Modální Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Modální logika

První publikované Út 29 února 2000; věcná revize So 9. září 2018

Modální je výraz (jako „nezbytně“nebo „možná“), který se používá k určení pravdy rozsudku. Modální logika je, přesněji řečeno, studií deduktivního chování výrazů „je nezbytné, aby“a „je to možné“. Výraz „modální logika“však může být použit širší pro rodinu souvisejících systémů. Patří sem logika víry, napjatých a jiných časových výrazů, deontických (morálních) výrazů, jako je „je to povinné“a „je to povoleno“a mnoho dalších. Porozumění modální logice je zvláště cenné ve formální analýze filosofických argumentů, kde výrazy z modální rodiny jsou společné a matoucí. Modální logika má také důležité aplikace v informatice.

• 1. Co je Modal Logic?
• 2. Modální logika
• 3. Deontická logika
• 4. Časová logika
• 5. Podmíněná logika
• 6. Možné sémantiky světů
• 7. Modální axiómy a podmínky v rámci
• 8. Mapa vztahů mezi modální logikou
• 9. Obecný axiom
• 10. Dvourozměrná sémantika
• 11. Logika zajišťovatelnosti
• 12. Pokročilá modální logika
• 13. Bisimulace
• 14. Modální logika a hry
• 15. Kvantifikátory v modální logice
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Co je Modal Logic?

Úzce interpretované logické studie s modální logikou, které zahrnují použití výrazů „nezbytně“a „možná“. Pojem „modální logika“se však používá širěji, aby pokrýval skupinu logických systémů s podobnými pravidly a řadou různých symbolů.

Následuje seznam popisující nejznámější z těchto logik.

Logika	Symboly	Symbolické výrazy
Modální logika	(Box)	Je nutné, aby…
	(Diamant)	Je možné, že…
Deontická logika	(Ó)	Je povinné, aby…
	(P)	Je povoleno, aby…
	(F)	Je zakázáno, aby…
Časová logika	(G)	Vždy se stane, že…
	(F)	Bude to tak, že…
	(H)	Vždy se stalo, že…
	(P)	Bylo to tak, že…
Doxastická logika	(Bx)	(x) věří, že…

2. Modální logika

Nejznámější logika v modální rodině je konstruována ze slabé logiky zvané (bK) (po Saul Kripke). Při úzkém čtení se modální logika týká nutnosti a možnosti. Pro takovou logiku může být vyvinuto množství různých systémů využívajících (bK) jako základ. Symboly (bK) zahrnují '({ sim})' pro 'not', '(rightarrow)' pro 'if … then' a '(Box)' for provozovatel modální dopravy „je nutné, aby“. (Spojnice '(amp)', '(vee)' a '(leftrightarrow)' mohou být definovány z '({ sim})' a '(rightarrow) ', jak se to děje v výrokové logice.) (bK) vyplývá z přidání následujících k zásadám výrokové logiky.

Pravidlo nezbytnosti: Pokud (A) je věta (bK), pak je to také (Box A).

Distribuční axiom: (Box (A / rightarrow B) rightarrow (Box A / rightarrow / Box B)).

(V těchto principech používáme '(A)' a '(B)' jako metavariabilita přesahující formule jazyka.) Podle pravidla nezbytnosti je nutná jakákoli logická věta. Distribuční axiom říká, že pokud je nutné, že pokud (A) pak (B), pak pokud nutně (A), pak nutně (B).

Operátor (Diamond) (pro 'možná') lze definovat z (Box) tak, že necháme (Diamond A = { sim} Box { sim} A). V (bK) se operátoři (Box) a (Diamond) chovají velmi podobně jako kvantifikátory (forall) (all) a (existuje) (some). Například definice (Diamond) z (Box) odráží ekvivalenci (forall xA) s ({ sim} existuje x { sim} A) v predikátové logice. Navíc (Box (A / amp B)) znamená (Box / \ amp / Box B) a naopak; zatímco (Box A / vee / Box B) znamená (Box (A / vee B)), ale ne naopak. Toto odráží vzorce vykazované univerzálním kvantifikátorem: (forall x (A / amp B)) znamená (forall xA / amp / forall xB) a naopak, zatímco (forall xA / vee / forall) xB) znamená (forall x (A / vee B)), ale ne naopak. Podobné paralely mezi (Diamond) a (existuje) lze nakreslit. Základ této korespondence mezi modálními operátory a kvantifikátory se objeví jasněji v sekci o sémantice možných světů.

Systém (bK) je příliš slabý na to, aby poskytoval dostatečný přehled o nutnosti. Následující axiom není prokazatelný v (bK), ale je to jasně žádoucí.

) tag {(M)} Box A / rightarrow A)

((M)) tvrdí, že je třeba cokoli. Všimněte si, že ((M)) by bylo nesprávné, kdyby (Box) bylo čteno „mělo by to být“nebo „to byl ten případ“. Takže přítomnost axiomu ((M)) odlišuje logiku pro nutnost od ostatních logik v modální rodině. Základní modální logika (M) vyplývá z přidání ((M)) do (bK). (Někteří autoři nazývají tento systém (mathbf {T}).)

Mnoho logiků věří, že (M) je stále příliš slabý na to, aby správně formalizoval logiku nutnosti a možnosti. Doporučují další axiomy pro řízení iterace nebo opakování modálních operátorů. Zde jsou dva nejslavnější iterační axiomy:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A)) tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) je systém, který je výsledkem přidání (4) do (M). Podobně (mathbf {S5}) je (M) plus (5). V (mathbf {S4}) je věta (Box / Box A) ekvivalentní s (Box A). Výsledkem je, že jakýkoli řetězec krabic může být nahrazen jediným boxem a totéž platí pro řetězce diamantů. To odpovídá myšlence, že iterace modálních operátorů je zbytečná. Říct, že (A) je nezbytně nutné, je považováno za zbytečně dlouhotrvající způsob, jak říci, že (A) je nutné. Systém (mathbf {S5}) má ještě silnější principy pro zjednodušení řetězců modálních operátorů. V (mathbf {S4}) lze pro tento operátor nahradit řetězec operátorů stejného druhu; v (mathbf {S5}) jsou řetězce obsahující pole i kosočtverce ekvivalentní poslednímu operátorovi v řetězci. Takže napříkladříkat, že to je možné že (A) je nutný je stejný jako říkat, že (A) je nutný. Následuje přehled těchto funkcí (mathbf {S4}) a (mathbf {S5}).

) tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {a} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond)) begin {zarovnat *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {a} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {kde každý} 0 / text {je buď} Box / text {nebo} Diamond / end {zarovnat *})

Člověk by se mohl zapojit do nekonečného sporu o správnosti nebo nesprávnosti těchto a dalších iteračních principů pro (Box) a (Diamond). Spor může být částečně vyřešen uznáním, že slova „nezbytně“a „možná“mají mnoho různých použití. Přijatelnost axiomů pro modální logiku tedy závisí na tom, na které z těchto použití máme na mysli. Z tohoto důvodu neexistuje žádná modální logika, ale celá rodina systémů postavených kolem (M). Vztah mezi těmito systémy je znázorněn v oddíle 8 a jejich použití na různá použití „nezbytně“a „možná“lze lépe porozumět studováním jejich možné světové sémantiky v oddíle 6.

Systém (mathbf {B}) (pro logika Brouwera) je vytvořen přidáním axiomu ((B)) do (M).

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A)

Je zajímavé poznamenat, že (mathbf {S5}) lze formulovat rovnocenně přidáním ((B)) do (mathbf {S4}). Axiom ((B)) vyvolává důležitý bod o interpretaci modálních vzorců. ((B)) říká, že pokud se jedná o (A), pak (A) je nezbytně možné. Dalo by se argumentovat, že ((B)) by mělo být vždy přijato v jakékoli modální logice, protože pokud je tomu tak (A), pak je nutné, aby (A) bylo možné. Existuje však problém s tímto tvrzením, které lze odhalit tím, že (Diamond / Box A / rightarrow A) lze prokázat z ((B)). Takže (Diamond / Box A / rightarrow A) by mělo být přijatelné, pokud ((B)) je. Nicméně, (Diamond / Box A / rightarrow A) říká, že pokud (A) je možná nutné, pak (A) je ten případ, a to zdaleka není zřejmé. Proč ((B)) vypadá zjevně,zatímco jedna z věcí, které s sebou nese, se nezdá být vůbec zřejmá? Odpověď zní, že v anglickém výkladu (A / rightarrow / Box / Diamond A) existuje nebezpečná dvojznačnost. Často používáme výraz „Pokud (A), pak nutně (B)“, abychom vyjádřili, že je nezbytná podmínka „Pokud (A), pak (B)“. Tato interpretace odpovídá (Box (A / rightarrow B)). V jiných případech máme na mysli, že pokud (A), pak je třeba (B): (A / rightarrow / Box B). V angličtině je „nezbytně“příslovce a protože příslovce jsou obvykle umístěna poblíž sloves, nemáme žádný přirozený způsob, jak naznačit, zda se modální operátor vztahuje na celý podmíněný nebo na jeho následný. Z těchto důvodů existuje tendence zaměňovat ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) s (Box (A / rightarrow / Diamond A)). Ale (Box (A / rightarrow / Diamond A)) není stejný jako ((B)), pro (Box (A / rightarrow / Diamond A)) je již věta o (M) a ((B)) není. Je třeba věnovat zvláštní pozornost tomu, aby naše pozitivní reakce na (Box (A / rightarrow / Diamond A)) neovlivnila naše hodnocení ((B)). Jedním jednoduchým způsobem, jak se chránit, je formulovat (B) stejným způsobem pomocí axiomu: (Diamond / Box A / rightarrow A), kde tyto nejasnosti rozsahu nevznikají.kde tyto nejasnosti rozsahu nevznikají.kde tyto nejasnosti rozsahu nevznikají.

3. Deontická logika

Deontická logika zavádí primitivní symbol (O) pro „je povinné“, ze kterých jsou symboly „(P)“pro „povoleno, že“a (F) pro „je zakázáno, že“jsou definovány: (PA = { sim} O { sim} A) a (FA = O { sim} A). Deontický analog modálního axiomu ((M): OA / rightarrow A) zjevně není vhodný pro deontickou logiku. (Bohužel to, co by mělo být, není vždy případ.) Nicméně základní systém (mathbf {D}) deontické logiky může být vytvořen přidáním slabší axiomy ((D)) do (bK).

) tag {(D)} OA / rightarrow PA)

Axiom ((D)) zaručuje soudržnost systému závazků tím, že trvá na tom, že pokud je (A) povinné, (A) je přípustné. Systém, který nás zavazuje zavádět (A), ale nedovoluje nám to dělat, nás staví do nevyhnutelné vazby. Ačkoli někteří budou argumentovat, že takové střety povinností jsou přinejmenším možné, většina deontických logiků přijímá ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) je další deontický axiom, který se zdá být žádoucí. Ačkoli je špatné říci, že pokud je (A) povinné, pak (A) je případ ((OA / rightarrow A)), přesto by to tak mělo být. Takže někteří deontičtí logici věří, že (D) musí být doplněno také (O (OA / rightarrow A)).

