Matematický Styl

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

První publikováno Čt 2. července 2009; věcná revize st 9. srpna 2017

Esej začíná taxonomií hlavních kontextů, v nichž se od počátku dvacátého století přitahuje pojem „styl“v matematice. Patří sem použití pojmu styl ve srovnávacích kulturních dějinách matematiky, při charakterizaci národních stylů a při popisu matematické praxe. Tento vývoj pak souvisí se známějším pojetím stylu v dějinách a filozofií přírodních věd, kde člověk rozlišuje „místní“a „metodologické“styly. Tvrdí se, že přirozené místo „stylu“v matematice spadá mezi „místní“a „metodologické“styly popsané historiky a filozofy vědy. A konečně poslední část eseje shrnuje některé z hlavních popisů stylu v matematice, a to kvůli Hackingovi a Grangerovi,a zkoumá jejich epistemologické a ontologické důsledky.

1. Úvod
2. Styl jako ústřední pojem ve srovnávacích kulturních dějinách
3. Národní styly v matematice
4. Matematici ve stylu
5. Místo stylu
6. Směrem k epistemologii stylu
7. Závěr
Bibliografie
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

1. Úvod

Cílem této eseje je prozkoumat a analyzovat literaturu o stylu v dějinách a filozofii matematiky. Na konci bude řešena zejména otázka, jak lze filozoficky přistupovat k pojmu „styl“v matematice. Ačkoli to není jedno z kanonických témat filozofie matematiky, prezentace využije relevantní diskuse o stylu v historii a filozofii vědy.

Mluvit o matematice z hlediska stylu je dost běžný jev. Člověk se s takovými výzvami ke stylistickým rysům v matematice setkává již na počátku sedmnáctého století. Bonaventura Cavalieri například už v roce 1635 kontrastuje s jeho indivisibilistickými technikami s archimedovským stylem:

Ve skutečnosti vím, že všechny výše uvedené věci [Cavalieriho vlastní věty získané indivisibilistickými důkazy] lze redukovat na archimedovský styl. (V původní latině: „Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse.“(Cavalieri 1635, 235)).

Později ve století je snazší najít příklady. Například Leibniz (1701, 270–71) píše: „Analýza se neliší od Archimedesova stylu s výjimkou výrazů, které jsou přímější a vhodnější pro objevovací umění“(francouzsky: „L'analyse ne diffère du style d „Archimède que dans les výrazy, qui sont plus directes et plus odpovídá à l'art d'inventer“). Je zajímavé, že takovéto události předcházejí zevšeobecněnému použití pojmu styl v malbě, který se datuje pouze od šedesátých let (ojedinělé výskyty, jak je uvedeno v Sauerländer 1983, se vyskytují také v šestnáctém století). Začátkem sedmnáctého století bylo slovem malování slovo „manière“(viz Panofsky 1924; anglický překlad (1968, 240)). Zde je několik dalších příkladů z devatenáctého a dvacátého století. Chasles v jeho Aperçu historique (1837) mluvit o Monge říká:

Zahájil nový způsob psaní a mluvení o této vědě. Styl je ve skutečnosti tak důvěrně přivařen k duchu metodologie, že musí postupovat v souladu s ním; podobně, pokud to předvídalo, styl musí nutně hrát silný vliv na něj a na celkový pokrok vědy. (Chasles, 1837, §18, 207)

Další příklad vychází z Edwardova hodnocení Dedekindova přístupu k matematice:

Kroneckerovu brilanci nelze pochybovat. Kdyby měl desetinu schopnosti Dedekinda jasně formulovat a vyjadřovat své myšlenky, jeho příspěvek k matematice mohl být ještě větší než Dedekindův. Jeho brilantnost však z větší části zemřela s ním. Dedekindovo dědictví naproti tomu sestávalo nejen z důležitých vět, příkladů a konceptů, ale z celého stylu matematiky, který byl inspirací pro každou další generaci. (Edwards 1980, 20)

Je zřejmé, že je možné hromadit nabídky stejného druhu (viz mimo jiné Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005, Weiss 1939, Wisan 1981), ale to by nebylo moc zajímavé. I v matematickém stylu sahá od „individuálních stylů“po „národní styly“až po „epistemické styly“. Nejprve je třeba porozumět hlavním souvislostem, v nichž se v matematice objevuje výzva ke „stylu“, ačkoli tato esej nebude obsahovat mnoho diskusí o „individuálních stylech“(příklady takových by zahrnovaly, následovat návrh Enrico) Bombieri, „velmi osobní“styly Eulera, Ramanujana, Riemanna, Serra a A. Weila).

V mnoha případech je výzva k pojetí stylu chápána tak, jak byla vypůjčena z výtvarného umění, a některé případy budou projednány okamžitě. Harwood 1993 tvrdí, že „koncept stylu byl vytvořen za účelem klasifikace kulturních vzorců pozorovaných ve studiu výtvarného umění“. Wessely 1991 hovoří o „převedení tohoto pojmu [stylu] do dějin vědy“(265). I když to možná bude platit pro dvacáté století (viz také Kwa 2012), je třeba mít na paměti, jak bylo uvedeno výše, že toto tvrzení musí být kvalifikováno pro sedmnácté století.

2. Styl jako ústřední pojem ve srovnávacích kulturních dějinách

Bez ohledu na předchozí námitky je faktem, že některé velké dvacáté století apeluje na kategorii stylů v matematice, a to v souvislosti s uměním. To platí zejména pro ty autory, kteří byli motivováni účetnictvím jednotným způsobem pro kulturní produkci lidstva a kteří tak viděli uniformitu v procesech vědecké a umělecké produkce. V tomto kontextu se Oswald Spengler v Úpadku Západu (1919, 1921) pokusil o morfologii světových dějin a tvrdil, že dějiny matematiky byly charakterizovány různými stylistickými epochami, které závisely na kultuře, která ji produkovala:

Styl jakékoli matematiky, která vznikne, zcela závisí na kultuře, v níž je zakořeněna, na druhu lidstva, které ji přemýšlí. Duše může přinést své přirozené možnosti pro vědecký vývoj, umí je prakticky zvládnout, může v jejich zacházení s nimi dosáhnout nejvyšší úrovně - ale je docela nemotorné je změnit. Myšlenka euklidovské geometrie je aktualizována v nejranějších podobách klasického ornamentu a myšlenky Infinitesimálního počtu v nejčasnějších formách gotické architektury, století před tím, než se zrodili první naučení matematici příslušných kultur. (Spengler 1919, 59)

Nejenže existují paralely mezi matematikou a jinými uměleckými produkcemi kultury. Spengler spoléhal na Goethovo prohlášení, že úplný matematik „cítí v sobě krásu pravého“a Weierstrassovo prohlášení, že „kdo není zároveň básníkem, nikdy nebude skutečným matematikem“, pokračoval Spengler v charakterizaci matematiky sám jako umění:

Matematika je tedy umění. Jako takový má své styly a stylová období. Není to, jak si laik a filosof (který je v této věci laikem) představivým, v podstatě neměnným, ale podřízeným jako každé umění nepozorovaným změnám z epochy do epochy. (Spengler 1919, 62)

Nejrozsáhlejší léčba, která staví na paralelě mezi uměním a matematikou a využívá pojem styl jako ústřední kategorie pro analýzu dějin matematiky, je Max Bense. V knize s názvem Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946) věnoval Bense celou kapitolu (kapitola 2), aby vysvětlil, jak se pojem matematika vztahuje na matematiku. Pro Bense styl je forma:

Pro styl je forma, nezbytná forma a tuto formu označujeme jako „estetickou“, pokud kategoricky řídí rozumný materiál. (Bense 1946, 118)

Bense viděl dějiny umění a dějiny matematiky jako aspekty dějin mysli [Geistesgeschichte]. Ve skutečnosti „styl je dán všude, kde lidská představivost a schopnost projevu dorazí ke stvoření“. Bense byl jistě náchylný kreslit paralely mezi styly v dějinách umění a styly v matematice (ve své knize obzvláště zacházel s barokními a romantickými styly), ale v opozici vůči Spenglerovi zachovával odděleně povahu umění a matematiky. Skutečně uznal, že stylistická historie matematiky nemohla být redukována „na shodu mezi určitými matematickými formálními tendencemi a velkými uměleckými, světonázorovými a duchovními styly jednotlivých epoch, jako je renesance, klasicismus, baroko nebo romantismus“(s. 322).;viz Fleckenstein 1955 a Wisan 1981 pro více nedávných paralel mezi barokním uměním a matematikou sedmnáctého století). Poukázal na Felixa Kleina „Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus“, aby poukázal na to, že určité linie vývoje charakterizované Kleinem lze považovat za směřující ke stylům v historii vývoje matematiky (viz Klein 1924, 91).

Pokusy, jako je Spenglerova a Benseova výzva, určitě pro ty teoretiky, kteří by chtěli použít kategorii stylů jako nástroj pro popisování kulturních vzorců a snad i jejich účtování. Čtenáře, který má znalosti v oblasti matematiky a / nebo dějin umění, však nechávají skeptický vzhledem k obvykle velmi přitažlivým paralelám, které mají účet poskytovat. To samozřejmě neodmítá v konečném důsledku přístup nebo užitečnost vhodnosti kategorie stylů v matematice, ale člověk by si přál, aby její použití bylo přímo spojeno s aspekty matematické praxe.

Obecně lze rozlišovat dva typy teoretizace, které mohou být spojeny s takovými pokusy. První je čistě popisný nebo taxonomický a uspokojuje se s ukázáním určitých společných vzorců mezi určitou oblastí myšlení, jako je matematika, a jinými kulturními produkty určité společnosti. Druhý přístup předpokládá první, ale také zjišťuje příčiny, které způsobují přítomnost určitého stylu myšlení nebo výroby, a obvykle se snaží připsat to psychologickým nebo sociologickým faktorům. V Spengler a Bense existují prvky obou, ačkoli důraz je kladen spíše na paralely než na příčiny, které jsou základem nebo vysvětlují paralely.

Pokouší se rozšířit používání pojmu styl v umění na další oblasti lidských snah oplývajících na počátku dvacátého století. Známým případem je Mannheimův sociologický pokus charakterizovat styly myšlení v různých sociálních skupinách (Mannheim 1928). Zatímco Mannheim nevyloučil vědecké myšlení z oblasti sociologické analýzy znalostí, takovou analýzu aktivně nevykonával. Ludwik Fleck naproti tomu praktikoval sociologickou analýzu vědy, v níž „myšlenkové styly“hrály ústřední roli. Fleck se však zaměřil na medicínu (Fleck 1935).

Zde je důležité poukázat na to, že pojem myšlenkového stylu získal z velké části dva různé vývojové trendy v současném výzkumu, které také ovlivňují matematiku. Zaprvé, ve Fleckovi se setkáváme s představou. V závislosti na tom, jak velkorysý chce být ve spojování, lze vidět, že tento přístup ke stylům myšlení souvisí s pozdější prací Kuhna, Foucaulta a Hackinga (níže viz diskuse o Hackingu). Existuje však jiný způsob uvažování o stylech myšlení, který obvykle spadá pod název kognitivních stylů. Toto je oblast zájmu kognitivních psychologů a matematických pedagogů (přehled psychologického výzkumu v této oblasti viz Riding 2000 a Stenberg a Grigorenko 2001). Zde se zaměřujeme na psychologické složení jedince, který projevuje preference určitého kognitivního stylu buď v učení, porozumění nebo přemýšlení o matematice (tj. Zpracování a organizace matematických informací). Starý rozdíl mezi vizuálními a analytickými matematiky zdůrazňovanými Poincaré (viz Poincaré 1905) je stále součástí obrazu, i když existuje velké množství modelů a klasifikací. Historický přehled a teoretický návrh zaměřený na matematiku viz Borromeo Ferri 2005. Starý rozdíl mezi vizuálními a analytickými matematiky zdůrazňovanými Poincaré (viz Poincaré 1905) je stále součástí obrazu, i když existuje velké množství modelů a klasifikací. Historický přehled a teoretický návrh zaměřený na matematiku viz Borromeo Ferri 2005. Starý rozdíl mezi vizuálními a analytickými matematiky zdůrazňovanými Poincaré (viz Poincaré 1905) je stále součástí obrazu, i když existuje velké množství modelů a klasifikací. Historický přehled a teoretický návrh zaměřený na matematiku viz Borromeo Ferri 2005.

V oblasti historie a filosofie matematiky neexistují žádné knihy o délkách knih o matematických stylech, které vysvětlují vznik určitého stylu se sociologickými nebo psychologickými kategoriemi (i když Netz 1999 byl pro teoretiky stylu zajímavý jako pokus o kognitivní historii). důležitého segmentu řecké matematiky). Toto je na rozdíl od knih v historii přírodních věd, jako je Harwood 1993, jehož cílem je vysvětlit vznik myšlenkového stylu německé genetické komunity prostřednictvím sociologických argumentů. Nejblíže k takovému účtu je Bieberbachovo pojetí stylu v matematice jako závislé na psychologických a rasových faktorech. Bude diskutován v následující sekci o národních stylech.

3. Národní styly v matematice

Něco méně ambiciózního než předchozí pokusy o obecnou historii lidských kulturních produkcí nebo dalekosáhlé paralely mezi uměním a matematikou spočívá v použití pojmu styl jako historiografické kategorie v dějinách matematiky bez zvláštního odkazu na umění nebo jiné lidské kulturní aktivity. Pokud se člověk vrací na začátek dvacátého století, zjistí se, že často byly označovány „národní styly“pro kategorizaci určitých rysů charakterizujících matematickou výrobu, které se zdály spadat přímo do národních linií. V dějinách vědy byly takové případy „národních stylů“často studovány. Zde je třeba připomenout knihu J. Harwooda Styly of Scientific Thought (1993) a příspěvky Nye 1986, Maienschein 1991 a Elwick 2007. Případem zájmu o matematiku je opozice mezi francouzským a německým stylem v matematice, kterou studoval Herbert Mehrtens.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) popisuje, pokud jde o styly, konflikt v matematice mezi „formalisty“a „logicisty“na jedné straně a „intuicionisty“na straně druhé jako bitva mezi dvěma pojmy matematiky (viz také Gray 2008 za kritické převzetí Mehrtensova přístupu a zdůraznění „modernistické“transformace matematiky). Hilbert a Poincaré jsou používány jako paradigma pro zdroje opozice, která později vedla k Hilbert-Brouwer základní debatu ve dvacátých létech (o historii Brouwer-Hilbert debaty viz Mancosu 1998). Mehrtens také poukazuje na to, že tato opozice nemusí nutně probíhat podle národních linií, protože například Kleina lze považovat za blízkého Poincarého. Vskutku,jistý internacionalismus v matematice byl dominantní na konci devatenáctého století a na začátku dvacátého století. První světová válka však měla změnit situaci a vyvolat silné nacionalistické konflikty. Ústředním hráčem v „znárodnění“opozice byl Pierre Duhem, který oponoval francouzské esprit de finesse proti esprit de géométrie Němců:

Začít od jasných principů… pak postupovat krok za krokem, trpělivě, pečlivě, tempem, které pravidla deduktivní logické disciplíny s extrémní přísností: to je to, co vyniká německý génius; německý esprit je v podstatě esprit de géométrie… Němci jsou geometry, nejsou jemní [fin]; Němcům zcela chybí esprit de finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Duhem zamýšlel jeho model aplikovat na přírodní vědy, ale také na matematiku. Kleinert 1978 ukázal, že Duhemova kniha byla pouze součástí reakce francouzských vědců na prohlášení z roku 1914 „Aufruf an die Kulturwelt“podepsané 93 významnými německými intelektuály. To vedlo k tzv. „Krieg der Geister“, ve kterém polarizace mezi Německem a Francií dosáhla bodu nejen kritizování konkrétních způsobů využití vědy (řekněme praktikování vědy s vojenskými cíli), ale také vedla k charakterizaci vědy znalosti, které jsou v podstatě určeny vnitrostátními charakteristikami. Ve skutečnosti tuto strategii v podstatě použili Francouzi při kritice „La Science Allemande“, ale o dvacet let později ji Němci použijí s nahrazením „národního“za „rassisch“. Nejznámějším případem je případ „Deutsche Physik“, ale zde bude důraz kladen na „Deutsche Mathematik“(viz také Segal 2003 a Peckhaus 2005).

Nejextrémnější forma této ideologické konfrontace, která ironicky zvrátila roli Němců a Francouzů ve srovnání používaném Duhemem, se nachází v spisech Ludwiga Bieberbacha, zakladatele tzv. „Deutsche Mathematik“. Bieberbach, který začal s propuštěním Landau z matematické fakulty v Göttingenu, se pokusil racionalizovat, proč studenti donutili Landauovo propuštění. V kurzreferatu za svůj projev shrnul své cíle následovně:

Účelem mých úvah je popsat vliv mé vlastní vědy, matematiky, lidí [Volkstum], krve a rasy na styl tvorby pomocí několika příkladů. Pro nacionálně socialistu to samozřejmě nevyžaduje žádný důkaz. Je to spíše vhled do velké zjevnosti. Všechny naše činy a myšlenky jsou zakořeněny v krvi a rase a přijímají od nich jejich specifičnost. To, že takové styly existují, zná každý matematik. (Bieberbach, 1934a, 235)

Ve svých dvou dokumentech 1934b a 1934c tvrdil, že matematika praktikovaná Landauem byla pro německého ducha cizí. Srovnal Erhard Schmidt a Landau a tvrdil, že v prvním případě

Systém je zaměřen na objekty, konstrukce je organická. Naproti tomu Landauův styl je cizí realitě, antagonistický vůči životu, anorganický. Styl Erharda Schmidta je konkrétní, intuitivní a zároveň splňuje všechny logické požadavky. (Bieberbach 1934b, 237)

Dalšími důležitými opozicemi, které Bieberbach předložil jako „důkaz“jeho tvrzení, byly Gauss vs. Cauchy-Goursat u komplexních čísel; Poincaré vs. Maxwell v matematické fyzice; Landau vs. Schmidt; a Jacobi vs. Klein.

Spoléhal se na psychologii typů notoricky známým Marburgovým psychologem Jaenschem a poté se postavil proti židovským / latinským a německým psychologickým typům. Zlomová linie byla mezi matematikou řízenou intuicí, typickou pro německou matematiku, a formalismem údajně podporovaným židovskými / latinskými matematiky. Je zřejmé, že Bieberbach byl nucen udělat mnoho gerrymanderingů, aby se ujistil, že důležití němečtí matematici neskončili na špatné straně rovnice (viz, co říká o Weierstrassovi, Eulerovi a Hilbertovi). Základem těchto matematických rozdílů bylo zjištění rasových charakteristik:

Podle mých úvah jsem se pokusil ukázat, že v matematické činnosti existují problémy stylu, a proto krev a rasa mají vliv na způsob matematické tvorby. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Důvodem diskuse v této souvislosti o Bieberbachu je, že jeho případ ilustruje pokus zakořenit pojem styl v něčem zásadnějším, jako jsou národní charakteristiky interpretované z hlediska psychologie a rasových rysů. Kromě toho je jeho případ také zajímavý, protože jeho přístup ke stylu ukazuje, jak lze tuto teorizaci dát ve službě zkroucenému politickému programu.

Naštěstí nemusí mluvit o národních stylech v matematice s sebou všechny důsledky, které se vyskytly v Bieberbachu. Opravdu, když historici dnes odkazují na národní styly, činí tak bez nacionalismu, který motivoval starší příspěvky. Spíše se zabývají popisem toho, jak „místní“kultury hrají roli ve složení znalostí (viz také Larvor 2016). I když zvýšená mobilita a e-mailová komunikace ztěžují rozvoj národních stylů, přetrvávání takového stylu by také mohlo podpořit zvláštní politické podmínky. To je například případ ruského stylu v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Jak Robert MacPherson upozornil na autora,tento případ národního stylu by si zasloužil rozsáhlejší vyšetřování a bylo by zajímavé studovat, jak pád Sovětského svazu ovlivnil tento styl. Naproti tomu příkladem národního stylu, který byl rozsáhle studován, je příklad algebraické geometrie italského stylu. Tento případ byl pečlivě studován řadou historiků matematiky a zejména Alda Brigaglia (viz také Casnati et al. 2016). Například v nedávném článku Brigaglia píše:

Italská škola navíc nebyla přísně národní „školou“, nýbrž spíše pracovním stylem a metodikou, která byla založena především v Itálii, ale se zástupci, kteří se nacházejí kdekoli na světě. (Brigaglia 2001, 189)

Vystrašující citace upozorňují na problém pokusu pochopit rozdíl mezi „školami“, „styly“, „metodologiemi“atd. (Viz Rowe 2003). Nebyl žádný pokus analyticky diskutovat o pojmu „národní styl“pro historii matematika - v žádném případě nic srovnatelného s tím, co Harwood 1993 dělá v první kapitole své knihy. Situace je také komplikována skutečností, že různí autoři používají různé terminologie a možná odkazují na stejnou problematiku. Nedávno se například hodně mluvilo o „obrazech matematiky“(Corry 2004a, 2004b, Bottazzini a Dahan Dalmedico, 2001). V poslední části se vrátíme k reflexi těchto odlišných zvyklostí v historiografické literatuře o matematice a jejich srovnání s přírodními vědami.

4. Matematici ve stylu

Dosud se diskuse zaměřila na styl jako nástroj pro filozofy kultury a pro historiky matematiky. Uznávají však matematici existenci stylů v matematice? Opět by nebylo obtížné dát izolované citace, kde by matematici mohli hovořit o stylu starověku nebo o abstraktním algebraickém stylu nebo kategorickém stylu. V logické práci najdeme výskyt stylů v takových označeních jako „konstruktivní matematika biskupského stylu“. Co je obtížné najít, jsou systematické diskuse matematiků o pojmu styl. Případ Bieberbach byl zmíněn výše, ale nebyla zde uvedena podrobná diskuse o příkladech, které uvedl jako důkaz rozdílů ve stylu,částečně proto, že jsou tak pokrouceni jeho touhou poskytnout podporu jeho ideologickému pohledu, že existují důvody k pochybnostem, že by člověk získal hodně analýzou jeho případových studií.

Zajímavým příspěvkem je článek Clauda Chevalleyho z roku 1935 s názvem „Variace du style mathématique“. Chevalley považuje existenci stylu za samozřejmost. Začíná takto:

Matematický styl, stejně jako literární styl, podléhá důležitým výkyvům při přechodu z jednoho historického věku do druhého. Každý autor má bezpochyby individuální styl; ale v každém historickém věku si také můžeme všimnout obecné tendence, která je docela dobře rozpoznatelná. Tento styl je pod vlivem mocných matematických osobností podrobován revolucím, které ovlivňují psaní, a tím i myšlení, pro následující období. (Chevalley 1935, 375)

Chevalley se však nesnažil uvažovat o pojetí stylu, které je zde zahrnuto. Spíše se snažil prostřednictvím důležitého příkladu ukázat rysy přechodu mezi dvěma styly matematiky, která charakterizovala přechod z matematiky devatenáctého století do přístupů dvacátého století. První styl popsaný Chevalleym je Weierstrassovský styl, „styl ε“. Svůj „raison d'être“shledává v potřebě upřesnit počet, který se vzdaluje nejasností souvisejících s takovými pojmy jako „nekonečně malé množství“atd. Vývoj analýzy v devatenáctém století (analytické funkce, Fourierova řada, Gauss ') teorie povrchů, Lagrangovské rovnice v mechanice atd.) vedly ke kritické analýze

algebraicko-analytického rámce, před nímž se ocitli; a právě z tohoto kritického zkoumání se měl objevit zcela nový matematický styl. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley pokračoval tím, že objevil objev nepřetržité nikde diferencovatelné funkce, kvůli Weierstrassovi, jako nejdůležitějšímu prvku této revoluce. Jelikož Weierstrassova funkce může být dána z hlediska Fourierovy expanze s docela normálním vzhledem, bylo zřejmé, že mnoho demonstrací v matematice předpokládalo uzavření, které bylo třeba přesně stanovit. Koncept limitu definovaný Weierstrassem byl mocným nástrojem, který takové vyšetřování umožnil. Ukázalo se, že rekonstrukce analýzy, kterou provedl Weierstrass a jeho následovníci, byla nejen základně úspěšná, ale také matematicky plodná. Tady je, jak blízko Chevalley charakterizuje tento styl:

Použití matematiky této školy definice limitu kvůli Weierstrassovi lze pozorovat na vnějším vzhledu jejich spisů. Za prvé, v intenzivním a občas nemoderním použití „ε“vybaveného různými indexy (to je důvod, proč jsme hovořili výše o stylu „ε“). Za druhé, v postupném nahrazování rovnosti za nerovnost v demonstracích i ve výsledcích (věty o aproximaci; věty o horní hranici; teorie zvýšení atd.). Tento poslední aspekt nás obsadí, protože nám umožní pochopit důvody, které vynucily překonání Weierstrassovského stylu myšlení. I když rovnost je vztah, který má smysl pro matematické bytosti, nerovnost lze skutečně použít pouze na objekty vybavené relačním řádem,prakticky jen na reálných číslech. Tímto způsobem byl jeden veden, aby obsáhl veškerou analýzu, aby jej zcela rekonstruoval z reálných čísel az funkcí reálných čísel. (Chevalley 1935, 378–379)

Z tohoto přístupu lze také sestavit systém složitých čísel jako dvojici real a body mezer v n dimenzích jako n-násobek realů. To vyvolalo dojem, že matematiku lze sjednotit pomocí konstruktivních definic vycházejících z reálných čísel. Věci však šly jinak a Chevalley se snaží vysvětlit důvody, které vedly člověka k tomu, aby se vzdal tohoto „konstruktivního“přístupu ve prospěch axiomatického přístupu. Různé algebraické teorie, jako je teorie skupin, daly vzniknout vztahům, které nemohly být konstruovány počínaje skutečnými čísly. Konstruktivní definice komplexních čísel byla navíc rovnocenná s fixací libovolného referenčního systému, a tak těmto objektům dala vlastnosti, které skryly jejich skutečnou povahu. Na druhé straně byl člověk obeznámen s Hilbertovou axiomatizací geometrie,ačkoli přísný, neměl charakter umělosti konstruktivních teorií. V tomto případě entity nejsou konstruovány, nýbrž jsou definovány spíše prostřednictvím axiomů. Tento přístup se vyvinul k ovlivnění samotné analýzy. Chevalley zmínil teorii Lebesgueova integrálu, která byla získána tím, že nejprve stanovila, jaké vlastnosti musí integrál uspokojit, a poté ukázala, že existuje doména objektů splňujících tyto vlastnosti. Stejný nápad použil Frechet stanovením vlastností, které měly charakterizovat fungování limitu, a tím dospět k obecné teorii topologických prostorů. Dalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeV tomto případě entity nejsou konstruovány, nýbrž jsou definovány spíše prostřednictvím axiomů. Tento přístup se vyvinul k ovlivnění samotné analýzy. Chevalley zmínil teorii Lebesgueova integrálu, která byla získána tím, že nejprve stanovila, jaké vlastnosti musí integrál uspokojit, a poté ukázala, že existuje doména objektů splňujících tyto vlastnosti. Stejný nápad použil Frechet stanovením vlastností, které měly charakterizovat fungování limitu, a tím dospět k obecné teorii topologických prostorů. Dalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeV tomto případě entity nejsou konstruovány, nýbrž jsou definovány spíše prostřednictvím axiomů. Tento přístup se vyvinul k ovlivnění samotné analýzy. Chevalley zmínil teorii Lebesgueova integrálu, která byla získána tím, že nejprve stanovila, jaké vlastnosti musí integrál uspokojit, a poté ukázala, že existuje doména objektů splňujících tyto vlastnosti. Stejný nápad použil Frechet stanovením vlastností, které měly charakterizovat fungování limitu, a tím dospět k obecné teorii topologických prostorů. Dalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeChevalley zmínil teorii Lebesgueova integrálu, která byla získána tím, že nejprve stanovila, jaké vlastnosti musí integrál uspokojit, a poté ukázala, že existuje doména objektů splňujících tyto vlastnosti. Stejný nápad použil Frechet stanovením vlastností, které měly charakterizovat fungování limitu, a tím dospět k obecné teorii topologických prostorů. Dalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeChevalley zmínil teorii Lebesgueova integrálu, která byla získána tím, že nejprve stanovila, jaké vlastnosti musí integrál uspokojit, a poté ukázala, že existuje doména objektů splňujících tyto vlastnosti. Stejný nápad použil Frechet stanovením vlastností, které měly charakterizovat fungování limitu, a tím dospět k obecné teorii topologických prostorů. Dalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeDalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, žeDalším příkladem, který zmiňuje Chevalley, je axiomatizace teorie pole daná Steinitzem v roce 1910. Chevalley dospěl k závěru, že

Axiomatizace teorií velmi hluboce upravila styl současných matematických spisů. Za prvé, pro každý dosažený výsledek je vždy třeba zjistit, které z nich jsou přísně nezbytnými vlastnostmi potřebnými k jeho stanovení. Jeden se bude vážně zabývat problémem minimálního prokázání takového výsledku a za tímto účelem bude nutné přesně vymezit, v které oblasti matematiky člověk pracuje takovým způsobem, aby odmítl metody, které jsou pro tuto doménu cizí, protože ty druhé jsou pravděpodobně povede k zavedení zbytečných hypotéz. (Chevalley 1935, 382)

Navíc uspořádání domén, které jsou dokonale vhodné pro určité operace, umožňuje určit obecné věty o uvažovaných objektech. Tímto způsobem lze charakterizovat operace infinitesimální analýzy algebraicky, ale bez jakékoli naivní, která charakterizovala předchozí algebraické přístupy.

Chevalleyho článek je cenným zdrojem současného matematika na téma stylu. Silně ukazuje rozdíl mezi aritmetizací analýzy z konce devatenáctého století a axiomaticko-algebraickým přístupem z počátku dvacátého století. Má však svá omezení. Pojem styl jako takový není tematizován a není jasné, že funkce uváděné k vysvětlení konkrétních historických událostí by mohly poskytnout obecné nástroje pro analýzu dalších přechodů v matematickém stylu. Možná by to však mělo být úkolem matematika (pro podrobnou analýzu Chevalleyho přístupu ke stylu viz Rabouin 2017).

5. Místo stylu

V knize s názvem „Introducción al estilo matematico“(1971) se španělský filozof Javier de Lorenzo pokoušel psát dějiny matematiky (sice částečně) z hlediska stylu. Ačkoli Grangerova práce, o níž se má diskutovat v oddíle 5, se objevila již v roce 1971, de Lorenzo si toho nebyl vědom a jediným zdrojem stylu, který používá, je Chevalleyho článek. Tato kniha je pouze rozšířením Chevalleyho studie o mnoho dalších „stylů“, které se objevily v historii matematiky. Seznam matematických stylů, které studoval de Lorenzo, je následující:

Geometrický styl;
Poetický styl;
Cossic style;
Karteziánský algebraický styl;
Styl indivisibles;
Provozní styl;
Epsilon styl;
Syntetické vs. analytické styly v geometrii;
Axiomatický styl;
Formální styl.

Obecná sestava připomíná jeden hodně Chevalleyho přístupu a člověk by marně hledal v de Lorenzově knize uspokojivý popis toho, jaký je styl. Je pravda, že existují určitá zajímavá pozorování o úloze jazyka při určování stylu, ale chybí obecná filosofická analýza. Je však třeba zdůraznit důležitý bod týkající se zacházení, které poskytli Chevalley a de Lorenzo, což podle všeho ukazuje na důležitý rys použití „stylu“v matematice.

Ve svém příspěvku „De la catégorie de style en histoire des sciences“(Gayon 1996) a v pozdějším Gayonu 1999 Jean Jeanon představuje různá použití „stylu“v historiografii vědy jako pád mezi dvěma tábory (svým způsobem) sleduje Hacking 1992). Zaprvé se jedná o použití „vědeckého stylu“u těch, kdo sledují „místní dějiny vědy“. Obvykle se tento typ analýzy zaměřuje na „místní skupiny nebo školy“nebo na „národy“. Tento typ historie například odsuzuje univerzální složku znalostí a zdůrazňuje obtíže spojené s převodem experimentů z jednoho prostředí do druhého. Ukázalo se, že tyto obtíže závisí na „místních“tradicích, které zahrnují specifické technické a teoretické know-how, které je „zásadní pro nastavení, realizaci,a analyzování výsledku těchto experimentů “(Corry 2004b) Za druhé, je zde použit„ vědecký styl “, jehož příklady jsou práce jako Crombieho 1994„ Styly vědeckého myšlení v evropské tradici “. Crombie vyjmenovává následující vědecké styly:

postulace v axiomatických matematických vědách
experimentální průzkum a měření komplexních detekovatelných vztahů
hypotetické modelování
objednání odrůdy porovnáním a taxonomií
- statistická analýza populací a -
historické odvození genetického vývoje (citováno z Hacking 1996, 65)

Gayon poznamenává, že tento druhý pojem „styl“by mohl být nahrazen „metodou“a že „zde diskutované styly nemají nic společného s místními styly“. Rovněž poznamenává, že pokud jde o místní styly, skupiny, které fungují jako sociologická podpora takových analýz, jsou buď „výzkumné skupiny“nebo „národy“. V nedávné historii experimentálních věd byl kladen velký důraz na takové lokální faktory (viz například Gavroglu 1990 pro „styly uvažování“dvou nízkoteplotních laboratoří, Dewar (Londýn) a Kamerlingh Onnes (Leiden))).

Historici matematiky se nyní pokoušejí aplikovat takové historiografické přístupy i na čistou matematiku. Nedávným pokusem v tomto směru je práce Epple z hlediska „epistemických konfigurací“, jako je jeho nedávný článek o rané práci Alexandra a Reidemeistera v teorii uzlů (Epple 2004; viz také Rowe 2003 a 2004 a Epple 2011). Podpůrné skupiny pro takové vyšetřování nejsou označovány jako „školy“, ale spíše jako „matematické tradice“nebo „matematické kultury“.

A co „metodická“představa o stylu à la Crombie? Využili to historici matematiky hodně? Kromě četných ošetření prvního stylu (axiomatická metoda) v této oblasti není mnoho, ale zajímavým historickým přínosem je Goldsteinovo dílo na Frenicle de Bessy (2001). Tvrdí, že čistá matematika, kterou praktikoval Frenicle de Bessy, měla mnoho společného s baconským stylem experimentální vědy. Možná bychom zde měli zmínit, že experimentální matematika je nyní kvetoucí pole, které by brzy našlo svého historika (viz Baker 2008 pro filozofický popis experimentální matematiky a Sørensen 2016 pro analýzu z hlediska matematických kultur). To bývá pro filozofy velmi zajímavé, protože zasahuje do otázek matematické metody. Problém lze jednoduše vyjádřit takto: kromě toho, co Crombie uvádí jako metodologický styl (a) [axiomatický], jaké další styly jsou sledovány v matematické praxi? Corfield 2003 se dotýká problému v úvodu své knihy „Směrem k filozofii„ skutečné “matematiky“, když s odkazem na výše uvedený seznam Crombie říká:

Hacking tleská Crombieho zahrnutí (a) jako „obnovení matematiky do věd“(Hacking 1996) po oddělení logických pozitivistů a rozšiřuje počet svých stylů na dva tím, že přizná algoritmický styl indické a arabské matematiky. Jsem s touto argumentací spokojený, zejména pokud brání tomu, aby byla matematika vnímána jako činnost zcela na rozdíl od jiných. Matematici se také zabývají styly (b) (viz kapitola 3), (c) a (d) [7] a v souladu s (e) matematici v současné době analyzují statistiky nul funkce Riemann zeta. (Corfield 2003, 19)

V poznámce 7 Corfield zmiňuje komentář Johna Thompsona v tom smyslu, že klasifikace konečných jednoduchých skupin je cvičení v taxonomii.

Cílem této eseje není přímo řešit obrovskou řadu problémů, které se objevují v předchozích citacích. Je však třeba zdůraznit, že tyto otázky představují čerstvé a stimulující území pro popisnou epistemologii matematiky a že v tomto směru již byla provedena určitá práce (viz Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

A konečně, jak dát dohromady „místní“a „metodologické“styly s tím, co se nachází v Chevalley a de Lorenzo? V případě matematiky existuje dobrý důkaz, že nejpřirozenější místo pro „styly“spadá mezi tyto dvě kategorie. Matematické styly skutečně přesahují jakoukoli místní komunitu definovanou jednoduššími sociologickými pojmy (národnost, přímé členství ve škole atd.) A jsou takové, že podpůrná skupina může být charakterizována pouze konkrétní sledovanou metodou dotazování. Na druhou stranu není tato metoda tak univerzální, aby ji bylo možné identifikovat jako jednu ze šesti metod popsaných Crombie nebo v rozšířeném seznamu poskytnutém Hackingem. Zde je několik možných příkladů, kde by jména připojená ke každé pozici neměla čtenáře uvádět v omyl, když si myslí, že se jedná pouze o „individuální“styly.

Přímé vs. nepřímé techniky v geometrii (Cavalieri a Torricelli vs. Archimedes)
Algebraické vs. geometrické přístupy v analýze v sedmnáctém a osmnáctém století (Euler vs. McLaurin)
Geometrické vs. analytické přístupy v komplexní analýze v devatenáctém století (Riemann vs. Weierstrass)
Konceptuální vs. výpočetní přístupy v teorii algebraických čísel (Dedekind vs. Kronecker)
strukturální vs. intuitivní styly v algebraické geometrii (německá škola vs. italská škola)

Samozřejmě by to mohl být jen případ, že i v historii a filozofii vědy existují „střední“úrovně stylů, jako jsou ty, které jsou zde popsány (jeden příklad, který přichází na mysl, je „newtonovský styl“v matematické fyzice), ale skutečnost, že je Jean Gayon nezjistil jako ústřední, ukazuje na skutečnost, že situace v historii a filozofii matematiky je docela odlišná, protože tyto „střední“styly jsou ty, které byly podrobněji diskutovány a které odpovídají analyzovaným stylům Chevalley a de Lorenzo. Kromě toho se diskuse o místních matematických kulturách obracejí bez koncepce stylu.

6. Směrem k epistemologii stylu

Problém epistemologie stylu může být zhruba uveden následovně. Jsou stylistické prvky přítomné v matematickém diskursu postrádány kognitivní hodnotě, a tedy pouze část zbarvení matematického diskursu, nebo je lze považovat za důvěrnější vztah k jeho kognitivnímu obsahu? Pojem zbarvení zde pochází od Fregeho, který rozlišoval v „myšlence“mezi podmínkou pravdy prohlášení a těmi aspekty prohlášení, které by mohly poskytovat informace o stavu mysli mluvčího nebo posluchače, ale nepřispívají k jeho podmínkám pravdy. V přirozeném jazyce jsou typickými prvky zbarvení výrazy lítosti, jako je „bohužel“. „Bohužel, sněží“má stejné pravdivé podmínky jako „sněží“a „bohužel“v první větě je pouze částí zbarvení. Jacques a Monique Dubucs zobecnili toto rozlišení na důkazy v „La couleur des preuves“(Dubucs a Dubucs 1994), kde se zabývají problémem „rétoriky matematiky“, problémem velmi blízkým problému analýzy stylu. Dabovat tradiční rétoriku jako „zbytkovou“, protože bere v úvahu pouze jevy kognitivního významu, jako je ozdoba atd. Matematického textu, ale ponechává předmět (jako je obsah demonstrace) nedotčený, prozkoumalo možnosti pro ambicióznější „rétorika matematiky“.protože bere v úvahu pouze jevy kognitivního významu, jako je zdobení atd. matematického textu, ale předmět (např. obsah demonstrace) zůstává nedotčen, prozkoumaly možnosti ambicióznější „rétoriky matematiky“.protože bere v úvahu pouze jevy kognitivního významu, jako je zdobení atd. matematického textu, ale předmět (např. obsah demonstrace) zůstává nedotčen, prozkoumaly možnosti ambicióznější „rétoriky matematiky“.

Lze tedy začít artikulovat první pozici, kterou lze bránit s ohledem na epistemologický význam stylu. Je to pozice, která popírá styl jakékoli zásadní kognitivní roli a redukuje ji na jev subjektivního zbarvení. Podle této pozice by stylistické variace odhalily pouze povrchní rozdíly ve výrazu, které ponechávají obsah diskursu nedotčený.

V literatuře byly hájeny dvě další ambiciózní pozice týkající se kognitivního obsahu stylu. První se zdá být slučitelný s formou platonismu nebo realismu v matematice, zatímco druhý je s tím rozhodně proti. Zmíněny jsou dva hlavní návrhy dostupné v literatuře, konkrétně návrhy Granger 1968 a Hacking 1992, které budou nyní stručně popsány.

Grangerova esej filozofie stylu (Essai d'une filozofie du style 1968) je nejsystematičtější a nejpracovanější snahou o vytvoření teorie stylu pro matematiku. Grangerův program je tak ambiciózní a bohatý, že by důkladná diskuse o struktuře jeho knihy a jeho podrobných analýzách vyžadovala práci sama o sobě. Cílem je z důvodu omezeného prostoru poskytnout pouze hrubou představu o tom, v čem projekt spočívá, a ukázat, že epistemologická role stylu obhajovaného Gangerem je slučitelná s realismem o matematických entitách nebo strukturách.

Cílem Grangerové je poskytnout analýzu „vědecké praxe“. Praxi definuje jako „činnost považovanou za její složitý kontext a zejména sociální podmínky, které jí dávají smysl ve světě, který je skutečně prožíván (vécu)“(1968, 6). Věda definuje jako „konstrukci abstraktních modelů, konzistentních a účinných, jevů“(13). Vědecká praxe tedy obsahuje „univerzální“nebo „obecné“složky i „jednotlivé“složky. Analýza vědecké praxe vyžaduje nejméně tři typy vyšetřování:

Existuje mnoho způsobů, jak strukturovat pomocí modelů určitý jev; a stejné modely lze aplikovat na různé jevy. Vědecké konstrukce, včetně matematických, navíc odhalují určitou „strukturální jednotu“. Oba tyto aspekty budou tématem stylistické analýzy.
Druhé zkoumání se týká „vědecké fyziologie“zaměřené na studium psychologických složek, které jsou relevantní pro individualizaci vědecké praxe;
Třetí šetření se týká studie „kontingence“vědecké tvorby, která se vždy nachází v prostoru a čase.

Všechny tři aspekty by byly nezbytné pro analýzu „vědecké praxe“, ale Granger se ve své knize zaměřuje pouze na 1. Kde přichází styl a matematika? Matematika přichází jako jedna z oblastí zkoumání, které lze podrobit stylistické analýze vědy (Grangerova kniha poskytuje aplikace nejen pro matematiku, ale také pro lingvistiku a sociální vědy). A co styl? Každou sociální praxi lze podle Grangerové studovat z hlediska stylu. To zahrnuje politickou činnost, uměleckou tvorbu a vědeckou činnost. Existuje tedy obecná stylistika, která se bude snažit zachytit nejobecnější stylistické rysy takových činností a poté více „místních“stylistických analýz, jako je analýza, kterou poskytuje Granger pro vědecké činnosti. Očividně,zde uvedený koncept stylu musí být takový, který je mnohem obsáhlejší než ten, který je obvykle spojen s tímto pojmem, a ve skutečnosti takový, který by aplikoval na takové oblasti, jako je politická činnost nebo vědecká činnost, nejen takové metaforické, ale spíše „přesvědčivé“k těmto činnostem.

Grangerova analýza matematického stylu zahrnuje kapitoly 2, 3 a 4 jeho knihy. Kapitola 2 se zabývá euklidovským stylem a pojmem velikosti; kapitola 3 s opozicí mezi „karteziánským stylem a desarguiánským stylem“(o karteziánském stylu viz také Rabouin 2017); konečně kapitola 4 se týká „zrození vektorového stylu“. Všechny tyto analýzy se soustředí na pojem „geometrická velikost“.

Člověk získá dobrý pocit o tom, co Grangerová sleduje, pouhým pohledem na příklad, který popisuje ve svém předmluvě. Toto je příklad týkající se složitých čísel.

Styl je podle Grangera způsob, jak vnést strukturu do zážitku. Zde je třeba vzít zkušenosti, aby se překonaly empirické zkušenosti. Obecně není typ zkušeností, na který se matematik odvolává, empirický. Z této zkušenosti vycházejí „intuitivní“komponenty strukturované v matematické činnosti. Člověk by si však neměl myslet, že existuje „intuice“, na kterou, jak to bylo navenek, platí forma. Matematická aktivita vede současně k formování a obsahu na pozadí určité zkušenosti.

Styl se nám na jedné straně jeví jako způsob představení pojmů teorie, jejich spojení, sjednocení; a na druhé straně jako způsob vymezení toho, co intuice přispívá k určování těchto konceptů. (Granger 1968, 20)

Granger jako příklad uvádí tři způsoby zavedení komplexních čísel; všechny tři způsoby odpovídají strukturním vlastnostem, které charakterizují danou algebraickou strukturu. První způsob představuje komplexní čísla trigonometrickým zobrazením pomocí úhlů a směrů. Druhý je představuje jako operátory aplikované na vektory. V prvním případě jeden definuje komplexní číslo jako dvojici reálných čísel a aditivní vlastnosti jsou pak okamžité. Naproti tomu ve druhém případě jsou okamžitě využity multiplikační vlastnosti. Ale a to je třetí způsob, můžeme také představit komplexní čísla pravidelnými čtvercovými maticemi. To vede k tomu, že komplexní čísla vidíme jako systém polynomů v x modulo x ² +1.

Tyto různé způsoby uchopení pojmu, jeho integrace do operativního systému a přiřazení k němu nějaké intuitivní důsledky - z nichž jeden bude muset vymezit přesný rozsah - představují to, čemu říkáme aspekty stylu. Je zřejmé, že zde není ovlivněn strukturální obsah pojmu, že koncept qua matematický objekt prostřednictvím těchto efektů stylu identicky existuje. Není tomu však vždy a setkáváme se se stylistickými pozicemi, které vyžadují skutečné koncepční variace. Co se v každém případě mění, je orientace konceptu na toto či onak použití, na toto nebo toto rozšíření. Styl tedy hraje roli, která je možná nezbytná jak s ohledem na dialektiku vnitřního vývoje matematiky, tak i ve vztahu k světům konkrétnějších objektů. (Granger 1968, 21).

V Grangerově teorii jsou tedy matematické styly režimy prezentace nebo způsoby pochopení matematických struktur. Alespoň v některých případech tyto účinky stylu nechávají matematické objekty nebo struktury nedotčeny, ačkoli ovlivní kognitivní režim, ve kterém jsou zadrženy, a proto ovlivňují, jak by mohly být podrobeny rozšíření, aplikovány v různých oblastech atd. Přestože Grangerová mohla mít sympatizoval s kantianismem bez transcendentálního subjektu, a proto si myslí, že styl je konstitutivní, zdá se, že jeho pozice je přinejmenším slučitelná s formou realismu o matematických entitách. Nezdá se, že by se jednalo o třetí a závěrečné epistemologické postavení, které je způsobeno Ianem Hackingem.

Jak již bylo uvedeno dříve, Hacking po Crombie navrhl prozkoumat pojem styl jako „nový analytický nástroj“pro historii a filozofii vědy. Jeho preference je mluvit o stylech uvažování (viz také Mancosu 2005), na rozdíl od Fleckových myšlenkových stylů nebo Crombieho stylů myšlení (jeho poslední preferencí je mluvit o „stylech vědeckého myšlení a dělání“) pro nejnovější diskusi o Hackingův program v době psaní viz Kusch 2010 a zvláštní vydání Studia dějin a filozofie vědy (číslo 43, 2012), včetně Hacking 2012 a několika dalších příspěvků). Důvodem je to, že se Hacking chce odklonit od psychologické úrovně uvažování a pracovat s „objektivnější“úrovní argumentů. Výslovně definuje svůj projekt jako pokračování Kantova projektu, jehož cílem je vysvětlit, jak je možné objektivitu. Hackingova pozice skutečně odmítá realismus a zahrnuje silně konstituční roli ve stylu. Podle Hackinga jsou styly definovány sadou nezbytných podmínek (nesnaží se moudře zajistit dostatečné podmínky):

Neexistují ani věty, které jsou kandidáty na pravdu, ani samostatně identifikované předměty, o nichž je třeba se starat, před vývojem stylu uvažování. Každý styl uvažování zavádí velké množství novinek, včetně nových typů: Objects; důkaz; věty, nové způsoby, jak být kandidátem na pravdu nebo klam; zákony nebo v každém případě způsoby; možnosti. Je třeba si také občas všimnout nových typů klasifikace a nových typů vysvětlení. (Hacking 1992, 11)

Mělo by být jasné, že tato představa o stylu, stejně jako Grangerova, připisuje stylu velmi důležitou roli jako zakotvení objektivity celé oblasti vědecké činnosti, ale že na rozdíl od Grangerové je ontologicky odhodlána odmítnutí realismu. Styly jsou nezbytné při vytváření matematických objektů a ty nemají formu existence, která by na nich byla nezávislá. Hacking rozsáhle neprozkoumal případové studie z dějin matematiky, ačkoli jeden z jeho článků (Hacking 1995) se zabývá čtyřmi konstrukcionistickými obrazy matematiky (slovo „konstrukcionismus“je vypůjčeno od Nelsona Goodmana) a ukazuje, jak dobře zapadají do jeho obrazu „styly myšlení“. V důsledku toho je také zřejmé, že robustnější angažovanost realistických pozic se nehodí do Hackingova popisu stylů uvažování.

Byly tedy zváženy tři možné modely pro vysvětlení epistemologické úlohy „stylů“v matematice. Určitě existuje mnohem více možných pozic, které čekají na vyjádření, ale zatím je to všechno, co lze najít v literatuře.

7. Závěr

Jak bylo zdůrazněno na začátku, téma matematického stylu není jednou z kanonických oblastí zkoumání ve filozofii matematiky. Tato položka je ve skutečnosti prvním pokusem zahrnout do jednoho příspěvku mnohostranné příspěvky k tomuto tématu. Přesto by nyní mělo být jasné, že reflexe matematického stylu je přítomna v současné filosofické činnosti a zaslouží si ji brát vážně. Práce však teprve začíná. Je třeba mnohem více případových studií matematických stylů a jasnějšího vyjádření epistemologických a ontologických důsledků způsobených různými konceptualizacemi stylu. Navíc bychom rádi viděli lepší integraci celé této práce s prací na kognitivních stylech, která se nachází v kognitivní psychologii a matematickém vzdělávání. Konečně standardní filozofické kaštany,jako je vztah formy a obsahu ke stylu a vztah stylu k normativitě a úmyslnosti by se také muselo řešit (pro velmi dobrou diskusi o těchto tématech v estetice viz Meskin 2005).

Bibliografie

Baker, A., 2008, „Experimentální matematika“, Erkenntnis, 68: 331–344.
Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburg: Claassen & Goverts. Nyní v Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (viz kapitola 2 „Stilgeschichte in der Mathematik“).
–––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburg: Claassen & Goverts. Nyní v Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (viz kapitola 1 „Zum Begriff des Stils“).
Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235-237.
–––, 1934b, „Persönlichkeitsstruktur und Mathatisches Schaffen“, Unterrichtblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
–––, 1934c, „Stilarten Mathatischen Schaffens“, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirische Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
Bottazzini, U., 2001, „Z Paříže do Berlína: kontrastní obrazy matematiky 19. století“, v U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (ed.), 2001, s. 31–47.
Bottazzini, U., a Dahan Dalmedico, A., (eds.), 2001, Changing Images of Mathematics, London: Routledge.
Brigaglia, A., 2001, „Vytvoření a přetrvávání národních škol: případ italské algebraické geometrie“, v U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (eds.), 2001, s. 187–206.
Casnati, G., et al. (eds.), 2016, Od klasické k moderní algebraické geometrii. Corrado Segre Mastership and Legacy, Cham: Birkhäuser.
Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Bruxelles: M. Hayez.
Chevalley, C., 1935, „Variation du style mathématique“, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
Cohen, IB, 1992, „Principia, univerzální gravitace a„ newtonovský styl “, ve vztahu k newtonovské revoluci ve vědě“, v Bechler, Z., (ed.), New Newianian Research, Dordrecht: Reidel, pp. 21–108.
Corfield, D., 2003, Směrem k filozofii „skutečné“matematiky, Cambridge: Cambridge University Press.
Corry, L., 2004a, Modern Algebra and Rise of Mathematical Structure, Basel: Birkhäuser; 2. vydání.
Corry, L., 2004b, „Úvod“, Science in Context, 17: 1-22.
Crombie, A., 1994, Styly vědeckého myšlení v evropské tradici, Londýn: Duckworth.
de Gandt, F., 1986, „Le style mathématique des“Principia”de Newton”, Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Editorial Tecnos.
Dhombres, J., 1993, La figure dans le discours géométrique: les façonnages d'un style, Nantes: Université de Nantes.
Dubucs, J. a Dubucs, M., 1994, „La couleur des preuves“, v V. de Coorebyter, (ed.), Structures rhétorique en science, Paris: PUF, s. 231–249.
Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Paříž: Hermann. Anglický překlad: German Science, Chicago: Carus Publishing, 2000.
Edwards, HM, 1987, „Dedekindův vynález ideálů“, v Phillips, E., Study in the History of Mathematics, Washington: The Mathematical Association of America, s. 8–20.
Elwick, J., 2007, Styly uvažování v britských vědách o životě: Sdílené předpoklady, 1820–1858, Londýn: Pickering & Chatto.
Epple, M., 1997, „styly argumentace na konci 19 ^th geometrie století a struktura matematického moderní“, M. a M. Otte Panza (eds.), Analýza a syntéza matematiky, Dordrecht: Kluwer, pp 177–198.
–––, 2004, „Uzel Invariants ve Vídni a Princetonu během 20. let: Epistemické konfigurace matematického výzkumu“, Science in Context, 17: 131–164.
–––, 2011, „Mezi nadčasovou a historickou historií: o dynamice epistemických objektů matematiky“, Isis, 102: 481–493.
Etcheverría, J., 1996, „Empirické metody v matematice. Případová studie: Goldbachova domněnka “, G. Munévar (ed.), Španělská studia filosofie vědy, Dordrecht: Kluwer, s. 19–55.
Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Basel: Schwabe. Anglický překlad: Genesis and Development of Scientific Science (Překlad do angličtiny Frederick Bradley), Chicago: University of Chicago Press, 1979.
Fleckenstein, JO, 1955, „Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung“, Studium Generale, 8: 159–166.
Freudenthal, H., 1975, matematika jako vzdělávací úkol, Dordrecht: Reidel.
Gavroglu, K., 1990, „Rozdíly ve stylu jako způsob zkoumání kontextu objevu“, Filozofie, 45: 53–75.
Gayon, J., 1996, „De la catégorie de style en histoire des sciences“, Alliage, 26: 13–25.
–––, 1998, „De l'usage de la notion de style en histoire des sciences“, v J. Gayon et al. (eds.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Bruxelles: OUSIA, s. 162–181.
Goldstein, C., 2001, „L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy“, Revue de Synthèse, 122: 425–454.
Granger, GG, 1968, Essai d'une filozofie du style, Paříž: Armand Colin, dotisk s opravami Paříže: Odile Jacob.
–––, 2003, „Le style mathématique de l'Académie platonicienne“, GG Granger, Philosophie, Langage, Science, Les Ulis: EDP Science, s. 267–294.
Gray, J., 2008, Platónův duch: Modernistická transformace matematiky, Princeton: Princeton University Press.
Hacking, I., 1992, „‚ Styl 'pro historiky a filozofy “, Studium dějin a filozofie vědy, 23: 1–20.
–––, 1995, „Immagini radikmente costruzionaliste del progresso matematico“, v A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Firenze: La Nuova Italia, s. 59–92.
–––, 1996, „The Disiversity of Science“, v P. Galison a D. Stump, The Discovery of Science: Borderaries, Context and Power, Stanford: Stanford University Press, s. 37–74.
–––, 2002, Historická ontologie, Cambridge, MA: Harvard University Press.
––– 2012, „Jazyk, pravda a důvod“o 30 let později, Studium dějin a filozofie vědy, 43: 599–609.
Harwood, J., 1993, Styles of Scientific Thought - German Genetics Community, 1900–1933, Chicago: University of Chicago Press.
Høyrup, J., 2005, „Tertium non datur: o stylu uvažování v rané matematice“, v P. Mancosu et al. (eds.), Vizualizace, vysvětlivky a vysvětlující styly v matematice, Dordrecht: Springer, s. 91–121.
Katz, S., 2004, „Berlínské kořeny - sionistická inkarnace: étos čisté matematiky a začátek Einsteinova institutu matematiky na Hebrejské univerzitě v Jeruzalémě“, Science in Context, 17: 199–234.
Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus. Erster Band. Arithmetik, Algebra, analýza, 3 ^rd edition, Berlin: Julius Springer.
Kleinert, A., 1978, „Von der Science Allemande zur Deutschen Physik“, Forschungen zur westeuropäischer Geschichte, 6: 509–525.
Kusch, M., 2010, „Hackingova historická epistemologie: kritika stylů uvažování“, Studie v dějinách a filozofie vědy, 41: 158–173.
Kwa, C., 2012, „Ekologický“pohled na styly vědy a umění: zkoumání konceptu stylu Aloisem Rieglem, „Studie v dějinách a filozofie vědy, 43: 610–618.
Larvor, B. (ed.), 2016, Mathematical Cultures. London Meetings 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens v matematice Begriffen: Bernhard Riemanns neuer Stil in der Analysis, Darmstadt.
Leibniz, GW, 1701, „Mémoire de Mr. Leibniz dotekový syn sentiment sur le calcul différentiel“, Journal de Trévoux, 270–272. Přetištěno v GW Leibniz, Mathematische Schriften (Editoval CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, sv. IV, str. 95–96.
Maienschein, J., 1991, „Epistemické styly v německé a americké embryologii“, Science in Context, 4: 407–427.
Mancosu, P. (ed.), 1998, od Brouwera k Hilbertovi, New Yorku a Oxfordu: Oxford University Press.
Mancosu, P., et al. (eds.), 2005, Vizualizace, vysvětlivky a vysvětlující styly v matematice, Dordrecht: Springer.
Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Český překlad: Ideologie a utopie: úvod do sociologie znalostí, New York: Harcourt, Brace a World, 1968.
Mehrtens, H., 1987, „Ludwig Bieberbach a„ Deutsche Mathematik ““, v ER Philipps, Studium v dějinách matematiky, Washington: The Mathematical Association of America, s. 195–241.
–––, 1990a, „Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, Y. Cohen a K. Manfrass (ed.), Frankreich a Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. a 20. Jahrhundert, Mnichov: CH Beck.
–––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt: Suhrkamp.
–––, 1996, „Modernismus versus proti modernismu, nacionalismus vs. internacionalismus: styl a politika v matematice, 1900–1950“, v C. Goldstein et al. (eds.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythes, Identités, Éditions de la Maison de Sciences de l'Homme, Paříž, s. 519–530.
Meskin, A., 2005, „Style“, v B. Gout a DM Lopes (eds.), The Routledge Companion to Estetics, ^2. vydání, London: Routledge, pp. 489–500.
Netz, R., 1999, Tvarování odpočtu v řecké matematice, Cambridge: Cambridge University Press.
Novy, L., 1981, „Poznámky týkající se stylu Bolzanova matematického myšlení“, Acta Historiae Rerum Naturalium nec non Technicarum, 16: 9–28.
Nye, MJ, 1993, „Národní styly? Francouzská a anglická chemie v devatenáctém a na počátku dvacátého století “, Osiris, 8: 30–49.
Panofsky, E., 1924, Idea, Berlin: Erwin Panofsky und Bruno Hessling Verlag. Anglický překlad: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
Peckhaus, V., 2007, „Stilarten Mathatischen Schaffens“, v K. Robering (ed.), „Stil“v den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, s. 39–49.
JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Paříž: Flammarion. Anglický překlad: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
Rabouin, D., 2017, „Styly v matematické praxi“, v K. Chemla a E. Fox-Keller (ed.), Kultury bez kulturismu ve vytváření vědeckých poznatků, Durham: Duke University Press, s. 262–306.
Reck, E., 2009, „Dedekind, strukturální uvažování a matematické porozumění“, v B. van Kerkhove (ed.), Nové perspektivy v matematických postupech, Singapur: WSPC Press, s. 150–173
Riding, R., 2000, “Kognitivní styl: Recenze”, v RJ Riding a SG Rayner, International Perspectives on Individual Differences, sv. 1, Kognitivní styly, Stamford (CT): Ablex, str. 315–344
Rowe, D., 2003, „Matematické školy, komunity a sítě“, v Cambridge History of Science, sv. 5, Moderní fyzikální a matematické vědy, Mary Jo Nye (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 113–132.
–––, 2004, „Tvorba matematiky v orální kultuře: Göttingen v době Kleina a Hilberta“, Science in Context, 17: 85–129.
Sauerländer, W., 1983, „Od stilusu ke stylu: úvahy o osudu pojmu“, dějiny umění, 6 (3): 253–270.
Segal, S., 2003, matematici za nacistů, Princeton: Princeton University Press.
Sørensen, HK, 2016, „Konec důkazu“? Integrace různých matematických kultur jako experimentální matematiky pochází z věku “, v B. Larvor (ed.), Mathematical Cultures. London Meetings 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, s. 139–160.
Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Vídeň: Verlag Braumüller. Český překlad: Úpadek Západu: Forma a skutečnost, 2 dílky, Londýn: Allen a Unwin.
Sternberg, RJ a Grigorenko, EL, 2001, „Historie tobolek teorie a výzkumu stylů“, ve Sternberg a Zhang 2001, s. 1–22.
Sternberg, RJ a Zhang, LF (eds.), 2001, Perspektivy myšlení, učení a kognitivních stylů, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Tappenden, J., 2005, „Důkazový styl a porozumění v matematice I: Vizualizace, sjednocení a výběr axiomů“, v Mancosu 2005, s. 147–214.
van Bendegem, JP, 1998, „Co, pokud vůbec, je experiment v matematice?“, Anapolitanos, D. et al. (eds.), Philosophy and Many Faces of Science, Lanham: Rowman and Littlefeld, s. 172–182.
Weiss, EA, 1939, „Über den Mathatischen Stil von Poncelet“, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
Wessely, A., 1991, „Transponování 'stylu' z dějin umění do dějin vědy“, Science in Context, 4: 265–278.
Wisan, W., 1981, „Galileo a vznik nového vědeckého stylu“, v Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo's Methodology, sv. 1, J. Hintikka, D. Gruender a E. Agazzi (ed.), Dordrecht: Reidel, s. 311–339

Akademické nástroje

ikona sep muž	Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.