Kvantové Množení

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Kvantové množení

První publikováno St 27. října 2004; věcná revize Út 16. května 2017

Obyčejná angličtina obsahuje různé formy kvantifikace nad objekty. Kromě obvyklé singulární kvantifikace, jako v

(1) Na stole je jablko

tam je množné číslo kvantifikace, jak v

(2) Na stole jsou jablka

Od té doby Frege formální logika upřednostňovala dva singulární kvantifikátory (forall {x}) a (existuje {x}) před jejich množnými protějšky (forall {xx}) a (existuje { xx}) (má se číst jako u všech věcí (xx) a jsou zde některé věci (xx)). Ale v posledních desetiletích se argumentovalo, že máme dobrý důvod připustit mezi naše primitivní logické pojmy také množné kvantifikátory (forall {xx}) a (existuje {xx}) (Boolos 1984 a 1985a).

Více kontroverzně, to bylo argumentoval, že výsledný formální systém s množným množstvím stejně jako singulární kvantifikace se kvalifikuje jako “čistá logika”; zejména že je univerzálně použitelný, ontologicky nevinný a zcela dobře pochopitelný. Kromě toho, že je tato práce sama o sobě zajímavá, zpřístupní kvantifikaci množného čísla jako nevinný, ale nesmírně mocný nástroj metafyziky, filozofie matematiky a filozofické logiky, bude-li správná. Například, George Boolos použil množné číslo k interpretaci monadické logiky druhého řádu ^[1]a na tomto základě argumentovala, že monadická logika druhého řádu se označuje za „čistou logiku“. Kvantifikace množného čísla byla také použita při pokusech bránit logistické myšlenky, odpovídat za teorii množin a eliminovat ontologické závazky vůči matematickým objektům a složitým objektům.

• 1. Jazyky a teorie množného čísla

  • 1.1 Regulace kvantifikace množného čísla
  • 1.2 Teorie PFO a PFO +

• 2. Kvantifikace množného čísla vs. kvantifikace druhého řádu

  • 2.1 Mnohonásobná kvantifikace a monadická logika druhého řádu
  • 2.2 Vztahy
  • 2.3 Modální kontexty
  • 2.4 Vyšší úrovně množného čísla?
• 3. Diplomová práce

• 4. Aplikace množného čísla

  • 4.1 Stanovení logičnosti monadické logiky druhého řádu
  • 4.2 Logicismus
  • 4.3 Teorie množin
  • 4.4 Matematický nominalismus
  • 4.5 Eliminace komplexních objektů

• 5. Ontologická nevinnost?

  • 5.1 Argument množiny
  • 5.2 Nesprávný argument predikace
  • 5.3 Přímý argument
  • 5.4 Sémantické hodnoty a ontologické závazky
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Jazyky a teorie množného čísla

Logické formalizmy, které dominovaly v analytické tradici od té doby, co Frege neumožňuje kvantifikaci množného čísla. V úvodních kurzech logiky se proto studenti obvykle učí parafrázovat množné množení. Například mohou být učeni, aby vykreslili „Alice a Bob mají hlad“, jako „Alice má hlad a Bob má hlad“, a „Na stole jsou nějaká jablka“, jako „(Exists {x} Exists { y} (x) je jablko na stole & (y) je jablko na stole & (x / ne y))”. Nejenže jsou však takové parafráze často nepřirozené, ale nemusí být dostupné. Jedním z nejzajímavějších příkladů množných locicí, které odolávají singulární parafrázi, je tzv. Geach-Kaplanova věta:

(3) Někteří kritici obdivují pouze jeden druhého

Tato věta prokazatelně nemá singulární parafrázi prvního řádu používající pouze predikáty vyskytující se ve větě samotné. ^[2]

Jak máme formalizovat takové věty? Tradiční pohled, chráněný například Quine, je ten, že všechny parafrázy musí být uvedeny v klasické logice prvního řádu, v případě potřeby doplněné teorií množin. Quine zejména navrhuje, aby (3) byla formalizována jako

) tag {(3 ')} label {ex3prime} kern-5pt / Exists {S} (Exists {u} mstop u / in S / amp / Forall {u} (u / in S / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / in S / amp / textit {Auv} rightarrow v / in S / amp u / ne v)))

(1973: 111 a 1982: 293). ^[3]

Ve dvou důležitých článcích z 80. let George Boolos zpochybňuje tento tradiční pohled (Boolos 1984 a 1985a). Tvrdí, že je jednoduše předsudkem trvat na tom, aby množné locice přirozeného jazyka byly parafrázovány. Namísto toho navrhuje, že stejně jako singulární kvantifikátory (Forall {x}) a (Exists {x}) získají svou legitimitu ze skutečnosti, že představují určitá kvantifikační zařízení v přirozeném jazyce, platí i jejich množné protějšky (Forall {xx}) a (Exists {xx}). Protože není pochyb o tom, že v přirozeném jazyce používáme a rozumíme výrazům „pro jakékoli věci“a „existují některé věci“. ^[4] Protože tyto kvantifikátory vážou proměnné, které berou jméno (spíše než predikát), jsou to kvantifikátory prvního řádu, byť množné.

1.1 Regulace kvantifikace množného čísla

Nyní popíšu jednoduchý formální jazyk, který lze použít k regimentu množného čísla, jak se vyskytuje v angličtině a dalších přirozených jazycích.

Formální jazyk (L _ { textrm {PFO}}). Nechť formální jazyk (L _ { textrm {PFO}}) (pro množné číslo prvního řádu) bude následující.

1. (L _ { textrm {PFO}}) má následující výrazy (pro každé přirozené číslo (i)):

   • singulární proměnné (x_i)
   • množné proměnné (xx_i)
   • singulární konstanty (a_i)
   • množné konstanty (aa_i)

2. (L _ { textrm {PFO}}) má následující predikáty (jejichž argumentační místa jsou jedinečná):

   • dva dyadické logické predikáty = a (prec) (považováno za identitu a vztah je jedním z)
   • nonlogické predikáty (R ^ {n} _i) (pro každou adicitu (n) a každé přirozené číslo (i))

3. (L _ { textrm {PFO}}) má následující vzorce:

   • (R ^ {n} _i (t_1, / ldots, t_n)) je vzorec, kde (R ^ {n} _i) je (n) - adický predikát a (t_j) jsou singulární podmínky
   • (t / prec T) je vzorec, kde (t) je singulární termín a (T) množné číslo
   • (neg / phi) a (phi / amp / psi) jsou vzorce, kde (phi) a (psi) jsou vzorce
   • (Exists {v} mstop / phi) a (Exists {vv} mstop / phi) jsou vzorce, kde (phi) je vzorec a (v) je singulární proměnná a (vv) množné číslo
   • ostatní spojovací členy jsou obvykle považovány za zkratky.

V (L _ { textrm {PFO}}) můžeme formalizovat řadu anglických nároků zahrnujících množné číslo. Například (2) může být formalizováno jako

) tag {(2 ')} label {ex2prime} Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Au / amp Tu))

A věta Geach-Kaplan (3) může být formalizována jako

) tag {(3 '')} label {ex3pprime} Exists {xx}) Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / prec xx / amp / textit {Auv} rightarrow v / prec xx / amp u / ne v)].)

Jazyk (L _ { textrm {PFO}}) má však jedno závažné omezení. Vidíme to rozlišováním mezi dvěma druhy množných predikcí. Predikát (P), který má množné argumenty, se říká, že je distribuční jen v případě, že je analytické, že: (P) drží některé věci (xx) pouze tehdy, pokud (P) drží každého (u) takové, že (u / prec xx). ^[5] Například predikát „je na stole“je distribuční, protože je analytické, že některé věci (xx) jsou v tabulce jen v případě, že každá z (xx) je na stole. Predikát (P), který není distribuční, je považován za nedistribuční nebo kolektivní. ^[6]Například predikát „tvoří kruh“není nedistribuční, protože není analytické, že kdykoli nějaké věci (xx) vytvoří kruh, každá z (xx) vytvoří kruh. Dalším příkladem nedistribuční množné predikace je druhé argumentační místo logického predikátu (prec): protože není pravda (natož analytické), že kdykoli (u) je jedním z (xx, u) je jedním z každého z (xx). Je proto přirozené i užitečné považovat mírně bohatší jazyk:

Formální jazyk (L _ { textrm {PFO} +}). Jazyk (L _ { textrm {PFO} +}) umožňuje nedistribuční množné predikáty jiné než (prec). Děláme to tak, že upravíme definici (L _ { textrm {PFO}}) tak, abychom umožnili predikáty (R ^ {n} _i), které mají množné argumenty. Tyto predikáty mohou být buď logické, nebo nelogické. ^[7]

Měli bychom také povolit predikáty s argumenty, které berou jak singulární, tak množné argumenty? Spousta anglických predikátů funguje tímto způsobem, například „… je / jsou na stole“. Takže pokud by naším prvořadým zájmem bylo analyzovat přirozený jazyk, pravděpodobně bychom museli takové predikáty povolit. Pro současné účely je však jednodušší takové predikáty nepovolit. Každopádně brzy umožníme pluralitu, která bude sestávat pouze z jedné věci. ^[8]

Prozatím budou formální jazyky (L _ { textrm {PFO}}) a (L _ { textrm {PFO} +}) interpretovány pouze jejich překladem do běžné angličtiny, rozšířené o indexy pro usnadnění křížového odkazu (Boolos 1984: 443–5 [1998a: 67–9]; Rayo 2002: 458–9). (Závažnější sémantické otázky se budou zabývat v části 4, kde naší hlavní otázkou bude, zda jsou naše teorie množného množení ontologicky zavázány k jakýmkoli „set-like“entitám.) Dvě klauze tohoto překladu, která se bezprostředně zabývají množné číslo je

(4) (Tr (x_i / prec xx_j) = / textrm {it} _i) je jedním z nich (_ j)

(5) (Tr (Existuje {xx_j} mstop / phi) =) existují některé věci (_ j), takže (Tr (phi))

Další klauzule jsou zřejmá, například: (Tr (phi / amp / psi) = (Tr (phi)) a (Tr (psi))). Tento překlad nám umožňuje interpretovat všechny věty (L _ { textrm {PFO}}) a (L _ { textrm {PFO} +}), spoléhající se na intuitivní porozumění angličtiny. Je užitečné zvážit některé příklady. Když použijete (Tr) na (ref {ex2prime}), řekněme:

(2 ″) Existují některé věci (_ 1) takové, že pro všechno (_ 2) (pokud je to (_ 2) jedna z nich (_ 1), pak je to (_ 2) jablko a to (_ 2) je na stole)

1.2 Teorie PFO a PFO +

Nyní popíšeme teorii PFO množného kvantifikace prvního řádu na základě jazyka (L _ { textrm {PFO}}). Začněme axiomatizací běžné logiky prvního řádu s identitou. Pro naše současné účely je vhodné axiomatizovat tuto logiku jako přirozený dedukční systém, přičemž všechny tautologie jsou považovány za axiomy a známá přirozená dedukční pravidla upravující singulární kvantifikátory a znak identity jako pravidla dedukce. Potom zjevně rozšiřujeme přirozená pravidla dedukce pro singulární kvantifikátory na množné číslo. Dále potřebujeme nějaké axiomy, které nám pro vhodné vzorce (phi (x)) umožní mluvit o (phi). V běžné angličtině použití množných locutions obecně signalizuje znepokojení se dvěma nebo více objekty. Existence dvou nebo více objektů však nemusí být sémanticky vyžadována; například,„Studenti, kteří se do této třídy přihlásí, se budou hodně učit“, zdá se, že je to pravda, i když se zaregistruje pouze jeden student. Je proto rozumné i vhodné požadovat pouze, aby existoval alespoň jeden objekt splňující (phi (x)). (Většina lidí, kteří píšou na toto téma, udělají tuto ústupek.) Tím vznikají množné axiomy porozumění, které jsou příklady schématu

) tag {Comp} Exists {u} phi (u) rightarrow / Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow / phi (u)))

kde (phi) je vzorec v (L _ { textrm {PFO}}), který obsahuje "(u)" a případně další proměnné zdarma, ale neobsahuje žádný výskyt "(xx)". (To znamená, že pokud je něco (phi), pak jsou některé věci takové, že všechno je jednou z nich, a pouze pokud je (phi).) Aby bylo možné plně zachytit myšlenku, že všechny plurality jsou neprázdné, také osvojíme axiom

) tag {6} Forall {xx} Exists {u} (u / prec xx).)

(To znamená, že existuje něco, co je jednou z nich.) Nechť PFO + je teorie založená na jazyce (L_ {PFO +}), který vzniká analogickým způsobem, ale který má navíc následující schéma axiomu extility:

) tag {7} Forall {xx} Forall {yy}) Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow u / prec yy) rightarrow (phi (xx) leftrightarrow / phi (yy))])

(To znamená pro všechny věci (_ 1) a všechny věci (_ 2) (pokud je něco z nich (_ 1), pokud je to pouze jedna z nich (_ 2), pak (_1) jsou (phi), a to pouze tehdy, pokud (_ 2) jsou (phi)).) Toto schéma axiom zajišťuje, že jsou všechny nerozšiřitelné množné čísla nerozeznatelné.

Poznámka k terminologii. Pro snadnou komunikaci použijeme slovo „pluralita“, aniž bychom se postavili na tom, zda skutečně existují takové entity jako pluralita. Prohlášení, která obsahují slovo „plurality“, mohou být vždy beze slova přepsána déle. Například výše uvedené tvrzení, že „všechny množné čísla jsou neprázdné“lze přepsat jako „kdykoli existují nějaké věci (xx), existuje něco (u), které je jednou z věcí (xx) “. Pokud je učiněno ontologické tvrzení (je), bude to namísto toho signalizováno pomocí locution „množného čísla“.

2. Kvantifikace množného čísla vs. kvantifikace druhého řádu

„Logikou druhého řádu“rozumíme logiku, která rozšiřuje běžnou logiku prvního řádu tím, že umožňuje kvantifikaci do predikátové pozice. Například z "(a) je jablko" můžeme v logickém pořadí druhého řádu odvodit "(Existuje {F} mstop Fa)". Ale výše uvedená množná logika rozšiřuje běžnou logiku prvního řádu odlišným způsobem, jmenovitě tím, že umožňuje kvantifikaci do pozice množného argumentu. Ale predikáty a množné věty substantiv patří do různých syntaktických a sémantických kategorií. Například první se skládá z výrazů, které jsou nenasycené (ve Fregeově smyslu) - to znamená, že obsahují mezery nebo místa argumentů - zatímco druhé se skládají z výrazů, které jsou nasycené (Higginbotham 1998: odstavec 7; Oliver a Smiley 2001; Rayo a Yablo 2001: sekce X; Simons 1997; Williamson 2003: sekce IX; Yi 2005). V souladu s tímkvantifikace druhého řádu a kvantifikace množného čísla jsou obecně považovány za různé formy kvantifikace. V této části se zabývám některými rozdíly a podobnostmi.

2.1 Mnohonásobná kvantifikace a monadická logika druhého řádu

(Čtenáři, kteří se méně zajímají o technické problémy, možná budou chtít tuto sekci přepracovat.) Boolos poznamenal, že je možné interpretovat monadickou logiku druhého řádu v teorii PFO. ^[9] Nechť MSO je nějaká standardní axiomatizace (plné implicitní) monadické logiky druhého řádu v nějakém vhodném jazyce (L _ { textrm {MSO}}) (Shapiro 1991: ch. 3; Boolos et al. 2002: ch 22). Boolos nejprve definuje překlad (Tr '), který mapuje libovolný vzorec (L _ { textrm {MSO}}) na nějaký vzorec (L _ { textrm {PFO}}). Tato definice, která vychází z indukce složitosti vzorců (L _ { textrm {MSO}}), má jako jediná netriviální ustanovení následující dvě, která se týkají proměnných druhého řádu:

) tag {8} Tr '(X_jx_i) = x_i / prec xx_j)) tag {9} Tr' (Exists {X_j} mstop / phi) = / Exists {xx_j} mstop / Tr '(phi) lor Tr' (phi *))

kde (phi *) je výsledkem nahrazení (X_j x_i) kdekoli (x_i / ne x_i). Myšlenka za těmito dvěma doložkami je nahradit mluvit o pojmech (nebo o jakýchkoli entitách, z nichž jeden má monadické proměnné druhého řádu, aby se rozprostíraly) mluvením o objektech, které spadají pod tyto pojmy. Místo toho, abychom řekli, že (x_i) spadá pod koncept (X_j), říkáme, že (x_i) je jedním z (xx_j). Jediným problémem je, že některé pojmy nemají žádné příklady, zatímco všechny množné čísla musí zahrnovat alespoň jednu věc. Možnost, že koncept nebude existovat, je však přizpůsobena druhému rozporu na pravé straně (9).

Indukcí na derivace v MSO lze snadno dokázat, že každá věta MSO je mapována na nějakou teorém PFO. Kromě toho je snadné definovat „reverzní“překlad, který mapuje vzorce (L _ { textrm {PFO}}) na vzorce (L _ { textrm {MSO}}) a prokázat, že tento překlad mapuje věty bývalého do věty druhého. To ukazuje, že PFO a MSO jsou rovnocenně interpretovatelné. Podobný výsledek lze prokázat o PFO + a rozšíření MSO + MSO, které umožňuje predikáty konceptů (první úrovně), za předpokladu, že MSO + obsahuje schéma axiomu, které umožňuje nerozeznatelnost koextenzivních konceptů.

Je důležité si ujasnit, co ekvidinterpretovatelnost PFO a PFO + s MSO a MSO + dělá a neukazuje. Ukazuje, že tyto dva páry teorií jsou pro většinu technických účelů rovnocenné. Sama o sobě však neukazuje nic o tom, že tyto dva páry teorií jsou rovnocenné v některém z náročnějších smyslů, o které se filozofové často zajímají (jako například mají stejný epistemický status, ontologické závazky nebo stupeň analytičnosti). (Například PFO je rovnocenně interpretovatelný s atomovou extenzivní mereologií, která filozofové mají tendenci najít mnohem problematičtější než PFO.) Abychom ukázali, že dva páry teorií jsou v nějakém filozoficky důležitém ohledu rovnocenné (F), měli bychom musí ukázat, že výše uvedené překlady zachovávají (F) - ness.

2.2 Vztahy

Ačkoli množné číslo kvantifikace poskytuje docela přirozený výklad kvantifikace přes (monadic) pojetí, to neposkytuje žádnou přirozenou interpretaci kvantifikace přes (polyadic) vztahy.

Toto omezení lze překonat (přinejmenším pro technické účely), pokud je v příslušné doméně párovací funkce, tj. Pokud existuje funkce (pi) taková, že (pi (u, v) = / pi (u ', v')) jen v případě (u = u ') a (v = v'). Pro kvantifikaci přes dyadic vztahy mohou být reprezentovány množným množstvím přes uspořádané páry. Navíc pomocí iterovaných aplikací funkce uspořádaného páru můžeme reprezentovat (n) - n-tice a tedy i kvantifikaci přes (n) - adické vztahy. Otázkou je, jak je třeba tuto párovací funkci chápat. Jednou z možností je postupovat jako v matematice a jednoduše předpokládat existenci párovací funkce jako abstraktní matematický objekt. Tato varianta však má zjevnou nevýhodu, že odstoupila od toho, co je většina lidí ochotna nazvat „čistou logikou“. Chytřejší volba,zkoumané v příloze Lewis 1991 a Hazen 1997 a 2000, je simulovat mluvení o uspořádaných párech pomocí pouze zdrojů, které jsou pravděpodobně čistě logické. Ukazuje se, že mluvit o uspořádaných párech lze simulovat v monadické logice třetího řádu, vzhledem k některým přijatelným zvláštním předpokladům. Monadická logika třetího řádu může být zase interpretována buď v teorii, která kombinuje množné číslo s mereologií (Lewis 1991: kap. 3; Burgess a Rosen 1997: II. C.1), nebo pokud jde o kvantifikaci vyšší úrovně (sekce) 2.4). Monadická logika třetího řádu může být zase interpretována buď v teorii, která kombinuje množné číslo s mereologií (Lewis 1991: kap. 3; Burgess a Rosen 1997: II. C.1), nebo pokud jde o kvantifikaci vyšší úrovně (sekce) 2.4). Monadická logika třetího řádu může být zase interpretována buď v teorii, která kombinuje množné číslo s mereologií (Lewis 1991: kap. 3; Burgess a Rosen 1997: II. C.1), nebo pokud jde o kvantifikaci vyšší úrovně (sekce) 2.4).

2.3 Modální kontexty

Další způsob, jak se množení množného čísla a kvantifikace druhého řádu rozpadají, se objevuje v modálních kontextech. Je často podmíněno, zda objekt spadá pod pojem. I když mám na sobě boty, možná jsem to neudělal. Takže existuje koncept (F), pod který spadám, ale možná jsem nespadl. Naproti tomu se zdá, že být jedním z některých objektů není nikdy podmíněný. Zvažte lidi (aa), kteří jsou všichni, a pouze lidi, kteří v současné době nosí boty. Pak nejsem jen jedním z těchto lidí, ale zdá se, že to má nutnost (za předpokladu existence příslušných objektů). Odstranění mě z této plurality lidí by mělo za následek jinou pluralitu. Aby pluralita (aa) byla pluralita, musí přesně obsahovat objekty, které ve skutečnosti obsahuje. Takže v každém světě, ve kterém objekty vůbec existují (aa),Musím být jedním z nich. Pravda, možná jsem nenosil boty. Ale i tak bych byl jedním z (aa), teprve potom (aa) by nebyli všichni a jen lidé, kteří nosí boty. Mnohonásobná jména a proměnné se tedy zdají být rigidní způsobem, který je analogický známé rigiditě singulárních jmen a proměnných: v jakémkoli světě, ve kterém množné číslo označuje vůbec, označuje stejné objekty. Zejména se zdá, že pluralita podléhá těmto dvěma zásadám:označuje stejné objekty. Zejména se zdá, že pluralita podléhá těmto dvěma zásadám:označuje stejné objekty. Zejména se zdá, že pluralita podléhá těmto dvěma zásadám:

) tag {10} u / prec xx / rightarrow / Box (EExists xx / rightarrow u / prec xx))) tag {11} neg (u / prec xx) rightarrow / Box (EExists u / amp / EExistuje xx / rightarrow / neg (u / prec xx)))

kde (EExists xx) a (EExists u) jsou vhodné formalizace tvrzení, která příslušně existují (xx) a (u). ^[10]

2.4 Vyšší úrovně množného čísla?

Jedním ze způsobů, jak překročit PFO +, by bylo umožnění kvantifikace do predikátových pozic, včetně pozic predikátů s množnými argumenty. Výsledkem by bylo rozšíření, které stojí za PFO + jako obyčejná (singulární) logika druhého řádu na obyčejnou (singulární) logiku prvního řádu. Taková rozšíření zde nebudeme brát v úvahu: pro to, zda jsou legitimní, a pokud ano, jaké axiomy mohou podporovat, mají méně společného s množnými čísly a množnými čísly, než s predikcí a kvantifikací nad sémantickými hodnotami predikátů. ^[11]

Co (je) relevantní pro současné účely, je, zda existuje nějaká forma „super plurálu“kvantifikace, která stojí za obyčejným množným množstvím, zatímco obyčejná množná kvantifikace znamená singulární kvantifikaci. Pokud ano, nazvěme tuto kvantifikaci množného čísla druhé úrovně. Obecněji se můžeme pokusit zavést množné kvantování jakékoli konečné úrovně. To by vedlo k teorii, která je pro technické účely stejně jako teorie jednoduchých typů (Hazen 1997: 247; Linnebo 2003: sect. IV; Rayo 2006).

Je docela snadné vyvinout formální jazyky a teorie vyšší kvantifikace množného čísla (Rayo 2006). Můžeme například zavést proměnné tvaru xxx, o nichž se uvažuje, že se pohybují v množném čísle druhé úrovně a vztah (xx / prec_2) xxx je třeba chápat analogicky se vztahem (x / prec xx). (Viz Linnebo a Rayo 2012 o rozšířeních na úrovni transfinitů a porovnání výsledných teorií s teoriemi teorie obyčejných množin.) Lze však tyto formální teorie kvantifikace vyššího množného čísla ospravedlnit úvahami podobnými těm, které ospravedlňují teorie PFO a PFO + ?

Boolos a mnoho dalších filozofů popírá, že kvantifikace množného čísla na vyšší úrovni může být takto odůvodněna. Pro tento pohled jsou uvedeny dva druhy argumentů. Zaprvé se tvrdí, že pluralita je vždy množina věcí. Ale protože kvantifikace množného čísla je ontologicky nevinná, neexistují žádné takové věci jako pluralita. Neexistuje tedy nic, co by bylo možné sbírat do plurality druhé úrovně (McKay 2006: 46–53 a 137–139). Za druhé, obyčejná množná kvantifikace je odůvodněna skutečností, že zachycuje určitá kvantifikační zařízení angličtiny a dalších přirozených jazyků. Angličtina a další přirozené jazyky však neobsahují kvantifikaci množného čísla vyšší úrovně (Lewis 1991: 70–71)

Oba argumenty jsou kontroverzní. Pokud jde o první, není jasné, proč by ontologie měla být relevantní pro legitimitu kvantifikace množných čísel vyšší úrovně. Mělo by stačit, aby objekty základní úrovně mohly být uspořádány určitými složitými způsoby. Například pluralita druhé úrovně založená na Cheerios organizovaná jako oo oo oo by neměla být více ontologicky problematická než pluralita první úrovně založená na stejných objektech organizovaných jako oooooo, ačkoli první z nich má další úroveň struktury nebo artikulace (Linnebo) 2003: 87–8).

Druhý z výše uvedených dvou argumentů je také problematický. Začněme tím, že tvrzení, že v přirozeném jazyce nejsou žádné množné locutions na vyšší úrovni, je téměř jistě nepravdivé. Například v islandštině mají číselná slova množné číslo, které se počítá, nikoli jednotlivé objekty, ale množné číslo objektů, které tvoří přirozené skupiny. Zde je příklad:

einn skóre	prostředek	jedna bota
einir skóre	prostředek	jeden pár bot
tvennir skóre	prostředek	dva páry bot

To nám umožňuje mluvit o dvojicích bot spíše jako o množině druhé úrovně než o množině předmětů první úrovně, jako jsou páry. Pro příklad v angličtině zvažte videohru, ve které může libovolný počet týmů (n) soutěžit v soutěži (n). Zdá se tedy, že následující věta obsahuje nadpřirozený termín:

(12) Tito lidé, tito lidé a tito další lidé si navzájem konkurují. (Linnebo a Nicolas 2008)

(Viz také Oliver a Smiley 2004: 654–656 a 2005: 1063; Ben-Yami 2013; a Simons 2016)

Navíc samotná myšlenka, že o legitimitě kvantifikace vyššího množného čísla je rozhodnuto existencí nebo neexistencí množných locicí vyššího stupně v angličtině a dalších přirozených jazycích, je problematická (Hazen 1993: 138 a 1997: 247; Linnebo 2003: Linnebo 2003: 87; Rayo 2006). Opravdu záleží na tom, zda můžeme opakovat principy a úvahy, na nichž je založeno naše chápání běžné kvantifikace množného čísla na první úrovni: pokud to bude možné, bude kvantifikace množného čísla na vyšší úrovni odůvodněna stejným způsobem jako běžná úroveň první úrovně. množné číslo; a pokud ne, pak ne. I kdyby tedy v přirozených jazycích neexistovaly množné locutions na vyšší úrovni,toto by poskytlo malý nebo žádný důkaz pro silnější - a filozoficky zajímavější - tvrzení, že nemůže dojít k iteraci kroku od jednotného čísla k množnému číslu v jakémkoli jazyce mluveném inteligentními agenty. Kromě toho by jakýkoli důkaz tohoto druhu mohl být poražen poukazem na nezávislé důvody, proč vyšší množné locice v přírodních jazycích nejsou dostatečné. Jedním takovým nezávislým důvodem může být jednoduše to, že obyčejní řečníci se příliš nezajímají o své ontologické závazky, a proto je pro ně vhodnější vyjádřit fakta týkající se plurality druhé úrovně tím, že objekty budou reprezentovat plurality první úrovně (například mluvením o dvou páry bot) spíše než sledováním dalšího gramatického zařízení pro množné číslo druhé úrovně (jako ve výše uvedeném příkladu z islandštiny).

3. Diplomová práce

Často se tvrdí, že teorie PFO a PFO + se kvalifikují jako „čistá logika“. Budeme odkazovat na toto (sice nejasné) tvrzení jako na téma Logičnost. Protože odpovídající jazyky jsou interpretovány překladem (Tr) do běžné angličtiny, jedná se o tvrzení o logičnosti určitých axiomů a inferenčních pravidel běžné angličtiny. ^[12]

Ještě před zpřesněním teze o logičnosti je možné posoudit její věrohodnost alespoň pro některá z axiomatických a inferenčních pravidel PFO a PFO +. Nejprve existují tautologie a pravidla odvozování, kterými se řídí identita, a singulární kvantifikátory. Existuje široká shoda v tom, že se kvalifikují jako logické. Dále jsou zde odvozovací pravidla upravující množné kvantifikátory. Protože tato pravidla jsou zcela analogická pravidlům upravujícím singulární kvantifikátory, lze jen stěží popřít, že se také kvalifikují jako logická. Pak existují axiomy extenze a axiom, že všechny množné čísla nejsou prázdné. Tyto axiomy jsou bezproblémové, protože je lze věrohodně považovat za analytické. Zbývají však množné axiomy s porozuměním, kde jsou věci mnohem méně jasné. Pro tyto axiomy nemají zjevné singulární protějšky,a jejich syntaktická forma naznačuje, že činí existenciální nároky. Není tedy zřejmé, že tyto axiomy lze považovat za čistě logické.

Tím nechci říci, že to lidi nezdálo být zřejmé, že množné axiomy porozumění jsou čistě logické. Například Boolos bez argumentů tvrdí, že překlad každého axiomu pluralismu s porozuměním do angličtiny „vyjadřuje logickou pravdu, pokud ano nějaká věta angličtiny“(Boolos 1985b: 342 [1998a: 167]; jeho důraz).

Aby bylo možné logicky hodnotit tezi logičnosti zásadněji, bude třeba říci více o tom, co by mohlo znamenat, že teorie je „čistě logická“. Takže nyní prozkoumám některé rysy, o nichž se běžně uvažuje, že v takové definici hrají roli. Přestože lidé mohou volně používat slovo „logika“, jak se jim líbí, je důležité objasnit, co různá použití znamenají; zejména teorie, které se kvalifikují jako čistě logické, se často považují za těžit z řady žádoucích filosofických vlastností, jako je epistemická a ontologická nevinnost. V další části, kde se bude diskutovat o různých aplikacích kvantifikace množného čísla, si pečlivě všimnu, jaké kmeny pojmu logičnosti musí naše teorie PFO a PFO + vlastnit, aby jejich různé aplikace uspěly.

Snad nejméně kontroverzním kandidátem na definující rys logiky je jeho absolutní obecnost. Logický princip je platný v jakémkoli druhu diskursu, bez ohledu na to, jaké předměty se tento diskurz týká. Například modus ponens platí nejen ve fyzice a matematice, ale také v náboženství a v analýze děl beletrie. Frege pěkně zachycuje myšlenku, když říká, že logický princip platí v „nejširší doméně ze všech; […] Nejen skutečný, nejen intuitivní, ale všechno myslitelné “(Frege 1884: 21). Zatímco tedy fyzikální principy platí pouze ve skutečném světě a ve světech, které jsou mu nomologicky podobné, principy logiky řídí vše, co je možné. Pokud bude jeden z těchto principů zamítnut, dojde k „úplnému zmatku“(tamtéž).

Dalším rysem, o kterém se obecně říká, že definuje logiku, je její formálnost: pravda o principu logiky je zaručena formou myšlení a / nebo jazyka a v žádném případě nezávisí na její záležitosti. To, co tato funkce znamená, bude samozřejmě záviset na tom, jak je chápáno rozlišení mezi formou a hmotou. Nejpopulárnější vysvětlení rozdílu mezi formou a hmotou vychází ze široce sdíleného názoru, že konceptuální nutnost neexistuje žádný objekt (Field 1993; Yablo 2000). Z tohoto pohledu je přirozené považovat cokoli, co má co do činění s existencí předmětů a jejich zvláštními charakteristikami, spíše za náležející k myšlenkové věci než k její formě. To vede ke dvěma rysům, které jsou často považovány za definici logiky. Zaprvé, logika musí být ontologicky nevinná; to znamená,princip logiky nemůže zavést žádné nové ontologické závazky (Boolos 1997; Field 1984). Za druhé, základní pojmy logiky nesmí rozlišovat mezi různými objekty, ale musí s nimi zacházet stejně. Tato poslední myšlenka je často vyjádřena jako požadavek, že logické pojmy musí být invutovány pod permutacemi domény objektů (Tarski 1986).

Třetím rysem, který je často považován za definici logiky, je jeho (údajná) kognitivní nadřazenost. Primitivní logické pojmy musí být zcela pochopeny a naše porozumění jim musí být přímé v tom smyslu, že nezávisí na nebo nezahrnuje chápání pojmů, které musí být klasifikovány jako extralogické. Předpokládejme například, že určité teoretické principy musí být považovány za mimosmluvní. Pak naše porozumění primitivním logickým pojmům nemůže záviset na žádném z těchto principů ani se na nich nesmí podílet.

4. Aplikace množného čísla

Nyní nastíním některé aplikace teorií PFO a PFO +. V předchozí části byly rozebrány tři kmeny pojmu logičnost. Zvláštní pozornost bude věnována otázce, kterou z těchto tří kmenů musí PFO a PFO + vlastnit, aby aplikace uspěly.

4.1 Stanovení logičnosti monadické logiky druhého řádu

Jak jsme viděli v části 2.1, Boolos definoval interpretaci teorie MSO monadické logiky druhého řádu v teorii PFO kvantifikace množného čísla. Pokoušel se použít tento překlad k prokázání logičnosti MSO. Pokud tak učiníte, bude vyžadovat dva kroky. Prvním krokem je argumentovat, že PFO je čistá logika, to znamená vytvořit úplnou tezi logičnosti (jakkoli je přesně interpretována). Druhým krokem je argumentovat, že interpretace MSO v PFO zachovává logičnost.

Některé z výzev, kterým čelí první krok, budou přezkoumány v oddíle 5. Také druhý krok by neměl být podceňován. Možná největší starostí je, že překlad Boolose vyjadřuje výrazy z jedné kategorie (monadických predikátů), pokud jde o výrazy z jiné kategorie (tj. Množných větných substantiv). Například „… je jablko“se vykresluje jako „jablka“. Tyto kategorie se však velmi liší (oddíl 2).

Nicméně, protože práce, že MSO je čistá logika, je velmi abstraktní, bude velká část její peněžní hodnoty spočívat v jejích aplikacích. A vzhledem k rovnocennosti interpretace MSO a PFO je pravděpodobné, že mnoha aplikacím logičnosti prvního může být stejně dobře zajištěno i jeho logickým charakterem. To poněkud snižuje důležitost provedení druhého kroku.

4.2 Logicismus

Fregeanský i post Fregejský logicismus nezbytně využívá kvantifikaci druhého řádu. Frege definoval různé objekty čisté matematiky jako rozšíření pojmů, a jeho slavný Základní zákon V uvedl, že dva pojmy (F) a (G) mají stejné rozšíření, pouze v případě, že jsou spolu-extenzivní:

) tag {V} û / mstop Fu = û / mstop Gu / leftrightarrow / Forall {u} (Fu / leftrightarrow Gu))

Jak je však dobře známo, Russellův paradox ukazuje, že teorie druhého řádu s (V) jako axiom je nekonzistentní.

Filozofové se pokusili zachránit některé myšlenky Fregeanské logiky pomocí axiomů slabších než (V). Jeden z nejdůležitějších takových pokusů je Bob Hale a Crispin Wrightův neo-logicismus, který se vzdává Fregeovy teorie rozšíření, ale drží hlavní myšlenku jeho definice kardinálních čísel, konkrétně že počet (F) je identický s počtem (G) s jen v případě, že (F) a (G) s mohou být ve vzájemném vztahu. Toto stalo se známé jako Hume princip, a moci být formalizován jak

) tag {HP} Nu. Fu = Nu / mstop Gu / leftrightarrow F / cca G)

kde (F / cca G) říká, že existuje vztah, který mezi sebou koreluje (F) a (G) s. Teorie druhého řádu s (HP) jako axiomem je konzistentní a umožňuje nám odvodit všechny běžné (Peano-Dedekindův druhý řád) aritmetiky pomocí některých velmi přirozených definic (viz položka Fregeova logika, věta a základy pro Aritmetický).

Ještě skromnější je Boolosův sub-logicismus, který odmítá myšlenku (potvrzenou jak logiky, tak neo-logiky), že existují logické objekty, ale trvá na tom, že Fregeovu definici předků vztahu lze použít k ukázce, proti Kantovi, že alespoň nějaká netriviální matematika je analytická (Boolos 1985b). Připomeňme, že vztah (R) stojí předkem (Rarel), protože vztah je rodičem stojanů, který je předkem. (Přesněji řečeno, (Rarel) drží mezi dvěma objekty (x) a (y) jen v případě, že (x) a (y) jsou spojeny prostřednictvím konečné posloupnosti objektů, z nichž každý nese (R) svého nástupce.) Frege dává definici druhého řádu vztahu předků (Rarel) tím, že stanoví, že (x) a (y) jsou spojeny pomocí (Rarel) jen v případě (y) má všechny vlastnosti, které mají (x) 's (R) - následníci a zděděné ve vztahu (R) -:

) tag {Def (Rarel)} x / Rarel y / leftrightarrow / Forall {F}) Forall {u} (x / Rrel u / rightarrow Fu) amp / Forall {u} (Fu / amp u / Rrel v / rightarrow Fv) rightarrow Fy])

Pomocí této definice Frege 1879 prokazuje některé netriviální matematické pravdy, jako je to, že předek (Rarel) je tranzitivní a že pro jakýkoli funkční vztah (R), (R) - předci všech objekty jsou (Rarel) - srovnatelné (tj. prokázal: Funkční ((R) amp x / Rarel y / amp x / Rarel z / rightarrow y / Rarel z / lor z / Rarel y)).

Bylo navrženo, aby byl PFO použit pro uspokojení potřeby post-fregejských logistiků pro kvantifikaci druhého řádu. Protože předek dyadického predikátu lze definovat pouze pomocí monadické kvantifikace druhého řádu, PFO skutečně slouží logickým potřebám Boolosova sublogicismu. ^[13] Ale protože neo-logicistická definice (F / cca G) používá dyadickou logiku druhého řádu, samotný PFO nemá dostatečnou expresivní sílu k uspokojení potřeb neo-logicismu. Neologicist se může pokusit vyřešit tento problém tím, že považuje ekvinumerositu za primitivní logický kvantifikátor nebo simuluje dyadickou kvantifikaci druhého řádu v nějakém vhodném rozšíření PFO, jak je uvedeno v části 2.2 ^[14] (další možnost viz Boccuni 2010).

Které kmeny Thesis of Logicality Thesis jsou nutné, aby tyto aplikace uspěly? Protože se tito logici pokoušejí ukázat, že části matematiky jsou analytické (nebo přinejmenším znatelné a priori), vyžadovalo by to, aby PFO byl analytický (nebo alespoň znatelně a priori), což zase pravděpodobně bude vyžadovat, aby si PFO užíval nějakou formu kognitivní nadřazenost. Kromě toho by PFO muselo být buď ontologicky nevinné, nebo se zavázalo pouze subjektům, jejichž existence je koncepčně nezbytná (nebo alespoň prokazatelně a priori).

