Nezávislost A Velcí Kardinálové

Obsah:

Nezávislost A Velcí Kardinálové
Nezávislost A Velcí Kardinálové
Anonim

Vstupní navigace

  • Obsah příspěvku
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Náhled PDF přátel
  • Informace o autorovi a citaci
  • Zpět na začátek

Nezávislost a velcí kardinálové

První publikované Út 20.4.2010

Nezávislost vede k aritmetice a teorii množin vedla k proliferaci matematických systémů. Jeden velmi obecný způsob, jak prozkoumat prostor možných matematických systémů, je ve vztahu interpretovatelnosti. V této souvislosti tvoří prostor možných matematických systémů složitou hierarchii stále silnějších systémů. Velké kardinální axiomy poskytují kanonický prostředek k lezení v této hierarchii a hrají ústřední roli při porovnávání systémů z koncepčně odlišných domén.

Tento článek je úvodem k nezávislosti, interpretovatelnosti, velkým kardinálům a jejich vzájemným vztahům. Část 1 zkoumá výsledky klasické nezávislosti v aritmetické teorii a teorii množin. Oddíl 2 představuje hierarchii interpretovatelnosti a popisuje některé její základní rysy. Část 3 představuje představu o velkém kardinálním axiomu a diskutuje o některých ústředních příkladech. Sekce 4 spojuje předchozí témata tím, že diskutuje o tom, jak velké kardinální axiomy poskytují kanonické prostředky pro lezení v hierarchii interpretovatelnosti a slouží jako prostředník při porovnávání systémů z koncepčně odlišných domén. Část 5 se krátce dotýká některých filozofických úvah.

  • 1. Nezávislost
  • 2. Hierarchie interpretace
  • 3. Velké kardinální axiómy
  • 4. Velké kardinální axiómy a hierarchie interpretovatelnosti
  • 5. Některé filosofické úvahy
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Další internetové zdroje
  • Související záznamy

1. Nezávislost

Začněme pojmem axiomového systému. Pro motivaci této představy zvažte způsob, jakým ospravedlnění tradičně probíhá v matematice. Při uvažování o dané oblasti matematiky (nebo ve skutečnosti o jakékoli doméně) se otázka ospravedlnění postupně posune zpět a dále, dokud se nakonec nedostane zásad, které nepřiznávají zásadnější ospravedlnění. Prohlášení v této terminální fázi jsou volena jako axiomy a subjekt je poté organizován z hlediska odvozitelnosti od základu axiomů. V případě aritmetiky to vedlo k axiomu systému PA (Peano aritmetika) a v případě teorie množin to vedlo k axiomu systému ZFC (Zermelo-Frankel teorie teorie s Axiom of Choice).

Vznikají dvě přirozené otázky: (1) Pokud axiomy nepřiznají zásadnější odůvodnění, jak je lze ospravedlnit? (2) Je základna axiomů dostatečně bohatá, aby bylo možné na tomto základě vyřídit každou větu?

Existují dva tradiční názory týkající se epistemologického stavu axiomů. Na první pohled axiomy nepřipouštějí další ospravedlnění, protože jsou evidentní. Podle druhého pohledu axiomy nepřipouštějí další ospravedlnění, protože jsou definitivní k předmětu. Každý z těchto pohledů týkajících se naší první otázky vede k přidruženému optimistickému pohledu týkajícímu se naší druhé otázky - podle prvního optimistického pohledu jsou všechny matematické pravdy odvozitelné (v logice prvního řádu) ze zřejmých pravd, zatímco podle druhé optimistické pohledu, všechny matematické pravdy jsou odvozitelné (v logice prvního řádu) z výroků, které jsou definitivní k předmětu. Pokud by se některý z těchto optimistických pohledů ukázal být správný, pak by otázka ospravedlnění v matematice nabrala obzvláště jednoduchou formu:Buď by prohlášení bylo axiomem (v tom případě by to bylo zřejmé nebo definitivní k předmětu (v závislosti na uvažovaném pohledu)), nebo by to bylo odvozitelné z logiky prvního řádu z některých takových tvrzení.

Bohužel tyto optimistické pohledy napadly Gödelovy věty o neúplnosti v roce 1931. Zde je jedna verze druhé věty o neúplnosti:

Věta 1,1 (Gödel, 1931). Předpokládejme, že PA je konzistentní. Pak PA neprokáže Con (PA).

Zde Con (PA) je aritmetický výrok, který vyjadřuje neformální prohlášení, že PA je konzistentní. [1] Za mírně silnějších předpokladů (například, že PA je Σ01-zvuk [2]), lze posílit závěr tím, že se PA neprokáže ¬Con (PA); jinými slovy, za tohoto silnějšího předpokladu je Con (PA) nezávislá na PA. Jedná se tedy o případ aritmetického vyjádření (a ve skutečnosti velmi jednoduchého), který nelze urovnat na základě standardních axiomů. Věta je navíc zcela obecná - platí nejen pro PA, ale pro jakýkoli dostatečně silný formální systém T.

To vyvolává výzvu pro dva výše uvedené optimistické názory týkající se povahy matematické pravdy. Začínáme s tím, že nemůžeme pracovat s pevným axiomovým systémem T. Vždy budeme muset zavést nové axiomy. Ještě důležitější je, že vyvstává otázka, jak je třeba ospravedlnit tyto nové axiomy, protože jak se stále přidává silnější a silnější axiomy, tvrzení, že jsou buď evidentní nebo definitivní, se bude stále obtížněji bránit.

Již v roce 1931 Gödel poukázal na přirozený způsob ospravedlnění nových axiomů. Poukázal na to, že pokud se člověk přesune za přirozená čísla a vyleze na hierarchii typů (množiny přirozených čísel, množiny množin přirozených čísel atd.), Dojde k axiomům (axiomy aritmetiky PA 2 druhého řádu, axiomy aritmetických řad PA 3 atd.), které urovnávají nerozhodnuté výroky, které objevil. Axiomový systém pro druhou úroveň, PA 2, urovná výrok, který zůstal nerozhodnutý na první úrovni, konkrétně Con (PA); ve skutečnosti PA 2 prokazuje Con (PA), což je požadovaný výsledek. Ale nyní máme problém na druhé úrovni. Druhá věta o neúplnosti ukazuje, že (za podobných předpokladů na pozadí jako u výše uvedených) PA2 nevyrovnává Con (PA 2). Naštěstí axiomový systém pro třetí úroveň, PA 3, urovná prohlášení ponechané nerozhodnuté na druhé úrovni, konkrétně Con (PA 2). Tento vzorec pokračuje. Pro každý problém existuje řešení a pro každé řešení je nový problém. Tímto způsobem se vyšplháním na hierarchii typů člověk dosáhne systémů, které postupně vypořádávají prohlášení o konzistenci, která se objevují podél cesty.

Výše uvedená hierarchie typů může být přepracována v jednotném nastavení teorie množin. Hierarchie množin je definována induktivně tak, že začíná s prázdnou množinou, vezme mocninu v nástupnických stupních α + 1 a vezme sjednocení na mezních úrovních λ:

V 0 = ∅
V a + 1 = P (V a)
V λ = ∪ α <λ V α

Vesmír množin V je spojením všech takových stupňů: V = ∪ α∈On V α, kde On je třída ordinálů. První nekonečná úroveň V ω se skládá ze všech dědičných konečných množin [3] a tato úroveň splňuje ZFC-Infinity. Množiny na této úrovni mohou být kódovány přirozenými čísly, a tak lze ukázat, že PA a ZFC-Infinity jsou vzájemně interpretovatelné. [4] Druhá nekonečná úroveň V ω + 1 je v podstatě P (ℕ) (nebo rovnocenně ℝ) a tato úroveň splňuje (teorie, kterou lze vzájemně interpretovat) PA 2. Třetí nekonečná úroveň V ω + 2je v podstatě P (P (ℕ)) (nebo rovnocenně jako množina funkcí reálných čísel) a tato úroveň splňuje (teorie, kterou lze vzájemně interpretovat) PA 3. První tři nekonečné úrovně tedy zahrnují aritmetickou, analytickou a funkční analýzu a tím i většinu standardní matematiky. Tímto způsobem hierarchie množin a přidružených soustav teoretických množin zahrnuje objekty a systémy standardní matematiky.

Pokud by se nyní ukázalo, že věty o shodě (a další související věty objevené Gödelem v roce 1931) byly jedinými případy nerozhodnutelných výroků, pak by sekvence systémů ve výše uvedené hierarchii zachytila každý vzniklý problém.. A ačkoli bychom nikdy neměli jediný systém, který by nám poskytl úplnou axiomatizaci matematické pravdy, měli bychom řadu systémů, které společně pokryly celou matematickou pravdu.

Bohužel věci neměly být tak jednoduché. Potíž je v tom, že když člověk leze hierarchií množin tímto způsobem, větší expresivní zdroje, které jsou k dispozici, vedou k více nevyřešitelným případům nerozhodnutelných vět, a to platí již o druhé a třetí nekonečné úrovni. Například na druhé nekonečné úrovni lze formulovat prohlášení PM (že všechny projektivní množiny jsou Lebesgue měřitelné) a na třetí nekonečné úrovni lze formulovat CH (Cantorova hypotéza kontinua). [5] Tato tvrzení byla intenzivně zkoumána během rané éry teorie množin, ale bylo dosaženo malého pokroku. Vysvětlení bylo nakonec poskytnuto následnými technikami nezávislosti Gödel a Cohen.

Gödel vynalezl (v roce 1938) metodu vnitřních modelů definováním minimálního vnitřního modelu L. Tento model je definován stejně jako V je definován s tím rozdílem, že v následných stádiích namísto převzetí plné sady výkonů v předchozí fázi se vezme definovatelná sada výkonů z předchozí fáze, přičemž pro danou množinu X je definovatelná sada X def (X) z X množina všech podmnožin X, které jsou definovatelné přes X s parametry z X:

L 0 = ∅
L a + 1 = Def (L α)
L λ = ∪ α <λ L α

Vnitřní model L je spojením všech takových stupňů: L = ∪ α∈On L α. Gödel ukázal, že L splňuje (libovolně velké fragmenty) ZFC spolu s CH. ZFC tedy nemůže vyvrátit CH. Cohen doplnil tento výsledek vynalézáním (v roce 1963) způsobu nucení (nebo vnějších modelů). Vzhledem k tomu, kompletní Logická algebra B definoval model V B a ukázal, že ¬CH drží v V. B. [6] To mělo za následek, že ZFC nemohl prokázat CH. Tyto výsledky tedy společně ukázaly, že CH je nezávislá na ZFC. Podobné výsledky platí pro PM a řadu dalších otázek v teorii množin.

Tyto případy nezávislosti jsou neřešitelnější v tom, že k jejich vyřešení nevede žádná jednoduchá iterace hierarchie typů. Vedli k hlubšímu hledání nových axiomů.

Gödel opět poskytl první kroky při hledání nových axiomů. V roce 1946 navrhl jako nové axiomy velké kardinální axiomy --axiomy nekonečna, které tvrdí, že existují velmi velké úrovně hierarchie typů - a zašel tak daleko, aby pobavil zobecněnou teorém o úplnosti pro tyto axiomy, podle nichž všechna prohlášení o Teorie množin mohla být vyřešena takovými axiomy (Gödel 1946, 151).

Účelem zbývající části této položky je popsat povahu nezávislosti (spolu s hierarchií interpretovatelnosti) a souvislost mezi nezávislostí a velkými kardinálními axiomy.

Další čtení: Pro více informací o teorémech neúplnosti viz Smoryński (1977), Buss (1998a) a Lindström (2003). Více o technikách nezávislosti v teorii množin viz Jech (2003) a Kunen (1980).

2. Hierarchie interpretace

Naším cílem je prozkoumat prostor matematických teorií (konstruovaných jako rekurzivně vyčíslitelné axiomy). Pořadí takových teorií, které budeme brát v úvahu, je pořadí interpretovatelnosti. Neformální představa o interpretovatelnosti je všudypřítomná v matematice; například Poincaré poskytl interpretaci dvourozměrné hyperbolické geometrie v euklidovské geometrii kruhové jednotky; Dedekind poskytl interpretaci analýzy v teorii množin; a Gödel poskytl interpretaci teorie formální syntaxe v aritmetice.

Použijeme přesnou formální regimentaci této neformální představy. Nechť T 1 a T 2 jsou rekurzivně počítatelné axiomy. Říkáme, že T 1 je interpretovat v T 2 (T 1 ≤ T 2), kdy, zhruba řečeno, že je překlad τ z jazyka T 1 na jazyk T 2 tak, že pro každou větu cp z jazyka T 1, pokud T 1 ⊢φ, pak T 2 ⊢τ (φ). [7] Budeme psát T 1 <T 2, když T 1 ≤ T 2 a T 2≰ T 1 a budeme psát T 1 ≡ T 2, když oba T 1 ≤ T 2 a T 2 ≤ T 1. V druhém případě, T 1 a T 2 se říká, že vzájemně interpretovatelné. Třída ekvivalence všech teorií vzájemně interpretovatelných s T se nazývá stupeň interpretovatelnosti T.

Pro snadnější výklad učiníme tři zjednodušující předpoklady týkající se uvažovaných teorií. Nejprve budeme předpokládat, že všechny naše teorie jsou pojaty v jazyce teorie množin. V tomto předpokladu není ztráta obecnosti, protože každá teorie je vzájemně interpretovatelná s teorií v tomto jazyce. Například, jak bylo uvedeno výše, PA a ZFC-Infinity jsou vzájemně interpretovatelné. Za druhé, budeme předpokládat, že všechny naše teorie obsahují ZFC-Infinity. Za třetí, budeme předpokládat, že všechny naše teorie jsou Σ01-zvuk.

Hierarchie interpretovatelnosti je soubor všech teorií (splňujících naše tři zjednodušující předpoklady) uspořádaných ve vztahu ≤. Nyní se obrátíme na diskusi o struktuře této hierarchie.

Pro začátek je užitečná charakterizace vztahu ≤. Pojďme napsat T 1Π01 T 2 na znamení, že každý Π01-výrok dokazatelné v T 1 je také dokazatelné v T 2. Ústředním výsledkem v teorii interpretovatelnosti je, že (poskytující naše zjednodušující předpoklady) T 1 ≤ T 2 iff T 1Π01 T 2. Z této charakterizace a druhé věty o neúplnosti vyplývá, že pro každou teorii T je teorie T + Con (T) přísně silnější než T, tj. T <T + Con (T). Navíc z aritmetizované věty o úplnosti vyplývá, že teorie T + ¬Con (T) je interpretovatelná v T, tedy T ≡ T + ¬Con (T).

Z hlediska interpretovatelnosti existují tři možné způsoby, jak může být výrok φ nezávislý na teorii T.

  1. Single Jump. Pouze jeden z φ nebo ¬φ vede ke skokové síle, tj.

    T + φ> T a T + ¬φ ≡ T

    (nebo podobně s zaměnitelnými φ a ¬φ).

  2. Žádný skok. Ani φ ani ¬φ nevedou ke skoku v síle, to znamená,

    T + φ ≡ T a T + ¬φ ≡ T.

  3. Double Jump. Jak φ, tak ¬φ vedou ke skokové síle, tj.

    T + φ> T a T + ¬φ> T.

Ukazuje se, že každá z těchto možností je realizována. Nejprve stačí vzít Π01-větu Con (T). Za druhé je snadno vidět, že neexistuje žádný příklad, který je Π01; nejjednodušší možná složitost takové věty je A02 a ukazuje se, že takové příklady existují; příklady tohoto typu nezávislosti se nazývají Oreyovy věty. Pro třetí druh nezávislosti existuje Π01 případů. (Toto je důsledek Lemmy 14 na stranách 128–129 Lindströma (2003).)

To vše jsou metamathematické příklady, takový příklad, který by vytvořil pouze logik. Je přirozené se ptát, zda existují „přirozené“příklady, což je zhruba takový příklad, který se vyskytuje v běžném kurzu matematiky. V případě teoretického souboru jsou takové příklady hojné pro první dva případy. Například PM je příkladem prvního druhu nezávislosti a CH je příkladem druhého druhu nezávislosti. Nejsou známy žádné „přirozené“příklady třetího druhu nezávislosti. V aritmetickém případě jsou takové příklady vzácné. Existují příklady prvního druhu nezávislosti (z nichž nejslavnější je klasický příklad kvůli Paříži a Harringtonu), ale žádný z druhého nebo třetího druhu nezávislosti.

Všimněte si, že v případě třetího příkladu jsou dvě teorie nad T nesrovnatelné v pořadí interpretovatelnosti. Ke konstrukci dvojice takových příkazů01 se používá reciproční forma diagonálního lemmatu pro konstrukci dvou příkazů 01, které se vzájemně odkazují. Použití takových technik může ukázat, že pořadí interpretovatelnosti je poměrně složité. Například, pro nějaké dva teorie T 1 a T 2 tak, že T 1 <T 2 je třetina teorie T tak, že T 1 <T <T 2. Pořadí na úrovni interpretovatelnosti tedy není ani lineárně nařízeno, ani opodstatněné. (Viz Feferman (1960).)

Je pozoruhodné, že se ukazuje, že když se člověk omezí na ty teorie, které „vznikají v přírodě“, je řazení interpretovatelnosti docela jednoduché: neexistují žádné sestupné řetězce a neexistují žádné nesrovnatelné prvky - pořadí interpretovatelnosti teorií, které „vznikají v přírodě“, je přivítání. Zejména, ačkoli existují přirozené příklady prvního a druhého druhu nezávislosti (např. PM a CH, respektive něco, k čemu se vrátíme níže), neexistují žádné známé přírodní příklady třetího druhu nezávislosti.

Takže pro teorie, které „vznikají v přírodě“, máme uvítací hierarchii podle pořadí interpretovatelnosti. Na základně objednávání je stupeň, který je představován naší minimální teorií ZFC-Infinity a existuje pouze jeden způsob, jak postupovat, a to vzhůru z hlediska síly.

Už jsme viděli jeden způsob, jak vyšplhat na hierarchii stupňů interpretovatelnosti, a to přidáním prohlášení o shodě. Tento přístup má dvě nevýhody. Zaprvé, pokud člověk začíná teorií „vznikající v přírodě“a přidává prohlášení o shodě, přistane jeden stupeň, který nemá známého zástupce, který „vychází v přírodě“. Za druhé, prohlášení o konzistenci nebere jednoho příliš daleko do hierarchie. Obě tyto nevýhody jsou napraveny velmi přirozenou třídou axiomů - velkými kardinálními axiomy.

Další čtení: Více o struktuře hierarchie interpretovatelnosti viz kapitoly 6–8 Lindströma (2003).

3. Velké kardinální axiómy

Nechť Z 0 je teorie ZFC-Infinity-Replacement. (Tato teorie je logicky ekvivalentní naší základní teorii ZFC-Infinity.) Budeme postupně posilovat Z 0 reflexním přidáváním axiomů, které tvrdí, že existují určité úrovně vesmíru množin.

Standardní model Z 0 je V ω. Axiom nekonečna (v jedné formulaci) jednoduše tvrdí, že tato sada existuje. Když tedy přidáme Axiom nekonečna, výsledná teorie Z 1 (známá jako Teorie množin Zermelo s Choice) nejen dokazuje konzistenci Z 0; to dokazuje, že existuje standardní model Z 0. Nyní je standardní model Z 1 V ω + ω. Axiom of náhradné naznačuje, že tato sada existuje. Když tedy přidáme Axiom of Replacement, výsledná teorie Z 2 (známá jako ZFC), nejen prokáže konzistenci Z 1; to dokazuje, že existuje standardní model Z 1.

Standardní model Z 2 má tvar V mítk kde κ je pravidelný hlavní tak, že pro všechny α <κ, 2 α <κ. Takový kardinál se nazývá (silně) nepřístupným kardinálem. Další axiom v uvažované hierarchii je prohlášení, které tvrdí, že takový kardinál existuje. Výsledná teorie ZFC + „Existuje silně nepřístupný kardinál“dokazuje, že existuje úroveň vesmíru, která vyhovuje ZFC. Pokračováním v této módě člověk dospívá k silnějším a silnějším axiomům, které potvrzují existenci větších a větších úrovní vesmíru sad. Než budeme pokračovat s nástinem takových axiomů, pojďme nejprve nakreslit spojení s hierarchií interpretovatelnosti.

Připomeňme naši klasifikaci tří typů nezávislosti. Zjistili jsme, že neexistují žádné známé přírodní příklady třetího druhu nezávislosti, ale že existují přírodní příklady prvního a druhého druhu nezávislosti.

Přirozené příklady druhého druhu nezávislosti jsou poskytovány duální metodou vnitřních a vnějších modelů. Tyto metody například ukazují, že teorie ZFC + CH a ZFC + ¬CH jsou vzájemně interpretovatelné pomocí ZFC, to znamená, že všechny tři teorie leží ve stejném stupni. Jinými slovy, CH je Oreyova věta ve vztahu k ZFC. A co ta druhá věta, kterou jsme zavedli: PM?

Pomocí metody vnitřních modelů ukázal Gödel, že ¬PM drží v L. Z toho vyplývá, že ZFC + ¬PM je vzájemně interpretovatelné s ZFC. Ale co PM? Chcete-li ukázat, že ZFC + PM je vzájemně interpretovatelné s ZFC, přirozeným přístupem by bylo sledovat přístup použitý pro CH a vytvořit vnější model ZFC, který vyhovuje PM. Je však známo, že to nelze provést počínaje samotným ZFC. Ukazuje se (v důsledku Shelah (1984)), že ZFC + PM znamená konzistenci ZFC a to znamená, že podle druhé věty o neúplnosti ZFC + PM nelze interpretovat v ZFC. V jistém smyslu tu máme případ nezávislosti. Přesněji, i když předpokládáme, že ZFC je konzistentní, nemůžeme (na rozdíl od CH) dokázat, že PM je na ZFC nezávislý. K zajištění nezávislosti PM od ZFC musíme předpokládat konzistenci silnější teorie, konkrétně teorie ZFC + „Existuje silně nepřístupný kardinál“. Ukazuje se, že ZFC + PM nespočívá ve stupni interpretovatelnosti ZFC, ale spíše ve stupni ZFC + „Existuje silně nepřístupný kardinál“. Shrnuto: Zatímco CH je případem nezávislosti druhého typu, PM je případem nezávislosti prvního typu; to je podobné Con (ZFC) v tom, že je to věta φ taková, že pouze jeden z φ nebo ¬φ vede ke skokové síle, teprve nyní existují dva rozdíly; skok přistane v míře, která je mnohem silnější a je reprezentována přirozenou teorií. Ukazuje se, že ZFC + PM nespočívá ve stupni interpretovatelnosti ZFC, ale spíše ve stupni ZFC + „Existuje silně nepřístupný kardinál“. Shrnuto: Zatímco CH je případem nezávislosti druhého typu, PM je případem nezávislosti prvního typu; to je podobné Con (ZFC) v tom, že je to věta φ taková, že pouze jeden z φ nebo ¬φ vede ke skokové síle, teprve nyní existují dva rozdíly; skok přistane v míře, která je mnohem silnější a je reprezentována přirozenou teorií. Ukazuje se, že ZFC + PM nespočívá ve stupni interpretovatelnosti ZFC, ale spíše ve stupni ZFC + „Existuje silně nepřístupný kardinál“. Shrnuto: Zatímco CH je případem nezávislosti druhého typu, PM je případem nezávislosti prvního typu; to je podobné Con (ZFC) v tom, že je to věta φ taková, že pouze jeden z φ nebo ¬φ vede ke skokové síle, teprve nyní existují dva rozdíly; skok přistane v míře, která je mnohem silnější a je reprezentována přirozenou teorií.skok přistane v míře, která je mnohem silnější a je reprezentována přirozenou teorií.skok přistane v míře, která je mnohem silnější a je reprezentována přirozenou teorií.

Obecně platí, že (známé) věty teorie množin jsou buď jako CH nebo PM. Někteří jsou jako CH v tom, že jak ZFC + φ, tak ZFC + ¬φ leží ve stupni ZFC. Jiní jsou jako PM v tom, že jeden z ZFC + φ a ZFC + ¬φ leží ve stupni ZFC, zatímco druhý leží ve stupni rozšíření ZFC prostřednictvím velkého kardinálního axiomu.

Vraťme se nyní k našemu přehledu velkých kardinálních axiomů. Po silně nepřístupných kardinálech jsou zde kardinálové Mahlo, nepopsatelní kardinálové a kardinálové, kteří se nedají vypnout. Všechny tyto velké kardinální axiomy lze odvodit jednotným způsobem pomocí tradičních různých principů reflexe (viz Tait 2005), ale existují určitá omezení, do jaké míry může tato rozmanitost principů reflexe jeden trvat. Z důvodu velmi obecné charakterizace takových principů je známo, že nemohou vydat Erdosův kardinál κ (ω). Viz Koellner (2009).

Velké kardinály považované za dosud (včetně κ (ω)) jsou známé jako malé velké kardinály. Velký kardinál je malý, pokud přidružený velký kardinální axiom může držet v Gödelově konstruktivním vesmíru L, to znamená, že pokud „V ⊨ κ je φ-kardinál“je konzistentní, pak „L ⊨ κ je φ-kardinál“je konzistentní. Jinak je velký kardinál velký.

Existuje jednoduchá šablona pro formulaci (velkých) velkých kardinálních axiomů, pokud jde o elementární embeddings. Obecně takový axiom tvrdí, že existuje tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení

j: V → M.

Chcete-li říci, že vkládání je netriviální, znamená to jen říci, že to není identita, v tomto případě musí být přesunut nejméně ordinál. Tento ordinál se nazývá kritický bod j a označuje se krit (j). Kritickým bodem je (obvykle) velký kardinál spojený s vložením. Kardinál K je považován za měřitelný, pokud je kritickým bodem takového vložení. [8]

Je snadné vidět, že pro každé takové vložení VK + 1 ⊆ M, kde κ = crit (j). Toto množství dohody umožňuje ukázat, že κ je silně nepřístupná, Mahlo, nepopsatelná, nevyčíslitelná atd. Pro ilustraci toho předpokládejme, že jsme ukázali, že κ je silně nepřístupná, a ukážeme, že κ má mnohem silnější velké kardinální vlastnosti. Protože K je silně nepřístupný ve V a od (VK + 1) M = VK + 1, M si také myslí, že κ je silně nepřístupné. Zejména si M myslí, že pod j (κ) je silně nepřístupný kardinál (jmenovitě κ). Ale pak elementaritou j musí V myslet na to samé jako na předponu j (K), jmenovitě K, to znamená, V si musí myslet, že pod K je silně nepřístupný. K nemůže tedy být nejméně silně nepřístupným kardinálem. Pokračováním tímto způsobem lze ukázat, že pod κ je mnoho silně nepřístupných a ve skutečnosti, že κ je Mahlo, nepopsatelné, nevymahatelné atd. Takže měřitelné kardinály zahrnují malé velké kardinály.

Ve skutečnosti Scott ukázal, že (na rozdíl od malých velkých kardinálů) měřitelné kardinály nemohou existovat v Gödelově konstruktivním vesmíru. Buďme o tom přesní. Nechť V = L je příkaz, který tvrdí, že všechny sady jsou konstruovatelné. Pak pro každý malý velký kardinální axiom φ (přesněji řečeno ty, které jsou uvedeny výše), je-li teorie ZFC + consistent konzistentní, pak platí i teorie ZFC + φ + V = L. Naproti tomu teorie ZFC + „Existuje měřitelný kardinál“dokazuje ¬ V = L. To se může zdát poněkud kontraintuitivní, protože L obsahuje všechny ordinály, takže pokud je k měřitelným kardinálem, pak k je ordinálem v L. Jde o to, že L nemůže „rozpoznat“, že κ je měřitelný kardinál, protože je příliš „tenký“na to, aby obsahoval ultrafiltr, který svědčí měřitelnosti κ.

Jeden způsob, jak posílit velký kardinální axiom založený na výše uvedené šabloně, je požadovat větší shodu mezi M a V. Například, když člověk požaduje, aby VK + 2 ⊆ M, pak skutečnost, že κ je měřitelná (něco, čehož svědčí podmnožina P (κ)), může být rozpoznána M. A tak přesně stejným argumentem, jaký jsme použili výše, musí existovat měřitelný kardinál pod κ.

To vede k progresi stále silnějších velkých kardinálních axiomů. Bude užitečné diskutovat o některých hlavních odrazových můstcích v této hierarchii.

Jestliže κ je kardinál a η> κ je ordinál, pak κ je η- silný, pokud existuje tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení j: V → M tak, že krit (j) = κ, j (κ) > η a V η ⊆ M. Kardinál κ je silný, pokud je η silný pro všechny η> κ. Lze také požadovat, aby vložení zachovalo určité třídy: Pokud A je třída, κ je kardinál a η> κ je ordinál, pak κ je η- A - silný, pokud existuje i: V → M, což svědčí o tom, že κ je η-silný a který má další vlastnost, že j (A ∩ V κ) ∩ V η = A ∩ V η. Následující velký kardinální pojem hraje ústřední roli při hledání nových axiomů.

Definice 3.1. Kardinál κ je kardinál Woodin, pokud κ je silně nepřístupný a pro všechny A ⊆ V κ je kardinál κ A <κ tak, že

κ A je η- A -strong,

pro každý η takový, že κ A <η <κ. [9]

Silnější velké kardinální axiomy lze získat vytvořením vazby mezi vložením j a velikostí podobnosti mezi M a V. Například kardinál κ je superpevný, pokud existuje tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení j: V → M tak, že krit (j) = κ a Vj (κ) ⊆ M. Pokud je K superpevné, pak je K Woodinovým kardinálem a pod K jsou libovolně velké Woodinské kardinály.

Silné velké kardinální axiomy lze také získat umístěním podmínek uzavření na cílový model M. Například nechat γ ≥ κ kardinálního κ je γ-superkompakt, pokud existuje tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení j: V → M tak, že krit (j) = κ a γ M ⊆ M, tj. M je uzavřeno pod y-sekvencemi. (Je zřejmé, že pokud je M uzavřeno pod y-sekvencemi, pak H (y +) ⊆ M; takže tento přístup zahrnuje předchozí přístup.) Kardinální κ je superkompakt, pokud je γ-superkompaktem pro všechny γ ≥ κ. Nyní, stejně jako v předchozím přístupu, lze tyto axiomy posílit vytvořením vazby mezi podmínkami vložení j a podmínkami uzavření na cílovém modelu. Kardinál κ je n-obrovský, pokud existuje tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení j: V → M takové, že j   n (κ) M ⊆ M, kde κ = krit (j) a j   i +1 (K) je definováno jako j (j   i (K)).

V tomto duchu lze pokračovat a požadovat větší shodu mezi M a V. Konečná axiom v tomto směru by samozřejmě vyžadovala, aby M = V. Tento axiom navrhl Reinhardt a krátce nato se ukázalo, že je Kunen nekonzistentní (v ZFC). Ve skutečnosti Kunen ukázal, že za předpokladu ZFC může existovat tranzitivní třída M a netriviální elementární vložení j: V → M tak, že j '' λ ∈ M, kde λ = sup n <ω   j   n (κ) a K = krit (j). Zejména nemůže existovat takové M a j, že V λ + 1 ⊆ M. Tím byl omezen rozsah uzavření cílového modelu (ve vztahu k vložení). [10]

Pod výše uvedenou horní hranicí je však stále hodně prostoru. Například velmi silný axiom je prohlášení, že existuje netriviální elementární vložení j: V λ + 1 → V λ + 1. Nejsilnějším velkým kardinálním axiomem v současné literatuře je axiom, který tvrdí, že existuje netriviální elementární vložení j: L (V λ + 1) → L (V λ + 1) tak, že krit (j) <λ. V nedávné práci objevil Woodin axiomy mnohem silnější.

Další čtení: Více o velkých kardinálních axiómech viz Kanamori (2003).

4. Velké kardinální axiómy a hierarchie interpretovatelnosti

Velké kardinální axiomy diskutované výše jsou přirozeně dobře uspořádané z hlediska síly. [11] Toto poskytuje přirozený způsob lezení v hierarchii interpretovatelnosti. Na základně začínáme teorií ZFC-Infinity a poté stoupáme do ZFC a nahoru přes ZFC + Φ pro různé velké kardinální axiomy Φ. Všimněte si, že pro dva velké kardinální axiomy Φ a Ψ, pokud je Ψ silnější než Φ, pak Ψ znamená, že existuje standardní model Φ, a tak máme přirozenou interpretaci ZFC + Φ v ZFC + Ψ.

Už jsme si všimli, že ZFC + ¬PM je vzájemně interpretovatelný se ZFC + LC, kde LC je velký kardinální axiom „Existuje silně nepřístupný kardinál“, a to se ukazuje pomocí duálních technik teorie vnitřního a vnějšího modelu. Je to pozoruhodný empirický fakt, že pro každé „přirozené“tvrzení v jazyce teorie množin φ lze obecně najít velký kardinální axiom Φ, takže ZFC + φ a ZFC + Φ jsou vzájemně interpretovatelné. Znovu se to stanoví pomocí duálních technik teorie vnitřního a vnějšího modelu teprve nyní do mixu vstupují velké kardinály. Aby se zjistilo, že ZFC + Φ interpretuje ZFC + φ, obvykle se začíná modelem ZFC + uses a pomocí nucení se vytvoří model ZFC + φ. V mnoha případech nutí stavba „kolapsu“velkého kardinála spojeného s Φ a uspořádání kolapsu takovým způsobem, že φ drží v „troskách“. V opačném směru obvykle začíná model ZFC + φ a poté konstruuje vnitřní model (model připomínající L, ale schopný pojmout velké kardinální axiomy), který obsahuje velký kardinál, o kterém se tvrdí, že existuje Φ. Větev teorie množin známá jako teorie vnitřních modelů se věnuje konstrukci takových „L-like“modelů pro silnější a silnější velké kardinální axiomy. Větev teorie množin známá jako teorie vnitřních modelů se věnuje konstrukci takových „L-like“modelů pro silnější a silnější velké kardinální axiomy. Větev teorie množin známá jako teorie vnitřních modelů se věnuje konstrukci takových „L-like“modelů pro silnější a silnější velké kardinální axiomy.

Tímto způsobem poskytují teorie tvaru ZFC + LC, kde LC je velký kardinální axiom, měřítko pro měření síly teorií. Působí také jako prostředníci pro porovnávání teorií z konceptuálně odlišných domén: vzhledem k tomu, že ZFC + φ a ZFC + finds najdou velké kardinální axiomy Φ a Ψ tak, že (pomocí metod vnitřních a vnějších modelů) jsou ZFC + φ a ZFC + Φ vzájemně interpretovatelné a ZFC + ψ a ZFC + Ψ jsou vzájemně interpretovatelné. Jeden pak porovná ZFC + φ a ZFC + ψ (z hlediska interpretovatelnosti) zprostředkováním prostřednictvím přirozeného vztahu interpretovatelnosti mezi ZFC + Φ a ZFC + Ψ. Tak velké kardinální axiomy (ve spojení s duální metodou vnitřních a vnějších modelů) leží v srdci pozoruhodného empirického faktu, že přírodní teorie z úplně odlišných domén lze srovnávat z hlediska interpretovatelnosti.

5. Některé filosofické úvahy

Hlavní otázka, která vyvstává ve světle výsledků nezávislosti, je, zda lze ospravedlnit nové axiomy, které vyřizují tvrzení ponechaná nerozhodnutá standardními axiomy. Existují dva názory. Na první pohled je odpověď považována za zápornou a zahrnuje radikální formu pluralismu, v níž má řada stejně legitimních rozšíření standardních axiomů. Podle druhého pohledu je odpověď (alespoň částečně) považována za kladnou a výsledky jednoduše naznačují, že ZFC je příliš slabý na to, aby zachytil matematické pravdy. Toto téma je docela zapojeno a leží mimo rozsah tohoto článku.

Existují však i další filosofické otázky, které se přímo vztahují k tématům tohoto článku. Zaprvé, jaký je význam empirického faktu, že velké kardinální axiomy se zdají být interpretovatelné vítány? Za druhé, jaký je význam empirického faktu, že velké kardinální axiomy hrají ústřední roli při srovnávání mnoha teorií z koncepčně odlišných domén? Podívejme se na tyto dvě otázky postupně.

Dalo by se pokusit tvrdit, že skutečnost, že velké kardinální axiomy jsou uvítány pod interpretovatelností, je úvahou v jejich prospěch. To by však byl slabý argument. Jak jsme již poznamenali výše, zdá se, že všechny „přirozené“teorie jsou uvítány pod interpretovatelností, a to zahrnuje teorie, které jsou vzájemně neslučitelné. Například je snadné vybrat „přirozené“teorie z vyšších a vyšších stupňů teorií v uvítací posloupnosti, které jsou vzájemně neslučitelné. Z toho vyplývá, že vlastnost uvítání pod interpretací, i když pozoruhodná, nemůže být bodem ve prospěch pravdy.

Velké kardinální axiomy však mají další vlastnosti, které je oddělují od třídy přírodních teorií v uvítací posloupnosti stupňů. Nejprve poskytují nejpřirozenější způsob, jak vyšplhat na hierarchii interpretovatelnosti - jsou to nejjednodušší a nejpřirozenější projev čisté matematické síly. Důležitější je však výše uvedená druhá složka, jmenovitě velké kardinální axiomy fungují jako prostředníci při porovnávání teorií z koncepčně odlišných domén. Pro připomenutí, jak to funguje: Vzhledem k tomu, že to ZFC + φ a ZFC + + najde velké kardinální axiomy Φ a Ψ tak, že (pomocí metod vnitřních a vnějších modelů) jsou ZFC + φ a ZFC + Φ vzájemně interpretovatelné a ZFC + ψ a ZFC + Ψ jsou vzájemně interpretovatelné. Jeden pak porovná ZFC + φ a ZFC + ψ (z hlediska interpretovatelnosti) zprostředkováním prostřednictvím přirozeného vztahu interpretovatelnosti mezi ZFC + Φ a ZFC + Ψ.

Ukazuje se, že v mnoha případech je to jediný známý způsob, jak porovnat ZFC + φ a ZFC + ψ, to znamená, že v mnoha případech neexistuje přímá interpretace v obou směrech, místo toho musí projít velké kardinální axiomy. Lze tuto dodatečnou funkci použít k vytvoření případu pro velké kardinální axiomy? Odpověď je nejasná. Co je však jasné, je absolutní ústřednost velkých kardinálních axiomů v teorii množin.

Bibliografie

  • Ackermann, Wilhelm, 1937, „Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre,“Mathematische Annalen, 114: 305–315.
  • Barwise, Jon K., 1977, Handbook of Mathematical Logic (Study in Logic and Foundations of Mathematics: 90), Amsterdam: North-Holland.
  • Buss, Samuel R., 1998a, „Teorie aritmetiky důkazů prvního řádu aritmetiky“, v Buss 1998b, 79–147.
  • –––, 1998b, Příručka teorie důkazů (Studie logiky a základy matematiky: 137), Amsterdam: Severní Holandsko.
  • Feferman, Solomon, 1960, „Aritmetizace metamatematiky v obecném prostředí“, Fundamenta Mathematicae, 49: 35–92.
  • Foreman, Matthew a Kanamori, Akihiro, 2009, Handbook of Theory Theory, Berlin: Springer-Verlag.
  • Gödel, Kurt, 1946, „Poznámky před Princetonskou dvouletou konferencí o problémech v matematice,“v Gödel 1990, 150–153.
  • –––, 1986, Collected Works I: Publications 1929–1936, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay a J. van Heijenoort (ed.), Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Collected Works II: Publications 1938–1974, S. Feferman, J. Dawson, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay a J. van Heijenoort (ed.), Oxford: Oxford University Press.
  • Jech, Thomas J., 2003, Teorie množin (3. vydání tisíciletí, revidováno a rozšířeno), Berlín: Springer-Verlag.
  • Kanamori, Akihiro, 2003, Vyšší nekonečno: Velké kardinály v teorii množin od jejich počátků (Springer Monographs in Mathematics), 2. vydání, Berlín: Springer.
  • Koellner, Peter, 2009, „O principech reflexe“, Annals of Pure and Applied Logic, 157: 206–219.
  • Kunen, Kenneth, 1980, Teorie množin: Úvod do nezávislých důkazů (Studie v logice a základy matematiky: 102), Amsterdam: Severní Holandsko.
  • Lindström, Per, 2003, Aspekty neúplnosti (Poznámky k přednášce v logice: 10), 2. vydání, CITY: Association of Symbolic Logic.
  • Shelah, Saharon, 1984, „Můžeš vzít Solovayovy nepřístupné?“Israel Journal of Mathematics, 48 (1): 1-47.
  • Smoryński, Craig A., 1977, „Věty o neúplnosti“, v Barwise 1977, 821–865.
  • Tait, William W., 2005a, „Vytváření kardinálů zespodu“, v Tait 2005b, 133-154.
  • –––, 2005b, Provenience čistého důvodu: Eseje ve filozofii matematiky a její historie, Oxford: Oxford University Press.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho
ikona inpho
Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil
ikona papíry phil
Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]