Teorie Množin

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Teorie množin

První publikováno 8. října 2014; věcná revize Út 12. února 2019

Teorie množin je matematická teorie dobře stanovených kolekcí, tzv. Množin, objektů, které se nazývají členy nebo prvky množiny. Teorie čisté množiny se zabývá výhradně množinami, takže jediné uvažované množiny jsou ty, jejichž členy jsou také množiny. Teorie dědičně konečných množin, konkrétně těch konečných množin, jejichž prvky jsou také konečnými množinami, jejichž prvky jsou také konečné, atd., Je formálně ekvivalentní aritmetice. Podstatou teorie množin je tedy studium nekonečných množin, a proto ji lze definovat jako matematickou teorii skutečného - na rozdíl od potenciálně nekonečného.

Představa o souboru je tak jednoduchá, že se obvykle zavádí neformálně a je považována za samozřejmost. V teorii množin jsou však, jak je to obvyklé v matematice, množiny dány axiomaticky, takže jejich existence a základní vlastnosti jsou postulovány příslušnými formálními axiomy. Axiomy teorie množin naznačují existenci množinově teoretického vesmíru tak bohatého, že všechny matematické objekty mohou být konstruovány jako množiny. Formální jazyk teorie čistých množin také umožňuje formalizovat všechny matematické pojmy a argumenty. Teorie množin se tak stala standardním základem pro matematiku, protože na každý matematický objekt lze nahlížet jako na množinu a každá věta matematiky může být logicky odvozena v predikátovém počtu z axiomů teorie množin.

Oba aspekty teorie množin, a to jako matematická věda nekonečna a jako základ matematiky, mají filosofický význam.

• 1. Původy

• 2. Axiomy teorie množin

  2.1 Axiomy ZFC

• 3. Teorie transfinitálních ordinálů a kardinálů

  3.1 Kardinálové

• 4. Vesmír (V) všech sad

• 5. Teorie množin jako základ matematiky

  • 5.1 Metamathematics
  • 5.2 Fenomén neúplnosti

• 6. Teorie množin kontinua

  • 6.1 Popisná teorie množin
  • 6.2 Stanovitelnost
  • 6.3 Hypotéza kontinua
• 7. Gödelův konstruktivní vesmír

• 8. Nutí

  8.1 Jiné aplikace nucení

• 9. Hledání nových axiomů

• 10. Velké kardinály

  • 10.1 Vnitřní modely velkých kardinálů
  • 10.2 Důsledky velkých kardinálů
• 11. Vynucení axiomů
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Původy

Teorie množin jako samostatná matematická disciplína začíná v práci Georga Cantora. Dalo by se říci, že teorie množin se zrodila na konci roku 1873, když učinil úžasný objev, že lineární kontinuum, tedy skutečná linie, nelze spočítat, což znamená, že jeho body nelze spočítat pomocí přirozených čísel. Takže i když jsou množina přirozených čísel i množina reálných čísel nekonečná, existuje více reálných čísel, než jsou přirozená čísla, která otevřela dveře pro zkoumání různých velikostí nekonečna. Podívejte se na příspěvek o počátečním vývoji teorie množin, kde se diskutuje o původu teorií množin a jejich použití různými matematiky a filozofy před Cantorovým časem a kolem něj.

Podle Cantora mají dvě sady (A) a (B) stejnou velikost nebo mohutnost, pokud jsou bijektovatelné, tj. Prvky (A) mohou být vloženy do jednoho k jednomu korespondence s prvky (B). Takže množina (mathbb {N}) přirozených čísel a množina (mathbb {R}) reálných čísel mají různé kardinality. V 1878 Cantor formuloval slavnou hypotézu Continuum (CH), která tvrdí, že každá nekonečná množina reálných čísel je buď spočítatelná, tj. Má stejnou kardinálnost jako (mathbb {N}), nebo má stejnou kardinálnost jako (mathbb {R}). Jinými slovy, existují pouze dvě možné velikosti nekonečných množin reálných čísel. CH je nejslavnější problém teorie množin. Cantor sám tomu věnoval mnoho úsilí a stejně tak mnoho dalších předních matematiků z první poloviny dvacátého století, jako je Hilbert,kdo uvedl CH jako první problém ve svém slavném seznamu 23 nevyřešených matematických problémů představených v roce 1900 na druhém mezinárodním kongresu matematiků v Paříži. Pokusy o prokázání CH vedly k významným objevům v teorii množin, jako je teorie konstruktivních množin a technika nucení, která ukázala, že CH nelze prokázat ani vyvrátit z obvyklých axiomů teorie množin. Dodnes zůstává CH otevřený. Dodnes zůstává CH otevřený. Dodnes zůstává CH otevřený.

Brzy na to, některé rozpory nebo paradoxy, vznikly naivním používáním pojmu soubor; zejména z podvodně přirozeného předpokladu, že každá vlastnost určuje sadu, jmenovitě sadu objektů, které mají vlastnost. Jedním příkladem je Russellův paradox, známý také Zermelo:

zvážit vlastnost souborů, které nejsou členy sebe. Pokud vlastnost určuje množinu, volejte ji (A), pak (A) je sám členem, a to pouze tehdy, pokud (A) není členem sám.

Některé sbírky, jako například sbírka všech sad, sbírka všech čísel ordinálů nebo sbírka všech kardinálních čísel, tedy nejsou sady. Takové sbírky se nazývají správné třídy.

Abychom se vyhnuli paradoxům a postavili na pevnou základnu, musela být teorie množin axiomatizována. První axiomatizace byla způsobena Zermelom (1908) a přišlo to v důsledku potřeby vysvětlit základní teoretické principy, z nichž vychází jeho důkaz Cantorova principu řádného uspořádání. Zermeloova axiomatizace se vyhýbá Russellovi Paradoxu pomocí axiomu Separace, který je formulován jako kvantifikace nad vlastnostmi množin, a proto je to prohlášení druhého řádu. Další práce Skolem a Fraenkel vedla k formalizaci axiomu Separace ve vzorcích prvního řádu, místo neformálního pojmu vlastnictví, a také k zavedení axiomu Náhrady, který je také formulován jako axiom schéma vzorců prvního řádu (viz další část). Axiom náhrady je potřebný pro správný vývoj teorie transfinitálních ordinálů a kardinálů pomocí transfinitové rekurze (viz oddíl 3). Je také třeba prokázat existenci takových jednoduchých množin, jako je soubor dědičně konečných množin, tj. Těch konečných množin, jejichž prvky jsou konečné, jejichž prvky jsou také konečné, atd.; nebo dokázat základní fakta o teorii množin, jako je to, že každá množina je obsažena v tranzitivní množině, tj. množině, která obsahuje všechny prvky jejích prvků (viz Mathias 2001 pro slabiny teorie množin Zermelo). Další přírůstek Axioma nadace von Neumanna vedl ke standardnímu axiomu systému teorie množin, známému jako axiomy Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice, nebo ZFC. Je také třeba prokázat existenci takových jednoduchých množin, jako je soubor dědičně konečných množin, tj. Těch konečných množin, jejichž prvky jsou konečné, jejichž prvky jsou také konečné, atd.; nebo dokázat základní fakta o teorii množin, jako je to, že každá množina je obsažena v tranzitivní množině, tj. množině, která obsahuje všechny prvky jejích prvků (viz Mathias 2001 pro slabiny teorie množin Zermelo). Další přírůstek Axioma nadace von Neumanna vedl ke standardnímu axiomu systému teorie množin, známému jako axiomy Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice, nebo ZFC. Je také třeba prokázat existenci takových jednoduchých množin, jako je soubor dědičně konečných množin, tj. Těch konečných množin, jejichž prvky jsou konečné, jejichž prvky jsou také konečné, atd.; nebo dokázat základní fakta o teorii množin, jako je to, že každá množina je obsažena v tranzitivní množině, tj. množině, která obsahuje všechny prvky jejích prvků (viz Mathias 2001 pro slabiny teorie množin Zermelo). Další přírůstek Axioma nadace von Neumanna vedl ke standardnímu axiomu systému teorie množin, známému jako axiomy Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice, nebo ZFC.nebo dokázat základní fakta o teorii množin, jako je to, že každá množina je obsažena v tranzitivní množině, tj. množině, která obsahuje všechny prvky jejích prvků (viz Mathias 2001 pro slabiny teorie množin Zermelo). Další přírůstek Axioma nadace von Neumanna vedl ke standardnímu axiomu systému teorie množin, známému jako axiomy Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice, nebo ZFC.nebo dokázat základní fakta o teorii množin, jako je to, že každá množina je obsažena v tranzitivní množině, tj. množině, která obsahuje všechny prvky jejích prvků (viz Mathias 2001 pro slabosti teorie teorií množin Zermelo). Další přírůstek Axioma nadace von Neumanna vedl ke standardnímu axiomu systému teorie množin, známému jako axiomy Zermelo-Fraenkel plus Axiom of Choice, nebo ZFC.

Jiné axiomatizace teorie množin, jako jsou například von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) nebo Morse-Kelley (MK), umožňují také formální zpracování správných tříd.

2. Axiomy teorie množin

ZFC je axiomový systém formulovaný v logice prvního řádu s rovností a pouze jedním binárním vztahovým symbolem (in) pro členství. Napíšeme tedy (A / in B), abychom vyjádřili, že (A) je členem množiny (B). Viz

Dodatek k základní teorii množin

pro další detaily. Viz také

Dodatek k teorii množin Zermelo-Fraenkel

pro formalizovanou verzi axiomů a další komentáře. Neformálně uvádíme pod axiomy ZFC.

2.1 Axiomy ZFC

• Rozšiřitelnost: Pokud dvě sady (A) a (B) mají stejné prvky, jsou stejné.
• Null Set: Existuje sada, označená ({ varnothing}) a nazývá prázdnou sadu, která nemá žádné prvky.
• Pair: Vzhledem k libovolným množinám (A) a (B) existuje množina označená ({A, B }), která obsahuje (A) a (B) jako jeho jediné prvky. Zejména existuje množina ({A }), která má jako jediný prvek (A).
• Power Set: Pro každou sadu (A) existuje sada, označená (mathcal {P} (A)) a nazývána sada (A), jejíž prvky jsou všechny podmnožinami (A).
• Unie: Pro každou množinu (A) existuje množina, označená (bigcup A) a nazývá se unie (A), jejíž prvky jsou všechny prvky prvků (A)).
• Nekonečno: Existuje nekonečná množina. Zejména existuje množina (Z), která obsahuje ({ varnothing}) a taková, že pokud (A / in Z), pak (bigcup {A, {A } } in Z).

