Kvantová Logika A Teorie Pravděpodobnosti

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Kvantová logika a teorie pravděpodobnosti

První publikováno 4. února 2002; věcná revize Čt 26. ledna 2017

Matematicky lze kvantovou mechaniku považovat za neklasický pravděpodobnostní počet spočívající na neklasické výrokové logice. Přesněji řečeno, v kvantové mechanice je každý pravděpodobnostní návrh ve tvaru „hodnota fyzické veličiny (A) v rozsahu (B)“reprezentován operátorem projekce na Hilbertově prostoru (mathbf { H}). Ty tvoří mřížku, která není booleovská, zejména nedistribuční. Kvantově-mechanické stavy přesně odpovídají pravděpodobnostním opatřením (vhodně definovaným) na této mřížce.

Co z toho máme udělat? Někteří argumentují, že empirický úspěch kvantové mechaniky vyžaduje revoluci v logice samotné. Tento pohled je spojen s požadavkem na realistickou interpretaci kvantové mechaniky, tj. Toho, který není zakotven v žádné primitivní představě o měření. Proti tomu existuje dlouhá tradice operativního výkladu kvantové mechaniky, to znamená, že je to přesně teorie měření. Z tohoto posledního pohledu není překvapující, že „logika“výsledků měření v prostředí, ve kterém nejsou všechna měření kompatibilní, by měla být booleovskou. Spíše záhadou je to, proč by měla mít zvláštní nebolejskou strukturu, jakou má v kvantové mechanice. V programu se rozrostla značná literatura, která pro tuto strukturu poskytla určitou nezávislou motivaci - ideálně,odvozením z primitivnějších a věrohodnějších axiomů, které řídí zobecněnou teorii pravděpodobnosti.

• 1. Kvantová mechanika jako počet pravděpodobnosti

  • 1.1 Kvantová pravděpodobnost v kostce
  • 1.2 „Logika“projekcí
  • 1.3 Pravděpodobnostní opatření a Gleasonova věta
  • 1.4 Rekonstrukce QM

• 2. Interpretace kvantové logiky

  • 2.1 Realistická kvantová logika
  • 2.2 Provozní kvantová logika

• 3. Obecná teorie pravděpodobnosti

  • 3.1 Diskrétní teorie klasické pravděpodobnosti
  • 3.2 Testovací prostory
  • 3.3 Kolmogorovianova teorie pravděpodobnosti
  • 3.4 Kvantová teorie pravděpodobnosti

• 4. Logika spojená s pravděpodobnostními modely

  • 4.1 Provozní logika
  • 4.2 Orthoherherence
  • 4.3 Mřížky vlastností

• 5. Pironova věta

  5.1 Kondicionování a krycí zákon

• 6. Klasická zobrazení

  • 6.1 Klasická vkládání
  • 6.2 Kontextové skryté proměnné

• 7. Kompozitní systémy

  • 7.1 Příklad Foulis-Randalla
  • 7.2 Aertsova věta
  • 7.3 Rozvětvení
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Kvantová mechanika jako počet pravděpodobnosti

Je nesporné (byť pozoruhodné), že formální aparát kvantové mechaniky se úhledně redukuje na zobecnění klasické pravděpodobnosti, ve které roli, kterou hraje booleovská algebra událostí v druhé, převezme „kvantová logika“operátorů projekce na Hilbertův prostor. ^[1] Navíc, obvyklá statistická interpretace kvantové mechaniky nás žádá, abychom tuto zobecněnou teorii kvantové pravděpodobnosti považovali za doslova - tedy nejen jako formální analog svého klasického protějšku, ale jako skutečnou doktrínu šancí. V této části se věnuji této kvantové teorii pravděpodobnosti a její podpůrné kvantové logice. ^[2]

[Další informace o Hilbertově prostoru naleznete v záznamu o kvantové mechanice. Další informace o uspořádaných sadách a mřížích najdete v doplňkovém dokumentu: Základní teorie objednávání vztahů. Koncepty a výsledky vysvětlují, že tyto doplňky budou volně použity v následujícím textu.]

1.1 Kvantová pravděpodobnost v kostce

Kvantově pravděpodobnostní formalismus, jak jej vyvinul von Neumann [1932], předpokládá, že každý fyzický systém je spojen s (oddělitelným) Hilbertovým prostorem (mathbf {H}), jehož jednotkové vektory odpovídají možným fyzickým stavům systém. Každá „pozorovatelná“náhodná veličina s reálným oceněním je představována samoadjunkčním operátorem (A) na (mathbf {H}), jehož spektrum je množinou možných hodnot (A). Pokud (u) je jednotkový vektor v doméně (A) představující stav, pak očekávaná hodnota pozorovatelného představovaného (A) v tomto stavu je dána vnitřním produktem (langle Au, u / rangle). Pozorovatelné reprezentované dvěma operátory (A) a (B) jsou přiměřené, pokud jsou dojížděny, tj. AB = BA. (Pro další diskuzi viz položka o kvantové mechanice.)

1.2 „Logika“projekcí

Jak zdůraznil von Neumann, ({0,1 }) - hodnotitelné pozorovatelné lze považovat za kódovací návrhy týkající se - nebo, aby se použilo jeho frázování, vlastností stavu systému. Není těžké ukázat, že samoadjunkční operátor (P) se spektrem obsaženým ve dvoubodové sadě ({0,1 }) musí být projekce; tj. (P ^ 2 = P). Takoví operátoři jsou ve vzájemné korespondenci s uzavřenými podprostory (mathbf {H}). Pokud je (P) projekce, její rozsah je uzavřen a jakýkoli uzavřený podprostor je rozsahem jedinečné projekce. Pokud (u) je jakýkoli jednotkový vektor, pak (langle Pu, u / rangle = / llvert Pu / rrvert ^ 2) je očekávaná hodnota odpovídající pozorovatelné ve stavu reprezentovaném (u). Protože toto pozorovatelné je ({0,1 }) - je oceňováno,tuto očekávanou hodnotu můžeme interpretovat jako pravděpodobnost, že měření pozorovatelného povede k „kladné“odpovědi 1. Konkrétně bude mít kladná odpověď pravděpodobnost 1 pouze tehdy, pokud Pu = u; to znamená, že (u) leží v rozmezí (P). Von Neumann k tomu dochází

… Vztah mezi vlastnostmi fyzického systému na jedné straně a projekcemi na straně druhé umožňuje s nimi jakýsi logický počet. Na rozdíl od konceptů běžné logiky je však tento systém rozšířen o koncept „simultánní decidability“, který je charakteristický pro kvantovou mechaniku. (1932: 253)

Podívejme se na tento „logický počet“projekcí. Uzavřené množiny, uzavřené podprostory (mathbf {H}), uspořádané na základě setu, tvoří kompletní mříž, ve které se setkávají (největší spodní hranice) sady podprostorů jejich průnik, zatímco jejich spojení (nejméně horní hranice) je uzavřené rozpětí jejich spojení. Protože typický uzavřený podprostor má nekonečně mnoho komplementárních uzavřených podprostorů, tato mříž není distribuční; je však ortocomplementován mapováním

) mathbf {M} rightarrow / mathbf {M} ^ { bot} = {v / in / mathbf {H} mid / forall u / in / mathbf {M} (langle v, u / rangle = 0) }.)

Vzhledem k výše uvedené korespondenci mezi uzavřenými podprostory a projekcemi můžeme uložit množině (L (mathbf {H})) strukturu kompletní orthocomplemented mříže, definující (P / le Q), kde (rran (P) subseteq / rran (Q)) a (P '= 1 - P) (takže (rran (P') = / rran (P) ^ { bot})). Je jasné, že (P / le Q) právě v případě (PQ = QP = P). Obecněji, pokud PQ = QP, pak (PQ = P / wedge Q), setkávání (P) a (Q) v (L (mathbf {H})); také v tomto případě jejich spojení je dáno (P / vee Q = P + Q - PQ).

1.1 Lemma

Nechť (P) a (Q) budou operátory projekce na Hilbertově prostoru (mathbf {H}). Jsou ekvivalentní:

1. (PQ = QP)
2. Podtřída (L (mathbf {H})) generovaná pomocí (P, Q, P ') a (Q') je Boolean
3. (P, Q) leží ve společném booleovském pod ortholattice z (L (mathbf {H})).

Vzhledem k myšlence, že dojíždění pozorovatelných - zejména projekcí - jsou měřitelné současně, dochází k závěru, že členové booleovského pod ortholattice z (L (mathbf {H})) jsou současně testovatelní. To naznačuje, že si můžeme zachovat klasickou logickou interpretaci setkání, spojení a orthocomplementu, jak je aplikováno na projekce dojíždění.

1.3 Pravděpodobnostní opatření a Gleasonova věta

Předchozí diskuse motivuje následující. Volejte projekce (P) a (Q) ortogonální a napište (P / binbot Q) iff (P / le Q '). Všimněte si, že (P / binbot Q) iff (PQ = QP = 0). Pokud (P) a (Q) jsou ortogonální projekce, pak jejich spojení je jednoduše jejich součet; tradičně se to označuje (P / oplus Q). Mapování identity na (mathbf {H}) označujeme (mathbf {1}).

1.2 Definice

(spočítatelné aditivní) pravděpodobnostní mírou na (L (mathbf {H})) je mapování (mu: L / rightarrow) [0,1] tak, že (mu (mathbf) {1}) = 1) a pro jakoukoli sekvenci párových ortogonálních projekcí (P_i, i = 1,2),…

) mu (oplus_i P_i) = / sum_i / mu (P_i))

Zde je jeden způsob, jak můžeme vyrobit pravděpodobnostní míru na (L (mathbf {H})). Nechť (u) bude jednotkovým vektorem (mathbf {H}) a nastavíme (mu_u (P) = / langle Pu, u / rangle). Toto dává obvyklý kvantově-mechanický recept na pravděpodobnost, že (P) bude mít hodnotu 1 ve stavu (u). Všimněte si, že můžeme také vyjádřit (mu_u) jako (mu_u (P) = Tr (P P_u)), kde (P_u) je jednorozměrná projekce spojená s jednotkovým vektorem (u), tj. (P_u (x) = / langle x, u / rangle u) pro všechny (x / in / mathbf {H}).