4.3 Teorie množin

Další aplikace diplomové práce se zabývá teorií množin. Jeden může z různých důvodů chtít mluvit a kvantifikovat přes sbírky sad (Linnebo 2003: 80–81). Například, jeden může chtít prosadit

(13) Existují některé soubory, které jsou všechny a pouze soubory, které nejsou členy skupiny

Pokud to formalizujeme jako

) tag {(13 ')} Existuje {R} Forall {x} (Rx / leftrightarrow x / not / in x),)

jak je třeba rozumět kvantifikátoru (existuje {R})? Je zřejmé, že nelze pokročit ve všech sadách, protože by to vedlo přímo k Russellově paradoxu: (13 ') by pak potvrdilo existenci Russellova souboru. V literatuře jsou prominentní tři další odpovědi.

První odpověď je, že (existuje {R}) se rozprostírá přes třídy, ale že některé třídy jsou příliš velké (nebo jinak nevhodné), aby mohly být nastaveny. Zejména (13) tvrdí, že existuje třída Russell, což není soubor. Tato odpověď byla shledána problematickou, protože postuluje existenci různých druhů „set-like“entit (Boolos 1984: 442 [1998a: 66] a 1998b: 35). Rovněž bylo namítáno, že tato reakce pouze odkládá problém, který představuje (13). Nebolo by to také pravda

(14) Existují některé třídy, které jsou všechny a nejsou samostatnými třídami

Jaký druh entity by tato sbírka tříd byla? Super třída? Pokud ano, budeme nuceni postulovat vyšší a vyšší úrovně tříd. Lewis (1991: 68) tvrdí, že Russellův paradox je stále nevyhnutelný, protože když vezmeme v úvahu všechny set-like entity, uvědomíme si, že následující platí:

(15) Existují některé věci podobné souborům, které jsou všechny a pouze věci, které nejsou členy skupiny

Hazen (1993: 141–2) však poukázal na to, že Lewisova námitka porušuje základní typová omezení. Třídy různých úrovní patří k různým logickým typům, stejně jako koncepce různých úrovní. Lewisův pokus mluvit o všech set-like entitách v jednom padajícím tahu tedy zahrnuje pokus kvantifikovat napříč různými logickými typy. To však porušuje typová omezení stejným způsobem jako pokus kvantifikovat současně objekty a koncepty všech různých úrovní. Ačkoli můžeme kvantifikovat na každé úrovni tříd, nikdy nemůžeme kvantifikovat na všech úrovních současně.

Druhá odpověď je, že (13) potvrzuje existenci množiny (R), ale že (R) není v rozsahu kvantifikátoru (forall {x}). To nám brání v instanci kvantifikátoru (forall {x}) s ohledem na (R), což znamená, že nemůžeme vyvodit fatální závěr, že (R) je sám sebou jen v případě, že není 't. Tato odpověď však znamená, že kvantifikátor (forall {x}) nelze vybrat tak, aby se pohyboval v absolutně všech sadách; protože pokud by to bylo tak zvoleno, nemohli bychom popřít, že (R) je v tomto rozsahu kvantifikace. To znamená, že vesmír sad má určitou nevyčerpatelnost: kdykoli jsme vytvořili koncepci kvantifikace v určitém rozsahu sad, můžeme definovat množinu, která není v tomto rozsahu (Dummett 1981: kap. 15 a 1991: ch. 24; Glanzberg 2004; Parsons 1977). Nicméně,tato odpověď byla kritizována za to, že je, v nejlepším případě obtížně řečeno, a nejhorší sebe vyvracející (Boolos 1998b: 30; Lewis 1991: 68; Williamson 2003: sect. V). (Viz také Rayo a Uzquiano 2006 pro řadu esejů diskutujících o tom, zda je možná absolutně obecná kvantifikace.)

Kvůli obtížím spojeným s prvními dvěma odpověďmi se v posledních letech stala populární třetí odpověď (Boolos 1984 a 1985a; Burgess 2004; Cartwright 2001; Rayo a Uzquiano 1999; Uzquiano 2003). To je, že kvantifikátor (existuje {R}) je množné číslo kvantifikátoru (a proto by bylo lépe psáno jako (existuje {rr})) a že množné číslo je ontologicky nevinné. Proto (13) netvrdí existenci nějaké „set-like“entity nad a nad množinami v rozsahu kvantifikátoru (forall {x}). Jak však uvidíme v oddíle 5, tvrzení o ontologické nevině je kontroverzní.

4.4 Matematický nominalismus

Některé z nejpopulárnějších aplikací množného číslování se týkají ontologické ekonomiky. Cílem je zaplatit ontologickou cenu pouhé teorie prvního řádu a poté použít množné číslo, aby se zdarma (teorie se silou) dostalo odpovídající monadické teorie druhého řádu. To by samozřejmě byl ontologický obchod. Aplikace tohoto druhu spadají do dvou hlavních tříd, které budou popsány v této podkapitole a následující.

Jedna třída aplikací množného kvantifikace má za cíl učinit ontologické dohody ve filozofii matematiky. Zejména řada filosofů se pokusila použít množné číslo jako součást nominačních interpretací matematiky. Pěkným příkladem je modální nominalizmus Geoffreyho Hellmana, podle kterého je třeba matematické výroky zavázané k existenci abstraktních objektů eliminovat ve prospěch prohlášení o možné existenci konkrétních objektů. Například, místo toho, aby tvrdil, jak to platí platonista, že existuje nekonečná sbírka abstraktních objektů splňujících axiomy Peano aritmetiky (jmenovitě přirozená čísla), Hellman tvrdí, že by mohla existovat nekonečná sbírka konkrétních objektů souvisejících tak, aby tyto axiomy uspokojují (Hellman 1989 a 1996). Nicméně,Zdá se, že i tento modální požadavek hovoří o sbírkách konkrétních objektů a vztazích k nim. Aby předešel námitce, že se to pašuje přes abstraktní objekty zadních dveří, jako jsou soubory, potřebuje Hellman nějakou alternativní, nominálně přijatelnou interpretaci této diskuse o sbírkách a vztazích. Taková interpretace může nabídnout množné číslo.

Aby toto uplatnění množného čísla mohlo fungovat, musí být PFO použitelný na všechny druhy konkrétních objektů a musí být ontologicky nevinný nebo přinejmenším nesmí být zavázán k jakýmkoli entitám, které sdílejí ty rysy abstraktních objektů, o nichž se zjistí, že jsou noministicky nevhodné. Navíc, abychom simulovali kvantifikaci vztahů, budeme potřebovat nejen PFO, ale teorii spíš monadickou logiku třetího řádu (oddíly 2.2 a 2.4).

4.5 Eliminace komplexních objektů

Další třída aplikací se pokouší eliminovat závazky vědy a zdravého rozumu k (některým nebo všem) komplexním objektům. Například namísto použití obvyklé singulární kvantifikace na stolech a židlích se navrhuje, abychom používali množné množení na mereologických atomech uspořádaných po stole nebo židli (Dorr a Rosen 2002; Hossack 2000; van Inwagen 1990). Například, místo toho, aby se říkalo, že v jedné kanceláři je židle, je třeba říci, že v jedné kanceláři jsou uspořádány nějaké atomy uspořádané židle. Takto se zdá, že se člověk nezavazuje k existenci židle. Všimněte si, že takové analýzy vyžadují PFO +, nejen PFO, protože nové predikáty „jsou uspořádány (F) - moudré“jsou nedistribuční.

Odložme čistě metafyzické obavy z takových analýz, které jsou pro náš současný zájem irelevantní. To, co bychom chtěli vědět, je to, co vyžaduje, aby tyto analýzy kladly na teorii PFO +, zejména to, jaké kmeny Logické teze jsou zapotřebí. Nejzjevnější požadavky jsou, aby PFO + bylo použitelné na všechny druhy jednoduchých objektů a aby bylo ontologicky nevinné nebo alespoň nezavázalo ke komplexním objektům, které mají být odstraněny.

Méně zřejmá poptávka souvisí například s potřebou analyzovat obyčejné množné kvantifikace například u komplexních objektů

(16) V kruhu jsou uspořádány některé židle

Už jsme „spotřebovali“běžnou množinovou kvantifikaci a predikci, abychom eliminovali zjevný závazek k jednotlivým židlím (Uzquiano 2004). Abychom mohli analyzovat (16), budeme potřebovat něco jako „super plurální“kvantifikaci - kvantifikaci, která stojí za obyčejnou množskou kvantifikací, zatímco obyčejná množná kvantifikace znamená singulární - a odpovídající nedistribuční predikci. O legitimitě těchto jazykových zdrojů se hovořilo v oddíle 2.4.

5. Ontologická nevinnost?

V analytické filosofii je tradičním názorem, že všechny množné lokusy by měly být parafrázovány, je-li třeba, kvantifikací přes množiny (oddíl 1). George Boolos a další namítali, že je nepřirozené a zbytečné odstraňovat množné locutions. To vedlo k teoriím PFO a PFO +. Zastáncové množného kvantifikace prohlašují, že tyto teorie dovolí množné locutions být formalizován způsobem, který je zásadně odlišný od starých set-teoretické parafrázy. Zejména tvrdí, že tyto teorie jsou ontologicky nevinné v tom smyslu, že nezavádějí žádné nové ontologické závazky vůči souborům nebo jiným druhům „set-like“entit nad jednotlivými objekty, které tvoří dané množné číslo. Říkejme tomu posledně jmenovaný nárok na ontologickou nevinnost.

Jiní filozofové zpochybňují ontologickou nevinnost. Například Michael Resnik vyjadřuje pochybnosti o údajné ontologické nevině množného formalizace (ref {ex3pprime}) věty Geach-Kaplan (3). Pro případ, že (ref {ex3pprime}) je přeložen do angličtiny podle pokynů, zní:

((3 '' ')) Někteří kritici jsou takoví, že kdokoli z nich obdivuje jiného kritika, pouze pokud je ten druhý odlišný od prvního

Ale ((3 '' ')), Resnik říká:

Zdá se mi, že odkazuje na sbírky zcela explicitně. Jak jinak chápeme frázi „jeden z nich“, než jak odkazujeme na nějakou sbírku a jak říkáme, že jí náleží referent „jednoho“? (Resnik 1988: 77)

Související obavy byly vyjádřeny v Hazen 1993, Linnebo 2003, Parsons 1990 a Rouilhan 2002; viz také Shapiro 1993.

Nyní budu diskutovat o třech argumentech ve prospěch ontologické neviny.

5.1 Argument množiny

První argument začíná tím, že nás žádáme, abychom tento nárok zvážili

(17) Existují některé soubory, které jsou pouze soubory, které nejsou členy skupiny

a přiznat, že je to pravda. Pokračuje tvrzením, že pokud by množné výrazy byly spáchány ve sbírkách nebo jiných „set-like“objektech, pak by pravda (17) vedla přímo k Russellovu paradoxu. Toto je někdy myšlenka jako knock-down argument ve prospěch ontologické nevinnosti (Boolos 1984: 440–443 [1998a: 64–67]; Lewis 1991: 65–69; McKay 2006: 31–32). Ve skutečnosti je však méně přesvědčivý, než se zdá. Jak jsme viděli v části 4.3, Russellův paradox bude následovat, pouze pokud budou vyloučeny dva alternativní názory. Protože tyto názory nelze vyloučit z ruky, zbývá ještě mnoho práce, než bude tento argument považován za přesvědčivý.

5.2 Nesprávný argument predikace

Druhý argument je pěkně zapouzdřen poznámkou Boolose, že „je haywire si myslet, že když máte nějaké Cheerios, jíte soubor“(1984: 448–9 [1998a: 72]). Boolos zde navrhuje, že analýzy, které popírají ontologickou nevinnost, pravděpodobně způsobí nesprávné určení množných predikcí.

Zřejmou odpovědí je interpretovat množné predikáty způsobem, který zajišťuje, že to, co jíme, jsou prvky množiny, nikoli samotná množina. Zvažte větu:

(18) George Boolos jedl několik Cheerios k snídani 1. ledna 1985

Je-li přímý objekt slovesa „ate“množné, můžeme například sloveso interpretovat pomocí vztahu x ate-the-elements-of y.

Bude namítáno, že tato odpověď způsobí, že sloveso „jedlo“nejasným způsobem nejednoznačné (Oliver a Smiley 2001). Pokud má sloveso přímý objekt, který je singulární, bude pravděpodobně interpretován pomocí obyčejného vztahu x ate y. Existuje však poměrně silný důkaz, že sloveso „jedlo“není tímto způsobem dvojznačné. Například, jeden účinek dvojznačnosti je zakázat jisté druhy elipsy. Příkladem je nejednoznačnost výrazu „make“v „make breakfast“a „make a plan“, který zakazuje následující elipsy:

(* 19) Boolos připravil snídani, ale jeho host, jen plán

Takže pokud by „jedl“byl nejednoznačným způsobem, jak bylo popsáno, byla by zakázána i následující elipsa, což není:

(20) Boolos snědl některé Cheerios, ale jeho host, jen jablko

Není však zcela jasné, že výše uvedená reakce na argument Boolose musí být věnována všem takovým problematickým nejasnostem. Můžeme například nechat všechny predikáty brát jako argumenty množné entity. Sloveso „ate“pak vždy obdrží jako svůj výklad vztah elementů x ate-elementů y, čímž odstraní jakoukoli nejednoznačnost. Zda je tato odpověď nakonec přijatelná, ukazuje, že dotčený argument zůstává neprůkazný.

5.3 Přímý argument

Asi nejoblíbenějším argumentem pro ontologickou nevinnost je ten, k němuž se nyní obrátím. Ve své nejjednodušší podobě je tento argument založen na našich intuicích o ontologických závazcích. Když tvrdíte (18), nemáte pocit, že jste se ontologicky zavázali ke sbírce nebo k jinému druhu „set-like“objektu. Nemáte žádný takový pocit, když uplatňujete Geach-Kaplanovu větu nebo jakýkoli jiný překlad věty PFO nebo PFO + do angličtiny. Nebo tak argument pokračuje.

V této jednoduché podobě je argument náchylný k námitce, že lidské intuice poskytují špatný základ pro řešení teoretických sporů o ontologických závazcích. Viděli jsme, že existují kompetentní mluvčí angličtiny, jako je Michael Resnik, kteří tyto intuice nesdílejí. Navíc, jak objasňuje Davidsonova populární analýza akčních vět z hlediska událostí, nelze vždy věřit intuici obyčejných lidí ohledně ontologických závazků (Davidson 1967). Například někdo může upřímně tvrdit, že John kráčel pomalu, aniž by si byl vědom toho, že se zavázal k existenci události (jmenovitě chůze, která byla Johnem a která byla pomalá).

Ačkoli tato námitka má platnost, argument lze naostřit tím, že provedeme pečlivější studii o tom, jaké formy existenciální generalizace jsou zaručeny na větě obsahující množné výrazy (Boolos 1984: 447 [1998a: 70]; McKay 2006: ch. 2; Yi 2002: 7–15 a 2005: 469–472). Můžeme se například zeptat, zda lze z (18) odvodit:

(21) Existuje předmět, který Boolos snědl všechny své prvky (nebo složky) k snídani 1. ledna 1985

Tento závěr by byl bezpochyby docela zvláštní. To poskytuje důkaz, že (18) není odhodlána k žádnému typu „set-like“entity.

Tento důkaz však není nesporný. Protože existují analogické závěry, které se zdají docela přirozené. Například z

(22) Někteří studenti obklopili budovu

většina řečníků angličtiny by to naprosto rád usoudila

(23) Budova obklopovala skupina studentů

Takže možná zvláštnost závěru od (18) do (21) je spíše pragmatický než sémantický jev. Možná to souvisí s faktem, že je méně přirozené považovat některé Cheerios za soubor (nebo nějaký jiný druh množného čísla), než je považovat některé studenty za skupinu.

Předpokládejme však, že obránci přímého argumentu mají pravdu, že (18) z toho nevyplývá (21). Co by následovalo? Z toho by vyplývalo, že (18) nevznikají žádné další ontologické závazky, jaké by mohly vzniknout singulárním kvantifikátorům prvního řádu. Tento závěr však nedosahuje požadovaného závěru argumentu, že (18) nevznikají žádné další ontologické závazky jakéhokoli druhu. Abychom se dostali od skutečného závěru k požadovanému, museli bychom navíc předpokládat, že všechny ontologické závazky jsou takového druhu, jaký vznikly singulárními kvantifikátory prvního řádu. Existuje však vlivná filosofická tradice, která tento předpoklad popírá a místo toho zastává názor, že všechny druhy kvantifikátorů vycházejí z ontologických závazků, nejen z jedinečných závazků prvního řádu. ^[15]Nejznámějším exponentem této tradice je Frege, který tvrdí, že kvantifikátory druhého řádu jsou zavázány konceptům, stejně jako kvantifikátory prvního řádu, které jsou zavázány k objektům. Tato tradice velmi úzce spojuje pojem ontologického závazku s významem sémantické hodnoty. To bude tématem následující a poslední podkapitoly.

5.4 Sémantické hodnoty a ontologické závazky

V sémantice se široce předpokládá, že každá složka komplexního výrazu určitým způsobem přispívá k významu komplexního výrazu. Tento příspěvek je znám jako sémantická hodnota výrazu komponenty. Předpokládá se také, že význam komplexního výrazu je funkčně určen sémantickými hodnotami komponentních výrazů a jejich syntaktickým způsobem složení. Tento předpoklad je znám jako složitost.

Podle Fregeho je sémantická hodnota věty pouze její pravdivostní hodnotou a sémantická hodnota vlastního jména je její referent (tj. Objekt, ke kterému se vztahuje). Jakmile opravíme sémantické hodnoty přiřazené větám a vlastním jménům, je snadné určit, jaké druhy sémantické hodnoty přiřadit výrazům jiných syntaktických kategorií. Například sémantická hodnota monadického predikátu bude muset být funkcí od objektů po pravdivé hodnoty. Frege volá takové koncepty funkcí.

Jako příklad uveďme jednoduchou větu s predikátem subjektu

(24) Socrates je smrtelný

Logická podoba (24) je (mathbf {M} (mathbf {s})), kde (mathbf {M}) je predikát "je smrtelný" a (mathbf {s}) je singulární termín „Sokrates“. Napíšeme) (mathbf {E})] pro sémantickou hodnotu výrazu (mathbf {E}). V souladu s předchozím odstavcem jsou sémantické hodnoty relevantní pro bod (24) následující:

(25) () mathbf {s}] = / textrm {Socrates})

(26) () mathbf {M}] =) funkce (f) z objektů na pravdivé hodnoty, takže (f (x)) je pravda, pokud (x) je smrtelný a (f (x)) je nepravdivé jinak

Skutečná hodnota (24) je tedy určena jako

(27) [(24)] (=) mathbf {M} (mathbf {s})] =) mathbf {M}] () mathbf {s}]) = f (textrm {Socrates}) =) pravda (pokud je Sokrates smrtelný) nebo nepravda (jinak)

Frege považoval spojení mezi sémantickými hodnotami a ontologickými závazky za velmi blízké. Pro výše uvedenou analýzu (24) podporuje dva druhy existenciálních zobecnění: nejen pro (Exists {x} mstop / mathbf {M} (x)) (což platí jen v případě, že existuje nějaký objekt, který je smrtelný), ale také na (Existuje {F} mstop F (s)) (což platí jen v případě, že existuje nějaký koncept, pod který spadá Sokrates). Podle Frege to ukazuje, že věty jako (24) jsou ontologicky zavázány nejen k předmětu, ale také k určitému konceptu.

Pro současné účely není důležitá pravda ani nepravda Fregeova tvrzení o pojmech, ale to, zda lze pro množné výrazy vyvinout přesvědčivý argument tohoto druhu. Abychom to prozkoumali, uvážme jednoduchou nedistribuční množnou predikci, jako je

(28) Tato jablka tvoří kruh

Logická podoba (28) se jeví jako (mathbf {C} (mathbf {aa})), kde (mathbf {C}) je predikát "tvoří kruh" a (mathbf {aa}) je množné číslo „tato jablka“. (Pokud si myslíte, že komplexní množné číslo má vnitřní sémantickou strukturu, použijte místo toho nějaké množné jméno určené přímo pro dotyčná jablka.) Přirozený pohled bude potom následující.

(29)) (mathbf {aa}] = a_1) a … a (a_n) (kde (a_i) jsou všechny a pouze ukázaná jablka)

(30)) (mathbf {C}] =) funkce (g) z množného čísla na pravdivé hodnoty, takže (g (xx)) je pravda, pokud (xx) tvoří kruh a (g (xx)) je falešná jinak

Skutečná hodnota (28) bude poté určena jako

(31) [(28)] (=) mathbf {C} (mathbf {aa})] =) mathbf {C}] () mathbf {aa}]) = g (a_1) a… a (a_n)) = true (pokud (a_1) a… and (a_n) tvoří kruh) nebo false (jinak)

což by se dalo očekávat vzhledem k syntaktické podobnosti mezi (24) a (28).

Předpokládejme, že tato analýza je správná a že každý množný výraz má tedy některé objekty jako svou sémantickou hodnotu, stejně jako každý jednotlivý termín má jako svou sémantickou hodnotu jeden objekt. Co to bude znamenat pro otázku ontologické neviny? Podle fregejské tradice, která spojuje pojem ontologického závazku s konceptem sémantické hodnoty, bude to znamenat, že množné výrazy vyvolávají závazek k množným entitám, stejně jako predikáty vyvolávají závazek k pojmům. Chcete-li říci, že věta je závazkem k množnému číslu, stačí říci, že pravda věty vyžaduje, aby existovala nějaká sémantická hodnota druhu vhodného pro množné číslo. Tuto linii uvažování však budou bránit jiní filozofové,kteří věří, že pojem ontologického závazku by měl být svázán (nanejvýš) s jedinečnými proměnnými prvního řádu.

Jak lze tuto nesouhlas rozhodnout? Na jedné straně může počítat ve prospěch fregejské tradice, že jejich pohled je vysoce systematický. Tam může být něco ad hoc o myšlence, že některé druhy sémantické hodnoty dávají vzniknout ontologickým závazkům, zatímco jiné druhy ne. Na druhé straně může počítat ve prospěch alternativního pohledu, že lépe spravuje mnoho silně pociťovaných intuicí mnoha lidí, že množné lokusy jsou ontologicky nevinné.

Další možností je, že celá diskuse je nakonec jen pseudo-neshoda (viz zejména Florio a Linnebo 2016, ale také Parsons 1990; Shapiro 1993; Linnebo 2003; Rayo 2007; a Linnebo a Rayo 2012). Pokud se obě strany shodnou na tom, že množné výrazy mají sémantické hodnoty, a pokud se obě shodnou na tom, že závazky k objektům vznikají pouze v jednotných termínech a proměnných prvního řádu, pak pravděpodobně nezáleží na tom, zda by se jiné druhy výrazů a proměnných měly považovat za zavedení jejich vlastní výrazné druhy ontologického závazku. Někteří filozofové hovoří o ideologických závazcích teorie, nikoli pouze o svých ontologických závazcích. Tím se míní logické a koncepční prostředky, které teorie využívá. Možná by bylo filosofům doporučeno, aby se více soustředili na metafyzické a epistemologické otázky vyvolané ideologickými závazky teorie a méně se starali o to, zda by tyto ideologické závazky měly být také považovány za zavedení zvláštního druhu ontologického závazku. Koneckonců, pojem ontologického závazku je teoretický, nikoli ten, který má mimo filozofii nějaký ostrý obsah. Možná bychom tedy měli tento pojem považovat spíše za prostředek k dosažení dobrých filozofických vysvětlení a méně za cíl sám o sobě.ne ten, který nemá ostrý obsah mimo filozofii. Možná bychom tedy měli tento pojem považovat spíše za prostředek k dosažení dobrých filozofických vysvětlení a méně za cíl sám o sobě.ne ten, který nemá ostrý obsah mimo filozofii. Možná bychom tedy měli tento pojem považovat spíše za prostředek k dosažení dobrých filozofických vysvětlení a méně za cíl sám o sobě.

Bibliografie

• Armstrong, David, 1978, Universals and Scientific Realism, sv. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ben-Yami, Hanoch, 2004, Logický a přirozený jazyk: Na množné číslo a jeho sémantický a logický význam, Hants: Ashgate.
• ––– 2009, „Logika množného číslování: kritické hodnocení“, Recenze symbolické logiky, 2 (1): 208–232. doi: 10,017 / S1755020309090108
• ––– 2013, „Pluralita na vyšší úrovni versus artikulovaný odkaz a vypracování Salva Veritate“, Dialectica, 67 (1): 81–102. doi: 10,111 / 1746-8361,12013
• Black, Max, 1971, „The Elusiveness of Sets“, Recenze metafyziky, 24 (4): 614–636.
• Boccuni, Francesca, 2010, „Plural Grundgesetze“, Studia Logica, 96 (2): 315–330. doi: 10,1007 / s11225-010-9281-3
• Boolos, George, 1984, „Být je hodnotou proměnné (nebo být některými hodnotami některých proměnných)“, Journal of Philosophy, 81 (8): 430–50; repr. v Boolos 1998a. doi: 10,2307 / 2026308
• –––, 1985a, „noministický platonismus“, filosofický přehled, 94 (3): 327–344; repr. v Boolos 1998a. doi: 10,2307 / 2185003
• –––, 1985b, „Reading the Begriffsschrift“, Mind, 94 (375): 331–344; repr. v Boolos 1998a. doi: 10,1093 / mind / XCIV.375.331
• –––, 1997, „Je Humeův analytický princip?“v Richard G. Heck, Jr. (ed.), Logic, Language and Thought, Oxford: Oxford University Press; repr. v Boolos 1998a.
• –––, 1998a, Logic, Logic a Logic, Richard Jeffrey (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1998b, „Odpověď na sady a třídy Charlese Parsonse“, v Boolos 1998a: s. 30–36.
• Boolos, George, John P. Burgess a Richard C. Jeffrey, 2007, Computability and Logic, 5. vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bricker, Phillip, 1989, „Quantified Modal Logic and Plural De Re“, Midwest Studies in Philosophy, 14: 372–394. doi: 10,111 / j.1475-4975,1989.tb00198.x
• Büchi, J. Richard, 1962, „O metodě rozhodování v omezené aritmetice druhého řádu“, v E. Nagel, P. Suppes a A. Tarski (eds.), Logic, Methodology and Philosophy of Science, Stanford, CA: Stanford University Press, s. 1–11. Přetištěno v Shromážděná díla J. Richarda Büchiho, 1990, s. 425–435. doi: 10,1007 / 978-1-4613-8928-6_23
• Burgess, John P., 2004, „E Pluribus Unum: množná logika a teorie množin“, Philosophia Mathematica, 12 (3): 193–221. doi: 10,1093 / philmat / 12.3.193
• Burgess, John P. a Gideon Rosen, 1997, Subjekt bez předmětu: Strategie pro nominální interpretaci matematiky, Oxford: Clarendon Press. doi: 10,1093 / 0198250126,001.0001
• Cartwright, Richard, 2001, „Otázka o sadách“, v Alex Byrne, Robert Stalnaker a Ralph Wedgwood (ed.), Skutečnost a hodnota: Eseje o etice a metafyzice pro Judith Jarvis Thomson, Cambridge, MA: MIT Press, pp 29–46.
• Cocchiarella, Nino B., 2002, „O logice tříd jako mnoho“, Studia Logica, 70 (3): 303–338. doi: 10,1263 / A: 1015190829525
• Davidson, Donald, 1967, „The Logical Forms Ventences“, Logic of Action and Action, Nicholas Rescher (ed.), Str. 81–95, Pittsburg: University of Pittsburg Press. Přetištěno v jeho Esejích o akcích a událostech, 1980 (následující vydání, 2001: 105–148), Oxford: Clarendon. doi: 10,1093 / 0199246270,003.0006
• Dorr, Cian a Gideon Rosen, 2002, „Složení jako fikce“, v Richard M. Gale (ed.), The Blackwell Průvodce metafyzikou, Oxford: Blackwell, s. 151–174. doi: 10,1002 / 9780470998984.ch8
• Dummett, Michael, 1981, Frege: Filozofie jazyka, 2. vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Field, Hartry, 1984, „Jsou matematické znalosti jen logické znalosti?“Philosophical Review, 93 (4): 509–552. doi: 10,2307 / 2184826
• –––, 1993, „Koncepční případ matematických objektů“, Mind, 102 (406): 285–299. doi: 10,1093 / mysl / 102,406,285
• Florio, Salvatore, 2014a, „Sémantika a množné pojetí reality“Otisk filosofů, 14 (22): 1–20. [Florio 2014a k dispozici online]
• ––– 2014b „Untyped Pluralism“, Mind, 123 (490): 317–337. doi: 10,1093 / mind / fzu069
• Florio, Salvatore a Øystein Linnebo, 2016, „O nevině a determinaci množného čísla“, Noûs, 50 (3): 565–583. doi: 10,1111 / č. 12091
• Florio, Salvatore a Stewart Shapiro, 2014, „Teorie množin, teorie typů a absolutní obecnost“, Mind, 123 (489): 157–174. doi: 10,1093 / mind / fzu039
• Forbes, Graeme, 1989, The Language of Possibility, Oxford: Blackwell.
• Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, překládán v Jean van Heijenoort (ed.), 1967, Z Frege do Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1884, základy aritmetiky, transl. JL Austin, Evanston, IL: Northwestern University Press.
• –––, 1914, „Logika v matematice“, ve svých posmrtných spisech H. Hermes et al. (eds), 1979, Oxford: Blackwell, str. 203-250.
• Glanzberg, Michael, 2004, „Kvantifikace a realismus“, filozofický a fenomenologický výzkum, 69 (3): 541–572. doi: 10,1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
• Hazen, AP, 1993, „Proti pluralismu“, Australasian Journal of Philosophy, 71 (2): 132–144. doi: 10,1080 / 00048409312345142
• –––, 1997, „Vztahy v Lewisově rámci bez atomů“, analýza, 57 (4): 243–248. doi: 10,111 / 1467-8284.00082
• –––, 2000, „Vztahy v Lewisově rámci bez atomů: oprava“, analýza, 60 (4): 351–353. doi: 10,1111 / 1467-8284,00252
• Hellman, Geoffrey, 1989, matematika bez čísel: Směrem k modálně strukturální interpretaci, Oxford: Clarendon Press. doi: 10,1093 / 0198240341,001.0001
• –––, 1996, „Strukturalizmus bez struktur“, Philosophia Mathematica, 4 (2): 100–123. doi: 10,1093 / philmat / 4.2.100
• Hewitt, Simon Thomas, 2012a „Modalising Plurals“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 853–875. doi: 10,1007 / s10992-011-9194-2
• –––, 2012b, „Logika konečného řádu“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 53 (3): 297–318. doi: 10,1215 / 00294527-1716820
• Higginbotham, James, 1998, „O logice vyššího řádu a přirozeném jazyce“, Sborník Britské akademie, 95: 1–27. [Higginbotham 1998 k dispozici online]
• Hossack, Keith, 2000, „Plurals and Complexes“, British Journal for Philosophy of Science, 51 (3): 411–443. doi: 10,1093 / bjps / 51,3,411
• Klement, Kevin C., 2014, „Early Russell o typech a množných číslech“, Časopis pro historii analytické filosofie, 2 (6): 1–21. doi: 10,15173 / jhap.v2i6,47
• Landman, Fred, 2000, Události a pluralita, Dordrecht: Kluwer.
• Lewis, David, 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
• Link, Godehard, 1998, Algebraická sémantika v jazyce a filozofii, Stanford, CA: Publikace CSLI.
• Linnebo, Øystein, 2003, „Plural Quantification Exposed Exposed“, Noûs, 37 (1): 71–92. doi: 10,111 / 1468-0068,00429
• ––– 2016, „Plurals and Modals“, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 654–676. doi: 10.1080 / 00455091.2015.1132975
• Linnebo, Øystein a David Nicolas, 2008, „Superplurals in English“, Analysis, 68 (3): 186–197. doi: 10,1111 / j.1467-8284.2008.00737.x
• Linnebo, Øystein a Agustín Rayo, 2012, „Hierarchie ontologická a ideologická“, Mind, 121 (482): 269–308. doi: 10,1093 / mind / fzs050
• Lønning, Jan Tore, 1997, „Plurals and Collectivity“, v J. van Bentham a A. ter Meulen (eds.), Handbook of Logic and Language, Amsterdam: Elsevier, str. 1009–1054.
• McKay, Thomas, 2006, Plural Predication, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199278145,001.0001
• Morton, Adam, 1975, „Komplexní jednotlivci a vícedruhové vztahy“, Noûs, 9 (3): 309–318. doi: 10,2307 / 2214634
• Nicolas, David, 2008, „Mass Nouns and Plural Logic“, Linguistics and Philosophy, 31 (2): 211–244. doi: 10,1007 / s10988-008-9033-2
• Oliver, Alex a Timothy Smiley, 2001, „Strategie pro logiku plurálů“, filozofická čtvrť, 51 (204): 289–306. doi: 10,1111 / j.0031-8094.2001.00231.x
• –––, 2004, „Multigrade Predicates“, Mind, 113 (452): 609–681. doi: 10,1093 / mind / 113,452,609
• –––, 2005, „Pluralitní popisy a mnohohodnotné funkce“, Mind, 114 (456): 1039–1068. doi: 10,1093 / mind / fzi1039
• Parsons, Charles, 1977, „Co je Iterativní koncepce množiny?“, Logic, Základy matematiky a Teorie počítatelnosti, Robert E. Butts a Jaakko Hintikka (eds), Dordrecht / Boston: D. Reidel, s. 335 –367. Přetištěno Paulem Benacerrafem a Hilary Putnam (ed.), Filozofie matematiky: Vybrané čtení, 2. vydání, 1983, Cambridge: Cambridge University Press, s. 503–529. doi: 10.1007 / 978-94-010-1138-9_18 a doi: 10.1017 / CBO9781139171519.027
• –––, 1990, „Strukturistický pohled na matematické objekty“, Synthese, 84 (3): 303–346. doi: 10,1007 / BF00485186
• Quine, WV, 1973, Roots of Reference, La Salle, IL: Open Court.
• –––, 1982, Methods of Logic, 4. vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press
• –––, 1986, Filozofie logiky, 2. vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press
• Rayo, Agustín, 2002, „Slovo a objekty“, Noûs, 36 (3): 436–464. doi: 10,111 / 1468-0068,00379
• ––– 2006, „Beyond Plurals“, v Rayo a Uzquiano 2006: 220–254.
• –––, 2007, „Plurals“, Philosophy Compass, 2 (3): 411–427. doi: 10,1111 / j.1747-9991.2007.00060.x
• Rayo, Agustín a Gabriel Uzquiano, 1999, „Směrem k teorii důsledků druhého řádu“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (3): 315–325. doi: 10,1305 / ndjfl / 1022615612
• –––, 2006 (ed.), Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.
• Rayo, Agustín a Stephen Yablo, 2001, „Nominalismus prostřednictvím nenominalizace“, Noûs, 35 (1): 74–92. doi: 10,1111 / 0029-4624,00288
• Resnik, Michael, 1988, „Logika druhého řádu pořád ještě divoká“, Journal of Philosophy, 85 (2): 75–87. doi: 10,2307 / 2026993
• Rouilhan, Philippe de, 2002, „O tom, co existují“, sborník Aristotelian Society, 102 (1): 183–200. doi: 10,1111 / j.0066-7372.2003.00049.x
• Rumfitt, Ian, 2005, „Plural terms: Another Variety of Reference?“v José Luis Bermudez (ed.), Myšlení, reference a zkušenosti: Témata z filozofie Gareth Evans, Oxford: Oxford University Press, s. 84–123. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199248964,003.0004
• Russell, Bertrand, 1903, Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press.
• Schein, Barry, 1993, Plurals and Events, Cambridge, MA: MIT Press.
• ––– 2006, „Plurals“, v Ernest Lepore a Barry C. Smith (eds.), Oxfordská příručka filozofie jazyka, Oxford: Oxford University Press, str. 716–767. doi: 10,1093 / oxfordhb / 9780199552238,003,0029
• Shapiro, Stewart, 1991, Základy bez zakladatelství: Případ logiky druhého řádu, Oxford: Clarendon. doi: 10,1093 / 0198250290,001.0001
• –––, 1993, „Modalita a ontologie“, Mind, 102 (407): 455–481. doi: 10,1093 / mind / 102,407,455
• Simons, Peter, 1982, „Plural Reference and Theory Theory“, v Barry Smith (ed.), Parts and Moments: Studies in Logic and Formal Onlogy, Munich: Philosophia Verlag, pp. 199–260. [Simons 1982 k dispozici online]
• –––, 1997, „Kvantifikace vyššího řádu a ontologický závazek“, Dialectica, 51 (4): 255–271. doi: 10,1111 / j.1746-8361.1997.tb00032.x
• ––– 2016, „ontologie a logika zástupů vyšších řádů“, v Massimiliano Carrara, Alexandře Arapinis a Friederike Moltmann (eds), Unity and Plurality: Logic, Philosophy and Linguistics, Oxford: Oxford University Press, pp 55–69. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780198716327,003.0004
• Stenius, Eric, 1974, „Sets“, Synthese, 27 (1–2): 161–188. doi: 10,1007 / BF00660894
• Tarski, Alfred (a John Corcoran, trans.), 1986, „Co jsou to logické pojmy?“, Historie a filozofie logiky, 7 (2): 143–154. doi: 10,1080 / 01445348608837096
• Taylor, Barry a AP Hazen, 1992, „Flexably Structured Predication“, Logique et Analyze, 35 (139–140): 375–393.
• Uzquiano, Gabriel, 2003, „Množné množení a třídy“, Philosophia Mathematica, 11 (1): 67–81. doi: 10,1093 / philmat / 11.1.67
• –––, 2004, „Plurals and Simples“, Monist, 87 (3): 429–451. doi: 10,5840 / monist200487324
• –––, 2011, „Pluralitní kvantifikace a modalita“, sborník Aristotelian Society, 111 (2_pt_2): 219–250. doi: 10,1111 / j.1467-9264.2011.00307.x
• van Inwagen, Peter, 1990, Material Beings, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Williamson, Timothy, 2003, „Everything“, Philosophical Perspectives, 17: 415–465. doi: 10,111 / j.1520-8583.2003.00017.x
• –––, 2010, „Necessitismus, kontingentismus a množné číslo“, Mind, 119 (475): 657–748. doi: 10,1093 / mind / fzq042
• ––– 2016, „Odpovědět na Linnebo“, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 677–682. doi: 10.1080 / 00455091.2016.1205856
• Yablo, Stephen, 2000, „Apriority and Existence“, v Paul Boghossian a Christopher Peacocke (eds.), Nové eseje o Priori, Oxford: Oxford University Press, str. 197–228. doi: 10,1093 / 0199241279,003.0009
• Yi, Byeong-Uk, 1999, „Jsou dva majetkem?“Journal of Philosophy, 96 (4): 163–190. doi: 10,2307 / 2564701
• –––, 2002, Porozumění mnoha, New York, NY: Routledge.
• –––, 2005, „Logika a význam množných čísel, část I“, Journal of Philosophical Logic, 34 (5): 459–506. doi: 10,1007 / s10992-005-0560-9
• ––– 2006, „Logika a význam množných čísel, část II“, Journal of Philosophical Logic, 35 (3): 239–288. doi: 10,1007 / s10992-005-9015-6

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

PhilPapers Bibliography on Plural Quantification

[Obraťte se na autora s návrhy.]