Naturalismus Ve Filosofii Matematiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Naturalismus ve filosofii matematiky

První publikované 24. srpna 2008; věcná revize Út 26.3.2013

Tři hlavní naturalismy současné filozofie jsou metodologické, ontologické a epistemologické. Metodický naturalismus uvádí, že jedinými autoritativními standardy jsou vědecké standardy. Ontologický a epistemologický naturalismus respektive tvrdí, že všechny entity a všechny platné metody zkoumání jsou v jistém smyslu přirozené. Ve filozofii matematiky v posledních několika desetiletích získal metodologický naturalismus lví podíl pozornosti, proto se na to soustředíme. Ontologický a epistemologický naturalismus ve filosofii matematiky je podrobněji rozebrán v části 6.

• 1. Metodologický naturalismus

  1.1 Matematický anti-revizionismus

• 2. Současná historie metodologického naturalismu

  • 2.1 Nedávné souvislosti
  • 2.2 Současný kontext

• 3. Vysvětlující metodologický naturalismus

  • 3.1 Autoritativní
  • 3.2 Hraniční problém a vědecká metoda
  • 3.3 Metodická jednota?
  • 3.4 Stupeň sankcí
  • 3.5 Normy a praktici
  • 3.6 Širší naturalismus

• 4. Motivující naturalismus

  • 4.1 Naturalismus je v některých ohledech revoluční
  • 4.2 Nedostatek argumentů v literatuře
  • 4.3 Aktuální úspěch
  • 4.4 Dohoda
  • 4.5 Historický úspěch

• 5. Heterogenní naturalismus

  • 5.1 Je matematika metodologicky autonomní?
  • 5.2 Je-li matematika metodologicky autonomní, tak to prokazuje Maddyho naturalismus?

• 6. Ontologický naturalismus

  • 6.1 Přírodní věda jako arbitr ontologie
  • 6.2 Všechny entity jsou spatiotemporální
  • 6.3 Naturalistická antiplatonismus a epistemologický naturalismus
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Metodologický naturalismus

Metodický naturalismus má ve filozofii matematiky tři hlavní a související smysly. První je, že jediné autoritativní standardy ve filozofii matematiky jsou přírodní vědy (fyzika, biologie atd.). Druhým je, že jedinými autoritativními standardy ve filozofii matematiky jsou standardy samotné matematiky. Třetí, amalgám prvních dvou, je to, že autoritativními standardy jsou přírodní a matematické standardy. Tyto tři naturalismy označujeme jako vědecké, matematické a matematicko-kumulativní. Všimněte si, že v této položce „věda“a příbuzné pojmy zahrnují pouze přírodní vědy.

1.1 Matematický anti-revizionismus

Zdá se, že naturalismus - „metodologický“a „ve filozofii matematiky“, který bude dále chápán, má pro matematiku anti-revizní důsledky. Matematik-filozof LEJ Brouwer vyvinul intuitivní matematiku, která se snažila svrhnout a nahradit standardní („klasickou“) matematiku. Brouwer se pokusil filozoficky motivovat intuicionistickou matematiku pomocí účetnictví matematické pravdy založeného na intuici. Novějším exponentem intuicionistické matematiky je Michael Dummett, který za něj rozvinul argumenty z filosofie jazyka, zejména z teorie významu. Přesto vědecké standardy pravděpodobně přehnávají klasiku nad intuicionistickou matematikou:i kdyby současná věda mohla být zcela intuitivně přepracována - velká, pokud by byla méně jednoduchá a těžkopádnější než její současná klasická verze. Matematici také inklinují k pohledu intuitionistic matematiky jak nižší k klasické matematice jestliže vyložený jako soupeř k tomu. Proto ani Brouwer, ani Dummettův intuicionismus není zjevně schválen vědeckými nebo matematickými standardy, takže je naturalismus vylučuje před soud. Ve skutečnosti pro mnoho jeho přívrženců je to přesně bod naturalismu. Jejím bodem, jak se často říká, je blokovat fantastické útoky na zavedené disciplíny, jako je matematika, disciplínami s méně bezpečnými metodikami. Proto ani Brouwer, ani Dummettův intuicionismus není zjevně schválen vědeckými nebo matematickými standardy, takže je naturalismus vylučuje před soud. Ve skutečnosti pro mnoho jeho přívrženců je to přesně bod naturalismu. Jejím bodem, jak se často říká, je blokovat fantastické útoky na zavedené disciplíny, jako je matematika, disciplínami s méně bezpečnými metodikami. Proto ani Brouwer, ani Dummettův intuicionismus není zjevně schválen vědeckými nebo matematickými standardy, takže je naturalismus vylučuje před soud. Ve skutečnosti pro mnoho jeho přívrženců je to přesně bod naturalismu. Jejím bodem, jak se často říká, je blokovat fantastické útoky na zavedené disciplíny, jako je matematika, disciplínami s méně bezpečnými metodikami.

2. Současná historie metodologického naturalismu

2.1 Nedávné souvislosti

Současný zájem o naturalismus pramení z Quina, jehož naturalismus je v jeho pozdějších dílech prominentní. Reprezentativní citace je taková, že naturalismus je „uznání, že realita musí být identifikována a popsána v rámci samotné vědy, a nikoli v nějaké předchozí filozofii“(Quine 1981, 21). Dalším významným vlivem je Hilary Putnam, která svůj vědecký naturalismus formuluje takto:

… Je hloupé souhlasit s tím, že důvod se domnívat, že p odůvodňuje přijetí p za všech vědeckých okolností, a pak přidat „, ale ani to není dost dobré“. Takový úsudek by mohl být učiněn pouze tehdy, pokud by člověk přijal transevropskou metodu jako nadřazenou vědecké metodě; ale alespoň tento filozof nemá o to zájem. (Putnam 1971, 356)

Z tohoto pohledu je tedy matematika posuzována vědeckými standardy, protože všechno je. Quine a Putnam navíc tvrdí, že tyto standardy sankcionují platonistickou matematiku, protože matematika a její platonistická konstrukce jsou nepostradatelnou součástí našich nejlepších vědeckých teorií.

Ačkoli se naturalismus jako sebevědomé postavení ve filozofii matematiky objevuje nejvíc s Quinem, jako vždy jsou předchůdci. Empiricistická tradice v jejích různých podobách (logický pozitivismus, Mill, Hume, atd.) Je nejviditelnějším předchůdcem, i když mezi předkonjinskými empiriky a současnými přírodovědci existují významné rozdíly. Vzestup vědeckého naturalismu ve filozofii matematiky se také časově shoduje se vzestupem širšího vědeckého naturalismu, také zčásti připisovaného Quine, který vidí celou filozofii - nejen filozofii matematiky - jako probíhající v rámci přírodní vědy. Naturalismus také jde ruku v ruce s nyní obecně převládajícím pesimismem o tradičních filosofických způsobech argumentace.

Některá verze naturalismu je dnes přitažlivá pro prakticky všechny filozofy. To, že metodologie matematiky a vědy jsou nejlepší, které máme, se jeví jako fráze, kterou by se měla filozofie snažit uznat a stavět na ní, nikoli ignorovat. Otázkou je, jak přesně to udělat.

2.2 Současný kontext

V posledních několika desetiletích došlo k velkému nárůstu zájmu o naturalismus. 1997 byl důležitým rokem v nedávné filozofii matematiky, protože viděl vydání čtyř knih vyjadřujících pozice pěti předních filosofů matematiky: John Burgess a Gideon Rosen, předmět bez předmětu, naturalismus Penelope Maddy v matematice, matematika Michaela Resnika jako Science of Patterns a Stewart Shapiro's Philosophy of Mathematics. Všechny čtyři knihy jsou v různé míře a mimo jiné naturalistické: první dvě jsou naturalistické manifesty, třetí obhajuje quineanský vědecký naturalismus a poslední, byť hlavně zaměřený na jiné záležitosti, je sympatický s naturalismem. Naturalismus Johna Burgessa,nejprve vycházel z jeho (1983) a v posledních několika letech vypracovaných se svým kolegou Gideonem Rosenem (1997, 2005), je možná nejpřirozenějším způsobem konstruován jako verze matematicko-cum-vědeckého naturalismu (1997, 211). Penelope Maddyův naturalismus je heterogenní forma naturalismu, která rozlišuje mezi vlastní matematikou a filozofií matematiky, zahrnuje matematický naturalismus o bývalém a vědecký naturalismus o druhém (část 5). Další pozice navrhovaná Maddym (1997) je důkladný matematický naturalismus, který bere matematické standardy jako autoritativní v rámci matematiky i její filozofie.s naturalismus je heterogenní forma naturalismu, která rozlišuje mezi vlastní matematikou a filozofií matematiky, zahrnuje matematický naturalismus o bývalém a vědecký naturalismus o druhém (část 5). Další pozice navrhovaná Maddym (1997) je důkladný matematický naturalismus, který bere matematické standardy jako autoritativní v rámci matematiky i její filozofie.s naturalismus je heterogenní forma naturalismu, která rozlišuje mezi vlastní matematikou a filozofií matematiky, zahrnuje matematický naturalismus o bývalém a vědecký naturalismus o druhém (část 5). Další pozice navrhovaná Maddym (1997) je důkladný matematický naturalismus, který bere matematické standardy jako autoritativní v rámci matematiky i její filozofie.

Bez ohledu na kvalifikace mohou být hlavní současné verze naturalismu spolu s jejich zastánci zastoupeny takto:

	Správná matematika	Filozofie matematiky
Vědecký (Quine)	Vědecký	Vědecký
Matematicko-Cum-Scientific (Burgess)	Mathematical-cum- Scientific	Mathematical-cum- Scientific
Matematické (?)	Matematický	Matematický
Heterogenní (Maddy 1997)	Matematický	Vědecký

Pro ilustraci rozdílu mezi výroky ve vlastní matematice a filosofií matematiky považujme za příklad bývalého Green-Tao věty prokázané v roce 2004, která uvádí, že posloupnost prvočísel obsahuje libovolně dlouhé aritmetické progrese (ovšem samozřejmě ne nekonečně dlouhý); jako příklady posledně jmenovaného bereme platonistické tvrzení, že číslo dva existuje a je abstraktní, nebo tvrzení, že protože matematické entity jsou vytvářeny spíše než objeveny, nejsou předvídatelné definice přípustné. U každého daného filozofa se Green-Taoova věta a její důkaz musí posoudit podle standardů prvního sloupce. Například,Quine přijímá teorémi pouze tehdy, je-li součástí nejlepší systematizace vědy (což předpokládá, že principy, z nichž je odvozena, a logika, z níž jsou odvozeny z těchto principů). Podobně pro každého daného filosofa musí být platonismus a zúžení týkající se předvídavosti posuzovány podle standardů druhého sloupce. Například Quine přijímá platonismus, protože to považuje za vědecky schválenou interpretaci matematiky: podle jeho názoru je matematika obsažená v nejlepší systematizaci vědy platonická. Quine přijímá platonismus, protože to považuje za vědecky schválenou interpretaci matematiky: podle jeho názoru je matematika obsažená v nejlepší systematizaci vědy platonická. Quine přijímá platonismus, protože to považuje za vědecky schválenou interpretaci matematiky: podle jeho názoru je matematika obsažená v nejlepší systematizaci vědy platonická.

Neexistují žádné jasné příklady toho, že by matematické standardy měly být autoritativní ve filozofii matematiky, tedy otazníku. David Lewis flirtoval s touto pozicí ve své monografii o teorii množin (1991, viii – ix, 54), ale do té doby (1993) ji již odmítl. Tato pozice je navržena poznámkami v Maddy (1997), ačkoli, jak uvidíme v části 5, Maddy (1997) je přirozeně interpretována jako postupující k heterogenní formě naturalismu. Několik dalších filozofů matematiky jsou také profesními přírodovědci, zejména Alan Baker (2001) a Mark Colyvan (2001).

3. Vysvětlující metodologický naturalismus

Podobně jako mnoho jinýchismů, i naturalismus je možná lepší myšlenka jako orientace s doktrinálními důsledky než jako doktrína sama o sobě. Přesto se můžeme pokusit objasnit to v několika dimenzích.

3.1 Autoritativní

Jak bychom měli chápat tvrzení, že některá sada standardů by měla být autoritativní ve filozofii matematiky? Můžeme zachovat obecnost odkazem na standardy X, přičemž případy, kdy nás zajímá, jsou „vědecké“, „matematické“nebo „vědecké-kumulativní“. Zde jsou některá (nevyčerpávající) čtení tvrzení autority:

1. Biconditional Naturalism: přijmout p iff p je schválen X-standardy
2. Trumfování naturalismu: přijměte p, pokud je p sankcionováno standardy X.
3. Důraz na naturalismus: Při posuzování, zda p, více zdůrazněte standardy X.
4. Kompatibilita Naturalism: nepřijímejte p, pokud je p nekompatibilní s normami X.

Dvoumístné čtení je nejsilnější ze čtyř. Vyjadřuje názor, že platné standardy jsou pouze standardy X. Na rozdíl od biconditional naturalismu, trikující verze zjevně dovoluje, aby sdělení ve filozofii matematiky mohlo být přijatelné, i když to X-standardy nezakazují. Například Burgess a Rosen vyjadřují svůj naturalismus takto:

Odhodlání přírodovědců je … k poměrně skromnému tvrzení, že když věda (chápaná jako součást matematiky) mluví pevným a sjednoceným hlasem, je filozof povinen buď přijmout závěry, nebo nabídnout, co jsou zjevně vědecké důvody, proč jim bránit (1997), 65).

Toto je přirozeně lesklé jako trumfující verze vědecko-cum-matematického naturalismu. Zdá se, že umožňuje, aby matematika a věda nemluvili pevným hlasem k otázce, můžeme přijmout verdikt jiné disciplíny.

Důraz na naturalismus je vágní doktrína. Různé verze vznikají v závislosti na tom, jak velký důraz je kladen na X-standardy. Skromná verze zachycuje postavení naturalisticky nakloněných, ale ne přímo naturalistických filozofů. Obnovíme biconditional naturalismus, když jsou X-standardy zdůrazněny do bodu, kde nezáleží na jiných.

Kompatibilita naturalismu není tak silná jako trumfování naturalismu. Je-li p sankcionováno standardy X, pak naturalismus kompatibility požívá nepřijetí ¬ p, ale nutně nepřijímá přijetí p. Nepřijetí ¬ p postrádá přijetí p, protože vždy existuje možnost pozastavit rozsudek o s. Pohled na kompatibilitu je obecně přijímán většinou současných filozofů. Abychom si vzali příklad zvenčí filozofie matematiky, většina filosofů by odmítla filozofii času, která se střetává s teorií relativity (v tomto případě X = věda). V rámci filosofie matematiky by většina filosofů odmítla filosofii matematiky, která by například znamenala, že by měla být podrobena komplexní analýza (v tomto případě X by mohla být věda, matematika nebo matematika-cum-věda).

Různé slabší metodologické teze jsou někdy označovány jako „naturalistické“, například odmítnutí karteziánského fundamentalismu, ale zde tento pojem chápeme podrobněji. Která z výše uvedených variant je správným způsobem rozvoje naturalismu, samozřejmě záleží na tom, jak je motivován naturalismus (oddíl 4).

3.2 Hraniční problém a vědecká metoda

Naturalismus vytváří odpor mezi standardy X (vědecké, matematické nebo vědecko-kumulativní) a jinými typy standardů, např. Astrologickými, teologickými nebo standardy zdravého rozumu. Dalším příkladem norem, které naturalista vidí jako na špatné straně, jsou „základní“filozofické normy. Goodman a Quine (v jeho pre-naturalistické fázi) kdysi začali článek prohlášením, že základem pro jejich nominalizmus byla základní filozofická intuice, která je nezměnitelná vědeckým základům (1947). Naturalisté odmítají odvolání k těmto standardům.

Zjevným problémem s naturalismem je, že se nezdá, že by existovaly ostré hranice mezi vědou a nevědou a mezi matematikou a nematematikou. Například přechod od fyziky k filosofii fyziky k fyzice - těžké metafyzice k metafyzice běžné nebo zahradní se zdá být pozvolný. Když matematik píše výzkumný článek, vysokoškolskou učebnici, populární knihu o matematice, knihu vysvětlující jeho osobní filozofii matematiky a jeho psychologické souvislosti s různými matematickými teoriemi, v jakém okamžiku přesně přestal dělat matematiku? Když se výzkumní matematici po semináři spojí a dohodnou se na kávě, že Riemannova hypotéza je nejdůležitějším nevyřešeným problémem v matematice,je to striktně matematický požadavek nebo osobní úsudek, který matematici uznávají za vnější oblast matematiky?

Mnoho filozofů následuje Quina citováním standardní skupiny principů, které jsou údajně konstitutivní z vědeckých standardů: empirická přiměřenost, ontologická ekonomika, jednoduchost, plodnost atd. (Quine 1955, 247; Quine a Ullian 1970, kapitola 5). Seznamy tohoto druhu jsou však neuspokojivé z několika důvodů. Pro jednu věc, principy přicházejí v různých verzích. Přesto je pochybné, zda jsou obecné verze vědecky schválenými verzemi. Někteří autoři například tvrdí, že vědecká přitažlivost k ontologickému parsimonii se nevztahuje na postulování abstraktních objektů (Burgess 1998). Jiní tvrdí, že vědecké odvolání k jednoduchosti nejsou nejlépe zachyceny naprosto obecným heslem ‚preferovat žádnou teorii T ₁ na jakékoliv méně jednoduché teorie T ₂(v tomto ohledu) “(Paseau 2007). Seznamy tohoto druhu navíc neříkají, jak vyvážit desiderata proti sobě navzájem.

Od exploze vědeckých studií v 60. letech 20. století je nyní věnována větší pozornost nuancím vědecké praxe. Přesnější vyjádření vědeckých standardů a jejich hmotností však zůstává nepolapitelné. Existence algoritmu zapouzdřujícího vědeckou metodu je obecně zpochybňována (ačkoli mnoho lidí zjevně dokáže vědeckou metodu implementovat, takže pokud metoda není algoritmická, pak ani naše mysl není). Nelze však pochybovat o tom, že její výstava v současnosti uniká.

Přesto není jasné, jak závažný je hraniční problém pro naturalisty. Možná mohou tvrdit, že existuje poměrně ostrá hranice, i když je těžko definovatelná. Možná matematici implicitně vědí, kdy se něco počítá jako kus matematiky a kdy se jedná o nematematický komentář k matematice. V každém případě se zdá, že naturalismus přežije bez ostré hranice. Naturalismus může zjevně opřít své nároky na soubor standardů s nejasnými hranicemi.

3.3 Metodická jednota?

Co když neexistují žádné globální vědecké standardy, ale pouze standardy této nebo té části vědy (např. Fyzika nebo biologie, fyzika částic nebo mechanika tekutin), nebo dokonce jen normy této nebo té skupiny vědců? V takovém případě by se vědecký naturalismus rozdělil do několika verzí (např. Fyzika-naturalizmus nebo biologie-naturalizmus). Pokud motivace pro vědecký naturalismus ukazuje na jeden z těchto jemnozrnnějších naturalismů nad ostatními (např. Fyzika-naturalismus), nebo pokud všichni vrátí stejné verdikty ve filozofii matematiky, potenciální fragmentace není znepokojující. Ale pokud ne, vědecký přírodovědec má potíže, protože všechny tyto konkurenční naturalismy jsou za předpokladu stejně platné. Vědeckí přírodovědci dosud předpokládali, že věda funguje s jediným souborem standardů. Je pravděpodobné, že tento předpoklad je, ale přísný přírodovědec to bude chtít prozkoumat podrobnými případovými studiemi. Podobně pro matematický naturalismus a matematicko-cum-vědecký naturalismus.

3.4 Stupeň sankcí

Vědecké standardy sankcionují návrhy do jisté míry spíše než přímo. Nejnovější hypotéza na výzkumném povrchu přijatá předběžně několika experty nemá stejné postavení jako dlouho zavedená teorie. Černobílé představy o sankcích vědeckých standardů nebo o sankcionování p tedy nebudou. (Toto je myšlenka, kterou berešská teorie potvrzení bere vážně.) Lze také tvrdit, že to platí také pro matematické standardy, například zvažováním nededuktivních důvodů pro víru v matematické tvrzení. Zdá se rozumné vidět Goldbachův dohad, tvrzení, že každé sudé číslo větší než 4 je součtem dvou prvočísel, jak je do značné míry podporováno nededuktivními důkazy, které jsou pro něj aktuálně k dispozici. Pokud však neexistuje důkaz Goldbachovy dohady,tento stupeň nedosahuje 1. Přesnější prohlášení o vyznání přírodovědce proto musí vydat pokyny pro rozdělení důvěryhodnosti v souladu s mírou a typem závazku k vědeckým nebo matematickým standardům, které doporučují.

3.5 Normy a praktici

Bylo by špatné srovnávat to, co X-standardy sankce s tím, co X-odborníci věří (pro X = věda nebo matematika nebo obecněji). Zaprvé, X-praktikující možná nedali konkrétní otázku žádnou myšlenku. Pro jiného by se X-cvičitelé mohli mýlit. Kromě toho mohou X-praktikující vědomě udržovat opak nebo v každém případě něco odlišného od toho, co X-standardy postihují. Vědec může například věřit p, snad na základě „střevního pocitu“nebo na základě některých převažujících náboženských přesvědčení nebo z jakéhokoli jiného než vědeckého důvodu, přičemž stále uznává, že vědecké standardy nepodporují not. Nebo matematik může věřit, že číslo 7 má mystické vlastnosti, ale nevěřit tomu, že jde o matematika. Těsnější spojení mezi praktiky a standardy by tedy mohlo být toto:co X-standards sankce je to, co X-praktikující jsou připraveni správně věřit qua X-praktikující. (Toto není zamýšleno jako reduktivní analýza.)

Ačkoli to bylo řečeno, je třeba přiznat komunitě X-praktikantů rozsáhlou chybu, pokud jde o to, co X-standardy postihují. To, co X-praktikující ve skutečnosti věří, tedy obvykle slouží jako dobrý, i když nemožný, důkaz toho, co X-standardy sankce.

3.6 Širší naturalismus

Vědecký naturalismus, jak je zde definován, zahrnuje pouze přírodní vědu (a rovněž pro vědecko-cum-matematický naturalismus). Širší naturalismus přijímá nejen tradiční přírodní vědy, ale také některé další vědy: možná všechny sociální vědy, možná jen některé z nich, možná lingvistiku, možná kognitivní vědu. Všimněte si, že v pozdějších spisech Quine sám přijal širokou verzi naturalismu (1995, 49). Penelope Maddy nedávno objasnila, že forma vědeckého naturalismu, kterému se hlásí - „druhá filozofie“, jak ji nyní upřednostňuje, je skutečně velmi široká a zahrnuje nejen přírodní vědy, ale také psychologii, lingvistiku, sociologii atd. (2007, 2).

Rozšíření vědeckého nebo vědecko-kumulativního přírodovědectví o tyto disciplíny má potenciálně významné důsledky pro filozofii matematiky. Například, pokud sémantika spadne pod naturalistický deštník, může poskytnout naturalistickou sankci pro matematický realismus nebo platonismus, protože se zdá, že sémantika nominální hodnoty pro matematiku ji přizpůsobuje nekontroverzně doslovným částem jazyka - bod skvěle vytvořený v Benacerrafu (1973)..

Zda motivovat naturalismus široce nebo úzce závisí na jeho motivaci. Přitažlivost vědeckého nebo matematického nebo vědecko-cum-matematického naturalismu spočívá v nesrovnatelném úspěchu disciplín (o jistém pochopení toho, co tento úspěch přichází - viz oddíl 4). V tomto okamžiku jsou však nepřirozené vědy méně úspěšné než přírodní vědy. Čím méně úspěšný člověk považuje za nepřirozené vědy ve srovnání s přírodními, tím méně atraktivní se širší vědecký nebo vědecko-matematicko-matematický naturalismus stává ve srovnání s přísně přírodovědeckými.

Všichni přírodovědci, zejména ti z větší rozmanitosti, musí vyvažovat potenciálně konkurenční standardy. Široký přírodovědec by se mohl rozhodnout, řekněme, dát přírodním vědám 2/3-vážení a sémantiku 1/3-vážení. Nebo by mohla mít za to, že výrok ve filozofii matematiky je přijatelný, pokud (nebo dokonce: pokud a pouze pokud) všechny vědy, přírodní nebo nepřirozené, postihují - to znamená, když všechny vědy hovoří jedním hlasem. Na tyto vyrovnávací otázky se bohužel přírodovědci příliš nezabývali. Možná je to proto, že otázky tohoto druhu vyvstávají pro všechny: podle toho, které standardy ospravedlnění člověk akceptuje, vyvstává problém, jak mezi nimi rozhodovat. Ale pokud je naturalismus normativní a nemůže se spolehnout na implicitní postup, který již existuje,dluží nám artikulaci, jak vyvážit různé sady standardů.

Vyvažovací problém je obzvláště naléhavý pro matematicko-kumulativní vědecké přírodovědce. Vědecký přírodovědec v zásadě rád říká, že pokud je matematická teorie M vědecky nadřazená, ale matematicky nižší než jiná matematická teorie M ^*, pak M by měla být upřednostněna před M ^* (další odstavec obsahuje příklad). Matematicko-cum-vědeckí přírodovědci však mohou sestoupit z obou stran, v závislosti na podrobnostech konkrétních teorií: vše záleží na tom, zda M vědecké výhody ve srovnání s M ^*jsou vyváženy jeho matematickými nevýhodami. Nyní filozofie matematiky nemá zavedenou tradici vážení vědeckých a matematických výhod matematických teorií a nevýhod proti sobě; ani žádná jiná disciplína. Takže problém, jak vyvažovat matematické a vědecké standardy, je obzvláště naléhavý pro matematicko-kumulativního přírodovědce.

Pro ilustraci tohoto problému předpokládejme, jak tvrdí mnoho filozofů, že obecný princip ontologické ekonomiky - co nejméně entit, je vědecký standard. Předpokládejme také, jak tvrdí Penelope Maddy, že množina teoretických verzí ontologické nezodpovědnosti - představuje co nejvíce množin - je matematický standard (to je jeden ze způsobů, jak vydělat množinu teoretických maxim, které Maddy nazývá MAXIMIZE). Jak Maddy uznává, tyto dva standardy se střetávají (1997, 131). Tudíž s ohledem na tyto předpoklady by mohla být prediktivistická teorie množin, která představuje relativně malé množství sad, řekněme o druhu vyvinutém v Das Kontinuum Hermann Weyl, vědecky nadřazená ZFC, která představuje více sad. Přesto je ZFC obecně považován za matematicky lepší než prediktivistickou teorii množin. Možná je správná diagnóza taková, že střet je pouze povrchní, protože správná vědecká verze ontologické ekonomiky je „posit co nejmenší počet konkrétních entit“a správná matematická verze ontologické nezodpovědnosti „posit co nejvíce abstraktních entit“. V takovém případě však může matematicko-cum-vědecký přírodovědec přijít s obecnou politikou pro řešení potenciálních střetů nebo argumentovat, že takové střety nejsou možné.matematicko-cum-vědecký přírodovědec musí přijít s obecnou politikou pro řešení potenciálních střetů, nebo argumentovat, že takové střety nejsou možné.matematicko-cum-vědecký přírodovědec musí přijít s obecnou politikou pro řešení potenciálních střetů, nebo argumentovat, že takové střety nejsou možné.

4. Motivující naturalismus

Člověk si může jednoduše osvojit naturalismus, aniž by pro to uvedl argument nebo motivaci. Motivace pro naturalismus to však posiluje, posiluje vnitřně a dává mu dialektickou sílu, čímž zvyšuje jeho přitažlivost k nepřirozencům. Odpovídají na základní otázku: proč přesně tyto normy?

(Totéž platí pro naturalismy, které jsou koncipovány především jako přístupy nebo postoje spíše než nauky. Od vydání knihy z roku 1997 Penelope Maddy objasnila, že její verze naturalismu je postoj (Maddy 2001) nebo dílčí přístup / metoda vyšetřování (2007), viz např. s. 19 fn. 15, s. 403). Postoje a přístupy k dotazování jsou však atraktivní, pokud jsou dobře motivovány.)

4.1 Naturalismus je v některých ohledech revoluční

Naturalismus je často považován za konzervativní filosofii matematiky, jak jsme navrhli v části 1. Ale ve skutečnosti jsou věci komplikovanější. Každý ze tří požadovaných naturalismů je v jistém ohledu revoluční.

Náš výchozí pohled je takový, že matematické standardy rozhodují o otázkách v matematice, například o otázkách, zda je pravdivá Fermatova poslední věta nebo Axiom of Choice. Vědecké standardy jsou myšlenka neovlivňovat toto: když Andrew Wiles dokázal Fermatovu poslední teorém v střední-devadesátá léta, on nebyl zvláště znepokojený jak jeho důkaz by klesal ve fyzických odděleních, nebo obecněji jeho dopad na empirické vědě. Podobně tvrzení, že pokud některá velká kardinální axioma není vědecky sankcionována (snad proto, že nevede k žádným novým empirickým důsledkům), neexistuje žádný dobrý důvod přijmout to, jak Maddy zdůrazňuje, „je v rozporu se skutečnou praxí teorii množin “(1997, 132), a skutečně mimo krok se skutečnou praxí mnoha filosofií. Obvykle nesoudíme velké kardinální axiomy podle vědeckých standardů; posuzujeme je podle matematických standardů. Quine vědomě šel proti zrnu, když odmítl vyšší lety teorie množin na vědeckých základech (1986, 400).

Vědecký naturalismus o vlastní matematice je tedy filosoficky revolučním pohledem, protože obhajuje odlišný soubor standardů, se kterými lze soudit matematiku (vědeckou) od tradičních (matematických). To je také potenciálně revoluční o matematice sám, jak to by mohlo vést k revizi matematiky. (Všimněte si, že i když vědecký naturalismus neznamená revizi matematiky, stále se počítá jako filosoficky revoluční: obhajovat nahrazení Y-standardů za X-standardy jako správných rozhodců v nějaké doméně je filozoficky revoluční, i když Y-standardy a Standardy X se v této doméně shodují se stejnými tvrzeními.)nedávní vědeckí přírodovědci inklinovali být matematicky konzervativní v temperamentu a obhajovali malou nebo žádnou revizi matematiky.

Tyto morálky se vztahují také na matematicko-kumulativní vědecký naturalismus, ale v menší míře, protože ten druhý dává matematickým standardům určitou váhu v matematickém zdůvodnění.

Třetí ze tří zájmových naturalismů, matematický naturalismus, je filozoficky, ale nikoli matematicky revolucionář. Matematicky je to tak konzervativní, jak je možné: pro hodnocení matematických tvrzení nejsou relevantní žádné jiné než matematické standardy. Žádná akceptovaná matematika není zvenku zvrácena. Matematický naturalismus je však revolučním postojem ve filozofii matematiky. Chcete-li to vidět, předpokládejme, že platonismus je součástí standardní, akceptované matematické praxe. V tomto případě matematický naturalismus znamená, že již není pochyb o jeho pravdě. Volně řečeno, jednoduše proto, že matematici (qua matematici) jsou platonisté, je platonismus správnou filozofií matematiky. To je zjevně nesrovnatelné s filozofickou praxí: filozofové se dívají na matematikypohledy (qua matematici) jako realizovatelná data pro filozofii matematiky, ne její závěr. Vidíme tedy, že jednoduchá charakterizace matematického naturalismu jako konzervativního není zcela správná: i když matematicky konzervativní, je to filozoficky revoluční.

Stručně řečeno, vědecký, matematický a matematicko-kumulativní vědecký naturalismus jsou v každém ohledu revoluční a čelí odpovídající důkazní břemeno. Nyní můžeme ocenit smysl, v němž obecné tvrzení vyjádřené v oddíle 1, že naturalismus je anti-revizionální, je pravdivé a smysl, ve kterém tomu tak není.

To také ukazuje, že současný naturalismus se liší od povrchově podobné metafilosofie Wittgensteina. Wittgensteinova antilosofie, jako je naturalismus, brání filozofii měnící se matematice: „Filozofie nesmí v žádném případě zasahovat do skutečného používání jazyka … Ponechává všechno tak, jak je. Rovněž ponechává matematiku takovou, jaká je “(1953, § 163). Revoluční tenor naturalismu však znamená, že nezanechává všechno tak, jak je.

4.2 Nedostatek argumentů v literatuře

V literatuře chybí argumenty pro naturalismus. Většina přírodovědců jednoduše předkládá svůj naturalismus a pracuje za ním, doufajíc, že jeho důsledky budou pro vnímavé atraktivní (Maddy 2007, 3). Naturalismus se tak účinně stává osobním krédem s malým přímým pokusem přivést na palubu kohokoli jiného: v nějaké doméně přijímám pouze standardy X, protože je považuji za důvěryhodnější než ostatní. Teď snad na konci dne člověk nemůže dělat lépe. Ale na začátku bychom to neměli předpokládat. To je o to důležitější vzhledem k revolučním rysům naturalismu, jak bylo vysvětleno dříve. Konzervativní teorie ospravedlnění by mohla sankcionovat naturalismus vzhledem k široce naturalistickému výchozímu bodu; ale naším výchozím bodem není, jak jsme viděli, trumfování naturalismu: je to nanejvýš kompatibilita naturalismu. Proto by byl vítán argument pro cokoli jiného než nejjemnější verze naturalismu.

4.3 Aktuální úspěch

Naturalisté jsou motivováni myšlenkou, že vědecké nebo matematické standardy jsou nejúspěšnějšími standardy, které máme. K čemu však úspěch přichází? Velmi známkou úspěchu disciplíny by mohlo být: i) mezi jejími praktikujícími existuje široce sdílená koncepce hlavních otázek disciplíny a přípustné metodologie; a (ii) v rámci disciplíny došlo k pokroku při řešení jejích hlavních otázek. Pak se může pokusit argumentovat v tomto smyslu, že fyzika je úspěšnější než metafyzika, že psychologie je úspěšnější než parapsychologie a že astronomie je úspěšnější než astrologie.

Přístup tohoto druhu čelí dvojnásobnému problému. Pokud jde o metodologii cokoli, mohou všechny druhy disciplín dosáhnout úspěchu, aniž by tím dosáhly důvěryhodnosti. Vezměme guruologii, disciplínu, která bere své hlavní otázky, na otázky, které vynalezl nějaký guru, a stanoví jako svou metodologii, že přijatelné odpovědi jsou pouze guruova prohlášení (možná za předpokladu konzistence - předpokládejme tedy pro dobrou míru, že guru je konzistentní a obecněji pravděpodobnost souvislý). Tyto odpovědi by mohly být tak fantastické, jak se vám líbí: necháváme na představivosti čtenáře vymyslet příklady cizích tvrzení gurua. Pokud předpokládáme, že guru odpovídá na každou z otázek, které vznáší,Guruologie je tedy progresivní - odpovídá na všechny otázky, které klade, a je proto úspěšná. Ale jeho úspěch nemluví o její důvěryhodnosti.

Obecně platí, že pokud je úspěch kteréhokoli souboru norem S měřen podle jeho vlastních podmínek, tj. Pomocí standardů S, několik samonosných, ale intuitivně nepřijatelných souborů norem se považuje za úspěšné. Tento relativismus zjevně není tím, co přírodovědec chce. Stejně tak pro myšlenku, že úspěch je určován tím, jak dobře nám normy pomáhají „vyrovnat se s realitou“; několik nevědeckých a nematematických naturalismů se podle tohoto kritéria samoobsluží. Možná by měl být úspěch namísto toho měřen podle toho, jak dobře standardy vysvětlují a predikují přírodní jevy, tj. Jak se vypořádají s přírodovědnými předměty. Přijetí našeho obvyklého pohledu na to, jak posoudit úspěch v tomto ohledu, by však znamenalo dotazování ve prospěch vědeckého naturalismu,protože vědecké standardy jsou přesně ty standardy, které jsme vyvinuli, abychom zvládli tuto část reality. Porovnejte astrologický naturalismus motivovaný myšlenkou, že úspěch je třeba měřit podle toho, jak dobře standardy vysvětlují a predikují „astrologické jevy“, chápané jako astrologové. Má-li tedy naturalistický argument založený na úspěchu uspět, musí být nalezeno nějaké jiné naturalisticky přijatelné, ale nepochybné pochopení „úspěchu“.musí být nalezeno nějaké jiné naturalisticky přijatelné, ale bezpochyby prosící pochopení „úspěchu“.musí být nalezeno nějaké jiné naturalisticky přijatelné, ale bezpochyby prosící pochopení „úspěchu“.

Druhým problémem argumentu úspěchu je, že úspěch v jedné oblasti není známkou úspěchu v jiné oblasti. Biologie je poměrně úspěšná při vysvětlování a předpovídání biologických jevů. Proč by jí to však mělo dávat autoritu nad otázkami v matematice nebo filozofií matematiky? Podobně pro jiné přírodní vědy. Jak uvidíme, tento bod se zobecňuje.

4.4 Dohoda

Tradiční filozofie, jak říká přírodovědec, vede k nekonečným neshodám. Na druhou stranu věda a matematika obvykle dosahují v jejich doméně otázek týkajících se široké shody - často se shodují. Vědecké nebo matematické standardy by proto měly být upřednostňovány před ostatními. (Tyto argumenty z nesouhlasu a nedostatečného sbližování názorů se promítly do jiných oblastí filozofie, zejména do metaetiky.)

Morálka, kterou si přírodovědec přeje čerpat ze vzorců dohody a nesouhlasu, se však zdá neopodstatněná. Souhlas nebo neshoda v komunitě je podmíněnou záležitostí. Totalitní stát by mohl dosáhnout shody v celé komunitě s účinností chlazení tím, že svým subjektům uloží preferovaný soubor standardů. Obecně existuje nespočet epistemických důvodů pro souhlas nebo nesouhlas. Nezáleží tedy na dohodě, nýbrž na vysvětlení, proč se dohoda dosáhne.

Sofistikovanější verze tohoto argumentu by proto mohla být založena spíše na sledovatelnosti nesouhlasu než na jeho pouhé přítomnosti. Neshoda je rozšířená jak ve filozofii, tak ve vědě, ale pouze ve druhém případě lze říci, že neshoda je sledovatelná. Přinejmenším je možné dosáhnout pokroku a možná dohody lze v zásadě vždy dosáhnout. Skutečné vzorce dohody a nesouhlasu by pak mohly být citovány jako důkaz pro příslušnou sledovatelnost nebo neřešitelnost debat vedených, řekněme, vědeckými a nevědeckými filozofickými standardy.

Posouzení této sofistikovanější verze argumentu, které v té či oné podobě nedávno získalo značnou pozornost mimo filozofii matematiky, je nad rámec tohoto záznamu. Všimněte si však několika prima facie obtíží.

Abychom se zbavili kontingencí naší epistemické situace, argumenty o sledovatelnosti obvykle vycházejí z vysoce idealizovaných předmětů, zejména těch, jejichž faktické, logické atd. Znalosti daleko přesahují naše. Problém s takovými idealizacemi je však v tom, že se zdá, že prosí o otázku. Například, teologický anti-naturalista by tvrdil, že fakticky vysoce informovaní jedinci budou obeznámeni s fakty o nadpřirozené realitě. Naše přilnavost k idealizovaným tématům a to, jak se neshody mezi nimi pravděpodobně vyřeší, může být proto příliš volné na to, abychom z takových myšlenkových experimentů vyvodili jakoukoli podstatnou morálku. Buď to nebo takové argumenty pravděpodobně budou žebrat.

Za druhé, můžeme připustit, že úvahy o sledovatelnosti odhalí, že vědecké a matematické standardy jsou ve svých příslušných sférách pravdivější. Nezdá se však, že by to bylo důvodem k domněnce, že budou úspěšní v jiných oblastech. (Toto je stejný bod, který jsme uvedli v souvislosti s argumentem úspěchu.)

4.5 Historický úspěch

Snad nejslibnější argument pro naturalismus je založen na historickém úspěchu. Vědecké a matematické standardy mají lepší výsledky než ostatní; proto by vědecké a matematické standardy měly být brány jako autoritativní, ve filozofii matematiky i jinde. Všimněte si, že stejně jako předchozí dva argumenty, i tento argument pro naturalismus ve filozofii matematiky je argumentem pro globální naturalismus.

Někteří přírodovědci se na tuto motivaci explicitně spoléhali. Například Lewis jej používá k odmítnutí strukturalismu jako správné filosofie teorie množin v části tříd (1991, 58–9), i když to odmítá jako argument; viz také Colyvan (2001, 33), Shapiro (1997, 30) a Burgess (1998, 197). O argumentu se dá hodně říci v Paseau (2005). Zde se spokojíme se dvěma kritickými postřehy.

Protože filozofové používají zjevně odlišné standardy, není jasné, co to znamená říkat, že filozofie jako celek má špatnou historickou historii. Uvažujme o počátečním Popperovi (1935), který tvrdil, že žádné množství důkazů nemůže učinit nespravedlivou teorii pravděpodobnou (nebo alespoň ne pravděpodobnější než jakoukoli jinou nespravedlivou teorii). Toto je příklad příkladu, který David Lewis má v úmyslu se pobavit filozofií: určitě - jistě - standardy, které k tomuto závěru vedly, nejsou důvěryhodné. Teorie relativity je nepochybně pravděpodobnější než dosud nepřesvědčená hypotéza, že svět skončí v roce 2525. Přesto pokud nebudu sdílet Popperovy standardy z roku 1935, skutečnost, že jeho tehdejší filozofie vědy je z mého pohledu zjevně nesprávná nedělá nic, abych otřásl mou vírou ve vlastní filozofické standardy. Stejně tak vezměte Thomase Aquinase,jehož filozofické standardy zahrnovaly soulad s Biblí a obecněji s principy křesťanské víry. Pokud nejsem křesťan, skutečnost, že Aquinasova filozofická teologie je z mého pohledu špatná, nic neotřásá mou vírou v mé filozofické standardy. To, že standardy Sira Karla nebo sv. Tomáše, tedy, jak to vidím, není dobré, nemá sklon podkopávat mou víru v mé vlastní.

Mohu tedy souhlasit s přírodovědcem, že filozofie má horší výsledky než věda a matematika. Z toho však nevyplývá, že (nevědecké nebo nematematické) normy, které používám, mají špatné výsledky. Pokud filozofové v průběhu dějin důsledně předpokládali víceméně jednotný soubor standardů, a pokud se i já v této tradici řídím tím, že je přijímám jako svůj, a pokud tyto standardy prokazatelně mají horší výsledky než vědecké nebo matematické standardy, to by byl důvod, proč jsem se stal naturalistou. Ale první předpoklad je přinejmenším sporný a není jasné, co zůstává z argumentu z historie, pokud předchůdci mých standardů nemají špatné výsledky.

Druhý problém s argumentem souvisí s jeho aplikací na filozofické otázky. Souhlasíme, že vědecké standardy mají dobré výsledky, pokud jde o zodpovězení vědeckých otázek, že matematické standardy mají dobré výsledky, pokud jde o odpovědi na matematické otázky, a navíc tyto záznamy jsou lepší než záznamy filosofických standardů v odpovídání na filozofické otázky. Tyto skutečnosti se však nezdají být relevantní pro otázku, které normy by měly být považovány za autoritativní, pokud jde o filozofické otázky. Dobré výsledky v jedné oblasti nejsou samy o sobě důkazem pro pravdivost v jiné.

Tuto dosud známou námitku lze ilustrovat zvážením debaty mezi platonisty a strukturalisty ve filozofii matematiky. Platonisté interpretují '1 + 2 = 3' jako požadavek na abstraktní objekty. Strukturisté naproti tomu interpretují „1 + 2 = 3“jako tvrzení o tom, co je případem jakékoli struktury, která vyhovuje axiomům aritmetiky. (Zde uvažujeme o strukturalismu jako o typu pohledu, který je často označován jako „vylučující strukturalismus“po Charlesi Parsonovi a jehož nejnáročnější verzi knihy a délky modu lze nalézt v Hellmanu (1989).) Naturalisté tvrdí, že matematické standardy mají byl v minulosti úspěšnější, a proto by v této záležitosti mělo být důvěryhodné. V žádném případě však není jasné, že se jedná o typ otázek, které matematické standardy mají lepší výsledky než filozofické. Matematické standardy mají dobré výsledky, pokud jde o otázky, jako je otázka, zda se 1 + 2 rovná 3 nebo k čemu se řada 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… přibližuje, nebo zda Poincaréova domněnka (týkající se klasifikace 3-rozdělovačů) je pravda; ale nemají ověřené výsledky, pokud jde o otázky, jako jsou tyto pravdy platonistické nebo strukturalistické. (Související námitka proti argumentu je taková, že vědecké standardy nemluví k otázkám interpretace, jako je otázka, která z platonismu nebo strukturalismu by měla být upřednostňována. Cf. Paseau (2007).)Matematické standardy mají dobré výsledky, pokud jde o otázky, jako je otázka, zda se 1 + 2 rovná 3 nebo k čemu se řada 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… přibližuje, nebo zda Poincaréova domněnka (týkající se klasifikace 3-rozdělovačů) je pravda; ale nemají ověřené výsledky, pokud jde o otázky, jako jsou tyto pravdy platonistické nebo strukturalistické. (Související námitka proti argumentu je taková, že vědecké standardy nemluví k otázkám interpretace, jako je otázka, která z platonismu nebo strukturalismu by měla být upřednostňována. Cf. Paseau (2007).)Matematické standardy mají dobré výsledky, pokud jde o otázky, jako je otázka, zda se 1 + 2 rovná 3 nebo k čemu se řada 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… přibližuje, nebo zda Poincaréova domněnka (týkající se klasifikace 3-rozdělovačů) je pravda; ale nemají ověřené výsledky, pokud jde o otázky, jako jsou tyto pravdy platonistické nebo strukturalistické. (Související námitka proti argumentu je taková, že vědecké standardy nemluví k otázkám interpretace, jako je otázka, která z platonismu nebo strukturalismu by měla být upřednostňována. Cf. Paseau (2007).)ale nemají ověřené výsledky, pokud jde o otázky, jako jsou tyto pravdy platonistické nebo strukturalistické. (Související námitka proti argumentu je taková, že vědecké standardy nemluví k otázkám interpretace, jako je otázka, která z platonismu nebo strukturalismu by měla být upřednostňována. Cf. Paseau (2007).)ale nemají ověřené výsledky, pokud jde o otázky, jako jsou tyto pravdy platonistické nebo strukturalistické. (Související námitka proti argumentu je taková, že vědecké standardy nemluví k otázkám interpretace, jako je otázka, která z platonismu nebo strukturalismu by měla být upřednostňována. Cf. Paseau (2007).)

Stručně řečeno, potřeba přírodovědců vyvinout tyto argumenty nebo produkovat lepší argumenty zůstává naléhavá.

5. Heterogenní naturalismus

Dosud jsme uvažovali o třech jednotných typech metodologického naturalismu vztahujícího se k matematice: vědecké, matematické a matematicko-kumulativní. Uvažujme nyní heterogenní metodologický naturalismus, který přijímá matematické standardy, pokud jde o vlastní matematiku, ale přijímá vědecké standardy pro filozofii matematiky a pro filozofii obecně. Heterogenní naturalismus pokročilo v Penelope Maddy (1997), jejíž bohaté příspěvky oživily a nesrovnatelně ovlivnily debatu o naturalismu ve filozofii matematiky za posledních dvacet let. (Maddy nyní dává přednost jejímu naturalismu „Second Philosophy“, jak je uvedeno v názvu její knihy z roku 2007, ale zde si zachováváme označení „naturalismus“v souladu se zbytkem příspěvku.)

Začněme reprezentativní citát od Maddy:

Tam, kde Quine tvrdí, že věda „neodpovídá žádnému nadvědeckému tribunálu a nepotřebuje žádné ospravedlnění nad rámec pozorování a hypoteticko-deduktivní metody“…, matematický přírodovědec dodává, že matematika není odpovědná žádnému mimomatematickému tribunálu a nepotřebují žádné ospravedlnění nad důkaz a axiomatickou metodu (1997, 184).

V naší terminologii je Maddyho heterogenní naturalismus tromfickou tezí. Jak tvrdí, „pokud náš filozofický účet matematiky narazí do úspěšné matematické praxe, musí to dát filozofie“(1997, 161). Ani filosofie, ani věda nemohou převrátit matematické „metodologické verdikty“(2007, 361), protože oba jsou mimomatematickými tribunály. Nicméně, Maddy bere filozofii matematiky na rozdíl od vlastní matematiky jako odvětví přírodních věd, jak vysvětluje v následující pasáži:

Takže naturalistická filosofie matematiky se odehrává v přírodních vědách, jako je naturalistická filosofie vědy, ale na rozdíl od naturalistické filosofie vědy zaujímá hands-off postoj k naturalizovanému modelu matematické praxe (1997, 202).

Tyto a podobné pasáže (zejména 1997, 200–203) ukazují, že Maddy považuje filozofii matematiky za zodpovědnou (přirozeným) vědeckým standardům.

Rozlišovací schopnost heterogenního naturalismu spočívá v tom, že doporučuje jeden soubor standardů (matematických) pro řešení některých otázek o matematicko-matematických otázkách, jako například které axiomy si vybrat - a další soubor standardů (vědeckých) pro řešení dalších otázek o matematice, které zůstaly otevřené samotnou praxí - filosofickými, jako je interpretace matematiky. Toto je v rozporu s uniformními naturalismy ve filozofii matematiky, například quineanským vědeckým naturalismem nebo burgessovským matematicko-cum-vědeckým naturalismem, nebo s uniformně matematickým naturalismem (také navrhovaným Maddym (1997), ale podle našeho názoru tam nakonec není zastáncem).

Chcete-li vysvětlit, jak by tento bivalentní přístup mohl fungovat v praxi, vezměte si Maddyho oblíbený příklad: teorii množin. Předpokládejme, že ZFC + LCA je naše současná akceptovaná teorie množin, kde LCA je sbírka velkých kardinálních axiomů. Vzhledem k matematickému naturalismu o vlastní matematice není pochyb o odmítnutí ZFC + LCA ve prospěch, řekněme, ZFC + axiomu, že neexistují nepřístupné, nebo nějaká jiná teorie množin, říkají Quineovy nové základy. Matematické standardy postihují ZFC + LCA, takže je to teorie množin, kterou musíme přijmout. Jak bychom však měli interpretovat ZFC + LCA? Platonisticky, strukturálně nebo jiným způsobem? To je filosofická otázka, takže vzhledem k vědeckému naturalismu o filozofii matematiky (a obecněji filozofii) je jeho správnou odpovědí ta, která je schválena vědeckými standardy. Například,pokud převažující vědecké kritérium jednoduchosti upřednostňuje platonismus před všemi ostatními interpretacemi, musí to být správná interpretace ZFC + LCA.

Maddy motivuje její naturalismus odvoláním se na „základního ducha, který je základem veškerého naturalismu: přesvědčení, že úspěšný podnik, ať už je to věda nebo matematika, by měl být chápán nebo hodnocen podle vlastních podmínek, že takový podnik by neměl být předmětem kritiky ze strany a nepotřebuje podporu z nějakého vnějšího, údajně vyššího úhlu pohledu “(1997, 184). Jedním napjatým čtením této věty je, že základní přesvědčení naturalismu se z definice vztahuje pouze na přírodní vědy a matematiku. Přirozenějším čtením je, že se vztahuje na jakoukoli úspěšnou vědu. Maddy pak tvrdí, že ve skutečnosti nematematické důvody nezasahovaly do matematiky. Můžeme to vyjádřit jako tezi, že matematika je autonomní.

Posouzení Maddyho heterogenního naturalismu spočívá především v hodnocení autonomní teze o matematice a jejích důsledcích. Jednou otázkou je, zda je práce pravdivá. Dalším je, zda, pokud je to pravda, práce podporuje heterogenní naturalismus.

5.1 Je matematika metodologicky autonomní?

Maddy tvrdí, že správný model matematického ospravedlnění potvrdí hypotézu, že tradičně vědecké nebo filozofické argumenty nevstoupí do ospravedlnění matematických prohlášení. Například francouzští analytici Baire, Borel a Lebesgue kritizovali Axiom of Choice na základě definovatelné metodologie, podle níž existence objektu závisí na jeho definovatelnosti: funkce by měly být definovatelnými pravidly, členství v sadě by mělo být uvedeno v definovatelným způsobem atd. Ale definabilismus nakonec neměl žádný vliv na praxi matematiky a jeho sympatizanti byli umlčeni nebo se vzdali, když se vyjasnily jeho matematicky nežádoucí rysy. Například Axiom of Choice umožňuje vzít maximální ideály v prstencích a jiných strukturách;to zahrnuje druhy principů maximality, které již analytici používali; zjednodušuje aritmetiku transfinitu; a navzdory jeho podezřelé abstraktnosti se ukázalo být rovnocenné „konkrétním“a „matematickým“tvrzením, jako je tvrzení, že každý vektorový prostor má základ. Důvody pro přijetí Axiom of Choice byly nakonec čistě matematické.

Maddy také nabízí obdivuhodně podrobný popis druhů matematických důvodů, které hovoří proti „Axiomu“konstruktivity, V = L, zejména skutečnost, že jeho přijetí jde proti set-teoretickému maximu MAXIMIZE, které se těší, že vesmír sad by měl být co nejrozsáhlejší (tím, že by obsahoval co nejvíce typů isomorfismu).

Většina komentátorů nechala popisnou složku Maddyho naturalismu, autonomní tezi, projít a namísto toho zaměřit kritiku na její normativní důsledky. Autonomní teze je přesto velmi radikální. Obvyklý obraz interakce mezi matematikou a filozofií je obousměrná ulice. Zejména se obvykle předpokládá, že filozofie do určité míry zasahuje do matematické praxe. Intuitionisté například považují závislost za hlubokou: domnívají se, že veškerá matematická praxe spočívá na falešném filosofickém základu a že jakmile je tato nadace odstraněna, matematika počítá.

Maddy ochotně připouští, že filozofické doktríny, jako je definabilismus nebo realismus, jsou důležitými inspiracemi pro matematický vývoj, i když jim chybí ospravedlnění (1997, 192). A uznává, že „teorie matematické pravdy nebo existence nebo znalostí se ve skutečnosti objevují ve většině matematických debat o správných metodách spolu s typičtějšími matematickými úvahami“(2007, 348). Tvrdí však, že takové teorie nakonec nehrály „instrumentální roli“(2007, 359) a že vyvinuly „vývoj irelevance“(2007, 366) ve vývoji matematiky.

Takže filosofické (nebo obecně nematematické) úvahy vždy padají spíše na stranu inspirace než na ospravedlnění? Filosofické úvahy jsou v matematických časopisech nebo knihách téměř nikdy pokročilé. A kdykoli jsou Maddy, vidí je, když při poškrábání povrchu činí „intra-matematické“argumenty (1997, 193), z nichž by byl naturalizovaný model praxe „očištěn“kvůli jejich metodologické irelevanci (1997), 197). Pokud má pravdu, tato odpověď zobecňuje tento konkrétní, poněkud omezený typ kontextu na všechny matematické kontexty.

Jedním z důsledků tohoto pohledu je, že druhy maxim, které Maddy vidí jako čistě interní pro matematiku, jako je MAXIMALIZACE nebo JEDNOTKA, nikdy nejsou samy o sobě podloženy filosofickými přesvědčeními. UNIFY je metodologickým důsledkem základní ambice teorie množin poskytnout „jednotný systém, ve kterém lze modelovat nebo instancovat všechny objekty a struktury matematiky“(1997, 208–9). Možná však UNIFY a základní teorii množin teorie - skutečnost, že jak Maddy správně pozoruje, „teorie množin je (alespoň zčásti) navržena tak, aby poskytla základ pro klasickou matematiku“(2007, 355) - jsou samy o sobě malým způsobem, snad nějaký mírný stupeň, podporovaný teoretickým realismem, tj. názorem, že teorie množin je o jediném vesmíru množin. Stejně tak pro Axiom of Choice,který na povrchu vděčí za své místo v množině teoretických kánonů částečně - snad jen do malé míry - zakořeněnému realismu o teorii množin. Několik teoretiků souboru je v záznamu, jak tvrdí, že za tímto účelem, takže důkazní břemeno je na Maddy vysvětlit tyto poznámky.

Maddy také používá následující problematický styl argumentů. Myslí si, že skutečnost, že filosofické debaty (např. O realismu) jsou široce otevřené, ale že se matematika vyvinula zvláštním způsobem (např. Aby umožnila implikativní metody), ukazuje, že filozofické debaty neovlivnily výsledek moderní matematiky (např. 2007), 348). Ale skutečnost, že debata o realismu je ve filozofii široce otevřená, neznamená, že je široce otevřená v matematice. Možná matematici implicitně zaujali realistický postoj, který částečně podtrhuje jejich přijetí impredicativity, i když filozofové nadále debatují o správnosti realismu jako o filozofii matematiky. Matematika může být filosoficky podmíněná, a proto vyvinula způsob, jakým má.

Tyto body proti té autonomii jsou stěží přesvědčivé. K jeho vyhodnocení je zapotřebí větší jasnosti, kde leží hranice mezi ospravedlněním a inspirací a co přesně to znamená říkat, že něco padá na jednu nebo druhou stranu. A samozřejmě musíme přesněji určit, které z faktorů ve vývoji matematiky jsou oprávněně operativní a které nečinné. I když však autonomní teze není pravdivá, možná je to téměř pravda. A možná nic tak silného, jako je autonomní teze, není zapotřebí k podpoře trumfování, na rozdíl od dvoustranného naturalismu.

5.2 Je-li matematika metodologicky autonomní, tak to prokazuje Maddyho naturalismus?

To, že praxe vydávání prohlášení je ve skutečnosti autonomní, neznamená, že její prohlášení jsou tedy přijatelná. Cvičení mohou být hermeticky uzavřena od vnějšího vlivu (např. Astrologie, dogmatická teologie), ale to samo o sobě nepřijímá jejich tvrzení přijatelná. Co odlišuje matematiku?

Maddy uznává tento problém pro svou pozici (1997, 203–5; 2005, 449; 2007, 346–7), na které se zabývaly přezkumy a diskuse o její práci (např. Dieterle 1999, Rosen 1999, Roland 2007; pouze Tappenden (2001) je více sympatický). Řeší to rozlišováním mezi čistými a aplikovanými disciplínami. Když vezme astrologii jako fólii, poznamenává, že použitá astrologie může být vykládána jako tvrzení o empirickém světě. Při použití svých běžných vědeckých standardů vědecký přírodovědec oceňuje, že aplikovaná astrologie je nepravdivá (protože se liší od přijímaného vědeckého příběhu). Aplikovaná astrologie si nezaslouží respekt přírodovědce. Naproti tomu čistá astrologie je astrologie interpretovaná jako léčba „určitých nadpřirozených vibrací, které neinteragují kauzálně s běžnými fyzickými jevy“(1997, 204). Nicméně,není důvod věřit v čistou astrologii, protože se neobjevuje v naší nejlepší vědecké teorii světa. Při každé interpretaci je tedy astrologie pro matematiku disanalogní.

Zdá se, že Maddy chce mít svůj dort a sníst ho. Důvodem věrohodnosti matematiky je její aplikace ve vědě. Proč by však měla být skutečnost, že matematika je součástí naší nejlepší vědy, důvodem k tomu, abychom věřili výrokům matematiků - to je důvod, proč je považovat za pravdivé? Podezření je, že pokud je nejlepší věda známkou důvěryhodnosti, měly by to být vědecké standardy, které nakonec určují přijatelnost matematických teorií. Maddy skutečně uvádí funkci, která odlišuje matematiku od čisté astrologie, jak zdůrazňuje (2007, 390); ale to, co stále není jasné, je to, proč by tato funkce měla učinit matematiku spíše než vědu autoritativní s ohledem na otázky v matematice správné. Zdá se tedy, že nevysvětlila, jak lze důsledně být matematickým přírodovědcem o matematických teoriích, ale vědeckým přírodovědcem o všem ostatním, včetně pravdy a povahy matematiky. Obecněji, vzhledem k tomu, že se v praxi vyskytují výroky hodnotitelné pravdou, zdá se, že člověk nemůže obhajovat X-standardy jako rozhodčí přijatelnosti těchto výroků a současně obhajovat odlišný soubor standardů, Y-standardy, jako rozhodčí, zda nebo ne výroky by neměly být považovány za pravdivé, jak by měly být interpretovány atd. Všimněte si, že se jedná o problém, kterému čelí výhradně heterogenní a nikoli jednotný naturalismus.vzhledem k tomu, že praxe vydává výroky hodnotitelné pravdou, zdá se, že člověk nemůže obhajovat standardy X jako rozhodci přijatelnosti těchto výroků a současně obhajovat odlišný soubor standardů, standardy Y, jako rozhodčí, zda prohlášení jsou či nejsou by mělo být považováno za pravdivé, jak by měly být interpretovány atd. Všimněte si, že se jedná o problém, kterému čelí výhradně heterogenní a nikoli jednotný naturalismus.vzhledem k tomu, že praxe vydává výroky hodnotitelné pravdou, zdá se, že člověk nemůže obhajovat standardy X jako rozhodci přijatelnosti těchto výroků a současně obhajovat odlišný soubor standardů, standardy Y, jako rozhodčí, zda prohlášení jsou či nejsou by mělo být považováno za pravdivé, jak by měly být interpretovány atd. Všimněte si, že se jedná o problém, kterému čelí výhradně heterogenní a nikoli jednotný naturalismus.

Jediným způsobem, jak se tomuto zdánlivému rozporu vyhnout, je předpokládat, že „přijmout“prohlášení sankcionované matematickou praxí - prohlášení, k němuž autonomní praxe matematiky dává palec nahoru - neznamená to považovat za pravdivé. Ačkoli to navrhlo několik pasáží v Maddy (1997), tato interpretace není interpretací, která by mohla být vážně uvedena v její knize. Kromě toho se rovná vědeckému naturalismu ve všem kromě jména. Znamená to tvrzení, že ať už matematici tráví svůj čas říkáním, děláním a vydáváním, nemělo by se zasahovat, ale že bychom měli mít na paměti pouze uvěřit těm matematickým nárokům schváleným na vědeckých základech, ať už jsou jim poskytnuty palce v jazykové hře matematiků.

Tento obrázek byl nedávno komplikován Maddyho tvrzeními, že to, co nazývá Arealism - nebere teorii množin a obecněji matematiku - může být stejně vědecky úctyhodné jako tenký realismus - pohled, že množiny mají pouze vlastnosti, které jim jsou připisovány podle teorie množin (2007, IV.4). Tato položka nemá prostor pro spravedlnost tohoto zvratu v Maddyho metafilosofii. Stačí poznamenat následující. Zdá se, že právě diskutovaná témata vyvstávají pro tenkého realisty stejně jako jakýkoli jiný druh realisty. Zdá se, že konstruktér Arealistu přeměňuje Maddyho pozici v něco úplně jiného než uvažovaný heterogenní naturalismus.

6. Ontologický naturalismus

Když se odvrátíme od metodologického naturalismu, zvažte nyní ontologický naturalismus, názor, že všechny entity jsou přirozené. Jedním ze způsobů, jak to přečíst, je, že existují pouze entity určené přírodními vědami. Druhé a možná přirozenější čtení je, že existují pouze prostorově bytosti. V této závěrečné části se stručně zabýváme oběma čteními a krátce se věnujeme epistemologickému naturalismu v 6.3.

6.1 Přírodní věda jako arbitr ontologie

Při prvním čtení je ontologický naturalismus ve filozofii matematiky přímým důsledkem metodologického vědeckého naturalismu. Uvádí, že ontologie matematiky je matematická ontologie naší nejlepší přírodní vědy. Vědecké platonisté tvrdí, po Quine a Putnamovi, že tato ontologie je platonistická, stejně jako matematicko-kumulativní vědečtí platonisté (např. Burgess a Rosen (1997)). Odolnost vůči vědeckému platonismu a související argument nezbytnosti byly nasazeny na několika frontách (např. Field 1980, Sober 1993, Maddy 1997, ch. II.6, Paseau 2007). Podrobnou diskuzi konzultujte s Colyvanem (2011).

6.2 Všechny entity jsou spatiotemporální

Druhé čtení ontologického naturalizmu, podle kterého jsou všechny entity prostorově časné, odpovídá verzi antiplatonismu ve filozofii matematiky.

Pozice se dělí. Z redukcionistického pohledu je matematika brána v logicko-gramatické nominální hodnotě, ale její objekty (čísla, funkce, množiny atd.) Jsou považovány za časoprostorové. Tento názor je podporován pro soubory v Armstrongovi (1991) a obecněji v Bigelowu (1988). Neredukcionistické názory jsou rozmanité. Patří mezi ně matematika jako bezvýznamná manipulace se symboly (formalismus) nebo jako zkoumání toho, co je pravda ve všech strukturách, které se řídí axiomy (strukturalismus), nebo jako zkoumání toho, co je pravda, ve všech možných strukturách, které se řídí axiomy (modální-strukturalismus)). Bueno (nadcházející) diskutuje o různých nominalizmech, tj. O pohledech, které se vyznačují pouze prostorovými entitami. Protože mnoho z těchto nominalizmů je kompatibilních s nepřirozenými i ontologicky přírodovědnými motivacemi, nebudeme o nich diskutovat zde. Soustředíme se na několik otázek týkajících se zejména redukcionistických verzí ontologického realismu.

Redukční ontologický naturalismus a nemodální strukturalismus o teorii množin čelí bezprostřednímu problému: v prostoru časoprostoru je zjevně mnohem méně entit, než jsou množiny. Dokonce i na těch nejliberálnějších předpokladech (časoprostorové body a jejich libovolné regiony existují, může být v jakémkoli z těchto bodů nebo regionů uspořádáno několik menších nekonečností entit), velikost časoprostoru a objekty v něm jsou relativně nízkou nekonečnou kardinálností (jistě ne více než

_ω- to je velkorysé). Není tedy dostatek časoprostorových entit k interpretaci teorie množin doslova ani k tomu, aby strukturální interpretace teorie množin byla bezpodmínečně pravdivá, a tudíž zajistit, aby množiny teoretických klamů vyšly spíše nepravdivě než pravdivě. Viz Paseau (2008), kde se diskutuje o tomto a dalších problémech pro set-teoretický redukcionismus.

Dalším problémem je, že i kdyby byl prostoročas dostatečně velký na to, aby poskytoval buď model pro doslovnou interpretaci teorie množin, nebo instanci pro její strukturální interpretaci, jedná se o podmíněný fakt o našem vesmíru. Teorie množin by byla pravdivá, ale podmíněná. Protože obvykle považujeme matematiku za nezbytnou, je to pro filosofii matematiky nepříznivý důsledek. Někteří by to dokonce mohli nazvat reduktiem.

Verze těchto problémů také ovlivní Millův empiricismus (1843). Pro Mill jsou matematika a logika přírodními vědami a jejich principy jsou zákony přírody. Aritmetika je například teorie agregátů, tj. Teorie sbírek konkrétních entit. Geometrie je teorie idealizovaných limitů konkrétních entit - linií, bodů, letadel atd., Jejichž principy jsou „skutečná fakta s některými jejich okolnostmi zveličenými nebo opomenutými“(Mill 1843, sv. 1, bk. II, ch.v). Millianská filozofie matematiky je náchylná k právě danému problému kardinality. (Samozřejmě se jedná o anachronistickou kritiku, protože teorii teorií množin teprve muselo být vyvinuto v Millově době.) Co se týče kontingence matematiky, Mill kousl kulku a přijal ji.

Souvisejícím problémem pro Millianův pohled, který vyvstává dokonce i pro matematiku Millova dne, je dilema týkající se existence agregátů agregátů, agregátů agregátů agregátů…. Agregáty vyššího řádu, pokud existují, mohou být pouze abstraktní - co jiného? Pokud ale neexistují - pokud existují pouze agregáty prvního řádu - pak zejména neexistují žádná čísla, například je zbytečné nebo nepravdivé říkat, že existují dva prvočísla mezi 20 a 30.

Kitcher (1983) je pokus oživit Millovu filozofii matematiky modalizací. Představuje matematickou pravdu, pokud jde o operace možného, ale ne skutečného ideálního agenta, a spadá tedy pod hlavičku modalistických filozofií matematiky. (Přestože Kitcher sám o sobě nemá rád štítek (1983, 121–2).)

Mezi další zjevné problémy redukcionistického ontologického naturalismu patří problém svévole a skutečnost, že jde hluboce proti matematické metodě. Předpokládejme, že aritmetika je studium některých konkrétních časoprostorových entit. Velmi dobře; ale které? Určitě je libovolné, která kosmická entita je vybrána jako číslo nula. Tato kritika je verzí obecného anti-redukcionistického argumentu představeného v Benacerrafu (1965). Reakcí na to je obvykle to, že redukcionismus nesnaží odhalit význam číselných termínů, ale navrhuje teoretickou identifikaci (Paseau 2009). Obvinění z protichůdných matematických metod je také vážné. Pokud jsou matematické objekty časoprostorové,Proč matematici neprovádějí experimenty, aby objevili své vlastnosti? Pokud by se matematika skutečně zajímala o časoprostorový, jistě by byla jeho metodologie empiričtější.

Ontologické naturalistické pohledy na diskutovaný typ jsou z těchto a souvisejících důvodů považovány za problematické a jsou proto nepopulární.

6.3 Naturalistická antiplatonismus a epistemologický naturalismus

Ať už je jejich motivace jakákoli, ontologičtí přírodovědci se podle definice (v tomto druhém čtení nauky) shodli, že platonismus je nepravdivý. Někdy je ontologický naturalismus motivován metafyzickými naukami, například principem, že všechno, co existuje, má kauzální pravomoci. Mezi předplatitele tohoto principu patří Armstrong (1997), který jej nazývá Eleatic Principle; kritika viz Colyvan (2001, kap. 3) a Papineau (2009).

Nejpopulárnějším argumentem pro ontologický naturalismus je epistemologický, a proto je ontologický naturalismus často spojen s epistemologickým naturalismem. Pokud existují abstraktní entity, pak se zdá, že o nich nemůžeme vědět ani vytvořit spolehlivé přesvědčení (Benacerraf 1973, Field 1989), kvůli jejich příčinné izolaci od nás. Většina filosofů to považuje za hlavní problém platonismu. Všimněte si, že argument obvykle vede spíše k agnosticismu než k popírání existence abstraktních matematických objektů. Toto není místo, kde by se mohl zabývat argumentem - další podrobnosti viz Balaguer (2009) - načrtněte, jak na něj odpovídá platonista, který je také vědeckým nebo matematicko-cum-vědeckým přírodovědcem, např. Quine.

Reakce naturalisty a platonisty je dvojitá (Burgess a Rosen 1997, 2005; kritika viz Linnebo 2006, Chihara 2006). Prvním bodem je, že nebylo nikdy vymysleno žádné jednoduché kritérium pro vědění (nebo spolehlivé víry nebo oprávněné víry), které by uspělo v vyloučení znalostí abstraktů, aniž by tím vyloučilo typy znalostí, které by většina naturalistů akceptovala (Steiner 1975). Několik příkladů: (i) podmínka, že p je příčinou přesvědčení, že p je příliš silný, protože vylučuje poznání budoucnosti; (ii) jak to vidí naturalista-platonista, tato abstraktní matematická realita je a tak je ve skutečnosti součástí nejlepšího vysvětlení pro přesvědčení, že p; proto se vysvětlující podmínka tohoto druhu jeví jako slučitelná s platonismem. Navíc,naturalističtí platonisté si stěžují, že i kdyby bylo nalezeno kritérium, které by nakreslolo čáru, kde si to chce nominant nakreslit, vyvolalo by to otázku proti platonismu.

Za druhé, naturalisté-platonisté provozují standardní quinovskou linii tím, že konstruují jakoukoli výzvu ke spolehlivosti našich přesvědčení o platonických matematických objektech jako obecnou výzvu pro spolehlivost vědecké metody. (To je z pohledu vědeckého přírodovědce; vědecko-cum-matematický přírodovědec může běžet stejnou linii s odpovídajícími úpravami.) Avšak podle našich nejlepších světel - podle naší nejlepší teorie světa, tj. Přírodní vědy, který předpokládá abstraktní matematické objekty - víra v abstraktní matematické entity, je dosažena spolehlivou metodou, jmenovitě vědeckou metodou. Nejedná se pouze o sebevědomí, protože vědecká metoda se zde používá k vysvětlení spolehlivosti matematických přesvědčení, byť holisticky. Ale samozřejmě, je-li zpochybněna spolehlivost samotné vědecké metody, nemá přírodovědec jinou možnost, než použít vlastní vědeckou metodu k vysvětlení své spolehlivosti. Přírodovědec-platonista může dodat, že nemůžeme dělat nic lepšího a že kdokoli, kdo zpochybňuje spolehlivost vědecké metody, tak opustil přírodovědný tábor. Z tohoto pohledu tedy není platonistický problém pro platonismus, jakmile bude usazeno, že platonistická matematika je součástí nejlepší vědy.jakmile bude usazeno, že platonistická matematika je součástí nejlepší vědy, neexistuje žádný epistemologický problém pro platonismus.jakmile bude usazeno, že platonistická matematika je součástí nejlepší vědy, neexistuje žádný epistemologický problém pro platonismus.

Bibliografie

• Armstrong, DM, 1991, „Classes Are States of Affairs“, Mind, 100 (2): 189–200.
• –––, 1997, Svět států záležitostí, Cambridge: Cambridge University Press.
• Baker, A., 2001, „Matematika, nepostradatelnost a vědecký pokrok“, Erkenntnis, 55: 85–116.
• Balaguer, M., 2009, „Platonismus v metafyzice“, ve Stanfordské encyklopedii filozofie (vydání léta 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
• Bigelow, J., 1988, The Reality of Numbers, Oxford: Clarendon Press.
• Benacerraf, P., 1965, „Jaká čísla by nemohla být“, Philosophical Review 74, repr. v P. Benacerraf a H. Putnam (eds), Philosophy of Mathematics: Selected Readings 1983, Cambridge University Press.
• –––, 1973, „Mathematical Truth“, Journal of Philosophy 70, repr. v Benacerraf & Putnam (1983), Filozofie matematiky: Vybrané čtení, Cambridge: Cambridge University Press, s. 403–420.
• Bigelow, J., 1988, The Reality of Numbers, Oxford: Clarendon Press.
• Bueno, O, připravovaný, „Nominál ve filosofii matematiky“, Stanfordská encyklopedie filosofie.
• Burgess, J., 1983, „Proč nejsem nominalista“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 93–105.
• –––, 1990, „Epistemologie a nominalizmus“, v AD Irvine (ed.), Physism in Mathematics. Dordrecht: Kluwer, s. 1-15.
• –––, 1998, „Occamova břitva a vědecká metoda“, v M. Schirn (ed.), Philosophy of Mathematics Today, New York: Oxford University Press, s. 195–214.
• Burgess, J. & Rosen, G., 1997, Subjekt bez objektu, New York: Oxford University Press.
• –––, 2005, „Nominalism přehodnocen“, v S. Shapiro (ed.), Oxfordská příručka filozofie matematiky a logiky, Oxford: Oxford University Press, s. 515–535.
• Chihara, C., 2006, „Burgessovy„ vědecké “argumenty pro existenci matematických objektů“, Philosophia Mathematica 14: 318–37.
• Colyvan, M., 2001, Nepostradatelnost matematiky, New York: Oxford University Press.
• –––, 2011, „Argumenty nepostradatelnosti ve filozofii matematiky“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání jaro 2011), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
• Dieterle, JM, 1999, „Matematický, astrologický a teologický naturalismus“, Philosophia Mathematica, 7: 129–135.
• Field, H., 1980, Science without Numbers, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1989, Realismus, Matematika a modalita, Oxford: Basil Blackwell.
• Goodman, N. & Quine. WV, 1947, „Kroky ke konstruktivnímu nominalismu“, Journal of Symbolic Logic, 12: 105–122.
• Hellman, G., 1989, Mathematics without Numbers, Oxford: Oxford University Press.
• Kitcher, P., 1983, The Nature of Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press.
• Lewis, D., 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
• –––, 1993, „Mathematics is megethology“, Philosophia Mathematica, 3: 3–23.
• Linnebo, Ø, 2006, „Epistemologické výzvy k matematickému platonismu“, Philosophical Studies, 129: 545–574.
• Linsky, B., a Zalta, E., 1995, „Naturalized Platonism vs. Platonized Naturalism“, The Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555 (říjen).
• Lycan, WG, 1988, Rozsudek a odůvodnění, Cambridge: Cambridge University Press.
• Maddy, P., 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
• ––– 2001, „Naturalismus: Přátelé a nepřátelé“, Filozofické perspektivy, 15: 37–67.
• –––, 2005, „Tři formy naturalismu“v S. Shapiro (ed.), Oxfordská příručka filozofie matematiky a logiky, Oxford: Oxford University Press, str. 437–459.
• ––– 2007, 2. filosofie: naturalistická metoda, Oxford University Press.
• Mill, JS, 1843, Logic System. [několik vydání]
• Papineau, D., 2009, „Naturalismus“, Stanfordská encyklopedie filozofie (jaro 2009), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
• Paseau, A., 2005, „Naturalismus v matematice a autorita filosofie“, British Journal for the Philosophy of Science, 56: 399–418.
• ––– 2007, „Scientific Platonism“, M. Leng, A. Paseau a M. Potter (eds), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, s. 123–149
• ––– 2008, „Motivující reduktivismus o sadách“, Australasian Journal of Philosophy, 86: 295–307.
• –––, 2009, „Omezení aritmetiky na teorii množin“, v Ř. Linnebo & O. Bueno (eds), Nové vlny ve filozofii matematiky, Palgrave Macmillan.
• Popper, KR, 1935, Logik der Forschung, Vídeň: Springer.
• Putnam, H., 1971, „Filozofie logiky“, repr. v jeho Mathematics, Matter and Method: Philosophical Papers (Volume 1), Cambridge: Cambridge UP, pp. 323–57.
• Roland, Jeffrey, 2009, „O naturalizaci epistemologie matematiky“, Pacific Philosophical Quarterly, 90 (1): 63–97.
• Quine, WV, 1955, „Posits and Reality“, repr. v The Ways of Paradox and Other Essays, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 246–54.
• –––, 1981, „Věci a jejich místa v teoriích“v jeho teoriích a věcech, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 1–23.
• –––, 1986, „Answer to Charles Parsons“, L. Hahn a P. Schilpp (eds.), The Philosophy of WV Quine, La Salle: Open Court, s. 396–403.
• –––, 1995, Od stimulu k vědě. Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Quine, WV a Ullian, J., 1970, Web of Belief, New York: McGraw Hill.
• Roland, J., 2007, „Maddy and Mathematics: Naturalism or Not“, British Journal for the Philosophy of Science, 58: 423–450.
• Rosen, G., 1999, Review of Maddy (1997), British Journal for the Philosophy of Science, 50: 467–74.
• Shapiro, Stewart a Patrick Reeder, 2009, „Vědecký podnik ?: Penelope Maddy's Second Philosophy“, Philosophia Mathematica, 17 (2): 247–271.
• Sober, E., 1993, „Matematika a nezbytnost“, Philosophical Review, 102: 35–58.
• Steiner, M., 1975, Mathematical Knowledge, Princeton: Princeton University Press.
• Tappenden, J., 2001, „Recenze: Nedávná práce v filozofii matematiky“, Journal of Philosophy, 98: 488–97.
• Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, Oxford: Blackwell.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]