Schéma

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Schéma

Poprvé publikováno pátek 28. května 2004; věcná revize Út 2. srpna 2016

Schéma (množné číslo: schémata nebo schémata), známá také jako schéma (množné číslo: schémata), je lingvistická „šablona“, „rámeček“nebo „vzor“spolu s pravidlem pro jeho použití k určení potenciálně nekonečného množství. frází, vět nebo argumentů, které se nazývají instance schématu. Schémata se používají v logice ke stanovení pravidel odvozování, v matematice k popisu teorií s nekonečně mnoha axiomy a v sémantice k poskytnutí přiměřených podmínek pro definování pravdy.

• 1. Co je to schéma?
• 2. Použití schémat
• 3. Ontologický stav schémat
• 4. Schémata v historii logiky
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Co je to schéma?

Schéma je složitý systém skládající se z

1. šablona-text nebo schéma-šablona: syntaktický řetězec složený z významných slov a / nebo symbolů a také zástupných symbolů (písmena, mezery, zakroužkovaná čísla, elipsy, pořadové číselné výrazy jako „první“a „druhý“atd.)), a
2. vedlejší stav uvádějící, jak mají být zástupné symboly vyplněny, aby se získaly případy, a také, někdy, jak je třeba chápat významná slova nebo symboly (Tarski 1933/1983: 155; Church 1956: 172). Zejména vedlejší podmínka specifikuje jazyk, ať už přirozený nebo formální, do kterého mají instance schématu patřit.

Mezi nejznámější schémata patří Tarskiho schéma T, jehož šablonou-text je osmikvětový řetězec se dvěma elipsami:

… Je pravdivá věta pouze tehdy, když….

Vedlejší podmínka vyžaduje, aby se druhé prázdné pole vyplnilo (deklarativní) větou angličtiny a první prázdné se vyplnilo názvem této věty (Tarski 1933/1983: 155). Následující řetězec je instancí:

„nula je jedna“je skutečná věta pouze tehdy, je-li jedna.

Další odhalující případy se získají použitím věty, o které není známo, že je pravdivá a není známá jako nepravdivá:

„každé dokonalé číslo je sudé“je pravdivá věta tehdy a jen tehdy, je-li každé dokonalé číslo sudé.

Čtrnáctislovná věta

Buď nula je sudá nebo není pravda, že nula je sudá.

je instancí schématu vyloučených středních vět pro angličtinu, který zahrnuje šablonu

Buď (A), nebo není tomu tak. (A).

Vedlejší podmínkou je, že dva výskyty '(A)' musí být vyplněny výskytem stejné dobře tvarované anglické deklarativní věty, že diskontinuální výraz „Buď… nebo…“; vyjadřuje klasické nevýlučné disjunkce a že šestimetrová věta předpona „není tomu tak“; vyjadřuje klasickou negaci. Všimněte si, že tato šablona schématu není anglickou větou. Bylo by přísně řečeno nesoudržné používat ji jako trest při pokusu o tvrzení. Bylo by také špatné to nazvat pravdivým nebo nepravdivým, i když může být charakterizováno jako platné nebo neplatné, v příslušných smyslech těchto dvojznačných slov.

Zdá se, že někteří logici identifikují schéma pouze se šablonou. (Tarskiho formulace z let 1933/1983: 155–6 naznačuje tuto identifikaci, zatímco Churchův text z roku 1956: 149 se zdá, že se tomu vyhýbá.) Jedna a stejná šablona schématu však mohou být součástí libovolného počtu různých schémat v závislosti na straně. podmínka nebo základní jazyk. Dále, protože různé znaky nebo řetězce mohou být použity jako zástupné symboly (viz výše) a protože i jedna notační změna vytváří odlišný syntaktický řetězec v přísném smyslu (Corcoran et al. 1974), jeden a stejný soubor případů může být určen různé párování schémat / šablon na straně podmínky dokonce dané pevným jazykem. Může to být skutečnost, že někteří autoři vedou k psaní, jako by se schéma mělo identifikovat se sadou instancí. Pro mnoho účelů je to soubor specifických případů, které mají prvořadý význam, a otázka, co přesně se podílí na jeho specifikaci, je považována za pouhou technicitu.

Někdy (jako ve schématu vyloučených středů výše) jsou zástupné symboly v šabloně schématu označeny písmeny. Je důležité mít na paměti rozdíl mezi otevřenou větou na jedné straně, například '((x + y) = (y + x))' jejichž číselné proměnné objektového jazyka '(x)' a '(y)' se rozprostírají nad čísly a na druhé straně schématem, jako je schéma číselně teoretické komutativity, jehož šablona-text je '((X + Y) = (Y + X)) ' a jehož vedlejší podmínkou je, že dva výskyty '(X)' budou nahrazeny dvěma výskyty jednoho a stejného čísla a podobně pro dva výskyty '(Y)'. Číslice patří do jazyka objektu, zatímco zástupné symboly patří do metajazyku. Proměnné v rozsahu objektového jazyka přes doménu objektů,zatímco „fiktivní písmena“v textu šablony jsou jen zástupnými symboly syntaktických substituenů. (Pro pečlivou ukázku rozdílu viz Quine 1945: sec. 1.)

Schémata mohou být klasifikována podle syntaktického typu svých instancí jako schémata vět, podpůrná schémata nebo schémata argumentů. Už jsme viděli dva příklady větných schémat. Řetězec

nástupce (A)

je předloha-text pro subvenční schéma, kde vedlejší podmínka určuje, že písmeno '(A)' bude nahrazeno arabskou číslicí. Definitivní popis

nástupce 9

bude to příklad. Toto schéma se velmi liší od otevřeného termínu

nástupce (x),

kde '(x)' je proměnná objektového jazyka. Schéma je v podstatě receptem pro generování syntaktických instancí. 'Dummy dopis' '(A)' v jeho šabloně-text je jen zástupný symbol pro substituenty (zde, číslice). Naproti tomu '(x)' v otevřeném termínu je proměnná v rozsahu přes objekty (zde čísla).

Schéma argument-text je schéma, jehož instance jsou argumenty-texty. Argument-text je dvousložkový systém složený ze sady vět, které se nazývají prostory a jedna věta, která se nazývá závěr. (Argument je ten, který je vyjádřen argumentem-text, jako návrh je ten, který je vyjádřen větou.) Z různých způsobů, jak prezentovat argument-text, snad nejméně přístupný nesprávnému výkladu je prostor-line- formát závěru, který spočívá v uvedení prostor následovaného řádkem následovaným závěrem. Například:

) begin {zarovnat} & / textrm {Každý kruh je mnohoúhelník.} & / textrm {Každý trojúhelník je kruh.} & / textrm {Každý čtverec je trojúhelník.} \\ hline & / textrm {Každý čtverec je mnohoúhelník.} end {zarovnat})

Příklad schématu argument-text je pravidlo odvozeného pravidla modus ponens:

) begin {align} & A \& / textrm {if} A / textrm {then} B \\\ hline & B / end {align})

Vedlejší podmínka specifikuje, že '(A)' a '(B)' budou nahrazeny deklarativními větami angličtiny a že oba výskyty '(A)' (a podobně jako '(B)) “) se nahrazují stejnou větou nebo vzorcem.

Schémata Axiom lze považovat za schémata s argumentem s nulovým předpokladem.

2. Použití schémat

Schémata se používají při formalizaci logiky, matematiky a sémantiky. V logice se používají ke specifikaci axiomů a odvozovacích pravidel systému. Například jedna formalizace logiky prvního řádu (v Shapiro 1991: 65) uvádí, že

Jakýkoli vzorec získaný nahrazením vzorců řeckými písmeny je axiom:

) begin {zarovnat} Phi & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) (Phi / rightarrow (Psi / rightarrow / Xi)) & / rightarrow ((Phi / rightarrow / Psi) rightarrow (Phi / rightarrow / Xi)) (neg / Phi / rightarrow / neg / Psi) & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) / \ forall x / Phi (x) & / rightarrow / Phi (t) end {zarovnat})

kde (t) je termín zdarma pro (x) v (Phi),

a to jakýkoli odvození formy

) begin {align} & / Phi \& / Phi / rightarrow / Psi \\\ hline & / Psi \\ / end {align})

nebo (kde (x) nenastane zdarma v (Phi))

) begin {zarovnat} Phi & / rightarrow / Psi (x) \\ hline / Phi & / rightarrow / forall x / Psi (x), / end {zarovnat})

je platný.

Některé matematické teorie lze konečně axiomatizovat v jazyce prvního řádu, ale některé historicky důležité teorie čísel a teorie množin nemohou. Axiomy těchto teorií lze někdy specifikovat pomocí schémat. Například v teorii čísel prvního řádu je indukční princip specifikován pomocí schématu

[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow F (x)))

kde mají být dvě mezery označené '(F (x))' vyplněny vzorcem prvního řádu, který má jeden nebo více volných výskytů proměnné '(x)', prázdné označené '(F (0)) 'se vyplní stejným vzorcem po každém výskytu výskytu' (x) 'byl nahrazen výskytem' 0 'a prázdné místo označené' (F (sx)) ' má být vyplněn stejným vzorcem po každém výskytu výskytu '(x)' byl nahrazen výskytem '(sx)'.

Pokud například vyplníme dva mezery označené '(F (x))' s '(x / ne sx)', máme:

[0 / ne s0 / mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} x / ne sx) rightarrow sx / ne ss x)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow x / ne sx))

Pomocí angličtiny jako základního objektového jazyka lze použít následující text šablony.

Pokud je nula (F) a nástupce každého čísla, které je (F), je také (F), pak každé číslo je (F), kde čtyři výskyty '(F)' mají být vyplněny jedním a stejným aritmetickým predikátem (např. 'menší než nějaký prvočíslo').

Naproti tomu ve formalizaci teorie čísel druhého řádu může být naopak uveden jeden indukční axiom:

) forall F {[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] / rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow F (x)) })

Pro každé (F), pokud je nula (F) a nástupce každého čísla, které je (F), je také (F), pak každé číslo je (F).

Tady '(F)' není zástupný symbol ve schématu, ale skutečná proměnná v rozsahu přes vlastnosti nebo třídy (nebo, u některých interpretací, množení přes jednotlivce). Pro srovnání logiky prvního řádu a druhého řádu viz Corcoran 1998.

Ortografické podobnosti mezi indukčním schématem prvního řádu a indukčním axiomem druhého řádu mají nešťastnou tendenci zakrývat důležité rozdíly mezi nimi. Ten je věta v jazyce, zatímco první je pouhý recept na generování vět. Rovněž nejsou ekvivalentní: sada instancí indukčního schématu prvního řádu je logicky slabší než indukční axiom druhého řádu. To znamená, že existují věty aritmetiky prvního řádu, které lze odvodit z indukčního axiomu druhého řádu (společně s dalšími axiomy aritmetiky, které jsou společné aritmetice prvního řádu a druhého řádu), ale nikoli z instancí aritmetiky schéma indukce prvního řádu (viz Shapiro 1991: 110).

Schéma také hrály významnou roli v sémantice. Tarski usoudil, že příklad jeho „T-schématu“(který nazývá „schéma“) lze považovat za „částečnou definici pravdy“nebo spíše za „pravou větu“:

Obecné schéma tohoto druhu věty lze znázornit následujícím způsobem:

(2) (x) je skutečná věta pouze tehdy, pokud (p)

Abychom získali konkrétní definice, nahradíme místo symbolu '(p)' v tomto schématu jakoukoli větu a místo '(x)' jakýkoli individuální název této věty. (Tarski 1933/1983: 155–6)

Považoval to za kritérium přiměřenosti pro definici „skutečné věty“pro jazyk, který má všechny takové „dílčí definice“jako důsledky (Tarski 1933/1983: 187–8).

3. Ontologický stav schémat

Je důležité mít jasno o smíšeném ontologickém stavu schémat. Text šablony ve schématu je syntaktický objekt, řetězec znaků a má stejné ontologické předpoklady jako číslice, slova, vzorce a podobně. Například text šablony pro anglické schéma pojmenování - „Výraz… pojmenuje entitu…“- je čtyřicetimístný výraz zahrnující dvacet sedm výskytů písmen, šest výskytů mezery a sedm výskytů období. Na druhé straně je vedlejší podmínkou náročná entita srovnatelná s tvrzením.

Schéma-šablona je typ řetězce, který má na dobu neurčitou mnoho tokenů v Peirceho smyslu (Peirce 1906; Corcoran et al. 1974: 638 n. 5). Žádný z tokenů šablony schématu však není instancí schématu. Ve skutečnosti je každá instance schématu typ řetězce, který má své vlastní tokeny. Slovo 'instance' je podstatné jméno relace pro určité typy řetězců, které nesou určitá schémata. Slovo „token“je podstatné jméno vztahu pro vztah určitých makroskopických fyzických objektů k určitým abstraktním objektům. Schéma ani šablona schématu nejsou běžným substantivem označujícím instance a není ani vlastním názvem sady instancí.

Někteří filozofové zdůrazňují možné ontologické ekonomiky pomocí schémat spíše než axiomů druhého řádu (např. Quine 1970/1986). Ale zřídka, pokud vůbec, tito filozofové předloží úplnou a objektivní diskusi o „ontologických závazcích“, které s sebou nese použití schémat. Například teorie čísel sama o sobě předpokládá existenci čísel a možná numerických funkcí a numerických vlastností, ale nepředpokládá existenci matematického zápisu a to a fortiori nepředpokládá existenci rozsáhlého, složitého notačního systému, který nazýváme jazyk teorie čísel. Někdy může použití schémat snížit ontologické závazky objektového jazyka a zároveň zvýšit závazky metajazyků nebo alespoň nedosáhnout čistých úspor.

4. Schémata v historii logiky

Řecké slovo „schéma“; byl použit v Platónově akademii pro „[geometrickou] postavu“a v Aristotelově lýcea pro „[syllogistickou] postavu“. Ačkoli Aristotelovy syllogistické postavy nebo „schémata“nebyly schématy v moderním smyslu, Aristotelovy nálady byly. Například text šablony nálady BARBARA je

) begin {zarovnat} & P / textrm {patří každému} M. \& M / textrm {patří každému} S. \\\ hline & P / textrm {patří každému} S. / end {zarovnat})

Přidružená vedlejší podmínka je, že (1) oba výskyty '(P)' mají být vyplněny výskytem jednoho a stejného společného podstatného jména, (2) oba výskyty '(M)' musí být vyplněny s výskytem jednoho a stejného společného jména jiného, než jaké bylo použito pro '(P)', (3) oba výskyty '(S)' musí být vyplněny výskytem jednoho a stejného společného jména jiného než ty, které se používají pro '(P)' a '(M)', a že (4) výraz 'patří všemu' je považován za vyjádření univerzální afirmativní predikace jako v předchozí analýze. Pravidla stoické výrokové logiky se považují za schémata.

Je obtížné datovat vědomé použití slova 'schéma' v moderním slova smyslu. Russellův úvod do matematické filosofie (1919) ho používá k popisu výrokových funkcí:

Výroková funkce… může být považována za pouhé schéma, pouhou schránku, prázdnou nádobu pro význam, ne něco, co již bylo významné. (1919: 157)

Ale výrokové funkce nejsou syntaktická schémata v moderním smyslu. Tarskiho dokument o pravdivé definici z roku 1933 (Tarski 1933/1983: 157, 160, 172) byl jednou z prvních prominentních publikací, které používaly slovo „schéma“ve smyslu blízkém smyslu tohoto článku (Tarski 1933/1983: 155, 156). Tarski také používá slovo „schéma“a jeho množné číslo „schéma“v období před druhou světovou válkou (1983: 63–64, 114, 310, 386, 423).

Formalizace logiky na počátku dvacátého století používaly to, čemu se říkalo „substituční pravidla“, s konečnou sadou axiomů místo schémat, která specifikovala nekonečně mnoho axiomů. Tato „substituční pravidla“nebyla známá pravidla pro „nahrazování rovných za rovné“; spíše se blížili tomu, co se dnes říká pravidlům pro instanci. Intuitivní motivace k „substitučním pravidlům“byla velmi jednoduchá, ale syntaktické podrobnosti pro jejich implementaci byly „netolerovatelně komplexní“- používat slova Paula Rosenblooma (1950: 109). Ve skutečnosti několik prvotřídních logiků bylo vedeno k trapným chybám, jak Rosenbloom dokumentuje na místě, které bylo právě citováno. Church (1956: 158) připisuje von Neumannovi „zařízení využívající axiomová schémata“, což způsobuje, že (notoricky obtížně stanovitelné) pravidlo nahrazování není nutné.

Jak Church zdůraznil (např. 1956: 59), metamathematické zpracování schémat vyžaduje použití formalizovaných nebo logicky dokonalých jazyků a axiomatizovanou teorii řetězců, jak bylo poprvé nalezeno v Tarskiho dokumentu o definici pravdy z roku 1933 (1933/1983: 152–) 256). Více o historii, filozofii a matematice tohoto důležitého, ale poněkud opomíjeného pole, viz Corcoran et al. 1974; Corcoran 2006).

Bibliografie

• Church, A., 1956, Úvod do matematické logiky, Princeton: Princeton University Press.
• Corcoran, J., 1998, „Logika druhého řádu“, v CS Anderson a M. Zeleny (eds.), Logic, Význam a Výpočet: Eseje v paměti Alonzo církve, Dordrecht: Kluwer.
• ––– 2006, „Schémata: Koncepce schématu v historii logiky“, Bulletin Symbolické logiky, 12 (2): 219–40. doi: 10,2178 / bsl / 1146620060
• –––, 2009, „Aristotelova demonstrační logika“, historie a filozofie logiky, 30: 1–20. doi: 10,1080 / 01445340802228362
• Corcoran, J., W. Frank, a M. Maloney, 1974, „Stringova teorie“, Journal of Symbolic Logic, 39 (4): 625–637. doi: 10,2307 / 2272846
• Feferman, A. a S. Feferman, 2004, Alfred Tarski: Life and Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Feferman, S. a G. Jäger, 1983, „Principy výběru, pravidlo sloupců a autonomně opakované schémata porozumění v analýze“, Journal of Symbolic Logic, 48: 63–70.
• Horsten, L., 2011, Tarskovský tah: Deflaceism a axiomatická pravda, Cambridge, MA: MIT Press.
• Kleene, SC, 1967, Mathematical Logic, New York: Wiley and Sons; dotisk, New York: Dover, 2002.
• Peirce, C., 1906, „Prolegomena omlouvání za pragmatismus“, Monist, 16: 492–546.
• Quine, WV, 1945, „O logice kvantifikace“, Journal of Symbolic Logic, 10: 1-12.
• –––, 1970, filozofie logiky, Cambridge MA: Harvard University Press, dotisk 1983.
• Rosenbloom, P., 1950. Prvky matematické logiky, Dover, New York.
• Russell, B., 1919, Úvod do matematické filozofie, Londýn: George Allen a Unwin.
• Shapiro, S., 1991, Základy bez zakladatelství: Případ logiky druhého řádu, Oxford: Oxford University Press.
• Tarski, A., 1933, „Pojem pravdy v jazycích deduktivních věd“(polsky), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych, 34, Varšava; dotisknuto v Zygmunt 1995: 13–172; rozšířený anglický překlad v Tarski 1983: 152–278.
• –––, 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, editoval s úvodem a analytickým indexem John Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• van Heijenoort, J., 1967, Z Frege do Gödel, Cambridge MA: Harvard University Press.
• Zygmunt, J. (ed.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Varšava: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje