Důkazová Sémantika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

První publikováno 5. prosince 2012; věcná revize Čt 1. února 2018

Důkazová sémantika je alternativou k sémantice pravdy. Je založeno na základním předpokladu, že ústředním pojmem, ve kterém jsou významy přiřazeny určitým výrazům našeho jazyka, zejména logickým konstantám, je spíše důkaz než pravda. V tomto smyslu je sémantika důkazní teorie sémantika, pokud jde o důkaz. Důkazová sémantika také znamená sémantiku důkazů, tj. Sémantiku entit, které popisují, jak dospíváme k určitým tvrzením při určitých předpokladech. Oba aspekty doktríny sémantiky důkazů lze vzájemně provázat, tj. Sémantika důkazů je často uváděna jako důkaz.

Důkazová sémantika má několik kořenů, z nichž nejkonkrétnější jsou Gentzenovy poznámky, že úvodní pravidla v jeho počtu přirozených dedukcí definují významy logických konstant, zatímco vylučovací pravidla lze získat v důsledku této definice (viz oddíl 2.2.). 1). Obecněji řečeno, patří k tomu, co Prawitz nazýval obecnou teorií důkazů (viz oddíl 1.1). Ještě širší je to součást tradice, podle které by měl být význam pojmu vysvětlen odkazem na to, jak je používán v našem jazyce.

V rámci filosofie se teoreticko-teoretická sémantika většinou objevila pod názvem „teorie významu“. Tato terminologie následuje Dummetta, který tvrdil, že teorie významu je základem teoretické filosofie, pohledu, který připisoval Fregeovi. Pojem „důkaz-sémantika sémantiky“navrhl Schroeder-Heister (1991; používá se již v roce 1987 na přednáškách ve Stockholmu), aby pojem „sémantika“neponechal sám denotacionalismu - konec konců je „sémantika“standardním termínem pro vyšetřování zabývající se významem lingvistických výrazů. Na rozdíl od „teorie významu“zahrnuje pojem „důkazně-teoretická sémantika“také filozofické a technické aspekty. V roce 1999 se v Tübingenu konala první konference s tímto názvem, druhá v roce 2013. První učebnice s tímto názvem se objevila v roce 2015.

1. Pozadí
- 1.1 Obecná teorie důkazů: důsledky vs. důkazy
- 1.2 Inferentialismus, intuicionismus, antirealismus
- 1.3 Gentzenova teorie důkazů: Redukce, normalizace, eliminace řezu
2. Některé verze důkazně-teoretické sémantiky
- 2.1 Sémantika důsledků: Přípustnost, odvozitelnost, pravidla
  - 2.1.1 Operativní logika
  - 2.1.2 Gentzenova sémantika
  - 2.1.3 Přirozená dedukce s pravidly vyšší úrovně
- 2.2 Sémantika derivací založená na pravidlech úvodu
  - 2.2.1 Zásady inverze a harmonie
  - 2.2.2 Důkazní platnost
  - 2.2.3 Konstruktivní teorie typů
- 2.3 Vymezení pojmů a definice
  - 2.3.1 Výzva z logického programování
  - 2.3.2 Definiční reflexe
- 2.4 Strukturální charakterizace logických konstant
- 2.5 Teorie kategoriálních důkazů
3. Rozšíření a alternativy ke standardní důkazově-teoretické sémantice
- 3.1 Pravidla eliminace jako základní
- 3.2 Negace a odmítnutí
- 3.3 Harmonie a reflexe v sekvenčním počtu
- 3.4 Subatomická struktura a přirozený jazyk
- 3.5 Klasická logika
- 3.6 Hypotetické uvažování
- 3.7 Intenzivní důkazně-teoretická sémantika
4. Závěr a výhled
Bibliografie
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

Tato položka zahrnuje také následující doplňkové dokumenty, které jsou do textu propojeny:

Příklady důkazní teoretické platnosti
Definiční reflexe a paradoxy

1. Pozadí

1.1 Obecná teorie důkazů: důsledky vs. důkazy

Pojem „obecná teorie důkazů“vytvořil Prawitz. V obecné teorii důkazů se „důkazy studují samy o sobě v naději, že pochopíme jejich povahu“, v rozporu s Hilbertovou „reduktivní teorií důkazů“, což je „pokus analyzovat důkazy matematických teorií se záměrem omezit je na více elementární část matematiky, jako je finitistická nebo konstruktivní matematika “(Prawitz, 1972, s. 123). Podobným způsobem žádá Kreisel (1971) o přeorientování teorie důkazů. Chce vysvětlit „nedávné práce v teorii důkazů ze zanedbaného hlediska. Důkazy a jejich reprezentace formálními deriváty jsou považovány za hlavní předměty studie, nikoli za pouhé nástroje pro analýzu důsledkové relace. “(Kreisel, 1971, str.109) Zatímco se Kreisel zaměřuje na dichotomii mezi teorií důkazů a teorií prokazatelnosti, Prawitz se zaměřuje na různé cíle, které může teorie důkazů sledovat. Obě strany však zdůrazňují nutnost studia důkazů jako základních entit, pomocí kterých získáváme demonstrativní (zejména matematické) znalosti. To zejména znamená, že důkazy jsou epistemické entity, které by neměly být spojovány s formálními důkazy nebo odvozeními. Jsou to spíše to, co derivace označují, když jsou považovány za reprezentaci argumentů. (V následující části však často používáme „důkaz“synonymně s „odvozením“a ponecháváme to na čtenáři, aby určil, zda jsou míněny formální důkazy nebo důkazy jako epistemické entity.) V diskusi o Prawitzově (1971) průzkumu Kreisel (1971, s.111) výslovně hovoří o „mapování“mezi derivacemi a mentálními činy a považuje to za úkol teorie důkazů objasnit toto mapování, včetně zkoumání identity důkazů, což je téma, které do programu zahrnuli Prawitz a Martin-Löf..

To znamená, že v obecné teorii důkazů nás nezajímá pouze to, zda B vyplývá z A, ale způsobem, kterým se dostáváme k B, počínaje A. V tomto smyslu má obecná teorie důkazů intenzivní a epistemologický charakter, zatímco teorie modelů, která se zajímá o vztah důsledků a ne o způsob, jak jej založit, je extenzivní a metafyzická.

1.2 Inferentialismus, intuicionismus, antirealismus

Důkazová sémantika je neodmyslitelně inferenciální, protože se jedná o inferenciální aktivitu, která se projevuje v důkazech. Patří tedy k inferentialismu (viz Brandom, 2000), podle kterého závěry a pravidla odvozování určují význam výrazů, v rozporu s denotacionalismem, podle kterého jsou označení primárním druhem významu. Inferentialismus a „význam-jak-použití“pohled na sémantiku je široký filozofický rámec teorie sémantiky důkazů. Tato obecná filosofická a sémantická perspektiva se spojila s konstruktivními pohledy, které vycházely z filozofie matematiky, zejména z matematického intuicionismu. Většina forem důkazně-teoretické sémantiky je v duchu intuicionální,což zejména znamená, že zásady klasické logiky, jako je zákon vyloučeného středního nebo dvojitého negace, jsou odmítnuty nebo alespoň považovány za problematické. To je částečně způsobeno skutečností, že hlavní nástroj důkazově teoretické sémantiky, počet přirozené dedukce, je zaujatý směrem k intuicionistické logice v tom smyslu, že přímá formulace jeho eliminačních pravidel je intuicionální. Klasická logika je k dispozici pouze prostřednictvím určitého pravidla nepřímého důkazu, které alespoň do určité míry ničí symetrii principů uvažování (viz oddíl 3.5). Pokud člověk zaujme stanovisko přirozené dedukce, pak je intuicionální logika přirozeným logickým systémem. Významnou roli hraje také interpretace logických znaků BHK (Brouwer-Heyting-Kolmogorov). Tato interpretace není ojedinělým přístupem k sémantice, ale zahrnuje různé myšlenky, které jsou často neformálnější než formálně popsané. Zvláště důležité je jeho funkční zobrazení implikace, podle kterého je důkaz A → B konstruktivní funkcí, která při použití na důkaz A dává důkaz B. Tato funkční perspektiva je základem mnoha konceptů teorie sémantiky důkazů, zejména koncepcí Lorenzena, Prawitze a Martina Löfa (viz oddíly 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Tato funkční perspektiva je základem mnoha konceptů teorie sémantiky důkazů, zejména koncepcí Lorenzena, Prawitze a Martina Löfa (viz oddíly 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3). Tato funkční perspektiva je základem mnoha konceptů teorie sémantiky důkazů, zejména koncepcí Lorenzena, Prawitze a Martina Löfa (viz oddíly 2.1.1, 2.2.2, 2.2.3).

Podle Dummetta odpovídá logická pozice intuicionismu filozofickému postavení antrealismu. Realistický pohled na realitu nezávislou na uznání je metafyzickým protějškem názoru, že všechny věty jsou buď pravdivé, nebo falešné, nezávislé na našich prostředcích, které ji rozpoznávají. Po Dummettovi jsou hlavní části důkazně-teoretické sémantiky spojeny s antirealismem.

1.3 Gentzenova teorie důkazů: Redukce, normalizace, eliminace řezu

Gentzenův počet přirozené dedukce a jeho vykreslování Prawitzem je pozadím většiny přístupů k důkazově-teoretické sémantice. Přirozená dedukce je založena na nejméně třech hlavních myšlenkách:

Vypuštění předpokladů: Předpoklady mohou být „vypuštěny“nebo „vyloučeny“v průběhu derivace, takže ústředním pojmem přirozeného odpočtu je odvození v závislosti na předpokladech.
Separace: Každé schéma primitivních pravidel obsahuje pouze jednu logickou konstantu.
Představení a vyloučení: Pravidla pro logické konstanty přicházejí ve dvojicích. Úvodní pravidlo (pravidla) umožňuje odvodit vzorec s konstantou jako jeho hlavním operátorem, vylučovací pravidlo (pravidla) umožňuje vyvozovat důsledky z takového vzorce.

V Gentzenově přirozeném dedukčním systému jsou logické derivace prvního řádu psány ve stromové podobě a na základě známých pravidel. Například implikace má následující úvodní a vylučovací pravidla

[A]
B	→ já
A → B	→ já


A → BA	→ E
B

kde závorky označují možnost vypořádat se s předpoklady A. Otevřenými předpoklady derivace jsou ty předpoklady, na kterých závisí konečný vzorec. Derivace se nazývá uzavřená, pokud nemá otevřený předpoklad, jinak se nazývá otevřená. Pokud se zabýváme kvantifikátory, musíme také zvážit otevřené individuální proměnné (někdy nazývané „parametry“). Metalogické rysy klíčové pro důkaz-teoretickou sémantiku a poprvé systematicky zkoumané a publikované Prawitzem (1965) zahrnují:

Snížení: Pro každou objížďku sestávající z úvodu bezprostředně následovaného eliminací existuje redukční krok, který tuto odbočku odstraní.

Normalizace: Postupnými aplikacemi redukcí lze derivace transformovat do normálních forem, které neobsahují žádné objížďky.

Pro implikaci je standardní krok redukce odstraňování objížďek následující:

[A]
⋮
B		\|
A → B		A
B

snižuje na

⋮

Jednoduchý, ale velmi důležitý důsledek normalizace je následující: Každá uzavřená derivace v intuicionistické logice může být redukována na derivaci pomocí úvodního pravidla v posledním kroku. Také říkáme, že intuicionální přirozená dedukce splňuje „vlastnost úvodní formy“. V důkazově teoretické sémantice je tento výsledek výrazný pod hlavičkou „základní předpoklad“(Dummett, 1991, s. 254). „Základní předpoklad“je typickým příkladem filozofické reinterpretace technického důkazně-teoretického výsledku.

Další čtení:

Pro obecnou orientaci důkazně-teoretické sémantiky zvláštní vydání Synthese (Kahle a Schroeder-Heister, 2006), čtenář redigoval Piecha a Schroeder-Heister (2016b), učebnice Francez (2015), Schroeder-Heister (2008b, 2016a) a Wansing (2000).

Pro filosofické postavení a vývoj teorie důkazů byly uvedeny údaje o Hilbertově programu a vývoji teorie důkazů, jakož i Prawitz (1971).

Pro intuicionismus vstupy do intuicionistické logiky, intuicionismus ve filozofii matematiky a rozvoj intuicionistické logiky.

Pro anti-realismus vstup na výzvy metafyzickému realismu a také Tennant (1987); Tennant (1997), Tranchini (2010); Tranchini (2012a).

Pro Gentzenovu teorii důkazů a teorii přirozeného dedukce: kromě Gentzenovy (1934/35) původní prezentace, Jaśkowského (1934) teorie předpokladů a Prawitzovy (1965) klasické monografie, Tennant (1978), Troelstra a Schwichtenberg (2000) a Negri a von Plato (2001).

2. Některé verze důkazně-teoretické sémantiky

2.1 Sémantika důsledků: Přípustnost, odvozitelnost, pravidla

Sémantika implikace leží v srdci důkazně-teoretické sémantiky. V rozporu s klasickou sémantikou pravdivých stavů je implikace sama o sobě logickou konstantou. Má také charakteristický rys, že je spojen s pojmem důsledek. To může být viděno jako vyjadřující důsledek na úrovni sentimentu kvůli modus ponens a tomu, co se v Hilbertově stylu systémy nazývá dedukční věta, tj. Ekvivalence Γ, A ⊢ B a Γ ⊢ A → B.

Velmi přirozené chápání implikace A → B jej čte jako vyjádření inferenčního pravidla, které umožňuje přechodu z A na B. Licencování kroku od A do B na základě A → B je přesně to, co říká modus ponens. A teorém odpočtu lze chápat jako prostředek k vytvoření pravidla: Když jsme ukázali, že B lze odvodit z A, zdůvodňuje pravidlo, že z A můžeme přejít na B. Sémantika implikace založená na pravidlech je základem několika koncepcí sémantiky důkazních teorií, zejména koncepcí Lorenzena, von Kutschera a Schroeder-Heister.

2.1.1 Operativní logika

Lorenzen ve svém Úvodu do operační logiky a matematiky (1955) začíná logickými prostými (atomovými) kalkulemi, které odpovídají výrobním systémům nebo gramatikám. V takovém systému nazývá pravidlo přípustným, pokud k němu může být přidáno, aniž by se zvětšila množina jeho odvozitelných atomů. Implikační šipka → je interpretována jako vyjádření přípustnosti. Důsledek A → B se považuje za platný, pokud je při čtení zpravidla přípustný (s ohledem na základní počet). Pro opakované důsledky (= pravidla) Lorenzen vyvíjí teorii prohlášení o přípustnosti vyšších úrovní. Některá tvrzení jako A → A nebo ((A → B), (B → C)) → (A → C) platí nezávisle na základním počtu. Nazývají se všeobecně přípustné [„allgemeinzulässig“]) a představují systém pozitivní implikační logiky. Souvisejícím způsobemzákony pro univerzální kvantifikaci ∀ jsou odůvodněny použitím prohlášení o přípustnosti pro pravidla se schematickými proměnnými.

Pro ospravedlnění zákonů pro logické konstanty ∧, ∨, ∃ a ⊥ používá Lorenzen inverzní princip (termín, který vytvořil). Ve velmi zjednodušené formě, bez zohlednění proměnných v pravidlech, princip inverze říká, že vše, co lze získat z každé definující podmínky A, lze získat ze samotného A. Například, v případě disjunkce, nechť A a B jsou každá definující podmínkou A ∨ B vyjádřenou primitivními pravidly A → A ∨ B a B → A ∨ B. Princip inverze pak říká, že A ∨ B → C je přípustné za předpokladu A → C a B → C, což odůvodňuje pravidlo eliminace disjunkce. Se zbývajícími spojovacími prvky se pracuje podobným způsobem. V případě ⊥ se pravidlo absurdity ⊥ → A získá ze skutečnosti, že pro ⊥ neexistuje žádná definující podmínka.

2.1.2 Gentzenova sémantika

V tom, co nazývá „Gentzenova sémantika“, von Kutschera (1968) dává, jako Lorenzen, sémantiku logicky složitých implikačních tvrzení A ₁,…, A _n → B ve vztahu k počtu K, které řídí zdůvodnění atomovými větami. Zásadní rozdíl oproti Lorenzenu spočívá v tom, že A ₁,…, A _n → B nyní vyjadřuje spíše odvozitelnost než prohlášení o přípustnosti.

Aby se to změnilo v sémantiku logických konstant koncipiční logiky, von Kutschera argumentuje následujícím způsobem: Když se vzdáme bivalence, už nemůžeme používat klasická přiřazení pravdivé hodnoty k atomovým vzorcům. Místo toho můžeme použít kameny, které dokazují nebo vyvracejí atomové věty. Vzhledem k tomu, že kalkulátory nejen generují důkazy nebo vyvrácení, ale i svévolné vztahy derivovatelnosti, je myšlenkou začít přímo s derivovatelností v atomovém systému a rozšířit jej o pravidla charakterizující logické spojky. Za to von Kutschera dává sekvenční počet s pravidly pro zavedení n -arych výrokových konektivů v následném a předchůdci, čímž se vytvoří sekvenční systém pro generalizované výrokové spojky. Von Kutschera dále ukazuje, že takto definované zobecněné spojky mohou být vyjádřeny standardními spojkami intuicionistické logiky (spojování, disjunkce, implikace, absurdita).

2.1.3 Přirozená dedukce s pravidly vyšší úrovně

V rámci programu vývoje obecného schématu pravidel pro libovolné logické konstanty Schroeder-Heister (1984) navrhl, aby logicky komplexní vzorec vyjadřoval obsah nebo společný obsah systémů pravidel. To znamená, že pravidla pro zavedení nejsou považována za základní, ale za důsledky definování podmínek. Pravidlo R je buď A nebo má tvar R ₁, …, R _n ⇒ A, kde R ₁, …, R _njsou sami pravidly. Tato takzvaná „pravidla vyšší úrovně“zobecňují myšlenku, že pravidla mohou splňovat předpoklady v případě, kdy tyto předpoklady mohou být sama pravidly. Pro standardní logické konstanty to znamená, že A ∧ B vyjadřuje obsah páru (A, B); A → B vyjadřuje obsah pravidla A ⇒ B; A ∨ B vyjadřuje společný obsah A a B; a absurdita ⊥ vyjadřuje společný obsah prázdné rodiny systémů vládnutí. V případě libovolných n -árních výrokových spojek to vede k přirozenému dedukčnímu systému s obecnými pravidly pro zavedení a odstranění. Ukázalo se, že tyto obecné spojky jsou definovatelné, pokud jde o standardní, stanovující expresivní úplnost standardních intuicionálních spojovacích prvků.

Další čtení:

Pro Lorenzenův přístup ve vztahu k důkazním teoretickým sémantikám ve stylu Prawitz: Schroeder-Heister (2008a). Pro rozšíření výrazné úplnosti ve stylu von Kutschera: Wansing (1993a).

2.2 Sémantika derivací založená na pravidlech úvodu

2.2.1 Zásady inverze a harmonie

Ve svých šetřeních o logické dedukci Gentzen uvádí některé, dnes velmi citované, programové poznámky o sémantickém vztahu mezi úvodem a eliminačními závěry v přirozené dedukci.

Úvod představuje „definice“příslušných symbolů a eliminace nejsou v konečném důsledku více než důsledky těchto definic. Tato skutečnost může být vyjádřena následovně: Při odstraňování symbolu můžeme použít vzorec, s jehož koncovým symbolem jednáme pouze „ve smyslu, který mu umožňuje zavedení tohoto symbolu“. (Gentzen, 1934/35, s. 80)

To samozřejmě nemůže znamenat, že pravidla pro vyloučení jsou odvozitelná od pravidel pro zavedení v doslovném smyslu slova; ve skutečnosti tomu tak není. Může to znamenat pouze to, že je mohou nějakým způsobem ospravedlnit.

Zpřesněním těchto myšlenek by mělo být možné na základě určitých požadavků zobrazit E-inference jako jedinečné funkce jejich odpovídajících I-inferencí. (tamtéž, str. 81)

Myšlenka, na níž je založen Gentzenův program, spočívá v tom, že máme „definice“ve formě úvodních pravidel a jakési sémantické zdůvodnění, které pomocí „určitých požadavků“potvrzuje vylučovací pravidla.

