Fuzzy Logic

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Fuzzy Logic

První publikované Út 15. listopadu 2016; věcná revize Út 18. července 2017

Fuzzy logika má modelovat logické uvažování s neurčitými nebo nepřesnými tvrzeními jako „Petr je mladý (bohatý, vysoký, hladový atd.)“. To se odkazuje na rodinu mnohohodnotné logiky (vidět záznam na mnohohodnotné logice) a tak stanoví to pravdivá hodnota (který, v tomto případě se rovná stupni pravdy) logicky složeného výroku, takový jak “Carles je vysoký a Chris je bohatý “, je určován skutečnou hodnotou jeho složek. Jinými slovy, jako v klasické logice, jeden ukládá pravdu-funkčnost.

Fuzzy logika se objevila v kontextu teorie fuzzy množin, zavedené Zadehem (1965). Fuzzy množina přiřadí stupeň členství, obvykle skutečné číslo od intervalu ([0,1]), k elementům vesmíru. Fuzzy logika vzniká přiřazením stupňů pravdy výrokům. Standardní sada hodnot pravdy (stupňů) je ([0,1]), kde (0) představuje „zcela nepravdivé“, (1) představuje „zcela pravdivé“a ostatní čísla odkazují na částečné pravda, tj. střední stupně pravdy. ^[1]

„Fuzzy logika“je často chápána ve velmi širokém smyslu, který zahrnuje všechny druhy formalismů a technik, které se vztahují k systematickému nakládání s tituly určitého druhu (viz např. Nguyen & Walker 2000). Zejména v inženýrských kontextech (fuzzy control, fuzzy klasifikace, soft computing) je zaměřen na efektivní výpočetní metody tolerantní k suboptimalitě a nepřesnosti (viz např. Ross 2010). Tento příspěvek se zaměřuje na fuzzy logiku v úzkém smyslu, která byla ustanovena jako disciplína matematické logiky podle seminární monografie Petra Hájka (1998) a v současnosti se obvykle označuje jako „matematická fuzzy logika“(viz Cintula, Fermüller, Hájek a Noguera 2011). a 2015). Zaměřuje se na logiku založenou na pravdivě funkčním účtu dílčí pravdy a studuje je v duchu klasické matematické logiky (syntaxe,sémantika modelové teorie, systémy důkazů, úplnost atd.; na výrokové i predikátové úrovni).

• 1. Fuzzy spojky založené na t-normách
• 2. MTL: Základní fuzzy logika
• 3. Logika Łukasiewicze
• 4. Gödel – Dummettova logika
• 5. Další pozoruhodné fuzzy logiky
• 6. Predikátová logika
• 7. Algebraická sémantika
• 8. Důkazní teorie
• 9. Sémantika ospravedlňující funkčnost pravdy
• 10. Fuzzy logika a nejasnost
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Fuzzy spojky založené na t-normách

Standardní sada stupňů pravdy pro fuzzy logiku je skutečný jednotkový interval ([0,1]) s jeho přirozeným uspořádáním (leq), sahající od úplné falešnosti (představované (0)) po celkovou pravdu (reprezentováno (1)) prostřednictvím kontinua středních stupňů pravdy. Nejzákladnějším předpokladem (mainstreamové) matematické fuzzy logiky je to, že spojky mají být interpretovány pravdivě-funkčně přes soubor pravdivých stupňů. Předpokládá se, že takové pravdy fungují klasicky na extrémních hodnotách (0) a (1). Velmi přirozeného chování spojení a disjunkce je dosaženo uložením (x / land y = / min {x, y }) a (x / lor y = / max {x, y }) pro každý (x, y / in [0,1]).

Další, ne idempotentní, konjunkce (&) se obvykle přidává, aby vysvětlila intuici, že použití částečně pravdivé hypotézy dvakrát může vést k jinému stupni pravdy než k použití pouze jednou. Taková spojka je obvykle interpretována binární operací na ([0,1]), což nemusí být nutně idempotentní, ale stále asociativní, komutativní, nesnižující se v obou argumentech a má (1) jako neutrální prvek. Tyto operace se nazývají t-normy (trojúhelníkové normy) a jejich matematické vlastnosti byly důkladně studovány (např. Klement, Mesiar, & Pap 2000). Významnými příklady t-norem jsou již zmíněná funkce (min), standardní součin reálných čísel a Łukasiewiczova t-norma: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Tyto tři t-normy jsou ve skutečnosti spojité funkce a jakékoli jiné spojité t-normy lze označit jako pořadové součty těchto tří základních (viz Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negace je interpretována nezvýšenou funkcí přiřazující (0) k (1) a naopak; obvyklé volby jsou negace Łukasiewicz (neg_ {Ł} x = 1 - x) a negace Gödel: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) a (neg_ / mathrm {G} x = 0) pro každý (x> 0). Je také obvyklé zavádět konstantní symbol (overline {0}) pro celkovou falešnost, tedy interpretovaný jako (0). Nakonec vhodnou volbou pro implikaci je reziduum t-normy (ast), tj. Jedinečná funkce (Rightarrow) splňující takzvanou reziduální podmínku: (x / ast y / leq z), pokud a pouze tehdy, (x / leq y / Rightarrow z). Taková funkce existuje (a je definována jako (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })), pokud a pouze v případě, že t-norma je levá spojitá.

2. MTL: Základní fuzzy logika

Nejslabší logikou spojiv interpretovanou pravdivými funkcemi výše popsaného typu je MTL (Logic založená na Monoidal T-standard, Esteva & Godo 2001). Je to logika s primitivními spojivami (mathbin { &}, / to, / wedge,) a (overline {0}) a odvozitelnými spojivami definovanými jako:) begin {align} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi) a \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {Zarovnat}) MTL je definován jako důsledkový vztah nad sémantikou danou všemi levými spojitými t-normami. Jmenovitě, vzhledem k určité levo-kontinuální t-normě (ast), hodnocení (e_ / ast) je mapování z výrokových proměnných na ([0,1]),rozšířen na všechny vzorce tím, že interpretuje (&) jako (ast), implikaci (to) jako její reziduum (Rightarrow) a (land) a (overline {0}) jako (min) a (0).

Vzorec (varphi) je důsledkem množiny vzorců (Gamma) v MTL, označených (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), pokud pro každý levý spojitý t- norma (ast) a každé hodnocení (e_ / ast) tak, že (e (psi) = 1) pro každý (psi / in / Gamma) máme (e (varphi)) = 1); to znamená: každé hodnocení, které činí prostory zcela pravdivými, musí také učinit závěr zcela pravdivými. Vzorce (varphi), které se vždy vyhodnocují na (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)), se nazývají tautologie MTL. Všimněte si, že vzorec ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) je v MTL tautologií, tj. Spojka (&) je silnější než (přistát).

MTL může být také představen Hilbertovým důkazním systémem s následujícími axiomy:

) begin {align} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / na (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / to / psi) to / chi) & / to (((psi / to / varphi) to / chi) to / chi) / \ overline {0} & / to / varphi \\ / end {zarovnat})

a modus ponens jako jediné inferenční pravidlo: z (varphi) a (varphi / to / psi), infer (psi). Tento systém je úplnou axiomatizací logiky MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), kde posledně uvedený vztah označuje odvozitelnost z příklady výše uvedených axiomů a vzorců v (Gamma). Je známo, že problém s platností (mathrm {MTL}) je rozhodnutelný, ale jeho výpočetní složitost dosud nebyla stanovena.

3. Logika Łukasiewicze

Logiku Łukasiewicz lze definovat přidáním [((varphi / to / psi) do / psi) to ((psi / to / varphi) to / varphi)) do systému Hilbert ve stylu pro MTL. Odpovídá finální verzi důsledkové relace definované s ohledem na hodnocení založená na Łukasiewicze t-normě (v symbolech: pro každou konečnou sadu vzorců (Gamma) a každý vzorec (varphi) máme (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). ^[2]

Tato logika byla raným příkladem mnohdy hodnotné logiky, zavedené Łukasiewiczem & Tarskim (1930), před začátkem teorie fuzzy množin, pomocí ekvivalentního axiomatického systému (s modus ponens jako jediným inferenčním pravidlem):

) begin {align} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {zarovnat })

Logika Łukasiewicz je jedinou fuzzy logikou založenou na t-normách, kde jsou všechna spojovací slova interpretována spojitými funkcemi, včetně implikace, která je jako zbytek (_ {Ł}) dána funkcí (x / to_ {Ł } y = / min {1,1-x + y }). McNaughtonova věta (1951) uvádí, že reálné funkce nad [0,1], které interpretují vzorce Łukasiewicze logiky, jsou přesně spojité po částech lineární funkce s celočíselnými koeficienty. Z hlediska výpočetní složitosti není problém s validitou této logiky asymptoticky horší než v klasické logice: zůstává coNP-kompletní.

4. Gödel – Dummettova logika

Gödel – Dummettova logika, známá také jako Dummettova LC nebo jednoduše Gödelova logika, je dalším časným příkladem mnohokrát oceňované logiky s pravdivostními hodnotami v ([0,1]). To bylo představeno Michael Dummett (1959) jako rozšíření intuitionistic logiky (vidět záznam na intuitionistic logice) axiom [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Tento vzorec prosazuje lineární řád v základní (Kripkeho stylu i algebraické) sémantice. V kontextu Gödelova pozorování se také zdá, že intuitivní logiku nelze pomocí konečných pravdivých tabulek charakterizovat (Gödel 1932). Gödel – Dummettovu logiku lze alternativně získat jako axiomatické rozšíření MTL přidáním axiomu (varphi / to / varphi / mathbin { &} varphi), což znamená vyžadování idempotence (&),a proto se interpretace obou spojení shoduje. Ve fuzzy logice lze Gödel – Dummettovu logiku chápat jako důsledkový vztah daný minimální t-normou. Rozlišuje se jako jediná logika založená na t-normách, kde pravda vzorce v daném vyhodnocení nezávisí na konkrétních hodnotách přiřazených k výrokovým proměnným, ale pouze na relativním pořadí těchto hodnot. V tomto smyslu lze logiku Gödel – Dummetta vnímat jako logiku srovnávací pravdy. Stejně jako u logiky Łukasiewicze zůstává výpočetní složitost testování platnosti coNP kompletní. Rozlišuje se jako jediná logika založená na t-normách, kde pravda vzorce v daném vyhodnocení nezávisí na konkrétních hodnotách přiřazených propozičním proměnným, ale pouze na relativním pořadí těchto hodnot. V tomto smyslu lze logiku Gödel – Dummetta vnímat jako logiku srovnávací pravdy. Stejně jako u logiky Łukasiewicze zůstává výpočetní složitost testování platnosti coNP kompletní. Rozlišuje se jako jediná logika založená na t-normách, kde pravda vzorce v daném vyhodnocení nezávisí na konkrétních hodnotách přiřazených propozičním proměnným, ale pouze na relativním pořadí těchto hodnot. V tomto smyslu lze logiku Gödel – Dummetta vnímat jako logiku srovnávací pravdy. Stejně jako u logiky Łukasiewicze zůstává výpočetní složitost testování platnosti coNP kompletní.

5. Další pozoruhodné fuzzy logiky

Kromě MTL (logika všech levých spojitých t-norem) a Łukasiewicze a Gödel – Dummetta (každá indukovaná jednou konkrétní t-normou) lze uvažovat i logiku indukovanou jinými sadami t-norem nebo obecně libovolnou axiomatická rozšíření MTL. Logika všech spojitých t-norem (Hájekova základní fuzzy logika) je získána přidáním axiomu [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}})) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) k těm MTL. Ve skutečnosti pro každou soustavu souvislých t-norem existuje konečná axiomatizace odpovídající logiky (Esteva, Godo & Montagna 2003; Haniková 2014). Logika poslední prominentní spojité t-normy (algebraický produkt), známá jako Produktová logika, je rozšířením Hájkovy základní fuzzy logiky o axiom:) neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi) mathbin { &} {{ psi}}) to {{ psi}})) Na druhou stranu, ne všechna axiomatická rozšíření MTL mohou mít sémantiku t-norem. Například klasická logika může být axiomatizována jako MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), ale axiom vyloučeného středu není tautologií pod jakoukoli interpretací založenou na t-normách.

Existují také důvody zvážit slabší fuzzy logiku. Například lze tvrdit, že předpoklady, které vynucují interpretaci spojení jako t-normu, jsou příliš silné. Zejména předpoklad, že (1) je neutrální prvek spojení, vynucuje definici tautologie jako vzorce vždy vyhodnoceného na (1) a následný vztah jako zachování hodnoty (1) - to je, (1) je jediná určená hodnota v sémantice. ^[3]Přirozený způsob, jak zavést logiku s více než jedním určeným stupněm pravdy, je předpokládat, že neutrálním prvkem pro (ast) je číslo (t <1). (Lze ukázat, že v této situaci jsou určené stupně pravdy přesně ty, které jsou větší nebo rovno (t).) Takové interpretace spojek se nazývají uninormy. Výsledná logika byla axiomatizována Metcalfe & Montagna (2007).

Analogicky lze argumentovat proti komutativitě nebo dokonce proti asociativitě spojení. Axiomatizace výsledné logiky jsou popsány v literatuře (viz Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); Výjimkou je logika nekomutativních uninormů, pro které není znám přirozený axiomatický systém.

A konečně, vezmeme-li v úvahu, že fuzzy logika, na rozdíl od klasické logiky, obvykle není funkčně kompletní, lze zvýšit jejich expresivní sílu přidáním nových spojovacích prvků. Nejběžněji považované spojnice jsou: konstanty pravdy (bar r) pro každé racionální číslo (r / in (0,1)); unary spojiva (sim) a (trojúhelník) interpretovaný jak ({ sim} x = 1-x) a (trojúhelník x = 1) jestliže (x = 1) a (0) jinak; binární pojivo (odot) interpretované jako obvyklý algebraický produkt atd. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek & Navara 2000).

Důkladný přehled všech druhů výrokových fuzzy logik uvedených v této části (a jejich obecná teorie) lze nalézt v Příručce matematické fuzzy logiky (3 svazky, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Predikátová logika

Vzhledem k jakékoli výrokové fuzzy logice L existuje jednotný způsob, jak představit protějšek prvního řádu L (forall) v predikátním jazyce (mathcal {P \! L}) (definovaný jako v klasickém případě). V této části pro jednoduchost představujeme logiku založenou na t-normách.

Sémantika je dána strukturami, ve kterých jsou predikátové symboly interpretovány jako funkce mapující n-tice elementů domény na hodnoty pravdy. Přesněji řečeno, struktura ({ mathbf M}) se skládá z neprázdné domény prvků (M), funkce (f _ { mathbf M} dvojtečka M ^ n / až M) pro každý (n) - ary funkční symbol (f / in / mathcal {P \! L}) a funkce (P _ { mathbf M} dvojtečka M ^ n / až [0,1]) pro každý (n) - ary predikátový symbol (P / in / mathcal {P \! L}). Stanovením vyhodnocení ({ mathrm v}) objektových proměnných v (M), jeden definuje hodnoty termínů ((| f (t_1, / dots, t_n)) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))) a pravdivé hodnoty atomových vzorců ((| P (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Pravdivé hodnoty univerzálně / existenciálně kvantifikovaného vzorce se počítají jako infimum / supremum pravdivých hodnot instancí vzorce, kde kvantifikovaná proměnná probíhá přes všechny prvky domény (M). Formálně:) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M } / \ | (existuje x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) kde ({ mathrm v} [x {:} a]) je odesílání hodnocení (x) na (a) a hodnoty ostatních proměnných zůstanou nezměněny. Hodnoty jiných vzorců jsou počítány pomocí pravdivých funkcí pro výrokové spojky L.) begin {zarovnat} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (existuje x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {zarovnat}) kde ({ mathrm v} [x {:} a]) je hodnocení odeslání (x) na (a) a hodnoty ostatních proměnných zůstávají nezměněny. Hodnoty jiných vzorců jsou počítány pomocí pravdivých funkcí pro výrokové spojky L.) begin {zarovnat} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (existuje x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {zarovnat}) kde ({ mathrm v} [x {:} a]) je hodnocení odeslání (x) na (a) a hodnoty ostatních proměnných zůstávají nezměněny. Hodnoty jiných vzorců jsou počítány pomocí pravdivých funkcí pro výrokové spojky L. Hodnoty jiných vzorců jsou počítány pomocí pravdivých funkcí pro výrokové spojky L. Hodnoty jiných vzorců jsou počítány pomocí pravdivých funkcí pro výrokové spojky L.

Logika prvního řádu L (forall) je pak definována jako důsledkový vztah daný zachováním úplné pravdy (hodnota (1)), jako v případě výroku. Přesněji, říkáme, že vzorec prvního řádu (varphi) je důsledkem množiny vzorců (Gamma) (ve symbolech: (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi)) pokud (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) pro každé hodnocení v, kdykoli (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) pro každou hodnocení va každý (psi / in / Gamma).

L (forall) může být přiřazen Hilbertův styl s následujícími axiomy:

• (P) instance (prvního řádu) axiomů výrokové logiky L
• ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), kde výraz (t) je nahraditelný za (x) v
• ((existuje1)) (varphi (t) to (existuje x) varphi (x)), kde výraz (t) je nahraditelný v (x) v
• ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), kde (x) není zdarma v (chi)
• ((existuje2)) ((forall x) (varphi / to / chi) to ((existuje x) varphi / to / chi)), kde (x) není zdarma v (chi)
• ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), kde (x) není zdarma v (chi).

Pravidla dedukce L (forall) jsou pravidla L plus pravidlo generalizace: z (varphi) infer ((forall x) varphi).

Pro mnoho pozoruhodných výrokových fuzzy logik (včetně MTL a Gödel logiky) je výše uvedený axiomatický systém spolehlivý a úplný s ohledem na sémantiku (tj. (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) pro každého (Gamma) a každého (varphi); Cintula, Horčík, & Noguera 2014).

Logika Łukasiewicze prvního řádu však není rekurzivně axiomatizovatelná, jak ukazuje Scarpellini (1962; Ragaz (1981) prokázal, že sada tautologií je ve skutečnosti (Sigma_2) - úplná ve smyslu aritmetické hierarchie). Úplnosti lze dosáhnout buď zahrnutím pravidla infinitární inference (Hay 1963), nebo zobecněním sady pravdivých hodnot (viz další část). Situace je ještě složitější v případě Hájkovy základní fuzzy logiky, kde soubor tautologií prvního řádu všech struktur daných spojitými t-normami je stejně složitý jako skutečná aritmetika (Montagna 2001).

7. Algebraická sémantika

Jedním z hlavních nástrojů při studiu fuzzy logiky je algebraická sémantika (viz položka o algebraické sémantice). Zjednodušeně řečeno, myšlenkou je nahradit skutečný interval jednotky libovolnou sadou a interpretovat spojky jako operace odpovídajících aritalit na této sadě.

MTL-algebra (představená Esteva & Godo (2001)) je n-tice ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) kde

• (langle A, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) je ohraničená mříž
• (langle A, &, / overline {1} rangle) je komutativní monoid
• ((x / to y) vee (y / to x) = / overline {1})
• (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / to z) (kde (leq) je pořadí mřížky vyvolané (wedge) nebo (vee)).

MTL-algebry jsou zobecněním sémantiky založené na t-normách vysvětlené výše a poskytují solidní a úplnou sémantiku pro MTL. ^[4]

MTL-řetězy jsou ty, jejichž mřížkové pořadí je celkem a jsou základními stavebními kameny celé třídy algebras, v tom smyslu, že každá MTL-algebra může být rozložena jako vedlejší produkt řetězců. To znamená, že logika je také úplná s ohledem na sémantiku MTL-řetězců, která se pak používá jako první krok v důkazu její úplnosti s ohledem na sémantiku založenou na t-normách (Jenei & Montagna 2002).

