Jan Łukasiewicz

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Jan Łukasiewicz

Poprvé publikováno Čt 15. května 2014; věcná revize pá 6. června 2014

Jan Łukasiewicz (1878–1956) byl polský logik a filozof, který do Polska zavedl matematickou logiku, stal se nejstarším zakladatelem varšavské logické školy a jedním z hlavních architektů a učitelů této školy. Jeho nejslavnějším úspěchem bylo poskytnout první přísnou formulaci logiky s mnoha hodnotami. On představil mnoho vylepšení v výrokové logice, a se stal prvním historikem logiky léčit historii subjektu z hlediska moderní formální logiky.

• 1. Život
• 2. Vliv Twardowského
• 3. Raná práce

• 4. Propoziční logika

  • 4.1 Objevy v prozatímní logice
  • 4.2 Variabilní prozatímní funktory
  • 4.3 Intuitionistická logika

• 5. Mnohohodnotná logika

  • 5.1 Možnost a třetí hodnota
  • 5.2 Neurčitosti a třetí hodnota
  • 5.3 Více než tři hodnoty
  • 5.4 Axiomy a definice
  • 5.5 Druhé myšlenky na modalitu: Systém Ł

• 6. Historie logiky

  • 6.1 Stoická prozatímní logika
  • 6.2 Aristoteles
• 7. Filozofické pozice
• 8. Dědictví

• Bibliografie

  • Obecné poznámky
  • Zkratky
  • Primární zdroje: Díla Łukasiewicze
  • Vybraná sekundární literatura
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Život

Život Jana Łukasiewicze byl životem kariérního akademika a učence, který byl vážně narušen otřesy války ve dvacátém století. Narodil se a studoval v polském Rakousku, vzkvétal v druhé polské republice, snášel válečné potíže, uprchl před Rudou armádou do Německa a našel v Irské republice poslední útočiště.

Jan Leopold Łukasiewicz se narodil 21. prosince 1878 ve Lwowě ^[1], historicky polské město, tehdy hlavní město rakouské Galicie. Łukasiewicin otec Paweł byl kapitán rakouské armády, jeho matka Leopoldine, rozená Holtzerová, byla dcerou rakouského úředníka. Jan byl jejich jediným dítětem. Rodina mluvila polsky. Łukasiewicz navštěvoval školu (klasický Gimnazjum nebo gymnázium s důrazem na klasické jazyky) od roku 1890, dokončením roku 1897 a zahájením studia práva na univerzitě ve Lwowě. Za rakouské vlády univerzita povolila výuku v polštině. V roce 1898 přešel k matematice, studoval u Józefa Puzyny a filozofii, studoval u Kazimierze Twardowského, který byl v roce 1895 jmenován mimořádným (docentským) profesorem, a také Wojciechem Dzieduszyckim. V roce 1902 získal Łukasiewicz doktorát filosofie pod vedením Twardowského s dizertační prací „O indukci jako inverze dedukce“. Po ukončení všech maturitních zkoušek a disertační práce dosáhl ve všech zkouškách pouze nejlepších známek, získal vzácný titul doktorát sub auspiciis Imperatoris a diamantový prsten získal od císaře Franze Josefa.

Od roku 1902 byl zaměstnán jako soukromý učitel a jako úředník ve univerzitní knihovně. V roce 1904 získal stipendium od galicijské autonomní vlády a odešel studovat do Berlína a poté do Louvainu. V roce 1906 získal Habilitaci kusem „Analýza a konstrukce pojmu příčina“. Jako Privatdozent ve filozofii byl schopen přednášet na univerzitě a stal se prvním z Twardowských studentů, kteří se k němu připojili. Jeho první kurz přednášek, uskutečněný na podzim 1906, byl na algebře logiky, jak jej formuloval Couturat. V letech 1908 a 1909 získal stipendium, které mu umožnilo navštívit Graz, kde se seznámil s Alexiem Meinongem a jeho školou. V roce 1911 byl jmenován mimořádným profesorem a pokračoval ve výuce ve Lwowě až do vypuknutí války v roce 1914. Během této doby jeho studenti zahrnovali Kazimierz Ajdukiewicz a Tadeusz Kotarbiński, kdo by později se stal slavnými filozofy v jejich vlastní pravý. Také v roce 1912 poznal Stanisław Leśniewski, který však přišel do Lwowa po studiu v zahraničí a nelze ho považovat za jeho žáka.

V roce 1915 válečné bohatství postavilo Německo pod kontrolu Varšavy a rozhodli se znovu otevřít univerzitu, která za ruské vlády nemohla fungovat jako polsky mluvící univerzita. Tam se stal Łukasiewicz profesorem filozofie. V roce 1916 byl děkanem FF a v roce 1917 prorektorem univerzity. V roce 1918 opustil univerzitu, byl jmenován vedoucím katedry vyšších škol na novém polském ministerstvu školství, a poté, co Polsko získalo plnou nezávislost, se stal ministrem školství v Paderewského kabinetu a sloužil od ledna do prosince 1919. Od roku 1920 do roku 1939 byl stejně jako Leśniewski profesorem na Fakultě přírodních věd Varšavské univerzity. V letech 1922/23 a znovu v letech 1931/32 působil jako rektor univerzity. V roce 1929 se oženil s Reginou Barwińskou.

Meziválečné období bylo pro Łukasiewicze nejplodnější. Byl vedoucí postavou s Leśniewskim a Tarskim v tom, co se stalo známým jako varšavská logická škola. V roce 1938 se stal přítelem jediného německého profesora matematické logiky Heinricha Scholze a v roce 1938 mu byl udělen čestný doktorát., Velitel maďarského řádu zásluh, peněžní cena od města Varšava (1935) a členství Polské akademie umění a věd v Krakově a polských vědeckých společností ve Lwowě a Varšavě.

Studenti, kterým na základě doktorských disertačních prací dohlížel, byli: Mordechaj Wajsberg, Zygmunt Kobrzyński, Stanisław Jaśkowski, Bolesław Sobociński a Jerzy Słupecki.

Při vypuknutí války v září 1939 byl Luftwaffe bombardován domov Łukasiewicze: všechny jeho knihy, papíry a korespondence byly zničeny, s výjimkou jednoho svazku vázaných otisků. Łukasiewiczové žili v dočasném ubytování pro akademiky. Němečtí okupanti uzavřeli univerzitu a Łukasiewicz si našel zaměstnání ve skromném platu v archivu Varšavy. Další finanční podpora přišla od Scholze. Łukasiewicz vyučoval na podzemní univerzitě. Od konce roku 1943, z obav z bezprostředního příchodu a okupace Polska Rudou armádou, a pod podezřením některých kolegů, že jsou pro-němečtí a protižidovští, Łukasiewicz vyjádřil přání Scholze, aby on a jeho manželka opustili Polsko. Jako první krok k jejich odchodu do ŠvýcarskaScholzovi se podařilo získat povolení pro Łukasiewiczes k cestě do Münsteru. Opustili Varšavu 17. července 1944, jen dva týdny před vypuknutím Varšavského povstání. Po bombové zápletce 20. července 1944 proti Hitlerovi neměli naději, že získají povolení k odjezdu do Švýcarska. Zůstali v Münsteru, kde byli spojeni s bombardováním spojenců, až do ledna 1945, kdy jim Jürgen von Kempski nabídl ubytování na jeho farmě v Hembsen (Kreis Höxter, Westphalia), kde je 4. dubna osvobodili americká vojska.když jim Jürgen von Kempski nabídl ubytování na jeho farmě v Hembsen (Kreis Höxter, Westphalia), kde je 4. dubna osvobodili americké jednotky.když jim Jürgen von Kempski nabídl ubytování na jeho farmě v Hembsen (Kreis Höxter, Westphalia), kde je 4. dubna osvobodili americké jednotky.

Od léta 1945 učil Łukasiewicz logiku na polské střední škole zřízené v bývalém polském zajateckém táboře v Dösselu. V říjnu 1945 mohli cestovat do Bruselu. Tam Łukasiewicz znovu učil logiku na prozatímním polském vědeckém institutu. Łukasiewicz, který se nechtěl vrátit do Polska pod komunistickou kontrolou, hledal místo jinde. V únoru 1946 dostal nabídku jít do Irska. Dne 4. března 1946 dorazili Łukasiewiczes do Dublinu, kde je přijali ministr zahraničí a taoiseach Eamon de Valera. Na podzim roku 1946 byl Łukasiewicz jmenován profesorem matematické logiky na Královské irské akademii (RIA), kde přednášel nejprve jednou a poté dvakrát týdně.

V posledních letech v Irsku Łukasiewicz obnovil kontakty s kolegy v zahraničí, zejména se Scholzem, s nímž byl v neustálé korespondenci. Zúčastnil se konferencí v Británii, Francii a Belgii, poslal do Polska doklady, než byl vyloučen (s 15 dalšími vyhnanými Poláky) z polské akademie v Krakově, přednášel matematickou logiku na Queen's University Belfast a na Aristotelově sylogologii na University College Dublin. Jeho zdraví se zhoršilo a měl několik infarktů: v roce 1953 již nebyl schopen přednášet na Akademii. V roce 1955 obdržel čestný doktorát od Trinity College Dublin. 13. února 1956 po operaci odstranění žlučových kamenů utrpěl třetí velkou koronární trombózu a zemřel v nemocnici. Byl pohřben na hřbitově Mount Jerome v Dublinu, „daleko od drahých Lwów a Polska“,jak jeho náhrobek čte. Regina uložila většinu svých vědeckých prací a korespondence s RIA. V roce 1963 Akademie převedla své statky do knihovny University of Manchester, kde zůstaly, nezveřejněné. Volba Manchesteru byla způsobena přítomností tam jako přednášejícího Czesława Lejewského, který studoval u Łukasiewicze ve Varšavě a dvakrát ji zkoumal pro doktorské práce, jednou v roce 1939, kdy zasáhla válka, podruhé v Londýně v roce 1954 Lejewski viděl druhé vydání knihy Łukasiewicze o Aristotelově sylogologii prostřednictvím tisku: vyšlo najevo posmrtně v roce 1957. Volba Manchesteru byla způsobena přítomností tam jako přednášejícího Czesława Lejewského, který studoval u Łukasiewicze ve Varšavě a dvakrát ji zkoumal pro doktorské práce, jednou v roce 1939, kdy zasáhla válka, podruhé v Londýně v roce 1954 Lejewski viděl druhé vydání knihy Łukasiewicze o Aristotelově sylogologii prostřednictvím tisku: vyšlo najevo posmrtně v roce 1957. Volba Manchesteru byla způsobena přítomností tam jako přednášejícího Czesława Lejewského, který studoval u Łukasiewicze ve Varšavě a dvakrát ji zkoumal pro doktorské práce, jednou v roce 1939, kdy zasáhla válka, podruhé v Londýně v roce 1954 Lejewski viděl druhé vydání knihy Łukasiewicze o Aristotelově sylogologii prostřednictvím tisku: vyšlo najevo posmrtně v roce 1957.

2. Vliv Twardowského

Łukasiewicz byl jedním z Twardowských prvních studentů ve Lwowě a byl ovlivňován jeho postoji a metodami jeho učitelem. Twardowski se narodil a studoval ve Vídni, kde se stal jeho žákem Franze Brentana a byl naplněn jeho vášnivým zastáncem filosofie jako přísnou disciplínou, aby byl vyšetřován se stejnou péčí a pozorností k detailům jako jakákoli empirická věda a komunikovat s maximální průhledností. V roce 1895 byl Twardowski jmenován mimořádným profesorem ve Lwowě. Zjistil, že polský filosofický život je nečinný a třetí, a začal se zabývat životaschopností subjektu a budováním svých polských institucí na úkor vlastního akademického výkonu. Stejně jako Brentano věřil, že zdravá popisná psychologie je metodologicky základem filozofie, a jako Brentano obhajoval skromné reformy ve formální logice. Łukasiewicz, pod vlivem Husserla, Russella a Frege, odmítl jakoukoli základní roli psychologie a inspiroval se zejména posledně jmenovanými dvěma, nesl reformu logiky daleko za tím, co Twardowski předpokládal. V roce 1904 četl Russellovy Principy matematiky a to ho značně ovlivnilo. Obecný postoj, že by se filozofie mohla a měla snažit být vědecky přesný, byl ten, který zůstal s Łukasiewiczem, ačkoli jeho odhad stavu subjektu měl tendenci být pesimističtější než optimistický, a obhajoval zásadně reformující filozofii podle logických linií. V roce 1904 četl Russellovy Principy matematiky a to ho značně ovlivnilo. Obecný postoj, že by se filozofie mohla a měla snažit být vědecky přesný, byl ten, který zůstal s Łukasiewiczem, ačkoli jeho odhad stavu subjektu měl tendenci být pesimističtější než optimistický, a obhajoval zásadně reformující filozofii podle logických linií. V roce 1904 četl Russellovy Principy matematiky a to ho značně ovlivnilo. Obecný postoj, že by se filozofie mohla a měla snažit být vědecky přesný, byl ten, který zůstal s Łukasiewiczem, ačkoli jeho odhad stavu subjektu měl tendenci být pesimističtější než optimistický, a obhajoval zásadně reformující filozofii podle logických linií.

Další respekt, v němž Łukasiewicz pokračoval v tradici Brentano School, byl v jeho respektu k dějinám filozofie, zejména k Aristotelovi a britským empiricistům. (On a Twardowski přeložili Humeovo první šetření do polštiny.) Twardowski, který dobře znal Bolzanovu práci, poukázal na podobnosti mezi pojmy v Bolzanově a Łukasiewicze teorii pravděpodobnosti. Úcta k historii také zaostávala za průkopnickými studiemi Łukasiewicze v historii logiky, zejména jeho popisy Stoické výrokové logiky a Aristotelovy syllogistic.

Łukasiewicz napodoboval a skutečně překonal Twardowského ve své pozornosti k jasnosti výrazu. Kvalifikovaní odborníci souhlasí s tím, že Łukasiewiczova vědecká próza, v kterémkoli ze tří jazyků, ve kterých psal, má bezkonkurenční jasnost a krásu.

3. Raná práce

V letech před první světovou válkou pracoval Łukasiewicz převážně na záležitostech souvisejících s metodologií vědy. Jeho doktorát, publikovaný v roce 1903 jako „O indukci jako inverze dedukce“, zkoumal vztah mezi oběma formami uvažování ve světle práce Jevons, Sigwart a Erdmann. Induktivní uvažování, vycházející z singulárních empirických výroků, se pokouší o svůj časný pohled k obecnému závěru, kterému lze připisovat určitou pravděpodobnost. Brzy se však posunul k názoru, že je nemožné připisovat určenou pravděpodobnost obecnému tvrzení na základě indukce. Metodou empirických věd je spíše tvořivě riskovat myšlenku, že určitá zobecnění je pravdivá, z toho odvodit singulární závěry a pak zjistit, zda jsou pravdivé. Pokud jeden závěr není,pak je obecné prohlášení vyvráceno. Toto, raná formulace hypoteticko-deduktivní metody vědy, předpokládá Popperovy myšlenky o více než dvě desetiletí, i když je vyjádřeno méně důrazně. Łukasiewicz také předvídal Poppera zdůrazňováním toho, co nazval „tvůrčími prvky ve vědě“, proti myšlence, že úkolem vědce je reprodukovat nebo replikovat fakta.

Zájem o pravděpodobnost ležel za jednou ze dvou monografií Łukasiewicze vydaných před válkou, jmenovitě Logické základy teorie pravděpodobnosti, které byly psány a publikovány nikoli v polštině, ale v němčině. V letech 1908 a 1909 navštívil Łukasiewicz Graz, kde Alexius Meinong a Ernst Mally také pracovali na teorii pravděpodobnosti, takže je pravděpodobné, že kniha byla napsána v němčině, protože jejich jazykem diskuse byla němčina, a také s cílem zajistit širší publikum. Łukasiewiczova teorie konstruktivně využívá myšlenky vytrhnuté odkudkoli: od Fregea vzal myšlenku pravdivé hodnoty, od Whiteheada a Russella myšlenku neurčité tvrzení a od Bolzana myšlenku poměru skutečných hodnot ke všem hodnotám pro tvrzení. Vezměme si klasický příklad urny,kde urna obsahuje m černé koule a n bílé koule. Nechť je neurčitý výrok '(x) černý míč v této urně' takový, že proměnná '(x)' může brát jako hodnotu jakýkoli výraz pojmenující míč v urně: proměnná se pak říká, aby se pohybovala přes jednotlivé koule a různé výrazy pojmenující stejnou kouli, aby měly stejnou hodnotu. (Všimněte si, že Łukasiewicz skutečně používá terminologii, později spojenou s Quinem) proměnných hodnot, zde výrazů a rozsahů nad objekty označenými uvedenými výrazy. „úsudek“pro určitý návrh) pro všechny hodnoty jeho proměnných, je nepravdivé, pokud dává nepravdivý úsudek pro všechny hodnoty,a není ani pravdivé, ani nepravdivé, pokud dává pravdivé soudy pro některé hodnoty a falešné soudy pro jiné. Poměr skutečné hodnoty / všechny hodnoty pak nazývá Łukasiewicz pravdivou hodnotou neurčité výroky. Pro skutečné neurčité je to 1, pro falešné neurčité je to 0 a pro ostatní je to racionální číslo mezi 0 a 1 (racionální, protože jsou brány v úvahu pouze konečné domény). V našem urnu je pravdivou hodnotou neurčité tvrzení „x je černá koule v této urně“(frac {m} {m + n}). V našem urnu je pravdivou hodnotou neurčité tvrzení „x je černá koule v této urně“(frac {m} {m + n}). V našem urnu je pravdivou hodnotou neurčité tvrzení „x je černá koule v této urně“(frac {m} {m + n}).

Na tomto základě Łukasiewicz rozvíjí počet pravdivých hodnot, ve kterém může řešit logicky složité výroky, podmíněnou pravděpodobnost, pravděpodobnostní nezávislost a odvodit Bayesovu teorém. Matematický počet pravdivých hodnot se používá jako logická teorie pravděpodobnosti, která nám pomáhá v našich jednáních s určitou realitou: Łukasiewicz popírá, že může existovat teorie buď objektivní, nebo subjektivní pravděpodobnosti jako takové. Dva nápady z této krátké, ale pozoruhodné práce stojí za zdůraznění, protože rezonují s pozdějšími nápady Łukasiewicze. Zaprvé, existuje myšlenka, že návrh (v tomto případě neurčitý) není ani pravdivý, ani nepravdivý; za druhé, a s tím související, takové tvrzení, které má numerickou pravdivostní hodnotu řádně mezi 0 (false) a 1 (true). Łukasiewiczova teorie si zaslouží být lépe znám:pokračuje a rozšiřuje dřívější představy o Bolzanu, jeho pravděpodobnost odpovídá jeho poslední platnosti (s ohledem na proměnné komponenty). Jeho hlavní nevýhodou je, že je formulován pouze pro konečné domény.

Ze všech děl Łukasiewicze vydaných před první světovou válkou jeden z nich jasně předjímal jeho pozdější obavy. Jednalo se o monografii z roku 1910 o principu kontradikce v Aristotelu. Znamenalo to zásadní zlom ve vývoji lwowsko-varšavské školy. Pro Łukasiewicze to představovalo první trvalé dotazování předpokladů tradiční aristotelské logiky.

Łukasiewicz představuje projekt své monografie, kritické zkoumání legitimity principu kontradikce (PC), jak jej různě formuloval Aristoteles, v souvislosti s jeho kritikou Hegela a příležitost znovu přezkoumat PC ve světle vývoj matematické logiky z Boole do Russella. Zdrojem Łukasiewicze pro postegegovskou diskusi o „logické otázce“jsou Ueberweg, Trendelenburg a Sigwart. Více lokálním pozadím byl pravděpodobně Twardowski popis absolutní a nadčasové povahy pravdy.

Łukasiewicz rozlišuje tři různé, nekvivalentní verze PC v Aristotelu: ontologickou verzi, logickou verzi a psychologickou verzi takto:

Ontologický (OPC): Žádný objekt nesmí současně vlastnit a vlastnit stejný majetek.

Logické (LPC): Protichůdná tvrzení nejsou současně pravdivá.

Psychologické (PPC): Nikdo nemůže současně uvěřit protichůdnými věcmi.

Łukasiewicz kritizuje Aristotela, protože na jedné straně tvrdí, že PC nelze prokázat, a na druhé straně se pokouší o nepřímý nebo pragmatický „důkaz“. V částečné shodě s tradicí, podle které PC není základním kamenem nebo základním principem logiky, Łukasiewicz tvrdí, že jeho stav je méně bezpečný než některé jiné logické tvrzení a že jeho funkce má v zásadě sloužit jako pragmatická norma. Nicméně v příloze k knize dává formální odvození jedné verze PC z jiných předpokladů. To ukazuje, že PC je, jako by to byl jen jeden logický teorém mimo jiné, prohlášení, které by dnes vyvolalo několik obočí, ale bylo ve své době docela radikální. Mezi předpoklady použité při odvozování patří verze Zásady bivalence, že každý výrok je buď pravdivý nebo nepravdivý a žádný z nich není obojí,takže odvození PC není přece jen takové překvapení.

Łukasiewicz se později v monografii popsal jako pokus o vymýšlení „nearistotelské logiky“, ale připouští, že neuspěl, hlavně proto, že v této fázi nebyl připraven odmítnout princip bivalence. Může to být Meinongův vliv při práci, když přichází Łukasiewicz, aby v přirozeném jazyce vykreslil symboliku Couturatovy algebry logiky v dodatku. Existuje jen málo nebo vůbec žádná stopa výrokové logiky, kterou by Łukasiewicz měl dělat velmi svou vlastní: vizualizace jsou neohrabaně objektově teoretická: například konstanta „0“, která by mohla být přirozeně konstruována jako konstantní falešná tvrzení (a je tomu tak v pozdějším Łukasiewicze) je vykreslen jako „objekt, který neexistuje“. To je jeden z důvodů, proč se Łukasiewiczova formální práce v dodatku k dílu z roku 1910 jeví relativně archaicky. Zatímco variabilní písmena jako (a, b) atd. „Označují kladná tvrzení“a jejich negace (a ', b') atd. „Označují záporná tvrzení“a v praxi fungují jako výrokové proměnné a jejich negace v moderní výrokové logice, Łukasiewiczovy ztvárnění je zvědavě hybridní: '(a)' je vykresleno jako '(X) obsahuje (a)' a '(a') 'jako' (X) neobsahuje žádné (a) ', zatímco' 1 'označuje' (X) je objekt 'a' 0 'znamená' (X) není objekt '. To vše je velmi zmatené a v žádném případě klasická sentimentální logika v záměru, i když v praxi funguje jako taková.a v praxi fungují jako výrokové proměnné a jejich negace v moderní výrokové logice, jejich vizualizace Łukasiewicze jsou zvědavě hybridní: '(a)' je vykresleno jako '(X) obsahuje (a)' a '(')' jako '(X) neobsahuje žádné (a)', zatímco '1' znamená '(X) je objekt' a '0' znamená '(X) není objekt'. To vše je velmi zmatené a v žádném případě klasická sentimentální logika v záměru, i když v praxi funguje jako taková.a v praxi fungují jako výrokové proměnné a jejich negace v moderní výrokové logice, jejich vizualizace Łukasiewicze jsou zvědavě hybridní: '(a)' je vykresleno jako '(X) obsahuje (a)' a '(')' jako '(X) neobsahuje žádné (a)', zatímco '1' znamená '(X) je objekt' a '0' znamená '(X) není objekt'. To vše je velmi zmatené a v žádném případě klasická sentimentální logika v záměru, i když v praxi funguje jako taková.

I když to samo o sobě není úspěch, kniha ukazuje Łukasiewicze na prahu jeho pozdějších logických průlomů. V roce 1911 ji přečetl mladý Leśniewski, který usiloval o Łukasiewicze, aby dokázal OPC, a který se poprvé představil v roce 1912 na Łukasiewickově prahu slovy: „Já jsem Leśniewski, a přišel jsem vám ukázat důkazy článku I napsal proti vám. “Kniha také obsahuje krátkou diskuzi o Russellově paradoxu, a to bylo čtení, které inspirovalo Leśniewského k tomu, aby se stal logikem, jehož cílem je poskytnout paradox-free logický základ pro matematiku. Kniha podpořila další diskusi v Lwow: Kotarbiński napsal na obranu Aristotelovy myšlenky, diskutované Łukasiewiczem, že prohlášení o budoucích událostech může před událostí mít skutečnou hodnotu a teprve poté získat pouze jednu,zatímco Leśniewski proti tomu napsal a přivedl Kotarbińského ke svému vlastnímu názoru (který souhlasil s dřívějšími názory Twardowského a pozdějšími z Tarski), že pravda je nadčasová, nebo jak ji Leśniewski vyjádřil, věčná i polopřevržená. Łukasiewicz se brzy postavil na stranu dřívějšího Kotarbińského, a tak učinil svůj nejslavnější objev, a to logiku s mnoha hodnotami.

4. Propoziční logika

4.1 Objevy v prozatímní logice

Łukasiewicz narazil na výrokovou logiku, kterou původně následoval po Whiteheadovi a Russellovi, když nazýval „teorii dedukce“, v jejich práci a také v práci Frege. V roce 1921 publikoval Łukasiewicz článek o zúčtování „Dvouhodnotová logika“, ve kterém spojil výsledky v algebru logiky, která řídí dvě pravdivé hodnoty pravdivé a nepravdivé, což stejně jako Frege Łukasiewicz vykládal jako věty nebo výroky označil, ale pro který na rozdíl od Frege zavedl konstantní výrokové symboly „1“a „0“. Měl to v úmyslu jako první část monografie o tříhodnotové logice, která však nebyla nikdy dokončena, pravděpodobně proto, že Łukasiewicz byl nespokojen s poněkud hybridním přístupem, který byl již jeho rychlým vývojem zastaralý. Tento článek je pozoruhodný pro několik inovací. Používá symboliku odvozenou od Couturata a Peirce a představuje myšlenku axiomatického odmítnutí spolu s myšlenkou axiomatického tvrzení, které bylo samozřejmě známo od Frege, Whitehead a Russell. Konstanty „0“a „1“se vyskytují také v tvrzených a odmítnutých vzorcích, což ve skutečnosti vytváří verzi jazykových verzí pravdivých tabulek. Abychom to ukázali, používáme Łukasiewicze pozdější notaci bez závorek (viz doplňkový dokument (Łukasiewiczův Parentéza nebo polský zápis) a jeho symboly '(vdash)' pro tvrzení a '(dashv)' pro odmítnutí, číst jako „tvrdím“a „odmítám“. Prvními principy logiky jsou jednoduše ({ vdash} 1) a ({ dashv} 0), ale pro naznačení tabulky pro implikaci musí být dodržovány zásady: ({ vdash} C00, { vdash} C01, { dashv} C10,{ vdash} C11). Když Łukasiewicz použil výrokové proměnné, kvantifikoval je způsobem Peirce, použitím '(Pi)' pro univerzální a '(Sigma)' pro konkrétní kvantifikátor.

Łukasiewicz a jeho studenti si velmi dobře vytvořili studii výrokových kalkulů: výsledky dosažené mezi lety 1920 a 1930 byly publikovány ve společném článku Łukasiewicze a Tarského z roku 1930, „Untersuchungen über den Aussagenkalkül“. Pokračovaly práce jak na klasických (bivalentních), tak na mnoha hodnotných kalkulech. Nejjasnější a nejúplnější ukázka toho, jak Łukasiewicz ve své zralosti zpracoval klasický výrokový počet, je v jeho učebnici pro studenty z roku 1929, založené na poznámkách z přednášek, Elements of Mathematical Logic. Systém, který sleduje Frege, je založen pouze na implikaci ((C)) a negaci ((N)), s elegantní sadou axiomů

) begin {align} & CCpqCCqrCpr \& CCNppp \& CpCNpq / end {align})

a tři pravidla odvozování: modus ponens, pravidlo jednotného nahrazování vzorců pro výrokové proměnné a pravidlo definitivního nahrazování. Na tomto základě a za použití extrémně komprimovaného lineárního zápisu pro důkazy, které jsou na opačném konci Fregeových důkazů o obsazení vesmíru, Łukasiewicz prokáže kolem 140 věty na pouhých 19 stránkách.

Łukasiewicz, podporovaný a navštěvovaný studenty a kolegy, nejen Tarski, ale také Adolf Lindenbaum, Jerzy Słupecki, Bolesław Sobociński, Mordechaj Wajsberg a další, zkoumal nejen úplný (funkčně úplný) výrokový počet, s různými sadami spojek jako základními, včetně Shefferův funktor D, ale také dílčí počet, zejména čistý implikační počet (založený pouze na C) a čistý ekvivalentní počet (založený pouze na E). Snažili se najít sady axiomů, které splňují řadu normativních kritérií: axiomy by měly být co nejméně, co nejkratší, nezávislé, s co nejmenším počtem primitivů. Nepochybně existoval konkurenční prvek při hledání stále lepších axiomových systémů, zejména ve snaze nalézt jednotlivé axiomy pro různé systémy,a cvičení bylo usmíváno nebo dokonce omezováno jako pouhý „sport“, ale polské zaujetí zlepšujícími se axiomovými systémy bylo hledání logické dokonalosti, ilustrace toho, co Jan Woleński nazval „logikou kvůli logice“. Najednou se domnívalo, že bez nějakého ospravedlnění může soutěžit pouze Polák. Když Tarski jednou poblahopřál americké logikce Emil Post za to, že byl jediným nepolem, který zásadně přispíval k výrokové logice, Post odpověděl, že se narodil v srpnu a jeho matka pocházela z Białystoku. Později měl Łukasiewicz v irském matematikovi Carew Meredith najít hodného nepoláka, který by mohl ve stručnosti svých axiomů překonat i Poláky.ilustrace toho, co Jan Woleński nazval „logikou pro logiku“. Najednou se domnívalo, že bez nějakého ospravedlnění může soutěžit pouze Polák. Když Tarski jednou poblahopřál americké logikce Emil Post za to, že byl jediným nepolem, který zásadně přispíval k výrokové logice, Post odpověděl, že se narodil v srpnu a jeho matka pocházela z Białystoku. Později měl Łukasiewicz v irském matematikovi Carew Meredith najít hodného nepoláka, který by mohl ve stručnosti svých axiomů překonat i Poláky.ilustrace toho, co Jan Woleński nazval „logikou pro logiku“. Najednou se domnívalo, že bez nějakého ospravedlnění může soutěžit pouze Polák. Když Tarski jednou poblahopřál americké logikce Emil Post za to, že byl jediným nepolem, který zásadně přispíval k výrokové logice, Post odpověděl, že se narodil v srpnu a jeho matka pocházela z Białystoku. Později měl Łukasiewicz v irském matematikovi Carew Meredith najít hodného nepoláka, který by mohl ve stručnosti svých axiomů překonat i Poláky. Post odpověděl, že se narodil v Augustowě a jeho matka pocházela z Białystoku. Později měl Łukasiewicz v irském matematikovi Carew Meredith najít hodného nepoláka, který by mohl ve stručnosti svých axiomů překonat i Poláky. Post odpověděl, že se narodil v Augustowě a jeho matka pocházela z Białystoku. Později měl Łukasiewicz v irském matematikovi Carew Meredith najít hodného nepoláka, který by mohl ve stručnosti svých axiomů překonat i Poláky.

Łukasiewicz použil mnoho hodnotných matic k vytvoření nezávislosti logických axiomů v systémech Frege, Russell a dalších. Dokázal úplnost úplných, implikačních a ekvivalentních kalkulů a dokázal, že ekvivalentní počet může být založen na jediném axiomu (EEpqErqEpr), s náhradou a oddělením za ekvivalenci, a dále ukázal, že žádný menší axiom nemůže být jediným axiomem. systému. Tarski v roce 1925 ukázal, že čistý implikační počet může být založen na jediném axiomu, ale řada vylepšení Wajsberga a Łukasiewicze vedla k objevu posledně jmenovaného v roce 1936, že vzorec (CCCpqrCCrpCsp) může sloužit jako jediný axiom a že ne kratší axiom by stačil, i když zveřejnění tohoto výsledku muselo počkat do roku 1948.

4.2 Variabilní prozatímní funktory

Standardní výrokový počet nepoužívá ani kvantifikátory ani variabilní funktory, tj. Funktory na jednom nebo více místech, které přijímají výrokové argumenty, ale které na rozdíl od takových konstantních funktorů jako (N) nebo (C) nemají pevný význam. Takové proměnné funktory fungují jako predikáty predikátové logiky prvního řádu, s výjimkou přijímání spíše výrokových než nominálních argumentů. Přispívají tak k výrazné síle logiky. Leśniewski přidal kvantifikátory i vázané výrokové a funktoriální proměnné k výrokové logice a nazval výslednou teorii prototetickou. Ponechává-li předponované univerzální kvantifikátory tiché, jedná se o protetickou tezi

) begin {zarovnat} a CEpqC / delta p / delta q / end {zarovnat})

kde (delta) je výrokový funktor na jednom místě, ze stejné syntaktické konstanty jako negace nebo nutnost. Tato práce je vyjádřením zákona o prodloužení platnosti pro výrokové výrazy. Pokud jsou (p) a (q) nahrazeny složitými výrazy (x) a (y), lze práci použít k tomu, aby bylo možné definovat definice v implicitním tvaru (C / delta x / delta y).

Pokud je (delta) nahrazena první částí složeného výrazu, např. (Cq) nebo (CCq0), pak jednoduše připojte proměnnou, jako je (p), abyste dostali (Cqp), (CCq0p), je jednoduché. Pokud však „mezera“, kam má proměnná jít, není na konci, jako je (Cpq), nebo pokud má být proměnná vložena vícekrát, jako (CCp0p), bude tento jednoduchý postup nahrazení nefunguje. Leśniewski obešel problém zavedením pomocných definic, které manévrovaly požadovaný variabilní slot do správné polohy s jediným výskytem. Ale Łukasiewicze považoval tento postup za neintuitivní a zbytečný. Upřednostňoval - což ve skutečnosti odráží Fregeovu praxi - umožnit jakýkoli kontext, ve kterém je jediná výroková proměnná volná, aby sloužila jako náhrada funktoru, jako je (delta),a označte místa, kam měl být argument z (delta) vložen apostrofem, tak v našich příkladech (C / apos q), (CC / apos 0 / apos). Tato liberálnější „substituce apostrofem“umožňuje, aby definice dostaly uspokojivě jednoduchou implikační formu. Například v propozičním počtu založeném na implikaci a výrokové konstantě 0 lze negaci definovat jednoduše pomocí (C / delta Np / delta Cp0). Použití variabilních funktorů s liberální substitucí umožňuje překvapivě komprimované a elegantní formulace řady principů výrokové logiky, například princip bivalence ve forměTato liberálnější „substituce apostrofem“umožňuje, aby definice dostaly uspokojivě jednoduchou implikační formu. Například v propozičním počtu založeném na implikaci a výrokové konstantě 0 lze negaci definovat jednoduše pomocí (C / delta Np / delta Cp0). Použití variabilních funktorů s liberální substitucí umožňuje překvapivě komprimované a elegantní formulace řady principů výrokové logiky, například princip bivalence ve forměTato liberálnější „substituce apostrofem“umožňuje, aby definice dostaly uspokojivě jednoduchou implikační formu. Například v propozičním počtu založeném na implikaci a výrokové konstantě 0 lze negaci definovat jednoduše pomocí (C / delta Np / delta Cp0). Použití variabilních funktorů s liberální substitucí umožňuje překvapivě komprimované a elegantní formulace řady principů výrokové logiky, například princip bivalence ve forměnapříklad princip bivalence ve forměnapříklad princip bivalence ve formě

) begin {zarovnat} & C / delta 0C / delta C00 / delta p / end {zarovnat})

který lze číst jako „pokud něco platí pro falešný výrok, pak pokud to platí pro pravý výrok, platí to o kterémkoli výroku“(C 00 je skutečný výrok). Nejvyšší úspěchy komprese pomocí variabilních funktorů byly provedeny Meredithem, který ukázal, že celá klasická výroková logika s variabilními funktory může být založena na jediném axiomu

) begin {zarovnat} & C / delta pC / delta Np / delta q. / end {zarovnat})

Více překvapivě, v roce 1951 Meredith ukázal, že celý bivalentní výrokový počet s kvantifikátory a variabilními funktory lze odvodit pomocí jednoduchých axiomatických vzorců pomocí substitučních, oddělovacích a kvantifikačních pravidel.

) begin {zarovnat} & C / delta / delta 0 / delta str. / end {zarovnat})

Łukasiewicz obdivoval tento čin jako „mistrovské dílo umění dedukce“.

4.3 Intuitionistická logika

Łukasiewicz se zajímal o intuicionistickou logiku, v neposlední řadě proto, že stejně jako jeho vlastní odmítl zákon vyloučeného středu. V pozdním článku publikovaném v roce 1952 dal elegantní axiomatizaci s deseti axiomy, pomocí písmen (F), (T) a (O) pro intuicionistické spojky implikace, konjunkce a disjunkce, v aby se vyhnul střetům způsobeným „konkurencí“pro spojovací prvky, ale zajímavě nechal obvyklou negaci pro oba systémy. Poté ukázal, jak definovat klasickou implikaci jako (NTpNq), formuloval tuto definici pomocí proměnného funktoru jako implikace

) begin {align} & F / delta NTpNq / delta Cpq / end {align})

a prokázalo, že v této verzi je klasická bivalentní logika založená na (C) a (N) obsažena v intuicionistické logice, za předpokladu, že oddělení je omezeno pouze na vzorce (C) - (N). Klasickou konjunkci a disjunkci lze definovat obvyklým způsobem jako (NCpNq) a (CNpq). Tím, že odlišil intuicionistický od klasických spojiv, jeho pohled zvrátil obvyklý názor, že intuicionální výrokový počet je chudší v teorémech než klasický: v Łukasiewicze je to naopak.

5. Mnohohodnotná logika

5.1 Možnost a třetí hodnota

Nejslavnějším úspěchem Łukasiewicze byl jeho rozvoj mnoha ceněné logiky. Tento revoluční vývoj přišel v souvislosti s diskusí o modalitě, zejména o možnosti. Moderní logici, zvyklí na myšlenku modální logiky naroubované na klasickou bivalentní logiku, se to může zdát divné. Podívejme se však na to, jak Łukasiewicz přišel k myšlence. Pokud (p) je nějaký návrh, nechte (Lp) upozornit, že je nutné, aby (p) a (Mp) bylo možné, že (p). Oba modální operátory jsou spojeny obvyklou ekvivalencí (ENLpMNp). Každý akceptuje implikace (CLpp) a (CpMp). Łukasiewicz předpokládá, že člověk přijímá i obrácené implikace (CpLp) a (CMpp), jak by to bylo z deterministického hlediska. To dává ekvivalenci (EpLp) a (EpMp), které účinně sbírají modální rozdíly. Nyní přidejte myšlenku, že možnost je oboustranná: pokud je něco možné, pak je to i její negace: (EMpMNp). Z toho okamžitě vyplývá, že (EpNp), a to je paradoxní ve dvouhodnotové logice. Cesta, jak to zobrazuje Łukasiewicz, je rozebrat modální rozdíly, nikoli odmítnutím kteréhokoli z výše uvedených principů, ale nalezením případu, kde (EpNp) je pravda. My bavíme myšlenku, že výrok (Mp) je pravdivý, když (p) není ani pravdivý, ani nepravdivý. Kromě pravdivých hodnotne odmítnutím kterékoli z výše uvedených zásad, ale nalezením případu, kde (EpNp) je pravda. My bavíme myšlenku, že výrok (Mp) je pravdivý, když (p) není ani pravdivý, ani nepravdivý. Kromě pravdivých hodnotne odmítnutím kterékoli z výše uvedených zásad, ale nalezením případu, kde (EpNp) je pravda. My bavíme myšlenku, že výrok (Mp) je pravdivý, když (p) není ani pravdivý, ani nepravdivý. Kromě pravdivých hodnot true (1) a false (0), dovolte pak třetí možnou hodnotu, kterou píšeme '(tfrac {1} {2})', takže když (p) není ani true, ani false, je to možné, a tak je to i jeho negace (Np), protože kdyby (Np) byly pravdivé, (p) by bylo nepravdivé, a naopak. Pokud je (Epq) pravdivé, když (p) a (q) mají stejnou hodnotu pravdy, pak když (p) je možné (píšeme '(tval {p})' pro pravdivou hodnotu (p), takže (tval {p} = / tfrac {1} {2})) máme

) begin {zarovnat} a / tval {EpNp} = / tval {E / tfrac {1} {2} tfrac {1} {2}} = 1 / end {zarovnat})

To je s malými změnami způsob, jakým Łukasiewicz představuje třetí hodnotu ve svém prvním publikovaném příspěvku na toto téma, který nese název „O konceptu možnosti“. Tento krátký příspěvek je založen na přednášce, která proběhla 5. června 1920 ve Lwowě. O dva týdny později byla druhá řeč na stejném místě transparentněji nazvaná „On Three-Valued Logic“. V tomto Łukasiewicz stanoví zásady upravující implikaci a rovnocennost zahrnující třetí hodnotu. Ty ve skutečnosti určují tabulky pravdivosti ^[2] pro tyto spojnice:

(C) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ 1 1 ½ 0 1 1 1

(E) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ ½ 1 ½ 0 0 ½ 1

Spolu s předpokládanými definicemi negace, spojování a disjunkce jako

) begin {align} Np & = Cp0 \\ Apq & = CCpqq \\ Kpq & = NANpNq / end {align})

to dává pravdivé tabulky pro tyto spojky jako

(N) 1 0 ½ ½ 0 1

(A) 1 ½ 0 1 1 1 1 ½ 1 ½ ½ 0 1 ½ 0

(K) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ ½ ½ 0 0 0 0 0

Łukasiewicz hrdě prohlašuje, že „logika se třemi hodnotami má především teoretický význam jako první pokus o vytvoření nearistotelské logiky“(PL, 18; SW, 88). Jaký je jeho praktický význam, myslí si, že bude vidět, a proto musíme „porovnat se zkušenostmi důsledky neurčitého pohledu, který je metafyzickým základem nové logiky“(tamtéž).

5.2 Neurčitosti a třetí hodnota

Tato poslední poznámka odhaluje motivaci Łukasiewicze k nahrazení staré bivalentní logiky novou trivalentní. Bylo to za účelem obrany neurčitosti a svobody. Ve skutečnosti se tento nápad uskutečnil asi před třemi lety. Łukasiewicz, který byl jmenován do administrativního postavení na ministerstvu školství v roce 1918 a chystal se opustit akademický život na dobu neurčitou, vydal 17. března „rozloučenou přednášku“Varšavské univerzitě, v níž dramaticky oznámil, „ Vyhlásil jsem duchovní válku proti veškerému donucení, které omezuje svobodnou tvůrčí činnost člověka. “Logickou podobou tohoto nátlaku podle Łukasiewicze byla aristotelská logika, která omezovala výroky na pravdivé nebo nepravdivé. Jeho vlastní zbraní v této válce byla logika se třemi hodnotami. Připomíná svou monografii z roku 1910 a poznamenává, že:

Dokonce i pak jsem se snažil postavit nonaristotelskou logiku, ale marně. Teď věřím, že se mi to podařilo. Moje cesta mi byla naznačena antinomiemi, což dokazuje, že v Aristotelově logice je mezera. Naplnění této mezery mě vedlo k transformaci tradičních principů logiky. Zkoumání tohoto problému bylo předmětem mých posledních přednášek. Dokázal jsem, že kromě pravdivých a falešných výroků existují i možné výroky, kterým objektivní možnost odpovídá třetině kromě bytí a nebytí. Tím vznikl systém logiky se třemi hodnotami, který jsem detailně vypracoval minulé léto. Tento systém je stejně soudržný a soběstačný jako Aristotelova logika a je mnohem bohatší v zákonech a vzorcích. Tato nová logika zavedením konceptu objektivní možnostiničí bývalý koncept vědy založený na nezbytnosti. Možné jevy nemají žádné příčiny, i když samy o sobě mohou být začátkem kauzální sekvence. Akt kreativního jednotlivce může být svobodný a zároveň ovlivňovat běh světa. (SW, 86)

Protože Łukasiewicz byl zapojen do vlády až do konce roku 1919, trvalo až do roku 1920, než byly jeho objevy z roku 1917 odhaleny širší akademické veřejnosti. Łukasiewicz se 16. října 1922 vrátil k determinismu pro svou úvodní přednášku jako rektor Varšavské univerzity. Tato přednáška, dodaná bez poznámek, ale později napsaná, byla až do roku 1946 přepracována, i když ne v podstatných rysech. posmrtně v roce 1961 jako „O determinismu“. Odlišující logiku od kauzálního determinismu Łukasiewicz tvrdí, že pokud je predikce budoucí kontingentní události, jako je akce, pravdivá v době předpovědi, musí k ní dojít, takže jediným způsobem, jak zachránit svobodu jednání agenta, je popřít že predikce je pravdivá, a místo toho jí přiřaďte třetí pravdivostní hodnotu možnosti.

Tady není místo, kam se dostat do problémů s Łukasiewiczem argumentací. Postačí, když řekneme, že deterministé nemusí akceptovat princip EpLp a že jiní logici, kteří uvažovali o přidání třetí hodnoty k logice, jako například (bez vědomí Łukasiewicze) Williama z Ockhama, dospěli k závěru, že neexistuje důvod k odmítnutí bivalence, zatímco prosazování svobody. A to ani bez zvážení kompatibility.

5.3 Více než tři hodnoty

Jakmile bylo kouzlo bivalence přerušeno, přirozeným dalším krokem bylo zvážit logiku s více než třemi hodnotami. V roce 1922 Łukasiewicz naznačil, jak dávat pravdivé tabulky pro standardní spojky v systémech s konečně nebo nekonečně mnoha hodnotami pravdy, podle následujících principů, kde hodnoty pravdy jsou čísla v intervalu [0,1]:

) begin {align} tval {Cpq} & = / begin {cases} 1, & / text {if} tval {p} le / tval {q} (1 - / tval {p}) + / tval {q}, & / text {if} tval {p} gt / tval {q} end {cases} / \ tval {Np} & = 1 - / tval {p} end {zarovnán })

Při navrhování logiky s nekonečně mnoha hodnotami byl tedy Łukasiewicz vynálezcem toho, co bylo mnohem později (přesněji o 43 let později) nazváno „fuzzy logika“. Łukasiewicz psal o těchto systémech v roce 1930

od začátku mi bylo jasné, že mezi všemi systémy s mnoha hodnotami mohou jen dva uplatňovat jakýkoli filosofický význam: systém se třemi hodnotami a systémy s nekonečnou hodnotou. Pokud jsou hodnoty jiné než „0“a „1“interpretovány jako „možné“, lze rozumně rozlišit pouze dva případy: buď jeden předpokládá, že nedochází ke změnám ve stupních možných, a v důsledku toho dochází k systému se třemi hodnotami.; nebo jeden předpokládá opak, v tom případě by bylo nejpřirozenější předpokládat, jako v teorii pravděpodobnosti, že existuje nekonečně mnoho stupňů možnosti, což vede k nekonečně hodnotnému výrokovému počtu. Věřím, že tento systém je výhodnější než všechny ostatní. Tento systém bohužel dosud nebyl dostatečně prozkoumán;na další šetření čeká zejména vztah nekonečného systému hodnot k počtu pravděpodobností. “(SW, 173)

Tento filozofický přístup budeme diskutovat níže.

5.4 Axiomy a definice

Jakmile byl zaveden pravo-tabulkový nebo maticový přístup k mnoha hodnotné logice, bylo přirozené zvážit jejich axiomatizaci. Studenti Łukasiewicze v tom pomohli. V roce 1931 Wajsberg axiomatizoval tříhodnotný systém Ł (_ 3) těmito prací

) begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCNpNqCqp \& CCCpNppp / end {align})

Wajsberg také prokázal domněnku Łukasiewicze, že denumerably nekonečně hodnotný systém Ł (_ { aleph_0}) může být axiomatizován

) begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCCpqqCCqpp \& CCCpqCqpCqp \& CCNpNqCqp / end {align})

Žádný z těchto systémů není funkčně úplný: existují spojnice nedefinovatelné pouze na základě C a N. Mezi ty, které jsou definovatelné, je možnost M: již v roce 1921 Tarski ukázal, že ji lze definovat jako CNpp. V roce 1936 Słupecki ukázal, že přidáním funktoru (T) specifikovatelného jako (tval {Tp} = / tfrac {1} {2}) pro všechny hodnoty p, lze všechny spoje definovat v Ł ₃. Chcete-li axiomatizovat tyto funkčně kompletní systém, vzorce

) begin {Zarovnat} a CTpNTp \& CNTpTp / end {Zarovnat})

k Wajsbergovým axiomům.

Adolf Lindenbaum ukázal, že Ł (_ n) je obsaženo v Ł (_ m) ((n / lt m)) pouze tehdy, pokud (n - 1) je dělitelem (m - 1)), takže pokud ani jeden z nich nerozděluje, jejich příslušné tautologie se správně překrývají, ale žádný soubor není obsažen ve druhém. Tautologie nekonečného systému Ł (_ { aleph_0}) jsou obsaženy v tautologiích všech systémů s konečnou hodnotou.

5.5 Druhé myšlenky na modalitu: Systém Ł

Od roku 1917 byl Łukasiewicz spokojen s logikou se třemi hodnotami, protože formuloval adekvátní představy o modalitě, se známou preferencí pro systém s nekonečnou hodnotou jako optimálně přesný. Někdy, asi v letech 1951–52, když pracoval na Aristotelově modální logice, Łukasiewicz změnil názor. Existuje řada důvodů, které stojí za změnou mysli, ale nejjednodušší je identifikovat Łukasiewicze, že v Ł (_ 3) existují věty o tvaru (L / alfa), například (LCpp). Proč by to mělo být znepokojení, vzhledem k tomu, že většina „standardní“modální logiky uznává zásadu, že pokud (alfa) je věta, tak je to (L / alfa)? Łukasiewicz uvádí dva příklady ospravedlnění obav. Pokud ({=} ab) je tvrzení, že (a) je totožné s (b), pak založíme identitu na dvou axiómech sebezidentity a extility

) begin {align} & {=} aa \& C {=} abC { phi} a { phi} b / end {align})

pak instancování (L {=} a / apos) pro (phi) dává

) begin {align} & C {=} abCL {=} aaL {=} ab / end {align})

a pokud přijmeme (L {=} aa), jsme nuceni dojít k závěru, že (L {=} ab), které Łukasiewicz považuje za nepravdivé (SW 392, AS 171), cituje Quineův (1953) příklad (nyní zastaralý, protože se číslo změnilo), že i když je pravda, že 9 = počet planet, nemusí to nutně být pravda, i když nutně 9 = 9. Duálně máme

) begin {zarovnat} a CMN {=} abN {=} ab / end {zarovnat})

to znamená, pokud (MN {=} ab), pak (N {=} ab). Předpokládejme však, že a je nahrazeno „číslem vyvoleným při tomto hodu této zemřít“a b „číslem vyvoleným při příštím hodu této zemřít“může být předchůdce pravdivý a následné nepravdivé.

V důsledku mnoha následných diskusí o takových příkladech Quine, Kripke a dalších jsou tyto příklady stěží přesvědčivé, ale existuje ještě obecnější důvod, proč Łukasiewicz odmítá potřeby jako věty:

to je obyčejně si myslel, že apodeictic propozice mají vyšší důstojnost a být spolehlivější než odpovídající asertoric. Tento důsledek není pro mě v žádném případě zřejmý. […] Mám sklon si myslet, že všechny systémy modální logiky, které akceptují tvrzené apodiktické výroky, jsou chybné. (SW 395-6).

Protože (LCpp) je věta o všech systémech mnohdy hodnotné logiky, musel Łukasiewicz přijít s něčím novým. Udělal to ve svém článku z roku 1953 „Systém modální logiky“.

Łukasiewicz začíná referát stanovením podmínek, které musí modální logika splňovat. Patří sem axiomatická odmítnutí a tvrzení:

) begin {zarovnat} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp \& / vdash CLpp \& / dashv CpLp \& / dashv NLp \& / vdash EMpNLNp \& / vdash ELpNMNp / end {zarovnat})

Aby získal systém modální logiky respektující rozšiřitelnost pro výrokové funktory, Łukasiewicz bere Meredithův axiom pro výrokový počet (C) - (N) - (delta)

) begin {zarovnat} & / vdash C / delta pC / delta Np / delta q / end {zarovnat})

a přidá ještě jedno axiomatické tvrzení a dvě axiomatické odmítnutí

) begin {align} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp / end {align})

spolu s pravidly nahrazení a oddělení pro tvrzení i odmítnutí pro získání jeho logiky. Zásady prosazování jsou jako obvykle, zatímco zásady pro odmítnutí jsou:

(dashv) Substitution: Jakýkoli vzorec, který má zamítnutou substituční instanci, je odmítnut.

(dashv) Odpojení: Pokud je uplatněno (Cab) a (b) je odmítnuto, (a) je odmítnuto.

Z nich může odvodit všechny požadované principy a prodlužování.

Toto je logika Ł. Na rozdíl od standardní modální logiky má konečnou charakteristickou matici takto: kde jako Łukasiewicz nyní nahradíme '(M)' novým symbolem '(Delta)', 1 jako určenou (true) hodnotu a 4 antidesignovaná (falešná) hodnota:

(C)	1	2	3	4	(N)	({Delta})
1	1	2	3	4	4	1
2	1	1	3	3	3	1
3	1	2	1	2	2	3
4	1	1	1	1	1	3

Matici dokázali Smiley v roce 1961 jako charakteristické. Funktory nezbytnosti ((Gamma)) a spojení jsou definovatelné standardním způsobem. Více zajímavě, Łukasiewicz poznamenává, že existuje další operátor operátoru (nabla) s tabulkou pravdivostí také uvedenou níže:

(K)	1	2	3	4	(Gamma)	({ nabla})
1	1	2	3	4	2	1
2	2	2	4	4	2	2
3	1	4	3	4	4	1
4	4	4	4	4	4	2

V izolaci je to nerozeznatelné od (Delta), ale oba operátoři spolu vzájemně reagují různě, zatímco (dashv / Delta / Delta p) a (dashv / nabla / nabla p), oba (vdash / Delta / nabla p) a (vdash / nabla / Delta p). Łukasiewicz je srovnává s dvojčaty, která jsou nerozeznatelná samostatně, ale společně je lze rozeznat. Podobné dvojčata jsou operátorem nezbytnosti (Gamma) a jeho protějškem (s hodnotami 3434) a skutečně dvěma mezilehlými pravdivostními hodnotami 2 a 3.

Logika je velmi odlišná od dřívějších multivalentních systémů Łukasiewicze a také velmi odlišná od ostatních modálních systémů. Na rozdíl od svých vlastních systémů jde o rozšíření klasické bivalentní logiky a zahrnuje všechny bivalentní tautologie. To je méně překvapivé, když si uvědomíme, že čtyřhodnotové matice pro standardní spojky jsou jednoduše kartézským součinem standardních bivalentních matric spolu se sebou. Jsou to modální operátoři, kteří dělají rozdíl. Několik funkcí to činí velmi na rozdíl od standardních modálních systémů. Jedním z nich je naprostý nedostatek jakýchkoli pravd, nemluvě o věcech, formy (Gamma a), v souladu s odmítnutím pravdy „vyšší důstojnosti“Łukasiewiczem. Jiné liché věty jsou:

(vdash CK { Delta} p { Delta} q { Delta} Kpq)

všechny možné návrhy jsou složitelné

(vdash CEpqC { Delta} p { Delta} q), pokud je jedna

(vdash C { Delta} pC { Delta} Np { Delta} q) je-

li jak návrh, tak jeho negace možné, cokoli je

Łukasiewicz si byl vědom mnoha těchto podivných důsledků, ale nadále hájil svůj systém. Přes množství pokusů o pochopení systému se obecně dospělo k závěru, že kvůli těmto zvláštnostem to ve skutečnosti není systém modální logiky. Pokud pro to existuje jeden dominantní důvod, je to Łukasiewiczovo dodržování zásady rozšiřitelnosti (pravda-funkčnost) dokonce i pro modální operátory, což nutilo jeho účet modality jít multivalentně.

6. Historie logiky

6.1 Stoická prozatímní logika

Třetí úspěch Łukasiewicze, spolu s jeho vyšetřováním mnohdy hodnotné a výrokové logiky, je jeho prací v historii logiky. Opravdu ho lze rozumně považovat za otce moderního způsobu dějin logiky, který je sledován, aby citoval podtitul své knihy o Aristotelově syllogistu „z hlediska moderní formální logiky“. Viděli jsme, že jeho raná kniha o principu rozporu v Aristotelu byla sama o sobě relativně neúspěšná, i když prokazovala jeho schopnost jít do jádra starořeckých textů.

Rozhodující událostí ve vývoji Łukasiewicze jako historika logiky byl jeho objev starověké stoické logiky. Zdá se, že zkoumal disertační práci na Stoics a připravoval se na ni, četl původní texty. Poté zjistil, že stoická logika, na rozdíl od tehdejšího standardního názoru, vyjádřeného Prantlem, Zellerem a dalšími, nebyla aristoteliánskou syllogistou bowdlerizovanou a vadnou, ale ranou výrokovou logikou, takže například první stoický nepřekonatelný, „pokud první, pak druhý; ale první, tedy druhý “je prostě modus ponens nebo odloučení podmíněného„ if “a proměnné, reprezentované ne písmeny, ale řadovými číslicemi, jsou výrokové proměnné, nikoli termínové proměnné. Tento názor, který je nyní samozřejmě standardní, poprvé vyjádřil na setkání v Lwowě v roce 1923. Systematičtějším pojetím roku 1934, „O historii logiky výroků“, je nádherná viněta v širokém záběru ze stoiků, starověké spory o význam podmíněnosti, Petrus Hispanus a Ockham o De Morganových zákonech, středověká teorie důsledků a vyvrcholení Frege a moderními výrokovými kalkulemi. Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:„O historii logiky výroků“, je nádherná viněta, která v širokém záběru od stoiků, starověké spory o význam podmíněnosti, Petrus Hispanus a Ockham o De Morganových zákonech, středověká teorie důsledků a vrcholí Frege a moderními výrokovými kalkulemi. Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:„O historii logiky výroků“, je nádherná viněta, která v širokém záběru od stoiků, starověké spory o význam podmíněnosti, Petrus Hispanus a Ockham o De Morganových zákonech, středověká teorie důsledků a vrcholí Frege a moderními výrokovými kalkulemi. Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:starověké spory o smyslu podmíněného, Petrus Hispanus a Ockham o De Morganových zákonech, středověká teorie důsledků a vyvrcholení Frege a moderními výrokovými kalkulemi. Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:starověké spory o smyslu podmíněného, Petrus Hispanus a Ockham o De Morganových zákonech, středověká teorie důsledků a vyvrcholení Frege a moderními výrokovými kalkulemi. Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:Moderní ocenění úspěchů stoické logiky pochází z Łukasiewiczova vysvětlení a jeho neochvějné chvály ke stoikům, zejména Chrysippusovi. Łukasiewicz ocenil, že Prantl neměl výhodu poznání post-fregejské logiky, a to i přes Prantlovo chybné odmítnutí „hlouposti“mnoha stoických logik přinášelo přinejmenším užitečné zdroje. Nicméně Łukasiewiczův rozsudek o minulých historikech logiky děsí:úsudek o minulých historikech logiky je děsivý:úsudek o minulých historikech logiky je děsivý:

Dějiny logiky musí být psány znovu a historik, který má důkladné znalosti moderní matematické logiky. Cenné jako Prantlovo dílo je jako kompilace zdrojů a materiálů, z logického hlediska je to prakticky bezcenné […] V dnešní době nestačí být pouhým filosofem, aby mohl vyjádřit svůj názor na logiku. (SW, 198)

6.2 Aristoteles

V Łukasiewicze v logické učebnici z roku 1929 po zpracování výrokového počtu nepokračuje, jak by se dnes dalo, vykládat predikátovou logiku, ale stručně formálně popisuje Aristotelovu kategorickou (nemodální) sylogologii, která předpokládá dvanáct věty výrokového počtu. Toto předznamenalo jeho knihu z roku 1951, Aristotelovu Syllogistic, o 22 let. Tato kniha, která revolucionizovala studium Aristotelovy logiky, měla dlouhou a přerušenou genezi. Přednáška na téma uvedená v Krakově v roce 1939 vyšla v polštině až v roce 1946. V roce 1939 Łukasiewicz připravil polskou monografii, ale částečné důkazy a rukopisy byly zničeny při bombardování Varšavy. V roce 1949 byl pozván na přednášku o Aristotelově syllogistovi na University College Dublin a tyto přednášky tvořily základ knihy,dokončen v roce 1950 a publikován následující rok, jeho první v angličtině. První vydání se zabývalo pouze kategorickými syllogisty. Pro druhé vydání, dokončené v roce 1955, méně než rok před jeho smrtí, Łukasiewicz přidal tři kapitoly o modální syllogistice, přičemž využil modální logiku that, kterou mezitím rozvinul. Druhé vydání bylo korektně přečteno a indexováno Lejewským a objevilo se v roce 1957.

Łukasiewiczovo chápání Aristotelovy syllogistic je založeno na dvou specifických interpretačních principech a obecném přístupu. Prvním principem je, že Aristotelovy syllogismy nejsou, jak se tradičně předpokládalo, inferenční schémata ve formě „p, q, tedy r“, ale podmíněné výroky v podobě „pokud p a q, pak r“. To přímo vede k druhému principu, který spočívá v tom, že za syllogistickým pojetím pojmu logika je hlubší logika, logika propozic, a zejména logika opozice, „a“a „pokud“, jakož i (modálně) syllogistic) „nutně“a „možná“. Łukasiewicz využívá tohoto výrokového základu, aby jej Aristoteles občas uplatnil, například při zpracování nepřímých důkazů, ale z velké části zůstal jako tichý,a proto považuje za legitimní kritizovat Aristotela (na rozdíl od stoiků) za to, že výslovně neformuloval základní výrokovou logiku. Łukasiewicze zákopnické a kontroverzní názory vyvolaly polemiku o tom, jak interpretovat syllogistic. Zatímco principy v Patzigu (1968) brzy získaly, následné kritiky Corcoranem (1972, 1974) a nezávisle Smiley (1974) jasně prokázaly, že syllogismy nejsou výroky, ale závěry, a že Aristoteles nepotřeboval předchozí logika propozic. Tento názor je nyní mezi vědci Aristotelovy logiky univerzální. Ve zpětném pohledu se zdá, že Łukasiewicz chtěl Aristotelesovi přiblížit svůj vlastní (Fregeanův) pohled na logiku jako na systém teorémů založených na výrokové logice.

Obecný přístup, který je přítomen po celou dobu Łukasiewicze, spočívá v tom, že Aristotelova práce je dostatečně přesná a postavená, aby zaručovala a odolávala expozici pomocí nejpřísnějších moderních logických metod a konceptů. Jinými slovy, vývoj moderní logiky, i když může zdůraznit mezery a deficity Aristotelovy logiky, ve skutečnosti přináší své zásluhy, inovace a genialitu jasněji než předchozí tradiční nebo filologická studia. Łukasiewiczův postoj zvítězil a nyní je všudypřítomný mezi těmi, kdo studují Aristotelovu logiku, ať už souhlasí s jeho konkrétními interpretačními principy.

Po výkladu základů Aristotelova zacházení se syllogisty, ve kterém kritizuje dřívější komentátory a poznamenává, že Aristoteles vznikl metodou odmítnutých forem, aby ukázal nejen, které jsou platné syllogismy, ale také prokázal, že takové neplatné formy jsou, Łukasiewicz prezentuje svou formalizaci kategorického syllogistu na základě následujících logických výrazů

Výraz	Význam
(Aab)	Vše (a) je (b) (nebo (b) patří všem (a))
(Eab)	Ne (a) je (b) (nebo (b) patří k no (a))
(Iab)	Některý (a) je (b) (nebo (b) patří některým (a))
(Oab)	Některá (a) není (b) (nebo (b) nepatří k některým (a))

Bereme-li (A) a (I) jako primitivní a definujeme (E = NI) a (O = NA), jsou axiomy přidané do výrokového počtu

(vdash Aaa)
(vdash Iaa)
(vdash CKAbcAabAac)	(Barbara na prvním obrázku)
(vdash CKAbcIbaIac)	(Datisi na druhém obrázku)

spolu s modus ponens a substitučním pravidlem pro proměnné termínu. Ve skutečnosti to byl systém, který Łukasiewicz uvedl ve své učebnici z roku 1929. Jak ukazuje druhá axiom, Łukasiewicz sleduje Aristoteles za předpokladu, že všechny výrazy označují. Odmítnuté formuláře lze přidat: Łukasiewicz dává z druhého obrázku

) begin {align} & / dashv CKAcbAabIac & / text {and} & / dashv CKEcbEabIAc & / end {align})

které společně s odtržením a náhradou za odmítnutí dodávají všech 232 odmítnutých nálad Aristotela. Łukasiewiczův výrok o Aristotelově kategorickém syllogistu je, že navzdory své úzkosti je to „systém, jehož přesnost převyšuje i přesnost matematické teorie, a to je jeho věčná zásluha“. (AS, 131)

Naproti tomu modální syllogistika je podle Łukasiewicze málo studovaná, protože klesá výrazně pod standardy dokonalosti kategorické, a protože chybí „všeobecně přijatelný systém modální logiky“, který Łukasiewicz bere s Ł, nyní k dispozici. Vlastní zacházení Łukasiewicze nestačí definitivnímu, i když poskytuje materiál pro pozdější studium, a nebudeme zde pokračovat. Zajímavé je, že při pokusech Aristotela v knize I, kapitole 15 předchozí analýzy, byly provedeny teze

) begin {Zarovnat} a CCpqCLpLq \& CCpqCMpMq / end {Zarovnat})

Łukasiewicz vidí aristotelskou podporu myšlenky principu rozšiřitelnosti jak pro modální operátory, tak i pro kategorické operátory.

7. Filozofické pozice

Ve své rané filosofii je nejvýznamnějším a nejvlivnějším postavením zaujatým Łukasiewiczem jeho anti-psychologismus v logice. Toto bylo ovlivněno Frege, Husserl a Russell. To se terminologicky projevilo tím, že Łukasiewicz nahradil tradiční termín sąd (rozsudek), používaný Twardowskim, výrazem zdanie (věta). Tuto změnu perspektivy a terminologie přijali masově další polští logici. Po roce 1920 Łukasiewicz ve svých prohlášeních týkajících se filozofie a filozofických problémů velmi šetří. Jeho trvalý závazek k neurčitosti jsme zaznamenali. Jeho hlavní komentáře a ve skutečnosti jsou vyhrazeny pro ty, kteří kritizují místo matematické logiky (nebo logistické, jak bylo tehdy známo) ve filozofii a myšlení obecně. Zjistil určité konvergence v metodě a stylu mezi Lwów-Varšavskou školou a vídeňským kruhem, kritizoval je však za jejich konvenčnost a odmítnutí všech metafyzik a za jejich pokus proměnit podstatné problémy v lingvistické. Navzdory své abstraktnosti není logika od reality oddělena více než jakákoli jiná věda a je nucena přizpůsobit se aspektům světa. Bylo to jeho přesvědčení, že determinismus byl nepravdivý, což vedlo k jeho odmítnutí bivalentní logiky. Zatímco si udržoval metafyzickou neutralitu logiky, později ve 30. letech připustil, že zatímco dříve byl nominantem, nyní platonistou. Zdroj tohoto přesvědčení je uveden na konci jeho polemiky „Na obranu logistiky z roku 1937“:ale kritizoval posledně jmenované za jejich konvenčnost a odmítnutí veškeré metafyziky a za jejich pokus proměnit podstatné problémy v jazykové. Navzdory své abstraktnosti není logika od reality oddělena více než jakákoli jiná věda a je nucena přizpůsobit se aspektům světa. Bylo to jeho přesvědčení, že determinismus byl nepravdivý, což vedlo k jeho odmítnutí bivalentní logiky. Zatímco si udržoval metafyzickou neutralitu logiky, později ve 30. letech připustil, že zatímco dříve byl nominantem, nyní platonistou. Zdroj tohoto přesvědčení je uveden na konci jeho polemiky „Na obranu logistiky z roku 1937“:ale kritizoval posledně jmenované za jejich konvenčnost a odmítnutí veškeré metafyziky a za jejich pokus proměnit podstatné problémy v jazykové. Navzdory své abstraktnosti není logika od reality oddělena více než jakákoli jiná věda a je nucena přizpůsobit se aspektům světa. Bylo to jeho přesvědčení, že determinismus byl nepravdivý, což vedlo k jeho odmítnutí bivalentní logiky. Zatímco si udržoval metafyzickou neutralitu logiky, později ve 30. letech připustil, že zatímco dříve byl nominantem, nyní platonistou. Zdroj tohoto přesvědčení je uveden na konci jeho polemiky „Na obranu logistiky z roku 1937“:a je nuceno přizpůsobit se aspektům světa. Bylo to jeho přesvědčení, že determinismus byl nepravdivý, což vedlo k jeho odmítnutí bivalentní logiky. Zatímco si udržoval metafyzickou neutralitu logiky, později ve 30. letech připustil, že zatímco dříve byl nominantem, nyní platonistou. Zdroj tohoto přesvědčení je uveden na konci jeho polemiky „Na obranu logistiky z roku 1937“:a je nuceno přizpůsobit se aspektům světa. Bylo to jeho přesvědčení, že determinismus byl nepravdivý, což vedlo k jeho odmítnutí bivalentní logiky. Zatímco si udržoval metafyzickou neutralitu logiky, později ve 30. letech připustil, že zatímco dříve byl nominantem, nyní platonistou. Zdroj tohoto přesvědčení je uveden na konci jeho polemiky „Na obranu logistiky z roku 1937“:

kdykoli pracuji i na nejméně závažném logistickém problému, například když hledám nejkratší axiom výrokového počtu, vždy mám dojem, že čelím silné, nejucelenější a nejodolnější struktuře. Cítím tu strukturu, jako by to byl beton, hmotný předmět, vyrobený z nejtvrdšího kovu, stokrát silnější než ocel a beton. V tom nemohu nic změnit; Nevytvářím nic z vlastní vůle, ale namáhavou prací v ní objevuji stále nové detaily a dospívám k neotřesitelným a věčným pravdám. (SW, 249)

Zřídka byla motivace k platonismu tak výmluvně uvedena.

Ve filozofii logiky bylo jedno z nejhlubších usvědčení Łukasiewicze, které sdílel s ostatními logisty Varšavské školy, že logika musí být extenzivní, že jde o studium kalkulů, nikoli jazykových významů nebo psychologických soudy, ale hodnot pravd, ať už jsou to jen klasické dva nebo více. Jeho názor je, že věty označují pravdivé hodnoty a že logika je věda o takových logických hodnotách, nikoli o větách (což je gramatika) nebo soudech (což je psychologie), nebo o obsahu vyjádřeném propozicemi nebo o objektech obecně (ontologie). Neospravedlňuje tuto pozici, ale pouze ji přijímá a přijímá. Jak jsme viděli, má to pro jeho léčbu modální logiky dalekosáhlé důsledky, což nutí, aby byla mnohokrát oceněna.

Kromě obecného přístupu k vědecké filosofizaci, který pocházel z Twardowského, existuje ještě jeden identifikovatelný zdroj některých dalších Łukasiewiccových filosofických postojů týkajících se logiky, nebo ne-li zdroje, alespoň bodu konvergentního přesvědčení. Jedním je odmítnutí „pravdy“nad obyčejnou pravdou. To vyjde zvláště jasně v modální logice Ł. Druhým je jeho záliba ve stupních možností mezi pravdou (1) a nepravdivostí (0), na rozdíl od nekvantitativního třetího případu možnosti (nebo v Ł twin třetím případě). Přesně podobné rozlišení mezi dvěma druhy možností, „nevyzpytatelnými“, bez stupňů, a „zvýšitelnými“, s nekonečnými stupni, lze nalézt v masivní pojednání Meinonga z roku 1915 Über Möglichkeit und Wahrscheinlichkeit. Jako Łukasiewicz,Meinong nepřiznává propozicím důstojnost nezbytně vyšší než pravdu, a přestože má nejširší ontologii známou filosofii, Meinongova teorie předmětů postrádá objekty popsané jako nezbytné: nikdy se nezmiňuje o Bohu, a ideální předměty, jako jsou čísla, jím přijme, aby přežily, neexistovat nebo nutně existovat. Možná není náhodné, že při návratu do Lwówa po jeho návštěvě ve Štýrském Hradci hovořil Łukasiewicz v roce 1910 o zákonu vyloučeného středu, když dospěl k závěru, že stejně jako zásada rozporu není zásadní a má spíše praktický než logický význam. Domníval se, že selhal u obecných předmětů, jako je trojúhelník obecně, což není rovnostranné ani nerovnostranné. Meinong přijal takové objekty, které nazval „neúplné“, a ve skutečnosti převzal myšlenku od Łukasiewicze 's učitelem Twardowski. Łukasiewicz také považoval aplikaci tohoto principu na skutečné objekty za „spojené s univerzálním determinismem jevů, nejen současných a minulých, ale i budoucích. Kdyby někdo popřel, že všechny budoucí jevy jsou již dnes ve všech ohledech předurčeny, pravděpodobně by nemohl přijmout dotyčný princip. “Semena logiky se třemi hodnotami klíčila již v roce 1910, po návštěvě Grazu.„Semena tříhodnotové logiky klíčila již v roce 1910, po návštěvě Grazu.„Semena tříhodnotové logiky klíčila již v roce 1910, po návštěvě Grazu.

Meinong použil mnoho hodnot zvýšené možnosti, aby vysvětlil pravděpodobnost. Zatímco Łukasiewiczův postup ve své monografii z roku 1913 vycházel z jiné myšlenky, pokračoval v tažení směrem k myšlence, že nekonečná logika by mohla být schopna vrhnout světlo na pravděpodobnost. Nejpozději v roce 1935, když uveřejnil krátký článek o pravděpodobnosti a mnohohodnotné logice od Tarského, věděl, že nejjednodušší přístup, identifikace pravděpodobností s pravdivostními hodnotami mezi 0 a 1, nebude fungovat. Důvod je ten, že kvůli pravděpodobnostní závislosti není pravděpodobnost prodloužená: pokud (p) je tvrzení, že zítra v Dublinu prší a (Np) je jeho negace, pravděpodobnost protichůdné konjunkce (KpNp) je 0, ale pokud má (p) stupeň pravdy (tfrac {1} {2}), tak (Np),a tak (tval {KpNp} = / tfrac {1} {2}) v Ł (_ 3) i Ł (_ { aleph_0}). I přes to, až do roku 1955 Łukasiewicz mohl stále přemýšlet,

Vždycky jsem si myslel, že jen dva modální systémy jsou možný filozofický a vědecký význam: nejjednodušší modální systém, ve kterém je možné považovat za mít žádné stupně vůbec, to je naše čtyři vracející modelový systém, a ℵ ₀ cenil systém ve kterých existuje nekonečně mnoho možností. Bylo by zajímavé tento problém dále prozkoumat, protože zde můžeme najít souvislost mezi modální logikou a teorií pravděpodobnosti. (AS, 180)

8. Dědictví

Łukasiewicz kdysi poněkud neslušně prohlásil, že objev mnohohodnotné logiky je srovnatelný s objevem neeuklidovských geometrií (SW 176). Ať už je jejich význam jakýkoli, Łukasiewiczovy naděje na takovou logiku nebyly realizovány tak, jak očekával. Sémantika a čistá matematika vícehodnotové logiky vzkvétala, což vedlo k vývoji MV-algebras používaných v algebraické sémantice Łukasiewiczovy logiky. Nekonečně cenná nebo fuzzy logika má svou vlastní matematiku a mezi jejími vývojáři je významný český matematický logik Petr Hájek, jehož práce je ovlivněna prací Łukasiewicze. Fuzzy logika se nachází v mnoha praktických aplikacích, kde se používá k řešení neurčitosti, nepřesnosti nebo nedostatku znalostí, ať už jsou stejné nebo odlišné. Ale ŁukasiewiczeŠampionát multivalence v analýze modality byl téměř všeobecně odmítnut a logika modality neúprosně následovala další cesty, většinou bivalentní, nerozšiřující se. Jeho konečná logika Ł odolávala konsensuální interpretaci a je považována za přinejlepším podivnost a v nejhorším slepá ulička.

Vynikající práce, kterou Łukasiewicz a jeho studenti vykonali v logice a metalogii výrokového počtu, polská specialita stále kratších axiomů atd., Nyní patří k minulému hrdinskému věku logistiky. Jeho výsledky byly skutečně vylepšeny pouze příležitostně automatizovanými provizorními teorémy. Na druhé straně důraz na logickou sémantiku, Łukasiewiczovo hojné používání pravdivých hodnot, posunul zájem pryč od axiomatické virtuozity.

V historii logiky otevřely průkopnické studie Łukasiewicze novou a plodnější interakci mezi minulostí a současností a znovuobjevení a nové zhodnocení postav z minulosti logiky „ve světle moderní formální logiky“pokračuje dodnes, i když ne všechny vlastní názory Łukasiewicze na to, jak se přiblížit k Aristotelovi nebo Stoikům, obstály v testu času. Jeho práce také pomohla inspirovat ty historiky logiky z katolické tradice v Krakově, zejména Jan Salamucha a Józef Bocheński, kteří použili moderní metody při zkoumání logických problémů a argumentů z dějin filozofie.

Během rozkvětu varšavské školy, 1920–1939, hrál Łukasiewicz klíčovou roli ve vzdělávání další generace logických vědců a inspiraci je metodami, výsledky a problémy. I myšlenky, které odhodil při cvičení, změnily logiku, například návrh z roku 1929 formalizovat neformální postup dokazování z předpokladů vedl k systému přirozeného dedukce Stanisława Jaśkowského z roku 1934, což je podstatou toho, jak se logika dnes učí hlavně studentům. Válka neodvolatelně přerušila jejich práci. Několik Łukasiewickových nejlepších studentů bylo židovských a bylo zabito v nacistických táborech smrti. Ve svém vyhnanství z Polska po roce 1944 měl Łukasiewicz jen malou příležitost pokračovat v této pedagogické práci a zastával výzkumné postavení v neučitelské instituci v zemi bez logické tradice. Jeho interakce s vrstevníky byly mnohem rozptýlenější, a to hlavně prostřednictvím korespondence. Jedním z významných logiků, kteří v této době spolupracovali s Łukasiewiczem a jejichž práce se protíná s jeho zájmy (čas, modalita, mnohohodnotnost) a postoji (význam logiky pro filosofii), je Arthur Prior, který byl jediným hlavním logikem přijmout polskou notaci a kdo také vynaložil více úsilí než kdokoli ve snaze najít věrohodnou interpretaci pro systém Ł. Je také spravedlivé říci, že z hlavních postav varšavských logiků Łukasiewicze věnovali nejméně pozornosti komentátoři a historici. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava. Jedním z významných logiků, kteří v této době spolupracovali s Łukasiewiczem a jejichž práce se protíná s jeho zájmy (čas, modalita, mnohohodnotnost) a postoji (význam logiky pro filosofii), je Arthur Prior, který byl jediným hlavním logikem přijmout polskou notaci a kdo také vynaložil více úsilí než kdokoli ve snaze najít věrohodnou interpretaci pro systém Ł. Je také spravedlivé říci, že z hlavních postav varšavských logiků Łukasiewicze věnovali nejméně pozornosti komentátoři a historici. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava. Jedním z významných logiků, kteří v této době spolupracovali s Łukasiewiczem a jejichž práce se protíná s jeho zájmy (čas, modalita, mnohohodnotnost) a postoji (význam logiky pro filosofii), je Arthur Prior, který byl jediným hlavním logikem přijmout polskou notaci a kdo také vynaložil více úsilí než kdokoli ve snaze najít věrohodnou interpretaci pro systém Ł. Je také spravedlivé říci, že z hlavních postav varšavských logiků Łukasiewicze věnovali nejméně pozornosti komentátoři a historici. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava.mnohohodnotnost) a postoje (význam logiky pro filosofii) je Arthur Prior, který byl jediným hlavním logikem, který přijal polskou notaci, a který také vynaložil více úsilí než kdokoli ve snaze najít věrohodnou interpretaci systému Ł. Je také spravedlivé říci, že z hlavních postav varšavských logiků Łukasiewicze věnovali nejméně pozornosti komentátoři a historici. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava.mnohohodnotnost) a postoje (význam logiky pro filosofii) je Arthur Prior, který byl jediným hlavním logikem, který přijal polskou notaci, a který také vynaložil více úsilí než kdokoli ve snaze najít věrohodnou interpretaci systému Ł. Je také spravedlivé říci, že z hlavních postav varšavských logiků Łukasiewicze věnovali nejméně pozornosti komentátoři a historici. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava. Łukasiewicz získal nejméně pozornosti od komentátorů a historiků. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava. Łukasiewicz získal nejméně pozornosti od komentátorů a historiků. O Łukasiewicze je relativně méně monografií a článků než o jiných významných osobnostech školy Lwów – Varšava.

Navzdory takovým zklamáním mu Łukasiewiczovy úspěchy a vynálezy zajišťují trvalé a čestné místo v historii matematické a filozofické logiky. Łukasiewicz byl oprávněně hrdý na význam, kterého dosáhli polští logici mezi válkami, a plně si zaslouží jeho vzpomínku na jednu ze čtyř soch prominentních členů Lwów – Varšavy Adama Myjka při vstupu do varšavské univerzitní knihovny.

Bibliografie

Obecné poznámky

Názvy byly dány v jejich původním jazyce, v případě kusů původně v polštině následoval název jakéhokoli publikovaného anglického překladu, pokud existuje, nebo náš anglický překlad, pokud žádný neexistuje. Bibliografie Łukasiewicze publikovaných spisů není úplná, protože velké množství jeho publikovaných děl sestává z jednostránkových nebo dvoustránkových shrnutí nebo abstraktů rozhovorů na různých místech, jako tomu bylo v té době v polské praxi. Takového druhu byly zahrnuty pouze ty, které jsou důležité pro vývoj Łukasiewicze nebo výklad jeho názorů. Překlady do jiných jazyků než angličtiny nebyly zahrnuty, až na jednu výjimku, monografie z roku 1910 o Aristotelu.

Komplexní bibliografie v polštině, sestavená redaktorem Jacekem Juliuszem Jadackim, je publikována ve sbírce Logika i Metafizyka (1998), která dotiskne většinu ukukiewiczových esejů, spolu s řadou mimořádně zajímavých projevů, recenzí a výňatků z korespondence, životopisného chronologie a velké množství fotografií.

Zkratky

• (AS) Aristotelesova Syllogistka z hlediska moderní formální logiky, 2. vydání.
• (PF) Przegl ± d Filozoficzny
• (PL) Polish Logic, 1920–1939, ed. S. McCall.
• (PWN) Państwowe Wydawnictwo Naukowe
• (RF) Ruch Filozoficzny
• (SW) Selected Works, ed. L. Borkowski.
• (Z) Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane, ed. J. Słupecki.

Primární zdroje: Díla Łukasiewicze

Sbírky

• Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma wybrane. [Témata v logice a filozofii. Vybrané spisy], ed. J. Słupecki. Varšava: PWN, 1961.
• Selected Works, ed. L. Borkowski. Amsterdam: North-Holland, 1970.
• Logika i Metafizyka. Různé. [Logika a metafyzika. A Miscellany], ed. JJ Jadacki. Varšava: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1998.
• Pamiętnik. [Deník], ed. JJ Jadacki a P. Surma. Varšava: Wydawnictwo Naukowe Semper, 2013. [Obsahuje deníkové záznamy od Łukasiewicze a řadu náhodných kusů životopisné poznámky od něj a dalších.]

Monografie

• O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa, Studium krytyczne. [O principu kontradikce v Aristotelu. Kritická studie.] Kraków: Akademia Umiejętności, 1910. 2. vydání, ed. J. Woleński, Varšava: PWN, 1987. Překlady: Über den Satz vom Widerspruch be Aristoteles. Hildesheim: Olms, 1993; Del principio di contradizzione v Aristotele. Macerata: Quodlibet, 2003.
• Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Krakov: Spółka Wydawnicza Polska, 1913. Překlad: Logické základy teorie pravděpodobnosti, v SW, 16–63.
• Elementy logiki matematycznej. Skrypt autoryzowany, ed. M. Presburger. Varšava: Wydawnictwo Koła Matematyczno-Fizycznego Słuchaczów Uniwersytetu Warszawskiego, 1929. 2. vydání, ed. J. Słupecki, Varšava: PWN, 1958. Překlad: Elementy of Mathematical Logic. Oxford: Pergamon Press, 1966.
• Aristotelesova Syllogistka z hlediska moderní formální logiky. Oxford: Clarendon Press, 1951. 2., zvětšené vydání, 1957.

Doklady

• O indukcji jako inwersji dedukcji [O indukci jako inverze dedukce]. PF 6 (1903), 9–24, 138–152.
• Analiza i konstrukcja pojęcia przyczyna [Analýza a konstrukce pojmu příčina]. PF 9 (1906), 105–179.
• O zasadzie wyłączonego środka. PF 13 (1910), 372–3. Překlad: Na principu vyloučeného středa. Dějiny a filozofie logiky 8 (1987), 67–9.
• „Den satz von Widerspruch před Aristoteles. Mezinárodní bulletin l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe de Philosophie (1910), 15–38. Překlad: Na principu kontradikce v Aristoteles. Přehled Metafyziky 24 (1970/71), 485–509; Aristoteles k zákonu o rozporu, v: J. Barnes, M. Schofield a R. Sorabji, ed., Články o Aristoteles 3. Metafyzika. London: Duckworth, 1979, 50–62.
• O twórczości w nauce, Księga pamiątkowa ku uczczeniu 250-tej rocznicy za výhoduenia Uniwersytetu Lwowskiego przez Króla Jana Kazimierza r. 1661. Lwów: Uniwersytet Lwowski, 1912, 3-15. Překlad: Kreativní prvky ve vědě, ve SW, 1-15.
• W sprawie odwracalności stosunku racji i następstwa [O reverzibilitě vztahu mezi důvodem a následkem], PF 26 (1913), 298–314.
• O nauce i filozofii [O vědě a filozofii], PF 28 (1915), 190–196.
• O pojęciu wielkości, PF 19 (1916), 1-70. Překlad: K pojetí velikosti. v SW, 64–83.
• Treść wykładu pożegnalnego wygłoszonego w auli Uniwersytetu Warszawskiego 7 března 1918 r. Pro arte et studio 3 (1918), 3–4. Překlad: Přednáška na rozloučenou přednesená v přednáškovém sále Varšavské univerzity 7. března 1918, ve SW, 84–6.
• O pojęciu możliwości, RF 5 (1920), 169–170. Překlad: K pojetí možnosti v PL, 15–16.
• O logice trójwartościowej, RF 5 (1920), 170-1. Překlad: Podle logiky se třemi hodnotami, v PL 16–18 a v SW 87–8.
• Logika dwuwartościowa, PF 23 (1921), 189–205. Překlad: Dvouhodnotová logika, ve SW, 89–109.
• Interpretacja liczbowa teorii aťń, RF 7 (1922/23), 92–3. Překlad: Numerická interpretace teorie propozic, ve SW, 129–30.
• O logice stoikow [On Stoic logic], PF 30 (1927), 278–9.
• O znaczeniu i potrzebach logiki matematycznej [O významu a potřebách matematické logiky], Nauka Polska 10 (1929), 604–20.
• (s A. Tarski) Untersuchungen über den Aussagenkalkül, Comptes rendus de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 1-21. Překlad: Vyšetřování v Sentential Calculus, SW, 131–52.
• Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, Comptes rendus de la Société des Sciences a des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 51–77. Překlad: Filozofické poznámky k mnohohodnotným systémům výrokové logiky, v PL, 40–65 a v SW, 153–78.
• Uwagi o aksjomacie Nicoda i “dedukcji uogólniającej”, Księga pamiątkowa Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, Lwów, 1931, 366–83. Překlad: Komentáře k Nicodovu axiomu a „zobecňující dedukci“, ve SW, 179–96.
• Ein Vollstandigkeitsbeweis des zweiwertigen Aussagenkalküls, Comptes rendus de la Société des Sciences and des Lettres de Varsovie, cl. iii, 24 (1931), 153–83.
• Z historie logiki aťń, PF 37 (1934), 417–37. Překlad: K historii logiky propozic, v PL, 66–87 a ve SW, 197–217.
• Znaczenie analizy logicznej dla poznania [Význam logické analýzy pro poznání], PF 37 (1934), 369–77.
• Bedeutung der logischen Analyzujte für die Erkenntnis, Actes du VIII Congrès International de Philosophie, Praha (1936), 75–84.
• W obronie logistyki. Myśl katolicka wobec logiki wspólczesnej, Studia Gnesnensia 15 (1937), 12–26. Překlad: Na obranu logistiky, v SW, 236–49.
• Kartezjusz [Descartes], Kwartalnik Filozoficzny 15 (1938), 123–8.
• Geneza logiki trójwartościowej [Původ tříhodnotové logiky]. Nauka Polska 24 (1939). 215–223.
• Ó sylogistyce Arystotelesa [On Aristotle's syllogistic], Sprawozdania PAU, 44 (1939), 220–7. Publikováno 1946.
• Der Äquivalenzkalkül, Collectanea logica 1 (1939), 145–69. Pak se neobjevil. Jeden otisk přežil v Münsteru a sloužil k překladu: Ekvivalenční počet, v PL, 88–115 a v SW, 250–77.
• Die Logik und das Grundlagenproblem, Les entretiens de Zurich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques 6–9. XII.1938, Zurich: Leemann, 1941, 82–100.
• Nejkratší axiom implicitního počtu propozic, Sborník Královské irské akademie, Sect. A, 52 (1948), 25–33.
• W sprawie aksjomatyki implikacyjnego rachunku býtń [Systém axiomů implikačního předložkového počtu], Annales de la Société Polonaise de Mathématique 22 (1950), 87–92.
• O variabilních funkcionářích prozatímních argumentů, řízení Royal Irish Academy, Sect. A, 54 (1951), 25–35.
• K intuicionální teorii dedukce, Indagationes Mathematicae. Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen, Sborník série A 14 (1952), 201–212, repr. v SW, 325–40.
• Sur la formalization des théories mathématiques. Colloques internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique, 36: Les méthodes formelles en axiomatique, Paříž, 1953, 11-19. Překlad: Formalizace matematických teorií, v SW, 341–51.
• System of Modal Logic, The Journal of Computing Systems, 1 (1953), 111–49, repr. v SW, 352–90.
• Aritmetická a modální logika, The Journal of Computing Systems, 1 (1954), 213–9, repr. v SW, 391–400.
• Princip individualizace, sborník aristotelské společnosti, doplňkový svazek XXVII (Berkeley a moderní problémy) (1953), 69–82.
• O kontroverzním problému Aristotelova modálního syllogisty, Dominikánských studií 7 (1954), 114–28.
• Curriculum vitae [1953], Philosophical Studies 6 (1956), 43–6.
• O determinizmie, v Z, 114–26. Překlad: K determinismu v PL 19–39 a ve SW 110–28.

Překlad

David Hume, Badania dotcące rozumu ludzkiego [anketa týkající se porozumění člověku]; překlad Jan L. Łukasiewicz a Kazimierz Twardowski. Lwów: Nakładem Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, 1905

Vybraná sekundární literatura

• Agassi, A. a Woleński, J., 2010, Łukasiewicz a Popper on Induction. Dějiny a filozofie logiky, 31: 385–388. [Obsahuje anglický překlad dvou malých textů Łukasiewicze o indukci.]
• Betti, A., 2002, Neúplný příběh Łukasiewicze a bivalence. In: T. Childers, ed., Ročenka Logica 2002, Praha: Česká akademie věd-Filosofia, 21. – 36.
• Childers, T. a Majer, O., 1998, podle Łukasiewicze teorie pravděpodobnosti, v K. Kijania-Placek a J. Woleński, ed., Lvov-varšavská škola a současná filosofie, Dordrecht: Kluwer, 303–12.
• Corcoran, J., 1972, Úplnost antické logiky, Journal of Symbolic Logic, 37: 696–705.
• –––, 1974, Aristotelian Syllogisms: Valid Arguments or True Universalized Condition ?, Mind, 83: 278–81.
• Font, JP a Hájek, P., 2002, On Łukasiewicz's Four-Valued Modal Logic. Studia Logica, 70: 157–82.
• McCall, S. (ed.), 1967, polská logika 1920–1939, Oxford: Clarendon Press.
• Malinowski, G., 1993, Many-Valued Logics, Oxford: Clarendon Press.
• Patzig, G., 1968. Die aristotelische Syllogistik, Göttingen: Vandenhoeck a Ruprecht, 3. vyd. (1. vyd. 1959.) Překlad: Aristotelova teorie Syllogismu, tr. J. Barnes, Dordrecht: Reidel, 1969.
• Prior, AN, 1954, Interpretace dvou systémů modální logiky. The Journal of Computing Systems, 1: 201–8.
• Quine, WV, 1953, Tři stupně modálního zapojení. Sborník XI. Mezinárodního kongresu filozofie (svazek XIV), Brusel, s. 80 a násl.
• Schmidt am Busch, H.-C. a Wehmeier, KF, 2007, O vztazích mezi Heinrichem Scholzem a Janem Łukasiewiczem. Dějiny a filozofie logiky, 28: 67–81.
• Seddon, F., 1996, Aristoteles a Łukasiewicz o principu kontradikce. Ames: Modern Logic Publishing.
• Simons, P., 1992, Łukasiewicz, Meinong a Many-Valued Logic. V K. Szaniawski, ed., Vídeňský kruh a Lvov-Varšavská škola. Dordrecht: Kluwer, 1989, 249–91, repr. v P. Simons, filosofie a logika ve střední Evropě od Bolzana po Tarski. Dordrecht: Kluwer, 193–225.
• Smiley, TJ, 1961, v Łukasiewicze Ł-modálním systému. Notre Dame Journal of Formal Logic, 2: 149–53.
• –––, 1974, Co je Syllogism ?, Journal of Philosophical Logic, 2: 136–154.
• Sobociński, B., 1956, in memoriam Jan Łukasiewicz (1878–1956). Filozofická studia, 6: 3–49. [Zahrnuje jako dodatek Łukasiewiczův životopis z roku 1953.]
• Tarski, A., 1935/6, Wahrscheinlichkeitslehre und mehrwertige Logik. Erkenntnis, 5: 174–5.
• Wójcicki, R. a Malinowski, G. (eds.), 1977, Selected Papers on Łukasiewicz's Sentential Calculi. Wrocław: Ossolineum.
• Woleński, J., 1994, Jan Łukasiewicz o lhářském paradoxu, logických důsledcích, pravdě a indukci. Modern Logic, 4: 392–400.
• –––, 2000, Jan Łukasiewicz und der Satz vom Widerspruch, v: N. Öffenberger a M. Skarica, eds. Beiträge zum Satz vom Widerspruch und zur Aristotelischen Prädikationtheorie. Hildesheim: Olms, 1-42.
• ––– 2013, Rise of Many-Valued Logic in Poland, v jeho Historicko-filozofických esejích, sv. 1. Kraków: Copernicus Press, 37–50.
• Zinoviev, AA, 1963, Filozofické problémy mnohohodnotné logiky. Dordrecht: Reidel.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]