Přijetím Lorenzenova termínu a přizpůsobením jeho základní myšlenky kontextu přirozené dedukce, Prawitz (1965) formuloval „princip inverze“, aby zpřesnil Gentzenovy poznámky:

Nechť α je aplikace vylučovacího pravidla, které má B jako důsledek. Odpočty, které splňují dostatečnou podmínku […] pro odvození hlavního předpokladu α, v kombinaci s odečtením menších předpokladů α (pokud existují), již „obsahují“odpočet B; odečtení B je tedy možné získat přímo z daných odpočtů bez přidání α. (str. 33)

Zde jsou dostatečné podmínky dány předpoklady odpovídajících pravidel pro zavedení. Princip inverze říká, že odvození závěru vylučovacího pravidla lze získat bez použití vylučovacího pravidla, pokud byl jeho hlavní předpoklad odvozen pomocí zaváděcího pravidla v posledním kroku, což znamená, že kombinace

⋮	I-inference
A

{D _i }

E-inference

kroků, kde {D _i } znamená (možná prázdný) seznam odpočtů méně významných předpokladů, lze zabránit.

Vztah mezi úvodními a vylučovacími pravidly je často popisován jako „harmonie“nebo jako „princip harmonie“(viz např. Tennant, 1978, s. 74). Tato terminologie není jednotná a někdy dokonce ani zcela jasná. V zásadě vyjadřuje, co se také míní pod pojmem „inverze“. I když „harmonie“je termín, který naznačuje symetrický vztah, je často chápán jako vyjadřování koncepce založené na úvodních pravidlech, např. V Read's (2010) „obecná eliminační harmonie“(i když občas zahrnuje i koncepce založené na eliminaci)). Soulad má někdy znamenat, že spojky jsou v určitém smyslu nejsilnější nebo nejslabší vzhledem k jejich zavedení nebo pravidlům eliminace. Tato myšlenka je základem Tennantova (1978) harmonického principu,a také strukturální charakterizace Poppera a Koslowa (viz oddíl 2.4). Specifický vztah mezi zaváděcími a vylučovacími pravidly, jak je formulován v principu inverze, vylučuje údajné deduktivní definice, jako je definice pojivové tonky, která kombinuje úvodní pravidlo pro disjunkci s vylučovacím pravidlem pro spojení a které vedlo k stále probíhající debatě o formátu inferenčních definic (viz Humberstone, 2010).a která vedla k stále probíhající debatě o formátu inferenčních definic (viz Humberstone, 2010).a která vedla k stále probíhající debatě o formátu inferenčních definic (viz Humberstone, 2010).

2.2.2 Důkazní platnost

Proof-theoretic validita je dominantní přístup k důkaz-teoretická sémantika. Jako technický koncept byl vyvinut Prawitzem (1971; 1973; 1974), a to tak, že z teorie Tait (1967), která byla původně použita jako důkaz normativního převodu, se stal koncept sémanticko-teoretické platnosti, který se původně používal k prokázání silné normalizace, na sémantický koncept. Dummett poskytoval hodně filozofický základ této představě (viz Dummett, 1991). Objekty, které jsou primárně platné, jsou důkazy jako reprezentace argumentů. V sekundárním smyslu mohou být jediná pravidla platná, pokud vedou z platných důkazů k platným důkazům. V tomto smyslu je platnost spíše globální, než lokální. Platí pro libovolné derivace nad daným atomovým systémem, který definuje odvozitelnost atomů. Volání důkazu, který používá úvodní pravidlo v posledním kroku kanonické, je založeno na následujících třech myšlenkách:

Priorita uzavřených kanonických důkazů.
Redukce uzavřených nekanonických důkazů na kanonické.
Substituční pohled na otevřené důkazy.

Ad 1: Definice platnosti je založena na Gentzenově myšlence, že úvodní pravidla jsou „ospravedlnitelná“a dávají logickým konstantám jejich význam. Tato funkce se používá pouze pro uzavřené důkazy, které jsou považovány za primární než otevřené.

Ad 2: Nekanonické důkazy jsou odůvodněny jejich redukcí na kanonické. Postupy redukce (redukce objížďky) používané v normalizačních důkazech tedy hrají klíčovou roli. Když ospravedlňují argumenty, Prawitz je také nazývá „ospravedlněním“. Tato definice se opět vztahuje pouze na uzavřené důkazy, které odpovídají vlastnosti úvodní formy uzavřených normálních derivací v přirozené dedukci (viz oddíl 1.3).

Ad 3: Otevřené důkazy jsou odůvodněny zvážením jejich uzavřených případů. Tyto uzavřené instance jsou získány nahrazením jejich otevřených předpokladů jejich uzavřenými důkazy a jejich otevřených proměnných uzavřenými podmínkami. Například důkaz B z A se považuje za platný, pokud je každý uzavřený důkaz, který se získá nahrazením otevřeného předpokladu A, uzavřeným důkazem A, platný. Tímto způsobem jsou otevřené předpoklady považovány za zástupné symboly pro uzavřené důkazy, a proto můžeme hovořit o substitučním výkladu otevřených důkazů.

Toto dává následující definici důkaz-teoretická platnost:

Každý uzavřený důkaz v základním atomovém systému je platný.
Uzavřený kanonický důkaz je považován za platný, jsou-li platné jeho bezprostřední podoblasti.
Uzavřený nekanonický důkaz se považuje za platný, pokud se redukuje na platný uzavřený kanonický důkaz nebo na uzavřený důkaz v atomovém systému.
Otevřený důkaz se považuje za platný, pokud je každý uzavřený důkaz získaný nahrazením jeho otevřených předpokladů uzavřenými důkazy a jeho otevřených proměnných uzavřenými podmínkami platný.

Formálně musí být tato definice relativizována k uvažovanému atomovému systému ak uvažovanému souboru ospravedlnění (redukce důkazů). Důkazy jsou zde dále chápány jako kandidáti platných důkazů, což znamená, že pravidla, ze kterých jsou složeny, nejsou stanovena. Vypadají jako důkazní stromy, ale jejich jednotlivé kroky mohou mít libovolný (konečný) počet předpokladů a mohou eliminovat libovolné předpoklady. Definice platnosti vylučuje ty struktury důkazů, které jsou „skutečnými“důkazy na základě daných redukčních postupů.

Platnost s ohledem na každou volbu atomového systému lze chápat jako zobecněný pojem logické platnosti. Ve skutečnosti, pokud vezmeme v úvahu standardní redukce intuicionistické logiky, pak všechny derivace v intuicionistické logice jsou platné nezávisle na uvažovaném atomovém systému. Toto je sémantická správnost. Můžeme se zeptat, zda má konverzace, viz. zda, vzhledem k tomu, že derivace je platná pro každý atomový systém, existuje odpovídající intuice v intuicionistické logice. Tato intuicionistická logika je v tomto smyslu úplná, známá jako Prawitzova domněnka (viz Prawitz, 1973; Prawitz, 2013). Nebyl však předložen žádný uspokojivý důkaz. Existují značné pochybnosti o platnosti této domněnky pro systémy, které přesahují implikační logiku. V každém případě bude záležet na přesném vyjádření pojmu platnosti, zejména na jeho zacházení s atomovými systémy.

Formálnější definice a podrobnější příklady prokazující platnost, jakož i některé poznámky k Prawitzově domněnce viz

Dodatek k příkladům důkazní teoretické platnosti.

2.2.3 Konstruktivní teorie typů

Teorie typu Martin-Löfa (Martin-Löf, 1984) je předním přístupem v konstruktivní logice a matematice. Filozoficky sdílí s Prawitzem tři základní předpoklady standardní důkazně-teoretické sémantiky, zmíněné v kapitole 2.2.2: priorita uzavřených kanonických důkazů, redukce uzavřených nekanonických důkazů na kanonické a substituční pohled na otevřené důkazy. Teorie typu Martin-Löfa má však alespoň dva charakteristické rysy, které přesahují jiné přístupy v důkazově teoretické sémantice:

Posouzení důkazních objektů a odpovídající rozlišení mezi důkazy jako objekty a důkazy jako ukázky.
Pohled na formační pravidla jako na vlastní důkazní systém spíše než na externí pravidla.

První myšlenka se vrací do Curryho-Howardovy korespondence (viz de Groote, 1995; Sørensen a Urzyczyn, 2006), podle níž lze skutečnost, že vzorec A má určitý důkaz, kodifikovat jako skutečnost, že určitý pojem t je typu A, přičemž vzorec A je identifikován s typem A. Toto může být formalizováno v počtu pro přiřazení typu, jehož příkazy jsou ve tvaru t: A. Důkaz t: A v tomto systému lze číst tak, že ukazuje, že t je důkaz A. Martin-Löf (1995; 1998) to uvedl do filosofické perspektivy tím, že rozlišil tento dvojí smysl pro důkaz následujícím způsobem. Nejprve máme důkazy o tvrzeních t: A. Tyto výroky se nazývají soudy, jejich důkazy se nazývají demonstrace. V těchto soudních rozhodnutích představuje výraz t důkaz výroku A. Důkaz v druhém smyslu se také nazývá důkazní objekt. Při demonstraci rozsudku t: A prokazujeme, že t je důkaz (předmět) pro návrh A. V rámci tohoto dvouvrstvého systému je demonstrační vrstva vrstvou argumentace. Na rozdíl od důkazních objektů mají demonstrace epistemický význam; jejich soudy nesou asertorickou sílu. Důkazová vrstva je vrstva, ve které jsou vysvětleny významy: Význam výroku A je vysvětlen tím, že se řekne, co se pro A považuje za důkaz (předmět). Rozlišení mezi kanonickými a nekanonickými důkazy je rozlišením na výrokové a nikoli na soudní úrovni. Z toho vyplývá určitý požadavek explicitnosti. Když jsem něco dokázal, musím mít k dispozici nejen zdůvodnění svého důkazu, jako je Prawitzův pojem platnosti,ale zároveň si musí být jist, že toto odůvodnění splňuje svůj účel. Tato jistota je zaručena demonstrací. Matematicky tento dvojí smysl pro důkaz rozvíjí svou skutečnou sílu, pouze pokud typy mohou samy o sobě záviset na podmínkách. Závislé typy jsou základní součástí teorie typu Martin-Löfa a souvisejících přístupů.

Druhá myšlenka způsobuje, že přístup Martin-Löfa se výrazně liší od všech ostatních definic důkazní teoretické platnosti. Zásadní rozdíl, například u Prawitzova postupu, spočívá v tom, že nemá metalingistický charakter, kde „metalingvistický“znamená, že návrhy a kandidáti důkazů jsou specifikováni nejprve a poté pomocí definice v metajazyku je stanoveno, který z jsou platné a které nikoli. Poněkud, návrhy a důkazy vstoupí do hry jen v souvislosti s demonstracemi. Pokud například předpokládáme, že něco je důkazem implikace A → B, nemusíme nutně ukázat, že jak A, tak B jsou dobře tvarované návrhy, ale kromě toho, že víme, že A je návrh, potřebujeme pouze vědět, že B je návrh za předpokladu, že A bylo prokázáno. Být návrhem je vyjádřeno konkrétní formou úsudku, který je zaveden stejným systémem prokazování, který se používá k prokázání, že byl prokázán návrh.