Algebraická sémantika je univerzální nástroj, který lze použít pro jakoukoli logiku. Zejména pro každou libovolnou fuzzy logiku studovanou v literatuře (dokonce i ty, které nepodporují sémantiku založenou na t-normách, jako je fuzzy logika s konečnou hodnotou nebo logika nekomutativních uninormů), lze najít odpovídající třídu algebras, která může být rozloženo na vedlejší produkty řetězců. Tato skutečnost vedla Běhounek & Cintula (2006) k návrhu definice fuzzy logiky jako logiky, která je úplná s ohledem na zcela uspořádané algebraické struktury.

Použití algebraické sémantiky pro logiku prvního řádu obvykle přináší nižší složitost pro testování platnosti nebo uspokojivosti než standardní sémantika (Montagna & Noguera 2010).

8. Důkazní teorie

Bylo velkou výzvou přijít s analytickými systémy pro fuzzy logiku. Jedná se o systémy, které sdílejí důležité funkce, jako je eliminovatelnost řezů a vlastnost subformule, s Gentzenovými sekvenčními kalkulemi pro klasickou a intuicionální logiku (viz položka o vývoji teorie důkazů). Významného průlomu bylo dosaženo zavedením tzv. Hypersequentního počtu pro Gödel – Dummettovu logiku od Arnon Avrona (1991). Hypersequentní kalkulky vznikají ze sekvenčních kalkulů zvažováním konečných multisetů nebo sekvencí sekvencí, interpretovaných jako disjunkce sekvencí, jako hlavního předmětu inference. V případě Gödel – Dummettovy logiky lze zrušit pravidla Gentzenova intuicionálního sekvenčního počtu jednoduchým přidáním vedlejších hypersequentů k horní a dolní sekvenci. Například,postupné pravidlo pro zavedení disjunkce na pravé straně) frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] kde (Gamma_1) a (Gamma_2) jsou konečné posloupnosti vzorců, je převeden na následující pravidlo pravosti:) frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}) kde (H) a (H') označují stranu- hypersequenty, tj. konečné sekvence nebo multisety sekvencí. To samo o sobě nemění odpovídající logiku (v tomto případě intuicionistická logika). Zásadním doplňkovým strukturálním pravidlem je tzv. Komunikační pravidlo:) frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Here (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) jsou konečné seznamy vzorců; (Delta_1) a (Delta_2) jsou buď jednoduché vzorce nebo zůstávají prázdné; (H) a (H ') označují vedlejší hypersequenty, jako výše.

Pro získání hypersequentního počtu pro základní fuzzy logiku MTL je třeba přidat komunikační pravidlo do sekvenčního systému pro kontrakční verzi intuicionistické logiky bez kontrakcí. Analytické korekční systémy pro jiné fuzzy logiky, zejména logiku Łukasiewicze, vyžadují radikálnější odklon od tradičních kalkulů, kde jsou sekvenční komponenty hypersequentů interpretovány odlišně než intuicionální nebo klasické posloupnosti. Byly také navrženy tzv. Systémy označených důkazů a různé tabulové kalkulky. Podrobnou prezentaci současného stavu umění najdete v Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 a Metcalfe 2011.

9. Sémantika ospravedlňující funkčnost pravdy

Je žádoucí nejen z filosofického hlediska, ale také pro lepší pochopení potenciálních aplikací fuzzy logiky propojit význam hodnot zprostředkujících pravdy a odpovídajících logických vazeb se základními modely uvažování s neurčitými a nepřesnými pojmy. Byla zavedena řada takových sémantik, které usilují o ospravedlnění konkrétních voleb funkčních spojiv pravdy. Zde jsou stručně popsány pouze dvě z nich.

Sémantika hlasování je založena na myšlence, že různí agenti (voliči) mohou koherentně posuzovat stejný problém odlišně. Podíl agentů, kteří přijímají výrok (varphi) jako pravdivý, lze považovat za skutečnou hodnotu. Bez dalších omezení to nevede k pravdivě funkční sémantice, ale spíše k přiřazení pravděpodobností výrokům. Pokud však každému agentovi přiřadí pevnou úroveň skepticismu a uloží určité přirozené podmínky, které udržují úsudky logicky složitých příkazů v souladu s těmito úrovněmi, pak lze obnovit (min), (max) a (1-x) jako funkce pravdy pro spojení, disjunkci a negaci. Podrobnosti naleznete v Lawry 1998.

Giles (1974) představil další zajímavý model uvažování, který ospravedlňuje všechny výrokové spojky standardní logiky Łukasiewicze. Spočívá ve hře, kde dva hráči, já a vy, systematicky redukujeme logicky složitá tvrzení (vzorce) na jednodušší podle pravidel, jako jsou následující:

• Pokud tvrdím (varphi / lor / psi), musím tvrdit buď / (varphi) nebo (psi).
• Pokud tvrdím (varphi / land / psi), pak si vyberete jeden ze spojek a musím podle toho tvrdit buď / (varphi) nebo (psi).
• Pokud tvrdím (varphi / to / psi), pak musím prosadit (psi), pokud tvrdíte (varphi).

Pravidla pro kvantifikované příkazy odkazují na pevnou doménu, za předpokladu, že pro každý prvek domény, který jeden stanoví, je konstantní symbol:

• Pokud uplatním ((forall x) varphi (x)), pak musím uplatnit (varphi (c)) za vámi zvolenou konstantu (c).
• Pokud uplatním ((existuje x) varphi (x)), pak musím uplatnit (varphi (c)), pro konstantu (c), kterou jsem si sám vybral.

Pravidla pro tvrzení jsou dvojí. V každém stavu hry je vybrán výskyt nematického vzorce buď v multiset aktuálních tvrzeních mnou nebo vámi a je nahrazen subformulami, jak je uvedeno v těchto pravidlech, dokud nezůstanou pouze atomová tvrzení. Konečný stav hry je poté vyhodnocen podle následujícího schématu sázení.

Pro každý atomový vzorec existuje odpovídající experiment, který může selhat nebo uspět, ale může vykazovat disperzi, tj. Může při opakování přinést různé výsledky. Každému experimentu a tedy každému atomovému vzorci je přiřazena pevná pravděpodobnost selhání, nazývaná riziková hodnota. Hráči musí zaplatit ($) 1 druhému hráči za každé své atomové tvrzení, pokud související experimenty selhaly. U každé hry, která začíná mým tvrzením (varphi), lze očekávat, že moje celková ztráta peněz, pokud budeme oba racionálně hrát, nepřímo odpovídá skutečné hodnotě (varphi) vyhodnocené interpretací logiky Łukasiewicze, která přiřazuje inverzní hodnotu rizik jako pravdivé hodnoty atomovým vzorcům. Vzorec platí v logice Łukasiewicze zejména tehdy a jen tehdy, pokud pro každé přiřazení hodnoty rizikaMám strategii, která zaručuje, že moje očekávaná celková ztráta na konci hry je (0) nebo záporná.