• Separace: Pro každou množinu (A) a každou danou vlastnost existuje množina obsahující přesně prvky (A), které tuto vlastnost mají. Vlastnost je dána vzorcem (varphi) jazyka prvního řádu teorie množin.

  Separace tedy není jediným axiomem, ale schématem axiomů, tj. Nekonečným seznamem axiomů, jeden pro každý vzorec (varphi).

• Nahrazení: Pro každou danou definovatelnou funkci s doménou množina (A) existuje množina, jejíž prvky jsou všechny hodnoty funkce.

  Nahrazení je také schématem axiomu, protože definovatelné funkce jsou dány vzorci.

• Nadace: Každá neprázdná množina (A) obsahuje prvek (in) - minimální, to znamená, že k němu nepatří žádný prvek z (A).

Toto jsou axiomy teorie množin Zermelo-Fraenkel, neboli ZF. Axiomy Null Set a Pair vyplývají z ostatních axiomů ZF, takže mohou být vynechány. Nahrazení také znamená oddělení.

Konečně je zde Axiom of Choice (AC):

• Volba: Pro každou sadu (A) párově disjunktních neprázdných množin existuje sada, která obsahuje přesně jeden prvek z každé sady v (A).

AC byl po dlouhou dobu kontroverzní axiom. Na jedné straně je velmi užitečný a široce využívaný v matematice. Na druhé straně to má poněkud neintuitivní důsledky, jako je Banach-Tarski Paradox, který říká, že jednotková koule může být rozdělena do konečně mnoha kusů, které pak mohou být uspořádány tak, aby vytvořily dvě jednotkové koule. Námitky vůči axiomu vycházejí ze skutečnosti, že uplatňuje existenci množin, které nelze explicitně definovat. Gödelův důkaz o jeho konzistenci z roku 1938 ve vztahu k konzistenci ZF však rozptýlil veškerá podezření, která na něm zůstala.

Axiom of Choice je ekvivalentní, modulo ZF, s principem řádného uspořádání, který tvrdí, že každá sada může být dobře uspořádána, tj. Může být lineárně uspořádána tak, aby každá neprázdná podmnožina měla minimální prvek.

Ačkoli to není formálně nutné, kromě symbolu (in) se obvykle používá pro usnadnění další pomocné definované symboly. Například (A / subseteq B) vyjadřuje, že (A) je podmnožinou (B), tj. Každý člen (A) je členem (B). Jiné symboly se používají k označení sad získaných provedením základních operací, jako je (A / cup B), které označuje spojení (A) a (B), tj. Množiny, jejíž prvky jsou prvky (A) a (B); nebo (A / cap B), který označuje průnik (A) a (B), tj. množinu, jejíž prvky jsou společné pro (A) a (B). Objednaný pár ((A, B)) je definován jako množina ({ {A }, {A, B } }). Dva uspořádané páry ((A, B)) a ((C, D)) jsou tedy stejné, pouze pokud (A = C) a (B = D). A kartézský produkt (A / times B) je definován jako sada všech uspořádaných párů ((C,D)) takové, že (C / in A) a (D / in B). S ohledem na jakýkoli vzorec (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)) a množiny (A, B_1, / ldots, B_n), lze vytvořit množinu všech těchto prvků z (A) které vyhovují vzorci (varphi (x, B_1, / ldots, B_n)). Tato sada je označena ({a / in A: / varphi (a, B_1, / ldots, B_n) }). V ZF lze snadno dokázat, že všechny tyto sady existují. Pro další diskusi viz Dodatek o teorii základních sad.

3. Teorie transfinitálních ordinálů a kardinálů

V ZFC lze vyvinout cantoriánskou teorii transfinitových (tj. Nekonečných) ordinálních a kardinálních čísel. Po definici, kterou Von Neumann na začátku 20. let, pořadová čísla nebo zkráceně ordinální čísla, získáme počínaje prázdnou sadou a provedením dvou operací: vezmeme okamžitého nástupce a přejdeme na hranici. První pořadové číslo je tedy ({ varnothing}). Vzhledem k ordinálnímu (alfa) je jeho bezprostředním nástupcem označeným (alfa +1) množina (alpha / cup { alpha }). A vzhledem k neprázdné množině (X) ordinálů tak, že pro každý (alpha / in X) je nástupce (alfa +1) také v (X), jeden získá limit pořadové (bigcup X). Jeden ukazuje, že každý ordinál je (přísně) dobře řazen podle (in), tj. Je lineárně řazen podle (in) a neexistuje nekonečná (in) - sestupná posloupnost. Také každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s jedinečným ordinálem, který se nazývá typ řádu.

Všimněte si, že každý ordinál je množinou jeho předchůdců. Třída (ON) všech ordinálů však není množina. Jinak by (ON) byl ordinál větší než všechny ordinály, což je nemožné. První nekonečný ordinál, který je souborem všech konečných ordinálů, je označen řeckým písmenem omega ((omega)). V ZFC člověk identifikuje konečné ordinály s přirozenými čísly. Tedy ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2) atd., proto (omega) je pouze množina přirozených čísel (mathbb {N}).

Jeden může rozšířit operace sčítání a násobení přirozených čísel na všechny ordinals. Například ordinální (alfa + / beta) je řádový typ řádového uspořádání získaného zřetězením dobře uspořádané sady řádového typu (alfa) a řádně uspořádané sady řádů -typ (beta). Posloupnost ordinálů, dobře seřazená podle (in), začíná následovně

0, 1, 2, …, (n), …, (omega), (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega),…, (N / cdot / omega), …, (omega / cdot / omega), …, (omega ^ n), …, (omega ^ / omega),…

Ordinály splňují princip indukce transfinitů: předpokládejme, že (C) je třída ordinálů tak, že kdykoli (C) obsahuje všechny ordinály (beta) menší než některé ordinály (alfa), pak (alpha) je také v (C). Potom třída (C) obsahuje všechny ordinály. Pomocí transfinitové indukce lze v ZFC (a jeden potřebuje axiom nahrazení) prokázat důležitý princip rekurze transfinitu, který říká, že vzhledem k jakékoli definovatelné třídní funkci (G: V / až V) lze definovat třídu -funkce (F: ON / až V) tak, že (F (alfa)) je hodnota funkce (G) aplikovaná na funkci (F) omezená na (alfa). Jeden používá transfinite rekurzi, například, aby správně definoval aritmetické operace sčítání, produktu a exponentiace na ordinals.

Připomeňme si, že nekonečná množina je spočítatelná, pokud je bijektovatelná, tj. Lze ji dát do korespondence mezi dvěma, s (omega). Všechna výše uvedená pořadová čísla jsou buď konečná, nebo spočitatelná. Ale soubor všech konečných a počitatelných ordinálů je také ordinál, nazvaný (omega_1), a nelze jej spočítat. Podobně, soubor všech ordinals, které jsou bijectable s některými ordinal menší než nebo se rovnat k (omega_1) je také ordinal, nazvaný (omega_2), a není bijectable s (omega_1), a již brzy.

3.1 Kardinálové

Kardinál je ordinál, který není možné předvolit žádným menším ordinálem. Každý konečný ordinál je tedy kardinál a (omega), (omega_1), (omega_2) atd. Jsou také kardinálové. Nekonečné kardinály jsou reprezentovány písmenem alef ((aleph)) hebrejské abecedy a jejich pořadí je indexováno ordinály. Tak to začíná

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2), …, (aleph_ / omega), (aleph _ { omega +1}), …, (aleph _ { omega + / omega}), …, (aleph _ { omega ^ 2}), …, (aleph _ { omega ^ / omega}), …, (aleph _ { omega_1}), …, (aleph _ { omega_2}), …

Tedy (omega = / aleph_0), (omega_1 = / aleph_1), (omega_2 = / aleph_2) atd. Pro každého kardinála je tedy větší a limit rostoucí sekvence kardinálů je také kardinál. Třída všech kardinálů tedy není sadou, ale řádnou třídou.

Nekonečný kardinál (kappa) se nazývá pravidelný, pokud to není unie menších než (kappa) menších kardinálů. Tedy (aleph_0) je pravidelný, a tak jsou to i nekoneční nástupci kardinálů, jako je (aleph_1). Nepravidelné nekonečné kardinály se nazývají singulární. Prvním singulárním kardinálem je (aleph_ / omega), protože se jedná o spojení nespočetně mnoha menších kardinálů, konkrétně (aleph_ / omega = / bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Koincita kardinála (kappa), označeného (cf (kappa)), je nejmenší kardinál (lambda), takže (kappa) je unie (lambda) - mnoho menších pořadů. Tedy (cf (aleph_ / omega) = / aleph_0).

Prostřednictvím AC (ve formě principu řádného uspořádání) může být každá množina (A) dobře uspořádána, proto je bijectable s jedinečným kardinálem, nazvaný kardinálnost (A). Vzhledem ke dvěma kardinálům (kappa) a (lambda) je součet (kappa + / lambda) definován jako mohutnost množiny sestávající z spojení libovolných dvou nesouvislých množin, jedné z kardinality (kappa) a jeden z kardinality (lambda). A produkt (kappa / cdot / lambda) je definován jako kardinál karteziánského produktu (kappa / times / lambda). Operace součtu a součinu nekonečných kardinálů jsou triviální, protože pokud (kappa) a (lambda) jsou nekonečné kardinály, pak (kappa + / lambda = / kappa / cdot / lambda = maximum { kappa, / lambda }).

Naproti tomu kardinální exponentiace je vysoce netriviální, protože ani hodnota nejjednoduššího netriviální nekonečného exponenciálu, konkrétně (2 ^ { aleph_0}), není známa a nemůže být stanovena v ZFC (viz níže). Kardinál (kappa ^ / lambda) je definován jako kardinál kartézského součinu kopií (lambda) (kappa); ekvivalentně, jako mohutnost množiny všech funkcí od (lambda) do (kappa). Königova věta tvrdí, že (kappa ^ {cf (kappa)}> / kappa), což znamená, že koinalita kardinálu (2 ^ { aleph_0}), ať už je jakýkoli kardinál, musí být nespočetná. Ale to je v podstatě vše, co může ZFC dokázat o hodnotě exponenciálního (2 ^ { aleph_0}).

V případě exponentiace singulárních kardinálů má ZFC mnohem více co říct. V roce 1989 Shelah prokázal pozoruhodný výsledek, že pokud (aleph_ / omega) je silná hranice, to je (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), pro každou (n <\ omega), potom (2 ^ { aleph_ / omega} <\ aleph _ { omega_4}) (viz Shelah (1994)). Technika vyvinutá Shelah k prokázání této a podobných teorémů v ZFC se nazývá teorie pcf (pro možné kofinality) a našla mnoho aplikací v jiných oblastech matematiky.

4. Vesmír (V) všech sad

A posteriori, ZF axiómy než Extensionality - které nepotřebují žádné zdůvodnění, protože pouze stanoví definující vlastnost množin - mohou být odůvodněny jejich použitím při vytváření kumulativní hierarchie množin. Konkrétně v ZF definujeme pomocí transfinitové rekurze třídu-funkci, která přiřazuje každému ordinálnímu (alfa) množinu (V_ / alfa), takto:

• (V_0 = { varnothing})
• (V _ { alpha +1} = / mathcal {P} (V_ / alpha))
• (V_ / alpha = / bigcup _ { beta <\ alpha} V_ / beta), kdykoli (alfa) je limitní pořadové číslo.

Axiom Power Set se používá k získání (V _ { alpha +1}) z (V_ / alfa). Nahrazení a spojení dovolí jednomu vytvořit (V_ / alpha) pro (alpha) limit ordinal. Ve skutečnosti zvažte funkci, která každému z (beta <\ alfa) přiřazuje množinu (V_ / beta). Nahrazením je kolekce všech (V_ / beta) pro (beta <\ alfa) množina, proto axiom Unie aplikovaný na tuto množinu výnosů (V_ / alfa). Axiom nekonečna je potřebný k prokázání existence (omega), a tedy transfinitové sekvence ordinálů. Konečně, axiom nadace je ekvivalentní, za předpokladu jiných axiomů, s tvrzením, že každá množina patří k nějakému (V_ / alfa), pro nějakou ordinální (alfa). ZF tak prokazuje, že množina teoretických vesmírů označená (V) je spojením všech (V_ / alfa), (alfa) ordinálů.

Správná třída (V), spolu s relací (in), vyhovuje všem axiomům ZFC, a je tedy modelem ZFC. Je to zamýšlený model ZFC a lze si myslet, že ZFC poskytuje popis (V), popis je však velmi neúplný, jak uvidíme níže.

Jednou z důležitých vlastností (V) je tzv. Princip odrazu. Konkrétně, pro každý vzorec (varphi (x_1, / ldots, x_n)) ZFC dokazuje, že existuje nějaký (V_ / alfa), který to odráží, to znamená pro každý (a_1, / ldots, a_n / in V_ / alpha),

(varphi (a_1, / ldots, a_n)) drží v (V) pouze tehdy, pokud (varphi (a_1, / ldots, a_n)) drží (V_ / alfa).

Tedy (V) nelze charakterizovat žádnou větou, protože jakákoli věta, která je pravdivá v (V), musí být také pravdivá v nějakém počátečním segmentu (V_ / alfa). ZFC není konkrétně axiomatizovatelný, protože jinak by ZFC dokázal, že pro neomezeně mnoho ordinálů (alfa) je (V_ / alfa) modelem ZFC, což je v rozporu s Gödelovou druhou větou o neúplnosti (viz oddíl 5.2)..

Princip Reflexe zahrnuje podstatu teorie množin ZF, protože, jak ukazuje Levy (1960), axiomy Extility, Separace a Nadace, spolu s principem Reflexe, formulované jako schéma axiomu, které tvrdí, že každý vzorec se odráží v nějaké sadě který obsahuje všechny elementy a všechny podmnožiny jeho elementů (všimněte si, že (V_ / alpha) jsou podobné), je ekvivalentní ZF.

5. Teorie množin jako základ matematiky

Každý matematický objekt lze považovat za množinu. Například, přirozená čísla jsou poznána s konečnými ordinals, tak (mathbb {N} = / omega). Soubor celých čísel (mathbb {Z}) lze definovat jako množinu tříd ekvivalence párů přirozených čísel pod ekvivalenčním vztahem ((n, m) equiv (n ', m')), pokud a pouze pokud (n + m '= m + n'). Identifikací každého přirozeného čísla (n) pomocí třídy ekvivalence páru ((n, 0)) lze přirozeně rozšířit operace součtu a součinu přirozených čísel na (mathbb {Z}) (viz Enderton (1977) pro podrobnosti a Levy (1979) pro jinou konstrukci). Dále lze definovat racionály (mathbb {Q}) jako množinu tříd ekvivalence párů ((n, m)) celých čísel, kde (m / ne 0), pod ekvivalenčním vztahem ((n, m) equiv (n ', m'))) pouze tehdy, pokud (n / cdot m '= m / cdot n'). Operace (+) a (cdot) na (mathbb {Z}) mohou být opět přirozeně rozšířeny na (mathbb {Q}). Navíc, uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}) na racionálech je dáno: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), pokud existuje, pouze pokud existuje (t / in / mathbb {Q}) takový, že (s = r + t). Reálná čísla mohou být definována jako Dedekindovy řezy (mathbb {Q}), konkrétně skutečné číslo je dáno dvojicí ((A, B)) neprázdných disjunktních sad tak, že (A / cup B = / mathbb {Q}) a (a / leq _ { mathbb {Q}} b) pro každý (a / in A) a (b / in B). Pak lze znovu rozšířit operace (+) a (cdot) na (mathbb {Q}), stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}), na množinu reálných čísel (mathbb {R}).operace (+) a (cdot) na (mathbb {Z}) mohou být přirozeně rozšířeny na (mathbb {Q}). Navíc, uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}) na racionálech je dáno: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), pokud existuje, pouze pokud existuje (t / in / mathbb {Q}) takový, že (s = r + t). Reálná čísla mohou být definována jako Dedekindovy řezy (mathbb {Q}), konkrétně skutečné číslo je dáno dvojicí ((A, B)) neprázdných disjunktních sad tak, že (A / cup B = / mathbb {Q}) a (a / leq _ { mathbb {Q}} b) pro každý (a / in A) a (b / in B). Pak lze znovu rozšířit operace (+) a (cdot) na (mathbb {Q}), stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}), na množinu reálných čísel (mathbb {R}).operace (+) a (cdot) na (mathbb {Z}) mohou být přirozeně rozšířeny na (mathbb {Q}). Navíc, uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}) na racionálech je dáno: (r / leq _ { mathbb {Q}} s), pokud existuje, pouze pokud existuje (t / in / mathbb {Q}) takový, že (s = r + t). Reálná čísla mohou být definována jako Dedekindovy řezy (mathbb {Q}), konkrétně skutečné číslo je dáno dvojicí ((A, B)) neprázdných disjunktních sad tak, že (A / cup B = / mathbb {Q}) a (a / leq _ { mathbb {Q}} b) pro každý (a / in A) a (b / in B). Pak lze znovu rozšířit operace (+) a (cdot) na (mathbb {Q}), stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}), na množinu reálných čísel (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) pokud a pouze pokud existuje (t / in / mathbb {Q}) takový, že (s = r + t). Reálná čísla mohou být definována jako Dedekindovy řezy (mathbb {Q}), konkrétně skutečné číslo je dáno dvojicí ((A, B)) neprázdných disjunktních sad tak, že (A / cup B = / mathbb {Q}) a (a / leq _ { mathbb {Q}} b) pro každý (a / in A) a (b / in B). Pak lze znovu rozšířit operace (+) a (cdot) na (mathbb {Q}), stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}), na množinu reálných čísel (mathbb {R}).(r / leq _ { mathbb {Q}} s) pokud a pouze pokud existuje (t / in / mathbb {Q}) takový, že (s = r + t). Reálná čísla mohou být definována jako Dedekindovy řezy (mathbb {Q}), konkrétně skutečné číslo je dáno dvojicí ((A, B)) neprázdných disjunktních sad tak, že (A / cup B = / mathbb {Q}) a (a / leq _ { mathbb {Q}} b) pro každý (a / in A) a (b / in B). Pak lze znovu rozšířit operace (+) a (cdot) na (mathbb {Q}), stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}), na množinu reálných čísel (mathbb {R}).stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}) do množiny reálných čísel (mathbb {R}).stejně jako uspořádání (leq _ { mathbb {Q}}) do množiny reálných čísel (mathbb {R}).

Zdůrazňme, že se netvrdí, že např. Reálná čísla jsou Dedekindovými škrty racionálů, protože je lze také definovat pomocí Cauchyho posloupnosti nebo jinými různými způsoby. Z pohledu základního je důležité, že set-teoretická verze (mathbb {R}), spolu s obvyklými algebraickými operacemi, splňuje kategorické axiomy, které skutečná čísla splňují, jmenovitě čísla vyplňte objednané pole. Metafyzická otázka skutečných čísel je zde irelevantní.

Algebraické struktury lze také prohlížet jako množiny, jako každý (n) - ary vztah k elementům množiny (A) lze zobrazit jako množinu (n) - n-tic (a \, / ldots, a_n)) prvků (A). A jakákoli (n) - ary funkce (f) na (A), s hodnotami na nějaké sadě (B), může být viděna jako sada (n + 1) - n-tic (((a_1, / ldots, a_n), b)) tak, že (b) je hodnota (f) na ((a_1, / ldots, a_m))). Například skupina je tedy pouze trojitá ((A, +, 0)), kde (A) je neprázdná množina, (+) je binární funkce na (A), který je asociativní, (0) je prvek (A) takový, že (a + 0 = 0 + a = a), pro všechny (a / in A) a pro všechny (a / in A) je prvek (A), označený (- a), takže (a + (- a) = (- a) + a = 0). Topologický prostor je také jen množina (X) spolu s topologií (tau), tj.(tau) je podmnožina (mathcal {P} (X)) obsahující (X) a ({ varnothing}) a je uzavřena pod libovolnými odbory a konečnými křižovatkami. Jakýkoli matematický objekt lze kdykoli považovat za množinu nebo za správnou třídu. Vlastnosti objektu pak mohou být vyjádřeny v jazyce teorie množin. Jakýkoli matematický výrok může být formalizován do jazyka teorie množin a jakýkoli matematický teorém může být odvozen pomocí kalkulu logiky prvního řádu, z axiomů ZFC nebo z nějakého rozšíření ZFC. V tomto smyslu poskytuje teorie množin základ pro matematiku. Vlastnosti objektu pak mohou být vyjádřeny v jazyce teorie množin. Jakýkoli matematický výrok může být formalizován do jazyka teorie množin a jakýkoli matematický teorém může být odvozen pomocí kalkulu logiky prvního řádu, z axiomů ZFC nebo z nějakého rozšíření ZFC. V tomto smyslu poskytuje teorie množin základ pro matematiku. Vlastnosti objektu pak mohou být vyjádřeny v jazyce teorie množin. Jakýkoli matematický výrok může být formalizován do jazyka teorie množin a jakýkoli matematický teorém může být odvozen pomocí kalkulu logiky prvního řádu, z axiomů ZFC nebo z nějakého rozšíření ZFC. V tomto smyslu poskytuje teorie množin základ pro matematiku.

