Moderní Původy Modální Logiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

První publikované Út 16. listopadu 2010; věcná revize po 8. května 2017

Na modální logiku lze pohlížet široce jako na logiku různých druhů modalit nebo režimů pravdy: aletická („nutně“), epistemická („to je známo“), deontická („to by mělo být tak“), nebo dočasný („byl tomu tak“) mimo jiné. Společné logické funkce těchto operátorů zdůvodňují společné označení. V přísném slova smyslu je však termín „modální logika“vyhrazen pro logiku aletických modalit, na rozdíl od například časové nebo deontické logiky. Z čistě technického hlediska lze jakoukoli logiku s nefunkčními operátory, včetně logiky prvního řádu, považovat za modální logiku: v tomto ohledu lze také kvantifikátory považovat za modální operátory (jako v Montague 1960).. Přesto se řídíme tradičním chápáním modální logiky, protože nezahrnujeme plnohodnotnou logiku prvního řádu. Z tohoto pohledu je možné považovat modální operátory za omezené kvantifikátory, které sahají přes speciální entity, jako jsou možné světy nebo dočasné okamžiky. Arthur Prior byl jedním z prvních filozofů / logiků, kteří zdůraznili tento modální systém S5 lze převést na zlomek logiky prvního řádu, který nazval „jednotný monadický predikát prvního řádu“(Prior and Fine 1977: 56). Monadic, protože pro S5 není třeba uvádět žádné vztahy mezi světy; a jednotný, protože je potřeba pouze jedna proměnná, aby se kvantifikoval svět (instanty), když je vázán, a odkazoval se na privilegovaný stav (skutečný svět nebo současnost), když je volný (viz Prior a Fine 1977). Pokud jde o technickou otázku, které modely-teoretické rysy charakterizují modální logiku chápanou jako dobře chované fragmenty logiky prvního řádu, viz Blackburnova a van Benthemova „Modální logika: sémantická perspektiva“(2007a).

Rozsah této položky je nedávný historický vývoj modální logiky, striktně chápaný jako logika nezbytnosti a možnosti, a zejména historický vývoj systémů modální logiky, syntakticky i sémanticky, z průkopnické práce CI Lewise, která začíná v roce 1912, s první systémy vytvořené v roce 1918, k práci S. Kripkeho na počátku šedesátých let. V tomto krátkém časovém úseku kratším než padesát let vzrostla modální logika filozoficky i matematicky. Matematicky byly vyvinuty různé modální systémy a pokroky v algebře pomohly podpořit teorii modelů pro takové systémy. To vyvrcholilo vývojem formální sémantiky, která rozšířila modální logiku o úspěšné teoretické techniky prvního řádu, a tím poskytla mnoho systémů, ale ne všechny, úplnost a rozhodnutelnost. Filozoficky byla dostupnost různých systémů a přijetí možných světových modelů - teoretická sémantika přirozeně doprovázena úvahami o povaze možnosti a nezbytnosti, o různých druzích potřeb, o úloze formální sémantiky ao povaze formální sémantiky. možné světy, abychom zmínili jen pár. Zejména dostupnost různých systémů přináší do popředí filosofickou otázku, která modální logika je ta správná, a to při určité zamýšlené interpretaci modálních operátorů, např. Jako logické nebo metafyzické nezbytnosti. Quine naléhavě vznesl otázky týkající se interpretovatelnosti modální logiky, zejména kvantifikované modální logiky. Všechny tyto otázky se v tomto příspěvku nezabývají, což je většinou věnováno formálnímu vývoji předmětu.dostupnost různých systémů a přijetí možných světových modelů - teoretická sémantika byly přirozeně doprovázeny úvahami o povaze možnosti a nezbytnosti, o různých druzích potřeb, o roli formální sémantiky ao povaze možných světů, abychom zmínili jen pár. Zejména dostupnost různých systémů přináší do popředí filosofickou otázku, která modální logika je ta správná, a to při určité zamýšlené interpretaci modálních operátorů, např. Jako logické nebo metafyzické nezbytnosti. Quine naléhavě vznesl otázky týkající se interpretovatelnosti modální logiky, zejména kvantifikované modální logiky. Všechny tyto otázky se v tomto příspěvku nezabývají, což je většinou věnováno formálnímu vývoji předmětu.dostupnost různých systémů a přijetí možných světových modelů - teoretická sémantika byly přirozeně doprovázeny úvahami o povaze možnosti a nezbytnosti, o různých druzích potřeb, o roli formální sémantiky ao povaze možných světů, abychom zmínili jen pár. Zejména dostupnost různých systémů přináší do popředí filosofickou otázku, která modální logika je ta správná, a to při určité zamýšlené interpretaci modálních operátorů, např. Jako logické nebo metafyzické nezbytnosti. Quine naléhavě vznesl otázky týkající se interpretovatelnosti modální logiky, zejména kvantifikované modální logiky. Všechny tyto otázky se v tomto příspěvku nezabývají, což je většinou věnováno formálnímu vývoji předmětu.

Modální logika je bohatý a složitý předmět. Tato položka nepředstavuje úplný přehled o všech vyvinutých systémech a o všech teoretických výsledcích modelu prokazatelně po uplynutí uvažovaného času. Nabízí však smysluplný přehled hlavních systémů a snaží se být užitečný pro ty, kteří hledají historický nástin předmětu, který, i když ne all-inclusive, vymezuje nejzajímavější teoretické výsledky modelu a naznačuje další linie zkoumání. Bull a Segerberg je (1984: 3) užitečné rozdělení původních zdrojů modální logiky do tří odlišných tradic - syntaktické, algebraické a teoretické - je přijato. Pro jiné méně vlivné tradice, viz Bull a Segerberg (1984: 16). Viz také Lindström a Segerbergova „Modální logika a filozofie“(2007). Hlavním zaměřením této položky je výroková modální logika, přičemž jsou diskutovány pouze některé konkrétní aspekty sémantiky kvantifikované modální logiky. Podrobnější zpracování kvantifikované modální logiky najdete v položce SEP o modální logice. Pokud jde o zápis záznamu, všimněte si, že (Rightarrow) je přijata namísto Lewisova lovu ryb pro přísné implikace, a (Leftrightarrow) pro přísné rovnocennosti.

1. Syntaktická tradice
- 1.1 Lewis Systems
- 1.2 Jiné systémy a alternativní axiomatizace Lewisových systémů
2. Maticová metoda a některé algebraické výsledky
3. Modelová teoretická tradice
- 3.1 Carnap
- 3.2 Sémantika možných světů Kripkeho
Bibliografie
- Úvodní texty
- Primární literatura
- Sekundární literatura
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

1. Syntaktická tradice

V pionýrském článku Mind „Implication and Algebra of Logic“z roku 1912 začal CI Lewis vyjadřovat své obavy ohledně tzv. „Paradoxů materiální implikace“. Lewis poukazuje na to, že v knize Principia Mathematica od Russella a Whiteheadse najdeme dvě „překvapující věty: (1) nepravdivá tvrzení znamená jakýkoli návrh a (2) skutečná tvrzení je vyjádřena jakýmkoli tvrzením“(1912: 522). V symbolech:

) tag {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

) tag {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Lewis nemá žádné námitky proti těmto větám samy o sobě:

Samy o sobě nejsou ani tajemnými výroky, ani velkými objevy ani hrubými absurditami. Vykazují pouze v ostrém obrysu význam „implikuje“, který byl začleněn do algebry. (1912: 522)

Věty jsou však nedostatečné ve vztahu k zamýšlenému významu „implikace“a našim skutečným způsobům usuzování, které se zamýšlený význam snaží zachytit. Lewis má tedy na mysli zamýšlený význam podmíněného spojovacího (rightarrow) nebo (supset), a to je význam anglického slova „implikuje“. Význam „implikuje“je „obyčejný odvození a důkaz“(1912: 531), podle kterého tvrzení znamená další tvrzení, pokud lze druhou logicky odvodit z první. Vzhledem k takové interpretaci (1) a (2) by neměly být věty a výroková logika může být považována za nezdravou ve vztahu ke čtení (rightarrow) jako logický důsledek. Zvažte například (2):z čiré pravdy výroku (p) nevyplývá (logicky), že (p) logicky vyplývá z jakéhokoli výroku. Navíc, vzhledem k zamýšlenému přísnému čtení (rightarrow) jako logické implikace a rovnocennosti ((neg p / rightarrow q)) a ((p / vee q)), Lewis vyvrací tuto disjunkci také musí dostat nový intenzivní smysl, podle kterého ((p / vee q)) platí jen pro případ, že (p) by tomu tak nebylo, muselo by to být tak, že (q).

Úvahy tohoto druhu, založené na rozdílu mezi extenzivním a intenzivním čtením spojivek, nebyly Lewisovi originální. Již v roce 1880 Hugh MacColl v prvním ze série osmi článků o symbolickém uvažování publikovaných v Mindu tvrdil, že ((p / rightarrow q)) a ((neg p / vee q)) nejsou ekvivalentní: ((neg p / vee q)) vyplývá z ((p / rightarrow q)), ale ne naopak (MacColl 1880: 54). Toto je případ, protože MacColl interpretuje (vee) jako pravidelný prodlužovací disjunkce a (rightarrow) jako intenzivní implikaci, ale pak z falešnosti (p) nebo pravdy o (q) nevyplývá z toho, že (p) bez (q) je logicky nemožné. Ve druhém příspěvku série rozlišuje MacColl mezi jistotami, možnostmi a proměnnými,a představuje řecké dopisy jako indexy pro klasifikaci propozic. Takže (alpha ^ { varepsilon}) vyjadřuje, že (alpha) je jistota, (alpha ^ { eta}), že (alfa) je nemožnost, a (alpha ^ { theta}), že (alfa) je proměnná, tj. ani jistota, ani nemožnost (MacColl 1897: 496–7). Pomocí této trojité klasifikace prohlášení MacColl pokračuje v rozlišování mezi příčinnou a obecnou implikací. Příčinná souvislost platí mezi příkazy (alfa) a (beta), pokud je vždy pravda, že (alfa) je (beta) a (beta) není jistota. Obecná implikace platí mezi (alfa) a (beta), kdykoli (alfa) není a (- / beta) nemožná, zejména kdykoli není možné (alfa). nebo (beta) jistota (1897: 498). Použití indexů otevřelo dveře iteraci modalit a začátek třetího článku série (MacColl 1900: 75–6) je věnován objasnění významu výroků s iterovanými indexy, včetně (tau) pro pravdu a (iota) pro negaci. Takže například (A ^ { eta / iota / varepsilon}) se čte jako „Je jisté, že je nepravdivé, že A je nemožné“(všimněte si, že indexy se čtou zprava doleva). Je zajímavé, že Bertrand Russellova recenze knihy MacColl z roku 1906 o symbolické logice a jejích aplikacích (1906) odhaluje, že Russell nerozuměl modální myšlence variability výroku, a proto nesprávně připisoval MacCollovi záměnu vět a návrhů, která umožňovala připisovat variabilitu pouze věty, jejichž význam, tedy pravdivá hodnota, nebyl stanoven. Podobně,jistota a nemožnost jsou pro Russellovy materiální vlastnosti výrokových funkcí (platí o všem nebo o ničem) a nikoli o modálních vlastnostech výroků. Dalo by se říci, že MacCollova práce přišla příliš brzy a dopadla na hluché uši. Rescher ve skutečnosti podává zprávy o Russellově deklarované obtížnosti v porozumění MacCollovy symboliky a co je důležitější, argumentuje, že Russellův pohled na logiku měl negativní dopad na vývoj modální logiky („Bertrand Russell a Modal Logic“v Rescher 1974: 85–96). Navzdory dřívější práci MacColla lze Lewise považovat za otce syntaktické tradice, nejen kvůli jeho vlivu na pozdější logisty, ale zejména kvůli zavedení různých systémů obsahujících nové intenzivní spojky.