V Martinově-Löfově teorii získává sémantika důkazní teorie silně ontologickou složku. Nedávná debata se zabývá otázkou, zda mají důkazní objekty čistě ontologický status nebo zda kodifikují znalosti, i když nejde o samotné epistemické činy.

Další čtení:

Zásady inverze viz Schroeder-Heister (2007).

Varianty důkazně-teoretické harmonie viz Francez (2015) a Schroeder-Heister (2016a). Pro Prawitzovu definici důkazně-teoretické platnosti viz Schroeder-Heister (2006).

Matin-Löfovu teorii typů viz položka o teorii typů a Sommaruga (2000).

2.3 Vymezení pojmů a definice

Důkazová sémantika se obvykle zaměřuje na logické konstanty. Toto zaměření se prakticky nikdy nezpochybňuje, zřejmě proto, že je považováno za zřejmé. V teorii důkazů byla věnována malá pozornost atomovým systémům, ačkoli tam byla Lorenzenova raná práce (viz oddíl 2.1.1), kde je odůvodnění logických pravidel zakotveno v teorii arbitrárních pravidel, a Martin-Löfovy (1971) teorie iterovaných indukčních definic, kde jsou navržena pravidla pro zavedení a odstranění atomových vzorců. Vzestup logického programování tuto perspektivu rozšířil. Z hlediska teoretického důkazu je logické programování teorií atomového uvažování s ohledem na klauzální definice atomů. Definiční reflexe je přístup k důkazově-teoretické sémantice, která přijímá tuto výzvu a pokouší se vybudovat teorii, jejíž rozsah použití přesahuje logické konstanty.

2.3.1 Výzva z logického programování

V logickém programování se zabýváme programovými klauzulami formuláře

A ⇐ B ₁,…, B _m

které definují atomové vzorce. Taková ustanovení mohou být přirozeně interpretována jako popisující úvodní pravidla pro atomy. Z pohledu důkazně-teoretické sémantiky jsou nezbytné následující dva body:

(1) Úvodní pravidla (klauzule) pro logicky složené vzorce se v zásadě nerozlišují od úvodních pravidel (klauzule) pro atomy. Interpretace logického programování důkaz-teoreticky motivuje rozšíření důkaz-teoretické sémantiky na libovolné atomy, což dává sémantiku s mnohem širší oblastí aplikací.

(2) Programové doložky nemusí být nezbytně opodstatněné. Například, hlava klauzule může nastat v jeho těle. Dobře založené programy jsou jen určitým druhem programů. Použití libovolných klauzulí bez dalších požadavků v logickém programování je motivací k prosazování stejné myšlenky v důkazně-teoretické sémantice, připouštění pouze jakýchkoli úvodních pravidel a nejen těch, která mají zvláštní formu, a zejména ne nutně těch, která jsou dobře -Založený. To přináší myšlenku definiční svobody, která je základním kamenem logického programování, až do sémantiky, opět rozšiřující oblast použití důkazně-teoretické sémantiky.

Myšlenka zvažovat pravidla zavedení jako pravidla dávat atomům úzce souvisí s teorií induktivních definic v jeho obecné podobě, podle které induktivní definice jsou systémy pravidel (viz Aczel, 1977).

2.3.2 Definiční reflexe

Teorie definiční reflexe (Hallnäs, 1991; Hallnäs, 2006; Hallnäs a Schroeder-Heister, 1990/91; Schroeder-Heister, 1993) přebírá výzvu logického programování a dává důkazně teoretickou sémantiku nejen pro logické konstanty, ale také pro libovolné výrazy, pro které lze uvést klauzulární definici. Formálně tento přístup začíná seznamem klauzulí, které jsou definicí. Každá klauzule má tvar

A ⇐ Δ

kde hlava A je atomový vzorec (atom). V nejjednodušším případě je tělo Δ je seznam atomů B ₁, …, B _m, přičemž v tomto případě definice vypadá jako určité logiky programu. Často uvažujeme o rozšířeném případě, kde Δ může také obsahovat některé strukturální implikace '⇒', a někdy dokonce i některé strukturální univerzální implikace, které se v podstatě řeší omezením substituce. Pokud má definice A tvar

pak A má následující úvodní a vylučovací pravidla

Δ ₁ · · Δ _n A

	[Δ ₁]		[Δ _n]
A	C	· · ·	C
C

Pravidla pro zavádění, nazývaná také pravidla pro definitivní uzavření, vyjadřují zdůvodnění „spolu“. Eliminační pravidlo se nazývá princip definiční reflexe, protože odráží definici jako celek. Pokud Δ ₁,…, Δ _nvyčerpání všech možných podmínek pro generování A podle dané definice, a pokud každá z těchto podmínek má stejný závěr C, pak A sám znamená tento závěr. Pokud je definice klauzule chápána jako induktivní, lze na tento princip pohlížet jako na vyjádření extremální klauzule v induktivních definicích: Nic jiného, než je uvedená klauze, definuje A. Definiční reflexe je samozřejmě zobecněná forma diskutovaných principů inverze. Rozvíjí svou pravou sílu v definičních kontextech s volnými proměnnými, které jdou nad rámec čistě výrokového uvažování, a v kontextech, které nejsou opodstatněné. Příkladem nedefinované definice je definice atomu R jeho vlastní negací:

D R {R | )

Tento příklad je podrobně popsán v dokumentu

Dodatek k definiční reflexi a paradoxům.

Další čtení:

Pokud jde o nedokonalost a paradoxy, podívejte se na záznamy o autoreferenci a Russellově paradoxu, jakož i odkazy citované v dodatku, na který se odkazuje.

2.4 Strukturální charakterizace logických konstant

Existuje velké pole myšlenek a výsledků týkajících se toho, co by se dalo nazvat „strukturální charakterizací“logických konstant, kde „strukturální“je zde míněno jak v pravo-teoretickém smyslu „strukturálních pravidel“, tak ve smyslu rámce, který nese určitou strukturu, kde je tento rámec znovu teoreticky popsán. Někteří z jejích autorů používají sémantickou slovní zásobu a přinejmenším implicitně naznačují, že jejich téma patří k důkazně-teoretické sémantice. Jiní tyto konotace výslovně popírají a zdůrazňují, že se zajímají o charakterizaci, která stanoví logičnost konstanty. Otázka „Co je to logická konstanta?“může být zodpovězena na základě teoretických důkazů, i když sémantika samotných konstant je pravdivá:Konkrétně tím, že vyžaduje, aby konstanty (možná podmíněně definované pravdou) vykazovaly určité inferenciální chování, které lze popsat v teoreticko-teoretických pojmech. Protože však někteří autoři považují jejich charakterizaci současně s sémantikou, je vhodné zde některé z těchto přístupů zmínit.

Nejvíce otevřeným strukturalistou s ohledem na logické konstanty, který se jako takový výslovně chápe, je Koslow. Ve své strukturalistické teorii logiky (1992) rozvíjí teorii logických konstant, ve které je charakterizuje určitými „implikačními vztahy“, kde implikační vztah zhruba odpovídá konečnému důsledkovému vztahu v Tarskiho smyslu (což lze opět popsat určitá strukturální pravidla systému sekvenčního stylu). Koslow vyvíjí strukturální teorii v přesném metamatematickém smyslu, který nespecifikuje doménu objektů žádným způsobem za danými axiomy. Pokud je uveden jazyk nebo jakákoli jiná doména objektů vybavených implikačním vztahem, lze strukturální přístup použít k vyčlenění logických sloučenin kontrolou jejich implikačních vlastností.

Popper (1947a; 1947b) ve svých raných článcích o základech logiky dává inferenciální charakterizaci logických konstant v důkazně teoretických pojmech. Používá počet sekvencí a charakterizuje logické konstanty podle určitých podmínek derivovatelnosti takových sekvencí. Jeho terminologie jasně naznačuje, že má v úmyslu prokázat teoretickou sémantiku logických konstant, když mluví o „inferenciálních definicích“a „trivializaci matematické logiky“dosažených definováním konstant popsaným způsobem. Ačkoli jeho prezentace není prostá konceptuální nepřesnosti a chyb, jako první zvažoval sekvenční inferenciální chování logických konstant, aby je charakterizoval. To je o to pozoruhodnější, že pravděpodobně vůbec nebyl,a rozhodně si nebyl plně vědom Gentzenova sekvenčního počtu a Gentzenových dalších úspěchů (byl však v korespondenci s Bernaysem). Proti jeho vlastnímu názoru však lze jeho práci lépe chápat jako pokus definovat logičnost konstant a strukturálně je charakterizovat, než jako důkazně teoretickou sémantiku v pravém slova smyslu. Předpokládal však, že v teorii sémantiky důkazů je dnes mnoho běžných myšlenek, jako je charakterizace logických konstant pomocí určitých minimálních nebo maximálních podmínek s ohledem na pravidla pro zavedení nebo vyloučení.než jako důkazně teoretická sémantika v pravém slova smyslu. Předpokládal však, že v teorii sémantiky důkazů je dnes mnoho běžných myšlenek, jako je charakterizace logických konstant pomocí určitých minimálních nebo maximálních podmínek s ohledem na pravidla pro zavedení nebo vyloučení.než jako důkazně teoretická sémantika v pravém slova smyslu. Předpokládal však, že v teorii sémantiky důkazů je dnes mnoho běžných myšlenek, jako je charakterizace logických konstant pomocí určitých minimálních nebo maximálních podmínek s ohledem na pravidla pro zavedení nebo vyloučení.

Důležité příspěvky k debatě o logičnosti, které charakterizují logické konstanty inferenciálně ve smyslu pravidel spočívajících v počtu, jsou příspěvky Kneale (1956) a Hacking (1979). Důkladný popis logičnosti navrhuje Došen (1980; 1989) ve své teorii logických konstant jako „interpunkční znaménka“, vyjadřující strukturální rysy na logické úrovni. Logické konstanty chápe tak, že jsou charakterizovány určitými pravidly dvouřádkových řádků pro posloupnosti, které lze číst v obou směrech. Například spojování a disjunkce jsou (v klasické logice, s více vzorci úspěšnými) charakterizovány pravidly dvojřádky

A, A, B, A

Γ⊢ A ∧ B, Δ

Γ, A ⊢ Δ Γ, B ⊢ Δ

Γ⊢ A ∨ B, Δ

Došen je schopen poskytnout charakterizace, které zahrnují systémy modální logiky. Výslovně považuje svoji práci za příspěvek k debatě o logičnosti a nikoliv k pojetí důkazně-teoretické sémantiky. Sambin a kol., Ve své základní logice (Sambin, Battilotti a Faggian, 2000), výslovně chápou, co Došen nazývá pravidla dvojité řádky jako základní pravidla dávající význam. Dvouřádková pravidla pro konjunkci a disjunkci se čtou jako implicitní definice těchto konstant, které lze některým postupem převést do explicitních pravidel sekvenčního stylu, na která jsme zvyklí. Sambin a kol. používat stejný výchozí bod jako Došen, ale interpretovat to ne jako strukturální popis chování konstant, ale sémanticky jako jejich implicitní definici (viz Schroeder-Heister, 2013).

Existuje několik dalších přístupů k jednotné důkazně-teoretické charakterizaci logických konstant, z nichž všechny se alespoň dotýkají otázek důkazně-teoretické sémantiky. Takovými teoriemi jsou Belnapova Display Logic (Belnap, 1982), Wansingova logika informačních struktur (Wansing, 1993b), generické korektní editační systémy a jejich implementace, jako například logický rámec Edinburghu (Harper, Honsell a Plotkin, 1987) a mnoho následníků, kteří umožňují specifikaci různých logických systémů. Od vzestupu lineární a obecněji substrukturální logiky (Di Cosmo a Miller, 2010; Restall, 2009) existují různé přístupy zabývající se logikou, které se liší s ohledem na omezení jejich strukturálních pravidel. Nedávné hnutí odvrácené od určení konkrétní logiky jako skutečné směrem k pluralističtějšímu postoji (viz např. Beall a Restall, 2006), který se zajímá o to, co mají různé logiky společné, aniž by upřednostňovaly konkrétní logiku, lze považovat za posun od sémantického zdůvodnění k strukturální charakterizaci.

2.5 Teorie kategoriálních důkazů

Existuje značná literatura o teorii kategorií ve vztahu k teorii důkazů a po klíčové práci Lawvere, Lambek a dalších (viz Lambek a Scott, 1986 a odkazy v ní uvedené) lze na kategorii samotnou pohlížet jako na určitý abstraktní důkaz teorie. Pokud se člověk dívá na šipku A → B v kategorii jako druh abstraktního důkazu B z A, máme reprezentaci, která přesahuje čistou derivovatelnost B z A (protože šipka má svou individualitu), ale nezabývá se zvláštní syntaktická struktura tohoto důkazu. U intuicionistických systémů se pravděpodobně teoreticko-sémantika sémantiky v kategorické podobě pravděpodobně nejvíce blíží tomu, co je v klasickém případě denotační sémantika.

Jedním z nejrozvinutějších přístupů k teorii kategoriálních důkazů je Došen. Nejenže pokročil v aplikaci kategoriálních metod v teorii důkazů (např. Došen a Petrić, 2004), ale také ukázal, jak lze metody teorie důkazů použít v samotné teorii kategorií (Došen, 2000). Nejdůležitější pro kategoriální logiku ve vztahu k důkazově-teoretické sémantice je to, že v kategoriální logice se šipky vždy spojují s identitním vztahem, který v důkazové teorii odpovídá identitě důkazů. Tímto způsobem se myšlenky a výsledky teorie kategorických důkazů vztahují k tomu, co lze nazvat intencionální důkazně-teoretickou sémantikou, tj. Studii důkazů jako samostatných entit, nikoli pouze jako prostředek k prokázání důsledků (Došen, 2006, 2016). Dalším rysem kategoriální důkazové teorie je, že má svou podstatu hypotetický charakter, což znamená, že vychází z hypotetických entit. Tímto způsobem překonává paradigma standardní, zejména validně založené, důkazně teoretické sémantiky (viz oddíl 3.6 níže).

Další čtení:

Popperovu teorii logických konstant viz Schroeder-Heister (2005).

Logické konstanty a jejich logičnost viz položka o logických konstantách.

Pro kategorické přístupy viz položka o teorii kategorií.

3. Rozšíření a alternativy ke standardní důkazově-teoretické sémantice

3.1 Pravidla eliminace jako základní

Většina přístupů k důkazově-teoretické sémantice považuje úvodní pravidla za základní, což znamená dávat, nebo se ospravedlňovat, zatímco eliminační závěry jsou s ohledem na daná úvodní pravidla odůvodněná. Tato koncepce má přinejmenším tři kořeny: První je ověřovací teorií významu, podle níž podmínky její věrohodnosti tvoří její význam. Druhým je myšlenka, že musíme rozlišovat mezi tím, co dává smysl a jaké jsou důsledky tohoto významu, protože ne všechny inferenciální znalosti se mohou skládat z aplikací definic. Třetí je nadřazenost tvrzení nad jinými řečovými akty, jako je převzetí nebo popření, což je implicitní ve všech dosud zvažovaných přístupech.

Dalo by se prozkoumat, jak daleko se člověk dostane, když zváží pravidla eliminace spíše než úvodní pravidla jako základ důkazově teoretické sémantiky. Dummett (1991, Ch. 13) načrtl některé myšlenky na důkazně teoretickou sémantiku založenou spíše na eliminaci než na úvodních pravidlech, i když ve velmi základní podobě. Přesnější definice platnosti založená na eliminačních závěrech je způsobena Prawitzem (1971; 2007; viz také Schroeder-Heister 2015). Jeho základní myšlenkou je, že uzavřený důkaz je považován za platný, pokud je výsledek použití pravidla eliminace na jeho konečný vzorec platným důkazem nebo se snižuje na jeden. Například uzavřený důkaz o implikaci A → B je platný, pokud je v případě daného uzavřeného důkazu A výsledek použití modus ponens

A → BA

B

k těmto dvěma důkazům je platný důkaz B, nebo se redukuje na takový důkaz. Tato koncepce zachovává dvě ze tří základních složek Prawitzovy teorie sémantické teorie (viz oddíl 2.2.2): roli redukce důkazů a substituční pohled na předpoklady. Pouze kanonicita důkazů končících úvody se mění na kanonicitu důkazů končících vylučováním.

3.2 Negace a odmítnutí

Standardní důkaz-teoretická sémantika je zaměřena na tvrzení, že podmínky asertibility určují význam logických konstant. V souladu s intuicionálním způsobem postupu je negace ¬ A vzorce A obvykle chápána jako implikace absurdity A → ⊥, kde ⊥ je konstanta, kterou nelze tvrdit, tj. Pro kterou není definována žádná podmínka asertibility. To je „nepřímý“způsob pochopení negace. V literatuře se diskutuje o tom, co by podle von Kutschery (1969) mohlo být nazváno „přímou“negací. Tím člověk rozumí primitivnímu operátorovi negace na jednom místě, který nemůže být, nebo alespoň není, omezen na naznačování absurdity. Nejedná se ani o klasickou negaci. Spíše se řídí pravidly, která zdvojují obvyklá pravidla pro logické konstanty. Někdy se nazývá „popření“věty,někdy také „silná negace“(viz Odintsov, 2008). Typická pravidla pro odmítnutí ~ A z A jsou

~ A ~ B ~ A ~ B

~ (A ∨ B) ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Pravidla odmítnutí pro provozovatele v zásadě odpovídají pravidlům uplatnění pro duálního operátora. Bylo zkoumáno několik logik popírání, zejména Nelsonova logika „konstruktivní falsity“motivovaná nejprve Nelsonem (1949) s ohledem na určitou sémantiku realizovatelnosti. Hlavní důraz byl kladen na jeho systémy později nazvané N3 a N4, které se liší s ohledem na léčbu rozporů (N4 je N3 bez ex contradictione quodlibet). Pomocí odmítnutí lze jakýkoli přístup k důkazově-sémantické sémantice zdvojnásobit pouhou výměnou tvrzení a odmítnutí a obrátením se od logických konstant k jejich dvojímu. Přitom získáme spíše systém založený na vyvrácení (= důkaz o odmítnutí) než na důkazu. Lze to chápat jako použití popperovského pohledu na důkazně-teoretickou sémantiku.

Dalším přístupem by bylo nejen zdvojnásobit sémantiku zaměřenou na důkaz-teoretickou sémantiku ve prospěch prosazování-teoretické sémantiky, ale také vidět vztah mezi pravidly pro uplatnění a pro odmítnutí, jak se řídí principem inverze nebo principem definiční reflexe. Jeho vlastní. To by byl princip toho, čemu by se dalo říkat „prosazení-odmítnutí-harmonie“. Zatímco ve standardní sémantice důkazních teoretik, principech inverze řídí vztah mezi tvrzeními a předpoklady (nebo důsledky), takový princip by nyní upravoval vztah mezi tvrzením a popřením. Vzhledem k určitým definičním podmínkám A by to řeklo, že popření každé definující podmínky A vede k popření samotného A. Pro spojení a disjunkci to vede ke společným párům pravidel pro uplatnění a odmítnutí

A B ~ A ~ B

A ∨ B A ∨ B ~ (A ∨ B)

AB ~ A ~ B

A ∧ B ~ (A ∧ B) ~ (A ∧ B)

Tato myšlenka může být snadno zobecněna na definiční reflexi, což vede k systému uvažování, ve kterém jsou vzájemně propojeny tvrzení a odmítnutí. Má paralely s deduktivními vztahy mezi formami úsudku zkoumanými na tradičním náměstí opozice (Schroeder-Heister, 2012a; Zeilberger, 2008). Je třeba zdůraznit, že operátor odmítnutí je zde vnější znak označující formu úsudku a nikoli jako logický operátor. To zejména znamená, že to nelze iterovat.

3.3 Harmonie a reflexe v sekvenčním počtu

Gentzenův sekvenční počet vykazuje symetrii mezi pravými a levými úvodními pravidly, která navrhují hledat harmonický princip, který tuto symetrii činí významnou pro důkazně-teoretickou sémantiku. Za účelem řešení tohoto jevu byly sledovány nejméně tři řádky. i) Pravidla pro zavedení práva do prava nebo do prava do prava jsou považována za pravidla zavádění. Opačná pravidla (zavádění zleva a zavádění vpravo) jsou poté odůvodněna pomocí příslušných vylučovacích pravidel. To znamená, že metody diskutované výše jsou aplikovány spíše na celé posloupnosti než na vzorce uvnitř posloupností. Na rozdíl od těchto vzorců nejsou posloupnosti logicky strukturovány. Proto tento přístup staví na definiční reflexi,který aplikuje harmonii a inverzi na pravidla pro libovolně strukturované entity, nikoli pouze pro logické kompozity. Sledovali ho de Campos Sanz a Piecha (2009). (ii) Pravidla pro zavádění zprava a zleva jsou odvozena z charakterizace ve smyslu Došenových pravidel pro dvojitou linii (oddíl 2.4), která se pak chápe jako definice nějakého druhu. Směr shora dolů u pravidla s dvojitou čarou je již pravidlem pro zavedení do prava nebo doleva. Druhý může být odvozen ze směru zdola nahoru pomocí určitých principů. Toto je základní významově teoretická složka základní logiky Sambin et al. (Sambin, Battilotti a Faggian, 2000). (iii) Pravidla pro zavádění zprava a zleva jsou chápána jako vyjadřující interakci mezi sekvencemi pomocí pravidla řezu. Vzhledem k pravému nebo levému pravidludoplňující pravidla vyjadřují, že vše, co určitým způsobem interaguje s jeho předpoklady, platí i pro její závěr. Tato myšlenka interakce je zobecněný symetrický princip definiční reflexe. Lze to považovat za zobecnění principu inverze, využívající spíše pojmu interakce než odvozitelnosti důsledků (viz Schroeder-Heister, 2013). Všechny tři přístupy se vztahují na sekvenční počet v jeho klasické podobě, s možná více než jedním vzorcem v následném sekvenci, včetně strukturně omezených verzí zkoumaných v lineární a jiné logice. Lze to považovat za zobecnění principu inverze, využívající spíše pojmu interakce než odvozitelnosti důsledků (viz Schroeder-Heister, 2013). Všechny tři přístupy se vztahují na sekvenční počet v jeho klasické podobě, s možná více než jedním vzorcem v následném sekvenci, včetně strukturně omezených verzí zkoumaných v lineární a jiné logice. Lze to považovat za zobecnění principu inverze, využívající spíše pojmu interakce než odvozitelnosti důsledků (viz Schroeder-Heister, 2013). Všechny tři přístupy se vztahují na sekvenční počet v jeho klasické podobě, s možná více než jedním vzorcem v následném sekvenci, včetně strukturně omezených verzí zkoumaných v lineární a jiné logice.

3.4 Subatomická struktura a přirozený jazyk

I když, stejně jako v definiční reflexi, uvažujeme o definičních pravidlech atomů, jejich definující podmínky tyto atomy normálně nerozkládají. Wieckowski (2008; 2011; 2016) navrhl důkazní teoretický přístup, který zohledňuje vnitřní strukturu atomových vět. Používá úvodní a vylučovací pravidla pro atomové věty, kde se tyto atomové věty nejen redukují na jiné atomové věty, ale také na subatomické výrazy představující význam predikátů a jednotlivých jmen. Toto může být viděno jako první krok k přirozeným jazykovým aplikacím důkaz-teoretická sémantika. Dalším krokem v tomto směru byl Francez, který vyvinul důkazně-teoretickou sémantiku pro několik fragmentů angličtiny (viz Francez, Dyckhoff a Ben-Avi, 2010; Francez a Dyckhoff, 2010,Francez a Ben-Avi 2015).

3.5 Klasická logika

Důkazová sémantika je intuicionálně zaujatá. To je způsobeno skutečností, že přirozená dedukce jako preferovaný rámec má určité vlastnosti, díky nimž je zvláště vhodná pro intuicionální logiku. V klasické přirozené dedukci ex falso quodlibet

⊥

A

je nahrazeno pravidlem klasického reductio ad absurdum

[A → ⊥]

⊥

A

Povolením vybití A → ⊥ za účelem odvození A toto pravidlo podkopává zásadu podformule. Kromě toho, když obsahuje ⊥ a A → ⊥, odkazuje na dvě různé logické konstanty v jednom pravidle, takže už neexistuje žádné oddělení logických konstant. A konečně, jako vylučovací pravidlo pro ⊥ nesleduje obecný vzorec zavádění a vylučování. V důsledku toho ničí vlastnost úvodní formy, že každá uzavřená derivace může být redukována na tu, která používá pravidlo zavedení v posledním kroku.

Klasická logika velmi dobře zapadá do vícenásobného sekvenčního počtu. Tam nepotřebujeme žádné další zásady kromě těch, které se předpokládají v intuicionálním případě. Pro získání klasické logiky stačí strukturální rys umožnění více než jednoho vzorce v následném. Protože existují věrohodné přístupy k vytvoření souladu mezi pravými úvody a levými úvody v sekvenčním počtu (viz oddíl 3.3), zdá se, že klasická logika je zcela odůvodněná. To je však pouze přesvědčivé, pokud je zdůvodnění vhodně koncipováno jako proces s více závěry, i když to neodpovídá naší standardní praxi, kdy se zaměřujeme na jednotlivé závěry. Dalo by se pokusit vyvinout vhodnou intuici tím, že argumentuje, že zdůvodnění více závěrů vymezuje oblast, v níž leží pravda, spíše než stanovit jediný výrok jako pravdivý. Tuto intuici je však obtížné udržet a nelze ji bez vážných obtíží formálně zachytit. Filozofické přístupy, jako jsou přístupy od Botmitha a Smileyho (1978) a přístupy založené na důkazech, jako jsou sítě důkazů (viz Girard, 1987; Di Cosmo a Miller, 2010), jsou pokusy tímto směrem.

Základním důvodem selhání vlastnosti úvodní formy v klasické logice je indeterminismus, který je vlastní zákonům o disjunkci. A ∨ B lze odvodit z A a B. Pokud by tedy disjunkční zákony byly jediným způsobem, jak odvodit A ∨ B, odvozitelnost A ∨¬ A, která je klíčovým principem klasické logiky, by znamenala absurditu buď A, nebo ¬ A. Cesta ven z této obtížnosti je zrušit neurčité disjunkce a místo toho použít její klasický de Morganův ekvivalent ¬ (¬ A ∧¬ B). To vede v zásadě k logice bez řádného rozpojení. V případě kvantifikátoru by také neexistoval správný existenční kvantifikátor, protože ∃ xA by bylo chápáno ve smyslu ¬∀ x ¬ A. Pokud je někdo připraven přijmout toto omezení, mohou být pro klasickou logiku formulovány určité zásady harmonie.

3.6 Hypotetické uvažování

Standardní přístupy k sémantice důkazních teorií, zejména přístup založený na platnosti Prawitz (část 2.2.2), považují za základní uzavřené derivace. Platnost otevřených derivací je definována jako přenos platnosti z uzavřených derivací předpokladů do uzavřené derivace tvrzení, kde je získána nahrazením uzavřené derivace otevřeným předpokladem. Pokud tedy někdo nazývá uzavřené derivace „kategoriální“a otevřené derivace „hypotetický“, lze tento přístup charakterizovat jako následující dvě základní myšlenky: (I) Nadřazenost kategorické nad hypotetickou, (II) pohled na přenos důsledků. Tyto dva předpoklady (I) a (II) lze považovat za dogmy standardní sémantiky (viz Schroeder-Heister 2012c). „Standardní sémantika“zde znamená nejen standardní důkazně-teoretickou sémantiku,ale také klasická sémantika teoretických modelů, kde se předpokládají i tato dogmata. Tam jeden začíná definicí pravdy, která je kategorickým pojmem, a definuje důsledek, hypotetický koncept, jako přenos pravdy z podmínek do následků. Z tohoto hlediska si konstruktivní sémantika, včetně sémantiky teoreticko-teoretických, vyměňuje pojem pravdy s konceptem konstrukce nebo důkazu a interpretuje „přenos“ve smyslu konstruktivní funkce nebo postupu, ale jinak ponechá rámec nedotčený.konstruktivní sémantika, včetně sémantiky důkazů, vymění pojem pravdy s konceptem konstrukce nebo důkazu a interpretuje „přenos“z hlediska konstruktivní funkce nebo postupu, ale jinak ponechá rámec nedotčený.konstruktivní sémantika, včetně sémantiky důkazů, vymění pojem pravdy s konceptem konstrukce nebo důkazu a interpretuje „přenos“z hlediska konstruktivní funkce nebo postupu, ale jinak ponechá rámec nedotčený.

S těmito dogmy není v zásadě nic špatného. Ve standardním rámci je však obtížné se zabývat jevy. Takovým jevem je nedokonalost, zejména kruhovitost, kde můžeme mít důsledky bez přenosu pravdy a prokazatelnosti. Dalším jevem jsou substrukturální rozdíly, kde je zásadní zahrnout strukturování předpokladů od samého začátku. Navíc, a to je nejdůležitější, bychom mohli určit věci určitým způsobem, aniž bychom předem věděli, zda je naše definice nebo řetězec definic opodstatněný nebo ne. Nejdříve se nezapojíme do metalingvistického studia definice, kterou začínáme, ale rádi bychom začali okamžitě uvažovat. Tento problém nenastane, pokud se omezíme na případ logických konstant,kde jsou definující pravidla triviálně opodstatněná. Problém však nastává okamžitě, když zvažujeme složitější případy, které přesahují logické konstanty.

Proto je vhodné postupovat jiným směrem a začít hypotetickým pojetím důsledků, tj. Charakterizovat důsledky přímo, aniž by se redukovaly na kategorický případ. Filozoficky to znamená, že kategorický koncept je omezujícím pojmem hypotetického konceptu. V klasickém případě by pravda byla omezujícím případem důsledků, konkrétně důsledků bez hypotéz. Tento program úzce souvisí s přístupem teorie kategoriálních důkazů (oddíl 2.5), která je založena na nadřazenosti hypotetických entit („šipky“). Formálně by to dávalo přednost sekvenčnímu kalkulu před přirozenou dedukcí, protože sekvenční počet umožňuje manipulaci na straně předpokladů sekvence pomocí pravidel pro zavedení vlevo.