Základní úloha teorie množin pro matematiku, i když významná, není v žádném případě jediným ospravedlněním jejího studia. Myšlenky a techniky vyvinuté v teorii množin, jako je nekonečná kombinatorika, nutkání nebo teorie velkých kardinálů, ji proměnily v hlubokou a fascinující matematickou teorii, která si zaslouží studium sama, as důležitými aplikacemi prakticky ve všech oblastech matematiky..

5.1 Metamathematics

Pozoruhodná skutečnost, že v ZFC lze formalizovat prakticky celou matematiku, umožňuje matematické studium samotné matematiky. Jakákoli otázka týkající se existence nějakého matematického objektu nebo prokazatelnosti domněnky nebo hypotézy tedy může mít matematicky přesnou formulaci. To umožňuje metamatematiku, konkrétně matematické studium samotné matematiky. Otázka o prokazatelnosti nebo neproveditelnosti jakéhokoli daného matematického prohlášení se tak stává rozumnou matematickou otázkou. Když čelíme otevřenému matematickému problému nebo dohadu, má smysl požádat o jeho prokazatelnost nebo neproveditelnost ve formálním systému ZFC. Odpověď bohužel nemusí být ani jedna, protože ZFC, pokud je konzistentní, je neúplný.

5.2 Fenomén neúplnosti

Gödelova věta o úplnosti pro logiku prvního řádu znamená, že ZFC je konzistentní, tj. Z něj nelze odvodit žádný rozpor - pokud a pouze pokud má model. Model ZFC je pár ((M, E)), kde (M) je neprázdná množina a (E) je binární relace na (M) tak, že všechny axiomy ZFC jsou pravdivé, když jsou interpretovány v ((M, E)), tj. když se proměnné, které se objevují v axiómech, pohybují nad elementy (M) a (in) jsou interpretovány jako (E). Pokud tedy (varphi) je věta jazyka teorie množin a lze najít model ZFC, ve kterém (varphi) obsahuje, nelze jeho negaci (neg / varphi) prokázat v ZFC. Pokud tedy můžeme najít model (varphi) a také model (neg / varphi), pak (varphi) není v ZFC ani prokazatelný ani vyvrácitelný, v tom případě říkáme, že (varphi) je nerozhodnutelné,nebo nezávisle na ZFC.

V roce 1931 Gödel oznámil své výrazné věty o neúplnosti, které tvrdí, že jakýkoli rozumný formální systém pro matematiku je nutně neúplný. Zejména pokud je ZFC konzistentní, pak jsou v ZFC nerozhodnutelné návrhy. Navíc Gödelova druhá věta o neúplnosti naznačuje, že formální (aritmetické) prohlášení (CON (ZFC)), které tvrdí, že ZFC je konzistentní, i když pravdivé, nelze v ZFC prokázat. A ani jeho negace. Tedy (CON (ZFC)) je nerozhodnutelný v ZFC.

Pokud je ZFC konzistentní, nemůže prokázat existenci modelu ZFC, protože jinak by ZFC prokázal svou vlastní konzistenci. Důkaz o konzistenci nebo nerozhodnutelnosti dané věty (varphi) je tedy vždy důkazem relativní konzistence. To znamená, že jeden předpokládá, že ZFC je konzistentní, proto má model, a pak jeden konstruuje další model ZFC, kde věta (varphi) je pravdivá. V následujících sekcích uvidíme několik příkladů.

6. Teorie množin kontinua

Od Cantora až do roku 1940 byla teorie množin vyvinuta většinou kolem studia kontinua, tj. Skutečné linie (mathbb {R}). Hlavním tématem bylo studium tzv. Pravidelnostních vlastností, jakož i dalších strukturálních vlastností, jednoduše definovatelných množin reálných čísel, což je oblast matematiky známá jako Deskriptivní teorie množin.

6.1 Popisná teorie množin

Deskriptivní teorie množin je studium vlastností a struktury definovatelných množin reálných čísel a obecněji definovatelných podmnožin (mathbb {R} ^ n) a dalších polských prostorů (tj. Topologických prostorů, které jsou homeomorfní pro oddělitelný úplný metrický prostor), například Baireův prostor (mathcal {N}) všech funkcí (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), prostor složitých čísel, Hilbert prostor a oddělitelné prostory Banach. Nejjednodušší množiny reálných čísel jsou základní otevřené množiny (tj. Otevřené intervaly s racionálními koncovými body) a jejich doplňky. Sady, které se získají v počitatelném počtu kroků počínaje základními otevřenými sadami a provádějí se operace převzetí komplementu a vytvoření počitatelného spojení dříve získaných sad, jsou sady Borel. Všechny sady Borel jsou pravidelné, to znamená,těší se všem klasickým vlastnostem pravidelnosti. Jedním příkladem vlastnosti regularity je Lebesgueova měřitelnost: sada realů je Lebesgue měřitelná, pokud se liší od Borel sady nulovou sadou, konkrétně množinou, která může být pokryta množinami základních otevřených intervalů libovolně malé celkové délky. Tak, trivially, každý Borel soubor je Lebesgue měřitelný, ale soubory komplikovanější než Borel ones nemusí být. Dalšími klasickými vlastnostmi pravidelnosti jsou vlastnost Baire (sada realů má vlastnost Baire, pokud se liší od otevřené sady meagerovou sadou, konkrétně množinou, která je spočitatelným spojením množin, které nejsou husté v žádném intervalu), a vlastnost perfektní sady (sada realů má vlastnost perfektní sady, pokud je buď spočítatelná nebo obsahuje perfektní sadu, jmenovitě neprázdná uzavřená sada bez izolovaných bodů). V ZFC lze prokázat, že existují nepravidelné sady realů, ale AC je pro to nezbytný (Solovay 1970).

Analytické sady, také nazývané (mathbf { Sigma} ^ 1_1), jsou souvislé obrazy Borelových sad. A sou analytické nebo (mathbf { Pi} ^ 1_1) sady jsou doplňky analytických sad.

Počínaje analytickými (nebo ko analytickými) sadami a aplikováním operací projekce (z produktového prostoru (mathbb {R} times / mathcal {N}) do (mathbb {R})) a komplementace, jeden získá projektivní sady. Projektivní sady tvoří hierarchii rostoucí složitosti. Například pokud (A / subseteq / mathbb {R} times / mathcal {N}) je ko-analytický, pak projekce ({x / in / mathbb {R}: / existuje y / in / mathcal {N} ((x, y) in A) }) je projektivní množina na další úrovni složitosti nad soupravami analytických. Tyto sady se nazývají (mathbf { Sigma} ^ 1_2) a jejich doplňky se nazývají (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Projektivní množiny se objevují velmi přirozeně v matematické praxi, protože se ukazuje, že množina realit je projektivní pouze tehdy, pokud je definovatelná ve struktuře

) mathcal {R} = (mathbb {R}, +, / cdot, / mathbb {Z}).)

To znamená, že v jazyce pro strukturu existuje vzorec prvního řádu (varphi (x, y_1, / ldots, y_n)), takže pro některé (r_1, / ldots, r_n / in / mathbb {R }), [A = {x / in / mathbb {R}: / mathcal {R} models / varphi (x, r_1, / ldots, r_n) }.)

ZFC dokazuje, že každá analytická sada, a tedy každá souprava analytická, je Lebesgue měřitelná a má vlastnost Baire. To také dokazuje, že každá analytická sada má perfektní vlastnost sady. Ale dokonalá množina vlastností pro součinnostní sady znamená, že první nespočetný kardinál (aleph_1) je velkým kardinálem v konstruktivním vesmíru (L) (viz oddíl 7), konkrétně tzv. Nepřístupným kardinálem (viz oddíl 10), což znamená, že v ZFC nelze prokázat, že každá souprava analytů má vlastnost perfektní sady.

Teorie projektivních množin komplexnosti větší než ko-analytická je ZFC zcela neurčena. Například v (L) je sada (mathbf { Sigma} ^ 1_2), která není Lebesgue měřitelná a nemá Baireovu vlastnost, zatímco pokud Martinův axiom drží (viz oddíl 11), každý taková sada má tyto vlastnosti pravidelnosti. Existuje však axiom, nazývaný axiom projektivní determinace neboli PD, který je v souladu s ZFC, moduluje konzistenci některých velkých kardinálů (ve skutečnosti to vyplývá z existence některých velkých kardinálů) a naznačuje, že všechny projektivní sady jsou pravidelné. Navíc PD řeší v podstatě všechny otázky týkající se projektivních sad. Podívejte se na záznam o velkých kardinálech a determinaci pro další podrobnosti.

6.2 Stanovitelnost

Vlastnost pravidelnosti sad, která zahrnuje všechny ostatní klasické vlastnosti pravidelnosti, je vlastnost. Pro zjednodušení budeme pracovat s prostorem Baire (mathcal {N}). Připomeňme, že prvky (mathcal {N}) jsou funkce (f: / mathbb {N} to / mathbb {N}), tj. Sekvence přirozených čísel délky (omega). Prostor (mathcal {N}) je topologicky ekvivalentní (tj. Homeomorfní) se sadou iracionálních bodů (mathbb {R}). Protože se zajímáme o vlastnosti pravidelnosti podmnožin (mathbb {R}), a protože spočítatelné množiny, jako je sada racionálů, jsou z hlediska těchto vlastností zanedbatelné, můžeme také dobře pracovat s (mathcal {N}), místo (mathbb {R}).

Vzhledem k (A / subseteq / mathcal {N}), hra spojená s (A), označená ({ mathcal G} _A), má dva hráče, I a II, kteří hrají alternativně (n_i / in / mathbb {N}): Hraju (n_0), poté II hraje (n_1), poté hraji (n_2) atd. Takže ve fázi (2k) hraje hráč I (n_ {2k}) a ve fázi (2k + 1) hraje hráč II (n_ {2k + 1}). Můžeme si vizualizovat běh hry následujícím způsobem:

(mathbf {I})

(n_0)

(n_2)

(n_4)

(cdots)

(n_ {2k})

(cdots)

(mathbf {II})

(n_1)

(n_3)

(cdots)

(cdots)

(n_ {2k + 1})

(cdots)

Po nekonečně mnoha tahech vytvoří dva hráči nekonečnou sekvenci (n_0, n_1, n_2, / ldots) přirozených čísel. Hráč I vyhraje hru, pokud sekvence patří do (A). Jinak vyhraje hráč II.

Hra ({ mathcal {G}} _ A) je určena, pokud existuje jeden z vítězných strategií. Výherní strategií pro jednoho z hráčů, řekněme pro hráče II, je funkce (sigma) ze sady konečných sekvencí přirozených čísel do (mathbb {N}), takže pokud hráč hraje podle k této funkci, tj. hraje (sigma (n_0, / ldots, n_ {2k})) na turnu (k) -, vždy vyhraje hru, bez ohledu na to, co dělá druhý hráč.

Říkáme, že podmnožina (A) (mathcal {N}) je určena pouze tehdy, je-li určena hra ({ mathcal {G}} _ A).

Jeden může dokázat v ZFC - a použití AC je nutné - že existují neurčené sady. Axiom determinace (AD), který tvrdí, že jsou určeny všechny podmnožiny (mathcal {N}), je tedy nekompatibilní s AC. Donald Martin však v ZFC dokázal, že každá sada Borel je určena. Dále ukázal, že pokud existuje velký kardinál nazývaný měřitelný (viz oddíl 10), pak jsou stanoveny i analytické sady. Axiom Projective Determinacy (PD) tvrdí, že je stanovena každá projektivní sada. Ukazuje se, že PD znamená, že všechny projektivní sady realit jsou pravidelné, a Woodin ukázal, že v určitém smyslu PD řeší v podstatě všechny otázky týkající se projektivních sad. Navíc se zdá, že PD je nezbytná. Jiný axiom, (AD ^ {L (Bbb R)}), tvrdí, že AD drží v (L (Bbb R)),což je nejméně tranzitivní třída, která obsahuje všechna pořadová čísla a všechna reálná čísla a splňuje axiomy ZF (viz oddíl 7). Takže (AD ^ {L (Bbb R)}) znamená, že každá sada realit, která patří do (L (Bbb R)), je regulární. Protože (L (Bbb R)) také obsahuje všechny projektivní sady, (AD ^ {L (Bbb R)}) implikuje PD.

6.3 Hypotéza kontinua

Hypotéza Continuum (CH), formulovaná Cantorem v roce 1878, tvrdí, že každá nekonečná množina reálných čísel má kardinálnost buď / (aleph_0) nebo stejnou kardinálnost jako (mathbb {R}). CH je tedy ekvivalentem (2 ^ { aleph_0} = / aleph_1).

Cantor v roce 1883 dokázal, že uzavřené množiny reálných čísel mají dokonalou množinu vlastností, z čehož vyplývá, že každá nespočetná uzavřená množina reálných čísel má stejnou mohutnost jako (mathbb {R}). CH tedy platí pro uzavřené sady. O více než třicet let později Pavel Aleksandrov rozšířil výsledek na všechny Borelovy sady a poté Michail Suslin na všechny analytické sady. Všechny analytické sady tedy vyhovují CH. Úsilí prokázat, že ko-analytické sady uspokojují CH, by však nebylo úspěšné, protože to v ZFC není prokazatelné.

V roce 1938 prokázal Gödel soulad CH s ZFC. Za předpokladu, že ZF je konzistentní, postavil model ZFC, známý jako konstruktivní vesmír, ve kterém má CH. Důkaz tedy ukazuje, že pokud je ZF konzistentní, pak je to také ZF společně s AC a CH. Proto za předpokladu, že ZF je konzistentní, AC nemůže být vyvráceno v ZF a CH nemůže být vyvráceno v ZFC.

Aktuální stav problému, včetně nejnovějších výsledků Woodina, viz položka o hypotéze kontinua.

7. Gödelův konstruktivní vesmír

Gödelův konstruovatelný vesmír, označený (L), je definován transfinitní rekurzí na ordinálech, podobně jako (V), ale v následných krocích, namísto získání mocenské sady (V_ / alfa) k získání (V _ { alpha +1}), vezme se pouze ty podmnožiny (L_ / alfa), které jsou definovatelné v (L_ / alfa), přičemž jako parametry použijí prvky (L_ / alfa). Necháme tedy (mathcal {P} ^ {Def} (X)) označovat množinu všech podmnožin (X), které jsou definovatelné ve struktuře ((X, / in)) vzorec jazyka teorie množin, používající elementy (X) jako parametry definice, necháme to

• (L_0 = { varnothing})
• (L _ { alpha +1} = / mathcal {P} ^ {Def} (L_ / alpha))
• (L_ / lambda = / bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ / alpha), kdykoli (lambda) je limitní pořadové číslo.

Pak (L) je spojení všech (L_ / alfa), pro (alfa) ordinál, tj. (L = / bigcup _ { alpha / in ON} L_ / alfa).

Gödel ukázal, že (L) vyhovuje všem axonům ZFC a také CH. Ve skutečnosti vyhovuje zobecněné hypotéze kontinua (GCH), jmenovitě (2 ^ { aleph_ / alpha} = / aleph _ { alfa +1}), pro každé ordinální (alfa).

Příkaz (V = L), nazvaný axiom konstruktivity, tvrdí, že každá sada patří do (L). To drží v (L), proto to je konzistentní s ZFC, a implikuje jak AC tak GCH.

Správná třída (L), spolu s relací (in) omezenou na (L), je vnitřní model ZFC, tj. Tranzitivní (tj. Obsahuje všechny prvky svých prvků) třída, která obsahuje všechny ordinály a vyhovuje všem axonům ZFC. Ve skutečnosti je to nejmenší vnitřní model ZFC, jak jej obsahuje jakýkoli jiný vnitřní model.

Obecněji řečeno, s ohledem na libovolnou množinu (A) lze vytvořit nejmenší tranzitivní model ZF, který obsahuje (A) a všechny ordinály podobným způsobem jako (L), ale nyní začíná tranzitivním uzávěrem of ({A }), tj. nejmenší tranzitivní množina obsahující (A) namísto ({ varnothing}). Výsledný model (L (A)) nemusí být modelem AC. Jeden velmi důležitý takový model je (L (mathbb {R})), nejmenší tranzitivní model ZF, který obsahuje všechna pořadová čísla a všechna reálná čísla.

Teorie konstruktivních sad vděčí za práci Ronalda Jensena. Vyvinul takzvanou teorii jemných struktur (L) a izoloval některé kombinatorické principy, jako je diamant ((diamondsuit)) a čtverec ((Box)), které lze použít k přenášení komplikované konstrukce nepočítatelných matematických objektů. Teorie jemné struktury hraje také důležitou roli v analýze větších modelů podobných (L), jako je (L (mathbb {R})) nebo vnitřních modelů pro velké kardinály (viz oddíl 10.1).

8. Nutí

V roce 1963, dvacet pět let po Gödelově důkazu konzistence CH a AC, relativní vůči konzistenci ZF, Paul Cohen (1966) prokázal konzistenci negace CH a také negace AC, vzhledem k konzistenci ZF. Pokud je tedy ZF konzistentní, pak je CH nerozhodnutelný v ZFC a AC je nerozhodnutelný v ZF. Aby toho bylo dosaženo, vymyslel Cohen novou a extrémně výkonnou techniku, nazývanou nutit, pro rozšíření počitatelných tranzitivních modelů ZF.

Protože axiom (V = L) implikuje AC a CH, jakýkoli model negace AC nebo CH musí porušovat (V = L). Pojďme tedy ilustrovat myšlenku nucení v případě vytváření modelu pro negaci (V = L). Začínáme s tranzitivním modelem (M) ZFC, který můžeme bez ztráty obecnosti považovat za model (V = L). Abychom porušili (V = L), musíme rozšířit (M) přidáním nové sady (r), takže v rozbaleném modelu (r) nebude konstruktivní. Protože všechny dědičně konečné sady jsou konstruovatelné, usilujeme o přidání nekonečné množiny přirozených čísel. První problém, kterému čelíme, je, že (M) může obsahovat již všechny podmnožiny (omega). Naštěstí podle Löwenheimovy-Skolemovy věty pro logiku prvního řádu má (M) počítatelný elementární submodel (N). Takže, protože nás zajímají pouze výroky, které jsou v (M),a ne v samotném (M), můžeme také pracovat s (N) namísto (M), a tak můžeme předpokládat, že (M) je sám o sobě spočitatelný. Poté, protože (mathcal {P} (omega)) je nespočetný, existuje spousta podskupin (omega), které nepatří do (M). Bohužel nemůžeme vybrat pouze nekonečnou podmnožinu (r) z (omega), která nepatří do (M), a přidat ji do (M). Důvod je ten, že (r) může kódovat spoustu informací, takže když jsou přidány do (M), (M) již není modelem ZFC, nebo je to stále model (V = L). Aby se tomu zabránilo, je třeba si vybrat (r) s velkou péčí. Myšlenkou je vybrat (r) generické přes (M), což znamená, že (r) je postaveno ze svých konečných aproximací tak, že nemá žádnou vlastnost definovatelnou v (M)) a lze jim zabránit. Například,zobrazením (r) jako nekonečné posloupnosti přirozených čísel ve vzestupném pořadí se lze vyhnout vlastnosti (r) obsahující pouze konečně mnoho sudých čísel, protože vzhledem k konečnému přiblížení k (r) - tj. jakákoli konečná rostoucí posloupnost přirozených čísel - jeden ji může vždy rozšířit přidáním více sudých čísel, takže na konci konstrukce bude (r) obsahovat nekonečně mnoho sudých čísel; zatímco vlastnost obsahující číslo 7 se nelze vyhnout, protože když konečná aproximace k (r) obsahuje číslo 7, zůstane tam bez ohledu na to, jak pokračuje konstrukce (r). Protože (M) je možné spočítat, existují takové generické (r). Pak se rozšířený model (M [r]), který obsahuje (M) a obsahuje novou sadu (r), nazývá obecná přípona (M). Protože jsme předpokládali, že (M) je tranzitivní model (V = L),model (M [r]) je právě (L_ / alfa (r)), kde (alfa) je supremum ordinálů (M). Pak lze pomocí vynucujícího vztahu mezi konečnými aproximacemi k (r) a vzorci v jazyce teorie množin rozšířit o tzv. Názvy pro množiny v obecném rozšíření, že (M [r]) je model ZFC a (r) není konstruovatelný v (M [r]), proto axiom konstruktivity (V = L) selže.

Obecně se vynucující rozšíření modelu (M) získá přidáním do (M) obecné podskupiny (G) nějaké částečně uspořádané množiny (mathbb {P}), která patří do (M). Ve výše uvedeném příkladu by (mathbb {P}) byla sada všech konečných zvyšujících se sekvencí přirozených čísel, viděných jako konečné aproximace k nekonečné posloupnosti (r), seřazené podle (subseteq); a (G) bude množina všech konečných počátečních segmentů (r).