Obecněji, pokud (mu_i, i = 1,2, / ldots), jsou pravděpodobnostní míry na (L (mathbf {H})), pak je to jakákoli "směs" nebo konvexní kombinace (mu = / sum_i t_i / mu_i) kde (0 / le t_i / le 1) a (sum_i t_i = 1). Vzhledem k libovolné posloupnosti (u_1, u_2, / ldots) jednotkových vektorů nechte (mu_i = / mu_ {u_ {i}}) a nechte (P_i = P_ {u_ {i}}). Formování operátora

[W = t_1 P_1 + t_2P_2 + / ldots,)

člověk to vidí

) mu (P) = t_1 Tr (P P_1) + t_2 Tr (P P_2) + / ldots = Tr (WP))

Operátor, který je takto vyjádřen jako konvexní kombinace jednorozměrných projekcí, se nazývá operátor hustoty. Operátory hustoty jsou standardní matematické znázornění obecných (čistých nebo „smíšených“) kvantově-mechanických stavů. Právě jsme viděli, že každý operátor hustoty (W) vede k (L (mathbf {H})) spočítatelně dodatečné míře pravděpodobnosti). Následující pozoruhodný rozhovor, způsobený A. Gleasonem [1957], ukazuje, že teorie pravděpodobnostních měření na (L (mathbf {H})) je souběžná s teorií (smíšených) kvantových mechanických stavů na (mathbf {H}):

1.3 Gleasonova věta

Nechť (mathbf {H}) bude mít rozměr (gt 2). Pak každá počítatelně aditivní pravděpodobnostní míra na (L (mathbf {H})) má tvar (mu (P) = Tr (WP)), pro operátor hustoty (W) na (mathbf {H}).

Důležitým důsledkem Gleasonovy věty je, že (L (mathbf {H})) nepřipouští žádná pravděpodobnostní opatření, která mají pouze hodnoty 0 a 1. Chcete-li to vidět, uvědomte si, že pro libovolného operátora hustoty (W), mapování (u / rightarrow / langle Wu, u / rangle) je spojité na jednotkové sféře (mathbf {H}). Ale protože je tato spojena, žádná nepřetržitá funkce na ní nemůže vzít pouze dvě hodnoty 0 a 1. Tento výsledek je často považován za vyloučení možnosti „skrytých proměnných“- problém je podrobněji rozebrán v části 6.

1.4 Rekonstrukce QM

Z jediného předpokladu, že „experimentální návrhy“spojené s fyzickým systémem jsou kódovány projekcemi výše uvedeným způsobem, lze rekonstruovat zbytek formálního aparátu kvantové mechaniky. Prvním krokem je samozřejmě Gleasonova věta, která nám říká, že pravděpodobnostní míry na (L (mathbf {H})) odpovídají operátorům hustoty. Zbývá se zotavit, např. Reprezentace „pozorovatelných“samoobslužnými operátory a dynamika (unitární evoluce). První z nich lze obnovit pomocí Spectralovy věty a druhá pomocí hluboké věty E. Wignera o projektivním zastoupení skupin. Viz také R. Wright [1980]. Podrobný nástin této rekonstrukce (který zahrnuje některé zřetelně netriviální matematiky) lze nalézt v knize Varadarajan [1985]. Je třeba mít na paměti, že jakmile je zavedena kvantově-logická kostra (L (mathbf {H}))), zbývající statistický a dynamický aparát kvantové mechaniky je v podstatě fixní. V tomto smyslu se tedy kvantová mechanika - nebo v každém případě její matematický rámec - redukuje na kvantovou logiku a její doprovodnou teorii pravděpodobnosti.

2. Interpretace kvantové logiky

Redukce QM na teorii pravděpodobnosti založená na (L (mathbf {H})) je matematicky přesvědčivá, ale co nám říká o QM - nebo, za předpokladu, že QM je správná a úplná fyzikální teorie, o světě ? Jak tedy jinými slovy interpretujeme kvantovou logiku (L (mathbf {H}))? Odpověď zapne, jak rozbalíme frázi, volně používanou výše,

(*) Hodnota pozorovatelného (A) leží v rozmezí (B)

Jedno možné čtení (*) je funkční: „měření pozorovatelného (A) by přineslo (nebo přinese, nebo přineslo) hodnotu v sadě (B)“. Z tohoto pohledu představují projekce prohlášení o možných výsledcích měření. To špatně sedí realistům určitého pruhu, kteří, vyhýbající se odkazu na „měření“, raději chápou (*) jako popis nemovitosti:

systém má určitou kategoriální vlastnost, která odpovídá pozorovatelnému (A) majícímu, nezávisle na jakémkoli měření, hodnotu v sadě (B).

(Jeden musí být opatrný v tom, jak člověk chápe tuto poslední větu, nicméně: vykládán opatrně, zdá se, že předpokládá skryté proměnné interpretace kvantové mechaniky takového druhu, který vylučuje Gleasonova věta. Budu o tom níže říci více.)

2.1 Realistická kvantová logika

Interpretace operátorů projekce jako reprezentace vlastností fyzického systému je již v von Neumannově Grundlagenu výslovná. Logické operace zde diskutované se však vztahují pouze na projekce dojíždění, které jsou identifikovány současně rozhodnutelnými výroky. V roce 1936 Birkhoff a von Neumann udělali další krok a navrhli interpretovat mřížicko-teoretické setkání a spojení projekcí jako jejich spojení a disjunkce, ať už dojíždějí, či nikoli. Ihned tento návrh čelí problému, že mřížka (L (mathbf {H})) není distribuční, což znemožňuje, aby tyto „kvantové“spojky byly interpretovány pravdivě. Neohrožený,von Neumann a Birkhoff navrhli, že empirický úspěch kvantové mechaniky jako rámce pro fyziku zpochybňuje univerzální platnost distribučních zákonů výrokové logiky. Jejich formulace zůstává opatrná:

Zatímco logici obvykle předpokládali, že vlastnosti… negace byly ty, které byly nejméně schopné odolat kritické analýze, studium mechaniky poukazuje na distribuční identity… jako nejslabší článek algebry logiky. (1936: 837)

V šedesátých a začátcích sedmdesátých let byla tato práce rozvíjena spíše agresivně řadou autorů, včetně zejména Davida Finkelsteina a Hilary Putnamové, kteří tvrdili, že kvantová mechanika vyžaduje revoluci v našem chápání logiky per se. Podle Putnama je „Logika stejně empirická jako geometrie. … Žijeme ve světě s neklasickou logikou “([1968] 1979: 184).

Pro Putnam představují prvky (L (mathbf {H})) kategorické vlastnosti, které objekt má nebo nemá, nezávisle na tom, zda vypadáme nebo ne. Vzhledem k tomu, že tento obrázek fyzikálních vlastností je potvrzen empirickým úspěchem kvantové mechaniky, musíme z tohoto pohledu připustit, že způsob, jakým fyzikální vlastnosti skutečně visí spolu, není booleovský. Protože logika je pro Putnama do značné míry studiem toho, jak fyzikální vlastnosti ve skutečnosti spolu visí, dochází k závěru, že klasická logika se jednoduše mýlí: distribuční zákon není všeobecně platný.

Klasicky, pokud (S) je sada stavů fyzického systému, pak každá podmnožina (S) odpovídá kategorické vlastnosti systému a naopak. V kvantové mechanice je stavový prostor (projektivní) jednotková koule (S = S (mathbf {H})) Hilbertova prostoru. Ne všechny podmnožiny (S) však odpovídají kvantově-mechanickým vlastnostem systému. Ten odpovídá pouze podmnožinám zvláštního tvaru (S / cap / mathbf {M}), pro (mathbf {M}) uzavřený lineární podprostor (mathbf {H}). Zejména pouze podmnožiny této formy jsou přiřazeny pravděpodobnosti. To nám dává dvě možnosti. Jedním je brát pouze tyto speciální vlastnosti jako „skutečné“(nebo „fyzické“nebo „smysluplné“), pokud jde o obecnější podmnožiny (S), které vůbec neodpovídají skutečným kategorickým vlastnostem. Druhým je považovat „kvantové“vlastnosti za malou podmnožinu souboru všech fyzicky (nebo v každém případě metafyzicky) rozumných, ale ne nutně pozorovatelných, vlastností systému. Z tohoto posledního pohledu je sada všech vlastností fyzického systému ve své logické struktuře zcela klasická, ale odmítáme přiřadit pravděpodobnosti nezpozorovatelným vlastnostem.^[3]

Tato druhá pozice, i když rozhodně není v rozporu s realismem jako takovým, se obrací k rozlišování zahrnujícímu pojem „pozorování“, „měření“, „test“nebo něco takového - představu, kterou realisté často trpí bolestmi, kterým se vyhnout souvislost se základní fyzikální teorií. Jakýkoli realistický popis statistické fyzikální teorie, jako je kvantová mechanika, bude samozřejmě muset vysvětlit, jak se má měření provádět. To znamená, že bude muset vysvětlit, které fyzikální interakce mezi „objektovými“a „sondovými“systémy se počítají jako měření, a jak tyto interakce způsobují, že se sondový systém vyvíjí do konečných „výstupních stavů“, které odpovídají a a mají stejné pravděpodobnosti jako výsledky předpovídané teorií. Toto je notoricky známý problém měření.

