Zápis V Principia Mathematica

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Zápis v Principia Mathematica

První publikováno Čt 19. srpna 2004; věcná revize ne 17. července 2016

Principia Mathematica [PM] autorů AN Whitehead a Bertrand Russell, publikovaných v letech 1910–1913 ve třech svazcích nakladatelstvím Cambridge University Press, obsahuje odvození velkých částí matematiky pomocí pojmů a principů symbolické logiky. Zápis v této práci byl nahrazen následným vývojem logiky během 20. ^letstoletí, do té míry, že začátečník má potíže se čtením PM vůbec. Tento článek představuje úvod do symboliky PM a ukazuje, jak lze tuto symboliku převést do modernější notace, která by měla být známa každému, kdo absolvoval první kurz symbolické logiky. Tento překlad je nabízen jako pomůcka při učení původního zápisu, který je sám předmětem vědeckého sporu, a ztělesňuje podstatné logické doktríny, takže jej nelze jednoduše nahradit současnou symbolikou. Učení notace je tedy prvním krokem k naučení výrazných logických doktrín Principia Mathematica.

• 1. Proč se učit symboliku v Principia Mathematica?
• 2. Primitivní symboly

• 3. Použití teček pro interpunkci

  • 3.1 Některé základní příklady
  • 3.2 Síla spojiv
  • 3.3 Další příklady
• 4. Prozatímní funkce

• 5. Chybějící notace pro typy a objednávky

  • 5.1 Jednoduché typy
  • 5.2 Rozvětvené typy
• 6. Proměnné
• 7. Predikativní funkce a identita
• 8. Jednoznačné popisy
• 9. Třídy
• 10. Prolegomena na kardinální aritmetiku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Proč se učit symboliku v Principia Mathematica?

Principia Mathematica [PM] byla napsána společně Alfredem North Whiteheadem a Bertrandem Russellem po několik let a publikována ve třech svazcích, které se objevily mezi lety 1910 a 1913. Představuje systém symbolické logiky a poté se obrací k základům matematiky, aby provedla logický projekt definování matematických pojmů z hlediska logických pojmů a prokázání základních axiomů matematiky jako vět o logice. Přestože je práce na vývoji logiky, filosofie matematiky a obecněji „rané analytické filosofie“nesmírně důležitá, práce pro tato témata již není studována. V důsledku toho se samotná notace práce stala pro současné studenty logiky cizí, což se stalo bariérou studia Principia Mathematica.

Účelem tohoto příspěvku je pomoci studentovi PM při čtení symbolické části díla. Následuje částečný překlad symboliky do modernější notace, která by měla být známa z jiných článků v této encyklopedii a která je v současných učebnicích symbolické logiky zcela standardní. Není dodáván žádný úplný algoritmus, spíše různé návrhy mají pomoci čtenáři naučit se symboliku PM. Mnoho otázek interpretace by bylo předjímáno pouze pomocí současného zápisu a mnoho podrobností, které jsou pro PM jedinečné, závisí na tomto zápisu. Níže bude vidět, s některými z více sporných aspektů zápisu, že doktríny podstaty jsou zabudovány do zápisu PM. Nahrazení notace modernějším symbolismem by drasticky změnilo samotný obsah knihy.

2. Primitivní symboly

Níže čtenář najde v pořadí, v jakém jsou uvedeny v PM, následující symboly, které jsou stručně popsány. Podrobnější informace jsou uvedeny v následujícím textu:

∗	vyslovená „hvězda“; označuje číslo nebo kapitolu jako v ∗ 1 nebo ∗ 20.
·	středová tečka (stará britská desetinná tečka); označuje číslovanou větu v pořadí podle první číslice (všechny 0 předcházející všechny 1s atd.), potom druhé číslice atd. První definice a výroky ∗ 1 ilustrují toto „lexikografické“uspořádání: 1, 01, 1, 1, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 6, 1,7 1,71, 1,72.
(vdash)	znak tvrzení; označuje tvrzení, buď axiom (tj. primitivní tvrzení, které je také anotováno „(Pp)“) nebo věta.
(Df)	znak definice; následuje definici.
(.), \(:), \(:.), \(::), atd.	jsou tečky používané k vymezení interpunkce; v současné logice používáme (), , ({ }) atd.
(p, q, r) atd.	jsou výrokové proměnné.
(lor), (supset), (osim), (equiv), (sdot)	jsou známá spojovací spojení odpovídající „nebo“, „pokud-pak“, „ne“, „pokud a pouze tehdy“a „a“. [Ve druhém vydání PM, 1925–27, je Shefferův tah „(mid)“jedním primitivním spojivem. Znamená to „ne… a _“.]
(x, y, z) atd.	jsou jednotlivé proměnné, které je třeba číst s „typickou nejednoznačností“, tj. s vyplněním jejich logických typů (viz níže).
(a, b, c) atd.	jsou individuální konstanty a představují jednotlivce (nejnižšího typu). Vyskytují se pouze v úvodu k PM, nikoli v oficiálním systému.
(xRy, aRb, R (x)) atd.	jsou atomové predikace, ve kterých objekty pojmenované proměnnými nebo konstanty stojí ve vztahu (R) nebo mají vlastnost (R). Vyskytují se pouze v úvodu. „(A)“a „(b)“se vyskytují jako konstanty pouze ve druhém vydání. Predikce (R (x), R (x, y)) atd. Se používají pouze ve druhém vydání.
(phi), (psi), (chi) atd. a (f, g) atd.	jsou proměnné, které sahají přes výrokové funkce, bez ohledu na to, zda jsou tyto funkce jednoduché nebo složité.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)) atd.	otevřené atomové vzorce, ve kterých jsou zdarma „(x)“i „(phi)“. [Alternativní interpretace je zobrazit “(phi x)” jako schematické písmeno představující vzorec, ve kterém je proměnná “(x)” volná.]
(hat { phantom {x}})	circumflex; když umístíte nad proměnnou v otevřeném vzorci (jako v „(phi / hat {x})“), výsledkem bude výraz pro funkci. [Tato záležitost je kontroverzní. Viz Landini 1998.] Když ohraničená proměnná předchází složité proměnné, výsledek označuje třídu, jako v (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) atd.	Podmínky pro výrokové funkce. Zde jsou příklady takových termínů, které jsou konstanty: "(hat {x}) je šťastný", "(hat {x}) je plešatý a (hat {x}) je šťastný", "(4 / lt / hat {x} lt 6)" atd. Pokud například použijeme, funkce "(hat {x}) je holohlavá a (hat {x}) je šťastný “pro konkrétní osobu (b), výsledkem je výrok„ (b) je plešatý a (b) je šťastný “.
(existuje) a ()	jsou kvantifikátory „existuje“a „pro všechny“(„každý“). Například kde (phi x) je jednoduchý nebo složitý otevřený vzorec, ((existuje x) phi x) tvrdí "Existuje (x) takový, že (phi x)" ((existuje / phi) phi x) tvrdí "Existuje výroková funkce (phi) taková, že (phi x)" ((x) phi x) tvrdí "Každý (x) je takový, že (phi x)" ((phi) phi x) tvrdí "Každá výroková funkce (phi) je taková, že (phi x)" [Tyto byly použity Peanem. Více nedávno, (forall) byl přidán pro symetrii s (existuje). Někteří učenci vidí kvantifikátory ((phi)) a ((existuje / phi)) jako substituční.]
(phi x / supset_x / psi x) (phi x / equiv_x / psi x)	Toto je notace, která se používá ke zkrácení univerzálně kvantifikovaných proměnných. V moderním zápisu, tito se stanou (forall x (phi x / supset / psi x)) a (forall x (phi x / equiv / psi x)), příslušně. Viz definice tohoto zápisu na konci oddílu 3.2 níže.
(bang)	vyslovený „výkřik“; označuje, že funkce je prediktivní, jako v (phi / bang x) nebo (phi / bang / hat {x}). Viz oddíl 7.
=	identifikační symbol; vyjadřuje identitu, což je definovaný pojem v PM, není primitivní jako v současné logice.
(atoi)	číst jako „the“; je operátor převrácené ioty nebo popisu a používá se ve výrazech pro určité popisy, jako je ((atoi x) phi x) (čte se: (x) tak, že (phi x)).
) ((atoi x) phi x)]	přesný popis v závorkách; toto je ukazatel rozsahu pro konkrétní popisy.
(E / bang)	je definováno v ∗ 14 · 02, v kontextu (E / bang (atoi x) phi x), což znamená, že popis ((atoi x) phi x) je správný, tj. je přesně jeden (phi).
(existuje / bang)	je definováno v ∗ 24 · 03, v kontextu (existuje / bang / alfa), což znamená, že třída (alfa) je neprázdná, tj. má člena.

3. Použití teček pro interpunkci

Bezprostřední překážkou čtení PM je neznámé použití teček pro interpunkci, místo běžnějších závorek a závorek. Systém je přesný a lze jej naučit jen s malou praxí. Použití teček pro interpunkci není pro PM jedinečné. Pocházel z Peano, později byl použit v dílech Alonzo Church, WVO Quine a dalších, ale nyní z velké části zmizel. (Použití teček nějakého historického zájmu, jak Alan Turing provedl studii o použití teček z výpočetního hlediska v roce 1942, pravděpodobně ve svém volném čase po celodenní práci v Bletchley Parku porušující kódy stroje Enigma.) Nejlepší způsob, jak se naučit používat, je podívat se na několik vzorků, které jsou přeloženy do vzorců pomocí závorek, a získat tak pro to pocit. Následuje vysvětlení uvedené v PM, strany 9–10,následuje několik příkladů, které ilustrují každé z jeho ustanovení:

Použití teček. Tečky na řádku symbolů mají dvě použití, jedno k vyřazení propozic, druhé k označení logického produktu dvou propozic. Tečky, kterým bezprostředně předchází nebo za nimi následuje „(lor)“nebo „(supset)“nebo „(equiv)“nebo „(vdash)“nebo „((x)) "," ((X, y)) "," ((x, y, z)) "… nebo" ((existuje x)) "," ((existuje x), y)) "," ((existuje x, y, z)) "… nebo" ([(atoi x) (phi x)]) "nebo" ([R'y]) “Nebo analogické výrazy, slouží k omezení nabídky; tečky vyskytující se jinak slouží k označení logického produktu. Obecným principem je, že větší počet teček označuje vnější závorku, menší počet označuje vnitřní závorku. Přesné pravidlo týkající se rozsahu závorky označené tečkami je dosaženo rozdělením výskytu teček do tří skupin, které budeme jmenovat I, II a III. Skupina I se skládá z teček sousedících se znakem implikace ((supset)) nebo ekvivalencí ((equiv)) nebo disjunkcí (lor)) nebo rovnosti podle definice (= = Df)). Skupina II se skládá z teček následujících závorek označujících zjevnou proměnnou, například ((x)) nebo ((x, y)) nebo ((existuje x)) nebo ((existuje x, y)) nebo ([(atoi x) (phi x)]) nebo analogickými výrazy. Skupina III se skládá z teček, které stojí mezi návrhy za účelem označení logického produktu. Skupina I má větší sílu než skupina II a skupina II než skupina III. Rozsah závorky označený jakoukoli sbírkou teček sahá dozadu nebo dopředu za jakýkoli menší počet teček nebo stejné číslo ze skupiny menší síly,dokud nedosáhneme konce tvrdeného výroku nebo většího počtu teček nebo stejného počtu náležejícího do skupiny se stejnou nebo vyšší silou. Tečky označující logický produkt mají rozsah, který funguje jak vzad, tak vpřed; jiné tečky fungují pouze od sousedního příznaku disjunkce, implikace nebo rovnocennosti, nebo dopředu od sousedního symbolu jednoho z ostatních druhů vyjmenovaných ve skupině II. Některé příklady slouží k ilustraci použití teček. (PM, 9–10)

3.1 Některé základní příklady

Zvažte následující řadu rozšířených příkladů, ve kterých zkoumáme návrhy v PM a poté diskutujeme, jak je postupně převést do moderního zápisu. (Symboly dole jsou někdy používány jako jména pro sebe, tak vyhnout se některým jinak potřebným uvozovkám. Russell je často obviněn z matoucího použití a zmínit se, tak tam může být nějaké nebezpečí v této praxi.)

Příklad 1

) tag * {∗ 1 · 2} { vdash} dvojtečka p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

Toto je druhé tvrzení „hvězdy“1. Ve skutečnosti je to axiom nebo „primitivní tvrzení“, jak je označeno '(Pp)'. To, že se jedná o tvrzení (axiom nebo věta), a nikoliv o definici, je označeno použitím „(vdash)“. (Naproti tomu definice by vynechala znak tvrzení, ale uzavřela by znaménko „(Df)“.) Prvním krokem v procesu převádění ∗ 1,2 do moderní notace je poznamenat dvojtečku. Připomeňme si z výše citovaného textu, že „větší počet teček označuje vnější závorku, menší počet označuje vnitřní závorku“. Dvojtečka zde (která se skládá z většího počtu teček než jednotlivých teček na řádku v ∗ 1,2) tedy představuje vnější závorku. Prvním krokem je tedy přeložit ∗ 1,2 na:

) vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Závorky „[“a „]“tedy představují dvojtečku v ∗ 1,2. Rozsah dvojtečky se tak prodlužuje za jakýkoli menší počet teček (tj. Jednu tečku) až na konec vzorce. Protože vzorce se čtou zleva doprava, výraz „minulost“znamená „vpravo“.

Dále jsou tečky kolem "(supset)" reprezentovány v moderním zápisu v závorkách kolem předchůdce a následku. Připomeňme si, ve výše uvedené pasáži najdeme „… tečky fungují jen od sousedního příznaku disjunkce, implikace nebo ekvivalence…“. Proto dalším krokem v procesu překladu je přechod do vzorce:) vdash [(p / lor p) supset (p)])

Konečně, standardní moderní konvence nám umožňují odstranit vnější závorky a závorky kolem jednotlivých písmen, což vede k:

) vdash (p / lor p) supset p)

Náš další příklad zahrnuje konjunkci, která je indikována jednoduchým umístěním atomových vět, nebo tečkou, když by mohla být uvažována substituční instance, jako v definici konjunkce v následujícím:

Příklad 2

) tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Zde máme případ, kdy se vyskytují tečky, označují jak „logický produkt“(tj. Spojku), tak ohraničující závorky. Jako první krok při převodu ∗ 3 · 01 do moderní notace nahradíme první tečku ampersandem (a jeho oddělovače odpovídajících rozsahů) a nahradíme “(ldot {=} ldot)” za “(= _ {df})”, čímž získáte:

[(p / amp q) = _ {df}) osim (osim p / lor / osim q)])

Výše uvedený krok jasně ukazuje, jak „tečka označující logický produkt má rozsah, který funguje jak vzad, tak vpřed“. Všimněte si, že první tečka v · 3 · 01, tj. Mezi (p) a (q), je opravdu volitelná, vzhledem k výše uvedené nabídce od PM. Protože však někdy můžeme chtít nahradit celé vzorce za (p) a (q), tečka označuje rozsah substituovaných vzorců. Mohli bychom tedy mít jako substituční instanci: (r / lor s / sdot q / supset s) (v notaci PM) nebo ((r / lor s) amp (q / supset s)) (v současných symbolech).

Naše moderní konvence nám konečně umožňují eliminovat vnější závorky z definice a závorky „[“a „]“z definic, čímž se získá:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Všimněte si, že rozsah negativního znaku „(osim)“v ∗ 3 · 01 není označen tečkami, a to ani v systému PM, ale spíše vyžaduje závorky.

Příklad 3

) tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (existuje x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Použijeme-li pravidlo „tečky fungují pouze od sousedního příznaku disjunkce, implikace nebo ekvivalence, nebo kupředu od sousedního symbolu jednoho z dalších druhů vyjmenovaných ve skupině II“(kde skupina II obsahuje „((existuje) x))”), pak by moderní ekvivalent byl:) osim (x) phi x = _ {df} (existuje x) osim / phi x) nebo) osim / forall x / phi x = _ {df} existuje x / osim / phi x)

3.2 Síla spojiv

Pořadí spojů z hlediska relativní „síly“nebo rozsahu je v současné logice standardní konvencí. Pokud neexistují žádné explicitní závorky, které by naznačovaly rozsah pojivové spojitosti, předpokládá se, že hlavní spojovací jsou spojovací, a to pro dílčí formule. Namísto toho formuloval následující DeMorganův zákon jako těžkopádný:

[(osim p) lor (osim q)] equiv) osim (p / amp q)])

dnes to píšeme jako:

) osim p / lor / osim q / equiv / osim (p / amp q))

Tato jednodušší formulace je přirozená, protože (equiv) má přednost před (má širší „rozsah“než) (lor) a &, a ten má přednost před (osim). Ve skutečnosti jsou závorky často zbytečné kolem (equiv), vzhledem k další konvenci, na které má (equiv) přednost před (supset). Vzorec (p / supset q / equiv / osim p / lor q) se tak stane jednoznačným. Můžeme tyto úmluvy reprezentovat tak, že seznam spojek ve skupinách uvedeme nahoře s těmi, které mají nejširší rozsah:

) begin {array} {c} equiv \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

Pro Whitehead a Russell jsou však symboly (supset), (equiv), (lor) a (ldots = / ldots / Df) ve skupině I stejné síly. Skupina II se skládá z proměnných vazebných výrazů, kvantifikátorů a indikátorů rozsahu pro určité popisy a skupina III se skládá ze spojek. Negace je pod všemi těmito. Hodnocení v PM by tedy bylo:

) begin {array} {c} supset, / equiv, / lor / text {and} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (existuje x), (existuje x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(spojení)} / \ osim / end {array})

Zdá se, že to Whitehead a Russell myslí, když říkají: „Skupina I má větší sílu než skupina II a skupina II než skupina III.“Zvažte následující:

Příklad 4

) tag * {∗ 3 · 12} { vdash} colon / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

Tato věta ilustruje, jak číst vícenásobná použití stejného počtu teček v jednom vzorci. Seskupení „spojuje se vlevo“jak pro tečky, tak pro řadu disjunktů, podle konvence čtení zleva doprava a definice:

) tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Takže v ∗ 3 · 12 první dvě tečky kolem (lor) jednoduše „pracují“od spojovacího prvku. Druhý „se prodlužuje“, dokud se nesetká s dalším stejným číslem (třetí samostatná tečka). Tato třetí tečka a čtvrtá „práce“od druhé (lor) a poslední tečka označuje spojení s nejužším rozsahem. Výsledek, formulovaný se všemi možnými interpunkcemi pro maximální explicitnost, je:

) {[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Použijeme-li pro vynechání závorek všechny standardní konvence, stane se:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

Toto ilustruje průchod ve výše uvedené nabídce, který říká: „Rozsah závorky označený jakoukoli sbírkou teček sahá dozadu nebo dopředu za jakýkoli menší počet teček nebo jakékoli stejné číslo ze skupiny menší síly, dokud nedosáhneme buď konce tvrzeného výroku nebo většího počtu teček nebo stejného počtu náležejícího do skupiny se stejnou nebo vyšší silou. “

Než se podíváme na širší škálu příkladů, podrobný příklad zahrnující kvantifikované proměnné se ukáže jako poučný. Whitehead a Russell následují Peanovu praxi vyjadřování všeobecně kvantifikovaných podmíněností (například „Všichni (phi) s jsou (psi) s“)) s vázanou proměnnou upsanou pod podmíněným znaménkem. Podobně jako u univerzálně kvantifikovaných biconditionals („All and only (phi) s jsou (psi) s“). To znamená, že výrazy "(phi x / supset_x / psi x)" a "(phi x / equiv_x / psi x)" jsou definovány takto:

) tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df)) tag * {∗ 10 · 03} phi x / equiv_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / equiv / psi x / quad / Df)

a odpovídají následujícím modernějším vzorcům:

) forall x (phi x / supset / psi x))) forall x (phi x / equiv / psi x))

Jako cvičení by čtenář mohl mít sklon formulovat přísný algoritmus pro převod PM do konkrétního současného symbolismu (s konvencemi pro upuštění závorek), ale nejlepším způsobem, jak se naučit systém, je podívat se na několik dalších příkladů překladů a poté jednoduše začněte číst vzorce přímo.

3.3 Další příklady

V níže uvedených příkladech následuje každé číslo vzorce nejprve notace Principia a poté její moderní překlad. Všimněte si, že v ∗ 1,5 se závorky kromě teček používají pro interpunkci. (Primitivní výroky ∗ 1,2, ∗ 1, 3, ∗ 1, 4, · 1,5, a ∗ 1,6 společně tvoří axiomy pro výrokovou logiku v PM.) Propozice ∗ 1,5 byla ukázána jako nadbytečná Paul Bernays v roce 1926. Může být odvozen z vhodných příkladů ostatních a pravidla modus ponens.

∗ 1,3 ·	({ vdash} dvojtečka q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp) (q / supset p / lor q)
∗ 1 · 4	({ vdash} dvojtečka p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp) (p / lor q / supset q / lor p)
∗ 1,5	({ vdash} dvojtečka p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp) (p / lor (q / lor r) supset q / lor (p / lor r))
∗ 1,6	({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} dvojtečka p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp) ((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))
∗ 2 · 03	({ vdash} dvojtečka p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p) ((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))
∗ 3 · 3	({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / colon { supset} colon p / ldot { supset} ldot q / supset r) ([(p / amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])
∗ 4 · 15	({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / colon { equiv} colon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p) (p / amp q / supset / osim r / equiv q / amp r / supset / osim p)
∗ 5 · 71	({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} dvojtečka p / lor q / sdot r / ldot { equiv} ldot p / sdot r) ((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / equiv p / amp r])
∗ 9 · 04	(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / colon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df) (p / lor / forall x / phi x = _ {df} forall x (phi x / lor p))
∗ 9 · 521	({ vdash} colons (existuje x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / colon { supset} colondot (existuje x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / colon { supset} ldot q / lor r)) ((existuje x / phi x) supset q] supset [((existuje x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]
∗ 10,55	({ vdash} colondot (existuje x) ldot / phi x / sdot / psi x / colon / phi x / supset_x / psi x / colon { equiv} colon (existuje x) ldot / phi x / colon / phi x / supset_x / psi x) (existuje x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) equiv / existuje x / phi x / amp / forall x (phi x / supset / psi x))

4. Prozatímní funkce

V PM existují dva druhy funkcí. Propoziční funkce, jako například „(hat {x}) je přirozené číslo“, je třeba odlišit od známějších matematických funkcí, které se nazývají „popisné funkce“(PM, 31). Popisné funkce jsou definovány pomocí vztahů a konkrétních popisů. Příklady popisných funkcí jsou (x + y) a „nástupce (n)“.

Se zaměřením na výrokové funkce, Whitehead a Russell rozlišují mezi výrazy s volnou proměnnou (například „(x) je zraněn“) a názvy funkcí (jako „„ (zraněn je „(hat {x}))“) (PM, 14–15). Výroky, které vyplývají ze vzorce přiřazením přípustných hodnot volné proměnné „x“, se označují jako „nejednoznačné hodnoty“funkce. Výrazy používající zápis cirflexu, například (phi / hat {x}), se vyskytují pouze v úvodním materiálu v technických sekcích PM a nikoli v technických sekcích samotných (s výjimkou oddílů o teorii tříd)), což některé učence přimělo říci, že takové výrazy se ve formálním systému PM skutečně nevyskytují. Tento problém je odlišný od problému obklopujícího výklad takových symbolů. Jsou to „operátoři vytvářející výrazy“, kteří mění otevřený vzorec na název funkce, nebo jednoduše syntaktické zařízení, zástupný symbol, pro označení proměnné, za kterou lze substituci provést v otevřeném vzorci? Pokud by se s nimi mělo zacházet jako s operátory vytvářejícími termíny, moderní notace pro (phi / hat {x}) by byla "(lambda x / phi x)". Notace (lambda) má výhodu v tom, že jasně odhaluje, že proměnná (x) je vázána operátorem formování výrazů (lambda), který bere predikát (phi) a poskytuje termín (lambda x / phi x) (což je v některých logikách singulární termín, který se může vyskytnout v pozici předmětu věty, zatímco v jiné logice je složitý predikativní výraz). Na rozdíl od (lambda) - notace, PM notace používající circumflex nemůže označovat rozsah. Funkční výraz „(phi (hat {x}),\ hat {z})) "je dvojznačný mezi" (lambda x / lambda y / phi xy) "a" (lambda y / lambda x / phi xy) ", bez nějaké další konvence. Ve skutečnosti Whitehead a Russell specifikovali tuto úmluvu o vztazích v rozšíření (na str. 200 v úvodním materiálu ∗ 21, z hlediska pořadí proměnných), ale nejednoznačnost, která vyplynula nejjasněji pomocí (lambda) notace: první označuje vztah bytí (x) a (y) takový, že (phi xy) a druhý označuje obrácený vztah bytí (y) a (x)) takový (phi xy).ale nejednoznačnost, která vyplynula nejjasněji pomocí notace (lambda): první označuje vztah bytí (x) a (y) takový, že (phi xy) a druhý označuje obrácený vztah bytí (y) a (x) takový že (phi xy).ale nejednoznačnost, která vyplynula nejjasněji pomocí notace (lambda): první označuje vztah bytí (x) a (y) takový, že (phi xy) a druhý označuje obrácený vztah bytí (y) a (x) takový že (phi xy).

5. Chybějící notace pro typy a objednávky

Tato část vysvětluje zápis, který není v Principia Mathematica. S výjimkou některých zápisů pro „relativní“typy ve svazku II, nejsou v Principia Mathematica skvělé symboly pro typy! Věty mají být obecně považovány za „typicky dvojznačné“, a tak stojí za vyjádření celé řady typů, a stejně jako neexistují žádné individuální nebo predikční konstanty, neexistují žádné konkrétní funkce jakéhokoli konkrétního typu. Nejenže nevidíme, jak symbolizovat argument:

Všichni muži jsou smrtelní

Sokrates je muž

Proto je Sokrates smrtelný

ale neexistuje ani náznak logického typu funkce „(hat {x}) je smrtelný“. Projekt PM má redukovat matematiku na logiku a součástí pohledu na logiku tohoto projektu je to, že všechny logické pravdy jsou zcela obecné. Odvození pravdy z matematiky z definic a pravd logiky tedy nebude zahrnovat žádné zvláštní konstanty kromě těch, které jsou zavedeny definicí z ryze logického pojmu. V důsledku toho není do PM zahrnuta žádná notace pro popis těchto typů. Ti z nás, kteří chtějí považovat PM za logiku, kterou lze aplikovat, ji musí doplnit o určité typy.

Čtenáři by si měli uvědomit, že vysvětlení typů uvedených níže neodpovídá prohlášením o typech v textu PM. Alonzo Church [1976] vyvinul jednoduchou, racionální rekonstrukci notace pro jednoduchou i rozvětvenou teorii typů, jak vyplývá z textu PM. (Existují alternativní, ekvivalentní notace pro teorii typů.) Plnou teorii lze chápat jako vývoj jednoduché teorie typů.

5.1 Jednoduché typy

Definice jednoduchých typů může být uvedena takto:

• (iota) (řecká iota) je typ pro jednotlivce.
• Kde (tau_1, / ldots, / tau_n) jsou jakékoli typy, pak (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) je typ výrokové funkce, jejíž argumenty jsou typů (tau_1, / ldots, / tau_n).
• (ulcorner) () (urcorner) je typ propozic.

Zde je několik intuitivních způsobů, jak porozumět definici typu. Předpokládejme, že „Sokrates“pojmenovává jednotlivce. (Zde ignorujeme Russellův uvážený názor, že tito obyčejní jedinci jsou ve skutečnosti třídami tříd smyslových dat, a tedy mnohem vyššího typu.) Pak by individuální konstanta „Sokrates“byla typu (iota). Monadická výroková funkce, která bere jednotlivce jako argumenty, je typu ((iota)). Předpokládejme, že „je smrtelný“je predikát vyjadřující takovou funkci. Funkce „(hat {x}) je smrtelná“bude také typu ((iota)). Dvoumístný nebo binární vztah mezi jednotlivci je typu ((iota, / iota)). Tudíž vztahový výraz jako „rodič“a funkce „(hat {x}) je rodičem (hat {z})” bude typu ((iota, / iota)).

Propoziční funkce typu ((iota)) se často nazývají „první řád“; odtud název „logika prvního řádu“pro známou logiku, kde se proměnné pohybují pouze nad argumenty funkcí prvního řádu. Monadická funkce argumentů typu (tau) je typu ((tau)), takže funkce těchto funkcí jsou typu ((tau))). „Logika druhého řádu“bude mít proměnné pro argumenty takových funkcí (stejně jako proměnné pro jednotlivce). Binární vztahy mezi funkcemi typu (tau) jsou typu ((tau, / tau)) atd. Pro vztahy s více než 2 argumenty. Smíšené typy jsou definovány výše. Vztah mezi jednotlivcem a návrhem (například „(hat {x})) je přesvědčen, že (hat {P}) ) bude typu ((iota), ()).

5.2 Rozvětvené typy

K vytvoření zápisu pro úplnou rozvětvenou teorii typů PM musí být v symbolech zakódována další informace. Církev nazývá výsledný systém jedním z typů r. Klíčovou myšlenkou rozvětvených typů je, že každá funkce definovaná pomocí kvantifikace nad funkcemi určitého typu musí být vyššího „řádu“než tyto funkce. Chcete-li použít Russellův příklad:

(hat {x}) má všechny vlastnosti, které mají velcí generálové

je funkce pravdivá osob (tj. jednotlivců), a z pohledu jednoduché teorie typů má stejný jednoduchý logický typ jako konkrétní vlastnosti jednotlivců (jako je statečnost a rozhodnost). Avšak v teorii rozvětveného typu bude výše uvedená funkce vyššího řádu než tyto konkrétní vlastnosti jednotlivců, protože na rozdíl od těchto konkrétních vlastností zahrnuje kvantifikaci nad těmito vlastnostmi. Takže zatímco výraz „(hat {x}) je statečný“označuje funkci r-type ((iota) / 1), výraz „(hat {x}) má všechny vlastnosti, které mají velcí generálové”budou mít r-type ((iota) / 2). U těchto typů r označuje číslo za „/“úroveň funkce. Pořadí funkcí bude definováno a vypočteno podle následujících definic.

Církev definuje r-typy následovně:

• (iota) (řecká iota) je typ r pro jednotlivce.
• Kde (tau_1, / ldots, / tau_m) jsou nějaké r-typy, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) je typ r; toto je r-typ a (m) - ary výrokové funkce úrovně (n), která má argumenty r-typů (tau_1, / ldots, / tau_m).

Pořadí entity je definováno následovně (zde už nebudeme následovat Církev, protože definuje řády pro proměnné, tj. Výrazy, místo řádů pro věci, které se proměnné pohybují):

• pořadí jednotlivce (r-type (iota)) je 0,
• pořadí funkce r-type ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) je (n + N), kde (N) je největší z pořadí argumentů (tau_1, / ldots, / tau_m).

Tyto dvě definice jsou doplněny zásadou, která identifikuje úrovně konkrétních definovaných funkcí, jmenovitě to, že úroveň definované funkce by měla být jedna vyšší než entita nejvyššího řádu, která má jméno nebo proměnnou, která se objeví v definici této funkce.

Chcete-li vidět, jak lze tyto definice a principy použít pro výpočet pořadí funkce „(hat {x}), má všechny vlastnosti, které mají velcí generálové“, všimněte si, že funkce může být reprezentována následovně, kde „(x, y)”jsou proměnné pohybující se přes jednotlivce r-type (iota) (řád 0),„ GreatGeneral ((y)) “je predikát označující výrokovou funkci r-type ((iota) / 1) (a tak řádu 1) a "(phi)" je proměnná pohybující se nad výrokovými funkcemi r-type ((iota) / 1) (a tak řád 1), jako je velký generál, statečnost, vedení, dovednost, předvídavost atd.:

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Nejprve si všimneme, že vzhledem k výše uvedenému principu je r-typ této funkce ((iota) / 2); úroveň je 2, protože úroveň r-typu této funkce musí být jedna vyšší než nejvyšší řád jakékoli entity pojmenované (nebo v rozsahu použité proměnné) v definici. V tomto případě je označení GreatGeneral a rozsah proměnné „(phi)“řádu 1 a žádná jiná výrazová jména nebo rozsahy nad entitou vyššího řádu. Úroveň výše jmenované funkce je tedy definována jako 2. Nakonec vypočítáme pořadí funkce označené výše, jak byla definována: součet úrovně plus největší z řádů argumentů výše uvedené funkce. Protože jediným argumentem ve výše uvedené funkci jsou jednotlivci (řádu 0), je pořadí naší funkce jen 2.

Kvantifikace přes funkce r-type ((tau) / n) řádu (k) v definici nové funkce poskytuje funkci r-type ((tau) / n + 1), a tak funkce řádu vyšší, (k + 1). Dva druhy funkcí tedy mohou být druhého řádu: (1) funkce jednotlivců prvního řádu, r-type (((iota) / 1) / 1) a (2) funkce r-type ((iota) / 2), například náš příklad „(hat {x}) má všechny vlastnosti, které mají velcí generálové“. Toto bude funkce platná pro jednotlivce, jako je Napoleon, ale vyššího řádu než jednoduché funkce, jako například „(hat {x}) je statečný“, které jsou r-type ((iota) / 1).

Logici dnes používají jiný pojem „řád“. Dnes je logika prvního řádu logikou s jedinými proměnnými pro jednotlivce. Logika druhého řádu je logika s proměnnými pro jednotlivce i vlastnosti jednotlivců. Logika třetího řádu je logika s proměnnými pro jednotlivce, vlastnostmi jednotlivců a vlastnostmi jednotlivců. A tak dále. Naproti tomu církev nazývá tyto logiky, respektive logiku funkcí typů ((iota) / 1) a ((iota, / ldots, / iota) / 1), logiku funkcí typů (((iota) / 1) / 1) a (((iota, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1) a logiku funkcí typů ((((iota) / 1) / 1) / 1) atd. (Tj. Funkce první úrovně funkcí předchozího typu)). Vzhledem k definicím Církve jde o logiku funkcí prvního, druhého a třetího řádu,příslušně, což se shoduje s moderní terminologií „(n)^th -order logic “.

6. Proměnné

Jak bylo uvedeno výše, ve formálním systému PM nejsou žádné individuální ani predikční konstanty, pouze proměnné. Úvod však využívá příklad „(a) stojícího ve vztahu (R) k (b)“v diskusi o atomových skutečnostech (PM, 43). Přestože je „(R)“později použito jako proměnná, která se rozprostírá v relacích v prodloužení, a „(a, b, c, / ldots)“jsou jednotlivé proměnné, můžeme je dočasně přidat do systému jako predikát a jednotlivé konstanty, aby se diskutovalo o použití proměnných v PM.

PM speciálně využívá rozlišení mezi „skutečnými“nebo volnými proměnnými a „zjevnými“nebo vázanými proměnnými. Protože "(x)" je proměnná, "(xRy)" bude v našem rozšířeném jazyce atomový vzorec s reálnými proměnnými "(x)" a "(y)". Pokud jsou tyto vzorce kombinovány s výrokovými spojivami (osim), (lor) atd., Výsledkem je matice. Například „(aRx / ldot { lor} ldot xRy)" by byla matice.

Jak jsme viděli dříve, existují také proměnné, které sahají přes funkce: „(phi), (psi), (ldots, f, g) atd. Výraz „(phi x)”tedy obsahuje dvě proměnné a znamená výrok, zejména výsledek aplikace funkce (phi) na jednotlivce (x).

Věty jsou uváděny se skutečnými proměnnými, což jim dává zvláštní význam s ohledem na teorii. Například,) tag * {∗ 10 · 1} vdash / colon (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

je základní axiom kvantifikační teorie PM. V tomto primitivním návrhu jsou proměnné „(phi)“a „(y)“skutečné (zdarma) a „(x)“je zjevné (vázané). Protože v systému nejsou žádné konstanty, jedná se o nejbližší to, co PM přichází k pravidlu univerzální instance.

Whitehead a Russell interpretují „((x) sdot / phi x)“jako „návrh, který uplatňuje všechny hodnoty pro (phi / hat {x})“(PM 41). Použití slova „vše“má v teorii typů zvláštní význam. Představují „princip začarovaného kruhu“, který je základem teorie typů, a tvrdí to

… Obecně, vzhledem k jakékoli sadě objektů, že pokud předpokládáme, že sada má součet, bude obsahovat členy, kteří předpokládají tento součet, pak taková sada nemůže mít součet. Řečením, že soubor nemá „žádný součet“, máme na mysli především to, že nelze učinit žádné významné prohlášení o „všech jeho členech“. (PM, 37)

Konkrétně tedy musí kvantifikovaný výraz, protože mluví o „všech“členech totality, přesahovat určitý logický typ, aby se dodržoval princip začarovaného kruhu. Při interpretaci vázané proměnné tedy musíme předpokládat, že se rozprostírá přes určitý typ entity, takže typy musí být přiřazeny ostatním entitám reprezentovaným výrazy ve vzorci, v souladu s teorií typů.

Vyvstává však otázka, jakmile si člověk uvědomí, že výroky primitivních výroků a věty v PM, jako je · 10,1, jsou považovány za „obvykle nejednoznačné“(tj. Nejednoznačné s ohledem na typ). Tato tvrzení jsou ve skutečnosti schématická a představují všechna možná specifická tvrzení, která z nich lze odvodit vhodným interpretováním typů. Pokud jsou však příkazy jako ∗ 10 · 1 schémata a přesto mají vázané proměnné, jak přiřadíme typy entitám, přes které se vázané proměnné pohybují? Odpověď je nejprve rozhodnout, jaký typ věcí se volné proměnné v příkazu pohybují. Například za předpokladu, že proměnná (y) v ∗ 10 · 1 se pohybuje nad jednotlivci (typu (iota)), pak proměnná (phi) musí přesahovat funkce typu ((iota) / n), pro některé (n). Potom bude vázaná proměnná (x) zasahovat i přes jednotlivce. Pokud však předpokládáme, že proměnná (y) v ∗ 10 · 1 se pohybuje nad funkcemi typu ((iota) / 1), pak proměnná (phi) musí přesahovat funkce typu ((iota) / 1) / m), pro některé (m). V tomto případě se vázaná proměnná (x) rozprostírá přes funkce typu ((iota) / 1).

Takže (y) a (phi) se v ∗ 10 · 1 nazývají „reálné“proměnné nejen proto, že jsou zdarma, ale také proto, že se mohou pohybovat přes jakýkoli typ. Whitehead a Russell často říkají, že skutečné proměnné se považují za dvojznačně označující „jakoukoli“jejich instanci, zatímco vázané proměnné (které také dvojznačně označují) se rozprostírají přes „všechny“jejich instance (v legitimní totalitě, tj. Typu).

7. Predikativní funkce a identita

Vykřičník „!“sledující proměnnou pro funkci a předcházející argument, jako v “(f / bang / hat {x})”, “(phi / bang x)”, “(phi / bang / hat { x})”, označuje, že funkce je prediktivní, tj. nejnižšího řádu, který lze použít pro její argumenty. V církevním zápisu to znamená, že predikativní funkce jsou všechny na první úrovni, s typy tvaru ((ldots) / 1). Výsledkem bude, že predikativní funkce budou řádově více než nejvyšší pořadí jejich argumentů. Tato analýza je založena na citacích, jako jsou následující, v úvodu k PM:

Funkci jedné proměnné definujeme jako prediktivní, pokud je o další řád nad jeho argumentem, tj. Nejnižšího řádu kompatibilního s jeho argumentem. (PM, 53)

Bohužel v souhrnu ∗ 12 najdeme „Predikativní funkce je funkce, která neobsahuje žádné zjevné proměnné, tj. Je maticí“[PM, 167]. Sladění tohoto tvrzení s touto definicí v úvodu je pro učence problém.

Chcete-li zobrazit zápis výkřiku v akci, zvažte následující definici identity:

) tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} colon (phi) colon / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

To znamená, že (x) je identické s (y), a to pouze tehdy, má-li (y) každou predikativní funkci (phi), kterou vlastní (x). (Samozřejmě, že druhý výskyt „=“znamená definici a nemá nezávisle význam. Je definován první výskyt týkající se jednotlivců (x) a (y).)

Abychom viděli, jak se tato definice redukuje na známější definici identity (na které objekty jsou identické, pokud sdílejí stejné vlastnosti), potřebujeme Axiom redukovatelnosti. Axiom redukovatelnosti říká, že pro každou funkci existuje ekvivalentní funkce (tj. Jedna pravda ze všech stejných argumentů), která je prediktivní:

Axiom redukovatelnosti:) tag * {∗ 12 · 1} vdash / colon (existuje f) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

Chcete-li vidět, jak tento axiom znamená známější definici identity, uvědomte si, že známější definice identity je:

[x = y / ldot {=} dvojtečka (phi) dvojtečka / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

pro (phi) typu "any". (Všimněte si, že se to liší od ∗ 13 · 01 v tom, že výkřik již neexistuje.) Nyní, abyste to dokázali, předpokládejte ∗ 13 · 01 i Axiom redukovatelnosti a předpokládejme pro důkaz redukcí, že (x = y) a (phi x), a ne (phi y), pro nějakou funkci (phi) libovolného typu. Potom Axiom redukovatelnosti ∗ 12 · 1 zaručuje, že bude existovat predikativní funkce (psi / bang), která je souběžná s (phi) tak, že (psi / bang x), ale ne (psi / bang y), což je v rozporu ∗ 13 · 01.

8. Jednoznačné popisy

Invertovaný řecký dopis iota „(atoi)“se používá v PM, vždy za ním následuje proměnná, k zahájení definitivního popisu. ((atoi x) phi x) se čte jako "(x) tak, že (x) je (phi)", nebo jednoduše jako "(phi ") “. Takové výrazy se mohou vyskytovat na pozici subjektu, jako v (psi (atoi x) phi x), číst jako "the (phi) je (psi)". Formální část slavné Russellovy „teorie definitivních popisů“sestává z definice všech vzorců „… (psi (atoi x) phi x)…”, ve kterých se vyskytuje popis. Abychom rozlišili část (psi) od zbytku větší věty (označené výše uvedenými elipsami), ve které se vyskytuje výraz (psi (atoi x) phi x), je rozsah popisu označeno opakováním definitivního popisu v závorce:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

Pojem rozsah má vysvětlit rozdíl, který Russell skvěle diskutuje v „On Denoting“(1905). Russell říká, že věta „Současný král Francie není plešatý“je dvojznačná mezi dvěma čteními: (1) čtení, kde se říká současnému králi Francii, že není plešatý, a (2) čtení, které popírá že současný francouzský král je plešatý. První čtení vyžaduje, aby na seznamu věcí, které nejsou holohlavé, existoval jedinečný francouzský král, zatímco druhý jednoduše říká, že na seznamu holohlavých věcí není žádný jedinečný francouzský král. Russell říká, že ten druhý, ale ne ten první, může být pravda za okolností, za kterých není francouzský král. Russell analyzuje tento rozdíl jako věc rozsahu definitivního popisu, i když, jak uvidíme,někteří moderní logici inklinují myslet na tuto situaci jako věc rozsahu negace znamení. Russell tak zavádí způsob označování rozsahu definitivního popisu.

Abychom viděli, jak Russellova metoda rozsahu funguje v tomto případě, musíme pochopit definici, která zavádí určité popisy (tj. Obrácený operátor ioty). Whitehead a Russell definují:

) tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} dvojtečka (existuje b) dvojtečka / phi x / ldot { equiv_x} ldot x = b / dvojtečka / psi b / quad / Df)

Tento druh definice se nazývá kontextová definice, která musí být v kontrastu s explicitními definicemi. Výslovná definice popisu definice by musela vypadat asi takto:

[(atoi x) (phi x) = / dvojtečka / ldots / quad / Df)

což by umožnilo nahradit definitivní popis v jakémkoli kontextu tím, co definující výraz vyplní elipsu. Naproti tomu ∗ 14 · 01 ukazuje, jak lze větu, ve které se vyskytuje popis ((atoi x) (phi x)) v kontextu (psi), nahradit jiným věta (zahrnující (phi) a (psi)), která je ekvivalentní. Chcete-li vytvořit instanci této definice, začněte následujícím příkladem:

Příklad.

Současný francouzský král je plešatý.

Používat (PKFx) reprezentovat výrokovou funkci bytí současného krále Francie a (B) reprezentovat výrokovou funkci bytí holohlavý, Whitehead a Russell by reprezentoval výše uvedený požadavek jak:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

což znamená · 14 · 01 znamená:

[(existuje b) dvojtečka PKFx / ldot { equiv_x} ldot x = b / dvojtečka Bb)

Jinými slovy, existuje pouze jeden (b), který je současným francouzským králem a který je plešatý. V moderních symbolech, použití (b) nestandardně, jako proměnná, to stane se:

[(existuje b)) forall x (PKFx / equiv x = b) amp Bb])

Nyní se vracíme k příkladu, který ukazuje, jak se rozsah popisu mění:

Příklad.

Současný francouzský král není plešatý.

Pro vyjádření této věty existují dvě možnosti.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

a

) osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

V první části má popis „široký“rozsah a v druhé části má popis „úzký“rozsah. Russell říká, že popis má „primární výskyt“v prvním případě a „sekundární výskyt“v druhém případě. S ohledem na definici ∗ 14 · 01 se obě bezprostředně výše uvedené vzorce PM rozšíří do primitivního zápisu jako:

) begin {Zarovnat} (existuje b) dvojtečka PKFx / equiv_x x = b / dvojtečka / osim Bb \\ / osim (existuje b) dvojtečka PKFx / equiv_x x = b / dvojtečka Bb / end {zarovnat})

V moderní notaci tito se stanou:

) begin {zarovnat} existuje x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp / osim Bx] / \ osim / existuje x) forall y (PKFy / equiv y = x) amp Bx] end {zarovnat})

První říká, že existuje jediný a jediný předmět, který je současným francouzským králem a který není plešatý; tj. existuje přesně jeden francouzský král a není plešatý. Toto čtení je nepravdivé, protože není přítomen žádný francouzský král. Ten říká, že to není tak, že existuje přesně jeden přítomný francouzský král, který je plešatý. Toto čtení je pravda.

Ačkoli Whitehead a Russell berou popisy v těchto příkladech jako výrazy, které mají rozsah, výše uvedené čtení v rozšířené notaci PM i v moderním zápisu naznačují, proč někteří moderní logici považují rozdíl ve čtení za otázku rozsahu působnosti znaménko negace.

9. Třídy

Cirflex „ˆ“nad proměnnou před vzorcem se používá k označení třídy, takže (hat {x} psi x) je třída věcí (x), které jsou takové, že (psi x). V moderním zápisu reprezentujeme tuto třídu jako ({x / mid / psi x }), která se čte: třída (x), která je taková, že (x) má (psi). Připomeňme, že "(phi / hat {x})", s obvodem nad proměnnou za predikátovou proměnnou, vyjadřuje výrokovou funkci bytí (x) takového, že (phi x). V teorii typů PM má třída (hat {x} phi x) stejný logický typ jako funkce (phi / hat {x}). Proto je vhodné použít následující kontextovou definici, která umožňuje vyloučit termín třídy (hat {x} psi x) z výskytů v kontextu (f):) tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} colon (existuje / phi) colon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) nebo v moderním zápisu: [f {z / mid / psi z } = _ { df} existuje / phi) forall x (phi x / equiv / psi x) amp f (lambda x / phi x)]) kde (phi) je predikativní funkce (x)

Všimněte si, že (f) je třeba interpretovat jako funkci vyššího řádu, která je predikována funkci (phi / bang / hat {z}). V moderním zápisu používaném výše musí být jazyk typovým jazykem, ve kterém jsou v pozici argumentů povoleny (lambda) výrazy. Jak bylo zdůrazněno později (Chwistek 1924, Gödel 1944 a Carnap 1947), měly by existovat ukazatele rozsahu pro třídní výrazy stejně jako pro určité popisy. Chwistek například navrhl zkopírovat notaci pro určité popisy, čímž nahradí ∗ 20 · 01 za:

[) hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} dvojtečka (existuje / phi) dvojtečka / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} })

Současné formalizace teorie množin využívají něco jako tyto kontextové definice, když vyžadují „existenční“teorém tvaru formy (existuje x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)), v aby bylo odůvodněno zavedení jednotného výrazu ({y / mid / ldots y / ldots }). (Vzhledem k zákonu rozšiřitelnosti vyplývá z (existuje x / forall y (y / in x / equiv / ldots y / ldots)), že existuje jedinečný takový soubor.) Vztah členství ve třídách (in) je definován v PM nejprve definováním podobného vztahu mezi objekty a výrokovými funkcemi:) tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) nebo, v moderním zápisu: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

∗ 20 · 01 a ∗ 20 · 02 společně se pak používají k definování známějšího pojmu členství ve třídě. Formální výraz „(y / in { hat {z} (phi z) }) lze nyní považovat za kontext, ve kterém se vyskytuje termín třídy; pak je eliminována kontextovou definicí ∗ 20 · 01. (Cvičení)

PM má také řecká písmena pro třídy: (alfa, / beta, / gamma) atd. Tyto se objeví jako vázané (reálné) proměnné, zjevné (volné) proměnné a v abstraktech pro výrokové funkce pravdivé pro třídy, jako v (phi / hat { alpha}). V textu jsou uvedeny pouze definice vázaných řeckých proměnných, ostatní jsou neformálně definovány v úvodu:) tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) nebo, v moderním zápisu,) forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }) kde (phi) je predikativní funkce.

Univerzálně kvantifikované proměnné třídy jsou tedy definovány v termínech kvantifikátorů přes prediktivních funkcí. Stejně tak pro existenciální kvantifikaci:) tag * {∗ 20 · 071} (existuje / alfa) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (existuje / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) nebo, v moderním zápisu,) existuje / alfa \, f / alpha = _ {df} existuje / phi f {z / mid / phi z }) kde (phi) je predikativní funkce.

Výrazy s řeckou proměnnou nalevo od (in) jsou definovány:) tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Tyto definice nepokrývají všechny možné výskyty řeckých proměnných. V úvodu k PM jsou navrženy další definice (f / alfa) a (f / hat { alfa}), ale je třeba poznamenat, že definice jsou svým způsobem zvláštní a neobjevují se v tělo práce. Definice uvažovaná pro (f / hat { alpha}) je:

[f / hat { alpha} ldot {=} ldot (existuje / psi) sdot / hat { phi} bang x / equiv_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / klobouk {z} })

nebo, v moderním zápisu,) lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

To znamená, že (f / hat { alpha}) je výraz pojmenující funkci, která přebírá funkci (phi) k propozici, která tvrdí (f) třídy (phi) s. (Moderní zápis ukazuje, že v navrhované definici (f / hat { alpha}) v notaci PM bychom neměli očekávat (alfa) v definiens, protože je to opravdu vázaná proměnná v (f / hat { alpha}); podobně bychom neměli očekávat (phi) v definiendu, protože se jedná o vázanou proměnnou v definiens.) Lze také očekávat definice jako ∗ 20 · 07 a ∗ 20 · 071 platí pro případy, kdy se římské písmeno „(z)“nahrazuje řeckým písmenem. Definice v PM tedy nejsou úplné, ale je možné uhodnout, jak by byly rozšířeny tak, aby zahrnovaly všechny výskyty řeckých dopisů. Tím by se dokončil projekt teorie „ne-tříd“tříd tím, že se ukáže, jak lze všechny rozhovory o třídách zredukovat na teorii výrokových funkcí.

10. Prolegomena na kardinální aritmetiku

Ačkoli studenti filozofie obvykle čtou nejvýše ∗ 20 v odpoledních hodinách, je to ve skutečnosti bod, ve kterém „matematická“konstrukce skutečně začíná. ∗ 21 představuje „Obecnou teorii vztahů“(teorie vztahů v extenzi; v současné logice se s nimi zachází jako se soubory uspořádaných párů podle Wienera). (hat {x} hat {y} psi (x, y)) je vztah mezi (x) a (y), který se získá, když (psi (x, y)) je pravda. V moderním zápisu to reprezentujeme jako množinu uspořádaných párů ({ langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) }), která se čte: množina uspořádaných párů (langle x, y / rangle), které jsou takové, že (x) nese vztah (psi) k (y).

Následující kontextová definice (∗ 21 · 01) umožňuje eliminovat vztahový výraz (hat {x} hat {y} psi (x, y)) z výskytů v kontextu (f):

[f { hat {x} hat {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (existuje / phi) dvojtečka / phi / bang (x, y) ldot { equiv_ {x, y}} ldot / psi (x, x) dvojtečka f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

nebo v moderním zápisu:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} existuje / phi) forall xy (phi (x, y) equiv / psi (x, y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))])

kde (phi) je predikativní funkce (u) a (v).

Principia neanalyzuje vztahy (nebo matematické funkce), pokud jde o množiny uspořádaných párů, ale spíše považuje pojem výrokové funkce za primitivní a definuje vztahy a funkce v nich. Velká písmena ({R}, {S}) a ({T}) atd. Se po ∗ 21 používají k označení těchto „vztahů v prodloužení“a liší se od výrokových funkcí tím, že jsou mezi argumenty. Jedná se tedy o (psi (x, y)) s argumenty za symbolem výrokové funkce, ale (xRy). Z ∗ 21 funkcí „(phi) a (psi)“atd. Zmizí a pouze vztahy v prodloužení, ({R}), ({S}) a ({T) }) atd., se objeví na stránkách Principia. Zatímco výrokové funkce mohou platit o stejných objektech, ale nemusí být totožné, žádné dva vztahy v rozšíření nejsou pravdivé pro stejné objekty. Logika Principia je tedy „rozšiřující“, od strany 200 ve svazku I až do konce svazku III.

∗ 22 na „Calculus of Classes“představuje teorii elementárních množin křižovatek, odborů a prázdné množiny, která je často veškerou teorií množin používaných v elementární matematice jiných druhů. Student, který hledá teorii množin Principia, se kterou bude srovnávat, řekněme systém Zermelo-Fraenkel, se bude muset později podívat na různá čísla v textu. Volba Axiom of Choice je definována v ∗ 88 jako „Multiplikativní axiom“a verze Axiom of Infinity se objeví na 120 in ve svazku II jako „Infin ax“. Teorie množin Principia je nejblíže k Zermeloovým axiomům z roku 1908 mezi různými známými axiomy, což znamená, že postrádá Axiom nadace a Axiom nahrazení nyní standardních Zermelo-Fraenkel axiomů teorie teorií. Systém Principia se významně liší od Zermeloho v tom, že je formulován v jednoduché teorii typů. V důsledku toho například neexistují žádné kvantifikátory rozkládající se na všech sadách a existuje sada všech věcí (pro každý typ).

∗ 30 „Deskriptivní funkce“poskytuje analýzu Whitehead a Russella o matematických funkcích z hlediska vztahů a definitivních popisů. Frege použil pojem funkce v matematickém smyslu jako základní pojem v jeho logickém systému. Fregejský „koncept“je tedy funkcí od objektů jako argumentů k jedné ze dvou „hodnot pravdy“jako jejích hodnot. Koncept dává hodnotu „True“pro každý objekt, na který se koncept vztahuje, a „False“pro všechny ostatní. Russell, od roku 1904, ještě před psaním Principia, raději analyzoval funkce z hlediska vztahu mezi každým argumentem a hodnotou a pojmu „jedinečnost“. S moderním symbolismem by jeho pohled byl vyjádřen následovně. Pro každou funkci (lambda xf (x)) bude nějaký vztah (v rozšíření) (R),takový, že hodnota funkce pro argument (a), to je (f (a)), bude jedinečný jedinec, který nese vztah (R) k (a). (Dnes redukujeme funkce na binární vztah mezi argumentem na prvním místě a hodnotou na druhém místě.) Výsledkem je, že v Principii nejsou žádné funkční symboly. Jak Whitehead a Russell říkají, známé matematické výrazy jako „(sin / pi / 2)“budou analyzovány se vztahem a určitým popisem jako „popisná funkce“. "Popisná funkce", (R'y) ((R) z (y)), je definována takto:) Výsledkem je, že v Principii nejsou žádné funkční symboly. Jak Whitehead a Russell říkají, známé matematické výrazy jako „(sin / pi / 2)“budou analyzovány se vztahem a určitým popisem jako „popisná funkce“. "Popisná funkce", (R'y) ((R) z (y)), je definována takto:) Výsledkem je, že v Principii nejsou žádné funkční symboly. Jak Whitehead a Russell říkají, známé matematické výrazy jako „(sin / pi / 2)“budou analyzovány se vztahem a určitým popisem jako „popisná funkce“. "Popisná funkce", (R'y) ((R) z (y)), je definována takto:

) tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Na závěr této části uvedeme řadu významných příkladů z těchto pozdějších čísel s jejich intuitivním významem, umístěním v PM, definicí v PM a moderním ekvivalentem. (Některá z těchto čísel jsou spíše větami než definicemi.) Všimněte si však, že moderní ekvivalent se někdy logicky liší od původní verze v PM, například tím, že zachází se vztahy jako se soubory uspořádaných párů atd. V jeho popisu logiky Principia, WV Quine (1951) namítá proti složitosti a dokonce redundanci hodně z této symboliky. Tyto vzorce však lze vypracovat postupným uplatňováním definic.

Pro každé číslo vzorce uvádíme informace v následujícím formátu:

Symbol PM	(Intuitivní význam) [Umístění] PM Definice Modern Equivalent
(alpha / podmnožina / beta)	((alfa) je podmnožina (beta)) [∗ 22 · 01] (x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in / beta) (alpha / subseteq / beta)
(alpha / cap / beta)	(průnik (alfa) a (beta)) [∗ 22 · 02] (hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in / beta)) (alfa / cap / beta)
(alpha / cup / beta)	(spojení (alpha) a (beta)) [∗ 22 · 03] (hat {x} (x / in / alpha / lor x / in / beta)) (alpha / cup / beta)
(- / alfa)	(doplněk (alfa)) [∗ 22 · 04] (hat {x} (x / osim / in / alfa)) [tj. (hat {x} osim (x / v / alfa)) od ∗ 20 · 06] ({x / mid x / not / in / alpha })
(alpha - / beta)	((alfa) minus (beta)) [∗ 22 · 05] (alpha / cap - / beta) ({x / mid x / in / alfa / amp x / not / v / beta })
(mathrm {V})	(univerzální třída) [∗ 24 · 01] (hat {x} (x) = (x)) (mathrm {V}) nebo ({x / mid x = x })
(Lambda)	(prázdná třída) [∗ 24 · 02] (- / mathrm {V}) (varnothing)
(R'y)	((R) z (y)) (popisná funkce) [∗ 30 · 01] ((atoi x) (xRy)) (f ^ {- 1} (y)), kde (f = { langle x, y / rangle / mid Rxy })
(breve {R})	(obráceně (R)) [∗ 31 · 02] (hat {x} hat {z} (zRx)) ({ langle x, z / rangle / mid Rzx })
(overrightarrow {R} 'y)	(R-předchůdci (y)) [∗ 32 · 01] (hat {x} (xRy)) ({x / mid Rxy })
(overleftarrow {R} 'x)	(R-nástupci (x)) [∗ 32 · 02] (hat {z} (xRz)) ({z / mid Rxz })
(D'R)	(doména (R)) [∗ 33 · 11] (hat {x} {(existuje y) sdot xRy }) ({x / mid / existuje yRxy })
(backd'R)	(rozsah (R)) [∗ 33 · 111] (hat {z} {(existuje x) sdot xR z }) ({z / mid / existuje x Rxz })
(C'R)	(pole (R)) [∗ 33 · 112] (hat {x} {(existuje y): xRy / ldot { lor} ldot yRx }) ({x / mid / existuje y (xRy / lor yRx) })
(R / střední S)	(relativní součin (R) a (S)) [∗ 34 · 01] (hat {x} hat {z} {(existuje y) sdot xRy / sdot ySz }) ({ langle x, z / rangle / mid / existuje y (xRy / amp ySz) })
(R / omezení / beta)	(omezení (R) na (beta)) [∗ 35 · 02] (hat {x} hat {z} [xRz / sdot z / in / beta]) ({ langle x, z / rangle / mid z / in / beta / amp Rxz })
(alpha / uparrow / beta)	(kartézský produkt (alfa) a (beta)) [∗ 35 · 04] (hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in / beta)] (alfa X / beta), nebo ({ langle x, z / rangle / mid x / in / alfa / amp z / in / beta })
(R '' / beta)	(projekce (beta) podle (R)) [∗ 37 · 01] (hat {x} {(existuje y) sdot y / in / beta / sdot x Ry }) ({x / mid / existuje y (y / in / beta / amp Rxy) })
(iota'x)	(singl x) [∗ 51 · 11] (hat {z} (z = x)) ({x })
(mathbf {1})	(kardinální číslo 1) [∗ 52 · 01] (hat { alfa} {(existuje x) sdot x = / iota'x }) ({x / mid / existuje y \; (x = {y }) }) (třída všech singletonů)
(mathbf {2})	(kardinální číslo 2) [∗ 54 · 02] (hat { alpha} {(existuje x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y }) ({x / mid / existuje y / existuje z (y / neq z / amp x = {y } cup {z }) }) (třída všech párů)
(x / downarrow y)	(řadový pár (x) a (y)) [∗ 55 · 01] (iota'x / uparrow / iota'y) (langle x, y / rangle) (objednaný pár (langle x, y / rangle))
Poznámka:	Brožovaná verze zkráceného vydání PM na ∗ 56 jde jen tak daleko, takže zbývající definice jsou k dispozici pouze těm, kteří mají přístup k plným třem svazkům PM.
(alpha / rightarrow / beta)	[∗ 70 · 01] (hat {R} (overrightarrow {R} “\ backd 'R / podmnožina / alpha / sdot / overleftarrow {R}„ D'R / podmnožina / beta) (f: / alpha / rightarrow / beta) (funkce (f) od (alpha) do (beta))
(alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)	(třída vztahů podobnosti mezi (alpha) a (beta)) [∗ 73 · 01] (1 / rightarrow 1 / cap / overleftarrow {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beta) ({f / mid f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })
(mathrm {sm})	(vztah podobnosti) [∗ 73 · 02] (hat { alpha} hat { beta} (existuje! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)) (alpha / cca / beta)
(R _ *)	(předek (R)) [∗ 90 · 01] (hat {x} hat {y} {x / in C 'R / colon / breve {R} / mu / subset / mu / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu }) Nyní je napsáno (R ^ *), následuje definice Frege: (y) je ve všech je (R) - dědičné třídy (x).

11. Aritmetika ve svazku II

Svazek II Principia Mathematica začíná částí III, „kardinální aritmetika“. Představy o kardinálních číslech se vyvíjejí v plné obecnosti a rozšiřují se na nekonečné kardinály. Teorie přirozených čísel, která se v PM nazývají „indukční kardinálové“, se proto zavádí s řadou definic zvláštních případů pojmů, které se poprvé zavádějí v obecné podobě vztahující se na jakákoli čísla nebo třídy. Například přidání přirozených čísel, jako ve slavném důkazu, že 1 + 1 = 2 v ∗ 110 · 04 je prokázáno, se zvláštním případem přidání tříd, které se vztahují na kardinální čísla, '(+ _ c)'. Tyto definice, končící se objevením Axiomu nekonečna v ∗ 120 · 03, uzavírají tento úvod do symboliky Principia Mathematica.

(mathrm {N_c})	(kardinální čísla) [∗ 100 · 01] (overrightarrow { mathrm {sm}}) Toto je vlastně vztah mezi třídou a jejím kardinálním číslem. ({x / mid / forall y (y / in x / leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / cca w)) }) Kardinální čísla jsou třídy stejných (podobných) tříd.
(mathbf {0})	(kardinální číslo 0) [· 101 · 01] (0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda) ({ varnothing }) Třída všech tříd shodná s prázdnou množinou je pouze singleton obsahující prázdnou sadu.
(alpha + / beta)	(aritmetický součet (alfa) a (beta)) [∗ 110 · 01] (downarrow (Lambda / cap / beta) “\ iota“\ alpha / cup (Lambda / cap / alpha) downarrow “\ iota“\ beta)) Toto je spojení (alfa) a (beta) poté, co jsou spojeny každý prvek (beta) s ({ alpha }) a každý prvek (alfa) s ({ beta }). Třídy (alfa) a (beta) se protínají s prázdnou třídou (Lambda), aby upravily typ prvků součtu. ((beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }))
(mu + _c / nu)	(kardinální součet (mu) a (nu)) [∗ 110 · 02] (hat { xi} {(existuje / alfa, / beta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alfa + / beta) }) kardinální sčítání je aritmetický součet „homogenních kardinálů“, kardinálů stejného typu, k nimž jsou (alfa) a (beta) příbuzní (mathrm {N_0 c}) (sám je definován [∗ 103 · 01]). ({x / mid x / cca (beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }) })

Čtenář nyní může ocenit, proč tato elementární věta není prokázána, dokud strana 83 svazku II PM:

) tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Whitehead a Russell poznamenávají, že „Výše uvedený návrh je občas užitečný. Používá se nejméně třikrát v… “. Tento vtip nám připomíná, že teorie přirozených čísel, tak důležitá pro Fregeovy práce, se objevuje v PM pouze jako zvláštní případ obecné teorie kardinálních a ordinálních čísel a ještě obecnějších tříd izomorfních struktur.

Tento přehled notace v PM je zakončen definicí přirozených čísel a vyjádřením Axiomu nekonečna, které umožňují dokázat další axiomy Peano aritmetiky jako opět zvláštní případy obecnějších pojmů.

NC indukt

(Indukční kardinálové) [∗ 120 · 01] (hat { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 }) ({x / mid 0 S ^ * x }) Indukční kardinálové jsou „přirozená čísla“, jsou 0 a všechna ta kardinální čísla, která se vztahují k 0, předkem „nástupnického vztahu“(S), kde (xSy) jen v případě (y = x +1).

Infin sekera

(Axiom nekonečna) [∗ 120 · 03] (alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alpha} sdot / existuje! / alpha) (forall y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing)) Axiom of Infinity tvrdí, že všechny indukční kardinály nejsou prázdné. (Připomeňme, že 0 = ({ varnothing }), a tak 0 není prázdné.) Axiom nekonečna není „primitivní tvrzení“, ale místo toho má být uveden jako „hypotéza“, pokud je použita, to je jako předchůdce podmíněného, kde bude následek říkat, že závisí na axiomu. Technicky to není axiom PM, protože [∗ 120 · 03] je definice, takže se jedná o další zápis v PM!

12. Závěr

Definice do ∗ 120 · 03 představují pouze asi polovinu definic v PM. Posledních osm stránek (667–674) svazku I druhého vydání (1925) sestává z úplného „Seznamu definic“ze všech tří svazků. Korespondence v archivech Bertranda Russella naznačuje, že tento seznam mohl zkompilovat Dorothy Wrinch. Seznam lze použít ke sledování každého z definovaných výrazů PM zpět k zápisu diskutovanému v této položce.

Bibliografie

• Carnap, R., 1947, Meaning and Necessity, Chicago: University of Chicago Press.
• Church, A., 1976, „Srovnání Russellova řešení sémantických antinomií s rozlišením Tarského“, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–60.
• Chwistek, L., 1924, „Teorie konstruktivních typů“, Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego), II: 9–48.
• Feys, R. and Fitch, FB, 1969, Slovník symbolů matematické logiky, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Gödel, K., 1944, „Russelllova matematická logika“, v PA Schilpp, ed., The Philosophy of Bertrand Russell, LaSalle: Open Court, 125–153.
• Landini, G., 1998, Russellova skrytá substituční teorie, New York a Oxford: Oxford University Press.
• Linsky, B., 1999, Russellova metafyzická logika, Stanford: CSLI Publications.
• –––, 2009, „Od popisných funkcí k sadám objednaných párů“, v Redukce - Abstrakce - analýza, A. Hieke a H. Leitgeb (ed.), Ontos: Mnichov, 259–272.
• –––, 2011, Evoluce Principia Mathematica: Rukopisy a poznámky Bertranda Russella pro druhé vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Quine, WVO, 1951, „Whitehead a vzestup moderní logiky“, Filozofie Alfreda Northa Whiteheada, ed. PA Schilpp, 2. vydání, New York: Tudor Publishing, 127–163.
• Russell, B., 1905, „On Denoting“, Mind (NS), 14: 530–538.
• Turing, AM, 1942, „Použití teček jako závorek v církevním systému“, Journal of Symbolic Logic, 7: 146–156.
• Whitehead, AN a B. Russell, [PM], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press, 1910–13, 2. vydání, 1925–27.
• Whitehead, AN a B. Russell, 1927, Principia Mathematica na ∗ 56, Cambridge: Cambridge University Press.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Principia Mathematica, rozmnožený ve sbírce Historické matematiky University of Michigan.
• Russellova „On Denoting“, od dotisku v Logic and Knowledge (R. Marsh, ed., 1956) původního článku v mysli 1905, napsaného do HTML Cosma Shalizi (Centrum pro studium komplexních systémů, U. Michigan)