Teorie Modelu

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Teorie modelu

První publikováno 10. listopadu 2001; věcná revize St 17. července 2013

Teorie modelů začala studiem formálních jazyků a jejich interpretací a druhů klasifikace, které konkrétní formální jazyk dokáže. Teorie hlavního proudu modelu je nyní sofistikovaným odvětvím matematiky (viz položka o teorii modelů prvního řádu). V širším slova smyslu je však teorie modelů studiem interpretace jakéhokoli jazyka, formálního nebo přirozeného, pomocí množin teoretických struktur, s definicí pravdy Alfreda Tarského jako paradigmatu. V tomto širším smyslu se teorie modelů setkává s filozofií v několika bodech, například v teorii logických důsledků a sémantice přirozených jazyků.

• 1. Základní pojmy teorie modelů
• 2. Model-teoretická definice
• 3. Modelově teoretické důsledky
• 4. Výrazná síla
• 5. Modely a modelování
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Základní pojmy teorie modelů

Někdy píšeme nebo mluvíme větu (S), která nevyjadřuje nic pravdivého ani nepravdivého, protože chybí některé zásadní informace o tom, co slova znamenají. Pokud budeme pokračovat v přidávání těchto informací tak, aby (S) přijal vyjádřit pravdivé nebo nepravdivé tvrzení, říká se, že interpretujeme (S) a přidaná informace se nazývá interpretace (S). Pokud interpretace (I) způsobí, že (S) řekne něco pravdivého, říkáme, že (I) je model (S), nebo že (I) vyhovuje (S)), ve znacích „(I / vDash S)“. Dalším způsobem, jak říci, že (I) je model (S), je říci, že (S) je pravda v (I), a tak máme ponětí o modelu-teoretické pravdě, která je pravda v konkrétní interpretaci. Ale měli bychom si pamatovat, že prohlášení '(S) je pravdivé v (I)' je jen parafrází '(S), když je interpretováno jako v (I), je pravdivé'takže modelová teoretická pravda je parazitní na obyčejné obyčejné pravdě a my ji můžeme vždy parafrázovat.

Například bych mohl říct

Zabíjí je všechny,

a nabídnout výklad, že „on“je Alfonso Arblaster z 35 Crescent, Beetleford, a že „oni“jsou holubi v jeho podkroví. Tato interpretace vysvětluje (a) na jaké objekty se některé výrazy vztahují, a (b) na jaké třídy se některé kvantifikátory pohybují. (V tomto příkladu je jeden kvantifikátor: „všechny z nich“). Interpretace, které se skládají z položek (a) a (b), se objevují velmi často v teorii modelů a jsou známé jako struktury. Jednotlivé druhy teorie modelů používají konkrétní druhy struktury; například teorie matematického modelu má tendenci používat tzv. struktury prvního řádu, modelová teorie modální logiky používá Kripkeovy struktury atd.

Struktura (I) v předchozím odstavci zahrnuje jeden pevný objekt a jednu pevnou třídu. Protože jsme dnes strukturu popsali, třída je třída holubů v Alfonsoho podkroví dnes, ne ty, které přijdou zítra, aby je nahradily. Pokud Alfonso Arblaster dnes zabije všechny holuby ve svém podkroví, / \ I) dnes splní citovanou větu, ale zítra ji neuspokojí, protože Alfonso nemůže stejné holuby dvakrát zabít. V závislosti na tom, pro co chcete použít teorii modelu, možná budete rádi vyhodnotit věty dnes (výchozí čas), nebo budete chtít zaznamenat, jak jsou spokojeni najednou a nikoliv jindy. V druhém případě můžete relativizovat pojem model a napsat '(I / vDash_t S)', což znamená, že (I) je model (S) v čase (t). Totéž platí pro místa,nebo na cokoli jiného, co by mohlo být zachyceno jinými implicitními indexovými prvky ve větě. Například pokud věříte v možné světy, můžete indexovat (vDash) podle možného světa, ve kterém má být věta vyhodnocena. Kromě použití teorie množin je teorie modelů zcela agnostická o tom, jaké druhy věcí existují.

Všimněte si, že objekty a třídy ve struktuře nesou štítky, které je nasměrují ke správným výrazům ve větě. Tyto štítky jsou nezbytnou součástí struktury.

Pokud se stejná třída používá k interpretaci všech kvantifikátorů, třída se nazývá doménou nebo vesmírem struktury. Ale někdy existují kvantifikátory v různých třídách. Například když řeknu

Jednou z těchto nemocí zabíjí všechny ptáky.

budete hledat interpretaci, která přiřazuje třídu nemocí „těm věcným chorobám“a třídě ptáků „ptákům“. Interpretace, které dávají dvě nebo více tříd různým kvantifikátorům, aby se rozběhly, se označují jako mnohotřídné a třídy se někdy nazývají druhy.

Výše uvedené myšlenky mohou být užitečné, pokud začneme větou (S), která říká něco pravdivého nebo nepravdivého, aniž bychom potřebovali další výklad. (Teoretici modelu říkají, že taková věta je plně interpretována.) Například můžeme zvážit nesprávné interpretace (I) plně interpretované věty (S). Nesprávná interpretace (S), která ji činí pravdivou, se nazývá nestandardní nebo nezamýšlený model (S). Obor matematiky zvaný nestandardní analýza je založen na nestandardních modelech matematických prohlášení o reálných nebo komplexních číselných systémech; viz oddíl 4 níže.

Jeden také hovoří o modelové teoretické sémantice přirozených jazyků, což je způsob popisu významů vět přirozeného jazyka, nikoli způsob, jak jim dát významy. Spojení mezi touto sémantikou a teorií modelů je trochu nepřímé. Spočívá v definici Tarského pravdy z roku 1933. Další podrobnosti viz položka o definicích Tarské pravdy.

2. Model-teoretická definice

Věta (S) rozděluje všechny možné interpretace do dvou tříd, ty, které jsou jeho modely a ty, které nejsou. Tímto způsobem definuje třídu, jmenovitě třídu všech svých modelů, psanou (Mod (S)). Chcete-li uvést právní příklad, věta

První osoba převedla nemovitost na druhou osobu, která tak drží majetek ve prospěch třetí osoby.

definuje třídu struktur, které mají podobu označených 4-tuplů, jako například (psaní štítku vlevo):

• první osoba = Alfonso Arblaster;
• vlastnost = opuštěná země za Alfonsoho domem;
• druhá osoba = John Doe;
• třetí osoba = Richard Roe.

Toto je typická definice modelu, která definuje třídu struktur (v tomto případě třídu známou právníkům jako důvěryhodnosti).

Myšlienku modelové teoretické definice můžeme rozšířit z jedné věty (S) na množinu (T) vět; (Mod (T)) je třída všech interpretací, které jsou současně modely všech vět v (T). Když je pro definování třídy tímto způsobem použita množina vět (T), matematici říkají, že (T) je teorie nebo množina axiomů a že (T) axiomatizuje třídu (Mod (T)).

Vezměme například následující sadu vět prvního řádu:

) begin {zarovnat *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / end {zarovnat *})

Zde jsou štítky sčítání symbol '+', symbol minus '(-)' a konstantní symbol '0'. Interpretace musí také specifikovat doménu pro kvantifikátory. S jednou výhradou jsou modely této sady vět přesně strukturami, které matematici znají jako abelianské skupiny. Podmínkou je, že ve skupině abelů (A) by doména měla obsahovat interpretaci symbolu 0 a měla by být uzavřena pod interpretacemi symbolů + a (-). V teorii matematického modelu člověk staví tuto podmínku (nebo odpovídající podmínky pro další funkční a konstantní symboly) do definice struktury.

Každá matematická struktura je vázána na konkrétní jazyk prvního řádu. Struktura obsahuje interpretace určitých predikátů, funkcí a konstantních symbolů; každý predikát nebo funkční symbol má pevnou arititu. Sbírka (K) těchto symbolů se nazývá podpis struktury. Symboly v podpisu se často nazývají nelogické konstanty a starší název pro ně je primitivní. Jazyk prvního řádu podpisu (K) je jazyk prvního řádu vytvořený pomocí symbolů v (K), spolu se znaménkem rovnosti =, pro vytvoření atomových vzorců. (Viz položka v klasické logice.) Pokud (K) je podpis, (S) je věta jazyka podpisu (K) a (A) je struktura, jejíž podpis je (K), protože se symboly shodují, víme, že (A) dělá (S) buď true nebo false. Jeden tedy definuje třídu abelianových skupin jako třídu všech těch struktur podpisu (+), (-), (0), které jsou modely výše uvedených vět. Kromě skutečnosti, že používá formální jazyk prvního řádu, je to přesně obvyklá definice algebraistů třídy abelianských skupin; teorie modelu formalizuje druh definice, která je v matematice extrémně běžná.

Nyní definující axiómy pro abelianské skupiny mají tři druhy symbolů (kromě interpunkce). Nejprve je logický symbol = s pevným významem. Zadruhé existují nelogické konstanty, které získají svůj výklad aplikováním na konkrétní strukturu; jeden by měl seskupovat kvantifikátorové symboly s nimi, protože struktura také určuje doménu přes rozsah kvantifikátorů. A za třetí jsou proměnné (x, y) atd. Tento tříúrovňový vzorec symbolů nám umožňuje definovat třídy druhým způsobem. Místo toho, abychom hledali interpretace nelogických konstant, které provedou větu, opravíme interpretace nelogických konstant volbou konkrétní struktury (A) a hledáme přiřazení prvků (A) k proměnné, které učiní daný vzorec skutečným v (A).

Například nechť (mathbb {Z}) je aditivní skupina celých čísel. Jeho prvky jsou celá čísla (kladná, záporná a 0) a symboly (+), (-), (0) mají své obvyklé významy. Zvažte vzorec

[v_1 + v_1 = v_2.)

Pokud přiřadíme číslo (- 3) k (v_1) a číslo (- 6) k (v_2), bude vzorec v (mathbb {Z}) fungovat jako pravdivý. Vyjadřujeme to tím, že pár ((- 3, -6)) splňuje tento vzorec v (mathbf {Z}). Podobně (15,30) a (0,0) to uspokojí, ale ((2, -4)) a (3,3) ne. Vzorec tedy definuje binární vztah na celá čísla, jmenovitě množinu dvojic celých čísel, která jej uspokojí. Vztah definovaný tímto způsobem ve struktuře (A) se nazývá definovatelný vztah prvního řádu v (A). Užitečnou generalizací je umožnit definičnímu vzorci používat přidané názvy pro některé specifické prvky (A); tyto prvky se nazývají parametry a vztah je pak definovatelný pomocí parametrů.

Tento druhý typ definice, definující vztahy uvnitř struktury spíše než třídy struktury, také formalizuje běžnou matematickou praxi. Tentokrát však tato praxe patří spíše do geometrie než do algebry. Můžete rozpoznat vztah v poli reálných čísel definovaných vzorcem

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

Je to kruh o poloměru 1 kolem počátku v reálné rovině. Algebraická geometrie je plná definic tohoto druhu.

Během čtyřicátých let došlo k několika lidem (zejména Anatolii Mal'tsev v Rusku, Alfred Tarski v USA a Abraham Robinson v Británii), že metatheoremy klasické logiky lze použít k prokázání matematických vět o třídách definovaných dvěma způsoby, které máme právě popsáno. V roce 1950 byli Robinson i Tarski vyzváni, aby oslovili Mezinárodní kongres matematiků v Cambridge Massachusetts o této nové disciplíně (která dosud neměla jméno - Tarski navrhl název „teorie modelů“v roce 1954). Závěr Robinsonovy adresy na tento kongres stojí za citaci:

[Konkrétní příklady vytvořené v tomto článku ukážou, že současná symbolická logika může produkovat užitečné nástroje - i když v žádném případě všemocné - pro vývoj skutečné matematiky, konkrétněji pro vývoj algebry a zdá se, že algebraická geometrie. Toto je realizace ambice, kterou Leibniz vyjádřil v dopise Huyghensovi již v roce 1679.

Mal'tsev vlastně již před několika lety uplatnil teorii modelů ve skupinové teorii docela hluboko, ale za politických podmínek té doby jeho práce v Rusku ještě nebyla na Západě známa. Na konci dvacátého století byly Robinsonovy naděje hojně naplněny; viz záznam o teorii modelů prvního řádu.

Kromě těchto dvou výše jsou v teorii modelů alespoň dva další definice. Třetí je známý jako interpretace (zvláštní případ interpretací, které jsme začali). Zde začínáme strukturou (A) a vytváříme další strukturu (B), jejíž podpis nemusí souviset s strukturou (A), definováním domény (X) z (B) a všechny označené vztahy a funkce (B) jsou vztahy definovatelné v (A) určitými vzorci s parametry. Dalším zdokonalením je najít definovatelný vztah ekvivalence na (X) a vzít doménu (B), aby nebyla (X) sama o sobě, ale množina tříd ekvivalence tohoto vztahu. Struktura (B) vytvořená tímto způsobem se říká, že je interpretována ve struktuře (A).

Jednoduchý příklad, opět od standardní matematiky, je interpretace skupiny (mathbb {Z}) celých čísel ve struktuře (mathbb {N}) sestávající z přirozených čísel 0, 1, 2 atd. se štítky pro 0, 1 a +. K vytvoření domény (mathbb {Z}) nejprve vezmeme množinu (X) všech uspořádaných párů přirozených čísel (jasně definovatelný vztah v (mathbb {N})) a dále tuto množinu (X) definujeme ekvivalenční vztah (sim)

[(a, b) sim (c, d) text {pouze a pokud} a + d = b + c)

(opět definovatelné). Doména (mathbb {Z}) sestává ze tříd ekvivalence tohoto vztahu. Přidání definujeme na (mathbb {Z}) pomocí

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {pouze a pokud} a + c + f = b + d + e.)

Třída ekvivalence ((a, b)) se stává celým číslem (a - b).

Když je struktura (B) interpretována ve struktuře (A), lze každý příkaz prvního řádu o (B) přeložit zpět do příkazu prvního řádu o (A), a v tomto jak můžeme odečíst úplnou teorii (B) od (A). Ve skutečnosti, pokud provedeme tuto konstrukci nejen pro jedinou strukturu (A), ale pro rodinu modelů teorie (T), vždy s použitím stejných definičních vzorců, budou výsledné struktury všechny modely teorie (T '), kterou lze odečíst z (T) a definujících vzorců. Toto dává přesný smysl prohlášení, že teorie (T ') je interpretována v teorii (T). Filozofové vědy někdy experimentovali s touto představou o interpretaci jako způsobem, jak přesně stanovit, co znamená, že jedna teorie je redukovatelná na druhou. Realistické příklady redukcí mezi vědeckými teoriemi se však obecně zdají být mnohem jemnější, než to dovolí tento jednoduchý smýšlející model teoretický nápad. Viz položka o meziteroristických vztazích ve fyzice.

Čtvrtý druh definovatelnosti je pár pojmů, implicitní definovatelnost a explicitní definovatelnost konkrétního vztahu v teorii. Viz oddíl 3.3 záznamu o teorii modelů prvního řádu.

Naneštěstí existovala velmi zmatená teorie o modelových teoretických axiomech, která se také dostala pod název implicitní definice. Na konci devatenáctého století matematická geometrie obecně přestávala být studiem vesmíru a stala se studiem tříd struktur, které splňují určité „geometrické“axiomy. Geometrické termíny jako „bod“, „čára“a „mezi“přežily, ale pouze jako primitivní symboly v axiómech; už s nimi neměli žádný význam. Stará otázka, zda Euclidův paralelní postulát (jako vyjádření o vesmíru) lze odvodit z dalších Euclidových předpokladů o vesmíru, pro geometry již tedy nebyl zajímavý. Místo toho geometry ukázaly, že pokud někdo napíše aktuální verzi Euclidových dalších předpokladů, ve formě teorie (T),pak bylo možné najít modely (T), které nesplňují paralelní postulát. (Viz příspěvek o geometrii v 19. století pro příspěvky Lobachevského a Kleina k tomuto úspěchu.) V roce 1899 vydal David Hilbert knihu, ve které tyto modely konstruoval, a to přesně pomocí metody interpretace, kterou jsme právě popsali.

Problémy vyvstaly kvůli způsobu, jakým Hilbert a další popsali, co dělají. Historie je složitá, ale zhruba se stalo následující. Kolem poloviny devatenáctého století si lidé všimli například, že ve skupině abelů je funkce minus definovatelná pomocí 0 a + (jmenovitě: (- a) je prvek (b) takový, že (a + b = 0)). Protože tento popis mínus je ve skutečnosti jedním z axiomů definujících abelianské skupiny, můžeme říci (pomocí termínu převzatého od JD Gergonneho, který by neměl být odpovědný za pozdější využití), že axiomy pro abelianské skupiny implicitně definují mínus. V žargonu času jsme neřekli, že axiomy definují funkci mínus, ale že definují koncept mínus. Předpokládejme, že se přepneme a pokusíme se definovat plus ve smyslu mínus a 0. Tímto způsobem to nelze udělat, protože jeden může mít dvě abelianské skupiny se stejnou 0 a mínus, ale odlišnými plusovými funkcemi. Matematici devatenáctého století namísto toho dospěli k závěru, že axiomy definují plus pouze částečně, pokud jde o mínus a 0. Když to tolik spolkli, pokračovali v tom, že axiomy společně tvoří implicitní definici pojmů plus, mínus a 0 společně, a že tato implicitní definice je pouze částečná, ale o těchto konceptech říká přesně to, co potřebujeme vědět.dále říkali, že axiomy společně tvoří implicitní definici pojmů plus, mínus a 0 dohromady, a že tato implicitní definice je pouze částečná, ale o těchto konceptech říká přesně to, co potřebujeme vědět.dále říkali, že axiomy společně tvoří implicitní definici pojmů plus, mínus a 0 dohromady, a že tato implicitní definice je jen částečná, ale o těchto konceptech říká přesně tolik, kolik potřebujeme vědět.

Člověk si klade otázku, jak by se mohlo stát, že padesát let nikdo nezpochybnil tento nesmysl. Ve skutečnosti to někteří lidé zpochybnili, zejména geometr Moritz Pasch, který v části 12 svých Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) trval na tom, že geometrické axiomy nám nic neříkají o významech „bodu“, „linie“atd. Místo toho on řekl, axiomy nám vztahy mezi pojmy. Pokud někdo uvažuje o struktuře jako o druhu uspořádaného (n) - tuple množin atd., Pak se třída (Mod (T)) stává (n) - ary vztahem a Paschův účet souhlasí s našimi. Nebyl však schopen vysvětlit podrobnosti a existují důkazy, že jeho současníci (a někteří novější komentátoři) si mysleli, že říká, že axiomy nemusí určovat významy „bodu“a „linie“,ale určují vztahové termíny jako „mezi“a „incident s“! Fregeovo zničení doktríny implicitní definice bylo mistrovské, ale přišlo příliš pozdě na to, aby Hilbert zachránil před tím, aby na začátku své Grundlagen der Geometrie řekl, že jeho axiomy dávají „přesný a matematicky adekvátní popis“vztahů „lež“, mezi 'a' shodný '. Naštěstí Hilbertova matematika mluví sama za sebe a lze jednoduše obejít tyto filozofické faux pas. Zdá se, že model-teoretický popis, který nyní považujeme za správný popis této linie práce, se objevil jako první ve skupině kolem Giuseppe Peana v 90. letech 20. století a v roce 1903 dosáhl anglicky mluvícího světa prostřednictvím Bertrand Russellových principů matematiky.ale přišlo příliš pozdě na to, abychom zachránili Hilberta, aby na začátku svého Grundlagen der Geometrie řekl, že jeho axiomy uvádějí „přesný a matematicky adekvátní popis“vztahů „lež“, „mezi“a „shodující se“. Naštěstí Hilbertova matematika mluví sama za sebe a lze jednoduše obejít tyto filozofické faux pas. Zdá se, že model-teoretický popis, který nyní považujeme za správný popis této linie práce, se objevil jako první ve skupině kolem Giuseppe Peana v 90. letech 20. století a v roce 1903 dosáhl anglicky mluvícího světa prostřednictvím Bertrand Russellových principů matematiky.ale přišlo příliš pozdě na to, abychom zachránili Hilberta, aby na začátku svého Grundlagen der Geometrie řekl, že jeho axiomy uvádějí „přesný a matematicky adekvátní popis“vztahů „lež“, „mezi“a „shodující se“. Naštěstí Hilbertova matematika mluví sama za sebe a lze jednoduše obejít tyto filozofické faux pas. Zdá se, že model-teoretický popis, který nyní považujeme za správný popis této linie práce, se objevil jako první ve skupině kolem Giuseppe Peana v 90. letech 20. století a v roce 1903 dosáhl anglicky mluvícího světa prostřednictvím Bertrand Russellových principů matematiky. Naštěstí Hilbertova matematika mluví sama za sebe a lze jednoduše obejít tyto filozofické faux pas. Zdá se, že model-teoretický popis, který nyní bereme jako správný popis této linie práce, se objevil jako první ve skupině kolem Giuseppe Peana v 90. letech 20. století a v roce 1903 dosáhl anglicky mluvícího světa prostřednictvím Bertrand Russellových principů matematiky. Naštěstí Hilbertova matematika mluví sama za sebe a lze jednoduše obejít tyto filozofické faux pas. Zdá se, že model-teoretický popis, který nyní považujeme za správný popis této linie práce, se objevil jako první ve skupině kolem Giuseppe Peana v 90. letech 20. století a v roce 1903 dosáhl anglicky mluvícího světa prostřednictvím Bertrand Russellových principů matematiky.

3. Modelově teoretické důsledky

Předpokládejme, že (L) je jazyk podpisu (K, T) je množina vět (L) a (phi) je věta (L). Pak vztah

) Mod (T) subseteq / Mod (phi))

vyjadřuje, že každá struktura podpisu (K), která je modelem (T), je také vzorem (phi). Toto je známé jako vztah model-teoretické důsledky a je psáno zkráceně jako

[T / vDash / phi)

Dvojí použití (vDash) je neštěstí. Ale ve zvláštním případě, kde (L) je prvního řádu, věta o úplnosti (viz položka o klasické logice) nám říká, že '(T / vDash / phi)' platí, pouze pokud existuje důkaz of (phi) from (T), běžně psaný vztah

[T / vdash / phi)

Protože (vDash) a (vdash) v tomto případě vyjadřují přesně stejný vztah, teoretikové modelu se často vyhýbají dvojímu použití (vDash) použitím (vdash) pro důsledek teoretického modelu. Ale protože to, co následuje, se neomezuje pouze na jazyky prvního řádu, navrhuje bezpečnost, abychom se tady drželi (vDash).

Před polovinou devatenáctého století se učebnice logiky naučily studenta, jak zkontrolovat platnost argumentu (řekněme anglicky) tím, že prokáže, že má jednu z řady standardních formulářů, nebo jej parafrázuje do takové formy. Standardní formy byly syntaktické a / nebo sémantické formy argumentů v angličtině. Proces byl nebezpečný: sémantické formy nejsou téměř na povrchu viditelné a neexistuje čistě syntaktická forma, která by zaručovala platnost argumentu. Z tohoto důvodu měla většina starých učebnic dlouhou sekci o „chybách“- způsobech, ve kterých se může zdát neplatný argument platný.

V 1847 George Boole změnil toto uspořádání. Například pro ověření argumentu

Všichni panovníci jsou lidské bytosti. Žádní lidé nejsou neomylní. Žádné neomylné bytosti proto nejsou monarchové.

Boole by interpretoval symboly (P, Q, R) jako názvy tříd:

(P) je třída všech panovníků.

(Q) je třída všech lidských bytostí.

(R) je třída všech neomylných bytostí.

Pak by chtěl poukázat na to, že původní argument parafrázuje do teoretického důsledku:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Tento příklad je z Stanley Jevons, 1869. Booleův vlastní účet je idiosynkratický, ale věřím, že Jevonsův příklad představuje Booleovy úmysly přesně.) Dnes bychom spíše psali (forall x (Px / rightarrow Qx)) než (P / subseteq Q), ale toto je v podstatě standardní definice (P / subseteq Q), takže rozdíl mezi námi a Boole je malý.

Pokud sledují Boole, moderní logické učebnice logiky prokazují, že anglické argumenty jsou platné tím, že je redukují na modelové teoretické důsledky. Protože třída model-teoretické důsledky, přinejmenším v logice prvního řádu, nemá žádnou z nejasností starých argumentačních forem, učebnice logiky v tomto stylu již dávno přestaly mít kapitolu o chybách.

Ze starých učebnic však přežívá jedno varování: Pokud formalizujete svůj argument způsobem, který není modelově teoretickým důsledkem, neznamená to, že argument není platný. Může to znamenat pouze to, že jste nedokázali analyzovat koncepty v argumentu dostatečně hluboko, než jste formalizovali. Staré učebnice o tom diskutovaly v sekci ragbag nazvané „témata“(tj. Rady pro nalezení argumentů, které byste možná zmeškali). Zde je příklad od Summulae Logicales Petra ze Španělska ze 13. století:

"Je tu otec." Proto existuje dítě. “… Odkud pochází platnost tohoto argumentu? Ze vztahu. Maximální je: Když je umístěna jedna z korelovaných dvojic, pak je ta druhá.

Hilbert a Ackermann, možná učebnice, která se nejvíce snažila vytvořit moderní styl, diskutují ve své sekci III.3 velmi podobný příklad: „Pokud existuje syn, pak je otec“. Poukazují na to, že jakýkoli pokus to ospravedlnit pomocí symboliky

) existuje xSx / rightarrow / existuje xFx)

je odsouzena k neúspěchu. „Důkaz tohoto tvrzení je možný pouze tehdy, pokud pojmově analyzujeme významy dvou predikátů, které se vyskytují“, jak ilustrují. A analýza samozřejmě zjistí přesně vztah, o kterém se zmínil Peter of Spain.

Na druhou stranu, pokud se váš anglický argument promění v neplatný model - teoretický důsledek, může protějšek k tomuto výsledku poskytnout vodítko k tomu, jak můžete popsat situaci, která by učinila předpoklady pravdivé a závěr nepravdivý. Ale to není zaručeno.

Je možné položit řadu otázek, zda moderní učebnicový postup skutečně zachycuje rozumnou představu o logických důsledcích. Například v Booleově případě jsou teoretické důsledky, na které se spoléhá, snadno prokazatelné formálními důkazy v logice prvního řádu, a to ani za použití jakýchkoli teoretických axiomů; a teorémem úplnosti (viz položka o klasické logice) to samé platí pro logiku prvního řádu. Ale pro některé jiné logiky to rozhodně není pravda. Například vztah model-teoretické důsledky pro nějakou logiku času předpokládá některá fakta o fyzické struktuře času. Jak sám Boole zdůraznil, jeho překlad z anglického argumentu do jeho teoretické podoby vyžaduje, abychom věřili, že za každou vlastnost použitou v argumentuexistuje odpovídající třída všech věcí, které mají vlastnost. To se nebezpečně blíží Fregeově nekonzistentnímu axiomu porozumění!

V roce 1936 Alfred Tarski navrhl definici logických důsledků pro argumenty v plně interpretovaném formálním jazyce. Jeho návrh spočíval v tom, že argument je platný pouze tehdy, pokud: za jakýchkoli povolených reinterpretací jeho nelogických symbolů, jsou-li prostory pravdivé, je to i závěr. Tarski předpokládal, že třídu povolených reinterpretací lze odečíst ze sémantiky jazyka, jak je uvedeno v jeho definici pravdy. Nechal to neurčené, jaké symboly se považují za nelogické; ve skutečnosti doufal, že tato svoboda umožní člověku definovat různé druhy nutnosti, snad oddělující „logické“od „analytických“. Jedna věc, která ztěžuje vyhodnocení Tarského návrhu, je, že zcela ignoruje otázku, kterou jsme diskutovali výše, analyzování konceptů, aby bylo dosaženo všech logických souvislostí mezi nimi. Jediné věrohodné vysvětlení, které vidím pro toto, spočívá v jeho závorce

nutnost vyloučení jakýchkoli definovaných znaků, které se mohou v příslušných větách vyskytnout, tj. jejich nahrazení primitivními znaky.

To mi naznačuje, že chce, aby jeho primitivní znaky byly na základě vyhlášky nevyzkoušitelné. Ale pak ustanovením bude čistě náhodné, pokud jeho představa o logickém důsledku zachytí vše, co by člověk normálně považoval za logický důsledek.

Historici si všímají podobnosti mezi Tarským návrhem a návrhem v sekci 147 Bernissa Bolzana Wissenschaftslehre z roku 1837. Stejně jako Tarski definuje Bolzano platnost výroku z hlediska pravdy rodiny souvisejících výroků. Narozdíl od Tarského, Bolzano předkládá své návrhy v lidové řeči, nikoli pro věty formálního jazyka s přesně definovanou sémantikou.

Ve všech těchto oddílech viz také záznam o logických důsledcích.

4. Výrazná síla

Věta (S) definuje její třídu modelů (Mod (S)). Vzhledem ke dvěma jazykům (L) a (L '), můžeme je porovnat tak, že se ptáme, zda každá třída (Mod (S)), s (S) větou (L), je také třída formy (Mod (S ')) kde (S') je věta (L '). Pokud je odpověď Ano, říkáme, že (L) je redukovatelné na (L '), nebo že (L') je přinejmenším stejně výrazné jako (L).

Například pokud (L) je jazyk prvního řádu s identitou, jehož podpis se skládá z 1-árových predikátových symbolů, a (L ') je jazyk, jehož věty se skládají ze čtyř syllogistických forem (Vše (A)) jsou (B), Někteří (A) jsou (B), Ne (A) jsou (B), Někteří (A) nejsou (B)) pomocí stejné predikátové symboly, pak (L ') je redukovatelné na (L), protože sylogické formy jsou vyjádřitelné v logice prvního řádu. (Existují nějaké hádky, o kterých je ten správný způsob, jak je vyjádřit; viz vstup na tradičním náměstí opozice.) Ale jazyk prvního řádu (L) rozhodně nelze redukovat na jazyk (L ') syllogisms, protože v (L) my můžeme napsat větu říkat, že přesně tři elementy uspokojí (Px), a není tam žádný způsob, jak říkat to používat jen syllogistic formy. Nebo se pohybovat opačně,pokud vytvoříme třetí jazyk (L '') přidáním do (L) kvantifikátoru (Qx) s významem „Existuje nespočetně mnoho prvků (x) takových, že…“, pak triviálně (L) je redukovatelné na (L ''), ale sestupná Loewenheimova-Skolemova věta najednou ukazuje, že (L '') nelze redukovat na (L).

Tyto pojmy jsou užitečné pro analýzu síly jazyků dotazů databáze. Můžeme uvažovat o možných stavech databáze jako o strukturách a jednoduchý dotaz Ano / Ne se stane větou, která vyvolá odpověď Ano, pokud je databáze jeho modelem a Ne jinak. Pokud jeden jazyk dotazu databáze nelze redukovat na jiný, pak první může vyjádřit nějaký dotaz, který nelze vyjádřit ve druhém.

Potřebujeme tedy techniky pro porovnávání výrazných silných stránek jazyků. Jednou z nejúčinnějších dostupných technik jsou back-and-end hry Ehrenfeucht a Fraïssé mezi dvěma hráči Spoiler a Duplicator; podrobnosti viz logika a hry. Představte si například, že hrajeme obvyklou hru prvního a druhého řádu (G) mezi dvěma strukturami (A) a (B). Teorie těchto her stanoví, že pokud nějaká věta prvního řádu (phi) platí v přesně jedné z (A) a (B), pak existuje číslo (n), vypočítatelné z (phi), s vlastností, že Spoiler má strategii pro (G), která zaručí, že vyhraje ve většině (n) krocích. A naopak, abychom ukázali, že logika prvního řádu nedokáže rozlišit mezi (A) a (B), stačí ukázat, že pro každý konečný (n),Duplikátor má strategii, která zaručí, že v prvních (n) krocích neztratí (G). Pokud se nám to podaří ukázat, znamená to, že žádný jazyk, který rozlišuje mezi (A) a (B), nelze redukovat na jazyk prvního řádu struktur (A) a (B).

Tyto hry tam a zpět jsou nesmírně flexibilní. Pro začátek dávají na konečné struktury stejně velký smysl jako na nekonečné; mnoho jiných technik teorie klasického modelu předpokládá, že struktury jsou nekonečné. Lze je také plynule přizpůsobit mnoha jazykům, které se nenacházejí v prvním řádu.

V roce 1969 Per Lindström používal hry tam a zpět, aby poskytl některé abstraktní charakterizace logiky prvního řádu, pokud jde o jeho expresivní sílu. Jedna z jeho vět říká, že pokud (L) je jazyk s podpisem (K, L), je uzavřen při všech syntaktických operacích prvního řádu a (L) se řídí klesající Loewenheim-Skolemovou větou pro jednoduché věty a věta o kompaktnosti, pak (L) lze redukovat na první jazyk podpisu (K). Tyto věty jsou velmi atraktivní; viz kapitola XII Ebbinghaus, Flum a Thomas pro dobrý účet. Ale nikdy zcela nesplnili svůj slib. Bylo obtížné najít jakékoli podobné charakteristiky jiné logiky. I pro logiku prvního řádu je trochu těžké přesně pochopit, co nám jejich charakterizace říká. Ale velmi hrubě řečeno,říkají, že logika prvního řádu je jedinečná logika se dvěma vlastnostmi: (1) můžeme ji použít k vyjádření libovolně komplikovaných věcí o konečných vzorcích a (2) je beznadějná pro rozlišení mezi jedním nekonečným kardinálem a druhým.

Tyto dvě vlastnosti (1) a (2) jsou pouze vlastnosti logiky prvního řádu, které Abrahamovi Robinsonovi umožnily sestavit jeho nestandardní analýzu. Pozadí spočívá v tom, že Leibniz, když vynalezl diferenciální a integrální počet, použil infinitesimály, tj. Čísla, která jsou větší než 0 a menší než všechna 1/2, 1/3, 1/4 atd. Bohužel taková reálná čísla neexistují. Během devatenáctého století byly všechny definice a důkazy v leibnizském stylu přepsány, aby mluvily o limitech místo nekonečných. Nyní nechť (mathbb {R}) je struktura skládající se z pole reálných čísel spolu s jakýmikoli strukturálními rysy, kterým chceme dát jména: určitě plus a časy, možná uspořádání, množina celých čísel, funkce hřích a log atd. Nechť (L) je jazyk prvního řádu, jehož podpis je podpisem (mathbb {R}). Kvůli výrazné síle (L), my můžeme zapsat libovolný počet teorémů počtu jako věty (L). Kvůli výrazné slabosti (L) neexistuje žádný způsob, jak můžeme vyjádřit v (L), že (mathbb {R}) nemá žádné infinitesimály. Ve skutečnosti Robinson použil teorém kompaktnosti k vytvoření struktury (mathbb {R} '), která je modelem přesně stejných vět (L) jako (mathbb {R}), ale která má infinitesimals. Jak ukázal Robinson, můžeme kopírovat Leibnizovy argumenty pomocí infinitesimálů v (mathbb {R} '), a tak dokázat, že v (mathbb {R}') jsou pravdivé různé věty o počtu. Ale tyto věty jsou vyjádřitelné v (L), takže musí také platit v (mathbb {R}).neexistuje žádný způsob, jak můžeme vyjádřit v (L), že (mathbb {R}) nemá žádné infinitesimály. Ve skutečnosti Robinson použil teorém kompaktnosti k vytvoření struktury (mathbb {R} '), která je modelem přesně stejných vět (L) jako (mathbb {R}), ale která má infinitesimals. Jak ukázal Robinson, můžeme kopírovat Leibnizovy argumenty pomocí infinitesimálů v (mathbb {R} '), a tak dokázat, že v (mathbb {R}') jsou pravdivé různé věty o počtu. Ale tyto věty jsou vyjádřitelné v (L), takže musí také platit v (mathbb {R}).neexistuje žádný způsob, jak můžeme vyjádřit v (L), že (mathbb {R}) nemá žádné infinitesimály. Ve skutečnosti Robinson použil teorém kompaktnosti k vytvoření struktury (mathbb {R} '), která je modelem přesně stejných vět (L) jako (mathbb {R}), ale která má infinitesimals. Jak ukázal Robinson, můžeme kopírovat Leibnizovy argumenty pomocí infinitesimálů v (mathbb {R} '), a tak dokázat, že v (mathbb {R}') jsou pravdivé různé věty o počtu. Ale tyto věty jsou vyjádřitelné v (L), takže musí také platit v (mathbb {R}).můžeme kopírovat Leibnizovy argumenty pomocí infinitesimals v (mathbb {R} '), a tak dokázat, že různé věty o počtu jsou pravdivé v (mathbb {R}'). Ale tyto věty jsou vyjádřitelné v (L), takže musí také platit v (mathbb {R}).můžeme kopírovat Leibnizovy argumenty pomocí infinitesimals v (mathbb {R} '), a tak dokázat, že různé věty o počtu jsou pravdivé v (mathbb {R}'). Ale tyto věty jsou vyjádřitelné v (L), takže musí také platit v (mathbb {R}).

Vzhledem k tomu, že argumenty využívající infinitesimals je obvykle snazší vizualizovat než argumenty používající limity, je nestandardní analýza užitečným nástrojem pro matematické analytiky. Jacques Fleuriot ve své Ph. D. práce (2001) automatizovala teorii důkazů nestandardní analýzy a použila ji k mechanizaci některých důkazů v Newtonově Principii.

5. Modely a modelování

Modelovat jev znamená vytvořit formální teorii, která jej popisuje a vysvětluje. V úzce souvisejícím smyslu modelujete systém nebo strukturu, kterou hodláte vybudovat, a to tak, že jej popíšete. Jedná se o velmi odlišné smysly „modelu“od modelu v teorii modelu: „model“fenoménu nebo systému není strukturou, ale teorií, často ve formálním jazyce. Univerzální jazyk pro modelování, zkrátka UML, je formální jazyk určený právě k tomuto účelu. To je hlásil, že australské námořnictvo jednou najalo modeláře pro práci 'modelování hydrodynamic jevy'. (Prosím, nevíte je!)

Malá historie ukáže, jak slovo „model“přišlo k těmto dvěma různým účelům. V pozdní latině byl „modellus“měřicím zařízením, například pro měření vody nebo mléka. Podle nejasností jazyka vygenerovalo slovo v angličtině tři různá slova: forma, modul, model. Zařízení, které měří množství látky, také často ukládá do látky formulář. Vidíme to se sýrovou plísní a také s kovovými písmeny (nazývanými „modulyi“na začátku 17. století), které tisknou inkoust na papír. Pojem „model“tedy znamená předmět v ruce, který vyjadřuje design některých dalších objektů na světě: model umělce nese podobu, kterou autor zobrazuje, a „modul“katedrály sv. Pavla Christophera Wrena slouží jako vodítko pro stavitele.

Již koncem 17. století by slovo „model“mohlo znamenat objekt, který ukazuje formu, nikoli skutečných objektů, ale matematických konstrukcí. Leibniz se chlubil, že pro matematiku nepotřebuje modely. Ostatní matematici rádi používali sádrové nebo kovové modely zajímavých povrchů. Modely teorie modelů se poprvé objevily jako abstraktní verze tohoto druhu modelu, s teoriemi místo definující rovnice povrchu. Na druhé straně by člověk mohl zůstat s objekty skutečného světa, ale svou formu ukázat spíše teorií než fyzickou kopií v ruce; 'modelování' buduje takovou teorii.

Máme matoucí situaci na půli cesty, kdy vědec popisuje jev na světě pomocí rovnice, například diferenciální rovnice s exponenciálními funkcemi jako řešení. Skládá se model z rovnice, nebo jsou tyto exponenciální funkce samy modely fenoménu? Příklady tohoto druhu, kde teorie a struktury poskytují v podstatě stejné informace, poskytují určitou podporu pro tvrzení Patricka Suppesa, že „význam pojmu model je stejný v matematice i empirických vědách“(strana 12 jeho citované knihy z roku 1969) níže). Několik filozofů vědy se věnovalo myšlence využití neformální verze modelů teoretických modelů pro vědecké modelování. Někdy jsou modely popisovány jako nelingvistické - to může být obtížné sladit s naší definicí modelů v části 1 výše.

Kognitivní věda je jednou z oblastí, kde se rozdíl mezi modely a modelováním inklinuje k rozmazání. Ústřední otázkou kognitivní vědy je to, jak v našich myslích reprezentujeme fakta nebo možnosti. Pokud někdo tyto mentální reprezentace formalizuje, stanou se něco jako „modely jevů“. Ale je to vážná hypotéza, že naše mentální reprezentace mají ve skutečnosti hodně společného s jednoduchými strukturami teoretických množin, takže jsou „modely“také v modelu-teoretickém smyslu. V roce 1983 byla publikována dvě vlivná díla kognitivní vědy, obě pod názvem Mentální modely. První, editovaný Dedrem Gentnerem a Albertem Stevensem, byl o „konceptualizaci“elementárních faktů fyziky; patří přímo do světa „modelování jevů“. Druhý, Philip Johnson-Laird, je do značné míry o zdůvodnění,a v našem smyslu dělá několik výzev k „modelově teoretické sémantice“. Vědci v Johnson-Lairdově tradici mají tendenci odkazovat na svůj přístup jako na „teorii modelů“a v určitém smyslu to považují za spojence s tím, co jsme nazvali teorií modelů.

Zdá se, že obrázky a schémata se nejprve vznášejí uprostřed mezi teoriemi a modely. V praxi se teoretici modelu často kreslí obrázky struktur a pomocí nich přemýšlejí o strukturách. Na druhé straně obrázky obecně nesou označení, které je základním rysem modelů teoretických struktur. Tam je rychle rostoucí skupina práce na uvažování s diagramy, a drtivou tendencí této práce je vidět obrazy a diagramy jako forma jazyka spíše než jako forma struktury. Například Eric Hammer a Norman Danner (v knize vydané Allweinem a Barwiseem, viz Bibliografie) popisují „modelovou teorii Vennových diagramů“; Vennovy diagramy samy o sobě jsou syntaxí a teorie modelů je set-teoretické vysvětlení jejich významu.

Teoretik modelu Yuri Gurevich představil abstraktní stavové stroje (ASM) jako způsob využití teoretických modelů pro specifikaci v informatice. Podle webové stránky Abstract State Machine (viz další internetové zdroje níže),

jakýkoli algoritmus lze modelovat na jeho přirozené úrovni abstrakce pomocí vhodného ASM. … ASM používají k popisu stavů výpočtu klasické matematické struktury; struktury jsou dobře srozumitelné, přesné modely.

Kniha Börgera a Stärka uvedená níže je autoritativním popisem ASM a jejich použití.

Dnes si můžete najít své jméno a jmění nalezením dobrého systému reprezentace. Neexistuje žádný důvod očekávat, že každý takový systém bude úhledně zapadat do syntaxe / sémantického rámce teorie modelů, ale bude překvapivé, pokud se teoreticko-teoretické myšlenky v této oblasti nadále významně nepřispívají.

Bibliografie

Úvodní texty

• Doets, K., 1996, Teorie základních modelů, Stanford: Publikace CSLI.
• Hodges, W., 1997, Kratší teorie modelu, Cambridge: Cambridge University Press.
• Manzano, M., 1999, Teorie modelu, Oxford: Oxford University Press.
• Rothmaler, P., 2000, Úvod do teorie modelů, Amsterdam: Gordon and Breach.

Teoretická definice modelu

• Frege, G., 1906, „Grundlagen der Geometrie“, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
• Gergonne, J., 1818, „Essai sur la théorie de la définition“, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
• Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Lipsko: Teubner.
• Hodges, W., 2008, „Tarskiho teorie definice“, v Patterson, D. New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press, s. 94–132.
• Lascar, D., 1998, „Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l'algèbre“, Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
• Mancosu, P., Zach, R. a Badesa, C., 2009, „Vývoj matematické logiky z Russella do Tarského“, v L. Haaparanta (ed.), Vývoj moderní logiky, Oxford: Oxford University Press, str. 318–470.
• Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlín: Springer-Verlag.
• Robinson, A., 1952, „O aplikaci symbolické logiky na algebra“, sborník z Mezinárodního kongresu matematiků (Cambridge, MA, 1950, svazek 1), Providence, RI: American Mathematical Society, s. 686–694.
• Suppes, P., 1957, „Teorie definice“v úvodu k logice (kapitola 8), Princeton, NJ: Van Nostrand.
• Tarski, A., 1954, „Příspěvky k teorii modelů, I“, Indagationes Mathematicae, 16: 572–81.

Teoretický důsledek modelu

• Blanchette, P., 1996, „Frege a Hilbert o konzistenci“, The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
• Blanchette, P., 2012, Fregeova koncepce logiky, New York: Oxford University Press.
• Boole, G., 1847, Matematická analýza logiky, Cambridge: Macmillan, Barclay a Macmillan.
• Etchemendy, J., 1990, Koncepce logických důsledků, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Frege, G., 1971, O základech geometrie a formálních teoriích aritmetiky, E. Kluge (trans.), New Haven: Yale University Press.
• Gómez-Torrente, M., 1996, „Tarski o logických důsledcích“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
• Hodges, W. 2004, „Význam a zanedbání koncepční analýzy: Hilbert-Ackermann iii.3“, ve V. Hendricks et al. (eds.), Logic First-Order Logic Revisited, Berlin: Logos, str. 129–153.
• Kreisel, G., 1969, „Neformální důkazy a úplnost“, v J. Hintikka (ed.), The Philosophy of Mathematics, London: Oxford University Press, s. 78–94.
• Tarski, A., 1983, „O konceptu logických důsledků“, přeloženo do A. Tarski, Logic, Sémantika, Metamathematics, J. Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett, p. 409–420.
• Van Benthem, J., 1991 [1983], Logika času: Modelové teoretické zkoumání odrůd časné ontologie a dočasného diskurzu, Dordrecht: Reidel, 1983; druhé vydání, Springer, 1991.

Výrazná síla

• Cutland, N., 2009, Nestandardní analýza a její aplikace, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ebbinghaus, H.-D., a Flum, J., 1999, konečná teorie modelu, Berlín: Springer-Verlag.
• Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. a Thomas, W., 1984, Mathematical Logic, New York: Springer-Verlag.
• Fleuriot, J., 2001, Kombinace poskytování geometrické věty a nestandardní analýzy, s aplikací na Newtonovu Principii, New York: Springer-Verlag.
• Immerman, N., 1999, Descriptive Complexity, New York: Springer-Verlag.
• Libkin, L., 2004, Elements of the konečný model, Berlin: Springer-Verlag.
• Loeb, P. a Wolff, M. (eds.), 2000, Nestandardní analýza pro pracujícího matematika, Dordrecht: Kluwer.
• Robinson, A., 1967, „Metafyzika počtu“, v Problémy v filozofii matematiky, I. Lakatos (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 28–40.

Modely a modelování

• Allwein, G. a Barwise, J. (eds.), 1996, Logické uvažování s diagramy, New York: Oxford University Press.
• Börger, E. a Stärk, R., 2003, Abstract State Machines: Metoda pro návrh a analýzu systémů na vysoké úrovni, Berlín: Springer-Verlag.
• Fowler, M., 2000, UML Distilled, Boston: Addison-Wesley.
• Garnham, A., 2001, Duševní modely a interpretace Anafory, Philadelphie: Taylor a Francis.
• Gentner, D. a Stevens, A. (eds.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
• Johnson-Laird, P., 1983, Mental Models: Směrem k poznávací vědě jazyka, inference a vědomí, Cambridge: Cambridge University Press.
• Meijers, A. (ed.), 2009, Filozofie technologií a inženýrských věd, Amsterdam: Elsevier; viz kapitoly W. Hodges, „Funkční modelování a matematické modely“; R. Müller, „Pojetí modelu, teorie modelů a historie“; a N. Nersessian, „Modelové uvažování v interdisciplinárním inženýrství“.
• Moktefi, A. a Shin, S.-J. (eds.), 2013, Vizuální uvažování s diagramy, Basel: Birkhäuser.
• Morgan, MS a Morrison, M. (eds.), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
• Pullum, GK a Scholz, BC, 2001, „O rozlišení mezi modelově-teoretickými a generativní-enumerativními syntaktickými rámci“, v Logických aspektech výpočetní lingvistiky (Poznámky k přednášce v informatice: Svazek 2099), P. De Groote et al. (eds.), Berlin: Springer-Verlag, s. 17–43.
• Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
• Suppes, P., 1969, studium metodologie a základů vědy, Dordrecht: Reidel.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• mentalmodelsblog: Duševní modely v lidském myšlení a uvažování, Ruth Byrne.
• Algoritmická teorie modelů, E. Graedel, D. Berwanger a M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
• Abstract State Machines, autor: Jim Huggins