3.7 Intenzivní důkazně-teoretická sémantika

Jak je uvedeno v první části (1.1), sémantika důkazů je v duchu náročná, protože se zajímá o důkazy a ne jen o prokazatelnost. Pro důkazně-teoretickou sémantiku není relevantní pouze to, zda B vyplývá z A, ale také, jak můžeme stanovit, že B vyplývá z A. Jinými slovy, identita důkazů je důležitou otázkou. Ačkoli je to evidentně evidentní a sémantici s důkazem by teoreticky souhlasili s tímto abstraktním tvrzením, praxe v sémantice důkazů je často odlišná a téma identity důkazů je velmi zanedbávané téma. Často se stává, že jsou identifikována stejně silná pravidla. Například, když jsou diskutovány principy harmonie a jeden zvažuje standardní úvodní pravidlo pro spojení

AB

A ∧ B

mnoho důkaz-teoretických sémantiků by považovalo za irelevantní, zda si vybere dvojici projekcí

A ∧ B A ∧ B

A B

nebo pár

A ∧ B A ∧ BA

A B

jako eliminační pravidla pro spojení. Druhá dvojice pravidel by byla často považována za komplikovanější variantu dvojice projekcí. Z náročného hlediska však tyto dva páry pravidel nejsou totožné. Jejich identifikace odpovídá identifikaci A ∧ B a A ∧ (A → B), která je pouze extenzivně, ale ne intenzivně správná. Jak Došen často tvrdil (např. Došen 1997, 2006), vzorce jako A ∧ B a A ∧ (A → B) jsou rovnocenné, ale ne izomorfní. Zde „izomorfní“znamená, že při dokazování jednoho vzorce od druhého a naopak získáme kombinací těchto dvou důkazů důkaz totožnosti. V tomto příkladu tomu tak není.

Realizace této myšlenky vede k zásadám harmonie a inverze, které se liší od standardních. Vzhledem k tomu, že harmonie a inverze leží v srdci sémantiky důkazních teorií, dotýká se mnoho jejích otázek. Vezmeme-li téma intenzity vážně, může dojít k přetvoření mnoha oblastí důkazně-teoretické sémantiky. A protože identita důkazů je základním tématem teorie kategoriálních důkazů, bude muset teprve v teorii sémantiky důkazů věnovat silnější pozornost, než je tomu v současnosti.

Další čtení

Pro negaci a popření viz Tranchini (2012b); Wansing (2001).

Sémantiku přirozeného jazyka viz Francez (2015).

Pro klasickou logiku viz záznam o klasické logice.

Hypotetické uvažování a náročná důkazní sémantika viz Došen (2003, 2016) a Schroeder-Heister (2016a).

4. Závěr a výhled

Standardní důkazně-teoretická sémantika byla prakticky výhradně obsazena logickými konstantami. Logické konstanty hrají ústřední roli v uvažování a inference, ale rozhodně nejsou exkluzivní a možná ani nejtypičtější druh entit, které lze definovat inferenciálně. Je zapotřebí rámec, který se zabývá inferenciálními definicemi v širším smyslu a pokrývá logické i mimosmluvní inferenční definice. Myšlenka definiční reflexe s ohledem na svévolná definiční pravidla (viz 2.3.2) a také aplikace v přirozeném jazyce (viz 3.4) ukazují tímto směrem, ale lze si představit i vzdálenější koncepce. Kromě toho je koncentrace na harmonii, inverzní principy, definiční reflexi a podobně poněkud zavádějící,jak by to mohlo naznačovat, že sémantika důkazních teoretik se skládá pouze z toho. Je třeba zdůraznit, že již v oblasti aritmetiky jsou kromě inverze zapotřebí silnější principy. I přes tato omezení však sémantika důkazu již získala velmi významné úspěchy, které mohou konkurovat rozšířenějším přístupům k sémantice.

Bibliografie

Aczel, Peter (1977). „Úvod do indukčních definic“, v Handbook of Mathematical Logic, John Barwise (ed.), Amsterdam: North-Holland, pp. 739–782.

Beall, JC a Greg Restall (2006). Logický pluralismus, Oxford: Oxford University Press.

Belnap, Nuel D. (1982). „Display Logic“, Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.

Brandom, Robert B. (2000). Vyjádření důvodů: Úvod do inferentialismu, Cambridge Mass.: Harvard University Press.

de Campos Sanz, Wagner a Thomas Piecha (2009). „Inverze pomocí definiční reflexe a přípustnosti logických pravidel“, Recenze symbolické logiky, 2: 550–569.

–––, Thomas Piecha a Peter Schroeder-Heister (2014). „Konstruktivní sémantika, přípustnost pravidel a platnost Peirceova zákona“, Logic Journal of IGPL, 22: 297–308.

de Groote, Philippe, ed. (1995). Isomorfismus Curryho-Howarda, svazek 8 Cahiers du Centre de Logique, Academia-Bruyland.

Di Cosmo, Roberto a Dale Miller (2010). „Lineární logika“, Stanfordská encyklopedie filozofie (podzim 2010 vydání), Edward N. Zalta (ed.), URL =

Došen, Kosta (1980). Logické konstanty: Esej v Proof Theory, D. Phil. Diplomová práce, Katedra filozofie, Oxfordská univerzita.

––– (1989). „Logické konstanty jako interpunkční znaménka“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 30: 362–381.

––– (1997). „Logický důsledek: Obrat ve stylu“, v: Dalla Chiara, ML, K. Doets, D. Mundici, J. van Benthem (ed.), Logické a vědecké metody: Svazek Jeden z desátého mezinárodního kongresu logiky, metodologie a filozofie vědy, Florencie, srpen 1995, Dordrecht: Kluwer, 289–311.

––– (2000). Cut Elimination in Categories, Berlin: Springer.

––– (2003). „Identita důkazů založená na normalizaci a obecnosti“, Bulletin of Symbolic Logic, 9: 477–503.

––– (2006). „Modely dedukce“, v: Kahle a Schroeder-Heister, eds. (2006), str. 639–657.

––– (2016). „Na cestách kategorií“, v: Piecha a Schroeder-Heister, eds. (2016b), s. 65–77.

––– a Zoran Petrić (2004). Proof-theoretical Coherence, London: College Publications.

Dummett, Michael (1991). Logický základ metafyziky, Londýn: Duckworth.

Francez, Nissim (2015). Proof-theoretic Semantics, London: College Publications.

––– a Gilad Ben-Avi (2015). „Důkazově teoretická rekonstrukce zobecněných kvantifikátorů“, Journal of Semantics, 32: 313–371.

––– a Roy Dyckhoff (2010). „Důkazová sémantika pro fragment přirozeného jazyka“, lingvistika a filozofie, 33: 447–477.

–––, Roy Dyckhoff a Gilad Ben-Avi (2010). „Důkazová sémantika pro vedlejší věty“, Studia Logica, 94: 381–401.

Gentzen, Gerhard (1934/35). „Untersuchungen über das logische Schließen“, Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431; Anglický překlad v The Collected Papers of Gerhard Gentzen, ME Szabo (ed.), Amsterdam: North Holland, 1969, s. 68–131.

Girard, Jean-Yves (1987). „Lineární logika“, teoretická informatika, 50: 1–102.

Hacking, Ian (1979). "Co je to logika?", Journal of Philosophy, 76: 285–319.

Hallnäs, Lars (1991). „Částečné indukční definice“, Theoretical Science, 87: 115–142.

––– (2006). „Na důkazově teoretickém základu teorie obecných definic“, Synthese, 148: 589–602.

Hallnäs, Lars a Peter Schroeder-Heister (1990/91). „Důkazově teoretický přístup k logickému programování: I. Klauzule jako pravidla. II. Programy jako definice “, Journal of Logic and Computation, 1: 261–283, 635–660.

Harper, Robert, Furio Honsell a Gordon Plotkin (1987). „Rámec pro definování logiky“, Journal of Association for Computing Machinery, 40: 194–204.

Humberstone, Lloyd (2010). „Sentence Connectives in Formal Logic“, Stanfordská encyklopedie filozofie (léto 2010), Edward N. Zalta (ed.), URL =

Jaśkowski, Stanisław (1934). „O pravidlech předpokladů ve formální logice“, Studia Logica, 1: 5–32 (dotisknuto v S. McCall (ed.), Polská logika 1920-1939, Oxford 1967, s. 232–258).

Jäger, Gerhard a Robert F. Stärk (1998). „Proof-theoretic Framework for Logic Programming“, Příručka teorie důkazů, Samuel R. Buss (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 639–682.

Kahle, Reinhard a Peter Schroeder-Heister, eds. (2006). Proof-theoretic Sémantika, Zvláštní vydání Synthese, Svazek 148.

Kneale, William (1956). „The Province of Logic“, Současná britská filozofie, HD Lewis (ed.), Londýn: Allen a Unwin, s. 237–261.

Koslow, Arnold (1992). Strukturální teorie logiky, Cambridge: Cambridge University Press.

Kreisel, Georg (1971). „Přehled teorie důkazů II“, sborník z druhého skandinávského logického sympozia, JE Renstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 109–170.

Kremer, Philip (2009). „Revizní teorie pravdy“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání jaro 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL =

Kreuger, Per (1994). „Axiomy v definičních výpočtech“, rozšíření logického programování: Sborník ze 4. mezinárodního semináře, ELP'93, St. Andrews, Velká Británie, březen / duben 1993 (přednášky v informatice, Voluem 798), Roy Dyckhoff (ed.), Berlin: Springer, str. 196–205.

Lambek, J. a PJ Scott (1986). Úvod do kategorické logiky vyššího řádu, Cambridge: Cambridge University Press.

Lorenzen, Paul (1955). Einführung in operative Logik und Mathematik, Berlin: Springer; 2. vydání, 1969.

Martin-Löf, Per (1971). „Hauptsatz pro intuicionální teorii iterovaných induktivních definic“, sborník z druhého skandinávského logického sympozia, JE Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 179–216.

––– (1984). Intuitionistická teorie typů, Napoli: Bibliopolis.

––– (1995). „Verificationism then and now“, Foundational Debate: Complexity and Constructivity in Mathematics and Physics, Werner DePauli-Schimanovich, Eckehart Köhler a Friedrich Stadler (eds.), Dordrecht: Kluwer, s. 187–196.

––– (1998). „Pravda a srozumitelnost: Na principech C a K Michaela Dummetta“, Pravda v matematice, Harold G. Dales a Gianluigi Oliveri (ed.), Oxford: Clarendon Press, s. 105–114.

Negri, Sara a Jan von Plato (2001). Strukturální teorie důkazů, Cambridge: Cambridge University Press.

Nelson, David (1949). „Constructible Falsity“, Journal of Symbolic Logic, 14: 16–26.

Odintsov, Sergei P. (2008). Konstruktivní negace a parokonzistence, Berlín: Springer.

Piecha, Thomas (2016). “Úplnost v důkazní sémantice”. In: Piecha a Schroeder-Heister, eds. (2016b), s. 231–251.

–––, Wagner de Campos Sanz a Peter Schroeder-Heister (2015). „Selhání úplnosti v důkazní sémantice“, Journal of Philosophical Logic, 44: 321–335.

––– a Peter Schroeder-Heister (2016a). „Atomové systémy v důkazně-teoretické sémantice: dva přístupy“, v: Redmond, J., OP Martins, Á. N. Fernándezova epistemologie, znalost a dopad interakce, Cham: Springer, s. 47–62.

––– a Peter Schroeder-Heister, eds. (2016b). Pokroky v sémantice důkazu, Cham: Springer (otevřený přístup)

Popper, Karl Raimund (1947a). „Logika bez předpokladů“, sborník Aristotelian Society, 47: 251–292.

––– (1947b). „Nové základy pro logiku“, Mind, 56: 193–235; opravy, Mind, 57: 69–70.

Prawitz, Dag (1965). Natural Deduction: Proof-theoretical Study, Stockholm: Almqvist & Wiksell; dotisk Mineola, NY: Dover Publications, 2006.

––– (1971). „Myšlenky a výsledky v důkazní teorii“, sborník z druhého skandinávského logického sympozia (Oslo 1970), Jens E. Fenstad (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 235–308.

––– (1972). „Filozofická pozice teorie důkazů“, současná filozofie ve Skandinávii, RE Olson a AM Paul (ed.), Baltimore, Londýn: John Hopkins Press, s. 123–134.

––– (1973). „Směrem k založení obecné teorie důkazů“, logika, metodologie a filozofie vědy IV, Patrick Suppes, et al. (eds.), Amsterdam: Severní Holandsko, str. 225–250.

––– (1974). „K myšlence obecné teorie důkazů“, Synthese, 27: 63–77.

––– (1985). „Poznámky k některým přístupům k konceptu logických důsledků“, Synthese, 62: 152–171.

––– (2006). „Význam přístupný prostřednictvím důkazů“, Synthese, 148: 507–524.

––– (2007). „Pragmatické a verifikační teorie významu“, filozofie Michaela Dummetta, Randalla E. Auxiera a Lewise Edwina Hahna (ed.), La Salle: Open Court, s. 455–481.

––– (2013). "Přístup k obecné teorii důkazů a dohad o druhu úplnosti intuitivní logiky znovu", Pokroky v přirozené dedukci, Edward Hermann Haeusler, Luiz Carlos Pereira a Valeria de Paiva (ed.), Berlín: Springer.

Číst, Stephen (2010). „Obecně-eliminační harmonie a význam logických konstant“, Journal of Philosophical Logic, 39: 557–576.

Restall, Greg (2009). „Substrukturální logika“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání léta 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL =.

Sambin, Giovanni, Giulia Battilotti a Claudia Faggian (2000). „Základní logika: Reflexe, symetrie, viditelnost“, Journal of Symbolic Logic, 65: 979–1013.

Sandqvist, Tor (2009). „Klasická logika bez bivalence“, analýza, 69: 211–218.

Schroeder-Heister, Peter (1984). „Přirozené rozšíření přirozené dedukce“, Journal of Symbolic Logic, 49: 1284–1300.

––– (1991). „Jednotná důkazní sémantika pro logické konstanty (abstrakt)“, Journal of Symbolic Logic, 56: 1142.

––– (1992). „Omezená eliminace v logice s definiční reflexí“, neklasická logika a zpracování informací: Sborník z mezinárodního semináře, Berlín, listopad 1990 (přednášky v informatice: svazek 619). David Pearce a Heinrich Wansing (ed.), Berlín: Springer, s. 146–171.

––– (1993). „Pravidla definiční reflexe“, sborník z 8. ročníku sympozia IEEE o logice v informatice, Los Alamitos: IEEE Press, s. 222–232.

––– (2004). „K pojetí převzetí v logických systémech“, Vybrané příspěvky přispěly k sekcím GAP5 (pátý mezinárodní kongres Společnosti pro analytickou filozofii, Bielefeld, 22. – 26. Září 2003), R. Bluhm a C. Nimtz (ed.), Paderborn: mentis k dispozici online), s. 27–48.

––– (2005). „Popperova strukturalistická teorie logiky“, Karl Popper: Hodnocení sté výročí. Sv. III: Science, Ian Jarvie, Karl Milford a David Miller (eds.), Aldershot: Ashgate, str. 17–36.

––– (2006). „Koncepty platnosti v důkazně-teoretické sémantice“, Synthese, 148: 525–571.

––– (2007). „Obecný definiční reflexe a princip inverze“, Logica Universalis, 1: 355–376.

––– (2008a). „Lorenzenův operativní zdůvodnění intuitionistické logiky“, sto let intuitionismu (1907-2007): konference Cerisy, Mark van Atten, et al. (eds.), Basel: Birkhäuser, 214–240 [Reference pro celý svazek: 391–416].

––– (2008b). „Důkazově teoretický versus teoretický důsledek“, Ročenka Logica 2007, M. Peliš (ed.), Praha: Filosofia, s. 187–2007.

––– (2012a). „Definiční zdůvodnění v důkazní sémantice a náměstí opozice“, Náměstí opozice: obecný rámec pro poznání, Jean-Yves Béziau a Gillman Payette (ed.), Bern: Peter Lang, s. 323–349.

––– (2012b). „Důkazová sémantika, sebepodporování a formát deduktivního uvažování“. In: Topoi 31, s. 77–85.

––– (2012c). “Kategorie a hypotetický: Kritika některých základních předpokladů standardní sémantiky”. In: Synthese 187, s. 925–942.

––– (2012d). „Paradoxy a strukturální pravidla“. In: Dutilh Novaes, Catarina a Ole T. Hjortland, eds., Insolubles and Consequences. Eseje na počest Stephen Read. London: College Publications, s. 203–211.

––– (2013). „Definiční reflexe a základní logika“, Annals of Pure and Applied Logic, 164 (4): 491–501.

––– (2015). „Důkazová platnost založená na pravidlech pro eliminaci“. In: Haeusler, Edward Hermann, Wagner de Campos Sanz a Bruno Lopes, eds., Proč je to důkaz? Festschrift pro Luiz Carlos Pereira. London: College Publications, s. 159–176.

––– (2016a). “Otevřené problémy v důkazní sémantice”. In: Piecha a Schroeder-Heister, eds. (2016b), s. 253–283.

––– (2016b). „Omezení počátečních sekvencí: kompromisy mezi identitou, kontrakcí a řezem“. In: Kahle, Reinhard, Thomas Strahm a Thomas Studer, ed., Pokroky v teorii důkazů Basilej: Birkhäuser, s. 339–351.

Shoesmith, DJ a Timothy J. Smiley (1978). Logika vícenásobného závěru, Cambridge: Cambridge University Press.

Sommaruga, Giovanni (2000). Dějiny a filozofie teorie konstruktivního typu, Dordrecht: Kluwer.

Sørensen, Morten Heine B. a Pawel Urzyczyn (2006). Přednášky o izomorfismu Curryho-Howarda, Amsterdam: Elsevier.

Tait, W. W: (1967). „Intenzivní interpretace funkcí konečného typu I“, Journal of Symbolic Logic, 32: 198–212.

Tennant, Neil (1978). Natural Logic, Edinburgh: Edinburgh University Press.

––– (1982). „Důkaz a paradox“, Dialectica, 36: 265–296.

––– (1987). Anti-realismus a logika: Pravda jako věčný, Oxford: Clarendon Press.

––– (1997). Zkrocení pravdy, Oxford: Clarendon Press.

Tranchini, Luca (2010). Důkaz a pravda: Anti-realistická perspektiva, Milano: Edizioni ETS, 2013; dotisk Ph. D. disertační práce, Katedra filozofie, University of Tuebingen, 2010, k dispozici online.

––– (2012a). „Pravda z pohledu důkazu“. In: Topoi 31, s. 47–57.

––– (2012b). „Přirozená dedukce pro duální intuitivní logiku“, Studia Logica, 100: 631–648.

––– (2016). „Důkazová sémantika, paradoxy a rozlišování mezi smyslem a denotací“, Journal of Logic and Computation, 26, s. 495–512.

Troelstra, Anne S. a Dirk van Dalen (1988). Konstruktivismus v matematice: Úvod, Amsterdam: Severní Holandsko.

Troelstra, AS a H. Schwichtenberg (2000). Základní teorie důkazů, Cambridge University Press, druhé vydání.

von Kutschera, Franz (1968). „Die Vollständigkeit des Operatorensystems {¬, ∧, ∨, ⊃} für die intuitionistische Aussagenlogik in Rahmen der Gentzensemantik“, Archiv for Mathatische Logik und Grundlagenforschung, 11: 3–16.

––– (1969). “Ein verallgemeinerter Widerlegungsbegrifff für Gentzenkalküle”, Archiv for Mathatische Logik und Grundlagenforschung, 12: 104–118.

Wansing, Heinrich (1993a). „Funkční úplnost pro subsystémy intuitivní prozatímní logiky“, Journal of Philosophical Logic, 22: 303–321.

––– (1993b). Logika informačních struktur (přednášky z umělé inteligence, svazek 681), Berlín: Springer Springer.

––– (2000). „Idea důkazní sémantiky“, Studia Logica, 64: 3–20.

––– (2001). „Negation“, The Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (ed.), Cambridge, MA: Blackwell, s. 415–436.

Wieckowski, Bartosz (2008). „Predikce ve fikci“, v ročence Logica 2007, M. Peliš (ed.), Praha: Filosofia, s. 267–285.

––– (2011). „Pravidla pro subatomovou derivaci“, Přehled symbolické logiky, 4: 219–236.

––– (2016). „Subatomická přirozená dedukce pro naturalistický jazyk prvního řádu s primitivní identitou“, Journal of Logic, Language and Information, 25: 215–268.

Zeilberger, Noam (2008). „O jednotě duality“, Annals of Pure and Applied Logic, 153: 66–96.

Akademické nástroje

ikona sep muž

Jak citovat tento záznam.

ikona sep muž

Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.

ikona inpho

Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).

ikona papíry phil

Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

de Campos Sanz, Wagner a Thomas Piecha (2012). "Poznámky ke konstruktivní sémantice pro klasickou a intuitivní logiku," online rukopis.

Tranchini, Luca (2012b). "Důkazová sémantika, paradoxy a rozlišení mezi smyslem a denotací," online rukopis.

Důkazová Sémantika

Obsah:

Video: Důkazová Sémantika