Vznik Logiky Prvního řádu

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Vznik logiky prvního řádu

První publikováno 17. listopadu 2018

Pro kohokoli školeného v moderní logice se může logika prvního řádu jevit jako zcela přirozený předmět studia a jeho objev nevyhnutelný. Je sémanticky kompletní; je to přiměřené axiomatizaci veškeré běžné matematiky; a Lindströmova věta ukazuje, že je to maximální logika uspokojující kompaktnost a vlastnosti Löwenheim-Skolem. Není proto překvapivé, že logika prvního řádu byla dlouho považována za „správnou“logiku pro zkoumání základů matematiky. To zaujímá ústřední místo v moderních učebnicích matematické logiky, s jinými systémy odsunutými na okraj. Historie je však pouze přímočará a rozhodně nejde o náhlý objev jednoho výzkumníka. Vznik je spojen s technickými objevy, s odlišnými představami o tom, co tvoří logiku,s různými programy matematického výzkumu as filozofickými a koncepčními reflexemi. Pokud je tedy logika prvního řádu „přirozená“, je přirozená pouze v retrospektivě. Příběh je složitý a sporný; Následující položka může poskytnout pouze přehled. Diskuse o různých aspektech vývoje jsou uvedeny v Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, poznámky Hilbertovi [LFL] a encyklopedická příručka Gabbay & Woods 2009. Diskuse o různých aspektech vývoje jsou uvedeny v Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, poznámky Hilbertovi [LFL] a encyklopedická příručka Gabbay & Woods 2009. Diskuse o různých aspektech vývoje jsou uvedeny v Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, poznámky Hilbertovi [LFL] a encyklopedická příručka Gabbay & Woods 2009.

• 1. George Boole
• 2. Charles S. Peirce
• 3. Gottlob Frege
• 4. Ernst Schröder
• 5. Giuseppe Peano
• 6. Alfred North Whitehead a Bertrand Russell
• 7. Leopold Löwenheim
• 8. David Hilbert a Paul Bernays
• 9. Thoralf Skolem
• 10. Kurt Gödel
• 11. Závěry
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. George Boole

Moderní studium logiky je obyčejně datováno k 1847, s výskytem Booleovy matematické analýzy logiky. Tato práce prokázala, že Aristotelovu sylogickou logiku lze převést do algebraického počtu, jehož symboly Boole interpretoval jako odkazy buď na třídy, nebo na propozice. Jeho systém zahrnuje to, co se dnes nazývá sentimentální (nebo logická) logika, ale je také schopen vyjádřit základní kvantifikace. Například, výrok “všichni Xs jsou Ys” je reprezentován v jeho systému rovnicí (xy = x), s násobením být myšlenka jeden jako průnik množin nebo jako logické spojení. „Některá X jsou Y“je obtížnější a její vyjádření umělejší. Boole představuje (mlčky: neprázdnou) sadu V obsahující položky společné pro X a Y;návrh je poté zapsán (xy = V) (1847: 21). Booleův systém, v moderních termínech, může být viděn jako fragment monadické logiky prvního řádu. Je to první řád, protože jeho notační zdroje nemohou vyjádřit kvantifikaci, která sahá přes predikáty. Je to monadické, protože nemá žádný zápis pro n -ary vztahy. A je to fragment, protože nemůže vyjádřit vnořené kvantifikace („pro každou dívku existuje chlapec, který ji miluje“). Ale to jsou naše kategorie: ne Booleova. Jeho logický systém nemá žádné symboly odpovídající kvantifikátorům; tak dokonce říkat to omezený systém kvantifikační logiky je anachronistic. Je to monadické, protože nemá žádný zápis pro n -ary vztahy. A je to fragment, protože nemůže vyjádřit vnořené kvantifikace („pro každou dívku existuje chlapec, který ji miluje“). Ale to jsou naše kategorie: ne Booleova. Jeho logický systém nemá žádné symboly odpovídající kvantifikátorům; tak dokonce říkat to omezený systém kvantifikační logiky je anachronistic. Je to monadické, protože nemá žádný zápis pro n -ary vztahy. A je to fragment, protože nemůže vyjádřit vnořené kvantifikace („pro každou dívku existuje chlapec, který ji miluje“). Ale to jsou naše kategorie: ne Booleova. Jeho logický systém nemá žádné symboly odpovídající kvantifikátorům; tak dokonce nazvat to omezený systém kvantifikační logiky je anachronický.

Dvě hlavní rozšíření Booleova systému, která vytvořila rozpoznatelně moderní logiku, byly (a) zavedení, kromě jednostranných predikátů („x je smrtelný“), mnohostranných vztahů („x je bratr y“; „X leží mezi y a z“); a (b) zavedení zápisu pro univerzální a existenciální kvantifikaci.

Tyto kroky provedli dva logici pracující v booleovské tradici. První krok byl částečně proveden Augustem De Morganem (v De Morgan 1864). Druhý provedl CS Peirce (v Peirce 1885). Gottlob Frege, který pracoval zcela nezávisle, provedl oba kroky současně ve svém Begriffsschriftu z roku 1879. Následná historie po několik desetiletí je větevní strukturou, s četnými vědci pracujícími v různých tradicích a jen částečně si vědomi svých úspěchů.

2. Charles S. Peirce

Peirce pracoval v algebraické tradici Boole. Jeho první logické papíry se objevily v roce 1867; zjednodušují Booleův systém, reinterpretují unii nebo logické sčítání (A + B), takže platí i tehdy, když A a B nejsou nespojité, opravují několik chyb a zkoumají souvislosti mezi logikou, aritmetikou a algebrou.

O tři roky později Peirce ve svém „Popisu zápisu pro logiku relativů“(1870) vytvořil zásadní rozšíření Booleova systému. De Morgan zdůraznil (De Morgan 1864), že aristotelská syllogistka není schopna zvládnout takové závěry, jako: „Pokud je každý člověk zvíře, pak každá hlava muže je hlava zvířete“. De Morgan zavedl logiku vztahů, definoval obrácení a opak vztahu, a pro vztahy jako „X je milenec Y“a „Z je služebník W“, prozkoumal taková složení vztahů, jako je „X je milenec služebníka y“. Tato práce úspěšně rozšířila aristotelskou sylogickou logiku, ale byla také omezena několika způsoby. Za prvé, De Morgan operoval pouze s binárními vztahy. Za druhé, jeho zápis byl nemotorný. (Například:Pokud (X / pdot / pdot LY) označuje, že X je milenec Y, pak (X / pdot LY) označuje, že X není milencem Y. De Morgan nemá žádné zvláštní znaménko pro negaci ani pro booleovské výrokové spojky.)

Peirce si všiml těchto nedostatků av roce 1870 ukázal, jak rozšířit Booleovu logiku tak, aby pokryla

celá oblast formální logiky, místo toho, aby byla omezena na tuto nejjednodušší a nejméně užitečnou část předmětu, byla logika absolutních termínů, která, když psala [Boole], jediná známá formální logika.

Studoval složení vztahů mezi sebou navzájem as třídními termíny a vypracoval základní zákony pro výsledný abstraktní algebraický systém a nakonec ukázal, že lineární asociativní algebry, které studoval jeho otec (Benjamin Peirce, Harvardův matematik), by mohly být všechny definován z hlediska toho, co nazval „elementární příbuzní“. Jeho 1870 systém, ačkoli velký pokrok oba na Booleovi a na De Morganovi, zůstane notoricky nepříjemný, a zpětně je jasné, že to vyžadovalo teorii kvantifikace. Byl to však první úspěšný pokus rozšířit Booleův systém do logiky vztahů.

V roce 1880 Peirce popsal postup pro redukci vzorců sentimentálního počtu na konjunktivní a disjunktivní normální formu a také v nepublikované práci prokázal, že sentimentální počet lze získat z jediného spojovacího slova společného popření („ani p ani q“). Jeho 1881, „O logice čísla“, zkoumal základy aritmetiky a analyzoval přirozená čísla z hlediska diskrétních, lineárně uspořádaných množin bez maximálního prvku. Dal neformální rekurzivní definice sčítání a násobení a dokázal, že obě operace byly asociativní a komutativní.

Ve dvou pozoruhodných novinách, krátká nota 1883 a delší „Na algebře logiky“z roku 1885, představil moderní zápis pro to, co jako první nazval „kvantifikátorem“. On viděl jeho kvantifikátory (pro kterého on používal symboly (Pi) a (Sigma)) jako zevšeobecňování Booleovských spojiv, s univerzálním kvantifikátorem (Pi) být interpretován jako (možná nekonečný)) spojení, takže (Pi_x P (x)) se chápe jako „a je P a b je P a c je P a…“. Podobně existenciální kvantifikátor (Sigma) se chápe jako (možná nekonečná) suma: „a je P nebo b je P nebo c je P nebo…“. Tato flexibilní notace (Pi) a (Sigma) mu umožnila snadno vyjádřit vnořené kvantifikace do libovolné hloubky. Pokud tedy jeho notace znamená, že (l_ {ij}) představuje „i je milenec j“,(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) nám říká, že někdo někoho miluje, zatímco (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) říká, že někdo někoho miluje. (Notace (Sigma) a (Pi) má samozřejmě v booleovském duchu zdůraznit analogii aritmetických součtů a produktů.)

„Na algebře logiky“je pozoruhodný také z jiných důvodů. Začíná důležitou pasáží (§2) o výrokovém počtu, která obsahuje první explicitní použití dvou hodnot pravdy. Peirce pak popisuje rozhodovací postup pro počet:

[T] o zjistit, zda je vzorec nutně skutečnou náhradou za písmena (mathbf {f}) a (mathbf {v}), a zjistit, zda lze při takovém přiřazení hodnot předpokládat, že je nepravdivý. (1885: 191)

Obhajuje materiální implikace a ukazuje, jak definovat negaci z hlediska implikace a zvláštní symbol pro absurditu. V další části (§ 3) zachází s tím, co nazývá, podle školáků „prvotní logikou vztahů“. Právě zde vynáší pojem „kvantifikátor“; výrokovou matici kvantifikovaného vzorce, který nazývá „boolianem“. V této části se kvantifikátory pohybují pouze přes jednotlivce vesmíru; „první záměrná logika“je tedy řádem prvního řádu. Také zde byl první, kdo diskutoval o pravidlech pro transformaci kvantifikovaného vzorce do prenexové normální formy. Následující část (§4) je označena jako „druhá záměrná logika“. Z první úmyslné logiky §3 je jasné vymezení. Zde je možné kvantifikátory pohybovat přes predikáty;a použije svůj nový zápis k vyjádření moderní definice identity druhého řádu: dva objekty jsou identické, pouze pokud splňují stejné predikáty.

Peirceův papír byl v mnoha ohledech daleko před svou dobou. Jeho ostré rozlišení mezi výrokovými, prvními a druhými úmyslnými logickými systémy nebylo až do Hilberta v jeho přednáškách z let 1917/18 nemělo být jasně řečeno. Peirce také předpovídal kvantifikátory jako (možná nekonečné) částky a produkty, což je notace, kterou Löwenheim měl připisovat, aby umožnil objev Löwenheimovy-Skolemovy věty, a který měl hrát významnou roli při formulaci Hilbertova důkazu - teoretický program ve dvacátých letech. (Peirceovy logické myšlenky byly dobře známé v kontinentální Evropě, poté, co se ujal Ernst Schröder, a dali široký oběh ve třech svazcích jeho Algebra der Logik (1890–95).)

Peirce kreslil tyto různé rozdíly - a zejména rozdíl mezi logikou prvního řádu a logikou druhého řádu - s větší jasností než kterýkoli logik až do Hilbertových přednášek v roce 1917. A na rozdíl od Hilberta byl Peirce ponořen do spisů středověkých logiků. Plně ocenil filosofický význam argumentů o realitě univerzálů: proto jasně nakreslil tak ostré rozlišení mezi logikou §2 a logikou §3. Bylo mu tedy umožněno učinit (nebo přinejmenším zvážit) nominální argument jménem logiky prvního řádu a proti logice druhého řádu. Ale až na několik vedlejších poznámek, on sám dále nerozvíjel svá pozorování ohledně druhé záměrné logiky,a zdá se pravděpodobné, že moderní rozdíl mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu byl znovuobjevením provedeným nezávisle v letech 1917/18 Hilbertem, než aby byl přímo inspirován Peircem.

3. Gottlob Frege

Fregeovy logické příspěvky vyrostly z jiné půdy a byly provedeny (pokud je to možné) zcela nezávisle na anglo-americké algebraické tradici Boole, De Morgan a Peirce. Místo toho mají svůj kořen v práci na základech skutečné analýzy takovými německými matematiky, jako jsou Dirichlet, Riemann, Weierstrass a Heine. Z této tradice Frege nejprve vzal myšlenku poskytnout přísný základ pro matematiku (projekt, který se v jeho rukou stal projektem prokazujícím, že aritmetika může vycházet z logických zákonů); a za druhé, centrální matematické pojmy funkce a proměnné, které použil namísto aristotelských konceptů predikátu a subjektu. Tento druhý krok ho přirozeně vedl k logice vztahů (protože funkce uvažované v matematice byly multivariační);a jeho analýza matematické inference také vedla jej, aby představil notaci pro kvantifikační logiku. (Matematici, jako je Weierstrass, byl ve své analýze konceptu limitu již citlivý na „vnoření“kvantifikátorů a na důležitost jejich uspořádání: například na rozdíl mezi slovy „pro každý (varepsilon)“existuje (delta) "a" existuje (delta) takový, že pro každý (varepsilon) ". Co bylo nyní vyžadováno a co Frege dodal, byl formální jazyk pro vyjádření a explicitně vyjádřit kvantifikační závěry, které jsou již přítomny v práci německých analytiků.) Frege tedy v jediném tahu v Begriffsschriftu z roku 1879 podnikl dva hlavní kroky nad rámec tradičních logických vztahů a kvantifikátorů, které algebraická tradice učinila samostatně a desetiletí od sebe.

Fregeův logický systém měl oproti Peirce několik výhod. Jeho axiomatická prezentace čistě syntaktického počtu byla podstatně přesnější a jeho analýza konceptu čísla se prohloubila. Jeho systém umožnil kvantifikaci jak proměnných, tak funkcí. Toto byla ústřední součást jeho programu pro zajištění logického základu pro aritmetiku, protože v jeho logickém systému byla identita, kardinální číslo a matematická indukce definovány pomocí kvantifikací vyšších řádů. Ve svém Grundlagenu (1884) rozlišuje mezi pojmy odlišného řádu, takže pokud koncept A spadá pod koncept B, pak B je „druhého řádu“(§53). V techničtějším zpracování ve své Grundgesetze (1893) zvažoval kvantifikace třetího řádu, i když jeho skutečné odvození aritmetiky probíhalo zcela v rámci logiky druhého řádu.

Frege byl tedy jedním z prvních logiků, kteří uznali důležitost hierarchie logických úrovní. Jeho objev byl prakticky souběžný s Peirce a dospěl zcela nezávisle k dosažení různých cílů. Fregeův objev měl mít větší dopad. To tvořilo základ pro Russellovu teorii typů (a také, o desetiletí později, ovlivnil Carnapa, který studoval logiku u Frege).

Ale ačkoli Frege rozlišoval mezi logickými úrovněmi, neizoloval část svého kvantifikačního systému, který sahá pouze přes proměnné prvního řádu, jako samostatný systém logiky: ani by pro něj nebylo přirozené, aby tak učinil. V tomto ohledu existuje výrazný kontrast s Peirce. Fregeův projekt měl ukázat, že aritmetika může být zakotvena v zákonech logiky: pro něj existovala pouze jedna logika a logika nutně zahrnovala logiku konceptů vyššího řádu. Naproti tomu Peirce odmítl ponětí o jediné překlenovací logice, namísto toho uvažoval o logice, která se liší podle „vesmíru diskursu“. Z větší části se proto ve své knize z roku 1885 přiblížil, aby izoloval propoziční počet, „logiku prvního záměru“a „logiku druhého záměru“jako odlišné systémy,každý hoden studia sám o sobě: v tomto ohledu byl blíže k moderním koncepcím než Frege. Tam je další a jemnější rozdíl. Peirceova (Sigma) a (Pi) notace pro kvantifikátory byla výslovně koncipována z hlediska (možná nekonečných) konjunkcí a disjunkcí výroků o jednotlivcích. Toto je vysoce sugestivní pojetí, které je těžké reprezentovat ve Fregeově systému notace. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu.byl blíž moderním koncepcím než Frege. Tam je další a jemnější rozdíl. Peirceova (Sigma) a (Pi) notace pro kvantifikátory byla výslovně koncipována z hlediska (možná nekonečných) konjunkcí a disjunkcí výroků o jednotlivcích. Toto je vysoce sugestivní pojetí, které je těžké reprezentovat ve Fregeově systému notace. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu.byl blíž moderním koncepcím než Frege. Tam je další a jemnější rozdíl. Peirceova (Sigma) a (Pi) notace pro kvantifikátory byla výslovně koncipována z hlediska (možná nekonečných) konjunkcí a disjunkcí výroků o jednotlivcích. Toto je vysoce sugestivní pojetí, které je těžké reprezentovat ve Fregeově systému notace. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu. Peirceova (Sigma) a (Pi) notace pro kvantifikátory byla výslovně koncipována z hlediska (možná nekonečných) konjunkcí a disjunkcí výroků o jednotlivcích. Toto je vysoce sugestivní pojetí, které je těžké reprezentovat ve Fregeově systému notace. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu. Peirceova (Sigma) a (Pi) notace pro kvantifikátory byla výslovně koncipována z hlediska (možná nekonečných) konjunkcí a disjunkcí výroků o jednotlivcích. Toto je vysoce sugestivní pojetí, které je těžké reprezentovat ve Fregeově systému notace. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu. Löwenheim to měl využít ve své rané práci v teorii modelů, což vedlo k technickým objevům, které měly nakonec upozornit na logiku prvního řádu. Celá tato práce však v budoucnu ležela desetiletí a ani Frege ani Peirce nelze připsat modernímu pochopení rozdílu mezi logikou prvního řádu a vyššího řádu.

4. Ernst Schröder

Fregeovy příspěvky nebyly okamžitě pochopeny ani oceněny a v závěrečné dekádě století dominovala logika třem svazkům Vorlesungen über die Algebra der Logik Ernsta Schrödera (1890–95). Schröder provedl encyklopedické zpracování logické práce Boole a Peirce, systematizoval a rozšířil jejich výsledky. Peirceovy kvantifikátory dělají jejich vzhled ve svazku dva, ale rozlišení mezi kvantifikací prvního a druhého řádu není kresleno se srovnatelnou jasností. Jak Frege zdůraznil ve své recenzi (1895), Schröderova notace nerozlišovala set členství od vztahu podmnožiny, a v důsledku toho může být obtížné říci, zda má v úmyslu danou kvantifikaci rozprostřít přes podskupiny domény (tj. být druhého řádu) nebo přes jeho prvky (tj. být prvního řádu). Schröder používá kvantifikace druhého řádu i prvního řádu; a ve třetím svazku použil techniku rozšíření kvantifikace druhého řádu na nekonečný produkt kvantifikací prvního řádu - techniku, která byla vývojem zápisu produktu Peircian, a které mělo poskytnout výchozí bod pro vyšetřování Löwenheim. Schröder však z jeho širšího systému nevytahuje podsystém logiky prvního řádu a nepovažuje rozlišování řádů za samo o sobě jakýkoli velký význam, ať už matematicky nebo filozoficky. V tomto smyslu je méně jasný než Peirceův dokument z roku 1885. (Užitečná analýza Schröderovy logické práce je obsažena v Brady 2000.)a ve třetím svazku použil techniku rozšíření kvantifikace druhého řádu na nekonečný produkt kvantifikace prvního řádu - techniku, která byla vývojem zápisu produktu Peircian, a které mělo poskytnout výchozí bod pro vyšetřování Löwenheim. Schröder však z jeho širšího systému nevytahuje podsystém logiky prvního řádu a nepovažuje rozlišování řádů za samo o sobě jakýkoli velký význam, ať už matematicky nebo filozoficky. V tomto smyslu je méně jasný než Peirceův dokument z roku 1885. (Užitečná analýza Schröderovy logické práce je obsažena v Brady 2000.)a ve třetím svazku použil techniku rozšíření kvantifikace druhého řádu na nekonečný produkt kvantifikací prvního řádu - techniku, která byla vývojem zápisu produktu Peircian, a které mělo poskytnout výchozí bod pro vyšetřování Löwenheim. Schröder však z jeho širšího systému nevytahuje podsystém logiky prvního řádu a nepovažuje rozlišování řádů za samo o sobě jakýkoli velký význam, ať už matematicky nebo filozoficky. V tomto smyslu je méně jasný než Peirceův dokument z roku 1885. (Užitečná analýza Schröderovy logické práce je obsažena v Brady 2000.)Schröder však z jeho širšího systému nevytahuje podsystém logiky prvního řádu a nepovažuje rozlišování řádů za samo o sobě jakýkoli velký význam, ať už matematicky nebo filozoficky. V tomto smyslu je méně jasný než Peirceův dokument z roku 1885. (Užitečná analýza Schröderovy logické práce je obsažena v Brady 2000.)Schröder však z jeho širšího systému nevytahuje podsystém logiky prvního řádu a nepovažuje rozlišování řádů za samo o sobě jakýkoli velký význam, ať už matematicky nebo filozoficky. V tomto smyslu je méně jasný než Peirceův dokument z roku 1885. (Užitečná analýza Schröderovy logické práce je obsažena v Brady 2000.)

5. Giuseppe Peano

V jeho 1889, Giuseppe Peano, nezávisle na Peirce a Frege, představil notaci pro univerzální kvantifikaci. Pokud a a b jsou výroky s volnými proměnnými (x, y, / ldots), pak (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b) symbolizované: Ať už (x, y, / ldots), může být z výroku jeden odvozen b. Jeden váhá, když se tomu říká notace pro univerzální kvantifikátor, protože kvantifikace není oddělitelná od znaménka materiální implikace: notaticky je to značný krok zpět od Peirce. Peano navíc nerozlišuje první řád od kvantifikace druhého řádu. Smyslem jeho eseje bylo představit principy aritmetiky v logické symbolice a jeho formulaci principu matematické indukce lze podle našich světel považovat za druhý řád: ale jen mlčky. To byl rozdíl, kterému (opět na rozdíl od Peirce) nepřipisoval žádný význam. Do matematické logiky však přidal řadu nových symbolů, které měly mít vliv na práci Whiteheada a Russella v Principia Mathematica; a jeden ze symbolů byl notace (existuje) pro existenciální kvantifikátor. (Kupodivu, Peano nezavedl paralelní symbol pro univerzální kvantifikátor. Vypadá to, že Whitehead zavedl notaci (x)) v Principii, a Hilbert, který představil symbol (forall).)(Kupodivu, Peano nezavedl paralelní symbol pro univerzální kvantifikátor. Vypadá to, že Whitehead zavedl notaci (x)) v Principii, a Hilbert, který představil symbol (forall).)(Kupodivu, Peano nezavedl paralelní symbol pro univerzální kvantifikátor. Vypadá to, že Whitehead zavedl notaci (x)) v Principii, a Hilbert, který představil symbol (forall).)

6. Alfred North Whitehead a Bertrand Russell

Russellův objev Russella Paradoxa v roce 1901 jej vedl během několika měsíců, v dopise Fregeovi (Frege [PMC]: 144), aby navrhl předběžnou verzi teorie typů. Ústřední myšlenka, kterou převzal z Fregeovy teorie funkcí prvního, druhého a vyšších řádů. Russell představil verzi své teorie v dodatku Principy matematiky (1903), a poté ve zralé formě ve své „Matematické logice založené na teorii typů“(1908), která poskytla koncepční opory pro Principia Mathematica. Russell nahlíží na vesmír jako na pruhy do úrovní nebo typů. První typ zahrnuje jednotlivce; druhý typ zahrnuje výroky „prvního řádu“, jejichž kvantifikátory se pohybují přes jednotlivce prvního typu; obecně,kvantifikátory v propozicích n + 1. typu se pohybují v propozicích n-tého typu. Russellův systém ve skutečnosti zahrnuje dvě odlišné hierarchie: jednu, která se vypořádává s paradoxy teorie množin (konkrétně, aby zakázala množinám být prvky samy o sobě); druhý se zabývá sémantickými paradoxy (jako je paradox lháře). Tato dvojitá struktura, rozvětvená dvěma směry, dává jeho teorii jméno „rozvětvená teorie typů“. Aby mohl založit klasickou analýzu, byl nucen přijmout axiom redukovatelnosti, který stanoví, že jakákoli funkce úrovně (n + 1) je souběžná s predikátem funkce nižší úrovně. Systém byl nesmírně komplikovaný; včas, v rukou Chwisteka, Ramseyho, Carnapa, Tarského a Církve,bylo uznáno, že hierarchii zabývající se sémantickými paradoxy lze odříznout a ponechat „jednoduchou teorii typů“. (Přehled tohoto vývoje lze nalézt v kostele 1974 a podrobné zkoumání Russellovy teorie v Landini 1998 a Linsky 2011.)

Russell a Whitehead tak vlastnili notaci pro oba kvantifikátory, stejně jako rozlišení mezi kvantifikacemi prvního a vyššího typu. To však není to samé, co má pojetí logiky prvního řádu, koncipované jako samostatně stojící logický systém, který si zaslouží studium samo o sobě. Cestu blokovaly v zásadě dvě věci. Nejprve (a na rozdíl od Peirce), jejich předmětem studia nebyly vícenásobné logické systémy, ale logický soudní dvůr: neukazují žádný zájem na rozdělení fragmentu pro samostatnou studii, natož v argumentaci, že fragment prvního řádu požívá privilegovaného postavení. Naopak, stejně jako u Fregee, ambicí Principia bylo prokázat, že matematiku lze redukovat na logiku,a pro logiku Whitehead a Russell zahrnovaly celý aparát teorie rozvětveného typu (spolu s axiómy nekonečna, výběru a redukovatelnosti). Zadruhé, ačkoli Principia poskytovala axiomatizaci teorie typů (a tak lze na ni pohlížet jako na specifikaci pojmu deduktivní důsledky), Whitehead a Russell považovali svůj systém za interpretovaný systém, uvádějící pravdy logiky, spíše než jako formální počet v pocit Hilberta. Hilbert měl použít jejich axiomatizaci jako výchozí bod pro vlastní axiomatizaci různých logických systémů; ale dokud nebyl vytvořen rozdíl mezi logikou a metalogem, nikdo přirozeně nenastal, aby položil metalogické otázky úplnosti, konzistence a rozhodnutelnosti,nebo vyšetřovat takové záležitosti, jako je vztah mezi deduktivní a sémantickou úplností nebo selhání kategorizace; a teprve když se tyto pojmy staly středem pozornosti, stal se zřejmý význam logiky prvního řádu.

7. Leopold Löwenheim

V roce 1915 Löwenheim zveřejnil svůj orientační bod „Über Möglichkeiten im Relativkalkül“. Tento článek, psaný v tradici Peirce-Schroederova počtu příbuzných, založil první významnou metalogickou teorém; z jistých hledisek označuje začátek teorie modelů. Löwenheim zvažoval třídu toho, čemu říkal „počítání výrazů“(Zählausdrücke), jehož kvantifikátory se pohybují pouze v oblasti objektů ve vesmíru, ale ne nad příbuznými; poté dokázal, že pro jakýkoli takový počítací výraz, je-li uspokojivý, je uspokojivý v nějaké vyčíslitelné doméně. V moderní terminologii jsou jeho „počítací výrazy“vzorci logiky prvního řádu; ale jeho terminologie neukazuje žádný vliv ani z Peirceovy logiky „prvního záměru“, ani z Russellovy teorie typů. Löwenheim, jako všichni logici této éry,neměl rozdíl mezi objektovým jazykem a metajazykem. Jeho důkaz je obtížné sledovat a přesné podrobnosti jeho věty - o tom, o čem věřil, že se prokázal, ao tom, co ve skutečnosti dokázal - byly předmětem rozsáhlé vědecké diskuse. (Přehled odlišných interpretací poskytuje Mancosu, Zach a Badesa 2009 a podrobná rekonstrukce samotného důkazu Badesa 2004.) Zdá se, že tento článek neměl žádný vliv, dokud Skolem nezaostří a nerozšíří své výsledky v roce 1920. Löwenheim, stejně jako Peirce a Russell, neizoloval axiomatický systém zahrnující logiku prvního řádu, ani nerozlišoval mezi syntaxí a sémantikou. Ještě méně tvrdí, že jeho třída „počítání výrazů“je nějakým způsobem logicky privilegovaná a poskytuje zvýhodněný základ pro matematiku. Löwenheimova věta byla včas uznána jako izolace základní vlastnosti logiky prvního řádu. Úplné důsledky jeho výsledku však nebyly vyjasněny teprve později, poté, co Hilbert zavedl metamathematické studium logických systémů. (Mimochodem, Löwenheim připočítal elegantní (Sigma) a (Pi) symboliku Peirce za navrhování infinitárních expanzí, které byly nezbytné pro jeho důkaz; dalších nabízených kvantifikačních zápisů. Stále silně hájil výhody notace Peirce-Schroeder proti notaci Principia až do Löwenheimu 1940.)Úplné důsledky jeho výsledku však nebyly vyjasněny teprve později, poté, co Hilbert zavedl metamathematické studium logických systémů. (Mimochodem, Löwenheim připočítal elegantní (Sigma) a (Pi) symboliku Peirce za navrhování infinitárních expanzí, které byly nezbytné pro jeho důkaz; dalších nabízených kvantifikačních zápisů. Stále silně hájil výhody notace Peirce-Schroeder proti notaci Principia až do Löwenheimu 1940.)Úplné důsledky jeho výsledku však nebyly vyjasněny teprve později, poté, co Hilbert zavedl metamathematické studium logických systémů. (Mimochodem, Löwenheim připočítal elegantní (Sigma) a (Pi) symboliku Peirce za navrhování infinitárních expanzí, které byly nezbytné pro jeho důkaz; dalších nabízených kvantifikačních zápisů. Stále silně hájil výhody notace Peirce-Schroeder proti notaci Principia až do Löwenheimu 1940.)a je těžké pochopit, jak mohl získat svou větu s některým z dalších kvantitativních zápisů, které byly v nabídce. Ještě stále silně hájil výhody Peirce-Schroederovy notace proti notaci Principia až v Löwenheimu v roce 1940.)a je těžké pochopit, jak mohl získat svou větu s některým z dalších kvantitativních zápisů, které byly v nabídce. Ještě stále silně hájil výhody Peirce-Schroederovy notace proti notaci Principia až v Löwenheimu v roce 1940.)

8. David Hilbert a Paul Bernays

Podívejme se stručně na situaci, která existovala v roce 1915. Peirce rozlišoval mezi logikou prvního řádu a logikou druhého řádu, ale nerozlišoval matematické použití, a vypadl z dohledu. Frege i Russell formulovali verze teorie víceúrovňového typu, ale ani jeden nevybral fragment prvního řádu jako objekt hodný studia. Američtí postulovaní teoretici, Edward Huntington a Oswald Veblen, formulovali různé představy o úplnosti a kategoričnosti a Veblen poznamenal, že axiomatická dedukovatelnost se může lišit od sémantického implikace (Awodey & Reck 2002: 15–19). Ale Veblen neměl přesnou charakterizaci formálního odpočtu a jeho pozorování zůstalo inertní. Löwenheim prokázal hlubokou větu o tom, co v retrospektivě lze charakterizovat jako vzorce prvního řádu,ale neizoloval systém logiky prvního řádu. Podobný bod platí pro Hermann Weyl, který v roce 1910 navrhl (ve skutečnosti) použít logiku prvního řádu k upřesnění pojmu „určitá vlastnost“v Zermeloho axiomu oddělení. Ale to je také retrospektivní charakterizace a Weylův zájem byl o teorii množin, ne o studium systému logiky prvního řádu.

Další velký krok provedl David Hilbert ve svém přednáškovém kurzu Prinzipien der Mathematik, který proběhl v Göttingenu v zimním semestru 1917/18. Hilbert přednášel a publikoval základní témata v letech 1899–1905; v mezidobí, když se soustředil na jiné záležitosti, publikace přestaly, ačkoli rozsáhlé přednášky ve třídě pokračovaly. Držel krok s aktuálním vývojem a zejména byl informován o logické práci Whiteheada a Russella, převážně prostřednictvím svého studenta Heinricha Behmanna. V září 1917 přednesl v Curychu svou programovou přednášku „Axiomatisches Denken“, v níž vyzval k axiomatickému zpracování logiky podle linií, které již dříve zkoumal při své axiomatizaci geometrie, a výslovně navrhuje metalogická vyšetřování:

Když se podíváme na záležitost blíže, brzy si uvědomíme, že otázka konzistence pro celá čísla a pro sady není taková, která stojí sama, ale že patří do obrovské oblasti složitých epistemologických otázek, které mají konkrétně matematický odstín: například (stručně charakterizovat tuto oblast otázek), problém řešitelnosti v zásadě každé matematické otázky, problém následné kontroly výsledků matematického zkoumání, otázka kritéria jednoduchosti pro matematické důkazy, otázka vztah mezi obsahem a formalismem v matematice a logice a konečně problém rozhodovatelnosti matematické otázky v konečném počtu operací. (Hilbert 1917: 412–413)

Právě na této cestě do Zürichu pozval Paula Bernayse, aby se vrátil do Göttingenu jako jeho asistent v základních záležitostech. Přestože měl Bernays v nadacích jen málo předchozích zkušeností, ukázalo se, že to byla chytrá volba a začátek úzkého a plodného výzkumného partnerství.

Göttingenovy přednášky, které krátce následovaly curyšskou adresu (a které byly zaznamenány v oficiálním protokolu Bernaysem), jsou pozoruhodným dokumentem a znamenají zrození moderní matematické logiky. Jsou v podstatě stejné jako publikovaná monografie známá jako „Hilbert a Ackermann“(1928), a dokonce i dnes, se skromným doplňováním, by mohla sloužit jako úvodní učebnice logiky. Hilbert poprvé jasně odlišuje metajazyk od objektového jazyka a krok za krokem představuje posloupnost formálních logických kalkulů postupně rostoucí síly. Každý počet je pečlivě prostudován; jeho silné a slabé stránky jsou identifikovány a vyváženy a analýza slabin je použita k přípravě přechodu na další počet. Začne výrokovým počtem,pak přejde k monadické kvantifikační logice (s rozšířenou diskusí o počtu tříd a aristotelském syllogismu) a poté k „funkčnímu počtu“.

Funkční počet je systém (mnohořadé) logiky prvního řádu, s proměnnými pro věty i pro vztahy. Zde se poprvé setkáváme s precizní, moderní formulací logiky prvního řádu, jasně odlišenou od ostatních kalkulů, vzhledem k axiomatickému základu as výslovně formulovanými metalogickými otázkami. Hilbert uzavírá diskusi o logice prvního řádu poznámkou:

Základní diskuse o logickém počtu by zde mohla skončit, pokud bychom na tento počet neměli jiný konec než formalizaci logického odvození. S touto aplikací symbolické logiky však nemůžeme být spokojeni. Chceme nejen být schopni rozvíjet jednotlivé teorie z jejich principů čistě formálním způsobem, ale také zkoumat základy matematických teorií samotných a zkoumat, jak souvisí s logikou a jak daleko mohou být vybudovány. od čistě logických operací a koncepcí; a za tímto účelem nám logický počet slouží jako nástroj. (1917/18: 188)

To ho vede dále k zavedení logiky vyššího řádu a odtud k úvahám o logických paradoxech a jejich řešení prostřednictvím Russellovy rozvětvené teorie typů; axiom redukovatelnosti je stručně diskutován a přijat jako základ pro matematiku. Protokol přednášky končí větou:

Je tedy zřejmé, že zavedení Axiomu redukovatelnosti je vhodným prostředkem k přeměně počtu úrovní na systém, z něhož lze vyvinout základy vyšší matematiky.

Tato věta se v podstatě nezměnila, když přednášky z roku 1917 byly přepracovány jako monografie (Hilbert & Ackermann 1928).

V rámci svých přednášek se Hilbert zabývá metalogickými otázkami, které uvedl v „Axiomatisches Denken“, a (přinejmenším mlčky) ukazuje, jak mají být v případě výroku zodpovězeny otázky úplnosti, důslednosti a rozhodnutelnosti. Otázka úplnosti pro logiku prvního řádu není v Bernaysově záznamu přednášek výslovně vznesena, ačkoli pozorný čtenář by ji snadno rozpoznal jako otevřený problém. Následující léto Bernays vytvořil habilitační práci, ve které s plnou přísností vyvinul hilbertovu axiomatickou analýzu výrokové logiky. Prezentuje axiomatický systém jako neinterpretovaný formální počet; poskytuje sémantiku; a poté prokáže teorém o úplnosti spojující syntax s sémantikou ve tvaru „Každý prokazatelný vzorec je všeobecně platný a naopak“. Poté zkoumá otázky rozhodnutelnosti, konzistence a vzájemné nezávislosti různých kombinací axiomů.

Přednášky Hilberta 1917 a Bernaysova habilitace z roku 1918 jsou milníkem ve vývoji logiky prvního řádu. V přednáškách je poprvé představena logika prvního řádu jako axiomatický logický systém, vhodný pro studium pomocí nových metalogických technik. Právě tyto metalogické techniky představovaly zásadní pokrok před Peirce a Frege a Russellem a včas se soustředily na logiku prvního řádu. Ale to se nestalo najednou a stále ještě čeká spousta práce. V přednáškách z let 1917/18 byla Hilbertova posloupnost logických kalkulů prezentována jako odrazový můstek na cestě k plné teorii typů rozvětvených typů vyšších řádů, které nadále považoval za „správný“logický rámec pro zkoumání základů matematiky. Pro Hilberta bylo charakteristické, že rozdělil složité matematické jevy do svých prvků: na posloupnost kalkulů lze nahlížet jako na rozklad logiky vyššího řádu na její jednodušší součásti, odhalující svým studentům přesně kroky, které šly do budování plné Systém. Ačkoli pojednává o funkčním počtu, nevybírá ho pro zvláštní pozornost. Jinými slovy (a stejně jako u Peirce před třemi desetiletími) je logika prvního řádu zavedena primárně jako expoziční zařízení: jeho význam nebyl dosud jasný.nevybírá to pro zvláštní pozornost. Jinými slovy (a stejně jako u Peirce před třemi desetiletími) je logika prvního řádu zavedena primárně jako expoziční zařízení: jeho význam nebyl dosud jasný.nevybírá to pro zvláštní pozornost. Jinými slovy (a stejně jako u Peirce před třemi desetiletími) je logika prvního řádu zavedena primárně jako expoziční zařízení: jeho význam nebyl dosud jasný.

Navíc, Hilbertovo vlastní řešení metalogických otázek je poněkud unáhlené a neformální. Experimentuje s několika verzemi pojmu „úplnost“: člověk má pocit, že rychle prolomil novou půdu a dosud si nebyl jist, které koncepty by se ukázaly jako nejplodnější. Jeho důkaz o úplnosti výrokového počtu je pouhá skica a odsunuta k poznámce pod čarou; paralelní problém pro logiku prvního řádu není ani vyvolán jako domněnka. Ještě pozoruhodněji, když Bernays nakonec v roce 1926 zveřejnil svou habilitaci, opomněl svůj důkaz věty o úplnosti, protože (jak později smutně řekl) byl výsledek v té době přímočarý a nedůležité. (Diskuse o tomto bodě viz Hilbert [LFL]: 229. Pro snadno dostupné obecné diskuse viz Sieg 1999, Zach 1999,a eseje shromážděné v Sieg 2013; původní dokumenty a podrobnou analýzu viz Hilbert [LFL.]

Jinými slovy, dokonce i v Göttingenu ve 20. letech minulého století chybělo plné pochopení významu myšlenek, které Hilbert představil v roce 1917. Hilbertova škola během dvacátých let považovala logiku prvního řádu za zlomek teorie typů a neprokázala pro ni žádný argument jako jedinečně zvýhodněný systém. Teprve monografie Hilbert & Ackermann 1928 (a současná přednáška v Bologni, Hilbert 1928) Hilbert výslovně upozornil na úplnost logiky prvního řádu jako otevřenou otázku. To připravilo půdu pro práci Gödel: ale než k tomu přistoupíme, musíme udělat chronologický krok zpět.

9. Thoralf Skolem

Skolem v zimě 1915–16 navštívil Göttingen, kde s Felixem Bernsteinem diskutoval o teorii množin; nic nenasvědčuje tomu, že by se setkal s Hilbertem. Už byl v této době obeznámen s Löwenheimovou teorémem a věděl o jeho paradoxních důsledcích pro Zermeloovu axiomatizaci teorie množin: konkrétně, že axiomatizace teorie nepopsatelných množin prvního řádu bude mít vyčíslitelný model. V té době tato témata nezveřejňoval, protože, jak později řekl:

Věřil jsem, že bylo tak jasné, že axiomatizace teorie množin by nebyla uspokojivá jako konečný základ pro matematiku, že by se matematici z velké části s tím příliš neobtěžovali. K mému úžasu jsem nedávno viděl, že mnoho matematiků považuje tyto axiomy pro teorii množin za ideální základ pro matematiku. Z tohoto důvodu se mi zdálo, že nastal čas zveřejnit kritiku. (Skolem 1922: dodatek.)

Skolemovy první hlavní noviny byly jeho dvacátým rokem, a zejména jeho rokem 1922. V prvním dokázal (nebo znovu dokázal) ve výraznější podobě sestupná Löwenheimova-Skolemova věta. Ve druhém předložil nový důkaz o tomto výsledku. Kritizoval také Zermeloho axiom oddělení, který měl podobu: Vzhledem k množině S a určitému výroku (phi (x)) existuje množina S 'všech prvků S tak, že (phi (s)). Zde byl pojem „určitý návrh“poněkud nepřesný. Skolemův návrh spočíval v identifikaci „definitivních propozic“pomocí vzorců logiky prvního řádu (s identitou). Přestože Skolem prohlásil tuto identifikaci za „přirozenou“a „zcela jasnou“, výslovně netvrdil omezení kvantifikátorů na první úroveň. Poté vydal první uspokojivou formulaci prvního řádu Zermeloovy teorie množin a poté použil Löwenheim-Skolemův výsledek, aby získal Skolemův paradox.

Tyto technické výsledky měly velký význam pro následnou debatu o logice prvního řádu. Je však důležité nepřečíst do Skolem 1922 pozdější porozumění problémům. Skolem v tomto okamžiku neměl rozdíl mezi objektovým jazykem a metajazykem. A i když v retrospektivě lze jeho axiomatizaci teorie množin interpretovat jako první řád, nikde tuto skutečnost zdůrazňuje. (Ve skutečnosti Eklund (1996) představuje přesvědčivý argument, že Skolem dosud jasně neocenil význam rozlišení mezi logikou prvního řádu a logikou druhého řádu a že přeformulování axiomu oddělení není ve skutečnosti tak jednoznačně první - pořádek, jak se to často považuje.)

Skolemovy poznámky k logice prvního řádu vyžadují pečlivou interpretaci (viz např. Ferreirós 2001: 470–74), ale musí být jasně vnímány na pozadí Grundlagenkrise 20. let a debat mezi Hilbertem, Brouwerem a Weylem. Během těchto let existují v logice dvě široké tendence a táhnou se opačným směrem. Jednou z tendencí je ořezávat logické a matematické systémy tak, aby vyhovovaly kritice Brouwera a jeho následovníků. Cílem bylo vyhnout se paradoxům, vymezit území „legitimní“matematiky a umístit jej na bezpečné základy. Teorie množin byla ve sporu a Skolem výslovně prezentoval své výsledky z roku 1922 jako kritiku stanovených teoretických základů. Weyl už v roce 1910 byl veden jeho zkoumáním Zermeloho systému k formulaci souboru logických principů, které v retrospektivě (a navzdory idiosynkratické notaci) lze považovat za formu logiky prvního řádu. Obecně se Weyl i Skolem z metodických důvodů přikláněly k jakémukoli konstruktivismu jako prostředku, jak se vyhnout paradoxům; a to znamenalo, že pokládali kvantifikaci za, řekněme, celou množinu podmnožin nekonečné sady za něco, čemu je třeba se vyvarovat: ať už je někdo uchopen pojmu „všechna celá čísla“, pojem „všechny vlastnosti celých čísel“byl mnohem méně pevný. Abych to řekl trochu jinak: samotným bodem axiomatizační teorie množin bylo vyjádření jejích filozoficky problematických předpokladů takovým způsobem, aby člověk mohl jasně vidět, k čemu přišli. Tento cíl by však byl ohrožen, pokud by člověk již předpokládal v logice pozadí problematickou představu „všech podmnožin“, kterou se pokoušel objasnit. Jednou z možností bylo omezit se na logiku prvního řádu; jiný, přijmout nějaký druh predikativního systému vyššího řádu.

Podobné široce konstruktivistické tendence byly také velmi prokázány v důkazní teoretické práci Hilberta a Bernayse a jejich následovníků ve 20. letech 20. století. Již v době Hilbertových přednášek 1921/22 identifikoval Hilbert zavedení (klasických) kvantifikátorů jako klíčový krok, kde transfinit vstoupil do logiky. Hilbert, stejně jako CS Peirce dávno, myslel na kvantifikátory jako nekonečné spojky a disjunkce, a od počátku dvacátých let minulého století bylo v Göttingenu dobře známo, že pro uskutečnění programových cílů programu Hilbertovy konzistence je konečná analýza kvantifikátory byly nezbytné. Metoda substituce epsilon byla hlavním zařízením, které společnost Hilbert představila, aby se pokusila dosáhnout tohoto výsledku.(Přehled tohoto výzkumu poskytuje Sieg 2009 a úvodní poznámky Hilbertovi [LFL].)

Ale navzdory těmto konstruktivním tendencím, mnoho logiků 20. let (včetně Hilberta) nadále považovalo teorii typu vyššího řádu, a nikoli její fragment prvního řádu, za vhodnou logiku pro zkoumání základů matematiky. Konečnou nadějí bylo poskytnout soudržnost pro celou klasickou matematiku (včetně teorie množin). Mezitím však byli vědci o některých základních rozdílech poněkud nejasní. Hilbert občas nedodrží rozlišení mezi schématem axiomu prvního řádu a axiomem druhého řádu; Brouwerův intuicionismus je někdy označován jako „finitismus“; vztahy mezi úplností (v několika smyslech), kategoricitou (také v několika smyslech) a logikou prvního řádu a vyššího řádu nebyly dosud pochopeny. Gregory Moore ve skutečnosti zdůrazňuje, že dokonce Gödel,ve svém důkazu o úplnosti logiky prvního řádu z roku 1929 zcela nerozuměl pojmu kategoričnosti a jeho vztahu k logice druhého řádu (Moore 1988: 125).

10. Kurt Gödel

Takže záležitosti zůstaly nejasné po celé dvacátá léta. Ale konstruktivistické ambice Hilbertovy školy, zaměření na analýzu kvantifikátorů a explicitní představování metalogických otázek způsobily, že logika prvního řádu jako systém hodný studia samo o sobě byl nevyhnutelný, ale nevyhnutelný. Zásadní technické průlomy nastaly v letech 1929 a 1931, kdy Gödel nejprve vydal teorém o úplnosti pro logiku prvního řádu a poté věty o neúplnosti. S těmito výsledky (a dalšími, které brzy následovaly) se konečně ukázalo, že existují logické rozdíly mezi logikou prvního řádu a logikou vyššího řádu. Snad nejvíce významně, logika prvního řádu je úplná a může být plně formalizována (v tom smyslu, že věta je odvozitelná od axiomů pouze v případě, že platí pro všechny modely). Logika prvního řádu navíc uspokojuje jak kompaktnost, tak sestupnou vlastnost Löwenheim-Skolem; takže má sledovatelnou teorii modelů. Logika druhého řádu není. V polovině třicátých let se tyto rozdíly začaly široce chápat, stejně jako skutečnost, že kategorizaci lze obecně získat pouze v systémech vyššího řádu. Lindström měl později ukázat (1969), že žádný logický systém uspokojující jak kompaktnost, tak vlastnost Löwenheim-Skolem nemůže mít větší expresivní sílu než logika prvního řádu: takže v tomto smyslu je logika prvního řádu skutečně „přirozenou“entitou.stejně jako skutečnost, že kategorizaci lze obecně dosáhnout pouze v systémech vyššího řádu. Lindström měl později ukázat (1969), že žádný logický systém uspokojující jak kompaktnost, tak vlastnost Löwenheim-Skolem nemůže mít větší expresivní sílu než logika prvního řádu: takže v tomto smyslu je logika prvního řádu skutečně „přirozenou“entitou.stejně jako skutečnost, že kategorizaci lze obecně dosáhnout pouze v systémech vyššího řádu. Lindström měl později ukázat (1969), že žádný logický systém uspokojující jak kompaktnost, tak vlastnost Löwenheim-Skolem nemůže mít větší expresivní sílu než logika prvního řádu: takže v tomto smyslu je logika prvního řádu skutečně „přirozenou“entitou.

Samotné technické výsledky však tuto záležitost nevyřešily ve prospěch logiky prvního řádu. Jak zdůrazňuje Schiemer & Reck (2013), do 30. let 20. století, i po dosažení hlavních metalogických výsledků, logici jako Gödel, Carnap, Tarski, Church a Hilbert & Bernays nadále používali systémy vyššího řádu (obecně v některé verze jednoduché teorie typů). Jinými slovy, i po metalogických výsledcích bylo na výběr, a výběr ve prospěch logiky prvního řádu nebyl nevyhnutelný. Koneckonců, metalogické výsledky mohou být vzaty, aby ukázaly závažné omezení logiky prvního řádu: že není schopna specifikovat jedinečný model ani pro přirozená čísla. Hilbert v letech 1917/18 považoval logiku prvního řádu za pouhý odrazový můstek,a metalogické výsledky mohou být vzaty k potvrzení moudrosti jeho přístupu: Pokud chcete kategorizaci, pak jste nuceni přejít k systému vyššího řádu.

V tomto bodě ve 30. letech se však nyní spojilo několik dalších prvků myšlení o logice. Intelektuální situace byla velmi složitá. Slavné práce Carnapa, von Neumanna a Heytinga na kongresu v Königsbergu v roce 1931 identifikovaly logistické, formalistické a intuicionistické školy: jejich debaty měly formovat přemýšlení o základech matematiky pro příštích několik desetiletí. Hledání bezpečných základů, a zejména vyhýbání se set-teoretickým paradoxům, bylo něčím, co sdíleli, a které pomohlo vyvážit rovnováhu ve prospěch logiky prvního řádu. Zaprvé (jak již zdůraznili Weyl a Skolem, a jak to bylo přinejmenším implicitní v programu Hilberta), existovaly dobré konstruktivistické a filosofické důvody, proč se pokud možno vyhnout kvantifikaci vyššího řádu,a za omezení logiky na první řád. Za druhé, několik jednoznačně formulací prvního řádu bylo nyní dáno teorií množin Zermelo-Fraenkel a také teorií množin von-Neumann-Bernays-Gödel (což umožňuje konečnou axiomatizaci). Charakter těchto teorií prvního řádu byl zdůrazněn v řadě publikací z 30. let: Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) a Gödel (1940). Prakticky tyto teorie prvního řádu stačily k formulaci veškeré existující matematické praxe; takže pro kodifikaci matematických důkazů nebylo nutné uchýlit se k logice vyššího řádu. (Potvrdilo to pozorování, které Hilbert již učinil již v roce 1917, i když sám sebe plně nerozvinul.) Za třetí, existuje zvýšená tendence rozlišovat mezi logikou a teorií množin,a zobrazit teorii množin jako odvětví matematiky. Skutečnost, že logika vyššího řádu by mohla být vykládána jako (v Quinově pozdější větě) „teorie množin v ovčím oděvu“, posílila další tendence: „skutečná“logika byla první řád; logika vyššího řádu byla „skutečně“teorie množin. Koncem desetiletí bylo dosaženo shody, že pro účely výzkumu v základech matematiky by měly být matematické teorie formulovány v termínech prvního řádu. Klasická logika prvního řádu se stala „standardní“.pro účely výzkumu v základech matematiky by matematické teorie měly být formulovány v podmínkách prvního řádu. Klasická logika prvního řádu se stala „standardní“.pro účely výzkumu v základech matematiky by matematické teorie měly být formulovány v podmínkách prvního řádu. Klasická logika prvního řádu se stala „standardní“.

11. Závěry

Pokusme se nyní vyvodit nějaké ponaučení, a zejména se zeptat, zda je nevyhnutelný vznik logiky prvního řádu. Začnu pozorováním. Každá fáze této složité historie je podmíněna dvěma druhy posouvání pozadí. Jeden je široce matematický: věty, které byly zavedeny. Druhý je široce filozofický: předpoklady, které byly vytvořeny (explicitně nebo mlčky) o logice ao základech matematiky. Tyto dvě věci se vzájemně ovlivňovaly. Každý myslitel v sekvenci začíná několika víceméně intuitivními představami o logice. Tyto myšlenky vyvolávají matematické otázky: rozlišují se: věty se dokazují: jsou zaznamenány důsledky a prohloubeno filozofické porozumění. V každé fázi je otázka: „Co je to logika?“(nebo:„Jaká je správná logika?“) Je třeba posoudit na základě matematického i filozofického pozadí: nemá smysl položit otázku abstraktně.

Podívejme se nyní na otázku: Kdy byla objevena logika prvního řádu? Tato otázka je příliš obecná. Je třeba ji rozdělit do tří vedlejších otázek:

• ((alfa)) Kdy byla logika prvního řádu poprvé explicitně identifikována jako odlišný logický systém? Tato otázka má poměrně přímou odpověď. Logiku prvního řádu explicitně identifikoval Peirce v roce 1885, ale poté zapomněl. To bylo nezávisle znovu objeveno v Hilbertových přednáškách 1917/18 a vzhledem k široké měně v monografii 1928, Hilbert & Ackermann. Peirce byl první, kdo to identifikoval: ale byl to Hilbert, kdo dal systém na mapu.
• ((beta)) Kdy byla logika prvního řádu uznána jako důležitě odlišná od systémů vyššího řádu? To je složitější otázka. Ačkoli Hilbert izoloval logiku prvního řádu, nepovažoval to za zvlášť významné a sám pokračoval v práci v teorii typů. Povědomí o základních metalogických rozdílech mezi logikou prvního řádu a logikou vyššího řádu se začalo objevovat až na počátku 30. let, většinou, i když ne výhradně, v rukou Gödel.
• ((gama)) Jak se logika prvního řádu stala považovanou za privilegovaný logický systém - to je (v jistém smyslu) „správná“logika pro vyšetřování v základech matematiky? Tato otázka je také velmi komplikovaná. I poté, co byly Gödelovy výsledky široce pochopeny, logici pokračovali v práci v teorii typů a trvalo několik let, než logika prvního řádu dosáhla kanonického stavu. Přechod byl postupný a nelze mu dát konkrétní datum.

Vybaven těmito rozdíly, zeptejme se nyní: Proč logika prvního řádu nebyla objevena dříve?

Je zarážející, že Peirce již v roce 1885 jasně rozlišoval mezi výrokovou logikou, logikou prvního řádu a logikou druhého řádu. Byl si vědom toho, že výroková logika je výrazně slabší než kvantifikační logika, a zejména není dostatečná pro analýzu základů aritmetiky. Mohl pak pokračovat v pozorování, že logika druhého řádu je v určitých ohledech filozoficky problematická a že obecně je naše pochopení kvantifikace nad objekty pevnější než naše pochopení kvantifikace nad vlastnostmi. Problém nastává, i když je vesmír diskursu konečný. Máme například rozumnou představu o tom, co to znamená mluvit (ve smyslu prvního řádu) všech planet, nebo říci, že existuje planeta s určitou vlastností. Co to ale znamená mluvit (ve smyslu druhého řádu) o všech vlastnostech planet? Jaké je kritérium individualizace pro takové vlastnosti? Je vlastnost bytí nejvzdálenější planety stejná jako vlastnost nejmenší planety? Co máme říci o negativních vlastnostech? Je to vlastnost planety Saturn, že se nerovná celému číslu 17? V takovém případě, i když existuje pouze omezený počet planet, musí se naše kvantifikátory druhého řádu pohybovat v nekonečně mnoha vlastnostech. A tak dále. Quinské námitky jsou známé.

Argumenty tohoto druhu byly vzneseny ve scholastických sporech mezi realisty a noministy: Peirce byl ve středověké literatuře ponořen do těchto témat. Nemusel jít tak daleko, aby vytvořil bod ((gamma)), tj. Argumentoval, že logika prvního řádu je zvláště privilegovaná. To by v každém případě bylo v rozporu s jeho logickým pluralismem. Měl však nástroje k vytvoření bodu ((beta)) a zdůraznil, že existuje logický rozdíl oddělující logiku druhého řádu od prvního řádu, stejně jako důležitý záliv oddělující logiku prvního řádu od booleovský výrokový počet. Proč tyto body neučinil již v roce 1885?

Jakákoli odpověď může být pouze spekulativní. Jeden faktor, malý, je ten, že Peirce nebyl sám nominant. Další je to, že působil v různých logických systémech: byl temperamentně eklektický a nebyl ochoten hledat „jednu pravou logiku“. Existují také technické aspekty. Peirce, na rozdíl od Hilberta, nepředkládá první úmyslnou logiku jako axiomatizovaný systém, ani ji nenutí jako prostředek pro studium základů matematiky. Nevlastní rozdíl mezi neinterpretovaným, formálním, axiomatickým počtem a jeho metajazykem. Výsledkem je, že se neptá na otázky rozhodovatelnosti, úplnosti či kategoričnosti; a bez metamatematických výsledků mu nebylo k dispozici úplné pochopení rozdílů ve výrazové síle mezi logikou prvního řádu a druhého řádu. Jeden z nejsilnějších argumentů proti logice druhého řádu - to, že kvantifikace ve všech podmnožinách vyčíslitelné kolekce znamená kvantifikaci nad nečíslitelnou totalitou - nemohla být dokonce formulována, dokud nebyla známa Cantorova věta. Logické a set-teoretické paradoxy nebyly dosud objeveny a Zermelo dosud axiomatizoval teorii množin: Peirce tak chyběl akutní pocit motivace k nalezení „bezpečného základu pro matematiku“. A Peirce samozřejmě neměl ani tušení Löwenheim-Skolemových vět, ani Skolemova paradoxu, ani posloupnost metalogických vět, které měly zaostřit na logiku prvního řádu. Poskytl flexibilní a sugestivní zápis, který se měl ukázat jako nesmírně plodný, a byl prvním, kdo jasně rozlišil mezi logikou prvního a druhého řádu:ale nástroje pro pochopení matematického významu rozdílu ještě neexistovaly. (Jak jednou poznamenal Henri Pirenne, Vikingové objevili Ameriku, ale na to zapomněli, protože ji ještě nepotřebovali.)

Související bod platí pro Frege a Russell. Měli pojetí hierarchie logických úrovní a v zásadě také mohli mít izolovanou logiku prvního řádu, a tak provedli krok ((alfa)). Nikdy však neuvažovali o izolaci nejnižší úrovně hierarchie jako samostatně stojícího systému. K tomu existují jak filozofické, tak matematické důvody. Logistický projekt měl jako filosofický cíl ukázat, že „matematika může být redukována na logiku“: a celou hierarchii typů chápaly jako konstituční logiku. A pak, jako matematická záležitost, logika druhého řádu byla nezbytná pro jejich konstrukci celých čísel. Neměli tedy žádný přesvědčivý důvod, ať už filozofický nebo matematický, který by je přiměl soustředit se na fragment prvního řádu.

Existuje zde poučný kontrast s Peirce. Peirce, v duchu 19 ^th století z pera algebraists, byl rád, aby prozkoumala svěží hojnost logických struktur: Jeho postoj byl zásadně pluralitní. Logici, kteří pracovali v analytické tradici, se více zajímali o to, co celá čísla ve skutečnosti jsou: jejich přístup byl v zásadě monistický a redukcionistický. Abychom však mohli rozeznat logiku prvního řádu, jak tomu bylo ve třicátých letech, bylo zapotřebí dvou věcí: uvědomění si, že existují odlišné logické systémy, a argument pro upřednostňování jednoho před druhým. Peirce měl pluralismus: logici měli nutkání najít „správný“systém: ale ani jeden neměl.

Podívejme se nyní na otázku: Byl vznik logiky prvního řádu nevyhnutelný? Nelze se vyhnout kontrafaktuálním úvahám a odpověď musí být spekulativnější. A také zde je nutné rozlišovat mezi nevyhnutelností technických výsledků ((beta)) a nevyhnutelností bodu ((gamma)).

Začněme bodem ((beta)). Do roku 1928 lze metalogické výsledky považovat za nevyhnutelné. Hilbert & Ackermann izoloval a popsal logiku prvního řádu; tehdy byl rozdíl mezi matematikou a meta-matematikou dobře pochopen; ukázali, jak prokázat úplnost výrokového počtu; a výslovně vyzdvihli úplnost logiky prvního řádu jako důležitý otevřený problém. Bylo jisté, že během několika příštích let odpoví nějaký podnikavý logik: jak se to stalo, Gödel se tam dostal jako první. Bylo by pak očividným dalším krokem k dotazování na úplnost systémů vyššího řádu. Takže během několika let od Hilberta a Ackermanna by byly zavedeny základní metalogické věty.

Pokud je to správné, pak Hilbertovým rozhodujícím krokem v přednáškách 1917/18 nebyla izolace logiky prvního řádu - tj. Ne krok ((alfa)). To byla poměrně nevýznamná záležitost. Tento krok již výslovně podnikli Peirce a mlčky Weyl a Löwenheim. Hilbert to nepovažoval za důležité a zdá se, že to viděl primárně jako expoziční zařízení, prostředek ke zjednodušení prezentace logiky Principia Mathematica. Důležitým krokem v roce 1917 bylo spíše zavedení technik metamatematiky a výslovné položení otázek úplnosti a důslednosti a rozhodnutelnosti. Předkládat tyto otázky logickým systémům bylo obrovským koncepčním skokem a Hilbert to chápal jako takový. Jeho první pokusy, učiněné v jeho 1905 Heidelbergově adrese,se zhroutil pod kritikou Poincaré a snažil se najít uspokojivou formulaci. A dokonce i poté, co představil své metalogické rozdíly ve svých dokumentech 20. let, měli logici ráže Russella, Brouwera a Ramseyho potíže pochopit, o co se pokoušel. Tento vývoj byl v roce 1917 ničím jiným než nevyhnutelným: a bez zavedení metalogických technik by historie logiky a teorie důkazů ve 20. a 30. letech 20. století vypadala velmi odlišně. Byly by někdy vytvořeny Gödelovy věty? Vedlo by práce Löwenheima nebo Skolema či Zermela nezávisle k výzkumu metalogických vlastností logiky prvního řádu? Retrospektivně si můžeme představit alternativní cestu k technickým výsledkům ((beta)),ale není důvod předpokládat, že se jim osud vynořil buď, když to udělali, nebo jako oni.

Drobnější problém vyvstává, pokud se nyní obrátíme na bod ((gamma)) a zeptáme se: Bylo nevyhnutelné, aby logika prvního řádu byla považována za „privilegovaný“logický systém? Jak jsme viděli, metalogické výsledky třicátých let neuspokojují nadřazenost logiky prvního řádu. „Privilegium“přišlo později a zdá se, že spíše záviselo na filosofických úvahách: potřeba vyhnout se set-teoretickým paradoxům, hledání bezpečných základů pro matematiku, touha vyhovět námitkám Brouwera a Weyla, pocit, že vyšší - logická logika byla metodicky podezřelá a bylo možné se jim vyhnout. Všechny tyto věci ukazují pokračující vliv Grundlagenkrise dvacátých let, který tolik stanovil podmínky následného filosofického porozumění základům matematiky.

Je proto důležité zdůraznit, že byla možná alternativní historie a že Grundlagenkrise v Hilbertových logických spisech v letech 1917/18 zcela chyběl. Jména Brouwera a Weyla se nikde neuvádějí. Hilbert si je samozřejmě vědom paradoxů (o nichž věděl od roku 1897), ale dlouho věřil, že Zermeloova axiomatizace ukázala, jak se jim vyhnout. V jeho spisech nenacházíme ani pátrání po „jedné skutečné logice“. Naopak. Jak v letech 1917/18, tak v nepublikovaných přednáškách z počátku 20. let je důraz kladen na použití nových metalogických technik k prozkoumání silných a slabých stránek rozmanitosti logických systémů. Práce je výslovně prováděna v duchu jeho studia axiomů geometrie. Zaveze systém, prozkoumá jej na chvíli a poté ho vypustí, aby prozkoumal něco jiného. Ve svém pluralismu a ve svém pragmatickém experimentálním přístupu je blíže Peirce než logikům.

Grundlagenkrise a jeho veřejnost, polemické výměny s Brouwerem přišly později, a daly zkreslený obrázek motivací za jeho logickým vyšetřováním. Jaký byl dopad těchto filosofických debat na technické aspekty jeho programu? Pro formulaci logiky prvního řádu a pro kladení metalogických otázek je odpověď jednoduchá: neměl žádný dopad. Obsah Hilbert & Ackermann 1928 byl již přítomen v přednáškách 1917/18. Pokud jde o Hilbertův důkaz-teoretický výzkum 20. let, hlavní linie vývoje se objevily zcela nezávisle na Brouwerovi a Weylovi. Polemika mohla přidat pocit naléhavosti, ale je těžké odhalit jakýkoli vliv na skutečnou matematiku.

Takže i kdybychom si představili, že filozofický Grundlagenkrise zcela odstraněn z obrázku, technické výsledky Hilbertovy školy by nebyly významně ovlivněny. Výsledky úplnosti a neúplnosti by se vší pravděpodobností došly více či méně podle plánu. (Je třeba poznamenat, že Bernays a Hilbert uvažovali o možnosti různých druhů neúplnosti již v roce 1928: viz diskuse Wilfrieda Siega v Hilbertovi [LFL]: 792–796.) Tyto výsledky by se však objevily velmi různé filozofické klima. Věty o neúplnosti by byly pravděpodobně uvítány jako důležitý technický přínos v rámci širšího Hilbertovy programu, nikoli jako jeho dramatické vyvrácení. Možná (jak navrhl Angus Macintyre 2011) by se na ně dívali spíš jako na výsledky nezávislosti v teorii množin, s méně řeči o limitech matematické tvořivosti.

Jinými slovy, vznik logiky prvního řádu jakožto privilegovaného systému logiky na konci 30. let závisel na dvou věcech, z nichž každá byla nezávislá na druhé. Z matematického hlediska to záleželo na Hilbertově zavedení metalogických technik; na filozofické straně, to záviselo na argumentech Grundlagenkrise. Ani jedna z těchto věcí nebyla nevyhnutelná: ani to, že k nim došlo zhruba ve stejnou dobu. S jinou historií mohl Hilbertův flexibilní postoj převládnout a mohl se klást větší důraz na systémy vyššího řádu nebo na zkoumání algebraické logiky, infinitární logiky, kategorií-teoretických systémů a podobně: zkrátka na logické pluralismus.

Je užitečné poznamenat, že jak ustoupily filozofické obavy Grundlagenkrise a jak vstoupily nové přístupy ze směru počítačové vědy a teorie homotopy, nadřazenost logiky prvního řádu je otevřena novému zvážení.

Bibliografie

• Awodey, Steve & Erich H. Reck, 2002, „Úplnost a kategoričnost, část I: Axiomatika devatenáctého století na metalogii dvacátého století“, Historie a filozofie logiky, 23 (1): 1–30. doi: 10,1080 / 01445340210146889
• Badesa, Calixto, 2004, Narození teorie modelů: Löwenheimova věta v rámci teorie relativů, Princeton: Princeton University Press.
• Bernays, Paul, 1918, „Beiträge zur axiomatischen Behandlung des Aussagen-Kalküls“, habilitační práce, Univerzita v Göttingenu; poprvé publikováno v Hilbert [LFL], str. 231-268.
• –––, 1926, „Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der Principia Mathematica“, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
• –––, 1937, „Systém axiomatických teorií množin“, Journal of Symbolic Logic, 2 (1): 65–77. doi: 10,2307 / 2268862
• Boole, George, 1847, Matematická analýza logiky: být esejem k počtu deduktivního uvažování, Cambridge: Macmillan. Přetištěno v Ewaldu 1996: sv. 1, str. 451–509. [Boole 1847 k dispozici online]
• Brady, Geraldine, 2000, z Peirce do Skolem: zanedbaná kapitola v historii logiky, (Studie v historii a filozofie matematiky, 4), Amsterdam: Elsevier.
• Carnap, Rudolf, „Die logizistische Grundlegung der Mathematik“, Erkenntnis, 2 (1): 91–105. (Odkazy na překlad v Paul Benacerraf a Hilary Putnam, Filozofie matematiky: Vybrané čtení, Cambridge: Cambridge University Press, 1983, 41–52.) Doi: 10.1007 / BF02028142 (de) doi: 10.1017 / CBO9781139171519.003 (en)
• Church, Alonzo, 1956, Úvod do matematické logiky, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1974, „Russellovská teorie jednoduchého typu“, sborníky a adresy Americké filozofické asociace, 47: 21–33. doi: 10,2307 / 3129899
• De Morgan, Augustus, 1864, „O Syllogismu, č. IV a logice vztahů“, Transakce Cambridge Philosophical Society, 10: 173–230. (Číst 8 únor 1858.) [De Morgan 1864 dostupný online]
• Dutilh Novaes, Catarina, připravovaná, „Axiomatizace aritmetiky a dělení prvního řádu / druhého řádu“, Synthese, nejprve online: 30. prosince 2014. doi: 10.1007 / s11229-014-0636-6
• Eklund, Matti, 1996, „O tom, jak se logika stala prvním řádem“, Nordic Journal of Philosophical Logic, 1 (2): 147–167. [Eklund 1996 k dispozici online]
• Ewald, William Bragg (ed.), 1996, Od Kant do Hilbert: Zdrojová kniha v základech matematiky, 2 vol., Oxford: Clarendon Press.
• Ferreirós, José, 2001, „Cesta k moderní logicko-interpretační interpretaci“, Bulletin of Symbolic Logic, 7 (4): 441–484. doi: 10,2307 / 2687794
• Fraenkel, Abraham A., 1927, „Recenze Skolem 1922“, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, 49: 138–139.
• Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Nebert. Přeložil Stefan Bauer-Mengelberg v van Heijenoort 1967: 1–82.
• –––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-Mathatische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: Koebner. Přeloženo JL Austinem jako základy aritmetiky, logicko-matematické šetření do koncepce čísla, Oxford: Blackwell, 1950.
• –––, 1893, Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, sv. 1, Jena: Pohl.
• –––, 1895, „Kritische Beleuchtung einiger Punkte v E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik“, Archiv für systematische Philosophie, 1: 433–456. [Frege 1895 k dispozici online]
• –––, [ PMC], filozofická a matematická korespondence, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness a Hans Kaal (ed.), Chicago: University of Chicago Press, 1980.
• Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2009, Handbook of the History of Logic, roč. 5: Logika od Russella po kostel, Amsterdam: Elsevier-North Holland.
• Gödel, Kurt, 1929, Über die Vollständigkeit des Logikkalküls, doktorská disertační práce, vídeňská univerzita. Vytištěno s překladem v Sol Feferman et al. (eds), Kurt Gödel: Collected Works, sv. 1: Publications 1929–1936, Oxford: Clarendon Press, s. 60–101.
• –––, 1931, „Über formální unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198; přeložil S. Bauer-Mengelberg ve van Heijenoort 1967: 596–616.
• –––, 1940, Soulad axiomu výběru a zobecněné hypotézy kontinua s axiomy teorie množin, Princeton: Princeton University Press.
• Goldfarb, Warren D., 1979, „Logic in the Twenties: The Nature of Quantifier“, Journal of Symbolic Logic, 44 (3): 351–368. doi: 10,2307 / 2273128
• Hilbert, David, 1905, „Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik“, ve Verhandlungen des Dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses v Heidelbergu vom 8. bis 13. srpna 1904, Leipzig: Teubner, str. 174–185; přeložil S. Bauer-Mengelberg ve van Heijenoort 1967: 130–138.
• –––, 1917, „Axiomatisches Denken“, Mathematische Annalen 78 (1–4): 405–415; přeložil W. Ewald v Ewaldu 1996 (svazek 2), str. 1105–1115. doi: 10.1007 / BF01457115 (de)
• –––, 1917/18, Prinzipien der Mathematik, nepublikované přednášky konané v Göttingenu, zimní semestr, 1917/18 (poznámky o přednášce zaznamenal Paul Bernays). Přetištěno v Hilbert 2013: 31–221.)
• –––, 1928, „Probleme der Grundlegung der Mathematik“(„Boloňská přednáška“), přetištěno v Hilbert 2013: 954–966.
• –––, [ LFL], David Hilbert, Přednášky o základech logiky, matematiky a přírodních věd (Svazek III: Základy logiky a aritmetiky, 1917–1933), William Ewald a Wilfried Sieg (ed.), Berlín: Springer Verlag, 2013. doi: 10,1007 / 978-3-540-69444-1
• Hilbert, David a Wilhelm Ackermann, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlín: Springer Verlag.
• Hilbert, David a Paul Bernays, 1939, Prinzipien der Mathematik II, Berlín: Springer Verlag.
• Landini, Gregory, 1998, Russellova skrytá substituční teorie, Oxford: Oxford University Press.
• Lindström, Per, 1969, „O rozšířeních elementární logiky“, Theoria, 35 (1): 1-11. doi: 10,111 / j.1755-2567,1969.tb00356.x
• Linsky, Bernard, 2011, Evoluce „Principia Mathematica“: Rukopisy a poznámky Bertranda Russella pro druhé vydání, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,017 / CBO9780511760181
• Löwenheim, Leopold, 1915, „Über Möglichkeiten im Relativkalkül“, Mathematische Annalen, 76 (4): 447–470. Překlad v van Heijenoort 1967: 228–251. doi: 10.1007 / BF01458217 (de)
• –––, 1940, „Einkleidung der Mathematik im Schröderschen Relativkalkül“, Journal of Symbolic Logic, 5 (1): 1-15. doi: 10,2307 / 2269177
• Macintyre, Angus, 2011, „Dopad Gödelových teorií neúplnosti na matematiku“, v Kurt Gödel a základy matematiky: Horizonty pravdy, Matthias Baaz, Christos H. Papadimitriou, Dana S. Scott, Hilary Putnam a Charles L. Harper (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, s. 3–26. doi: 10,017 / CBO9780511974236,004
• Mancosu, Paolo (ed.), 1998, Od Brouwera k Hilbertovi: Debata o základech matematiky ve 20. letech, Oxford: Oxford University Press.
• Mancosu, Paolo, Richard Zach a Calixto Badesa, 2009, „Vývoj matematické logiky z Russella do Tarského, 1900–1935“, v L. Haaparanta (ed.), Vývoj moderní logiky, Oxford: Oxford University Press, str. 318–470; dotisknuto v Paolo Mancosu (ed.), The Adventure of Deason: Interplay Filosofies of Mathematics and Mathematical Logic, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press, s. 5–120.
• Moore, Gregory S., 1988, „Vznik logiky prvního řádu“, v William Aspray a Philip Kitcher (eds), History and Philosophy of Modern Mathematics, (Minnesota Studies in Philosophy of Science, 11), s. 95 –135, Minneapolis: University of Minnesota Press.
• Peano, Giuseppe, 1889, Arithmetices Principia, nova methodo exposita, Turín: Bocca. Přeloženo v van Heijenoort 1967: 20–55. [Peano 1889 (je) k dispozici online]
• Peirce, Charles S., 1867, Pět dokumentů o logice předložených americké akademii; dotisknuto v spisech Charlese S. Peirce: Chronologické vydání (svazek 2), Edward C. Moore (ed.), Bloomington: Indiana University Press, 1984, s. 12-86.
• –––, 1870 [1873], „Popis zápisu pro logiku relativů, vyplývající ze zesílení koncepcí Booleova logického počtu“, vzpomínky Americké akademie umění a věd, 9 (2): 317 –378, sdělený 26. ledna 1870, zveřejněný 1873. doi: 10,2307 / 25058006
• –––, 1881, „O logice čísla“, American Journal of Mathematics, 4 (1): 85–95. Přetištěno v Ewaldu 1996: sv. 1, str. 598–608. doi: 10,2307 / 2369151
• –––, 1883, „Teorie pravděpodobných inferencí“, v CS Peirce (ed.), Studie logiky členy univerzity Johns Hopkins University, Boston: Little Brown, s. 126–181. [Peirce 1883 k dispozici online]
• –––, 1885, „O algebře logiky: příspěvek k filosofii notace“, American Journal of Mathematics, 7 (2): 180–202. Přetištěno v Ewaldu 1996: sv. 1, str. 608–632. doi: 10,2307 / 2369451
• Quine, Willard V., 1936, „Set-theoretic základy pro logiku“, Journal of Symbolic Logic, 1 (2): 45–57. doi: 10,2307 / 2268548
• Reck, Erich H., 2013, „Vývoj v logice: Carnap, Gödel a Tarski“, v Oxfordské příručce historie analytické filosofie, Michael Beaney (ed.), Oxford: Oxford University Press, s. 546–571.
• Russell, Bertrand, 1903, Principy matematiky, Cambridge: Cambridge University Press. [Russell 1903 k dispozici online]
• –––, 1908, „Matematická logika založená na teorii typů“, American Journal of Mathematics, 30 (3): 222–262. Přetištěno v van Heijenoort 1967: 150–182. doi: 10,2307 / 2369948
• Schiemer, Georg & Erich H. Reck, 2013, „Logika ve 30. letech: Teorie typů a teorie modelů“, Bulletin symbolické logiky, 19 (4): 433–472. doi: 10,017 / S1079898600010568
• Schröder, Ernst, 1890–95, Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik), 3 svazky, Lipsko: Teubner.
• Sieg, Wilfried, 1999, „Hilbert's Programs: 1917–1922“, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (1): 1-44. doi: 10,2307 / 421139
• –––, 2009, „Hilbertova teorie důkazů“, v Gabbay & Woods 2009: 321–384. doi: 10,016 / S1874-5857 (09) 70012-3
• ––– 2013, Hilbert's Programs and Beyond, Oxford: Oxford University Press.
• Skolem, Thoralf, 1920, „Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit matematik Sätze nebst einem theoreme über dichte Mengen“, Kristiania. Částečně přeložil S. Bauer Mengelberg ve van Heijenoort 1967: 252–263.
• –––, 1922, „Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre“, přeložil S. Bauer Mengelberg do van Heijenoort 1967: 217–232.
• –––, 1923, „Begründung der elementaren Arithmetik durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich“, Kristiania. Přeložil S. Bauer Mengelberg v van Heijenoort 1967: 302–333. [Skolem 1923 (de) k dispozici online]
• Tarski, Alfred, 1935, „Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen“, Studia Philosophica, 1: 261–405. Překlady do logiky, sémantiky, metamatematiky: Příspěvky od roku 1923 do roku 1938, Oxford: Oxford University Press, 1956.
• van Heijenoort, Jean, (ed.), 1967, Od Frege k Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press
• von Neumann, John, 1927, „Zur Hilbertschen Beweistheorie“, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
• Weyl, Hermann, 1910, „Über die Definitionen der Mathatischen Grundbegriffe“, Mathematisch-Wissenschaftliche Blätter, 7: 93–95, 109–113.
• –––, 1918, Das Kontinuum, Berlín: de Gruyter.
• Whitehead, Alfred N. a Bertrand Russell, 1910–1913, Principia Mathematica, 3 svazky, Cambridge: Cambridge University Press.
• Zach, Richard, 1999, „Úplnost před zveřejněním: Bernays, Hilbert a vývoj prozatímní logiky“, Bulletin of Symbolic Logic, 5: 331–366.
• Zermelo, Ernst, 1908, „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, I“, Mathematische Annalen, 65 (2): 261–281. Přeložil S. Bauer Mengelberg ve van Heijenoort 1967: 199–215. doi: 10.1007 / BF01449999 (de)
• –––, 1929, „Über den Begriff der Definitheit in der Axiomatik“, Fundamenta Mathematicae, 14: 339–344. doi: 10,4064 / fm-14-1-339-344

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]