Fermüller & Metcalfe (2009) poukázali na korelaci mezi optimálními strategiemi v Gilesově hře a důkazy bez ořezu v hypersequentním systému pro logiku Łukasiewicze. Tuto hru rozšířil také Fermüller & Roschger (2014), aby charakterizoval různé typy (polo-) fuzzy kvantifikátorů, které mají modelovat výrazy v přirozeném jazyce jako „asi polovina“nebo „téměř všechny“.

Paříž (2000) poskytuje přehled o dalších sémantikách podporujících různé volby pravdivých funkcí; zejména re-randomizující sémantika (Hisdal 1988), sémantika podobnosti (např. Ruspini 1991), sémantika přijatelnosti (Paříž 1997) a sbližovací sémantika (Paříž 2000). Zmiňme také sémantiku Běhounek založenou na zdrojích (2009). Kromě toho existují různé formy vyhodnocovacích her pro různé fuzzy logiky, kromě jedné z Giles pro Łukasiewicz logiku nastíněné výše. Přehled těchto sémantických her naleznete ve Fermülleru 2015.

10. Fuzzy logika a nejasnost

Jako hlavní motivace pro zavádění fuzzy logiky je často uváděno modelování uvažování s neurčitými predikáty a návrhy. Existuje mnoho alternativních teorií nejasností (viz položka o nejasnosti), ale existuje obecná shoda, že citlivost na paradox soritů (viz položka na paradox soritů) je hlavním rysem nejasností. Zvažte následující verzi paradoxu:

• (1) (10 ^ {100}) je obrovské číslo.
• (2) Pokud (n) je velké číslo, pak (n-1) je také obrovské.

Na první pohled se zdá nepřiměřené přijmout tyto dva předpoklady. Instancí (n) s (10 ^ {100}) v (2) a použitím modus ponens s (1) jako další předpoklad jsme dospěli k závěru, že (10 ^ {100} -1) je obrovský. Jednoduše opakováním tohoto typu závěru se dostáváme k nepřiměřenému tvrzení

(3) (0) je obrovské číslo

Fuzzy logika navrhuje analýzu paradoxu soritů, který respektuje intuici, že prohlášení (2), i když pravděpodobně není zcela pravda, je téměř pravdivé.

Existuje řada způsobů, jak modelovat tuto formu uvažování ve fuzzy logice založené na t-normách, která rozpouští paradox. Například lze prohlásit, že jakýkoli případ modus ponens je zdravý, pokud stupeň pravdivosti závěru není nižší než stupeň silného spojení jeho prostor. ^[5]Jak je uvedeno, jeden stanoví, že každá instance (2) je pravdivá pro stupeň (1- / epsilon), pro některé velmi malé číslo (epsilon). I když prohlásíme (1) za naprosto pravdivou, prohlášení, že (10 ^ {100} -1) je také obrovské, by pak mohlo být méně než dokonale pravdivé, aniž by se obětovala spolehlivost instancí a modus ponens. Pokud je navíc stupeň pravdy spojení dvou ne zcela pravdivých (nebo ne zcela nepravdivých) výroků menší než u každého spojovacího prvku, můžeme bezpečně prohlásit, že prohlášení (3) je naprosto nepravdivé, a přesto trváme na spolehlivosti každý krok v uvedeném řetězci závěrů. Neformálně řečeno, paradox zmizí tím, že se předpokládá, že opakované snižování některých dokonale obrovských čísel o malé množství vede k číslům, z nichž je stále méně pravdivé, že jsou také obrovské.

Hájek & Novák (2003) navrhlo alternativní řešení paradoxního soritu na základě pravdy. Zavádějí nové funkční funkční pojivo spojující modelování výrazu „to je téměř pravda“. Tímto způsobem formalizují argumentaci soritů v axiomatické teorii vhodné fuzzy logiky založené na t-normách.

Smith (2008; viz také 2005) tvrdil, že takzvaný princip blízkosti určuje podstatu neurčitosti. Vyjadřuje, že výroky stejné formy o nerozeznatelných objektech by měly zůstat z hlediska pravdy blízké. Je známkou mnoha přístupů k paradoxu, které používají fuzzy logiku, že jsou s tímto principem slučitelné. ^[6]

Bibliografie

Doplňkový dokument:

Bibliografie Řazeno podle tématu

• Aguzzoli, S., Bova, S. a Gerla, B., 2011, „Volné algebry a funkční reprezentace pro fuzzy logiku“, v P. Cintula, P. Hájek a C. Noguera, (editoři), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Svazek 2, (Mathematical Logic and Foundations, Svazek 38), London: College Publications, strany 713–719.
• Avron, Arnon, 1991, „Hypersequents, Logical Consequence and Intermediate Logics for Concurrency“, Annals of Mathematics and Artelligence Intelligence, 4 (3–4): 225–248. doi: 10,1007 / BF01531058
• Baaz, Matthias, 1996, „Nekonečná oceňovaná Gödelova logika s 0–1 projekcemi a relativizacemi“, v Petr Hájek (ed.), Gödel'96: Logické základy matematiky, informatiky a fyziky (Poznámky k přednášce v logice, svazek 6), Brno: Springer, 23–33
• Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F., a Veith, H., 2002, „Složitost T-tautologií“, Annals of Pure and Applica Logic, 113 (1-3): 3-11.
• Baaz, Matthias a Preining, Norbert, 2011, „Gödel-Dummett Logics“, v Cintule, Petr, Petr Hájek a Carles Noguera (ed.), Příručka matematické fuzzy logiky, Svazek 2, (Matematická logika a základy, Svazek 38), London: College Publications, strany 585–625.
• Běhounek, Libor, 2009, „Fuzzy Logics Interpreted and Logics of Resources“, v Michal Peliš (ed.), Ročenka logiky 2008, Londýn: College Publications, s. 9–21.
• ––– 2014, „V jakém smyslu je fuzzy logika logikou pro mdloby?“, V Lukasiewicze, Thomasovi, Peñaloze, Rafael a Turhan, Anni-Yasmin, (editoři), PRUV 2014: Logika pro zdůvodnění preferencí, nejistota, a Vagueness, (CEUR Workshop Proceedings, Svazek 1205), Dresden: CEUR.
• Běhounek, Libor a Cintula, Petr, 2005, „Fuzzy teorie teorie“, Fuzzy sady a systémy, 154 (1): 34–55.
• ––– 2006, „Fuzzy Logics jako logika řetězců“, Fuzzy Sets and Systems, 157 (5): 604–610.
• Běhounek, Libor a Haniková, Zuzana, 2014, „Teorie množin a aritmetika ve fuzzy logice“, v Montagna, Franco (editor), Petr Hájek o matematické fuzzy logice, (vynikající příspěvky k logice, svazek 6), Cham: Springer, strany 63–89.
• Bělohlávek, R., a Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Studie Fuzziness and Soft Computing, Svazek 186), Berlín a Heidelberg: Springer.
• Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña, À., Peñaloza, R. a Straccia, U., 2015, „Fuzzy Description Logics“, v Cintula, P., Fermüller, CG, a Noguera, C., (editoři), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Volume 58), London: College Publications, strany 1105–1181.
• Bou, F., Esteva, F., Godo, L. a Rodríguez, RO, 2011, „Minimální mnohohodnotná modální logika přes konečnou zbytkovou mřížku“, Journal of Logic and Computation, 21 (5): 739 –790.
• Busaniche, Manuela a Montagna, Franco, 2011, „Hájekova logika BL a BL-Algebras“, v Cintule, Petr, Petr Hájek a Carles Noguera (ed.), Příručka matematické fuzzy logiky, svazek 1 (matematická logika a Foundation, svazek 37), London: College Publications, strany 355–447.
• Ciabattoni, A., Galatos, N. a Terui, K., 2012, „Algebraická teorie důkazu pro substrukturální logiku: Cut-Elimination and Completions“, Annals of Pure and Applica Logic, 163 (3): 266-290.
• Caicedo, X., a Rodríguez, RO, 2010, „Standardní Gödel Modal Logics“, Studia Logica, 94 (2): 189–214.
• Cicalese, F., a Montagna, F., 2015, „Sémantika založená na hře Ulam-Rényi pro fuzzy logiku“, v P. Cintula, CG Fermüller a C. Noguera (vydavatelé), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Svazek 3, (Mathematical Logic and Foundations, svazek 58), London: College Publications, strany 1029–1062.
• Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, a Mundici, D., 1999, Algebraické základy mnohohodnotného zdůvodnění, (svazek 7), Dordrecht: Kluwer.
• Cintula, Petr, 2006, „Slabá implikativní (fuzzy) logika I: Základní vlastnosti“, Archiv pro matematickou logiku, 45 (6): 673–704.
• Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F. a Noguera, C., 2009, „Rozlišená algebraická sémantika pro fuzzy logiku založenou na T-normách: metody a algebraické ekvivalence“, Annals of Pure and Applied Logic, 160 (1): 53–81.
• Cintula, Petr, Christian Fermüller a Carles Noguera (eds.), 2015, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, svazek 3, (Studies in Logic, vol. 58), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Petr Hájek, & Carles Noguera (eds.), 2011a, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, svazek 1 (Study in Logic, roč. 37), London: College Publications.
• ––– (ed.), 2011b, Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, svazek 2 (Study in Logic, svazek 38), London: College Publications.
• Cintula, Petr, Rostislav Horčík, & Carles Noguera, 2013, „Neasociativní substrukturální logika a jejich semilineární rozšíření: axiomatizace a vlastnosti úplnosti“, Recenze symbolické logiky, 6 (3): 394–423. doi: 10,017 / S1755020313000099
• ––– 2014, „Hledání základní fuzzy logiky“, ve Franco Montagna (ed.), Petr Hájek o matematické fuzzy logice (vynikající příspěvky k logice, svazek 6), Cham: Springer, p. 245–290. doi: 10,1007 / 978-3-319-06233-4_12
• Cintula, Petr a Noguera, Carles, 2011, „Obecný rámec pro matematickou fuzzy logiku“, v Cintule, Petr, Petr Hájek a Carles Noguera (ed.), Příručka matematické fuzzy logiky, svazek 1, (Matematická logika a Foundation, svazek 37), London: College Publications, strany 103–207.
• Cintula, P., a Metcalfe, G., 2009, „Strukturální úplnost ve fuzzy logice“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 50 (2): 153–183.
• Dellunde, P., 2012, „Zachování mapování ve fuzzy predikátové logice“, Journal of Logic and Computation, 22 (6): 1367–1389.
• Di Nola, A., a Gerla, G., 1986, „Fuzzy modely jazyků prvního řádu“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 32 (19–24): 331–340.
• Dummett, Michael, 1959, „Propositional Calculus with Denumerable Matrix“, Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 97–106. doi: 10,2307 / 2964753
• Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo a Carles Noguera, 2007, „Přidání pravdy-konstant k logice kontinuálních T-norem: výsledky axiomatizace a úplnosti“, Fuzzy sady a systémy, 158 (6): 597–618. doi: 10,016 / j.fss.2006.11.010
• Esteva, Francesc & Lluís Godo, 2001, „Logika založená na monoidních T-normách: Směrem k logice pro levé kontinuální T-Normy“, Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 271–288. doi: 10,016 / S0165-0114 (01) 00098-7
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís a García-Cerdaña, Àngel, 2003, „Na hierarchii reziduovaných fuzzy logik založených na t-normách“, v publikaci Fitting, Melvin a Orłowska, Ewa (redaktori), Za dva: Teorie a Aplikace logiky s více hodnotami, (Studie moudrosti a měkkého počítání, svazek 114), Heidelberg: Springer, strany 251–272.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petr Hájek a Mirko Navara, 2000, „Zbytková fuzzy logika s inicializační negací“, Archiv pro matematickou logiku, 39 (2): 103–124. doi: 10,1007 / s001530050006
• Esteva, Francesc, Godo, Lluís a Marchioni, Enrico, 2011, „Fuzzy Logics with Enriched Language“, v Cintule, Petr, Petr Hájek a Carles Noguera (ed.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 2, (Mathematical Logic and Foundations, svazek 38), London: College Publications, strany 627–711.
• Esteva, Francesc, Lluís Godo, & Franco Montagna, 2001, „Logika (L / Pi) a (L / Pi / frac12): Dva kompletní fuzzy systémy spojující Łukasiewicz a Logiku produktů“, Archiv pro matematickou logiku, 40 (1): 39–67. doi: 10,1007 / s001530050173
• ––– 2003, „Axiomatizace jakékoli zbytkové fuzzy logiky definované kontinuální T-normou“, v Taner Bilgiç, Bernard De Baets a Okyay Kaynak (eds.), Fuzzy Sets and Systems: IFSA 2003 (Poznámky k přednášce v počítači) Science, sv. 2715), Berlin / Heidelberg: Springer, str. 172–179. doi: 10,1007 / 3-540-44967-1_20
• Fedel, M., Hosni, H. a Montagna, F., 2011, „Logická charakterizace koherence pro nepřesnosti“, Mezinárodní časopis přibližného uvažování, 52 (8): 1147–1170, doi: 10,016 / j. ijar.2011.06.004.
• Fermüller, Christian G., 2015, „Sémantické hry pro fuzzy logiku“, v Cintule, Fermüller a Noguera 2015: 969–1028.
• Fermüller, Christian G. & George Metcalfe, 2009, „Gilesova teorie her a důkazů pro Łukasiewicze Logic“, Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10,1007 / s11225-009-9185-2
• Fermüller, Christian G. & Christoph Roschger, 2014, „Randomizovaná herní sémantika pro polofuzzy kvantifikátory“, logický deník zájmové skupiny čisté a aplikované logiky, 22 (3): 413–439. doi: 10,1093 / jigpal / jzt049
• Flaminio, T., Godo, L. a Marchioni, E., 2011, „Zdůvodnění nejistoty nejasných událostí: Přehled“, v Cintule, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis a Hájek, Petr, (editoři), Porozumění nejasnosti: Logické, filosofické a lingvistické perspektivy, (Studies in Logic, Svazek 36), London: College Publications, strany 367–400.
• Flaminio, T. a Kroupa, T., 2015, „Státy MV-Algebry“, Cintula, Petr, Christian Fermüller a Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Svazek 58), London: College Publications, strany 1183–1236.
• Písmo, Josep Maria, 2016, Abstrakt Algebraická logika: Úvodní učebnice, (Matematická logika a nadace, Svazek 60), Londýn: College Publications.
• Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz a Ono, Hiroakira, (editoři), 2007, Zbytkové mříže: Algebraický pohled na substrukturální logiku, (Studie v logice a základy matematiky, Svazek 151), Amsterdam: Elsevier.
• García-Cerdaña, À., Armengol, E. a Esteva, F., 2010, „Fuzzy Logics Description Logics a Fuzzy Logics Based T-Norm“, International Journal of přibližné odůvodnění, 51 (6): 632–655.
• Gerla, G., 2001, Fuzzy Logic-Mathematical Tool pro přibližné uvažování (Trends in Logic, Svazek 11), New York: Kluwer and Plenum Press.
• Giles, Robin, 1974, „Neklasická logika pro fyziku“, Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10,1007 / BF02123379
• Gödel, Kurt, 1932, „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül“, Anzeiger Akademie Der Wissenschaften Wien, 69: 65–66.
• Godo, L., Esteva, F. a Hájek, P., 2000, „Zdůvodnění pravděpodobnosti pomocí fuzzy logiky“, Neuron Network World, 10 (5): 811–823, (zvláštní vydání k SOFSEM 2000).
• Goguen, Joseph A., 1969, „The Logic of Inexact Concepts“, Synthese, 19 (3–4): 325–373.
• Gottwald, Siegfried, 2001, Pojednání o mnohohodnotné logice, (Studie logiky a výpočtů, svazek 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
• Hájek, Petr, 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic (Trends in Logic, sv. 4), Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2001, „On Very True“, Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 329–333.
• –––, 2005, „Vytvoření obecnější logiky popisu fuzzy“, Fuzzy sady a systémy, 154 (1): 1–15.
• Hájek, P. a Cintula, P., 2006, „O teoriích a modelech ve fuzzy predikátové logice“, Journal of Symbolic Logic, 71 (3): 863–880.
• Hájek, P., a Haniková, Z., 2003, „Vývoj teorie množin ve fuzzy logice“, v Fitting, Melvin a Orłowska, Ewa, (redaktori), Za dva: Teorie a aplikace vícehodnotové logiky, (Study in Fuzziness and Soft Computing, Volume 114), Heidelberg: Springer, strany 273–285.
• Hájek, P., Montagna, F., & Noguera, C., 2011, „Aritmetická složitost fuzzy logiky prvního řádu“, v Cintule, Petr, Hájek, Petr a Noguera, Carles, (editoři), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Svazek 2, (Mathematical Logic and Foundations, Svazek 38), London: College Publications, strany 853–908.
• Hájek, Petr & Vilém Novák, 2003, „The Sorites Paradox and Fuzzy Logic“, International Journal of General Systems, 32 (4): 373–383. doi: 10,1080 / 0308107031000152522
• Háajek, P., Paříž, J., a Shepherdson, JC, 2000, „Lhářský paradox a fuzzy logika“, Journal of Symbolic Logic, 65 (1): 339–346.
• Haniková, Zuzana, 2011, „Výpočetní složitost prozatímní fuzzy logiky“, v Cintule, Petr, Hájek, Petr a Noguera, Carles, (editoři), Příručka matematické fuzzy logiky, Svazek 2, (Matematická logika a základy, Svazek 38), London: College Publications, strany 793–851.
• ––– 2014, „Odrůdy generované standardními BL-Algebry“, objednávka, 31 (1): 15–33. doi: 10,1007 / s11083-013-9285-5
• Hansoul, G., a Teheux, B., 2013, „Rozšíření řukasiewiczské logiky o modalitu: algebraický přístup k relační sémantice“, Studia Logica, 101 (3): 505–545, doi: 10,1007 / s11225-012-9396- 9.
• Hay, Louise Schmir, 1963, „Axiomatizace predikátu s nekonečnou hodnotou“, Journal of Symbolic Logic, 28 (1): 77–86. doi: 10,2307 / 2271339
• Hisdal, Ellen, 1988, „Jsou známky pravděpodobnosti členství?“Fuzzy sady a systémy, 25 (3): 325–348. doi: 10,016 / 0165-0114 (88) 90018-8
• Horčík, Rostislav, 2011, „Algebraická sémantika: Semilineární FL-Algebry“, v P. Cintula, P. Hájek a C. Noguera, (editoři), Příručka matematické fuzzy logiky, Svazek 1, (Matematická logika a základy, Svazek 37), London: College Publications, strany 283–353.
• Horn, Alfred, 1969, „Logika s hodnotami pravdy v lineárně uspořádané heytingové algebře“, The Journal of Symbolic Logic, 34 (3): 395–408.
• Jenei, Sándor & Franco Montagna, 2002, „Důkaz standardní úplnosti pro Esteva a Godo's Logic MTL“, Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10,1263 / A: 1015122331293
• Jeřábek, E., 2010, „Základy přípustných pravidel Łukasiewicze Logic“, Journal of Logic and Computation, 20 (6): 1149–1163.
• –––, 2003, „Důkaz standardní úplnosti pro nekomutativní monoidní logiku T-normy“, Neural Network World, 13 (5): 481–489.
• Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar a Endre Pap, 2000, Triangular Norms (Trends in Logic, Svazek 8), Dordrecht: Kluwer.
• Lawry, J., 1998, „Hlasovací mechanismus pro fuzzy logiku“, Mezinárodní časopis přibližného uvažování, 19 (3–4): 315–333. doi: 10,016 / S0888-613X (98) 10013-0
• Leştean, I., a DiNola, A., 2011, „Łukasiewicz Logic a MV-Algebras“, v P. Cintula, P. Hájek a C. Noguera (vydavatelé), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Svazek 2, (Mathematical Logic and Foundations, svazek 38), London: College Publications, strany 469–583.
• Ling, Cho-Hsin, 1965, „Reprezentace asociativních funkcí“, publikace Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
• Łukasiewicz, Jan, 1920, „O Logice Trójwartościowej“, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Anglický překlad, „On Three-Valued Logic“, ve Storrs McCall, (editor), 1967, polská logika 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, strany 16–18, a Jan Łukasiewicz, 1970, vybraná díla, L. Borkowski, (editor), Amsterdam: North-Holland, strany 87–88.
• Łukasiewicz, J. & A. Tarski, 1930, „Untersuchungen über den Aussagenkalkül“, Comptes Rendus des Séances de La Société Des Sciences and Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23 (iii): 30–50.
• Marra, V. a Spada, L., 2013, „Dualita, projektivita a sjednocení v řukasiewicz Logic a MV-Algebras“, Annals of Pure and Applica Logic, 164 (3): 192–210.
• McNaughton, Robert, 1951, „Věta o nekonečně hodnotné významové logice“, Journal of Symbolic Logic, 16 (1): 1-13. doi: 10,2307 / 2268660
• Metcalfe, George, 2011, „Důkazní teorie pro matematickou fuzzy logiku“, v Cintule, Hájek a Noguera 2011a: 209–282.
• Metcalfe, George & Franco Montagna, 2007, „Substructural Fuzzy Logics“, Journal of Symbolic Logic, 72 (3): 834–864. doi: 10,2178 / jsl / 1191333844
• Metcalfe, George, Nicola Olivetti a Dov M. Gabbay, 2008, Teorie důkazu pro fuzzy logiku (Applied Logic Series, svazek 36), Dordrecht: Springer Netherlands.
• Montagna, Franco, 2001, „Tři problémy složitosti v kvantifikované fuzzy logice“, Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10,1003 / A: 1011958407631
• Montagna, Franco & Carles Noguera, 2010, „Aritmetická složitost predikátové fuzzy logiky nad rozlišující sémantikou prvního řádu“, Journal of Logic and Computation, 20 (2): 399–424. doi: 10,1093 / logcom / exp052
• Montagna, Franco, Noguera, Carles a Horčík, Rostislav, 2006, „On Slabé Cancellative Fuzzy Logics“, Journal of Logic and Computation, 16 (4): 423–450.
• Montagna, Franco a Ono, Hiroakira, „Kripkeho sémantika, nerozhodnutelnost a standardní úplnost pro Estevu a Godovu logiku MTL (forall)“, Studia Logica, 71 (2): 227–245.
• Mostert, Paul S. & Allen L. Shields, 1957, „O struktuře poloskupin na kompaktním rozdělovači s hranicí“, The Annals of Mathematics, Second Series, 65 (1): 117–143. doi: 10,2307 / 1969668
• Mundici, D., 1987, „Spokojenost v mnohohodnotné sentimentální logice je NP-kompletní“, teoretická informatika, 52 (1–2): 145–153.
• –––, 1992, „The Logic of Ulam's Game With Lies“, v C. Bicchieri a M. Dalla Chiara, (editoři), Knowledge, víra a strategická interakce (Castiglioncello, 1989), Cambridge: Cambridge University Press, 275–284.
• –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus a MV-Algebras, (Trends in Logic, Svazek 35), New York: Springer.
• Novák, V., 2004, „O teorii fuzzy typu“, Fuzzy množiny a systémy, 149 (2): 235–273.
• ––– 2015, „Fuzzy logika s hodnocenou syntaxí“, Cintula, Petr, Christian Fermüller a Carles Noguera (ed.), Příručka matematické fuzzy logiky, Svazek 3, (Matematická logika a základy, Svazek 58), Londýn: College Publications, strany 1063–1104.
• Novák, V., Perfilieva, I. a Močkoř, J., 2000, Matematické základy fuzzy logiky, Dordrecht: Kluwer.
• Nguyen, Hung T. a Elbert A. Walker, 2005, první kurz fuzzy logiky (třetí vydání), Chapman a Hall / CRC.
• Paříž, Jeff B., 1997, „Sémantika pro fuzzy logiku“, Soft Computing, 1 (3): 143–147. doi: 10,1007 / s005000050015
• –––, 2000, „Sémantika pro fuzzy logiku podporující funkci pravdy“, ve Vilém Novák a Irina Perfilieva (ed.), Objevování světa s fuzzy logikou (Studie moudrosti a měkkého počítání. Svazek 57). Heidelberg: Springer, s. 82–104.
• Pavelka, J., 1979, „On Fuzzy Logic I, II and III“, Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134 a 447–464.
• Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (disertační práce). Švýcarský federální technologický institut, Curych. doi: 10,3929 / ethz-a-000226207
• Ross, Timothy J., 2016, Fuzzy Logic with Engineering Applications (čtvrté vydání), Hoboken, NJ: Wiley.
• Ruspini, Enrique H., 1991, „O sémantice fuzzy logiky“, Mezinárodní časopis přibližného uvažování, 5 (1): 45–88. doi: 10,016 / 0888-613X (91) 90006-8
• Scarpellini, Bruno, 1962, „Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz“, Journal of Symbolic Logic, 27 (2): 159–170. doi: 10,2307 / 2964111
• Smith, Nicholas JJ, 2005, „Vagueness as Closeness“, Australasian Journal of Philosophy, 83 (2): 157–183. doi: 10,1080 / 00048400500110826
• –––, 2008, Vagueness and Degrees of Truth, Oxford: Oxford University Press.
• ––– 2015, „Fuzzy logika v teoriích mdlosti“, v Cintule, Petru, Christian Fermüller a Carles Noguera (ed.), Příručka matematické fuzzy logiky, Svazek 3, (Matematická logika a základy, Svazek 58), London: College Publications, strany 1237–1281.
• Straccia, U., 1998, „A Fuzzy Description Logic“, v Mostow, J., a Rich, C., (editoři), sborník z 15. národní konference o umělé inteligenci (AAAI 1998), Menlo Park: AAAI Press, strany 594–599.
• Takeuti, G., a Titani, S., 1984, „Intuitionistic Fuzzy Logic and Intuitionistic Fuzzy Theory Setory“, Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 851–866.
• Takeuti, G., a Titani, S., 1992, „Fuzzy Logic and Fuzzy Theory Theory“, Archiv for Mathematical Logic, 32 (1): 1–32.
• Vetterlein, T., 2015, „Algebraická sémantika: struktura zbytkových řetězců“, v P. Cintula, CG Fermüller a C. Noguera (redaktori), Handbook of Mathematical Fuzzy Logic, Volume 3, (Mathematical Logic and Foundations, Svazek 58), London: College Publications, strany 929–967.
• Zadeh, Lotfi A., 1965, „Fuzzy Sets“, Information and Control, 8 (3): 338–353. doi: 10,016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje