Nekonzistentní Matematika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Nekonzistentní matematika

První publikované Út 2. července 1996; věcná revize pá 18. srpna 2017

Nekonzistentní matematika je studium matematických teorií, které vznikají, když jsou klasické matematické axiomy uplatňovány v rámci (neklasické) logiky, která může tolerovat přítomnost rozporu, aniž by každou větu proměnila v teorém.

• 1. Základy matematiky
• 2. Aritmetika
• 3. Analýza
• 4. Geometrická nekonzistence
• 5. Chunk a permeát
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Základy matematiky

Nekonzistentní matematika začala historicky se základními úvahami. Set-theoretic paradoxes poznamenal Russell a jiní vedli k pokusům vytvořit konzistentní teorii množin jako základ pro matematiku. Jak je však známo, teorie množin jako ZF, NBG a podobně byly různými způsoby ad hoc. Proto řada lidí včetně da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley a Norman (1989, s. 152, 498) považovala za vhodnější zachovat plnou moc principu přirozeného porozumění (každý predikát určuje množinu) a toleruje stupeň nekonzistence v teorii množin. Zejména Brady rozšířil, zefektivnil a zjednodušil tyto výsledky na teorii naivních setů ve své knize (2006); jasný účet viz také recenze společnosti Restall (2007).

Tyto konstrukce samozřejmě vyžadují, aby člověk upustil alespoň od logického principu ex contradictione quodlibet (ECQ) (z rozporu lze odvodit každý návrh, také nedávno nazývaný exploze), jakož i jakýkoli princip, který k němu vede, jako je disjunktivní syllogism (DS) (od A-nebo-B a ne-A odvodit B). ECQ trivializuje každou nekonzistentní teorii (trivialita = každá věta je prokazatelná), což ji činí pro matematický výpočet zbytečným. Ale značná debata (Burgess 1981, Mortensen 1983) jasně ukázala, že upuštění od ECQ a DS nebylo tak kontraintuitivní, zejména když se objevil věrohodný příběh o zvláštních podmínkách, za kterých se i nadále drží.

Je třeba také poznamenat, že Bradyho konstrukce naivní teorie teorií otevírá dveře k oživení logiky Frege-Russella, která byla široce považována, dokonce i samotným Fregeem, za to, že byla vážně poškozena Russellovým paradoxem. Pokud se Russellova kontradikce nerozšíří, pak není zřejmý důvod, proč by se člověk neměl domnívat, že teorie naivních množin poskytuje odpovídající základ pro matematiku, a že naivní teorie teorií lze odvodit z logiky prostřednictvím naivního schématu porozumění. Jedinou potřebnou změnou je přechod na logiku tolerantní vůči nekonzistenci. Ještě radikálnější je, že Weber v souvisejících dokumentech (2010) (2012) považoval tento nesoulad za pozitivní ctnost, protože nám umožňuje urovnat několik otázek, které Cantor nechal otevřené, konkrétně, že dobře uspořádaná věta a axiom volby jsou prokazatelné,a že hypotéza Continuum je nepravdivá (2012, 284). Některé z nich vyšly prokazatelně pravdivé i nepravdivé; v němž se Weber týká předběžných důkazů o klasickém znovuzískání, což je projekt, který ukazuje, že tradiční výsledky zůstávají pravdivé (2010, 72). Toto oživuje novou půdu. Weber také ukázal něco podstatného pro tento projekt, jmenovitě to Cantorova věta pokračuje; to znamená, že nezávisí na příliš silných logických zásadách, které jsou zpochybňovány paraconsistentisty. Weberův názor je důležitý z hlediska zachování Cantorovy věty, protože v nekonzistentní teorii množin zůstávají k dispozici různé řády nekonečna.což je projekt, který ukazuje, že tradiční výsledky zůstávají pravdivé (2010, 72). Toto oživuje novou půdu. Weber také ukázal něco podstatného pro tento projekt, jmenovitě to Cantorova věta pokračuje; to znamená, že nezávisí na příliš silných logických zásadách, které jsou zpochybňovány paraconsistentisty. Weberův názor je důležitý z hlediska zachování Cantorovy věty, protože v nekonzistentní teorii množin zůstávají k dispozici různé řády nekonečna.což je projekt, který ukazuje, že tradiční výsledky zůstávají pravdivé (2010, 72). Toto oživuje novou půdu. Weber také ukázal něco podstatného pro tento projekt, jmenovitě to Cantorova věta pokračuje; to znamená, že nezávisí na příliš silných logických zásadách, které jsou zpochybňovány paraconsistentisty. Z Weberova pohledu je důležitá věta o zachování Cantorovy věty, protože v nekonzistentní teorii množin zůstávají dostupné různé řády nekonečna.protože v nekonzistentní teorii množin zůstávají k dispozici různé řády nekonečna.protože v nekonzistentní teorii množin zůstávají dostupné různé řády nekonečna.

Kromě toho má matematika metajazyk, protože mluví o samotné matematice. To zahrnuje koncepty: (i) jména pro matematické výroky a další části syntaxe, (ii) vlastní odkaz, (iii) důkaz a (iv) pravda. Gödelův příspěvek k filozofii matematiky měl ukázat, že první tři z nich lze přísně vyjádřit v aritmetických teoriích, i když v teoriích, které jsou buď nekonzistentní nebo neúplné. Možnost dobře strukturovaného příkladu bývalé z těchto dvou alternativ, nekonzistence, nebyla znovu brána vážně, opět kvůli víře v ECQ. Navíc se zdá, že přirozené jazyky mají také svůj vlastní predikát pravdy. V kombinaci se sebereflexí vzniká Liarův paradox: „Tato věta je nepravdivá“, nekonzistence. Priest (1987) a Priest, Routley a Norman (1989, s. 1).154) tvrdil, že na lháře je třeba nahlížet jako na výrok pravdivý i nepravdivý, skutečný rozpor. Toto představuje další argument pro studium nekonzistentních teorií, jmenovitě tvrzení, že některé rozpory jsou pravdivé, také známé jako dialetheismus. Kripke (1975) namísto toho navrhl odlišně modelovat predikát pravdy v konzistentní neúplné teorii. Níže vidíme, že neúplnost a nekonzistentnost spolu úzce souvisejí.

2. Aritmetika

Tyto poznámky však byly o základech a matematika není jeho základy. Existuje tedy další nezávislý motiv, aby se zjistilo, jaká matematická struktura zůstává všude, kde se uvolní omezení konzistence. Bylo by však špatné to považovat za jakékoli odmítnutí struktur studovaných v klasické matematice: nekonzistentní struktury představují navíc ke známým strukturám.

Zdá se, že Robert K. Meyer (1976) jako první myslel na nekonzistentní aritmetickou teorii. V tomto bodě se více zajímal o osud konzistentní teorie, jeho relevantní aritmetiku R #. To odpovídá axiomům pro Peano aritmetiku, na základě kvantifikované relevantní logické RQ, a Meyer doufal, že slabší báze relevantní logiky umožní více modelů. On měl pravdu. Ukázalo se, že existuje celá řada nekonzistentních aritmetických teorií; viz například Meyer a Mortensen (1984). Souběžně s výše uvedenými poznámkami k rehabilitační logice, Meyer argumentoval, že tyto aritmetické teorie poskytují základ pro oživený Hilbertův program. Hilbertův program byl projekt přísně formalizující matematiky a prokazování její konzistence jednoduchými finitivními / induktivními postupy. To bylo široce si myslel, že byl vážně poškozený Gödel druhou teorií neúplnosti, podle kterého konzistence aritmetiky byla neukázatelná uvnitř aritmetiky sám. Důsledkem Meyerovy konstrukce však bylo, že v jeho aritmetickém R # to bylo prokazatelné konečnými prostředky, že ať už se vyskytnou jakékoli rozpory, nemohou nepříznivě ovlivnit žádné numerické výpočty. Hilbertův cíl přesvědčivě prokázat, že matematika je bezporuchová, je tedy do značné míry dosažitelný, pokud jsou použity logiky tolerantní vůči nekonzistenci. Důsledkem Meyerovy konstrukce však bylo, že v jeho aritmetickém R # to bylo prokazatelné konečnými prostředky, že ať už se vyskytnou jakékoli rozpory, nemohou nepříznivě ovlivnit žádné numerické výpočty. Hilbertův cíl přesvědčivě prokázat, že matematika je bezporuchová, je tedy do značné míry dosažitelný, pokud jsou použity logiky tolerantní vůči nekonzistenci. Důsledkem Meyerovy konstrukce však bylo, že v jeho aritmetickém R # to bylo prokazatelné konečnými prostředky, že ať už se vyskytnou jakékoli rozpory, nemohou nepříznivě ovlivnit žádné numerické výpočty. Hilbertův cíl přesvědčivě prokázat, že matematika je bezporuchová, je tedy do značné míry dosažitelný, pokud jsou použity logiky tolerantní vůči nekonzistenci.

Aritmetické modely používané Meyerem a Mortensenem později prokázaly, že umožňují nekonzistentní reprezentaci predikátu pravdy. Umožňují také reprezentaci struktur nad aritmetickou hodnotou přirozeného čísla, jako jsou prstence a pole, včetně jejich řádových vlastností. Byly také poskytnuty axiomatizace. V poslední době byly konečně nekonzistentní aritmetické modely kolapsu, přísně větší třídy než ty, které studovali Meyer a Mortensen, zcela charakterizovány Grahamem Priestem. Sbalící modely se získávají z klasických modelů tak, že se doména zhroutí dolů do tříd kongruence generovaných různými vztahy shody. Když jsou identifikováni členové stejné třídy kongruence, jsou vytvořené teorie nekonzistentní. Například, Meyerova počáteční konstrukce zhroutila celá čísla pod shodou modulo 2. Tím se dostanou 0 a 2 do stejné třídy kongruence a ve vhodné logice se třemi hodnotami, jak 0 = 2, tak ne- (0 = 2). Priest ukázal, že tyto modely mají určitou obecnou podobu, viz Priest (1997) a (2000). Přísně vzato, Priest zašel příliš daleko, včetně zahrnutí „klikatých modelů“. Toto bylo opraveno Paříží a Pathmanathanem (2006) a rozšířeno do nekonečna Paříží a Sirokfskichem (2008). Ještě více nedávno získal Tedder (2015) axiomatizace pro třídu modelů konečných kolapsů s jinou logikou pozadí, Avronovou A3.a rozšířil se do nekonečna Paříží a Sirokfskichem (2008). Ještě více nedávno získal Tedder (2015) axiomatizace pro třídu modelů konečných kolapsů s jinou logikou pozadí, Avronovou A3.a rozšířil se do nekonečna Paříží a Sirokfskichem (2008). Ještě více nedávno získal Tedder (2015) axiomatizace pro třídu modelů konečných kolapsů s jinou logikou pozadí, Avronovou A3.

3. Analýza

Nelze ignorovat příklady analýzy a její zvláštní případ, počet. Pro modelový přístup k nim viz Mortensen (1990, 1995)

Nyní Meyerův původní přístup k přirozeným číslům, to je R #, byl spíše axiomatický než modelově teoretický. Axiomatický přístup byl také použit v analýze McKubre-Jordens a Weber (2012). V axiomatizační analýze se základem paraokonzistentní logiky jejich článek posouvá Meyerův přístup k aritmetice přes R # ještě dále. Tito autoři (nadcházející) přepracovávají teorii integrace, jako tomu bylo v rukou Archimedesových, který používá metodu vyčerpání, přičemž používá parakonzistentní zdůvodnění. Výsledkem je „nekonzistentnost“, což znamená, že člověk dokáže prokázat „klasický výsledek nebo rozpor“. Klasický výsledek lze poté považovat za zpětně získatelný disjunktivním syllogismem klasického tahu použitým na klasicky falešný (nekonzistentní) druhý disjunkt.

Je jistě důležité a hodné sledovat tento směr, ale zde je uvedena mírná opatrnost: axiomatický projekt je trochu odlišný od nekonzistentní matematiky. Jak bylo uvedeno dříve, Meyer v této fázi byl konzistentní - hledal konzistentní teorii s logikou tolerantní vůči nekonzistentnosti. S podobnou motivací se také snažil urovnat to, čemu říkal „problém gama“, což byla v podstatě otázka, zda by axiomatická teorie R # mohla být ukázána jako klasická peano aritmetika jako sub-teorie. Pokud by tomu tak bylo, pak by jeho důkaz o netrivialitě pro R # okamžitě poskytl nový důkaz negační konzistence klasické aeametiky Peano! Všimněte si, že by to nebylo v rozporu s Godelovou druhou větou, protože důkaz o gama výsledku by pravděpodobně nebyl omezen na finální techniky.(V případě Meyerovy teorie se ukázalo, že tomu tak není.)

Během analýzy se ukázalo, že existuje mnoho míst, kde existují výrazné nekonzistentní postřehy. Příklady ve zbývající části této části jsou čerpány z Mortensen (1995). Například: (1) Robinsonova (1974) nestandardní analýza byla založena na nekonečných množstvích, množstvích menších než jakékoli reálné číslo, jakož i na jejich vzájemných vztazích, nekonečných číslech. Toto má nekonzistentní verzi, která má některé výhody pro výpočet v tom, že je schopna zbavit se infinitesimálů vyššího řádu. Je zajímavé, že teorie diferenciace měla tyto výhody, zatímco teorie integrace ne. Podobný výsledek, za použití jiné logiky pozadí, získal Da Costa (2000). (2) Dalším místem, kde lze najít aplikace nekonzistence v analýze, je topologie,kde člověk snadno pozoruje praxi řezání a vkládání mezer, která je popisována jako „identifikace“jedné hranice s druhou. Lze ukázat, že to lze popsat v nekonzistentní teorii, ve které jsou obě hranice identické a ne identické, a lze dále tvrdit, že se jedná o nejpřirozenější popis praxe. (3) Ještě další aplikací je třída nekonzistentních spojitých funkcí. Ne všechny funkce, které jsou klasicky nespojité, jsou přístupné nekonzistentnímu zacházení; ale některé jsou například f (x) = 0 pro všechny x <0 a f (x) = 1 pro všechny x ≥0. Nekonzistentní rozšíření nahrazuje první <za ≤ a má charakteristické strukturální vlastnosti. Tyto nekonzistentní funkce mohou mít některé aplikace v dynamických systémech, ve kterých dochází k nespojitým skokům,jako jsou systémy kvantového měření. Rozlišování takových funkcí vede k delta funkcím, které použil Dirac ke studiu kvantového měření. (4) Dále je známý případ nekonzistentních systémů lineárních rovnic, jako je systém (i) x + y = 1 plus (ii) x + y = 2. Takové systémy mohou potenciálně vzniknout v kontextu automatizovaného řízení. Řešením takových systémů bylo klasicky málo práce, ale lze ukázat, že v nekonzistentních vektorových prostorech existují dobře chovaná řešení. (5) Nakonec si můžeme všimnout další aplikace v topologii a dynamice. Vzhledem k předpokladu, který se zdá být myslitelný, a to, že ať už se stane cokoli nebo je pravda, že se stane nebo je pravda na otevřené sadě (spacetime) bodů, má člověk logiku dynamicky možných cest otevřenou množinu logiky, tj. Intuitionist logika,což podporuje neúplné teorie par excellence. Je tomu tak proto, že přirozený popis negace výroku v takovém prostoru říká, že se drží největší otevřené sady obsažené v booleovském doplňku souboru bodů, na nichž původní návrh držel, který je obecně menší než booleovský doplněk. Určení topologického prostoru jeho uzavřenými množinami je však vždy stejně rozumné, jako určení jeho otevřených sad. Je však známo, že logika uzavřených množin je parokonzistentní, tj. podporuje nekonzistentní netriviální teorie; viz například Goodman (1981). Tedy vzhledem k (alternativnímu) předpokladu, který se také zdá být myslitelný, totiž že to, co je pravdivé, je pravda na uzavřeném souboru bodů, má jeden, že si nekonzistentní teorie mohou dobře myslet. Je to proto, že přirozený popis negace propozice,konkrétně to, že drží nejmenší uzavřenou množinu obsahující booleovskou negaci výroku, znamená, že na překrývající se hranici platí výrok i jeho negace. Dynamické teorie tedy určují vlastní logiku možných výroků a odpovídajících teorií, které mohou být nekonzistentní a jsou určitě stejně přirozené jako jejich neúplné protějšky.

O uzavřené logice a hranicích jako přirozeném prostředí pro protichůdné teorie viz Mortensen (2003, 2010). Weber a Cotnoir (2015) také zkoumají nekonzistenci hranic vyplývajících z nekompatibility tří principů (i) existují hranice, (ii) prostor je topologicky propojen a (iii) jednotlivé entity mohou být v kontaktu (tj. Ne mezera mezi nimi). To je velmi zajímavý problém, protože všechny tři jsou věrohodné; zejména se zdá, že v našem světě jsou hranice. Prvním překvapivým rysem tohoto účtu je, že hranice vyjdou jako „prázdné“; Koneckonců, nulové entity jsou v rozporu s duchem mereologie. To však není tak šokující, protože se ukazuje, že jsou prázdné pouze v tom smyslu, že mají členy nekonzistentně.

Teorie kategorií vrhá světlo na mnoho matematických struktur. Určitě to bylo navrženo jako alternativní základ pro matematiku. Taková obecnost nevyhnutelně naráží na problémy podobné problémům porozumění v teorii množin; viz např. Hatcher 1982 (str. 255–260). Existuje tedy stejná možná aplikace nekonzistentních řešení. Existuje také důležitá sbírka kategoriálních struktur, toposů, které podporují otevřenou množinu logiky přesně paralelně s tím, jak množiny podporují logickou logiku. Mnozí to považovali za potvrzení základního pohledu matematického intuicionismu. Lze však prokázat, že to podporuje takovou logiku uzavřené množiny jako snadno, protože podporuje logiku otevřené množiny, dosud jediná kategorie-teoretická sémantika pro parikonzistentní logiku. To by však nemělo být vnímáno jako námitka proti intuicionismu, ani jako argument, že nekonzistentní teorie jsou stejně rozumné jako položky matematického studia. Viz Mortensen (1995 kap. 11, spoluautor Lavers). Tuto pozici nyní zaujal, rozšířil a důkladně bránil Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Stejný autor (2016) se zavazuje poskytnout teoreticko-teoretický popis triviálních teorií s cílem prokázat, že trivialita není pro matematické teorie tak nezajímavým prvkem. Současný autor zůstává nepřesvědčivý, protože triviální teorie je pro matematické výpočty jistě k ničemu; ale je třeba uznat vynalézavost argumentů.spoluautor Lavers). Tuto pozici nyní zaujal, rozšířil a důkladně bránil Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Stejný autor (2016) se zavazuje poskytnout teoreticko-teoretický popis triviálních teorií s cílem prokázat, že trivialita není pro matematické teorie tak nezajímavým prvkem. Současný autor zůstává nepřesvědčivý, protože triviální teorie je pro matematické výpočty jistě k ničemu; ale je třeba uznat vynalézavost argumentů.spoluautor Lavers). Tuto pozici nyní zaujal, rozšířil a důkladně bránil Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Stejný autor (2016) se zavazuje poskytnout teoreticko-teoretický popis triviálních teorií s cílem prokázat, že trivialita není pro matematické teorie tak nezajímavým prvkem. Současný autor zůstává nepřesvědčivý, protože triviální teorie je pro matematické výpočty jistě k ničemu; ale je třeba uznat vynalézavost argumentů. Současný autor zůstává nepřesvědčivý, protože triviální teorie je pro matematické výpočty jistě k ničemu; ale je třeba uznat vynalézavost argumentů. Současný autor zůstává nepřesvědčivý, protože triviální teorie je pro matematické výpočty jistě k ničemu; ale je třeba uznat vynalézavost argumentů.

Dualita mezi neúplností / intuicionismem a nekonzistentností / paraconsistencí má alespoň dva aspekty. Nejprve je výše uvedená topologická (otevřená / uzavřená) dualita. Druhou je Routleyho dualita. Routleyova hvězda * sady vět S je definována jako S * = _df {A: ~ A není v S}. Routleys (1972), objevený jako sémantický nástroj pro relevantní logiku, * operace zdvojnásobuje nekonzistentní a neúplné teorie velké přirozené třídy de Morganovy logiky. Interagují také oba druhy duality, kde * dává výrazné věty o dualitě a invázi pro otevřené množinové a uzavřené množinové aritmetické teorie. Na základě těchto výsledků je spravedlivé tvrdit, že oba druhy matematiky, intuicionistické i parakonzistentní, jsou stejně rozumné.

4. Geometrická nekonzistence

Nejnovějším vývojem je aplikace pro vysvětlení jevu nekonzistentních obrázků. Nejznámější z nich jsou možná mistrovská díla MC Eschera Belvedere, Vodopád a Vzestupně a Sestupně. Ve skutečnosti se tradice vrací tisíciletí do Pompejí. Zdá se, že Escher odvodil mnoho svých intuic od švédského umělce Oscara Reutersvärda, který začal svou nekonzistentní práci v roce 1934. Escher také aktivně spolupracoval s anglickým matematikem Rogerem Penroseem. Tam bylo několik pokusů popsat matematickou strukturu nekonzistentních obrazů používat klasickou konzistentní matematiku, teoretiky takový jako Cowan, Francis a Penrose. Jak tvrdí Mortensen (1997), žádná konzistentní matematická teorie nemůže zachytit pocit, že člověk vidí nemožnou věc. Pouze nekonzistentní teorie může zachytit obsah tohoto vnímání. To odpovídá odvolání na kognitivní zdůvodnění parokonzistence. Poté lze přistoupit k zobrazení nekonzistentních teorií, které jsou kandidáty na takový nekonzistentní obsah. V tomto bodě existuje analogie s klasickou matematikou: projektivní geometrie je klasická konzistentní matematická teorie, která je zajímavá, protože jsme bytosti s okem, protože to vysvětluje, proč věci vypadají tak, jak vypadají perspektivně.projektivní geometrie je klasická konzistentní matematická teorie, která je zajímavá, protože jsme stvoření s okem, protože to vysvětluje, proč je to tak, že věci vypadají tak, jak vypadají perspektivně.projektivní geometrie je klasická konzistentní matematická teorie, která je zajímavá, protože jsme stvoření s okem, protože to vysvětluje, proč je to tak, že věci vypadají tak, jak vypadají perspektivně.

Nekonzistentní geometrické studie jsou dále rozvíjeny v Mortensen (2002a), kde je aplikována teorie kategorií, aby byl poskytnut obecný popis vztahů mezi různými teoriemi a jejich konzistentními omezeními a neúplnými dualy. Pro neformální účet, který zdůrazňuje rozdíl mezi vizuálními „paradoxy“a filozoficky běžnějšími paradoxy jazyka, jako je Lhář, viz Mortensen (2002b).

Více nedávno, nekonzistentní matematické popisy byly získány pro několik tříd nekonzistentních čísel, ilustrovaný Escherovou krychlí (nalezený v jeho tisku Belvedere), Reutersvärd-Penrose trojúhelník, a jiní. Viz Mortensen (2010).

5. Chunk a permeát

Nedávno se objevila alternativní technika pro řešení obecně rozporů. Brown and Priest (2004) navrhli techniku, kterou nazývají „Chunk and Permeate“, ve které se uvažuje od nekonzistentních předpokladů tím, že rozděluje předpoklady do konzistentních teorií (kusy), odvozuje vhodné důsledky a poté předává (prostupuje) tyto důsledky do jiného kus pro další důsledky, které mají být odvozeny. Naznačují, že Newtonovo původní uvažování při odvozování derivátů v počtu bylo této formy. Jedná se o zajímavý a nový přístup, i když musí vyhovět námitce, že pokud uvěříme závěru získanému na tomto základě, měli bychom uvěřit všem předpokladům stejně; a tak by měl být konečně připraven argument o běžnější formě, který by apeloval na všechny předpoklady, aniž by je fragmentoval. Námitka je taková, že Chunk and Permeate je spíše součástí kontextu objevu než kontextu ospravedlnění.

Nedávno Benham et. al. (2014) rozšířili tyto metody na funkci delta Dirac. To rozšiřuje třídu aplikací a posiluje tak techniku. Je však také zřejmé, že existuje úzká rovnoběžka mezi (jednou velkou třídou) aplikací Chunk a Permeate a (konzistentní) nestandardní analýzou: kdekoli Chunk a Permeate vezmou derivaci přesunutím bloků do jedné, kde jsou infinitesimály nula, nestandardní analýza bere derivát definováním derivátů jako „pouze standardní části“. Ekvivalence mezi těmito dvěma technikami samozřejmě neukazuje, co je vysvětlitelně hlubší. Se zájmem se očekává vývoj.

6. Závěr

Na závěr: v poslední době se objevilo docela dost filosofického materiálu, což je sympatické k nekonzistentní matematice. Colyvan (2000) se zabývá otázkou, že nekonzistentní matematické teorie zahrnují jako své předměty nekonzistentní matematické objekty. Rovněž se ujímá důležitého úkolu spočívajícího v tom, jak nekonzistentní matematika může mít obor aplikovanou matematiku. Priest (2013), stejně jako Colyvan, poznamenává, že k platonistické směsi přispívá nekonzistentní matematika. Berto (2007) užitečně zkoumá paradoxy a základní otázky a uvádí některé aritmetické výsledky, které se týkají důležitých filosofických problémů, jako jsou věty o neúplnosti. Van Bendegem (2014) sleduje zajímavou motivaci, že změna je vždy stavem anomálie, takže vždy změna znamená vždy anomální. Příklady zahrnují infinitesimals, komplexní čísla a nekonečno. Pozornost by měla být věnována myšlence, že nekonzistence je vždy neobvyklá, ale pouze proto, že je to prostě více materiálu pro matematické studium.

Je třeba znovu zdůraznit, že tyto struktury nijak nenapadají ani neodpuzují existující matematiku, ale spíše rozšiřují naši představu o tom, co je matematicky možné. To zase naostří problém matematického pluralismu; viz např. Davies (2005), Hellman a Bell (2006) nebo Priest (2013). Různí autoři mají různé verze matematického pluralismu, ale je to něco v souladu s tím, že nekompatibilní matematické teorie mohou být stejně pravdivé. Případ matematického pluralismu spočívá v pozorování, že existují různé matematické „vesmíry“, v nichž jsou drženy různé, skutečně neslučitelné, matematické věty nebo zákony. Známými příklady jsou nekompatibilita mezi klasickou matematikou a intuicionistickou matematikou a nekompatibilita mezi ZF-podobnými vesmíry sad s, a bez,Axiom of Choice. Zdá se absurdní říci, že ZF with Choice je skutečná matematika a ZF bez volby je falešná matematika, pokud jsou oba legitimními příklady matematicky dobře chovaných teorií.

Hlavní otázkou filozofie matematiky je jistě to, co je matematika. Operace duality, jako je topologická dualita nebo Routley *, posilují názor, že neúplné / nekonzistentní duály jsou stejně rozumné jako příklady matematiky. Z tohoto pohledu se spory o to, které intuicionistické nebo klasické nebo nekonzistentní matematiky akceptují, zdají zbytečné; všichni jsou součástí předmětu matematika. Tomuto bodu účinně dokázal Shapiro (2014, naopak viz jeho 2002). Shapiro je výrazná pozice má jiné přísady: matematika jako věda struktury a matematický pluralismus znamenat logický pluralismus (k logickému pluralismu vidět také Beall a Restall 2006); ale my to tady nebereme.

Pro to, co stojí za to, si současný spisovatel myslí, že některá verze matematického pluralismu je zjevně pravdivá, pokud člověk vezme matematiku za prvé o matematických teoriích umožňujících nekonzistenci a pouze za druhé o objektech vnitřních pro tyto teorie. O nekompatibilních teoriích, jako jsou struktury výroků, koexistující, samozřejmě neexistuje žádný problém. Přednost teorií také zapadá do přirozeného pozorování, že epistemologie matematiky je deduktivní důkaz. Pouze pokud si člověk vezme jako výchozí bod nadřazenost matematického objektu jako tvůrce pravdy, musí si dělat starosti s tím, jak jejich objekty dokážou koexistovat.

Bibliografie

• Beall, JC a G. Restall, 2006, Logický pluralismus, Oxford: The Clarendon Press.
• Benham, R., C. Mortensen a G. Priest, 2014, „Chunk and Permeate III: Dirac Delta Function“, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10,1007 / s11229-014-0473-7
• Berto, F., 2007, Jak prodat rozpor, Londýn: College Publications.
• Brady, R., 1971, „Konzistence axiomů abstrakce a prodlužování v logice se třemi hodnotami“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
• –––, 1989, „Netrivialita teorie dialektických setů“, v G. Priest, R. Routley a J. Norman (eds.), Paraconsistent Logic, Mnichov: Philosophia Verlag.
• –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Brown, B. a G. Priest, 2004, „Chunk and Permate: Paraconsistent Inference Strategy. Část I: Infinitesimální počet “, Journal of Philosophical Logic, 33: 379–388.
• Burgess, J., 1981, „Relevance, a Fallacy?“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 97–104.
• Colyvan, M., 2000, „Použití nekonzistentní matematiky“, Nové vlny ve filozofii matematiky, O. Bueno a O. Limmbo (ed.), Londýn: Palgrave McMillan, 160-172.
• Da Costa, Newton, CA, 1974, „O teorii nekonzistentních formálních systémů“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15: 497–510.
• –––, 2000, „Paraconsistent Mathematics“, v D. Batens et al. (eds.), Frontiers of Paraconsistent Logic, Hertfordshire: Research Studies Press, 165–180.
• Davies, EB, 2005 „Obrana matematického pluralismu“, Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
• Estrada-Gonzales, L., 2010, „Complement-Topoi and Dual Intuitionistic Logic“, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
• –––, 2015a „The Evil Twin: Základy komplementu-toposes“, v Beziau, Chakraborty a Dutta (ed.), Nové směry v nesouhlasné logice, Dordrecht: Springer: 375-425.
• –––, 2015b, „Od (parokonzistentní) topos logiky k univerzální (topos) logice“, v Koslow a Buchsbaum (eds.), Cesta k univerzální logice: Festschrift pro Jean-Yves Beziau k jeho padesátým narozeninám, Dordrecht: Springer, 263-295.
• ––– 2016, „Perspektivy triviality“, v H. Andreas a P. Verdee (ed.), Logická studia parakonzistentního uvažování ve vědě a matematice, Dordrecht: Springer, 81-89.
• Goodman, N., 1981, „The Logic of Contradictions“, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
• Hatcher, WS, 1982, Logické základy matematiky, Oxford: Pergamon.
• Hellman, G. a J. Bell, 2006, „Pluralismus a základy matematiky“, v CK Waters et al. (eds.), Scientific Pluralism (Minnesota Studies in Philosophy of Science, Svazek XIX), Minneapolis: University of Minnesota Press.
• Kripke, S., 1975, „Nástin teorie pravdy“, Journal of Philosophy, 72: 690–716.
• McKubre-Jordens, M. a Zach Weber, 2012, „Reálná analýza a parakonzistentní logika“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
• –––, nadcházející „Paraconsistentní měření kruhu: pozvání k nekonzistentní matematice“, Australasian Journal of Logic.
• Meyer, RK, 1976, „Relevantní aritmetika“, Bulletin sekce logiky Polské akademie věd, 5: 133–137.
• Meyer, RK a C. Mortensen, 1984, „Nekonzistentní modely pro relevantní aritmetiku“, The Journal of Symbolic Logic, 49: 917–929.
• Mortensen, C., 1983, „Odpověď Burgessovi a ke čtení“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
• –––, 1990, „Modely pro nekonzistentní a neúplné diferenciální počet“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274-285.
• –––, 1995, řada nekonzistentní matematiky, Kluwerova matematika a její aplikace, Dordrecht: Kluwer. [Errata je k dispozici online.]
• –––, 1997, „Peeking at the Impossible“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 38: 527–534.
• –––, 2000, „Perspektivy nekonzistence“, v D. Batens et al. (eds.), Frontiers of Paraconsistent Logic, London: Research Studies Press, 203–208.
• –––, 2002a, „Směrem k matematice nemožných obrazů“, W. Carnielli, M. Coniglio a I. D'Ottaviano (ed.), Paraconsistence: Logická cesta k nekonečnu, (Poznámky k přednášce čistě a aplikované Mathematics, Svazek 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
• –––, 2002b, „Paradoxy uvnitř a vně jazyka“, jazyk a komunikace, 22: 301–311.
• –––, 2003, „Closed Set Logic“, v R. Brady (ed.), Relevant Logics and jejich Rivals (Volume II), Aldershot: Ashgate, pp. 252-262 (zejména 255-6).
• ––– 2006, „Analýza nekonzistentních a neúplných krychlových kostek“, Australasian Journal of Logic, 4: 216–225.
• –––, 2010, Nekonzistentní geometrie (Study in Logic, Svazek 27), Londýn: College Publications (King's College).
• Paříž, J., a Pathmanathan, N., 2006, „Poznámka o kněžské konečné aritmetice“, Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
• Paříž, J., a Sirokofskich, A., 2008, „Na LP modelech aritmetiky“, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
• Priest, G., 1987, In Contradiction, Dordrecht: Nijhoff; druhé rozšířené vydání, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
• –––, 1997, „Nekonzistentní modely pro aritmetiku: I, konečné modely“, Journal of Philosophical Logic, 26: 223–235.
• –––, 2000, „Nekonzistentní modely pro aritmetiku: II, obecný případ“, Journal of Symbolic Logic, 65: 1519–29.
• ––– 2013, „Matematický pluralismus“, Logický deník IGPL, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
• Priest, G., R. Routley a J. Norman (eds.), 1989, Paraconsistent Logic, Mnichov: Philosophia Verlag.
• Restall, G., 2007, „Recenze Brady Universal Logic“, Bulletin of Symbolic Logic, 13 (4): 544–547.
• Robinson, A., 1974, Nestandardní analýza, Amsterdam: North-Holland, revidované vydání.
• Routley, R. a V. Routley, 1972, „Sémantika učení prvního stupně“, Noûs, 6: 335–359.
• Shapiro, S., 2002, „Nekonzistence a neúplnost“, Mind, 111: 817–832.
• –––, „Struktury a logika: případ (a) relativismu“, Erkenntnis, 79: 309–329.
• Tedder, A., 2015, „Axiomy pro modely aritmetických metod s konečným zhroucením“, Přehled symbolické logiky, 8 (3): 529-539.
• Van Bendegem, JP., 2014, „Nekonzistence v matematice a matematika nekonzistence“, Synthese, 191 (13), 3063-3078.
• Weber, Z., 2010, “Transfinite Numbers in Paraconsistent Theory Theory”, Recenze Symbolic Logic, 3 (1): 71-92.
• ––– 2012, „Transfinitní kardinálové v parakonzistentní teorii množin“, Přehled symbolické logiky, 5 (2): 269–293.
• ––– a Cotnoir, AJ, 2015, „Nekonzistentní hranice“, Synthese, 192: 1267-1294. doi: 10,1007 / 511229-014-0614-2

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]