokument:

Axiomy CZF a IZF.

CZF a IZF jsou formulovány na základě intuicionistické logiky prvního řádu s rovnoprávností, přičemž jako doplňkový non-logický binární predikátový symbol mají pouze (in) (členství). Jejich set-teoretické axiomy jsou následující.

(mathbf {IZF})	(mathbf {CZF})
Prodlužování	(stejný)
Pár	(stejný)
unie	(stejný)
Nekonečno	(stejný)
Oddělení	Omezená separace
Sbírka	Silná kolekce
Powerset	Kolekce podmnožin
Nastavte indukci	(stejný)

Všimněte si, že v IZF je schéma oddělení neomezené. V CZF je kolekce posílena, aby kompenzovala omezené oddělení. Kolekce podmnožin je posílením Myiomova exponentiálního axiomu, čímž nahrazuje ZF Powerset.

4. Zásady konstruktivní volby

Při diskusi o roli teorie klasických množin jako základu pro matematiku se obvykle uvažuje teorie ZFC, tj. Axiometrický systém ZF plus axiom výběru (AC). Člověk by se proto mohl divit, jaký je stav axiomu výběru v intuicionálním prostředí. Otázka je zvláště důležitá, protože při svém prvním vzhledu byla axioma výběru často považována za kontroverzní a vysoce nekonstruktivní. V konstruktivních kontextech je však jeden svědkem zvláštního jevu. Obvyklá forma axiomu výběru je potvrzena teoriemi typů, jako je teorie typu Martin-Löf, kde je držitelem Curry-Howardovy korespondence (viz oddíl 3.4 záznamu o konstruktivní matematice). Na druhé straně, předpoklad axiomu výběru vede k případům vyloučeného středu v extenzivních kontextech,kde je také k dispozici forma oddělení. To je například případ konstruktivního a intuicionálního ZF. (Důkaz viz doplňkový dokument o teoretických principech nekompatibilních s intuitivní logikou.) Zdá se, že důkaz o nekompatibilitě AC s teoriemi rozšiřujících množin založených na intuicionistické logice se poprvé objevil v (Diaconescu 1975) v kategorickém kontextu. Goodman a Myhill argumentují pro teorie množin založené na intuicionální logice (Goodman a Myhill 1978).) Zdá se, že důkaz o nekompatibilitě AC s rozšířenými teoriemi množin založený na intuicionální logice se poprvé objevil v (Diaconescu 1975) v kategorickém kontextu. Goodman a Myhill argumentují pro teorie množin založené na intuicionální logice (Goodman a Myhill 1978).) Zdá se, že důkaz o nekompatibilitě AC s rozšířenými teoriemi množin založený na intuicionální logice se poprvé objevil v (Diaconescu 1975) v kategorickém kontextu. Goodman a Myhill argumentují pro teorie množin založené na intuicionální logice (Goodman a Myhill 1978).

Ačkoli axiom volby je nekompatibilní s konstruktivním i intuicionálním ZF, k základním systémům mohou být přidány další principy volby, aniž by byly získány stejné nežádoucí výsledky. Například bychom mohli přidat princip spočítatelné volby (AC (_ 0)) nebo princip závislé volby (DC). Ve skutečnosti byli oba často zaměstnáni v konstruktivní matematické praxi. (Přesná formulace viz doplňkový dokument Axioms of CZF and IZF.)

V (Aczel 1978) autor také zvažoval princip výběru zvaný Prezentační axiom, který tvrdí, že každá množina je adjektivním obrazem takzvané základny. Základ je množina, řekněme (B), taková, že každý vztah s doménou (B) rozšiřuje funkci s doménou (B).

Kompatibilitu všech těchto forem výběru s konstruktivní teorií množin prokázal Aczel rozšířením své interpretace CZF v teorii typu Martin-Löf (Aczel 1982). Rathjen (2006) také zvažoval různé principy konstruktivní volby a jejich vzájemné vztahy.

Závěrečná poznámka: ačkoli konstruktivní a intuicionální teorie teorií jsou kompatibilní s právě zmíněnými principy volby, teorie teorií jsou často definovány bez principů volby. To má za cíl umožnit „pluralistický“základní přístup. Zejména bychom chtěli získat základní teorii slučitelnou s těmi kontexty (např. Kategoriální modely teorie množin), ve kterých nemusí být validovány ani tyto slabší principy volby. Podobné nápady v kontextu teorie konstruktivního typu viz (Maietti a Sambin 2005, Maietti 2009). Chceme zde také zmínit Richmanovu výzvu ke konstruktivní matematice, která nevyužívá principů výběru (Richman 2000; 2001).

5. Důkazní teorie a sémantika konstruktivního a intuitivního ZF

Při zvažování určité matematické praxe (nebo teorie používané k jejímu kodifikaci) z filozofického hlediska musíme co nejpřesněji objasnit předpoklady, které jsou v ní učiněny, a důsledky, které z těchto předpokladů vyplývají. To platí zejména při práci s teoriemi, které jsou založeny na slabší logice než klasické, pro které je nutný hlubší a přesnější vhled. K dispozici je mnoho technických nástrojů, které nám mohou pomoci objasnit tyto aspekty. Mezi dostupné nástroje patří metody teoretického ověřování, jako jsou interpretace důkazu, a také sémantické techniky, jako je realizovatelnost, Kripkeho modely, sémantika s hodnotou Heyting. Ve skutečnosti je v literatuře často svědkem souhry důkaz-teoretických a sémantických technik. Zde uvádíme krátký pohled na některá z těchto témat a navrhujeme další čtení.

5.1 Důkazová síla

Základním tématem teorie důkazů (zejména v oboru této disciplíny známé jako ordinální analýza) je klasifikace teorií pomocí transfinitálních ordinálů, které měří jejich „sílu konzistence“a „výpočetní sílu“. Tyto ordinály naznačují, jak silná je teorie, a proto nabízejí způsob porovnání různých teorií. Například, ordinal (varepsilon_0) je důkaz-teoretický ordinal Peano aritmetiky, a je hodně menší než ordinal (Gamma_0), obvykle odkazoval se na jak “limit prediktivity” (vidět sekci 1.3 nahoře)). To svědčí o tom, že existují predikativně přijatelné teorie, které jsou mnohem silnější než Peano aritmetika.