Spor o iteraci (opakování) operátorů opět vzniká v deontické logice. V některých pojmech závazků činí (OOA) pouze (OA). „To by mělo být, že by to mělo být“je považováno za druh koktání; další 'nepřidávají nic nového. Proto jsou přidány axiomy, aby byla zaručena ekvivalence (OOA) a (OA). Mohou být také přijaty obecnější zásady iterace obsažené v (mathbf {S5}). Existují však koncepce závazku, kde je zachováno rozlišení mezi (OA) a (OOA). Myšlenka je taková, že existují skutečné rozdíly mezi povinnostmi, které skutečně máme, a povinnostmi, které bychom měli přijmout. Například, „mělo by to být tak, že (A)“by mělo přikazovat přijetí nějaké povinnosti, která nemusí být ve skutečnosti zavedena, což má za následek, že (OOA) může být pravda, i když (OA) je nepravdivé.

4. Časová logika

V časové logice (známé také jako napjatá logika) existují dva základní operátory, (G) pro budoucnost a (H) pro minulost. (G) se čte 'vždy to bude' a definovaný operátor (F) (čtení 'to bude případ') může být zaveden pomocí (FA = { sim} G { sim }A). Podobně se čte (H): 'vždy to bylo' a (P) (pro 'to byl případ, že') je definováno (PA = { sim} H { sim} A). Základní systém časové logiky zvaný (mathbf {Kt}) je výsledkem přijetí principů (bK) pro (G) a (H), spolu se dvěma axiómy, které řídí interakci mezi minulostí a budoucími operátory:

Pravidla nezbytnosti:

Pokud (A) je věta, platí to také pro (GA) a (HA).

Distribuční axiómy:

(G (A / rightarrow B) rightarrow (GA / rightarrow GB)) a (H (A / rightarrow B) rightarrow (HA / rightarrow HB))

Axiomy interakce:

(A / rightarrow GPA) a (A / rightarrow HFA)

Axiomy interakce vyvolávají otázky týkající se asymetrie mezi minulostí a budoucností. Standardní intuicí je, že minulost je pevná, zatímco budoucnost je stále otevřená. První interakční axiom ((A / rightarrow GPA)) odpovídá této intuici v hlášení, že jaký je případ ((A)), bude v budoucnu vždy v minulosti ((GPA)). Může se však zdát, že (A / rightarrow HFA) má nepřijatelně deterministické podtóny, protože tvrdí, že to, co je nyní pravda ((A)), bylo vždy takové, že se to stane v budoucnosti ((HFA))). Možná světová sémantika pro časovou logiku však ukazuje, že toto znepokojení vyplývá z jednoduchého zmatku a že oba axiomy interakce jsou stejně přijatelné.

Všimněte si, že charakteristický axiom modální logiky, ((M): / Box A / rightarrow A), není přijatelný pro (H) nebo (G), protože (A) nenásleduje od 'vždy to byl ten případ (A)', ani od 'vždy to bude ten (A)'. Je však přijatelné v úzce související časové logice, kde (G) se čte „je a vždy bude“a (H) se čte „je a vždy byl“.

V závislosti na tom, které předpoklady se týkají struktury času, musí být do časové logiky přidány další axiomy. Následuje seznam axiomů běžně používaných v časové logice. Přehled toho, jak závisí na struktuře času, najdete v sekci Možné sémantiky světů.

) begin {align *} GA / rightarrow GGA & / text {and} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {and} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {and} HA / rightarrow PA / end {zarovnat *})

Je zajímavé poznamenat, že určité kombinace minulých napjatých a budoucích napjatých operátorů lze použít k vyjádření složitých časů v angličtině. Například (FPA) odpovídá větě (A) v budoucím dokonalém čase (jako za '20 sekund od této chvíle se světlo změní '). Podobně (PPA) vyjadřuje minulý perfektní čas.

Pro podrobnější diskusi viz položka o časové logice.

5. Podmíněné a relevantní logiky

Zakladatel modální logiky, CI Lewis, definoval řadu modální logiky, která neměla (Box) jako primitivní symbol. Lewis se snažil vyvinout logiku podmíněností, která by neobsahovala tzv. Paradoxy materiální implikace, jmenovitě klasické věty (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) a (B / rightarrow (A) rightarrow B)). On představil symbol (fishhook) pro “přísné implikace” a vyvinul logiku kde žádný (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) ani (B / fishhook (A / fishhook B)) je prokazatelné. Moderní praxí bylo definovat (A / fishhook B) pomocí (Box (A / rightarrow B)) a použít modální logiku řídící (Box) k získání podobných výsledků. Prokazatelnost takových vzorců jako ((A / amp { sim} A) fishhook B) v takové logice se však zdá být v rozporu se znepokojením nad paradoxy. Anderson a Belnap (1975) vyvinuli systémy (mathbf {R}) (pro Relevance Logic) a (mathbf {E}) (pro Entailment), které jsou navrženy k překonání těchto obtíží. Tyto systémy vyžadují revizi standardních systémů výrokové logiky. (Viz Mares (2004) a záznam o logice relevantnosti.)

David Lewis (1973) a další vyvinuli podmíněnou logiku pro zpracování kontrafaktuálních výrazů, to znamená, výrazů ve formě „pokud by se mělo stát (A), pak by se stalo (B)“. (Kvart (1980) je dalším dobrým zdrojem na toto téma.) Protiopatrová logika se liší od logiky založené na přísných implikacích, protože první odmítají, zatímco druhá přijímají kontrakci.

6. Možné sémantiky světů

Účelem logiky je charakterizovat rozdíl mezi platnými a neplatnými argumenty. Logický systém pro jazyk je množina axiomů a pravidel navržených tak, aby přesně prokazovala platné argumenty, které lze v jazyce prokázat. Vytvoření takové logiky může být obtížný úkol. Logik se musí ujistit, že systém je zdravý, tj. Že každý argument prokázaný pomocí pravidel a axiomů je ve skutečnosti platný. Kromě toho by systém měl být úplný, což znamená, že každý platný argument má v systému důkaz. Demonstrace spolehlivosti a úplnosti formálních systémů je ústředním zájmem logika.

Taková demonstrace nemůže proběhnout, dokud nebude přesně definován pojem platnosti. Formální sémantika pro logiku poskytuje definici platnosti charakterizováním pravého chování vět systému. V výrokové logice lze platnost definovat pomocí tabulek pravdy. Platný argument je prostě takový, kde každý řádek tabulky pravdy, který činí jeho prostory pravdivými, také činí jeho závěr pravdivý. Tabulky pravdy však nelze použít k poskytnutí účtu platnosti v modální logice, protože neexistují žádné tabulky pravdivosti pro výrazy, jako je „je nezbytné, že“, „je to povinné“a podobně. (Problém je v tom, že skutečná hodnota (A) neurčuje pravou hodnotu pro (Box A). Například když (A) je 'Psi jsou psi', (Box A) je pravda, ale když (A) je 'Psi jsou mazlíčci', (Box A) je nepravdivé.) Nicméně,sémantiku pro modální logiku lze definovat zavedením možných světů. Budeme ilustrovat možnou světovou sémantiku pro logiku nezbytnosti obsahující symboly ({ sim}, / rightarrow) a (Box). Poté vysvětlíme, jak lze stejnou strategii přizpůsobit ostatním logikám v modální rodině.

V propoziční logice, ocenění atomových vět (nebo řádek tabulky pravdy) přiřadí pravdivostní hodnotu ((T) nebo (F)) každé propoziční proměnné (p). Potom se pomocí pravdivých tabulek vypočítají hodnoty pravdy složitých vět. V modální sémantice je představena množina (W) možných světů. Ocenění pak dává pravdivou hodnotu každé výrokové proměnné pro každý z možných světů v (W). To znamená, že hodnota přiřazená k (p) pro svět (w) se může lišit od hodnoty přiřazené k (p) pro jiný svět (w ').

Pravdivou hodnotu atomové věty (p) na světě (w) danou oceněním (v) lze napsat (v (p, w)). Daný tento zápis, pravdivé hodnoty ((T) pro pravdivý, (F) pro nepravdivý) složitých vět modální logiky pro dané ocenění (v) (a člen (w) množiny) světů (W)) mohou být definovány následujícími klauzulemi o pravdě. ('iff' zkracuje zkratku 'if a only if'.)

) tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / text {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {nebo} v (B, w) = T.)) tag {5} v (Box A, w) = T / text {iff pro každý svět} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Klauze (({ sim})) a ((rightarrow)) jednoduše popisují standardní chování tabulky pravdy pro negaci a materiální implikace. Podle (5) platí, že (Box A) je pravdivé (ve světě (w)) přesně tehdy, když (A) je pravdivé ve všech možných světech. Vzhledem k definici (Diamond), (konkrétně (Diamond A = { sim} Box { sim} A)), podmínka pravdy (5) zajišťuje, že (Diamond A) je pravda jen v případě, že (A) je pravda v nějakém možném světě. Protože doložky pravdy pro (Box) a (Diamond) zahrnují kvantifikátory 'all' a 'some' (respektive), paralely v logickém chování mezi (Box) a (forall x)) a mezi (Diamond) a (existuje x) uvedenými v oddíle 2 se bude očekávat.

Klauzule (({ sim}), (rightarrow)) a (5) nám umožňují vypočítat pravdivou hodnotu jakékoli věty v kterémkoli světě na daném ocenění. Definice platnosti je hned za rohem. Argument je platný pro danou množinu W (možných světů) pouze tehdy, pokud každé ocenění atomových vět, které přiřadí prostory (T) na světě v (W), také přiřadí závěr (T) ve stejném světě. Argument se říká, že je 5-platný, pokud je platný pro každou neprázdnou množinu (W) možných světů.

Ukázalo se, že (mathbf {S5}) je zdravý a úplný pro platnost 5 (proto naše použití symbolu '5'). 5 platných argumentů jsou přesně argumenty prokazatelné v (mathbf {S5}). Tento výsledek naznačuje, že (mathbf {S5}) je správný způsob, jak formulovat logiku nutnosti.

(Mathbf {S5}) však není rozumnou logikou pro všechny členy modální rodiny. V deontické logice, temporální logice a dalších analogie stavu pravdy (5) zjevně není vhodná; dále existují dokonce koncepty nezbytnosti, kde (5) by mělo být rovněž odmítnuto. Tento bod je nejjednodušší vidět v případě časové logiky. Tady jsou členové (W) momenty času nebo světy „zmrzlé“, jak to bylo, v okamžiku. Pro jednoduchost uvažujme o budoucí časové logice, logice, kde (Box A) zní: „vždy to tak bude“. (Systém formulujeme spíše pomocí (Box) než tradičních (G), aby bylo snazší ocenit spojení s jinými modálními logikami.) Správná věta pro (Box) by měla říkat, že (Box A) je pravdivé v době (w) iff (A) je vždy pravdivé v budoucnosti (w). Abychom omezili pozornost na budoucnost, je třeba zavést vztah (R) (pro 'dřívější než'). Správná klauzule pak může být formulována následovně.

) tag {(K)} v (Box A, w) = T / text {iff pro každého} w ', / text {if} wRw', / text {then} v (A, w ') = T.)

Říká se, že (Box A) je pravda v (w), pouze v případě, že (A) platí vždy po (w).

Platnost pro tuto značku časové logiky lze nyní definovat. Rámec (langle W, R / rangle) je pár sestávající z neprázdné množiny (W) (světů) a binárního vztahu (R) na (W). Model (langle F, v / rangle) sestává z rámce (F) a hodnocení (v), které přiřazuje pravdivé hodnoty každé atomové větě v každém světě v (W). Vzhledem k modelu lze hodnoty všech složitých vět určit pomocí (({ sim}), (rightarrow)) a ((K)). Argument je (bK) - platí pouze v případě, že jakýkoli model, jehož ocenění přiřazuje prostory (T) na světě, také přiřadí závěr (T) ve stejném světě. Jak čtenář možná uhodl z našeho použití '(bK)', ukázalo se, že nejjednodušší modální logika (bK) je jak zdravá, tak úplná pro (bK) - platnost.

7. Modální axiómy a podmínky v rámci

Dalo by se z této diskuse předpokládat, že (bK) je správná logika, když (Box) je přečteno 'bude to vždy tak'. Existují však důvody k domněnce, že (bK) je příliš slabý. Jeden zřejmý logický rys vztahu (R) (dříve než) je tranzitivita. Pokud (wRv (w) je starší než (v)) a (vRu (v) je starší než (u)), pak to znamená, že (wRu (w) je dřívější než (u)). Definujme tedy nový druh platnosti, který odpovídá této podmínce na (R). Dovolit 4-model být nějaký model jehož rám (langle W, R / rangle) je takový že (R) je tranzitivní vztah na (W). Pak je argument platný, pokud jakýkoli 4-model, jehož ocenění přiřazuje (T) k prostorům na světě, také přiřadí (T) k závěru ve stejném světě. K popisu takového tranzitivního modelu používáme '4', protože logika, která je přiměřená (zvuková i úplná) pro 4-platnost, je (mathbf {K4}), logika, která vyplývá z přidání axiomu (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) na (bK).

Transitivita není jedinou vlastností, kterou bychom mohli požadovat od rámce (langle W, R / rangle), pokud má být (R) čteno „dříve než“a (W) je sada momenty. Jednou podmínkou (která je jen mírně kontroverzní) je, že neexistuje poslední okamžik času, tj. Že pro každý svět (w) existuje nějaký svět (v) takový, že (wRv). Tato podmínka na rámcích se nazývá sériově. Sérialita odpovídá axiomu ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), stejným způsobem, jako transitivita odpovídá (4). Model (mathbf {D}) je model (bK) se sériovým rámcem. Z konceptu (mathbf {D}) - modelu lze definovat odpovídající pojem (mathbf {D}) - platnost stejně jako v případě 4-platnosti. Jak jste pravděpodobně uhodli, systém, který je vhodný s ohledem na (mathbf {D}) - platnost je (mathbf {KD}),nebo (bK) plus ((D)). Nejen to, ale systém (mathbf {KD4}) (tj. (BK) plus (4) a ((D))) je s ohledem na (mathbf {D4} dostatečný)) - platnost, kde (mathbf {D4}) - model je takový, kde (langle W, R / rangle) je sériový i tranzitivní.

Další vlastností, kterou bychom mohli chtít pro vztah „dřívější než“, je hustota, podmínka, která říká, že mezi kterýmkoli dvakrát můžeme vždy najít jinou. Hustota by byla falešná, kdyby byl čas atomový, tj. Kdyby existovaly časové intervaly, které by nebylo možné rozdělit na menší části. Hustota odpovídá axiomu ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), převodu (4), tedy například systému (mathbf {KC4}), což je (bK) plus ((C4)) je přiměřené s ohledem na modely, kde je rámeček (langle W, R / rangle) hustý, a (mathbf {KDC4}), s ohledem na modelům, jejichž snímky jsou sériové a husté atd.

Každý z modálních logických axiomů, o nichž jsme diskutovali, odpovídá podmínce na rámcích stejným způsobem. Vztah mezi podmínkami v rámci a odpovídajícími axiomy je jedním z ústředních témat při studiu modální logiky. Jakmile se rozhodne o interpretaci intenzivního operátora (Box), mohou být stanoveny příslušné podmínky na (R), aby se stanovil odpovídající pojem platnosti. To nám zase umožňuje vybrat správnou sadu axiomů pro tuto logiku.

Zvažte například deontickou logiku, kde (Box) se čte „je povinné to“. Pravda (Box A) zde nevyžaduje pravdu (A) ve všech možných světech, ale pouze v podmnožině těch světů, kde lidé dělají, co mají. Chceme tedy také zavést vztah (R) pro tento druh logiky a použít klauzuli pravdy ((K)) k vyhodnocení (Box A) na světě. V tomto případě však (R) není dříve než. Místo toho (wRw ') platí pouze v případě, že svět (w') je morálně přijatelnou variantou (w), tj. Světem, který naše akce může přinést a který splňuje to, co je morálně správné nebo správné, nebo prostě. Při takovém čtení by mělo být jasné, že příslušné rámce by se měly řídit sériovostí, což je podmínka, která vyžaduje, aby každý možný svět měl morálně přijatelnou variantu. Analýza vlastností požadovaných pro (R) objasňuje, že základní deontickou logiku lze formulovat přidáním axiomu ((D)) a (bK).

I v modální logice lze chtít omezit rozsah možných světů, které jsou relevantní při určování, zda (Box A) je pravda v daném světě. Mohu například říci, že je nutné, abych platil své účty, i když dobře vím, že existuje možný svět, kde je nezaplatím. V obyčejné řeči, tvrzení, že (A) je nutné, nevyžaduje pravdu (A) ve všech možných světech, ale spíše pouze v určité třídě světů, které mám na mysli (například světy, kde Vyhýbám se sankcím za nezaplacení). Abychom zajistili obecnou léčbu nezbytnosti, musíme říci, že (Box A) platí v (w) iff (A) platí ve všech světech, které souvisejí s (w) v správná cesta. Takže pro operátora (Box) interpretovaný jako nutnost,představujeme odpovídající vztah (R) na množině možných světů (W), tradičně nazývaných vztah přístupnosti. Vztah přístupnosti (R) platí mezi světy (w) a (w ') iff (w') je možný s ohledem na fakta (w). Podle tohoto čtení pro (R) by mělo být jasné, že rámce pro modální logiku by měly být reflexivní. Z toho vyplývá, že modální logika by měla být založena na (M), systému, který vyplývá z přidání ((M)) do (bK). V závislosti na tom, jak přesně je chápán vztah dostupnosti, může být také požadována symetrie a transitivita.mělo by být jasné, že rámce pro modální logiku by měly být reflexivní. Z toho vyplývá, že modální logika by měla být založena na (M), systému, který vyplývá z přidání ((M)) do (bK). V závislosti na tom, jak přesně je chápán vztah dostupnosti, může být také požadována symetrie a transitivita.mělo by být jasné, že rámce pro modální logiku by měly být reflexivní. Z toho vyplývá, že modální logika by měla být založena na (M), systému, který vyplývá z přidání ((M)) do (bK). V závislosti na tom, jak přesně je chápán vztah dostupnosti, může být také požadována symetrie a transitivita.

Seznam některých běžně diskutovaných podmínek na rámcích a jejich odpovídajících axiomech spolu s mapou ukazující vztah mezi různými modálními logikami lze nalézt v následující části.

8. Mapa vztahů mezi modální logikou

Následující diagram ukazuje vztahy mezi nejlepší známou modální logikou, jmenovitě logikou, kterou lze vytvořit přidáním výběru axiomů ((D), (M)), (4), ((B)) a (5) až (bK). Seznam těchto (a dalších) axiomů spolu s jejich odpovídajícími rámcovými podmínkami lze nalézt pod diagramem.

Schéma modální logiky

V této tabulce jsou systémy uvedeny podle seznamu jejich axiomů. Například například (mathbf {M4B}) je výsledkem přidání ((M)), (4) a ((B)) do (bK). V tučném textu jsme uvedli tradiční názvy některých systémů. Když se systém (mathbf {S}) objeví pod a / nebo vlevo od (mathbf {S} ') spojeného linkou, (mathbf {S}') je rozšíření (mathbf {S}). To znamená, že každý argument prokazatelný v (mathbf {S}) je prokazatelný v (mathbf {S} '), ale (mathbf {S}) je slabší než (mathbf {S} '), tj. ne všechny argumenty prokazatelné v (mathbf {S}') jsou prokazatelné v (mathbf {S}).

Následující seznam uvádí axiomy, jejich jména a odpovídající podmínky ve vztahu přístupnosti (R) pro axiomy, které byly dosud diskutovány v této položce encyklopedie.

název	Axiom	Stav na rámech	R je…
((D))	(Box A / rightarrow / Diamond A)	(existuje u wRu)	Seriál
((M))	(Kolonka A / rightarrow A)	(wRw)	Reflexní
(4)	(Box A / rightarrow / Box / Box A)	((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu)	Tranzitivní
((B))	(A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / Rightarrow vRw)	Symetrický
(5)	(Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu)	Euklidovský
((CD))	(Diamond A / rightarrow / Box A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u)	Funkční
((Box M))	(Box (Box A / rightarrow A))	(wRv / Rightarrow vRv)	Shift Reflexive
((C4))	(Box / Box A / rightarrow / Box A)	(wRv / Rightarrow / existuje u (wRu / amp uRv))	Hustý
((C))	(Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / amp wRx / Rightarrow / existuje u (vRu / amp xRu))	Konvergentní

V seznamu podmínek rámců a ve zbytku tohoto článku proměnné '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' a kvantifikátor '(existuje u)' se chápe jako rozsah přes (W). '&' zkratky 'a' a '(Rightarrow)' zkratky 'pokud … pak'.

V předchozí části byl vysvětlen pojem shody mezi axiomy a rámovými podmínkami. Když S je seznam axiomů a F (S) je odpovídající sada rámcových podmínek, potom S odpovídá F (S) přesně tehdy, když systém K + S je dostatečný (zvukový a úplný) pro F (S) -validitu, to znamená, že argument je prokazatelný v K + S, pokud je F (S) -valid. Ve výzkumu modální logiky se objevilo několik silnějších představ o korespondenci mezi axiomy a rámcovými podmínkami.

9. Obecný axiom

Korelace mezi axiomy a podmínkami na snímcích se může zdát něčím tajemným. Krásný výsledek Lemmon a Scott (1977) jde dlouhou cestou k vysvětlení těchto vztahů. Jejich věta se týkala axiomů, které mají následující podobu:

) tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

Používáme notaci '(Diamond ^ n)' k reprezentaci (n) diamantů v řadě, takže například '(Diamond ^ 3)' zkracuje řetězec tří diamantů: '(Diamond / Diamond / Diamond) '. Podobně '(Box ^ n)' představuje řetězec (n) polí. Když jsou hodnoty (h, i, j) a (k) všechny 1, máme axiom ((C)):

) tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Axiom ((B)) je výsledkem nastavení (h) a (i) na 0 a nechal (j) a (k) být 1:

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 0 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Abychom získali (4), můžeme nastavit (h) a (k) na 0, nastavit (i) na 1 a (j) na 2:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

Mnoho (ale ne všechny) axiomy modální logiky lze získat nastavením správných hodnot pro parametry v ((G))

Naším dalším úkolem bude poskytnout podmínku na snímcích, které odpovídají ((G)) pro daný výběr hodnot pro (h, i, j) a (k). K tomu budeme potřebovat definici. Složení dvou vztahů (R) a (R ') je nový vztah (R \cir R'), který je definován takto:

[wR \cir R'v / text {iff for some} u, wRu / text {and} uR'v.)

Například, pokud (R) je vztah bytí bratrem a (R ') je vztah bytí rodičem, pak (R \cir R') je vztah bytí strýcem, (protože (w) je strýc (v) iff pro nějakou osobu (u), oba (w) je bratr (u) a (u) je rodičem \(proti)). Vztah může být složen sám se sebou. Například když (R) je vztah bytí rodičem, pak (R \cir R) je vztah bytí prarodičem a (R \cir R \cir R) je vztah být prarodičem. Bude užitečné psát '(R ^ n)', pro výsledek komponování (R) s sebou (n) krát. Takže (R ^ 2) je (R \cir R) a (R ^ 4) je (R \cir R \cir R \cir R). Necháme (R ^ 1) být (R) a (R ^ 0) bude vztah identity, tj. (WR ^ 0 v) iff (w = v).

Nyní můžeme uvést výsledek Scott-Lemmon. Je to tak, že podmínka na snímcích, která přesně odpovídá jakékoli axiomě tvaru ((G)), je následující.

) tag {(hijk) - Konvergence} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / existuje x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Je zajímavé vidět, jak známé podmínky na (R) vyplývají z nastavení hodnot pro (h), (i), (j) a (k) podle hodnot v odpovídající axiom. Například, zvažte (5). V tomto případě (i = 0) a (h = j = k = 1). Takže odpovídající podmínka je

[wRv / amp wRu / Rightarrow / existuje x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Vysvětlili jsme, že (R ^ 0) je vztah identity. Pokud tedy (vR ^ 0 x), pak (v = x). Ale (existuje x (v = x / amp uRx)), je ekvivalentní (uRv), a tak se získá euklidovská podmínka:

[(wRv / amp wRu) Rightarrow uRv.)

V případě axiomu (4), (h = 0, i = 1, j = 2) a (k = 0). Odpovídající podmínka u rámců je

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / existuje x (vRx / amp u = x).)

Řešení identit to znamená:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Podle definice (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (existuje x (vRx / amp xRu)), tak jde o:

) existuje x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

což je podle predikátové logiky ekvivalentní transitivitě.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Čtenáři mohou považovat za příjemné cvičení sledovat, jak odpovídající podmínky vypadávají z hijk-konvergence, když hodnoty parametrů (h), (i), (j) a (k) jsou nastaveny jinými axiomy.

Výsledky Scott-Lemmon poskytují rychlou metodu pro stanovení výsledků o vztahu mezi axiomy a jejich odpovídajícími rámcovými podmínkami. Protože prokázali přiměřenost jakékoli logiky, která rozšiřuje (bK) o výběr axiomů tvaru ((G)) s ohledem na modely, které splňují odpovídající sadu rámcových podmínek, poskytovaly „velkoobchodní“přiměřenost důkazů pro většinu systémů v modální rodině. Sahlqvist (1975) objevil důležité zobecnění výsledku Scott-Lemmon pokrývající mnohem širší škálu typů axiomů.

Čtenáři by však měli být upozorněni, že čistá korelace mezi axiomy a podmínkami na rámcích je atypická. Na rámcích existují podmínky, které neodpovídají žádným axiomům, a na rámcích jsou dokonce podmínky, pro které žádný systém není vhodný. (Příklad viz Boolos, 1993, s. 148 a násl.)

10. Dvourozměrná sémantika

Dvourozměrná sémantika je varianta možné světové sémantiky, která používá při hodnocení pravdy spíše dva (nebo více) druhů parametrů než samotné možné světy. Například logika indexových výrazů, jako je „I“, „zde“, „nyní“a podobně, musí přinést jazykový kontext (nebo krátce kontext). Vzhledem k kontextu (c = / langle s, p, t / rangle), kde (s) je řečník, (p) místo a (t) čas promluvy, pak 'I 'odkazuje na (s),' tady 'na (p) a' now 'na (t). Takže v kontextu (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST dne 4/3 / (2014 / rangle), "Jsem tady teď" je T iff Jim Garson je v Houstonu, na 3:00 PM CST dne 3. 3. 2014.

V sémantice možných světů závisí pravdivostní hodnota věty na světě, ve kterém je hodnocena. Indexicals však přinášejí druhou dimenzi - takže je třeba znovu zobecnit. Kaplan (1989) definuje charakter věty B jako funkci od množiny (lingvistických) kontextů k obsahu (nebo nárůstu) B, kde obsah je zase pouhým zaměřením na B, to je fungují od možných světů k pravdivým hodnotám. Hodnocení pravdy je zde dvojnásobně závislé - jak na jazykových kontextech, tak na možných světech.

Jedním z nejzajímavějších poznatků Kaplana je, že některé indexové věty jsou podmíněné, ale zároveň analyticky pravdivé. Příkladem je (1).

(1) Jsem tady

Jen ze smyslu slov můžete vidět, že (1) musí být pravda v každém kontextu (c = / langle s, p, t / rangle). Koneckonců, (c) se počítá jako lingvistický kontext jen v případě, že (s) je řečník, který je na místě (p) v čase (t). Proto (1) platí v (c), což znamená, že vzor pravdivých hodnot (1) má podél kontextové dimenze všechny Ts (vzhledem k tomu, že možný svět je držen fixní). To naznačuje, že kontextová dimenze je vhodná pro sledování analytických znalostí získaných ovládáním našeho jazyka. Na druhou stranu dimenze možných světů sleduje, co je nezbytné. Při zachování kontextu jsou možné světy, kde (1) je nepravdivý. Například když (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15:00 CST dne 4/3 / (2014 / rangle), (1) selže v (c) v možném světě, kde Jim Garson je v Bostonu ve 3 letech:00:00 CST dne 3. 3. 2014. Z toho vyplývá, že „nyní jsem tady“je kontingentní analytická pravda. Proto může dvojrozměrná sémantika zvládnout situace, kdy se nutnost a analytičnost rozpadnou.

Dalším příkladem, ve kterém je užitečné zavést dvě dimenze, je logika otevřené budoucnosti (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Zde člověk používá časovou strukturu, kde se mnoho možných budoucích dějin rozšiřuje z daného času. Zvažte (2).

(2) Joe zítra objedná námořní bitvu

Je-li (2) podmíněno, pak existuje možná historie, kdy bitva nastane den po uplynutí doby hodnocení, a další, kde k ní nedojde. Abychom mohli zhodnotit (2), musíte znát dvě věci: jaký je čas t vyhodnocení a která z historie h, která prochází t, je ta, která je třeba vzít v úvahu. Věta v takové logice je tedy vyhodnocena na páru (langle t, h / rangle).

Dalším problémem řešeným dvourozměrnou sémantikou je interakce mezi „nyní“a dalšími časovými výrazy, jako je budoucí čas „bude tomu tak“. Pak je pravděpodobné si myslet, že „nyní“odkazuje na čas hodnocení. Měli bychom tedy následující stav pravdy:

) tag {Now} v (text {Now} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

To však nebude fungovat pro věty jako (3).

(3) V budoucnu bude každý, kdo nyní žije, neznámý

S (mathrm {F}) jako budoucím napjatým operátorem může být (3) přeloženo:

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(Správný překlad nemůže být (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)), přičemž (mathrm {F}) má úzký rozsah, protože (3) tam říká je budoucí čas, kdy všechny věci, které nyní žijí, jsou spolu neznámé, ne že každá živá věc bude neznámá v nějaké své budoucí době). Když se vypočítají podmínky pravdy pro (3) ('), pomocí (Now) a podmínky pravdy ((mathrm {F})) pro (mathrm {F}), ukáže se, že (3) (') platí v čase (u), pokud existuje čas (t) za (u), takže vše, co žije v (t) (nikoli (u))!) není známo u (t).

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff nějakou dobu} u / text {později než} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Abychom správně vyhodnotili (3) (') tak, aby odpovídaly tomu, co máme na mysli pod (3), musíme se ujistit, že' now 'vždy odkazuje zpět na původní čas promluvy, když' now 'leží v rozsahu jiných časové operátory jako F. Proto musíme sledovat, který čas je čas promluvy ((u)) a také který čas je čas vyhodnocení ((t)). Naše indexy tedy mají podobu páru (langle u, e / rangle), kde (u) je čas promluvy a (e) je čas hodnocení. Potom je stav pravdy (Nyní) revidován na (2DNow).

) tag {2DNow} v (text {Now} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

To má za následek, že Now (B) je pravda v době u promluvy a v čase e hodnocení za předpokladu, že B je pravda, když je u považováno za čas hodnocení. Když jsou pravdivé podmínky pro F, (forall) a (rightarrow) revidovány zjevným způsobem (prostě ignorujte u v páru), (3) (') platí v (langle u, e / rangle) za předpokladu, že je čas (e ') později než e, takže vše, co žije v (u), není v (e') známo. Když si vezmeme záznam o tom, co (u) je během výpočtu pravdy, můžeme vždy stanovit hodnotu pro „now“na původní čas promluvy, i když je „now“hluboce zakořeněné v jiných časových operátorech.

Podobný jev vzniká v modální logice s operátorem skutečnosti A (přečtěte si „je to skutečně tak“). Abychom správně vyhodnotili (4), musíme sledovat, který svět je považován za skutečný (nebo skutečný) svět a který z nich je vzat do světa hodnocení.

(4) Je možné, že každý, kdo skutečně žije, bude neznámý

Myšlenka rozlišovat různé možné světové dimenze v sémantice měla užitečné aplikace ve filozofii. Například Chalmers (1996) předložil argumenty od představitelnosti (řekněme) zombie k dualistickým závěrům ve filozofii mysli. Chalmers (2006) nasadil dvourozměrnou sémantiku, aby pomohl identifikovat apriorní aspekt významu, který by tyto závěry podpořil.

Myšlenka byla také nasazena ve filozofii jazyka. Kripke (1980) skvěle tvrdil, že „Voda je H2O“je a posteriori, nicméně nezbytnou pravdou, protože vzhledem k tomu, že voda je právě H20, není možný svět, kde by tyto věci byly (řekněme) základním prvkem, jak si myslí Řekové. Na druhou stranu existuje silná intuice, že kdyby se skutečný svět poněkud lišil od toho, co to je, kapalina bez zápachu, která padá z nebe jako déšť, zaplňuje naše jezera a řeky atd. By mohla být dokonale dobrým prvkem. V jistém smyslu je tedy myslitelné, že voda není H20. Dvourozměrná sémantika vytváří prostor pro tyto intuice tím, že poskytuje oddělenou dimenzi, která sleduje pojetí vody, které ukládá stranou chemickou povahu toho, co voda vlastně je. Takové „úzké obsahové“pojetí významu „vody“může vysvětlit, jak lze prokázat sémantickou kompetenci při používání tohoto pojmu a stále ignorovat chemii vody (Chalmers, 2002).

11. Logika zajišťovatelnosti

Modální logika byla užitečná při objasňování našeho chápání ústředních výsledků týkajících se prokazatelnosti v základech matematiky (Boolos, 1993). Logika zajišťovatelnosti jsou systémy, kde se výrokové proměnné (p, q, r) atd. Pohybují přes vzorce některého matematického systému, například Peanoův systém (mathbf {PA}) pro aritmetiku. (Systém vybraný pro matematiku se může lišit, ale předpokládejme, že je pro tuto diskusi (mathbf {PA}).) Gödel ukázal, že aritmetika má silné expresivní schopnosti. S použitím číselných čísel pro aritmetické věty dokázal prokázat soulad mezi větami z matematiky a skutečnostmi o tom, které věty jsou a nejsou prokazatelné v (mathbf {PA}). Například,ukázal, že existuje věta (C), která platí, pouze v případě, že v (mathbf {PA}) nelze prokázat rozpor a existuje věta (G) (slavná Gödelova věta), která je true pouze v případě, že to nelze prokázat v (mathbf {PA}).

V logice prokazatelnosti je (Box p) interpretován jako vzorec (aritmetických), který vyjadřuje, že to, co (p) označuje, lze prokázat v (mathbf {PA}). Pomocí tohoto zápisu vyjadřují věty logiky prokazatelnosti skutečnosti o prokazatelnosti. Předpokládejme, že (bot) je konstanta logiky prokazatelnosti označující rozpor. Pak ({ sim} Box / bot) říká, že (mathbf {PA}) je konzistentní a (Box A / rightarrow A) říká, že (mathbf {PA}) je zvuk v tom smyslu, že když se ukáže (A, A), je to pravda. Kromě toho může být box iterován. Například, (Box { sim} Box / bot) dělá pochybné tvrzení, že (mathbf {PA}) je schopen prokázat svou vlastní konzistenci, a ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) tvrdí (správně, jak dokázal Gödel), že pokud (mathbf {PA}) je konzistentní, (mathbf {PA}) není schopen prokázat svou vlastní konzistenci.

Ačkoli logika prokazatelnosti tvoří rodinu souvisejících systémů, systém (mathbf {GL}) je zdaleka nejznámější. Vyplývá to z přidání následujícího axiomu do (bK):

) tag {(GL)} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

Axiom (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) je prokazatelný v (mathbf {GL}), takže (mathbf {GL}) je vlastně posílení (mathbf {K4}). Avšak axiomy jako ((M): / Box A / rightarrow A), a dokonce i slabší ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) nejsou k dispozici (ani žádoucí) v (mathbf {GL}). V logice prokazatelnosti nelze prokazatelnost považovat za značku nezbytnosti. Důvod je ten, že když (p) je prokazatelný v libovolném systému (mathbf {S}) pro matematiku, neznamená to, že (p) je pravda, protože (mathbf {S}) může být nezdravý. Navíc, pokud (p) je prokazatelné v (mathbf {S} (Box p)), nemusí ani následovat, že ({ sim} p) postrádá důkaz (({ sim}) Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) může být nekonzistentní, a tak prokázat (p) i ({ sim} p).

Axiom ((GL)) zachycuje obsah Loebovy věty, což je důležitý výsledek v základech aritmetiky. (Box A / rightarrow A) říká, že (mathbf {PA}) je zvuk pro (A), tj. Že pokud by byla prokázána (A), byla by A pravdivá. (Takové tvrzení nemusí být bezpečné pro libovolně vybraný systém (mathbf {S}), protože A může být prokazatelné v (mathbf {S}) a nepravdivých.) ((GL)) tvrzení že pokud (mathbf {PA}) dokáže prokázat větu, která tvrdí, že pro danou větu je zdravá (A), je (A) již prokazatelné v (mathbf {PA}). Loebova věta uvádí, že část (mathbf {PA}) je skromná (Boolos, 1993, s. 55). (mathbf {PA}) nikdy netrvá (prokazuje), že důkaz (A) znamená pravdu (A), pokud již nemá důkaz (A), který by tento nárok podporoval.

Ukázalo se, že (mathbf {GL}) je dostatečná pro prokazatelnost v následujícím smyslu. Nechť věta (mathbf {GL}) bude vždy prokazatelná přesně, když věta aritmetiky, kterou označuje, je dokázatelná bez ohledu na to, jak její proměnné přiřazují hodnoty větám (mathbf {PA}). Pak jsou prokazatelné věty (mathbf {GL}) přesně věty, které jsou vždy prokazatelné. Tento výsledek přiměřenosti je velmi užitečný, protože obecné otázky týkající se prokazatelnosti v (mathbf {PA}) lze převést na jednodušší otázky o tom, co lze prokázat v (mathbf {GL}).

(mathbf {GL}) lze také vybavit možnou světovou sémantikou, pro kterou je zvuková a úplná. Odpovídající podmínkou pro rámce pro (mathbf {GL}) - platnost je, že rámec je tranzitivní, konečný a irreflexivní.

12. Pokročilá modální logika

Aplikace modální logiky na matematiku a informatiku nabývají na důležitosti. Logika dostupnosti je pouze jedním z příkladů tohoto trendu. Termín „pokročilá modální logika“odkazuje na tradici ve výzkumu modální logiky, která je zvláště dobře zastoupena na katedrách matematiky a informatiky. Tato tradice byla zapletena do historie modální logiky již od jejích počátků (Goldblatt, 2006). Výzkum vztahů s topologií a algebry představuje část první technické práce na modální logice. Termín „pokročilá modální logika“se však obecně týká druhé vlny práce od poloviny 70. let. Některé příklady mnoha zajímavých témat, kterými se zabýváme, zahrnují výsledky rozhodnutelnosti (zda je možné spočítat, zda je vzorec dané modální logiky věta) a složitost (náklady na čas a paměť potřebné k výpočtu takových faktů o modální logice).

13. Bisimulace

Bisimulace je dobrým příkladem plodných interakcí, které byly vyvinuty mezi modální logikou a informatikou. V informatice se označované přechodové systémy (LTS) běžně používají k reprezentaci možných výpočtových drah během provádění programu. LTS jsou zobecnění Kripkeho rámců, sestávajících ze sady (W) stavů a kolekce (i) - relace přístupnosti (R_i), jedné pro každý počítačový proces (i). Intuitivně (wR_i w ') platí přesně tehdy, když (w') je stav, který je výsledkem aplikace procesu (i) do stavu (w).

Jazyk polymodální nebo dynamické logiky zavádí kolekci modálních operátorů (Box_i), jeden pro každý program (i) (Harel, 1984). Potom (Box_i) A uvádí, že věta (A) platí ve všech výsledcích použití (i). V tomto jazyce lze tedy vyjádřit myšlenky, jako je správnost a úspěšné ukončení programů. Modely pro takový jazyk jsou jako modely Kripke, ale LTS se používají místo rámců. Bisimulace je protějškový vztah mezi stavy dvou takových modelů, takže ve stejných stavech platí přesně stejné výrokové proměnné, a kdykoli je svět (v) (i) - přístupný z jednoho ze dvou protějškových států, pak jiný protějšek nese (i) - vztah dostupnosti k některému protějšku z (v). Ve zkratce,struktura přístupu (i) - kterou lze „vidět“z daného stavu, napodobuje to, co člověk vidí od protějšku. Bisimulace je slabší představa než isomorfismus (bisimulační vztah nemusí být 1-1), ale postačuje k zajištění rovnocennosti při zpracování.

V 70. letech již modální logici vyvinuli verzi bisimulace, aby lépe porozuměli vztahu mezi modálními logickými axiomy a jejich odpovídajícími podmínkami na Kripkových rámcích. Kripkeho sémantika poskytuje základ pro překlad modálních axiomů do vět jazyka druhého řádu, kde je kvantifikace povolena na jednom místě predikátových písmen (P). Nahraďte metavariables (A) otevřenými větami (Px), přeložte (Box Px) na (forall y (Rxy / rightarrow Py)) a uzavřete volné proměnné (x) a predikát písmena (P) s univerzálními kvantifikátory. Například predikátový logický překlad schématu axiomu (Box A / rightarrow A) přichází na (forall P / forall x) forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Vzhledem k tomuto překladu je možné vytvořit proměnnou (P) k libovolnému jednomístnému predikátu,například k predikátu (Rx), jehož rozšíření je množina všech světů w tak, že (Rxw) pro danou hodnotu (x). Pak člověk získá (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], což se zmenší na (forall xRxx), protože (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologie. To osvětluje korelaci mezi (Box A / rightarrow A) a odrazivostí rámců ((forall xRxx)). Podobné výsledky platí i pro mnoho dalších axiomů a rámcových podmínek. „Sbalení“axiomových podmínek druhého řádu na rámcové podmínky prvního řádu je velmi užitečné při získávání výsledků úplnosti pro modální logiku. Toto je například hlavní myšlenka elegantních výsledků Sahlqvistu (1975). Pak se získá (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], což se zmenší na (forall xRxx), protože (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologie. To osvětluje korelaci mezi (Box A / rightarrow A) a odrazivostí rámců ((forall xRxx)). Podobné výsledky platí i pro mnoho dalších axiomů a rámcových podmínek. „Sbalení“axiomových podmínek druhého řádu na rámcové podmínky prvního řádu je velmi užitečné při získávání výsledků úplnosti pro modální logiku. Toto je například hlavní myšlenka elegantních výsledků Sahlqvistu (1975). Pak se získá (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], což se zmenší na (forall xRxx), protože (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) je tautologie. To osvětluje korelaci mezi (Box A / rightarrow A) a odrazivostí rámců ((forall xRxx)). Podobné výsledky platí i pro mnoho dalších axiomů a rámcových podmínek. „Sbalení“axiomových podmínek druhého řádu na rámcové podmínky prvního řádu je velmi užitečné při získávání výsledků úplnosti pro modální logiku. Toto je například hlavní myšlenka elegantních výsledků Sahlqvistu (1975). Podobné výsledky platí i pro mnoho dalších axiomů a rámcových podmínek. „Sbalení“axiomových podmínek druhého řádu na rámcové podmínky prvního řádu je velmi užitečné při získávání výsledků úplnosti pro modální logiku. Toto je například hlavní myšlenka elegantních výsledků Sahlqvistu (1975). Podobné výsledky platí i pro mnoho dalších axiomů a rámcových podmínek. „Sbalení“axiomových podmínek druhého řádu na rámcové podmínky prvního řádu je velmi užitečné při získávání výsledků úplnosti pro modální logiku. Toto je například hlavní myšlenka elegantních výsledků Sahlqvistu (1975).

Kdy se však překlad axiomu druhého řádu axiomu sníží na podmínku prvního řádu na (R) tímto způsobem? V sedmdesátých letech van Benthem ukázal, že k tomu dochází, pokud si překladový model v modelu vyžádá svůj podíl v jakémkoli bisimulárním modelu, kde dva modely jsou bisimulární, pokud mezi nimi existuje bisimulace ve zvláštním případě, kdy existuje jediný vztah přístupnosti. Tento výsledek se snadno zobecňuje do polymodálního případu (Blackburn a kol., 2001, s. 103). To naznačuje, že polymodální logika leží přesně na správné úrovni abstrakce k popisu a důvodu výpočtu a dalších procesů. (Koneckonců, na čem skutečně záleží, je spíše zachování pravdy hodnot vzorců v modelech než jemnější detaily rámových struktur.) Kromě toho implicitní překlad těchto logik do dobře srozumitelných fragmentů predikátové logiky poskytuje počítačovým vědcům velké množství informací. V důsledku toho se rozvinula plodná oblast výzkumu v oblasti výpočetní techniky, jejíž hlavní myšlenkou byla bisimulace (Ponse et al. 1995).

14. Modální logika a hry

Interakce mezi teorií her a modální logikou je vzkvétající novou oblastí výzkumu (van der Hoek a Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Ch. 10 a 2014). Tato práce má zajímavé aplikace pro pochopení spolupráce a konkurence mezi agenty, jak se informace, které mají k dispozici, vyvíjí.

Vězeňské dilema ilustruje některé koncepty v teorii her, které lze analyzovat pomocí modální logiky. Představte si dva hráče, kteří se rozhodnou spolupracovat nebo podvádět. Pokud oba spolupracují, oba získají odměnu 3 body, pokud oba podvádějí, oba nedostanou nic, a pokud jeden spolupracuje a druhý podvádí, podvádí se s 5 body a spolupracovník nic nedostane. Pokud jsou oba hráči altruističtí a motivovaní k maximalizaci součtu svých odměn, budou oba spolupracovat, protože to je to nejlepší, co mohou spolu dělat. Jsou však v pokušení podvádět, aby zvýšili svou vlastní odměnu ze 3 na 5. Na druhou stranu, pokud jsou racionální, mohou si uvědomit, že pokud podvádějí svého soupeře, hrozí podvádět a nechat je s ničím. Díky této hrozbě je tedy spolupráce nejlepší. A pokud si každý myslí, že si to druhý uvědomí, může být motivován ke spolupráci. Rozšířená (nebo iterovaná) verze této hry dává hráčům více tahů, tj. Opakované příležitosti ke hře a sbírání odměn. Pokud mají hráči informace o historii tahů a jejich výsledcích, přicházejí do hry nové obavy, protože úspěch ve hře závisí na znalosti strategie protivníka a na určení (například), kdy lze věřit, že nepodvádí. Ve verzích hry pro více hráčů, kde jsou hráči kresleni ve dvojicích z větší skupiny při každém tahu, může vlastní nejlepší strategie dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)Rozšířená (nebo iterovaná) verze této hry dává hráčům více tahů, tj. Opakované příležitosti ke hře a sbírání odměn. Pokud mají hráči informace o historii tahů a jejich výsledcích, přicházejí do hry nové obavy, protože úspěch ve hře závisí na znalosti strategie protivníka a na určení (například), kdy lze věřit, že nepodvádí. Ve verzích hry pro více hráčů, kde jsou hráči kresleni ve dvojicích z větší skupiny při každém tahu, může vlastní nejlepší strategie záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)Rozšířená (nebo iterovaná) verze této hry dává hráčům více tahů, tj. Opakované příležitosti ke hře a sbírání odměn. Pokud mají hráči informace o historii tahů a jejich výsledcích, přicházejí do hry nové obavy, protože úspěch ve hře závisí na znalosti strategie protivníka a na určení (například), kdy lze věřit, že nepodvádí. Ve verzích hry pro více hráčů, kde jsou hráči kresleni ve dvojicích z větší skupiny při každém tahu, může vlastní nejlepší strategie dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)Pokud mají hráči informace o historii tahů a jejich výsledcích, přicházejí do hry nové obavy, protože úspěch ve hře závisí na znalosti strategie protivníka a na určení (například), kdy lze věřit, že nepodvádí. Ve verzích hry pro více hráčů, kde jsou hráči kresleni ve dvojicích z větší skupiny při každém tahu, může vlastní nejlepší strategie dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)Pokud mají hráči informace o historii tahů a jejich výsledcích, přicházejí do hry nové obavy, protože úspěch ve hře závisí na znalosti strategie protivníka a na určení (například), kdy lze věřit, že nepodvádí. Ve verzích hry pro více hráčů, kde jsou hráči kresleni ve dvojicích z větší skupiny při každém tahu, může vlastní nejlepší strategie dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)vlastní nejlepší strategie může dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)vlastní nejlepší strategie může dobře záviset na tom, zda lze rozpoznat protivníky a strategie, které přijali. (Viz. Grim a kol., 1998, kde najdete fascinující výzkum dilematů interovaného vězně.)

Ve hrách jako Chess se hráči střídají a dělají tahy své soupeře. Přijmeme-li konvenci, že hráči ve hře se střídají a dělají své pohyby, pak je dilema vězeňské věty hra s chybějícími informacemi o stavu hry - hráč s druhým tahem postrádá informace o tom, jaký byl poslední tah druhého hráče. To ilustruje zájem o hry s nedokonalými informacemi.

Aplikace her na logiku má dlouhou historii. Jednou z vlivných aplikací s důležitými důsledky pro lingvistiku je Game Theoretic Semantics (GTS) (Hintikka et al. 1983), kde platnost je definována výsledkem hry mezi dvěma hráči, kteří se snaží ověřit a druhým se pokouší falšovat daný vzorec. GTS má výrazně silnější zdroje, než je standardní sémantika Tarskiho stylu, protože ji lze použít (například) k vysvětlení toho, jak se význam vyvíjí v diskurzu (posloupnost vět).

Práce na hrách a modální logika, která zde bude popsána, se však poněkud liší. Namísto použití her k analýze sémantiky logiky se sporná modální logika používá k analýze her. Struktura her a jejich hraní je velmi bohatá, protože zahrnuje povahu samotné hry (povolené pohyby a odměny za výsledky), strategie (což jsou sekvence pohybů v čase) a tok informací. dostupné hráčům v průběhu hry. Proto vývoj modální logiky pro hry vychází z rysů nalezených v logice zahrnujících koncepty, jako je čas, agentura, preference, cíle, znalosti, víra a spolupráce.

Zde je omezený popis některých modálních operátorů, kteří se objevují v analýze her, a některé z věcí, které lze s nimi vyjádřit, abychom poskytli určitý náznak této rozmanitosti. Základní myšlenkou sémantiky je, že hra se skládá ze sady hráčů 1, 2, 3, … a sady W herních stavů. Pro každého hráče i existuje vztah dostupnosti (R_i) chápaný tak, že (sR_i t) platí pro stavy (s) a (t) iff, když se hra dostala do stavu (s) hráč (i) má možnost provést tah, jehož výsledkem je (t). Tato sbírka vztahů definuje strom, jehož větve definují každou možnou sekvenci pohybů ve hře. Sémantika také přiřazuje pravdivé hodnoty atomům, které sledují přínosy. Takže například ve hře jako Chess může existovat atom (win_i) takový, že (v (win_i,s) = T), pokud je stav s vítězstvím pro hráče (i). Operátory modelu (Box_i) a (Diamond_i) pro každého hráče i pak mohou být definovány následovně.

) begin {zarovnat *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff pro všechny} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A, t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {iff pro některé} t / text {in} W, sR_i t / text {a} v (A, t) = T. / end {zarovnat *})

Takže (Box_i A) ((Diamond_i A)) je pravdivé, pokud věta (A) platí v každém (nějakém) stavu, který (i) si může vybrat ze stavu (s)). Vzhledem k tomu, že (bot) je rozpor (takže ({ sim} bot) je tautologie), (Diamond_i { sim} bot) je ve stavu, kdy je (i) je na tahu. U hry pro dva hráče platí (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) o stavu, který hru ukončuje, protože se nemůže pohybovat ani 1, ani 2. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) tvrdí, že hráč 1 prohrál, protože cokoli 1 udělá ze současného stavu, 2 může vyhrát v následujícím tahu.

Pro obecnější účet výplat hráčů lze definovat uspořádání vztahů (leq_i) přes stavy, takže (s / leq_i t) znamená, že (i) je návratnost pro (t) je přinejmenším stejně dobré jako pro (s). Další zobecnění je vyjádřit fakta o posloupnostech (q) tahů zavedením operátorů interpretovaných vztahy (sR_q t), což naznačuje, že posloupnost (q) začínající od s nakonec dorazí na (t). S těmito a souvisejícími zdroji je možné vyjádřit (například), že q je nejlepší strategií (i) vzhledem k současnému stavu.

Pro analýzu her je zásadní mít způsob, jak vyjádřit informace dostupné hráčům. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je vypůjčit si nápady z epistemické logiky. Zde můžeme zavést vztah přístupnosti ({ sim} _i) pro každého hráče tak, že (s { sim} _i t) obsahuje iff (i) nerozlišuje mezi státy (s) a (t). Pak mohou být definovány operátory znalostí (rK_i) pro hráče tak, že (rK_i A) říká na (s), že (A) drží ve všech světech, které (i) lze odlišit od (s); to znamená, že i přes nevědomost o stavu hry si stále může být jistý, že (A). Operátoři (rK) mohou být zvyklí tvrdit, že hráč 1 je schopen odstoupit, protože ví, že 2 vidí, že vyhrál: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Protože informace o hráči se mění s postupem hry, je užitečné myslet na pohyby hry, jak jsou indexovány časy, a představit operátory (O) a (U) z napjaté logiky pro 'další' a 'do'. Pak (K_i OA / rightarrow OK_i A) vyjadřuje, že hráč (i) má „dokonalé vyvolání“, to znamená, že když (i) ví, že (A) se stane další, pak v další chvíli (i) nezapomněl, že se stalo (A). To ilustruje, jak může modální logika pro hry odrážet kognitivní idealizace a úspěch hráče (nebo jeho selhání) při jejich naplnění.

Technická stránka modální logiky pro hry je náročná. Projekt identifikace systémů pravidel, které jsou zdravé a úplné pro jazyk obsahující velkou sbírku provozovatelů, se může řídit minulým výzkumem, ale interakce mezi různými vztahy přístupnosti vedou k novým obavám. Výpočtová složitost různých systémů a jejich fragmentů je navíc rozsáhlou krajinou, která je do značné míry neprozkoumána.

Teoretické koncepty her lze aplikovat překvapivě různými způsoby - od ověření argumentu platnosti až po úspěch v politické aréně. Existuje tedy silná motivace pro formulaci logiky, která zvládne hry. Na tomto výzkumu je pozoruhodná síla, kterou člověk získá spojením logiky času, agentury, znalostí, víry a preference v jednotném prostředí. Poučení získaná z této integrace mají hodnotu mnohem nad rámec toho, co přispívají k porozumění hrám.

15. Kvantifikátory v modální logice

Zdálo by se být jednoduchou věcí vybavit modální logiku pomocí kvantifikátorů (forall) (all) a (existuje) (some). Jeden by jednoduše přidal standardní (nebo klasická) pravidla pro kvantifikátory k principům kterékoli výrokové modální logiky, kterou si vybere. Přidání kvantifikátorů do modální logiky však zahrnuje řadu obtíží. Některé z nich jsou filozofické. Například Quine (1953) skvěle argumentoval, že kvantifikace do modálních kontextů je jednoduše nesoudržná, což je pohled, který vytvořil gigantickou literaturu. Quineovy stížnosti nemají váhu, kterou kdysi udělali. Dobré shrnutí viz Barcan (1990) a poznamenejte si Kripkeho (2017) (psaný v 60. letech pro třídu s Quineem), který poskytuje silný formální argument, že s „kvantifikací“nemůže být nic špatného.

Druhým druhem komplikace je technická. Existuje celá řada možností, které lze v sémantice provést pro kvantifikovanou modální logiku, a důkaz, že systém pravidel je pro danou volbu správný, může být obtížný. Práce Corsiho (2002) a Garsona (2005) jde nějakým způsobem k dosažení jednoty v tomto terénu a Johannesson (2018) zavádí omezení, která pomáhají snížit počet možností; Přesto je situace stále náročná.

Další komplikací je, že někteří logici věří, že modalita vyžaduje upuštění od klasických kvantifikačních pravidel ve prospěch slabších pravidel volné logiky (Garson 2001). Hlavní body neshod ohledně pravidel kvantifikátoru lze vysledovat zpět k rozhodnutím o tom, jak zacházet s oblastí kvantifikace. Nejjednodušší alternativa, přístup s pevnou doménou (někdy nazývaný possibilist), předpokládá jedinou doménu kvantifikace, která obsahuje všechny možné objekty. Na druhé straně, světově relativní (nebo realistická) interpretace předpokládá, že oblast kvantifikace se mění ze světa na svět a obsahuje pouze objekty, které skutečně existují v daném světě.

Přístup s pevnou doménou nevyžaduje žádné významné úpravy klasického strojního zařízení pro kvantifikátory. Modální logika, která je vhodná pro sémantiku pevné domény, může být obvykle axiomatizována přidáním principů výrokové modální logiky do pravidel klasického kvantifikátoru spolu s Barcanovým vzorcem ((BF)) (Barcan 1946). (Přehled některých zajímavých výjimek viz Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x / Box A / rightarrow / Box / forall xA.)

Interpretace v pevné doméně má výhody jednoduchosti a důvěrnosti, neposkytuje však přímý popis sémantiky některých kvantifikátorových výrazů přirozeného jazyka. Nemyslíme si, že „Někdo existuje, kdo podepsal Deklaraci nezávislosti“, je pravdou, alespoň ne pokud čteme „existuje“v současném čase. Tato věta byla nicméně platná v roce 1777, což ukazuje, že doména pro výraz přirozeného jazyka „existuje nějaký člověk, který“se mění tak, aby odrážel, kteří muži existují v různých časech. Související problém je, že při interpretaci pevné domény platí věta (forall y / Box / existuje x (x = y)). Za předpokladu, že je přečteno (existuje x (x = y)): (y) existuje, (forall y / Box / existuje x (x = y)) říká, že vše existuje nezbytně. Nicméně,Zdá se, že základním rysem společných představ o modalitě je, že existence mnoha věcí je podmíněna a že různé předměty existují v různých možných světech.

Obránce interpretace fixní domény může na tyto námitky reagovat tím, že trvá na tom, že při jeho čtení kvantifikátorů obsahuje doména kvantifikace všechny možné objekty, nejen objekty, které v daném světě existují. Takže věta (forall y / Box / existuje x (x = y)) dělá neškodné tvrzení, že každý možný objekt je nutně nalezen v doméně všech možných objektů. Dále, ty kvantifikátorové výrazy přirozeného jazyka, jehož doména je závislá na světě (nebo čase), mohou být vyjádřeny pomocí kvantifikátoru pevné domény (existuje x) a predikátového písmene (E) se čtením 'skutečně existuje'. Například místo překladu 'Někteří (M) existuje, který (S) zapálil Deklaraci nezávislosti'

) existuje x (Mx / amp Sx),)

obránce pevných domén může psát:

) existuje x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

tím je zajištěno, že překlad je v současné době považován za nepravdivý. Cresswell (1991) dělá zajímavé pozorování, že světově relativní kvantifikace má omezenou expresivní sílu ve srovnání s kvantifikací fixní domény. Kvantifikaci světového relativního počtu lze definovat pomocí kvantifikátorů fixních domén a (E), ale neexistuje způsob, jak plně vyjádřit kvantifikátory fixních domén pomocí světových relativních. Ačkoli to argumentuje ve prospěch klasického přístupu ke kvantifikované modální logice, překladatelská taktika také představuje něco jako ústupek ve prospěch volné logiky, protože takto definované kvantifikátory světa se přesně řídí pravidly volné logiky.

Problém se strategií překladu používanou obránci kvantifikace pevné domény spočívá v tom, že překlad angličtiny do logiky je méně přímý, protože (E) musí být přidáno ke všem překladům všech vět, jejichž kvantifikátorové výrazy mají domény závislé na kontextu. Vážnější námitkou proti kvantifikaci v pevné doméně je to, že odstraní kvantifikátor role, kterou pro ni Quine doporučila, konkrétně zaznamenat robustní ontologický závazek. V tomto pohledu musí doména (existuje x) obsahovat pouze entity, které jsou ontologicky slušné, a možné objekty jsou příliš abstraktní, aby se daly kvalifikovat. Aktualisté tohoto pruhu budou chtít vyvinout logiku kvantifikátoru (existuje x), který odráží závazek k tomu, co je v daném světě skutečné, spíše než k tomu, co je pouze možné.

Některé práce na aktualismu (Menzel, 1990) však mají tendenci tuto námitku podkopávat. Například Linsky a Zalta (1994) a Williamson (2013) tvrdí, že kvantifikátor pevné domény může být interpretován tak, aby byl pro realisty naprosto přijatelný. Pavone (2018) dokonce tvrdí, že při haecceitistické interpretaci, která kvantifikuje jednotlivé esence, jsou vyžadovány fixní domény. Aktualisté, kteří používají sémantiku možných světů, rutinně kvantifikují možné světy v jejich sémantické teorii jazyka. Zdálo by se tedy, že možné světy jsou skutečnými světly těchto realistů. Tím, že naplní doménu abstraktními entitami, které nejsou nežádoucí než možné světy, mohou realisté potvrdit Barcanův vzorec a klasické principy.

Všimněte si však, že někteří realisté mohou reagovat, že nemusí být oddáni skutečné realitě možných světů, pokud je zřejmé, že kvantifikátory používané v jejich teorii jazyka postrádají silný ontologický význam. Hayaki (2006) dále tvrdí, že kvantifikace nad abstraktními entitami je ve skutečnosti neslučitelná s jakoukoli vážnou formou aktualismu. V každém případě je otevřeno realistům (a také realistům) prozkoumat logiku kvantifikátorů s robustnějšími doménami, například doménami vylučujícími možné světy a jiné takové abstraktní entity, a obsahujícími pouze časoprostorové údaje obsažené v daný svět. Pro kvantifikátory tohoto druhu jsou vhodné domény relativní pro svět.

Takové úvahy motivují zájem o systémy, které uznávají kontextovou závislost kvantifikace zavedením světově relativních domén. Zde má každý možný svět svou vlastní doménu kvantifikace (soubor objektů, které v tomto světě skutečně existují) a domény se liší od jednoho světa k druhému. Když toto rozhodnutí je učiněno, vyvstává problém pro klasickou kvantifikační teorii. Všimněte si, že věta (existuje x (x = t)) je věta klasické logiky, a tak (Box / existuje x (x = t)) je věta o (bK) podle Pravidlo nezbytnosti. Nechť termín (t) znamená Saul Kripke. Pak tato věta říká, že je nutné, aby existoval Saul Kripke, aby byl v doméně každého možného světa. Celkovou motivací pro světově relativní přístup bylo odrážet myšlenku, že objekty v jednom světě mohou selhat v jiném. Pokud se však použijí standardní kvantifikátory, musí se každý pojem (t) vztahovat k něčemu, co existuje ve všech možných světech. Zdá se, že to není slučitelné s naší běžnou praxí používat termíny k označení věcí, které existují pouze náhodně.

Jednou z reakcí na tuto obtížnost je jednoduše odstranit podmínky. Kripke (1963) uvádí příklad systému, který používá světově relativní interpretaci a zachovává klasická pravidla. Náklady jsou však značné. Zaprvé, jeho jazyk je uměle ochuzený a zadruhé, pravidla pro výrokovou modální logiku musí být oslabena.

Předpokládáme-li, že bychom chtěli jazyk, který zahrnuje termíny, a že klasická pravidla mají být přidána do standardních systémů výrokové modální logiky, vzniká nový problém. V takovém systému je možné prokázat ((CBF)), obrácení Barcanovy formule.

) tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Tato skutečnost má vážné důsledky pro sémantiku systému. Není těžké ukázat, že každý světově relativní model ((CBF)) musí splňovat podmínku ((ND)) (pro 'vnořené domény').

((ND)) Pokud (wRv), pak doména (w) je podmnožinou domény (v)

((ND)) je však v konfliktu s cílem zavádět domény relativní pro svět. Celá myšlenka byla taková, že existence předmětů je podmíněna, takže existují dostupné světy, kde jedna z věcí v našem světě selhává.

Přímým řešením těchto problémů je opuštění klasických pravidel pro kvantifikátory a místo toho přijmout pravidla pro bezplatnou logiku ((mathbf {FL})). Pravidla (mathbf {FL}) jsou stejná jako klasická pravidla, kromě toho, že jsou blokovány závěry z (forall xRx) (vše je skutečné) do (Rp) (Pegasus je skutečné). To se provádí zavedením predikátu '(E)' (pro 'skutečně existuje') a úpravou pravidla univerzální instance. Z (forall xRx) je povoleno získat (Rp), pouze pokud jeden získal (Ep). Za předpokladu, že univerzální kvantifikátor (forall x) je primitivní a existenciální kvantifikátor (existuje x) je definován pomocí (existuje xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), potom (mathbf {FL}) lze zkonstruovat přidáním následujících dvou principů do pravidel výrokové logiky

Univerzální generalizace.

Jestliže (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) je věta, tak je (B / rightarrow / forall xA (x)).

Universal Instantiation.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Zde se předpokládá, že (A (x)) je jakýkoli dobře vytvořený vzorec predikátové logiky a že (A (y)) a (A (n)) jsou výsledkem nahrazení (y)) a (n) správně pro každý výskyt (x) v (A (x)).) Všimněte si, že instanční axiom je omezen zmínkou o (En) v antecedentu. Pravidlo univerzální generalizace je upraveno stejným způsobem. V (mathbf {FL}) jsou důkazy vzorců jako (existuje x / Box (x = t)), (forall y / Box / existuje x (x = y)), ((CBF)) a ((BF)), které se zdají být neslučitelné s interpretací relativní ve světě, jsou blokovány.

Jedna filozofická námitka k (mathbf {FL}) je, že (E) se zdá být predikát existence, a mnozí by argumentovali, že existence není legitimní vlastností, jako je zelená nebo váží více než čtyři libry. Filozofové, kteří odmítají myšlenku, že existence je predikátem, tedy mohou namítat (mathbf {FL}). Nicméně ve většině (ale ne ve všech) kvantifikovaných modálních logikách, které zahrnují identitu ((=)), mohou být tyto starosti omezeny definicí (E) následujícím způsobem.

[Et = _ {df} existuje x (x = t).)

Nejobecnější způsob, jak formulovat kvantifikovanou modální logiku, je vytvořit (mathbf {FS}) přidáním pravidel (mathbf {FL}) k dané výrokové modální logice (mathbf {S}). V situacích, kde je požadována klasická kvantifikace, lze jednoduše přidat (Et) jako axiom k (mathbf {FS}), takže klasické principy se stanou odvozitelnými pravidly. Výsledky přiměřenosti pro takové systémy lze získat pro většinu možností modální logiky (mathbf {S}), ale existují výjimky.

Za zmínku stojí finální komplikace v sémantice pro kvantifikovanou modální logiku. Vzniká, když jsou do jazyka zavedena nepružná výrazy jako „vynálezce bifokálů“. Termín je nepružný, když vybírá různé objekty v různých možných světech. Sémantickou hodnotu takového pojmu lze přisoudit tomu, co Carnap (1947) nazval individuálním konceptem, funkcí, která vybírá označení tohoto pojmu pro každý možný svět. Jedním z přístupů k vypořádání se s nepružnými termíny je použití Russellovy teorie popisů. V jazyce, který zachází s nepružnými výrazy jako s pravými výrazy, se však ukazuje, že ani klasická, ani volná logická pravidla pro kvantifikátory nejsou přijatelné. (Problém nelze vyřešit oslabením pravidla nahrazování identity.) Řešení tohoto problému je použít obecnější zacházení s kvantifikátory, kde doména kvantifikace obsahuje spíše jednotlivé pojmy než objekty. Tato obecnější interpretace poskytuje lepší shodu mezi zpracováním termínů a zpracováním kvantifikátorů a výsledky v systémech, které jsou přiměřené klasickým nebo volným logickým pravidlům (v závislosti na tom, zda jsou vybrány pevné domény nebo světově relativní domény). Poskytuje také jazyk se silnými a potřebnými expresivními schopnostmi (Bressan, 1973, Belnap a Müller, 2013a, 2013b). Tato obecnější interpretace poskytuje lepší shodu mezi ošetřením termínů a ošetřením kvantifikátorů a výsledky v systémech, které jsou přiměřené klasickým nebo volným logickým pravidlům (v závislosti na tom, zda jsou vybrány pevné domény nebo světově relativní domény). Poskytuje také jazyk se silnými a potřebnými expresivními schopnostmi (Bressan, 1973, Belnap a Müller, 2013a, 2013b). Tato obecnější interpretace poskytuje lepší shodu mezi zpracováním termínů a zpracováním kvantifikátorů a výsledky v systémech, které jsou přiměřené klasickým nebo volným logickým pravidlům (v závislosti na tom, zda jsou vybrány pevné domény nebo světově relativní domény). Poskytuje také jazyk se silnými a potřebnými expresivními schopnostmi (Bressan, 1973, Belnap a Müller, 2013a, 2013b).

Bibliografie

Texty o modální logice s ohledem na filozofy zahrnují Hughes a Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting and Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) a Humberstone (2015).

Humberstone (2015) poskytuje vynikající průvodce literaturou o modální logice a jejich aplikacích ve filozofii. Bibliografie (více než tisíc záznamů) poskytuje neocenitelný zdroj pro všechna hlavní témata, včetně logiky napjatosti, závazku, víry, znalostí, agentury a nominální nutnosti.

Gabbay a Guenthner (2001) poskytují užitečné souhrnné články o hlavních tématech, zatímco Blackburn et. al. (2007) je neocenitelným zdrojem z pokročilejší perspektivy.

Vynikající bibliografii historických pramenů lze nalézt v Hughes a Cresswell (1968).

• Anderson, A. a N. Belnap, 1975, 1992, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity, sv. 1 (1975), sv. 2 (1992), Princeton: Princeton University Press.
• Barcan (Marcus), R., 1947, „Funkční počet prvního řádu založený na přísné implikaci“, Journal of Symbolic Logic, 11: 1-16.
• –––, 1967, „Essentialism in Modal Logic“, Noûs, 1: 91–96.
• –––, 1990, „Zpětný pohled na Quineovy animadverze o modalitách“, v R. Bartrett a R. Gibson (ed.), Perspektivy v Quine, Cambridge: Blackwell.
• Belnap, N., M. Perloff a M. Xu, 2001, Facing the Future, New York: Oxford University Press.
• Belnap, N. a T. Müller, 2013a, „CIFOL: Logika prvního řádu s důrazem na velikost případu (I): Směrem k logice druhů“, Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-012-9267-x
• –––, 2013b, „BH-CIFOL: Logika logiky prvního řádu (II): Historie větvení,“Journal of Philosophical Logic, doi: 10.1007 / s10992-013-9292-4
• Bencivenga, E., 1986, „Free Logics“, v D. Gabbay a F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, III.6, Dordrecht: D. Reidel, 373–426.
• Benthem, JF van, 1982, Logic of Time, Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1983, Modální logika a klasická logika, Neapol: Bibliopolis.
• –––, 2010, Modal Logic for Open Minds, Stanford: CSLI Publications.
• –––, 2011, Logická dynamika informací a interakce, Cambridge: Cambridge University Press.
• –––, 2014, Logic in Games, Cambridge, Mass: MIT Press.
• Blackburn, P., s M. de Rijkem a Y. Venemem, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Blackburn, P., s J. van Benthamem a F. Wolterem, 2007, Handbook of Modal Logic, Amsterdam: Elsevier.
• Bonevac, D., 1987, odpočet, část II, Palo Alto: Mayfield Publishing Company.
• Boolos, G., 1993, Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
• Bressan, A., 1973, všeobecně interpretovaný modální počet, New Haven: Yale University Press.
• Bull, R. a K. Segerberg, 1984, „Basic Modal Logic“, v D. Gabbay a F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, II.1, Dordrecht: D. Reidel, 1-88.
• Carnap, R., 1947, Meaning and Necessity, Chicago: U. Chicago Press.
• Carnielli, W. a C. Pizzi, 2008, Modality and Multimodality, Heidelberg: Springer-Verlag.
• Chagrov, A. a M. Zakharyaschev, 1997, Modal Logic, Oxford: Oxford University Press.
• Chalmers, D., 1996, The Conscious Mind, New York: Oxford University Press.
• –––, 2002, „Složky obsahu“, v D. Chalmers (ed.), Filozofie mysli: Klasická a současná čtení, Oxford: Oxford University Press, 608–633.
• ––– 2006, „Základy dvourozměrné sémantiky“, M. Garcia-Carpintero a J. Macia, Dvourozměrná sémantika: Základy a aplikace, Oxford: Oxford University Press, 55–140.
• Chellas, B., 1980, Modal Logic: Úvod, Cambridge: Cambridge University Press.
• Cresswell, MJ, 2001, „Modal Logic“, v L. Goble (ed.), The Blackwell Průvodce filozofickou logikou, Oxford: Blackwell, 136–158.
• –––, 1991, „V obraně Barcanovy formule“, Logique et Analyze, 135–136: 271–282.
• –––, 1995, „Neúplnost a Barcanův vzorec“, Journal of Philosophical Logic, 24: 379–403.
• Cocchiarella, N. a M. Freund, 2008, Modal Logic Úvod do syntaxe a sémantiky, New York: Oxford.
• Corsi, G., 2002, „Sjednocená věta o úplnosti pro kvantifikovanou modální logiku“, Journal of Symbolic Logic, 67: 1483–1510.
• Crossley, J a L. Humberstone, 1977, „Logika„ aktuality ““, Zprávy o matematické logice, 8: 11–29.
• Fitting, M. and R. Mendelsohn, 1998, Modal Logic 1. řádu, Dordrecht: Kluwer.
• Gabbay, D., 1976, Investigations in Modal and Tense Logics, Dordrecht: D. Reidel.
• –––, 1994, Časová logika: matematické základy a výpočetní aspekty, New York: Oxford University Press.
• Gabbay, D. a F. Guenthner, F. (eds.), 2001, Handbook of Philosophical Logic, druhé vydání, svazek 3, Dordrecht: D. Reidel,
• Garson, J., 2001, „Kvantifikace v modální logice“, v Gabbay a Guenthner (2001), 267–323.
• –––, 2005, „Unifikace kvantifikované modální logiky“, Journal of Philosophical Logic, 34: 621–649.
• ––– 2013, Modální logika pro filozofy, 2. vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Girle, R., 2009, Modal Logics and Philosophy (2nd Edition), Routledge, New York, New York.
• Grim, P., Mar, G a St. Denis, P., 1998, The Philosophical Computer, Cambridge, Mass.: MIT Press.
• Goldblatt, R., 1993, Mathematics of Modality, CSLI Lecture Notes # 43, Chicago: University of Chicago Press.
• ––– 2006, „Matematická modální logika: pohled na jeho vývoj“, v D. Gabbay a J. Woods (eds.), Handbook of the History of Logic, sv. 6, Amsterdam: Elsevier.
• Harel, D., 1984, „Dynamic Logic“, v D. Gabbay a F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, II.10, Dordrecht: D. Reidel, 497–604.
• Hayaki, R., 2006, „Kontingentní objekty a Barcanův vzorec“, Erkenntnis, 64: 75–83.
• Hintikka, J., 1962, Znalosti a víra: Úvod do logiky dvou pojmů, Ithaca, NY: Cornell University Press.
• –––, 1983, The Game of Language, Dordrecht: D. Reidel.
• Hilpinen, R., 1971, Deontic Logic: Úvodní a systematické čtení, Dordrecht: D. Reidel.
• van der Hoek, W. a Pauly, M., 2007, „Modelová logika pro hry a informace“, kapitola 20 Blackburn et. al., 2007.
• Hughes, G. a M. Cresswell, 1968, Úvod do modální logiky, Londýn: Methuen.
• –––, 1984, Companion to Modal Logic, London: Methuen.
• –––, 1996, Nový úvod do modální logiky, Londýn: Routledge.
• Humberstone, L. 2015, Filozofické aplikace modální logiky, College Publications, London.
• Johannesson, E., 2018, „Částečná sémantika pro kvantifikovanou modální logiku“, Journal of Philosophical Logic, 1-12.
• Kaplan, D., 1989, „Demonstratives“, v Themes from Kaplan, Oxford: Oxford University Press.
• Kripke, S., 1963, „Sémantické úvahy o modální logice“, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
• –––, 1980, Naming and Necessity, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
• ––– 2017, „Kvantifikovaná modalita a esencialismus“, Nous, 51, # 2: 221–234.
• Konyndik, K., 1986, úvodní modální logika, Notre Dame: University of Notre Dame Press.
• Kvart, I., 1986, Theory of Counterfactuals, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Lemmon, E. a D. Scott, 1977, Úvod do modální logiky, Oxford: Blackwell.
• Lewis, CI a CH Langford, 1959 (1932), Symbolic Logic, New York: Dover Publications.
• Lewis, D., 1973, Counterfactuals, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
• Linsky, B. a E. Zalta, 1994, „Na obranu nejjednodušší kvantifikované modální logiky,“Filozofické perspektivy, (Logika a jazyk), 8: 431–458.
• Mares, E., 2004, Relevant Logic: A Philosophical Interpretation, Cambridge: Cambridge University Press.
• Menzel, C., 1990, „Aktualismus, ontologický závazek a sémantika možných světů“, Synthese, 85: 355–389.
• Mints, G. 1992, Krátký úvod do modální logiky, Chicago: University of Chicago Press.
• Ponse, A., s M. de Rijkem, a Y. Venema, 1995, Modal Logic and Process Algebra, A Bisimulation Perspective, Stanford: CSLI Publications.
• Pavone, L., 2018, „Plantingova haecceitismus a nejjednodušší kvantifikovaná modální logika“, Logická a logická filozofie, 27: 151–160.
• Popkorn, S., 1995, First Steps in Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
• Prior, AN, 1957, Time and Modality, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1967, minulost, současnost a budoucnost, Oxford: Clarendon Press.
• Quine, WVO, 1953, „Reference and Modality“, z Logického hlediska, Cambridge, Mass.: Harvard University Press. 139–159.
• Rescher, N, a A. Urquhart, 1971, Temporal Logic, New York: Springer Verlag.
• Sahlqvist, H., 1975, „Úplnost a korespondence v sémantice prvního a druhého řádu pro modální logiku“, v S. Kanger (ed.), Sborník ze třetího skandinávského logického sympozia, Amsterdam: Severní Holandsko. 110–143.
• Thomason, R., 1984, „Kombinace napětí a modality“, v D. Gabbay a F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic, II.3, Dordrecht: D. Reidel, 135–165.
• Williamson, T., 2013, Modal Logic as Metaphysics, Oxford: Oxford University Press.
• Zeman, J., 1973, Modal Logic, Lewis-Modal Systems, Oxford: Oxford University Press.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Pokroky v modální logice
• Seznam zdrojů z Wikipedie
• Modální logická příručka Blackburn, Bentham a Wolter
• Stránka s modální logikou Johna McCarthyho