Nededuktivní Metody V Matematice

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

Poprvé publikováno po 17. srpnu 2009; věcná revize Út 21.dubna 2020

V současné době neexistuje jediné, dobře definované filosofické podpole věnované studiu nededuktivních metod v matematice. Protože se zde tento termín používá, zahrnuje skupinu různých filosofických pozic, přístupů a výzkumných programů, jejichž společnou motivací je názor, že (i) existují nededuktivní aspekty matematické metodologie a že (ii) identifikace a analýza z těchto aspektů má potenciál být filozoficky plodný.

1. Úvod
- 1.1 Objev versus odůvodnění
- 1.2 Odpočet a formalizace
- 1.3 Deduktivismus a nadace
2. Nededuktivní aspekty deduktivní metody
- 2.1 Aspekty neformality
  - 2.1.1 Poloformální důkazy
  - 2.1.2 Mezery v důkazech
  - 2.1.3 Diagramy
- 2.2 Ospravedlnění odpočtu
  - 2.2.1 Odůvodnění pravidel
  - 2.2.2 Stav axiomů
- 2.3 Gödel výsledky
3. Alternativní nededuktivní metody
- 3.1 Experimentální matematika
- 3.2 Enumerativní indukce
- 3.3 Počítačové důkazy
- 3.4 Pravděpodobnostní důkazy
4. Shrnutí / závěry
Bibliografie
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

1. Úvod

Filosofické pohledy na ontologii matematiky provozují gamut od platonismu (matematika je o říši abstraktních objektů), k fikci (matematika je fikce, jejíž předmět neexistuje), k formalismu (matematické výroky jsou bezvýznamné řetězce manipulované podle formálního pravidla), bez konsensu o tom, co je správné. Naproti tomu se zdá spravedlivé říci, že existuje filozoficky zavedený přijímaný pohled na základní metodologii matematiky. Zhruba to je, že matematici usilují o prokázání matematických požadavků různých druhů a tento důkaz spočívá v logickém odvození daného tvrzení z axiomů. Tento pohled má dlouhou historii;Descartes tedy ve svých Pravidlech pro směr mysli (1627–28) píše, že matematický návrh musí být „odvozen od pravých a známých principů nepřetržitým a nepřetržitým působením mysli, která má jasnou vizi každého kroku v procesu “(47). Důležitým důsledkem tohoto pohledu je to, že v matematice není prostor, alespoň v ideálním případě, pro nededuktivní metody. Frege například uvádí, že „je ve své podstatě matematika vždy upřednostňovat důkaz, pokud je to možné, před jakýmkoli potvrzením indukcí“(1884, 2). Berry (2016) nabízí novější obranu důkazů jako propagaci klíčových ctností sdíleného dotazování v rámci matematické komunity.alespoň v ideálním případě v matematice pro nededuktivní metody. Frege například uvádí, že „je ve své podstatě matematika vždy upřednostňovat důkaz, pokud je to možné, před jakýmkoli potvrzením indukcí“(1884, 2). Berry (2016) nabízí novější obranu důkazů jako propagaci klíčových ctností sdíleného dotazování v rámci matematické komunity.alespoň v ideálním případě v matematice pro nededuktivní metody. Frege například uvádí, že „je ve své podstatě matematika vždy upřednostňovat důkaz, pokud je to možné, před jakýmkoli potvrzením indukcí“(1884, 2). Berry (2016) nabízí novější obranu důkazů jako propagaci klíčových ctností sdíleného dotazování v rámci matematické komunity.

Ve filosofické literatuře možná nejslavnější výzvou pro tento obdržený pohled přišel Imre Lakatos, v jeho vlivné (posmrtně publikované) knize 1976, Důkazy a vyvrácení:

Euklidovská metodika vyvinula určitý povinný styl prezentace. Budu na to odkazovat jako na „deduktivistický styl“. Tento styl začíná pečlivě stanoveným seznamem axiomů, lemmat a / nebo definic. Axiomy a definice často vypadají uměle a mysticky komplikovaně. Nikdy není řečeno, jak tyto komplikace vznikly. Po seznamu axiomů a definic následují pečlivě formulované věty. Jsou zatíženy těžkými podmínkami; zdá se nemožné, aby je někdo mohl uhodnout. Za větou následuje důkaz.

V deduktivistickém stylu jsou všechny výroky pravdivé a všechny závěry platné. Matematika je prezentována jako stále rostoucí soubor věčných, neměnných pravd.

Deduktivistický styl skrývá boj, skrývá dobrodružství. Celý příběh mizí, následné předběžné formulace věty v průběhu důkazního řízení jsou odsouzeny k zapomnění, zatímco konečný výsledek je vyvýšen do posvátné neomylnosti (Lakatos 1976, 142).

Před pokračováním bude užitečné provést několik rozdílů, aby se zaměřila na témata následné diskuse.

1.1 Objev versus odůvodnění

Široké tvrzení, že existují některé nededuktivní aspekty matematické činnosti, se jeví jako relativně kontroverzní. To pouze znamená tvrzení, že ne všechno, co matematici dělají, když dělají matematiku, spočívá v odvozování prohlášení z jiných tvrzení. Jak říká James Franklin:

Matematika se nemůže skládat pouze z dohadů, vyvrácení a důkazů. Každý může vytvářet dohady, ale které z nich stojí za prozkoumání? … Která by mohla být schopna dokázat metodou v repertoáru matematika? … Na které je nepravděpodobné, že by odpověděli, až po dalším přezkumu držby? Matematik musí na tyto otázky odpovědět, aby přidělil svůj čas a úsilí. (Franklin 1987, 2)

Jedním ze způsobů, jak zobecnit obecné tvrzení, aby bylo ještě podstatnější, je využití známého (i když ne zcela bezproblémového) rozlišení mezi „kontextem objevu“a „kontextem ospravedlnění“. Na jedné straně může toto rozlišení umožnit zachování tradičního deduktivistického pohledu tváří v tvář Lakatosově kritice tím, že argumentuje, že to, co Lakatos ukazuje, se týká kontextu objevu v matematice. V kontextu ospravedlnění může být odvození výsledků z axiomů stále správným a úplným příběhem. Některé reakce matematiků na Lakatosovy názory mají tuto postavu, například následující poznámka Morris Kline v dopise napsaném Lakatosovi:

Věřím, že potřebujeme mnohem více literatury zdůrazňující objevovací stránku matematiky. Jak víte, a jak naznačujete, veškerý důraz je kladen na deduktivní strukturu matematiky a dojem, který je studentům dáván, spočívá v tom, že jeden vyvozuje nové závěry ze starých. ^[1]

Je také možné najít pasáže podle podobných linií v práci Pólya, který měl hlavní vliv na Lakatos:

Při studiu metod řešení problémů vnímáme další tvář matematiky. Ano, matematika má dvě tváře; je to přísná věda o Euklidu, ale je to také něco jiného. Matematika prezentovaná euklidovským způsobem se jeví jako systematická deduktivní věda, ale matematika se ve výrobě jeví jako experimentální, induktivní věda. (Pólya 1945, vii) [původní kurzíva]

A naopak, aby mohla být skutečná výzva pro známé deduktivistické postavení, musí být protinávrhem to, že nederuktivní metody hrají roli při zdůvodňování matematických výsledků (Paseau 2015). Ve zbývající části tohoto průzkumu se proto zaměří především na ospravedlňující souvislosti. ^[2]

1.2 Odpočet a formalizace

Toto není místo pro podrobnou analýzu odpočtu. Pro současné účely bude tento pojem považován za poměrně přímočarý, alespoň v zásadě. Odpočet je jakákoli sekvence příkazů, z nichž každá je odvozena od nějaké počáteční sady příkazů (prostory) nebo z předchozího příkazu v sekvenci. Jedním z problémů, který je třeba řešit, je však vztah mezi odpočtem a formalizací (viz např. Azzouni 2013).

Argument může být deduktivní, aniž by byl formální. Ačkoli se paradigmatické případy dedukce vyskytují ve vysoce formalizovaných systémech, není to nutné. „Všechna sudá čísla větší než 2 jsou složená; 1058 je větší než 2; 1058 je sudá; tedy 1058 je složený “je dokonale dobrá dedukce, přestože není formalizována. Na rozdíl od toho, co se v diskusích o těchto otázkách někdy předpokládá, není tedy pravda, že všechny neformální aspekty matematické praxe jsou tedy nededuktivní.

Na druhé straně byl vývoj formální logiky úzce spjat s poskytováním jasného jazyka pro prezentaci (a hodnocení) deduktivních matematických úvah. Ve skutečnosti, jak tvrdí John Burgess ve své (1992), moderní klasická logika se z velké části vyvinula jako základ pro matematické uvažování, zejména důkaz. Zvýšení přesnosti v matematice během 19 ^-tého století správně vnímán jako příčina, nikoli efekt, logické revoluce vyrazil tím Frege práce. Logika je podle Burgessova názoru popisná: jejím cílem je konstruovat matematické modely uvažování. Klasická logika představuje idealizovaný popis klasického matematického důkazu.

Může být také důležité odlišit neformální prvky daného matematického důkazu od neformálních prvků (pokud takové věci existují). ^[3] V oddíle 4 bude tento problém pojat v souvislosti s používáním diagramů v matematickém uvažování.

1.3 Deduktivismus a nadace

Kromě rozvoje formální logiky je dalším aspektem deduktivismu důraz na „základy“. Důvodem je to, že přechod z axiomů do věty je v zásadě jednoduchý, protože se jedná o logickou derivaci. Na tomto přechodu skutečně není nic výrazně matematického. Pozornost se proto přesouvá na počáteční bod dedukčního procesu, jmenovitě na axiomy. A pokud jsou tyto axiomy samy o sobě teorémy nějaké základní teorie, pak může být toto hledání bezpečného výchozího bodu sledováno hierarchií stále více základních matematických teorií.

Je nepopiratelné, že problémy v základech matematiky byly ústřední starostí filozofů matematiky přes většinu z 20 ^-tého století. To samozřejmě není, protože základní oblasti, jako je teorie množin, jsou jedinými oblastmi matematiky, kde si filozofové myslí, že dochází k dedukci, ale spíše proto, že - jak bylo zdůrazněno výše - zaměření na dedukci klade zvláštní důraz na počáteční body důkazů. I ti sympatičtí s tímto zaměřením na základní otázky pravděpodobně uznají, že se tím ignoruje mnoho oblastí matematické praxe. Otázkou je, co - pokud cokoli - filozofického zájmu je v tomto procesu ztraceno.

2. Nededuktivní aspekty deduktivní metody

2.1 Aspekty neformality

2.1.1 Poloformální důkazy

Jak je uvedeno v 1.2 výše, jedním rysem deduktivistického stylu je to, že paradigmatické matematické důkazy jsou vyjádřeny zcela v nějakém vhodném formálním jazyce (například predikátová logika prvního řádu s identitou). To umožňuje, aby byla platnost daného dokladu snadno, mechanicky zjištěna. Ale samozřejmě jen málo důkazů, které matematici rozešli a zveřejnili matematici, má tuto podobu. To, co se kvalifikuje jako důkaz pro pracující matematiky, sahá od zcela neformálních po podrobné a přesné, s vyplněnou mezerou (nebo téměř každou). Dokonce i podrobné a přesné důkazy jsou však jen zřídka vyjádřeny čistě v jazyce logiky; jsou to spíše směsi běžných jazykových, matematických a logických symbolů a terminologie.

Někdy filosofové, kteří píší v deduktivistické tradici, znějí, jako by to byl docela triviální bod; je to jen otázka matematiků, kteří mají po ruce „překladové schéma“, ale nepíšou důkaz čistě logicky, aby byl přístupnější a snáze čitelný. Ve skutečnosti není ani zdaleka zřejmé, jak převést daný důkaz do formální logiky. Kromě toho není jasné, že pojem „překlad“neformálního důkazu do formálního jazyka je nutně správným způsobem, jak se na situaci podívat. Stewart Shapiro představuje v podstatě tento pohled na začátku své knihy z roku 1991, Foundations without Foundationalism, která píše:

Jazyky plné logiky jsou, alespoň zčásti, matematické modely fragmentů běžných přirozených jazyků, jako je angličtina, nebo snad běžné jazyky rozšířené o výrazy používané v matematice. Ten může být nazýván „přirozenými jazyky matematiky“. Pro zdůraznění, nebo aby nedošlo k záměně, se jazyk plné logiky někdy nazývá „formální jazyk“.

Jako matematický model existuje vždy mezera mezi jazykem logiky a jeho přirozeným jazykem. Přizpůsobení modelu a modelu může být pro jakýkoli účel dobrý nebo špatný, užitečný nebo zavádějící. (Shapiro 1991, 3)

Alternativní obrázek je, že formální a neformální jazyky nabízejí různé způsoby vyjádření matematických vět a důkazů. Formální jazyk se nepoužívá k „překladu“, a není tedy třeba jej porovnávat s tím, co je vyjádřeno v neformálním důkazu. Spíše nabízí své vlastní, patrně lepší prostředky pro vyjádření obsahu matematických prohlášení v přesném a přísném prostředí, které bylo speciálně navrženo pro tento účel. Ať už je obraz o vztahu formálních a neformálních prezentací matematiky přijat, zůstávají dva body. Zaprvé, deduktivní matematické argumenty - argumenty, které jsou vytvářeny, předávány a stavěny matematiky - mohou být formální nebo neformální. Druhý,vyhodnocení takových argumentů, že jsou odpočitatelně platné nebo neplatné, je snazší provést s konečnou platností v kontextu nějakého formálního systému.

Je také třeba poznamenat, že Lakatos tvrdí, že kromě formálních a neformálních důkazů uvádí třetí kategorii důkazů, které nazývá „kvaziformální“. Lakatos píše, že:

navrhnout, že neformální důkaz je jen neúplný formální důkaz, se mi zdá, že udělá stejnou chybu jako rané pedagogové, když za předpokladu, že dítě bylo jen miniaturní dospělí, zanedbali přímé studium chování dítěte ve prospěch teoretizace založená na jednoduchých analogiích s chováním dospělých. (Lakatos 1980, 63)

2.1.2 Mezery v důkazech

Výše uvedená řeč o „vyplňování každé mezery“při přechodu na ideální důkaz se odráží nad skutečností, že pojem „mezera“v důkazu potřebuje další vyjasnění. Jednak je nejjednodušší způsob, jak definovat mezeru v důkazu - jak je uvedeno níže - použitelný pouze pro plně formální systémy.

Mezera je jakýkoli bod v důkazu, kde zapsaná linie nevyplývá z nějaké podmnožiny předchozích řádků (spolu s axiómy) aplikací formálně platného a výslovně stanoveného pravidla odvození pro systém.

Důvodem pro podmínku, že jakékoli pravidlo je výslovně stanoveným pravidlem pro odvozování systému, je to, že chceme vytvořit prostor pro šťastné, ale platné důkazy. Například „2 + 2 = 4, tedy nekonečně mnoho prvočísel“je platný argument, ale zjevně existuje velká mezera mezi jejím předpokladem a jeho závěrem. Na druhou stranu, navzdory výše uvedené definici pracují pouze pro formální důkazy, bez mezer a formality ne vždy spolu. Tradiční syllogismus, například „Všichni muži jsou smrtelní; Socrates je muž; proto je Sokrates smrtelný “je příkladem neformálního důkazu bez mezer. Jedním ze způsobů, jak rozšířit pojem gappiness (a gaplessness) na neformální důkazy, je přes představu o základní matematické inferenci,jinými slovy, závěr, který je „akceptován matematickou komunitou jako důkaz použitelný jako důkaz bez dalšího argumentu“(Fallis 2003, 49).

Nakonec však charakterizujeme mezery, je nepopiratelně pravdou, že většina skutečných důkazů předložených matematiky má mezery. Don Fallis navrhuje taxonomii druhů důkazních mezer v jeho (2003):

Inferenciální mezery

„Matematik opustil inferenciální mezeru, kdykoli konkrétní posloupnost výroků, které má matematik na mysli (jako důkaz), není důkazem“(Fallis 2003, 53).
Enthymematické mezery

„Matematik opustil enthymatickou mezeru, kdykoli výslovně neuvádí konkrétní posloupnost výroků, které má na mysli“(Fallis 2003, 54). ^[4]
Untraversed Gaps

„Matematik zanechal neomylnou mezeru, kdykoli se nepokusil přímo ověřit, že každý návrh v posloupnosti propozic, které má na mysli (jako důkaz), vyplývá z předchozích propozic v posloupnosti základní matematickou inferencí“(Fallis 2003, 56–7).

Kromě této taxonomické práce Fallis také tvrdí pro filosofickou tezi, že mezery v důkazech nemusí být nutně špatnou věcí. Na základě výše uvedeného bodu iii) zavádí představu o univerzálně nepřekonané mezeře, jinými slovy mezeru, kterou žádný člen matematické komunity nepřeklenul. Fallis tvrdí, že takové mezery nejsou neobvyklé a že alespoň některé z časových důkazů, které je obsahují, jsou matematiky akceptovány v ospravedlňujícím kontextu. Tento názor potvrzuje novější práce Andersena (2018).

Jednou z aktuálně aktivních oblastí práce, která vedla k odhalování dosud nerozpoznaných mezer různých druhů, je automatická kontrola důkazů. Speciálně navržené počítačové programy se používají ke kontrole platnosti důkazů, které byly poskytnuty ve vhodném formálním jazyce. Dosud se hlavní pozornost nezaměřovala na objevování nových výsledků, ale na kontrolu stavu důkazů o již prokázaných výsledcích. George Gonthier použil tento přístup k ověření důkazu o čtyřech barevných větach (Gonthier 2008) a důkaz věty o lichém pořadí v teorii skupin (Gonthier et al. 2013) a Thomas Hales ověřil důkaz věty o Jordánské křivce (Hales 2007). V každém případě bylo nalezeno několik mezer, které pak procházely. Formální ověření tohoto druhu může také odhalit další informace skryté v obsahu běžných matematických argumentů. Georg Kreisel popsal tento obecný proces jako „odvíjející se důkazy“, zatímco Ulrich Kohlenbach nedávno vytvořil termín „těžba důkazů“. V souvislosti s výše popsanými metodami to Avigad píše

… Lze použít metody důkazů a teoretické poznatky… v oblasti automatizovaného zdůvodnění a formálního ověření. Od počátku dvacátého století se pochopilo, že obyčejné matematické argumenty lze alespoň v zásadě reprezentovat ve formálních axiomatických teoriích. Složitost spojená s nejzákladnějšími matematickými argumenty však v praxi učinila většinu formalizace nemožnou. Příchod asistentů výpočetních důkazů to začal měnit, což umožňuje formalizovat stále složitější matematické důkazy. … Metody mohou být také použity pro tradičnější úkol ověřování obyčejných matematických důkazů a jsou zvláště relevantní v případech, kdy se důkazy spoléhají na výpočet, který je příliš rozsáhlý na ruční kontrolu. (Avigad 2007, 7)

Delariviere a Van Kerkhove (2017) však poukazují na to, že ačkoli počítačové metody mohou hrát stále důležitější pravidlo při ověřování důkazů, je mnohem méně jasné, že tyto metody mohou hrát odpovídající ústřední roli při rozvíjení matematického porozumění.

2.1.3 Diagramy

Dalším aspektem neformálního důkazu, který byl předmětem nové pozornosti v nedávné filosofické literatuře, je role diagramů (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). Není sporné, že důkazy - zejména v geometrii, ale také v jiných oblastech od analýzy po teorii skupin - jsou často doprovázeny diagramy. Jedna otázka se týká toho, zda tyto diagramy hrají nepostradatelnou roli v řetězci úvah vedoucích z prostoru daného důkazu k jeho závěru. Na první pohled se zdá, že existují tři možné situace:

Diagramy nehrají v důkazu žádnou podstatnou roli a slouží pouze jako „ilustrace“aspektů předmětu, s nímž se zabývá.
Z praktického hlediska je obtížné (nebo dokonce nemožné) uchopit důkaz bez použití diagramů, ale tato nezbytnost je spíše psychologická než logická.
Diagramy hrají zásadní roli v logické struktuře důkazu.

Počáteční vlna filosofické práce na schématickém uvažování se zaměřila na Euclidovy prvky, částečně kvůli centrálnosti a historickému významu této práce, a částečně proto, že je tak často považována za kanonický příklad deduktivní metody (viz např. Mumma 2010). Pokud některé nebo všechny diagramy v elementech spadají pod možnost (iii) výše, odstraněním všech diagramů bude mnoho důkazů neplatné. To vyvolává další otázku, zda je možné identifikovat a analyzovat výrazně schematickou formu uvažování, a pokud ano, zda ji lze zachytit v čistě deduktivním systému. Jedním problémem při jakékoli navrhované rigorizaci je „problém zobecnění“: jak lze zobecnit důkaz, který je spojen s konkrétním diagramem, v jiných případech? To je propojeno s otázkou rozlišování, formálně,mezi podstatnými a náhodnými vlastnostmi daného diagramu.

Nedávnější práce na roli diagramů v důkazech zahrnovala obhajobu pozice, že diagramové důkazy mohou být někdy zcela přísné (Azzouni, 2013), a zkoumání schématického zdůvodnění v jiných oblastech matematické praxe než je geometrie (de Toffoli a Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).

2.2 Ospravedlnění odpočtu

I když omezíme pozornost na kontext ospravedlnění, deduktivní důkaz dává kategorické znalosti, pouze pokud vychází z bezpečného výchozího bodu a pokud pravidla odvozování zachovávají pravdu. Lze naši důvěru v to, že tyto dvě podmínky získají, zakládat čistě deduktivně? Tyto podmínky budou posouzeny postupně.

2.2.1 Odůvodnění pravidel

V jednom smyslu se zdá docela jednoduché uvést deduktivní odůvodnění pro některý zvýhodněný soubor pravidel usuzování. Lze například ukázat, že pokud jsou prostory aplikace Modus Ponens pravdivé, musí být závěr rovněž pravdivý. Problém je, přinejmenším potenciálně, v tom, že taková ospravedlnění obvykle využívají samotné pravidlo, které se snaží ospravedlnit. Ve výše uvedeném případě: pokud se MP použije na skutečné prostory, pak je závěr pravdivý; MP je aplikován na skutečné prostory; závěr je tedy pravdivý. Haack (1976) a další debatovali o tom, zda je zde kruhovitost zlý nebo ne. Jedním z klíčových faktorů je to, zda lze analogická „ospravedlnění“poskytnout pro neplatná pravidla, například pravidla Prior pro zavedení a odstranění „tonku“, která mají také tuto vlastnost použití pravidla k ospravedlnění.^[5] (Úzce související téma lze vysledovat zpět k Lewisovi Carrollovi a jeho klasickému (1895) papíru.)

2.2.2 Stav axiomů

Předpokládejme tedy, že idealizovaný deduktivní důkaz poskytuje jeden druh bezpečnosti: průhlednost každého kroku zajišťuje platnost argumentu jako celku, a tudíž zaručuje, že pokud jsou všechny prostory pravdivé, musí být závěr pravdivý. Ale co z axiomů, které jsou přineseny na začátku procesu dokazování? Tradiční odpověď na tuto otázku je tvrdit, že pravda axiomů je bezpečná, protože axiomy jsou „zřejmé“. Zdá se, že to byl například obecně přijímaný pohled na axiomy euklidovské geometrie. Tento přístup je však v současné matematice z různých důvodů mnohem méně rozšířený. Za prvé, objev non-Euclidean geometrie na počátku 19 ^thStoletí ukázalo, že zřejmé sebevědomí, alespoň v případě paralelního postulátu, není zárukou nezbytné pravdy. Za druhé, rostoucí rozsah a složitost matematických teorií - a jejich axiomatizace - učinily mnohem méně hodnověrné tvrzení, že každý jednotlivý axiom byl transparentně pravdivý. Zatřetí, mnoho matematických podpolí se do značné míry zbavilo jakýchkoli konkrétních modelů, a to šlo ruku v ruce s tendencí alespoň některých matematiků zaujmout formalistický přístup k teoriím, které vyvíjejí. Spíše než vyjádření základních pravd, slouží axiomy pouze k tomu, aby poskytly výchozí pozici pro formální hru.

Sklouznutí k tomuto druhu formalistického přístupu k axiomům lze také vysledovat pomocí Fregeova logicismu. Logistický program se snažil ukázat, že matematika je redukovatelná na logiku, jinými slovy, že matematické důkazy mohou být ukázány tak, že sestávají z logických dedukcí z logicky pravých prostor. Pro Frege jsou tyto logicky pravdivé prostory definice pojmů, které se v nich vyskytují. To však znovu vyvolává otázku toho, co odlišuje přijatelné od nepřijatelných definic. Trápí se zde nejen to, zda jsou naše axiomy pravdivé, ale zda jsou dokonce konzistentní (náhoda, která skvěle postihla Fregeův vlastní systém). A to je problém, jakmile se opouští sebevědomí jako „zlatý standard“pro axiomy, ať už se přesuneme odtud k formalistickému nebo logicistickému pohledu. V obou případech,musí být stanoveny další hranice přijatelnosti axiomů kandidátů.

Existuje tedy prostřední půda mezi vysokým standardem sebevědomí na jedné straně a postojem „cokoli jde“na straně druhé? Jeden nápad, jehož verzi lze vysledovat zpět k Bertrandovi Russellovi, je vyvolat verzi závěru k nejlepšímu vysvětlení. Russellovo stanovisko, věrohodně, je, že výroky elementární aritmetiky - „2 + 2 = 4“, „7 je prvořadý“atd. - jsou mnohem evidentnější než axiomy jakéhokoli logického nebo množinově teoretického systému, který by mohl přijít s nimi uzemnit. Takže místo toho, abychom axiomy považovali za maximálně zřejmé, měli bychom si je místo toho myslet jako vybráni na základě jejich (kolektivní) schopnosti systematizovat, odvodit a vysvětlit základní aritmetická fakta. Jinými slovy, směr logické implikace zůstává od axiomů k aritmetickým skutečnostem,ale směr ospravedlnění může jít opačně, alespoň v případě velmi jednoduchých a zjevných aritmetických skutečností. Odvození „2 + 2 = 4“z našich set-teoretických axiomů nezvyšuje naši důvěru v pravdu o „2 + 2 = 4“, ale skutečnost, že můžeme odvodit tuto předchozí známou skutečnost (a ne odvodit jiné tvrzení, které vědět, že jsou nepravdivé) zvyšuje naši důvěru v pravdivost axiomů.

Směr ospravedlnění zde odráží směr ospravedlnění na základě nejlepšího vysvětlení. Jakmile máme míru důvěry v konkrétní výběr axiomů, pak směr ospravedlnění může také proudit konvenčnějším směrem, v kroku s deduktivními závěry důkazu. To se stane, když se prokázala věta, která nebyla pravdou zjevně pravdivá. Easwaran (2005), Mancosu (2008) a Schlimm (2013) vytvořili tento základní popis výběru axiom různými způsoby. Mancosu například tvrdí, že analogický proces může být základem vývoje nových matematických teorií, které rozšiřují doménu aplikace nebo ontologii předchozích teorií. Dosažení dalšího pokroku v analýze tohoto procesu bude záviset na poskytnutí uspokojivého popisu matematického vysvětlení,a to se stalo oblastí značného zájmu v nedávné literatuře o filozofii matematiky.

Další přístup, který sleduje Maddy (1988, 1997, 2001, 2011), je podrobněji prozkoumat skutečnou praxi matematiků a důvody, které uvádějí pro přijetí nebo odmítnutí různých kandidátních axiomů. Maddy se zaměřuje hlavně na axiomy pro teorii množin a tvrdí, že existují různé teoretické ctnosti, bez přímé vazby na „důkaz“, který axiomy mohou mít. Co jsou tyto ctnosti a jak jsou vzájemně váženy, se mohou v různých oblastech matematiky velmi lišit. Dvě základní ctnosti, které Maddy identifikuje pro množiny teoretických axiomů, jsou JEDNOTNÉ (tj. Že poskytují jednu základní teorii teorie pro rozhodování o množině teoretických otázek) a MAXIMÁLNÍ (tj. Že svévolně neomezují rozsah typů izomorfismů). Otázka volby axiomu v teorii množin se také zabývala v nedávné práci Lingamneni (2017) a Fontanella (2019).

2.3 Gödel výsledky

Nepochybně nejznámějším omezením deduktivní metody v matematice jsou ta, která vycházejí z Gödelových neúplností. Ačkoli se tyto výsledky vztahují pouze na matematické teorie, které jsou dostatečně silné na to, aby zahrnovaly aritmetiku, centralita přirozených čísel (a jejich rozšíření do racionálů, realit, komplexů atd.) Jako zaměření matematické aktivity znamená, že důsledky jsou rozšířené.

Přesné důsledky Gödelovy práce by neměly být přeháněny. Pořadí kvantifikátorů je důležité. Gödel ukázal, že pro jakýkoli konzistentní, rekurzivně axiomatizovaný formální systém F, dostatečně silný pro aritmetiku, existují pravdy vyjádřitelné čistě aritmetickým jazykem, které nejsou prokazatelné v F. Neukázal, že existují aritmetické pravdy, které nelze prokázat v jakýkoli formální systém. Gödelovy výsledky však kladly některé významné hřebíky do rakve jedné verze dedukčního ideálu matematiky. Nemůže existovat jediný, rekurzivně axiomatizovatelný formální systém pro celou matematiku, který je (a) konzistentní, (b) čistě deduktivní a (c) úplný. Jednou z odpovědí na tento problém je prozkoumat možnosti nededuktivních metod ospravedlnění v matematice.

3. Alternativní nededuktivní metody

3.1 Experimentální matematika

Role nededuktivních metod v empirické vědě je zřejmá a relativně nekontroverzní (tempo Karl Popper). Kanonický vzorec ospravedlnění ve vědě je skutečně a posteriori a induktivní. Empirická věda je empirická, protože hraje klíčovou roli pozorování a zejména experiment. Přirozeným výchozím bodem je proto ve výzkumu nededuktivních metod v matematice pohled na vzestup žánru známého jako „experimentální matematika“. Asi za posledních 15 let se objevily časopisy (např. The Journal of Experimental Mathematics), instituty (např. Institute for Experimental Mathematics na University of Essen), kolokvia (např. Experimental Mathematics Colloquium na Rutgers University) a knihy (např. Borwein a Bailey 2003 a 2004) věnované tomuto tématu. Tito autoři také tvrdí, v Borwein a Bailey (2015), o významu experimentální matematiky v matematické praxi obecněji, zatímco Sorensen (2016) poskytuje širší historickou a sociologickou analýzu experimentální matematiky.

Na pozadí tradiční dichotomie mezi matematickými a empirickými cestami k poznání se zdá být termín „experimentální matematika“v nejlepším případě oxymoronický a v nejhorším přímo paradoxním. Jedním z přirozených návrhů je, že experimentální matematika zahrnuje provádění matematických experimentů, kde pojem „experiment“je zde konstruován co možná doslova. Toto je přístup, který zaujal van Bendegem (1998). Podle van Bendegema experiment zahrnuje „manipulaci s objekty,… nastavení procesů v„ reálném “světě a… pozorování možných výsledků těchto procesů“(Van Bendegem 1998, 172). Jeho návrh je, že přirozeným způsobem, jak získat počáteční pochopení toho, co by matematický experiment mohl být, je zvážit, jak by experiment v tomto paradigmatickém smyslu mohl mít matematické důsledky.

Jedním z příkladů, který van Bendegem cituje datuje k práci, kterou v 19 ^th století z pera belgického fyzik plošinu na minimálními problémy plochy. Sestavením různých geometrických tvarů z drátu a ponořením těchto drátěných rámů do mýdlového řešení byla Plateau schopna odpovědět na konkrétní otázky týkající se minimálního povrchu ohraničujícího různé konkrétní tvary a nakonec formulovat některé obecné zásady upravující konfiguraci takových povrchů. ^[6]Jedním ze způsobů, jak porozumět tomu, co se v tomto příkladu děje, je to, že fyzický experiment - ponoření drátu do roztoku mýdla - vede k výsledkům, které jsou přímo relevantní pro určitou třídu matematického problému. Hlavní nevýhoda tohoto způsobu charakterizace experimentální matematiky je v tom, že je příliš restriktivní. Příklady citací druhu van Bendegem jsou extrémně vzácné, a proto může být vliv matematických experimentů tohoto druhu na skutečnou matematickou praxi v nejlepším případě jen velmi omezený. Navíc to nemůže být jen tento doslovný smysl pro experiment, který mají matematici na mysli, když mluví o matematice provádějící experimenty.

Tolik pro doslovné čtení „matematického experimentu“. Potenciálně plodnějším přístupem je myslet analogicky nebo funkčně. Jinými slovy, možná „experimentální matematika“se používá k označení činností, které fungují v matematice způsobem analogickým úloze experimentu v empirické vědě. Matematické experimenty tedy mohou sdílet některé rysy s doslovnými experimenty, ale ne jiné (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Než budete pokračovat v této linii analýzy, může být užitečné krátce se podívat na případovou studii.

Pěkný příklad současné práce v experimentální matematice se objevuje v jedné ze dvou posledních knih Borweina a Baileye (1995b, Ch. 4). Skutečné číslo se říká, že je normální v základně n, pokud se každá sekvence číslic pro základnu n (jakékoli dané délky) vyskytuje stejně často v jeho expanzi základna-n. Číslo je naprosto normální, pokud je normální v každé základně. Zvažte následující hypotézu:

Závěr: Každé neracionální algebraické číslo je naprosto normální.

Borwein a Bailey použili počítač k výpočtu desetinných desetinných míst zaokrouhlených na kořeny a krychle kořenů kladných celých čísel menších než 1 000 a poté tyto údaje podrobili určitým statistickým testům.

V tomto příkladu je několik pozoruhodných rysů, které mohou poukazovat na obecnější charakterizaci experimentální matematiky. Zaprvé, cesta od důkazu k hypotéze je prostřednictvím enumerativní indukce. Za druhé, zahrnuje použití počítačů. V následujícím textu budou tyto dvě funkce přezkoumány postupně.

3.2 Enumerativní indukce

V dopise Eulerovi z roku 1742 Christian Goldbach předpokládal, že všechna sudá čísla větší než 2 jsou vyjádřitelná jako součet dvou prvočísel. ^[7] Během následujících dvou a půl století nebyli matematici schopni dokázat Goldbachovu dohadu. Bylo však ověřeno mnoho miliard příkladů a zdá se, že mezi matematiky existuje shoda, že domněnka je s největší pravděpodobností pravdivá. Níže je uveden částečný seznam (stav k říjnu 2007), který zobrazuje pořadí velikosti, do které byla všechna sudá čísla zkontrolována a prokázána shoda s GC.

Vázaný	datum	Autor
1 × 10 ³	1742	Euler
1 x 10 ⁴	1885	Desboves
1 × 10 ⁵	1938	Pipe
1 × ¹⁰⁸	1965	Stein a Stein
2 × 10 ¹⁰	1989	Granville
1 × 10 ¹⁴	1998	Deshouillers
1 × 10 ¹⁸	2007	Oliveira & Silva

Přes tuto obrovskou akumulaci individuálních pozitivních příkladů GC, podporovanou od počátku šedesátých let zavedením a následným rychlým zvyšováním rychlosti digitálního počítače, nebyl dosud nalezen žádný důkaz GC. Nejen to, ale jen málo teoretiků je optimistických, že existuje nějaký důkaz. Polský medailista Alan Baker uvedl v rozhovoru z roku 2000: „Je nepravděpodobné, že se nám podaří získat další [v prokázání GC] bez velkého průlomu. Bohužel na obzoru není takový velký nápad. “V roce 2000 vydavatelé Faber a Faber nabídli každému, kdo prokázal GC mezi 20. březnem 2000 a 20. březnem 2002, cenu 1 000 000 USD, protože věří, že jejich peníze jsou relativně bezpečné.

To, co činí tuto situaci obzvláště zajímavou, je to, že matematici si dlouho věří v pravdu o GC. Hardy & Littlewood v roce 1922 tvrdil, že „není pochyb o tom, že věta je správná“, a Echeverria v nedávném článku průzkumu píše, že „jistota matematiků o pravdě GC je úplná“(Echeverria 1996)., 42). Kromě toho je tato důvěra v pravdu o GC výslovně spojena s induktivním důkazem: například GH Hardy popsal numerický důkaz podporující pravdu o GC jako „ohromující“. Zdá se tedy rozumné dospět k závěru, že důvodem víry matematiků v GC je výčet induktivních důkazů.

Jedním z charakteristických rysů matematického případu, který může změnit rozhodovací sílu enumerativní indukce, je význam řádu. Případy spadající pod danou matematickou hypotézu (přinejmenším v teorii čísel) jsou vnitřně uspořádány a navíc pozice v tomto pořadí může zásadně změnit zúčastněné matematické vlastnosti. Jak píše Frege, s ohledem na matematiku:

[T] zem [je] nepříznivá pro indukci; protože zde není žádná taková uniformita, která v jiných oblastech může poskytnout této metodě vysoký stupeň spolehlivosti. (Frege, základy aritmetiky)

Frege dále cituje Leibniz, který tvrdí, že rozdíl v velikosti vede k nejrůznějším dalším relevantním rozdílům mezi čísly:

Sudé číslo lze rozdělit na dvě stejné části, liché číslo nemůže; tři a šest jsou trojúhelníková čísla, čtyři a devět jsou čtverce, osm je krychle a tak dále. (Frege, základy aritmetiky)

Frege také výslovně porovnává matematické a nematematické kontexty pro indukci:

Při běžných indukcích často využíváme tvrzení, že každá pozice v prostoru a každý okamžik v čase je stejně dobrý jako každý jiný. … Pozice v číselné řadě není věcí lhostejnosti, jako je pozice v prostoru. (Frege, základy aritmetiky)

Jak naznačují Fregeovy poznámky, jedním ze způsobů, jak podpořit argument proti použití enumerativní indukce v matematice, je nějaký druh principu nejednotnosti: v případě neexistence důkazu bychom neměli očekávat, že čísla (obecně) budou sdílet nějaké zajímavé vlastnosti. Proto zjištění, že vlastnost platí pro určité konkrétní číslo, nedává důvod se domnívat, že druhé, libovolně vybrané číslo bude mít také tento majetek. ^[8] Spíše než princip jednotnosti, který Hume navrhuje, je jediný způsob, jak uzemnit indukci, máme téměř přesně opačný princip! Zdá se, že z této zásady vyplývá, že výčet indukce je neopodstatněný, protože bychom neměli očekávat (konečné) vzorky z celkového počtu přirozených čísel, které by naznačovaly univerzální vlastnosti.

Potenciálním ještě vážnějším problémem v případě GC a ve všech ostatních případech indukce v matematice je to, že vzorek, na který se díváme, je zkreslený. Nejprve si povšimněte, že všechny známé případy GC (a skutečně všechny případy, které je možné vědět) jsou - v důležitém smyslu - malé.

Ve velmi reálném smyslu neexistují žádná velká čísla: Každé explicitní celé číslo lze označit jako „malé“. Opravdu, bez ohledu na to, kolik číslic nebo věží exponentů zapíšete, existuje jen konečně mnoho přirozených čísel menších než váš kandidát a nekonečně mnoho, které jsou větší (Crandall a Pomerance 2001, 2).

Bylo by samozřejmě špatné jednoduše si stěžovat, že všechny případy GC jsou konečné. Koneckonců, každé číslo je konečné, takže pokud GC platí pro všechna konečná čísla, pak GC drží zjednodušující prvek. ^[9] Můžeme však izolovat extrémnější pocit drobnosti, který by mohl být nazýván drobností.

Definice: kladné celé číslo, n, je minuta pouze v případě, že n je v rozsahu čísel, které můžeme zapsat pomocí obyčejné dekadické notace, včetně (nereferovaného) exponentiace.

Ověřené případy GC k dnešnímu dni nejsou jen malé, jsou malé. A drobnost, i když je sice poněkud neurčitě definovaná, je známo, že to mění. Uvažujme například logaritmický odhad primární hustoty (tj. Poměr čísel menších než dané n, které jsou prvočísla), o kterém je známo, že se stává dostatečně podceňovaným n. Nechť n ^* je první číslo, pro které je logaritmický odhad příliš malý. Je-li hypotéza Riemanna pravdivá, lze prokázat, že horní mez pro n ^* (první Skewesovo číslo) je 8 × 10 ³⁷⁰. Ačkoli působivě velké číslo, je to přesto minuta podle výše uvedené definice. Pokud je však hypotéza Riemanna nepravdivá než naše nejznámější horní hranice pro n ^*(druhé zkosené číslo) je 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. ^[10] Nutnost vynalézat 'šipku' notace zde reprezentovat toto číslo nám říká, že to není minuta. Druhá část tohoto výsledku tedy, i když je sice podmíněno výsledkem, který je považován za nepravděpodobný (viz falešnost RH), znamená, že existuje vlastnost, která drží všechna čísla minut, ale neplatí pro všechna čísla. Minuteness může změnit.

A co zdánlivá důvěra, kterou mají teoretici čísel v pravdu o GC? Echeverria (1996) diskutuje o důležité úloze, kterou hraje Cantorova publikace, v roce 1894, tabulky hodnot funkce Goldbachovy rozdělení, G (n), pro n = 2 až 1 000 (Echeverria 1996,29–30). Funkce rozdělení měří počet různých způsobů, kterými lze dané (sudé) číslo vyjádřit jako součet dvou prvočísel. G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2 atd. Tento posun zaměření na funkci rozdělení se časově shodoval s dramatickým zvýšením důvěry matematiků v GC. Z Cantorovy práce vyšlo najevo, že G (n) má tendenci se zvyšovat se zvyšováním n. Všimněte si, že to, co GC v této souvislosti znamená, je to, že G (n) nikdy nebere hodnotu 0 (pro všechny sudé n větší než 2). Drtivým dojmem, který data vyvolají ve funkci oddílu, je, že je velmi nepravděpodobné, že by GC selhala u některých velkých n. Například pro čísla řádově 100 000 existuje vždy alespoň 500 různých způsobů, jak vyjádřit každé sudé číslo jako součet dvou prvočísel!

Tyto výsledky jsou však v současné době čistě heuristické. Třicet let po zveřejnění Cantorovy tabulky hodnot (popsané Echeverrií jako „ ^2. období“výzkumu GC) došlo k četným pokusům najít analytický výraz pro G (n). Pokud by to bylo možné, bylo by pravděpodobně poměrně jednoduché prokázat, že tato analytická funkce nikdy nepřevezme hodnotu 0 (Echeverria 1996, 31). Kolem roku 1921 vedl pesimismus ohledně šance na nalezení takového výrazu změnu důrazu a matematici začali svou pozornost zaměřovat na hledání dolních hranic pro G (n). To se také ukázalo přinejmenším neúspěšné.

Posouzení funkce rozdělení tedy nepřineslo důkaz o GC blíže. Umožní nám to však zajímavě zvrátit argument z předchozí části. Graf naznačuje, že nejtěžší testovací případy pro GC se pravděpodobně vyskytnou mezi nejmenšími čísly; proto je induktivní vzorek pro GC zkreslený, ale je zkreslený proti šance na GC. Důvěra matematiků v pravdu o GC není založena čistě na výčtu indukcí. Hodnoty získané funkcí rozdělení ukazují, že vzorek pozitivních příkladů GC je skutečně zkreslený a zkreslené vzorky obecně nepodporují hypotézu. V tomto konkrétním případě však povaha předpojatosti způsobuje, že důkazy jsou silnější, nikoli slabší. Je tedy možné tvrdit, že výčet indukce je neopodstatněný a současně souhlasí, že matematici jsou racionální věřit GC na základě dostupných důkazů. (Všimněte si, že zde existuje křehká rovnováha, protože důkaz o chování funkce rozdělení není sám o sobě deduktivní. Avšak dojem, že G (n) bude pravděpodobně omezena některými rostoucími analytickými funkcemi, není založen na výčtu) indukce per se, takže ospravedlnění - i když není deduktivní - není kruhové.)Dojem, že G (n) bude pravděpodobně omezen níže některými rostoucími analytickými funkcemi, však není založen na výčtu indukce per se, takže zdůvodnění - i když nededuktivní - není kruhové.)Dojem, že G (n) bude pravděpodobně omezen níže některými rostoucími analytickými funkcemi, však není založen na výčtu indukce per se, takže zdůvodnění - i když nededuktivní - není kruhové.)

Výsledkem výše uvedené diskuse, i když je založeno na jediné případové studii, je to, že matematici by při zdůvodňování matematických tvrzení neměli - a obecně nedávají váhu výčtu indukce samé o sobě. (Do jaké míry hraje enumerativní indukce roli při objevování nových hypotéz, nebo při volbě toho, jaké otevřené problémy se matematici rozhodnou pracovat, je samostatná otázka, která zde nebyla řešena.) části:

Enumerativní indukce by neměla zvyšovat důvěru v univerzální matematické zobecnění (přes nekonečnou doménu).
Enumerativní indukce nevede (obecně) matematiky k větší důvěře v pravdu o uzavření těchto zobecnění.

3.3 Počítačové důkazy

Pozoruhodnou vlastností současné práce v experimentální matematice je to, že se provádí pomocí počítačů. Je toto spoléhání se na složité kusy elektroniky, co dělá pole „experimentálním“? Když se podíváme na to, co je publikováno v současných časopisech, knihách a konferencích věnovaných experimentální matematice, je dojem, že všechny položky jsou úzce spojeny s počítači. Například se nezdá, že by existoval jediný dokument publikovaný ve více než desetiletém vydání otázek experimentální matematiky, který nezahrnuje použití počítačů. A co příklady, které matematici mají tendenci nabízet jako vzory experimentální matematiky? Zde jsou data méně jasná. Na jedné straně neformální průzkum naznačuje, že většina takových příkladů zahrnuje explicitní použití počítačů. Na druhé straně není neobvyklé, aby matematici uváděli jeden nebo více historických příkladů,od doby před počítačovým věkem, aby ilustroval domnělý rodokmen subdisciplíny.

Největší výzva spočívající v porovnávání experimentální matematiky s počítačovou matematikou pochází z toho, co říkají experimentální matematici o svém rodícím se oboru. Když matematici vědomě uvažují o myšlence experimentální matematiky, mají tendenci odmítat tvrzení, že použití počítače je nezbytnou funkcí. Například redaktoři časopisu Experimental Mathematics ve svém „prohlášení o filozofii“týkajícím se rozsahu a povahy časopisu dělají následující poznámky:

Slovo „experimentální“je koncipováno široce: mnoho matematických experimentů se v těchto dnech provádí na počítačích, ale jiné jsou stále výsledkem práce s tužkou a papírem a existují i další experimentální techniky, jako je vytváření fyzikálních modelů. („Cíle a rozsah“, experimentální matematika - viz další zdroje internetu)

A tady je další pasáž s podobnou chutí od matematika Dorona Zeilbergera:

[T] radiální experimentální matematika … byla pronásledována všemi velkými a méně velkými matematiky po staletí pomocí tužky a papíru. (Gallian a Pearson 2007, 14)

Zdá se spravedlivé říci, že vázání experimentální matematiky s počítačem je v souladu s tím, co současní experimentální matematici dělají, ale ne s tím, co říkají. ^[11]

Druhý problém s navrhovanou charakterizací je svou povahou filozofičtější. Vezměme si další široce citovaný příklad experimentální matematiky, který vzniká v souvislosti s Goldbachovým dohadem. V dubnu 2007 byla všechna sudá čísla do 10 ¹⁸ ověřena v souladu s GC a tento projekt (pod vedením Oliveira e Silva) pokračuje. Tento masivní výpočetní úkol je obecně považován za příklad paradigmatu experimentální matematiky. A zdá se jasné, že zde hrají klíčovou roli počítače: žádný matematik nebo skupina matematiků nemohl doufat, že duplikuje 10 ¹⁸ výpočtů ručně.

V současném kontextu není ústřední otázkou, zda počítačová matematika je „experimentální“, ale zda je - alespoň někdy - nededuktivní. V jednom smyslu jsou samozřejmě všechny jednotlivé výpočty prováděné počítačem deduktivní, nebo přinejmenším jsou izomorfní s operacemi čistě deduktivního formálního systému. Když počítač ověří instanci GC, je toto ověření zcela deduktivní. Poté můžeme oddělit dvě odlišné otázky. Zaprvé, hrají tyto výpočty nededuktivní roli v nějakém větším matematickém argumentu? A za druhé, jsou víry, které vytváříme přímo z výsledků počítačových výpočtů, deduktivně zakotvené víry? První z těchto otázek nezapíná nic konkrétního pro počítače,a proto se zhroutí zpět k otázce uvedené v oddíle 3 (B) výše o výčtu indukcí. Druhá otázka bude přezkoumána níže.

Filosofická diskuse o stavu počítačových důkazů byla podněcena z velké části Appelem a Hakenovým počítačem založeným důkazem o Four Color Theorem v roce 1976. Ve svém (1979) Tymoczko argumentuje kontroverzně - že matematické znalosti založené na počítačových důkazech jsou v podstatě empirické v charakteru. Je tomu tak proto, že takové důkazy nejsou a priori, nejsou jisté, neověřitelné a neověřitelné lidskými matematiky. Ve všech těchto ohledech jsou podle Tymoczka počítačové důkazy na rozdíl od tradičních „tužkových a papírových“důkazů. Co se týče průzkumu, píše Tymoczko:

Důkazem je konstrukce, kterou lze prohlédnout, zkontrolovat, ověřit racionálním agentem. Často říkáme, že důkaz musí být viditelný nebo musí být kontrolovatelný rukou. Jde o výstavu, odvození závěru a přesvědčivost nepotřebuje nic mimo sebe. Matematik zkoumá důkazy v celém rozsahu a tím se dozví závěr. (Tymoczko 1979, 59)

Předpokládejme pro argument, že dotyčný počítačový důkaz je deduktivně správný, ale ve výše uvedeném smyslu také neověřitelný. Představuje naše rozhodnutí spoléhat se na výstup z počítače nededuktivní metodu? Jedním ze způsobů, jak zobrazit tento druh příkladu, je řídit klín mezi deduktivní metodou a naším nededuktivním přístupem k výsledkům této metody. Porovnejte, například, o konkrétním matematickém výsledku řekne odborný matematik (s dobrým výsledkem). Je to „nededuktivní metoda“? ^[12]

3.4 Pravděpodobnostní důkazy

Existuje malá, ale rostoucí, podmnožina matematických metod, které jsou v podstatě pravděpodobnostní povahy. V souvislosti s odůvodněním tyto metody neznamenají deduktivně jejich závěr, ale spíše dokazují, že existuje určitá (často přesně specifikovatelná) vysoká pravděpodobnost, že závěr je pravdivý. Filozofická diskuse o těchto metodách začala Fallisem (1997, 2002), zatímco Berry (2019) je užitečným nedávným příspěvkem do debaty.

Jeden typ pravděpodobnostní metody navazuje na dřívější diskusi experimentální matematiky v tom, že zahrnuje provádění experimentů v doslovném smyslu. Cílem je využít výpočetní výkon DNA k efektivnímu vytvoření masivně paralelního počítače pro řešení některých jinak nevyřešitelných kombinatorických problémů. Nejznámější z nich je problém „Traveling Salesman“, který zahrnuje určení, zda existuje nějaká možná cesta přes uzly grafu spojené jednosměrnými šipkami, které navštíví každý uzel přesně jednou. Adleman (1994) ukazuje, jak lze problém kódovat pomocí řetězců DNA, které lze poté spojit a rekombinovat pomocí různých chemických reakcí. Vzhled určitých delších řetězců DNA na konci procesu odpovídá nalezení cesty řešení grafem. Pravděpodobnostní úvahy přicházejí nejjasněji v případě, že již nejsou nalezeny řetězce DNA. To znamená, že v grafu není žádná cesta, ale i když je experiment proveden správně, podpora zde nedosahuje plné jistoty. Protože existuje malá šance, že existuje řešení, ale že na začátku experimentu není kódován žádným řetězcem DNA.

Existují také pravděpodobnostní metody v matematice, které nejsou ve výše uvedeném smyslu experimentální. Například existují vlastnosti složených (tj. Ne-prvočíselných) čísel, u kterých lze ukázat, že drží ve vztahu k asi polovině čísel menších než dané složené číslo. Pokud jsou náhodně vybrána různá čísla menší než N a žádné z nich nesou tento vztah k N, pak to znamená, že N je téměř určitě prvořadý. Úroveň pravděpodobnosti zde může být přesně spočítána a může být stanovena tak vysoká, jak je třeba, výběrem více „svědkových“čísel pro testování.

Všimněte si, že tyto druhy pravděpodobnostních metod obsahují spoustu čistě deduktivních úvah. Ve druhém příkladu je skutečnost, že pravděpodobnost, že N bude prvočísla, 0,99, je stanovena čistě odpočetně. V matematické komunitě nicméně panuje obecná shoda v tom, že takové metody nejsou přijatelnými náhradami deduktivního důkazu o závěru. Fallis (1997, 2002) tvrdí, že toto odmítnutí není přiměřené, protože jakákoli vlastnost pravděpodobnostních metod, které lze označit za problematické, sdílí několik důkazů, které matematická komunita akceptuje. Fallis se zaměřuje na stanovení pravdy jako klíčového epistemického cíle matematiky. Zdá se však pravděpodobné, že jedním z hlavních důvodů nespokojenosti matematiků s pravděpodobnostními metodami je to, že nevysvětlují, proč jsou jejich závěry pravdivé. Easwaran kromě toho proti Fallis tvrdí, že existuje majetek, který nazývá „převoditelnost“, že pravděpodobnostní důkazy chybí a přijatelné důkazy mají (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) je odpovědí na některé z těchto námitek.

Na druhé straně mohou existovat případy, kdy je holá pravda nebo nepravdivost tvrzení důležitá, i když není doprovodné vysvětlení. Například si lze představit situaci, ve které se zvažuje důležitá a zajímavá domněnka - řekněme Riemannova hypotéza - a pravděpodobnostní metoda se používá k prokázání toho, že některé číslo je s velkou pravděpodobností protikladem. Je zajímavé spekulovat, jaká bude reakce matematické komunity na tuto situaci. Pokračovalo by v pokusu o prokázání RH? Bude to pokračovat, dokud nebude zkonstruován přísný deduktivní důkaz o protikladu?

4. Shrnutí / závěry

Není jasné, proč by se dalo očekávat, že různé nededuktivní metody používané v matematice sdílejí jiné podstatné rysy než jejich neodpočitatelnost. Filozofové, kteří se dívají na roli nededuktivního uvažování v souvislosti s objevem, často hovořili, jako by existovala nějaká jednota (například podtitul Lakatosových důkazů a vyvrácení je „logika matematického objevu“. Pravděpodobnější je, že řada nededuktivních metod je různorodá a různorodá. (Porovnejte poznámku Stanislawa Ulama, že „studium nelineární fyziky je jako studium biologie slonů“).

Práce současných filozofů matematiky stále posouvá studium nededuktivních matematických metod novými směry. Jednou z oblastí zájmu je „matematický přírodní druh“a to, zda lze takový pojem použít k zakotvení použití analogie v matematickém uvažování (Corfield 2004 [Other Internet Resources]). Další zkoumanou oblastí je domnělá role heuristických principů v matematice. (Hodně z této práce stopuje zpátky do Pólya (1945).)

Základní téma ve všech těchto debatách se týká rozsahu, v jakém každá konkrétní nededuktivní metoda hraje zásadní roli v ospravedlnitelných praktikách matematiky. Tato otázka vyvstává na místní i globální úrovni. Na místní úrovni může být konkrétní argumentace, která odůvodňuje daný výsledek, nevyhnutelně nededuktivní, ale výsledek může být také stanoven jiným, čistě deduktivním argumentem. Na globální úrovni je možné, že naše jediné zdůvodnění určitých matematických tvrzení není deduktivní. Rozsah, v jakém je naše použití nededuktivních metod způsobeno spíše omezeními v praxi než zásadními omezeními, zůstává předmětem dalšího zkoumání.

Bibliografie

Adleman, L., 1994, „Molekulární výpočet řešení kombinatorických problémů“, Science, CCLXVI: 1021–1024.
Andersen, L., 2018, „Přijatelné mezery v matematických důkazech“, Synthese, URL = .
Avigad, J., 2006, „Matematická metoda a důkaz“, Synthese, 153: 105–159.
–––, 2007, „5 otázek“, ve filozofii matematiky: 5 otázek, V. Hendricks a H. Leitgeb (ed.), Kodaň: Automatic Press, str 1–10.
Azzouni, J., 2013, „Vztah derivátů v umělých jazycích k řádnému důkladnému matematickému důkazu“, Philosophia Mathematica, 21: 247–254.
––– 2013, „Že vidíme, že některé diagramové důkazy jsou dokonale přísné“, Philosophia Mathematica, 21: 323–338.
Baker, A., 2007, „Existuje problém indukce pro matematiku?“, Mathematical Knowledge, M. Leng, A. Paseau a M. Potter (eds.), Oxford: Oxford University Press, s. 59– 73
–––, 2008, „Experimental Mathematics“, Erkenntnis, 68: 331–344.
Berry, D., 2016, „Důkaz a ctnosti sdíleného vyšetřování“, Philosophia Mathematica, 26: 112–130.
–––, 2019 „Měli by matematici hrát na kostky?“, Logique et Analyze, 246: 135–160.
Borwein, J., & D. Bailey, 2003, Mathematics dle experimentu: věrohodné Úvaha o 21 ^st Century, Natick, MA: AK Peters.
–––, 2004, Experimentování v matematice: Výpočetní cesty k objevu, Natick, MA: AK Peters.
––– 2015, „Experimentální matematika jako ontologický herní měnič: dopad moderních matematických výpočtových nástrojů na ontologii matematiky“, v matematice, látce a Surmise, E. Davis a P. Davis (eds.), Springer, str. 25–68.
Brown, J., 2008, Filozofie matematiky: Současný úvod do světa důkazů a obrázků, ^2. vydání, New York: Routledge.
Burgess, J., 1992, „Důkazy o důkazech: Obrana klasické logiky. Část 1: Cíle klasické logiky “, v důkazech, logice a formalizaci, M. Detlefsen (ed.), Londýn a New York: Routledge, s. 8–23.
Carroll, L. [CL Dodgson], 1895, „Co želva řekla Achillovi,“, Mind, 4: 278–280.
Corfield, D., 2003, Směrem k filozofii skutečné matematiky, Cambridge: Cambridge University Press.
Courant, R., & H. Robbins, 1941, Co je matematika?, Oxford: Oxford University Press.
Crandall, R., a C. Pomerance, 2001, Prime Numbers: Computational Perspective, New York: Springer-Verlag.
De Toffoli, S. a V. Giardino, 2014, „Formy a role diagramů v teorii uzlů“, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
De Toffoli, S., 2017, „Pronásledování diagramu: Použití vizualizací v algebraickém uvažování“, Recenze symbolické logiky, 10: 158–186.
Delariviere, S., & Van Kerkhove, B., 2017, „Umělá matematická námitka: zkoumání (Im) možnosti automatizace matematického porozumění“, v humanizační matematice a její filozofii, B. Sriraman (ed.), Springer International Publishing, str. 173–198.
Descartes, R., 1627–28, Pravidla pro směr mysli, v Descartes: Selections, R. Eaton (tr.), New York: Charles Scribner's Sons, 1927, s. 38–83.
Detlefsen, M. (ed.), 1992, Proof, Logic and Formalization, London and New York: Routledge.
Dummett, M., 1978, „Wangův paradox“, v Truth and Other Enigmas, London: Duckworth, str. 248–268.
Easwaran, K., 2005, „Role axiomů v matematice“, Erkenntnis, 68: 381–391.
–––, 2009, „Pravděpodobnostní důkazy a přenositelnost“, Philosophia Mathematica, 17: 341–362.
Echeverria, J., 1996, „Empirické metody v matematice. Případová studie: Goldbachův dohad “, ve španělských studiích filozofie vědy, G. Munévar (ed.), Dordrecht: Kluwer, s. 19–55.
Fallis, D., 1997, „Epistemický stav pravděpodobného důkazu“, Journal of Philosophy, 94 (4): 165–186.
––– 2002, „Co matematici chtějí? Pravděpodobnostní důkazy a epistemické cíle matematiků “, Logique et Analyze, 45: 373–388.
––– 2003, „Záměrné mezery v matematických důkazech“, Synthese, 134: 45–69.
–––, 2011, „Pravděpodobnostní důkazy a kolektivní epistemické cíle matematiků“, v kolektivní epistemologii, HB Schmid, D. Sirtes a M. Weber (ed.), Ontos Verlag, s. 157–176.
Fontanella, L., 2019, „Jak vybrat nové axiomy pro teorii množin?“, V Úvahy o základech matematiky, D. Sarikaya, D. Kant a S. Centrone (ed.), Springer Verlag.
Franklin, J., 1987, „Nededuktivní logika v matematice“, British Journal for the Philosophy of Science, 38: 1-18.
Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-Mathatische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. Přeloženo jako základy aritmetiky: Logicko-matematické šetření pojmu číslo, JL Austin, Oxford: Blackwell, druhé revidované vydání, 1974. Přetištěno 1980.
Gallian, J. & M. Pearson, 2007, „Rozhovor s Doronem Zeilbergerem“, FOCUS (zpravodaj Matematické asociace Ameriky), 27 (5): 14–17.
Giaquinto, M., 2007, Vizuální myšlení v matematice: Epistemologická studie, Oxford: Oxford University Press.
Gonthier, G., a kol., 2008, „Formální důkaz - čtyřbarevná věta“, Oznámení Americké matematické společnosti, 55 (11): 1382–1393.
Gonthier, G., 2013, „Strojově ověřený důkaz věty o lichých řádech“, v Interaktivní teorémě: 4. sborník z mezinárodních konferencí, S. Blazy, C. Paulin-Mohring a D. Pichardie (ed.), Berlín / Heidelberg: Springer-Verlag, s. 163–179.
Haack, S., 1976, „Zdůvodnění odpočtu“, Mind, 85: 112–119.
Jackson, J., 2009, „Náhodné argumenty jsou přenositelné“, Philosophia Mathematica, 17: 363–368.
Lakatos, I., 1976, Důkazy a vyvrácení, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 1980, „Co dokazuje matematický důkaz?“, V matematice, vědě a epistemologii (Imre Lakatos: Philosophical Papers, svazek 2), J. Worrall a G. Currie (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 61–69.
Lingamneni, S., 2017, „Můžeme vyřešit hypotézu kontinua?“, Synthese, URL = <https://doi.org/10.1007/s11229-017-1648-9>.
Maddy, P., 1988, „Věřit Axiomům. I & II “, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511, 736–764.
–––, 1997, Naturalism in Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
––– 2001, „Některé naturalistické poznámky k metodě teorie množin“, Topoi, 20: 17–27.
–––, 2011, Obrana axiomů: O filozofických základech teorie množin, Oxford: Oxford University Press.
Mancosu, P., 2008, „Matematické vysvětlení: Proč je to důležité“, v Filozofii matematické praxe, P. Mancosu (ed.), Oxford: Oxford University Press, s. 134–149.
McEvoy, M., 2008, „Epistemologický stav počítačových důkazů“, Philosophia Mathematica, 16: 374–387.
––– 2013, „Experimentální matematika, počítače a a priori“, Synthese, 190: 397–412.
Mumma, J., 2010, „Důkazy, obrázky a euklidy“, Synthese, 175: 255–287.
Paseau, A., 2015, „Znalost matematiky bez důkazů“, British Journal for the Philosophy of Science, 66: 775–799.
Pólya, G., 1945, Jak to vyřešit, Princeton: Princeton University Press.
Schlimm, D., 2013, „Axiomy v matematické praxi“, Philosophia Mathematica, 21: 37–92.
Shin, S. a O. Lemon, 2008, „Diagrams“, Stanfordská encyklopedie filozofie (vydání Winter 2008), Edward N. Zalta (ed.), URL = .
Sorensen, HK, 2010, „Průzkumné experimenty v experimentální matematice: letmý pohled na algoritmus PSLQ“, ve filozofii matematiky: sociologické aspekty a matematická praxe, B. Lowe a T. Muller (ed.), Londýn: College Publications, pp 341–360.
––– 2016, „Konec důkazu“? Integrace různých matematických kultur jako experimentální matematika přichází z věku “, v Mathematical Cultures, B. Larvor (ed.), Cham: Birkhauser, s. 139–160.
Steiner, M., 1993, „Review of Proof, Logic and Formalization“, Journal of Symbolic Logic, 58 (4): 1459–1462.
Tennant, N., 2005, „Cirkularita pravidel a odůvodnění odpočtu“, filozofická čtvrť, 55: 625–648.
te Riele, H., 1987, „Na znamení rozdílu p (x) –Li (x)“, Mathematics of Computation, 48: 323–328.
Tymoczko, T., 1979, „Čtyřbarevný problém a jeho filozofický význam“, Journal of Philosophy, 76 (2): 57–83.
van Bendegem, J., 1998, „Co, je-li něco, je experiment v matematice?“, ve filosofii a mnoha fakultách vědy, D. Anapolitanos, et al. (eds.), London: Rowman & Littlefield, str. 172–182.
van Kerkhove, B. a J. van Bendegem, 2008, „Pi on Earth“, Erkenntnis, 68: 421–435.

Akademické nástroje

ikona sep muž	Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

Cíle a působnost časopisu Experimental Mathematics, založeného Davidem Epsteinem v roce 1992.
Filozofie matematiky: Sociologické aspekty a matematická praxe, Benedikt Löwe a Thomas Müller (koordinace).
Corfield, D., 2004, „Mathematical Kinds or Being Kind to Mathematics“, Archive PhilSci University of Pittsburgh.

Nededuktivní Metody V Matematice

Obsah:

Video: Nededuktivní Metody V Matematice

Nededuktivní metody v matematice