Jak je uvedeno v oddíle 1, krok od klasického ZF k jeho intuicionistickým variantám vyžaduje, abychom si vybrali vhodnou formulaci pro každou množinu teoretických axiom: jedna klasická axiom může mít řadu intuicionistických variant, které se ukáží, že nejsou vzájemně ekvivalentní. To se někdy odráží v důkazně teoretické síle výsledných teorií, které se mohou lišit v závislosti na tom, které zásady zvolíme. Například jsme již poznamenali, že v CZF nemáme úplné oddělení a nastavení výkonu, které jsou nahrazeny prediktivně přijatelnými principy omezeného oddělení a sběru podmnožiny. Přidáme-li však k CZF některý z těchto principů, získáme implikativní teorie. O nepředvídatelnosti výsledných teorií svědčí skutečnost, že jejich důkazně-teoretická síla daleko přesahuje sílu CZF.

Není divu, že vyšetřování důkazně-teoretické síly konstruktivních a intutionistických teorií množin bylo zásadním meta-teoretickým nástrojem pro pochopení těchto teorií a jejich vzájemných vztahů. Vyšetřování důkazní teoretické síly teorie je bohaté a poučné. Feferman (1993) zejména tvrdil, že analýza teoretických důkazů nám může pomoci stanovit, zda určitá teorie odpovídá danému filozofickému rámci: například analýza může odhalit, že teorie je predikativní nebo finitistická atd. Dále, jako vedlejší produkt analýzy teoretických důkazů občas získáváme jednoduché důkazy nezávislosti. Ve skutečnosti můžeme ukázat, že teorie nemůže prokázat konkrétní princip, protože její přidání do teorie by zvýšilo teorii teoretických důkazů. Například,CZF neprokazuje axiom mocninové sady, protože přidání mocninové soustavy k CZF vede k mnohem silnější teorii. Proof-teoretické interpretace byly také použity k porovnání konstruktivních a intuicionálních teorií množin ZF mezi sebou navzájem, stejně jako s jejich klasickými protějšky a také s jinými základními systémy pro konstruktivní matematiku, jako je konstruktivní typová teorie a explicitní matematika (viz např. Griffor a Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pro definici pojmu důkaz-teoretická síla a pro průzkumy teorie důkazů viz například (Rathjen 1999, 2006b).stejně jako s jejich klasickými protějšky a také s dalšími základními systémy pro konstruktivní matematiku, jako je teorie konstruktivního typu a explicitní matematika (viz např. Griffor a Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pro definici pojmu důkaz-teoretická síla a pro průzkumy teorie důkazů viz například (Rathjen 1999, 2006b).stejně jako s jejich klasickými protějšky a také s dalšími základními systémy pro konstruktivní matematiku, jako je teorie konstruktivního typu a explicitní matematika (viz např. Griffor a Rathjen 1994, Tupailo 2003). Pro definici pojmu důkaz-teoretická síla a pro průzkumy teorie důkazů viz například (Rathjen 1999, 2006b).

Přestože jsou CZF a IZF nejrozšířenějšími studovanými systémy, v literatuře se dosud uvažovalo o řadě dalších systémů pro konstruktivní a intuicionální teorii množin. Důkazově teoretická síla řady konstruktivních a intuicionálních teorií množin byla stanovena řadou nástrojů, jako je například rozšíření teorie množin interpretace dvojité negace (vzniklo v (Friedman 1973a)) a rozmanitostí jiných interpretací důkazů a teoretických výkladů, často vyplývajících z pečlivé kombinace sémantických a důkazních teoretických technik. V mnoha případech byla důkazní síla systému stanovena řetězcem interpretací mezi konstruktivními a klasickými systémy a pomocí různých nástrojů, od spolehlivosti k více „tradičním“technikám teoretické kontroly, jako ordinální analýza (viz,například Beeson 1985; Griffor a Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Zejména se ukázalo, že realizovatelnost je velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor a Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Zejména se ukázalo, že realizovatelnost je velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Beeson 1985; Griffor a Rathjen 1994; Rathjen 2012b). Zejména se ukázalo, že realizovatelnost je velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Rathjen 2012b). Zejména se ukázalo, že realizovatelnost je velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Rathjen 2012b). Zejména se ukázalo, že realizovatelnost je velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0).realizovatelnost se ukázala jako velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0).realizovatelnost se ukázala jako velmi užitečná díky své flexibilitě. Pokud jde o výsledky těchto šetření, některé analyzované systémy se ukázaly být stejně slabé jako aritmetické, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla této teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0).některé z analyzovaných systémů se ukázaly být stejně slabé jako aritmetika, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0).některé z analyzovaných systémů se ukázaly být stejně slabé jako aritmetika, jako například Friedmanův systém B (Friedman 1977); ostatní systémy jsou stejně silné jako klasické ZF jako IZF (Friedman 1973a). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0). Existují také systémy střední síly, jako je CZF. Síla druhé teorie se ve skutečnosti rovná síle teorie jedné induktivní definice známé jako ID (_ 1). Skutečnost, že CZF má stejnou sílu jako ID (_ 1), se používá k potvrzení (zobecněné) prediktivity teorie množin ak prokázání, že překračuje mez prediktivity vzhledem k přirozeným číslům, protože ID (_ 1)), důkazní teoretický ordinál je výrazně nad (Gamma_0).

Závěrem lze říci, že zatímco síla CZF je výrazně pod sílou aritmetiky druhého řádu, jednoduché přidání vyloučeného středu k CZF nám dává (plný) ZF. To by mělo být v kontrastu s IZF, který již má sílu ZF (Friedman 1973a). Omezená teoretická síla důkazu CZF ve srovnání s IZF byla často považována za jednu z hlavních výhod konstruktivní oproti intuicionální teorii množin. V jistém smyslu by se zdálo, že CZF co nejvíce využívá své intuicionistické logiky, protože charakterizuje pojem (zobecněného) prediktivního souboru, který je dostatečně silný pro vývoj velké části konstruktivní matematiky, ale také dostatečně slabý, aby se vyhnul nepředvídavosti. Je zajímavé, že když se do konstruktivní teorie množin přidaly některé velké množiny axiomů, objevil se podobný vzorec,protože síla výsledné teorie je hluboko pod sílou odpovídající klasické teorie.

5.2 Velké sady konstruktivního a intuicionálního ZF

Prominentní oblast výzkumu v klasické teorii množin je oblast velkých kardinálů (viz záznam o teorii množin). V konstruktivních kontextech nejsou ordinály lineárně uspořádány. (Pro představu o konstruktivním ordinálu a stručné diskusi o jeho vlastnostech viz doplňkový dokument o: Teoretických principech neslučitelných s intuitivní logikou.) V důsledku toho kardinální čísla nehrají stejnou roli jako v klasickém prostředí.

