Zenoovy Paradoxy

Obsah:

Zenoovy Paradoxy
Zenoovy Paradoxy

Video: Zenoovy Paradoxy

Video: Zenoovy Paradoxy
Video: What is Zeno's Dichotomy Paradox? - Colm Kelleher 2024, Březen
Anonim

Vstupní navigace

  • Obsah příspěvku
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Náhled PDF přátel
  • Informace o autorovi a citaci
  • Zpět na začátek

Zenoovy paradoxy

První publikováno Út 30.4.2002; věcná revize Po 11. června 2018

Téměř vše, co víme o Zeno z Elea, najdete na úvodních stránkách Plato's Parmenides. Tam jsme se dozvěděli, že Zeno bylo téměř 40 let, když byl Sokrates mladý muž, řekněme 20. Protože se Sokrates narodil v roce 469 př.nl, můžeme odhadnout datum narození Zena kolem roku 490 př.nl. Kromě toho opravdu víme, že byl blízko Parmenides (Plato hlásí drby, že byli milenci, když byl Zeno mladý), a že napsal knihu paradoxů, která brání Parmenidovu filozofii. Tato kniha bohužel nepřežila, a to, co víme o jeho argumentech, je z druhé ruky, hlavně prostřednictvím Aristotela a jeho komentátorů (zde čerpáme zejména ze Simpliciuse, který, i když psal tisíc let po Zeno, zřejmě vlastnil alespoň některé z jeho rezervovat). Zjevně existovalo 40 „paradoxů plurality“,pokusit se ukázat, že ontologický pluralismus - víra v existenci mnoha věcí, nikoli pouze jedna - vede k absurdním závěrům; z těchto paradoxů přežijí pouze dva, ačkoliv třetí argument lze pravděpodobně připsat Zeno. Aristoteles hovoří o dalších čtyřech argumentech proti pohybu (a rozšířením se mění obecně), které všechny dává a snaží se vyvrátit. Kromě toho Aristoteles připisuje Zenu další dva paradoxy. Bohužel znovu, téměř žádný z těchto paradoxů není citován v Zenových původních slovech jejich různými komentátory, ale v parafrázi. Aristoteles hovoří o dalších čtyřech argumentech proti pohybu (a rozšířením se mění obecně), které všechny dává a snaží se vyvrátit. Kromě toho Aristoteles připisuje Zenu další dva paradoxy. Bohužel znovu, téměř žádný z těchto paradoxů není citován v Zenových původních slovech jejich různými komentátory, ale v parafrázi. Aristoteles hovoří o dalších čtyřech argumentech proti pohybu (a rozšířením se mění obecně), které všechny dává a snaží se vyvrátit. Kromě toho Aristoteles připisuje Zenu další dva paradoxy. Bohužel znovu, téměř žádný z těchto paradoxů není citován v Zenových původních slovech jejich různými komentátory, ale v parafrázi.

  • 1. Pozadí
  • 2. Paradoxy plurality

    • 2.1 Argument z hustoty
    • 2.2 Argument z konečné velikosti
    • 2.3 Argument z úplné dělitelnosti
  • 3. Paradoxy pohybu

    • 3.1 Dichotomie
    • 3.2 Achilles a želva
    • 3.3 Šipka
    • 3.4 Stadion
  • 4. Dva další paradoxy

    • 4.1 Paradox místa
    • 4.2 Zrno proso
  • 5. Zenoův vliv na filosofii
  • Další čtení
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Další internetové zdroje
  • Související záznamy

1. Pozadí

Než se podíváme na samotné paradoxy, bude užitečné načrtnout jejich historický a logický význam. Nejprve se Zeno snažil bránit Parmenidy útokem na své kritiky. Parmenides odmítl pluralitu a realitu jakékoli změny: pro něj všechno byla jedna nedělitelná, neměnná realita a jakékoli vnější okolnosti byly iluze, které byly rozptýleny rozumem a zjevením. Není divu, že tato filozofie našla mnoho kritiků, kteří zesměšňovali tento návrh; Koneckonců létá tváří v tvář některým z našich nejzákladnějších přesvědčení o světě. (Je zajímavé, že obecná relativita - zejména kvantová obecná relativita - pravděpodobně poskytuje nový argument - pokud je možná novinka - argument pro Parmenideanovo popření změny: Belot a Earman, 2001.) V reakci na tuto kritiku Zeno udělal něco, co může znít zjevně,ale který měl hluboký dopad na řeckou filosofii, která je pociťována dodnes: pokusil se prokázat, že stejné absurdity logicky vyplynuly z popření Parmenidových názorů. Myslíš si, že existuje mnoho věcí? Pak musíte dojít k závěru, že vše je nekonečně malé a nekonečně velké! Myslíte si, že tento pohyb je nekonečně dělitelný? Pak to znamená, že se nic nehýbá! (To je to, co je 'paradox': ukázka, že rozpor nebo absurdní důsledek vyplývá ze zjevně rozumných předpokladů.)Myslíte si, že tento pohyb je nekonečně dělitelný? Pak to znamená, že se nic nehýbá! (To je to, co je 'paradox': ukázka, že rozpor nebo absurdní důsledek vyplývá ze zjevně rozumných předpokladů.)Myslíte si, že tento pohyb je nekonečně dělitelný? Pak to znamená, že se nic nehýbá! (To je to, co je 'paradox': ukázka, že rozpor nebo absurdní důsledek vyplývá ze zjevně rozumných předpokladů.)

Při čtení argumentů je důležité mít na paměti tuto metodu. Vždy se zaměřují na více či méně specifický cíl: názory někoho nebo školy. Musíme mít na paměti, že argumenty jsou „ad hominem“v doslovném latinském smyslu, že jsou zaměřeny na „osoby (názory)“, ale nikoli „ad hominem“v tradičním technickém smyslu útoku na (charakter) lidé, kteří předkládají názory spíše než útočí na vlastní názory. Pracují tak, že dočasně předpokládají „pro argumenty“, že tato tvrzení jsou pravdivá, a poté tvrdí, že pokud jsou pak absurdní následky, pak se nic nehýbá: například se jedná o argumenty „reductio ad absurdum“(nebo „dialektické“) ve smyslu období). Pokud je argument logicky platný a závěr je skutečně nepřijatelný,tvrzení musí být napokon falešná. Když se podíváme na Zenoovy argumenty, musíme si položit dvě související otázky: na koho nebo na jakou pozici Zeno útočí a co přesně se předpokládá pro argumenty? Zjistíme-li, že Zeno vytváří skryté předpoklady nad rámec toho, k čemu se útočná pozice zavazuje, může se tomuto absurdnímu závěru vyhnout tím, že popírá jeden ze skrytých předpokladů a přitom si tuto pozici udržuje. Ve skutečnosti komentátoři přinejmenším poté, co Aristoteles reagoval na Zeno tímto způsobem.při zachování pozice. Ve skutečnosti komentátoři přinejmenším poté, co Aristoteles reagoval na Zeno tímto způsobem.při zachování pozice. Ve skutečnosti komentátoři přinejmenším poté, co Aristoteles reagoval na Zeno tímto způsobem.

Takže, na jaké názory napadají Zenoovy argumenty? Existuje obrovská literatura diskutující o Zenoově přesném historickém cíli. Jak budeme stručně diskutovat níže, někteří říkají, že cílem byla technická doktrína Pytagorejců, ale většina dnes vidí Zena jako protichůdné názory na pluralitu a pohyb v běžném smyslu. V tomto duchu přistupujeme k paradoxům a odkazujeme čtenáře na literaturu týkající se interpretační debaty.

To znamená, že je to také většinový názor, že Zenoovy paradoxy s určitými kvalifikacemi odhalují některé problémy, které nelze vyřešit bez plných zdrojů matematiky, jak byly vypracovány v devatenáctém století (a možná i dále). Toto není (nutně) říkat, že moderní matematika je povinna odpovědět na jakýkoli problém, který Zeno výslovně chtěl nastolit; patrně Aristoteles a další staříci měli odpovědi, které by - nebo měly - uspokojily Zena. (Nebudeme činit žádná zvláštní tvrzení o vlivu Zeno na historii matematiky.) Jak se však matematika vyvíjí a paradoxům se věnuje více myšlenek, vyvstávají z nich nové obtíže; tyto obtíže vyžadují pro jejich řešení moderní matematiku. Tyto nové obtíže vznikají částečně v reakci na vývoj v našem chápání toho, co matematická přísnost vyžaduje: řešení, která by splňovala Zenoovy standardy přísnosti, by nevyhovovala našim. Proto posuneme několik paradoxů z jejich formulací zdravého rozumu k jejich řešení v moderní matematice. (Další kvalifikace: nabídneme rozlišení ve smyslu „standardní“matematiky, ale jiné moderní formulace jsou také schopny se vypořádat s Zeno a pravděpodobně způsoby, které lépe reprezentují jeho matematické pojmy.)ale jiné moderní formulace jsou také schopné vypořádat se s Zeno, a pravděpodobně způsoby, které lépe reprezentují jeho matematické pojmy.)ale jiné moderní formulace jsou také schopné vypořádat se s Zeno, a pravděpodobně způsoby, které lépe reprezentují jeho matematické pojmy.)

2. Paradoxy plurality

2.1 Argument z hustoty

Pokud jich je mnoho, musí být jich tolik, kolik jich je a ani víc, ani méně. Ale pokud je jich tolik, kolik je, bylo by to omezené. Pokud jich je mnoho, věci jsou neomezené. Protože mezi věcmi, které jsou, jsou vždy další, a znovu mezi nimi, a tak věci, které jsou neomezené. (Zjednodušený (a) o Aristotelově fyzice, 140.29)

Tento první argument, uvedený v Zenoho slovech podle Simpliciuse, se pokouší ukázat, že nemůže existovat více než jedna věc, pokud jde o bolest rozporu: pokud existuje mnoho věcí, pak jsou oba „omezené“a „neomezené“, rozpor. Na jedné straně říká, že každá sbírka musí obsahovat určitý počet věcí, nebo podle jeho slov „ani více, ani méně“. Ale pokud máte určitý počet věcí, uzavírá, musíte jich mít konečný „omezený“počet; při vyvozování tohoto závěru předpokládá, že mít nekonečně mnoho věcí, je mít neomezený počet z nich. Na druhou stranu si představte jakoukoli sbírku „mnoha“věcí uspořádaných do kosmického obrazu, které jsou uspořádány do jedné dimenze pro určitost. Tvrdí, že mezi dvěma z nich je třetina; a mezi těmito třemi prvky další dva;a další čtyři mezi těmito pěti; a tak dále bez konce. Sbírka je proto také „neomezená“. Náš původní předpoklad plurality tedy vede k rozporu, a proto je nepravdivý: konec konců není mnoho věcí. Aspoň tak Zeno uvažuje.

Podívejme se na tyto dva subargumenty v opačném pořadí. Za prvé, existují mezi „věcmi, které jsou vždy“další? (V moderní terminologii, proč musí být předměty vždy „hustě“uspořádány?) Předpokládejme, že jsme si představovali sbírku desítek jablek seřazených; pak mezi šestým a osmým je opravdu další jablko, ale mezi sedmým a osmým není žádné! Co má na mysli za předpokladu, že Zeno není jen zmatený? Texty neříkají, ale jsou zde dvě možnosti: zaprvé, jeden by mohl mít za to, že pro každou dvojici fyzických objektů (říkají dvě jablka) musí být dva odlišné objekty a ne jen jeden („dvojité jablko“) musí existovat třetí mezi nimi, fyzicky je odděluje, i když je to jen vzduch. A člověk by si mohl myslet, že aby tyto tři byly odlišné, musí existovat dva další objekty, které je oddělují,a tak dále (tento pohled předpokládá, že jejich výroba z různých látek nestačí k tomu, aby byly odlišné). Zeno se tedy možná hádá proti pluralitě vzhledem k určitému pojetí fyzické odlišnosti. Ale za druhé, jeden by také mohl mít za to, že každé tělo má části, které lze hustě objednat. Jistěže 1/2, 1/4, 1/8 a podobně jablek nejsou husté - takové části mohou sousedit - ale mohou existovat dostatečně malé části, které se nazývají „bodovými částmi“- které jsou. Opravdu, pokud mezi některými dvěma bodovými částmi leží konečná vzdálenost a pokud bodové části mohou být libovolně blízké, pak jsou husté; třetí leží na půli cesty jakýchkoli dvou. Zejména jsou známé geometrické body podobné tomuto, a proto jsou husté. Zeno tedy možná nabízí argument ohledně dělitelnosti těl. Ať tak či onak,Zenoův předpoklad hustoty vyžaduje další předpoklad o dané pluralitě a odpovídajícím způsobem zaměřuje cíl jeho paradoxu.

Předpokládejme však, že člověk má za to, že nějaká sbírka (řekněme o bodech v řadě) je hustá, tedy „neomezená“nebo nekonečná. První bod Zenoova útoku ukazuje, že protože obsahuje určitý počet prvků, je také „omezený“nebo konečný. Lze tomuto rozporu uniknout? Předpoklad, že jakékoli konečné číslo je konečné, se zdá intuitivní, ale nyní díky práci Cantora v devatenáctém století víme, jak chápat nekonečná čísla způsobem, který je činí stejně konečnými jako konečná čísla. Ústředním prvkem této teorie „transfinitních čísel“je přesná definice, kdy jsou dvě nekonečné sbírky stejné velikosti a kdy je jedna větší než druhá. S takovou definicí v ruce je pak možné objednat nekonečná čísla stejně, jako jsou uspořádána konečná čísla: například existují různá,definitivní nekonečný počet zlomků a geometrických bodů v linii, i když oba jsou husté. (Viz dále čtení dále pro odkazy na úvody k těmto matematickým myšlenkám a jejich historii.) Takže na rozdíl od předpokladu Zeno je smysluplné porovnat nekonečné sbírky s ohledem na počet jejich prvků, říci, zda dva mají více než, nebo méně než „navzájem“: například existuje více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)))i když jsou oba husté. (Viz dále čtení dále pro odkazy na úvody k těmto matematickým myšlenkám a jejich historii.) Takže na rozdíl od předpokladu Zeno je smysluplné porovnat nekonečné sbírky s ohledem na počet jejich prvků, říci, zda dva mají více než, nebo méně než „navzájem“: například existuje více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)i když jsou oba husté. (Viz dále čtení dále pro odkazy na úvody k těmto matematickým myšlenkám a jejich historii.) Takže na rozdíl od předpokladu Zeno je smysluplné porovnat nekonečné sbírky s ohledem na počet jejich prvků, říci, zda dva mají více než, nebo méně než „navzájem“: například existuje více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)a jejich historie.) Takže na rozdíl od předpokladu Zena je smysluplné porovnat nekonečné sbírky s ohledem na počet jejich prvků, říci, zda dvě mají více než, nebo méně než, nebo „tolik jako“navzájem: existuje například více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)a jejich historie.) Takže na rozdíl od předpokladu Zena je smysluplné porovnat nekonečné sbírky s ohledem na počet jejich prvků, říci, zda dvě mají více než, nebo méně než, nebo „tolik jako“navzájem: existuje například více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)například více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)například více desetinných čísel než celá čísla, ale tolik sudých čísel jako celá čísla. Zeno je tedy matematicky nezdravé, když říká, že protože sbírka má určité číslo, musí být konečná a první podoblast je klamná. (I když to samozřejmě ukazuje, že nekonečné sbírky jsou matematicky konzistentní, nikoli to, že by nějaké fyzicky existovaly.)

2.2 Argument z konečné velikosti

… Pokud by se měl přidat k něčemu jinému, co existuje, nezvýšilo by to. Pokud by však nebyla velikost a byla přidána, nemůže se zvětšit. A tak okamžitě vyplývá, že to, co se přidá, není nic. Ale pokud je to odečteno, další věc není menší, ani se nezvýší, když se přidá, zjevně to, co se přidává nebo odečítá, není nic. (Zjednodušený (a) o Aristotelově fyzice, 139.9)

Ale pokud existuje, každá věc musí mít určitou velikost a tloušťku a její část musí být oddělena od ostatních. A stejné odůvodnění platí pro část, která je v popředí. I to bude mít velikost a část bude vpředu. Teď je to totéž říci jednou a stále to říkat navždy. Protože žádná taková část nebude poslední, ani nebude existovat žádná část, která nebude souviset s druhou. Pokud tedy existuje mnoho věcí, musí být malé i velké; tak malý, aby neměl velikost, ale tak velký, aby byl neomezený. (Zjednodušený (a) o Aristotelově fyzice, 141.2)

Ještě jednou máme Zenoova vlastní slova. Podle jeho závěru existují tři části tohoto argumentu, ale pouze dvě přežijí. První chybí argument, který ukazuje, že pokud existuje mnoho věcí, pak nemusí mít vůbec žádnou velikost. Zadruhé Zeno tvrdí, že z toho vyplývá, že vůbec neexistují; protože výsledkem spojení (nebo odebrání) bezdůvodného předmětu k ničemu není vůbec žádná změna, dochází k závěru, že věc přidaná (nebo odstraněná) není doslova nic. Argumentem tohoto bodu je samostatné odmítnutí pluralismu, ale Zeno nadále vytváří další problém pro někoho, kdo pokračuje v naléhání na existenci plurality. Tato třetí část argumentu je poněkud špatně řečeno, ale zdá se, že provozuje něco takového: předpokládejme, že existuje pluralita, takže nějaký prostorově rozšířený objekt existuje (konec konců,právě tvrdil, že rozšířené věci neexistují). Protože je rozšířena, má dvě prostorově odlišné části (jednu „před“druhou). A části existují, takže mají prodloužení, a tak také každá má dvě prostorově odlišné části; a tak dále bez konce. Zdá se tedy, že konečná argumentační linie končí, je-li objekt vůbec rozšířen, je nekonečně široký.

Co by však mohlo tento poslední krok ospravedlnit? Nezdá se, že protože objekt má dvě části, musí být nekonečně velký! A nevyplývá ani z jiných divizí, které zde Zeno popisuje; čtyři, osm, šestnáct nebo cokoli konečných částí tvoří konečný celek. Zeno si znovu jistě uvědomuje tato fakta, a proto musí mít na paměti něco jiného, pravděpodobně následující: předpokládá, že pokud by nekonečná řada divizí, které popisuje, byla nekonečně mnohokrát opakována, došlo by k definitivní sbírce částí. A všimněte si, že nemusí předpokládat, že by kdokoli skutečně mohl provést divize - není dost času a nože nejsou dostatečně ostré - jen to, že objekt lze geometricky rozložit na takové části (ani nepředpokládá, že tyto části jsou to, co bychom přirozeně klasifikovali jako odlišné fyzické objekty, jako jsou jablka, buňky, molekuly, elektrony atd., ale pouze to, že jsou geometrickými částmi těchto objektů). Teď, pokud - jak pluralista může dobře akceptovat - takové části existují, z druhé části jeho argumentu vyplývá, že jsou rozšířené, a zřejmě předpokládá, že nekonečná suma konečných částí je nekonečná. Z druhé části jeho argumentu vyplývá, že jsou rozšířeny, a zřejmě předpokládá, že nekonečná suma konečných částí je nekonečná. Z druhé části jeho argumentu vyplývá, že jsou rozšířeny, a zřejmě předpokládá, že nekonečná suma konečných částí je nekonečná.

Zde bychom si měli uvědomit, že existují dva způsoby, jak si může představit výsledek nekonečné divize.

Nejprve ho bylo možné číst, když nejprve rozdělil předmět na 1/2, poté jeden z 1/2 s - druhý - do dvou 1/4 s, potom jeden z 1/4 s - druhý zase - do dvou 1 / 8s a tak dále. V tomto případě vede výsledek nekonečného dělení k nekonečnému sledu kusů o velikosti 1/2 celkové délky, 1/4 délky, 1/8 délky…. A tak tedy celková délka je (1/2 + 1/4 + 1/8 +… délky, kterou Zeno uzavírá, je nekonečná vzdálenost, takže pluralista je oddán absurditě, že konečná těla jsou „tak velká jako být neomezený “.

V reakci na to často upozorňujeme, že Zeno nám nedává důvod si myslet, že součet je nekonečný, nikoli konečný. Mohl mít intuici, že jakákoli nekonečná suma konečných veličin, protože roste nekonečně s každým novým termínem, musí být nekonečná, ale jeden by také mohl vzít tento příklad jako ukázku toho, že některé nekonečné částky jsou po konečném důsledku. Na rozdíl od toho, co si myslel, Zeno neprokázal, že následuje absurdní závěr. To, co není vždy oceněno, je to, že pluralistka není z háčku tak snadno, protože nestačí pouze říci, že částka může být konečná, musí také prokázat, že je konečná - jinak zůstaneme nejistí ohledně udržitelnosti její pozice. Jako příklad obtížnosti, které zde čelíme, zvažte následující:mnoho komentátorů hovoří, jako by bylo jednoduše zřejmé, že nekonečná suma frakcí je 1, že není nic, co by bylo nekonečné sumaci. Ale co následující suma: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Je zřejmé, že se zdá, že součet lze přepsat ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Tato odpověď se jistě jeví jako intuitivní jako součet zlomků. Ale tuto částku lze přepsat také (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - protože jsme právě ukázali, že termín v závorkách zmizí - (= 1). Spoléhání se na intuice o tom, jak provádět nekonečné částky, vede k závěru, že (1 = 0). Dokud nelze dát teorii nekonečných částek, které mohou poskytnout uspokojivou odpověď na jakýkoli problém, nelze říci, že nekonečná suma Zeno je zjevně konečná. Taková teorie nebyla až do devatenáctého století Cauchyho zcela propracována.(V Cauchyově systému (1/2 + 1/4 + / ldots = 1) ale (1 - 1 + 1 - / ldots) není definováno.)

Zadruhé by to mohlo být tak, že Zeno znamená, že objekt je rozdělen na polovinu, pak jsou obě 1/2 rozděleny na polovinu, pak jsou 1/4 rozděleny na polovinu atd. V tomto případě mají kusy v jakékoli konkrétní fázi stejnou konečnou velikost, a tak lze dojít k závěru, že výsledkem nekonečného provádění postupu by byly kusy stejné velikosti, které, pokud existují - podle Zeno - jsou větší než nula; ale nekonečno stejně rozšířených částí je skutečně nekonečně velké.

Ale této linii myšlení lze odolat. Nejprve předpokládejme, že právě popsaný postup zcela rozdělí objekt na nepřekrývající se části. (To je problém s tímto předpokladem, který uvidíme hned níže.) To zahrnuje zdvojnásobení počtu kusů po každém dělení, a tak po (N) divizích jsou (2 ^ N) kousky. Ukazuje se však, že pro jakékoli přirozené nebo nekonečné číslo, (N), (2 ^ N / gt N), a tak počet (předpokládaných) částí získaný nekonečným popsaným dělením je ještě větší nekonečno. Tento výsledek nepředstavuje žádné bezprostřední potíže, protože, jak jsme již zmínili výše, nekonečna přicházejí v různých velikostech. Kolikrát je všechno rozděleno do dvou, se říká, že je „nespočetně nekonečný“: ve sbírce je nespočet věcí, pokud je lze označit čísly 1, 2, 3,… Bez zbytku na obou stranách. Počet kusů, které nekonečná divize vyrábí, je „nespočetně nekonečný“, což znamená, že neexistuje způsob, jak je označit 1, 2, 3,… aniž by některé z nich chyběly - ve skutečnosti nekonečně mnoho z nich. Cauchyova definice nekonečné částky se však vztahuje pouze na nespočetně nekonečné řady čísel, a tak se nevztahuje na kousky, které zvažujeme. Mohli bychom však uvažovat jen o mnoha z nich, jejichž délky podle Zeno - protože tvrdí, že jsou všechny stejné a nenulové - se budou rovnat nekonečné délce; délka všech kusů nemohla být menší než tato. Cauchyova definice nekonečné částky se vztahuje pouze na nespočetně nekonečné řady čísel, a tak se nevztahuje na kousky, které zvažujeme. Mohli bychom však uvažovat jen o mnoha z nich, jejichž délky podle Zeno - protože tvrdí, že jsou všechny stejné a nenulové - se budou rovnat nekonečné délce; délka všech kusů nemohla být menší než tato. Cauchyova definice nekonečné částky se vztahuje pouze na nespočetně nekonečné řady čísel, a tak se nevztahuje na kousky, které zvažujeme. Mohli bychom však uvažovat jen o mnoha z nich, jejichž délky podle Zeno - protože tvrdí, že jsou všechny stejné a nenulové - se budou rovnat nekonečné délce; délka všech kusů nemohla být menší než tato.

V tomto okamžiku pluralista, který věří, že Zenoova divize zcela rozděluje objekty na nepřekrývající se části (viz následující odstavec), by mohl odpovědět, že části ve skutečnosti nemají rozšíření, přestože existují. To by blokovalo závěr, že konečné objekty jsou nekonečné, ale zdá se, že ji tlačí zpět na druhý roh Zenoova argumentu. Jak mohou všechny tyto kousky nulové délky tvořit nenulovou velikost celku? (Všimněte si, že podle Cauchy (0 + 0 + 0 + / ldots = 0), ale tento výsledek zde neukazuje nic, protože jak jsme viděli, existuje nespočetně mnoho kusů, které lze přidat více, než se přidává v této sumě.) odloží tuto otázku k diskusi o příštím paradoxu, pokud k tomu dojde výslovně.

Druhým problémem s interpretací nekonečného dělení jako opakovaného rozdělení všech částí je to, že nerozděluje objekt na odlišné části, pokud jsou objekty složeny přirozeným způsobem. Abychom si to mohli prohlédnout, položme otázku, jaké části získává toto rozdělení na 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s,…. Protože se rozdělení opakuje bez konce, neexistuje žádná poslední část, kterou můžeme dát jako odpověď, a proto musíme na otázku myslet jinak. Pokud předpokládáme, že objekt může být reprezentován přímkovým segmentem délky jednotky, pak divize vytvoří kolekce segmentů, kde první je buď první nebo druhá polovina celého segmentu, druhá je první nebo druhá čtvrtina, nebo třetí nebo čtvrtý čtvrtletí a obecně segment vytvořený divizemi (N) je buď první nebo druhou polovinou předchozího segmentu. Například zápis segmentu s koncovými body (a) a (b) jako ([a, b]), některé z těchto sbírek (technicky známé jako „řetězce“, protože prvky kolekce jsou řazeny podle velikost) by začalo ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }). (Když jsme před tím tvrdili, že Zenoova divize vyrobila nespočetně mnoho kusů objektu, měli bychom říci, že to produkuje nespočetně mnoho řetězců jako je tato.)měli jsme říci, že to produkuje nespočetně mnoho řetězců, jako je tento.)měli jsme říci, že to produkuje nespočetně mnoho řetězců, jako je tento.)

Otázka, které části divize vybírá, je pak otázkou, které části kterékoli dané řetězce vybírá; je přirozené říci, že řetěz vybírá část linky, která je obsažena v každém z jejích prvků. Zvažte například řetězec ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), jinými slovy řetězec, který začíná levou polovinou řádku a pro kterou je každý druhý prvek pravou polovinou předchozího. Půlcestný bod je v každém ze segmentů v tomto řetězci; je to pravý koncový bod každého z nich. Ale žádný jiný bod není ve všech jeho prvcích: zjevně žádný bod za poloviční cestou není; a vyberte jakýkoli bod (p) před na půli cesty, pokud vezmete pravé poloviny [0,1 / 2] dostatečně dlouho, levý konec segmentu bude vpravo od (p). Jediná část čáry, která je ve všech prvcích tohoto řetězce, je tedy polovičním bodem, takže je to část čáry, kterou řetěz vybírá. (Ve skutečnosti z teorie postulátů čísla vyplývá, že existuje přesně jeden bod, který mají všichni členové jakéhokoli takového řetězce společného.) Problém je v tom, že při paralelním zdůvodnění je také poloviční bod vybrán odlišný řetězec ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), kde každý segment za prvním je levá polovina předchozí. A tak oba řetězy vybírají stejný kus čáry: poloviční bod. A tak pro mnoho dalších párů řetězů. Zenoův argument, interpretovaný z hlediska opakovaného rozdělení všech částí na polovinu, tedy nerozděluje linii na odlišné části. Pokud si tedy myslíme, že objekty jsou složeny stejným způsobem jako čára,Z toho vyplývá, že i přes zdání tato verze argumentu neřeže objekty na části, o jejichž celkové velikosti můžeme správně diskutovat.

(Možná si myslíte, že tento problém by mohl být vyřešen tím, že prvky řetězců vezmete jako segmenty bez koncového bodu napravo. Pak první ze dvou řetězců, které jsme považovali, již nemá v žádném ze svých segmentů poloviční bod, a proto nevybere tento bod. Problém je nyní v tom, že nedokáže vybrat žádnou část řádku: předchozí zdůvodnění ukázalo, že nevybere žádný bod větší než nebo menší než poloviční bod a teď to nevybere ani ten bod!)

2.3 Argument z úplné dělitelnosti

… Kdykoli je tělo přirozeně dělitelné skrz a skrz, ať už bisekcí, nebo obecně jakoukoli metodou, cokoli, nepovede nic nemožného, pokud bude skutečně rozděleno … i když to ve skutečnosti nikdo nemohl rozdělit.

Co tedy zůstane? Velikost? Ne: to je nemožné, protože od té doby nebude něco rozděleno, zatímco ex hypotéze bylo tělo dělitelné skrz a skrz. Pokud se však připustí, že nezůstane ani tělo, ani velikost … tělo se bude skládat z bodů (a jeho složky budou bez velikosti), nebo to nebude vůbec nic. Pokud by to bylo druhé, pak by to mohlo přijít z ničeho a existovat jako složené nic; a tak pravděpodobně celé tělo nebude nic jiného než vzhled. Pokud se však skládá z bodů, nebude mít žádnou velikost. (Aristoteles o generaci a korupci, 316a19)

Tato slova nejsou Aristotelesova Zena a argument Aristotelesa ani není přičítán Zenu. Máme však Simpliciův názor (a) na Aristotelovu fyziku, 139.24), že pochází ze Zena, a proto je zde zahrnut. Aristoteles začíná hypotézou, že některé tělo je zcela dělitelné, „skrz a skrz“; druhý krok argumentu objasňuje, že tím míní, že je dělitelné na části, které samy o sobě nemají žádné části velikosti s jakoukoli velikostí, zůstávají neúplně rozděleny. (Záleží na tom, že tělo je skutečně složeno z takových částí, nikoliv, že má někdo čas a nástroje k rozdělení, a z předchozí části si pamatujeme, že člověk takové části nezískává opakovaným rozdělením všech částí na polovinu.) Předpokládejme tedy, že tělo je rozděleno na jeho bezrozměrné části. Tyto části nemohly být vůbec vůbec nic - jak argumentoval Zeno výše - nebo „bodové části“. Pokud části nejsou ničím, pak je to i tělo: je to jen iluze. A argument vyvozuje, i když jde o body, protože tyto jsou nerozvětvené, tělo samo o sobě nebude rozšířeno: určitě jakákoli suma - i nekonečná jedna - nula je nula.

Mohl by být tento konečný předpoklad zpochybněn? Je (jak bylo uvedeno výše) důsledkem Cauchyho definice nekonečné částky; Grünbaum (1967) nicméně poukázal na to, že tato definice se vztahuje pouze na spočítatelné částky a Cantor poskytl krásný, ohromující a mimořádně vlivný „diagonální“důkaz, že počet bodů v segmentu je nespočetně nekonečný. Neexistuje způsob, jak označit všechny body v řádku nekonečnem čísel 1, 2, 3,…, a tak existuje více bodů v liniovém segmentu než součty v Cauchyově součtu. Stručně řečeno, analýza použitá pro početně nekonečné dělení zde neplatí.

Předpokládejme tedy, že jste právě dostali počet bodů v řadě a že jejich délky jsou nulové; jak byste určili délku? Potřebujeme novou definici, která rozšíří Cauchyho na nespočetně nekonečné částky? Ukázalo se, že by to nepomohlo, protože Cauchy dále ukázal, že jakýkoli segment, jakékoli délky (a skutečně celá nekonečná čára) má přesně stejný počet bodů jako náš jednotkový segment. Takže poznání počtu bodů neurčí délku čáry, a tak nic jako známé sčítání - v němž je celý určen částmi - není možné. Místo toho musíme přemýšlet o vlastnostech vzdálenosti čáry jako logicky za jeho bodovým složením: nejprve máme sadu bodů (uspořádaných určitým způsobem, takže existuje určitá skutečnost, například,o které ze tří je mezi ostatními) pak definujeme funkci párů bodů, která určuje, jak daleko jsou od sebe (splňují takové podmínky, jako je vzdálenost mezi (A) a (B) plus vzdálenost mezi (B) a (C) se rovná vzdálenosti mezi (A) a (C) - pokud (B) je mezi (A) a (C)). Odpovídáme Zeno takto: argument předpokládal, že velikost těla byla součtem velikostí bodových částí, ale tomu tak není; podle moderní matematiky je segment geometrické čáry nespočetnou nekonečno bodů plus funkce vzdálenosti. (Všimněte si, že Grünbaum použil skutečnost, že složení bodů nedokáže určit délku, aby podpořilo jeho „konvenční“názor, že linie nemá vůbec určenou délku, nezávisle na standardu měření.)))))Odpovídáme Zeno takto: argument předpokládal, že velikost těla byla součtem velikostí bodových částí, ale tomu tak není; podle moderní matematiky je segment geometrické čáry nespočetnou nekonečno bodů plus funkce vzdálenosti. (Všimněte si, že Grünbaum použil skutečnost, že složení bodů nedokáže určit délku, aby podpořilo jeho „konvenční“názor, že linie nemá vůbec určenou délku, nezávisle na standardu měření.)Odpovídáme Zeno takto: argument předpokládal, že velikost těla byla součtem velikostí bodových částí, ale tomu tak není; podle moderní matematiky je segment geometrické čáry nespočetnou nekonečno bodů plus funkce vzdálenosti. (Všimněte si, že Grünbaum použil skutečnost, že složení bodů nedokáže určit délku, aby podpořilo jeho „konvenční“názor, že linie nemá vůbec určenou délku, nezávisle na standardu měření.)(Všimněte si, že Grünbaum použil skutečnost, že složení bodů nedokáže určit délku, aby podpořilo jeho „konvenční“názor, že linie nemá vůbec určenou délku, nezávisle na standardu měření.)(Všimněte si, že Grünbaum použil skutečnost, že složení bodů nedokáže určit délku, aby podpořilo jeho „konvenční“názor, že linie nemá vůbec určenou délku, nezávisle na standardu měření.)

Jak zdůrazňuje Ehrlich (2014), můžeme dokonce stanovit, že „nespočetná částka“nula je nula, protože délka řádku se nerovná součtu délek bodů, které obsahuje (oslovení Sherryho, 1988, se týká odmítnutí rozšířit definici by bylo ad hoc). Pokud tedy někdo stanoví, že délka linie je součtem jakékoli úplné kolekce příslušných částí, pak to znamená, že body nejsou řádně mluvícími částmi linie (na rozdíl od polovin, čtvrtin atd.). V přísném smyslu v moderní teorii míry (která zobecňuje Grünbaumův rámec) jsou body v linii s ním nesrovnatelné a samotné uspořádání Aristoteles, ve kterém je délka celku analyzována z hlediska jeho bodů, je nelegitimní..

3. Paradoxy pohybu

3.1 Dichotomie

První tvrdí, že neexistuje pohyb na základě toho, že to, co je v pohybu, musí dorazit do poloviny cesty, než dorazí k cíli. (Aristotle Physics, 239b11)

Tento paradox je známý jako „dichotomie“, protože zahrnuje opakované rozdělení na dva (jako druhý paradox plurality). Stejně jako ostatní paradoxy pohybu, máme to i od Aristotela, který se snažil to vyvrátit.

Předpokládejme, že pro autobus musí běžet velmi rychlý běžec, jako je mýtická Atalanta. Je jasné, že než dorazí na autobusovou zastávku, musí běžet na půl cesty, jak říká Aristoteles. Není tam žádný problém; Předpokládáme-li stálý pohyb, bude jí to trvat 1/2 času, než se tam rozjede, a 1/2 času, který povede po zbytek cesty. Nyní musí také běžet napůl do poloviny bodu - tj. 1/4 celkové vzdálenosti - než dosáhne polovičního bodu, ale opět jí zbývá konečný počet konečných délek, aby mohla běžet, a spoustu času na to. A než dosáhne 1/4 cesty, musí dosáhnout (1/2) z (1/4 = 1/8) cesty; a před tím 1/16; a tak dále. V této sérii není problém v žádném konečném bodě, ale co když je polovina prováděna nekonečně mnohokrát? Výsledná řada neobsahuje žádnou první vzdálenost ke spuštění,pro každou možnou první vzdálenost mohla být rozdělena na polovinu, a proto by nebyl první. Obsahuje však konečnou vzdálenost, konkrétně 1/2 cesty; a předposlední vzdálenost, 1/4 cesty; a třetí do poslední vzdálenosti, 1/8 cesty; a tak dále. Řada vzdáleností, které musí Atalanta absolvovat, je:…, pak 1/16 cesty, 1/8 cesty, 1/4 cesty a nakonec 1/2 cesty (prozatím) nenavrhujeme, aby se zastavila na konci každého segmentu a pak začala běžet na začátku dalšího segmentu - myslíme na to, že její nepřetržitý běh je složen z takových částí). A nyní je problém, protože pro tento popis jejího běhu má její cestování nekonečný počet konečných vzdáleností, které, jak by nás Zeno uzavřel, musí trvat nekonečný čas, což znamená, že nikdy není dokončena. A protože argument nezávisí na vzdálenosti nebo na tom, kdo nebo co je hybnou silou, znamená to, že není možné nikdy urazit konečnou vzdálenost, což znamená, že veškerý pohyb není možný. (Všimněte si, že paradox by mohl být snadno generován v opačném směru, takže Atalanta musí nejprve běžet napůl, pak napůl zbývající, pak polovinu a tak dále, takže musí spustit následující nekonečnou sekvenci frakcí z celku vzdálenost: 1/2, pak 1/4, pak 1/8, pak….)takže musí provést následující nekonečnou sekvenci zlomků celkové vzdálenosti: 1/2, pak 1/4, pak 1/8, pak….)takže musí provést následující nekonečnou sekvenci zlomků celkové vzdálenosti: 1/2, pak 1/4, pak 1/8, pak….)

Několik společných odpovědí není přiměřených. Jeden možná - jak nám Simplicius (a) On Aristotle's Physics, 1012.22) říká, že Diogenes Cynic udělal tichým vstáváním a poukazem na to, že jde o nejběžnější zážitek, že se věci ve skutečnosti pohybují a že víme, velmi dobře, že Atalanta by neměla žádné problémy s dosažením autobusové zastávky. Ale to by nezpůsobilo Zeno, který jako splacený Parmenidean tvrdil, že mnoho věcí není tak, jak se zdá: může se zdát, že Diogenes chodí nebo že Atalanta běží, ale zdání může být klamné a jistě máme logický důkaz že se ve skutečnosti vůbec nehýbají. Jinak, pokud člověk nepřijme, že Zeno dal důkaz, že pohyb je klamný - jak doufáme, že ne-jeden, pak dluží účet, co je špatného s jeho argumentem: uvedl důvody, proč je pohyb nemožný,a proto musí odpovídající odpověď ukázat, proč tyto důvody nejsou dostatečné. A nebude to jen poukazovat na to, že existuje několik způsobů, jak rozřezat Atalantovy náběhy na dvě poloviny, řekněme, ve kterých není žádný problém. Protože pokud přijmete všechny kroky v Zenoově argumentu, musíte přijmout jeho závěr (za předpokladu, že logicky usuzoval logicky deduktivně): nestačí ukázat bezproblematické rozdělení, musíte také ukázat, proč je dané rozdělení bezproblémové. Nestačí ukázat bezproblémové rozdělení, musíte také ukázat, proč je dané rozdělení bezproblémové. Nestačí ukázat bezproblémové rozdělení, musíte také ukázat, proč je dané rozdělení bezproblémové.

Další odezva, kterou dal sám Aristoteles, je poukázat na to, že když rozdělíme běh vzdáleností, měli bychom také rozdělit celkový čas, který strávíme: je 1/2 času na finále 1/2, 1/4 času pro předchozí 1/4 1/8 času na 1/8 běhu atd. Každá zlomková vzdálenost má tedy právě ten správný zlomek konečného celkového času, který má Atalanta dokončit, a vzdálenost tedy může být dokončena v konečném čase. Aristoteles cítil, že tato odpověď by měla uspokojit Zena, nicméně si také uvědomil (Physics, 263a15), že to nemůže být konec záležitosti. Prozatím říkáme, že čas, který Atalanta potřebuje k dosažení autobusové zastávky, se skládá z nekonečného počtu konečných kusů -…, 1/8, 1/4 a 1/2 celkového času - a není to tak nekonečný čas?

Samozřejmě by se dalo opět tvrdit, že některé nekonečné částky mají konečné součty, a zejména, že součet těchto kusů je (1 / krát) celkový čas, který je samozřejmě konečný (a opět úplné řešení by vyžadovalo přísný popis nekonečného sčítání, jako Cauchyho). Aristoteles však takový krok neudělal. Místo toho nakreslil ostrý rozdíl mezi tím, co nazval „souvislou“linií a linkou rozdělenou na části. Uvažujme o jednoduchém rozdělení čáry na dvě: na jedné straně je nerozdělená čára a na druhé straně čára se středním bodem vybraným jako hranice dvou polovin. Aristoteles tvrdí, že se jedná o dvě odlišné věci: a že posledně uvedená je „potenciálně“odvozitelná od první. Aristoteles dále považuje zdravý rozum, že čas je jako geometrická čára,a zvažuje čas potřebný k dokončení běhu. Můžeme znovu rozlišit dva případy: existuje nepřetržitý interval od začátku do konce a interval je rozdělen na Zenoovo nekonečno poločasů. První je „potenciálně nekonečný“v tom smyslu, že by mohl být rozdělen do druhého „skutečného nekonečna“. Tady je zásadní krok: Aristoteles si myslí, že protože tyto intervaly jsou geometricky odlišné, musí být fyzicky odlišné. Ale jak by to mohlo být? Tvrdí, že běžec musí udělat něco na konci každého poločasu, aby se odlišil od příštího: musí se zastavit, takže samotný běh je nespojitý. (Není jasné, proč by některá jiná akce nestačila k rozdělení intervalu.) Poté Aristotelesova úplná odpověď na paradox je, že otázka, zda je nekonečná řada běhů možná nebo ne, je dvojznačná:potenciálně nekonečná řada polovin v nepřetržitém běhu je možná, zatímco skutečná nekonečnost nespojitých polovičních běhů není-Zeno neidentifikuje nemožnost, ale nepopisuje obvyklý způsob běhu dolů!

Z dnešní moderní perspektivy je těžké vidět, jak by tato odpověď mohla být zcela uspokojivá. Zaprvé předpokládá, že lze jasně rozlišit mezi potenciální a skutečnou nekonečností, což nebylo nikdy zcela dosaženo. Za druhé, předpokládejme, že Zenoův problém se týká tvrzení, že nekonečné součty konečných množství jsou vždy nekonečné. Pak Aristotelovo rozlišení pomůže, pouze pokud dokáže vysvětlit, proč jsou potenciálně nekonečné částky ve skutečnosti konečné (nemohli bychom potenciálně přidat (1 + 1 + 1 + / ldoty), což nemá konečný součet); nebo pokud může uvést důvod, proč potenciálně nekonečné částky prostě neexistují. Nebo snad Aristoteles neviděl nekonečné sumy jako problém, ale spíše to, zda dokončení nekonečna konečných akcí je metafyzicky a koncepčně i fyzicky možné. Níže krátce probereme tento problém „Supertasků“, ale všimněte si, že existuje dobře definovaný běh, ve kterém jsou fáze Atalantovy jízdy přerušovány konečnými zbytky, což pravděpodobně ukazuje možnost dokončit nekonečnou řadu konečných úkolů v konečný čas (Huggett 2010, 21–2). Konečně, rozlišení mezi potenciálními a skutečnými nekonečnostmi nehrálo žádnou roli v matematice, protože Cantor zkroutil transfinitní čísla - jistě potenciální nekonečno nehrálo žádnou roli v moderních matematických řešeních zde diskutovaných. Rozdíl mezi potenciálními a skutečnými nekonečnostmi nehrál v matematice žádnou roli, protože Cantor zkroutil transfinitní čísla - jistě potenciální nekonečno nehrálo žádnou roli v moderních matematických řešeních zde diskutovaných. Rozdíl mezi potenciálními a skutečnými nekonečnostmi nehrál v matematice žádnou roli, protože Cantor zkroutil transfinitní čísla - jistě potenciální nekonečno nehrálo žádnou roli v moderních matematických řešeních zde diskutovaných.

3.2 Achilles a želva

Druhý argument byl nazván „Achilles“, podle toho, že v něm byl Achilles vzat [jako postava], a argument říká, že pro něj není možné předstírat želvu, když ji sleduje. Ve skutečnosti je nutné, aby to, co má něco předjíždět, před tím, než to předběhlo, nejprve dosáhlo hranice, z níž bylo stanoveno to, co prchá. V době, kdy to, co sleduje, k tomu dojde, co uprchne, postupuje o určitý interval, i když je menší než doba, která sleduje A v době, ve které to, co sleduje, bude procházet tento [interval], který to, co prchá, pokročilé, v tomto čase to, co prchá, bude procházet určitou částkou…. A tak v každém okamžiku, ve kterém to, co sleduje, prochází [interval], který to, co prchá, je pomalejší, již pokročilo,to, co prchá, také zvýší částku. (Simplicius (b) On Aristotle's Physics, 1014.10)

Tento paradox zapíná téměř stejné úvahy jako poslední. Představte si, že Achilles pronásleduje želvu, a předpokládejme, že Achilles běží rychlostí 1 m / s, že želva plazí rychlostí 0,1 m / s a že želva začíná 0,9 m před Achilles. Na první pohled by Achilles měl chytit želvu po 1 s, ve vzdálenosti 1 m od místa, kde začíná (a tak 0,1 m od místa, kde začíná želva). Mohli bychom rozbít Achillovu pohyb nahoru, jako jsme to udělali Atalantovi, na poloviny, nebo bychom to mohli udělat následovně: předtím, než Achilles dokáže chytit želvu, musí dosáhnout bodu, kde želva začala. Ale v době, kdy to potřebuje, želva se plazí o kousek dál. Takže příští Achilles musí dosáhnout tohoto nového bodu. Ale v době, kdy Achilles toho dosáhne, se želva plazí o kousek dál. A tak dále do nekonečna:pokaždé, když se Achilles dostane na místo, kde byla želva, měla želva dostatek času na to, aby se dostala ještě o kousek dále, a tak Achilles má ještě další běh, takže Achilles má nekonečný počet konečných odchytů, které musí udělat předtím, než dokáže želvu chytit, a tak Zeno uzavírá, že želvu nikdy nezachytí.

Jedním aspektem paradoxu je, že Achilles musí překonat následující nekonečnou řadu vzdáleností, než chytí želvu: nejprve 0,9 m, poté dalších 0,09 m, poté 0,009 m,…. Toto je řada vzdáleností, které želva dosáhne na začátku každého z Achillových dohonů. Při pohledu na tento způsob je hádanka totožná s dichotomií, protože je pouze řečeno, že „to, co je v pohybu, musí dorazit [devět desetin cesty], než dosáhne cíle“. A tak platí i vše, co jsme řekli výše.

Co však paradox v této podobě přináší nejživěji, je problém dokončení řady akcí, které nemají žádného konečného člena - v tomto případě nekonečné řady dohánění dříve, než Achilles dosáhne želvy. Ale co je problém? Snad následující: Achillesův běh do bodu, ve kterém by měl dosáhnout želvy, se může, jak se zdá, zcela rozložit na řadu chytání, z nichž žádný ho do želvy nedostane. Proto se nikde ve svém běhu nedostane k želvě po všem. Ale pokud to měl Zeno na mysli, tak to neudělá. Achilles samozřejmě nedosáhne želvy v žádném bodě sekvence, pro každý běh v sekvenci nastane dříve, než očekáváme, že Achilles dosáhne toho! Vzhledem k bodům, které musí Achilles ve svém běhu dosáhnout, 1m nedochází v posloupnosti 0,9m, 0,99m, 0,999m,…,takže samozřejmě želvu nikdy nezachytí během této sekvence běhů! (A stejná situace nastává v Dichotomii: žádná první vzdálenost v seriálu, takže neobsahuje začátek Atalanty!) Série dohánění tedy konec konců úplně nerozkládá běh: poslední bod, ve kterém Achilles dělá chytit želvu - musí se k ní přidat. Takže existuje nějaká hádanka? Pravděpodobně ano.

Achillova běh prochází posloupností bodů 0,9 m, 0,99 m, 0,999 m,…, 1 m. Má však taková podivná posloupnost složená z nekonečna členů následovaná jedním matematicky více smyslem? Pokud ne, pak náš matematický popis běhu nemůže být správný, ale co je tedy? Teorie transfinitů propagovaná Cantorem nás naštěstí ujišťuje, že taková řada je naprosto úctyhodná. Bylo zjištěno, že vlastnosti řádu nekonečné řady jsou mnohem propracovanější než vlastnosti konečné řady. Jakýkoli způsob uspořádání čísel 1, 2 a 3 dává například řadu ve stejném vzorci, ale existuje mnoho různých způsobů, jak objednat přirozená čísla: například 1, 2, 3,…. Nebo…, 3, 2, 1. Nebo…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Nebo 2, 3, 4, …, 1, což je stejná řada jako pozice, kterými musí Achilles projít. Teorie transfinitů tedy nezachází pouze s „kardinálními“čísly, která závisí pouze na tom, kolik věcí existuje, ale také s „řadovými“čísly, která dále závisí na tom, jak jsou věci uspořádány. Protože pořadové řády jsou standardně považovány za matematicky legitimní čísla a protože řada bodů, které musí Achilles projít, má pořadové číslo, vezmeme to tak, že řada je matematicky legitimní. (Další problém, který by se mohl objevit u Achilles, naleznete níže v části Supertasks.)vezmeme to tak, že řada je matematicky legitimní. (Další problém, který by se mohl objevit u Achilles, naleznete níže v části Supertasks.)vezmeme to tak, že řada je matematicky legitimní. (Další problém, který by se mohl objevit u Achilles, naleznete níže v části Supertasks.)

3.3 Šipka

Třetí je… že létající šipka je v klidu, což vyplývá z předpokladu, že čas se skládá z okamžiků…. on říká, že jestliže všechno, když zabírá stejný prostor, je v klidu, a pokud to, co je v pohybu, je vždy v okamžiku, létající šipka je tedy nehybná. (Aristotle Physics, 239b30)

Zeno ruší pohyb a říká: „Co je v pohybu, nepohybuje se ani na místě, ani na místě, kde není.“(Diogenes Laertius žije ze slavných filozofů, ix.72)

Tento argument proti pohybu výslovně zapíná konkrétní druh předpokladu plurality: ten čas se skládá z momentů (nebo „nyní“) a nic jiného. Zvažte v každém okamžiku šíp, zjevně v pohybu. Zaprvé Zeno předpokládá, že během této chvíle necestuje žádnou vzdálenost - „zabírá stejný prostor“po celý okamžik. Ale celé období jeho pohybu obsahuje pouze okamžiky, z nichž všechny obsahují šipku v klidu, a tak Zeno uzavírá, že šipka se nemůže pohybovat.

Okamžitým problémem je důvod, proč je Zeno oprávněn předpokládat, že šipka je v každém okamžiku v klidu. Okamžitě to následuje, pokud člověk předpokládá, že okamžik trvá 0 s: bez ohledu na rychlost, kterou má šipka, nikde se nedostane, pokud nemá vůbec čas. Ale co když někdo usoudil, že nejmenší části času jsou konečné - pokud malé - tak, aby se pohybující se šipka mohla během okamžiku skutečně pohnout? Jeden způsob, jak podpořit předpoklad - který vyžaduje četné přečtení do textu - začíná tím, že se předpokládá, že jsou okamžiky nedělitelné. Pak předpokládejme, že se šíp během okamžiku skutečně pohnul. Bylo by to na různých místech na začátku a na konci okamžiku, což znamená, že okamžik má „začátek“a „konec“, což zase znamená, že má alespoň dvě části, a tak je dělitelný, na rozdíl od náš předpoklad.(Všimněte si, že tento argument pouze prokazuje, že se během okamžiku nemůže nic pohybovat, nikoli že momenty nemohou být konečné.)

Takže se v žádném okamžiku nic nehýbe, ale čas je složen z instancí, takže se nic nehýbe. První odpovědí je poukázat na to, že určení rychlosti šipky znamená dělení vzdálenosti ujeté v určitém čase délkou této doby. Ale za předpokladu, že od této chvíle mají okamžiky nulové trvání - tento vzorec nemá smysl v okamžiku: šipka putuje 0 m v 0 s, okamžik trvá, ale 0/0 m / s není vůbec žádné číslo. Je proto klamné vyvodit ze skutečnosti, že šipka nepřekračuje žádnou vzdálenost v okamžiku, kdy je v klidu; to, zda je v pohybu v okamžiku nebo ne, závisí na tom, zda urazí jakoukoli vzdálenost v konečném intervalu, který zahrnuje dotyčný okamžik.

Odpověď je správná, ale přináší kontraintuitivní implikaci, že pohyb není něco, co se děje v každém okamžiku, ale spíše pouze v konečném časovém období. Přemýšlejte o tom tímto způsobem: čas, jak jsme řekli, se skládá pouze z instancí. Během žádného okamžiku se nejezdí žádná vzdálenost. Kdy se tedy šipka skutečně pohybuje? Jak se dostane z jednoho místa na druhé později? Existuje pouze jedna odpověď: šipka se dostane z bodu (X) v čase 1 do bodu (Y) v čase 2 jednoduše proto, že je v po sobě jdoucích mezilehlých bodech v po sobě jdoucích mezilehlých časech - šipka nikdy nezmění svou polohu během okamžité, ale pouze v intervalech složených z instancí, obsazením různých pozic v různých časech. V Bergsonových nezapomenutelných slovech, o nichž si myslel, že vyjadřují absurditu, se „majetek skládá z nehybností“(1911, 308):dostat se z (X) do (Y) je záležitost obsazení přesně jednoho místa mezi nimi v každém okamžiku (ve správném pořadí samozřejmě). Pro další diskusi o této „at-at“pojetí času viz Arntzenius (2000) a Salmon (2001, 23-4).

3.4 Stadion

Čtvrtý argument je ten, který se týká stejných těl, která se pohybují podél stejných těl na stadionu z opačných směrů - těl z konce stadionu, ostatních ze středu při stejných rychlostech, v nichž podle něj vyplývá, že polovina času je rovná se jeho dvojnásobku …. (Aristotle Physics, 239b33)

Aristoteles dále zpracovává a vyvrací argument pro Zenoův konečný paradox pohybu. Text je poněkud kryptický, ale obvykle se interpretuje podle následujících řádků: obrázek tři sady dotýkajících se krychlí - všechny přesně stejné - v relativním pohybu. Jeden soubor - (A) s - je v klidu a ostatní - (B) a (C) s - se pohybují doprava a doleva konstantní stejnou rychlostí. A předpokládejme, že v určitém okamžiku jsou nejvíce vpravo (B) a nejvíce vlevo (C) zarovnány se středem (A), jak je znázorněno (tři z nich jsou zobrazeny pro jednoduchost).

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

Protože se (B) a (C) pohybují stejnou rychlostí, budou současně zarovnány s (A).

(A) (A) (A)
(B) (B) (B)
(C) (C) (C)

V tuto chvíli cestoval úplně vpravo (B) kolem všech (C), ale pouze polovina (A); protože mají stejnou velikost, urazil jak určitou, tak i poloviční vzdálenost. Zdánlivý rozpor zde není patrný, pravděpodobně proto, že je zřejmé, že tyto opačné vzdálenosti jsou relativní k (C) a (A); obecně neexistuje rozpor v postavení v různých vztazích k různým věcem. Místo toho jsou vzdálenosti převedeny na časy vydělením vzdáleností rychlostí (B) s; polovina vzdálenosti při dané rychlosti trvá polovinu času. Potom hrozí rozpor, protože čas mezi státy je jednoznačný, nikoli relativní - proces zabere nějaký (nenulový) čas a polovinu času.

Obecný verdikt je, že Zeno byl beznadějně zmaten relativními rychlostmi v tomto paradoxu. Pokud se (B) s pohybují rychlostí S m / s doprava vzhledem k (A) s, a pokud se (C) pohybují rychlostí S m / s doleva vzhledem k (A) s, pak se (C) pohybují rychlostí (S + S = 2) S m / s doleva vzhledem k (B) s. A tak samozřejmě, zatímco (B) s cestují dvakrát tak daleko k (C) s jako (A), dělají to dvojnásobnou relativní rychlostí, takže časy jsou stejným způsobem. Ale mohl to být Zeno zmatený? (Sattler, 2015, argumentuje proti tomuto a dalším běžným čtením stadionu.)

Možná (Davey, 2007) měl namísto toho na mysli následující (zatímco Zeno je podle tohoto čtení chytřejší, Aristotelovy slova se tak dobře nehodí): předpokládejme (A) s, (B) s a (C) s jsou nejmenšího prostorového rozsahu, „bodově velká“, kde „body“mají nulovou velikost, pokud je prostor spojitý, nebo konečný, pokud je prostor „atomový“. Předpokládejme dále, že mezi (A) s nebo mezi (B) s nebo mezi (C) s nejsou mezery. Během pohybu nad úvodní (B) projde všechny (C) s a polovina (A) s, takže polovina tolik (A) s jako (C) s. Nyní, když se bod pohybuje nepřetržitě podél čáry bez mezer, existuje vzájemná korespondence 1: 1 mezi okamžiky času a body na čáře - každému okamžiku bodu a každému bodu okamžiku. Proto,počet '(A) - instancí' času, který vedoucí (B) trvá, než projde (A) s, je poloviční než počet '(C) - instantů', aby projel (C) s-i když tyto procesy zabírají stejné množství času. Pokud tedy rozhodně předpokládáme, že polovina instancí znamená polovinu času, usoudíme, že polovina času se rovná celé době, což je rozpor.

Viděli jsme výše, v naší diskusi o úplné dělitelnosti, problém s takovým zdůvodněním aplikovaný na spojité čáry: jakýkoli úsečka má stejný počet bodů, takže z počtu bodů nelze tímto způsobem odvodit - rozhodně ne polovina bodů body (v tomto případě instanty) znamenají polovinu délky (nebo času). Paradox selže, jak bylo uvedeno. Není však samotné tvrzení, že intervaly obsahují stejný počet instantů, v rozporu s krokem argumentu, který dospívá k závěru, že existuje polovina tolika (A) - instancí jako (C) - instantů? Tento problém je jemný pro nekonečné množiny: abych uvedl jiný příklad, 1, 2, 3,… je v korespondenci 1: 1 s 2, 4, 6, …, a tak je jich stejný počet. Je to v tomto smyslu 1:1 korespondence - přesný význam „stejného čísla“použitého v matematice - že každá konečná linie má stejný počet bodů jako jakýkoli jiný. Neformálně vzato však existuje také „poloviční počet“sudých čísel jako celá čísla: páry (1, 2), (3, 4), (5, 6),… lze také dát do korespondence 1: 1 s 2, 4, 6,…. Podobně existuje neformálně mluvících polovina tolik (A) - instancí jako (C) - instantů: (A) - instancí je v 1: 1 korespondence s páry (C) - instantů. Neexistuje tedy žádný rozpor v počtu bodů: neformální polovina se rovná přísnému celku (pro atomovou teorii je zapotřebí jiné řešení, podle linií uvedených v posledním odstavci této sekce).1 korespondence s 2, 4, 6,…. Podobně existuje neformálně mluvících polovina tolik (A) - instancí jako (C) - instantů: (A) - instancí je v 1: 1 korespondence s páry (C) - instantů. Neexistuje tedy žádný rozpor v počtu bodů: neformální polovina se rovná striktnímu celku (pro atomovou teorii je zapotřebí jiné řešení, podle linií uvedených v posledním odstavci této sekce).1 korespondence s 2, 4, 6,…. Podobně existuje neformálně mluvících polovina tolik (A) - instancí jako (C) - instantů: (A) - instancí je v 1: 1 korespondence s páry (C) - instantů. Neexistuje tedy žádný rozpor v počtu bodů: neformální polovina se rovná striktnímu celku (pro atomovou teorii je zapotřebí jiné řešení, podle linií uvedených v posledním odstavci této sekce).

(Dovolte mi zmínit podobný paradox pohybu - „Millstone“- přičítaný Maimonidesovi. Představte si, že dvě kola, jedno dvojnásobné poloměr a obvod druhého, připevněná k jedné nápravě. Nechte je běžet po koleji se zvednutou kolejnicí. udržet nápravu ve vodorovné poloze pro jednu otáčku obou kol [otáčejí se stejnou rychlostí kvůli nápravě]: každý bod každého kola se dotýká přesně jednoho bodu své kolejnice a každý bod každé kolejnice s přesně jedním bodem jeho kola. Projíždí shromáždění vzdálenost rovnající se obvodu velkého kola? Z malých? Obě? Něco jiného? Jak? Tento problém také vyžaduje pochopení kontinua, ale nejedná se o paradox Zeno, takže budeme nechte to na vynalézavosti čtenáře.)

Konečná možná rekonstrukce Zenoova stadionu to bere jako argument proti atomové teorii prostoru a času, což je zajímavé, protože současná fyzika zkoumá takový pohled, když se pokouší „kvantizovat“časoprostor. Předpokládejme, že strany každé krychle se rovnají „kvantové“délce a že dva uvažované momenty jsou odděleny jedním kvantovým časem. Pak se musí stát něco zvláštního, protože nejvíce vpravo (B) a prostřední (C) procházejí během pohybu navzájem, a přesto neexistuje žádný okamžik, ve kterém jsou na úrovni: protože oba okamžiky jsou od sebe odděleny nejmenším možná čas, mezi nimi nemůže být žádný okamžik - byl by to čas kratší než nejkratší čas ze dvou uvažovaných okamžiků. Naopak, pokud někdo trval na tom, že pokud projdou, musí existovat okamžik, kdy jsou na úrovni,pak to ukazuje, že to nemůže být nejkratší konečný interval - ať už to je cokoli, stačí spustit tento argument. Proč by však měl člověk trvat na tomto předpokladu? Problém je v tom, že si člověk přirozeně představuje kvantovaný prostor jako šachovnici, na níž jsou šachové figurky zmrazeny během každého kvantového času. Pak se člověk diví, když se červená královna, řekněme, dostane z jednoho čtverce na druhý, nebo jak se dostane kolem bílé královny, aniž by s ní byla na stejné úrovni. Ale analogie je zavádějící. Je lepší myslet na kvantizovaný prostor jako na obrovskou matici světel, která drží nějaký vzor osvětlených světel pro každé kvantum času. V této analogii osvětlená žárovka představuje přítomnost předmětu: například řada žárovek v řadě, která se postupně rozsvítí, představuje tělo pohybující se v přímé linii. V tomto případě není pokušení se zeptat, kdy se světlo „dostane“z jedné žárovky do další - nebo analogicky, jak se tělo pohybuje z jednoho místa na další. (Zde se dotýkáme otázek časových částí a toho, zda objekty „vydrží“nebo „perdure“.)

4. Dva další paradoxy

Další dva paradoxy připisuje Zeno Aristoteles, ale jsou dány v souvislosti s dalšími body, které dělá, takže Zenoův záměr nelze určit s jistotou: i když jsou zamýšleny argumentovat proti pluralitě a pohybu. Budeme je krátce diskutovat o úplnosti.

4.1 Paradox místa

Zenoův problém vyžaduje vysvětlení; protože pokud má všechno, co existuje, místo také, bude mít místo, a tak dále na nekonečno ad. (Aristotle Physics, 209a23)

Když Aristoteles nastavil svou teorii místa - klíčový prostorový pojem ve své teorii pohybu - uvádí různé teorie a problémy, které jeho předchůdci, včetně Zeno, na toto téma zformulovali. Argument znovu vyvolává problémy nekonečna, protože druhý krok argumentu argumentuje pro nekonečný ústup míst. Nicméně, Aristotle představuje to jako argument proti samotné myšlence místa, spíše než pluralita (tedy pravděpodobně vyřazení z kontextu). Je těžké cítit sílu závěru, proč by neměla existovat nekonečná řada míst míst…? Zdá se, že obavy by byly větší pro někoho, kdo (jako Aristoteles) věřil, že nemůže existovat skutečné nekonečno věcí, protože se zdá, že argument ukazuje, že existují. Ale jak jsme již diskutovali výše, dnes už žádné takové výhrady nemáme;se skutečnou nekonečností míst se nezdá nic problematického.

Jediným jiným způsobem, jak bychom mohli najít ustupující potíže, je, pokud si člověk myslí, že těla mají „absolutní“místa, a to v tom smyslu, že vždy existuje jedinečná privilegovaná odpověď na otázku „kde je“? Problém tedy není v tom, že existuje nekonečně mnoho míst, ale že je jich mnoho. A Aristoteles mohl mít toto znepokojení, protože ve své teorii pohybu je přirozený pohyb těla určen vztahem jeho místa ke středu vesmíru: účet, který vyžaduje, aby bylo určeno místo, protože přirozený pohyb je. (Viz Sorabji 1988 a Morrison 2002 obecně, konkurenční zprávy o Aristotelesových názorech na místo; kapitola 3 posledně jmenovaných zejména pro diskusi o Aristotelesově léčbě paradoxu.) Ale za předpokladu, že jeden drží toto místo je absolutní z jakéhokoli důvodu, pak pro příklad,kde jsem, jak píšu? Pokud je paradox správný, pak jsem na svém místě a jsem také na svém místě a na místě, kde jsem, a moje…. Protože jsem na všech těchto místech, může se zdát, že by na tuto otázku mohla být vhodná odpověď. Lze si představit různé odpovědi: popírat absolutní místa (zejména proto, že je naše fyzika nevyžaduje), definovat pojem místa, který je jedinečný ve všech případech (pravděpodobně Aristotelovo řešení), nebo snad tvrdí, že místa jsou jejich vlastními místy, čímž se odřízne regres !definovat pojem místa, který je ve všech případech jedinečný (pravděpodobně Aristotelovo řešení), nebo možná tvrdí, že místa jsou jejich vlastními místy, čímž se odřízne regres!definovat pojem místa, který je ve všech případech jedinečný (pravděpodobně Aristotelovo řešení), nebo možná tvrdí, že místa jsou jejich vlastními místy, čímž se odřízne regres!

4.2 Zrno proso

… Zenoovo zdůvodnění je nepravdivé, když tvrdí, že neexistuje žádná část proso, která nevydává zvuk; protože neexistuje žádný důvod, proč by žádná část neměla v jakémkoli časovém úseku selhat v pohybu vzduchu, který se pohybuje celý bušel. (Aristotle Physics, 250a19)

V souvislosti s tím Aristoteles vysvětluje, že zlomek síly mnoho neprodukuje stejný zlomek pohybu. Například, zatímco 100 stevedores může táhnout člun, jeden by mohl nechat to se pohybovat vůbec, natož 1 / 100th rychlosti; takže vzhledem k tomu, jak se vám líbí, jej nemusí posunout až ke 100. (Tuto skutečnost popisujeme jako účinek tření.) Podobně jen proto, že padající bušl prosa vydává ohromující zvuk, jak padá, to dělá neřídí, že by každé jednotlivé zrno mělo, nebo nemá: vzhledem k tomu, kolik času se vám bude líbit, nebude se pohybovat stejným množstvím vzduchu jako bušl. Přestože Aristoteles vyvrací tuto premisu, nevysvětluje, jakou roli pro Zeno hrál, a můžeme pouze spekulovat. Není ani jasné, zda je to součást paradoxu nebo nějakého jiného sporu:tvrdil Zeno také, že ukázal, že jediné zrno proso nevydává zvuk? Jedna spekulace je, že naše smysly odhalují, že to tak není, protože nemůžeme slyšet pád jednoho zrna. Pak je Aristotelova reakce výstižná; a tak je podobná reakce, že samotné slyšení vyžaduje pohyb ve vzduchu nad určitou prahovou hodnotou.

5. Zenoův vliv na filosofii

V této závěrečné části bychom měli krátce zvážit dopad, který měl Zeno na různé filozofy; rešerše literatury odhalí, že tyto debaty pokračují.

  • Pythagorejci: V první polovině dvacátého století si většinová čtenářská garáž (1885) Zena myslela, že jeho argumenty byly namířeny proti technické doktríně Pythagorejců. Podle tohoto čtení se domnívali, že všechny věci byly složeny z prvků, které měly vlastnosti čísla jednotky, geometrického bodu a fyzického atomu: tento druh pozice by odpovídal jejich doktríně, že realita je v zásadě matematická. V polovině století však řada komentátorů (Vlastos, 1967 shrnuje argument a obsahuje odkazy) důrazně tvrdila, že Zenoův cíl byl místo toho rozumové chápání plurality a pohybu - založené na známých geometrických pojmech - a skutečně že doktrína nebyla hlavní součástí pythagorovského myšlení. Implicitně jsme předpokládali, že tyto argumenty jsou správné v našich údajích o paradoxech. Tanneryova interpretace však stále má své obránce (viz např. Matson 2001).
  • The Atomists: Aristotle (On Generation and Corruption 316b34) tvrdí, že náš třetí argument - ten, který se týká úplné dělitelnosti - byl tím, co přesvědčilo atomisty, že musí existovat nejmenší a nedělitelné části hmoty. Viz Abraham (1972) pro další diskusi o Zenoově spojení s atomisty.
  • Časné stání: Na počátku dvacátého století se několik vlivných filosofů pokusilo uvést Zenoovy argumenty, aby fungovaly ve službě metafyziky „časného stávání se“, (předpokládaného) procesu, kterým vznikne přítomnost. Takoví myslitelé jako Bergson (1911), James (1911, Ch 10–11) a Whitehead (1929) tvrdili, že Zenoovy paradoxy ukazují, že prostor a čas nejsou strukturovány jako matematické kontinuum: tvrdily, že způsob, jak zachovat realitu pohybu bylo popřít, že prostor a čas jsou složeny z bodů a instancí. Jasně jsme však viděli, že nástroje standardní moderní matematiky jsou úkolem řešení paradoxů, takže žádný závěr se nezdá být opodstatněný: pokud se současnost skutečně „stane“, není důvod si myslet, že tento proces není zachycen. kontinuem.
  • Aplikace matematického kontinua na fyzický prostor a čas: Po vedení Russella (1929, 182–198) se řada filozofů - zejména Grünbaum (1967) - ujala úkolu ukázat, jak by moderní matematika mohla vyřešit všechny Zenoovy paradoxy; jejich práce důkladně ovlivnila naši diskusi o argumentech. Uvědomili si, že čistě matematické řešení nestačí: paradoxy nejen zpochybňují abstraktní matematiku, ale také povahu fyzické reality. Hledali tedy argument nejen, že Zeno neohrožoval matematiku nekonečna, ale také, že matematika správně popisuje objekty, čas a prostor. To by neodpovědělo Zenoovým paradoxům, kdyby matematický rámec, který jsme použili, nebyl dobrým popisem skutečného prostoru, času a pohybu!Myšlenka, že matematický zákon - řekněme Newtonův zákon univerzální gravitace - může nebo nemusí správně popisovat věci, je známá, ale některé aspekty matematiky nekonečna - povaha kontinua, definice nekonečných částek a tak dále se zdají tak základní že může být na první pohled těžké vidět, že se také aplikují náhodně. Ale jistě ano: a priori nic nezaručuje, že prostor má strukturu kontinua, nebo dokonce že části prostoru se sčítají podle Cauchyovy definice. (Losos je dobrým příkladem, který pomůže objasnit: protože alkohol se rozpustí ve vodě, pokud smícháte ty dva s menším než součet jejich objemů, ukazuje to, že ani obyčejný přídavek se nevztahuje na všechny druhy systémů. Naše přesvědčení, že matematická teorie nekonečna popisuje prostor a čas, je odůvodněna, pokud to fyzikální zákony předpokládají, a do té míry, že jsou tyto zákony samy o sobě potvrzeny zkušeností. I když je pravda, že téměř všechny fyzikální teorie předpokládají, že prostor a čas skutečně mají strukturu kontinua, je také pravda, že kvantové teorie gravitace pravděpodobně naznačují, že tomu tak není. Zatímco nikdo opravdu neví, kam tento výzkum nakonec povede, je docela možné, že prostor a čas se ukáže na nejzákladnější úrovni, že bude zcela na rozdíl od matematického kontinua, které jsme zde předpokládali. I když je pravda, že téměř všechny fyzikální teorie předpokládají, že prostor a čas skutečně mají strukturu kontinua, je také pravda, že kvantové teorie gravitace pravděpodobně naznačují, že tomu tak není. Zatímco nikdo opravdu neví, kam tento výzkum nakonec povede, je docela možné, že prostor a čas se ukáže na nejzákladnější úrovni, že bude zcela na rozdíl od matematického kontinua, které jsme zde předpokládali. I když je pravda, že téměř všechny fyzikální teorie předpokládají, že prostor a čas skutečně mají strukturu kontinua, je také pravda, že kvantové teorie gravitace pravděpodobně naznačují, že tomu tak není. Zatímco nikdo opravdu neví, kam tento výzkum nakonec povede, je docela možné, že prostor a čas se ukáže na nejzákladnější úrovni, že bude zcela na rozdíl od matematického kontinua, které jsme zde předpokládali.

    Je třeba si také uvědomit, že Grünbaum se ujal úkolu ukázat, že moderní matematika popisuje prostor a čas, aby zahrnul něco poněkud odlišného od argumentace, že to potvrzují zkušenosti. Dominantním pohledem v té době (i když ne v současnosti) bylo to, že vědecké termíny měly význam, pokud odkazovaly přímo na předměty zkušenosti - jako je „1m pravítko“- nebo, pokud odkazovaly spíše na „teoretické“než na „pozorovatelné“entity - jako „vesmírný bod“nebo „1/2 z 1/2 z… 1/2 dostihové dráhy“- pak pomocí svých logických vztahů - prostřednictvím definic a teoretických zákonů - získali význam k těmto podmínkám pozorování. Grünbaum tak provedl působivý program, který dává smysl všem pojmům zapojeným do moderní teorie nekonečna, interpretované jako popis prostoru a času.

  • Supertasks: Další myšlenka se týká toho, co Black (1950–51) nazýval „nekonečnými stroji“. Black a jeho následovníci chtěli ukázat, že ačkoli Zenoovy paradoxy nenabízely matematiku žádný problém, ukázalo se, že nakonec matematika nebyla použitelná na prostor, čas a pohyb. Nejvýrazněji naše usnesení k Dichotomii a Achillovi předpokládalo, že celý běh lze rozdělit na nekonečnou řadu polovičních běhů, které lze shrnout. Je však skutečně možné dokončit jakoukoli nekonečnou řadu akcí: dokončit to, co se nazývá „supertask“? Pokud ne, a za předpokladu, že Atalanta a Achilles dokážou splnit své úkoly, jejich úplné běhy nemohou být správně popsány jako nekonečná řada poloběhů, i když by je tak popsala moderní matematika. Předpokládá se, že nekonečné stroje stanoví, že nekonečnou řadu úkolů nelze dokončit - takže žádný dokončitelný úkol nelze rozdělit na nekonečno menších úkolů, ať už matematika naznačuje cokoli.
  • Infinitesimals: Nakonec jsme viděli, jak řešit paradoxy pomocí zdrojů matematiky vyvinutých v devatenáctém století. Dlouho bylo považováno za jednu z velkých předností tohoto systému, že nakonec ukázalo, že nekonečná desetinná množství, menší než jakékoli konečné číslo, ale větší než nula, jsou zbytečná. (Newtonův počet například účinně využil takových čísel, zacházel s nimi někdy jako s nulou a někdy s konečnou; problém s takovým přístupem je, že jak s čísly zacházet, je věcí intuice, nikoli přísnosti.) Avšak ve dvacátém století Robinson ukázal, jak zavést infinitesimální čísla do matematiky: jedná se o systém „nestandardní analýzy“(známý systém reálných čísel, daný Dedekindem jako přísný základ, je naopak jen „analýza“). AnalogickyBell (1988) vysvětluje, jak lze do geometrie zavést infinitesimální úsečky a komentuje jejich vztah k Zeno. Navíc McLaughlin (1992, 1994) ukazuje, jak lze Zenoovy paradoxy vyřešit nestandardní analýzou; nejsou víc argumentem proti nestandardní analýze než proti standardní matematice, kterou jsme zde předpokládali. Je však třeba zdůraznit, že na rozdíl od McLaughlinových návrhů není třeba řešit paradoxy nestandardní analýzou: oba systémy jsou stejně úspěšné. (Reeder, 2015, tvrdí, že nestandardní analýza je neuspokojivá, pokud jde o šipku, a nabízí alternativní účet využívající odlišné pojetí infinitesimálů.) Konstrukce nestandardní analýzy však vyvolává další otázku ohledně použitelnosti analýzy na fyzickou prostor a čas:zdá se věrohodné, že všechny fyzické teorie lze formulovat v obou termínech, a pokud se naše zkušenost rozšíří, zdá se, že jsou stejně potvrzeny. Nemohou však platit jak o prostoru, tak o čase: buď má prostor infinitesimální části, nebo ne.

Další čtení

Po relevantních záznamech v této encyklopedii je místem, kde začít další vyšetřování, Salmon (2001), který obsahuje některé z nejdůležitějších článků o Zeno do roku 1970 a působivě komplexní bibliografii děl v angličtině ve dvacátém století.

Dalo by se také podívat na Huggetta (1999, kap. 3) a Huggetta (2010, kap. 2–3) pro další zdrojové pasáže a diskuzi. Pro představení matematických myšlenek moderních řešení jsou příloha Salmon (2001) nebo Stewart (2017) dobrým začátkem; Russell (1919) a Courant et al. (1996, Chs. 2 a 9) jsou také úžasné zdroje. Nakonec tři sbírky původních zdrojů pro Zenoovy paradoxy: Lee (1936 [2015]) obsahuje vše, co je známé, Kirk et al (1983, Ch. 9) obsahuje velké množství materiálu (v angličtině a řečtině) s užitečnými komentáři a Cohen et al. (1995) má také hlavní pasáže.

Bibliografie

  • Abraham, WE, 1972, „Povaha Zenoova argumentu proti pluralitě v DK 29 B I“, Phronesis, 17: 40–52.
  • Aristoteles, 'On Generation and Corruption', AA Joachim (trans), v The Complete Works of Aristotle, J. Barnes (ed.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Aristotle, 'Physics', WD Ross (trans), v The Complete Works of Aristotle, J. Barnes (ed.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
  • Arntzenius, F., 2000, „Existují opravdu okamžité rychlosti?“, Monist, 83: 187–208.
  • Bell, JL, 1988, 'Infinitesimals', Synthese, 75 (3): 285-315.
  • Belot, G. a Earman, J., 2001, „Presociratická kvantová gravitace“, ve fyzice setkává filozofii na Planckově stupnici: Současné teorie v kvantové gravitaci, C. Callender a N. Huggett (eds), Cambridge: Cambridge University Lis.
  • Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (trans.), New York: Holt, Reinhart a Winston.
  • Black, M., 1950, „Achilles a želva“, analýza, 11: 91–101.
  • Cohen, SM, Curd, P. a Reeve, CDC (eds), 1995, Čtení ve starořecké filosofii od Thalese po Aristotela, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Courant, R., Robbins, H. a Stewart, I., 1996, Co je matematika? Elementární přístup k myšlenkám a metodám, 2. vydání, New York, Oxford: Oxford University Press.
  • Davey, K., 2007, Aristoteles, Zeno a stadion Paradox, historie filozofie čtvrtletně, 24: 127–146.
  • Diogenes Laertius, 1983, „Žije slavných filozofů“, s. 273 presokratických filosofů: kritická historie s výběrem textů, 2. vydání, GS Kirk, JE Raven a M. Schofield (eds), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ehrlich, P., 2014, „Esej na počest devadesátých narozenin Adolfa Grünbauma: Přehodnocení Zenoova paradoxu rozšíření“, Filozofie vědy, 81 (4): 654–675.
  • Grünbaum, A., 1967, Modern Science and Zeno's Paradoxes, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
  • Huggett, N. (ed.), 1999, Space from Zeno to Einstein: Klasická četba se současným komentářem, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Huggett, N., 2010, Everywhere and Everywhen: Adventures in Physics and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
  • James, W., 1911, Některé problémy filozofie, New York: Longmans, Green & Co.
  • Kirk, GS, Raven JE a Schofield M. (eds), 1983, Presokratičtí filozofové: Kritická historie s výběrem textů, 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Lee, HDP (ed.), 1936 [2015], Zeno of Elea: Text, s překlady a poznámkami, Cambridge: Cambridge University Press, dotisk 2015.
  • Matson, WI, 2001, 'Zeno Moves!', V Esejích starověké řecké filosofie VI: Před Plato, A. Preus (ed.), Albany: State University of New York Press.
  • McLaughlin, WI, 1994, 'Resolving Zeno's Paradoxes', Scientific American, 271 (5): 84–89.
  • McLaughlin, WI a Miller, SL, 1992, „Epistemologické použití nestandardní analýzy k zodpovězení Zenoových námitek proti pohybu“, Synthese, 92: 371–384.
  • Morison, B, 2002, On Location: Aristotle's Concept of Place, Oxford: Oxford University Press.
  • Newton, I., Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, IB Cohen and AM Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.
  • Plato, 1997, 'Parmenides', ML Gill a P. Ryan (trans), v Plato: Complete Works, JM Cooper (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Reeder, P., 2015, „Zeno's Arrow and Infinitesimal Calculus“, Synthese, 192: 1315–1335.
  • Russell, B., 1919, Úvod do matematické filozofie, Londýn: George Allen a Unwin Ltd.
  • Russell, B., 1929, Naše znalosti o vnějším světě, New York: WW Norton & Co. Inc.
  • Salmon, WC, 2001, Zeno's Paradoxes, 2. vydání, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
  • Sattler, B., 2015, „Time is Double the Trouble: Zeno's Moving Rows“, Ancient Philosophy, 35: 1-22.
  • Sherry, DM, 1988, 'Zeno's Metrical Paradox Revisited', Philosophy of Science, 55: 58–73.
  • Simplicius (a), „O Aristotelově fyzice“, ve čteních ve starořecké filosofii od Thalese po Aristotela, SM Cohen, P. Curd a CDC Reeve (ed.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., s. 58–59, 1995.
  • Simplicius (b), On Aristotle's Physics 6, D. Konstan (trans.), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd, 1989.
  • Sorabji, R., 1988, Teorie hmot, vesmíru a pohybu ve starověku a jejich pokračování, Ithaca: Cornell University Press.
  • Stewart, I., 2017, Infinity a velmi krátký úvod, Oxford: Oxford University Press.
  • Tannery, P., 1885, „Le Concept Scientifique du Continu: Zenon d'Elee et Georg Cantor“, Revue Philosophique de la France et de l'Etranger, 20: 385–410.
  • Vlastos, G., 1967, 'Zeno of Elea', v Encyclopedia of Philosophy, P. Edwards (ed.), New York: Macmillan Co. a The Free Press.
  • Whitehead, AN, 1929, Process and Reality, New York: Macmillan Co.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho
ikona inpho
Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil
ikona papíry phil
Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

Doporučená: