Mally's Deontic Logic

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Mally's Deontic Logic

První publikováno 5. dubna 2002; věcná revize Út 26, 2019

V roce 1926 Mally představila první formální systém deontické logiky. Jeho systém měl několik důsledků, které Mally považovala za překvapivé, ale obhájitelné. Měl také důsledek („A je povinné, a pouze pokud je A“), který Menger (1939) a téměř všichni pozdější deontičtí logici považovali za nepřijatelný. Nebudeme jen popisovat Mallyův systém, ale také diskutovat, jak může být opraven.

• 1. Úvod
• 2. Mallyův formální jazyk
• 3. Axiomy Mally
• 4. Mallyovy věty
• 5. Překvapivé důsledky
• 6. Mengerova kritika
• 7. Kde se Mally špatně?
• 8. Alternativní nedeontické základy 1: Logika relevance
• 9. Alternativní nedeontické základy 2: Intuitionistická logika
• 10. Alternativní deontické principy
• 11. Závěr
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Úvod

V roce 1926 navrhl rakouský filozof Ernst Mally (1879-1944) první formální systém deontické logiky. V knize, ve které představil tento systém, Základní zákony o bytě: Prvky logiky vůle, uvedla Mally pro svůj podnik následující motivaci:

V roce 1919 všichni používali slovo sebeurčení. Chtěl jsem získat jasné porozumění tomuto slovu. Ale pak jsem samozřejmě narazil na obtíže a nejasnosti kolem pojmu Ought a problém se změnil. Koncept Ought je základní koncept celé etiky. Může sloužit jako použitelný základ pro etiku, pokud je zachycen v systému axiomů. V následujícím představím takový axiomatický systém. ^[1]

Jak naznačují Mallyova slova, primárně se nezajímal o deontickou logiku pro své vlastní účely: chtěl především položit základy „přesného systému čisté etiky“(eine exakte reine Ethik). Více než polovina jeho knihy se věnuje vývoji tohoto přesného systému etiky. V následující části se však soustředíme na formální část jeho knihy, a to proto, že je to její „tvrdé jádro“a protože je to část, která přitahuje největší zájem.

2. Mallyův formální jazyk

Mally založil svůj formální systém na klasickém výrokovém počtu, jak je formulován v Whiteheadově a Russellově Principia Mathematica (svazek 1, 1910).

Nedelontická část Mallyho systému měla následující slovní zásobu: sentimentální písmena A, B, C, P a Q (tyto symboly označují stavy věcí), sentimentální proměnné M a N, sentimentální konstanty V (verum, Pravda) a Λ (Falsum, Falsity), výrokové kvantifikátory ∃ a ∀ a spojky ¬, &, ∨, → a ↔. Λ je definováno Λ = ¬V.

Deontická část Mallyho slovníku se skládala z unárního spojiva!, Binárních spojek f a ∞ a sentimentálních konstant U a ∩.

• Mally přečtěte! A jako „A měl by to být případ“(Soll Sein) nebo jako „nechť A je případem“(es sei A).
• Přečetl A f B jako „A vyžaduje B“(A fordert B).
• Četl A ∞ B, protože „A a B se navzájem vyžadují.“
• Četl U jako „bezpodmínečně závazný“(das unbedingt Geforderte).
• Četl ∩ jako „bezpodmínečně zakázaný“(das unbedingt Verbotene).

f, ∞ a ∩ jsou definovány:

Def. f.	A f B = A →! B (Mally 1926, s. 12)
Def. ∞.	A ∞ B = (A f B) & (Bf A)
Def. ∩.	∩ = ¬U

Mally nejen četla! A jako „mělo by to být tak, že A.“Protože je osoba ochotná, aby daný stav věcí A byl případ, je často vyjádřena větami ve tvaru „Měl by to být případ“(například by někdo mohl říci „mělo by to být tak, že jsem bohatý a slavný „Aby naznačil, že chce být bohatá a slavná), také četl! Jako výsledek, jeho formální systém byl jak teorie o Wollenovi (ochotný) tak teorie o Sollenovi (měl by tomu tak být). Toto vysvětluje podtitul jeho knihy. V moderní deontické logice je základní deontická spojovací O zřídka čtena tímto způsobem.

Právě jsme popsali jeden respekt, ve kterém byla Mallyova deontická logika odlišná od modernějších návrhů. Existují dva další nápadné rozdíly:

• Mally se zajímal pouze o deontický stav stavů; nevěnoval zvláštní pozornost deontickému stavu akcí. Jeho Deontik tedy byla teorie o Seinsollenovi (co by mělo být tak) spíše než Tunsollenovi (co by se mělo dělat). Moderní autoři často považují pojem Tunsollen za základní.
• V moderní deontické logice jsou pojmy zákaz F, povolení P a vzdání se W obvykle definovány z hlediska povinnosti O: FA = O¬A, PA = ¬FA, WA = ¬OA. Takové definice nejsou v Mallyově knize nalezeny.

3. Axiomy Mally

Mally přijala následující neformální deontické principy (Mally 1926, s. 15-19):

(i)	Pokud A vyžaduje B a pokud B pak C, pak A vyžaduje C.
(ii)	Pokud A vyžaduje B a A vyžaduje C, pak A vyžaduje B a C.
(iii)	A vyžaduje B, pouze pokud je povinné, pokud A pak B.
(iv)	Bezpodmínečně povinné je povinné.
(proti)	Bezpodmínečně povinné nevyžaduje svou vlastní negaci.

Mally těmto zásadám příliš nepodporovala. Prostě mu připadaly intuitivně věrohodné.

Mally formalizoval jeho principy následovně (Mally 1926, s. 15-19):

I.	((A f B) & (B → C)) → (A f C)
II.	((A f B) & (A f C)) → (A f (B & C)))
III.	(A f B) ↔! (A → B)
IV.	∃U!
PROTI.	¬ (U f ∩)

Axiom IV je zvláštní:

• ! U je přirozenější formalizace (iv).
• Axiom IV se zdá být nadbytečný:! A →! A je tautologie, takže máme! A f A od Def. f, odkud! (! A → A) podle Axiom III (→), odkud ∃M! M existenciální generalizací. Zdá se, že Axiom IV k tomu nic nepřidává.
• Axiom IV je jediný axiom nebo věta zmiňovaná Mally, ve které U nastává jako vázaná proměnná: v Axiom V a v větách (15) - (17), (20) - (21), (23), (23 ')) a (27) - (35) (bude zobrazeno níže), U je buď konstanta nebo volná proměnná. Člověk by s ním měl zacházet stejně jako při formalizaci (iv).

Z těchto důvodů nahradíme Axiom IV následujícím axiomem: ^[2]

IV.

! U

Mally mohl stěží protestovat proti této verzi Axiom IV, protože je ekvivalentní s jeho teorémem (23 '), tj. Vf U, na základě Def. F. V následujícím textu bude „Axiom IV“vždy odkazovat na naši verzi Axiom IV než na Mally's.

Pomocí Def. f, Axioms IV lze také psát následovně (Mally 1926, s. 15-19 a s. 24):

Já '.	((A →! B) & (B → C)) → (A →! C)
II '.	((A →! B) & (A →! C)) → (A →! (B & C))
III '.	(A →! B) ↔! (A → B)
IV '.	V f U
PROTI'.	¬ (U →! ∩)

4. Mallyovy věty

Mally odvodil následující věty z jeho axiomů (Mally 1926, s. 20-34). ^[3]

(1)	(A f B) → (A f V)
(2)	(A f Λ) ↔ ∀M (A f M)
(3)	((Mf A) ∨ (Mf B)) → (Mf (A ∨ B))
(4)	((Mf A) & (Nf B)) → ((M & N) f (A & B))
(5)	! P ↔ ∀M (M f P)
(6)	(! P & (P → Q)) →! Q
(7)	! P →! V
(8)	((A f B) & (Bf C)) → (A f C)
(9)	(! P & (P f Q)) →! Q
(10)	(! A &! B) ↔! (A & B)
(11)	(A ∞ B) ↔! (A ↔ B)
(12)	(A f B) ↔ (A →! B) ↔! (A → B) ↔! ¬ (A & ¬B) ↔! (¬A ∨ B)
(13)	(A →! B) ↔ ¬ (A & ¬! B) ↔ (¬A ∨! B)
(14)	(A f B) ↔ (¬B f ¬A)
(15)	∀M (M f U)
(16)	(U → A) →! A
(17)	(U f A) →! A
(18)	!! →! A
(19)	!! A ↔! A
(20)	(U f A) ↔ (A ∞ U)
(21)	! A ↔ (A ∞ U)
(22)	!PROTI
(23)	V ∞ U
(23 ')	V f U
(24)	A f A
(25)	(A → B) → (A f B)
(26)	(A ↔ B) → (A ∞ B)
(27)	∀M (∩ f ¬M)
(28)	∩ f ∩
(29)	∩ f U
(30)	∩ f Λ
(31)	∩ ∞ Λ
(32)	¬ (U f Λ)
(33)	¬ (U → Λ)
(34)	U ↔ V
(35)	∩ ↔ Λ

5. Překvapivé důsledky

Mally nazvané věty (1), (2), (7), (22) a (27) - (35) „překvapivé“(befremdlich) nebo dokonce „paradoxní“(paradoxní). Považoval (34) a (35) za nejpřekvapivější z jeho překvapivých vět. Mallyovy důvody, proč tyto věty nazývají překvapující, jsou však záhadné, ne-li zmatené.

Uvažujme například teorém (1). Mally interpretoval tuto větu následovně: „pokud A vyžaduje B, pak A vyžaduje vše, co je v tomto případě“(Mally 1926, s. 20). Považoval to za překvapivé tvrzení, a my souhlasíme. Výklad Mally (1) však není zaručen. (1) pouze říká, že pokud A vyžaduje B, pak A vyžaduje Verum. Výraz „pokud A vyžaduje B, pak A vyžaduje vše, co je v daném případě“má být formalizováno jako

(1 ')

(A f B) → (C → (A f C))

Tento vzorec je okamžitým důsledkem (1) na základě Axioma I. Jinými slovy, Mally měla mít následující zdůvodnění: (1 ') je překvapující; ale (1 ') je okamžitým důsledkem (1) na základě Axioma I; Axiom 1 je nekontroverzní; takže (1) je třeba považovat za překvapující.

Podobný vzor je třeba vidět v mnoha dalších Mallyových poznámkách o větách, které ho překvapily. Obecně do nich četl příliš mnoho a zmatoval je s některými důsledky, které měly v jeho systému:

• Mally byl překvapen (2), protože si myslel, že říká, že pokud A vyžaduje B a B tomu tak není, pak A vyžaduje jakýkoli stav věcí (Mally 1926, s. 21). Ale (2) nic takového neříká. Mallyova parafráza je parafrázou (A f B) → (¬B → (A f C)) (důsledkem (2) na základě Axioma I) spíše než (2).
• Mally parafrázoval (7) jako „je-li třeba něco, pak se vyžaduje vše, co je v tomto případě“(Mally 1926, s. 28), což je skutečně překvapivé. Mallyova parafráza však odpovídá spíše! A → (B →! B) (důsledek (7) na základě Axioma I) než (7).
• Mally parafrázoval (22) jako „fakta by měla být pravdou“(Mally 1926, s. 24). Přiznáváme, že se jedná o překvapivé tvrzení. Ale odpovídající vzorec v Mallyově jazyce je A →! A (důsledek (22) na základě Axioma I), nikoli (22).
• Mally četl (27) jako „pokud by tomu tak mělo být, pak by to mělo být cokoli“(Mally 1926, s. 24, 33), ale to je parafráza! ¬A → (A →! B) (věta Mallyova systému) spíše než (27).
• Mally parafrázoval (33) jako „co není případ není povinné“(Mally 1926, s. 25) a jako „vše, co je povinné, je případ“(Mally 1926, s. 34). Tato tvrzení jsou skutečně překvapující, ale Mallyova čtení (33) nejsou oprávněná. Jsou to spíše parafrázy! A → A než (33).

• Mally učinil následující poznámku k (34) a (35):

  Posledně jmenované věty, které se zdají být povinné, jsou jistě tím nejpřekvapivějším z našich „překvapivých důsledků“. ^[4]

  (34) a (35) však netvrdí, že povinnost je rovnocenná s tím, co by se mělo stát, protože toto prohlášení by mělo být formalizováno jako A ↔! A. Druhá formulace je teorém Mallyova systému, jak bude ukázáno za okamžik, ale v Mallyově knize to není.

Mally považovala věty (28) - (32) za překvapující kvůli jejich vztahům s některými dalšími překvapivými větami:

• (28) - (30) jsou instancemi (27). To však nestačí k tomu, aby tyto věty byly překvapivé. Mally skutečně vnímala (28) jako méně překvapující než (27): člověk by ji mohl použít k ospravedlnění odplaty a pomsty (Mally 1926, s. 24).
• (31) implikuje (28) - (30), a je tedy přinejmenším tak překvapující jako tyto věty.
• Mally viděl (32) jako překvapující, protože překvapující věta (33) je bezprostředním důsledkem (32) a zjevně nepřekvapující věty (25).

Mallyův seznam překvapivých vět se zdá příliš krátký: například (24) je ekvivalentní s A →! A na základě Def. F. Ale A →! A může být parafrázován jako „fakta by měla být pravda“, tvrzení, které Mally považovala za překvapující (Mally 1926, s. 24). Tak proč nevolal (24) překvapivě? Nepřekvapilo ho to po (22)?

Přestože Mally považoval mnoho svých teorémů za překvapivé, domníval se, že objevil zajímavý koncept „správné vůle“(richtiges Wollen) nebo „ochotný podle skutečností“, který by neměl být zaměňován s pojmem povinnost a ochotný používá se v běžném diskurzu. Mallyův „přesný systém čisté etiky“se zabýval hlavně touto koncepcí, ale nebudeme jej popisovat, protože patří spíše do oblasti etiky než do deontické logiky.

6. Mengerova kritika

Podnik Mally byl přijat s malým nadšením. Již v roce 1926 bylo zaznamenáno, že „ Mallyovy dedukce jsou často tak úžasně tupé a irelevantní, že (navzdory jeho komplikovanému symbolickému aparátu) je třeba pouze uvést jednu nebo dvě z nich, aby bylo vidět, jak daleko se jeho diskuse zabloudila od svého vlastního úkolu “(Laird 1926, s. 395).).

V roce 1939 Karl Menger zveřejnil ničivý útok na Mallyův systém. Nejprve zdůraznil, že A ↔! A je věta tohoto systému. Jinými slovy, pokud je A, pak A je povinné, a pokud A by tomu tak mělo být, pak A skutečně je. Jak jsme již poznamenali v souvislosti s věty (34) a (35), Mally vznesl stejný nárok neformálně, ale vzorec A A! A se v jeho knize nevyskytuje.

Mengerova věta A ↔! A může být prokázána následovně (Mengerův důkaz byl odlišný; PC označuje výrokový počet).

Za prvé, A →! A je věta:

1.	A → ((! B →! B) & (B → A))	[ PC] [5]
2.	((! B →! B) & (B → A)) → (! B →! A)	[Já ']
3.	A → (! B →! A)	[1, 2, PC]
4.	! B → (A →! A)	[3, PC]
5a.	! U	[Sekera. IV]
5b.	! (! A → A)	[III '(→), PC]
6.	A →! A	[4, buď 5a nebo 5b, PC]

Za druhé,! A je věta:

1.	((U →! A) & (A → ∩)) → (U →! ∩)	[Já ']
2.	¬ ((U →! A) & (A → ∩))	[1, V ', PC]
3.	¬ ((U →! A) & (A → ∩)) → (! A → A)	[ PC] [6]
4.	! A → A	[2, 3, PC]

Protože A →! A a! A → A jsou věty, A ↔! A je také věta.

Menger dal následující komentář:

Tento výsledek se mi však zdá být škodlivý pro Mallyovu teorii. To znamená, že zavedení značky! je zbytečné v tom smyslu, že může být zrušeno nebo vloženo do jakéhokoli vzorce na jakémkoli místě, které chceme. Tento výsledek (navzdory Mallyho filosofickému ospravedlnění) však jasně odporuje nejen našemu použití slova „by měl“, ale také některým Mallyovým vlastním správným poznámkám o tomto pojmu, např. Tomu, který byl na začátku jeho vývoje, v tom smyslu, že → (! q nebo! r) a p →! (q nebo r) nejsou ekvivalentní. Mally má zcela pravdu, že tyto dva výroky nejsou rovnocenné podle běžného použití slova „by měly“. Ale podle jeho teorie jsou ekvivalentní na základě ekvivalence p a! P (Menger 1939, s. 58).

Téměř všichni deontičtí logici přijali Mengerův rozsudek. Po roce 1939 byl Mallyův deontický systém zřídkakdy brán vážně.

7. Kde se Mally špatně?

Kde se Mally pokazila? Jak by se dalo vytvořit systém deontické logiky, který více spravuje pojetí povinnosti používané v běžném diskurzu? Jsou možné tři typy odpovědí:

• Mally neměl přidávat své deontické axiomy k klasické výrokové logice;
• Některé z jeho deontických principů by měly být upraveny; a
• Oboje z nahoře uvedeného. Menger obhajoval tento druhý názor: „Jedním z důvodů neúspěchu Mallyho zajímavého pokusu je to, že byl založen na 2-hodnotném počtu propozic“(Menger 1939, s. 59).

První dva návrhy se ukázaly jako dostatečné, takže třetí návrh je nadměrný.

V následujícím upozorníme na tři fakta:

Zaprvé, pokud jsou Mallyovy deontické principy přidány do systému, ve kterém se vyhýbají takzvaným paradoxům hmotné a přísné implikace, mnoho „překvapivých“vět (jako (34) a (35)) již nelze odvodit a A A! A již nelze odvodit (oddíl 8).

Zadruhé, pokud jsou Mallyovy deontické principy přidány do systému, ve kterém se vyhýbá tzv. Zákonu vyloučeného středu, nepřijatelný důsledek A ↔! A již nelze odvodit, ale téměř všechny věty, které sám Mally odvozuje, jsou stále odvozitelné (část 9).

Za třetí, pokud Mallyovy deontické principy, např. Def. f a Axiom I, jsou mírně modifikovány, výsledný systém je téměř totožný se systémem, který je dnes známý jako standardní deontická logika (oddíl 10).

8. Alternativní nedeontické základy 1: Logika relevance

Neformální postoje Mally (i) - (iii) a (v) jsou podmíněné nebo negované podmíněnosti, tj. Formy „pokud… pak -“nebo „ne: pokud… pak -“. Føllesdal a Hilpinen (1981, s. 5-6) navrhli, aby takové podmínky nebyly formalizovány z hlediska materiálních implikací a že by byl vhodnější nějaký druh striktních implikací. Tento návrh však není zcela uspokojivý, protože A →! A i A ↔! A lze odvodit ve velmi slabém systému S0.9 ⁰ plus I 'a III', kde → je symbolem přísných implikací. ^[7]

V systémech striktní implikace se vyhýbají tzv. Paradoxům hmotné implikace (jako je A → (B → A)), ale takzvané paradoxy striktní implikace (jako (A & ¬A) → B) zůstávají. Co by se stalo s Mallyovým systémem, kdybychom se vyhnuli oběma paradoxům? Na tuto otázku lze odpovědět přidáním Mallyho axiomů do systému, z něhož nelze odvodit žádný z takzvaných „omylů relevantnosti“(viz položka logika relevance).

V následujícím textu, přidáme Mally axiomy na prominentní relevance logického výzkumu. Výsledek je lepší než v případě přísných důsledků: většina teorémů, které Mally považovala za překvapující, již nelze odvodit, a Mengerova věta A ↔! A také nelze odvodit. Stále však lze odvodit mnoho „věrohodných“vět.

Relevantní systém R s výrokovou konstantou t („spojení všech pravd“) má následující axiomy a pravidla (Anderson & Belnap 1975, ch. V; ↔ je definován A ↔ B = (A → B) & (B → A)):

Sebevědomí.	A → A
Předpona.	(A → B) → ((C → A) → (C → B))
Kontrakce.	(A → (A → B)) → (A → B)
Permutace.	(A → (B → C)) → (B → (A → C))
& Eliminace.	(A a B) → A, (A a B) → B
& Úvod.	((A → B) & (A → C)) → (A → (B & C))
∨ Úvod.	A → (A ∨ B), B → (A ∨ B)
∨ Vyloučení.	((A → C) & (B → C)) → ((A ∨ B) → C)
Rozdělení.	(A a (B ∨ C)) → ((A a B) ∨ C)
Dvojitá negace.	¬¬A → A
Kontrapozice.	(A → ¬B) → (B → ¬A)
Sekera. t.	A ↔ (t → A)
Modus Ponens.	A, A → B / B
Přizpůsobení.	A, B / A a B

Relevantní verzi RD deontického systému Mally lze definovat takto:

• Jazyk je stejný jako jazyk R, kromě toho, že píšeme V místo t, přidáme výrokovou konstantu U a unární spojovací! A definujeme Λ, ∩, f a ∞ jako v Mallyově systému.
• Axiomatizace: přidat Mally axiomy IV axiomy a pravidly R.

RD má následující vlastnosti.

• Axiomy I, II a III mohou být nahrazeny těmito třemi jednoduššími axiomy: ^[8]

  I *.	(A → B) → (! A →! B)
  II *.	(! A &! B) →! (A & B)
  III *.	! (! A → A)

• Vzorce I-V ', (3), (4), (6), (8) - (11), (14), (16) - (18), (23') a (30)) jsou věty o RD. ^[9]
• Vzorce (1), (2), (5), (7), (12), (13), (15), (19) - (23), (24) - (29), (31) - (35), A →! A a! A → A nelze odvodit. ^[10]
• Existuje 12 nesouladů mezi očekáváním RD a Mally: (5), (12) - (13), (15), (19) - (21), (23) a (24) - (26) nelze odvodit, i když Mally nepovažovala tyto vzorce za překvapující a (30) je věta, i když ji Mally považovala za překvapující.
• Vzorce (34) a (35) (vzorce, které Mally považoval za nejpřekvapivější věty svého systému) jsou ve zvláštním smyslu než Mengerova věta A ↔! A, protože druhá věta je odvozitelná v RD doplněná (34) nebo (35) zatímco (34) ani (35) nelze v RD odvodit s A A! A. ^[11]

Ačkoli většina Mallyových překvapivých vět není v RD odvozitelná, nemá to nic společného s Mallyovými vlastními důvody, které považují za překvapivé. V RD nelze odvodit, protože jsou závislé na omylech relevantnosti. Mally nikdy na takovéto ledovce neodkazoval, aby vysvětlil své překvapení. Jak jsme již popsali, jeho úvahy byly zcela odlišné.

RD úzce souvisí s Andersonovou relevantní deontickou logikou ARD, která je definována jako R doplněná o následující dva axiomy (Anderson 1967, 1968, McArthur 1981; Anderson použil unární spojovací O místo!):

ARD1.	! A ↔ (¬A → ∩)
ARD2.	! A → ¬! ¬A

• Všechny věty RD jsou věty ARD. ^[12]
• ARD1 (→) není věta RD + ARD2. ^[13] Tento vzorec se v Mallyově knize nenachází. Podle Andersona byl Bohnert (1945) první, kdo to navrhl. ^[14]
• ARD2 není věta RD + ARD1. ^[15] Tento vzorec se nenachází v Mallyově knize, ale Mally schválila odpovídající neformální zásadu: „osoba, která chce správně, nebude (ani implicitně) negovat to, co chce; správná vůle je bez rozporů. “^[16]
• RD doplněné o ARD1 (→) a ARD2 má stejné věty jako ARD. ^[17]

Andersonův systém má několik problematických funkcí (McArthur 1981, Goble 1999, 2001) a RD sdílí většinu těchto funkcí. Ale nebudeme se touto otázkou zabývat. V každém případě je jasné, že RD je lepší než původní systém Mally.

9. Alternativní nedeontické základy 2: Intuitionistická logika

Nedávno bylo zdůrazněno, že je možné založit Mallyovu deontickou logiku spíše na intuicionální výrokové logice IPC než na klasické výrokové logice (Lokhorst 2013; viz také Centrone 2013).

Heytingův intuiční výrokový počet IPC má následující axiomy a pravidla (viz Van Dalen 2002 a položka o intuicionistické logice):

A → (B → A)

(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))

(A a B) → A

(A a B) → B

A → (B → (A a B))

A → (A ∨ B)

B → (A ∨ B)

(A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C))

⊥ → A

modus ponens

substituce

Pokud k těmto axiomům a pravidlům přidáme následující:

Zkratky: ¬ A = A → ⊥, A ↔ B = (A → B) & (B → A), T = A → A, pak můžeme formulovat ID (intuicionální přeformulování Montovy deontické logiky) jako IPC plus Mallyovy axiomy I - V a

(34)	U ↔ T
VI	! (A ∨ ¬ A)

Axiom VI vyplývá z Mallyovy věty (12d) (viz Mally 1926, kap. 2, s. 5, s. 29 a Morscher 1998, s. 122). ^[18]

FAKT 1. ID lze alternativně axiomatizovat jako IPC plus axiomy! A ↔ ¬ ¬ A a (34). ^[19]

Klasická výroková logika, CPC, je IPC plus A ∨ ¬ A. MD („Mally's Deontik“) je ID plus CPC.

FAKT 2. A ↔! A je věta o MD. ^[20]

V moderní deontické logice je PA („je povoleno, že A“) definována jako PA = ¬! ¬ A. Pokud přijmeme tuto definici, ID poskytne! A ↔ PA (protože IPC poskytuje ¬ ¬ A ↔ ¬ ¬ ¬ ¬ A)). Mally o povolení nediskutovala. Jeho souhlas s A → ¬! ¬ A (který je obvykle považován za charakteristický pro deontickou logiku) je zřejmý z Mally 1926, kap. 4 s. 10, str. 10 49, ad (V).

Mally namítal proti! (A (B) → (! A!! B) a Menger namítal proti A ↔! A (viz Mally 1926, kap. 2, s. 4, s. 27, ad (II) a citát v Oddíl 6 výše). ID se vyhýbá těmto námitkám:

FAKT 3. Ani! (A ∨ B) → (! A ∨! B) ani! A → A není věta ID. ^[21]

Pouze jedna z teorémů prezentovaných Mally nelze odvodit z ID, konkrétně (13b): ¬ (A & ¬! B) ↔ (¬ A ∨! B). ^[22]

FAKT 4. Pro jakékoli rozšíření X ID (v jazyce ID): X poskytuje (13b), a to pouze tehdy, pokud X poskytuje! (A ∨ B) → (! A ∨! B). ^[23]

ID plus (13b) neposkytuje! A → A. ^[24]

Intuitionistická reformulace Mallyovy deontické logiky, kterou jsme navrhli, je úspěšná, pokud se vyhýbá Mengerovým i Mallyho vlastním námitkám a zároveň zachovává téměř všechny věty, které si Mally všimla. Je však nepřijatelný jako systém deontické logiky sám o sobě. Uvádíme pouze dva důvody:

1. Věta A →! A je intuitivně neplatná. Žádný deontický systém, kromě Mally, nemá tuto teorém.

2. Není jasné, jak má být oprávnění zastoupeno. Pokud použijeme standardní definici (PA = ¬! ¬ A), pak PA ↔! A je věta, ale PA a! A nejsou ekvivalentní podle běžného použití slov „povoleno“a „povinné“.

Relevantní reformulace Mallyho systému, která byla diskutována výše, tyto defekty nemá.

I když je ID nepřijatelné jako systém deontické logiky, dává smysl jako systém laxní logiky, jak nyní ukážeme. Logika Lax se používá v oblasti ověřování hardwaru v digitálních obvodech a řízení přístupu v zabezpečených systémech, kde! vyjadřuje představu o správnosti až do omezení. Termín „laxní“byl vybrán „k označení volnosti spojené s představou správnosti až do omezení“(Fairtlough a Mendler 1997, s. 3). Existuje značná literatura o laxní logice (Goldblatt 2011).

Propoziční laxní logika PLL je definována jako IPC plus (A →! B) ↔ (! A →! B) (Fairtlough a Mendler 1997, s. 4, Lemma 2.1). Laxská logika PLL * je PLL plus! A ↔ ¬ ¬ A (Fairtlough a Mendler 1997, s. 23).

FAKT 5. ID je alternativní axiomatizace laxní logiky PLL * plus (34). ^[25]

Mallyova deontická logika a laxní logika vznikla z úplně jiných úvah. Je proto pozoruhodné, že intuicionální přeformulování Mallyovy logiky, o které jsme diskutovali, je totožné s laxní logikou PLL * plus (34).

10. Alternativní deontické principy

Namísto změny nedeontického výrokového základu Mallyho systému lze také změnit specificky deontické axiomy a pravidla. To by samozřejmě mohlo být provedeno různými způsoby, ale následující přístup funguje dobře, aniž by se příliš odchýlil od původních předpokladů Mally. ^[26]

Nejprve považujte f za primitivní a nahraďte Mallyovu definici f z hlediska → a! (Def. F, úplně první deontický postulát v Mallyově knize) podle následující definice! ve smyslu V af:

Def. !

! A = V f A

Za druhé, nahraďte Axiom I, který může být také zapsán jako (B → C) → ((A f B) → (A f C)), následujícím pravidlem pro odvozování:

Pravidlo f.

B → C / (A f B) → (A f C)

Můžeme pak odvodit:

1.	B → C /! B →! C	[Def. !, R f]
2.	(! A &! B) →! (A & B)	[Def. !, Axe. II]
3.	!PROTI	[1, Ax. IV, PC]
4.	¬! Λ	[1, Ax. III (←), Ax. V, PC (ex falso)]

Tzv. Standardní systém deontické logiky KD je definován jako PC doplněný 1-4 (kromě toho, že! Je obvykle psáno jako O: viz položka o deontické logice), takže nový systém je přinejmenším stejně silný jako KD. Není těžké vidět, že je ve skutečnosti totožný s KD doplněným OU (Mally's Axiom IV) a následující definicí f: A f B = O (A → B). V moderní deontické logice je pojem závazek někdy definován tímto způsobem.

V novém systému mají Mallyovy věty následující stav.

• II ', IV', (1) - (5), (7) - (11), (13) - (15), (17), (20) - (24) a (27) - (32) jsou odvoditelný.
• I ', III', V ', (6), (12), (16), (18) - (19), (25) - (26), (33) - (35), A →! A a ! A → A nelze odvodit.
• Existuje 20 nesouladů s Mallyovými deontickými očekáváními: 10 „věrohodných“vzorců již nelze odvodit, konkrétně I ', III', V ', (6), (12), (16), (18) - (19) a (25) - (26) a 10 „překvapivých“vět je stále možné odvodit, a to (1), (2), (7), (22) a (27) - (32).
• Ačkoli (34) a (35) nelze odvodit, jejich přidání by v žádném případě nevedlo k teorémii A ↔! A.

V případě RD došlo pouze k 12 neshodám, takže nový systém méně spravuje Mallyovy deontické očekávání než RD. S jeho obecným výhledem však lépe souhlasí, protože je stále založen na klasické výrokové logice, systému, proti kterému Mally nevznesla námitky (ne že by měl ve 20. letech mnoho možností).

Mnoho z Mallyových překvapivých vět je možné odvodit v KD, ale ztratily, jak to bylo, jejich bodnutí: tyto věty vedou k překvapivým důsledkům, když se kombinují s Mallyovým Axiomem I a jeho definicí f, ale bez těchto postulátů jsou zcela neškodné.

Standardní systém deontické logiky má několik problematických rysů. Skutečnost, že každé prokazatelné prohlášení je povinné, je často považována za kontraintuitivní a existuje mnoho dalších známých „paradoxů“. Revidovaná verze systému Mally sdílí tyto problematické rysy. Ale nebudeme zde diskutovat o těchto otázkách. Standardní systém je v každém případě lepší než původní návrh Mally.

11. Závěr

Mallyova deontická logika je nepřijatelná z důvodů uvedených Mengerem (1939). Ale není to tak špatné, jak by se mohlo na první pohled zdát. K tomu, aby se z něj stal přijatelnější systém, je zapotřebí jen relativně malých úprav. Člověk může buď změnit nedetontický základ, aby získal buď systém, který je podobný Andersonovu systému, nebo systém, který je totožný s intuicionální nebo konstruktivní výrokovou logikou s dvojitou negací jako operátor podobný povinnosti, nebo aplikovat dvě záplaty na deontické postuláty získat systém podobný standardní deontické logice.

Někteří autoři odmítli považovat Mallyinu deontickou logiku za „skutečný“deontický systém a říkají, že „to zmiňují pouze zvědavostí“(Meyer a Wieringa 1993, s. 4). Z výše uvedeného vyplývá, že tento rozsudek je příliš tvrdý. Je to jen malý krok, ne obrovský skok, od systému Mally k moderním systémům deontické logiky, takže průkopnické úsilí Mally si zaslouží rehabilitaci, než pohrdání.

Bibliografie

• Anderson, Alan Ross, 1967, „Některé ošklivé problémy ve formální logice etiky,“Noûs, 1: 345–360.
• –––, 1968, „Nové náměstí opozice: eubouliatická logika“, v Akten des XIV. Internationalen Kongresses für Philosophie (Svazek 2), Vídeň: Herder, s. 271–284.
• Anderson, Alan Ross a Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity (Volume 1), Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Nuel D. Belnap, Jr., a J. Michael Dunn, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity (Volume 2), Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Bentham, Jeremy, 1782 [1945], The Limits of Jurisprudence Defined, New York: Columbia University Press.
• Bohnert, Herbert G., 1945, „Semiotický status příkazů“, Filozofie vědy, 12: 302–315.
• Centrone, Stefania, 2013, „Poznámky k Mallyině deontické logice a kolapsu Seinsollena a Seina,“Synthese, 190: 4095–4116.
• Fairtlough, Matt a Michael Mendler, 1997, „Propoziční laxní logika“, informace a výpočet, 137: 1–33.
• Føllesdal, Dagfinn a Risto Hilpinen, 1981, „Deontická logika: Úvod“, v Risto Hilpinen (ed.), Deontic Logic: Úvodní a systematické čtení, druhé vydání, Dordrecht: D. Reidel, s. 1–35.
• Gabbay, DM, 1981, sémantické vyšetřování v Heytingově intuitivní logice, Dordrecht: D. Reidel.
• Goble, Lou, 1999, „Deontická logika s relevantností“, v Paul McNamara a Henry Prakken (eds.), Norms, Logics and Information Systems: New Studies on Deontic Logic and Computer Science, Amsterdam: IOS Press, pp. 331–345,
• –––, 2001, „Andersonova redukce a relevantní deontická logika“, v Brown Byson a John Woods (eds.), Nová studia v přesné filosofii: logika, matematika a věda - sborník z konference 1999 společnosti pro přesnou filosofii, Paris: Hermes Science Publications, s. 213–246.
• Goldblatt, Robert, 2011, „Pokryjte sémantiku pro kvantifikovanou laxní logiku“, Journal of Logic and Computation, 21: 1035–1063.
• Hacking, Ian, 1963, „Co je to důsledné důsledky?“, Journal of Symbolic Logic, 28: 51–71.
• Höfler, Alois, 1917, „Abhängigkeitsbeziehungen zwischen Abhängigkeitsbeziehungen“, Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften ve Vídni, Philosophisch-historische Klasse, 181 (4): 1–56.
• –––, 1922, Logik, 2. rozšířené vydání, s příspěvky Ernsta Mallye, Vídně: Hölder-Pichler-Tempsky; Vídeň a Lipsko: Freytag.
• Laird, John, 1926, Recenze Mally's Grundgesetze des Sollens, Mind (New Series), 35 (139): 394–395.
• Leibniz, GW, 1678–81 [1999], Modalia et elementa juris naturalis. In: Leibniz: Sämtliche Schriften und Briefe (Série 6, Svazek 4), Berlín: Akademie Verlag, s. 2758–2766.
• Lepage, François, 2016, „Náměstí opozic v intuicionistické logice se silnou negací“, Logica Universalis, 10: 327–338.
• Lokhorst, Gert-Jan C., 1999, „Deontik Ernsta Mallye (1926),“Notre Dame Journal of Formal Logic, 40: 273–282.
• ––– 2006, „Andersonovská deontická logika, výroková kvantifikace a Mally,“Notre Dame Journal of Formal Logic, 47: 385–395.
• ––– 2010, „Kde se Mally pokazila?“, V G. Governatori a G. Sartor, eds., DEON 2010 (Poznámky k přednášce v umělé inteligenci (LNAI): Svazek 6181), Berlín a Heidelberg: Springer-Verlag, str. 247–258.
• ––– 2013, „intuicionální přeformulování Mallyovy deontické logiky“, Journal of Philosophical Logic, 42: 635–641.
• Lokhorst, Gert-Jan C. a Lou Goble, 2004, „Mallyova deontická logika“, Grazer philosophische Studien, 67: 37–57.
• Mally, Ernst, 1926, Grundgesetze des Sollens: Elemente der Logik des Willens, Graz: Leuschner und Lubensky, Universitäts-Buchhandlung; dotisknuto v Ernstovi Mallyovi, Logische Schriften: Großes Logikfragment, Grundgesetze des Sollens, Karl Wolf a Paul Weingartner (eds.), Dordrecht: D. Reidel, 1971, s. 227–324.
• McArthur, Robert P., 1981, „Andersonova deontická logika a relevantní implikace,“Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 145–154.
• McCune, W., 2005–2010, Prover9 a Mace4, verze 2009–11a, k dispozici online.
• McKinsey, John Charles Chenoweth, 1939, „Důkaz nezávislosti primitivních symbolů Heytingova počtu výroků“, Journal of Symbolic Logic, 4: 155–158.
• Menger, Karl, 1939, „Logika pochybných: o optivní a imperativní logice,“ve Zprávách o matematickém kolokviu (2. řada, 2. vydání), Notre Dame, Indiana: Indiana University Press, s. 53–64.
• Meyer, John-Jules Ch., A Roel J. Wieringa, 1993, „Deontic logic: Stručný přehled“, v John-Jules Ch. Meyer a Roel J. Wieringa (ed.), Deontic Logic in Computer Science, Chichester: John Wiley and Sons, s. 3–16.
• Moore, GE, 1903, Principia Ethica, Cambridge: Cambridge University Press.
• Morscher, Edgar, 1998, „Mallys Axiomsystem für die deontische Logik: Rekonstrukce a kritische Würdigung,“Ernst Mally: Versuch einer Neubewertung (ProPhil-Projekte zur Philosophie, Svazek 2), Alexander Hieke (ed.), Sankt Augustin: Academia Verlag, str. 81–165.
• Nelson, David, 1949, „Constructible falsity“, The Journal of Symbolic Logic, 14: 16–26.
• Ray, J., 1926, Essai sur la struktura logique du code civil français, Paris: Presses Universitaires de France.
• Van Dalen, Dirk, 2002, „Intuitionistic logic“, v D. Gabbay a F. Günthner, eds., Handbook of Philosophical Logic (Svazek 5), 2. vydání, Dordrecht: Kluwer, s. 1–114.
• Weinberger, Ota, 2001, „Ernst Mallys Deontik: Ein kritischer Rückblick und ein konstruktiver Ausblick nach einem dreiviertel Jahrhundert,“v Thomas Binder, Reinhard Fabian, Ulf Höfer a Jutta Valent (eds.), Bausteine zu einer Geschichte der Philosophit Graz, Amsterdam / Atlanta: Rodopi, str. 289–303.
• Whitehead, Alfred North a Bertrand Russell, 1910, Principia Mathematica (svazek 1), Cambridge: Cambridge University Press.
• Woleński, Jan, 1998, „Poznámky k Mally's Deontik“, Ernst Mally: Versuch einer Neubewertung (ProPhil – Projekte zur Philosophie, svazek 2), A. Hieke (ed.), Sankt Augustin: Academia Verlag, str. 73–80.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Stránka základních informací o Ernstovi Mallyovi (Edward Zalta, Stanfordská univerzita).
• MaGIC 2.2. MaGIC (Matrix Generator for Implication Connectives) je program, který vyhledává matice pro implikační konektory pro širokou škálu výrokových logik. MaGIC napsal John Slaney z Automated Reasoning Group, The Research School of Information Sciences and Engineering, Australian National University. MaGIC byl vytvořen pro Unix a lze jej snadno kompilovat pod Linuxem, FreeBSD, Mac OS X a podobnými operačními systémy. K dispozici je také verze pro Windows (Cygwin).