Lze však studovat dopad „principů reflexe“formy velkých set axiomů. Například lze do konstruktivních a intuicionálních teorií množin přidat axiom, který tvrdí existenci nepřístupných množin. ^[2] Přidání velkých set axiomů do intuicionálního ZF bylo poprvé navrženo Friedmanem a Scedrovem (Friedman a Scedrov 1984). Jedním z jejich cílů bylo osvětlit odpovídající klasické pojmy; další bylo studovat dopad těchto principů na metatheoretické vlastnosti původních teorií množin. Friedman a Scedrov například ukázali, že přidání velkých množin axiomů neohrozí platnost disjunkčních a numerických existenčních vlastností pro IZF.

V souvislosti s konstruktivní teorií množin byly společností Aczel zavedeny velké sady ve formě tzv. Pravidelných sad, které umožňují induktivní definice množin (Aczel 1986). Rathjen a Crosilla považovali za nepřístupné sady (Rathjen al. 1998; Crosilla a Rathjen 2001) a Mahlo sady (Rathjen 2003a). Nicméně, námitka by mohla být vznesena k rozšíření konstruktivní teorie množin velkými množinovými axiomy. V klasické teorii množin lze velké kardinály vnímat jako inkarnaci vyšší nekonečna. Jak konstruktivně ospravedlňujeme tyto zásady? Konstruktivní zdůvodnění těchto pojmů se opět opírá o interpretaci teoretických typů. Přidání těchto principů ve skutečnosti odpovídá tomu vesmírů a (W) - typů v konstruktivní teorii typů. Opodstatnění rozšíření velkými množinami je tedy spojeno s otázkou limitů teorie typu Martin-Löf (Rathjen 2005). Také si všimneme, že přidání nepřístupných množin axiomů do slabého subsystému CZF (bez indukce množiny) vytváří teorii síly (Gamma_0), ordinální číslo, které Feferman a Schütte označili za mez prediktivity vzhledem k přirozenému čísla (Crosilla a Rathjen 2001; viz také oddíl 1.3). Svědčí to o tom, že prací v konstruktivním, prediktivním kontextu můžeme zkrotit tradičně silné teoretické pojmy.ordinál, který Feferman a Schütte vybrali jako hranici prediktivity vzhledem k přirozeným číslům (Crosilla a Rathjen 2001; viz také oddíl 1.3). Svědčí to o tom, že prací v konstruktivním, prediktivním kontextu můžeme zkrotit tradičně silné teoretické pojmy.ordinál, který Feferman a Schütte vybrali jako hranici prediktivity vzhledem k přirozeným číslům (Crosilla a Rathjen 2001; viz také oddíl 1.3). Svědčí to o tom, že prací v konstruktivním, prediktivním kontextu můžeme zkrotit tradičně silné teoretické pojmy.

Teorie množin Crosilla a Rathjena s nepřístupnými množinami (ale bez indukce množiny) je důkazem teoreticky spíše slabým, ale matematicky docela výrazným. Používá se například k ověření, že přidání Voevodského Univalence Axiom k teorii typu Martin-Löf nevyvolává nepředvídavost (Rathjen 2017). Axiom Univalence představil Voevodsky jako součást svého programu Univalent Foundations (Voevodsky 2015). (Pro Univalent Foundations, viz položky teorie typů a intuiceistické teorie typů). Voevodsky dal model konstruktivní teorie typů s Univalence Axiom, který je založen na jednoduchých sadách Kan (viz Kapulkin & Lumsdaine 2012, Další internetové zdroje). Zjednodušený model teorie konstruktivního typu s univalencí vyvinutý ve výše uvedeném článku je prováděn v rámci rozšíření ZFC s nepřístupnými kardinály. To vyvolalo otázku, zda bychom mohli dát konstruktivnější model této teorie typů, a zejména, zda je teorie typů predikativní. Bezem, Coquand a Huber (2014) nedávno navrhli model této teorie typů v krychlových množinách, který je výpočetní a „lze vyjádřit konstruktivním metalogem“. Rathjen (2017) ověřil, že tento nový model lze kodifikovat ve vhodném rozšíření CZF nepřístupnými množinami, což je mnohem slabší než klasická teorie množin s nepřístupnými kardinály. Ve skutečnosti se ukazuje, že pokud vezmeme jako výchozí bod relativně slabou teorii typů, tj. Teorii bez W-typů, a rozšíříme ji o Univalence Axiom,výsledná teorie má důkazní teoretickou sílu (Gamma_0), ordinál obvykle užíván k reprezentaci limitu prediktivity vzhledem k přirozeným číslům (Rathjen 2017). Abychom to ukázali, dokazuje se, že kubický model podle Bezema, Coquanda a Hubera lze realizovat v rozšíření systému zavedeného v Crosilla a Rathjen (2001) pomocí (ohraničeného) relativizovaného závislého výběru. Z (Crosilla a Rathjen 2001) a (Rathjen 2003) vyplývá, že posledně jmenovaný má důkazní teoretický ordinál (Gamma_0). Coquand a Huber mohou být realizovány v rozšíření systému zavedeného v Crosilla a Rathjen (2001) pomocí (omezeného) Relativized Dependent Choice. Z (Crosilla a Rathjen 2001) a (Rathjen 2003) vyplývá, že posledně jmenovaný má důkazní teoretický ordinál (Gamma_0). Coquand a Huber mohou být realizovány v rozšíření systému zavedeného v Crosilla a Rathjen (2001) pomocí (omezeného) Relativized Dependent Choice. Z (Crosilla a Rathjen 2001) a (Rathjen 2003) vyplývá, že posledně jmenovaný má důkazní teoretický ordinál (Gamma_0).

5.3 Metamathematické vlastnosti konstruktivních a intuicionálních ZF a sémantických technik

Řada interpretací pro intuicionální logiku byla rozšířena na intuicionální a konstruktivní teorie teorií, jako je realizovatelnost, Kripkeho modely a Heytingova sémantika. Všechny tyto techniky byly použity pro získání metamathematických výsledků o teoriích množin.

5.3.1 Disjunkční a existenční vlastnosti konstruktivního a intuicionálního ZF

Některé intuicionální teorie množin splňují určité „punc“metamathematické vlastnosti, jako je disjunkce a existence. Lze také prokázat, že jsou v souladu s přidáním zásad, které jdou nad rámec toho, co obvykle považujeme za konstruktivní. Mezi ně patří například Church Thesis a Markovův princip. Pro popis těchto principů v kontextu intuicionistické logiky si čtenář může přát nahlédnout do oddílů 4.2 a 5.2 příspěvku o intuicionistické logice nebo knihy Troelstra a van Dalena Konstruktivismus v matematice (Troelstra a van Dalen 1988).