V případě konzistence důkazu o negaci CH, jeden začíná z modelu (M) a přidá (aleph_2) nové podmnožiny (omega), takže v obecném rozšíření CH selže. V tomto případě je třeba použít odpovídající částečné uspořádání (mathbb {P}), aby (aleph_2) z (M) nebylo sbaleno, tj. Je stejné jako (aleph_2) generické přípony, a tak generické rozšíření (M [G]) uspokojí větu, která říká, že existují (aleph_2) reálná čísla.

8.1 Jiné aplikace nucení

Kromě CH, mnoho dalších matematických dohadů a problémů o kontinuu a dalších nekonečných matematických objektech bylo ukázáno nerozhodnutelné v ZFC pomocí techniky nucení.

Jedním důležitým příkladem je Suslinova hypotéza (SH). Cantor ukázal, že každá lineárně uspořádaná množina (S) bez koncových bodů, které jsou husté (tj. Mezi jakýmikoli dvěma různými prvky (S) existuje další), kompletní (tj. Každá podmnožina (S)) to je ohraničené nahoře má supremum), a s počitatelnou hustou podmnožinou je isomorphic ke skutečné linii. Suslin usoudil, že je to stále pravda, pokud člověk uvolní požadavek, aby obsahoval počitatelnou hustou podmnožinu, aby byla ccc, tj. Je možné spočítat každou sbírku párově disjunktních intervalů. V časných sedmdesátých létech, Thomas Jech produkoval konzistentní protějšek používat nutkání, a Ronald Jensen ukázal, že protějšek existuje v (L). Ve stejnou dobu,Robert Solovay a Stanley Tennenbaum (1971) vyvinuli a používali poprvé iterovanou techniku nucení k vytvoření modelu, ve kterém má SH, což ukazuje jeho nezávislost na ZFC. Aby se zajistilo, že SH drží v obecném rozšíření, je třeba zničit všechny protiklady, ale zničením jednoho konkrétního protějšku může někdo neúmyslně vytvořit nové, a tak je třeba znovu a znovu nutit sílu; ve skutečnosti je třeba pokračovat alespoň (omega_2) - mnoho kroků. Proto je nutná iterační iterace.ve skutečnosti je třeba pokračovat alespoň (omega_2) - mnoho kroků. Proto je nutná iterační iterace.ve skutečnosti je třeba pokračovat alespoň (omega_2) - mnoho kroků. Proto je nutná iterační iterace.

Mezi další slavné matematické problémy, které se ukázaly nerozhodnutelné v ZFC díky technice nucení, zejména pomocí iterovaného nucení a někdy kombinované s velkými kardinály, můžeme zmínit problém měření a Borelův dohad v teorii míry, Kaplanského dohad na Banachových algebrách a Whiteheadův problém ve skupinové teorii.

9. Hledání nových axiomů

V důsledku 50letého vývoje síly a její aplikace na mnoho otevřených problémů v matematice jsou nyní doslova tisíce otázek prakticky ve všech oblastech matematiky, které byly ukázány nezávisle na ZFC. Patří sem téměř všechny otázky týkající se struktury nespočetných množin. Dalo by se říci, že jev nerozhodnutelnosti je všudypřítomný, a to až do té míry, že vyšetřování nepočitatelnosti bylo téměř nemožné pouze v ZFC (viz pozoruhodné výjimky Shelah (1994)).

To vyvolává otázku o pravdivosti hodnoty příkazů, které jsou nerozhodnuty ZFC. Měl by se člověk spokojit s tím, že je nerozhodnutelný? Má vůbec smysl žádat o jejich pravou hodnotu? Na to existuje několik možných reakcí. Jedním je skeptický postoj: prohlášení, která jsou v ZFC nerozhodnutelná, nemají jednoznačnou odpověď; a mohou být dokonce ze své podstaty nejasné. Dalším, běžným mezi matematiky, je Gödelova pozice: nerozhodnutelnost pouze ukazuje, že systém ZFC je příliš slabý na to, aby na tyto otázky odpověděl, a proto bychom měli hledat nové axiomy, které by po přidání do ZFC odpovídaly. Hledání nových axiomů bylo známé jako Gödelův program. Viz Hauser (2006) pro důkladnou filosofickou diskusi o programu,a také záznam o velkých kardinálech a determinaci pro filozofické úvahy o ospravedlnění nových axiomů pro teorii množin.

Ústředním tématem teorie množin je tedy hledání a klasifikace nových axiomů. V současné době spadají do dvou hlavních typů: axiomy velkých kardinálů a donutící axiomy.

10. Velké kardinály

V ZFC nelze dokázat, že existuje kardinál s pravidelným limitem (kappa), protože pokud (kappa) je kardinál, pak (L_ / kappa) je model ZFC, a tak by ZFC prokázat svou vlastní konzistenci, odporující Gödelově druhé větě o neúplnosti. Existenci kardinálu pravidelného limitu je tedy třeba považovat za nový axiom. Takový kardinál se nazývá slabě nepřístupný. Pokud je navíc (kappa) silný limit, tj. (2 ^ / lambda <\ kappa), pro každého kardinála (lambda <\ kappa), pak (kappa) je nazýváno silně nepřístupným. Kardinál (kappa) je silně nepřístupný tehdy a jen tehdy, je-li pravidelný a (V_ / kappa) je modelem ZFC. Pokud GCH trvá, pak je každý slabě nepřístupný kardinál silně nepřístupný.

Velké kardinály jsou nespočetné kardinály, které splňují některé vlastnosti, které je činí velmi velkými a jejichž existenci nelze v ZFC prokázat. První slabě nepřístupný kardinál je jen nejmenší ze všech velkých kardinálů. Kromě nepřístupných kardinálů existuje bohatá a komplexní paleta velkých kardinálů, kteří tvoří lineární hierarchii z hlediska pevnosti a v mnoha případech také z hlediska přímých důsledků. Více informací najdete v záznamu o nezávislosti a velkých kardinálech.

Chcete-li zformulovat další silnější kardinální představu, řekněme, že podmnožina (C) nekonečného kardinála (kappa) je uzavřena, pokud je každý limit prvků (C) také v (C)); a není vázán, pokud pro každý (alfa <\ kappa) existuje (beta / v C) větší než (alfa). Například sada limitních pořadů menší než (kappa) je uzavřená a neohraničená. Podskupina (S) z (kappa) se také nazývá stacionární, pokud protíná každou uzavřenou neohraničenou podmnožinu (kappa). Jestliže (kappa) je pravidelný a nepočítatelný, pak soubor všech ordinals méně než (kappa) cofinality (omega) je příklad stacionární množiny. Běžný kardinál (kappa) se nazývá Mahlo, pokud je soubor silně nepřístupných kardinálů menších než (kappa) nehybný. Tím pádem,první kardinál Mahlo je mnohem větší než první silně nepřístupný kardinál, protože existuje (kappa) - mnoho silně nepřístupných kardinálů menších než (kappa).

Mnohem silnější velké kardinální představy vycházejí z uvažování o silných odrazových vlastnostech. Připomeňme, že princip reflexe (oddíl 4), který je prokazatelný v ZFC, tvrdí, že každá pravdivá věta (tj. Každá věta, která drží v (V)) je v některých (V_ / alfa) pravdivá. Posílení tohoto principu na věty druhého řádu vede k velkým kardinálům. Například (kappa) je silně nepřístupný tehdy a jen tehdy, pokud každá (Sigma ^ 1_1) věta (tj. Existenciální věta druhého řádu v jazyce teorie množin, s jedním dalším predikátovým symbolem) platí v každém struktura formy ((V_ / kappa, / in, A)), kde (A / subseteq V_ / kappa), je v některých ((V_ / alfa, / in, A / cap V_) pravdivá alfa)), s (alfa <\ kappa). Stejný typ odrazu, ale nyní pro (Pi ^ 1_1) věty (tj. Univerzální věty druhého řádu),poskytuje mnohem silnější velkou kardinální vlastnost (kappa), nazývanou slabá kompaktnost. Každý slabě kompaktní kardinál (kappa) je Mahlo a množina kardinálů Mahlo menších než (kappa) je nehybná. Umožněním reflexe složitějších vět druhého řádu, nebo dokonce vyššího řádu, získáme věty velké kardinální představy silnější než slabá kompaktnost.

Nejslavnější velké kardinály, nazývané měřitelné, byly objeveny Stanisławem Ulamem v roce 1930 v důsledku jeho řešení problému měření. (Dvouhodnotová) míra nebo ultrafilter na kardinálu (kappa) je podmnožinou (U) (mathcal {P} (kappa)), která má následující vlastnosti: (i) průnik libovolných dvou prvků (U) je v (U); (ii) pokud (X / in U) a (Y) je podmnožina (kappa) tak, že (X / subseteq Y), potom (Y / in U); a (iii) pro každé (X / subseteq / kappa), buď / (X / v U) nebo (kappa -X / v U), ale ne obojí. Míra (U) se nazývá (kappa) - kompletní, pokud je každý průnik méně než (kappa) prvků (U) také v (U). A měřítko se nazývá non-principál, pokud neexistuje žádné (alfa <\ kappa), které patří všem prvkům (U). Kardinál (kappa) se nazývá měřitelný, pokud existuje na (kappa) míra, která je (kappa) - úplná a non-hlavní.

Měřitelné kardinály lze charakterizovat elementárními vloženími vesmíru (V) do nějaké tranzitivní třídy (M). Že takové vložení (j: V / do M) je elementární znamená, že (j) zachovává pravdu, tj. Pro každý vzorec (varphi (x_1, / ldots, x_n)) jazyka množiny teorie a každá (a_1, / ldots, a_n) věta (varphi (a_1, / ldots, a_n)) platí v (V) pouze tehdy, pokud (varphi (j (a_1)), / ldots, j (a_n))) drží v (M). Ukázalo se, že kardinál (kappa) je měřitelný tehdy a jen tehdy, existuje-li elementární vložení (j: V / až M), s (M) tranzitivní, takže (kappa) je první ordinál přesunutý o (j), tj. první ordinál takový, že (j (kappa) ne / kappa). Říkáme, že (kappa) je kritický bod (j), a píšeme (crit (j) = / kappa). Vložení (j) je definovatelné z (kappa) - úplného nepodstatného měřítka na (kappa) pomocí tzv. Konstrukce ultrapower. Naopak, pokud (j: V / to M) je elementární vložení, s (M) transitive a (kappa = crit (j)), pak množina (U = {X / subseteq) kappa: / kappa / in j (X) }) je (kappa) - kompletní netradiční ultrafiltr na (kappa). Míra (U) získaná tímto způsobem z (j) se nazývá normální.

Každý měřitelný kardinál (kappa) je slabě kompaktní a existuje mnoho slabě kompaktních kardinálů menších než (kappa). Ve skutečnosti pod (kappa) existuje mnoho kardinálů, kteří jsou zcela nepopsatelní, tj. Odrážejí všechny věty, jakékoli složitosti a v jakémkoli jazyce vyššího řádu.

Jestliže (kappa) je měřitelný a (j: V / to M) je dán konstrukcí ultrapoháry, pak (V_ / kappa / subseteq M), a každá sekvence délky menší nebo rovná (kappa) prvků (M) patří do (M). Tedy (M) je docela podobný (V), ale nemůže to být (V) sám. Slavná věta Kennetha Kunena skutečně ukazuje, že nemůže existovat žádné elementární vložení (j: V / až V), jiné než triviální, tj. Identita. Všechny známé důkazy o tomto výsledku používají Axiom of Choice a je důležitou otázkou, zda je axiom nezbytný. Kunenova věta otevírá dveře formulaci velkých kardinálních pojmů silnějších než měřitelnost tím, že vyžaduje, aby (M) byl blíže k (V).

Například, (kappa) je volán silný jestliže pro každé ordinal (alpha) tam je elementární vložení (j: V / k M), pro některé (M) tranzitivní, takový (kappa = crit (j)) a (V_ / alpha / subseteq M).

Dalším důležitým a mnohem silnějším velkým kardinálním pojmem je superkompaktnost. Kardinál (kappa) je superkompaktní, pokud pro každé (alfa) existuje elementární vložení (j: V / až M), s (M) tranzitivním a kritickým bodem (kappa), takže (j (kappa)> / alfa) a každá posloupnost prvků (M) délky (alfa) patří do (M).

Kardinál Woodin spadá mezi silný a superkompakt. Každý superkompaktní kardinál je Woodin, a pokud (delta) je Woodin, pak (V_ / delta) je model ZFC, ve kterém existuje správná třída silných kardinálů. Zatímco tedy kardinál Woodin (delta) nemusí být sám o sobě velmi silný - první není ani slabě kompaktní - znamená to existenci mnoha velkých kardinálů v (V_ / delta).

Kromě superkompaktních kardinálů najdeme rozšiřitelné kardinály, obrovské, super obrovské atd.

Kunenova věta o neexistenci netriviálního elementárního vložení (j: V / až V) ve skutečnosti ukazuje, že elementární vložení nemůže existovat (j: V _ { lambda +2} až V _ { lambda +2}) odlišné od identity, pro všechny (lambda).

Nejsilnější velké kardinální pojmy, o nichž není známo, že jsou nekonzistentní, modulo ZFC, jsou následující:

• Existuje elementární vkládání (j: V _ { lambda +1} do V _ { lambda +1}), které se liší od identity.
• Existuje elementární vkládání (j: L (V _ { lambda +1}) do L (V _ { lambda +1})), které se liší od identity.

Velké kardinály tvoří lineární hierarchii zvyšující se pevnosti. Ve skutečnosti jsou odrazovým můstkem hierarchie interpretovatelnosti matematických teorií. Více informací najdete v záznamu o nezávislosti a velkých kardinálech. Vzhledem k jakékoli větě (varphi) platí přesně jedna z následujících tří možností o teorii ZFC plus (varphi):

• ZFC plus (varphi) je nekonzistentní.
• ZFC plus (varphi) je v souladu se ZFC.
• ZFC plus (varphi) je v souladu s ZFC plus existence nějakého velkého kardinála.

Velké kardinály lze tedy použít k prokázání toho, že daná věta (varphi) neimplikuje další větu (psi), modulo ZFC, tím, že ukazuje, že ZFC plus (psi) naznačuje konzistenci některých velký kardinál, zatímco ZFC plus (varphi) je důsledný za předpokladu, že existuje menší velký kardinál, nebo pouze za předpokladu konzistence ZFC. Jinými slovy, (psi) má vyšší konzistenci než (varphi), modulo ZFC. Pak podle Gödelovy druhé věty o neúplnosti nemůže ZFC plus (varphi) prokázat (psi), za předpokladu, že ZFC plus (varphi) je konzistentní.

Jak jsme již zdůraznili, v ZFC nelze dokázat, že existují velcí kardinálové. Vše však naznačuje, že jejich existenci nelze vyvrátit, ale ve skutečnosti je předpoklad jejich existence velmi rozumným axiomem teorie množin. Jednak existuje řada důkazů o jejich soudržnosti, zejména u těch velkých kardinálů, pro které je možné vytvořit vnitřní model.

10.1 Vnitřní modely velkých kardinálů

Vnitřní model ZFC je tranzitivní vlastní třída, která obsahuje všechny ordinály a splňuje všechny axiomy ZFC. Tedy, (L) je nejmenší vnitřní model, zatímco (V) je největší. Někteří velcí kardinálové, jako jsou nepřístupní, Mahlo nebo slabě kompaktní, mohou existovat v (L). To znamená, že pokud (kappa) má jednu z těchto velkých kardinálních vlastností, má také vlastnost v (L). Ale někteří velcí kardinálové nemohou existovat v (L). Skutečně, Scott (1961) ukázal, že pokud existuje měřitelný kardinál (kappa), pak (V / ne L). Je důležité si všimnout, že (kappa) nepatří do (L), protože (L) obsahuje všechna pořadová čísla, ale v (L) nelze měřit, protože (kappa) -kompletní nepodstatné opatření na (kappa) tam nemůže existovat.

Jestliže (kappa) je měřitelný kardinál, pak je možné vytvořit (L) - podobný model, ve kterém (kappa) je měřitelný přijetím (kappa) - úplného non-principu a normální míra (U) na (kappa), a postupuje jako v definici (L), ale nyní používá (U) jako další predikát. Výsledný model, nazvaný (L [U]), je vnitřním modelem ZFC, ve kterém je (kappa) měřitelný a ve skutečnosti (kappa) je jediným měřitelným kardinálem. Model je kanonický v tom smyslu, že jakékoli jiné normální měřítko svědčící o měřitelnosti (kappa) by přineslo stejný model a má mnoho vlastností (L). Například má projektivní dobře uspořádané reality a splňuje GCH.

Vytváření podobných modelů podobných vzorcům (L) pro silnější velké kardinály, jako je silný nebo Woodin, je mnohem těžší. Tyto modely mají tvar (L [E]), kde (E) je posloupnost prodlužovačů, přičemž každý prodlužovač je systém měřítek, který kóduje příslušné elementární embeddings.

Největší (L) - podobné vnitřní modely pro velké kardinály, které byly dosud získány, mohou obsahovat Woodinovy limity Woodinových kardinálů (Neeman 2002). Budování modelu podobného (L) pro kardinála superkompaktů je však stále výzvou. Bariéra superkompaktů se zdá být rozhodující, protože Woodin ukázal, že pro jakýsi (L) - jako vnitřní model pro superkompaktního kardinála, který nazývá Ultimate - (L), všichni silnější velcí kardinálové, kteří může existovat v (V), jako by v modelu existoval také rozšiřitelný, obrovský, I1 atd. Konstrukce Ultimate - (L) je stále neúplná a zatím není jasné, že bude úspěšná, protože se opírá o některé technické hypotézy, které je třeba potvrdit.

10.2 Důsledky velkých kardinálů

Existence velkých kardinálů má dramatické důsledky, dokonce i pro jednoduše definované malé množiny, jako jsou projekční množiny reálných čísel. Například Solovay (1970) dokázal, za předpokladu, že existuje měřitelný kardinál, že všechny (mathbf { Sigma} ^ 1_2) sady realů jsou Lebesgue měřitelné a mají Baireovu vlastnost, což nelze prokázat pouze v ZFC. A Shelah a Woodin (1990) ukázali, že existence správné třídy Woodinových kardinálů znamená, že teorii (L (mathbb {R})), ani se skutečnými čísly jako parametry, nelze změnit nucením, což znamená, že všechny sady reálných čísel, která patří do (L (mathbb {R})), jsou pravidelné. Dále, pod slabší hypotézou velkých kardinálů, konkrétně existencí nekonečně mnoha Woodinových kardinálů, Martin a Steel (1989) prokázali, že je určována každá projektivní množina reálných čísel, tzn.tj. axiom PD platí, a proto jsou všechny projektivní sady pravidelné. Navíc Woodin ukázal, že existence nekonečně mnoha Woodinových kardinálů plus měřitelný kardinál nad všemi z nich znamená, že je určena každá sada real v (L (mathbb {R})), tj. Axiom (AD ^ {L (mathbb {R})}) drží, proto jsou všechny sady reálných čísel, které patří k (L (mathbb {R})), a proto všechny projektivní sady, pravidelné. Také ukázal, že kardinálové z Woodina poskytují optimální velké kardinální předpoklady tím, že prokazují následující dvě tvrzení:proto všechny sady reálných čísel, které patří do (L (mathbb {R})), a proto všechny projektivní sady, jsou pravidelné. Také ukázal, že kardinálové z Woodina poskytují optimální velké kardinální předpoklady tím, že prokazují následující dvě tvrzení:proto všechny sady reálných čísel, které patří do (L (mathbb {R})), a proto všechny projektivní sady, jsou pravidelné. Také ukázal, že kardinálové z Woodina poskytují optimální velké kardinální předpoklady tím, že prokazují následující dvě tvrzení:

1. Existuje nekonečně mnoho Woodinských kardinálů.
2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

jsou rovnoměrně shodné, tj. ZFC plus 1 je konzistentní pouze tehdy, pokud je konzistentní ZFC plus 2. Další podrobnosti a související výsledky najdete v záznamu o velkých kardinálech a odhodlání.

Další oblastí, ve které hrají důležití roli velcí kardinálové, je exponentiace jednotlivých kardinálů. Tzv. Singular Cardinal Hypothesis (SCH) zcela určuje chování exponentiace pro jednotlivé kardinály, modulo exponentiace pro běžné kardinály. SCH vyplývá z GCH, a tak to drží v (L). Důsledkem SCH je, že pokud (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ / omega), pro všechny konečné (n), pak (2 ^ { aleph _ { omega}} = / aleph_ { omega +1}). Pokud tedy GCH platí pro kardinály menší než (aleph_ / omega), pak platí také pro (aleph_ / omega). SCH drží nad prvním superkompaktním kardinálem (Solovay). Ale Magidor (1977) ukázal, že je pozoruhodné, že za předpokladu existence velkých kardinálů je možné vytvořit model ZFC, kde GCH nejprve selže na (aleph_ / omega), a proto SCH selže. K tomu jsou skutečně potřební velcí kardinálové silnější než měřitelné. Na rozdíl od toho však pouze ZFC stačí prokázat, že pokud SCH platí pro všechny kardinály menší než (aleph _ { omega_1}), pak platí také pro (aleph _ { omega_1}). Navíc, pokud SCH platí pro všechny singulární kardinály spočítatelné kofinality, pak platí pro všechny singulární kardinály (Silver).

11. Vynucení axiomů

Vynucující axiomy jsou axiomy teorie množin, které tvrdí, že určité existenciální příkazy jsou absolutní mezi vesmírem (V) všech sad a jeho (ideálními) vynucujícími rozšířeními, tj. Některými existenciálními výroky, které drží v některých vynucujících rozšířeních (V) již platí v (V). První nucující axiom byl vytvořen Donaldem Martinem po Solovay-Tennenbaumově důkazu konzistence Suslinovy hypotézy a nyní je znám jako Martinův axiom (MA). Než to řekneme, řekněme, že částečné uspořádání je neprázdná množina (P) spolu s binárním vztahem (leq) na (P), který je reflexivní a tranzitivní. Dva elementy (p) a (q) z (P) se nazývají kompatibilní, pokud existují (r / in P), takže (r / leq p) a (r / leq q). Antichain z (P) je podmnožinou (P), jejíž prvky jsou párově nekompatibilní. Částečné uspořádání (P) se nazývá ccc, pokud je možné spočítat každou antichain z (P). Neprázdná podmnožina (G) z (P) se nazývá filtr, pokud (i) každé dva prvky (G) jsou kompatibilní a (ii) pokud (p / in G) a (p / leq q), pak také (q / in G). Nakonec je podmnožina (D) (P) nazývána hustá, pokud pro každé (p / in P) existuje (q / in D) takový, že (q / leq p).

MA tvrdí následující:

Pro každé CCC částečné uspořádání (P) a každou sadu ({D_ / alfa: / alfa <\ omega_1 }) hustých podmnožin (P) existuje filtr (G / subseteq P), která je obecná pro množinu, tj. (G / cap D_ / alpha / ne { varnothing}), pro všechny (alpha <\ omega_1).

Martin a Solovay (1970) prokázali, že MA je v souladu s ZFC, pomocí iterovaného nucení s vlastností ccc. Na první pohled nemusí MA vypadat jako axiom, jmenovitě zjevné, nebo alespoň rozumné tvrzení o sadách, ale spíše jako technické prohlášení o částečných objednávkách CCC. Vypadá to přirozeněji, když je vyjádřeno topologicky, protože jde jednoduše o zobecnění známé věty o Baireově kategorii, která tvrdí, že v každém kompaktním Hausdorffově topologickém prostoru není průnik nespočetně hustých otevřených množin ne- prázdný. Ve skutečnosti je MA ekvivalentem:

V každém kompaktním topologickém prostoru Hausdorff ccc není průnik (aleph_1) - mnoho hustých otevřených sad neprázdný.

MA má mnoho různých ekvivalentních formulací a velmi úspěšně se používá k řešení velkého počtu otevřených problémů v jiných oblastech matematiky. Například implikuje Suslinovu hypotézu a že každá (mathbf { Sigma} ^ 1_2) sada realů je Lebesgue měřitelná a má Baireovu vlastnost. Znamená to také negaci CH a to, že (2 ^ { aleph_0}) je pravidelný kardinál, ale nerozhoduje o tom, co je kardinál. Viz Fremlin (1984) pro mnoho dalších důsledků MA a dalších ekvivalentních formulací. Přesto je status MA jako axiomu teorie množin stále nejasný. Snad nejpřirozenější formulace ŘO je ze základního hlediska odrazem. Zápis HC pro množinu dědičně spočítatelných množin (tj. Spočítatelné množiny, jejichž prvky jsou spočitatelné, jejichž prvky jsou také spočítatelné,a tak dále), MA odpovídá:

Pokud pro každé částečné řazení ccc (P) platí, že existuje-li existenciální příkaz o (HC) v (ideálním) obecném rozšíření (V) získaném nucením pomocí (P), pak je příkaz pravdivý, tj. drží v (V). Jinými slovy, pokud množina, která má vlastnost, která závisí pouze na množinách v (HC), existuje v nějakém (ideálním) obecném rozšíření (V) získaném nucením s částečným uspořádáním CCC, pak množina s touto vlastností již existuje v (V).

Představa o ideálním obecném rozšíření (V) může být upřesněna pomocí tzv. Booleovských modelů, které poskytují alternativní verzi síly.

V 80. letech bylo zavedeno mnohem silnější axiomy síly než MA, jako je Správný nucující axiom J. Baumgartnera (PFA) a silnější Martinovo maximum (MM) Foremana, Magidora a Šelaha (1988), což je v podstatě nejsilnější možné násilí axiom. Jak PFA, tak MM jsou v souladu s existencí superkompaktního kardinála. PFA tvrdí to samé jako MA, ale u dílčích objednávek, která mají vlastnost slabší než ccc, zvaná správnost, zavedená Shelah. A MM tvrdí totéž pro širší třídu dílčích objednávek, která, když s nimi nutí, nezničí stacionární podmnožiny (omega_1).

Silné nucené axiomy, jako jsou PFA a MM, znamenají, že všechny projektivní sady skutečností jsou určeny (PD) a mají mnoho dalších silných důsledků v nekonečné kombinatorice. Zejména naznačují, že kardinálnost kontinua je (aleph_2).

Bibliografie

• Bagaria, J., 2008, „Teorie množin“, v Princeton Companion to Mathematics, editoval Timothy Gowers; Červen Barrow-Green a Imre Leader, přidružení editoři. Princeton: Princeton University Press.
• Cohen, PJ, 1966, Teorie množin a hypotéza kontinua, New York: WA Benjamin, Inc.
• Enderton, HB, 1977, Elements of Theory Theory, New York: Academic Press.
• Ferreirós, J., 2007, Labyrint myšlení: Historie teorie množin a jeho role v moderní matematice, druhé revidované vydání, Basel: Birkhäuser.
• Foreman, M., M. Magidor a S. Shelah, 1988, „Martinovy maximum, nasycené ideály a nepravidelné ultrafiltry“, část I, Annals of Mathematics, 127: 1-47.
• Fremlin, DH, 1984, „Důsledky Martinova axiomu“, Cambridge tratě v matematice # 84. Cambridge: Cambridge University Press.
• Gödel, K., 1931, „Über formální unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I,“Monatshefte für Mathematik Physik, 38: 173–198. Anglický překlad v Gödel 1986, 144–195.
• –––, 1938, „Konzistentnost axiomu výběru a zobecněné hypotézy kontinua“, Sborník Národní akademie věd, USA 24: 556–557.
• –––, 1986, Collected Works I. Publications 1929–1936, S. Feferman et al. (eds.), Oxford: Oxford University Press.
• Hauser, K., 2006, „Gödelův program revidován, část I: Přechod k fenomenologii“, Bulletin of Symbolic Logic, 12 (4): 529–590.
• Jech, T., 2003, Teorie množin, 3d vydání, New York: Springer.
• Jensen, RB, 1972, „Jemná struktura konstruktivní hierarchie“, Annals of Mathematical Logic, 4 (3): 229–308.
• Kanamori, A., 2003, The Higher Infinite, Second Edition. Monografie Springer v matematice, New York: Springer.
• Kechris, AS, 1995, teorie klasických deskriptivních množin, postgraduální texty z matematiky, New York: Springer Verlag.
• Kunen, K., 1980, Teorie množin, Úvod do nezávislých důkazů, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Levy, A., 1960, „Axiomová schémata silné nekonečna v axiomatické teorii množin“, Pacific Journal of Mathematics, 10: 223–238.
• –––, 1979, Základní teorie teorií, New York: Springer.
• Magidor, M., 1977, „K problému singulárních kardinálů, II“, Annals of Mathematics, 106: 514–547.
• Martin, DA a R. Solovay, 1970, „Internal Cohen Extensions“, Annals of Mathematical Logic, 2: 143–178.
• Martin, DA a JR Steel, 1989, „Důkaz projektivní determinace“, Journal of American Mathematical Society, 2 (1): 71–125.
• Mathias, ARD, 2001, „Slim models of Zermelo Set Theory“, Journal of Symbolic Logic, 66: 487–496.
• Neeman, I., 2002, „Vnitřní modely v oblasti Woodinovy hranice kardinálů Woodina“, Annals of Pure and Applied Logic, 116: 67–155.
• Scott, D., 1961, „Měřitelné kardinály a konstrukční sady“, Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques, 9: 521–524.
• Shelah, S., 1994, "Cardinal Aritmetic", Oxford Logic Guides, 29, New York: The Clarendon Press, Oxford University Press.
• –––, 1998, Správné a nesprávné nucení, 2. vydání, New York: Springer-Verlag.
• Shelah, S. a WH Woodin, 1990, „Velké kardinály znamenají, že každý rozumně definovatelný soubor realit je měřitelný Lebesgueem“, Israel Journal of Mathematics, 70 (3): 381–394.
• Solovay, R., 1970, „Model teorie množin, ve kterém je každá sada realů měřitelná Lebesgueem“, Annals of Mathematics, 92: 1–56.
• Solovay, R. a S. Tennenbaum, 1971, „Iterated Cohen Extension and Souslin's problem“, Annals of Mathematics (2), 94: 201–245.
• Todorcevic, S., 1989, „Rozdělení problémů v topologii“, Současná matematika, Svazek 84. Americká matematická společnost.
• Ulam, S., 1930, „Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre“, Fundamenta Mathematicae, 16: 140–150.
• Woodin, WH, 1999, Axiom determinace, nutící axiomy a nestacionární ideál, De Gruyterova řada v logice a její aplikace 1, Berlín-New York: Walter de Gruyter.
• ––– 2001, „Hypotéza kontinua, část I“, Oznámení AMS, 48 (6): 567–576, a „Hypotéza kontinua, část II“, Oznámení AMS 48 (7): 681– 690.
• Zeman, M., 2001, Inner Modules and Large Cardinals, De Gruyter Series in Logic and jeho Applications 5, Berlin-New York: Walter de Gruyter.
• Zermelo, E., 1908, „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I“, Mathematische Annalen 65: 261–281. Přetištěno v Zermelo 2010: 189–228 s anglickým překladem na přední straně a úvodem Ulricha Felgnera (2010). Anglický překlad také ve van Heijenoort 1967: 201–215.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje