Platonismus Ve Filosofii Matematiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Platonismus ve filosofii matematiky

První publikováno 18. července 2009; věcná revize Čt 18. ledna 2018

Platonismus o matematice (nebo matematickém platonismu) je metafyzický pohled, že existují abstraktní matematické objekty, jejichž existence je nezávislá na nás a na našem jazyce, myšlení a praktikách. Stejně jako elektrony a planety existují nezávisle na nás, platí i čísla a sady. A stejně jako jsou výroky o elektronech a planetách pravdivé nebo nepravdivé podle objektů, kterých se týkají, a dokonale objektivní vlastnosti těchto objektů, tak platí i výroky o číslech a sadách. Matematické pravdy jsou proto objeveny, nikoli vynalezeny.

Nejdůležitější argument pro existenci abstraktních matematických objektů vychází z Gottlob Frege a jde následovně (Frege 1953). Jazyk matematiky se snaží odkazovat a kvantifikovat přes abstraktní matematické objekty. A mnoho matematických vět je pravdivých. Věta však nemůže být pravdivá, pokud její dílčí výrazy neuspějí v tom, co mají dělat. Takže existují abstraktní matematické objekty, na které tyto výrazy odkazují a kvantifikují je.

Frege argument přesto, filozofové vyvinuli paletu námitek proti matematickému platonismu. Abstraktní matematické objekty jsou tedy prohlášeny za epistemologicky nepřístupné a metafyzicky problematické. Matematický platonismus byl v posledních několika desetiletích jedním z nejvíce diskutovaných témat filozofie matematiky.

• 1. Co je matematický platonismus?

  • 1.1 Historické poznámky
  • 1.2 Filozofický význam matematického platonismu
  • 1.3 Realismus objektů
  • 1.4 Realismus pravdivé hodnoty
  • 1.5 Matematický význam platonismu

• 2. Fregeanský argument pro existenci

  • 2.1 Struktura argumentu
  • 2.2 Obrana klasické sémantiky
  • 2.3 Obrana pravdy
  • 2.4 Pojem ontologického závazku
  • 2.5 Od existence k matematickému platonismu?

• 3. Námitky proti matematickému platonismu

  • 3.1 Epistemologický přístup
  • 3.2 Metafyzická námitka
  • 3.3 Jiné metafyzické námitky

• 4. Mezi realismem objektu a matematickým platonismem

  • 4.1 Jak porozumět nezávislosti
  • 4.2 Plenitudózní platonismus
  • 4.3 Lehké sémantické hodnoty
  • 4.4 Dvě další lehké formy realismu objektů
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Co je matematický platonismus?

Matematický platonismus lze definovat jako spojení následujících tří tezí:

Existence.

Existují matematické objekty.

Abstrakt.

Matematické objekty jsou abstraktní.

Nezávislost.

Matematické objekty jsou nezávislé na inteligentních agentech a jejich jazyce, myšlení a praktikách.

Některé reprezentativní definice „matematického platonismu“jsou uvedeny v dodatku

Definice platonismu

a dokumentovat, že výše uvedená definice je poměrně standardní.

Platonismus obecně (na rozdíl od platonismu o matematice konkrétně) je jakýkoli pohled, který vyvstává z výše uvedených tří nároků nahrazením přídavného „matematického“jakýmkoli jiným adjektivem.

První dva nároky jsou pro současné účely přijatelně jasné. Existenci lze formalizovat jako „M x Mx“, kde „Mx“zkrátí predikát „x je matematický objekt“, což platí pro všechny a pouze objekty studované čistou matematikou, jako jsou čísla, množiny a funkce. Abstractness říká, že každý matematický objekt je abstraktní, kde se říká, že je objekt abstraktní, pouze v případě, že není prostorově časný a (tedy) příčinně neúčinný. (Pro další diskusi viz záznam o abstraktních objektech.)

Nezávislost je méně jasná než ostatní dvě tvrzení. Co to znamená připisovat tento druh nezávislosti objektu? Nejviditelnějším glosářem je pravděpodobně kontrafaktuální podmínka, že kdyby neexistovali inteligentní agenti, nebo kdyby byl jejich jazyk, myšlení nebo praktiky odlišné, stále by existovaly matematické objekty. Je však pochybné, že tento lesk bude vykonávat veškerou práci, kterou má nezávislost dělat (viz oddíl 4.1). Prozatím bude nezávislost poněkud schématická.

1.1 Historické poznámky

Platonismus musí být odlišen od pohledu historického Platóna. Jen málo účastníků současné debaty o platonismu tvrdí o Platónově pohledu silná exegetická tvrzení, mnohem méně jej brání. Ačkoli pohled, který nazýváme „platonismus“, je inspirován Platónovou slavnou teorií abstraktních a věčných forem (viz položka Platónova metafyzika a epistemologie), platonismus je nyní definován a debatován nezávisle na jeho původní historické inspiraci.

Platonismus nejen diskutuje, ale není Platónův, ale výše uvedený platonismus je čistě metafyzický pohled: měl by být odlišen od jiných pohledů, které mají podstatný epistemologický obsah. Mnoho starších charakterizací platonismu přidává silná epistemologická tvrzení, že máme bezprostřední pochopení nebo nahlédnutí do oblasti abstraktních objektů. (Viz např. Rees 1967.) Ale je užitečné (a v současné době poměrně standardní) vyhradit termín „platonismus“pro čistě metafyzický pohled popsaný výše. Mnoho filosofů, kteří hájí platonismus v tomto čistě metafyzickém smyslu, by odmítli další epistemologická tvrzení. Mezi příklady patří Quine a další filosofové přitahující takzvaný argument nezbytnosti, který se snaží poskytnout široce empirickou obranu matematického platonismu.(Viz položka o argumentech nepostradatelnosti ve filozofii matematiky.)

Konečně výše uvedená definice „matematického platonismu“vylučuje tvrzení, že jsou nezbytné všechny pravdy čisté matematiky, ačkoli toto tvrzení tradičně učinila většina platonistů. Toto vyloučení je opět odůvodněno skutečností, že někteří filozofové, kteří jsou obecně považováni za platonisty (například Quine a někteří přívrženci výše uvedeného argumentu nezbytnosti), odmítají toto dodatečné modální tvrzení.

1.2 Filozofický význam matematického platonismu

Matematický platonismus má značný filozofický význam. Pokud je tento pohled pravdivý, bude to vyvíjet velký tlak na fyzikální myšlenku, že realita je fyzicky vyčerpána. Platonismus znamená, že realita sahá daleko za fyzický svět a zahrnuje objekty, které nejsou součástí kauzálního a prostorově řádu studovaného fyzikálními vědami. ^[1] Matematický platonismus, bude-li pravdivý, bude také vyvíjet velký tlak na mnoho naturalistických teorií poznání. Protože není pochyb o tom, že máme matematické znalosti. Pravda matematického platonismu by tedy prokázala, že máme znalosti o abstraktních (a tedy příčinně neúčinných) objektech. To by byl důležitý objev, který by se mnoho naturalistických teorií znalostí snažilo přizpůsobit.

Ačkoli tyto filosofické důsledky nejsou jedinečné pro matematický platonismus, tato konkrétní forma platonismu je neobvykle vhodná pro podporu takových důsledků. Pro matematiku je pozoruhodně úspěšná disciplína sama o sobě i jako nástroj pro jiné vědy. ^[2] Jen málo současných analytických filosofů je ochotno odporovat kterémukoli z klíčových požadavků disciplíny, jejíž vědecké pověření je stejně silné jako u matematiky (Lewis 1991, s. 57–9). Takže kdyby filozofická analýza odhalila, že matematika má nějaké podivné a překvapivé důsledky, bylo by neatraktivní jednoduše odmítnout matematiku. ^[3]Forma platonismu založeného na disciplíně, jejíž vědecké pověření jsou méně působivé než u matematiky, by nebyla v této šťastné situaci. Například, když se ukáže, že teologie má nějaké podivné a překvapivé filosofické důsledky, mnozí filozofové neváhají odmítnout příslušné části teologie.

1.3 Realismus objektů

Nechť realismus objektu je názor, že existují abstraktní matematické objekty. Realismus objektů je tedy jen spojením existence a abstraktnosti. ^[4] Objektový realismus stojí v protikladu k nominalizmu, který je v současné filozofii obvykle definován jako názor, že neexistují žádné abstraktní objekty. (V tradičnějším filozofickém použití se slovo „nominalizmus“místo toho týká názoru, že neexistují žádné univerzály. Viz Burgess & Rosen 1997, s. 13–25 a zápis o abstraktních objektech.)

Protože realismus objektů vynechává nezávislost, je tento pohled logicky slabší než matematický platonismus. Filozofické důsledky objektového realismu tedy nejsou tak silné jako důsledky platonismu. Mnoho fyziků by akceptovalo nefyzické objekty za předpokladu, že jsou závislé na fyzických objektech nebo je lze redukovat. Mohou například přijímat objekty, jako jsou korporace, zákony a básně, za předpokladu, že jsou vhodně závislé nebo redukovatelné na fyzické objekty. Navíc se zdá, že neexistuje žádné tajemství epistemického přístupu k nefyzickým objektům, které jsme nějakým způsobem vytvořili nebo „vytvořili“. Jsou-li společnosti, zákony a básně vytvářeny nebo „vytvářeny“námi, pravděpodobně se o nich zjišťujeme v procesu jejich vytváření nebo „vytváření“.

Některé pohledy ve filozofii matematiky jsou realistické, aniž by byly platonisty. Jedním příkladem jsou tradiční intuicionistické pohledy, které potvrzují existenci matematických objektů, ale tvrdí, že tyto objekty závisejí nebo jsou tvořeny matematiky a jejich činnostmi. ^[5] Některé další příklady názorů, které jsou realistické, aniž by byly platonisty, budou diskutovány v části 4.

1.4 Realismus pravdivé hodnoty

Realismus pravdy - hodnota je názor, že každý dobře tvarovaný matematický výrok má jedinečnou a objektivní pravdivostní hodnotu, která je nezávislá na tom, zda ji můžeme znát a zda logicky vyplývá z našich současných matematických teorií. Zastává také názor, že většina matematických tvrzení, která jsou považována za pravdivá, je ve skutečnosti pravdivá. Realismus skutečné hodnoty je tedy zjevně metafyzickým pohledem. Na rozdíl od platonismu však nejde o ontologický pohled. Protože ačkoli realismus pravdivé hodnoty tvrdí, že matematická prohlášení mají jedinečné a objektivní pravdivé hodnoty, není vázáno na výrazně platonistickou myšlenku, že tyto pravdivé hodnoty je třeba vysvětlit pomocí ontologie matematických objektů.

Matematický platonismus jasně motivuje realismus pravdivé hodnoty tím, že poskytuje popis toho, jak matematická prohlášení získávají své pravdivé hodnoty. První pohled však nezahrnuje druhý, pokud nejsou přidány další prostory. Protože i když existují matematické objekty, referenční a kvantifikační neurčitost může připravit matematická prohlášení o jedinečnou a objektivní pravdivostní hodnotu. Naopak realismus s pravdivou hodnotou sám o sobě neznamená existenci, a tedy neimplikuje ani objektový realismus, ani platonismus. Existují různé zprávy o tom, jak mohou matematické výroky vlastnit jedinečné a objektivní pravdivé hodnoty, které nepředstavují oblast matematických objektů. ^[6]

Ve skutečnosti mnoho nominantů podporuje realismus s pravdivou hodnotou, přinejmenším o více základních oborech matematiky, jako je aritmetika. Nominalisté tohoto typu se zavázali k mírně podivnému pohledu, který je sice obyčejný matematický výrok

(1) Existují čísla prvočísel mezi 10 a 20.

je pravda, že ve skutečnosti neexistují žádné matematické objekty, a tedy zejména žádná čísla. Ale zde není žádný rozpor. Musíme rozlišovat mezi jazykem L _M, ve kterém matematici uplatňují svá tvrzení, a jazykem L _P, v němž se k nim vyjadřují nominanti a jiní filozofové. Příkaz (1) se provádí v L _M. Avšak v L _P je vytvořeno tvrzení nominátora, že (1) je pravda, ale že neexistují žádné abstraktní předměty. Tvrzení Nominalist je tak dokonale koherentní za předpokladu, že (1) je přeložen non-homophonically z L _M na L _P. A když nominant tvrdí, že pravdivé hodnoty věty L _Mjsou fixovány způsobem, který se nelíbí matematickým objektům, má na mysli právě tento druh nehomofonického překladu. Příkladem je pohled uvedený v předchozí poznámce.

To ukazuje, že aby tvrzení Existence mělo zamýšlený účinek, musí být vyjádřeno v jazyce L _{P, který} používáme my filozofové. Pokud byla tvrzení vyjádřena v jazyce L _M používaném matematiky, pak mohli nominanti akceptovat tvrzení a přitom stále popírat, že existují matematické objekty, což je v rozporu s účelem tvrzení.

Malá, ale důležitá tradice filosofů vyžaduje, aby debata o platonismu byla nahrazena nebo alespoň přeměněna na debatu o realismu s pravdivou hodnotou. Jedním z důvodů nabízených na podporu tohoto názoru je to, že první debata je beznadějně nejasná, zatímco druhá debata je lépe sledovatelná (Dummett 1978a, s. 228–232 a Dummett 1991b, s. 10–15). Další nabízený důvod je to, že debata o realismu s pravdivou hodnotou má pro filozofii i matematiku větší význam než debata o platonismu. ^[7]

1.5 Matematický význam platonismu

Realistický realismus je metodologický pohled, že by se matematika měla praktikovat, jako by platonismus byla pravdivá (Bernays 1935, Shapiro 1997, s. 21–27 a 38–44). To vyžaduje určité vysvětlení. V debatách o základech matematiky byl platonismus často používán k obraně určitých matematických metod, jako jsou následující:

1. Klasické jazyky prvního řádu (nebo silnější), jejichž jednotné výrazy a kvantifikátory se zdají odkazovat na matematické objekty a pohybovat se po nich. (Toto kontrastuje s jazyky, které dominovaly dříve v historii matematiky, které se více spoléhaly na konstruktivní a modální slovní zásobu.)
2. Klasická spíše než intuicionální logika.
3. Non-konstruktivní metody (takový jako non-konstruktivní důkazy existence) a non-konstruktivní axiómy (takový jako Axiom of Choice).
4. Implikativní definice (tj. Definice, které kvantifikují nad celkovou hodnotou, do které patří definovaný objekt).
5. „Hilbertovský optimismus“, to je přesvědčení, že každý matematický problém je v zásadě řešitelný. ^[8]

Podle fungujícího realismu jsou tyto a další klasické metody přijatelné a dostupné ve všech matematických úvahách. Realistický realismus se však nezabývá tím, zda tyto metody vyžadují nějakou filozofickou obranu, a pokud ano, zda se tato obrana musí zakládat na platonismu. Stručně řečeno, kde platonismus je explicitně filosofický pohled, je pracovní realismus především pohledem samotné matematiky na správnou metodologii této disciplíny. Platonismus a pracovní realismus jsou tedy zřetelné názory.

Mezi těmito dvěma pohledy však mohou samozřejmě existovat logické vztahy. Vzhledem k původu fungujícího realismu není překvapivé, že tento pohled je silně podporován matematickým platonismem. Předpokládejme, že matematický platonismus je pravdivý. Potom by měl být jasně matematický jazyk, jak je popsáno v (i). Zadruhé, za předpokladu, že je legitimní klasicky uvažovat o jakékoli nezávisle existující části reality, (ii) by také následovala. Zatřetí, protože platonismus zajišťuje, že matematika je objevena spíše než vynalezena, nebylo by nutné, aby se matematici omezovali na konstruktivní metody a axiomy, které stanoví (iii). Začtvrté, existuje silný a vlivný argument kvůli Gödelovi (1944), že implicitní definice jsou legitimní, kdykoli definované objekty existují nezávisle na našich definicích.(Například „nejvyšší chlapec ve třídě“se zdá být problematický, přestože je nepředvídatelný.) Pokud je to správné, bude následovat (iv). A konečně, pokud je matematika o nějaké nezávisle existující realitě, pak má každý matematický problém jedinečnou a určující odpověď, která poskytuje alespoň nějakou motivaci pro Hilbertianův optimismus. (Viz však diskuse o plenárním platonismu v oddíle 4.2.)

Pravda o matematickém platonismu by proto měla důležité důsledky v samotné matematice. Odůvodnilo by to klasické metody spojené s fungujícím realismem a povzbudilo by hledání nových axiomů k vyřešení otázek (jako je hypotéza Continuum), které jsou ponechány otevřenými našimi současnými matematickými teoriemi.

Pracovní realismus však nijak zjevně neznamená platonismus. Ačkoli pracovní realismus říká, že jsme oprávněni používat platonistický jazyk současné matematiky, nedosahuje platonismu alespoň dvěma způsoby. Jak ukázala výše uvedená diskuse o realismu skutečné hodnoty, platonistický jazyk matematiky lze analyzovat tak, aby se zabránilo odkazům na matematické objekty a jejich kvantifikaci. Navíc, i kdyby mohla být ospravedlněna analýza hodnoty jazyka matematiky, podpořilo by to realitu objektu, nikoli platonismus. Další argument by byl potřebný pro třetí složku platonismu, konkrétně Nezávislost. Vyhlídky na takový argument jsou diskutovány v části 4.1.

2. Fregeanský argument pro existenci

Nyní popisujeme šablonu argumentu pro existenci matematických objektů. Protože prvním filozofem, který vyvinul argument této obecné formy, byl Frege, bude to označováno jako argument Fregean. Šablona je však obecná a abstrakta se od nejkonkrétnějších aspektů Fregeovy vlastní obrany existence matematických objektů, jako je jeho názor, že aritmetika je redukovatelná na logiku. Fregeanský logicismus je jen jedním ze způsobů, jak tuto šablonu rozvíjet; některé další způsoby budou uvedeny níže.

2.1 Struktura argumentu

Fregeanský argument je založen na dvou prostorech, z nichž první se týká sémantiky jazyka matematiky:

Klasická sémantika.

Výjimečné výrazy jazyka matematiky se vztahují k matematickým objektům a jejich kvantifikátory prvního řádu se snaží rozprostírat se nad těmito objekty.

Je třeba vysvětlit slovo „význam“. Když věta S má za cíl odkazovat nebo kvantifikovat určitým způsobem, znamená to, že pro to, aby byla pravda, musí S uspět v odkazu nebo kvantifikaci tímto způsobem.

Druhý předpoklad nevyžaduje mnoho vysvětlení:

Pravda.

Většina vět přijímaných jako matematické věty jsou pravdivé (bez ohledu na jejich syntaktickou a sémantickou strukturu).

Zvažte věty, které jsou přijímány jako matematické věty a které obsahují jeden nebo více matematických singulárních termínů. Od pravdy, většina z těchto vět jsou pravdivé. ^[9] Nechť S je jedna taková věta. Podle klasické sémantiky pravda S vyžaduje, aby její jednotné výrazy uspěly v odkazu na matematické objekty. Proto musí existovat matematické objekty, jak tvrdí existence. ^[10]

2.2 Obrana klasické sémantiky

Klasická sémantika tvrdí, že jazyk matematiky funguje sémanticky podobně jako jazyk v obecných funkcích (nebo se alespoň předpokládá, že funguje): sémantické funkce singulárních termínů a kvantifikátorů se vztahují k objektům, respektive k rozsahům nad objekty. Toto je široce empirické tvrzení o fungování poloformálního jazyka používaného komunitou profesionálních matematiků. (V široce přijaté terminologii Burgess & Rosen 1997, s. 6–7 je klasická sémantika hermeneutickým tvrzením, tj. Je to popisné tvrzení o tom, jak je určitý jazyk skutečně používán, nikoli normativní tvrzení o tom, jak se tento jazyk používá by mělo být použito.) Všimněte si také, že klasická sémantikaje kompatibilní s nejtradičnějšími názory na sémantiku; zejména je slučitelný se všemi standardními pohledy na význam vět, konkrétně že jde o pravdivé hodnoty, výroky nebo sady možných světů.

Klasická sémantika má silnou prima facie věrohodnost. Zdá se, že jazyk matematiky má stejnou sémantickou strukturu jako obyčejný nematematický jazyk. Jak poznamenává Burgess (1999), zdá se, že následující dvě věty mají stejnou jednoduchou sémantickou strukturu predikátu přiřazeného subjektu (str. 288):

(4) Evelyn je prima.

(5) Jedenáct je nejlepší.

Tento vzhled potvrzují také standardní sémantické analýzy navržené lingvisty a sémantiky.

Klasická sémantika byla nicméně zpochybněna například nominanty, jako je Hellman (1989) a Hofweber (2005 a 2016). (Viz také Moltmann (2013) o některých výzvách týkajících se aritmetického slovníku v přirozeném jazyce.) Toto není místo pro rozšířenou diskuzi o takových výzvách. Dovolte mi jen poznamenat, že k zdůvodnění tohoto druhu problému je třeba hodně práce. Vyzývatel bude muset tvrdit, že zjevné sémantické podobnosti mezi matematickým a nematematickým jazykem jsou klamné. A tyto argumenty budou muset být takového druhu, který by lingvisté a sémantici - bez žádného zájmu o filozofii matematiky - mohli uznat za významný. ^[11]

2.3 Obrana pravdy

Pravdu lze hájit různými způsoby. Společné pro všechny obrany je to, že nejprve identifikují určitý standard, podle kterého lze hodnotit pravdy-hodnoty matematických prohlášení, a poté tvrdí, že matematické věty splňují tento standard.

Jednou z možností je odvolat se na standard, který je podstatnější než samotná matematika. Logicismus je příkladem. Frege a další logici nejprve tvrdí, že jakákoli věta o čisté logice je pravdivá. Poté se snaží ukázat, že věty určitých oborů matematiky lze dokázat pouze z čisté logiky a definic samotných.

Další možností je odvolat se na standardy empirické vědy. Příkladem je argument Quine-Putnam nepostradatelnosti. Nejprve se tvrdí, že jakákoli nezbytná část empirické vědy bude pravděpodobně pravdivá, a proto něco, čemu jsme oprávněni věřit. Pak se tvrdí, že velké množství matematiky je pro empirickou vědu nepostradatelné. Pokud jsou obě tvrzení správná, znamená to, že Pravda bude pravděpodobně pravdivá, a proto je víra v Pravdu oprávněná. (Viz položka o argumentech nepostradatelnosti ve filozofii matematiky.)

Třetí možností je odvolat se na standardy samotné matematiky. Proč by se člověk měl odvolat k nematematickým standardům, jako jsou například logické nebo empirické vědy, aby hájil pravdu matematických vět? Když hájíme pravdu o tvrzeních logiky a fyziky, nemusíme se odvolávat na standardy mimo logiku a fyziku. Spíše předpokládáme, že logika a fyzika poskytují své vlastní standardy sui generis ospravedlnění. Proč by se matematika měla lišit? Tato třetí strategie získala v posledních letech velkou pozornost, často pod názvem „naturalismus“nebo „matematický naturalismus“. (Vidět Burgess a Rosen 1997, Maddy 1997, a, pro kritickou diskuzi, vidět záznam o naturalismu ve filozofii matematiky.)

Zde je příklad, jak lze vyvinout naturalistickou strategii. Nazvěte postoj, který matematici zaujímají k větám matematického „přijetí“. Následující tvrzení se pak jeví jako pravděpodobné:

(6) Matematici jsou oprávněni přijímat věty z matematiky.

(7) Přijetí matematického prohlášení S znamená, že S je pravda.

(8) Když matematik přijme matematické prohlášení S, je obsahem tohoto postoje obecně doslovný význam S.

Z těchto tří tvrzení vyplývá, že matematičtí odborníci jsou oprávněni považovat věty z matematiky za doslovné pravdy. Ostatně i my ostatní jsme oprávněni věřit ve Pravdu. Všimněte si, že odborníci, kterých se týká (6), nemusí sami věřit (7) a (8), natož v takovém přesvědčení ospravedlnění. Důležité je, že tři tvrzení jsou pravdivá. Úkol spočívající v určování pravdy (7) a (8) může spadat do lingvistů, psychologů, sociologů nebo filosofů, ale určitě ne na samotné matematiky.

2.4 Pojem ontologického závazku

Verze argumentu Fregean jsou někdy uváděny v pojetí ontologického závazku. Předpokládejme, že pracujeme se standardním quineanským kritériem ontologického závazku:

Quineovo kritérium.

Věta prvního řádu (nebo soubor takových vět) se ontologicky zavazuje k takovým objektům, o kterých se předpokládá, že jsou v rozsahu proměnných, aby věta (nebo soubor vět) byla pravdivá.

Z klasické sémantiky pak vyplývá, že mnoho vět z matematiky je ontologicky oddáno matematickým objektům. Chcete-li to vidět, zvažte typickou matematickou větu S, která zahrnuje nějaký normální extenzivní výskyt buď singulárních termínů nebo kvantifikátorů prvního řádu. Podle klasické sémantiky mají tyto výrazy odkazovat na matematické objekty nebo na ně zasahovat. Aby byla S pravdivá, musí se těmto výrazům podařit v tom, co mají dělat. V důsledku toho, aby byla pravda, musí existovat v rozsahu proměnných matematické objekty. Podle Quinova kritéria to znamená, že S je ontologicky oddaný matematickým objektům.

Quine a mnoho dalších považuje Quinovo kritérium za něco víc než definici pojmu „ontologický závazek“(Quine 1969 a Burgess 2004). Kritérium však bylo zpochybněno. Někteří filozofové popírají, že singulární termíny a kvantifikátory prvního řádu automaticky vedou k ontologickým závazkům. Možná to, co je „vyžadováno od světa“, aby věta byla pravdivá, zahrnuje existenci některých, ale ne všech objektů v rozsahu kvantifikátorů (Rayo 2008). Nebo bychom možná měli přerušit vazbu mezi existenciálním kvantifikátorem prvního řádu a pojmem ontologického závazku (Azzouni 2004, Hofweber 2000 a 2016).

Jednou z odpovědí na tyto výzvy je poznamenat, že Fregeanův argument byl vyvinut výše, aniž by se použil termín „ontologický závazek“. Jakákoli výzva k definici „ontologického závazku“poskytnutá Quininým kritériem se tedy zdá irelevantní pro verzi výše uvedeného Fregeanova argumentu. Je však nepravděpodobné, že tato odpověď uspokojí účastníky, kteří budou reagovat, že závěr výše uvedeného argumentu je příliš slabý na to, aby měl zamýšlený účinek. Připomeňme, že závěr, Existence, je formalizován v našem filozofickém metajazyku L _Pjako '∃ x Mx'. Tato formalizace tedy nebude mít zamýšlený účinek, ledaže by tato věta v metajazyku byla takového druhu, který způsobí ontologický závazek. Ale to je přesně to, o čem soupeři napadají. Tuto polemiku zde nelze dále rozvíjet. Prozatím jednoduše pozorujeme, že vyzývatelé musí poskytnout vysvětlení, proč jejich nestandardní představa o ontologickém závazku je lepší a teoreticky zajímavější než standardní quinská představa.

2.5. Od existence k matematickému platonismu?

Předpokládejme, že přijímáme existenci, možná na základě Fregeanova argumentu. Jak jsme viděli, ještě to nepřijímá matematický platonismus, což je výsledek přidání dvou dalších tvrzení, abstraktnosti a nezávislosti, k Existenci. Jsou tyto dva další nároky obhájitelné?

Podle standardů filosofie zůstává abstraktnost relativně kontroverzní. Mezi nemnoho filozofů, kteří to zpochybnili, jsou Maddy (1990) (týkající se nečistých sad) a Bigelow (1988) (týkající se sad a různých druhů čísel). Tento relativní nedostatek kontroverze znamená, že jen málo explicitních obran abstraktnostibyly vyvinuty. Není však těžké pochopit, jak by taková obrana mohla jít. Zde je jeden nápad. Je pravděpodobné prima facie omezení jakékoli filosofické interpretace matematické praxe, že by se nemělo přiřadit matematice jakékoli rysy, které by činily skutečnou matematickou praxi zavádějící nebo neadekvátní. Toto omezení ztěžuje popření, že objekty čisté matematiky jsou abstraktní. Pokud by tyto objekty měly prostorově časná umístění, pak by byla skutečná matematická praxe zavádějící a nedostatečná, protože čistí matematici by se pak měli zajímat o umístění svých objektů, stejně jako zoologové se zajímají o umístění zvířat. Skutečnost, že čistí matematici se o tuto otázku nezajímají, naznačuje, že jejich objekty jsou abstraktní.

Nezávislost říká, že matematické objekty, pokud existují, jsou nezávislé na inteligentních agentech a jejich jazyce, myšlení a praktikách. V části 4 budeme diskutovat o tom, co by tato práce mohla znamenat a jak by se mohla obhájit.

3. Námitky proti matematickému platonismu

Byla vyvinuta řada námitek proti matematickému platonismu. Zde jsou nejdůležitější.

3.1 Epistemologický přístup

Nejvlivnější námitkou je pravděpodobně ta, která byla inspirována Benacerrafem (1973). Následuje vylepšená verze námitky Benacerrafa v důsledku Field (1989). ^[12] Tato verze se opírá o následující tři prostory.

Předpoklad 1.	Matematici jsou spolehliví v tom smyslu, že pro téměř každou matematickou větu S, pokud matematici akceptují S, je S pravdou.
Předpoklad 2.	Aby víra v matematiku byla odůvodněná, musí být alespoň v zásadě možné vysvětlit spolehlivost popsanou v předpokladu 1.
Předpoklad 3.	Pokud je matematický platonismus pravdivý, nelze tuto spolehlivost vysvětlit ani v zásadě.

Pokud jsou tyto tři předpoklady správné, bude to znamenat, že matematický platonismus podkopává naše ospravedlnění pro víru v matematiku.

Jsou však prostory správné? První dva prostory jsou relativně nekontroverzní. Většina platonistů se již věnuje Premise 1. A Premise 2 se zdá být docela bezpečná. Pokud by spolehlivost některého postupu formování víry nemohla být v zásadě vysvětlena, pak by se zdálo, že postup funguje čistě náhodou, a tak podkopává jakékoli zdůvodnění, které máme pro víru vytvořenou tímto způsobem.

Předpoklad 3 je mnohem kontroverznější. Field hájí tuto premisu tím, že pozoruje, že „pravdivé hodnoty našich matematických tvrzení závisí na faktech zahrnujících platonické entity, které sídlí v říši mimo časoprostor“(Field 1989, s. 68), a jsou tedy od nás kauzálně izolovány dokonce i v zásada. Tato obrana však předpokládá, že jakékoli odpovídající vysvětlení spolehlivosti musí zahrnovat určitou kauzální korelaci. To bylo zpochybněno řadou filozofů, kteří navrhli minimálnější vysvětlení nároku na spolehlivost. (Viz Burgess a Rosen 1997, s. 41–49 a Lewis 1991, s. 111–112; srov. Také Clarke-Doane 2016. Viz kritiku v Linnebo 2006.) ^[13]

3.2 Metafyzická námitka

Další slavný článek Benacerrafa rozvíjí metafyzickou námitku proti matematickému platonismu (Benacerraf 1965, také Kitcher 1978). Přestože se Benacerraf zaměřuje na aritmetiku, výhrada se přirozeně zobecňuje na nejčistší matematické objekty.

Benacerraf se otevírá tím, že brání to, co je dnes známé jako strukturalistický pohled na přirozená čísla, podle nichž přirozená čísla nemají žádné jiné vlastnosti než ta, která mají, protože jsou pozicemi v co-posloupnosti. Například není nic víc, než být číslem 3, než mít určité intrastrukturálně definované relační vlastnosti, jako je nástup 2, polovina 6 a prvotní. Bez ohledu na to, jak tvrdě budeme studovat aritmetiku a teorii množin, nikdy nebudeme vědět, zda je 3 identické se čtvrtým von Neumannovým ordinálem, nebo s odpovídajícím Zermelským ordinálem, nebo snad, jak navrhl Frege, se třídou všech tříčlenných tříd (v některých systémech, které umožňují takové třídy existovat).

Benacerraf nyní vyvozuje následující závěr:

Proto čísla nejsou vůbec objekty, protože při udávání vlastností… čísel pouze charakterizujete abstraktní strukturu - a rozdíl spočívá v tom, že „prvky“struktury nemají žádné jiné vlastnosti, než ty, které je spojují s jinými „ prvky “stejné struktury. (Benacerraf 1965, s. 291)

Jinými slovy, Benacerraf tvrdí, že nemohou existovat žádné objekty, které mají pouze strukturální vlastnosti. Všechny objekty musí mít také některé nestrukturální vlastnosti. (Viz Benacerraf 1996 pro některé pozdější úvahy o tomto argumentu.)

Oba kroky Benacerrafova argumentu jsou kontroverzní. První krok - přirozená čísla mají pouze strukturální vlastnosti - nedávno obhájila řada matematických strukturalistů (Parsons 1990, Resnik 1997 a Shapiro 1997). Tento krok však popírají logici a neo logici, kteří tvrdí, že přirozená čísla jsou vnitřně svázána s kardinálskými sbírkami, které počítají. A druhý krok - to, že nemohou existovat žádné objekty s pouze strukturálními vlastnostmi - je výslovně odmítnut všemi strukturalisty, kteří brání první krok. (Pro některé hlasy soucitné s druhým krokem viz Hellman 2001 a MacBride 2005. Diskuse viz také Linnebo 2008.)

3.3 Jiné metafyzické námitky

Kromě Benacerrafa byly vyvinuty různé metafyzické námitky proti matematickému platonismu. Jedním z nejslavnějších příkladů je argument Nelsona Goodmana proti teorii množin. Goodman (1956) hájí princip nominace, který říká, že kdykoli dvě entity mají stejné základní složky, jsou identické. Tento princip lze považovat za posílení známé teoretické axiomy extenze. Axiom extenzivity říká, že pokud dvě sady x a y mají stejné prvky - to znamená, že pokud ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y) - pak jsou totožné. Zásada nominalismu se získá nahrazením členského vztahu jeho tranzitivním uzavřením. ^[14]Princip tak říká, že jestliže x a y jsou neseni ∈ * stejnými jednotlivci - to je, jestliže ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) - pak x a y jsou identické. Schválením tohoto principu Goodman zakáže vytváření souborů a tříd, což umožňuje pouze tvorbu mereologických částek a použití na standardní mereologické operace (jak popisuje jeho „počet osob“).

Nicméně, Goodmanova obrana principu nominalismu je nyní široce považována za nepřesvědčivá, o čemž svědčí rozšířené přijetí filosofů a matematiků teorie množin jako legitimního a hodnotného odvětví matematiky.

4. Mezi realismem objektu a matematickým platonismem

Realismus objektů říká, že existují abstraktní matematické objekty, zatímco platonismus přidává nezávislost, která říká, že matematické objekty jsou nezávislé na inteligentních agentech a jejich jazyce, myšlení a praktikách. Tato závěrečná část zkoumá některé lehké formy realismu objektů, které zastavují plnohodnotný platonismus.

4.1 Jak porozumět nezávislosti

Přirozený lesk na nezávislosti je kontrafaktuální podmínkou, že kdyby tam nebyli žádní inteligentní agenti, nebo kdyby jejich jazyk, myšlení nebo praktiky byly vhodně odlišné, byly by stále matematické objekty.

Tuto kontrafaktuální nezávislost (jak ji můžeme nazvat) přijímá většina analytických filosofů. Chcete-li zjistit, proč, zvažte roli, kterou matematika hraje v našem uvažování. Často uvažujeme o scénářích, které nejsou skutečné. Měli jsme postavit most přes tento kaňon, řekněme, jak silný by musel být, aby odolal silným nárazům větru? Bohužel se předchozí most zhroutil. Bylo by to tak, kdyby byly ocelové nosníky dvakrát tlustší? Tato forma uvažování o kontrafaktuálních scénářích je nezbytná jak pro naše každodenní jednání, tak pro vědu. Přípustnost takového odůvodnění má důležitý důsledek. Vzhledem k tomu, že pravdy čisté matematiky se mohou volně odvolávat skrz naše protichůdné uvažování, vyplývá z toho, že tyto pravdy jsou na nás, lidi,a veškerý další inteligentní život v této záležitosti. To znamená, že kdyby neexistoval inteligentní život, tyto pravdy by stále zůstaly stejné.

Čistá matematika je v tomto ohledu velmi odlišná od obyčejných empirických pravd. Kdyby inteligentní život nikdy neexistoval, tento článek by nebyl napsán. Ještě zajímavější je, že čistá matematika také kontrastuje s různými společenskými konvencemi a konstrukcemi, s nimiž je někdy srovnávána (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Kdyby inteligentní život nikdy neexistoval, neexistovaly by žádné zákony, smlouvy ani manželství - matematické pravdy by přesto zůstaly stejné.

Pokud je tedy nezávislost chápána pouze jako kontrafaktuální nezávislost, pak každý, kdo přijme objektový realismus, by měl také přijmout platonismus.

Je však pochybné, že toto chápání nezávislosti je dostatečné. U nezávislosti je určen k doložení analogii mezi matematickými objekty a běžných fyzických objektů. Stejně jako elektrony a planety existují nezávisle na nás, platí i čísla a sady. A stejně jako jsou výroky o elektronech a planetách pravdivé nebo nepravdivé podle objektů, kterých se týkají, a dokonale objektivní vlastnosti těchto objektů, tak platí i výroky o číslech a sadách. Krátce řečeno, matematické objekty jsou stejně „skutečné“jako obyčejné fyzické objekty (pokud ne ještě více, jak si myslel Platón).

Podívejme se nyní na některé názory, které odmítají toto silnější chápání nezávislosti z hlediska zmíněné analogie. Tyto pohledy jsou tedy lehkými formami realismu objektů, které se zastaví před plnohodnotným platonismem.

4.2 Plenitudózní platonismus

Jednou z lehkých forem realismu objektů je „plnotučný platonismus“Balaguera 1998. Tento pohled je charakterizován principem plnosti, že všechny matematické objekty, které by mohly existovat, skutečně existují. Například, protože hypotéza Continuum je nezávislá na standardní axiomatizaci teorie množin, existuje vesmír sad, ve kterých je hypotéza pravdivá, a další, ve kterém je nepravdivá. A ani vesmír není metafyzicky privilegovaný. Naproti tomu tradiční platonismus tvrdí, že existuje jedinečný vesmír sad, ve kterém je hypotéza Continuum buď determinant pravdivá, nebo determinately false. ^[15]

Jednou údajnou výhodou tohoto úplného pohledu je epistemologie matematiky. Pokud je každá konzistentní matematická teorie pravdivá pro nějaký vesmír matematických objektů, pak bude matematické znalosti v jistém smyslu snadno získatelné: za předpokladu, že naše matematické teorie jsou konzistentní, je zaručeno, že platí pro nějaký vesmír matematických objektů.

„Plnokrevný platonismus“však získal velkou kritiku. Colyvan a Zalta 1999 je kritizují za to, že podkopávají možnost odkazovat na matematické objekty, a Restall 2003 za to, že chybí přesná a koherentní formulace principu plnosti, na kterém je tento názor založen. Martin (2001) navrhuje, aby různé vesmíry sad byly sloučeny tak, aby vznikl jediný maximální vesmír, který bude privilegován tím, že bude naše pojetí množiny vhodnější než jakýkoli jiný vesmír sad.

V Linsky & Zalta 1995 byla vyvinuta jiná verze plnostěnného platonismu a řada dalších článků. (Viz například Linsky & Zalta 2006 a další články tam citované.) Tradiční platonismus se pokazí „představou o abstraktních objektech na modelu fyzických objektů“(Linsky & Zalta 1995, s. 533), včetně zejména myšlenka, že tyto objekty jsou spíše „řídké“než zaplněné. Linsky & Zalta vyvíjí alternativní přístup na základě „objektové teorie“druhého autora. Hlavním rysem teorie objektů je velmi obecný princip porozumění, který potvrzuje existenci plnosti abstraktních objektů: pro každou sbírku vlastností existuje abstraktní objekt, který „přesně“tyto vlastnosti „kóduje“. V teorii objektů navícdva abstraktní objekty jsou identické pouze v případě, že kódují přesně stejné vlastnosti. Princip porozumění teorii objektů a kritérium identity se říká, že „poskytují spojení mezi naší kognitivní schopností porozumění a abstraktními objekty“(tamtéž, s. 547). (Kritická diskuse viz Ebert & Rossberg 2007.)

4.3 Lehké sémantické hodnoty

Předpokládejme, že realismus objektu je pravdivá. Pro větší pohodlí předpokládejte také klasickou sémantiku. Tyto předpoklady zajišťují, aby jednotlivé výrazy a kvantifikátory matematického jazyka odkazovaly na abstraktní objekty a pohybovaly se v nich. Měl by být vzhledem k těmto předpokladům také matematický platonista? Jinými slovy, vztahují se objekty, na které se matematické věty vztahují a kvantifikují nad uspokojením nezávislosti nebo nějaké podobné podmínky?

Bude užitečné přehodnotit naše předpoklady neutrálněji. Toho můžeme dosáhnout vyvoláním pojmu sémantická hodnota, která hraje důležitou roli v sémantice a filosofii jazyka. V těchto polích se široce předpokládá, že každý výraz určitým způsobem přispívá k pravdivé hodnotě vět, ve kterých se výraz vyskytuje. Tento příspěvek je známý jako sémantická hodnota výrazu. To je široce předpokládal, že (přinejmenším v extenzivních kontextech) sémantická hodnota singulárního termínu je jen jeho referent.

Naše předpoklady lze nyní uvést neutrálně jako tvrzení, že matematické singulární termíny mají abstraktní sémantické hodnoty a že její kvantifikátory se pohybují nad druhy položek, které slouží jako sémantické hodnoty. Zaměřme se na tvrzení o jednotných termínech. Jaký je filozofický význam tohoto tvrzení? Podporuje zejména nějakou verzi Nezávislosti ? Odpověď bude záviset na tom, co je požadováno, aby matematický singulární termín měl sémantickou hodnotu.

Někteří filozofové tvrdí, že není vyžadováno příliš mnoho (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 a Linnebo 2012 a 2018). Postačuje, aby výraz t určitým způsobem přispěl k pravdivým hodnotám vět, ve kterých se vyskytuje. Účelem pojmu sémantická hodnota bylo takové příspěvky představovat. Postačuje proto, aby singulární termín měl sémantickou hodnotu, že poskytuje nějaký takový vhodný příspěvek.

To může dokonce otevřít cestu pro formu nediskriminačního redukcionismu o matematických objektech (Dummett 1991a, Linnebo 2018). I když je naprosto pravda, že matematický singulární pojem t má jako svou sémantickou hodnotu abstraktní objekt, může tato pravda získat na základě více základních skutečností, která nezmiňují ani nezahrnují relevantní abstraktní objekt. Porovnejte například vztah vlastnictví, který vzniká mezi osobou a jejím bankovním účtem. I když je naprosto pravda, že osoba vlastní bankovní účet, může tato pravda získat na základě více základních sociologických nebo psychologických skutečností, které bankovní účet nezmiňují ani se na něm nevztahují.

Je-li nějaký lehký popis sémantických hodnot obhájitelný, můžeme přijmout předpoklady realismu objektů a klasické sémantiky, aniž bychom se zavázali k jakékoli tradiční nebo robustní formě platonismu.

4.4 Dvě další lehké formy realismu objektů

Na závěr popisujeme dva další příklady lehkých forem realismu objektů, které odmítají platonistickou analogii mezi matematickými objekty a obyčejnými fyzickými objekty.

Za prvé, možná matematické objekty existují pouze potenciálním způsobem, který kontrastuje se skutečným způsobem existence obyčejných fyzických objektů. Tato myšlenka je jádrem starověké představy o potenciálním nekonečnu (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Podle Aristotela jsou přirozená čísla potenciálně nekonečná v tom smyslu, že jakkoli velké množství, které jsme vytvořili (jeho instancí ve fyzickém světě), je možné produkovat ještě větší počet. Ale Aristoteles popírá, že přirozená čísla jsou ve skutečnosti nekonečná: to by vyžadovalo, aby byl fyzický svět nekonečný, což, jak tvrdí, je nemožné.

Podle Cantora nyní většina matematiků a filozofů hájí skutečnou nekonečno přirozených čísel. To je částečně možné tím, že popíráme aristotelský požadavek, že každé číslo musí být instalováno ve fyzickém světě. Když je to odmítnuto, skutečné nekonečno přirozených čísel již neznamená skutečné nekonečno fyzického světa.

Forma potencionismu o hierarchii souborů však nadále těší značnou podporu, zejména v souvislosti s iterativním pojetím souborů (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Bez ohledu na to, kolik sestav bylo vytvořeno, je možné vytvořit i více. Pokud je to pravda, znamenalo by to, že množiny mají potenciální formu existence, která je ostře odlišuje od běžných fyzických objektů.

Za druhé, možná matematické objekty jsou ontologicky závislé nebo odvozené způsobem, který je odlišuje od samostatně existujících fyzických objektů (Rosen 2011, Donaldson 2017). Například podle právě zmíněného aristotelského pohledu závisí přirozené číslo na své existenci na nějaké instanci nebo jiném ve fyzickém světě. Existují i jiné verze pohledu. Například Kit Fine (1995) a další tvrdí, že množina je ontologicky závislá na jejích prvcích. (Tento pohled také úzce souvisí s výše uvedeným teoretickým potenciálem.)

Bibliografie

• Azzouni, Jody, 2004, Deflace existenciálních důsledků: Případ pro nominalismus, Oxford: Oxford University Press.
• Balaguer, Mark, 1998, Platonism and Anti Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
• ––– 2001, „Teorie matematické korektnosti a matematické pravdy“, Pacific Philosophical Quarterly, 82: 87–114.
• Benacerraf, Paul, 1965, „Jaká čísla nemohla být“, Philosophical Review, 74: 47–73.
• –––, 1973, „Mathematical Truth“, Journal of Philosophy, 70 (19): 661–679.
• –––, 1996, „Jaká matematická pravda nemůže být, i“v Benacerrafovi a jeho kritikech, A. Morton a S. Stich, ed., Oxford: Blackwell.
• Benacerraf, Paul a Putnam, Hilary (ed.), 1983, Filozofie matematiky: Vybrané čtení, Cambridge: Cambridge University Press. Druhé vydání.
• Bernays, Paul, 1935, „O platonismu v matematice“, Přetištěno v Benacerraf a Putnam (1983).
• Bigelow, John, 1988, Realita čísel: Fyzikální filozofie matematiky, Oxford: Clarendon.
• Burgess, John P., 1999, „Recenze Stewarta Shapira, filozofie matematiky: struktura a ontologie“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (2): 283–91.
• –––, 2004, „Recenze Jody Azzouniho, Deflace existenciálních důsledků: případ nominace“, Bulletin of Symbolic Logic, 10 (4): 573–577.
• Burgess, John P. a Rosen, Gideon, 1997, Subjekt bez objektu, Oxford: Oxford University Press.
• Cole, Julian C., 2009, „Kreativita, svoboda a autorita: nový pohled na metafyziku matematiky“, Australasian Journal of Philosophy, 87: 589–608.
• Clarke-Doane, Justin, 2017, „Co je problém Benacerraf?“, V nových perspektivách filozofie Paula Benacerrafa: Pravda, Objekty, Nekonečno (Svazek 28: Logika, Epistemologie a Jednota vědy), F. Pataut (ed.), Cham: Springer, 17–43.
• Colyvan, Mark a Zalta, Edward N., 1999, „Matematika: Pravda a fikce?“, Philosophia Mathematica, 7 (3): 336–349.
• Donaldson, Thomas, 2017, „(metafyzické) základy aritmetiky?“, Noûs, 51 (4): 775–801.
• Dummett, Michael, 1978a, „Filozofický základ intuicionistické logiky“, v Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press, 215–247; dotisknut v Benacerraf a Putnam (1983).
• –––, 1978b, Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1981, Frege: Filozofie jazyka, Cambridge, MA: Harvard University Press, druhé vydání.
• –––, 1991a, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• –––, 1991b, Logické základy metafyziky, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Ebert, Philip a Rossberg, Marcus, 2007: „Jaký je účel neologicismu?“, Travaux de Logique, 18: 33–61.
• Feferman, Solomon, 2009, „Koncepce kontinua“, Intellectica, 51: 169–89.
• Field, Hartry, 1989, Realismus, Matematika a Modalita, Oxford: Blackwell.
• Fine, Kit, 1994, „ontologická závislost“, sborník Aristotelian Society, 95: 269-290.
• Frege, Gottlob, 1953, základy aritmetiky, Oxford: Blackwell. Transl. od JL Austina.
• Gaifman, Haim, 1975, „ontologie a koncepční rámce, část I“, Erkenntnis, 9: 329–353.
• Gödel, Kurt, 1944, „Russelllova matematická logika“, In Benacerraf a Putnam (1983).
• –––, 1964, „Co je Cantorova hypotéza kontinua?“, In Benacerraf and Putnam (1983).
• –––, 1995, „Některé základní věty o základech matematiky a jejich důsledcích“, v Collected Words, S. Feferman a kol., Ed., Oxford: Oxford University Press, sv. III, 304–323.
• Goodman, Nelson, 1956, „Svět jednotlivců“, dotisknut. v P. Benacerraf a H. Putnam, ed., Filozofie matematiky: Vybrané čtení, 1. vydání, Prentice-Hall.
• Hale, Bob, 1987, Abstract Objects, Oxford: Blackwell.
• Hale, Bob a Wright, Crispin, 2000, „Implicitní definice a Priori“, v New Essays on A Priori, Paul Boghossian a Christopher Peacocke, eds., Oxford: Oxford University Press. Přetištěno v Hale a Wright (2001).
• –––, 2001, Reasonova vlastní studie, Oxford: Clarendon.
• Hellman, Geoffrey, 1989, matematika bez čísel, Oxford: Clarendon.
• –––, 2001, „Tři varianty matematického strukturalizmu“, Philosophia Mathematica, 9 (3): 184–211.
• Hersh, Reuben, 1997, Co je to matematika, opravdu?, Oxford: Oxford University Press.
• Hilbert, David, 1996, „Matematické problémy“, v Od Kant k Hilbertovi, William Ewald, ed., Oxford: Oxford University Press, sv. 2, 1096-1105.
• Hofweber, Thomas, 2000, „Kvantifikace a neexistující objekty“, v Empty Names, Fiction and Puzzle of neexistence, Anthony Everett a Thomas Hofweber, eds., Stanford, CA: Publications CSLI, 249–73.
• –––, 2005, „Determinanty počtu, čísla a aritmetika“, Filozofický přehled, 114 (2): 179–225.
• ––– 2016, ontologie a ambice metafyziky, Oxford: Oxford University Press.
• Isaacson, Daniel, 1994, „Matematická intuice a objektivita“, v Mathematics and Mind, Alexander George, ed., Oxford: Oxford University Press, kap. 5.
• Jané, Ignasi, 2010, „Idealistické a realistické prvky v Cantorově přístupu k teorii množin“, Philosophia Mathematica, 18 (2): 193–226.
• Kitcher, Philip, 1978, „Situace platonisty“, Noûs, 12: 119–136.
• Kreisel, Georg, 1958, „Recenze Wittgensteinových poznámek k základům matematiky“, British Journal for the Philosophy of Science, 9: 135–158.
• Lear, Jonathan, 1980, „Aristotelian infinity“, Proceedings of Aristotelian Society, 80: 187–210.
• Lewis, David, 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
• Linnebo, Øystein, 2006, „Epistemologické výzvy pro matematický platonismus“, Filozofická studia, 129 (3): 545–574.
• –––, 2008, „Strukturalizmus a pojem závislosti“, filosofická čtvrť, 58: 59–79.
• ––– 2012, „Reference abstrakcí“, sborník Aristotelian Society, 112: 45–71.
• ––– 2013, „Potenciální hierarchie množin“, Recenze symbolické logiky, 6 (2): 205–228.
• –––, 2017, Filozofie matematiky, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 2018, Tenké objekty: Abstrakční účet, Oxford: Oxford University Press.
• Linnebo, Øystein a Shapiro, Stewart, 2017, „Skutečná a potenciální nekonečno“, Noûs, doi: 10.1111 / č. 12208.
• Linsky, Bernard a Zalta, Edward N., 1995, „Naturalizovaný platonismus versus platonizovaný naturalismus“, Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555.
• Linsky, Bernard a Zalta, Edward N., 2006, „Co je to neologicismus?“, Bulletin of Symbolic Logic, 12 (1): 60–99.
• MacBride, Fraser, 2005, „Strukturalizmus přehodnocen“, v Oxfordské příručce filozofie matematiky a logiky, Stewart Shapiro, ed., Oxford: Clarendon, 563–589.
• Maddy, Penelope, 1990, Realismus v matematice, Oxford: Clarendon.
• –––, 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon.
• Martin, Donald A., 2001, „Více vesmírů množin a neurčitých hodnot pravdy“, Topoi, 20 (1): 5-16.
• Moltmann, Friederike, 2013, „Odkaz na čísla v přirozeném jazyce“, Philosophical Studies, 162: 499–536.
• Parsons, Charles, 1977, „Co je to Iterativní koncepce setu?“v Logice, Základy matematiky a Teorie počítatelnosti (Série University of Western Ontario ve filozofii vědy: Svazek 9), RE Butts a J. Hintikka (eds.), Dortrecht: Springer, 335–367.
• –––, 1980, „Mathematical Intuition“, Proceedings of Aristotelian Society, 80: 145–68.
• –––, 1983, Mathematics in Philosophy, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• –––, 1990, „Strukturistický pohled na matematické objekty“, Synthese, 84: 303–346.
• –––, 1995, „Platonismus a matematická intuice v myšlení Kurta Gödele“, Bulletin of Symbolic Logic, 1 (1): 44–74.
• Quine, WV, 1969, „Existence a kvantifikace“, v ontologické relativitě a dalších esejích, New York: Columbia University Press, 91–113.
• Rayo, Agustín, 2008, „O specifikaci pravdivých podmínek“, Filozofický přehled, 117 (3): 385–443.
• ––– 2013, Stavba logického prostoru, Oxford: Oxford University Press.
• Rees, DA, 1967, „Platonismus a platonická tradice“, v Encyclopedia of Philosophy, Paul Edwards, ed., New York: Macmillan, sv. 5, 333–341.
• Resnik, Michael, 1980, Frege a filozofie matematiky, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• –––, 1997, matematika jako věda vzorů, Oxford: Oxford University Press.
• Restall, Greg, 2003, „Co je to plnokrevný platonismus?“, Philosophia Mathematica, 11 (1): 82–91.
• Rosen, Gideon, 2011, „Realita matematických objektů“, v Meaning in Mathematics, J. Polkinghorne (ed.), Oxford: Oxford University Press, 113–132.
• Shapiro, Stewart, 1997, Filozofie matematiky: Struktura a ontologie, Oxford: Oxford University Press.
• Studd, James, 2013, „Iterativní koncepce souboru: a (Bi-) modální axiomatizace“, Journal of Philosophical Logic, 42 (5): 1–29.
• Wright, Crispin, 1983, Fregeova koncepce čísel jako objektů, Aberdeen: Aberdeen University Press.
• –––, 1992, Truth and Objectivity, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]