Zde si vzpomínáme na disjunkční a existenční vlastnosti, formulované pro teorii množin (T). Neformální motivace disjunkčních a existenčních vlastností je založena na našem chápání konstruktivních důkazů disjunktivních a existenciálních prohlášení (v tomto pořadí). Ve skutečnosti se zdá rozumné očekávat, že pokud konstruktivně dokážeme disjunkci (phi / vee / psi), pak bychom měli být schopni dokázat (phi) nebo dokázat (psi). Podobně, pokud prokážeme existenciální tvrzení, pak bychom měli být schopni prokázat, že svědectví tohoto tvrzení je v naší teorii definovatelné.

Ačkoli se tyto vlastnosti zdají docela přirozené a lze je poměrně snadno stanovit pro aritmetické teorie, ukázalo se, že představují značné technické výzvy v případě teorií množin, kvůli jejich transfinitním hierarchiím množin a axiomu extenzity. Ve skutečnosti prominentní konstruktivní a intuicionální teorie teorií ukazují, že nevlastní majetek existence, jak je uvedeno v následující části.

Nechť (T) je teorie, jejíž jazyk, (L (T)), zahrnuje jazyk teorie množin. Navíc pro jednoduchost předpokládáme, že (L (T)) má konstantu (omega) označující množinu přirozených čísel von Neumann a pro každou (n) konstantu (c_n) označující (n) - tého prvku (omega).

Teorie (T) má disjunkční vlastnost (DP), pokud (T) dokazuje ((phi / vee / psi)) pro věty (phi) a (psi) (L (T)), potom (T) prokazuje (phi) nebo (T) dokazuje (psi).

Vlastnost existence má v kontextu teorie množin dvě odlišné verze: vlastnost numerické existence (NEP) a vlastnost existence (EP). Nechť (theta (x)) bude vzorec s maximálně (x) zdarma. Říkáme to:

(1) (T) má NEP, pokud (T) dokazuje (existuje x / in / omega / theta (x)), pak se pro nějaké přirozené číslo (n, T) prokáže (theta (c_n)).

(2) (T) má EP, pokud kdykoli (T) prokáže (existuje x / theta) (x), pak existuje vzorec (phi (x)) s přesně (x) zdarma, takže (T) dokazuje (existuje! x (phi (x) wedge / theta (x))).

Protože se techniky zkoumání ukázaly jako zásadní při zkoumání existenčních a disjunkčních vlastností konstruktivních a intuicionálních teorií množin, diskutujeme výsledky těchto studií v následující části.

5.3.2 Realizovatelnost

Realizovatelnost byla jedním z prvních a hlavních nástrojů výzkumu obklopujících teorií setů založených na intuicionistické logice, počínaje časnými příspěvky Friedmana a Myhilla (Friedman 1973, Myhill 1973). Sémantika realizovatelnosti pro intuicionální aritmetiku byla nejprve navržena Kleene (Kleene 1945) a rozšířena na vyšší řád Heyting aritmetiky Kreiselem a Troelstra (Kreisel a Troelstra 1970). Pro definici realizovatelnosti aritmetiky viz oddíl 5.2 záznamu o intuicionistické logice. Realizovatelnost podobná Kreisel a Troelstra byla aplikována na systémy aritmetiky vyššího řádu Friedmanem (Friedman 1973). Myhill představil variantu této realizovatelnosti, která se podobá Kleeneho lomítku (Myhill 1973; Kleene 1962, 1963). Dokázal tak, že verze IZF s náhradou místo sběru (nazývaná IZF (_ {Rep})) má RP, NEP a EP. Tyto výsledky byly dále rozšířeny (Myhill 1975; Friedman a Scedrov 1983). Zatímco Friedman a Myhill dávali realizovatelné modely pro teorie rozšiřujících množin, Beeson vyvinul představu realizovatelnosti pro teorie nerozšiřujících množin. Poté studoval metatheoretické vlastnosti teorií extenzivních množin prostřednictvím interpretace v jejich non-extenzivních protějšcích. Dokázal tak, že IZF (se sbírkou) má DP a NEP (Beeson 1985). Následně McCarty představil realizovatelnost pro IZF přímo pro teorii rozšíření sady (McCarty 1984; 1986). Sémantika realizovatelnosti variant CZF byla zvažována například v (Crosilla and Rathjen 2001; Rathjen 2006a). Realizovatelnost v posledně uvedeném článku je inspirována McCartyho a má důležitou vlastnost, že stejně jako McCartyho pro IZF, je to samokvalifikační sémantika pro CZF (to znamená, že tento pojem realizovatelnosti lze v CZF formalizovat a každá věta o CZF je prokazatelně provedeno v CZF). Rathjen využil tuto představu o realizovatelnosti, aby ukázal, že CZF (a řada jeho rozšíření) má RP a NEP (Rathjen 2005b).

Dalším druhem realizovatelnosti, který se ukázal jako velmi užitečný, je realizovatelnost Lifschitz. Lifschitz (1979) zavedl modifikaci Kleeneho realizovatelnosti pro Heytingovu aritmetiku, která má zvláštnost ověření slabé formy církevní teze (CT) s podmínkou jedinečnosti, nikoli však samotného CT. Realizovatelnost Lifschitze byla rozšířena na aritmetiku druhého řádu Van Oostenem (1990). To bylo následně rozšířeno na plný IZF Chengem a Rathjenem, kteří jej použili k získání řady nezávislých výsledků, jakož i ověření tzv. Lesser Limited Princip of Omniscience (LLPO) (pro LLPO viz položka konstruktivní matematika).

Ukázalo se, že otázka, které množiny teorií uspokojují existenciální vlastnictví, je zvláště obtížné vyřešit. (Friedman a Scedrov 1985) použili modely Kripke, aby ukázali, že IZF (tj. Systém s kolekcí) nemá EP, zatímco, jak je uvedeno výše, systém IZF (_ {Rep}) (který má nahrazení na místě) sbírky) má EP. To přimělo Beeson k položení otázky [Beeson 1985, IX]:

Má nějaká rozumná teorie množin s kolekcí existenci vlastnictví?

První odpověď na Beesonovu otázku přišla (Rathjen 2012), kde autor představil pojem slabého existujícího majetku: v centru pozornosti je nalezení prokazatelně definovatelného souboru svědků pro každou existenciální větu. Poté zavedl formu realizovatelnosti založené na obecných sadách rekurzivních funkcí, kde realizátor pro existenciální prohlášení poskytuje spíše množinu svědků pro existenciální kvantifikátor, než jediného svědka. Rathjen kombinoval tuto představu realizovatelnosti s pravdou, aby dal, že řada teorií se sbírkou si užívá slabou existenční vlastnost (zatímco IZF nikoli). Mezi nimi zejména teorie CZF bez kolekce podmnožin plus Myhillův exponentiační axiom, CZF (_ {Exp}). Ve skutečnosti Rathjen tvrdil, že kombinací těchto výsledků s další prací, kterou provedl,mohl ukázat, že CZF (_ {Exp}) (a řada dalších teorií) má vlastnost existence. Pozoruhodné pozorování je, že tyto teorie jsou formulovány se sbírkou; v důsledku toho nelze selhání existence existovat v případě IZF přičítat pouze sběru, ale souhře mezi tímto schématem a neomezeným oddělením.

Pokud jde o prominentní otázku, zda samotný CZF má majetek existence, vyřešil to Swan negativně (2014). Tam autor použil tři dobře navržené modely realizovatelnosti a vložení mezi nimi, aby ukázal, že i slabá existence majetku selhává pro CZF. Přitom také ukázal, že viník je schéma kolekce podskupin CZF. Jak je jasně zdůrazněno v (Swan 2014), skutečnost, že CZF nemá EP, nenaznačuje žádnou slabost v CZF jako konstruktivní teorii. I když Swan v podstatě prokázal, že CZF tvrdí, že existuje matematický objekt, který neumí konstruovat, stále má CZF přirozené interpretace, ve kterých mohou být tyto objekty konstruovány, jako například Aczelův výklad do teorie typů (Aczel 1978)..

Přehled výsledků v intuicionistické teorii množin viz (Beeson 1985, kapitola IX). Odpovídající vývoj v CZF viz (Rathjen 2005b, 2006, 2012) a (Swan 2014).

5.3.3 Kripkeho modely a sémantika s hodnotou Heyting

Kripke modely pro intuicionální teorie teorií byly použity v (Friedman a Scedrov 1985), aby ukázaly, že IZF nemá EP (a v kombinaci s výsledky v (Myhill 1973) máme, že IZF (_ {Rep}) ano neprokázat IZF). Modely Kripke byly nedávno použity k objasnění vztahu mezi konstruktivními náhradami axiomu s mocninou: Myhillův exponentizační axiom a schéma sběru podskupin Aczel. Je zřejmé, že axiom sady výkonů zahrnuje oba tyto principy a že kolekce podmnožin zahrnuje exponentiaci. Na druhou stranu, každý z těchto dvou principů neimplikuje mocninu, protože teorie CZF s mocninou namísto sběru podskupin je mnohem silnější než CZF a CZF (_ {Exp}) (Rathjen 2012b). Ve skutečnosti mají CZF a CZF (_ {Exp}) stejnou důkazní teoretickou sílu (Griffor a Rathjen 1994);proto zkoumat vztah mezi sbírkou podmnožin a exponentiace v konstruktivní teorii množin, která je nutná k vývoji nástrojů jiných než metod teoretických důkazů. Lubarsky (2005) použil Kripkeovy modely, aby ukázal, že Myhillův exponentizační axiom neimplikuje Aczelovu podmnožinu (na základě kolekce CZF mínus kolekce podmnožiny plus úplné oddělení). V (Lubarsky a Rathjen 2007) použili autoři techniku Kripkeho modelů, aby ukázali, že i důsledky teorií CZF a CZF (_ {Exp}) jsou odlišné. Aczel a Rathjen (2001) ukázali, že třída reálných čísel Dedekind tvoří množinu v CZF pomocí kolekce podmnožin. Lubarsky a Rathjen (2007) ukázali, že CZF (_ {Exp}) nestačí k prokázání stejného tvrzení. Další aplikace modelů Kripke k oddělení klíčových konstruktivních pojmů viz např(Diener a Lubarsky 2013).

Grayton (Grayson 1979) získal jako sémantiku pro booleovské modely pro klasickou množinu teorií sémantiku s vysokou hodnotou pro intuicionální teorie množin. Byly zobecněny zejména prostřednictvím kategorické sémantiky (úvod viz MacLane a Moerdijk 1992). Sémantika oceněná heytingem našla uplatnění na výsledky nezávislosti v (Scedrov 1981; 1982). Konstruktivní léčba byla poskytnuta v (Gambino 2006). Viz také (Lubarsky 2009). Viz také Ziegler (2012) pro zobecnění realizovatelnosti a Heytingových modelů pro konstruktivní teorii množin.

5.3.4 Kategorické modely konstruktivní a intuicionální teorie množin

V průběhu let vzkvétaly kategorické modely konstruktivních a intuicionálních teorií množin. Zde hrají zásadní roli pojmy topos a snop (viz např. Fourman 1980 a Fourman a Scott 1980). Přehled hlavních pojmů viz položka o teorii kategorií a odkazy tam uvedené (viz zejména dodatek Programmatic Reading Guide). Nejnovější vývoj, který se konkrétněji týká konstruktivních teorií množin, viz např. (Simpson 2005) a (Awodey 2008), stejně jako webová stránka: algebraická teorie množin.

5.4 Varianty konstruktivních a intuitivních teorií množin: Teorie množin s urelementy a nerozšiřujícími teoriemi množin

Někdy byly systémy intuicionální a konstruktivní teorie množin prezentovány s přirozenými čísly jako samostatný druh urelementů, tj. Primitivních objektů bez prvků (Friedman 1977; Myhill 1975; Beeson 1985). Konstruktivně se jedná o přirozenou volbu, která je v souladu s myšlenkami vyjádřenými například Bishopem (1967) (mimo jiné). V Bishopově monografii jsou přirozená čísla chápána jako základní koncept, na kterém jsou založeny všechny ostatní matematické pojmy. Z technického hlediska, pokud jsou přirozená čísla chápána jako primitivní a odlišná od jejich množinově teoretických reprezentací, má axiom nekonečna podobu: „existuje řada přirozených čísel (jako urelementy)“. Obecnější forma urelementů v konstruktivních teoriích množin byla zvažována v (Cantini a Crosilla 2008). Zde je navržena varianta teorie konstruktivních množin, která kombinuje intenzivní a částečnou představu o provozu s rozšířenou představou o množině (viz také Cantini a Crosilla 2010).

Axiom extenzivity je společným rysem všech dosud diskutovaných systémů. Avšak v kontextu, ve kterém je výpočetní obsah prohlášení považován za klíčový, by mohla být vhodnější inherentní teorie. Například konstruktivní teorie typů a explicitní matematika zapouzdřují nějakou formu náročnosti. Intuitionistické teorie množin bez extenzivity byly uvažovány v literatuře (Friedman 1973a, Beeson 1985). Jejich motivace však nebyla výpočtová, nýbrž technická, a to kvůli obtížím, které způsobuje prodlužování při studiu metamatematických vlastností intuicionálních teorií množin.

Bibliografie

• Aczel, P., 1978, „Teoretická interpretace teorie konstrukčních množin“, v Logic Colloquium '77, A. MacIntyre, L. Pacholski, J. Paříž (ed.), Amsterdam a New York: North-Holland, pp 55–66.
• –––, 1982, „Teoretická interpretace typové teorie konstruktivní množiny: principy volby“, v LEJ Brouwer Centenary Symposium, AS Troelstra a D. van Dalen (eds.), Amsterdam a New York: North-Holland, pp. 1–40.
• –––, 1986, „Teoretická interpretace typů konstruktivní teorie množin: induktivní definice“, v logice, metodologii a filozofii vědy VII, RB Marcus, GJ Dorn a GJW Dorn (ed.), Amsterdam a New York: North-Holland, s. 17–49.
• –––, 1988, Nedostatečně osvědčené sady (přednášky CSLI 14), Stanford: CSLI.
• Aczel, P., a Rathjen, M., 2001, „Poznámky k konstruktivní teorii množin“, zpráva č. 40, 2000/2001, Djursholm: Institut Mittag-Leffler, [k dispozici online]
• Aczel, P., a Gambino, N., 2002, „Principy sběru v teorii závislých typů“, v Druzích důkazů a programů (Přednášky v informatice 2277), P. Callaghan, Z. Luo, J. McKinna a R. Pollack (eds.), Berlin: Springer, str. 1-23.
• Awodey, S., 2008, „Stručný úvod do algebraické teorie množin“, Bulletin of Symbolic, 14 (3): 281–298.
• Barwise, J., a Moss, L., 1996, Vicious Circles (CSLI Lecture Notes 60), Stanford: CSLI.
• Beeson, M., 1985, základy konstruktivní matematiky, Berlín: Springer.
• Bezem, M., Thierry, C. a Huber, S., 2014, „Model teorie typů v kubických souborech“, na 19. mezinárodní konferenci o typech důkazů a programů (TYPES 2013), Matthes, R. a Schubert, A. (eds.), Dagstuhl: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fuer Informatik, s. 107–128.
• Bishop, E., 1967, základy konstruktivní analýzy, New York: McGraw-Hill.
• –––, 1970, „Matematika jako numerický jazyk“, v Intuitionism and Theory Theory, A. Kino, J. Myhill a RE Vesley (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 53–71.
• Bishop, E., a Bridges, D., 1985, konstruktivní analýza, Berlín a Heidelberg: Springer.
• Bridges, D., a Richman, F., 1987, Variversity of Constructive Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
• Buchholz, W., Feferman, S., Pohlers, W., a Sieg, W., 1981, Iterated Inductive Definitions and Subsystems of Analysis, Berlin: Springer.
• Cantini, A., a Crosilla, L., 2008, „Konstruktivní teorie množin s operacemi“, v A. Andretta, K. Kearnes, D. Zambelle (eds.), Logic Colloquium 2004 (Poznámky k přednášce v logice 29), Cambridge: Cambridge University Press, s. 47–83.
• Cantini, A., a Crosilla, L., 2010, „Explicitní teorie operačních sad“, v R. Schindler (ed.), Ways of Proof Theory, Frankfurt: Ontos, s. 199–240.
• Chen, R.-M. a Rathjen, M., 2012, „Lifschitzová realizovatelnost pro intuitivní teorii množin Zermelo-Fraenkel“, archiv pro matematickou logiku, 51: 789–818.
• Crosilla, L., 2017, „Prediktivita a Feferman“, v G. Jäger a W. Sieg (eds.), Feferman on Foundation (Vynikající příspěvky k logice: Svazek 13), Cham: Springer, pp 423–447.
• Crosilla, L., a Rathjen, M., 2001, „Nepřístupné množiny axiomů mohou mít malou konzistenci“, Annals of Pure and Applied Logic, 115: 33–70.
• Diaconescu, R., 1975, „Axiom výběru a doplňování“, Sborník americké matematické společnosti, 51: 176–178.
• Diener, H., a Lubarsky, R., 2013, „Oddělení věty fanouška a jeho oslabení“, v SN Artemov a A. Nerode (eds.), Sborník LFCS '13 (Přednášky z počítačových věd 7734), Dordrecht: Springer, str. 280–295.
• Dummett, M., 2000, Elements of Intuitionism, druhé vydání, (Oxford Logic Guides 39), New York: Oxford University Press.
• Feferman, S., 1964, „Systémy predikativní analýzy“, Journal of Symbolic Logic, 29: 1-30.
• –––, 1975, „Jazyk a axiomy pro explicitní matematiku“, v algebře a logice (přednášky z matematiky 450), J. Crossley (ed.), Berlín: Springer, s. 87–139.
• –––, 1988, „Weyl potvrzeno: Das Kontinuum o sedmdesát let později“, v Temi e prospetivní della logica e della scienza contemporanee, C. Cellucci a G. Sambin (eds), s. 59–93.
• –––, 1993, „Co na čem spočívá? Důkazově teoretická analýza matematiky “, ve filozofii matematiky, část I, sborníky z 15. mezinárodního Wittgensteinova sympozia. Vídeň: Verlag Hölder-Pichler-Tempsky.
• –––, 2005, „Prediktivita“, v Příručce filozofie matematiky a logiky, S. Shapiro (ed.), Oxford: Oxford University Press.
• Fletcher, P., 2007, „Infinity“, v Handbook of the Philosophy of Logic, D. Jacquette, (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 523–585.
• Fourman, MP, 1980, „Snopové modely pro teorii množin“, Journal of Pure Applied Algebra, 19: 91–101.
• Fourman, MP, a Scott, DS, 1980, „Snopy a logika“, v Aplikacích snopy (Přednášky z matematiky 753), MP Fourman, CJ Mulvey a DS Scott (ed.), Berlín: Springer, s. 302– 401.
• Friedman, H., 1973, „Některé aplikace Kleenových metod pro intuicionistické systémy“, ve sborníku letní školy Cambridge v matematické logice z roku 1971 (přednášky z matematiky 337), ARD Mathias a H. Rogers (ed.), Berlín: Springer, str. 113–170.
• –––, 1973a, „Konzistence klasické teorie množin ve vztahu k teorii množin s intuicionální logikou“, Journal of Symbolic Logic, 38: 315–319.
• –––, 1977, „Set-teoretické základy konstruktivní analýzy“, Annals of Mathematics, 105: 1–28.
• Friedman, H., Scedrov, A., 1983, „Nastavte vlastnost existence pro intuicionální teorie se závislou volbou“, Annals of Pure and Applied Logic, 25: 129–140.
• –––, 1984, „Velké množiny v intuicionistické teorii množin“, Annals of Pure and Applied Logic, 27: 1–24.
• –––, 1985, „Nedostatek definovatelných svědků a prokazatelně rekurzivních funkcí v intuicionistické teorii množin“, Advances in Mathematics, 57: 1–13.
• Gambino, N., 2006, „Interpretace interpretací pro konstruktivní teorii množin s vysokou hodnotou“, Annals of Pure and Applied Logic, 137: 164–188.
• Goodman, ND, a Myhill, J., 1972, „Formalizace biskupské konstruktivní matematiky“, v Toposse, Algebraická geometrie a logika (Přednášky z matematiky 274), FW Lawvere (ed.), Berlín: Springer, s. 83 –96.
• Goodman, ND, a Myhill, J., 1978, „Výběr znamená vyloučený střed“, Zeitschrift für Mathatische Logik und Grundlagen der Mathematik, 24 (5): 461.
• Grayson, RJ, 1979, „Heyting-oceňované modely pro intuicionistickou teorii množin“, v Aplikacích kladek (Přednášky z matematiky 753), MP Fourman, CJ Mulvey a DS Scott (ed.), Berlín: Springer, s. 402 –414.
• Griffor, E. a Rathjen, M., 1994, „Síla některých teorií typu Martin-Löf“, Archive Mathematical Logic, 33: 347–385.
• van Heijenoort, J., 1967, Z Frege do Gödel. Zdrojová kniha v matematické logice 1879–1931, Cambridge: Harvard Univ. Lis.
• Kleene, SC, 1945, „K interpretaci intuicionistické teorie čísel“, Journal of Symbolic Logic, 10: 109–124.
• –––, 1962, „Disjunkce a existence pod vlivem elementárních intuicionálních formalismů“, Journal of Symbolic Logic, 27: 11–18.
• –––, 1963, „Dodatek“, Journal of Symbolic Logic, 28: 154–156.
• Kreisel, G., 1958, „Řádná logika a charakterizace neformálních konceptů důkazů“, sborník Mezinárodního kongresu matematiků (14. – 21. Srpna 1958), Paříž: Gauthier-Villars, s. 289–299.
• Kreisel, G., a Troelstra, A., S., 1970, „Formální systémy pro některé oblasti intuicionistické analýzy“, Annals of Mathematical Logic, 1: 229–387.
• Lifschitz, V., 1979, „CT (_ 0) je silnější než CT (_ 0)!“, Proceedings of the American Mathematical Society, 73 (1): 101–106.
• Lindström, I., 1989, „Konstrukce neopodstatněných sad v teorii typu Martin-Löf“, Journal of Symbolic Logic, 54: 57–64.
• Lipton, J., 1995, „Realizovatelnost, teorie množin a termínů“, v Curnom-Howardově izomorfismu (Cahiers du Centre de Logique de l'Universite Catholique de Louvain 8), Louvain-la-Neuve: Academia, s. 257 –364.
• Lorenzen, P., a Myhill, J., 1959, „Konstruktivní definice určitých analytických souborů čísel“, Journal of Symbolic Logic, 24: 37–49.
• Lubarsky, R., 2005, „Výsledky nezávislosti kolem konstruktivního ZF“, Annals of Pure and Applied Logic, 132: 209-225.
• ––– 2006, „aritmetika CZF a druhého řádu“, Annals of Pure and Applied Logic, 141: 29–34.
• –––, 2009, „Sémantika topologického vynucování s usazováním“, v SN Artemov a A. Nerode (eds.), Sborník LFCS '09 (Přednášky z počítačových věd 5407), Dordrecht: Springer, s. 309–322.
• Lubarsky, R., a Rathjen, M., 2007, „O konstruktivních dedekind reals“, v SN Artemov a A. Nerode (eds.), Sborník LFCS 2007 (Poznámky k přednášce v informatice 4514), Dordrecht: Springer, str. 349–362.
• MacLane, S. a Moerdijk, I., 1992, „Sheaves in Geometry and Logic“, New York: Springer.
• Maietti, ME, Sambin, G., 2005, „Směrem k minimalistické nadaci pro konstruktivní matematiku“, od sad a typů po topologii a analýzu: Směrem k praktickým základům pro konstruktivní matematiku (Oxford Logic Guides 48), L. Crosilla a P Schuster (eds.), Oxford: Oxford University Press.
• Maietti, ME, 2009, „Minimalistický dvoustupňový základ pro konstruktivní matematiku“, Annals of Pure and Applied Logic, 160 (3): 319–354.
• Martin-Löf, P., 1975, „Intuitivní teorie typů: predikativní část“, v HE Rose a J. Sheperdson (eds.), Logic Colloquium '73, Amsterdam: North-Holland, s. 73–118.
• –––, 1984, „Intuitionistic Type Theory“, Neapol: Bibliopolis.
• McCarty, DC, 1984, „Realizovatelnost a rekurzivní matematika“, D. Phill. Disertační práce, filozofie, Oxfordská univerzita.
• –––, 1986, „Teorie realizovatelnosti a rekurzivní množiny“, Annals of Pure and Applied Logic, 32: 153–183.
• Myhill, J., 1973, „Některé vlastnosti intuitivní teorie množin Zermelo-Fraenkel“, ve sborníku letní školy Cambridge v matematické logice z roku 1971 (přednášky z matematiky 337), ARD Mathias a H. Rogers (eds.), Berlin: Springer, s. 206–231.
• –––, 1975, „Konstruktivní teorie množin“, Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
• van Oosten, J., 1990, „Lifschitz's Realizability“, The Journal of Symbolic Logic, 55: 805–821.
• Powell, W., 1975, „Rozšíření Gödelovy negativní interpretace na ZF“, Journal of Symbolic Logic, 40: 221–229.
• Rathjen, M., Griffor, E. a Palmgren, E., 1998, „Nedostupnost v konstruktivní teorii množin a teorií typů“, Annals of Pure and Applied Logic, 94: 181–200.
• Rathjen, M., 1999, „Řada ordinálních analýz“, v Sets and Proofs (London Mathematical Society Lecture Notes 258), Cambridge: Cambridge University Press, str. 219–279.
• ––– 2003, „Axio anti-nadace v teoriích konstruktivních množin“, ve hrách, logice a konstruktivních sadách (Poznámky k přednáškám CSLI 161), Stanford: Publikace CSLI, s. 87–108.
• –––, 2003a, „Realizace teorie Mahlo množiny v teorii typů“, Archiv pro matematickou logiku, 42: 89–101.
• –––, 2004, „Prediktivita, kruhovitost a anti-nadace“, za sto let Russellova paradoxu (Logic a jeho aplikace 6), G. Link (ed.), Berlín: de Gruyter, s. 191–219.
• ––– 2005, „Výměna versus kolekce a související témata v konstruktivní teorii množin Zermelo-Fraenkel“, Annals of Pure and Applied Logic, 136: 156–174.
• –––, 2005a, „Konstruktivní program Hilberta a limity teorie typu Martin-Löf“, Synthese, 147: 81–120.
• –––, 2005b, „Disjunkce a související vlastnosti pro konstruktivní teorii množin Zermelo-Fraenkel“, Journal of Symbolic Logic, 70 (4): 1232–1254.
• ––– 2006, „Principy výběru v konstruktivních a klasických teoriích setů“, Logické kolokvium '02 (Poznámky k přednášce v logice 27), Z. Chatzidakis, P. Koepke a W. Pohlers (ed.), Wellesley, Massachusetts: AK Peters, 299–326.
• –––, 2006a „Realizovatelnost pro konstruktivní teorii množin Zermelo-Fraenkel“, v Logic Colloquium '03 (Poznámky k přednášce v logice 24), V. Stoltenberg-Hansen a J. Väänänen (ed.), Wellesley, Massachusets: AK Peters, str. 282–314.
• –––, 2006b, „Teorie a ordinály v důkazní teorii“, Synthese, 148 (3): 719–743.
• –––, 2008, „Přirozená čísla v konstruktivní teorii množin“, matematická logika čtvrtletně, 54: 287–312.
• ––– 2012, „Od slabých po silnou existenci“, Annals of Pure and Applied Logic, 163: 1400–1418.
• –––, 2012b, „Konstruktivní teorie množin Zermelo-Fraenkel, mocnin a počet konstrukcí“, v epistemologii versus ontologie: Eseje o filozofii a základech matematiky na počest Per Martin-Löf, (Logic, Epistemology and Unity of Science Series), P. Dybjer, S. Lindström, E. Palmgren a G. Sundhölm (eds.), New York a Dordrecht: Springer Verlag.
• ––– 2017, „Důkazní teorie konstrukčních systémů: indukční typy a jednota“, v G. Jägerovi a W. Siegovi (eds.), Feferman on Foundation (Vynikající příspěvky k logice: Svazek 13), Cham: Springer, str. 385–419.
• Richman, F., 2000, „Základní věta algebry: konstruktivní vývoj bez volby“, Pacific Journal of Mathematics, 196: 213–230.
• –––, 2001, „Konstruktivní matematika bez výběru“, v Reuniting the Antipodes: Konstruktivní a nestandardní zobrazení kontinua (Synthese Library 306), P. Schuster, et al. (eds.), Dordrecth: Kluwer, str. 199–205.
• Russell, B., 1908, „Matematická logika založená na teorii typů“, American Journal of Mathematics, 30: 222–262. Přetištěno v van Heijenoort (1967), 150–182.
• Scedrov, A., 1981, „Konsistentnost a nezávislost vede k intuitivní teorii množin“v konstruktivní matematice (přednášky v matematice 873), F. Richman (ed.), Berlín: Springer, s. 54–86.
• –––, 1982, „Nezávislost větrné věty o ventilátorech v přítomnosti principů kontinuity“v LEJ Brouwer Centenary Symposium, AS Troelstra a D. van Dalen (eds.), Amsterdam: North-Holland, s. 435–442.
• –––, 1985, „Intuitionistická teorie množin“v Harvey Friedmanově výzkumu základů matematiky, LA Garrubgtib et al. (eds.), Amsterdam: Elsevier.
• Schütte, K., 1965, „Predikativní řádové uspořádání“, ve formálních systémech a rekurzivních funkcích, J. Crossley a M. Dummett (eds.), Amsterdam: North-Holland, s. 279–302.
• –––, 1965a, „Eine Grenze für die Beweisbarkeit der Transfiniten Induktion in der versweigten Typenlogik“, Archiv für Mathatische Logik und Grundlagenforschung, 7: 45–60.
• Simpson, A., 2005, „Konstruktivní teorie množin a jejich kategorie-teoretické modely“, od sad a typů po topologii a analýzu: Směrem k praktickým základům konstruktivní matematiky (Oxford Logic Guides 48), L. Crosilla a P. Schuster (eds.), Oxford: Oxford University Press.
• Swan, AW, 2014, „CZF nemá existenciální vlastnictví“, Annals of Pure and Applied Logic, 165: 1115–1147.
• Troelstra, AS, a van Dalen, D., 1988, konstruktivismus v matematice (dva svazky), Amsterdam: Severní Holandsko.
• Tupailo, S., 2003, „Realizace konstruktivní teorie množin do explicitní matematiky: dolní hranice pro implicitní Mahlo vesmír“, Annals of Pure and Applied Logic, 120: 165–196.
• Voevodsky, V., 2015, „Experimentální knihovna formalizované matematiky založené na univalentních základech“, Mathematical Structures in Computer Science, 25: 1278–1294.
• Weyl, H., 1918, „Das Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis “, Veit, Leipzig.
• Ziegler, Albert, 2012, „Zobecnění realizovatelnosti a Heytingových modelů pro konstruktivní teorii množin“, Annals of Pure and Applied Logic, 163 (2): 175–184.
• ––– 2014, „Kumulativní hierarchie množin pro konstruktivní teorii množin“, matematická logika čtvrtletní, 60 (1-2): 21–30.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Aczel, P. a M. Rathjen, 2010, Poznámky k teorii konstruktivních množin, návrh knihy, k dispozici online.
• Kapulkin, C. a PL Lumsdaine, 2012, „Zjednodušený model univalentních základů (po Voevodsky)“, předtisk na arXiv.org.
• Algebraická teorie množin, S. Awodey (Carnegie Mellon).

[Obraťte se na autora s dalšími návrhy.]