Putnam ve skutečnosti zdokonalil svou verzi kvantově-logického realismu, protože nabízí (radikální) rozpuštění problému měření: Podle Putnamu se problém měření (a ve skutečnosti každý další kvantově-mechanický „paradox“) objevuje nesprávným použitím distribuční zákon, a proto zmizí, jakmile to bude uznáno. Tento návrh je však obecně považován za chybný. ^[4]

Jak bylo zmíněno výše, realistické interpretace kvantové mechaniky musí být opatrné, jak konstruují frázi „pozorovatelný (A) má hodnotu v množině (B)“. Nejjednodušší a nejtradičnější návrh - často označovaný jako odkaz „vlastní číslo – vlastní číslo“(Fine [1973]) - je ten, že (*) platí pouze tehdy, pokud měření (A) přinese hodnotu v sadě (B) s jistotou, tj. s (kvantově-mechanickou!) pravděpodobností 1. I když to jistě dává realistickou interpretaci (*), ^[5]neposkytuje řešení problému měření. Opravdu ho můžeme použít k poskytnutí ostrého formulace tohoto problému: i když (A) je jisté, že při měření bude mít hodnotu v (B), pokud kvantový stav není vlastní hodnotou měřeného pozorovatelného (A), systém nemá žádnou kategorickou vlastnost odpovídající (A) s určitou hodnotou v množině (B). Zdá se, že Putnam předpokládá, že realistická interpretace (*) by měla spočívat v přiřazení (A) nějaké neznámé hodnoty uvnitř (B), pro kterou kvantová mechanika dává netriviální pravděpodobnost. Pokus o udělení těchto úkolů současně pro všechny pozorovatelné však probíhá v Gleasonově větě. ^[6]

2.2 Provozní kvantová logika

Pokud odložíme zmínky o „měření“jako primitivním termínu ve fyzikální teorii a přijmeme principiální rozlišení mezi „testovatelnými“a netestovatelnými vlastnostmi, pak skutečnost, že (L (mathbf {H})) není Boolean je neomylný a nemá žádnou logickou souvislost. Kvantová mechanika je z tohoto pohledu teorie možného statistického rozdělení výsledků určitých měření a její neklasická „logika“jednoduše odráží skutečnost, že ne všechny pozorovatelné jevy lze pozorovat současně. Z tohoto důvodu je sada pravděpodobnost nesoucích událostí (nebo tvrzení) méně bohatá, než by byla v klasické teorii pravděpodobnosti, a soubor možných statistických distribucí je tedy méně pevně omezen. To, že některá „neklasická“rozdělení pravděpodobnosti povolená touto teorií se skutečně projevují v přírodě, je možná překvapivá, ale v žádném případě nevyžaduje žádný hluboký posun v našem chápání logiky nebo, v tomto ohledu, pravděpodobnosti.

To je však sotva poslední slovo. Po přijetí všech výše uvedených skutečností zůstává otázkou, proč by logika výsledků měření měla mít velmi zvláštní formu (L (mathbf {H})), a nikdy nic obecnějšího. ^[7]Tato otázka vyvolává myšlenku, že formální strukturu kvantové mechaniky lze jednoznačně určit malým počtem rozumných předpokladů, možná s určitými zjevnými zákonitostmi pozorovaných jevů. Tato možnost je již uvažována v von Neumannově Grundlagenu (a také jeho pozdějším díle v souvislé geometrii), ale nejprve se stává explicitním - a programovým - v díle George Mackeye [1957, 1963]. Mackey představuje posloupnost šesti axiomů, rámujících velmi konzervativní zobecněnou teorii pravděpodobnosti, která podepisuje konstrukci „logiky“experimentálních výroků, nebo, v jeho terminologii, „otázek“, které mají strukturu sigma-ortomodularního částečně uspořádaného set (viz Definice těchto termínů viz oddíl 4 a dodatkový dokument Základní teorie objednávání vztahů). Vynikající problém,pro Mackeyho mělo vysvětlit, proč by měl být tento poziční izomorfní k (L (mathbf {H})):

Téměř veškerá moderní kvantová mechanika je implicitně nebo explicitně založena na následujícím předpokladu, který bychom měli uvést jako axiom:

Axiom VII: Částečně uspořádaná množina všech otázek v kvantové mechanice je izomorfní s částečně uspořádanou sadou všech uzavřených podprostorů oddělitelného, nekonečného dimenzionálního Hilbertovho prostoru.

Tento axiom má poněkud odlišný charakter než Axioms I až VI. Všichni měli určitou míru fyzické přirozenosti a věrohodnosti. Axiom VII se zdá být zcela ad hoc. Proč to dokážeme? Můžeme to ospravedlnit? … V ideálním případě bychom chtěli mít seznam fyzicky věrohodných předpokladů, z nichž by bylo možné odvodit Axiom VII. Stručně řečeno, jeden by si přál seznam, ze kterého by bylo možné odvodit soubor možností pro strukturu … všechny kromě jedné z nich by mohly být v rozporu s vhodně plánovanými experimenty. [Mackey 1963: 71–72]

Od Mackeyova psaní vyrostla rozsáhlá technická literatura zkoumající variace na jeho axiomatickém rámci ve snaze dodat chybějící předpoklady. Zbytek tohoto článku představuje stručný přehled o současném stavu tohoto projektu.

3. Obecná teorie pravděpodobnosti

Spíše než doslovně Mackeyovy axiomy doslovně je budu parafrázovat v kontextu přístupu k zobecněné teorii pravděpodobnosti, protože DJ Foulis a CH Randall mají - mezi mnoha dostupnými více či méně analogickými přístupy ^[8] - výhody výhody jednoduchosti a flexibility. Odkazy na tuto sekci jsou Foulis, Greechie a Rüttimann [1992]; Foulis, Piron a Randall [1983]; Randall a Foulis [1983]; viz také Gudder [1989]; Wilce [2000b] a Wilce [2009] pro průzkumy.

3.1 Diskrétní teorie klasické pravděpodobnosti

Bude užitečné začít s přehledem klasické teorie pravděpodobnosti. Ve své nejjednodušší formulaci se klasická teorie pravděpodobnosti zabývá (diskrétní) sadou (E) vzájemně se vylučujících výsledků, jako je měření, experiment atd., As různými pravděpodobnostními váhami, které lze na nich definovat - tedy s mapováním (omega: E / rightarrow [0,1]) sčítáním 1 nad (E). ^[9]

Všimněte si, že množina (Delta (E)) všech pravděpodobnostních vah na (E) je konvexní, a to vzhledem k libovolné posloupnosti (omega_1, / omega_2, / ldots) pravděpodobnostních vah a jakékoli posloupnosti (t_1, t_2, / ldots) nezáporných reálných čísel sečtením na jedno, konvexní součet nebo „směs“(t_1 / omega_1 + t_2 / omega_2 + / ldots) (převzato bodově na (E)) je opět pravděpodobnostní váha. Extrémní body této konvexní množiny jsou přesně „bodové hmoty“(delta (x)) spojené s výstupy (x / in E):

) delta (x) (y) = 1 / textrm {if} x = y, / textrm {a} 0 / textrm {jinak.})

Tedy, (Delta (E)) je simplex: každý bod (omega / in / Delta (E)) je reprezentovatelný jedinečným způsobem jako konvexní kombinace extrémních bodů, jmenovitě:

) omega = / suma / omega (x) delta (x))

Musíme si také vybavit koncept náhodné proměnné. Pokud (E) je sada výsledků a (V), nějaká sada „hodnot“(reálná čísla, odečty ukazatelů nebo co ne), náhodná proměnná s hodnotou (V) je jednoduše mapováním (f: E / rightarrow V). Heuristika (ale je třeba ji brát jako takovou) je taková, že jeden „měří“náhodnou proměnnou (f) „prováděním“experimentu reprezentovaného (E) a po získání výsledku (x / in) E), záznam (f (x)) jako změřená hodnota. Všimněte si, že pokud (V) je množina reálných čísel nebo obecněji podmnožina vektorového prostoru, můžeme definovat očekávanou hodnotu (f) ve stavu (omega / in / Delta (E)):

[E (f, / omega) = / sum_ {x / in E} f (x) omega (x).)

3.2 Testovací prostory

Velmi přirozeným směrem zobecnění diskrétní klasické teorie pravděpodobnosti je umožnit množinu výsledných sad, z nichž každá představuje jiný „experiment“. Abychom to formalizovali, souhlasíme s tím, že testovací prostor je neprázdná sbírka A neprázdných množin (E, F, / ldots), z nichž každá je koncipována jako diskrétní sada výsledků jako v klasické teorii pravděpodobnosti. Každá sada (E / in / mathcal {A}) se nazývá test. Množina (X = / cup / mathcal {A}) všech výsledků všech testů patřících k (mathcal {A}) se nazývá výsledný prostor (mathcal {A}). Všimněte si, že povolujeme překrývání různých testů, tj. Mít společné výsledky. ^[10]

Pokud je (mathcal {A}) testovacím prostorem s výsledným prostorem (X), je stav na (mathcal {A}) mapováním (omega: X / rightarrow) [0,1] takový, že (sum_ {x / in E} omega (x) = 1) pro každý test (E / in / mathcal {A}). Stav je tedy důsledné přiřazení pravděpodobnostní váhy ke každému konzistentnímu testu v tom, že pokud dva odlišné testy sdílejí společný výsledek, stát přiřadí tomuto výsledku stejnou pravděpodobnost, zda je zajištěn jako výsledek jednoho testu nebo druhého. (To lze považovat za normativní požadavek na identifikaci výsledků implicitních ve struktuře (mathcal {A}): pokud výsledky dvou testů nejsou ve všech státech rovnocenné, neměly by být identifikovány.) sada všech stavů na (mathcal {A}) je označena (Omega (mathcal {A})). Toto je konvexní sada,ale na rozdíl od situace v diskrétní klasické teorii pravděpodobnosti to obecně není simplex.

Koncept náhodné proměnné připouští několik zobecnění k nastavení testovacích prostorů. Souhlasíme, že jednoduchá (skutečná hodnota) náhodná proměnná na testovacím prostoru (mathcal {A}) je mapování (f: E / rightarrow / mathbf {R}), kde (E) je test v (mathcal {A}). Očekávanou hodnotu (f) ve stavu (omega / in / Omega (mathcal {A})) definujeme zjevným způsobem, konkrétně jako očekávanou hodnotu (f) s respektem na pravděpodobnostní váhu získanou omezením (omega) na (E) (samozřejmě za předpokladu, že tato očekávaná hodnota existuje). Jeden může jít dále definovat obecnější třídy náhodných proměnných tím, že vezme vhodné limity (pro podrobnosti, viz Younce [1987]).

V klasické teorii pravděpodobnosti (a zejména v klasické statistice) se člověk obvykle zaměřuje nikoli na soubor všech možných vah, ale na některé z nich určené podmnožiny (např. Ty, které patří do dané rodiny distribucí). Podle pravděpodobnostního modelu mám na mysli dvojici ((mathcal {A}, / Delta)) sestávající z testovacího prostoru (mathcal {A}) a určené sady stavů (Delta / subseteq / Omega (mathcal {A})) na (mathcal {A}). Jako testovací prostor označím (mathcal {A}) a (Delta) jako stavový prostor modelu.

Nyní ukážu, jak může tento rámec pojmout jak obvyklý měrně-teoretický formalismus plně rozvinuté klasické teorie pravděpodobnosti, tak Hilbertův prostorový formalismus teorie kvantové pravděpodobnosti.

