Argumenty Nepostradatelnosti Ve Filozofii Matematiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Argumenty nepostradatelnosti ve filozofii matematiky

První publikováno 21. prosince 1998; věcná revize Čt 28. února 2019

Jednou z nejzajímavějších vlastností matematiky je její použitelnost na empirickou vědu. Každé odvětví vědy čerpá z velkých a často různorodých částí matematiky, od použití Hilbertových prostorů v kvantové mechanice po použití diferenciální geometrie v obecné relativitě. Služby matematiky nevyužívají jen fyzikální vědy. Například biologie rozsáhle využívá diferenčních rovnic a statistik. Role, kterou matematika hraje v těchto teoriích, je také různorodá. Matematika pomáhá nejen s empirickými předpovědi, ale umožňuje elegantní a ekonomické vyjádření mnoha teorií. Opravdu, tak důležitý je jazyk matematiky pro vědu,že je těžké si představit, jak by bylo možné dokonce uvést teorie, jako je kvantová mechanika a obecná relativita, aniž by zaměstnávala značné množství matematiky.

Z poněkud pozoruhodného, ale zdánlivě nekontroverzního faktu, že matematika je pro vědu nepostradatelná, někteří filozofové vyvodili závažné metafyzické závěry. Zejména Quine (1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c) a Putnam (1979a; 1979b) tvrdili, že nezbytnost matematiky pro empirickou vědu nám dává dobrý důvod věřit v existenci matematických entit. Podle této argumentační linie je odkaz na (nebo kvantifikaci přes) matematické entity, jako jsou množiny, čísla, funkce atd., Nezbytný pro naše nejlepší vědecké teorie, a tak bychom se měli zavázat k existenci těchto matematických entit. Jinak je vinit se z toho, co Putnam nazval „intelektuální nepoctivost“(Putnam 1979b, s. 347). Navíc,matematické entity jsou považovány za epistemické rovnající se jiným teoretickým entitám vědy, protože víra v existenci první je ospravedlněna stejným důkazem, který potvrzuje teorii jako celek (a tedy víru v druhou). Tento argument je známý jako argument Quine-Putnam nepostradatelnosti pro matematický realismus. Existují i další argumenty nezbytnosti, ale tento je zdaleka nejvlivnější, a proto se v následujícím textu zaměříme hlavně na to.a tak v následujícím textu se na to většinou zaměříme.a tak v následujícím textu se na to většinou zaměříme.

Obecně je argument nezbytnosti argumentem, jehož cílem je prokázat pravdu o určitém tvrzení na základě nezbytnosti daného tvrzení pro určité účely (bude upřesněno konkrétním argumentem). Například, pokud je vysvětlení uvedeno jako účel, pak máme vysvětlující argument nezbytnosti. Vidíme tedy, že závěr k nejlepšímu vysvětlení je zvláštním případem nezbytného argumentu. Podívejte se na úvod Field (1989, s. 14–20) pro pěknou diskusi o argumentech nezbytnosti a závěru o nejlepším vysvětlení. Viz také Maddy (1992) a Resnik (1995a) pro varianty Quine-Putnam verze argumentu. Je třeba dodat, že ačkoli zde uvedená verze argumentu je obecně připisována Quinemu a Putnamovi,liší se v mnoha ohledech od argumentů uvedených Quine nebo Putnam.^[1]

• 1. Zpřesnění argumentu nezbytnosti quine-Putnamu
• 2. Co je nezbytné?
• 3. Naturalismus a holismus
• 4. Námitky
• 5. Vysvětlující verze argumentu
• 6. Závěr
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Zpřesnění argumentu nezbytnosti quine-Putnamu

Argument nezbytnosti Quine-Putnamu přitahoval velkou pozornost, zčásti proto, že mnozí jej považují za nejlepší argument pro matematický realismus (nebo platonismus). Anti-realisté o matematických entitách (nebo nomantistech) tedy musí identifikovat, kde se argument Quine-Putnam pokazí. Mnoho platonistů se naopak na tento argument velmi silně opírá, aby ospravedlnilo svou víru v matematické entity. Tento argument uvádí, že nominanti, kteří chtějí být realističtí vůči jiným teoretickým entitám vědy (kvarky, elektrony, černé díry apod.), Jsou ve zvláště obtížném postavení. Obvykle přijímají něco jako argument Quine-Putnam ^[2]) jako ospravedlnění realismu o kvarkech a černých dírách. (To je to, co Quine (1980b, s. 45) nazývá držením „dvojího standardu“s ohledem na ontologii.)

V budoucnu uvedeme argument nezbytnosti Quine-Putnam v následující explicitní podobě:

(P1) Měli bychom mít ontologický závazek ke všem a pouze k entitám, které jsou nezbytné pro naše nejlepší vědecké teorie.

(P2) Matematické entity jsou nepostradatelné pro naše nejlepší vědecké teorie.

(C) Měli bychom mít ontologický závazek k matematickým entitám.

Takto formulovaný argument je platný. To nutí fokus na dva prostory. Zejména vyvstává přirozeně několik důležitých otázek. První se týká toho, jak chápeme tvrzení, že matematika je nezbytná. To řešíme v další části. Druhá otázka se týká prvního předpokladu. Není ani zdaleka tak zřejmý jako druhý a zjevně potřebuje nějakou obranu. O jeho obraně pojednáme v následující části. Poté předložíme některé z důležitějších námitek proti argumentu, než zvážíme roli argumentu Quine-Putnam ve větším schématu věcí - kde stojí ve vztahu k jiným vlivným argumentům pro a proti matematickému realismu.

2. Co je nezbytné?

Otázka, jak bychom měli rozumět „nepostradatelnosti“v současném kontextu, je pro argument Quine-Putnam zásadní, přesto se jí však překvapivě málo věnovala. Quine ve skutečnosti hovoří o entitách kvantifikovaných v kanonické podobě našich nejlepších vědeckých teorií spíše než o nezbytnosti. Debata však stále pokračuje, pokud jde o nezbytnost, a proto bychom byli dobře poslouží k objasnění tohoto pojmu.

První věcí, kterou je třeba poznamenat, je to, že „výdejnost“není stejná jako „eliminovatelnost“. Pokud by tomu tak nebylo, každá entita by byla postradatelná (kvůli Craigově větě). ^[3]Požadujeme, aby byla entita „postradatelná“, aby byla eliminovatelná a aby teorie vyplývající z eliminace entity byla atraktivní teorií. (Možná, ještě silnější, vyžadujeme, aby výsledná teorie byla atraktivnější než původní.) Budeme muset vysvětlit, co se počítá jako atraktivní teorie, ale za tímto účelem se můžeme odvolat ke standardním desiderátům pro dobré vědecké teorie: empirický úspěch; unificatory power; jednoduchost; vysvětlující moc; plodnost atd. Samozřejmě bude probíhat debata o tom, jaká desiderata jsou vhodná a o jejich relativním vážení, ale takové otázky je třeba řešit a řešit nezávisle na otázkách nezbytnosti. (Viz Burgess (1983) a Colyvan (1999) pro více o těchto otázkách.)

Tyto problémy přirozeně vyvolávají otázku, kolik matematiky je nepostradatelné (a tedy kolik matematiky nese ontologický závazek). Zdá se, že argument nepostradatelnosti pouze ospravedlňuje víru v dost matematiky, aby sloužila potřebám vědy. Zjistíme tedy, že Putnam hovoří o „stanovených teoretických„ potřebách “fyziky (Putnam 1979b, s. 346) a Quine tvrdí, že vyšší dosahy teorie množin jsou„ matematická rekreace… bez ontologických práv “(Quine 1986, s. 400).), protože nenajdou fyzické aplikace. Dalo by se přijmout méně omezující linii a tvrdit, že vyšší dosahy teorie množin, i když bez fyzických aplikací, nese ontologický závazek na základě skutečnosti, že mají aplikace v jiných částech matematiky. Dokud bude řetězec aplikací ve fyzikální vědě nakonec „zdola“, můžeme oprávněně tvrdit, že celý řetězec nese ontologický závazek. Sám Quine ospravedlňuje určitou teorii transfinitových množin v těchto liniích (Quine 1984, s. 788), ale nevidí žádný důvod jít za rámec konstruovatelných sad (Quine 1986, s. 400). Jeho důvody pro toto omezení však mají jen málo společného s argumentem nezbytnosti, a proto příznivci tohoto argumentu nemusejí být v Quine na straně.mají jen málo společného s argumentem nepostradatelnosti, a proto příznivci tohoto argumentu nemusejí být v této otázce na straně Quine.mají jen málo společného s argumentem nepostradatelnosti, a proto příznivci tohoto argumentu nemusejí být v této otázce na straně Quine.

3. Naturalismus a holismus

Ačkoli byly zpochybněny oba předpoklady nezbytnosti Quine-Putnam, je to první předpoklad, který je zřejmě zapotřebí podporovat. Tato podpora pochází z doktrín naturalismu a holismu.

Po Quine je naturalismus obvykle považován za filozofickou doktrínu, že neexistuje první filozofie a že filozofický podnik je spojitý s vědeckým podnikem (Quine 1981b). Tímto Quine znamená, že filosofie není ani před, ani privilegovaná před vědou. Věda takto konstruovaná (tj. S filozofií jako spojitou součástí) se navíc považuje za úplný příběh světa. Tato doktrína vychází z hlubokého respektu k vědecké metodologii a uznání nepopiratelného úspěchu této metodologie jako způsobu zodpovězení základních otázek o veškeré povaze věcí. Jak naznačuje Quine, jeho zdroj spočívá v „neregulovaném realismu, robustním stavu mysli přírodního vědce, který nikdy necítil žádné výhrady, které by přesahovaly nejasné vnitřní nejistoty ve vědě“(Quine 1981b, s. 72). Pro metafyzika to znamená hledat v našich nejlepších vědeckých teoriích, aby určily, co existuje, nebo přesněji to, co bychom měli věřit. Stručně řečeno, naturalismus vylučuje nevědecké způsoby určování toho, co existuje. Například naturalismus vylučuje víru v transmigraci duší z mystických důvodů. Naturalismus by však nevyloučil transmigraci duší, pokud by naše nejlepší vědecké teorie vyžadovaly pravdu této doktríny. Vyloučit transmigraci duší, pokud by naše nejlepší vědecké teorie vyžadovaly pravdu této doktríny. Vyloučit transmigraci duší, pokud by naše nejlepší vědecké teorie vyžadovaly pravdu této doktríny.^[4]

Naturalismus nám tedy dává důvod věřit v entity v naše nejlepší vědecké teorie a žádné jiné entity. Podle toho, jak přesně chápete naturalismus, vám může, ale nemusí říci, zda věřit ve všechny entity vašich nejlepších vědeckých teorií. Bereme za to, že naturalismus nám dává nějaký důvod věřit ve všechny takové entity, ale že je to proveditelné. Právě tam přichází do popředí holismus: zejména potvrzující holismus.

Potvrzující holismus je názor, že teorie jsou potvrzeny nebo zamítnuty jako celky (Quine 1980b, s. 41). Pokud je tedy teorie potvrzena empirickými nálezy, je potvrzena celá teorie. Potvrzuje se zejména jakákoli matematika využívaná v teorii (Quine 1976, s. 120–122). Dále je to ten samý důkaz, o kterém se žádá při ospravedlnění víry v matematické složky teorie, o které se žádá v ospravedlnění empirické části teorie (pokud se empirický fakt skutečně dá oddělit od matematického vůbec). Naturalismus a holismus společně pak ospravedlňují P1. Zhruba, naturalismus nám dává „jediný“a holismus nám dává „vše“v P1.

Stojí za zmínku, že v Quineových spisech existují alespoň dvě holistická témata. Prvním z nich je potvrzující holismus diskutovaný výše (často nazývaný teze Quine-Duhem). Druhým je sémantický holismus, což je názor, že významovou jednotkou není jediná věta, ale soustava vět (av některých extrémních případech celý jazyk). Tento posledně uvedený holismus úzce souvisí s Quinovým známým popřením analyticko-syntetického rozlišení (Quine 1980b) a jeho stejně slavnou neurčitostí překladatelské práce (Quine 1960). Ačkoli pro Quina, sémantický holismus a konfirmační holismus spolu úzce souvisí, existuje dobrý důvod je odlišit, protože první je obecně považován za vysoce kontroverzní, zatímco druhý je považován za relativně nekontroverzní.

Proč je to důležité pro současnou debatu, je to, že Quine výslovně uplatňuje kontroverzní sémantický holismus na podporu argumentu nezbytnosti (Quine 1980b, s. 45–46). Většina komentátorů je však toho názoru, že k potvrzení argumentu nepostradatelnosti je zapotřebí pouze potvrzující holismus (viz například Colyvan (1998a); Field (1989, s. 14–20); Hellman (1999); Resnik () 1995a; 1997); Maddy (1992)) a moje prezentace zde vyplývá, že přijímaná moudrost. Je však třeba mít na paměti, že zatímco argument, který je takto vykládán, má Quinean v chuti, není to striktně řečeno Quinův argument.

4. Námitky

Proti argumentu nepostradatelnosti bylo mnoho námitek, včetně obav Charlese Parsonse (1980), že jasnost základních matematických výroků je ponechána nezohledněna quinským obrazem a Philip Kitcherův (1984, s. 104–105) se obává, že argument nezbytnosti nevysvětluje, proč je matematika pro vědu nepostradatelná. Největší pozornosti však mají námitky vůči Hartry Field, Penelope Maddy a Elliott Sober. V posledních diskusích o ontologii matematiky dominoval zejména program nominace Fielda.

Field (1980) představuje důvod pro popření druhého předpokladu argumentu Quine-Putnam. To znamená, že navrhuje, že navzdory vnějšímu vzhledu není matematika pro vědu nezbytná. Fieldův projekt má dvě části. Prvním je argumentovat, že matematické teorie nemusí být pravdivé, aby byly užitečné v aplikacích, musí být pouze konzervativní. (To je, hrubě, to jestliže matematická teorie je přidána k nominální vědecké teorii, následovat žádné nominální důsledky, které by nevyplývaly z nominální vědecké teorie samy.) Toto vysvětlí to proč matematika může být používána ve vědě, ale to nevysvětluje to proč se používá. To je způsobeno tím, že matematika výrazně zjednodušuje výpočet a vyjádření různých teorií. Takže pro poleužitečnost matematiky je pouze pragmatická - matematika není přece jen nezbytná.

Druhou částí programu Field je ukázat, že naše nejlepší vědecké teorie mohou být vhodně nominovány. To znamená, že se snaží ukázat, že bychom mohli udělat bez kvantifikace nad matematickými entitami a že to, co by nám zbylo, by byly přiměřeně atraktivní teorie. Za tímto účelem je spokojen s tím, že nominuje velkou část newtonovské gravitační teorie. Ačkoli to zdaleka nevykazuje, že všechny naše současné nejlepší vědecké teorie lze nominovat, rozhodně to není triviální. Doufáme, že jakmile uvidíme, jak lze dosáhnout odstranění odkazu na matematické entity pro typickou fyzikální teorii, bude se zdát pravděpodobné, že by projekt mohl být dokončen pro zbytek vědy. ^[5]

O pravděpodobnosti úspěchu programu Field se hodně debatovalo, ale málokdo pochyboval o jeho významu. Nedávno však Penelope Maddy poukázala na to, že pokud je P1 nepravdivý, může se Fieldův projekt ukázat jako irelevantní pro debatu o realismu / antirealismu v matematice.

Maddy předkládá některé závažné námitky proti první premise argumentu nezbytnosti (Maddy 1992; 1995; 1997). Zejména navrhuje, že bychom neměli mít ontologický závazek vůči všem entitám nezbytným pro naše nejlepší vědecké teorie. Její námitky upozorňují na problémy sladění naturalismu s potvrzujícím holismem. Poukazuje zejména na to, jak holistický pohled na vědecké teorie má problémy vysvětlující legitimitu určitých aspektů vědeckých a matematických postupů. Postupy, které by podle všeho měly být legitimní vzhledem k vysoké úctě k vědecké praxi, kterou naturalismus doporučuje. Je důležité si uvědomit, že její námitky jsou z větší částise zabývají metodologickými důsledky přijetí chinských doktrín naturalismu a holismu - doktrín používaných k podpoře prvního předpokladu. První předpoklad je tak zpochybněn podkopáním jeho podpory.

Maddyho první námitka proti argumentu nepostradatelnosti je taková, že skutečné postoje pracujících vědců ke složkám dobře potvrzených teorií se liší od víry přes toleranci až po úplné odmítnutí (Maddy 1992, s. 280). Jde o to, že naturalismus nám radí, abychom respektovali metody pracujících vědců, a přesto nám holismus zjevně říká, že pracující vědci by neměli mít tak odlišnou podporu entitám v jejich teoriích. Maddy naznačuje, že bychom se měli držet naturalismu a ne holismu. Měli bychom tedy podpořit postoje pracujících vědců, kteří zjevně nevěří ve všechny entity představované našimi nejlepšími teoriemi. Měli bychom tedy odmítnout P1.

Další problém vyplývá z prvního. Jakmile člověk odmítne obraz vědeckých teorií jako homogenní jednotky, vyvstává otázka, zda matematické části teorií spadají do pravých prvků potvrzených teorií nebo do idealizovaných prvků. Maddy to navrhuje. Důvodem je to, že se zdá, že samotní vědci nepovažují nepostradatelné použití matematické teorie za známku pravdy o dané matematice. Například falešný předpoklad, že voda je nekonečně hluboká, se často používá při analýze vodních vln, nebo se předpokládá, že hmota je spojitá, se běžně vytváří v dynamice tekutin (Maddy 1992, s. 281–282). Tyto případy naznačují, že vědci se dovolávají matematiky, která je nezbytná pro splnění úkolu,bez ohledu na pravdivost dané matematické teorie (Maddy 1995, s. 255). Znovu se zdá, že potvrzující holismus je v rozporu se skutečnou vědeckou praxí, a tedy s naturalismem. A opět Maddy s naturalismem. (Viz také Parsons (1983) o některých souvisejících obavách z quinejského holismu.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli brát nezbytnost některých matematických teorie ve fyzické aplikaci jako indikace pravdy matematické teorie. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.str. 255). Znovu se zdá, že potvrzující holismus je v rozporu se skutečnou vědeckou praxí, a tedy s naturalismem. A opět Maddy s naturalismem. (Viz také Parsons (1983) o některých souvisejících obavách z quinejského holismu.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli brát nezbytnost některých matematických teorie ve fyzické aplikaci jako indikace pravdy matematické teorie. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.str. 255). Znovu se zdá, že potvrzující holismus je v rozporu se skutečnou vědeckou praxí, a tedy s naturalismem. A opět Maddy s naturalismem. (Viz také Parsons (1983) o některých souvisejících obavách z quinejského holismu.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli brát nezbytnost některých matematických teorie ve fyzické aplikaci jako indikace pravdy matematické teorie. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.a tedy s naturalismem. A opět Maddy s naturalismem. (Viz také Parsons (1983) o některých souvisejících obavách z quinejského holismu.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli brát nezbytnost některých matematických teorie ve fyzické aplikaci jako indikace pravdy matematické teorie. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.a tedy s naturalismem. A opět Maddy s naturalismem. (Viz také Parsons (1983) o některých souvisejících obavách z quinejského holismu.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli brát nezbytnost některých matematických teorie ve fyzické aplikaci jako indikace pravdy matematické teorie. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí k postoje pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli nepostradatelnost některé matematické teorie ve fyzické aplikaci považovat za označení pravdy matematické teorie.. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že dotyčná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.) Jde o to, že pokud nás naturalismus radí stranou s postoji pracujících vědců v takových věcech, pak se zdá, že bychom neměli nepostradatelnost některé matematické teorie ve fyzické aplikaci považovat za označení pravdy matematické teorie.. Navíc, protože nemáme důvod se domnívat, že daná matematická teorie je pravdivá, nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.nemáme důvod se domnívat, že entity uvedené v (matematické) teorii jsou skutečné. Takže bychom měli znovu odmítnout P1.

Maddyho třetí námitkou je, že je těžké pochopit, co pracující matematici dělají, když se snaží urovnat nezávislé otázky. Jsou to otázky, které jsou nezávislé na standardních axiomech teorie množin - axiomy ZFC. ^[6]Za účelem vyřešení některých z těchto otázek byly navrženy nové kandidáty axiomů, které doplňují ZFC, a na podporu těchto kandidátů byly předloženy argumenty. Problém je v tom, že se zdá, že předložené argumenty nemají nic společného s aplikacemi ve fyzikální vědě: jsou to obvykle intra-matematické argumenty. Podle teorie nezbytnosti by však nové axiomy měly být hodnoceny podle toho, jak dobře se shodují s našimi současnými nejlepšími vědeckými teoriemi. To znamená, že teoretici souboru by měli posuzovat nové kandidáty axiomů jedním okem na nejnovější vývoj ve fyzice. Vzhledem k tomu, že teoretici množiny to neudělají, potvrzující holismus se znovu jeví jako obhajující revizi standardní matematické praxe, a to také tvrdí, Maddy, je v rozporu s naturalismem (Maddy 1992, s. 286–289).

Přestože Maddy tuto námitku netvoří způsobem, který by byl v přímém rozporu s P1, určitě ilustruje napětí mezi naturalismem a potvrzujícím holismem. ^[7] A protože oba jsou požadovány pro podporu P1, námitka nepřímo zpochybňuje P1. Maddy však souhlasí s naturalismem, a proto vznáší námitku, aby prokázal, že potvrzující holismus je nepravdivý. Ponecháme diskusi o dopadu, který by odmítnutí potvrzujícího holismu mělo na argument nezbytnosti, až poté, co nastíníme Soberovu námitku, protože Sober dospěje k téměř stejnému závěru.

Elliott Soberova námitka úzce souvisí s Maddyho druhou a třetí námitkou. Sober (1993) zpochybňuje tvrzení, že matematické teorie sdílejí empirickou podporu získanou našimi nejlepšími vědeckými teoriemi. V podstatě tvrdí, že matematické teorie nejsou testovány stejným způsobem jako jasně empirické teorie vědy. Poukazuje na to, že hypotézy jsou potvrzeny ve vztahu k konkurenčním hypotézám. Pokud je tedy matematika potvrzena spolu s našimi nejlepšími empirickými hypotézami (jak tvrdí teorie nepostradatelnosti), musí existovat konkurenti bez matematiky. Sober však zdůrazňuje, že všechny vědecké teorie používají společné matematické jádro. Jelikož tedy neexistují konkurenční hypotézy, je chybou si myslet, že matematika dostává potvrzující podporu z empirických důkazů tak, jak to dělají jiné vědecké hypotézy.

To samo o sobě nepředstavuje námitku proti P1 argumentu nepostradatelnosti, jak Sober rychle poukazuje (Sober 1993, s. 53), ačkoli to představuje námitku proti celkovému názoru Quine, že matematika je součástí empirické vědy. Stejně jako u Maddyho třetí námitky, to nám dává důvod odmítnout potvrzující holismus. Dopad těchto námitek na P1 závisí na tom, jak zásadní je podle vás potvrzující holismus v tomto předpokladu. Pokud je potvrzovací holismus odmítnut, je jistě hodně z intuitivního odvolání P1 narušeno. V každém případě souhlasit s uzavřením argumentu nepostradatelnosti tváří v tvář Soberovým nebo Maddyho námitkám znamená zastávat názor, že je přípustné přinejmenším mít ontologický závazek vůči subjektům, které nedostávají žádnou empirickou podporu. Pokud to není přímo neudržitelné,není rozhodně v duchu původního argumentu Quine-Putnam.

5. Vysvětlující verze argumentu

Argumenty proti holismu od Maddyho a Sobera vedly k přehodnocení argumentu nezbytnosti. Pokud, conta Quine, vědci nepřijmou všechny entity našich nejlepších vědeckých teorií, kde nás to nechá? Potřebujeme kritéria, kdy léčit pozitivy realisticky. Zde je zajímavá změna debaty o argumentu nezbytnosti. Vědeckí realisté přinejmenším přijímají ty pozice našich nejlepších vědeckých teorií, které přispívají k vědeckým vysvětlením. Podle této myšlenkové linie bychom měli věřit v elektrony, řekněme, ne proto, že jsou nepostradatelné pro naše nejlepší vědecké teorie, ale proto, že jsou nepostradatelní velmi konkrétním způsobem: jsou vysvětlitelně nepostradatelní. Pokud by matematika dokázala tímto způsobem přispět k vědeckým vysvětlením,matematický realismus by byl opět na stejné úrovni jako vědecký realismus. To je ve skutečnosti většina současné diskuse o argumentu nezbytnosti. Ústřední otázkou je: přispívá matematika k vědeckým vysvětlením, a pokud ano, dělá to správným způsobem.

Jeden příklad toho, jak by mohla být matematika považována za vysvětlující, je nalezen v periodickém případě cikády (Yoshimura 1997 a Baker 2005). Zjistilo se, že severoamerické kouzlody mají životní cykly 13 nebo 17 let. Někteří biologové navrhují, že existuje taková evoluční výhoda v tom, že takové životní cykly s prvořadým číslem existují. Předpokládané životní cykly znamenají, že se Magicicadas vyhýbají konkurenci, potenciálním predátorům a hybridizaci. Myšlenka je poměrně jednoduchá: protože prvočísla nemají netriviální faktory, existuje jen velmi málo dalších životních cyklů, které lze synchronizovat s prvočíselným životním cyklem. Magicicadas tak mají efektivní strategii vyhýbání se, za které budou za určitých podmínek vybrány. Zatímco pokročilé vysvětlení zahrnuje biologii (např. Evoluční teorie, teorie konkurence a predace),zásadní část vysvětlení vychází z teorie čísel, konkrétně ze základní skutečnosti o prvočíslech. Baker (2005) tvrdí, že se jedná o skutečně matematické vysvětlení biologické skutečnosti. V literatuře jsou i další příklady údajných matematických vysvětlení, ale toto zůstává nejrozšířenějším tématem a je to něco jako plakátové dítě pro matematické vysvětlení.

Otázky týkající se tohoto případu se zaměřují na to, zda matematika skutečně přispívá k vysvětlení (nebo zda se pouze zasazuje o biologická fakta a to je to, co skutečně vysvětluje), zda údajné vysvětlení je vůbec vysvětlení a zda příslušná matematika je zapojena do vysvětlení správným způsobem. Konečně stojí za zmínku, že ačkoli nedávný zájem o matematické vysvětlení vzešel z debat o nezbytnosti, stav matematických vysvětlení v empirických vědách také přitahoval zájem sám o sobě. Navíc,taková vysvětlení (někdy nazývaná „mimomatematická vysvětlení“) vedou velmi přirozeně k přemýšlení o vysvětlení matematických skutečností odvoláním se na další matematická fakta (někdy nazývaná „intra-matematické vysvětlení“). Tyto dva druhy matematického vysvětlení jsou samozřejmě spojeny. Pokud například některá věta matematiky spočívá v vysvětlujícím důkazu, pak jakákoli aplikace této věty v empirické říši by mohla vést k prima facie případu, že úplné vysvětlení daného empirického fenoménu zahrnuje intra- matematické vysvětlení věty. Z těchto a dalších důvodů přitahovaly oba druhy matematického výkladu v posledních letech velký zájem filosofů matematiky a filosofů vědy. Tyto dva druhy matematického vysvětlení jsou samozřejmě spojeny. Pokud například některá věta matematiky spočívá v vysvětlujícím důkazu, pak jakákoli aplikace této věty v empirické říši by mohla vést k prima facie případu, že úplné vysvětlení daného empirického fenoménu zahrnuje intra- matematické vysvětlení věty. Z těchto a dalších důvodů přitahovaly oba druhy matematického výkladu v posledních letech velký zájem filosofů matematiky a filosofů vědy. Tyto dva druhy matematického vysvětlení jsou samozřejmě spojeny. Pokud například některá věta matematiky spočívá v vysvětlujícím důkazu, pak jakákoli aplikace této věty v empirické říši by mohla vést k prima facie případu, že úplné vysvětlení daného empirického fenoménu zahrnuje intra- matematické vysvětlení věty. Z těchto a dalších důvodů přitahovaly oba druhy matematického výkladu v posledních letech velký zájem filosofů matematiky a filosofů vědy.pak jakékoli použití této věty v empirické říši by vedlo k prima facie případu, že úplné vysvětlení daného empirického jevu zahrnuje intra-matematické vysvětlení věty. Z těchto a dalších důvodů přitahovaly oba druhy matematického výkladu v posledních letech velký zájem filosofů matematiky a filosofů vědy.pak jakékoli použití této věty v empirické říši by vedlo k prima facie případu, že úplné vysvětlení daného empirického jevu zahrnuje intra-matematické vysvětlení věty. Z těchto a dalších důvodů přitahovaly oba druhy matematického výkladu v posledních letech velký zájem filosofů matematiky a filosofů vědy.

6. Závěr

Není jasné, jak poškozují výše uvedené kritiky argument nezbytnosti a zda vysvětlující verze argumentu přetrvává. Debata je skutečně velmi živá a mnoho posledních článků se věnuje tomuto tématu. (Viz bibliografické poznámky níže.) S touto debatou úzce souvisí otázka, zda existují nějaké jiné slušné argumenty pro platonismus. Pokud, jak někteří věří, argument nezbytnosti je jediným argumentem platonismu, který stojí za zvážení, pak pokud selže, zdá se, že platonismus ve filozofii matematiky je bankrotem. Relevantní je pak stav dalších argumentů pro a proti matematickému realismu. V každém případě stojí za zmínku, že argument nepostradatelnosti je jedním z mála argumentů, které ovládly diskuse o ontologii matematiky. Je proto důležité, aby tento argument nebyl posuzován izolovaně.

Dva nejdůležitější argumenty proti matematickému realismu jsou epistemologický problém platonismu - jak se dozvíme znalosti kauzálně inertních matematických entit? (Benacerraf 1983b) - a problém neurčitosti pro redukci čísel na množiny - pokud jsou čísla množinami, které množiny jsou (Benacerraf 1983a)? Kromě argumentu nezbytnosti se další hlavní argument pro matematický realismus odvolává na touhu po jednotné sémantice pro všechny diskurzy: matematické i nematematické (Benacerraf 1983b). Matematický realismus samozřejmě tuto výzvu snadno zvládne, protože vysvětluje pravdu matematických prohlášení přesně stejným způsobem jako v jiných oblastech. ^[8] Není však jasné, jak může nominalizmus poskytnout jednotnou sémantiku.

Konečně je třeba zdůraznit, že i když je argument nezbytnosti jediným dobrým argumentem pro platonismus, selhání tohoto argumentu nutně neopravňuje nominalizmus, protože ten druhý může být bez podpory. Zdá se však spravedlivé říci, že pokud jsou námitky proti argumentu nezbytnosti trvající, je jeden z nejdůležitějších argumentů platonismu podkopán. To by ponechalo platonismus na poněkud roztřesené půdě.

Bibliografie

Ačkoli argument nepostradatelnosti se nachází na mnoha místech Quinových spisů (včetně 1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c), locus classicus je Putnamova krátká monografie Filozofie logiky (zařazena jako kapitola druhého vydání třetího dílu) jeho sebraných papírů (Putnam, 1979b)). Viz také Putnam (1979a) a zavedení Fielda (1989), který má vynikající náčrt argumentu. Colyvan (2001) je trvalá obrana argumentu.

Viz Chihara (1973) a Field (1980; 1989) pro útoky na druhý předpoklad a Colyvan (1999; 2001), Lyon a Colyvan (2008), Maddy (1990), Malament (1982), Resnik (1985), Shapiro (1983) a Urquhart (1990) za kritiku Fieldova programu. Pro docela komplexní pohled na nominální strategie ve filozofii matematiky (včetně dobré diskuse o Fieldově programu), viz Burgess a Rosen (1997), zatímco Feferman (1993) zpochybňuje množství matematiky potřebné pro empirickou vědu. Viz Azzouni (1997; 2004; 2012), Balaguer (1996b; 1998), Bueno (2012), Leng (2002; 2010; 2012), Liggins (2012), Maddy (1992; 1995; 1997), Melia (2000; 2002)), Peressini (1997), Pincock (2004), Sober (1993), Vineberg (1996) a Yablo (1998; 2005; 2012) pro útoky na první předpoklad. Baker (2001; 2005; 2012), Bangu (2012), Colyvan (1998a; 2001; 2002;2007; 2010; 2012), Hellman (1999) a Resnik (1995a; 1997) odpoví na některé z těchto námitek.

Varianty argumentu Quinean nepostradatelnosti viz Maddy (1992) a Resnik (1995a).

O vysvětlující verzi argumentu nepostradatelnosti bylo nedávno vydáno velké množství literatury. Včasné prezentace takového argumentu lze nalézt v Colyvan (1998b; 2002), a nejjasněji v Baker (2005), ačkoli tuto práci očekával Steiner (1978a; 1978b) o matematickém vysvětlování a Smart na geometrickém vysvětlení (1990). Mezi klíčové články o vysvětlující verzi argumentu patří Baker (2005; 2009; 2012; 2017), Bangu (2008; 2013), Baron (2014), Batterman (2010), Bueno a francouzština (2012), Colyvan (2002; 2010; 2012; 2018), Lyon (2012), Rizza (2011), Saatsi (2011; 2016) a Yablo (2012).

Z této debaty o úloze matematického vysvětlení v argumentech nepostradatelnosti byl obnoven zájem o matematické vysvětlení pro jeho vlastní potřebu. To zahrnuje práci na sladění matematických vysvětlení ve vědě s jinými formami vědeckého vysvětlení, jakož i zkoumání vysvětlení v samotné matematice. Některé z těchto prací zahrnují: Baron (2016) Baron et al. (2017), Colyvan a kol. (2018), Lange (2017), Mancosu (2008) a Pincock (2011).

• Azzouni, J., 1997, „Aplikovaná matematika, existenciální závazek a dizertační práce nezbytná pro Quine-Putnam“, Philosophia Mathematica, 5 (3): 193–209.
• –––, 2004, Deflace existenciálních důsledků, New York: Oxford University Press.
• –––, 2012, „Vyjíždění ze silnice bez problémů“, Mind, 121 (484): 951–965.
• Baker, A., 2001, „Matematika, nezbytnost a vědecký pokrok“, Erkenntnis, 55 (1): 85–116.
• –––, 2005, „Existují pravá matematická vysvětlení fyzikálních jevů?“, Mind, 114 (454): 223–238.
• –––, 2009, „Matematické vysvětlení ve vědě“, British Journal for the Philosophy of Science, 60 (3): 611–633.
• ––– 2012, „Vědecké matematické vysvětlení“, Mind, 121 (482): 243–267.
• –––, 2017, „Matematické spandrely“, Australasian Journal of Philosophy, 95 (4): 779–793.
• Balaguer, M., 1996a, „Směrem k nominaci kvantové mechaniky“, Mind, 105 (418): 209–226.
• –––, 1996b, „Fictionalistický účet nezbytných aplikací matematiky“, filozofická studia, 83 (3): 291–314.
• –––, 1998, platonismus a antiplatonismus v matematice, New York: Oxford University Press.
• Bangu, SI, 2008, „Inference k nejlepšímu vysvětlení a matematickému realismu“, Synthese, 160 (1): 13–20.
• –––, 2012, Použitelnost matematiky ve vědě: Nepostradatelnost a ontologie, Londýn: Palmgrave, MacMillan.
• ––– 2013, „Nepostradatelnost a vysvětlení“, British Journal for the Philosophy of Science, 64 (2): 225–277.
• Baron, S., 2014, „Optimalizace a matematické vysvětlení: Doing the Lévy Walk“, Synthese, 191 (3): 459–479.
• ––– 2016, „Vysvětlení matematického vysvětlení“, The Philosophical Quarterly, 66 (264): 458–480.
• Baron, S., Colyvan, M. a Ripley, D., 2017, „Jak může matematika udělat rozdíl“, otisk filozofů, 17 (3): 1–29.
• Batterman, R., 2010, „O vysvětlující roli matematiky v empirických vědách“, British Journal for Philosophy of Science, 61 (1): 1–25.
• Benacerraf, P., 1983a, „Jaká čísla nemohou být“, dotisknut v Benacerrafu a Putnamovi (1983), s. 272–294.
• –––, 1983b, „Matematická pravda“, dotisknut v Benacerraf a Putnam (1983), s. 403–420 a v Hart (1996), s. 14–30.
• Benacerraf, P. a Putnam, H. (eds.), 1983, Filozofie matematiky: Vybrané čtení, 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bueno, O., 2003, „Je možné nominovat kvantovou mechaniku?“, Philosophy of Science, 70 (5): 1424–1436.
• ––– 2012, „Snadná cesta k nominalismu“, Mind, 121 (484): 967–982.
• Bueno, O. a French, S., 2012, „Může matematika vysvětlit fyzikální jevy?“, British Journal for the Philosophy of Science, 63 (1): 85–113.
• Burgess, J., 1983, „Proč nejsem nominalista“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24 (1): 93–105.
• Burgess, J. a Rosen, G., 1997, Subjekt bez předmětu: Strategie pro noministickou interpretaci matematiky, Oxford: Clarendon.
• Chihara, C., 1973, ontologie a princip začarovaného kruhu, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• Colyvan, M., 1998a, „V obraně nepostradatelnosti“, Philosophia Mathematica, 6 (1): 39–62.
• –––, 1998b, „Může být eleatický princip ospravedlněn?“, Canadian Journal of Philosophy, 28 (3): 313–336.
• –––, 1999, „Teorie a nezbytnost potvrzení“, Filozofická studia, 96 (1): 1–19.
• –––, 2001, Nepostradatelnost matematiky, New York: Oxford University Press.
• –––, 2002, „Matematika a estetické úvahy ve vědě“, Mind, 111 (441): 69–74.
• ––– 2007, „Matematická rekreace versus matematické znalosti“, M. Leng, A. Paseau a M. Potter (ed.), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, str. 109–122.
• ––– 2010, „Není snadná cesta k nominalismu“, Mind, 119 (474): 285–306.
• ––– 2012, „Práce na silnici dopředu: těžká technika na snadné silnici“, Mind, 121 (484): 1031–1046.
• –––, 2018, „Vstupy a výstupy matematického vysvětlení“, Mathematical Intelligencer, 40 (4): 26–9.
• Colyvan, M., Cusbert, J., a McQueen, K., 2018, „Two Flavours of Mathematical Explanation“, v A. Reutlinger a J. Saatsi (ed.), Vysvětlení za příčinnou souvislost, Oxford: Oxford University Press, pp 231–249.
• Feferman, S., 1993, „Proč trochu jde dlouhou cestu: Logické základy vědecky aplikovatelné matematiky“, Sborník filozofické asociace věd, 2: 442–455.
• Pole, HH, 1980, Věda bez čísel: Obrana nominace, Oxford: Blackwell.
• –––, 1989, Realismus, Matematika a modalita, Oxford: Blackwell.
• Hart, WD (ed.), 1996, The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
• Hellman, G., 1999, „Některé ins a outs nevyhnutnosti: Modální-strukturální perspektiva“, v A. Cantini, E. Casari a P. Minari (eds.), Logika a základy matematiky, Dordrecht: Kluwer, pp 25–39.
• Irvine, AD (ed.), 1990, Physism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer.
• Kitcher, P., 1984, The Nature of Mathematical Knowledge, New York: Oxford University Press.
• Lange, M., 2017, Protože bez příčiny: Kauzální vysvětlení ve vědě a matematice, Oxford: Oxford University Press.
• Leng, M., 2002, „Co je špatného na nepostradatelnosti? (Nebo Případ pro rekreační matematiku) “, Synthese, 131 (3): 395–417.
• –––, 2010, Matematika a realita, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2012, „Ber to snadno: Reakce na Colyvan“, Mind, 121 (484): 983–995.
• Liggins, D., 2012, „Weaseling a obsah vědy“, Mind, 121 (484): 997–1005.
• Lyon, A., 2012, „Matematická vysvětlení empirických skutečností a matematický realismus“, Australasian Journal of Philosophy, 90 (3): 559–578.
• Lyon, A. a Colyvan, M., 2008, „Vysvětlující síla fázových prostorů“, Philosophia Mathematica, 16 (2): 227–243.
• Maddy, P., 1990, „Physicalistic Platonism“, v AD Irvine (ed.), Physism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, pp. 259–289.
• –––, 1992, „Nepostradatelnost a praxe“, Journal of Philosophy, 89 (6): 275–289.
• –––, 1995, „Naturalismus a ontologie“, Philosophia Mathematica, 3 (3): 248–270.
• –––, 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1998, „Jak se stát přírodovědcem o matematice“, v HG Dales a G. Oliveri (ed.), Pravda v matematice, Oxford: Clarendon, s. 161–180.
• Malament, D., 1982, „Recenze o terénních vědách bez čísel“, Journal of Philosophy, 79 (9): 523–534 a dotisknut v Resnik (1995b), s. 75–86.
• Mancosu, P., 2008, „Matematické vysvětlení: Proč na tom záleží“, v P. Mancosu (ed.), The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford: Oxford University Press, 134–150.
• Melia, J., 2000, „Weaseling Away the Argument nevyhnutelnosti“, Mind, 109 (435): 455–479
• –––, 2002, „Response to Colyvan“, Mind, 111 (441): 75–80.
• Parsons, C., 1980, „Mathematical Intuition“, Proceedings of Aristotelian Society, 80: 145–168; dotisknuto v Resnik (1995b), str. 589–612 a v Hart (1996), str. 95–113.
• –––, 1983, „Quine on the Philosophy of Mathematics“, in Mathematics in Philosophy: Selected Essays, Ithaca, NY: Cornell University Press, s. 176–205.
• Peressini, A., 1997, „Problémy s nezbytností: Aplikace čisté matematiky ve fyzikální teorii“, Philosophia Mathematica, 5 (3): 210–227.
• Pincock, C., 2004, „Odhalující chyba v Colyvanově argumentu nepostradatelnosti“, Filozofie vědy, 71 (1): 61–79.
• –––, 2011, „Matematická vysvětlení duhy“, Studium dějin a filozofie moderní fyziky, 42 (1): 13–22.
• Putnam, H., 1979a, „Co je to matematická pravda“, v matematice Matter and Method: Philosophical Papers, Svazek 1, 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press, s. 60–78.
• –––, 1979b, „Filozofie logiky“, přetištěno v matematice Věc a metoda: Philosophical Papers, Svazek 1, 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press, s. 323–357.
• –––, 2012, „Argumenty nepostradatelnosti ve filosofii matematiky“, H. Putnam, filosofie ve věku vědy: fyzika, matematika a skepticismus, Cambridge, MA: Harvard University Press, kap. 9.
• Quine, WV, 1960, Word and Object, Cambridge, MA: MIT Press.
• –––, 1976, „Carnap and Logical Truth“, vydáno v The Ways of Paradox and Other Essays, revidované vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 107–132 a v Benacerraf a Putnam (1983), s. 355 –376.
• –––, 1980a, „O tom, co existuje“, přetištěno z logického hlediska, 2. vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 1–19.
• –––, 1980b, „Dva dogmy empirismu“, přetištěno z Logického hlediska, 2. vydání, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 20–46; dotisk v Hart (1996), s. 31–51 (Odkazy na stránky jsou na první dotisk).
• –––, 1981a, „Věci a jejich místo v teoriích“, v teoriích a věcech, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 1–23.
• –––, 1981b, „Pět milníků empirismu“, Theory and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 67–72.
• –––, 1981c, „Úspěch a meze matematizace“, v teoriích a věcech, Cambridge, MA: Harvard University Press, s. 148–155.
• –––, 1984, „Recenze Parsonse, matematika ve filosofii“, Journal of Philosophy, 81 (12): 783–794.
• –––, 1986, „Answer to Charles Parsons“, v L. Hahnovi a P. Schilppovi (eds.), The Philosophy of WV Quine, La Salle, ILL: Open Court, s. 396–403.
• Resnik, MD, 1985, „Jak je nominalista v nominaci na Hartry Field“, Philosophical Studies, 47: 163–181.
• –––, 1995a, „Vědecký matematický realismus V: argument nezbytnosti“, Philosophia Mathematica, 3 (2): 166–174.
• –––, 1997, matematika jako věda vzorů, Oxford: Clarendon Press.
• Resnik, MD (ed.), 1995b, Mathematical Objects and Mathematical Knowledge, Aldershot (UK): Dartmouth.
• Rizza, D., 2011, „Magicicada, matematické vysvětlení a matematický realismus“, Erkenntnis, 74 (1): 101–114.
• Saatsi, J., 2011, „Vylepšený nepostradatelný argument: Reprezentativní versus vysvětlující role pro matematiku ve vědě“, British Journal for the Philosophy of Science, 63 (1): 143–154.
• ––– 2016, „K‚ Nepostradatelné vysvětlující roli 'z matematiky “, Mind, 125 (500): 1045–1070.
• Shapiro, S., 1983, „Conservativeness and Incompleteness“, Journal of Philosophy, 80 (9): 521–531; dotisknuto v Resnik (1995b), s. 87–97 a v Hart (1996), s. 225–234
• Smart, JJC, 1990, „Vysvětlivka-úvodní adresa“, v D. Knowles (ed.), Vysvětlení a jeho limity, Cambridge: Cambridge University Press, 1–19.
• Sober, E., 1993, „Matematika a nezbytnost“, Filozofický přehled, 102 (1): 35–57.
• Steiner, M., 1978a, „Mathematical Explanation“, Philosophical Studies, 34 (2): 135–151.
• –––, 1978b, „Matematika, vysvětlení a vědecké znalosti“, Noûs, 12 (1): 17–28.
• Urquhart, A., 1990, „Logika fyzikální teorie“, v AD Irvine (ed.), Physism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, str. 145–154.
• Vineberg, S., 1996, „Potvrzení a nezbytnost matematiky pro vědu“, PSA 1996 (Philosophy of Science, dodatek k vol. 63), s. 256–263.
• Yablo, S., 1998, „Odpočívá ontologie na chybě?“, Aristotelian Society (Supplementary Volume), 72: 229–261.
• –––, 2005, „Mýtus sedmi“, v ME Kalderon (ed.), Beletrie v metafyzice, Oxford: Oxford University Press, s. 90–115.
• ––– 2012, „Vysvětlení, extrapolace a existence“, Mind, 121 (484): 1007–1029.
• Yoshimura, J., 1997, „Evoluční původy periodických cikád během doby ledové“, americký přírodovědec, 149 (1): 112–124.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]