Russellův Paradox

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Russellův paradox

První publikováno 8. prosince 1995; věcná revize ne 9. října 2016

Russellův paradox je nejslavnější z logických nebo množinově teoretických paradoxů. Také známý jako Russell-Zermelo paradox, paradox vzniká v naivní teorii množin zvažováním množiny všech sad, které nejsou členy samy o sobě. Taková množina se zdá být členem sama o sobě, a to pouze tehdy, pokud není členem sama o sobě. Proto paradox.

Některé sady, jako například sada všech šálků, nejsou samy o sobě členy. Ostatní sady, jako je sada všech ne-čajových šálků, jsou členy samy o sobě. Nazvěte množinu všech sad, které nejsou jejich členy, „R“. Je-li R sám o sobě, nesmí být ze své podstaty členem sám o sobě. Podobně, pokud R není členem sám o sobě, pak musí být ze své podstaty členem sám o sobě.

Ačkoli si to také všiml Ernst Zermelo, rozpor se nepovažoval za důležitý, dokud jej na jaře 1901 nezjistil Bertrand Russell samostatně. Od té doby paradox podnítil spoustu práce v logice, teorii množin a filozofii a základy matematiky.

• 1. Paradox
• 2. Historie paradoxu
• 3. Včasné reakce na paradox
• 4. Russellův paradox v současné logice
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Paradox

Ústředním bodem každé teorie množin je prohlášení o podmínkách, za nichž se formují. Kromě jednoduchého vyjmenování členů množiny se původně předpokládalo, že k určení množiny lze použít jakoukoli přesně definovanou podmínku (nebo přesně specifikovanou vlastnost). Například, jestliže T je vlastnost být šálkem, pak množina, S, všech šálků může být definována jako S = {x: T (x)}, sada všech jednotlivců, x, takže x má vlastnost bytí T. K určení množiny lze použít i protichůdnou vlastnost. Například vlastnost bytí T i ne-T by určila prázdnou množinu, sada bez členů.

Přesněji řečeno, naivní teorie množin předpokládá tzv. Naivní nebo neomezený Komplexní Axiom, axiom, který pro jakýkoli vzorec φ (x) obsahující x jako volnou proměnnou bude existovat množina {x: φ (x)}, jejíž členy jsou přesně ty objekty, které splňují φ (x). Pokud tedy vzorec φ (x) znamená „x je prvočíslo“, pak {x: φ (x)} bude množina prvočísel. Pokud φ (x) znamená “~ (x = x)”, pak {x: φ (x)} bude prázdnou sadou.

Ale z předpokladu tohoto axiomu vyplývá Russellův rozpor. Pokud například necháme φ (x) kandidovat na x ∈ x a necháme R = {x: ~ φ (x)}, pak R je množina, jejíž členy jsou přesně ty objekty, které nejsou členy samy o sobě.

Je R sám členem? Pokud ano, musí splňovat podmínku, že není členem sám o sobě, a tak tomu tak není. Pokud tomu tak není, nesmí splňovat podmínku, že není členem sám o sobě, a proto musí být členem sám o sobě. Protože klasickou logikou musí jeden nebo druhý případ platit - buď je R sám o sobě, nebo ne - vyplývá z toho, že teorie implikuje rozpor.

Jak nám Russell říká, teprve poté, co použil stejný druh úvah, jaký nalezl Cantorův diagonální argument, na „předpokládanou třídu všech představitelných objektů“, byl veden k rozporu:

Komplexní třída, kterou zvažujeme, která má přijmout vše, se musí přijmout jako jeden ze svých členů. Jinými slovy, pokud existuje něco jako „všechno“, pak „všechno“je něco a je členem třídy „všechno“. Ale třída obvykle není sama o sobě členem. Například lidstvo není člověk. Teď vytvořte shromáždění všech tříd, které nejsou členy sebe. Toto je třída: je to sám člen nebo ne? Pokud ano, je to jedna z těch tříd, které nejsou členy samy o sobě, tj. Nejsou členy samy o sobě. Pokud tomu tak není, není to jedna z těch tříd, které nejsou členy samy o sobě, tj. Jsou členy samy o sobě. Tedy ze dvou hypotéz - to, že je, a že to není, sám o sobě - každá implikuje svůj rozpor. To je rozpor. (1919, 136)

Standardní reakce na paradox se pokoušejí nějakým způsobem omezit podmínky, za nichž se vytvářejí množiny. Cílem je obvykle eliminovat R (a podobné protichůdné sady) a současně zachovat všechny další sady potřebné pro matematiku. Toto je často děláno tím, že nahradí neomezený Comprehension Axiom s více omezujícím Axiom separace, jmenovitě axiom, který daný nějaké (konzistentní) množina S a nějaký vzorec φ (x) s x volný, tam bude soubor {x ∈ S: φ (x)} jejichž členy jsou přesně ti členové S, kteří splňují φ (x). Pokud nyní necháme φ (x) kandidovat na vzorec x ∉ x, ukáže se, že odpovídající množina {x ∈ S: x ∉ x} nebude protichůdná, protože se skládá pouze z členů nalezených v S, které nejsou jejich členy. Z tohoto důvodu se soubor nepodaří zahrnout sám.

Řada souvisejících paradoxů je diskutována ve druhé kapitole Úvodu k Whiteheadovi a Russellovi (1910, 2. vydání 60–65), jakož i v příspěvku o paradoxech a současné logice v této encyklopedii.

2. Historie paradoxu

Zdá se, že Russell objevil svůj paradox na konci jara 1901, zatímco pracoval na jeho principech matematiky (1903). Přesně, když k objevu došlo, není jasné. Russell zpočátku uvádí, že se setkal s paradoxem „v červnu 1901“(1944, 13). Později uvedl, že k objevu došlo „na jaře 1901“(1959, 75). Ještě později uvádí, že se s paradoxem setkal ne v červnu, ale v květnu téhož roku (1969, 221). Cesare Burali-Forti, asistent Giuseppe Peana, objevil podobnou antinomii v roce 1897, když si všiml, že jelikož je soubor ordinálů řádně uspořádán, musí mít i ordinál. Tento ordinál však musí být jak prvkem množiny všech ordinálů, tak ještě větší než každý takový prvek.

Na rozdíl od Buraliho-Fortiho paradoxu Russellův paradox nezahrnuje ani ordinály ani kardinály, místo toho se spoléhá pouze na primitivní představy o setu a inkluzi. Zermelo si všiml podobného rozporu někdy mezi lety 1897 a 1902, možná předvídal Russella o několik let (Ebbinghaus a Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), ačkoli Kanamori dochází k závěru, že objev mohl být snadno až v roce 1902 (Kanamori 2009) 411). V každém případě byl paradox považován za méně důležitý, dokud si neuvědomil, jak je to škodlivé pro základy Gottlob Frege pro matematiku.

Russell psal Fregeovi se zprávami o jeho paradoxu 16. června 1902. (Příslušnou korespondenci viz Russell (1902) a Frege (1902) ve van Heijenoort (1967).) Paradox byl pro Fregeovu logickou práci důležitý od té doby, ve skutečnosti to ukázalo, že axiomy, které Frege používal k formalizaci své logiky, byly nekonzistentní. Konkrétně Fregeův Axiom V vyžaduje, aby výraz jako as (x) byl považován za funkci argumentu x i za funkci argumentu φ. (Přesněji, Fregeův zákon uvádí, že průběh hodnot konceptu f je totožný s hodnotami průběhu konceptu g pouze tehdy, pokud se f a g shodují na hodnotě každého argumentu, tj. Zda a pouze pokud pro každý objekt x, f (x) = g (x). Viz oddíl 2.4.1 záznamu o Gottlob Frege v této encyklopedii pro další diskusi.) Ve skutečnostiprávě tato nejednoznačnost umožnila Russellovi postavit R takovým způsobem, aby mohl být i sám sebou.

Russellův dopis dorazil právě v tisku druhého svazku Fregeova Grundgesetze der Arithmetika (Základní zákony aritmetiky, 1893, 1903). Frege okamžitě ocenil obtíž, kterou paradox představoval, a přidal k Grundgesetze spěšně složený dodatek, který diskutoval o Russellově objevu. V dodatku Frege poznamenává, že důsledky Russellova paradoxu nejsou okamžitě jasné. Například: „Je vždy možné mluvit o rozšíření pojmu, třídy? A pokud ne, jak rozpoznáme výjimečné případy? Můžeme vždy vyvodit z rozšíření jednoho konceptu, který se kryje s rozšířením o druhý, že každý objekt, který spadá pod první koncept, také spadá pod druhý? To jsou otázky, “uvádí Frege,„ nastolil sdělení pana Russella “(1903, 127). Kvůli těmto obavámFrege se nakonec cítil nucen opustit mnoho svých názorů na logiku a matematiku.

Jak Russell zdůrazňuje, Frege se se zprávou o paradoxu setkal s pozoruhodnou statečností:

Když přemýšlím o činech bezúhonnosti a milosti, uvědomuji si, že v mých znalostech není nic, co by bylo možné porovnat s Fregeovým odhodláním pravdě. Celý jeho životní život byl na pokraji dokončení, většina jeho práce byla ignorována ve prospěch mužů nekonečně méně schopných, jeho druhý svazek měl být zveřejněn, a když zjistil, že jeho základní předpoklad byl omyl, odpověděl intelektuální potěšení zřetelně ponoří jakékoli pocity osobního zklamání. Bylo to téměř nadlidské a poučné označení toho, čeho jsou lidé schopni, pokud je jejich odhodláním tvořivé práci a znalost namísto hrubších snah o ovládnutí a poznání. (Citováno v van Heijenoort (1967), 127)

Russell se samozřejmě také zajímal o důsledky rozporu. Poté, co se dozvěděl, že Frege s ním souhlasí ohledně významu výsledku, okamžitě začal psát dodatek pro své vlastní brzy zveřejněné Principy matematiky. Dodatek B s názvem „Dodatek B: Nauka o typech“představuje první pokus Russella o poskytnutí zásadové metody, jak se vyhnout tomu, co se brzy stane známým jako „Russellův paradox“.

3. Včasné reakce na paradox

Význam Russellova paradoxu lze vidět, jakmile si uvědomíme, že s použitím klasické logiky vycházejí všechny věty z rozporu. Například za předpokladu, že P i ~ P, lze libovolné tvrzení Q prokázat následujícím způsobem: z P získáme P ∨ Q pravidlem přidání; pak od P ∨ Q a ~ P dostaneme Q pravidlem disjunktivního Syllogismu. Protože teorie množin je základem všech odvětví matematiky, mnoho lidí se začalo obávat, že nekonzistentnost teorie množin by znamenala, že žádný matematický důkaz nemůže být zcela důvěryhodný. Pouze odstraněním Russellova paradoxu mohla matematika jako celek znovu získat svou konzistenci.

Russellův paradox nakonec vychází z myšlenky, že k určení sady lze použít jakoukoli podmínku nebo vlastnost. Například vlastnost rovnoměrně dělitelná pouze sama sebou a číslo jedna odlišuje množinu prvočísel od množiny celých čísel. Vlastnost mléčných žláz odlišuje řadu savců od plazů, ptáků a jiných živých organismů. Vlastnost bytí jak čtverec tak ne čtverec (nebo nějaká jiná kombinace protichůdných vlastností) určuje prázdnou množinu, a tak dále.

Jeden časný skeptik ohledně neomezeného axiomu porozumění (nebo abstrakce) byl původcem moderní teorie množin, Georgem Cantorem. Ještě před Russellovým objevem Cantor odmítl neomezené porozumění ve prospěch toho, co bylo ve skutečnosti rozdílem mezi sadami a třídami, uznávajíc, že některé vlastnosti (jako je vlastnost být ordinálem) vytvořily sbírky, které byly jednoduše příliš velké na to, aby byly a že jakýkoli předpoklad o opaku by vedl k nekonzistenci. (Podrobnosti lze nalézt v Moore (1982), Hallett (1984) a Menzel (1984).)

Russellova vlastní reakce na paradox přišla s jeho výstižně pojmenovanou teorií typů. Věříme, že samoaplikace leží v srdci paradoxu, Russellova základní myšlenka byla, že se můžeme vyhnout závazku k R (soubor všech sad, které nejsou členy sebe) uspořádáním všech vět (nebo přesněji všech výrokových funkcí), funkce, které dávají výroky jako své hodnoty) do hierarchie. Pak je možné odkazovat na všechny objekty, pro které daná podmínka (nebo predikát) platí, pouze pokud jsou všechny na stejné úrovni nebo stejného „typu“.

Toto řešení Russellova paradoxu je z velké části motivováno přijetím takzvaného principu začarovaného kruhu. Princip ve skutečnosti říká, že žádná výroková funkce nemůže být definována před specifikováním rozsahu funkce této funkce. Jinými slovy, před definováním funkce je třeba nejprve přesně určit ty objekty, na které se funkce bude vztahovat (doména funkce). Například před definováním predikátu „je prvočíslo“je třeba nejprve definovat soubor objektů, které by tento predikát mohly uspokojit, konkrétně množinu N přirozených čísel.

Jak vysvětlují Whitehead a Russell,

Analýza paradoxů, kterým je třeba se vyhnout, ukazuje, že všechny jsou výsledkem jakési začarovaného kruhu. Tyto začarované kruhy vyplývají z předpokladu, že soubor objektů může obsahovat členy, které lze definovat pouze prostřednictvím kolekce jako celku. Například sbírka návrhů bude obsahovat návrh, který uvádí, že „všechny návrhy jsou pravdivé nebo nepravdivé“. Zdá se však, že takové prohlášení by nemohlo být legitimní, pokud by „všechny výroky“neodkazovaly na některou již definitivní sbírku, což nemůže udělat, pokud jsou nové výroky vytvořeny výroky o „všech výrokech“. Budeme tedy muset říci, že prohlášení o „všech propozicích“nemají smysl. … Zásada, která nám umožňuje vyhnout se nelegitimním totalitám, může být stanovena takto:„Ať se jedná o veškerou sbírku, nesmí to být jedna ze sbírek“; nebo naopak: „Pokud by určitá sbírka měla celkem, měla by členy pouze definovatelné z hlediska tohoto součtu, pak uvedená sbírka nemá součet.“Budeme to nazývat principem „začarovaného kruhu“, protože nám to umožňuje vyhnout se začarovaným kruhům zapojeným do převzetí nelegitimních totalit. (1910, 2. vydání 37)

Pokud budou mít Whitehead a Russell pravdu, znamená to, že rozsah aplikace žádné funkce nebude nikdy schopen zahrnout jakýkoli objekt předpokládaný samotnou funkcí. Výsledkem bude, že výrokové funkce (spolu s jejich odpovídajícími výroky) budou uspořádány v hierarchii druhu, který navrhuje Russell.

Ačkoli Russell nejprve představil jeho teorii typů v jeho 1903 principech matematiky, on okamžitě uznal, že více práce musí být děláno od jeho počátečního účtu vypadalo, že vyřeší některé ale ne všichni paradoxes. Mezi alternativy, které zvažoval, byla tzv. Substituční teorie (Galaugher 2013). Toto vedlo k vyspělejšímu vyjádření teorie teorií o pět let později v článku Russella z roku 1908 „Matematická logika jako na základě teorie typů“a v monumentální práci, kterou spoluautoroval s Alfredem North Whiteheadem, Principia Mathematica (1910, 1912), 1913). Russellova typová teorie se tak objevuje ve dvou verzích: „jednoduchá teorie“z roku 1903 a „rozvětvená teorie“z roku 1908. Obě verze byly kritizovány za to, že jsou příliš ad hoc k úspěšnému odstranění paradoxu.

V reakci na Russellův paradox rozšířil David Hilbert svůj program budování konzistentního axiomatického základu pro matematiku tak, aby zahrnoval axiomatický základ pro logiku a teorii množin (Peckhaus 2004). Základem tohoto formalistického přístupu byla myšlenka umožnit použití pouze konečných, dobře definovaných a konstruktivních objektů, spolu s pravidly odvozování považovanými za zcela jistá.

Nakonec Luitzen Brouwer vyvinul intuicionismus, jehož základní myšlenkou bylo, že člověk nemůže potvrdit existenci matematického objektu, pokud není možné definovat postup pro jeho konstrukci.

Společně všechny tyto odpovědi pomohly zaměřit pozornost na souvislosti mezi logikou, jazykem a matematikou. Pomohli také logikům rozvinout explicitní povědomí o povaze formálních systémů ao druzích metalogických a metamathematických výsledků, které se v posledních sto letech ukázaly jako ústřední pro výzkum základů logiky a matematiky.

4. Russellův paradox v současné logice

Russellův paradox je někdy vnímán jako negativní vývoj - jako svržení Fregeova Grundgesetze a jako jeden z původních koncepčních hříchů, které vedou k našemu vyloučení z Cantorova ráje. WV Quine popisuje paradox jako „antinomii“, která „přináší překvapení, které nemůže uspokojit nic jiného než odmítnutí našeho koncepčního dědictví“(1966, 11). Quine odkazuje na dříve naivní princip porozumění. Ve symbolech to princip říká

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

kde A není ve vzorci volný φ Toto říká: „Existuje množina A taková, že pro jakýkoli objekt x, x je prvek A, pokud a pouze pokud podmínka vyjádřená φ platí.“Russellův paradox vzniká tím, že φ je vzorec: x ∉ x.

Navzdory Quinině poznámce je možné vidět Russellův paradox v pozitivnějším světle. Pro jednu věc, ačkoli záležitost zůstane sporná, později výzkum ukázal, že paradox nutně nezkratuje Fregeovo odvození aritmetiky od logiky osamoceně. Fregeovu verzi NC (jeho Axiom V) lze jednoduše opustit. (Podrobnosti viz položka Fregeova věta.) Pro další, církev dává elegantní formulaci jednoduché teorie typů, která se ukázala jako užitečná i v oblastech odstraněných ze základů matematiky. (Podrobnosti viz položka Teorie typů.) Nakonecvývoj axiomatických (na rozdíl od naivních) teorií množin, které vykazují různé geniální a matematicky a filozoficky významné způsoby jednání s Russellovým paradoxem, připravil cestu k ohromujícím výsledkům v metamatematice teorie množin. Tyto výsledky zahrnovaly Gödelovy a Cohenovy věty o nezávislosti axiomu výběru a hypotézu Cantorova kontinua. Podívejme se tedy zhruba na to, jak se některé z těchto metod - konkrétně tzv. „Netypické“metody - zabývají Russellovým paradoxem.

Zermelo nahrazuje NC následujícím schématem axiomu Separace (nebo Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Abychom se vyhnuli kruhovitosti, B nemůže být opět volný v φ. To vyžaduje, aby bylo možné získat vstup do B, musí být x členem existující sady A. Jak si člověk může představit, vyžaduje to řadu dalších axiomů set-existence, z nichž žádné by nebylo vyžadováno, pokud by se NC udržel.

Jak se ZA vyhýbá Russellovu paradoxu? Dalo by se nejprve myslet, že tomu tak není. Nakonec, pokud necháme A být V - celý vesmír sad - a - být x ∉ x, opět se objeví rozpor. V tomto případě však všechny rozpory ukazují, že V není sada. Všechny rozpory ukazují, že „V“je prázdné jméno (tj. Že nemá žádný odkaz, že V neexistuje), protože ontologie Zermeloho systému sestává pouze ze sad.

Tentýž bod lze učinit ještě jiným způsobem, který zahrnuje relativizovanou formu Russellova argumentu. Nechť B je libovolná množina. Podle ZA existuje množina R _B = {x ∈ B: x ∉ x}, ale nemůže to být prvek B. Protože pokud se jedná o element B, pak můžeme ptát, zda je či není prvkem R _B; a je to pouze tehdy, pokud tomu tak není. Tak něco, a to R _B, je „chybějící“z každé množiny B. Takže opět, V není soubor, protože nic nemůže chybět z V. Ale všimněte si následující jemnosti: na rozdíl od předchozího argumentu zahrnujícího přímé použití Aussonderungs na V, tento argument naznačuje, že zatímco V není set, „V“není prázdné jméno. Další strategie pro řešení Russellova paradoxu vydělává na tomto náznaku.

Metoda Johna von Neumanna (1925) pro řešení paradoxů, zejména Russellova paradoxu, je jednoduchá a geniální. Von Neumann zavádí rozlišení mezi členstvím a nečlenstvím, a na tomto základě rozlišuje mezi soubory a třídami. Objekt je členem (zjednodušovačem), pokud je členem nějaké třídy; a není členem, pokud není členem žádné třídy. (Ve skutečnosti von Neumann vyvíjí teorii funkcí, spíše než primitivní, než třídy, kde odpovídá rozlišování mezi členy / nečleny, jeden má rozlišení mezi objektem, který může být argumentem nějaké funkce, a objektem, který nemůže. jeho moderní forma, kvůli Bernaysovi a Gödel, je to jedna tříděná teorie tříd.)

Sady jsou pak definovány jako členy a nečlenové jsou označeni jako „správné třídy“. Například třída Russell, R, nemůže být členem žádné třídy, a proto musí být řádnou třídou. Pokud se předpokládá, že R je prvkem třídy A, pak z jednoho z Neumannových axiomů vyplývá, že R není ekvivalentní s V. Ale R je ekvivalentní k V, a proto není prvkem A. Tak, von Neumannova metoda úzce souvisí s výsledkem bylo uvedeno výše o sadě R _B, pro libovolný B. Von Neumannova metoda, i když ji obdivovali podobně jako Gödel a Bernays, byla v posledních letech podceňována.

Quine (1937) a (1967) podobně poskytují další netypovanou metodu (v dopise, ne-li v duchu) blokování Russellova paradoxu, a ten, který je plný zajímavých anomálií. Quine základní myšlenkou je představit stratifikovaný axiom porozumění. Axiom ve skutečnosti blokuje kruhovitost zavedením hierarchie (nebo stratifikace), která je v některých ohledech podobná teorii typů a v jiných podobná. (Podrobnosti najdete v záznamu o Quineových nových nadacích.)

Na rozdíl od Zermeloových, von Neumannových a Quineových strategií, které jsou ve smyslu čistě teoretické, došlo také k pokusům vyhnout se Russellovu paradoxu změnou základní logiky. Bylo provedeno mnoho takových pokusů a nebudeme je všechny přezkoumávat, ale jeden vyniká v současné době jak radikálním, tak poněkud populárním (i když ne s teoretikem jako takovým): jedná se o paraconsistentní přístup, který omezuje celkový vliv izolovaného rozporu na celou teorii. Klasická logika nařizuje, že jakýkoli rozpor trivializuje teorii tím, že každou větu teorie prokáže. Důvodem je, že v klasické logice je věta následující:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Prakticky jediným způsobem, jak se vyhnout EFQ, je vzdát se disjunktivního syllogismu, tj. Vzhledem k obvyklým definicím spojivů, modus ponens! Takže změna základní sentimentální logiky tímto způsobem je skutečně radikální - ale možná. Bohužel ani vzdání se EFQ nestačí k udržení zdání NC. Člověk se musí také vzdát následující věty základní sentimentální logiky:

(Kontrakce) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Lze pak tvrdit, že NC vede přímo, nejen k izolovanému rozporu, ale k trivialitě. (Pro argument, že tomu tak je, viz položka o Curryho paradoxu, oddíl 2.2. Také si všimněte, že nestačí pouze zachovat jméno „modus ponens“; je to samotné pravidlo, které se změní v netradiční logice). Zdá se tedy, že trápení NC se neomezuje pouze na Russellův paradox, ale zahrnuje také paradox bez negace kvůli Currymu.

Dalším návrhem by mohlo být dospět k závěru, že paradox závisí na příkladu principu Vyloučeného středa, že buď R je členem R, nebo není. Toto je princip, který odmítají některé neklasické přístupy k logice, včetně intuicionismu. Je však možné formulovat paradox, aniž by se odvolal na Vyloučený střed tím, že se bude spoléhat na Zákon o rozporu. Postupujeme takto: Vzhledem k definici R vyplývá, že R that R ≡ ~ (R ∈ R). Takže R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Ale také víme, že R ∈ R ⊃ R ∈ R. Takže R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Ale podle zákona o rozporu víme, že ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Takže modus tollens jsme došli k závěru, že ~ (R ∈ R). Současně také víme, že od doby, kdy R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R), vyplývá, že ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R, a tedy i R ∈ R. Můžeme tedy odvodit jak R and R, tak jeho negaci, pouze pomocí intementisticky přijatelných metod.

Zdá se tedy, že zastánci neklasické logiky nemohou tvrdit, že si NC zachovali v žádném významném smyslu, kromě zachování čistě syntaktické formy principu, a ani intuicionismus, ani parokonzistence plus opuštění kontrakce nenabízí výhodu oproti netypická řešení Zermela, von Neumanna nebo Quine. (Další diskuse lze nalézt v Meyer, Routley a Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, ch. 18), Weber (2010), Weber (2012) a v příspěvcích k Curryho paradoxu (sec.). 2.2) a parokonzistentní logika (odstavec 2.3).)

Rovněž stojí za zmínku, že Russellův paradox nebyl jediným paradoxem, který Russella trápil, a tedy ani jedinou motivací k typovým omezením, která lze nalézt v Principia Mathematica. Ve své dřívější práci The Principles of Mathematics věnuje Russell kapitolu „Kontradikci“(Russellův paradox), prezentuje ji v několika podobách a odmítá několik nestartujících odpovědí. Poté signalizuje, že „krátce“probere doktrínu typů. To se nestane u několika stovek stránek, dokud nedosáhneme samého konce knihy, v dodatku B! Tam Russell představuje počínající jednoduchou teorii typů, ne teorii typů, kterou najdeme v Principia Mathematica. Proč byla potřeba pozdější teorie? Důvod je ten, že v příloze B Russell také představuje další paradox, o kterém si myslí, že nemůže být vyřešen pomocí jednoduché teorie typů. Tento nový paradox se týká výroků, nikoli tříd, a to spolu s sémantickými paradoxy vedlo Russella k formulaci jeho rozvětvené verze teorie typů.

Nová, výroková verze paradoxu se neprojevila prominentně v následném vývoji logiky a teorie množin, ale bolestně zmateně Russella. Jednak se zdá, že je v rozporu s Cantorovou větou. Russell píše: „Nemůžeme připustit, že existuje více rozsahů [tříd propozic] než propozic“(1903, 527). Důvod je ten, že se zdá, že existuje snadná vzájemná korelace mezi třídami propozic a propozic. Například třída m propozic může být ve vzájemném vztahu s tvrzením, že každá propozice vm je pravdivá. Toto, spolu s jemnozrnným principem individualizace pro propozice (tvrdí, na jedné straně, že pokud se třídy m a n propozic liší, pak jakýkoli návrh o m se bude lišit od jakéhokoli argumentu o n) vede k rozporu.

O tomto paradoxu se diskutovalo relativně málo, ačkoli hrál klíčovou roli ve vývoji církevní logiky smyslu a denotace. I když máme na výběr několik teorií množin, nemáme nic jako dobře rozvinutou teorii ruských výroků, i když takové výroky jsou ústředními pohledy Millianů a teoretiků přímých odkazů. Člověk by si myslel, že taková teorie bude vyžadována pro základy sémantiky, ne-li pro základy matematiky. Zatímco tedy jeden z Russellových paradoxů vedl k plodnému rozvoji základů matematiky, jeho „druhý“paradox musí ještě vést k něčemu vzdálenému podobnému v základech sémantiky. Si být jisti,Church (1974a) a Anderson (1989) se pokusili vyvinout rusellovskou intenzivní logiku založenou na rozvětvené teorii typů, ale lze argumentovat, že rozvětvená teorie je příliš restriktivní, než aby sloužila jako základ pro sémantiku přirozeného jazyka. Nedávno se také objevilo několik pokusů získat začátky ruské inkrementální logiky založené na netypických teoriích množin (Cantini 2004; Deutsch 2014). Je poněkud ironické, že ačkoli jemnozrnné rusellovské výroky jsou upřednostňovány ve filosofii jazyka, formálnímu rozvoji intenzivní logiky dominuje Montagueova gramatika s její kursovou zrnitou teorií výroků. Nedávno se také objevilo několik pokusů získat začátky ruské inkrementální logiky založené na netypických teoriích množin (Cantini 2004; Deutsch 2014). Je poněkud ironické, že ačkoli jemnozrnné rusellovské výroky jsou upřednostňovány ve filosofii jazyka, formálnímu rozvoji intenzivní logiky dominuje Montagueova gramatika s její kursovou zrnitou teorií výroků. Nedávno se také objevily pokusy získat začátky ruské inkrementální logiky založené na netypických teoriích množin (Cantini 2004; Deutsch 2014). Je poněkud ironické, že ačkoli jemnozrnné rusellovské výroky jsou upřednostňovány ve filosofii jazyka, formálnímu rozvoji intenzivní logiky dominuje Montagueova gramatika s její kursovou zrnitou teorií výroků.

Rovněž stojí za zmínku, že řada zdánlivě čistě teoretických principů je skutečně (aplikovaných) instancemi teorémů čisté logiky (tj. Teorie kvantifikace prvního řádu s identitou)! Existuje jejich (částečný) seznam v Kalish, Montague a Mar (2000). Russellův paradox je příkladem T269 v tomto seznamu:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Čtení dyadického predikátového písmene „F“jako „je členem“, to říká, že to není tak, že existuje ay, že pro jakékoli x je x členem y, a pouze pokud x není členem X. Znamená to, že Russellův paradox se snižuje na T269?

Důkaz T269 jistě distilluje podstatu Russellova argumentu, jeho vzorec uvažování. Tento vzor však také podepisuje nekonečný seznam zdánlivě frivolních „paradoxů“, jako je slavný paradox holiče, který se oholí všemi a pouze těmi, kteří se neholí, nebo také paradoxem benevolentního, ale výkonného Boha, který všem pomáhá ti, kteří si nepomáhají.

Jak se tyto „pseudo paradoxy“, jak se někdy říká, liší, pokud vůbec, od Russellova paradoxu? Vzorec uvažování je stejný a závěr - že neexistuje žádný takový Kadeřník, žádný takový účinný Bůh, žádný takový soubor nesčlenných sad - je stejný: takové věci prostě neexistují. (Jak však ukázal von Neumann, není nutné zacházet tak daleko. Von Neumannova metoda nám neříká, že takové věci jako R neexistují, ale že o nich nemůžeme moc říci, protože R a podobně nemohou spadají do rozšíření jakéhokoli predikátu, který se kvalifikuje jako třída.)

Standardní odpověď na tuto otázku je, že rozdíl spočívá v předmětu. Quine se ptá: „Proč se to [Russellův paradox] počítá jako antinomie a paradox holičů ne?“; a on odpoví: “Důvod je ten, že v našich návycích myšlení byl drsný předpoklad, že existuje taková třída, ale žádný předpoklad, že takový holič není” (1966, 14). Přesto psychologické mluvení o „návycích myšlení“není příliš poučné. Russellův paradox smysluplně vyvolává otázku, jaké jsou jejich soubory; ale je nesmysl se divit, z takových důvodů, jako je T269, jaké holiče nebo bohové tam jsou!

Tento rozsudek však není pro fandy Barberu nebo T269 obecně spravedlivý. Budou trvat na tom, že otázkou vznesenou T269 není to, co tam jsou holiče nebo bohové, ale spíše to, jaké ne-paradoxní předměty jsou. Tato otázka je prakticky stejná jako otázka vyvolaná samotným Russellovým paradoxem. Z tohoto pohledu je tedy vztah mezi Barberem a Russellovým paradoxem mnohem blíž, než kolik jich bylo ochotno dovolit (po Quine) (Salmon 2013).

Konstatujeme, že je prvního řádu logický vzorec, který nese stejný vztah k zásadě o R _B ‚to, že T269 nese Russel paradox. Jedná se o následující:

(T273) ∀ z ∀ y (∀ x [Fxy ≡ (Fxz ∧ ~ Fxx)] Fyz ~ Fyzicky).

(Využili jsme svobodu rozšíření číslování používaného v Kalish, Montague a Mar (2000) na T273.) Ale ne všechny nastavené teoretické paradoxy jsou podobně spojeny s logickými větami prvního řádu. Příkladem je paradox Burali-Forti, protože pojem řádného uspořádání není elementární; to znamená, že není definovatelné prvního řádu.

Russellův paradox nebyl nikdy passé, ale v poslední době došlo k výbuchu zájmu vědců zapojených do výzkumu matematické logiky a filozofických a historických studií moderní logiky. Pohled na obsah svazku Sto let Russellova paradoxu z roku 2004 ukazuje prominentní matematické a filozofické logisty a historiky logické lití přes paradox, navrhuje nové cesty zpět do Cantorova ráje nebo jiné způsoby řešení problému. Jejich vyšetřování zahrnuje radikálně nové cesty z dilematu, který představuje paradox, nové studie teorií typů (jednoduché a rozvětvené a jejich rozšíření), nové interpretace Russellova paradoxu a konstruktivních teorií, Russellova paradoxu propozic a jeho vlastních pokus o untyped teorii (substituční teorie) atd.

To vše nám připomíná, že plodná práce může vycházet z nejpravděpodobnějších pozorování. Jak uvedla Dana Scott, „od začátku je třeba chápat, že Russellův paradox nelze považovat za katastrofu. To a související paradoxy ukazují, že naivní představa o inkluzivních sbírkách je neudržitelná. To je zajímavý výsledek, o tom není pochyb. “(1974, 207).

Bibliografie

• Anderson, C. Anthony, 1989. „Russellian Intensiveal Logic“, v Joseph Almog, John Perry a Howard Wettstein (eds), Témata z Kaplanu, Oxford: Oxford University Press, 67–103.
• Barwise, Jon, 1975. Přípustné sady a struktury, Berlín: Springer-Verlag.
• ––– a John Etchemendy, 1987. Lhář: Esej o pravdě a kruhovitosti, Oxford: Oxford University Press.
• ––– a Lawrence Moss, 1996. Vicious Circles, Stanford: Publikace CSLI.
• Bealer, George, 1982. Kvalita a koncepce, New York: Oxford University Press.
• Beaney, Michael, 2003. „Russell a Frege,“v Nicholas Griffin (ed.), The Cambridge Companion, Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 128–170.
• Cantini, Andrea, 2004. „K Russellovskému paradoxu o výrokech a pravdě,“v Godehard Link (ed.) (2004) Sto let Russellova paradoxu, Berlín a New York: Walter de Gruyter, 259–284.
• ––– 2009. 2009. „Paradoxy, sebepodporování a pravda ve 20. století“, v Dov M. Gabbay a John Woods (eds) (2009) Příručka historie logiky: Svazek 5 - Logika od Russella po kostel, Amsterdam: Elsevier / Severní Holandsko, 875–1013.
• Church, Alonzo, 1974a. „Russellovská teorie jednoduchého typu“, Sborník a adresy Americké filozofické asociace, 47: 21–33.
• –––, 1974b. „Teorie množin s univerzální sadou,“Sborník Tarskiho sympozia, 297–308; repr. v International Logic Review, 15: 11–23.
• –––, 1978. „Srovnání Russellova rozhodnutí o sémantických antinomiích s rozlišením Tarského,“Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760; repr. v AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessment, sv. 2, New York a Londýn: Routledge, 1999, 96–112.
• Coffa, Alberto, 1979. „Skromný původ Russellova paradoxu“, Russell, 33–34: 31–7.
• Copi, Irving, 1971. Teorie logických typů, Londýn: Routledge a Kegan Paul.
• Demopoulos, William a Peter Clark, 2005. „Logicismus Frege, Dedekind a Russell,“v Stewart Shapiro (ed.), Oxfordská příručka filozofie matematiky a logiky, Oxford: Oxford University Press, 129–165.
• Deutsch, Harry, 2014. „Rozlišení některých paradoxů výroků“, analýza, 74: 26-34.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter a Volker Peckhaus, 2007. Ernst Zermelo: Přístup k jeho životu a práci, Berlín: Springer-Verlag.
• Forster, TE, 1995. Teorie množin s univerzální sadou, 2. vydání, Oxford: Clarendon Press.
• Frege, Gottlob, 1902. „Dopis Russellovi“, v Jean van Heijenoort (ed.), Od Frege k Gödelovi, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 126–128.
• –––, 1903. „Russellův paradox“, Gottlob Frege, Základní aritmetické zákony, Berkeley: University of California Press, 1964, 127–143; zkráceno a dotisk. v AD Irvine, Bertrand Russell: Critical Assessment, sv. 2, New York a Londýn: Routledge, 1999, 1-3.
• Gabbay, Dov M. a John Woods (eds.), 2009. Handbook of History of Logic: Volume 5 - Logic From Russell to Church, Amsterdam: Elsevier / North Holland.
• Galaugher, JB, 2013. „Substituce je nevyřešená„ Insolubilia “, Russell, 33: 5–30.
• Garciadiego, A., 1992. Bertrand Russell a původy teoretických „paradoxů“, Boston: Birkhäuser.
• Grattan-Guinness, I., 1978. „Jak Bertrand Russell objevil svůj paradox,“Historia Mathematica, 5: 127–37.
• –––, 2000. Hledání matematických kořenů: 1870–1940, Princeton a Oxford: Princeton University Press.
• Griffin, Nicholas (ed.), 2003. Cambridge Companion pro Bertranda Russella, Cambridge: Cambridge University Press.
• –––, 2004. „Prehistorie Russellova paradoxu“, v Godehard Link (ed.), Sto let Russellova paradoxu, Berlín a New York: Walter de Gruyter, 349–371.
• ––– Bernard Linsky a Kenneth Blackwell (ed.), 2011. Principia Mathematica ve 100, Hamilton, ON: Bertrand Russell Research Center; také publikoval jako zvláštní vydání, hlasitost 31, číslo 1 Russella.
• Hallett, Michael, 1984. Cantoriánská teorie množin a omezení velikosti, Oxford: Clarendon.
• Halmos, Paul R., 1960. Naive Set Theory, Princeton: D. van Nostrand.
• Irvine, AD, 1992. „Gaps, Gluts and Paradox,“Canadian Journal of Philosophy (Supplementary Volume), 18: 273–299.
• ––– (ed.), 2009. Filozofie matematiky, Amsterdam: Elsevier / Severní Holandsko.
• Kanamori, Akihiro, 2004. „Zermelo a teorie množin,“Bulletin symbolické logiky, 10: 487–553.
• –––, 2009. „Teorie množin z Cantoru na Cohena“v AD Irvine (ed.), Philosophy of Mathematics, Amsterdam: Elsevier / North Holland, 395–459.
• Kalish, Donald, Richard Montague a Gary Mar, 2000. Logika: Techniky formálního uvažování, 2. vydání, New York: Oxford University Press.
• Klement, Kevin, 2005. „Původy verze prozatímních funkcí Russellova paradoxu,“Russell, 24: 101–132.
• ––– 2014, „Paradoxy a Russelllova teorie neúplných symbolů“, Filozofická studia, 169: 183–207.
• Landini, Gregory, 2006. „Vstupy a výstupy Fregeovy cesty ven,“Philosophia Mathematica, 14: 1–25.
• ––– 2013. „Zermelo“a „Russellův paradox: Existuje univerzální sada?“Philosophia Mathematica, 21: 180–199.
• Levy, A., 1979. Základní teorie teorií, Berlín: Springer-Verlag; New York: Heidelberg.
• Link, Godehard (ed.), 2004. Sto let Russellova paradoxu, Berlín a New York: Walter de Gruyter.
• Linsky, Bernard, 1990. „Byl Axiom redukovatelnosti principem logiky?“Russell, 10: 125-140; repr. v AD Irvine (ed.) (1999) Bertrand Russell: Critical Assessment, 4 vols, London: Routledge, sv. 2, 150–264.
• –––, 2002. „Rozlišení Russellova paradoxu v Principia Mathematica,“Filozofické perspektivy, 16: 395–417.
• Mares, Edwin, 2007. „Sémantika faktů pro teorii rozvětveného typu a axiomu redukovatelnosti,“Notre Dame Journal of Formal Logic, 48: 237–251.
• Menzel, Christopher, 1984. „Cantor a Burali-Forti Paradox,“Monist, 67: 92–107.
• Meyer, Robert K., Richard Routley a Michael Dunn, 1979. „Curry's Paradox“, analýza, 39: 124–128.
• Moore, Gregory H., 1982. Zermelo's Axiom of Choice, New York: Springer.
• –––, 1988. „Kořeny Russellova paradoxu“, Russell, 8: 46–56.
• Murawski, Roman, 2011. „O Chwistkově filozofii matematiky,“v Nicholas Griffin, Bernard Linsky a Kenneth Blackwell (eds) (2011) Principia Mathematica ve 100, v Russellu (zvláštní vydání), 31 (1): 121–130.
• Peckhaus, Volker, 2004. „Paradoxes in Göttingen,“v Godehard Link (ed.), Sto let Russellova paradoxu, Berlín a New York: Walter de Gruyter, 501–515.
• Priest, Graham, 2006. In Contradiction, 2. edn, New York: Oxford University Press.
• Quine, WVO, 1937. „Nové základy pro matematickou logiku,“American Mathematical Monthly, 44: 70–80; repr. ve WVO Quine, z logického hlediska, Londýn: Harper & Row, 1953.
• –––, 1966. Způsoby paradoxu a dalších esejí, New York: Random House.
• –––, 1967. Teorie množin a její logika, Harvard: Belknap Press.
• Russell, Bertrand, 1902. „Dopis Fregeovi“v Jean van Heijenoort (ed.), Od Fregeovi k Gödelovi, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 124–125.
• –––, 1903. „Dodatek B: Doktrína typů,“v Bertrand Russell, Principy matematiky, Cambridge: Cambridge University Press, 1903, 523–528.
• –––, 1908. „Matematická logika založená na teorii typů“, American Journal of Mathematics, 30: 222–262; repr. v Bertrand Russell, Logic and Knowledge, London: Allen and Unwin, 1956, 59–102; a dotisk. v Jean van Heijenoort (ed.), Z Frege do Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, 152–182.
• –––, 1919. Úvod do matematické filosofie, Londýn: George Allen a Unwin Ltd a New York: The Macmillan Co.
• –––, 1944. „Můj duševní vývoj“v Paul Arthur Schilpp (ed.), The Philosophy of Bertrand Russell, 3. edn, New York: Tudor, 1951, 3-20.
• –––, 1959. Můj filozofický vývoj, Londýn: George Allen a Unwin a New York: Simon & Schuster.
• –––, 1967, 1968, 1969. Autobiografie Bertranda Russella, 3 sv., Londýn: George Allen a Unwin; Boston: Little Brown and Company (Svazky 1 a 2), New York: Simon a Schuster (Svazek 3).
• Salmon, N., 2013. „Poznámka k Kripkeho paradoxu o čase a myšlence,“Journal of Philosophy, 110: 213-220.
• Scott, Dana, 1974. „Axiomatizing Theory Theory“, v TJ Jech (ed.), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (Svazek 13, část 2), American Mathematical Society, 207-214.
• Shapiro, Stewart (ed.), 2005. Oxfordská příručka filozofie matematiky a logiky, Oxford: Oxford University Press.
• Simmons, Keith, 2000. „Sady, třídy a rozšíření: přístup singularity k Russelllovu paradoxu,“Filozofická studia, 100: 109–149.
• –––, 2005. „Berry a Russell bez sebepříkazu,“Philosophical Studies, 126: 253–261.
• Sorensen, Roy A., 2002. „Filozofické důsledky logických paradoxů“, v Dale Jacquette (ed.), Společník k filozofické logice, New York: Oxford University Press, 131–142.
• –––, 2003. „Russellův soubor“v Krátké historii paradoxu v New Yorku: Oxford University Press, 316–332.
• Stevens, Graham, 2004. „Od Russellova paradoxu po teorii soudu: Wittgenstein a Russell o jednotě návrhu,“Theoria, 70: 28–61.
• –––, 2005. Ruské původy analytické filosofie, Londýn a New York: Routlege.
• Tappenden, Jamie, 2013. „Matematické a logické pozadí analytické filosofie,“v Michael Beaney (ed.) Oxfordská příručka historie analytické filosofie, Oxford: Oxford University Press, 318–354.
• Urquhart, Alasdair, 1988. „Russellova cik-cak cesta k rozvětvené teorii typů,“Russell, 8: 82–91.
• –––, 2003. „Teorie typů“, v Nicholas Griffin (ed.), The Cambridge Companion, Bertrand Russell, Cambridge: Cambridge University Press, 286–309.
• van Heijenoort, Jean (ed.), 1967. Od Frege k Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879-1931, Cambridge a Londýn: Harvard University Press.
• von Neumann, John, 1925. „Axiomatizace teorie množin,“v Jean van Heijenoort (ed.), od Frege po Gödel, Cambridge a Londýn: Harvard University Press, 1967, 393–413.
• Wahl, Russell, 2011. „Axiom redukovatelnosti,“v Nicholas Griffin, Bernard Linsky a Kenneth Blackwell (eds) (2011) Principia Mathematica ve 100, v Russellu (zvláštní vydání), 31 (1): 45–62.
• Weber, Z., 2010. „Transfinitní čísla v parakonzistentní teorii množin,“Recenze Symbolic Logic, 3: 71–92.
• ––– 2012. „Transfinitní kardinálové v teorii parakonzistentních množin,“Recenze Symbolic Logic, 5: 269–293.
• Whitehead, Alfred North a Bertrand Russell, 1910, 1912, 1913. Principia Mathematica, 3 vols, Cambridge: Cambridge University Press; druhé vydání, 1925 (sv. 1), 1927 (Vols 2, 3); zkráceno jako Principia Mathematica na * 56, Cambridge: Cambridge University Press, 1962.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Bertrand Russell Archives
• Bertrand Russell Research Center
• Bertrand Russell Society
• Principia Mathematica: Svazek 1 (Historická matematická sbírka University of Michigan)
• Principia Mathematica: Svazek 2 (Historická matematická sbírka University of Michigan)
• Principia Mathematica: Svazek 3 (Historická matematická sbírka University of Michigan)
• Russell: Žurnál Bertranda Russella
• Russellova antinomie (Wolfram MathWorld)