3.3 Kolmogorovianova teorie pravděpodobnosti

Nechť (S) je množina, chápaná pro tuto chvíli jako stavový prostor fyzického systému, a nechť (Sigma) je (sigma) - algebra podmnožin (S). Každý oddíl (E) z (S) můžeme považovat za početně mnoho disjunktních disjunktů (Sigma) - měřitelných podmnožin, které představují „hrubozrnnou“aproximaci představy o dokonalém experimentu, který by odhalil stav systému. Nechť (mathcal {A} _ { Sigma}) bude testovacím prostorem sestávajícím ze všech takových oddílů. Všimněte si, že sada výsledků pro (mathcal {A} _ { Sigma}) je množina (X = / Sigma / setminus { varnothing }) neprázdných (Sigma) - měřitelné podmnožiny (S). Je zřejmé, že pravděpodobnostní váhy na (mathcal {A} _ { Sigma}) přesně korespondují s počítatelně aditivními pravděpodobnostními opatřeními na (Sigma).

3.4 Kvantová teorie pravděpodobnosti

Nechť (mathbf {H}) označuje složitý Hilbertův prostor a / \ / \ mathcal {A} _ { mathbf {H}}) označuje sbírku (neuspořádaných) ortonormálních základů (mathbf {H }). Výsledný prostor (X) z (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) bude tedy jednotkovou koulí (mathbf {H}). Všimněte si, že pokud (u) je jakýkoli jednotkový vektor (mathbf {H}) a (E / in / mathcal {A} _ { mathbf {H}}) je jakýkoli ortoronální základ, máme

) sum_ {x / in E} lvert / langle u, x / rangle / rvert ^ 2 = / llvert u / rrvert ^ 2 = 1)

Každý jednotkový vektor (mathbf {H}) tedy určuje pravděpodobnostní váhu na (mathcal {A} _ { mathbf {H}}). Kvantová mechanika nás žádá, abychom to vzali doslova: jakýkoli „maximální“diskrétní kvantově-mechanický pozorovatelný je modelován ortonormálním základem a jakýmkoli čistým kvantovým mechanickým stavem, jednotkovým vektorem přesně tímto způsobem. Naopak, každá ortonormální základna a každý jednotkový vektor jsou chápány tak, že odpovídají takovému měření a takovému stavu.

Gleasonova věta může být nyní vyvolána pro identifikaci stavů na (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) s operátory hustoty na (mathbf {H}): do každého stavu (omega) v (Omega (mathcal {A} _ { mathbf {H}})) existuje jedinečný operátor hustoty (W) takový, že pro každý jednotkový vektor (x) z (mathbf {H}, / omega (x) = / langle Wx, x / rangle = Tr (WP_x), P_x) je jednorozměrná projekce spojená s (x). Naopak každý takový operátor hustoty definuje výše uvedený vzorec jedinečný stav. Teoreticky můžeme také reprezentovat jednoduché náhodné proměnné s reálnými hodnotami. Každá ohraničená jednoduchá náhodná proměnná (f) dává vznik ohraničenému samoadjunkčnímu operátorovi (A = / sum_ {x / in E} f (x) P_x). Spektrální věta nám říká, že každý samoadjunkční operátor na (mathbf {H}) lze získat přijetím vhodných limitů operátorů této formy.

4. Logika spojená s pravděpodobnostními modely

S libovolným statistickým modelem ((mathcal {A}, / Delta)) je spojeno několik částečně uspořádaných sad, z nichž každá má nějaký nárok na status „empirické logiky“spojené s modelem. V této sekci se budu zabývat dvěma: tzv. Operační logikou (Pi (mathcal {A})) a mřížkou vlastností (mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)). Za relativně benigních podmínek na (mathcal {A}) je první z nich orthoalgebra. Ten je vždy úplná mříž a za přijatelných dalších předpokladů atomový. Navíc existuje přirozený řád chránící mapování z (Pi) na (mathbf {L}). Nejedná se obecně o řádový izomorfismus, ale když je, dostaneme kompletní ortomodulární mříž, a tak se dostaneme o krok blíže k projekční mřížce Hilbertovho prostoru.

4.1 Provozní logika

Pokud je (mathcal {A}) testovacím prostorem, (mathcal {A}) -event je sada (mathcal {A}) - výstupů, které jsou obsaženy v nějakém testu. Jinými slovy, událost (mathcal {A}) - je prostě událost v klasickém smyslu pro některý z testů patřících k (mathcal {A}). Nyní, pokud (A) a (B) jsou dvě (mathcal {A}) - události, říkáme, že (A) a (B) jsou ortogonální a píšeme (A / binbot B), pokud jsou nespojité a jejich spojení je opět událostí. Říkáme, že dvě ortogonální události se vzájemně doplňují, pokud je jejich spojení testem. Říkáme, že události (A) a (B) jsou perspektivní a psáme (A / sim B), pokud sdílejí nějaký společný doplněk. (Všimněte si, že jakékoli dva testy (E) a (F) jsou perspektivní, protože oba se doplňují k prázdné události.)

4.1 Definice

Zkušební prostor (mathcal {A}) se považuje za algebraický, pokud pro všechny události (A, B, C) z (mathcal {A}), (A / sim B / binbot C) znamená (A / binbot C).

I když je možné konstruovat dokonale hodnověrné příklady testovacích prostor, které nejsou algebraické, mnoho testovacích prostorů, s nimiž se člověk setkává v přírodě, si tuto vlastnost užívá. Zejména Borelův a kvantový testovací prostor popsaný v předchozí části jsou algebraické. Důležitějším bodem je, že jako axiom je algebraicita relativně benigní v tom smyslu, že mnoho testovacích prostorů může být „dokončeno“, aby se staly algebraickými. Zejména pokud má každý výsledek pravděpodobnost větší než 1/2 v alespoň jednom stavu, pak (mathcal {A}) je obsažen v algebraickém testovacím prostoru (mathcal {B}), který má stejné výsledky a stejné stavy jako (mathcal {A}) (podrobnosti viz Gudder [1989]).

Lze ukázat ^[11], že testovací prostor (mathcal {A}) je algebraický pouze tehdy, pokud splňuje podmínku

Pro všechny události (A, B) z (mathcal {A}), pokud (A / sim B), pak jakýkoli doplněk (B) je doplňkem (A).

Z toho není těžké vidět, že pro algebraický testovací prostor (mathcal {A}) je relace (sim) perspektivnosti ekvivalenčním vztahem na sadě (mathcal { A}) - události. Více než toto, pokud (mathcal {A}) je algebraický, pak (sim) je kongruence pro částečné binární operace formování svazků ortogonálních událostí: jinými slovy pro všechny (mathcal { A}) - události (A, B) a (C, A / sim B) a (B / binbot C) znamenají, že (A / binbot C) a (A / cup C / sim B / cup C).

Nechť (Pi (mathcal {A})) je množina tříd ekvivalence (mathcal {A}) - událostí pod perspektivou, a označují třídu ekvivalence události (A) podle (p (A)); pak máme přirozenou částečnou binární operaci na (Pi (mathcal {A})) definovanou (p (A) oplus p (B) = p (A / cup B)) pro ortogonální události (A) a (B). Nastavením 0: (= p (varnothing)) a 1: (= p (E), E) libovolného člena (mathcal {A}) získáme částečnou algebraickou strukturu ((Pi (mathcal {A}), / oplus, 0,1)), nazval logiku (mathcal {A}). To splňuje následující podmínky:

1. (oplus) je asociativní a komutativní:

   • Pokud je definován (a / oplus (b / oplus c)), je ((a / oplus b) oplus c) a obě jsou stejné
   • Pokud je definován (a / oplus b), je také (b / oplus a) a oba jsou si rovni.
2. (0 / oplus a = a), pro každý (a / in / mathbf {L})
3. Pro každý (a / in / mathbf {L}) existuje jedinečný (a '\ in / mathbf {L}) s (a / oplus a' = 1)
4. (a / oplus a) existuje, pouze pokud (a = 0)

Nyní můžeme definovat:

4.2 Definice

Struktura ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)) splňující výše uvedené podmínky a) - d) se nazývá ortoalgebra.

Logika algebraického testovacího prostoru je tedy ortoalgebra. Lze naopak ukázat, že každá ortoalgebra vzniká jako logika (Pi (mathcal {A})) algebraického testovacího prostoru (mathcal {A}) (Golfin 1988). Všimněte si, že neizomorfní testovací prostory mohou mít izomorfní logiku.

4.2 Orthoherherence

Jakákoli ortoalgebra (mathbf {L}) je částečně uspořádána vztahem (a / le b) iff (b = a / oplus c) pro některé (c / binbot a). Ve vztahu k tomuto uspořádání je mapování (a / rightarrow a ') orthocomplementation a (a / binbot b) iff (a / le b'). To může být ukázáno, že (a / oplus b) je vždy minimální horní hranice pro (a) a (b), ale obecně to není nejméně horní hranice. Ve skutečnosti máme následující [odkaz]:

4.3 Lemma

Pro ortoalgebra ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)) jsou následující:

1. (a / oplus b = a / vee b), pro všechny (a, b) v (mathbf {L})
2. Pokud existují všechny (a / oplus b, b / oplus c) a (c / oplus a), potom (a / oplus b / oplus c)
3. Ortoposet ((mathbf {L}, / le, ')) je ortomodulární, tj. Pro všechny (a, b / in L), pokud (a / le b), pak ((b / wedge a ') vee a) existuje a rovná se (b).

Ortoalgebra splňující podmínku (b) se říká, že je orthocoherentní. Jinými slovy: ortoalgebra je orthocoherentní, pokud a pouze tehdy, jsou-li konečně párově součtové podmnožiny (mathbf {L}) společně sumovatelné. Lema nám říká, že každá orto-koherentní ortoalgebra je mimo jiné ortomodulární poset. Naopak ortocomplemented poset je orthomodular iff (a / oplus b = a / vee b) je definován pro všechny páry s (a / le b ') a výsledná částečná binární operace je asociativní - v tom případě výsledná structure ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)) je orthocoherentní ortoalgebra, kanonické uspořádání, na kterém souhlasí s daným uspořádáním na (mathbf {L}). Ortomodulární posety (rámec pro Mackeyovu verzi kvantové logiky) jsou tedy rovnocenné ortocoherentním ortoalgebrám.

Podmínkou související s ortoherencí, ale silnější než, je to, že jakékoli párově kompatibilní návrhy by měly být vzájemně kompatibilní. Tomu se někdy říká pravidelnost. Většina přirozeně se vyskytujících ortomodulárních mříží a pozic je pravidelná. Harding (1996, 1998) zejména ukázal, že přímé rozklady jakékoli algebraické, relační nebo topologické struktury mohou být přirozeným způsobem uspořádány do pravidelné ortomodulární posety. ^[12]

Nějakou verzi orthocoherence nebo regularity byl vzat Mackey a mnoho z jeho nástupců jako axiom. (Orthocoherence se objevuje v infinitární podobě jako Mackeyho axiom V; pravidelnost se objevuje v definici parciální Booleovské algebry v práci Kochena a Speckera (1965).) Je však docela snadné vytvořit jednoduché modelové testovací prostory, které mají dokonale jednoduché, dokonce i klasické interpretace, jejichž logika není orthocoherentní. Nikdy nebyl uveden žádný zcela přesvědčivý důvod pro to, aby byla ortoměnost považována za základní rys všech rozumných fyzikálních modelů. Navíc některé zjevně docela dobře motivované konstrukce, které chce člověk provádět s testovacími prostory, mají tendenci ničit ortoherenci (viz oddíl 7).

4.3 Mřížky vlastností

Rozhodnutí přijmout měření a jejich výsledky jako primitivní koncepty v našem popisu fyzických systémů neznamená, že se musíme vzdát mluvení o fyzikálních vlastnostech takového systému. Ve skutečnosti je taková řeč v tomto rámci snadno přizpůsobena. formalismus. ^[13]V přístupu, který jsme sledovali, je fyzický systém reprezentován pravděpodobnostním modelem ((mathcal {A}, / Delta)) a stavy systému jsou identifikovány s pravděpodobnostními váhami v (Delta). Klasicky jakákoli podmnožina (Gamma) stavového prostoru (Delta) odpovídá kategorické vlastnosti systému. Avšak v kvantové mechanice, a dokonce i klasicky, ne každá taková vlastnost bude testovatelná (nebo „fyzická“). V kvantové mechanice jsou testovatelné pouze podmnožiny stavového prostoru odpovídající uzavřeným podprostorům Hilbertova prostoru; v klasické mechanice obvykle člověk bere pouze testovatelné vlastnosti, např. Borelovy sady: rozdíl je v tom, že testovatelné vlastnosti v posledně jmenovaném případě stále vytvářejí booleovskou algebru množin, kde v prvním případě ne.

Jedním ze způsobů, jak toto rozlišení rozlišit, je následující. Podpora sady států (Gamma / subseteq / Delta) je sada

[S (Gamma) = {x / in X / mid / existuje / omega / in / Gamma / omega (x)> 0 })

výsledků, které jsou možné, když vlastnost (Gamma) získá. Existuje smysl, ve kterém jsou dvě vlastnosti empiricky nerozeznatelné, pokud mají stejnou podporu: nemůžeme rozlišit mezi nimi pomocí jediného provedení jediného testu. Mohli bychom proto chtít identifikovat fyzikální vlastnosti s třídami fyzikálně nerozeznatelných klasických vlastností nebo rovnocenně s jejich přidruženými podporami. Pokud však chceme dodržovat program reprezentace fyzických vlastností jako podmnožin (spíše než jako ekvivalenčních tříd podmnožin) státního prostoru, můžeme tak učinit následovně. Definujte mapování (F: / wp (X) rightarrow / wp (Delta)) pomocí (F (J) = { omega / in / Delta / mid S (omega) subseteq J }). Mapování (Gamma / rightarrow F (S (Gamma))) je pak operátorem uzavření na (wp (Delta)),a sbírka uzavřených sad (tj. rozsah (F)) je úplná mřížka sad uzavřených pod libovolným průnikem.^[14] Je zřejmé, že klasické vlastnosti-podmnožiny (Delta) - mají stejnou podporu, pokud mají stejné uzavření, takže můžeme identifikovat fyzikální vlastnosti s uzavřenými podmnožinami stavového prostoru:

4.4 Definice

Mřížka modelu ((mathcal {A}, / Delta)) je úplná mřížka (mathbf {L} = / mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)) všech podmnožin (Delta) formuláře (F (J), J) libovolné sady výsledků. ^[15]

Nyní máme dvě různé „logiky“spojené s entitou ((mathcal {A}, / Delta)) s (mathcal {A}) algebraickou: „logika“(Pi (mathcal { A})) experimentálních návrhů, které jsou ortoalgebrou, ale obecně ne mříží, a „logikou“(mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)) vlastností, která je kompletní mříží, ale zřídka orthocomplementované jakýmkoli přirozeným způsobem (Randall a Foulis 1983). Oba jsou spojeny přirozeným mapováním : (Pi / rightarrow / mathbf {L}), daným (p / rightarrow [p] = F (J_p)), kde pro každého (p / in / Pi), (J_p = {x / in X / mid p (x) nleq p '}). To znamená, že (J_p) je sada výstupů, které jsou konzistentní s (p), a) (p)] je největší (tj. Nejslabší) fyzikální vlastnost vytvářející (p). potvrzeno, pokud bylo testováno.

Mapování (p / rightarrow [p)] zachovává pořadí. U klasických i kvantově-mechanických modelů uvažovaných výše je to ve skutečnosti řádový izomorfismus. Kdykoli je to tak, (Pi) zdědí z (mathbf {L}) strukturu kompletní mříže, která bude automaticky orthomodularní podle Lemma 4.3. Jinými slovy, v takových případech máme pouze jednu logiku, což je úplná ortomodulární mříž. I když je jistě příliš mnoho očekávat, že bude řádem - izomorfismem jakýkoli myslitelný fyzický systém - skutečně, můžeme snadno konstruovat příklady hraček, které jsou v opačném smyslu - podmínka je ve svém smyslu přinejmenším přiměřeně průhledná.

5. Pironova věta

Předpokládejme, že logické a vlastnostní mřížky modelu jsou izomorfní, takže logika propozic / vlastností je kompletní ortomodulární mříž. Potom vyvstává otázka: jak blízko nás to přivede ke kvantové mechanice - tj. K promítací mřížce (L (mathbf {H})) Hilbertovho prostoru?

Odpověď zní: bez dalších předpokladů, ne velmi. Mřížka (L (mathbf {H})) má několik zcela zvláštních teoretických funkcí. Nejprve je to atomový prvek - každý prvek je spojením minimálních nenulových prvků (tj. Jednorozměrných podprostorů). Za druhé, je to neredukovatelné - nelze jej vyjádřit jako netriviální přímý produkt jednodušších OML. ^[16] A konečně, a co je nejdůležitější, splňuje tzv. Atomový krycí zákon: jestliže (p / in L (mathbf {H})) je atom a (p / nleq q), pak (p / vee q) pokrývá (q) (žádný prvek (L (mathbf {H})) leží přesně mezi (p / vee q) a (q))).

Tyto vlastnosti stále ještě nestačí k zachycení (L (mathbf {H})), ale dostanou nás do správného ballparku. Nechť (mathbf {V}) je jakýkoli vnitřní prostor produktu nad nesouvislým dělícím kroužkem (D). Podprostor (mathbf {M}) z (mathbf {V}) je označován jako (bot) - uzavřený iff (mathbf {M} = / mathbf {M} ^ { bot / bot}), kde (mathbf {M} ^ { bot} = {v / in / mathbf {V} mid / forall m / in / mathbf {M} (langle v, m / zvonit = 0) }). Sbírka (L (mathbf {V})) všech (bot) - uzavřených podprostorů (mathbf {V}), uspořádaná na základě setu, tvoří úplnou atomovou mříž, ortokomplementovanou mapování (mathbf {M} rightarrow / mathbf {M} ^ { bot}). Věta Amemiyi a Arakiho (1966) ukazuje, že skutečný, komplexní nebo kvaternionický vnitřní prostor produktu (mathbf {V}) s (L (mathbf {V})) ortomodular, je nutně úplný. Z tohoto důvodu,vnitřní produktový prostor (mathbf {V}) nad nesouvislým dělícím prstenem se nazývá zobecněný Hilbertův prostor, pokud je jeho mřížka (L (mathbf {V})) z (bot) - uzavřené podprostory ortomodulární. Následující věta o reprezentaci je způsobena C. Pironem [1964]:

5.1 Věta

Nechť (L) je úplná, atomová, neredukovatelná ortomodulární mříž splňující zákon o atomovém krytí. Pokud (L) obsahuje alespoň 4 ortogonální atomy, pak existuje nepřímý dělící kruh (D) a zobecněný Hilbertův prostor (mathbf {V}) přes (D), takže (L) je izomorfní k (L (mathbf {V})).

Je třeba poznamenat, že zobecněné Hilbertovy prostory byly vybudovány na poměrně exotických divizních prstencích. ^[17] Tudíž, zatímco nás to vzrušivě přibližuje, Pironova věta nás docela nepřináší až zpátky k ortodoxní kvantové mechanice.

5.1 Kondicionování a krycí zákon

Řekněme úplnou ortomodulární mřížku, která splňuje hypotézy Pironovy věty a Pironovu mříž. Můžeme uvést nějaký obecný důvod pro to, že předpokládáme, že mřížkou logiky / vlastnosti fyzického systému (pro kterou jsou izomorfní) je Pironova mříž? Nebo v opačném případě můžeme těmto předpokladům připsat alespoň jasný fyzický obsah? Atomita (L) následuje, pokud předpokládáme, že každý čistý stav představuje „fyzickou vlastnost“. To je silný předpoklad, ale jeho obsah se zdá být dostatečně jasný. Nezničitelnost je obvykle považována za benigní předpoklad, v němž lze redukovatelný systém rozložit na jeho neredukovatelné části, na které se vztahuje Pironova věta.

Krycí zákon představuje choulostivější problém. I když je pravděpodobné, že lze říci, že nebyl předložen žádný jednoduchý a zcela přesvědčivý argument pro převzetí jeho obecné platnosti, Piron [1964, 1976] a další (např. Beltrametti a Cassinelli [1981] a Guz [1978]) odvozili krytí zákon z předpokladů o způsobu, jakým výsledky měření zaručují odvození od počátečního stavu do konečného stavu. Zde je krátký náčrt toho, jak tento argument pokračuje. Předpokládejme, že existuje nějaký rozumný způsob, jak definovat pro počáteční stav (q) systému, reprezentovaného atomem mřížky logiky / vlastnosti (L), konečný stav (phi_p (q))) - buď další atom, nebo možná 0-podmíněno potvrzením výroku (p). Lze uvést různé argumenty naznačující, že jediným rozumným kandidátem pro takové mapování je projekce Sasaki (phi_p: L / rightarrow L), definovaná

(phi_p (q) = (q / vee p ') wedge p). ^[18]

Lze ukázat, že atomový OML splňuje atomový krycí zákon jen v případě, že Sasakiho projekce vezmou atomy znovu na atomy, nebo na 0. Další zajímavý pohled na krycí zákon vyvíjí Cohen a Svetlichny [1987].

6. Klasická zobrazení

Trvalá otázka při interpretaci kvantové mechaniky je otázka, zda jsou pro kvantově-mechanické jevy v zásadě dostupná klasická vysvětlení, a to i v zásadě. Kvantová logika sehrála velkou roli při utváření (a objasňování) této diskuse, zejména tím, že nám umožnila být docela přesná o tom, co máme na mysli klasickým vysvětlením.

6.1 Klasická vkládání

Předpokládejme, že dostáváme statistický model ((mathcal {A}, / Delta)). Velmi přímý přístup ke konstrukci „klasické interpretace“((mathcal {A}, / Delta)) by začal pokusem o vložení (mathcal {A}) do testovacího prostoru Borel (mathcal {B}), s nadějí, že poté budou statistické stavy v (delta) započítávány jako průměry nad „skrytými“klasickými - tj. Státy bez rozptylu. Chtěli bychom tedy najít množinu (S) a mapování (X / rightarrow / wp (S)) přiřazené každému výsledku (x) z (mathcal {A}) a nastavte (x * / subseteq S) tak, aby pro každý test (E / in / mathcal {A}, {x * / mid x / in E }) vytvořil oddíl (S). Pokud je to možné, pak každý výstup (x) z (mathcal {A}) jednoduše zaznamenává skutečnost, že systém je v jednom z určité sady stavů, konkrétně (x) *. Pokud necháme (Sigma) být (sigma) - algebra množin generovaných množinami tvaru ({x * / mid x / in X }), zjistíme, že každá míra pravděpodobnosti (mu) on (Sigma) se táhne zpět do stavu (mu) * on (mathcal {A}), konkrétně (mu * (x) = / mu (X)*). Dokud je každý stav v (delta) této podoby, můžeme tvrdit, že jsme dali úplně klasickou interpretaci modelu ((mathcal {A}, / Delta)).

Minimálním kandidátem pro (S) je množina všech stavů bez rozptylu na (mathcal {A}). Nastavení (x * = {s / in S / mid s (x) = 1 }) nám dává klasickou interpretaci, jak je uvedeno výše, kterou nazývám klasický obraz (mathcal {A}). Jakékoli jiné klasické interpretační faktory prostřednictvím tohoto. Všimněte si však, že mapování (x / rightarrow x) * je injektivní pouze tehdy, existuje-li dostatečně mnoho rozptylových států, aby bylo možné oddělit odlišné výstupy (mathcal {A}). Pokud má (mathcal {A}) vůbec stavy bez disperze, je jeho klasický obraz prázdný. Gleasonova věta nám říká, že to je případ kvantově mechanických modelů. Tento konkrétní druh klasického vysvětlení tedy není k dispozici pro kvantové mechanické modely.

Někdy je přehlíženo, že i když testovací prostor (mathcal {A}) obsahuje oddělovací sadu stavů bez rozptylu, mohou existovat statistické stavy na (mathcal {A}), které nelze realizovány jako jejich směsi. Klasický obraz pro takové stavy neposkytuje žádné vysvětlení. Pro velmi jednoduchý příklad takové věci zvažte zkušební prostor:

) mathcal {A} = { {a, x, b }, {b, y, c }, {c, z, a } })

a stav (omega (a) = / omega (b) = / omega (c) = / frac {1} {2}), (omega (x) = / omega (y) = / omega (z) = 0). Je to jednoduché cvičení, které ukazuje, že (omega) nelze vyjádřit jako vážený průměr stavů s hodnotou ({0,1 }) - (mathcal {A}). Další příklady a diskuse k tomuto bodu viz Wright 1980.

6.2 Kontextové skryté proměnné

Výsledkem předchozí diskuse je, že většina testovacích prostorů nemůže být zabudována do žádného klasického testovacího prostoru a že i když takové vložení existuje, obvykle některé stavy modelu nezodpovídají. Existuje však jedna velmi důležitá třída modelů, u nichž je vždy možná uspokojivá klasická interpretace. Zavoláme testovací prostor (mathcal {A}) semiklasický, pokud se jeho testy nepřekrývají; tj. pokud (E / cap F = / varnothing) pro (E, F / in / mathcal {A}), / \ E / ne F).

6.1 Lemma

Nechť (mathcal {A}) je semiklasický. Pak má (mathcal {A}) separační sadu stavů bez disperze a každý extrémní stav v (mathcal {A}) je bez disperze.

Dokud je (mathcal {A}) místně spočitatelný (tj. Žádný test (E) v (mathcal {A}) je nespočetný), lze každý stav reprezentovat jako konvexní kombinaci v vhodný smysl extrémních stavů (Wilce [1992]). Každý stav místně spočítatelného semiklasického zkušebního prostoru má tedy klasický výklad.

I když ani Borelovy testovací prostory ani kvantové testovací prostory nejsou semiklasické, lze tvrdit, že v jakékoli skutečné laboratorní situaci je pravidlem semiklasicita. Když si člověk v laboratorním zápisníku zapíše, že jeden provedl daný test a získal daný výsledek, má vždy záznam o tom, který test byl proveden. Ve skutečnosti, s ohledem na jakýkoli testovací prostor (mathcal {A}), můžeme vždy vytvořit poloklasický testovací prostor jednoduše vytvořením koproduktu (disjunktního spojení) testů v (mathcal {A}). Více formálně:

6.2 Definice

Pro každý test (E) v (mathcal {A}) nechť (E ^ { sim} = {(x, E) mid x / in E }). Semiklasický kryt (mathcal {A}) je testovacím prostorem

) mathcal {A} ^ { sim} = {E ^ { sim} mid E / in / mathcal {A} }.)

Můžeme považovat (mathcal {A}) za vznikající z (mathcal {A} ^ { sim}) vymazáním záznamu, který test byl proveden pro zajištění daného výsledku. Všimněte si, že každý stav v (mathcal {A}) definuje stav (omega ^ { sim}) v (mathcal {A} ^ { sim}) pomocí (omega ^ { sim} (x, E) = / omega (x)). Mapování (omega / rightarrow / omega ^ { sim}) je zjevně injektivní; můžeme tedy identifikovat stavový prostor (mathcal {A}) s podmnožinou stavového prostoru (mathcal {A} ^ { sim}). Všimněte si, že v (mathcal {A} ^ { sim}) bude obvykle mnoho stavů, které neklesnou do stavů v (mathcal {A}). Mohli bychom je chtít považovat za „nefyzické“, protože nerespektují (pravděpodobně, fyzicky motivované) identifikace výsledku, kde je definován (mathcal {A}).

Protože je semiklasický, připouští (mathcal {A} ^ { sim}) klasickou interpretaci podle Lemmy 7.1. Pojďme to prozkoumat. Prvek (S (mathcal {A} ^ { sim})) odpovídá mapování (f: / mathcal {A} ^ { sim} rightarrow X), přiřazenému každému testu (E / in / mathcal {A}), výsledek (f (E) in E). Toto je (poněkud brutální) příklad toho, co se myslí kontextovou (bez disperze) skrytou proměnnou. Výše uvedená konstrukce nám říká, že takové kontextové skryté proměnné budou obecně dostupné pro statistické modely. Další výsledky se stejným účinkem viz Kochen a Specker [1967], Gudder [1970], Holevo [1982] a jiným směrem Pitowsky [1989]. ^[19]

Všimněte si, že jednoduché náhodné proměnné na (mathcal {A}) přesně odpovídají jednoduchým náhodným proměnným na (mathcal {A} ^ { sim}), a že tyto zase odpovídají některým z jednoduché náhodné proměnné (v obvyklém slova smyslu) na měřitelném prostoru (S (mathcal {A} ^ { sim})). Máme tedy následující obrázek: Model ((mathcal {A}, / Delta)) lze vždy získat z klasického modelu jednoduše vynecháním některých náhodných proměnných a identifikováním výsledků, které již nelze těmi odlišit které zůstávají.

To vše by mohlo naznačovat, že naše obecná teorie pravděpodobnosti nepředstavuje žádný významný koncepční odklon od klasické teorie pravděpodobnosti. Na druhé straně modely konstruované podél výše uvedených linií mají výrazně ad hoc charakter. Zejména soubor „fyzických“stavů v jednom z výše uvedených klasických (nebo poloklasických) modelů není určován žádným nezávislým fyzikálním principem, ale pouze konzistencí s původním nesemiclassickým modelem. Další námitka spočívá v tom, že kontextové skryté proměnné zavedené v této části jsou těžce nelokální. V současné době je všeobecně známo, že tato lokalita je v kvantových (a obecnějších) pravděpodobnostních modelech hlavním místem neklasičnosti. (Více k tomu viz položka Bellovy věty.)

7. Kompozitní systémy

Některé z nejzáhadnějších rysů kvantové mechaniky vznikají v souvislosti se snahou popsat složené fyzikální systémy. V této souvislosti například vyvstává problém měření i nelokality zaměřený na Bellovu teorém. Je zajímavé, že spojené systémy také představují výzvu pro kvantově-logický program. Na závěr tohoto článku popisuji dva výsledky, které ukazují, že spojování kvantově-logických modelů nás vede dál od sféry kvantové mechaniky Hilberta.

7.1 Příklad Foulis-Randalla

Obzvláště pozoruhodným výsledkem v této souvislosti je pozorování Foulise a Randalla [1981a], že jakýkoli rozumný (a přiměřeně obecný) tenzorový produkt orthoalgebras nedokáže zachovat orto-koherenci. Zvažte zkušební prostor

) mathcal {A} _5 = { {a, x, b }, {b, y, c }, {c, z, d }, {d, w, e }, {e, v, a } })

skládající se z pěti třístupňových testů vložených do smyčky. Tento testovací prostor není v žádném případě patologický; je jak orto-koherentní, tak algebraický, a jeho logika je ortomodulární mříž. Navíc připouští oddělovací sadu stavů bez rozptylu, a tedy klasickou interpretaci. Může být také vložen do testovacího prostoru (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) libovolného trojrozměrného Hilbertova prostoru (mathbf {H}). Nyní zvažte, jak bychom mohli modelovat složený systém skládající se ze dvou oddělených subsystémů, z nichž každý je modelován podle (mathcal {A} _5). Potřebovali bychom zkonstruovat testovací prostor (mathcal {B}) a mapování (otimes: X / times X / rightarrow Y = / cup / mathcal {B}), které by splňovalo minimálně následující;

1. Pro všechny výstupy (x, y, z / in X), pokud (x / binbot y), pak (x / otimes z / binbot y / otimes z) a (z / otimes x / binbot z / otimes y),
2. Pro každou dvojici států (alfa, / beta / in / Omega (mathcal {A} _5)) existuje alespoň jeden stav (omega) na (mathcal {B}) takový že (omega (x / otimes y) = / alfa (x) beta (y)), pro všechny výstupy (x, y / in X).

Foulis a Randall ukazují, že takové vložení neexistuje, pro které je (mathcal {B}) orthocoherentní. Předpokládejme, že máme testovací prostor (mathcal {B}) a vložení splňující podmínky (a) a (b). Zvažte sadu výsledků

[S = {a / otimes b, b / otimes e, c / otimes c, d / otimes a, e / otimes d }.)

Podle (a) je tato množina párově ortogonální. Nyní nechme (alfa) stát na (mathcal {A} _5), přičemž vezme hodnotu 1/2 na výstupech (a, b, c, d) a (e) a hodnota 0 na (x, y, z, w) a (v). Podle podmínky (b) existuje na (mathcal {B}) stav (omega) takový, že

) omega (s / otimes t) = / alfa (s) alfa (t))

pro všechny výstupy (s, t) v (X). Ale tento stav vezme konstantní hodnotu 1/4 na množině (S), odkud součet přes tuto sadu na (5/4 / gt 1). Proto (S) není událost a (mathcal {B}) není orthocoherentní.

Zde je důležité zdůraznit, že testovací prostor (mathcal {A} _5) má dokonale bezproblémovou kvantově-mechanickou interpretaci, protože může být realizován jako množina ortonormálních bází v trojrozměrném Hilbertově prostoru (mathbf {H}). Stát (omega) v příkladu Foulis-Randalle však nemůže kvantově mechanicky (mnohem méně klasicky) vzniknout. (Ve skutečnosti to vyplývá ze samotného příkladu: kanonické mapování (mathbf {H} times / mathbf {H} rightarrow / mathbf {H} otimes / mathbf {H}) poskytuje mapování splňující podmínky (a) ab) výše. Vzhledem k tomu, že (mathbf {L} (mathbf {H} otimes / mathbf {H})) je orthocoherentní, množina S odpovídá párově ortogonální rodině projekcí, přes které kvantově-mechanický stav by nemusel činit součet ne více než 1.)

7.2 Aertsova věta

Dalším výsledkem, který má poněkud podobnou sílu, je výsledek Aertsa [1981]. Pokud (L_1) a (L_2) jsou dvě Pironovy mříže, Aerts konstruuje docela přirozeným způsobem mřížku (L) představující dva oddělené systémy, každý modelovaný jednou z daných mříží. Zde „oddělený“znamená, že každý čistý stav většího systému (L) je zcela určen stavy dvou komponentních systémů (L_1) a (L_2). Aerts pak ukáže, že (L) je opět Pironova mříž, pokud je alespoň jeden ze dvou faktorů (L_1) a (L_2) klasický. (Tento výsledek byl nedávno Ischi [2000] posílen několika způsoby.)

7.3 Rozvětvení

Těžištěm těchto neúčinných výsledků je to, že přímé konstrukce věrohodných modelů pro složené systémy ničí podmínky pravidelnosti (orto-koherence v případě Foulis-Randallova výsledku, ortomodularita a krycí zákon v důsledku výsledku Aerts), které mají široce byly použity k upisování rekonstrukcí obvyklého kvantově-mechanického formalismu. To zpochybňuje, zda lze některou z těchto podmínek považovat za univerzálnost, o kterou žádá nejoptimističtější verze programu Mackeyho. To samozřejmě nevylučuje možnost, že tyto podmínky mohou být ještě motivovány v případě zvláště jednoduchých fyzických systémů.

V některých čtvrtletích byla skutečnost, že nejtradičnějším modelům kvantové logiky postrádá rozumný tenzorový produkt, považována za předzvěst kolaps celého kvantově logického podniku. Tato reakce je předčasná. Například Foulis-Randall ukazuje, že nemůže existovat žádný obecný tenzorový produkt, který by se choval správně na všech ortomodulárních mřížích nebo ortomodulárních pozetách (tj. Orthocoherentních ortoalgebrách) a na všech jejich stavech. To nevylučuje existenci uspokojivého tenzorového produktu pro třídy struktur větších než u ortomodularních posetů, nebo menších než u ortomodulárních mříží, nebo pro třídy ortomodulárních mříží nebo pozitivů s omezenými stavovými prostory. A skutečně, jak ukázali Foulis a Randall ve Foulis a Randall [1981a], třída unitalních orthoalgebras - to znamená,orthoalgebry, ve kterých má každý výrok pravděpodobnost 1, v některých státech podporuje kanonický tenzorový produkt, který splňuje jejich podmínky (a) a (b).

Když se pohybujeme opačným směrem, můžeme to považovat za axiomatický požadavek, aby uspokojivá fyzikální teorie byla uzavřena pod nějakým rozumným zařízením pro spojování oddělených systémů. To naznačuje, že za pozornost je třeba považovat třídy systémů, tj. Fyzikální teorie, odlišné od jednotlivých systémů. A ve skutečnosti je to přesně ten trend v mnoha současných pracích na základech kvantové mechaniky.

Obzvláště plodný přístup tohoto druhu způsobuje Abramsky a Coecke [2009], kdy fyzikální teorii reprezentuje symetrická monoidální kategorie - zhruba kategorie vybavená přirozeně symetrickým a asociativním tenzorovým produktem. S výhradou některých dalších omezení (např. Kompaktní uzávěr) vykazují takové kategorie formální vlastnosti nápadně připomínající kvantovou mechaniku. Je zajímavé, že nedávno Harding [2009] ukázal, že ve všech silně kompaktních uzavřených kategoriích s biprodukty je každý objekt spojen s ortomodulačním posetem Proj ((A)) „slabých projekcí“a že Proj ((A / otimes B)) se chová v mnoha ohledech jako rozumný tenzorový produkt pro Proj ((A)) a Proj ((B)).

Tento nedávný důraz na systémy v interakci je součástí obecnějšího posunu pozornosti od statické struktury stavů a pozorovatelných a směrem k procesům, kterých se mohou fyzické systémy účastnit. Tento trend je patrný nejen v kategorii teoretické formulace Abramského a Coeckeho (viz také Coecke [2011]), ale také v několika nedávných axiomatických zpracováních kvantové teorie. Například Chiribella-D'Ariano-Perinotti ([2011]) a Rau ([2011]), pracující v zobecněném pravděpodobnostním rámci, využívají postuláty týkající se měření k dynamice. V jiném směru obohacují Baltag a Smets ([2005]) Pironovský mřížkový teoretický rámec s explicitně dynamickým prvkem a dospívají k kvantovému analogu výrokové dynamické logiky.

Bibliografie

• Abramsky, Samson a Bob Coecke, 2009, „Kategorická kvantová mechanika“, v Engesser, Gabbay a Lehmann 2009: 261–323. doi: 10,016 / B978-0-444-52869-8,50010-4
• Aerts, Diederik, 1981, Jeden a mnoho: Směrem ke sjednocení kvantového a klasického popisu jedné a mnoha fyzických entit, Ph. D. Diplomová práce, Svobodná univerzita v Bruselu.
• Amemiya, Ichiro a Huzihiro Aaraki, 1966, „Remark on Piron's Paper“, Publikace Výzkumného ústavu pro matematické vědy (řada A), 2 (3): 423–427. doi: 10,2977 / prims / 1195195769
• Baez, John, 2006, „Kvantové kvandary: kategorie-teoretická perspektiva“, ve Steven French, Dean Rickles a Juha Saatsi (eds), Strukturální základy kvantové gravitace, Oxford: Oxford University Press, 240-265. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199269693,003.0008.
• Bacciagaluppi, Guido, 2009, „Je logická empirie?“v Engesser, Gabbay a Lehmann 2009: 49–78. doi: 10,016 / B978-0-444-52869-8,50006-2
• Baltag, A. a S. Smets, 2005, „Kompletní axiomatizace pro kvantové akce“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 44 (12): 2267–2282. doi: 10,1007 / s10773-005-8022-2
• Beltrametti, Enrico G. a Gianni Cassinelli, 1981, Logika kvantové mechaniky (Encyklopedie matematiky a jejích aplikací, svazek 15), Reading, MA: Addison-Wesley.
• Birkhoff, Garrett, 1967, Teorie mříže, Providence: American Mathematical Society.
• Birkhoff, Garrett a John von Neumann, 1936, „Logika kvantové mechaniky“, Annals of Mathematics, 37 (4): 823–843. doi: 10,2307 / 1968621
• Chiribella, Giulio, Giacomo Mauro D'Ariano a Paolo Perinotti, 2011, „Informační derivace kvantové teorie“, Fyzický přehled A, 84 (1): 012311. doi: 10.1103 / PhysRevA.84.012311
• Clifton, Rob a Adrian Kent, 2000, „Simulace kvantové mechaniky pomocí nekontextových skrytých proměnných“, sborník královské společnosti A, 456: 2101–2114. doi: 10,1098 / rspa 2000 000604
• Coecke, Bob, 2011, „Vesmír procesů a některých jeho tvarů“, v Hans Halvorson (ed.), Deep Beauty: Porozumění kvantovému světu prostřednictvím matematických inovací, Cambridge: Cambridge University Press, str. 129–186.
• Cohen, David W. a George Svetlichny, 1987, „Minimální podpory v kvantové logice“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 26 (5): 435–450. doi: 10,1007 / BF00668776
• Cooke, Roger M. a J. Hilgevoord, 1981, „Nový přístup k ekvivalenci v kvantové logice“, v Enrico G. Beltrammetti a Bas C. van Fraassen (eds.) Aktuální čísla v Quantum Logic, New York: Plenum, pp 101–113. doi: 10,1007 / 978-1-4613-3228-2_7
• Davey, BA a HA Priestley, 1990, Úvod do mříží a řádů, Cambridge: Cambridge University Press.
• Engesser, Kurt, Dov M. Gabbay a Daniel Lehmann (eds), 2009, Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures, Amsterdam: North-Holland.
• Fine, Arthur, 1973, „Pravděpodobnost a interpretace kvantové mechaniky“, British Journal for the Philosophy of Science, 24 (1): 1-37. doi: 10,1093 / bjps / 24.1.1
• Foulis, DJ, R. Greechie a GT Rüttimann, 1992, „Filtry a podpory v orthoalgebrách“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 31 (5): 789–807. doi: 10,1007 / BF00678545
• Foulis, DJ, C. Piron a CH Randall, 1983, „Realismus, operacionismus a kvantová mechanika“, základy fyziky, 13 (8): 813–841. doi: 10,1007 / BF01906271
• Foulis, DJ a CH Randall, 1981a, „Empirical Logic and Tensor Products“, Holger Neumann (ed), Interpretace a základy kvantové mechaniky: Sborník z konference [sic] v Marburgu, 28. – 30. Května 1979 (Grundlagen der exakten Naturwissenschaften, svazek 5), Mannheim: Wissenchaftsverlag, str. 9–20.
• –––, 1981b, „Co jsou to kvantová logika a co by měli být?“, V Enrico G. Beltrametti a Bas C. van Fraassen (eds), Aktuální čísla v kvantové logice, New York: Plenum, s. 35– 52. doi: 10,1007 / 978-1-4613-3228-2_3
• –––, 1984, „Stochastic Entities“v P. Mittelstaedt a E. Stachow (eds.), Poslední vývoj v kvantové logice, Mannheim: BI Wissenschaft.
• Gleason, Andrew M., 1957, „Opatření v uzavřených prostorech Hilbertova prostoru“, Journal of Mathematics and Mechanics, 6 (6): 885–893.
• Grätzer, George, 1998, General Lattice Theory, Basel: Birkhäuser Verlag (2. vydání).
• Golfin, Andrew S., Jr., 1988, Reprezentace úplných mříží, Ph. D. Dissertation, University of Massachusetts, Amherst.
• Gudder, Stanley P., 1970, „O skrytých proměnných teoriích“, Journal of Mathematical Physics, 11 (2): 431–436. doi: 10,1063 / 1,1665156
• –––, 1989, kvantová teorie pravděpodobnosti, San Diego: Academic Press.
• Guz, Wawrzyniec}, 1978, „Teorie filtrů a krycí právo“, Annales de l'Institut Henri Poincaré. Sekce A, Physique Théorique, 29 (4): 357–378. [Guz 1978 k dispozici online]
• Harding, John, 1996, „Decompositions in Quantum Logic“, Transactions of American Mathematical Society, 348 (5): 1839–1862. doi: 10,1090 / S0002-9947-96-01548-6
• –––, 1998, „Pravidelnost v kvantové logice“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 37 (4): 1173–1212. doi: 10,1263 / A: 1026665818335
• –––, 2009, „Spojení mezi kvantovou logikou a kategorickou kvantovou mechanikou“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 48 (3): 769–802. doi: 10,1007 / s10773-008-9853-4
• Holevo, Alexander S., 1982, Pravděpodobnostní a statistické aspekty kvantové teorie, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Holland, Samuel S. Jr., 1995, „Kvantová mechanika v Hilbertově prostoru: Výsledek MP Solera“, Bulletin American Mathematical Society, 32 (2): 205–232. doi: 10,1090 / S0273-0979-1995-00593-8
• Ischi, Boris, 2000, „Endomorfismy separovaného produktu mříží“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 39 (11): 2559–2581. doi: 10,1263 / A: 1026405608135
• Jauch, JM a C. Piron, 1969, „O struktuře kvantových výrokových systémů“, Helvetica Physica Acta, 42 (6): 842–848. doi: 10,5169 / seals-114098
• Kalmbach, Gudrun, 1983, Orthomodular Lattices, London: Academic Press.
• Kläy, Matthias P., 1988, „Experimenty s Einsteinem-Podolským-Rosenem: Struktura vzorkového prostoru I, IIç“, Základy fyzikálních dopisů, 1 (3): 205–244. doi: 10,1007 / BF00690066
• Kochen, Simon a EP Specker, 1965, „Logické struktury vznikající v kvantové teorii“, sympozium o teorii modelů: sborník z mezinárodního sympozia z roku 1963 [o teorii modelů, konané] v Berkeley, [od 25. června do 11. července] 1963], JW Addison, Leon Henkin a Alfred Tarski (eds), Amsterdam: North-Holland, str. 177–189.
• –––, 1967, „Problém skrytých proměnných v kvantové mechanice“, Journal of Mathematics and Mechanics, 17: 59–87.
• Ludwig, Günther, 1983, základy kvantové mechaniky I, New York: Springer-Verlag.
• Mackey, George W., 1957, „Quantum Mechanics and Hilbert Space“, The American Mathematical Monthly, 64 (8): 45–57. doi: 10,2307 / 2308516
• –––, 1963, Matematické základy kvantové mechaniky: Svazek přednášek, New York: WA Benjamin.
• Maudlin, Tim, 2005, „Příběh kvantové logiky“, v Yemima Ben-Menahem (ed.), Hilary Putnam, Cambridge: Cambridge University Press, s. 156–187. doi: 10,017 / CBO9780511614187,006
• Meyer, David A., 1999, „Měření konečných přesností anuluje Kochen-Speckerovu teorém“, Physical Review Letters, 83 (19): 3751–54. doi: 10,1103 / PhysRevLett.83.3751
• Piron, C., 1964, „Axiomatique Quantique“, Helvetica Physica Acta, 37 (4–5): 439–468. doi: 10,5169 / seals-113494
• –––, 1976, základy kvantové fyziky, čtení, MA: WA Benjamin.
• Pitowsky, Itamar, 1989, Kvantová pravděpodobnost-Kvantová logika (Přednášky z fyziky, svazek 321), Berlín: Springer-Verlag.
• ––– 2006, „Kvantová mechanika jako teorie pravděpodobnosti“, v William Demopoulos a Itamar Pitowsky (ed.) Fyzikální teorie a její interpretace: Eseje na počest Jeffrey Bub, Dordrecht: Springer, s. 213–240. doi: 10,1007 / 1-4020-4876-9_10
• Putnam, Hilary, 1968, „Je logická empirie?“v R. Cohen a MP Wartofski (eds.), Boston Studies in the Philosophy of Science (svazek 5), Dordrecht: D. Reidel; dotisknut jako „Logika kvantové mechaniky“v Hilary Putnam, Mathematics, Matter and Method, Cambridge University Press, 1976, druhé vydání 1979, s. 174–197. doi: 10,017 / CBO9780511625268.012
• Rau, Jochen, 2011, „Kvantové základy založené na měření“, Základy fyziky, 41 (3): 380. doi: 10,1007 / s10701-010-9427-1
• Randall, CH a DJ Foulis, 1983, „Vlastnosti a operační návrhy v kvantové mechanice“, Základy fyziky, 13 (8): 843–863. doi: 10,1007 / BF01906272
• Randall, CH a DJ Foulis, 1985, „Stochastic Entities“, v nedávném vývoji v Quantum Logic, P. Mittelstaedt a E. Stachow (eds.), Mannheim: Bibliographisches Institut, pp. 265–284.
• Selinger, Peter, 2007, „Dagger kompaktní uzavřené kategorie a zcela pozitivní mapy“(Extended Abstract), sborník z 3. mezinárodního semináře o kvantových programovacích jazycích (QPL 2005), Chicago. Elektronické poznámky v teoretické informatice, 170: 139–163. doi: 10,016 / j.entcs.2006.12.018
• van Fraassen, Bas C., 1992, Quantum Mechanics: Empiricist View, Oxford: Oxford University Press.
• von Neumann, John, 1932, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Berlín: Springer-Verlag; Český překlad: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton University Press, 1955.
• Wilce, Alexander, 1992, „Tensor Products in Generalized Measure Theory“, International Journal of Theoretical Physics, 31 (11): 1915–1928. doi: 10,1007 / BF00671964
• –––, 2000a, „Zobecněné projekce Sasakiho“, Mezinárodní žurnál teoretické fyziky, 39: 969–974. doi: 10,1263 / A: 1003607820078
• –––, 2000b, „Zkušební prostory a ortoalgebry“, v Bob Coecke, David Moore a Alexander Wilce (eds), Aktuální výzkum v operační kvantové logice, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 81–114. doi: 10,1007 / 978-94-017-1201-9_4
• –––, 2009, „Testovací prostory“, Engesser, Gabbay a Lehmann 2009: 443–549. doi: 10,016 / B978-0-444-52869-8,50014-1
• Wright, Ron, 1980, „Stav pětiúhelníku: neklasický příklad“, v AR Marlowe (ed.), Matematické základy kvantové fyziky, New York: Academic Press, str. 255–274. doi: 10,016 / B978-0-12-473250-6,50015-7
• Varadarajan, Veeravalli Sesshadri, 1985, Geometry of Quantum Mechanics, New York: Springer-Verlag. doi: 10,1007 / 978-0-387-49386-2
• Younce, Matthew B., 1987, Náhodné proměnné na booleovských strukturách, Ph. D. Disertační práce, katedra matematiky, University of Massachusetts / Amherst.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Cabello, Adan, 2012, „Speckerův základní princip kvantové mechaniky“, nepublikovaný papír, arXiv: 1212.1756
• Henson, Joe, 2012, „Kvantová souvislost z jednoduchého principu?“, Nepublikovaný rukopis, arXiv: 1210.5978