Časný Vývoj Teorie Množin

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Časný vývoj teorie množin

První publikované Út 10. dubna 2007; věcná revize Čt 18. června 2020

Teorie množin je jedním z největších úspěchů moderní matematiky. V podstatě všechny matematické pojmy, metody a výsledky připouštějí reprezentaci v rámci axiomatické teorie množin. Teorie množin tedy plnila zcela jedinečnou roli systematizováním moderní matematiky a jednotnou formou přistupovala ke všem základním otázkám o přípustných matematických argumentech - včetně trnité otázky existenčních principů. Tato položka nastiňuje spletitý proces, kterým vznikla teorie množin, pokrývající zhruba roky 1850 až 1930.

V roce 1910 Hilbert napsal, že teorie množin je

tato matematická disciplína, která dnes zaujímá v naší vědě vynikající roli, a vyzařuje [ausströmt] svůj silný vliv do všech odvětví matematiky. [Hilbert 1910, 466; překlad autorem zápisu]

To již naznačuje, že za účelem diskuse o rané historii je třeba rozlišovat dva aspekty teorie množin: její roli jako základního jazyka a úložiště základních principů moderní matematiky; a jeho role jako samostatného odvětví matematiky, klasifikovaného (dnes) jako odvětví matematické logiky. Jsou zde zvažovány oba aspekty.

První část zkoumá původ a vznik množiny teoretické matematiky kolem roku 1870; poté následuje diskuse o období expanze a konsolidace teorie do roku 1900. Část 3 poskytuje pohled na kritické období v dekádách 1897 až 1918 a oddíl 4 pojednává o čase od Zermela do Gödel (z teorie) do metatheory), se zvláštním důrazem na často přehlíženou, ale zásadní, popisnou teorii množin.

• 1. Vznik
• 2. Konsolidace
• 3. Kritické období
• 4. Od Zermelo po Gödel

• Bibliografie

  • Citované práce
  • Další čtení
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Vznik

Koncept souboru se zdá být klamně jednoduchý, alespoň pro školeného matematika, a do té míry, že je obtížné posoudit a správně ocenit příspěvky průkopníků. To, co je stálo hodně úsilí, aby se vytvořily, a vzalo matematickou komunitu značný čas na přijetí, se nám může zdát poněkud sebevysvětlující nebo dokonce triviální. Na začátku je třeba poznamenat tři historické mylné představy, které jsou v literatuře rozšířeny:

1. Není pravda, že skutečné nekonečno bylo před Cantorem všeobecně odmítnuto.
2. Teoretické pohledy nevznikly výhradně z analýzy, ale objevily se také v algebře, teorii čísel a geometrii.
3. Ve skutečnosti, vzestup teoretické matematiky předcházel Cantorovým zásadním přínosům.

Všechny tyto body budou objasněny v následujícím textu.

Představa kolekce je stejně starý jako počítání a logické představy o třídách existují přinejmenším od „stromu porfyru“(3 ^rd století nl). Proto je obtížné vyřešit původ pojmu soubor. Ale sady nejsou ani sbírky v běžném slova smyslu, ani „třídy“v tom smyslu, že logiků před polovinou 19. ^st století. Klíčovým chybějícím prvkem je objektivita - množina je matematický objekt, s nímž se pracuje stejně jako s jakýmkoli jiným objektem (množina (mathbf {N}) je stejně „věc“jako číslo 3). K objasnění tohoto bodu použil Russell užitečný rozdíl mezi třídou-tolik (toto je tradiční myšlenka) a třídou-as-one (nebo množinou).

Ernst Zermelo, klíčová postava v našem příběhu, uvedla, že teorie byla historicky „vytvořena Cantorem a Dedekindem“[Zermelo 1908, 262]. To naznačuje dobré pragmatické kritérium: člověk by měl začít od autorů, kteří významně ovlivnili koncepty Cantor, Dedekind a Zermelo. Většinou se jedná o kritérium přijaté zde. Nicméně, jak každé pravidlo vyžaduje výjimku, případ Bolzana je důležitý a poučný, i když Bolzano významně neovlivnil pozdější spisovatele.

V 19 ^th století německy mluvících oblastech, tam byly některé intelektuální tendence, které jsou propagovány přijetí aktuálního nekonečna (např obnova Leibniz myšlenky). I přes Gaussovo varování, že nekonečný může být jen způsob mluvení, některé menší postavy a tři hlavní (Bolzano, Riemann, Dedekind) předcházely Cantorovi v úplném přijetí skutečného nekonečna v matematice. Tito tři autoři aktivně podporovali množinu teoretických formulací matematických myšlenek, přičemž Dedekindův příspěvek v mnoha klasických spisech (1871, 1872, 1876/77, 1888) byl ústředním významem.

Chronologicky byl Bernard Bolzano první, ale neměl téměř žádný vliv. Je dobře známa vysoká kvalita jeho logické práce a základy matematiky. Kniha nazvaná Paradoxien des Unendlichen byla posmrtně vydána v roce 1851. Bolzano zde podrobně tvrdil, že řada paradoxů obklopujících nekonečno je logicky neškodná a že si vynutila silnou obranu skutečné nekonečna. Navrhl zajímavý argument, který se pokoušel dokázat existenci nekonečných množin, což nese srovnání s Dedekindovým pozdějším argumentem (1888). Ačkoli on používal komplikované rozdíly různých druhů souborů nebo tříd, Bolzano jasně rozpoznal možnost vložit dva nekonečné sady v korespondenci jeden k jednomu, jak jeden může snadno dělat např. S intervaly ([0, 5]) a ([0, 12]) funkcí (5y = 12x). Nicméně,Bolzano odolával závěru, že obě sady jsou „rovné s ohledem na mnohočetnost jejich částí“[1851, 30–31]. S největší pravděpodobností byly tradiční myšlenky měření ve svém způsobu myšlení příliš silné, a tak mu chyběl objev pojmu kardinality (lze však uvažovat o nekanttoriánských myšlenkách, o nichž viz Mancosu 2009).

Případ Bolzana naznačuje, že osvobození od metrických pojmů (které přicházelo s vývojem teorií projektivní geometrie a zejména topologie) mělo mít zásadní roli při umožnění abstraktního pohledu teorie množin. Bernhard Riemann navrhoval vizionářské myšlenky o topologii a o tom, že celou matematiku založil na pojmu množina nebo „mnohonásobný“ve smyslu třídy (Mannigfaltigkeit), ve své slavné úvodní přednášce „O hypotézách, které leží na základech geometrie“() 1854/1868a). Riemannovou charakteristikou byl také velký důraz na konceptuální matematiku, zvláště viditelný v jeho přístupu ke komplexní analýze (která se opět dostala hluboko do topologie). Abych uvedl nejjednodušší příklad,Riemann byl nadšeným stoupencem Dirichletovy myšlenky, že funkce musí být koncipována jako libovolná korespondence mezi numerickými hodnotami, ať už je to reprezentovatelné vzorcem nebo ne; to znamenalo zanechat časy, kdy byla funkce definována jako analytický výraz. Přes tento nový styl matematiky a přes jeho vizi nové role pro soubory a plný program pro vývoj topologie, Riemann byl rozhodující vliv na Dedekind a Cantor (viz Ferreirós 1999). Riemann měl zásadní vliv na Dedekind i Cantor (viz Ferreirós 1999). Riemann měl zásadní vliv na Dedekind i Cantor (viz Ferreirós 1999).

V pětiletém období 1868–1872 došlo v Německu k houbaření teoretických návrhů, takže bychom je mohli považovat za zrození matematiky set-theoretic. Riemannova geometrická přednáška, vydaná v roce 1854, byla publikována Dedekindem v roce 1868, společně s Riemannovým článkem o trigonometrických řadách (1854/1868b, který představoval Riemannův integrál). Ten byl výchozím bodem pro hlubokou práci v reálné analýze a zahájil studium „vážně“nespojitých funkcí. Do této oblasti vstoupil mladý Georg Cantor, což ho vedlo ke studiu bodových sad. V roce 1872 Cantor zavedl operaci na bodových sadách (viz níže) a brzy přemýšlel o možnosti opakovat tuto operaci do nekonečna a dále: byla to první pohled na transfinitovou říši.

