Kantova Filozofie Matematiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Kantova filozofie matematiky

První publikováno 19. července 2013

Kant byl student a učitel matematiky po celou dobu své kariéry a jeho úvahy o matematice a matematické praxi měly hluboký dopad na jeho filozofické myšlení. Rozvinul uvažované filosofické pohledy na stav matematického úsudku, povahu matematických definic, axiomy a důkazy a vztah mezi čistou matematikou a přírodním světem. Navíc jeho přístup k obecné otázce „Jak jsou syntetické úsudky a priori možné?“byl formován jeho pojetím matematiky a jeho úspěchy jako dobře podložená věda.

Kantova filozofie matematiky je zajímavá pro řadu vědců z několika důvodů. Zaprvé, jeho myšlenky na matematiku jsou klíčovou a ústřední součástí jeho kritického filosofického systému, a tak osvětlují historika filozofie, který pracuje na jakémkoli aspektu Kantova korpusu. Navíc otázky současného zájmu a relevance vyvstávají z Kantových úvah o nejzákladnějších a nejzákladnějších matematických disciplínách, otázkách, které i nadále informují důležité otázky v metafyzice a epistemologii matematiky. Konečně neshody ohledně toho, jak interpretovat Kantovu filozofii matematiky, vytvořily úrodnou oblast současného výzkumu a debat.

• 1. Kantova prekritická filozofie matematiky

• 2. Kantova kritická filozofie matematiky

  • 2.1 Kantova teorie konstrukce matematických konceptů v „Disciplíně čistého důvodu dogmatického použití“
  • 2.2 Kantova odpověď na jeho otázku „Jak je možná čistá matematika?“
  • 2.3 Kantova koncepce úlohy matematiky v transcendentálním idealismu
• 3. Komentář a interpretační debata
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Kantova prekritická filozofie matematiky

V roce 1763 vstoupil Kant do soutěže o cenu eseje, která se zabývala otázkou, zda lze prokázat první principy metafyziky a morálky, a dosáhnout tak stejné míry jistoty jako matematické pravdy. Ačkoli jeho esej byla udělena druhou cenou Královskou akademií věd v Berlíně (prohrála s „O důkazech v metafyzických vědách Mojžíše Mendelssohna“), přesto se stala známou jako Kantova „esej o ceně“. Esej o ceně byla zveřejněna Akademií v roce 1764 pod názvem „Dotaz na odlišnost principů přirozené teologie a morálky“a je klíčovým textem v Kantově prekritické filozofii matematiky.

V cenové eseji se Kant zavázal porovnat metody matematiky a metafyziky (Carson 1999; Sutherland 2010). Tvrdil, že „obchod s matematikou… je spojením a porovnáním daných pojmů velikosti, které jsou jasné a jisté, s cílem zjistit, co z nich lze odvodit“(2: 278). Dále tvrdil, že toto podnikání je uskutečňováno prostřednictvím zkoumání čísel nebo „viditelných znaků“, které poskytují konkrétní znázornění univerzálních konceptů, které byly synteticky definovány. Například jeden definuje matematický koncept libovolnou kombinací dalších konceptů („čtyři přímé čáry ohraničující rovinnou plochu tak, aby protilehlé strany nebyly vzájemně rovnoběžné“^[1].), doprovázené „citlivým znakem“, které zobrazuje vztahy mezi částmi všech takto definovaných objektů. Definice, stejně jako základní matematické tvrzení, například, že prostor může mít pouze tři dimenze, musí být „zkoumány v betonu tak, aby byly intuitivně poznávány“, ale takové tvrzení nelze nikdy dokázat, protože nejsou odvozeny z jiných tvrzení (2: 281). Věty jsou vytvořeny, když jsou jednoduché poznání kombinovány „pomocí syntézy“(2: 282), jako například když je prokázáno, že produkty segmentů tvořených dvěma akordy protínajícími se uvnitř kruhu jsou stejné. V druhém případějeden dokazuje teorém o jakémkoli a všech párech čar, které se protínají uvnitř kruhu, nikoli „nakreslením všech možných čar, které by se mohly protínat navzájem uvnitř [kruhu]“, ale spíše nakreslením pouze dvou čar a identifikováním vztahu, který drží mezi (2: 278). „Univerzální pravidlo“, které je výsledkem, je odvozeno prostřednictvím syntézy mezi smysluplnými znaky, které jsou zobrazeny, a v důsledku toho mezi pojmy, které citlivé znaky ilustrují.

Kant dochází k závěru, že matematickou metodu nelze použít k dosažení filosofických (a zejména metafyzických) výsledků, a to z primárního důvodu, že „geometry získávají své koncepty syntézou, zatímco filozofové mohou získat své koncepty pouze analýzou - a to zcela mění způsob myšlení “(2: 289). V této předkritické fázi však také dochází k závěru, že i když chybí syntetické definice svých primárních konceptů, „metafyzika je stejně tak schopná jistoty, že je nezbytné k přesvědčení jako matematika“(2: 296). (Později, v kritickém období, Kant rozšíří pojem syntézy, aby popsal nejen genezi a kombinaci matematických konceptů, ale také akt sjednocení mnohonásobných reprezentací. Samozřejmě také,používat výrazy „syntetický“a „analytický“k rozlišování dvou vzájemně se vylučujících způsobů, ve kterých se předmět a predikátové pojmy vzájemně souvisí v odlišných úsudcích jakéhokoli druhu, a zdůrazní rozšířený smysl tohoto rozlišení, které zahrnuje metodologický kontrast mezi dva způsoby argumentace, jeden syntetický nebo progresivní a druhý analytický nebo regresivní. Tyto různé smysly analytického / syntetického rozlišení budou stručně popsány níže.)Tyto různé smysly analytického / syntetického rozlišení budou stručně popsány níže.)Tyto různé smysly analytického / syntetického rozlišení budou stručně popsány níže.)

V esejích „O konečném základu diferenciace směrů ve vesmíru“a „O formě a principech rozumného a nesrozumitelného světa [inaugurační disertace]“z let 1768 a 1770 začínají Kantovy myšlenky o matematice a jejích výsledcích vyvíjet se ve směru své kritické filosofie, když si začíná uvědomovat roli, kterou bude hrát v roli matematického poznání odlišná schopnost citlivosti (Carson 2004). V těchto esejích připisuje úspěch matematického uvažování jeho přístupu k „principům citlivé formy“a „primárním datům intuice“, což vede k „zákonům intuitivního poznání“a „intuitivním úsudkům“o velikosti a rozšíření. Jeden takový úsudek slouží k vytvoření možnosti předmětu, který je „přesně stejný a podobný druhému,ale které nemohou být uzavřeny ve stejných mezích jako ostatní, jeho nesouhlasný protějšek “(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve a Frederick 1991; Van Cleve 1999). Kant se odvolává na takové „protichůdné protějšky“v „Směrech ve vesmíru“, aby zjistil orientaci a aktuálnost absolutního prostoru v newtonovském stylu, což je objekt geometrie, jak tomu chápe. Stejný příklad uvádí v „Inaugurační disertační práci“, aby zjistil, že prostorové vztahy „lze zachytit pouze jistou čistou intuicí“, a tak ukázat, že „geometrie používá principy, které jsou nejen neodolatelné a diskursivní, ale také spadají pod pohled mysli. “Matematický důkaz je tedy „paradigmatem a prostředkem všech důkazů v jiných vědách“(2: 403). (Později, v kritickém období Prolegomena,uplatní nesouhlasné protějšky k vytvoření transcendentální ideality vesmíru, čímž se vzdá svého dřívějšího argumentu na podporu absolutního prostoru.)

2. Kantova kritická filozofie matematiky

2.1 Kantova teorie konstrukce matematických konceptů v „Disciplíně čistého důvodu dogmatického použití“

Kantova kritická filosofie matematiky nachází nejúplnější vyjádření v sekci Kritika čistého důvodu nazvané „Disciplína čistého důvodu v dogmatickém použití“, která začíná druhou ze dvou hlavních divizí Kritiky, „transcendentální nauku o metodě“. V předchozích částech Kritiky podrobil Kant čistému důvodu „ve svém transcendentálním použití v souladu s pouhými koncepty“kritiku, aby „omezil svůj sklon k expanzi za úzké hranice možných zkušeností“(A711 / B739). Ale Kant nám říká, že není nutné podrobovat matematiku takové kritice, protože použití čistého rozumu v matematice je prostřednictvím intuice drženo na „viditelné stopě“: „[matematické] koncepty musí být okamžitě vystaveny v betonu v čisté intuici,díky čemuž se vše, co je neopodstatněné a svévolné, okamžitě projeví “(A711 / B739). Cvičení a disciplína matematiky nicméně vyžadují vysvětlení, aby bylo možné vysvětlit její úspěch při prokazování podstatných a nezbytných pravd, a také povolit její vyvolání jako model uvažování. Kant se tak, stejně jako v předkritickém období, zaměřuje na otázku, co odpovídá za „šťastnou a dobře podloženou“matematickou metodu, a také na to, zda je užitečná v jakékoli jiné disciplíně než matematice. Aby na tuto poslední otázku odpověděl záporně, musí Kant vysvětlit jedinečnost matematického uvažování.za účelem zodpovídání za svůj úspěch při prokazování věcných a nezbytných pravd a za účelem licencování jeho vyvolání jako modelu uvažování. Kant se tak, stejně jako v předkritickém období, zaměřuje na otázku, co odpovídá za „šťastnou a dobře podloženou“matematickou metodu, a také na to, zda je užitečná v jakékoli jiné disciplíně než matematice. Aby Kant na tuto poslední otázku odpověděl záporně, musí Kant vysvětlit jedinečnost matematického uvažování.za účelem zodpovídání za svůj úspěch při prokazování věcných a nezbytných pravd a za účelem licencování jeho vyvolání jako modelu uvažování. Kant se tak, stejně jako v předkritickém období, zaměřuje na otázku, co odpovídá za „šťastnou a dobře podloženou“matematickou metodu, a také na to, zda je užitečná v jakékoli jiné disciplíně než matematice. Aby na tuto poslední otázku odpověděl záporně, musí Kant vysvětlit jedinečnost matematického uvažování. Kant musí vysvětlit jedinečnost matematického uvažování. Kant musí vysvětlit jedinečnost matematického uvažování.

Ústřední tezí Kantova popisu jedinečnosti matematického uvažování je jeho tvrzení, že matematické poznání je odvozeno od „konstrukce“jeho konceptů: „ konstruovat“koncept znamená a priori projevit intuici, která tomu odpovídá “(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Například, zatímco koncept může být diskrétně definován jako přímočará postava obsažená ve třech přímkách (jak se to děje v Euclidových prvcích), koncept je konstruován v Kantově technickém smyslu termínu pouze tehdy, když je taková definice spárována s odpovídající intuice, tj. s jedinečným a okamžitě zjevným znázorněním trojstranné postavy. Kant argumentuje, že když člověk vytvoří trojúhelník za účelem provedení pomocných konstruktivních kroků nezbytných pro geometrický důkaz, dělá se to a priori, ať už je trojúhelník vyroben na papíře nebo pouze ve fantazii. Je tomu tak proto, že ani v jednom případě si vypůjčený objekt nepůjčí svůj vzor z jakékoli zkušenosti (A713 / B741). Navíc,člověk může odvodit univerzální pravdy o všech trojúhelnících z takového jedinečného zobrazení jednotlivého trojúhelníku, protože konkrétní určení zobrazeného objektu, např. velikost jeho stran a úhlů, jsou „zcela lhostejní“ke schopnosti vykresleného trojúhelníku vystavovat obecný koncept (A714 / B742). Kantův účet tedy musí být hájen proti všeobecně zastávané pozici, že univerzální pravdy nelze odvodit z uvažování, které závisí na konkrétních reprezentacích. (Podobně méně než dokonale rovné strany empiricky vykresleného trojúhelníku jsou rovněž „lhostejné“, takže taková empirická intuice je považována za přiměřenou pro geometrický důkaz. To vyvolává otázky, jak si lze být jisti, že intuice adekvátně zobrazuje obsah koncept, vztah mezi čistou a empirickou intuicí azejména které z intuitivně zobrazovaných funkcí lze bezpečně ignorovat (Friedman 2010, Friedman 2012).)

Nakonec Kant tvrdí, že je to „pouze pojem veličin“(veličiny), který může být konstruován v čisté intuici, protože „vlastnosti nelze projevit v nic jiného než empirickém intuici“(A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a).. To vede k zásadnímu rozlišení mezi matematickým a filosofickým poznáním: zatímco filosofické poznání je omezeno na výsledky abstraktní koncepční analýzy, matematické poznání je výsledkem „řetězce závěrů, který je vždy veden intuicí“, tj. konkrétní znázornění jeho objektů (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kantovy kmeny poněkud vysvětlují, jak matematik konstruuje aritmetické a algebraické velikosti, které se liší od prostorových postav, které jsou předmětem geometrického uvažování. Rozlišuje mezi „ostenzivní“a „symbolickou“konstrukcí a identifikuje ostenzivní konstrukci s geometrovou praxí zobrazování nebo zobrazování prostorových postav, zatímco symbolická konstrukce koreluje s aktem zřetězení aritmetických nebo algebraických symbolů (jako když například „jeden“velikost se dělí jinou, [matematika] umisťuje své symboly dohromady podle formy zápisu pro dělení… “) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] umísťuje své symboly dohromady podle formy zápisu pro rozdělení… “) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matematika] umísťuje své symboly dohromady podle formy zápisu pro rozdělení… “) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).

Kant dále tvrdí, že čistý koncept velikosti je vhodný pro konstrukci, protože na rozdíl od jiných čistých konceptů nepředstavuje syntézu možných intuicí, ale „již obsahuje čistou intuici jako takový“. Ale protože jedinými kandidáty na takové „čisté intuice“jsou prostor a čas („pouhá forma vzhledu“), vyplývá z toho, že pouze prostorové a časové velikosti mohou být vystaveny v čisté intuici, tj. Konstruované. Takové prostorové a časové veličiny mohou být kvalitativně zobrazeny zobrazením tvarů věcí, např. Obdélníkového rozsahu oken okna, nebo mohou být vystaveny pouze kvantitativně zobrazením počtu částí věcí, např. Počtu tabulí. které okno obsahuje. V obou případech se to, co je zobrazeno, počítá jako čistá a „formální intuice“,inspekce, která vynáší soudy, které „přesahují“obsah původního konceptu, se kterým byla intuice spojena. Takové soudy jsou paradigmaticky syntetické a priori soudy (budou podrobněji rozebírány níže), protože se jedná o zesilovací pravdy, které jsou zaručeny nezávisle na zkušenosti (Shabel 2006).

Kant argumentuje, že matematické uvažování nemůže být použito mimo doménu matematiky vlastní pro takové uvažování, jak tomu chápe, je nutně zaměřen na objekty, které jsou „determinantně dány v čisté intuici a priori a bez jakýchkoli empirických dat“(A724 / B752). Vzhledem k tomu, že lze takto zadat pouze formální matematické objekty (tj. Prostorové a časové velikosti), je matematické uvažování zbytečné s ohledem na obsahově daný obsah (i když pravdy, které vyplývají z matematického uvažování o formálních matematických objektech, se na takový materiální obsah, který je říci, že matematika je a priori pravdivá. “V důsledku toho„ důkladné zakotvení “, které matematika nachází ve svých definicích, axiómech a demonstracích, nelze„ dosáhnout nebo napodobit “filozofií nebo fyzickými vědami (A727 / B755).

Zatímco Kantovu teorii konstrukce matematického konceptu lze považovat za poskytnutí vysvětlení matematické praxe, jak to Kant chápal ^[2], teorie je propojena s Kantovými širšími závazky k přísnému rozlišování mezi intuicemi a pojmy, jako režimy reprezentace; mezi mentálními schopnostmi citlivosti a porozumění; mezi syntetickými a analytickými úsudky; a mezi a priori a a posteriori důkazy a zdůvodnění. V konečném důsledku obraz matematiky vyvinutý v Disciplíně čistého rozumu v dogmatickém použití závisí na plné teorii úsudku, kterou má Kritika za cíl poskytnout, a zásadně na teorii citlivosti, kterou Kant nabízí v Transcendentální estetice (Parsons 1992, Carson 1997).), jakož i v odpovídajících pasážích v Prolegomenské hlavní transcendentní otázce, první část, kde zkoumá „původ“čistě rozumných pojmů matematiky a „rozsah jejich platnosti“(A725 / B753).^[3]

2.2 Kantova odpověď na jeho otázku „Jak je možná čistá matematika?“

Kant se ptá dvou souvisejících hlavních otázek své kritické filosofie: (1) Jak jsou syntetické úsudky a priori možné ?; a (2) Jak je možné metafyziku jako věda (B19; B23)? Matematika poskytuje zvláštní způsob, jak pomoci odpovědět na tyto otázky tím, že poskytuje model kodifikované vědecké disciplíny, jejíž možnost je jasná a navíc zaručena vlastním dosažením poznání, které je syntetické a a priori. Jinými slovy, vysvětlení toho, jak jsou syntetické a priori soudy potvrzovány v matematických kontextech, spolu s výsledným a souvisejícím vysvětlením toho, jak systematické tělo prokazatelných znalostí takové úsudky zahrnuje, umožňuje matematické pravdě, aby byla vyvolána jako paradigma hmotného nezbytné a univerzální pravdy, kterých metafyzika doufá. Kant 'Teorii konstrukce matematického konceptu (diskutovanou výše) lze plně ocenit pouze ve spojení s jeho zpracováním takových širších otázek o samotné povaze a možnosti matematických a metafyzických znalostí.

V preambuli Prolegomeny k jakékoli budoucí metafyzice i v B-úvodu k Kritice čistého důvodu zavádí Kant analytické / syntetické rozlišení, které rozlišuje mezi rozsudky, jejichž predikáty patří nebo jsou obsaženy v předmětové koncepci, a rozsudky jejichž predikáty jsou spojeny, ale jdou nad rámec pojetí předmětu. V každém textu následuje svou prezentaci tohoto rozdílu diskusí o jeho tvrzení, že všechny matematické úsudky jsou syntetické a a priori. ^[4]Tam nejprve tvrdí, že „řádně matematické soudy jsou vždy a priori soudy“z toho důvodu, že jsou nezbytné, a nelze je tedy odvodit ze zkušenosti (B14). Následuje to vysvětlením toho, jak mohou být takové ne empirické úsudky syntetické, to znamená, jak mohou sloužit k syntéze pojmu subjektu a predikátového konceptu, spíše než pouze vysvětlit nebo analyzovat koncept předmětu do jeho logických částí, které ho tvoří. Zde se skvěle odvolává na výrok „7 + 5 = 12“a argumentuje negativně a prohlašuje, že „bez ohledu na to, jak dlouho analyzuji svůj koncept takového možného součtu [sedmi a pěti], stále v něm nenajdu dvanáct“, a také pozitivně, prohlašovat, že “jeden musí jít za tyto pojmy [sedm a pět], hledat pomoc v intuici, která odpovídá jednomu dva, jeden je pět prstů,řekněte… a jeden po druhém přidejte jednotky pěti daných v intuici k konceptu sedmi… a tak vidíte, že vznikne číslo 12 “(B15). Z toho vyplývá, že potřebnou pravdu aritmetického tvrzení, jako je „7 + 5 = 12“, nelze zjistit žádnou metodou logické nebo koncepční analýzy (Anderson 2004), ale lze ji zjistit intuitivní syntézou (Parsons 1969). Následuje diskusi o aritmetickém uvažování a pravdě s odpovídajícími tvrzeními o euklidovské geometrii, podle nichž principy geometrie vyjadřují syntetické vztahy mezi pojmy (jako například mezi konceptem přímky mezi dvěma body a konceptem nejkratší linie mezi těmito pojmy) stejné dva body), z nichž žádný nemůže být analyticky „extrahován“z druhého. Principy geometrie tedy vyjadřují vztahy mezi základními geometrickými pojmy, protože je lze „vystavit v intuici“(Shabel 2003, Sutherland 2005a).

Jinde Kant také zahrnuje geometrické věty jako druhy výroků (kromě geometrických principů), které se počítají jako syntetické (Friedman 1992, Friedman 2010). Ale Kantův popis syntetičnosti těchto vět není transparentní. Poté, co popřel, že by tyto principy (Grundsätze) mohly být analyticky poznávány z principu rozporu, připouští, že matematické odvozování druhu potřebné pro stanovení geometrických vět je postupováno „v souladu se zásadou rozporu“a také „syntetickou tvrzení“lze ovšem pochopit v souladu se zásadou rozporu “, i když„ pouze pokud se předpokládá jiný syntetický výrok, ze kterého lze odvodit, nikdy sám o sobě “(B14). Je jasné, že všechny matematické úsudky, včetně geometrických vět,jsou syntetické, on je méně jasný o tom, co přesně znamená pro takové výroky nebo závěry, které je podporují, aby „souhlasily“se zásadou rozporu, odvozitelnost, z níž považuje za vzorový test analytičnosti. To vede k interpretační neshodě o tom, zda prokazatelné matematické úsudky vyplývají ze syntetických principů prostřednictvím striktně logických nebo koncepčních inferencí - a tedy striktně v souladu pouze se zásadou rozporu - nebo zda jsou odvozovány prostřednictvím inferencí, které se samy spoléhají na intuici, ale které neporušují zákon rozporu. Existuje tedy neshoda v tom, zda se Kant zavazuje pouze k syntéze axiomů matematiky (které přenášejí syntézu na prokazatelné věty pomocí logické inference),nebo je také odhodlána syntetizovat samotný matematický závěr. Bývalá interpretační pozice je spojena s Ernstem Cassirerem a Lewisem Whiteem Beckem; druhá pozice s Bertrandem Russellem (příchod Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) pojímá obě takové pozice „evidenční“, což je jeho označení pro jakoukoli interpretaci, podle níž intuice poskytují nepostradatelný důkaz pravdy matematiky, ať už je tento důkaz poskytován na podporu axiomů nebo inferencí, nebo obojí. Podle své alternativní „objektivistické“pozice, intuice neposkytují důkazy, ale jsou to spíše sémantická vozidla jedinečného odkazu a „objektivní reality“(Brittan 2006).druhá pozice s Bertrandem Russellem (příchod Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) pojímá obě takové pozice „evidenční“, což je jeho označení pro jakoukoli interpretaci, podle níž intuice poskytují nepostradatelný důkaz pravdy matematiky, ať už je tento důkaz poskytován na podporu axiomů nebo inferencí, nebo obojí. Podle své alternativní „objektivistické“pozice, intuice neposkytují důkazy, ale jsou to spíše sémantická vozidla jedinečného odkazu a „objektivní reality“(Brittan 2006).druhá pozice s Bertrandem Russellem (příchod Hogana). Gordon Brittan (Brittan 2006) pojímá obě takové pozice „evidenční“, což je jeho označení pro jakoukoli interpretaci, podle níž intuice poskytují nepostradatelný důkaz pravdy matematiky, ať už je tento důkaz poskytován na podporu axiomů nebo inferencí, nebo obojí. Podle své alternativní „objektivistické“pozice, intuice neposkytují důkazy, ale jsou to spíše sémantická vozidla jedinečného odkazu a „objektivní reality“(Brittan 2006). Podle své alternativní „objektivistické“pozice, intuice neposkytují důkazy, ale jsou to spíše sémantická vozidla jedinečného odkazu a „objektivní reality“(Brittan 2006). Podle své alternativní „objektivistické“pozice, intuice neposkytují důkazy, ale jsou to spíše sémantická vozidla jedinečného odkazu a „objektivní reality“(Brittan 2006).

Pozornost na tuto interpretační otázku v Kantově filozofii matematiky je nezbytná pro světlo, které vrhá na obecnější otázku, co umožňuje syntetické a priori poznávání možné, ústřední otázku Kantovy kritiky čistého důvodu. Pokud jde o tuto obecnější otázku, je důležité rozlišovat Kantovo použití termínů „analytický“a „syntetický“, aby se vyznačilo logicko-sémantické rozlišení mezi typy úsudků - které Kant používá k obraně rozlišovací teze, že matematické poznání je syntetické a priori - od použití stejných termínů k označení tradičního matematického rozlišení mezi analytickými a syntetickými metodami (Beaney 2012). Zavádí toto rozlišení, aby identifikoval dvě odlišné argumentační strategie pro zodpovězení otázky „možnosti čisté matematiky.„Analytická metoda je charakterizována úvahou, která sleduje dané tělo poznání, jako je matematika, k jeho původu nebo zdrojům v mysli. Naproti tomu syntetická metoda má za cíl odvodit skutečné poznání přímo z takových původních kognitivních zdrojů, jejichž zdroje nebo síly jsou nejprve vysvětleny nezávisle na jakémkoli konkrétním těle poznání (včetně matematiky), které by tyto síly mohly nakonec produkovat. Kant přijímá dřívější metodu ve své Prolegomeně, přičemž ze syntetické a a priori povahy matematického úsudku tvrdí, že prostor a čas jsou formy lidské citlivosti; on přijme druhou metodu v Kritice čistého důvodu, argumentovat, že formy lidské citlivosti, prostor a čas, poskytovat východisko od kterého odvodit syntetické a a priori matematické soudy (Shabel 2004). Tyto argumenty,spolu s podrobnostmi o jeho syntetické a a priori povaze veškerého matematického úsudku poskytují odpověď na otázku možnosti matematiky: praktiky, které přinášejí paradigmaticky syntetické a a priori úsudky z matematické vědy, jsou zakotveny v a vysvětleny samotnou povahou lidské citlivosti, a zejména prostorově-časovou formou všech (a pouze) předmětů lidské zkušenosti (Van Cleve 1999).časoprostorovou formou všech (a pouze) předmětů lidské zkušenosti (Van Cleve 1999).časoprostorovou formou všech (a pouze) předmětů lidské zkušenosti (Van Cleve 1999).

2.3 Kantova koncepce úlohy matematiky v transcendentálním idealismu

Kantova teorie matematické praxe se spojuje nejen s jeho teorií citlivosti (jak je popsáno výše), ale také s dalšími aspekty doktríny transcendentálního idealismu, jak je vyjádřena v Kantových kritických dílech.

V Transcendentální analytice odvozuje Kant tabulku dvanácti kategorií nebo čistě pojetí porozumění, z nichž prvních šest popisuje jako „matematické“(na rozdíl od „dynamických“) kategorií kvůli jejich zájmu o objekty intuice (B110).). Pojem číslo je považován za „náležející“do kategorie „spojenectví“nebo totality, což je samo o sobě výsledkem kombinace pojmů jednoty a plurality (Parsons 1984). Kant však dále tvrdí, že obtíže, které vyvstávají v reprezentaci nekonečností - v nichž jeden údajně představuje jednotu a pluralitu bez výsledného zobrazení čísla - odhalují, že pojem číslo musí vyžadovat zprostředkování „zvláštního aktu porozumění“(B111).(Tento zvláštní akt je pravděpodobně syntézou, kterou Kant popisuje jako funkci imaginace a porozumění, a kterou má vysvětlit celé teorii úsudku - včetně transcendentální dedukce a schématu (Longuenesse 1998).) Takže, ačkoli on také prohlašuje, že aritmetika “tvoří jeho pojetí čísel přes postupné sčítání jednotek v čase” (4: 283), to je klamné vyvozovat, že aritmetika je k času jako geometrie je k prostoru, protože formální intuice času je nedostatečné vysvětlit obecnou a abstraktní vědu čísla.ačkoli on také prohlašuje, že aritmetika “tvoří jeho pojetí čísel přes postupné sčítání jednotek v čase” (4: 283), to je klamné vyvozovat, že aritmetika je k času jako geometrie je k prostoru, protože formální intuice času je nedostatečná vysvětlit obecnou a abstraktní vědu čísla.ačkoli on také prohlašuje, že aritmetika “tvoří jeho pojetí čísel přes postupné sčítání jednotek v čase” (4: 283), to je klamné vyvozovat, že aritmetika je k času jako geometrie je k prostoru, protože formální intuice času je nedostatečná vysvětlit obecnou a abstraktní vědu čísla.^[5] (Ve skutečnosti Kant prohlašuje, že mechanika je matematická věda, která je na čase, jaká geometrie je ve vesmíru.)

Ve schématu se Kant zavazuje identifikovat konkrétní mechanismus, který čistým konceptům porozumění umožní převzít rozumné intuice, s nimiž jsou heterogenní. Kategorie musí být „schématizovány“, protože jejich ne empirický původ v čistém porozumění brání tomu, aby měl takový druh citlivého obsahu, který by je okamžitě spojil s předměty zážitku; transcendentální schémata zprostředkovávají reprezentace, jejichž cílem je navázat spojení mezi čistými koncepty a vnějšími projevy způsobem řízeným pravidly. V této souvislosti se diskutuje o matematických pojmech, protože jsou jedinečné v tom, že jsou čisté, ale také rozumné: jsou čisté, protože jsou původem striktně a priori, a přesto jsou rozumné, protože jsou konstruovány v betonu.(Kant dále komplikuje tento problém tím, že identifikuje číslo jako čisté schéma kategorie velikosti (Longuenesse 1998).) Vyvolává se interpretační otázka, zda matematické pojmy, jejichž koncepční obsah je dán rozumně, vyžadují schematizaci rozlišitelnou „třetí věcí““, A pokud ano, co to znamená (Young 1984). Obecněji vyvstává otázka, jak transcendentální představivost, fakulta odpovědná za schéma, funguje v matematických kontextech (Domski 2010).vyvstává otázka, jak transcendentální představivost, fakulta odpovědná za schéma, funguje v matematických kontextech (Domski 2010).vyvstává otázka, jak transcendentální představivost, fakulta odpovědná za schéma, funguje v matematických kontextech (Domski 2010).

Konečně, v Analytic of Principles, Kant odvozuje syntetické úsudky, které „plynou a priori z čistých konceptů porozumění“a které zakládají všechny ostatní a priori kognice, včetně matematických (A136 / B175). Principy čistého porozumění, které jsou spojeny s kategoriemi kvantity (tj. Jednota, pluralita a totalita), jsou Axiomy Intuice. Zatímco vlastní matematické principy jsou „čerpány pouze z intuice“, a proto netvoří žádnou část systému principů čistého porozumění, musí být vysvětlení možnosti takových matematických principů (nastíněné výše) doplněno o účet nejvyšší možné transcendentální principy (A148–9 / B188–9). V souladu s tím Axioms of Intuition poskytují meta-princip, nebo princip matematických principů kvantity,konkrétně „Všechny intuice jsou rozsáhlé velikosti“(A161 / B202). Většina komentátorů zde interpretuje Kant, aby naznačoval, proč se na zdání vztahují principy matematiky, které mají co do činění s čistým prostorem a časem: vystoupení lze reprezentovat pouze „stejnou syntézou, jakou skrze který prostor a čas obecně jsou stanoveny “(A161 / B202). Všechny intuice, ať už čisté nebo empirické, jsou tedy „rozsáhlými veličinami“, které se řídí zásadami matematiky. Daniel Sutherland, který vyjadřuje alternativní pohled, považuje Axioms of Intuition za „nejen použitelnost matematiky, ale také možnost jakéhokoli matematického poznání, ať už čistého nebo aplikovaného, obecného nebo specifického“, a tak, že má širší význam, než byl oceněn (Sutherland 2005b).

(Je také pozoruhodné, že klíčové pasáže v Kritice moci rozhodování se zabývají matematikou a „matematickým vznešením“(Breitenbach 2015). Viz zejména [5: 248ff].)

3. Komentář a interpretační debata

Kantovo pojetí matematiky debatovali jeho současníci; ovlivnil a vyprovokoval Frege, Russell a Husserl; a poskytl inspiraci pro Brouwerian Intuitionism. Jeho pojetí matematiky bylo omlazeno jako hodné blízké historické studie monografií Arithmetik und Kombinatoric bei Kant Gottfrieda Martina z roku 1938 (Martin 1985). Přes velmi odlišné postoje, které současní komentátoři rozvíjejí, jak nejlépe porozumět Kantovu myšlenku, jsou široce sjednoceni v opozici proti dlouhodobému příběhu (možná původně podporovaný Bertrandem Russellem v jeho Principy matematiky a Rudolfem Carnapem v jeho Filozofických základech fyzika), podle kterého vývoj moderní logiky v 19 ^th a 20 ^thstoletí, objev neeuklidovských geometrií a formalizace matematiky činí Kantovu teorii matematiky založenou na intuici a související filozofické závazky zastaralé nebo irelevantní. Současní komentátoři se snaží rekonstruovat Kantovu filozofii matematiky z výhod Kantova vlastního historického kontextu a také identifikovat prvky Kantovy filozofie matematiky, které mají věčný filozofický zájem.

V nedávné době bylo stipendium na Kantově filozofii matematiky nejsilněji ovlivněno trvající debatou mezi Jaakkem Hintikkou a Charlesem Parsonsem o tom, co se stalo známým jako „logická“a „fenomenologická“interpretace Kant; autorskou knihou Michaela Friedmana, Kant a Exact Sciences (Friedman 1992), jakož i jeho nyní klasické články „Kantova teorie geometrie“a „Geometrie, konstrukce a intuice v Kantovi a jeho nástupcích“(Friedman 1985, 2000); a články shromážděné v svazku Carla Posyho Kantova filozofie matematiky (který zahrnuje příspěvky Hintikky, Parsonse a Friedmana, jakož i Stephena Barkera, Gordona Brittana, Williama Harpera, Philipa Kitchera, Arthura Melnicka, Carla Posyho, Manleyho Thompsona a J. Michael Young,všechny byly zveřejněny před více než dvaceti lety (Posy 1992).)^[6] Nové generace vědců přispívají k živé, plodné a pokračující diskusi o interpretaci a odkazu Kantovy filozofie matematiky, která vznikla v této literatuře.

Interpretační debata o tom, jak pochopit Kantův pohled na roli intuice v matematickém uvažování, měla nejsilnější vliv na tvar stipendia v Kantově filozofii matematiky; tato debata přímo souvisí s otázkou (popsanou výše) syntetity matematických axiomů, vět a inferencí. Ve své obecné diskusi o mentální reprezentaci Kant naznačuje, že bezprostřednost a singularita jsou obě kritéria nekonceptuální, intuitivní reprezentace, druh reprezentace, který je základem syntetického úsudku. V řadě článků Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) tvrdil, že syntetičnost matematických úsudků závisí na tom, že matematické intuice jsou v podstatě okamžité, a on bezprostředně vysvětluje bezprostřednost takových reprezentací jako přímou,fenomenologická přítomnost v mysli. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), rozvíjející myšlenku z dřívější práce EW Beth, počítá s tím, že syntetičnost matematických úsudků závisí pouze na jedinečnosti jejich intuitivních složek. Hintikka přizpůsobuje matematické intuice jednotlivým termínům nebo podrobnostem a vysvětluje použití intuice v matematickém kontextu analogicky logickému posunu existenciální instance. Tyto dvě pozice se staly známé jako „fenomenologické“a „logické“interpretace. Hintikka přizpůsobuje matematické intuice jednotlivým termínům nebo podrobnostem a vysvětluje použití intuice v matematickém kontextu analogicky logickému posunu existenciální instance. Tyto dvě pozice se staly známé jako „fenomenologické“a „logické“interpretace. Hintikka přizpůsobuje matematické intuice jednotlivým termínům nebo podrobnostem a vysvětluje použití intuice v matematickém kontextu analogicky logickému posunu existenciální instance. Tyto dvě pozice se staly známé jako „fenomenologické“a „logické“interpretace.

Původní postavení Michaela Friedmana (Friedman 1985, 1992) s ohledem na roli intuice v matematickém uvažování sestupuje od Beth a Hintikky, i když je podstatně odlišná od jejich a byla upravena v jeho posledních spisech. V jeho Kant a Exact Sciences (Friedman 1992), Friedman zastává názor, že naše moderní pojetí logiky by mělo být použito jako nástroj pro interpretaci (spíše než kritizovat) Kant, poznamenat, že explicitní reprezentace nekonečna matematických objektů, které může být generována polyadickou logikou moderní kvantifikační teorie, která je koncepčně nedostupná pro matematika a logika Kantova času. V důsledku nedostatečnosti monadické logiky představující nekonečno objektů,matematik osmnáctého století se spoléhá na intuici, aby poskytl reprezentace nezbytné pro matematické uvažování. Friedman vysvětluje podrobnosti Kantovy filozofie matematiky na základě tohoto historického vhledu.

Friedman změnil své původní postavení v reakci na kritiku od Emily Carsonové (Carson 1997), která vyvinula interpretaci Kantovy teorie geometrie, která je Parsonsianem ve svém antiformalistickém důrazu na epistemologickou a fenomenologickou nad logickou úlohou intuice v matematice.. V nedávné práci (Friedman 2000, 2010) Friedman argumentuje, že intuice, že geometrie základu je v zásadě kinematická, a nejlépe ji lze vysvětlit překlady a rotacemi, které popisují konstruktivní působení euklidovského geometru a vnímavý pohled na obyčejné, prostorově orientovaný pozorovatel. Tento nový účet poskytuje syntézu mezi logickými a fenomenologickými interpretačními účty,ve velké části spojením geometrického prostoru, který je prozkoumáván imaginací prostřednictvím euklidovských konstrukcí, s perspektivním prostorem, který je podle Kantovy formy veškeré vnější citlivosti. Přesněji řečeno, sladí logiku s fenomenologií „[vložením] čistě logického chápání geometrických konstrukcí (jako Skolemových funkcí) v prostoru jako čisté formy naší vnější citlivé intuice (jak je popsáno v Transcendentální estetice)“(Friedman 2012), č. 17).sladí logiku s fenomenologií „[vložením] čistě logického chápání geometrických konstrukcí (jako Skolemových funkcí) v prostoru jako čisté formy naší vnější citlivé intuice (jak je popsáno v Transcendentální estetice)“(Friedman 2012, n. 17).sladí logiku s fenomenologií „[vložením] čistě logického chápání geometrických konstrukcí (jako Skolemových funkcí) v prostoru jako čisté formy naší vnější citlivé intuice (jak je popsáno v Transcendentální estetice)“(Friedman 2012, n. 17).

Bibliografie

Odkazy na Kantovy texty navazují na stránkování edice Akademie (Gesammelte Schriften, Akademie der Wissenschaften (ed.), Berlín: Reimer / DeGruyter, 1910 a další). Odkazy na Kritiku čistého důvodu využívají obvyklou konvenci A / B. Překlady jsou z Cambridge Edition of Works of Immanuel Kant.

• Anderson, RL, 2004: „Konec konců: Kantova filosofie aritmetiky ve světle tradiční logiky“, filosofie a fenomenologický výzkum, 69 (3): 501–540.
• Barker, S., 1992, „Kantův pohled na geometrii: částečná obrana“, v Posy 1992, s. 221–244.
• Breitenbach, A., 2015, „Beauty in Proofs: Kant on Estetics in Mathematics“, European Journal of Philosophy, 23: 955–977; poprvé zveřejněno online 2013, doi: 10.1111 / ejop.12021
• Brittan, G., 1992, „Algebra and Intuition“v Posy 1992, s. 315–340.
• ––– 2006, „Kantova filozofie matematiky“v G. Bird (ed.), Společník s Kantem, Malden, MA: Blackwell, s. 222–235.
• Buroker, JV, 1981, Space and Incongruence: Původ Kantova idealismu, Dordrecht: D. Reidel.
• Butts, R., 1981, „Pravidla, příklady a konstrukce Kantova teorie matematiky“, Synthese, 47 (2): 257–288.
• Carson, E., 1997, „Kant on Intuition in Geometry“, Canadian Journal of Philosophy, 27 (4): 489–512.
• –––, 1999, „Kant on the Mathematics Method“, Journal of the History of Philosophy, 37 (4): 629–652.
• –––, 2002, „Lockeho účet určitých a poučných znalostí“, British Journal for History of Philosophy, 10 (3): 359–378.
• –––, 2004, „Metafyzika, matematika a rozlišení mezi rozumnými a nesrozumitelnými v Kantově inaugurační disertační práci“, Journal of the History of Philosophy, 42 (2): 165–194.
• Domski, M., 2010, „Kant o představivosti a geometrické jistotě“, Perspektivy vědy, 18 (4): 409–431.
• ––– 2012, „Kant a Newton o prioritě nezbytnosti geometrie“, studium dějin a filozofie vědy (část A), 44 (3): 438–447.
• Domski, M. a Dickson, M. (eds.), 2010, Diskuse o nové metodě: Oživení manželství historie a filozofie vědy, Chicago: Publikování otevřeného soudu.
• Dunlop, K., 2012, „Kant a Strawson o obsahu geometrických koncepcí“, Noûs, 46 (1): 86–126.
• Friedman, M., 1985, „Kantova teorie geometrie“, The Philosophical Review, 94 (4): 455–506.
• –––, 1992, Kant a Exact Sciences, Cambridge: Harvard University Press.
• –––, 2000, „Geometrie, konstrukce a intuice v Kant a jeho nástupci“, v G. Scher a R. Tieszen (ed.), Mezi logikou a intuicí: Eseje na počest Charlese Parsonse, Cambridge: Cambridge University Press, str. 186–218.
• –––, 2010, „Syntetická historie přehodnocena“, v Domski a Dickson 2010, s. 573–813.
• –––, 2012, „Kant on Geometry and Spatial Intuition“, Synthese, 186: 231–255.
• Guyer, P. (ed.), 1992, The Cambridge Companion to Kant, Cambridge: Cambridge University Press.
• Guyer, P. (ed.), 2006, The Cambridge Companion to Kant and Modern Philosophy, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hagar, A., 2008, „Kantova a neeuklidovská geometrie“, Kant-Studien, 99 (1): 80–98.
• Hanna, R., 2002, „Matematika pro lidi: Kantova filozofie aritmetických revitalizací“, European Journal of Philosophy, 10 (3): 328–352.
• Harper, W., 1984, „Kant on Space, empirický realismus a základy geometrie“, Topoi, 3 (2): 143–161. [Přetištěno v Posy 1992.]
• Hatfield, G., 2006, „Kant o vnímání vesmíru (a času)“, Guyer 2006, s. 61–93.
• Heis, J., přichází, „Kant on Parallel Lines“, v Posy a Rechter, přichází.
• Hintikka, J., 1965, „Kantova„ nová metoda myšlení “a jeho teorie matematiky“, Ajatus, 27: 37–47.
• –––, 1967, „Kant o matematické metodě“, The Monist, 51 (3): 352–375. [Přetištěno v Posy 1992]
• –––, 1969, „Kantův pojem Intuice (Anschauung)“, v T. Penelhum a JJ MacIntosh (ed.), The First Critique, Belmont, CA: Wadsworth Publishing.
• –––, 1984, „Kantova transcendentální metoda a jeho teorie matematiky“, Topoi, 3 (2): 99–108. [Přetištěno v Posy 1992]
• Hogan, D., připravovaný, „Kant a charakter matematického odvozování“, v příštím Posy a Rechter.
• Horstmann, RP, 1976, „Space as Intuition and Geometry“, Ratio, 18: 17–30.
• Jauernig, A., 2013, „Syntetická povaha geometrie a role konstrukce v intuici“, v S. Bacin, A. Ferrarin, C. La Rocca a M. Ruffing (ed.), Akten des XI. Internationalen Kant Kongresses 2010, Berlín / New York: Walter de Gruyter.
• Kim, J., 2006, „Koncepce a intuice v Kantově filozofii geometrie“, Kant-Studien, 97 (2): 138–162.
• Kitcher, P., 1975, „Kant a základy matematiky“, The Philosophical Review, 84 (1): 23–50. [Přetištěno v Posy 1992]
• Laywine, A., 1993, Kantova raná metafyzika a původy kritické filosofie, Atascadero, CA: Ridgeview.
• ––– 2010, „Kant a Lambert o geometrických postulátech v reformě metafyziky“, v Domski a Dickson 2010, s. 113–133.
• Longuenesse, B., 1998, Kant a Schopnost soudce. Princeton: Princeton University Press.
• Martin, G., 1985, Aritmetika a kombinatorika: Kant a jeho současníci, J. Wubnig (trans.), Carbondale a Edwardsville: Southern Illinois University Press.
• Melnick, A., 1984, „Geometrie formy intuice“, Topoi, 3 (2): 163–168. [Přetištěno v Posy 1992]
• Parsons, C., 1964, „Nekonečno a Kantova koncepce„ možnosti zkušenosti ““, The Philosophical Review, 73 (2): 182–197. [Přetištěno v Parsons 1983]
• –––, 1969, „Kantova filozofie aritmetiky“, v S. Morgenbesser, P. Suppes a M. White (ed.), Filozofie, věda a metoda: Eseje na počest Ernesta Nagela, New York: St. Martin's Lis. [Přetištěno v Parsons 1983 a Posy 1992]
• –––, 1983, Matematika ve filosofii: Vybrané statě. Ithaca: Cornell University Press.
• –––, 1984, „Aritmetika a kategorie“, Topoi, 3 (2): 109–121. [Přetištěno v Posy 1992.]
• –––, 1992, „Transcendentální estetika“, v Guyer 1992, s. 62–100.
• ––– 2010, „Dvě studie v recepci Kantovy filozofie aritmetiky“, v Domski a Dickson 2010, s. 135–153.
• ––– 2012, Od Kant do Husserla: Vybrané eseje, Cambridge: Harvard University Press.
• Posy, C., 1984, „Kantův matematický realismus“, The Monist, 67: 115–134. [Přetištěno v Posy 1992.]
• ––– (ed.), 1992, Kantova filozofie matematiky: Moderní eseje, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
• ––– 2008, „Intuice a nekonečno: Kantianovo téma s ozvěnami v základech matematiky“, Dodatek Královského institutu filozofie, 63: 165–193.
• Posy, C. a Rechter, O. (eds.), Nastávající, Kantova filozofie matematiky, 2 svazky, Cambridge: Cambridge University Press.
• Rechter, O., 2006, „Pohled z roku 1763: Kant na aritmetickou metodu před intuicí“, v E. Carson a R. Huber (ed.), Intuice a axiomatická metoda, Dordrecht: Springer.
• Risjord, M., 1990, „Sensible Foundation for Mathematics: A Defense of Kant's view“, Study in History and Philosophy of Science, 21 (1): 123–143.
• Rusnock, P., 2004, „Byla Kantova filozofie matematiky správná pro jeho čas?“, Kant-Studien, 95 (4): 426–442.
• Schönfeld, M., 2000, Filozofie Young Kant: Precritical Project, New York: Oxford University Press.
• Shabel, L., 1998, „Kant o„ symbolické konstrukci “matematických koncepcí“, studium dějin a filozofie vědy, 29 (4): 589–621.
• –––, 2003, Matematika v Kantově kritické filozofii: Úvahy o matematické praxi, New York: Routledge.
• –––, 2004, „Kantův„ argument z geometrie ““, Journal of History of Philosophy 42 (2): 195–215.
• ––– 2006, „Kantova filozofie matematiky“, Guyer 2006, s. 94–128.
• Strawson, PF, 1966, The Bounds of Sense, London: Methuen, část pět.
• Sutherland, D., 2004a, „Kantova filozofie matematiky a řecká matematická tradice“, The Philosophical Review, 113 (2): 157–201.
• –––, 2004b, „Úloha velikosti v Kantově kritické filozofii“, Canadian Journal of Philosophy, 34 (3): 411–441.
• –––, 2005a, „Kant o základních geometrických vztazích“, Archiv für Geschichte der Philosophie, 87 (2): 117–158.
• –––, 2005b, „Point of Kant's Axioms of Intuition“, Pacific Philosophical Quarterly, 86 (1): 135–159.
• ––– 2006, „Kant o aritmetice, algebře a teorii proporcí“, Journal of the History of Philosophy, 44 (4): 533–558.
• ––– 2010, „Filozofie, geometrie a logika v Leibniz, Wolff a Early Kant“, v Domski a Dickson 2010, s. 155–192.
• Thompson, M., 1972, „Singular Terms and Intuitions in Kant's Epistemology“, Review of Metafyzics, 26 (2): 314–343. [Přetištěno v Posy 1992]
• van Cleve, J. a Frederick, R. (eds.), 1991, Filozofie pravice a zleva: Neslučitelné protějšky a povaha prostoru, Dordrecht, Boston: Kluwer Academic Publishers.
• van Cleve, J., 1999, Problémy z Kant, Oxford: Oxford University Press.
• Young, JM, 1984, „Construction, Schematism and Imagination“, Topoi, 3 (2): 123–131. [Přetištěno v Posy 1992]

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Kant: Přehled vydání akademie, úplný popis Kant's Gesammelte Schriften.
• Kant na webu
• Severoamerická společnost Kant