1.1 Lewis Systems

V „počtu přísných implikací“(1914) Lewis navrhuje dvě možné alternativy k rozšiřujícímu systému Whitehead a Russellova Principia Mathematica. Jeden způsob, jak zavést systém přísných implikací, spočívá v tom, že se ze systému odstraní ty věty, které, stejně jako výše uvedené body (1) a (2), platí pouze pro materiální implikace, ale nikoli pro důsledné důsledky, čímž se získá zvukový systém pro materiál důsledné důsledky, ale v žádném případě úplné. Druhá, plodnější alternativa spočívá v zavedení nového systému přísných implikací, stále modelovaného na Whiteheadově a Russellově systému materiální implikace, který bude obsahovat (všechny nebo část) rozšiřující výrokovou logiku jako správnou součást, ale usilující o úplnost pro přinejmenším přísné důsledky. Tato druhá možnost je dále rozpracována v Přehledu symbolické logiky (1918). Tam Lewis zavádí první systém, jehož cílem je zachytit obyčejný, přísný pocit implikace, vedený myšlenkou, že:

Pokud „implikuje“nemá nějaký „správný“význam, neexistuje žádné kritérium platnosti, není ani možné argumentovat otázkou, zda existuje nebo ne. A přesto otázka Co znamená „správný“význam „implikuje“? zůstává zvláštně obtížné. (1918: 325)

1918 systém bere jako primitivní představu nemožnosti ((neg / Diamond)), definuje operátora přísné implikace v jeho podmínkách, a ještě zaměstnává operátora intenzivní disjunkce. Post však prokáže, že tento systém vede ke kolapsu nutnosti pravdy - alternativně nemožnosti nepravdivosti - od jedné z jeho vět (((p / Rightarrow q) Leftrightarrow) / neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) lze prokázat, že ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). V roce 1920, „Strict Implication-An Emendation“, Lewis opraví systém nahrazením starého axiomu slabším: (((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). Konečně, v příloze II svazku symbolické logiky Lewise a Langforda (1932:492–502) „Struktura systému přísných implikací“má systém z roku 1918 nový axiomatický základ.

V 1932 dodatku CI Lewis představuje pět různých systémů. Modální primitivní symbol je nyní operátorem možnosti (Diamond), striktní implikace ((p / Rightarrow q)) je definována jako (neg / Diamond (p / wedge / neg q)) a (vee) je obyčejné prodloužení disjunkce. Operátor nutnosti (Box) může být také zaveden a definován, ačkoli Lewis ne, obvyklým způsobem jako (neg / Diamond / neg).

Kde (p, q) a (r) jsou výrokové proměnné, má systém S1 následující axiomy:

Axiomy pro S1

) begin {zarovnat} tag {B1} (p / wedge q) & / Rightarrow (q / wedge p) / \ tag {B2} (p / wedge q) & / Rightarrow p \\ / tag {B3 } p & / Rightarrow (p / wedge p) / \ tag {B4} ((p / wedge q) wedge r) & / Rightarrow (p / wedge (q / wedge r)) / \ tag {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / \ tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) & / Rightarrow q \\ / end {zarovnat})

Axiom B5 prokázal nadbytečnost McKinsey (1934), a proto jej lze ignorovat.

Pravidla jsou (1932: 125–6):

Pravidla pro S1

Jednotná náhrada

Platný vzorec zůstává platný, pokud je v něm jednotně nahrazen propoziční proměnná.

Substituce přísných ekvivalentů

Každý ze dvou přísně ekvivalentních vzorců může být nahrazen jeden za druhý.

Adjunkce

Pokud byly odvozeny (Phi) a (Psi), lze odvodit (Phi / wedge / Psi).

Přísný závěr

Pokud byly odvozeny (Phi) a (Phi / Rightarrow / Psi), může být odvozen (Psi).

Systém S2 se získává ze systému S1 přidáním toho, co Lewis nazývá „postulát konzistence“, protože zřejmě platí pro (Diamond) interpretovaný jako konzistence:

) tag {B8} Diamond (p / wedge q) Rightarrow / Diamond p)

Systém S3 se získá ze systému S1 přidáním axiomu:

) tag {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p)))

Systém S3 odpovídá 1918 systému průzkumu, který Lewis původně považoval za správný systém pro přísné implikace. Do roku 1932 se Lewis upřednostnil systém S2. Důvodem, jak bylo uvedeno v Lewisovi 1932: 496, je to, že jak Wajsberg, tak Parry odvodili v systému S3 v jeho axiomatizaci z roku 1918 - následující věta:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

které by podle Lewise nemělo být považováno za platný princip odpočtu. V roce 1932 si Lewis není jistý, že sporná věta není v S2 odvozitelná. Pokud by tomu tak bylo, pak by rozhodl o S1 jako o správném systému pro důsledné důsledky. Parry (1934) však později prokáže, že ani A8 ani

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

lze odvodit v S2.

Do všech těchto systémů lze přidat další axiom existence:

) tag {B9} (existuje p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

Přidání B9 znemožňuje interpretovat (Rightarrow) jako materiální implikaci, protože v případě materiální implikace lze prokázat, že pro jakékoli návrhy (p) a (q, ((p / rightarrow q)) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). Z B9 Lewis přistupuje k odvození existence nejméně čtyř logicky odlišných výroků: jeden pravdivý a nezbytný, jeden pravdivý, ale ne nutný, jeden nepravdivý a nemožný, jeden nepravdivý, ale ne nemožný (1932: 184–9).

Po Beckerovi (1930) zvažuje Lewis další tři axiomy:

Tři další axiomy

) begin {zarovnat} tag {C10} neg / Diamond / neg p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / neg / Diamond / neg p \\ / tag {C11} Diamond p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p \\ / end {zarovnat})

Systém S4 přidává axiom C10 k základu S1. Systém S5 přidá k základu S1 axiom C11 nebo alternativně C10 a C12. Lewis uzavírá dodatek II tím, že poznamenává, že studii logiky nejlépe poslouží zaměření na systémy slabší než S5 a ne výhradně na S5.

Rovněž vznikají paradoxy přísné implikace podobné těm, které mají materiální implikace. Vzhledem k tomu, že striktní implikace ((p / Rightarrow q)) je definována jako (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), vyplývá z toho, že nemožné tvrzení znamená cokoli a že je zahrnuta nutná tvrzení cokoli. Lewis tvrdí, že je to tak, jak má. Protože nemožnost je považována za logickou nemožnost, tj. Nakonec rozpor, Lewis tvrdí, že z nemožného výroku, jako je ((p / wedge / neg p)), oba (p) a (neg p) následovat. Z (p) můžeme odvodit ((p / vee q)) pro jakoukoli nabídku (q). Z (neg p) a ((p / vee q)) můžeme odvodit (q) (1932: 250). Tento argument je kontroverzní, protože si můžeme myslet, že princip ((p / Rightarrow (p / vee q))) by neměl být větou systému, který by chtěl vyjádřit obyčejné implikace (viz např. Nelson 1930: 447). Ať už je tento argument jakýkoli, ti, kteří nesouhlasili s Lewisem, začali rozvíjet logiku entealmentu založenou na předpokladu, že entailment vyžaduje více než Lewisův přísný důsledek. Viz například Nelson 1930, Strawson 1948 a Bennett 1954. Viz také položka SEP týkající se logiky relevance.

Všimněte si, že to bylo Lewisovo hledání systému schopného vyjádřit striktní implikace, které přimělo Quine odmítnout modální systémy, jak je založeno na zmatku použití-zmínka, pokud byly takové systémy formulovány tak, aby na úrovni objektu vyjadřovaly důkazní teoretické nebo sémantické představy jako konzistence, implikace, derivovatelnost a věta (ve skutečnosti, kdykoli (p / rightarrow q) je výroková věta, systém S1, a tak všechny ostatní silnější Lewisovy systémy také dokážou (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Jiné systémy a alternativní axiomatizace Lewisových systémů

Gödel v „Interpretace intuitivního prozatímního počtu“(1933) je první, kdo navrhl alternativní axiomatizaci Lewisova systému S4, která odděluje výrokový základ systému od modálních axiomů a pravidel. Gödel přidává následující pravidla a axiomy do výrokového počtu.

) begin {align *} tag {Necessitation} textrm {If} mvdash / alpha & / textrm {then} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q), \\ / tag {Axiom T} mvdash / Box p & / rightarrow p / textrm {a} / \ tag {Axiom 4} mvdash / Box p & / rightarrow / Box / Box p. \\ / end {zarovnat *})

Zpočátku Gödel zaměstnává operátora (B) prokazatelnosti k překladu Heytingových primitivních intuicionistických spojek, a pak poznamenává, že pokud nahradíme (B) operátorem nezbytnosti, získáme systém S4. Gödel také tvrdí, že vzorec (Box p / vee / Box q) není v S4 prokazatelný, ledaže je (Box p) nebo (Box q) prokazatelný, analogicky s intuicionálním disjunkcí. Gödelův požadavek bude algebraicky prokázán McKinsey a Tarski (1948). Gödelova krátká nota je důležitá pro zahájení plodné praxe axiomatizujících modálních systémů oddělujících výrokový počet od přísně modální části, ale také pro propojení intuicionální a modální logiky.

Feys (1937) je první, kdo navrhl systém T odečtením axiomu 4 od Gödelova systému S4 (viz také Feys 1965: 123–124). V eseji v logice způsobového slovesa (1951) von Wright popisuje alethic, epistemická a deontické způsoby, a zavádí systém M, který Sobociński (1953), se ukáže být ekvivalentní Feys' systému T. Von Wright (1951: 84 - 90) ukazuje, že systém M obsahuje Lewisovu S2, který obsahuje S1 -kde systému S se říká, že obsahují systémové S ‚pokud jsou všechny formule dokazatelné v S‘ může být prokázána v S příliš. Systém S3, rozšíření o S2, není obsažen v M. Ani M není obsaženo v S3. Von Wright shledá S3 malého nezávislého zájmu a nevidí důvod přijmout S3 místo silnějšího S4. Obecně jsou Lewisovy systémy číslovány v pořadí síly, přičemž S1 je nejslabší a S5 nejsilnější a slabší systémy jsou obsaženy v silnějších systémech.

Lemmon (1957) také sleduje Gödel v axiomatizaci modálních systémů na základě výrokového počtu a představuje alternativní axiomatizaci Lewisových systémů. Kde PC je základ výrokového počtu, PC lze charakterizovat jako následující tři pravidla (1957: 177):

Charakterizace výrokového počtu PC

PCa Pokud (alpha) je tautologie, pak (mvdash / alpha)
Substituce PCB pro výrokové proměnné
Odpojení materiálu PCc / Modus Ponens: Pokud jsou (alfa) a (alfa / rightarrow / beta) tautologiemi, pak je to také (beta)

Další pravidla v Lemmonově systému jsou:

(a) Pokud (mvdash / alpha), pak (mvdash / Box / alpha) (Necessitation)
(a ') Pokud (alpha) je tautologie nebo axiom, pak (mvdash / Box / alpha)
(b) Pokud (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)), pak (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
b ') Nahrazitelnost přísných ekvivalentů.

Další axiomy v Lemmonově systému jsou:

) begin {zarovnat} tag {1} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow / Box (Box p / rightarrow / Box q) / \ tag {1 '} Box (p / rightarrow q)) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q) & / textrm {(Axiom K)} / \ tag {2} Box p & / rightarrow p & / textrm {(Axiom T)} / \ tag { 3} (Box (p / rightarrow q) wedge / Box (q / rightarrow r)) & / rightarrow / Box (p / rightarrow r) / \ end {zarovnat})

Pomocí výše uvedených pravidel a axiomů Lemmon definuje čtyři systémy. Systém P1, který se osvědčil jako ekvivalent systému Lewis S1, využívá výrokový základ (PC), pravidla (a ') - nutnost tautologií a axiomů - a (b') a axiomů (2) a (3). Systém P2, ekvivalentní S2, používá (PC), pravidla (a ') a (b) a axiomy (2) a (1'). Systém P3, ekvivalentní S3, používá (PC), pravidlo (a ') a axiomy (2) a (1). Systém P4, ekvivalentní S4, používá (PC), pravidlo (a) a axiomy (2) a (1). V Lemmonově axiomatizaci je snadno vidět, že S3 a von Wrightův systém M (Feys ' T) nejsou navzájem zahrnuty, vzhledem k silnějšímu pravidlu nutnosti M a silnějšímu axiomu S3 (1) místo (1')) = K. Obecně lze říci, že Lemmonova axiomatizace umožňuje výraznější logické rozlišení mezi různými Lewisovými systémy.

Lemmon také považuje některé systémy za slabší než S1. Zvláště zajímavý je systém S0.5, který oslabuje S1 nahrazením pravidla (a ') slabším pravidlem (a ″):

(a ″) Pokud je (alfa) tautologie, pak (mvdash / Box / alpha)

Lemmon interpretuje systém S0.5 jako formalizovanou metalogiku výrokového počtu, kde (Box / alpha) je interpretován jako „(alfa) je tautologie“.

Nazýváme „normální“systémy, které zahrnují PC, axiom K a pravidlo nezbytnosti. Systém K je nejmenší normální systém. Systém T přidává axióma T do systému K. Systém B (Brouwersche systém) přidává axiom B

) mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(odpovídá Beckerově C12)})

do systému T. S4 přidá do systému T axiom 4 (ekvivalent Beckerova C10). S5 přidává axiomy B a 4, nebo alternativně axiom E

) mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(ekvivalent Beckerova C11)})

do systému T. Lewisovy systémy S1, S2 a S3 jsou neobvyklé vzhledem k tomu, že neobsahují pravidlo nezbytnosti. Vztah mezi těmito (a jinými) systémy a podmínky rámců, které axiomy ukládají, najdete v položce SEP na modální logice.

Uvádíme zde pouze několik z mnoha rozšíření systémů Lewis, o nichž se v literatuře diskutuje. Alban (1943) představil systém S6 přidáním k S2 axiom (mvdash / Diamond / Diamond p). Halldén (1950) volá S7 systém, který přidává axiom (mvdash / Diamond / Diamond p) do S3, a S8 systém, který rozšiřuje S3 s přidáním axiomu (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p). Zatímco přidání axiomu univerzální možnosti (mvdash / Diamond p) by bylo neslučitelné se všemi Lewisovými systémy, protože všechny obsahují věty tvaru (mvdash / Box p), systémy S6, S7 a S8 jsou konzistentní. Místo toho přidání jednoho z těchto axiomů do S4, a tedy také do S5, vede k nekonzistentnímu systému, vzhledem k tomu, že v S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Halldén také dokázal, že formule je věta S3, a to pouze tehdy, je-li věta S4 i S7 (1950: 231–232), tedy S4 a S7 jsou dvě alternativní rozšíření S3.

2. Maticová metoda a některé algebraické výsledky

V „Filozofických poznámkách o mnoha hodnotných systémech výrokové logiky“(1930. Ale Łukasiewicz 1920 je předběžná polská verze hlavních myšlenek tohoto článku) Łukasiewicz říká:

Když jsem v roce 1920 poznal neslučitelnost tradičních vět o modálních výrokech, byl jsem zaměstnán zavedením systému obyčejného „dvouhodnotového“výrokového počtu pomocí maticové metody. V té době jsem se uspokojil, že všechny teze obyčejného výrokového počtu lze prokázat za předpokladu, že jejich výrokové proměnné mohou předpokládat pouze dvě hodnoty, „0“nebo „nepravda“a „1“nebo „pravda“. (1970: 164)

Tato pasáž dobře ilustruje, jak Łukasiewicz uvažoval o logice na počátku dvacátých let. Nejprve uvažoval spíše algebraicky, než syntakticky, že se netýká tolik s konstrukcí nových systémů, ale s hodnocením systémů relativně k množinám hodnot. Zadruhé zaváděl tříhodnotové matice, aby vytvořil logický prostor pro představy o propozicích (zejména o budoucích kontingentech), které nejsou ani pravdivé, ani nepravdivé a které dostávají novou neurčitou hodnotu ½. Je ironií, že pozdější práce využívající jeho původní maticovou metodu ukáží, že naději na modální logiku jako na systém se třemi hodnotami nelze realizovat. Viz také položka SEP o logice s mnoha hodnotami.

Matice pro výrokovou logiku L je dána (i) množinou K prvků, pravdivostních hodnot, (ii) neprázdnou podmnožinou (D / subseteq K) určených pravdivých hodnot a (iii) operace na množině K, to je funkce od (n) - n-tice pravdivých hodnot na pravdivé hodnoty, které odpovídají spojivům L. Matice vyhovuje vzorci A v rámci přiřazení elementů K (sigma) k proměnným A, pokud je hodnota A pod (sigma) členem D, tj. Určené hodnoty. Matice vyhovuje vzorci, pokud ji splňuje při každém přiřazení (sigma). Matice pro modální logiku M rozšiřuje matici pro výrokovou logiku přidáním unární funkce, která odpovídá spojovacímu (Diamond).

Matice se obvykle používají k prokázání nezávislosti axiomů systému a jejich konzistence. Konzistence dvou vzorců A a B je stanovena maticí, která pod přiřazením (sigma) přiřadí oběma vzorcům určené hodnoty. Nezávislost vzorce B od vzorce A je stanovena maticí, která (i) zachovává platnost pravidel systému a že (ii) při interpretaci (sigma) přiřadí A, ale ne B, určenou hodnotu. Parry (1939) používá maticovou metodu, aby ukázal, že počet modalit Lewisových systémů S3 a S4je konečný. Modalita je modální funkce jedné proměnné, která obsahuje pouze operátory (neg) a (Diamond). Stupeň modality je dán počtem obsažených operátorů (Diamond). Správná modalita je o stupeň vyšší než nula. Správné způsoby mohou mít čtyři různé formy:

) begin {zarovnat} tag {1} neg / ldots / Diamond p \\ / tag {2} Diamond / ldots / Diamond p \\ / tag {3} neg / ldots / Diamond / neg p / \ / tag {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {zarovnat})

Nevhodné způsoby jsou (p) a (neg p) (1939: 144). Parry dokazuje, že S3 má 42 odlišných modalit a že S4 má 14 odlišných modalit. Již bylo známo, že systém S5 má pouze 6 odlišných modalit, protože redukuje všechny modality na modality stupně nula nebo jedna. Parry zavádí systém S4.5 přidáním k S4 následující axiomu:

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / neg / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond p.)

Systém snižuje počet modalit S4 ze 14 na 12 (nebo 10 správných). Přidání stejného axiomu k Lewisovu systému S3 má za následek systém s 26 odlišnými modalitami. Navíc, pokud přidáme

) mvdash / neg / Diamond / neg / Diamond / Diamond p / Rightarrow / neg / Diamond / neg / Diamond p)

na S3 získáme odlišný systém s 26 modalitami, které jsou také mezi S3 a S4. Proto počet způsobů jednoznačně neurčuje systém. Systémy S1 a S2, stejně jako T a B, mají nekonečný počet modalit (Burgess 2009, kapitola 3 o modální logice, diskutuje o dalších systémech S4.2 a S4.3 a dobře vysvětluje snížení modalit v různých systémech)..

Charakteristická matice pro systém L je matice, která splňuje všechny a pouze věty L. Matice je konečná, pokud je její množina K hodnot pravdy konečná. Konečná charakteristická matice poskytuje rozhodovací postup, kdy je systém rozhodnutelný, pokud je každý vzorec systému, který není věta, falšován nějakou konečnou maticí (jedná se o vlastnost konečného modelu). Přesto Dugundji (1940) ukazuje, že žádný ze S1 - S5 nemá konečnou charakteristickou matici. Proto žádný z těchto systémů nelze považovat za logiku (n) s hodnotou pro konečnou (n). Později Scroggs (1951) prokáže, že každé správné rozšíření S5, které zachovává oddělení pro materiální implikace a je uzavřeno za substituce, má konečnou charakteristickou matici.

Přes jejich chybějící konečnou charakteristickou matici, McKinsey (1941) ukazuje, že systémy S2 a S4 jsou rozhodnutelné. K prokázání těchto výsledků zavádí McKinsey modální matice ((K, D, -, *, / times)), přičemž (-), (*) a (times) odpovídají negaci, možnosti a spojení. Matice je normální, pokud splňuje následující podmínky:

pokud (x / in D) a ((x / Rightarrow y) in D) a (y / in K), potom (y / in D),
pokud (x / in D) a (y / in D), pak (x / times y / in D),
pokud (x / in K) a (y / in K) a (x / Leftrightarrow y / in D), potom (x = y).

Tyto podmínky odpovídají Lewisovým pravidlům týkajícím se přísného odvozování, přizpůsobování a nahrazování přísných ekvivalentů. Struktura důkazu McKinseyho je následující. Důkaz využívá tři kroky. Za prvé, pomocí nezveřejněné metody Lindenbaum, kterou mu vysvětlil Tarski a která platí pro systémy, které mají pravidlo pro substituci pro výrokové proměnné, McKinsey ukazuje, že existuje znaková matice S2 (M = (K, D, -, *, / times)), který nesplňuje podmínku iii), a je proto neobvyklý. M je triviální matice, jejíž doména je množina vzorců systému, jejíž určené prvky jsou věty systému a jejichž operace jsou spojovacími prvky. Triviální matice M nesplňuje (iii) vzhledem k tomu, že pro některé odlišné vzorce A a B je (A / Leftrightarrow B) S2 - věta. Za druhé, McKinsey ukazuje, jak z M vytvořit normální, ale stále nekonečnou, S2 -charakteristickou matici (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)), jejíž prvky jsou ekvivalenční třídy prokazatelně rovnocenné vzorce S2, tj. vzorců A a B tak, že (A / Leftrightarrow B) je věta S2 a jejichž operace jsou odpovídajícím způsobem upraveny. Například pokud (E (A)) je sada vzorců prokazatelně ekvivalentních s A a (E (A) v K_1), potom (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) přesně vyhovuje vzorcům splněným M bez porušení podmínky (iii), proto se jedná o charakteristickou normální matici pro S2 ((M_1) je Lindenbaumova algebra pro S2). Nakonec je ukázáno, že pro každý vzorec A, který není větou S2, existuje konečná a normální matice (subalgebra (M_1)), která jej falšuje. Podobný důkaz je uveden pro S4.

Matice je zvláštní druh algebry. Algebra je matice bez množiny D určených prvků. Booleovské algebry odpovídají maticím pro výrokovou logiku. Podle Bull a Segerberg (1984: 10) zobecnění z matic na algebry mohlo mít za následek povzbuzení studia těchto struktur nezávisle na jejich spojení s logickými a modálními systémy. Soubor určených prvků D ve skutečnosti usnadňuje definici platnosti, s ohledem na kterou lze věty systému vyhodnotit. Bez takové sady je nejviditelnější odkaz na logiku přerušen. Pro matematický vývoj předmětu byla také zásadní druhá zobecnění do tříd algebras, nikoli pouze na jednotlivé algebry. Tarski je v tomto vývoji vrcholnou postavou.

Jónsson a Tarski (1951 a 1952) představují obecnou myšlenku booleovských algebras s operátory, tj. Rozšíření booleovských algebras přidáním operátorů, které odpovídají modálním spojením. Prokazují obecnou reprezentační větu pro booleovské algebry s operátory, které rozšiřují Stoneův výsledek pro booleovské algebry (každá booleovská algebra může být reprezentována jako množinová algebra). Tato práce Jónsson a Tarski se vyvinula z Tarského čistě matematického studia algebry vztahů a neobsahuje žádný odkaz na modální logiku nebo vůbec logiku obecně. Jónssonova a Tarského věta je (obecnějším) algebraickým analogem Kripkových pozdějších sémantických výsledků úplnosti, ale to se po určitou dobu neuskutečnilo. Tarski si nebyl vědom toho spojení,zdá se však, že jak Kripke, tak Lemmon nečetli dokumenty Jónsson a Tarski v době, kdy vykonávali modální práci na konci padesátých a šedesátých let, a Kripke tvrdí, že stejného výsledku dosáhli samostatně.

Lemmon (1966a a 1966b) přizpůsobuje algebraické metody McKinseyho, aby dokázal výsledky rozhodovatelnosti a reprezentační věty pro různé modální systémy včetně T(ačkoli zjevně v nevědomosti Jónsson a Tarski práce). Zejména rozšiřuje McKinseyho metodu zavedením nové techniky pro konstrukci konečných algebras podmnožin struktury modelu Kripke (diskutováno v další části této položky). Lemmon (1966b: 191) připisuje Dana Scott hlavní výsledek své druhé práce z roku 1966. Toto je obecná reprezentační věta prokazující, že algebry pro modální systémy mohou být reprezentovány jako algebry na základě mocenské sady množiny K v odpovídajících Kripkových strukturách. V důsledku toho se algebraická úplnost promítá do Kripkeho teoretické úplnosti. Lemmon tedy velmi jasně objasňuje spojení mezi Kripkeovými modely, jejichž elementy jsou světy, a odpovídajícími algebry, jejichž elementy jsou sady světů, které lze považovat za návrhy,což ukazuje, že algebraické a modelové teoretické výsledky jsou hluboce propojeny. Kripke (1963a) je již v tomto spojení výslovný. V The Lemmon Notes (1977), psaném ve spolupráci s Danou Scottovou a editovanou Segerbergem, je technika z roku 1966 transformována na čistě modelovou teoretickou metodu, která přináší úplnost a rozhodnutelnost výsledků pro mnoho systémů modální logiky v co nejobecnější formě (1977: 29).

Viz také položka SEP o algebře logické tradice. Základní úvod do algebry modální logiky najdete v Hughes a Cresswell 1968, kapitola 17 „Booleovská algebra a modální logika“. Podrobnější informace najdete v kapitole 5 Blackburn, de Rijke a Venema 2001. Viz také Goldblatt 2003.

3. Modelová teoretická tradice

3.1 Carnap

Na počátku čtyřicátých let vedlo uznání sémantické podstaty pojmu logická pravda Rudolfa Carnapa k neformálnímu vysvětlení tohoto pojmu z hlediska možných leibniziánských světů. Současně uznal, že mnoho syntaktických pokroků v modální logice od roku 1918 ještě nebylo doprovázeno odpovídajícími sémantickými úvahami. Jednou pozoruhodnou výjimkou byla Gödelova interpretace nutnosti jako prokazatelnosti a výsledné preference pro S4. Carnap místo toho myslel na nutnost jako logická pravda nebo analytičnost. Úvahy o vlastnostech logicky pravdivých vět ho přiměly myslet na S5jako správný systém k formalizaci této „neformální“představy. Carnapova práce na začátku čtyřicátých let by pak byla zaměřena na (1) definování formálního sémantického pojmu L-pravdy, který by reprezentoval neformální sémantické představy o logické pravdě, nezbytnosti a analytičnosti, tj. Pravdě na základě samotného smyslu (zpočátku), mezi těmito pojmy nerozlišoval, ale jasně považoval analytičnost za hlavní myšlenku); a (2) poskytnutí formální sémantiky pro kvantifikovanou S5, pokud jde o formální představu o L-pravdě, s cílem dosáhnout výsledků spolehlivosti a úplnosti, to znamená, že všechny věty kvantifikované S5 jsou L-pravdivé a že všechny L-pravdy (vyjádřitelné v jazyce systému) jsou věty systému.

Myšlenka kvantifikovaných modálních systémů se objevila i Ruth Barcan. V „Funkčním počtu prvního řádu založeném na přísné implikaci“(1946a) přidala kvantifikaci do Lewisova výrokového systému S2; Carnap (1946) ji přidal do S5. Ačkoli se budou brát v úvahu některé specifické sémantické body o kvantifikované modální logice, tato položka není zaměřena na vývoj kvantifikované modální logiky, ale spíše na vznik modelové teoretické formální sémantiky pro modální logiku, výrokovou nebo kvantifikovanou. Podrobnější zpracování kvantifikované modální logiky najdete v položce SEP o modální logice.

V „Modality and Quantification“(1946) a v Meaning and Necessity (1947) interpretuje Carnap operátora objektového jazyka nezbytnosti tak, že na úrovni objektu vyjadřuje sémantický pojem logické pravdy:

[T] Vedoucí myšlenkou v našich konstrukcích systémů modální logiky je toto: výrok (p) je logicky nutný, a pouze tehdy, pokud věta vyjadřující (p) je logicky pravdivá. To znamená, že modální pojetí logické nezbytnosti výroku a sémantické pojetí logické pravdy nebo analytičnosti věty si navzájem odpovídají. (1946: 34)

Carnap představuje aparát stavových popisů, který definuje formální sémantický pojem L-pravdy. Tato formální představa se pak použije k poskytnutí formální sémantiky pro S5.

Popis stavu pro jazyk L je třída vět L taková, že pro každou atomovou větu (p) L, buď / (p) nebo (neg p), ale ne obojí, je obsažené ve třídě. Atomová věta obsahuje v popisu stavu R pouze tehdy, pokud patří do R. Věta (neg A) (kde A nemusí být atomová) platí v R, pouze pokud A není v R; ((A / wedge B)) drží v R, pokud a pouze pokud oba A a B drží v R, a tak dále pro ostatní spojky obvyklým indukčním způsobem; ((forall x) Fx) platí v R, pouze pokud jsou všechny substituční instance (Fx) v R. Rozsah věty je třída státních popisů, v nichž je uvedena. Carnapova představa o platnosti nebo L-pravdě je maximální představa, tj. Carnap definuje větu jako platnou nebo L-pravdivou tehdy a jen tehdy, pokud platí ve všech popisech stavu. V pozdější práci Carnap přijímá modely místo stavových popisů. Modely jsou přiřazeny hodnot k primitivním non-logickým konstantám jazyka. V Carnapově případě predikátové konstanty jsou jediné primitivní konstanty, kterým modely přiřazují hodnoty, protože jednotlivé konstanty mají pevnou interpretaci předmodelu a přiřazování hodnot proměnným se provádí nezávisle na modelech (1963a).

Je důležité si povšimnout, že definice L-pravdy nevyužívá pojmu pravdy, ale pouze definice pojmu „držet ve stavu“. Pravda je představena později jako to, co platí v popisu skutečného stavu. Aby byla adekvátní formální reprezentace analyticity, musí L-pravda respektovat základní myšlenku analyticity: pravdu na základě samotného smyslu. Ve skutečnosti jsou L-pravdy systému S takové, že sémantická pravidla S stačí k prokázání jejich pravdy. Neformální stavové popisy představují něco jako možné Leibnizianské světy nebo Wittgensteinovy možné stavy a řada popisů stavů pro určitý jazyk má vyčerpávat řadu alternativních možností popsaných v tomto jazyce.

Co se týče modálních vět, Carnap přijímá následující úmluvy (pro logickou nezbytnost místo Carnapova operátora N používáme (Box)). Nechť S je systém:

Věta (Kolonka A) platí v S pouze tehdy, pokud (A) je L - v S (takže věta (Box A) je v S pravdivá, pouze v případě, že (A)) drží ve všech popisech stavu S);
Věta (Kolonka A) je L - pravda v S, a to pouze tehdy, pokud (Kolonka A) platí v S (takže všechny popisy stavu souhlasí s jejich hodnocením modálních vět).

Z toho vyplývá, že:

(Kolonka A) je L-řetězec v S a pouze tehdy, pokud (A) je L-řetězec v S

Carnapovy konvence platí také, pokud nahradíme „pravdu ve stavu popisu S“za „pravdu v S“.

Carnap předpokládá fixní doménu kvantifikace pro svůj kvantifikovaný systém, funkční počet s identitou FC, a následně pro modální funkční počet s identitou MFC, kvantifikovanou formu S5. Jazyk FC obsahuje denumerably mnoho individuálních konstant, vesmír diskursu obsahuje denumerably mnoho jednotlivců, každá konstanta je přiřazena jednotlivec domény, a žádné dvě konstanty jsou přiřazeny stejnému jednotlivci. Tím se vytvoří věty jako (a = a) L - pravda a věty jako (a = b) L -false (1946: 49). Pokud jde o MFC, Barcanův vzorec a jeho obrácení jsou L-pravda, to znamená,) mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Tento výsledek je zaručen předpokladem pevné domény kvantifikace. Carnap dokazuje, že MFC je zdravý, to znamená, že všechny jeho věty jsou pravdivé a vyvolává otázku úplnosti jak pro FC, tak pro MFC. Gödel dokázal úplnost pro predikát počtu predikátů s identitou, ale pojem platnosti byl pravdou v každé neprázdné doméně kvantifikace, včetně konečných domén. Carnap místo toho přijme jednu jedinečnou vyčíslitelnou doménu kvantifikace. Přijetí fixní vyčíslitelné domény jednotlivců generuje některé další validity již na předmoderní úrovni, které ohrožují úplnost, například „Existují nejméně dva jednotlivci“, ((existuje x) (existuje y) (x / ne y)), ukáže se, že je platný (1946: 53).

Důsledkem definic stavových popisů pro jazyk a L-pravdu je, že každá atomová věta a její negace se u některých, ale ne všech stavových popisů, stanou pravdivými. Proto, pokud (p) je atomová, (Diamond p) a (Diamond / neg p) jsou L-pravda. Lewisovo pravidlo jednotné náhrady se tedy nezdaří (pokud (p / wedge / neg p) je nahrazeno (p) v (Diamond p), odvodíme (Diamond (p / wedge / neg p))), což je L -false, nikoli L-pravda. To si všiml Makinson (1966a), který tvrdí, že to, co je třeba udělat, je obnovit substitutivitu a revidovat Carnapovo naivní pojetí platnosti (jako logická nutnost) ve prospěch schematického quinejského pojmu („Logická pravda… je definovatelná jako věta, z níž dostaneme jen pravdy, když nahradíme věty jednoduchými větami. “Quine 1970:50) nedovolí, aby věty jako (Diamond p) byly platné. Carnap nicméně prokazuje spolehlivost a úplnost výroků S5, který nazývá „ MPC “pro modální výrokový počet po Wajsbergovi. Důkaz však účinně využívá schematický pojem platnosti.

Bylo prokázáno, že Carnapova představa maximální platnosti znemožňuje úplnost kvantifikovaného S5, tj. Že existují L-pravdy, které nejsou věty o Carnapově MFC. Nechť (A) je nemodální větou MFC. Podle konvence (1) platí, že (Box A) je v MFC pouze tehdy, pokud (A) je L-hodnota v MFC. Ale (A) je také věta FC, takže pokud je L-pravda v MFC, je to také L-pravda v FC, protože popisy stavu (modely) modální funkční logiky jsou stejné jako popisy funkční logiky (1946): 54). To znamená, že popisy stavu mají trojí roli (i) modelů prvního řádu FCa tím definovat platnost prvního řádu, (ii) světy pro MFC, a tím definovat pravdu pro (Box A) věty MFC a (iii) modely MFC, čímž definují platnost pro MFC. Jádro argumentu neúplnosti spočívá v tom, že neplatnost věty prvního řádu (A) může být reprezentována v modálním jazyce jako (neg / Box A), ale všechny modely se shodují na oceňování modálních vět, díky čemuž je (neg / Box A) platný. Hrubě a odkládat komplikace vytvořené skutečností, že Carnapova sémantika má pouze vyčíslitelné domény, pokud (A) je neplatná věta FC prvního řádu, (A) platí v některých, ale ne ve všech modelech nebo popisech stavu. Vzhledem k Carnapovým konvencím vyplývá, že (neg / Box A) platí v MFC. Ale potom (neg / Box A) je L-hodnota v MFC, tj. V MFC (mvDash / neg / Box A). Vzhledem k tomu, že neplatné věty prvního řádu nelze rekurzivně spočítat, nejsou platné ani pro modální systém MFC. Třída teorémů MFC je však rekurzivně vyčíslitelná. Proto je MFC neúplná vzhledem k maximální platnosti Carnapu. Cocchiarella (1975b) připisuje výsledek Richardu Montagueovi a Donaldovi Kalishovi. Viz také Lindström 2001: 209 a Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Sémantika možných světů Kripkeho

Carnapova sémantika je skutečně předchůdcem Possible Sémantiky (PWS). Přesto některé klíčové ingredience stále chybí. Nejprve musí být maximální pojem platnosti nahrazen novým univerzálním pojmem. Za druhé, popisy stavu musí vytvořit prostor pro možné světy chápané jako indexy nebo body hodnocení. A konečně je třeba zavést vztah dostupnosti mezi světy. Ačkoli Kripke není v žádném případě jediným logikem v padesátých a začátcích šedesátých let, který na těchto myšlenkách pracoval, všechny tyto inovace jsou v Kripkeho verzi PWS. Kanger (1957), Montague (1960, ale původně představený v roce 1955), Hintikka (1961) a Prior (1957) přemýšleli o vztahu mezi světy a Hintikka (1961) jako Kripke (1959a) přijal nový pojem platnost, která vyžadovala pravdu ve všech libovolných sadách světů. Ale Kripke byl jediný, kdo charakterizoval světy jako jednoduché body hodnocení (v roce 1963a). Ostatní logici stále uvažovali o světech zásadně jako o modelech logiky prvního řádu, i když snad Prior ve svém vývoji časové logiky směřoval také k abstraktnějšímu popisu časových okamžiků. Kripkeho abstraktnější charakterizace světů je rozhodující pro zajištění vazby mezi teoretickou sémantikou modelu a algebrou modální logiky. Kripke velmi jasně viděl toto spojení mezi algebrou a sémantikou, což mu umožnilo systematickým způsobem získat modelové teoretické úplnosti a výsledky rozhodovatelnosti pro různé modální systémy. Goldblatt (2003: oddíl 4.8) přesvědčivě argumentuje, že Kripkeho přijetí hodnotících bodů ve vzorových strukturách je obzvláště zásadní inovací. Taková zobecnění otevírá dveře k různým budoucím vývojům teorie modelů a umožňuje obecně poskytnout teorie modelu pro intenzivní logiku. Z těchto důvodů věnujeme v této položce více pozornosti Kripkeho verzi PWS. Pro komplexnější řešení počátečního vývoje PWS, včetně konce padesátých let práce navčetně konce padesátých letvčetně konce padesátých let S5 francouzského logika Bayarta je čtenář označen Goldblatt 2003. O rozdílech mezi Kangerovou sémantikou a standardní sémantikou PWS viz Lindström 1996 a 1998.

Kripkeho 1959a „Teorie úplnosti v modální logice“obsahuje výsledek modelové teoretické úplnosti pro kvantifikovanou verzi S5 s identitou. V Kripkeho sémantickém zpracování kvantifikovaného S5, které nazývá S5 * (^ =), přiřazení hodnot vzorci (A) v doméně jednotlivců (D) přiřadí členu (D) každé volné individuální proměnné (A), pravdivé hodnotě (T) nebo (F) ke každé výrokové proměnné (A) a množině uspořádaných (n) - n-tice členů (D) do každé (n) - umístěte predikátovou proměnnou of (A) (jazyk systému neobsahuje žádné logické konstanty). Kripke definuje model nad neprázdnou doménou (D) jednotlivců jako uspořádaný pár ((G, K)), takže (G / in K, K) je libovolná podmnožina přiřazení hodnoty vzorců S5 * (^ =)a všichni (H / in K) se shodují na přiřazení k jednotlivým proměnným. Pro každý (H / in K) je indukčně definována hodnota, kterou (H) přiřazuje vzorci (B). Propoziční proměnné jsou hypotézou přiřazeny (T) nebo (F). Pokud (B) je (P (x_1, / ldots, x_n)), (B) je přiřazeno (T) pouze tehdy, pokud (n) - tuple prvků přiřazených (x_1), …, (x_n) patří do sady (n) - n-tic jednotlivců, kteří (H) přiřadí k (P. H) přiřadí (T) k (neg B) pokud a pouze pokud přiřadí (F) k (B. H) přiřadí (T) k (B / wedge C) pouze tehdy, pokud přiřadí (T) do (B) a do (C). Pokud (B) je (x = y), je přiřazeno (T), a to pouze tehdy, jsou-li (x) a (y) přiřazeny stejné hodnoty v (D). Pokud (B) je ((forall x) Fx), je přiřazeno (T) pouze tehdy, pokud (Fx) je přiřazeno (T) pro každé přiřazení k (x).(Kolonka B) je přiřazeno (T), a to pouze tehdy, je-li (B) přiřazeno (T) každým (H / in K).

Nejdůležitější věcí, kterou si musíme všimnout v teorii modelů z roku 1959, je definice platnosti. O vzorci (A) se říká, že je platný v modelu ((G, K)) v (D), pokud a pouze pokud je přiřazen (T) v (G), být platný v doméně (D) pouze tehdy, je-li platný v každém modelu v (D), a být univerzálně platný pouze tehdy, je-li platný v každé neprázdné doméně. Kripke říká:

Při pokusu o vytvoření definice univerzální logické platnosti se zdá pravděpodobné předpokládat nejen to, že vesmír diskursu může obsahovat libovolný počet prvků a že predikáty mohou být přiřazeny jakékoli dané interpretace ve skutečném světě, ale také to, že jakákoli kombinace možné světy mohou být spojeny se skutečným světem s ohledem na určitou skupinu predikátů. Jinými slovy je možné předpokládat, že na (D, G) a (K) není třeba ukládat žádná další omezení, s výjimkou standardního, kde (D) není prázdný. Tento předpoklad vede přímo k naší definici univerzální platnosti. (1959a: 3)

Tento nový univerzální pojem platnosti je mnohem obecnější než maximální platnost Carnapu. Prvky (H) z (K) stále odpovídají modelům prvního řádu, jako jsou Carnapovy stavové popisy, a v každém modelu Kripke jsou prvky (H) z (K) přiřazeny stejné doméně (D) jednotlivců a jednotlivé proměnné mají pevné přiřazení napříč modelem. Doposud jedinou významnou odchylkou od Carnapu je to, že různé modely Kripke mohou mít domény různé kardinality. To samo o sobě postačuje k opětovnému zavedení úplnosti pro nemodální část systému. Ale nejvýznamnějším vývojem a vývojem, který umožňuje prokázat úplnost modálního systému, je definice platnosti nikoli jako pravdy ve všech světech maximální struktury světů, ale jako pravdy napříč všemi podmnožinami maximální struktury.. Zohlednění libovolných podmnožin možných světů umožňuje Kripkeho teorii modelů odpojit platnost od nutnosti. I když jsou potřeby relativní k modelu, tedy ke skupině světů, musí platnost platit ve všech takových sadách. To umožňuje znovuzavedení pravidla jednotné náhrady. Chcete-li to intuitivně vidět v jednoduchém případě, zvažte atomovou větu (p). Klasická tabulka pravdy pro (p) obsahuje dva řádky, jeden kde (p) je true a druhý kde (p) je false. Každý řádek je jako možný svět nebo prvek (H) z (K). Pokud vezmeme v úvahu pouze tuto úplnou tabulku pravdy, uvažujeme pouze o maximálních modelech, které obsahují dva světy (nezáleží na tom, který svět je skutečný). Definice pravdy pro vzorec (Box B, / Box p) je nepravdivá ve všech světech maximálního modelu,a (Diamond p) platí ve všech. Pokud je platnost pravdivá ve všech světech tohoto maximálního modelu, jako u Carnapu, vyplývá to, že (mvDash / Diamond p), ale v S5(nmvdash / Diamond p). Pokud místo toho definujeme platnost jako Kripke, musíme vzít v úvahu také ne-maximální modely, které obsahují pouze jeden svět, tj. Neúplné tabulky pravdivosti, které ruší některé řádky. Proto je třeba vzít v úvahu dva další modely: jeden, který obsahuje pouze jeden svět (H = G), kde (p) je pravda, proto je to (Box p), a jeden, který obsahuje pouze jeden svět (H = G), kde (p) je nepravdivý, stejně jako (Box p) a (Diamond p). Díky tomuto poslednímu modelu (nmvDash / Diamond p). Všimněte si, že rozhodující inovací je definice platnosti jako pravdy napříč všemi podmnožinami světů, nejen maximální podmnožinou. Dodatečná skutečnost, že platnost v modelu je definována jako pravda ve skutečném světě modelu - na rozdíl od pravdy ve všech světech modelu - i když odhaluje skutečnost, že Kripke nespojoval pojem nezbytnosti s pojmem platnosti, není pro tento technický výsledek relevantní.

Kripkeho důkaz úplnosti využívá Bethovu metodu sémantických tabulek. Sémantická tabulka se používá k testování, zda vzorec (B) je sémantický důsledek některých vzorců (A_1, / ldots, A_n). Tabulka předpokládá, že vzorce (A_1, / ldots, A_n) jsou pravdivé a (B) je nepravdivé a je sestaveno podle pravidel, která se řídí definicemi logických spojiv. Pokud je například vzorec (neg A) v levém sloupci tabulky (kde jsou uvedeny skutečné vzorce), (A) bude vložen do pravého sloupce (kde jsou uvedeny nesprávné vzorce). Pro řešení modálních vzorců je třeba vzít v úvahu sady tabulek, protože pokud je (Box A) v pravém sloupci tabulky, musí být zavedena nová pomocná tabulka s (A) v pravém sloupci. Hlavní tableau a jeho pomocné tablety tvoří sadu tableaux. Pokud je vzorec (A / wedge B) v pravém sloupci hlavní tabulky, sada tabulek se rozdělí na dvě nové sady tabulek: jednu, jejíž hlavní tabulka uvádí (A) v pravém sloupci a druhou, seznam hlavních tabulek (B) v pravém sloupci. Musíme tedy zvážit alternativní sady tabulek. Sémantická tabulka je uzavřena pouze tehdy, jsou-li uzavřeny všechny její alternativní sady. Soubor tabulek je uzavřen, pokud obsahuje tabulku (hlavní nebo pomocnou), která dosáhne rozporu ve formě (i) jednoho a stejného vzorce (A), který se objevuje v obou sloupcích nebo (ii) vzorec identity formulář (a = a) na jeho pravé straně (jedná se o zjednodušení definice uzavřené tabulky, která však není pro naše účely škodlivá). Nadměrné zesílení ještě jednou,struktura Kripkeho důkazu úplnosti spočívá v prokázání, že sémantická tabulka používaná k testování, zda vzorec (B) je sémantický důsledek vzorců (A_1, / ldots, A_n), je uzavřena, pokud pouze (i) v S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) a (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Tento poslední výsledek je dosažen ukázáním, jak sestavit modely ze sémantických tabulek. V důsledku (i) a (ii) máme pro S5 * (^ =) spolehlivost a úplnost, to znamená: (A_1, / ldots, A_n / vdash B) pouze tehdy, pokud (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

Článek z roku 1959 obsahuje také důkaz modálního protějšku Löwenhein-Skolemovy věty pro logiku prvního řádu, podle které, pokud je vzorec vyhovující v neprázdné doméně, je uspokojivý, a tedy platný (true v (G)), v modelu ((G, K)) v doméně (D), kde (K) i (D) jsou buď konečné, nebo vyčíslitelné; a pokud je vzorec platný v každé konečné nebo vyčíslitelné doméně, je platný v každé doméně.

Kripkeova 1962 „The Undecidability of Monadic Modal Quantification Theory Theory“rozvíjí paralelu mezi logikou prvního řádu s jedním dyadickým predikátem a monadickou modální logikou prvního řádu s pouhými dvěma predikátovými písmeny, což dokazuje, že tento fragment modální logiky prvního řádu je již nerozhodnutelný.

Velice důležitý je článek „Sémantická analýza modální logiky I“(Kripke 1963a), kde jsou zpracovány normální systémy. Právě zde Kripke plně rozvíjí analogii s algebraickými výsledky Jónsson a Tarski a dokazuje úplnost a rozhodnutelnost pro výrokové systémy T, S4, S5 a B(Brouwersche systém), který je zde představen. Kripke prohlašuje, že sám odvodil hlavní větu „Booleovské algebry s operátory“algebraickým analogem svých vlastních sémantických metod (69, fn. 2). V tomto článku jsou představeny dvě zásadní zobecnění teorie modelů. Prvním je nové chápání prvků (H) z (K) jako jednoduchých indexů, nikoli přiřazení hodnot. Jakmile je tato změna zavedena, modely musí být doplněny pomocnou funkcí (Phi) potřebnou k přiřazení hodnot propozičním proměnným vzhledem k světům. Proto, zatímco v 1959 teorii modelů

nemohou existovat žádné dva světy, ve kterých je každému atomovému vzorci přiřazena stejná pravdivostní hodnota [která] se zdá být výhodná snad pro S5, ale je to spíše nepohodlné, když zacházíme s normálními MPC obecně (1963a: 69)

teď můžeme mít světové duplikáty. Co je nejdůležitější na oddělení prvků (K) od vyhodnocovací funkce je to, že otevírá dveře k obecnému zvážení modálních rámců, sad světů plus binárního vztahu mezi nimi a korespondenci takových rámců na modální systémy. Takže druhý nový prvek článku, zavedení vztahu (R) mezi prvky (K), přirozeně doprovází první. Dovolte, aby bylo znovu zdůrazněno, že myšlenka vztahu mezi světy není pro Kripke nová. Například, to je už přítomno jako alternativní vztah v Montague 1960, Hintikka 1961, a Prior 1962, kde nápad je přičítán Peter Geach.

V roce 1963a Kripke „klade různé otázky týkající se vztahu (R)“(1963a: 70). Nejprve ukazuje, že každý vyhovující vzorec má propojený model, tj. Model založený na modelové struktuře ((G, K, R)), kde pro všechny (H / in K), (G / mathrel) {R *} H), kde (R *) je vztah předků odpovídající (R). Proto je třeba brát v úvahu pouze připojené modely. Kripke pak ukazuje dnes dobře známé výsledky, že axiom 4 odpovídá transitivitě vztahu (R), tento axiom (B) odpovídá symetrii a že charakteristický axiom S5 přidaný do systému T odpovídá (R) je ekvivalenční vztah. S využitím metody tablet, úplnost pro modální výrokové systémy T, S4, S5, a B proti příslušné třídě modelů (reflexní struktury pro T). Dokazuje se také rozhodovatelnost těchto systémů, včetně složitějšího případu S4. (Podrobnější zpracování rámců naleznete v položce SEP o modální logice.)

V článku z roku 1965 „Sémantická analýza modální logiky II“rozšiřuje Kripke teorii modelů o léčbu neobvyklých modálních systémů, včetně Lewisových S2 a S3. Přestože jsou tyto systémy považovány za poněkud nepřirozené, jejich modelová teorie je považována za elegantní. Výsledky úplnosti a rozhodnutelnosti se prokazují s ohledem na správnou třídu struktur, včetně úplnosti S2 a S3 a rozhodnutelnosti S3.. K dosažení těchto výsledků je teorie modelů rozšířena zavedením nového prvku (N / subseteq K) do modelových struktur ((G, K, R, N). N) je podmnožinou normálních světů., tj. světy (H) takové, že (H / mathrel {R} H). Dalším zajímavým aspektem neobvyklých systémů je to, že v modelových teoretických výsledcích, které se jich týkají, hraje (G) (skutečný svět) zásadní roli, zejména ve strukturách modelů S2 a S3, které musí skutečný svět být normální. Místo toho, pravidlo nezbytnosti, které platí pro normální systémy, činí volbu modelu (G) teoreticky irelevantní.

Velký úspěch Kripkeanovy teorie modelů, přesto stojí za to zdůraznit, že ne všechny modální logiky jsou kompletní. Výsledky neúplnosti viz Makinson 1969, pro systém slabší než S4; a Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 a van Benthem 1978, pro systémy mezi S4 a S5. Některé modální vzorce stanoví podmínky pro rámce, které nelze vyjádřit v jazyce prvního řádu, takže i výroková modální logika má v podstatě povahu druhého řádu. Pokud se pojem platnosti v rámci abstrahuje od interpretační funkce, implicitně zahrnuje kvantifikaci vyššího řádu nad propozicemi. O shodě mezi rámcovou platností a logikou druhého řádu a na modelu-teoretických kritériích, která rozlišují modální věty, které jsou vyjádřitelné v prvním řádu, od těch, které jsou v podstatě druhého řádu, viz Blackburn a van Benthemův „Modální logika: sémantická perspektiva“. (2007a).

V roce 1963b, „Sémantické úvahy o modální logice“, Kripke zavádí novou generalizaci modelů kvantifikovaných modálních systémů. V roce 1959 byl model definován v doméně (D). Výsledkem bylo, že všechny světy v jednom modelu měly stejnou kardinálnost. V 1963b modely nejsou uvedeny v doméně, proto světy ve stejném modelu mohou být přiřazeny různé domény pomocí funkce (Psi), která přiřazuje domény prvkům (H) z (K). Vzhledem k variabilitě domén po celém světě může Kripke nyní vytvořit protiklady jak Barcanova vzorce

[(forall x) Box Fx / rightarrow / Box (forall x) Fx)

a jeho obrácení

) Box (forall x) Fx / rightarrow (forall x) Box Fx.)

Barcanův vzorec může být falšován ve strukturách s rostoucími doménami. Například model se dvěma světy, (G) a jedním dalším možným světem (H), který jej rozšiřuje. Doména (G) je ({a }) a (Fa) je pravda v (G). Doménou (H) je množina ({a, b }) a (Fa), ale ne (Fb), platí v (H). V tomto modelu ((forall x) Box Fx), ale ne (Box (forall x) Fx) platí v (G). Abychom vyvrátili obrácení Barcanova vzorce, potřebujeme modely s klesajícími doménami. Například model se dvěma světy (G) a (H), kde doménou (G) je ({a, b }) a doménou (H) je ({a }), s (Fa) a (Fb) true v (G, Fa) true v (H), ale (Fb) false v (H). Tento model vyžaduje, abychom pravdivou hodnotu přiřadili vzorci (Fb) na světě (H), kde jednotlivec (b) neexistuje (není v doméně (H)). Kripke zdůrazňuje, že z teoretického hlediska je to jen technická volba.

Kripke v kvantifikovaném T rekonstruuje důkaz o převráceném Barcanově vzorci a ukazuje, že důkaz prochází pouze povolením věty obsahující volnou proměnnou. Pokud však mají být volné proměnné považovány za univerzálně vázané, je tento krok nezákonný. Přímé vyhlašování otevřeného vzorce bez jeho prvního uzavření znamená převzít to, co má být prokázáno. Předchozí 1956 obsahuje důkaz Barcanovy formule

) Diamond (existuje x) Fx / rightarrow (existuje x) Diamond Fx.)

Kripke nezpracovává podrobnosti důkazu Prior. Priorův důkaz pro Barcanův vzorec přijímá Łukasiewiczova pravidla pro zavedení existenciálního kvantifikátoru. Druhé z těchto pravidel uvádí, že pokud (mvdash A / rightarrow B), pak (mvdash A / rightarrow (existuje x) B). Předchozí používá pravidlo k odvození

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow (existuje x) Diamond Fx)

) mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Zdá se nám, že se jedná o „nelegitimní“krok v důkazu, protože

) Diamond Fx / rightarrow (existuje x) Diamond Fx)

nedrží v modelu se dvěma světy (G) a (H), kde doména (G) je ({a }) a doména (H) je ({a, b }) a kde (Fa) je nepravdivý v (G) i (H), ale (Fb) je pravdivý v (H). V tomto modelu (Diamond Fx) je true, ale ((existuje x) Diamond Fx) je false v (G). V tomto čítači modelu (Diamond Fx) platí v (G) jednotlivec (b), který není v doméně (G). Obecně platí, že pokud (mvdash A / rightarrow B), pak (mvdash A / rightarrow (existuje x) B) nezachová platnost, pokud povolíme, že (Fx) může být splněno ve světě jednotlivcem, který tam neexistuje. Došli jsme k závěru, že pravidlo musí být odmítnuto, aby se zachovala spolehlivost S5 relativně k tomuto modelu teoretického předpokladu.

Bibliografie

Vezměte prosím na vědomí, že rozdíl v bibliografii mezi úvodními texty, primární a sekundární literaturou je částečně umělý.

Úvodní texty

Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke a Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,017 / CBO9781107050884
Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: Úvod, Cambridge: Cambridge University Press.
Fitting, M. a Richard L. Mendelsohn, 1998, Modal Logic 1. řádu, Dordrecht: Kluver Academic Publishers.
Garson, James W., 2013, Modal Logic for Philosophers, Cambridge: Cambridge University Press.
Hughes, GE a MJ Cresswell, 1968, Úvod do modální logiky, Londýn: Methuen.
–––, 1984, Companion to Modal Logic, London: Methuen.
–––, 1996, Nový úvod do modální logiky, Londýn: Routledge.

Primární literatura

Alban, MJ, 1943, „Nezávislost primitivních symbolů Lewisových kalkulů návrhů“, Journal of Symbolic Logic, 8 (1): 25–26. doi: 10,2307 / 2267978
Anderson, Alan Ross, 1957, „Independent Axiom Schemata for Von Wright's M“, Journal of Symbolic Logic, 22 (3): 241–244. doi: 10,2307 / 2963591
Barcan (Marcus), Ruth C., 1946a, „Funkční počet prvního řádu založený na přísné implikaci“, Journal of Symbolic Logic, 11 (1): 1-16. doi: 10,2307 / 2269159
–––, 1946b, „Dedukční věta ve funkčním počtu prvního řádu na základě přísných implikací“, Journal of Symbolic Logic, 11 (4): 115–118. doi: 10,2307 / 2268309
–––, 1947, „Identita jednotlivců v přísném funkčním počtu druhého řádu“, Journal of Symbolic Logic, 12 (1): 12–15. doi: 10,2307 / 2267171
Bayart, Arnould, 1958, „Oprava de la Logique Modal du Premier a du Second Ordre S5“, Logique et Analyze, 1: 28–45.
–––, 1959, „Kvazi-adéquation de la Logique Modal du Second Ordre S5 et Adéquation de la Logique de modal du Premier Ordre S5“, Logique et Analyze, 2: 99–121.
Becker, Oskar, 1930, „Zur Logik der Modalitäten“, Jahrbuch für Philosophie und Phänomenologische Forschung, 11: 497–548.
Bennett, Jonathan, 1954, „Význam a implikace“, Mind, 63 (252): 451–463.
Bernays, Paul, 1926, „Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia Mathematica“, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
–––, 1948, „Přehled modalit a kvantifikace Rudolfa Carnapa (1946)“, Journal of Symbolic Logic, 13 (4): 218-219. doi: 10,2307 / 2267149
–––, 1950, „Recenze významu a nezbytnosti Rudolfa Carnapa“, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 237–241. doi: 10,2307 / 2269233
Bull, RA, 1964, „Poznámka k modálním kalkulům S4.2 a S4.3“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 10 (4): 53–55. doi: 10.1002 / malq.19640100403
–––, 1965, „Algebraická studie diodorových modálních systémů“, Journal of Symbolic Logic, 30 (1): 58–64. doi: 10,2307 / 2270582
–––, 1966, „Než všechna normální rozšíření S4.3 mají konečnou vlastnost modelu“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 341–344. doi: 10.1002 / malq.19660120129
–––, 1968, „Algebraická studie napjaté logiky s lineárním časem“, Journal of Symbolic Logic, 33 (1): 27–38. doi: 10,2307 / 2270049
Carnap, Rudolf, 1946, „Modality and Quantification“, Journal of Symbolic Logic, 11 (2): 33–64. doi: 10,2307 / 2268610
–––, 1947, Význam a nezbytnost, Chicago: University of Chicago Press, ^2. vydání s doplňky, 1956.
–––, 1963a, „Moje koncepce logiky modalit“, Schlipp 1963: 889–900.
–––, 1963b, „Moje koncepce sémantiky“, Schlipp 1963: 900–905.
Dugundji, James, 1940, „Poznámka k vlastnostem matic pro Lewisovy a Langfordovy kalkulky návrhů“, Journal of Symbolic Logic, 5 (4): 150–151. doi: 10,2307 / 2268175
Dummett, MAE a EJ Lemmon, 1959, „Modální logika mezi S4 a S5“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 5 (5): 250–264. doi: 10.1002 / malq.19590051405
Feys, Robert, 1937, „Les Logiques Nouvelles des Modalités“, Revue Néoscolastique de Philosophie, 40 (56): 517–553.
–––, 1963, „Carnap on Modality“, Schlipp 1963: 283–297.
–––, 1965, Modal Logics, v Collection de Logique Mathématique (svazek 4), J. Dopp (ed.), Louvain: E. Nauwelaerts.
Fine, Kit, 1974, „Neúplná logika obsahující S4“, Theoria, 40 (1): 23–29. doi: 10,111 / j.1755-2567,1974.tb00076.x
Gödel, K., 1933, „Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalküls“, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: str. 39–40. Anglický překlad „Interpretace intuitionistického prozatímního počtu“s úvodní poznámkou od AS Troelstra v Kurt Gödel. Collected Works, roč. 1: Publikace 1929–1936, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay a J. van Heijenoort (ed.), Oxford: Oxford University Press, 1986, s. 296–303.
Goldblatt, RI, 1975, „Definice prvního řádu v modální logice“, Journal of Symbolic Logic, 40 (1): 35–40. doi: 10,2307 / 2272267
Halldén, Sören, 1948, „Poznámka k paradoxům přísných implikací a Lewisova systému S1“, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 138–139. doi: 10,2307 / 2267814
–––, 1950, „Výsledky týkající se rozhodovacího problému Lewisových kalkulů S3 a S6“, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 230–236. doi: 10,2307 / 2269232
–––, 1951, „O sémantické nekompletnosti určitých Lewis Calculi“, Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 127–129. doi: 10,2307 / 2266686
Hintikka, Jaakko, 1961, „Modality and Quantification“, Theoria, 27 (3): 119–28. Rozšířená verze v Hintikka 1969: 57–70. doi: 10,111 / j.1755-2567,1961.tb00020.x
–––, 1963, „Modes of Modality“, Acta Philosophica Fennica, 16: 65–81. Přetištěno v Hintikce 1969: 71–86.
–––, 1969, Modality for Modality, Dordrecht: D. Reidel.
Jónsson, Bjarni a Alfred Tarski, 1951, „Boolean Algebras with Operators. Část I “, American Journal of Mathematics, 73 (4): 891–939. doi: 10,2307 / 2372123
–––, 1952, „Booleovské algebry s operátory. Část II “, American Journal of Mathematics, 74 (1): 127–162. doi: 10,2307 / 2372074
Kanger, Stig, 1957, Logic Provability in Logic, (Acta Universitatis Stockholmiensis, Stockholm Studies in Philosophy, svazek 1), Stockholm: Almqvist a Wiksell.
Kripke, Saul A., 1959a, „Věta úplnosti v modální logice“, Journal of Symbolic Logic, 24 (1): 1-14. doi: 10,2307 / 2964568
–––, 1959b, „Sémantická analýza modální logiky“(abstrakt z dvacátého čtvrtého výročního zasedání Asociace pro symbolickou logiku), Journal of Symbolic Logic, 24 (4): 323–324. doi: 10,017 / S0022481200123321
–––, 1962, „The Undecidability of Monadic Modal The Quantification Theory“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 8 (2): 113–116. doi: 10.1002 / malq.19620080204
–––, 1963a, „Sémantická analýza modální logiky I. Normální modální návrhy,“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 9 (5–6): 67–96. doi: 10.1002 / malq.19630090502
–––, 1963b, „Sémantické úvahy o modální logice“, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
–––, 1965, „Sémantická analýza modální logiky II. Neobvyklé modální prozatímní výpočty “, v Symposiu o teorii modelů, JW Addison, L. Henkin a A. Tarski (eds.), Amsterdam: North-Holland, s. 206–220.
–––, 1967a, „Recenze algebraické sémantiky EJ Lemmon 'pro algebraickou sémantiku pro modální logiku I' (1966a)”, Mathematical Reviews, 34: 1021–1022.
–––, 1967b, „Recenze EJ Lemmonovy algebraické sémantiky pro modální logiku II“(1966b) “, Mathematical Reviews, 34: 1022.
Lemmon, EJ, 1957, „Nové základy pro Lewis Modal Systems“, Journal of Symbolic Logic, 22 (2): 176–186. doi: 0,2307 / 2964179
–––, 1966a, „Algebraická sémantika pro modální logiku I“, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 46–65. doi: 10,2307 / 2270619
–––, 1966b, „Algebraická sémantika pro modální logiku II“, Journal of Symbolic Logic, 31 (2): 191–218. doi: 10,2307 / 2269810
Lemon, EJ (s Danou Scottovou), 1977, „Lemmon Notes“. Úvod do modální logiky (American Philosophical Quarterly Monograph Series, sv. 11), K. Segerberg (ed.), Oxford: Basil Blackwell.
Lewis, CI, 1912, „Implication and Algebra of Logic“, Mind, 21 (84): 522–531. doi: 10,1093 / mysl / XXI.84,522
–––, 1914, „Výpočet přísné implikace“, Mind, 23 (1): 240–247. doi: 10,1093 / mind / XXIII.1.240
–––, 1918, Přehled symbolické logiky, Berkeley: University of California Press.
–––, 1920, „Strict Implication-An Emendation“, Journal of Philosophy, Psychology and Scientific Methods, 17 (11): 300–302. doi: 10,2307 / 2940598
Lewis, CI a CH Langford, 1932, Symbolic Logic, London: Century. 2 ^nd edition 1959, New York: Dover.
Łukasiewicz, Jan, 1920, „O Logice Trójwartościowej“, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171.
–––, 1930, „Philosophische Bemerkungen zu Mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls“, Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences a des Lettres de Varsovie, 23: 51–77. Přeloženo a přetištěno v Łukasiewicze 1970: 153–178.
–––, 1970, Selected Works, L. Borkowski (ed.), Amsterdam: Severní Holandsko.
Łukasiewicz, Jan a Alfred Tarski, 1931, „Vyšetřování v Sentential Calculus“, v Alfred Tarski, 1956, Logic, Sémantika, Metamathematics, Oxford: Clarendon Press, str. 38–59.
MacColl, Hugh, 1880, „Symbolické uvažování“, Mysl, 5 (17): 45–60. doi: 10,1093 / mind / os-V.17.45
–––, 1897, „Symbolické uvažování (II)“, Mysl, 6 (4): 493–510. doi: 10,1093 / mind / VI.4.493
–––, 1900, „Symbolické uvažování (III)“, Mysl, 9 (36): 75–84. doi: 10,1093 / mind / IX.36.75
–––, 1906, Symbolická logika a její aplikace, Londýn: Longmans, Green a Co.
Makinson, David C., 1966a, „Jak významné jsou modální operátoři?“, Australasian Journal of Philosophy, 44 (3): 331–337. doi: 10,1080 / 00048406612341161
–––, 1966b „O některých teoriích úplnosti v modální logice“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 12: 379–384. doi: 10.1002 / malq.19660120131
–––, 1969, „Normální modální počet mezi T a S4 bez konečné vlastnosti modelu“, Journal of Symbolic Logic, 34 (1): 35–38. doi: 10,2307 / 2270978
McKinsey, JCC, 1934, „Snížení počtu postulátů pro systém přísné implikace CI Lewise“, Bulletin American Mathematical Society (New Series), 40 (6): 425–427. doi: 10,1090 / S0002-9904-1934-05881-6
–––, 1941, „Řešení rozhodovacího problému pro systémy Lewis Systems S2 a S4, s aplikací na topologii“, Journal of Symbolic Logic, 6 (4): 117–134. doi: 10,2307 / 2267105
–––, 1944, „O počtu úplných rozšíření Lewisových systémů sententálního počtu“, Journal of Symbolic Logic, 9 (2): 42–45. doi: 10,2307 / 2268020
–––, 1945, „O syntaktické konstrukci systémů modální logiky“, Journal of Symbolic Logic, 10 (3): 83–94. doi: 10,2307 / 2267027
McKinsey, JCC a Alfred Tarski, 1944, „Algebra topologie“, Annals of Mathematics, 45 (1): 141–191. doi: 10,2307 / 1969080
–––, 1946, „O uzavřených prvcích v uzavřených algebrách“, Annals of Mathematics, 47 (1): 122–162. doi: 10,2307 / 1969038
–––, 1948, „Některé věty o sentimentálních kalkulích Lewise a Heytinga“, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 1-15. doi: 10,2307 / 2268135
Montague, Richard, 1960, „Logická nezbytnost, fyzická nezbytnost, etika a kvantifikátory“, dotaz, 3 (1–4): 259–269. doi: 10,1080 / 00201746008601312
Nelson, Everett J., 1930, „Intenzivní vztahy“, Mind, 39 (156): 440–453. doi: 10,1093 / mind / XXXIX.156.440
Parry, William Tuthill, 1934, „The Postules for 'Strict Implication'“, Mind, 43 (169): 78–80. doi: 10,1093 / mind / XLIII.169.78
–––, 1939, „Modality v systému průzkumu striktních implikací“, Journal of Symbolic Logic, 4 (4): 137–154. doi: 10,2307 / 2268714
Prior, Arthur N., 1955, Formal Logic, Oxford: Clarendon Press.
–––, 1956, „Modalita a kvantifikace v S5“, Journal of Symbolic Logic, 21 (1): 60–62. doi: 10,2307 / 2268488
–––, 1957, Čas a modalita, Oxford: Clarendon Press.
–––, 1962, „Možné světy“, Filozofická čtvrť, 12 (46): 36–43. doi: 10,2307 / 2216837
Prior, Arthur N. a Kit Fine, 1977, Worlds, Times and Self, Amherst, MA: University of Massachusetts Press.
Quine, WV, 1947a, „Problém interpretace modální logiky“, Journal of Symbolic Logic, 12 (2): 43–48. doi: 10,2307 / 2267247
–––, 1947b, „Recenze věty o odečtení ve funkčním počtu prvního řádu na základě přísné implikace Ruth C. Barcan (1946b)“, Journal of Symbolic Logic, 12 (3): 95–96. doi: 10,2307 / 2267230
–––, 1970, filozofie logiky, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Russell, Bertrand, 1906, „Recenze symbolické logiky Hugha MacColla a jeho aplikací (1906)“, Mind, 15 (58): 255–260. doi: 10,1093 / mind / XV.58.255
Schlipp, Paul Arthur (ed.), 1963, Filozofie Rudolfa Carnapa (Knihovna živých filozofů: svazek 11), La Salle: Otevřený soud.
Scroggs, Schiller Joe, 1951, „Extensions of Lewis System S5“, Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 112–120. doi: 10,2307 / 2266683
Segerberg, Krister, 1968, „Decidability of S4.1“, Theoria, 34 (1): 7-20. doi: 10,111 / j.1755-2567,1968.tb00335.x
–––, 1971, Esej v klasické modální logice, 3 svazky, (Filosofiska Studier, svazek 13), Uppsala: Uppsala Universitet.
Simons, Leo, 1953, „Nové axiomatizace S3 a S4“, Journal of Symbolic Logic, 18 (4): 309–316. doi: 10,2307 / 2266554
Sobociński, Boleslaw, 1953, „Note on Modal System of Feys-von Wright“, Journal of Computing Systems, 1 (3): 171–178.
–––, 1962, „Příspěvek k axiomatizaci Lewisova systému S5“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 3 (1): 51–60. doi: 10,1305 / ndjfl / 1093957059
Strawson, PF, 1948, „Nezbytné návrhy a prohlášení o povzbuzení“, Mind, 57 (226): 184–200. doi: 10,1093 / mind / LVII.226.184
Thomason, Richmond H., 1973, „Filozofie a formální sémantika“, v pravdě, syntaxi a modalitě, Hugues Leblanc (ed.), Amsterdam: North-Holland, s. 294–307.
Thomason, Steven K., 1973, „Nová reprezentace S5“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 14 (2): 281–284. doi: 10,1305 / njjfl / 1093890907
–––, 1974, „Věta o neúplnosti v modální logice“, Theoria, 40 (1): 30–34. doi: 10,111 / j.1755-2567,1974.tb00077.x
van Benthem, Johan, 1978, „Two Simple Incomplete Modal Logics“, Theoria, 44: 25–37. doi: 10,111 / j.1755-2567,1978.tb00830.x
––– 1984, „Sémantika možných světů: výzkumný program, který nemůže selhat?“, Studia Logica, 43: 379–393.
von Wright, GH, 1951, Esej v modální logice (Studie v logice a základy matematiky: svazek V), LEJ Brouwer, EW Beth, a A. Heyting (ed.), Amsterdam: Severní Holandsko.
Whitehead, Alfred North a Bertrand Russell, 1910, Principia Mathematica (svazek I), Cambridge: Cambridge University Press.

Sekundární literatura

Ballarin, Roberta, 2005, „Validita a nutnost“, Journal of Philosophical Logic, 34 (3): 275–303. doi: 10,1007 / s10992-004-7800-2
Belnap, Nuel D., Jr., 1981, „Modal and Relevance Logics: 1977“, v Modern Logic: Survey, Evandro Agazzi (ed.), Dordrecht: D. Reidel, str. 131–151. doi: 10,1007 / 978-94-009-9056-2_8
Blackburn, Patrick a Johan van Benthem, 2007a, „Modální logika: sémantická perspektiva“, v Blackburn, van Benthem a Wolter 2007b: kapitola 1.
Blackburn, Patrick, Johan van Benthem a Frank Wolter, (eds.), 2007b, Handbook of Modal Logic (Studie v logické a praktické zdůvodnění: Svazek 3), Amsterdam: Elsevier.
Bull, Robert a Krister Segerberg, 1984, „Basic Modal Logic“, v rozšířeních klasické logiky (Handbook of Philosophical Logic: Volume 2), DM Gabbay a F. Guenthner (eds.), Dordrecht: Kluwer, s. 1–88. doi: 10.1007 / 978-94-009-6259-0_1
Burgess, John P., 2009, Philosophical Logic, Princeton: Princeton University Press.
Cocchiarella, Nino B., 1975a, „Logický atomismus, nominalismus a modální logika“, Synthese, 31 (1): 23–62. doi: 10,1007 / BF00869470
–––, 1975b, „O primární a sekundární sémantice logické nezbytnosti“, Journal of Philosophical Logic, 4 (1): 13–27. doi: 10,1007 / BF00263118
Copeland, B. Jack, 2002, „Genesis sémantiky možných světů“, Journal of Philosophical Logic, 31 (2): 99–137. doi: 10,1263 / A: 1015273407895
Curley, EM, 1975, „Vývoj Lewisovy teorie přísných implikací“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 16 (4): 517–527. doi: 10,1305 / ndjfl / 1093891890
Goldblatt, Robert, 2003, „Matematická modální logika: pohled na jeho vývoj“, v logice a modalitách ve dvacátém století (Příručka historie logiky: Svazek 7), DM Gabbay a J. Woods (ed.), Amsterdam: Elsevier, s. 1–98. [2003, Journal of Applied Logic, 1 (5–6): 309–392. doi: 10,016 / S1570-8683 (03) 00008-9]
Kaplan, David, 1966, „Recenze Saula A. Kripkeho, sémantická analýza modální logiky I. Normální modální prozatímní výpočty (1963a)“, Journal of Symbolic logic, 31 (1): 120–122. doi: 10,2307 / 2270649
–––, 1986, „Opacity“, v Lewis Edwin Hahn a Paul Arthur Schlipp (eds.), Filozofie WV Quine (Knihovna živých filozofů, svazek 18), La Salle: Open Court, s. 229–289.
Lindström, Sten, 1996, „Modalita bez světů: Kangerova raná sémantika pro modální logiku“, v kurzu Kurzy a Konce. Filozofické eseje věnované Wlodekovi Rabinowicze u příležitosti jeho padesátých narozenin, S. Lindström, R. Sliwinski a J. Österberg (ed.), Uppsala, Švédsko, s. 266–284.
––– 1998, „Expozice a vývoj Kangerovy rané sémantiky pro modální logiku“, v The New Reference of Reference: Kripke, Marcus a jeho původy, PW Humphreys a JH Fetzer (ed.), Dordrecht: Kluwer, str. 203–233.
–––, 2001, „Quineův interpretační problém a sémantika raného vývoje možných světů“, Uppsala Philosophical Studies, 50: 187–213.
Lindström, Sten a Krister Segerberg, 2007, „Modální logika a filozofie“, v Blackburn, van Benthem a Wolter 2007b: kapitola 1.
Linsky, Leonard, (ed.), 1971, Reference and Modality, Oxford: Oxford University Press.
Löb, MH, 1966, „Extensional Interpretations of Modal Logic“, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 23–45. doi: 10,2307 / 2270618
Rahman, Shahid a Juan Redmond, 2007, Hugh MacColl: Přehled jeho logické práce s antologií, Londýn: College Publications.
Rescher, Nicholas, 1974, Studies in Modality, Oxford: Basil Blackwell.
Zakharyaschev, Michael, Krister Segerberg, Maarten de Rijke a Heinrich Wansing, 2001, „The Origins of Modern Modal Logic“, Advance in Modal Logic 2, M. Zakharyaschev, K. Segerberg, M. de Rijke a H. Wansing (eds.), Stanford: CSLI Publications, pp. 11–38.

Akademické nástroje

ikona sep muž	Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.