Mezitím další významný vývoj předložil Richard Dedekind v roce 1871. V rámci své práce na teorii algebraických čísel zavedl Dedekind v podstatě set-teoretický pohled, definující pole a ideály algebraických čísel. Tyto myšlenky byly prezentovány ve velmi vyspělé formě, využívající operace množin a mapování zachovávajících strukturu (viz příslušná pasáž ve Ferreirós 1999: 92–93; Cantor použil Dedekindovu terminologii pro operace ve své vlastní práci na teorii množin kolem roku 1880 [1999: 204]). S ohledem na kruh celých čísel v daném poli algebraických čísel definoval Dedekind určité podmnožiny zvané „ideály“a na těchto sadách operoval jako nové objekty. Tento postup byl klíčem k jeho obecnému přístupu k tématu. V jiných dílech se velmi jasně a přesně zabýval vztahy ekvivalence, sadami oddílů,homomorfismy a automorfismy (o historii vztahů ekvivalence viz Asghari 2018). Mnoho obvyklých set-teoretických postupů matematiky dvacátého století se tedy vrací k jeho práci. O několik let později (v roce 1888) publikoval Dedekind prezentaci základních prvků teorie množin, přičemž operace s množinami a mapami, které používal od roku 1871, jen trochu explicitněji uváděl.

Následující rok publikoval Dedekind referát [1872], ve kterém poskytl axiomatickou analýzu struktury množiny reálných čísel (mathbf {R}). Definoval to jako uspořádané pole, které je také úplné (v tom smyslu, že všechny Dedekindovy řezy na (mathbf {R}) odpovídají prvku v (mathbf {R})); úplnost v tomto smyslu má důsledek Archimedean axiom. Cantor také poskytoval definici (mathbf {R}) v 1872, používat Cauchy sekvence racionálních čísel, který byl elegantní zjednodušení definice nabídl Carl Weierstrass v jeho přednáškách. Forma axiomu úplnosti, kterou Weierstrass preferoval, byl Bolzanův princip, že posloupnost vnořených uzavřených intervalů v (mathbf {R}) (posloupnost taková, že ([a_ {m + 1}, b_ {m + 1}]) podmnožina [a_ {m}, b_ {m}])) „obsahuje“alespoň jedno skutečné číslo (nebo, jak bychom řekli,má neprázdný průnik).

Cantorovy a Dedekindovy definice reálných čísel se implicitně spoléhaly na teorii množin a lze je spatřovat v retrospektivě, aby zahrnovaly předpoklad principu Power Set. Oba vzali, jak daný soubor racionálních čísel, a pro definici (mathbf {R}), oni se spoléhali na jistou úplnost nekonečných množin racionálních čísel (jeden úplnost Cauchy posloupností, nebo všech Dedekind řezů). Také s tím se začala objevovat konstruktivistická kritika teorie množin, když Leopold Kronecker začal proti takovým nekonečným procedurám protestovat. Současně bylo zahájeno studium topologie (mathbf {R}), zejména v práci Weierstrass, Dedekind a Cantor. Set-theoretic přístup byl také využíván několika autory v oblasti reálné analýzy a komplexní analýzy (např. Hankel, du Bois-Reymond, HJS Smith, U. Dini) a Dedekind ve společné práci s Weberem (1882), průkopnickou algebraickou geometrií.

Zvláště zajímavé jsou Cantorovy odvozené sady (pro kontext této myšlenky v reálné analýze viz např. Dauben 1979, Hallett 1984, Lavine 1994, Kanamori 1996, Ferreirós 1999). Cantor vzal jako vzhledem k „koncepční sféře“reálných čísel a zvažoval libovolné podmnožiny (P), které nazýval „množinami bodů“. Skutečné číslo (r) se nazývá mezní bod (P), když všechny sousedství (r) obsahují body (P). To se může stát, pouze pokud (P) je nekonečné. Díky této koncepci Cantor pokračoval v definování odvozené množiny (P ') z (P) jako sady všech mezních bodů (P). Obecně (P ') může být nekonečný a mít své vlastní mezní body (viz Cantorův dokument v Ewaldu [1996, sv. 2, 840ff], zejména str. 848). Lze tedy iterovat operaci a získat další odvozené množiny (P ''), (P '' ')… (P ^ {(n)}) … Je snadné uvést příklady množiny (P), která způsobí neprázdné odvozené množiny (P ^ {(n)}) pro všechny konečné (n). (Poměrně triviální příklad je (P = / mathbf {Q} _ {[0,1]}), množina racionálních čísel v jednotkovém intervalu; v tomto případě (P '= [0,1] = P '').) Lze tedy definovat (P ^ {(infty)}) jako průnik všech (P ^ {(n)}) pro konečný (n). Toto bylo Cantorovo první setkání s transfinitovými iteracemi. Toto bylo Cantorovo první setkání s transfinitovými iteracemi. Toto bylo Cantorovo první setkání s transfinitovými iteracemi.

Koncem roku 1873 pak přišel překvapivý objev, který plně otevřel říši transfinitu. V souladu s Dedekindem (viz Ewald 1996, sv. 2), Cantor položil otázku, zda nekonečné množiny (mathbf {N}) přirozených čísel a (mathbf {R}) reálných čísel mohou být umístěny v korespondenci jeden na jednoho. V odpověď, Dedekind nabídl překvapivý důkaz, že množina (A) všech algebraických čísel je vyčíslitelná (tj. Existuje korespondence jeden s jedním s (mathbf {N})). O několik dní později Cantor dokázal, že předpoklad, že (mathbf {R}) je vyčíslitelný, vede k rozporu. Za tímto účelem použil výše zmíněný princip úplnosti Bolzano-Weierstrass. Tak ukázal, že v (mathbf {R}) je více prvků než v (mathbf {N}) nebo (mathbf {Q}) nebo (A),v přesném smyslu, že mohutnost (mathbf {R}) je přísně větší než kardinálnost (mathbf {N}).

2. Konsolidace

Teorie množin se začala stávat nezbytnou součástí nového „moderního“přístupu k matematice. Tento názor byl však zpochybněn a jeho konsolidace trvala poměrně dlouho. Dedekindův algebraický styl začal hledat následovníky až v 90. letech 20. století; David Hilbert byl mezi nimi. Půda byla lépe připravena na moderní teorie skutečných funkcí: italští, němečtí, francouzští a britští matematici přispěli v 80. letech 20. století. A nové základní názory převzal Peano a jeho následovníci, do jisté míry Frege, Hilbert v 90. letech a později Russell.

Mezitím Cantor strávil roky 1878 až 1885 vydáváním klíčových děl, která pomohla změnit teorii množin na autonomní odvětví matematiky. Napíšeme (A / equiv B), abychom vyjádřili, že dvě sady (A), (B) lze dát do vzájemné korespondence (mají stejnou kardinálnost). Poté, co prokážeme, že iracionální čísla lze dát do vzájemné korespondence s (mathbf {R}), a překvapivě, že také (mathbf {R} ^ {n} equiv / mathbf {R }), Cantor v roce 1878 předpokládal, že jakákoli podmnožina (mathbf {R}) bude buď denumerovatelná ((equiv / mathbf {N})) nebo (equiv / mathbf {R}). Toto je první a nejslabší forma oslavované hypotézy Continuum. V následujících letech Cantor prozkoumal svět bodových sad a představil několik důležitých topologických nápadů (např. Perfektní set, uzavřený set, izolovaný set),a dospěli k výsledkům, jako je Cantor-Bendixsonova věta.

Bodová sada (P) je uzavřena, pokud je odvozená množina (P '\ subseteq P), a perfektní iff (P = P'). Cantor-Bendixsonova věta pak říká, že uzavřený bodový soubor může být rozložen na dvě podmnožiny (R) a (S), takže (R) je vyčíslitelný a (S) je dokonalý (opravdu, (s) je (a) ^th odvodil sada (P), pro spočetnou pořadovým (a)). Z tohoto důvodu se říká, že uzavřené sady mají dokonalou vlastnost sady. Cantor dále dokázal, že dokonalé sady mají sílu kontinua (1884). Oba výsledky znamenaly, že hypotéza Continuum platí pro všechny sady uzavřených bodů. O mnoho let později, v roce 1916, Pavel Aleksandrov a Felix Hausdorff dokázali ukázat, že i širší třída sad Borel má dokonalou sadu vlastností.

Jeho práce na bodových sadách vedla Cantora v roce 1882 k představě transfinitových čísel (viz Ferreirós 1999: 267 ff). To byl zlom v jeho výzkumu, protože od té doby studoval teorii abstraktních sad nezávisle na konkrétnějších otázkách, které se týkaly bodových sad a jejich topologie (až do poloviny osmdesátých let byly tyto otázky v jeho agendě významné). Následně se Cantor zaměřil na transfinitní kardinální a ordinální čísla a na typy obecného řádu, nezávisle na topologických vlastnostech (mathbf {R}).

Transinitální ordinály byly představeny jako nová čísla v důležitém matematicko-filosofickém dokumentu z roku 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre (všimněte si, že Cantor stále používá Riemannův termín Mannigfaltigkeit nebo 'manifold' pro označení množin). Cantor je definoval pomocí dvou „generačních principů“: první (1) dává nástupci (a + 1) pro libovolné dané číslo (a), zatímco druhý (2) stanoví, že existuje číslo (b), která následuje bezprostředně po dané dané posloupnosti čísel bez posledního prvku. Poté, co přijde všechna konečná čísla, (2), první transfinitní číslo, (omega) (read: omega); a za ním následují (omega + 1), (omega + 2), …, (omega + / omega = / omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), (omega / cdot n +1), …, (omega ^ {2}), (omega ^ {2} +1), …, (omega ^ { omega }),… A tak dále a dál. Kdykoli se objeví posloupnost bez posledního prvku, může se pokračovat a, tj., Skočit do vyššího stupně o (2).

Zavedení těchto nových čísel vypadalo jako nečinné spekulace s většinou jeho současníků, ale pro Cantora sloužily dvě velmi důležité funkce. Za tímto účelem klasifikoval transfinitní ordinály následovně: „první číselná třída“sestávala z konečných ordinálů, množiny (mathbf {N}) přirozených čísel; „druhou číselnou třídu“vytvořil ω a všechna následující čísla (včetně (omega ^ { omega}) a mnoha dalších), která mají pouze denumerovatelnou sadu předchůdců. Tato zásadní podmínka byla navržena problémem dokazování Cantor-Bendixsonovy věty (viz Ferreirós 1995). Na tomto základě by Cantor mohl stanovit výsledky, že mohutnost „druhé třídy čísel“je větší než kardinál (mathbf {N}); a že neexistuje žádná střední kardinalita. Pokud tedy píšete (textit {card} (mathbf {N}) = / aleph_ {0}) (přečtěte si:aleph nula), jeho věty ospravedlňovaly volání mohutnosti „druhé třídy čísel“(aleph_ {1}).

Po druhé číselné třídě přichází „třetí číselná třída“(všechny transfinitní ordinály, jejichž množina předchůdců má kardinálnost (aleph_ {1})); mohutnost této nové třídy čísel se může ukázat jako (aleph_ {2}). A tak dále. První funkcí transfinitálních ordinálů bylo tedy stanovit dobře definovanou stupnici zvyšujících se kardinit transfinitů. (Výše uvedený zápis alefů zavedl Cantor teprve v roce 1895.) To umožnilo mnohem přesněji formulovat problém kontinua; Cantorova domněnka se stala hypotézou, že (textit {card} (mathbf {R}) = / aleph_ {1}). Kromě toho se Cantor spoléhal na transfinitní ordinály a dokázal Cantor-Bendixsonovu teorém, zaokrouhlením výsledků na bodových sadách, které zpracovával v těchto klíčových letech. Cantor-Bendixson věta říká:uzavřené sady (mathbf {R} ^ n) (zobecnitelné do polských mezer) mají vlastnost perfektní sady, takže jakákoli uzavřená množina (S) v (mathbf {R} ^ n) může být psáno jedinečně jako disjunktní spojení dokonalé množiny (P) a počítatelné množiny (R). Navíc (P) je (S ^ α) pro a počítatelné ordinální číslo.

Studium transfinitálních ordinálů nasměrovalo Cantorovu pozornost na uspořádané množiny a zejména na dobře uspořádané množiny. Množina (S) je dobře uspořádána vztahem <iff <je celková objednávka a každá podmnožina (S) má v <-orderingu nejméně prvek. (Skutečná čísla nejsou řádně uspořádána v obvyklém pořadí: vezměte v úvahu otevřený interval. Mezitím je (mathbf {N}) nejjednodušší nekonečně dobře uspořádanou množinou.) Cantor tvrdil, že transfinitní ordinály si skutečně zaslouží jméno čísel, protože vyjadřují „typ objednávky“jakékoli možné dobře uspořádané množiny. Všimněte si také, že pro Cantor bylo snadné uvést, jak změnit uspořádání přirozených čísel tak, aby odpovídaly typům objednávek (omega + 1), (omega + 2), …, (omega / cdot 2), …, (omega / cdot n), …, (omega ^ 2), …, (omega ^ { omega}), atd.(Například při změně pořadí (mathbf {N}) ve tvaru: 2, 4, 6, …, 5, 15, 25, 35, …, 1, 3, 7, 9, … získáme množinu, která má typ objednávky (omega / cdot 3).)

Všimněte si také, že hypotéza Continuum, pokud je pravdivá, by znamenala, že množina reálných čísel (mathbf {R}) může být skutečně dobře uspořádána. Cantor byl tak oddaný tomuto pohledu, že předložil další hypotézu, že každý soubor může být dobře uspořádán jako „základní a okamžitý zákon myšlení“. O několik let později Hilbert upozornil na hypotézu Continuum i na problém s řádným uspořádáním jako problém 1 ve svém slavném seznamu „Mathematische Probleme“(1900). Byl to inteligentní způsob, jak zdůraznit význam teorie množin pro budoucnost matematiky a plodnost jejích nových metod a problémů.

V letech 1895 a 1897 vydal Cantor své poslední dva články. Jednalo se o přehlednou prezentaci jeho výsledků o transfinitových číslech (kardinálech a ordinálech) a jejich teorii a také o typech řádů a dobře uspořádaných sadách. Tyto dokumenty však nepokročily k významným novým nápadům. Cantor měl bohužel pochybnosti o třetí části, kterou připravil, což by diskutovalo o velmi důležitých otázkách souvisejících s problémem řádného uspořádání a paradoxy (viz níže). Překvapivě, Cantor také nedokázal zahrnout v 1895/97 dokladech teorém, který on publikoval několik roků dříve který je známý jednoduše jako Cantorova věta: daný nějaký soubor (S), tam existuje další soubor jehož kardinalita je větší (toto je mocnina (mathcal {P} (S)), jak nyní říkáme - Cantor místo toho použil sadu všech funkcí formuláře (f):(S / rightarrow {0, 1 }), což je ekvivalentní). Ve stejném krátkém článku (1892), Cantor předložil svůj slavný důkaz, že (mathbf {R}) je nevyčíslitelný pomocí metody diagonalizace, což je metoda, kterou poté rozšířil, aby dokázal Cantorovu teorém. (Související forma argumentace se objevila dříve v práci P. du Bois-Reymond [1875], viz mimo jiné [Wang 1974, 570] a [Borel 1898], poznámka II.)

Mezitím další autoři zkoumali možnosti otevřené teorií množin pro základy matematiky. Nejdůležitější byl Dedekindův příspěvek (1888) s hlubokou prezentací teorie přirozených čísel. On formuloval některé základní principy teorie množin (a mapování); dal axiómy pro systém přirozených čísel; prokázalo, že matematická indukce je přesvědčivá a rekurzivní definice jsou bezchybné; vyvinul základní teorii aritmetiky; představil konečné kardinály; a dokázal, že jeho axiomový systém je kategorický. Jeho systém měl čtyři axiomy. Vzhledem k funkci φ definované na (S), množině (N / subseteq S) a rozlišujícímu prvku (1 / in N) jsou tyto:

) begin {zarovnat} tag {α} & / phi (N) podmnožina N \\ / tag {β} & N = / phi_ {o} {1 } / \ tag {γ} & 1 / not / in / phi (N) / \ tag {δ} & / textrm {the funkce} phi / textrm {je injektivní.} end {zarovnat})

Podmínka (β) je rozhodující, protože zajišťuje minimum pro množinu přirozených čísel, která odpovídají platnosti důkazů matematickou indukcí. (N = / phi_ {o} {1 }) se čte: (N) je řetězec singletonu {1} pod funkcí φ, tj. Minimální uzavření {1} pod funkcí φ. Obecně lze uvažovat řetězec množiny (A) pod libovolným mapováním γ, označeným (gamma_ {o} (A)); Ve své brožuře vyvinul Dedekind zajímavou teorii takových řetězců, která mu umožnila prokázat Cantor-Bernsteinovu větu. Teorie byla později zobecněna Zermelo a aplikována Skolem, Kuratowski, atd.

V následujících letech Giuseppe Peano dal povrchnější (ale také slavnější) zacházení s přirozenými čísly, použil nový symbolický jazyk logiky a Gottlob Frege vypracoval své vlastní myšlenky, které však padly za kořist paradoxům. Důležitou knihou inspirovanou set-teoretickým stylem myšlení byla Hilbertova Grundlagen der Geometrie (1899), která udělala „matematiku axiomů“jeden krok za Dedekindem prostřednictvím bohaté studie geometrických systémů motivovaných otázkami týkajícími se nezávislosti jeho axiomů. Hilbertova kniha objasnila novou axiomatickou metodologii, která se formovala v souvislosti s novými metodami teorie množin, a kombinoval ji s axiomatickými trendy plynoucími z projektivní geometrie.

Nicméně, jak jsme již řekli výše, bylo zde hodně kritiky set-teoretických, nekonečných metod. Již v roce 1870 začal Kronecker vyslovovat kritické poznámky konstruktivisty, který se o mnoho let později ozval prominentní myslitelé jako Brouwer nebo Wittgenstein. Kroneckerova kritická orientace ukázala na způsob vzdání se systému reálných čísel a klasické analýzy, ve prospěch nějaké přísnější formy analýzy - příklady dvacátého století by to byla predikativní analýza (H. Weyl navazující na základní pojmy Poincaré, viz Feferman 1988)) a intuicionální analýza (Brouwer). I Weierstrass měl (alespoň v roce 1874) námitky proti myšlence rozlišovat velikosti nekonečna, a to proti Cantorovým důkazům. Příklady oplývají,a tak během 19. století mnoho matematiků vyjádřilo pochybnosti o klíčových myšlenkách a metodách teorie množin. Prototypem případu je E. Borel, který se po představení Cantora ve Francii [1898] stal čím dál podezřívavější teorií množin (pět dopisů, které si vyměnili a Baire, Lebesgue, Hadamard v roce 1905, se proslavily; viz Ewald [1996], sv. 2]). Existují však také případy Poincarého, Weyla, Skolema atd. Mezi filosofy je nejvýznamnějším příkladem Wittgenstein, který odsoudil teorii množin za stavění na „nesmyslu“fiktivního symbolismu, naznačující „špatné snímky“atd. Hadamard v roce 1905 se stal slavným; viz Ewald [1996, sv. 2]). Existují však také případy Poincarého, Weyla, Skolema atd. Mezi filosofy je nejvýznamnějším příkladem Wittgenstein, který odsoudil teorii množin za stavění na „nesmyslu“fiktivního symbolismu, naznačující „špatné snímky“atd. Hadamard v roce 1905 se stal slavným; viz Ewald [1996, sv. 2]). Existují však také případy Poincarého, Weyla, Skolema atd. Mezi filosofy je nejvýznamnějším příkladem Wittgenstein, který odsoudil teorii množin za stavění na „nesmyslu“fiktivního symbolismu, naznačující „špatné snímky“atd.

3. Kritické období

Na konci devatenáctého století to byla rozšířená myšlenka, že čistá matematika není nic jiného než komplikovaná forma aritmetiky. Proto bylo obvyklé mluvit o „aritmetizaci“matematiky a o tom, jak to přineslo nejvyšší standardy přísnosti. U Dedekinda a Hilberta vedlo toto stanovisko k myšlence zakotvit celou čistou matematiku v teorii množin. Nejobtížnějšími kroky při předkládání tohoto pohledu bylo vytvoření teorie reálných čísel a set-teoretická redukce přirozených čísel. Oba problémy byly vyřešeny prací Cantora a Dedekinda. Ale právě když matematici slavili, že se konečně dosáhlo „úplné důslednosti“, objevily se vážné problémy pro základy teorie množin. Nejprve Cantor, a pak Russell, objevil paradoxy v teorii množin.

Cantor byl veden k paradoxům zavedením „koncepční sféry“transfinitních čísel. Každý transfinitní ordinál je typem řádu jeho předchůdců; např. ω je typ objednávky ({0, 1, 2, 3, / ldots }) a (omega + 2) je typ objednávky ({0, 1, 2, 3, / ldots, / omega, / omega +1 }). Každý počáteční segment řady ordinálů tedy odpovídá okamžitě většímu ordinálu. Nyní by „celá řada“všech transfinitních pořadů tvořila dobře uspořádanou množinu a tomu by odpovídalo nové pořadové číslo. To je nepřijatelné, protože tato ordinální (o) by musela být větší než všichni členové „celé série“, a zejména (o <o). Toto se obvykle nazývá paradoxem burali-Forti nebo paradoxem ordinálů (i když sám Burali-Forti to nedokázal jasně formulovat,viz Moore & Garciadiego 1981).

Ačkoli je možné, že Cantor mohl tento paradox nalézt již v roce 1883, okamžitě po zavedení transfinitálních ordinálů (argumenty ve prospěch této myšlenky viz Purkert & Ilgauds 1987 a Tait 2000), důkazy jasně ukazují, že to nebylo až do roku 1896 97 našel tento paradoxní argument a uvědomil si jeho důsledky. Do této doby, on byl také schopný zaměstnat Cantorův teorém dávat Cantorův paradox, nebo paradox alephs: jestliže existoval “soubor všech” kardinálních čísel (alephs), Cantorova věta aplikovala na to by dalo nový aleph (aleph), například (aleph <\ aleph). Velký teoretik souboru si dokonale uvědomil, že tyto paradoxy byly fatální ranou pro „logické“přístupy k souborům upřednostňovaným Frege a Dedekind. Cantor zdůraznil, že jeho názory byly „v diametrální opozici“vůči Dedekindovi, a zejména k jeho „naivnímu předpokladu, že všechny dobře definované sbírky nebo systémy jsou také„ konzistentními systémy ““(viz dopis Hilbertovi, 15. listopadu, 1899, Purkert a Ilgauds 1987: 154). (Na rozdíl od toho, co bylo často uváděno, měla Cantorova nejednoznačná definice souboru ve svém dokumentu z roku 1895 být „diametrálně protikladná“logickému chápání množin - často nazývaná „naivní“teorie teorií, která by mohla být vhodněji nazývána dichotomická koncepce množin, na návrh Gödel.)(Na rozdíl od toho, co bylo často uváděno, měla Cantorova nejednoznačná definice souboru ve svém dokumentu z roku 1895 být „diametrálně protikladná“logickému chápání množin - často nazývaná „naivní“teorie teorií, která by mohla být vhodněji nazývána dichotomická koncepce množin, na návrh Gödel.)(Na rozdíl od toho, co bylo často uváděno, měla Cantorova nejednoznačná definice souboru ve svém dokumentu z roku 1895 být „diametrálně protikladná“logickému chápání množin - často nazývaná „naivní“teorie teorií, která by mohla být vhodněji nazývána dichotomická koncepce množin, na návrh Gödel.)

Cantor si myslel, že by mohl vyřešit problém paradoxů rozlišováním mezi „konzistentními multiplicitami“nebo množinami a „nekonzistentními multiplicitami“. Ale při neexistenci explicitních kritérií pro rozlišení to byla jednoduše slovní odpověď na problém. Cantor si byl vědom nedostatků ve svých nových myšlenkách a nikdy nezveřejnil poslední referát, který připravoval, ve kterém plánoval diskutovat o paradoxech a problému řádného objednávání (dobře známe obsah tohoto nepublikovaného článku, jak Cantor diskutoval) v korespondenci s Dedekindem a Hilbertem; viz 1899 dopisů Dedekindovi v Cantor 1932 nebo Ewald 1996: sv. 2). Cantor předložil argument, který se spoléhal na „Burali-Forti“paradox ordinálů a jehož cílem bylo prokázat, že každý soubor může být řádně uspořádán. Tento argument později objevil britský matematik PEB Jourdain, ale je otevřený kritice, protože pracuje s „nekonzistentními multiplicitami“(Cantorův termín ve výše uvedených dopisech).

Cantorovy paradoxy přesvědčily Hilberta a Dedekinda, že existují zásadní pochybnosti ohledně základů teorie množin. Hilbert formuloval svůj vlastní paradox (Peckhaus & Kahle 2002) a diskutoval o problému s matematiky ve svém Göttingenově kruhu. Ernst Zermelo byl tak veden k objevu paradoxu „sady“všech sad, které nejsou členy sebe (Rang a Thomas 1981). Toto bylo nezávisle objeveno Bertrandem Russellem, který k tomu byl veden pečlivým studiem Cantorovy věty, která se hluboce střetla s Russellovou vírou v univerzální sadu. O něco později, v červnu 1902, oznámil „rozpor“Gottlobovi Fregeovi, který dokončoval svůj vlastní logický základ aritmetiky, známým dopisem [van Heijenoort 1967, 124]. Fregeova reakce velmi jasně ukázala hluboký dopad tohoto rozporu na logistický program. "Mohu vždy mluvit o třídě, o rozšíření koncepce?" A pokud ne, jak mohu poznat výjimky? “Tváří v tvář tomuto: „Nevidím, jak by mohla být aritmetika poskytnuta vědeckým základům, jak lze čísla pojmenovat jako logické objekty“(Frege 1903: 253).

Publikace svazku II Fregeova Grundgesetze (1903), a především Russellova díla Principy matematiky (1903), umožnila matematické komunitě plně si uvědomit existenci set-teoretických paradoxů, jejich dopadu a významu. Existují důkazy, že až do té doby ani Hilbert a Zermelo škodu zcela neuznali. Všimněte si, že paradox Russell-Zermelo funguje s velmi základními pojmy negace a nastavuje koncepty členství, které byly obecně považovány za čistě logické. “Set” (R = {x: x / not / in x }) existuje podle principu porozumění (který umožňuje libovolné otevřené větě určit třídu), ale pokud ano, (R / in R / textit {iff} R / not / in R). Je to přímý rozpor se zásadou, kterou upřednostňují Frege a Russell.

Zjevně bylo nutné objasnit základy teorie množin, ale celková situace to neusnadnila. Různá konkurenční hlediska se značně lišila. Cantor měl metafyzické chápání teorie množin a ačkoli měl jeden z nejostřejších pohledů na pole, nemohl nabídnout přesný základ. Bylo mu jasné (jak se zdálo, poněkud záhadně) Ernstu Schröderovi v jeho Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1891), že člověk musí odmítnout myšlenku univerzální sady, kterou upřednostňují Frege a Dedekind. Frege a Russell založili svůj přístup na principu porozumění, který se ukázal jako protichůdný. Dedekind se tomuto principu vyhnul, ale usoudil, že Absolutní vesmír je sada, „věc“v jeho technickém smyslu pro Gedankending;a tento předpoklad spojil s úplným přijetím libovolných podmnožin.

Tato myšlenka připustit svévolné podmnožiny byla jednou z hlubokých inspirací jak Cantora, tak Dedekinda, ale žádný z nich to tematizoval. (Zde jejich moderní chápání analýzy hrálo klíčovou, ale implicitní roli na pozadí, protože pracovaly v Dirichletově-Riemannově tradici „libovolných“funkcí.) Pokud jde o nyní slavnou iterativní koncepci, byly některé její prvky (zejména v Dedekindově díle), s jeho iteračním vývojem číselného systému a jeho názory na „systémy“a „věci“), ale u mnoha relevantních autorů zřetelně chyběl. Typicky např. Cantor neopakoval proces tvorby množin: měl tendenci zvažovat množiny homogenních prvků, prvků, které byly považovány za „v nějaké koncepční sféře“(buď čísla, body, nebo funkce,nebo dokonce fyzikální částice - ale nemíchané). Iterativní pojetí poprvé navrhl Kurt Gödel v [1933], v souvislosti s technickou prací von Neumanna a Zermela před několika lety; Gödel bude trvat na myšlence ve svém známém článku o Cantorově problému kontinua. To přišlo až post facto, poté, co bylo vyvinuto a plně systematizováno velmi velké množství teorie množin.

Tato rozmanitost protichůdných názorů přispěla k celkovému zmatku, ale bylo jich více. Kromě výše zmíněných paradoxů (set-teoretických paradoxů, jak říkáme) obsahoval seznam „logických“paradoxů celou řadu dalších (později nazývaných „sémantické“). Mezi ně patří paradoxy způsobené Russellem, Richardem, Königem, Berrym, Grellingem atd., Jakož i starodávný lhářský paradox kvůli Epimenidesovi. A diagnózy a navrhované léky na poškození byly nesmírně rozmanité. Někteří autoři, jako Russell, si mysleli, že je nezbytné najít nový logický systém, který dokáže vyřešit všechny paradoxy najednou. To ho vedlo k rozvětvené teorii typů, která tvořila základ Principia Mathematica (3 svazky, Whitehead a Russell 1910–1913), jeho společné práce s Alfredem Whiteheadem. Další autoři, například Zermelo,věřil, že většina z těchto paradoxů se rozpustila, jakmile jeden pracoval v omezeném axiomatickém systému. Soustředili se na „set-theoretické“paradoxy (jak jsme to udělali výše) a byli vedeni k hledání axiomatických systémů teorie množin.

Ještě důležitější je, že otázky, které nechal otevřený Cantor a zdůraznil Hilbert ve svém prvním problému z roku 1900, vyvolaly vzrušující debatu. Na Mezinárodním kongresu matematiků v Heidelbergu v roce 1904 předložil Gyula (Julius) König velmi podrobný důkaz, že kardinálnost kontinua nemůže být žádným z Cantorových alefů. Jeho důkaz byl pouze vadný, protože se spoléhal na výsledek, který byl dříve „prokázán“Felixem Bernsteinem, studentem Cantora a Hilberta. Trvalo několik měsíců, než Felix Hausdorff identifikoval chybu a napravil ji řádným uvedením zvláštních podmínek, za kterých byl Bernsteinův výsledek platný (viz Hausdorff 2001, sv. 1). Jakmile je takto opravena, Königova věta se stala jedním z mála výsledků omezujících možná řešení problému kontinua, což znamená např.že (textit {card} (mathbf {R})) není rovno (aleph _ { omega}). Mezitím mohl Zermelo předložit důkaz, že každý soubor lze správně uspořádat pomocí Axiom of Choice [1904]. Během následujícího roku diskutovali významní matematici v Německu, Francii, Itálii a Anglii o Axiom of Choice a jeho přijatelnosti.

Volba Axiom of Choice: Pro každou množinu (A) neprázdných množin existuje množina, která má přesně jeden prvek společný s každou sadou v (A). Toto začalo celou éru, během níž byl Axiom of Choice považován za nejistější hypotézu (viz monumentální studie Moore 1982). A to je ironické, protože ze všech obvyklých principů teorie množin je Axiom of Choice jediným, který výslovně vynucuje existenci některých libovolných podmnožin. Ale protože tato myšlenka byla důležitá pro motivaci Cantora a Dedekinda, a jakkoli je to zapleteno s klasickou analýzou, mnoho dalších autorů odmítlo nekonečné libovolné podmnožiny. Mezi nejvlivnějšími v následujícím období je třeba zdůraznit jména Russella, Hermanna Weyla a samozřejmě Brouwera.

Volba byla po dlouhou dobu kontroverzní axiom. Na jedné straně je široce využíván v matematice a ve skutečnosti je klíčem k mnoha důležitým teorémům analýzy (to se postupně ukázalo u prací, jako je Sierpiński [1918]). Na druhé straně to má poněkud neintuitivní důsledky, jako je Banach-Tarski Paradox, který říká, že jednotková koule může být rozdělena do konečně mnoha „kusů“(podmnožiny), které pak mohou být uspořádány tak, aby vytvořily dvě jednotkové koule (viz Tomkowicz a Wagon [2019]). Námitky vůči axiomu vycházejí ze skutečnosti, že uplatňuje existenci množin, které nelze explicitně definovat. Během dvacátých a třicátých let minulého století existovala rituální praxe výslovného zmínky o ní, kdykoli by věta byla závislá na axiomu. To se zastavilo až po Gödelově dokladu relativní konzistence, diskutovaném níže.

Působivá polemika, která obklopovala jeho teorém řádového uspořádání, a nejzajímavější a nejobtížnější problém položený základy matematiky, vedla Zermela k tomu, aby se soustředil na axiomatickou teorii množin. V důsledku své ostré analýzy vydal v roce 1908 svůj axiomový systém, který ukázal, jak blokuje známé paradoxy, a přesto umožnil mistrovský rozvoj teorie kardinálů a ordinálů. Toto je však téma dalšího příspěvku (o životě a díle Zermela, viz Ebbinghaus [2015]).

4. Od Zermelo po Gödel

V období 1900–1930 se v rubrice „teorie množin“stále chápalo, že zahrnuje témata topologie a teorie funkcí. Přestože Cantor, Dedekind a Zermelo opustili tuto fázi pozadu, aby se soustředili na čistou teorii množin, pro matematiky obecně by to ještě trvalo dlouho. Na prvním mezinárodním kongresu matematiků v roce 1897 tak hlavní projevy Hadamarda a Hurwitze bránily teorii množin na základě její důležitosti pro analýzu. Kolem roku 1900 byla motivována tematicky analyzovanými tématy významná práce tří francouzských odborníků: Borel [1898], Baire [1899] a Lebesgue [1902] [1905]. Jejich práce zahájila vývoj deskriptivní teorie množin rozšířením Cantorových studií o definovatelných množinách reálných čísel (ve kterých prokázal, že hypotéza Continuum platí pro uzavřené množiny). Představili hierarchii Borelových sad, Baireovu hierarchii funkcí a koncept Lebesgueovy míry - klíčový koncept moderní analýzy.

Deskriptivní teorie množin (DST) je studium určitých druhů definovatelných množin reálných čísel, které jsou získány z jednoduchých druhů (jako jsou otevřené množiny a uzavřené množiny) pomocí dobře srozumitelných operací, jako je komplementace nebo projekce. Borel soubory byly první hierarchie definovatelných sad, představený v 1898 knize Émile Borel; získávají se z otevřených sad opakovanou aplikací operací spočítatelných sjednocení a doplňování. V 1905 Lebesgue studoval Borel soubory v epochální paměti, ukazovat, že jejich hierarchie má úrovně pro všechny počítatelné ordinals, a analyzovat Baire funkce jako protějšky Borel souborů. Hlavním cílem deskriptivní teorie množin je najít strukturální vlastnosti společné pro všechny takové definovatelné množiny: například Borelovy sady byly ukázány tak, že mají dokonalou vlastnost množiny (pokud není možné počítat,mají perfektní podmnožinu), a tak splňují hypotézu kontinua (CH). Tento výsledek byl založen v roce 1916 Hausdorffem a Alexandroffem, kteří pracují samostatně. Dalšími důležitými „vlastnostmi pravidelnosti“studovanými v DST jsou vlastnost spočívající v tom, že je Lebesgue měřitelný, a tzv. Baireova vlastnost (lišit se od otevřené sady tzv. Skromnou sadou nebo sadou první kategorie).

V té době bylo také rozhodující studium analytických sad, jmenovitě souvislých obrazů borelských sad, nebo ekvivalentně projekcí borelských sad. Mladý ruský matematik Michail Suslin našel chybu v Lebesgueově 1905 monografii, když si uvědomil, že projekce sady Borel není obecně Borel [Suslin 1917]. Dokázal však prokázat, že analytické sady mají také dokonalou vlastnost sady, a tak ověřovat CH. Do roku 1923 Nikolai Lusin a Wacław Sierpiński studovali ko analytické sady a to je mělo vést k nové hierarchii projektivních sad, která začíná analytickými sadami ((Sigma ^ {1} _ {1})), jejich doplňky (ko-analytické, (Pi ^ {1} _ {1}) sady), projekce těchto posledních ((Sigma ^ {1} _ {2}) sady), jejich doplňky (sady (Pi ^ {1} _ {2})) atd. Během dvacátých let se na těchto nových typech souborů odvedlo mnoho práce, zejména polskými matematiky v okolí Sierpińského a ruskou školou Lusinovou a jeho studenty. Zásadním výsledkem, který získal Sierpiński, bylo to, že každá (Sigma ^ {1} _ {2}) množina je sjednocení (aleph_ {1}) borelských sad (to samé platí pro (Sigma ^ { 1} _ {1}) sady), ale tento druh tradičního výzkumu na toto téma by stagnoval zhruba po roce 1940 (viz Kanamori [1995]).

Lusin, Sierpiński a jejich kolegové brzy našli v práci extrémní potíže. Lusin byl natolik zoufalý, že v novinách z roku 1925 dospěl k „zcela neočekávanému“závěru, že „člověk neví a nikdy neví“, zda mají projektivní sady požadované vlastnosti pravidelnosti (citováno v Kanamori 1995: 250). Tyto připomínky jsou velmi zajímavé ve světle pozdějšího vývoje, který vedl k hypotézám, které řeší všechny relevantní otázky (zejména projektivní determinace). Zdůrazňují obtížné metodologické a filozofické otázky vyvolané těmito novějšími hypotézami, konkrétně problém týkající se druhu důkazů, který je podporuje.

Lusin shrnul stav techniky ve své knize Leçons sur les ensemble analytiques (Paříž, Gauthier-Villars) z roku 1930, která měla být klíčovým odkazem pro nadcházející roky. Od této práce je obvyklé prezentovat výsledky v DST pro Baireův prostor (^ { omega}) (omega) nekonečných sekvencí přirozených čísel, které ve skutečnosti zavedl René Baire v referát publikovaný v roce 1909. Baireův prostor je vybaven určitou topologií, díky níž je homeomorfní pro soubor iracionálních čísel a odborníci je považováno za „možná nejzákladnější objekt studia teorie množin“vedle souboru přirozená čísla [Moschovakis 1994, 135].

Tento proud práce na DST se musí počítat mezi nejdůležitější příspěvky teorie množin k analýze a topologii. To, co začalo jako pokus prokázat hypotézu Continuum, však nemohlo tohoto cíle dosáhnout. Brzy se pomocí Axiom of Choice ukázalo, že existují nelebebgueské měřitelné sady realů (Vitali 1905) a také nespočetné množiny realů bez dokonalé podmnožiny (Bernstein 1908). Tyto výsledky objasnily nemožnost dosažení cíle CH soustředěním na definovatelné a „dobře chované“sady realit.

Také s prací Gödel kolem roku 1940 (a také s nucením v 60. letech) vyšlo najevo, proč výzkum dvacátých a třicátých let stagnoval: základní nové výsledky nezávislosti ukázaly, že věty zavedené Suslinem (perfektní sada vlastností pro analytické sady), Sierpinski ((Sigma ^ {1} _ {2}) sady jako svazky (aleph_ {1}) borelských sad) a několik dalších bylo nejlepším možným výsledkem na základě axiometrického systému ZFC. To je důležité z filozofického hlediska: již zkoumání světa sad definovatelných z otevřených (nebo uzavřených) sad komplementem, počítatelným spojením a projekcí stačilo k dosažení limitů systému ZFC. Z toho vyplývá potřeba nových axiomů, které Gödel zdůraznil po druhé světové válce [Gödel 1947].

Podívejme se nyní na Cantorovo další hlavní dědictví, studium transfinitních čísel. V roce 1908 Hausdorff pracoval na nespočetných typech objednávek a představil hypotézu Generalized Continuum ((2 ^ { aleph_ {a}} = / aleph_ {a + 1})). On byl také první zvažovat možnost “přemrštěný” kardinál, jmenovitě slabě nepřístupný, tj. Pravidelný kardinál, který není nástupce (kardinál (alpha)) je volán pravidelný jestliže rozkládá se (alpha)) do součtu menších kardinálů vyžaduje (alfa) - mnoho takových čísel). O několik let později, na začátku roku 1910, Paul Mahlo studoval hierarchie tak velkých kardinálů v práci, která byla průkopníkem toho, co se mělo stát ústřední oblastí teorie množin; získal posloupnost nepřístupných kardinálů použitím určité operace, která zahrnuje představu stacionární podmnožiny; Říká se jim kardinál Mahlo. Studium velkých kardinálů se však vyvíjelo pomalu. Mezitím Hausdorffova učebnice Grundzüge der Mengenlehre (1914) představila dvě generace matematiků do teorie množin a obecné topologie.

Další klíčové kroky do „velmi vysokého“nekonečna byly provedeny v roce 1930. Pojem silně nepřístupných kardinálů pak izolovali Sierpiński & Tarski a Zermelo [1930]. Silný nepřístupný je běžný kardinál (alfa) takový, že (2 ^ x) je menší než (alfa) kdykoli (x <\ alfa). Zatímco slabé nepřístupnosti zahrnují pouze uzavření v rámci následnické operace, silné nepřístupnosti zahrnují mnohem silnější představu o uzavření v rámci operace powerets. Téhož roku Zermelo [1930] v průkopnickém článku o modelech ZFC vytvořil spojení mezi nespočetnými (silně) nepřístupnými kardinály a určitými „přírodními“modely ZFC (v jejichž práci se domníval, že operace powerets je, tedy říci, zcela určit).

Ve stejném roce byl Stanislaw Ulam veden úvahami vycházejícími z analýzy (teorie měření) k konceptu, který se měl stát ústředním: měřitelné kardinály. Ukázalo se, že tito kardinálové, definovaní měrou teoretickou vlastností, musí být (silně) nepřístupní. O mnoho let později se ukázalo (Hanf, který pracoval na Tarskiho dřívější práci), že první nepřístupný kardinál nelze měřit, což ukazuje, že tito noví kardinálové byli ještě „přemrštění“. Jak je vidět, polská škola vedená Sierpińskim měla při vývoji teorie množin mezi válkami velmi ústřední roli. Měřitelní kardinálové přišli na zvláštní význam v pozdních šedesátých letech, kdy bylo jasné, že existence měřitelného kardinála je v rozporu s Gödelovým axiomem konstruktivity ((V = L) ve třídní notaci). Toto opět potvrdilo Gödelova přesvědčení, vyjádřená v tom, co se někdy nazývá „Gödelův program“pro nové axiomy.

Set-teoretické matematiky pokračovala ve svém rozvoji do silné axiomatického a strukturálního přístupu, který měl vládnout hodně 20. ^thstoletí. Abych uvedl jen několik příkladů, Hilbertova raná axiomatická práce (např. V jeho arch-slavných základech geometrie) byla hluboce teoretická; Ernst Steinitz publikoval v roce 1910 svůj výzkum teorie abstraktních polí, přičemž nezbytně využil Axiom of Choice; a ve stejné době začalo studium funkčních prostor prací Hilberta, Maurice Frécheta a dalších. Během dvacátých a třicátých let minulého století byl první specializovaný matematický časopis Fundamenta Mathematicae věnován teorii množin tak, jak byly chápány (centrálně včetně topologie a teorie funkcí). V těch desetiletích přišla strukturální algebra, abstraktní topologie se postupně stala samostatným oborem studia a studium teorie množin začalo její metatheoretický obrat.

Od té doby se „teorie množin“obecně ztotožňuje s odvětvím matematické logiky, která studuje transfinitové množiny a vychází z Cantorova výsledku, že (mathbf {R}) má větší kardinálnost než (mathbf {N}). Ale jak ukazuje předchozí diskuse, teorie množin byla jak účinkem, tak příčinou vzestupu moderní matematiky: stopy tohoto původu jsou nesmazatelně vyraženy na jeho axiomatické struktuře.

Bibliografie

Citované práce

• Alexandroff, Pavel, 1916, „Sur la puissance des ensembleles mesurables B“, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, 162: 323–325.
• Asghari, Amir, 2019, „Ekvivalence: pokus o historii myšlenky“, Synthese, 196: 4657–4677.
• Baire, René, 1899, „Sur les fonctions de variable reelles“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, Serie IIIa, sv. 3, s. 1–122.
• –––, 1909, „Sur la représentation des fontions discontinues“, Acta Mathematica, 32: 97–176.
• Bernstein, Felix, 1908, „Zur Theorie der trigonometrischen Reihen“, Sitzungsberichte der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Math.-Phys. Klasse, 60: 325–338.
• du Bois – Reymond, Paul, 1875, „Ueber asymptotische Werthe, infinitäre Aproximationen a infinitäre Auflösung von Gleichungen“, Mathematische Annalen, 8: 363–414.
• Bolzano, Bernard, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Leipzig, Reclam; Anglický překlad Londýn, Routledge, 1920.
• Borel, Émile, 1898, Leçons sur la théorie des fontions, Paříž, Gauthier-Villars. 4 ^th edn 1950 s řadou dodatků.
• Cantor, Georg, 1872, „Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen“, Mathematische Annalen, 5: 123–132. V Cantor 1932: 92–102.
• –––, 1883, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, Leipzig: BG Teubner. V Cantor 1932: 165–208. Anglický překlad v Ewaldu 1996: sv. 2.
• –––, 1884, „Über unendliche, řádek Punktmannichfaltigkeiten, 6“, Mathematische Annalen, 23: 453–88. Přetištěno v Cantor 1932: 210–244.
• –––, 1892, „Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, 1: 75–78. Přetištěno v Cantor 1932: 278–280. Anglický překlad v Ewaldu 1996: sv.2.
• –––, 1895/97, „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre“, Cantor 1932: 282–351. Anglický překlad v Cantoru, Příspěvky k založení teorie transfinitních čísel, New York: Dover, 1955.
• –––, 1932, Gesammelte Abhandlungen Mathatischen und Filozofophischen Inhalts, E. Zermelo (ed.), Berlin: Springer. Reprint Hildesheim: Olms, 1966.
• Dauben, Joseph, 1979, Georg Cantor. Jeho matematika a filozofie nekonečna, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Dedekind, Richard, 1871, „Über die Komposition der binären quadratischen Formen“, dodatek X k GL Dirichlet a R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlentheorie, Braunschweig: Vieweg. [Pozdější vydání jako dodatek XI, z nichž čtvrté je přetištěno v New Yorku: Chelsea, 1968.] Částečný dotisk v Dedekindu 1930/32: svazek 3, 223–261.
• –––, 1872, Stetigkeit und iracionale Zahlen, Braunschweig: Vieweg. V Dedekind 1930/32: vol.3, 315–334. Anglický překlad v Ewaldu 1996: sv. 2.
• –––, 1876/77, „Sur la théorie des nombres entiers algébriques“, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, ^1. řada, XI (1876): 278–293; 2 ^nd série, I (1877): 17-41, 69-92, 144-164, 207-248. Samostatné vydání, Paříž: Gauthier-Villars, 1977. Překlad do angličtiny: J. Stillwell: Teorie algebraických celých čísel, Cambridge: Cambridge University Press, 2004.
• –––, 1888, Byl smutný a byl sollen zemřít Zahlen?, Braunschweig: Vieweg. In Dedekind 1930/32: sv. 3. Angličtina v Ewaldu 1996: sv. 2.
• –––, 1930/32. Gesammelte Mathatische Werke, R. Fricke, E. Noether & Ö. Ore (ed.), Braunschweig: Vieweg, 3 vol. Reprint New York: Chelsea, 1969.
• Dedekind, R. & Heinrich Weber, 1882, „Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderlichen“, Journal für reine und angew. Mathematik, 92: 181-290; dotisknuto v Dedekind 1930/32 (svazek 1), str. 238–350; Anglický překlad od Johna Stillwella, Teorie algebraických funkcí jedné proměnné, Providence: American Mathematical Society a London Mathematical Society, 2012.
• Ebbinghaus, HD, 2015, Ernst Zermelo: Přístup k jeho životu a práci, druhé vydání, Berlín: Springer Verlag.
• Ewald, William B., 1996, od Kant do Hilbert: Zdrojová kniha o základech matematiky, 2 svazky, Oxford: Oxford University Press.
• Feferman, Solomon, 1988, „Weyl potvrzen: Das Kontinuum o 70 let později“, přetištěn ve světle logiky, Oxford: Oxford University Press, 1998, kap. 13.
• Ferreirós, José, 1995, „„ Co ve mně léta léta “: Cantorův objev transfinitních čísel, Historia Mathematica, 22: 33–42.
• –––, 1999, Labyrint myšlení. Historie teorie množin a její role v moderní matematice, Basel: Birkhäuser.
• Frege, Gottlob, 1903, Grundgesetze der Arithmetik, sv. 2, Jena: Pohle. Reprint Hildesheim: Olms, 1966.
• Gödel, Kurt, 1933, „Současná situace v základech matematiky“, S. Feferman et al. (eds), Collected Works, sv. 3, Oxford University Press, s. 45–53.
• –––, 1947, „Co je Cantorův kontinuální problém?“, American Mathematical Monthly, 54. Přetištěno v S. Feferman et al. (eds), Collected Works, sv. 2, Oxford University Press, str. 176–187.
• Hallett, Michael, 1984, cantoriánská teorie množin a omezení velikosti, Oxford: Clarendon.
• Hausdorff, Felix, 1914, Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig: Viet. Přetištěno v New Yorku: AMS Chelsea Publishing, 1949. Přetištěno jako svazek II Hausdorff 2001–. Třetí vydání (1937) bylo přeloženo do angličtiny, 1957, Teorie množin, New York: AMS Chelsea Publishing. online skenování Hausdorff 1914.
• –––, 1916, „Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen“, Mathematische Annalen, 77 (3): 430–437. V Hausdorff [2001-], sv. 3. doi: 10,1007 / BF01475871
• –––, 2001–, Gesammelte Werke, 9 svazků, E. Brieskorn, W. Purkert, U. Felgner, E. Scholz a kol. (eds.), Berlin: Springer.
• van Heijenoort, Jean, 1967, Z Frege do Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press. Opakovaný tisk jako brožovaná vazba, 2000.
• Kanamori, Akihiro, 1995, „Vznik popisné teorie množin“, Synthese, 251: 241–262..
• –––, 1996, „Matematický vývoj teorie množin z Cantoru na Cohena“, Bulletin of Symbolic Logic, 2: 1–71.
• Lavine, Shaughan, 1994, Porozumění nekonečnu, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Lebesgue, Henri, 1902, „Intégrale, longueur, aire“, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 7 (1): 231–359.
• –––, 1905, „Sur les fonctions representéntables analytiquement“, Journal de Mathématiques, (řada 6e), 1: 139–216.
• Lusin, Nikolai, 1925, „Sur les ensembleles projectifs de M. Lebesgue“, Comptes Rendus Acad. Scie. Paříž, 180: 1572–74.
• –––, 1930, Leçons sur les Ensembles Analytiques et leurs Applications, s předmluvou Lebesgue a notou Sierpinského, Paříž: Gauthier-Villars.
• Mancosu, Paolo, 2009, „Měření velikosti nekonečných sbírek přirozených čísel: Byla teorie Cantorova nekonečného čísla nevyhnutelná?“, Přehled symbolické logiky, 2 (04): 612 - 646.
• Moore, Gregory H., 1982, Zermelo's Axiom of Choice. Jeho původ, vývoj a vliv, Berlín: Springer.
• Moore, Gregory H. & A. Garciadiego, 1981, „Paradox Burali-Forti: Přehodnocení jeho původů“, Historia Mathematica, 8: 319–50.
• Moschovakis, Yiannis N., 1994, Set Theory Notes, New York: Springer.
• Peckhaus, Volker a R. Kahle, 2002, „Hilbertův paradox“, Historia Mathematica, 29 (2): 157–175.
• Purkert, Walter a HJ Ilgauds, 1987, Georg Cantor 1845–1918, Basilej: Birkhäuser.
• Rang, Bernhard & W. Thomas, 1981, „Zermeloho objev„ Russell Paradoxu ““, Historia Mathematica, 8: 15–22.
• Riemann, Bernhard, 1854 / 1868a, „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“(Habilitationsvotrag), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 133–152. V Riemann 1892: 272–287. Anglický překlad Clifford, dotisknutý v Ewaldu 1996: sv. 2.
• –––, 1854 / 1868b, „Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe“, (Habilitationsschrift), Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1868): 87–132. V Riemann 1892: 227–265.
• –––, 1892, Gesammelte Mathatische Werke und wissenschaftlicher Nachlass, H. Weber a R. Dedekind (ed.), Leipzig, Teubner. Přetištěno (společně s Nachträge), M. Noether a W. Wirtinger (ed.), New York: Dover, 1953.
• Russell, Bertrand, 1903, Principy matematiky, Cambridge, University Press. Opakovaný tisk ^2. edn. (1937): London: Allen & Unwin, 1948.
• Sierpiński, Waclav, 1918, „L'axiome de M. Zermelo et son rôle dans la théorie des ensembleles et l'analyse“, Bulletin de l'Académie des Sciences de Cracovie (Cl. Sci. Math. A), 99–152; dotisknuto v Sierpiński, Oeuvres choisies, S. Hartman, et al. (eds.), svazek 2, Warszawa: Editions scientifiques de Pologne, 1974.
• Sierpiński, Waclav a Alfred Tarski, 1930, „Sur une propriété caractéristique des nombres nepřístupné“, Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300.
• Steinitz, Ernst, 1910, „Algebraische Theorie der Körper“, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 137: 167–309.
• Suslin, Michail Ya., 1917, „Sur une définition des ensembleles merables B sans nombres transfinis“, Comptes Rendues Acad. Sci. Paříž, 164: 88–91.
• Tomkowicz, G., a Wagon, S., 2019, The Banach-Tarski Paradox, druhé vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Vitali, G., 1905, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna: Gamberini e Parmeggiani.
• Whitehead, Alfred N. a Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 svazky, Cambridge: Cambridge University Press.
• Tait, William W., 2000, „Cantorův Grundlagen a paradoxy teorie množin“, mezi logikou a intuicí: Eseje na počest Charlese Parsonse, G. Sher a R. Tieszen (eds), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 269-290. Přetištěno v jeho Provenience čistého důvodu, Oxford: Oxford University Press, 2005, s. 252–275.
• Wang, Hao, 1974, „Koncepce souboru“, v oboru Od matematiky po filozofii, Londýn, Routledge; dotisk v P. Benacerraf a H. Putnam, filozofie matematiky: vybrané četby, Cambridge Univ. Press, 1983, 530–570.
• Zermelo, Ernst, 1904, „Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann“, Mathematische Annalen, 59: 514–516; v Zermelo [2010], sv. 1, 80–119. Anglický překlad ve van Heijenoort 1967 („Důkaz, že každý soubor může být dobře uspořádán“).
• –––, 1908, „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“, Mathematische Annalen, 65: 261–281;; v Zermelo [2010], sv. 1, 160–229. Anglický překlad v van Heijenoort 1967 („Vyšetřování v základech teorie množin I“).
• –––, 2010–2011, Collected Works / Gesammelte Werke, roč. I a II, H.-D. Ebbinghaus a kol. (eds.), Springer: Berlín,

Další čtení

• Cavaillès, Jean, 1962, Philosophie mathématique, Paříž: Hermann.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter, 2007, Ernst Zermelo: Přístup k jeho životu dílo, New York: Springer.
• Fraenkel, Abraham, 1928, Einleitung in die Mengenlehre, 3 ^rd edn. Berlín: Springer.
• Grattan-Guinness, Ivor (ed.), 1980, Od počtu k teorii množin, 1630–1910, Londýn: Duckworth.
• Kanamori, Akihiro, 2004, „Zermelo a teorie množin“, Bulletin of Symbolic Logic, 10 (4): 487–553.
• –––, 2007, „Gödel a teorie množin“, Bulletin of Symbolic Logic, 13 (2): 153–188.
• –––, 2008, „Cohenova a množinová teorie“, Bulletin of Symbolic Logic, 14 (3): 351–378.
• –––, 2009, „Bernaysova a množinová teorie“, Bulletin of Symbolic Logic, 15 (1): 43–60.
• Maddy, Penelope, 1988, „Believing the axioms“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 481–511; 53 (3): 736–764.
• Wagon, Stan, 1993, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge: Cambridge University Press.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Historie teorie množin, JJ O'Connor a EF Robertson, v archivu MacTutor History of Mathematics. Všimněte si, že jejich rekonstrukce je v některých bodech v konfliktu s tím, který je zde uveden.
• Godel's Program (PowerPoint), zajímavá přednáška Johna R. Steele (Mathematics, UC / Berkeley).
• Domovská stránka pro Axiom of Choice, spravovaná Ericem Schechterem (Mathematics, Vanderbilt University).