Intuitionismus Ve Filosofii Matematiky

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Intuitionismus ve filosofii matematiky

První publikováno 4. září 2008; věcná revize Út 11. června 2019

Intuitionismus je filozofie matematiky, kterou představil nizozemský matematik LEJ Brouwer (1881–1966). Intuitionism je založen na myšlence, že matematika je vytvoření mysli. Pravda matematického prohlášení může být chápána pouze prostřednictvím mentální konstrukce, která prokazuje, že je to pravda, a komunikace mezi matematiky slouží pouze jako prostředek k vytvoření stejného mentálního procesu v různých myslích.

Tento pohled na matematiku má dalekosáhlé důsledky pro každodenní praxi matematiky, jedním z jejích důsledků je, že princip vyloučeného středu, ((A / vee / neg A)), již není platný. Opravdu existují výroky, jako je Riemannova hypotéza, pro které v současné době neexistuje ani důkaz prohlášení, ani jeho odmítnutí. Protože znát negaci tvrzení v intuicionismu znamená, že člověk může dokázat, že tvrzení není pravdivé, znamená to, že (A) i (neg A) nedrží intuicionisticky, alespoň ne v tuto chvíli. Závislost intuicionismu na čase je nezbytná: výroky se mohou v průběhu času prokázat, a proto se mohou stát intuicionisticky platnými, aniž by tomu tak bylo dříve.

Kromě odmítnutí principu vyloučeného středu se intuicionismus silně odchyluje od klasické matematiky v pojetí kontinua, které v dřívějším nastavení má tu vlastnost, že všechny úplné funkce na něm jsou spojité. Na rozdíl od několika jiných teorií konstruktivní matematiky tedy intuicionismus není omezením klasického uvažování; zásadním způsobem odporuje klasické matematice.

Brouwer věnoval velkou část svého života vývoji matematiky na tomto novém základě. Ačkoli intuicionismus nikdy nenahradil klasickou matematiku jako standardní pohled na matematiku, vždy přitahoval velkou pozornost a je stále široce studován dnes.

V tomto příspěvku se zaměřujeme na aspekty intuicionismu, které jej odlišují od ostatních odvětví konstruktivní matematiky, a na část, kterou sdílí s jinými formami konstruktivismu, jako jsou základní teorie a modely, se diskutuje jen stručně.

• 1. Brouwer

• 2. Intuitionism

  • 2.1 Dva akty intuicionismu
  • 2.2 Vytvářející subjekt

• 3. Matematika

  • 3.1 Interpretace BHK
  • 3.2 Intuitionistická logika
  • 3.3 Přirozená čísla
  • 3.4 Kontinuum
  • 3.5 Axiomy spojitosti
  • 3.6 Věta o baru
  • 3.7 Výběr axiomů
  • 3.8 Deskriptivní teorie množin, topologie a teorie toposů
• 4. Konstruktivismus

• 5. Meta-matematika

  • 5.1 Aritmetika
  • 5.2 Analýza
  • 5.3 Nepovolené sekvence
  • 5.4 Formalizace vytvářejícího se subjektu
  • 5.5 Základy a modely
  • 5.6 Reverzní matematika

• 6. Filozofie

  • 6.1 Fenomenologie
  • 6.2 Wittgenstein
  • 6.3 Dummett
  • 6.4 Finitismus
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer se narodil v holandském Overschie. Vystudoval matematiku a fyziku na univerzitě v Amsterdamu, kde získal doktorát v roce 1907. V roce 1909 se stal přednášejícím na téže univerzitě, kde byl jmenován řádným profesorem v roce 1912, na pozici, kterou zastával až do svého odchodu do důchodu v roce 1951. Brouwer byl skvělý matematik, který dělal průlomovou práci v topologii a stal se slavným již v mladém věku. Celý jeho život byl nezávislou myslí, která sledovala věci, v které věřila, s horlivou rázností, což ho přivedlo do konfliktu s mnoha kolegy, zejména s Davidem Hilbertem. Měl také obdivovatele a ve svém domě „chata“v Blaricum přivítal mnoho známých matematiků své doby. Ke konci svého života se stal izolovanějším, ale jeho víra v pravdu o jeho filozofii se nikdy neochvěla. Zemřel při dopravní nehodě ve věku 85 let v Blaricum, sedm let po smrti jeho manželky Lize Brouwerové.

Ve věku 24 let napsal Brouwer knihu Život, umění a mystika (Brouwer 1905), jejíž solipsistický obsah předznamenává jeho filozofii matematiky. Ve své disertační práci jsou základy intuicionismu formulovány poprvé, i když ještě ne pod tímto jménem a ne v jejich konečné podobě. V prvních letech po jeho disertační práci byla většina Brouwerova vědeckého života věnována topologii, oblasti, v níž je stále známý svou teorií dimenze a věty o fixním bodě. Tato práce je součástí klasické matematiky; podle Brouwerova pozdějšího pohledu jeho věta o pevném bodě nedrží, ačkoli analogové obsazení z hlediska aproximací lze prokázat podle jeho principů.

Od roku 1913 se Brouwer stále více věnoval vývoji myšlenek formulovaných ve své disertační práci do plné filozofie matematiky. Podle těchto principů nejen zdokonalil filozofii intuicionismu, ale také přepracoval matematiku, zejména teorii kontinua a teorii množin. Do té doby byl Brouwer slavným matematikem, který přednesl vlivné přednášky o intuicionismu na tehdejších vědeckých mekkách, mezi nimi Cambridge, Vídeň a Göttingen. Mnoho z nich považovalo jeho filozofii za nepříjemné, ale některé z nejslavnějších matematiků své doby považovali za vážnou alternativu klasického uvažování, i když měli na věc jiný názor. Kurt Gödel, který byl po celý život platonistou, byl jedním z nich. Hermann Weyl na jednom místě napsal: „Takže i oni také jetzt meinen eigenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an“(Weyl 1921, 56). A i když později v životě zřídkakdy praktikoval intuicionální matematiku, Weyl nikdy nepřestal obdivovat Brouwera a jeho intuicionální filozofii matematiky.

Život Brouwera byl zatížen konflikty, z nichž nejslavnější byl konflikt s Davidem Hilbertem, který nakonec vedl k Brouwerovu vyhnání z rady Mathematische Annalen. Tento konflikt byl součástí Grundlagenstreit, který otřásl matematickou společností na začátku 20. století a který se objevil v důsledku výskytu paradoxů a vysoce nekonstruktivních důkazů v matematice. Filozofové a matematici byli nuceni uznat nedostatek epistemologického a ontologického základu pro matematiku. Brouwerův intuicionismus je filozofie matematiky, jejímž cílem je poskytnout takový základ.

2. Intuitionism

2.1 Dva akty intuicionismu

Podle Brouwerovy matematiky je bezcitná tvorba mysli. Čas je jediným a priori pojmem, v kantianském smyslu. Brouwer rozlišuje dva akty intuicionismu:

První akt intuicionismu je:

Úplně oddělující matematiku od matematického jazyka, a tedy od jevů jazyka popsaných teoretickou logikou, uznávající, že intuicionistická matematika je v podstatě bezvýznamná činnost mysli, která má svůj původ ve vnímání pohybu času. Toto vnímání pohybu času lze popsat jako rozpad životního okamžiku na dvě odlišné věci, z nichž jedna ustupuje druhé, ale je uchována pamětí. Pokud se takto zrodená dvojice zbaví veškeré kvality, přechází do prázdné podoby společného substrátu všech dvojic. A právě toto společné substrát, tato prázdná forma, je základní intuicí matematiky. (Brouwer 1981, 4–5)

Jak bude diskutováno v části o matematice, první akt intuicionismu vede k přirozeným číslům, ale znamená přísné omezení zásad přípustného uvažování, zejména odmítnutí zásady vyloučeného středu. Vzhledem k odmítnutí tohoto principu a zániku logického základu pro kontinuum by se podle Brouwera mohlo „bát, že intuicionistická matematika musí být nutně chudá a anemická, a zejména by neměla místo pro analýzu“() Brouwer 1952, 142). Druhý akt však stanoví existenci kontinua, kontinua mající vlastnosti, které nesdílí jeho klasický protějšek. Zotavení kontinua spočívá na myšlence volby sekvence stanovené ve druhém aktu, tj. Na existenci nekonečných sekvencí generovaných svobodnou volbou,které proto nejsou předem stanoveny.

Druhým aktem intuicionismu je:

Přijetí dvou způsobů vytváření nových matematických entit: zaprvé ve tvaru více či méně volně postupujících nekonečných sekvencí matematických entit dříve získaných …; za druhé ve tvaru matematických druhů, tj. vlastností předpokládaných pro dříve získané matematické entity, splňující podmínku, že pokud platí pro určitou matematickou entitu, platí také pro všechny matematické entity, které byly definovány jako „stejné“s touto…. (Brouwer 1981, 8)

Dva akty intuicionismu tvoří základ Brouwerovy filozofie; od těchto dvou aktů sám Brouwer vytvoří říši intuicionistické matematiky, jak bude vysvětleno níže. Již z těchto základních principů lze vyvodit, že intuicionismus se liší od platonismu a formalismu, protože ani nepředpokládá matematickou realitu mimo nás, ani se nedomnívá, že matematika je hra se symboly podle určitých pevných pravidel. Podle Brouwera je jazyk používán pro výměnu matematických myšlenek, ale existence posledně jmenovaných je nezávislá na dřívějších. Rozdíl mezi intuicionismem a jinými konstruktivními pohledy na matematiku, podle kterých by matematické objekty a argumenty měly být vyčíslitelné, spočívá ve svobodě, kterou umožňuje druhý akt při konstrukci nekonečných sekvencí. Vskutku,jak bude vysvětleno níže, matematické důsledky druhého aktu intuicionismu odporují klasické matematice, a proto se nedrží ve většině konstruktivních teorií, protože se jedná o obecnou část klasické matematiky.

Brouwerův intuicionismus se tak liší od jiných filozofií matematiky; je založeno na vědomí času a přesvědčení, že matematika je stvořením svobodné mysli, a proto to není ani platonismus, ani formalismus. Je to forma konstruktivismu, ale pouze v širším smyslu, protože mnoho konstruktivistů nepřijímá všechny zásady, o nichž Brouwer věřil, že jsou pravdivé.

2.2 Vytvářející subjekt

Tyto dva akty intuicionismu samy o sobě nevylučují psychologickou interpretaci matematiky. Ačkoli Brouwer jen občas řešil tento bod, z jeho spisů je zřejmé, že intuiciismus považoval za nezávislý na psychologii. Brouwerovo zavedení Stvořitelského subjektu (Brouwer 1948) jako idealizované mysli, ve které se matematika odehrává již od abstraktních aspektů lidského uvažování, jako jsou omezení prostoru a času a možnost chybných argumentů. Intersubjektivita, která žádá o vysvětlení skutečnosti, že lidé jsou schopni komunikovat, tak přestává existovat, protože existuje pouze jeden Stvořitelský subjekt. V literatuře se pro vytváření předmětu používá také název Kreativní předmět, ale zde se používá Brouwerova terminologie. V (Niekus 2010),tvrdí se, že Brouwerův Vytvářející subjekt nezahrnuje idealizovaného matematika. Fenomenologická analýza Stvořitelského subjektu jako transcendentálního subjektu ve smyslu Husserla viz (van Atten 2007).

Brouwer použil argumenty, které se týkají Vytvářejícího subjektu, aby vytvořil protiklady k určitým intuicionálně nepřijatelným tvrzením. Tam, kde slabé protiklady, o nichž se bude diskutovat níže, pouze ukazují, že určitá tvrzení nemohou být v současnosti přijímána intuicisticky, dokazuje pojem idealizované mysli falešné určité klasické principy. Příklad je uveden v části 5.4 o formalizaci pojmu vytvářejícího se subjektu. Tam je také vysvětleno, že následující princip, známý jako Kripkeho schéma, lze prosazovat ve smyslu Stvořujícího subjektu:

) tag {({ bf KS})} existuje / alfa (A / leftrightarrow / existuje n \, / alfa (n) = 1).)

V KS se (A) rozprostírá přes vzorce a (alfa) rozsahy přes vybrané sekvence, což jsou sekvence přirozených čísel vytvořené Vytvářejícím subjektem, který si vybírá své prvky jeden po druhém. Výběrové sekvence a Kripkeho schéma jsou diskutovány dále v části 3.4.

Ve většině filosofií matematiky, například v platonismu, jsou matematická prohlášení bez napětí. V intuicionismu má pravda a falešnost časový aspekt; zavedená skutečnost tak zůstane, ale prohlášení, které se v určitém okamžiku prokáže, postrádá před tímto bodem skutečnou hodnotu. V uvedené formalizaci pojmu Stvořitelský subjekt, který nebyl formulován Brouwerem, ale teprve později jinými, je nápadně přítomen časový aspekt intuicionismu.

Vzhledem k tomu, že argumenty využívající pojem „Vytvářející subjekt“mohou být pro další chápání intuicionismu jako filozofie matematiky, byla jeho role ve vývoji pole méně vlivná než role dvou aktů intuicionismu, které přímo vedou k matematické pravdy Brouwer a ti, kteří ho následovali, byli ochotni přijmout.

3. Matematika

Ačkoli Brouwerův vývoj intuicionismu hrál důležitou roli v základní debatě mezi matematiky na počátku 20. století, dalekosáhlé důsledky jeho filozofie pro matematiku se projevily až po mnoha letech výzkumu. Dvě nejcharakterističtější vlastnosti intuicionismu jsou logické principy uvažování, které umožňuje v důkazech a úplné pojetí intuicionistického kontinua. Pouze pokud jde o posledně jmenovaný, intuicionismus se stává nesrovnatelným s klasickou matematikou. V tomto příspěvku se zaměřujeme na ty principy intuicionismu, které jej odlišují od jiných matematických disciplín, a proto se s jeho dalšími konstruktivními aspekty bude zacházet méně podrobně.

3.1 Interpretace BHK

V intuicionismu znamená vědět, že prohlášení A je pravdivé, znamená to mít důkaz. V roce 1934 Arend Heyting, který byl studentem Brouweru, představil formu toho, co se později stalo známým jako Brouwer-Heyting-Kolmogorovova interpretace, která zachycuje význam logických symbolů v intuicionismu a také v konstruktivismu obecně. Neformálním způsobem definuje, z čeho by se měl skládat intuicionální důkaz, a uvádí, jak by se měly interpretovat spojky a kvantifikátory.

• (bot) nelze prokázat.
• Důkaz (A / wedge B) sestává z důkazu (A) a důkazu (B).
• Důkaz (A / vee B) sestává z důkazu (A) nebo důkazu (B).
• Důkaz (A / rightarrow B) je konstrukce, která transformuje jakýkoli důkaz (A) na důkaz (B).
• Důkaz (existuje x A (x)) je dán předložením elementu (d) domény a důkazem (A (d)).
• Důkaz (forall x A (x)) je konstrukce, která transformuje každý důkaz, že (d) patří do domény, na důkaz (A (d)).

Negace (neg A) vzorce (A) je prokázána, jakmile bylo prokázáno, že nemůže existovat důkaz (A), což znamená poskytnout konstrukci odvozenou z jakéhokoli možného důkazu \(A). Tedy (neg A) je ekvivalentní (A / rightarrow / bot). Interpretace BHK není formální definicí, protože pojem konstrukce není definován, a proto je otevřen různým interpretacím. Nicméně již na této neformální úrovni je člověk nucen odmítnout jeden z logických principů, které se v klasické logice vyskytují vždy: princip vyloučeného středu ((A / vee / neg A)). Podle interpretace BHK platí toto tvrzení intuicisticky, pokud Stvořující subjekt zná důkaz (A) nebo důkaz, že (A) nelze prokázat. V případě, že ani pro (A) ani pro jeho negaci není znám důkaz,příkaz ((A / vee / neg A)) neplatí. Tuto skutečnost ilustruje existence otevřených problémů, jako je Goldbachova domněnka nebo Riemannova hypotéza. Ale jakmile je nalezen důkaz (A) nebo důkaz jeho negace, situace se změní a pro tento konkrétní (A) princip ((A / vee / neg A)) z toho platí moment na.

3.2 Intuitionistická logika

Brouwer odmítl princip vyloučeného středu na základě jeho filozofie, ale Arend Heyting byl první, kdo formuloval komplexní logiku principů přijatelných z intuicionistického hlediska. Intuitionistická logika, která je také logikou většiny ostatních forem konstruktivismu, se často označuje jako „klasická logika bez principu vyloučeného středu“. To je označeno IQC, což je zkratka pro Intuitionistic Quantifier Logic, ale jiná jména se vyskytují také v literatuře. Možná axiomatizace ve stylu Hilberta se skládá z principů

(A / wedge B / rightarrow A)	(A / wedge B / rightarrow B)	(A / rightarrow A / vee B)	(B / rightarrow A / vee B)
(A / rightarrow (B / rightarrow A))	(forall x A (x) rightarrow A (t))	(A (t) rightarrow / existuje x A (x))	(bot / rightarrow A)
((A / rightarrow (B / rightarrow C)) rightarrow ((A / rightarrow B) rightarrow (A / rightarrow C)))
(A / rightarrow (B / rightarrow A / wedge B))
((A / rightarrow C) rightarrow ((B / rightarrow C) rightarrow (A / vee B / rightarrow C)))
(forall x (B / rightarrow A (x)) rightarrow (B / rightarrow / forall x A (x)))		(forall x (A (x) rightarrow B) rightarrow (existuje x A (x) rightarrow B))

s obvyklými vedlejšími podmínkami pro poslední dva axiomy a pravidlem Modus Ponens,

) text {from (A) and ((A / rightarrow B)) infer (B)},)

jako jediné pravidlo usuzování. Intuitionistická logika je předmětem vyšetřování od té doby, co ji Heyting formuloval. Již na výrokové úrovni má mnoho vlastností, které jej odlišují od klasické logiky, jako je například vlastnost Disjunction:

) tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {implikuje} { bf IQC} vdash A / text {nebo} { bf IQC} vdash B.)

Tento princip je v klasické logice jasně porušen, protože klasická logika dokazuje ((A / vee / neg A)) také pro vzorce, které jsou nezávislé na logice, tj. Pro které oba (A) a (neg A)) nejsou tautologií. Začlenění principu Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((bot / rightarrow A)), do intuicionistické logiky je bodem diskuse pro ty, kdo studují Brouwerovy poznámky k tomuto tématu; ve van Atten 2008 se tvrdí, že zásada neplatí v intuitionismu a že logické zásady platné podle Brouwerových názorů jsou principy logiky relevance. Viz van Dalen 2004 pro více o Brouwer a Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Ačkoliv až do dneška je veškerá logika použitá v intuicionálním uvažování obsažena v IQC, je v zásadě myslitelné, že v určitém bodě bude nalezen princip přijatelný z intuicionistického hlediska, na který se tato logika nevztahuje. Pro většinu forem konstruktivismu je široce uznávaný názor, že tomu tak nikdy nebude, a proto je IQC považována za logiku konstruktivismu. V případě intuicionismu je situace méně jasná, protože nelze vyloučit, že nás naše intuicionistické porozumění v určitém okamžiku může vést k novým logickým principům, které jsme předtím nepochopili.

Jedním z důvodů rozšířeného používání intuicionistické logiky je to, že se dobře chová jak z důkazně teoretického, tak z pohledu teoretického modelu. Existuje mnoho důkazních systémů, jako jsou Gentzenovy kámen a přirozené dedukční systémy, stejně jako různé formy sémantiky, jako jsou Kripkeho modely, Bethovy modely, Heytingovy algebry, topologická sémantika a kategorické modely. Několik z těchto sémantik je však pouze klasickým prostředkem pro studium intuicionistické logiky, protože lze prokázat, že nemůže existovat intuicionální důkaz úplnosti (Kreisel 1962). Ukázalo se však, že existují alternativní, ale poněkud méně přirozené modely, u nichž se úplnost drží konstruktivně (Veldman 1976). Konstruktivní charakter intuicionistické logiky je zvláště jasný v Curnom-Howardově izomorfismu, který vytváří shodu mezi derivacemi v logice a termíny jednoduše napsaným (lambda) - kalkulem, tj. Mezi důkazy a výpočty. Korespondence zachovává strukturu tím, že redukce termínů odpovídá normalizaci důkazů.

3.3 Přirozená čísla

Existence přirozených čísel je dána prvním aktem intuicionismu, tj. Vnímáním pohybu času a rozpadem životní chvíle na dvě odlišné věci: co bylo, 1 a co je spolu s tím, co bylo, 2, a odtud na 3, 4, … Na rozdíl od klasické matematiky je v intuicionismu každá nekonečno považováno za potenciální nekonečno. Zejména se jedná o nekonečno přirozených čísel. Proto se s výroky, které kvantifikují nad touto sadou, musí zacházet opatrně. Na druhé straně je princip indukce plně intuitivní.

Kvůli konečnosti přirozeného čísla, na rozdíl například od skutečného čísla, je mnoho aritmetických výroků konečné povahy, které jsou pravdivé v klasické matematice, také v intuicionismu. Například v intuicionismu má každé přirozené číslo prvotní faktorizaci; existují vypočítatelné množiny, které nelze spočítat; ((A / vee / neg A)) platí pro všechny příkazy bez kvantifikátoru (A). Pro složitější výroky, jako je van der Waerdenova věta nebo Kruskalova věta, není intuicionální platnost tak jednoduchá. Ve skutečnosti jsou intuicionální důkazy obou tvrzení složité a liší se od klasických důkazů (Coquand 1995, Veldman 2004).

V kontextu přirozených čísel má tedy intuice a klasická matematika mnoho společného. Teprve když jsou považovány za jiné nekonečné množiny, jako jsou reálná čísla, intuicionismus se začíná dramaticky lišit od klasické matematiky a také od většiny ostatních forem konstruktivismu.

3.4 Kontinuum

V intuicionismu je kontinuum rozšířením i omezením jeho klasického protějšku. V plné podobě jsou oba pojmy nesrovnatelné, protože intuicionální reálná čísla mají vlastnosti, které klasická reálná čísla nemají. Slavným příkladem, o kterém se bude diskutovat níže, je věta, že v intuicionismu je každá úplná funkce v kontinuu spojitá. To, že intuicionální kontinuum nesplňuje určité klasické vlastnosti, lze snadno vidět pomocí slabých protikladů. To, že také obsahuje vlastnosti, které klasická realita nemá, pramení z existence, v intuicionismu, vybraných sekvencí.

Slabé protipříklady

Slabé protiklady, které Brouwer zavedl v roce 1908, jsou prvními příklady, které Brouwer použil k tomu, aby ukázal, že posun od klasického k intuicionálnímu pojetí matematiky není bez důsledků pro matematické pravdy, které lze založit podle těchto filozofií. Ukazují, že některá klasická tvrzení jsou v současnosti nepřijatelná z intuicionálního hlediska. Jako příklad vezměte v úvahu posloupnost reálných čísel podle následující definice:

[r_n = / begin {cases} 2 ^ {- n} text {if} forall m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} text {if} neg A (m) klín m / leq n / klín / forall k / ltm A (k). / end {cases})

Zde (A (n)) je rozhodnutelná vlastnost, u které není známo, že (forall n A (n)) je pravdivá nebo nepravdivá). Rozhodnutelnost znamená, že v současné době existuje pro jakýkoli daný (n) důkaz ((A (n))) nebo (neg A (n)). V době tohoto psaní bychom například mohli nechat (A (n)) vyjádřit, že (n), pokud je větší než 2, je součet tří prvočísel; (forall n A (n)) pak vyjadřuje (původní) Goldbachovu domněnku, že každé číslo větší než 2 je součet tří prvočísel. Sekvence (langle r_n / rangle) definuje skutečné číslo (r), pro které je příkaz (r = 0) ekvivalentní příkazu (forall n A (n)). Z toho vyplývá, že výrok ((r = 0 / vee r / neq 0)) neplatí, a proto zákon trichotomie (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x) gt y)) neplatí pro intuicionální kontinuum.

Povšimněte si, že jemný rozdíl mezi „(A) není intuicionálně pravdivý“a „(A) je intuicionálně vyvratitelný“: v prvním případě víme, že (A) nemůže mít intuicionistický důkaz, druhé tvrzení vyjadřuje že máme důkaz ¬ A, tj. konstrukce, která je odvozena z jakéhokoli možného důkazu (A). Pro zákon trichotomie jsme právě ukázali, že to není intuicionálně pravda. Níže bude ukázáno, že i druhá silnější forma, která říká, že zákon je vyvratitelný, drží intuiciisticky. To však neplatí pro všechna tvrzení, pro která existují slabé protiklady. Například, Goldbachova domněnka je slabým protikladem k principu vyloučeného středu, protože (forall n A (n)), jak je uvedeno výše, není v současnosti známo, že je pravdivý nebo nepravdivý,a tak nemůžeme tvrdit (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) intuitionisticky, alespoň ne v tuto chvíli. Ale vyvrácení tohoto tvrzení, (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))), není pravdivé v intuicionismu, jak to lze ukázat pro jakékoli tvrzení (B) rozpor lze odvodit z předpokladu, že (neg B) a (neg / neg B) drží (a tedy také z (B) a (neg B)). Jinými slovy, (neg / neg (B / vee / neg B)) je intuitionisticky pravdivý, a proto, i když existují slabé protiklady k principu vyloučeného středu, jeho negace je v intuicionismu nepravdivá, tj. je intuitionisticky vyvratitelný.jak můžeme ukázat, že pro jakékoli prohlášení (B) lze rozpor vyvodit z předpokladu, že (neg B) a (neg / neg B) drží (a tedy také z (B)) a (neg B)). Jinými slovy, (neg / neg (B / vee / neg B)) je intuitionisticky pravdivý, a proto, i když existují slabé protiklady k principu vyloučeného středu, jeho negace je v intuicionismu nepravdivá, tj. je intuitionisticky vyvratitelný.jak můžeme ukázat, že pro jakékoli prohlášení (B) lze rozpor vyvodit z předpokladu, že (neg B) a (neg / neg B) drží (a tedy také z (B)) a (neg B)). Jinými slovy, (neg / neg (B / vee / neg B)) je intuitionisticky pravdivý, a proto, i když existují slabé protiklady k principu vyloučeného středu, jeho negace je v intuicionismu nepravdivá, tj. je intuitionisticky vyvratitelný.

Existence reálných čísel (r), pro která se intuicionista nemůže rozhodnout, zda jsou pozitivní nebo ne, ukazuje, že určité klasicky totální funkce přestávají být v intuicionistickém prostředí, jako je funkce po částech, [f (r) = / begin {cases} 0 / text {if} r / geq 0 \\ 1 / text {if} r / lt 0. / end {cases})

Existují slabé protiklady k mnoha klasicky platným tvrzením. Konstrukce těchto slabých protikladů se často řídí stejným vzorem jako v předchozím příkladu. Například argument, který ukazuje, že věta o střední hodnotě není intuitivně platná, běží následovně. Nechť (r) je reálné číslo v [−1,1], pro které ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) nebylo rozhodnuto, jako v příkladu výše. Definujte rovnoměrně souvislou funkci (f) na ([0,3]) pomocí

[f (x) = / text {min} (x-1,0) + / text {max} (0, x-2) + r.)

Je zřejmé, že (f (0) = -1 + r) a (f (3) = 1 + r), odkud (f) vezme hodnotu 0 v určitém bodě (x) v [0, 3]. Pokud by bylo možné určit takové (x), buď / (1 / leq x) nebo (x / leq 2). Protože (f) se rovná (r) na ([1,2]), v prvním případě (r / leq 0) a ve druhém případě (0 / leq r), což je v rozporu nerozhodnutelnost příkazu ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Zdá se, že tyto příklady naznačují, že při přechodu z klasické na intuiční matematiku člověk ztratí několik základních teorémů analýzy. To však není tak, protože v mnoha případech intuicionismus znovu získává takové věty ve formě analogu, ve kterém jsou existenciální výroky nahrazeny výroky o existenci aproximací v libovolné přesnosti, jako v této klasicky ekvivalentní formě věty o mezilehlé hodnotě, která je konstruktivně platné:

Věta. Pro každou spojitou funkci s skutečnou hodnotou (f) v intervalu ([a, b]) s (a / lt b), pro každý (c) mezi (f (a)) a (f (b)) platí následující:

) forall n / existuje x / in [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Slabé protipříklady jsou prostředkem k prokázání toho, že určité matematické výroky nedrží intuicionisticky, ale ještě neodhalují bohatství intuicionálního kontinua. Teprve po Brouwerově zavedení volebních sekvencí získal intuicionismus svou zvláštní chuť a stal se nesrovnatelnou s klasickou matematikou.

Výběr sekvencí

Brouwer zavedl výběrové sekvence, aby zachytil intuici kontinua. Protože pro intuicionisty je veškerá nekonečno potenciální, nekonečné objekty mohou být uchopeny pouze procesem, který je vytváří krok za krokem. To, co bude povoleno jako legitimní konstrukce, tedy rozhoduje, které nekonečné předměty budou přijaty. Například ve většině jiných forem konstruktivismu jsou povolena pouze kompatibilní pravidla pro generování takových objektů, zatímco v platonismu jsou nekonečnosti považovány za dokončené totality, jejichž existence je akceptována i v případech, kdy nejsou známa žádná pravidla pro generování.

Brouwerův druhý akt intuicionismu dává vzniknout sekvencím výběru, které poskytují určité nekonečné množiny s vlastnostmi, které jsou z klasického hlediska nepřijatelné. Výběrová sekvence je nekonečná posloupnost čísel (nebo konečných objektů) vytvořených svobodnou vůlí. Sekvence by mohla být určena zákonem nebo algoritmem, jako je sekvence skládající se pouze z nul nebo prvočísel ve vzestupném pořadí, v tom případě mluvíme o posloupnosti podobné zákonu, nebo by nemohla podléhat žádnému zákonu, v v tom případě se tomu říká zákon. Nelegální sekvence mohou být například vytvořeny opakovaným hodem mince nebo požádáním vytvářejícího subjektu, aby si vybral po sobě jdoucí čísla sekvence, což mu umožnilo vybrat libovolné číslo podle svého vkusu. A tak je bezprávní sekvence vždy nedokončená,a jedinou dostupnou informací o tom v kterékoli fázi času je počáteční segment dosud vytvořené sekvence. Je zřejmé, že ze samotné povahy bezpráví nikdy nemůžeme rozhodnout, zda se její hodnoty budou shodovat s posloupností, která je zákonná. Svobodná vůle je také schopna vytvářet sekvence, které začínají jako zákonné, ale pro které v určitém okamžiku může být zákon zrušen a proces svobodné volby přebírá generování následných čísel, nebo naopak.ale pro které v určitém okamžiku může být zákon zrušen a proces svobodného výběru přebírá generování následných čísel, nebo naopak.ale pro které v určitém okamžiku může být zákon zrušen a proces svobodného výběru přebírá generování následných čísel, nebo naopak.

Podle Brouwera je každé reálné číslo reprezentováno výběrovou sekvencí a výběrové sekvence mu umožnily zachytit intuicionální kontinuum prostřednictvím kontroverzních axiomů kontinuity. Brouwer nejprve hovořil o volbě sekvencí v jeho inaugurační adrese (Brouwer 1912), ale v té době je ještě nepovažoval za základní součást své matematiky. Postupně se staly důležitějšími a od roku 1918 je Brouwer začal používat způsobem vysvětleným v další části.

3.5 Axiomy spojitosti

Přijetí pojmu výběrové sekvence má dalekosáhlé důsledky. Pro intuicionisty to ospravedlňuje použití axiomů kontinuity, z nichž lze odvodit klasicky neplatná prohlášení. Nejslabší z těchto axiomů je slabý axiom kontinuity:

) tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alpha / existuje n A (alfa, n) rightarrow / forall / alpha / existuje m / existuje n / forall / beta / in / alpha (overline {m}) A (beta, n).)

Zde (n) a (m) se pohybují nad přirozenými čísly, (alfa) a (beta) nad vybranými sekvencemi a (beta / in / alfa (overline {m})) znamená, že první (m) prvky (alfa) a (beta) jsou stejné. Ačkoli až dosud nebylo nikdy zcela uspokojivě ospravedlněno axiomy většiny spojitosti pro libovolné výběrové posloupnosti, a to ani Brouwerem, když byly omezeny na třídu bezprávních sekvencí, argumenty podporující platnost axiomu slabé kontinuity probíhaly následovně. Kdy může intuicionista vytvořit prohlášení o tvaru (forall / alpha / n) A (alfa, n))? Ze samotné podstaty pojmu zákonné posloupnosti je třeba zvolit číslo (n), pro které platí (A (alfa, n)) pouze po konečném počátečním segmentu (alfa)) je známo. Protože nevíme, jak (alfa) bude postupovat včas,a musíme proto založit volbu (n) na počátečním segmentu (alfa), který je znám v tom okamžiku, kdy chceme opravit (n). To znamená, že pro každou zákonnou posloupnost (beta) se stejným počátečním segmentem jako (alfa) platí také (A (beta, n)).

Ukázalo se, že slabý axiom kontinuity je konzistentní a často se používá ve formě, která může být odůvodněna, zejména v případě, kdy predikát (A) odkazuje pouze na hodnoty (alfa), a ne k vlastnostem vyššího řádu, které má možná. Podrobnosti tohoto argumentu zde budou vynechány, ale obsahují stejné složky jako odůvodnění zásady pro bezprávní posloupnosti a lze je nalézt ve van Atten a van Dalen 2002.

Slabá kontinuita nevyčerpává intuici intuicionistů o kontinuu, vzhledem k axiomu slabé kontinuity se zdá rozumné předpokládat, že volba čísla (m) taková, že (forall / beta / in / alfa (overline {m}) A (beta, n)), mohlo být explicitně vyjádřeno. Tedy (forall / alpha / existuje n A (alfa, n)) znamená existenci spojité funkční (Phi), která pro každý (alfa) vytváří (m), která opravuje délka (alfa), na základě které je vybrána (n). Více formálně, nechť (mathcal {CF}) je třída spojitých funkcionálů (Phi), které přiřazují přirozená čísla nekonečným sekvencím, tj. Které vyhovují

) forall / alpha / existuje m / forall / beta / in / alpha (overline {m}) Phi (alfa) = / Phi (beta).)

Celý axiom kontinuity, který je rozšířením slabého axiomu kontinuity, pak lze vyjádřit jako:

) tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alpha / existuje n A (alfa, n) rightarrow / existuje / Phi / in / mathcal {CF}, / forall / alpha A (alfa, / Phi (alfa)).)

Prostřednictvím axiomu kontinuity mohou být některé slabé protiklady přeměněny v opravdové vyvrácení klasicky akceptovaných principů. Například to znamená, že kvantifikovaná verze principu vyloučeného středu je nepravdivá:

) neg / forall / alpha (forall n / alfa (n) = 0 / vee / neg / forall n / alfa (n) = 0).)

Zde (alpha (n)) označuje (n) - th element z (alpha). Abychom viděli, že tato negace platí, předpokládejme argumentem, že (neg / forall / alpha (forall n / alfa (n) = 0 / vee / neg / forall n / alfa (n) = 0))) drží. To znamená, že

) forall / alpha / existuje k ((forall n / alfa (n) = 0 / wedge k = 0) vee (neg / forall n / alfa (n) = 0 / wedge k = 1)).)

Podle axiomu slabé kontinuity existuje pro (alfa) sestávající pouze z nul číslo (m), které opravuje výběr (k), což znamená, že pro všechny (beta / in / alfa) (overline {m})), (k = 0). Ale existence sekvencí, jejichž první (m) elementy jsou 0 a které obsahují 1, ukazuje, že to nemůže být.

Tento příklad, který ukazuje, že princip vyloučeného středu nejenže neplatí, nýbrž je ve falešném intuicionismu, vede k vyvrácení mnoha základních vlastností kontinua. Uvažujme například skutečné číslo (r_ / alfa), které je limitem posloupnosti sestávající z čísel (r_n), jak je uvedeno v části o slabých protějšcích, kde (A (m)) v definice se považuje za příkaz (alfa (m) = 0). Z výše uvedeného vyvrácení vyplývá, že (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), a tím vyvrací zákon trichotomie:

) forall x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Následující věta je dalším příkladem způsobu, jakým axiom spojitosti vyvrací určité klasické principy.

Věta ({ bf (C / mbox {-} N)}) Každá reálná funkce je spojitá.

Opravdu, klasický protějšek této věty, nikde nepřetržitá funkce [f (x) = / begin {cases} 0 / text {if (x) je racionální číslo} / 1 / text {if (x) je iracionální číslo} end {cases}) není legitimní funkcí z intuicionistického hlediska, protože vlastnost racionality není rozhodnutelná na reálných číslech. Výše uvedená věta znamená, že kontinuum není rozložitelné a ve van Dalen 1997 se ukazuje, že to platí i pro soubor iracionálních čísel.

Dva výše uvedené příklady jsou charakteristické pro způsob, jakým jsou axiomy kontinuity aplikovány v intuicionální matematice. Jsou to jediné axiomy v intuicionismu, které odporují klasickému uvažování, a představují tedy nejbarevnější a zároveň nejkontroverznější část Brouwerovy filozofie.

Funkce sousedství

Existuje vhodná reprezentace spojitých funkcionálů, která byla v literatuře hojně používána, i když ne sám Brouwer. Spojité funkcionály, které přiřazují čísla nekonečným sekvencím, mohou být reprezentovány sousedními funkcemi, kde sousedská funkce (f) je funkce na přirozených číslech splňující následující dvě vlastnosti ((cdot) označuje zřetězení a (f (alpha (overline {n}))) označuje hodnotu (f) v kódu konečné posloupnosti (alfa (overline {n}))).

) alpha / existuje nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / forall n / forall m (f (n) gt 0 / rightarrow f (n / cdot m) = f (n)).)

Intuitivně, pokud (f) představuje (Phi), pak (f (alpha (overline {n})) = 0) znamená, že (alfa (overline {n})) je není dost dlouho na výpočet (Phi (alfa)) a (f (alfa (overline {n})) = m + 1) znamená, že (alfa (overline {n}))) je dost dlouho na to, aby bylo možné spočítat (Phi (alfa)) a že hodnota (Phi (alfa)) je (m). Pokud (mathcal {K}) označuje třídu sousedních funkcí, pak axiom spojitosti ({ bf C / mbox {-} N}) lze přeformulovat, protože) forall / alpha / existuje n A (alfa, n) rightarrow / existuje f / in / mathcal {K}, / forall m (f (m) gt 0 / rightarrow / forall / beta / in m A (beta, f (m-1)))),)

kde (beta / in m) znamená, že kód počátečního segmentu (beta) je (m).

3.6 Věta o baru

Brouwer zavedl výběrové sekvence a axiomy kontinuity pro zachycení intuicionálního kontinua, ale tyto principy samy o sobě nestačí k obnovení té části tradiční analýzy, kterou Brouwer považoval za intuicionisticky zdravou, jako je věta, že každá spojitá reálná funkce v uzavřeném intervalu je rovnoměrně spojitá. Z tohoto důvodu Brouwer dokázal tzv. Bar větu. Je to klasicky platné prohlášení, ale důkaz, který Brouwer dal, je mnohými považován za vůbec žádný důkaz, protože používá předpoklad o formě důkazů, pro které není poskytován žádný přísný argument. To je důvod, proč je barova věta označována také jako tyčový princip.

Nejznámějším důsledkem bar věty je věta fanoušků, která postačuje k prokázání výše uvedené věty o jednotné kontinuitě, a která bude ošetřena jako první. Větrák i věta věty umožňují intuicionistovi používat indukci podél určitých dobře založených sad objektů zvaných pomazánky. Rozšíření je intuicionální analog množiny a zachycuje myšlenku nekonečných objektů jako stále rostoucích a nikdy nedokončených. Rozšíření je v podstatě početně větvící se strom označený přirozenými čísly nebo jinými konečnými předměty a obsahující pouze nekonečné cesty.

Vějíř je konečně větvící se šíření a princip vějířů vyjadřuje formu kompaktnosti, která je klasicky ekvivalentní Königovu lemu, jejíž klasický důkaz je z intuicionistického hlediska nepřijatelný. Princip říká, že pro každého fanouška (T), ve kterém každá větev v určitém bodě splňuje vlastnost (A), existuje jednotná vazba na hloubku, ve které je tato vlastnost splněna. Taková vlastnost se nazývá lišta pro (T).

) tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / existuje n A (alpha (overline {n})) rightarrow / existuje m / forall / alpha / in T / existuje n / leq m A (alfa (overline {n})).)

Tady (alpha / in T) znamená, že (alfa) je větev (T). Pro prokázání výše uvedené věty stačí princip FAN:

Věta (FAN) Každá souvislá reálná funkce v uzavřeném intervalu je rovnoměrně spojitá.

Brouwerovo zdůvodnění věty o fanouškovi je jeho barovým principem pro univerzální šíření:

) tag {({ bf BI})} begin {zarovnat} a) forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n}))) vee / neg A (alpha (overline {n})) big) wedge / forall / alpha / existuje n A (alpha (overline {n})) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / velký (A (alpha (overline {n})) rightarrow B (alpha (overline {n})) big) / wedge \& / quad / forall / alpha / forall n / big (forall mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) big)] rightarrow B (varepsilon). / end {zarovnat})

Zde (varepsilon) je zkratka pro prázdnou sekvenci, (cdot) pro zřetězení, BI pro Bar Induction a dolní index D označuje rozhodnutelnost predikátu (A). Princip lišty poskytuje intuicionismus s indukčním principem pro stromy; vyjadřuje zásadu opodstatněnosti spreadů s ohledem na rozhodující vlastnosti. Rozšíření tohoto principu, ve kterém je požadavek rozhodnutelnosti oslaben, lze získat z Brouwerovy práce, ale zde bude vynecháno. Kontinuita a prutový princip jsou někdy zachyceny v jednom axiomu, který se nazývá axiom kontinuity prutu.

Existuje úzký vztah mezi tyčovým principem a sousedními funkcemi uvedenými v kapitole o axiomech spojitosti. Nechť (mathcal {IK}) je indukčně definovaná třída sousedních funkcí, sestávající ze všech konstantních nenulových sekvencí (lambda m.n + 1), a pokud tedy (f (0) = 0) a (lambda mf (x / cdot m) in / mathcal {IK}) pro všechny (x), poté (f / in / mathcal {IK}). Příkaz (mathcal {K} = / mathcal {IK}), to znamená, že tvrzení, že sousedství funkce mohou být generovány induktivně, je ekvivalentní BI _D.

Brouwerův důkaz věty o baru je pozoruhodný v tom, že používá dobře uspořádané vlastnosti hypotetických důkazů. Je založeno na předpokladu, že jakýkoli důkaz, že vlastnost A na sekvencích je sloupcem, může být rozložen na kanonický důkaz, který je správně uspořádán. Ačkoli to je klasicky platné, Brouwerův důkaz principu ukazuje, že důvod pro jeho přijetí jako platného principu v intuicionismu se zásadně liší od argumentu podporujícího jeho přijatelnost v klasické matematice.

3.7 Výběr axiomů

Axiom volby v plné podobě je z konstruktivního hlediska nepřijatelný, přinejmenším v přítomnosti určitých dalších centrálních axiomů teorie množin, jako je exturalita (Diaconescu 1975). Neboť (A) je příkaz, o kterém není známo, že je pravdivý nebo nepravdivý. Pak členství v následujících dvou sadách je nerozhodnutelné.

) begin {zarovnat} X & = {x / in {0,1 } mid x = 0 / vee (x = 1 / wedge A) } / Y & = {y / in {0,1 } mid y = 1 / vee (y = 0 / wedge A) } end {zarovnat})

Existence výběrové funkce (f: {X, Y } rightarrow {0,1 }) výběr prvku z (X) a (Y) by znamenal ((A / vee / neg A)). Pokud tedy (f (X) neq f (Y)), znamená to, že (X / neq Y), a tedy (neg A), zatímco (f (X) = f (Y))) znamená (A). Proto nemůže existovat výběrová funkce pro ({X, Y }).

Existují však určitá omezení axiomu, která jsou přijatelná pro intuicionisty, například axiom počítatelného výběru, který seminimulicionisté přijali také jako legitimní zásadu:

) tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / existuje n \, mRn / rightarrow / existuje / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} forall m \, mR / alpha (m) big).)

Toto schéma může být odůvodněno následovně. Důkaz předpokladu by měl poskytnout metodu, která daná (m) poskytne číslo (n) takové, že (mRn). Funkce (alfa) na přirozených číslech (mathbb {N}) tak může být konstruována krok za krokem: nejprve se vybere prvek (m_0) tak, aby (0Rm_0), který bude hodnota (alfa (0)). Pak je prvek (m_1) vybrán tak, aby (1Rm_1), což bude hodnota (alfa (1)) atd.

Podobným způsobem lze ospravedlnit i několik dalších axiomů výběru. Zde bude zmíněna pouze jedna další, axiom závislé volby:

) tag {({ bf DC / mbox {-} N})} begin {align} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / existuje n \, mRn / rightarrow & / forall k / existuje / alpha / in / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ wedge \& / forall i / geq 0 \, / alfa (i) R / alfa (i + 1) velký) velký). / end {zarovnat})

Také v klasické matematice se s výběrovými axiomy zachází opatrně a často se výslovně uvádí, kolik výběru je třeba v důkazu. Protože axiom závislé volby je v souladu s důležitým axiomem v klasické teorii množin (axiom determinace), zatímco plný axiom volby není, je tomuto axiomu věnována zvláštní pozornost a obecně se snaží snížit množství výběru v důkaz, pokud je vůbec přítomen, na závislý výběr.

3.8 Deskriptivní teorie množin, topologie a teorie toposů

Brouwer nebyl sám ve svých pochybnostech o určitých klasických formách uvažování. Toto je zvláště viditelné v popisné teorii množin, která se objevila jako reakce na vysoce nekonstruktivní pojmy vyskytující se v cantoriánské teorii množin. Zakládající otcové pole, včetně Émile Borel a Henri Lebesgue jako dvou hlavních postav, se nazývali polointu intuici, a jejich konstruktivní zpracování kontinua vedlo k definici borelské hierarchie. Z jejich pohledu pojem jako sada všech množin reálných čísel nemá smysl, a proto musí být nahrazen hierarchií podskupin, které mají jasný popis.

V Veldmanu 1999 je formulován intuicionální ekvivalent pojmu Borelův soubor a je ukázáno, že klasicky ekvivalentní definice Borelových sad vedou k různým intuicionisticky odlišným třídám, což je situace, která se často vyskytuje v intuicionismu. Pro intuicionální Borelovy sady je analog Borelské hierarchické věty intuicionálně platný. Důkaz této skutečnosti nezbytně využívá axiomy kontinuity diskutované výše, a tak ukazuje, jak může klasická matematika vést hledání intuicionistických analogů, které však musí být prokázány zcela odlišným způsobem, někdy za použití principů nepřijatelných z klasického hlediska Pohled.

Jiný přístup ke studiu podmnožin kontinua nebo topologického prostoru obecně se objevil prostřednictvím vývoje formální nebo abstraktní topologie (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). V této konstruktivní topologii je role otevřených množin a bodů obrácena; v klasické topologii je otevřená množina definována jako určitá množina bodů, v konstruktivním případě jsou otevřené množiny základním pojmem a body jsou definovány v nich. Proto je tento přístup někdy označován jako top-free topology.

Intuitionistická funkční analýza byla po Brouwerovi vyvinuta široce a široce, ale protože většina přístupů není striktně intuicionální, ale také konstruktivní v širším smyslu, tento výzkum se zde nebude dále zabývat.

4. Konstruktivismus

Intuitionismus sdílí základní část s většinou ostatních forem konstruktivismu. Konstruktivismus se obecně týká konstruktivních matematických objektů a uvažování. Z konstruktivních důkazů lze alespoň v zásadě extrahovat algoritmy, které počítají prvky a simulují konstrukce, jejichž existence je prokázána v důkazu. Většina forem konstruktivismu je slučitelná s klasickou matematikou, protože jsou obecně založeny na přísnější interpretaci kvantifikátorů a spojiv a konstrukcí, které jsou povoleny, aniž by byly učiněny žádné další předpoklady. Logika přijatá téměř všemi konstruktivními komunitami je stejná, a to intuicionální logika.

Mnoho existenciálních vět v klasické matematice má konstruktivní analog, ve kterém je existenciální tvrzení nahrazeno tvrzením o aproximacích. V části o slabých protějšcích výše jsme viděli příklad této, věty o střední hodnotě. Velké části matematiky mohou být konstruktivně získány podobným způsobem. Důvod, proč se s nimi dále nezacházet, je, že se v tomto příspěvku zaměřují na ty aspekty intuicionismu, které jej odlišují od jiných konstruktivních odvětví matematiky. Pro důkladné řešení konstruktivismu je čtenář odkazován na odpovídající záznam v této encyklopedii.

5. Meta-matematika

Ačkoli Brouwer rozvinul svou matematiku přesným a základním způsobem, formalizace ve smyslu, jak ji známe dnes, byla provedena až později ostatními. Podle Brouwerova názoru, že matematika se odvíjí interně, je formalizace, i když není nepřijatelná, zbytečná. Jiní po něm mysleli opak, a formalizace intuitionistic matematiky a studium jeho meta-matematických vlastností, zvláště aritmetiky a analýzy, přitahovalo mnoho vědců. Formalizace intuicionistické logiky, na níž jsou založeny všechny formalizace, již byla zpracována výše.

5.1 Aritmetika

Heyting aritmetický HA, jak jej formuloval Arend Heyting, je formalizace intuicionistické teorie přirozených čísel (Heyting 1956). Má stejné neslogické axiomy jako Peano Arithmetic PA, ale je založeno na intuicionistické logice. Jedná se tedy o omezení klasické aritmetiky a jde o akceptovanou teorii přirozených čísel téměř ve všech oblastech konstruktivní matematiky. Heyting Aritmetic má mnoho vlastností, které odrážejí jeho konstruktivní charakter, například Disjunkční vlastnost, která platí i pro intuicionální logiku. Další vlastností HA, kterou PA nesdílí, je vlastnost numerické existence: ((overline {n}) je číslice odpovídající přirozenému číslu (n))

) tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / existuje x A (x) Rightarrow / existuje n / in { mathbb N}, { bf HA} vdash A (overline {n}).)

Že tato vlastnost neplatí v PA, vyplývá ze skutečnosti, že PA prokazuje (existuje x (A (x) vee / forall y / neg A (y)))). Uvažujme například případ, že (A (x)) je vzorec (T (e, e, x)), kde (T) je rozhodující Kleenův predikát vyjadřující, že (x) je kód ukončení výpočtu programu s kódem (e) na vstupu (e). Kdyby pro každé (e) existovalo takové číslo (n), aby ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), poté zkontrolováním, zda (T (e, e, n)) drží, bude rozhodnuto, zda program (e) končí vstupem (e)). To je však obecně nerozhodnutelné.

Markovovo pravidlo je princip, který drží klasicky i intuicionisticky, ale pouze u HA je důkaz této skutečnosti netriviální:

) tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) wedge / neg / neg / existuje x A (x) Rightarrow { bf HA} vdash / existuje x A (x).)

Protože HA prokazuje zákon vyloučeného středu pro každý primitivní rekurzivní predikát, vyplývá z toho, že pro takový (A) odvozitelnost (neg / neg / existuje x A (x)) v HA znamená odvozitelnost (existuje x A (x)) také. Z toho vyplývá, že PA je (Pi ^ 0_2) - konzervativní nad HA. To znamená, že pro primitivní rekurzivní (A): [{ bf PA} vdash / forall x / existuje y A (x, y) Rightarrow { bf HA} vdash / forall x / existuje y A (x, y).) Třída prokazatelně rekurzivních funkcí HA se tedy shoduje s třídou prokazatelně rekurzivních funkcí PA, což je vlastnost, která na základě myšlenek, na nichž je založen konstruktivismus a intuicionismus, nemusí přijít jako překvapení.

5.2 Analýza

Formalizace intuicionistické matematiky pokrývá více než aritmetiku. Velké části analýzy byly z konstruktivního hlediska axiomatizovány (Kleene 1965, Troelstra 1973). Konstruktivita těchto systémů může být stanovena pomocí funkčních, typových teoretických nebo realizovatelných interpretací, většina z nich na základě nebo rozšíření Gödelovy interpretace dialektiky (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene realizovatelnosti (Kleene 1965) nebo teorií typu (Martin- Löf 1984). V těchto interpretacích jsou funkcionály, na nichž jsou založeny konstruktivní příkazy, jako například funkce přiřazující a (y) každému (x) v (forall x / existuje y A (x, y)), jsou explicitně uvedeny různými způsoby.

V (Scott 1968 a 1970) je představen topologický model pro intuitivní teorii analýzy druhého řádu, kde jsou skutečnosti interpretovány jako spojité funkce z Baireova prostoru do klasických realit. V tomto modelu platí Kripkeho Schéma a určité axiomy kontinuity. V (Moschovakis 1973) je tato metoda upravena tak, aby vytvořila model teorií intuicionistické analýzy z hlediska vybraných sekvencí. Také v tomto modelu platí Kripkeho Schéma a určité axiomy kontinuity. V (Van Dalen 1978) se Beth modely používají k poskytnutí modelu aritmetických a výběrových sekvencí, které uspokojí výběrová schémata, případy slabé kontinuity a Kripkeho schéma. V tomto modelu jsou domény v každém uzlu přirozenými čísly, takže člověk nemusí používat nestandardní modely, jako v případě modelů Kripke. Navíc axiómy CS1–3 vytvořeného subjektu lze v něm interpretovat, což ukazuje, že tato teorie je konzistentní.

5.3 Nepovolené sekvence

Existují axiomatizace bezprávních sekvencí a všechny obsahují rozšíření axiomů kontinuity (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Zejména ve formě Axiomu otevřených dat, které uvádí, že pro (A (alfa)) neobsahující kromě (alfa) jiné nezákonné parametry:

[A (alfa) rightarrow / existuje n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

V (Troelstra 1977) se v kontextu intuicionistické analýzy rozvíjí (a zdůvodňuje) teorie zákonných sekvencí. Kromě axiomů pro elementární analýzu obsahuje pro bezprávní posloupnosti zesílené formy axiomů otevřených dat, spojitost, rozhodnutelnost a hustotu (hustota říká, že každá konečná sekvence je počátečním segmentem bezprávní sekvence). Zvláště zajímavé je, že v těchto teoriích je možné eliminovat kvantifikátory nad zákonnými sekvencemi, což je výsledek, který lze také považovat za poskytnutí modelu zákonných sekvencí pro takové teorie. Další klasické modely teorie bezprávních sekvencí byly konstruovány v teorii kategorií ve formě snopových modelů (van der Hoeven a Moerdijk 1984). V (Moschovakis 1986) je představena teorie pro výběrové sekvence vzhledem k určité sadě prvků podobných zákonům,spolu s klasickým modelem, ve kterém se bezprávní sekvence ukážou přesně jako obecné.

5.4 Formalizace vytvářejícího se subjektu

Vytvářející subjekt, představený v Oddíle 2.2, může generovat výběrové sekvence, které jsou některé z nejdůležitějších a komplikovaných matematických entit Brouwerova Intuitionismu. Několik filosofů a matematiků se pokusilo dále rozvíjet teorii Stvořitelského subjektu matematicky i filozoficky.

Při formalizaci pojmu Stvořitelský subjekt je jeho časový aspekt formalizován pomocí notace (Box_n A), která označuje, že Stvořitel má důkaz A v čase n (v některých dalších formulacích: zažívá pravdu o (A) v čase (n)). Georg Kreisel (1967) představil následující tři axiomy pro Vytvářející subjekt, které jsou společně označovány CS:

) begin {zarovnat} tag {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(v čase (n)), lze rozhodnout zda Vytvářející subjekt} & / mbox {má důkaz o A)} / \ tag {({ bf CS2})} & / Box_m A / rightarrow / Box_ {m + n} A \& / mbox {(Vytvářející subjekt nikdy nezapomene, co se osvědčilo)} / \ tag {({ bf CS3})} & (existuje n / Box_n A / rightarrow A) wedge (A / rightarrow / neg / neg / existuje n / Box_n A) & / mbox {(Vytvářející subjekt pouze prokazuje, co je pravdivé a ne} & / mbox {pravdivé tvrzení nelze prokázat pro} & / mbox {Vytváření Předmět)} / \ end {zarovnat})

Ve verzi Anne Troelstra (1969) je poslední axiom posílen

) begin {zarovnat} tag {({ bf CS3} ^ +)} & / existuje n / Box_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(Vytvářející subjekt pouze prokazuje, co je pravda a co} & / mbox {je pravdivý bude prokázán Stvořujícím subjektem na nějakém} & / mbox {point)} end {zarovnat})

První axiom CS1 je nekontroverzní: v kterémkoli okamžiku lze zjistit, zda má vytvářející subjekt důkaz o daném tvrzení nebo ne. Druhý axiom CS2 jasně používá skutečnost, že Vytvářející subjekt je idealizací, protože vyjadřuje, že důkazy budou vždy pamatovány. Poslední axiom CS3je nejvíce spornou součástí formalizace Vytvářejícího subjektu, nebo lépe, jeho druhý spojnice ((A / rightarrow / neg / neg / existuje n / Box_n A)) je, který dostal jméno Axiom křesťanské charity od Kreisel. Göran Sundholm (2014) například tvrdí, že Axiom křesťanské charity není konstruktivně přijatelný. A Gödelova věta o neúplnosti dokonce naznačuje, že tento princip je nepravdivý, pokud (Box_n A) bude vykládán jako prokazatelný v dostatečně silném důkazním systému, což však rozhodně není výklad, který měl Brouwer na mysli.

Daný příkaz (A), který neobsahuje žádný odkaz na čas, tj. Žádný výskyt (Box_n), lze definovat posloupnost výběru podle následujícího pravidla (Brouwer 1953):

) alpha (n) = / left { begin {array} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } end {array} right.)

Z toho vyplývá princip známý jako Kripkeho Schema KS, představený v Oddíle 2.2, princip, který na rozdíl od axiomů teorie Vytvářejícího subjektu neobsahuje výslovný odkaz na čas: (existuje / alfa (A / leftrightarrow / existuje n / alfa (n) = 1)).

S použitím Kripkeho schématu lze slabé protikladné argumenty formálně vyjádřit bez jakéhokoli odkazu na Vytvářející subjekt. Následující příklad je převzat z (van Atten 2018). Nechť A je příkaz, pro který není v současnosti (neg A / vee / neg / neg A) známo. Pomocí KS získáme výběrové sekvence (alpha_1) a (alpha_2) takové

) neg A / leftrightarrow / existuje n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / \ / \ neg / neg A / leftrightarrow / existuje n / alfa_2 (n) = 1.)

Spojte s těmito dvěma sekvencemi reálná čísla (r_0) a (r_1), kde pro (i = 0,1):

[r_i (n) = / begin {cases} 0 & / text {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / begin {zarovnat} & / text {pokud pro některé (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) a} & / text {pro žádné (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} end {zarovnat} end {případech})

Pak pro (r = r_0 + r_1) je příkaz (neg A / vee / neg / neg A) implikován pomocí ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), což ukazuje, že ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) nelze prokázat.

V (van Dalen 1978) je konstruován model axiomů pro Vytvářející subjekt v souvislosti s aritmetickými a výběrovými sekvencemi, čímž se prokazuje, že jsou v souladu s intuicionální aritmetikou a určitými částmi analýzy. V (van Dalen 1982), CS je dokázaný být konzervativní před Heyting aritmetikou. Matematické důsledky Kripkeho schématu lze nalézt v (van Dalen 1997), kde se ukazuje, že KS a axiomy kontinuity odmítají Markovův princip, zatímco KS spolu s Markovovým principem implikuje princip vyloučeného středu.

Kripke ukázal, že KS naznačuje existenci neregulovatelných funkcí, což je výsledek, který nezveřejnil, ale Kreisel (1970). To jasně znamená, že teorie CS také znamená existenci neregulované funkce. Možný argument pro CS běží následovně. Předpokládejme, že (X) je nekompatibilní, ale spočítatelná množina a definujte funkci (f) takto:

[f (m, n) = / begin {cases} 0 & / text {if not (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / text {if (Box_m (n / not / in X)).} end {cases})

Z toho vyplývá, že (n / not / in X) pouze tehdy, pokud (f (m, n) = 1) pro nějaké přirozené číslo (m), což znamená, že (f) nemůže být vypočitatelný. Pokud ano, doplněk (X) by byl vypočítatelně spočetný, což by znamenalo vyčíslitelnost (X). Protože (f) je funkce z intuicionistického hlediska, toto prokazuje, že v Intuitionism nejsou všechny funkce kompatibilní.

5.5 Základy

Formalizace, které mají sloužit jako základ pro konstruktivní matematiku, jsou buď teorie teoretických (Aczel 1978, Myhill 1975) nebo teoretických typů (Martin-Löf 1984). Bývalými teoriemi jsou adaptace teorie množin Zermelo-Fraenkel na konstruktivní nastavení, zatímco v teorii typů jsou konstrukce implicitní v konstruktivních prohlášeních v systému explicitně vyjádřeny. Teorii množin lze považovat za rozšiřující základ matematiky, zatímco teorie typů je obecně náročná.

V posledních letech se objevilo mnoho modelů částí takových základních teorií pro intuitivní matematiku, některé z nich byly zmíněny výše. Zejména v teorii toposů (van Oosten 2008) existuje mnoho modelů, které zachycují určité vlastnosti intuicionismu. Existují například topoi, ve kterých jsou všechny skutečné reálné funkce spojité. Funkční interpretace, jako je realizovatelnost a interpretace v teorii typů, lze také považovat za modely intuicionistické matematiky a většiny dalších konstruktivních teorií.

5.6 Reverzní matematika

V reverzní matematice se člověk pokouší stanovit pro matematické věty, které axiomy jsou potřebné k jejich prokázání. V intuitionistic reverzní matematice má jeden podobný cíl, ale pak s ohledem na intuitionistic věty: práce přes slabé intuitionistic teorie, axiomy a věty jsou porovnány k sobě navzájem. Typické axiomy, s nimiž si člověk přeje porovnat věty, jsou princip fanouška a baru, Kripkeho schéma a axiomy spojitosti.

V (Veldman 2011) jsou studovány ekvivalenty principu fanouška nad základní teorií nazvanou Základní intuitivní matematika. Je ukázáno, že princip ventilátoru je rovnocenný s tvrzením, že jednotkový interval [0,1] má vlastnost Heine-Borel, a z toho je odvozeno mnoho dalších ekvivalentů. V (Veldman 2009) se princip fanouška také jeví jako ekvivalent Brouwerovy přibližné věty s pevným bodem. V (Lubarsky et al. 2012) je reverzní matematika aplikována na formu Kripkeho schématu, které se ukazuje být ekvivalentní určitým topologickým výrokům.

Existuje mnoho dalších takových příkladů z intuicionální reverzní matematiky. Zejména ve větším poli konstruktivní reverzní matematiky existuje mnoho výsledků této povahy, které jsou také relevantní z intuicionistického hlediska.

6. Filozofie

Brouwer stavěl svůj intuitivismus od základů a příliš nekomentoval vztah mezi intuitionismem a dalšími existujícími filosofiemi, ale ostatní po něm. V této části jsou diskutována některá z těchto souvislostí, zejména způsob, jakým lze intuitivní principy ospravedlnit z hlediska jiných filozofií.

6.1 Fenomenologie

Souvislost mezi intuitionismem a fenomenologií, filozofií vyvinutou Edmundem Husserlem, byla zkoumána několika autory během Brouwerova života i o desetiletí později. Hermann Weyl byl mezi prvními, kteří diskutovali o vztahu mezi Brouwerovými myšlenkami a fenomenologickým pohledem na matematiku. Stejně jako Brouwer, Weyl hovoří ve své knize Das Kontinuum (Kapitola 2) o intuitivním kontinuu, ale Weylův pojem je založen na fenomenologii (vědomí) času. Weyl později cítí, že Brouwerův vývoj skutečné analýzy je věrnější myšlence intuitivního kontinua než jeho vlastní (Weyl 1921), a proto se staví na Brouwerovu stranu, alespoň pokud jde o tento aspekt (van Atten 2002).

Van Atten (2003 en 2007) používá fenomenologii k ospravedlnění výběru sekvencí jako matematických objektů. Autor (2002) kritizuje Brouwerovo zdůvodnění výběru sekvencí, což je motiv hledat filozofické zdůvodnění jinde. Výběrové sekvence se vyskytují v díle Beckera (1927) a Weyla, liší se však od Brouwerovy představy a Husserl nikdy nikdy nezveřejňoval výběrové sekvence veřejně. Van Atten vysvětluje, jak homogenita kontinua odpovídá jeho nevyčerpatelnosti a neatomičnosti, což jsou dvě klíčové vlastnosti intuitivního kontinua podle Brouwera. Použitím skutečnosti, že tyto dvě základní vlastnosti jsou přítomny v definici výběrových sekvencí, je dosaženo jejich fenomenologického odůvodnění.

6.2 Wittgenstein

10. března 1928 Brouwer přednášel ve Vídni o svých intuicionálních základech matematiky. Na této přednášce se zúčastnil Ludwig Wittgenstein, přesvědčený Herbertem Feiglem, který poté psal o hodinách, které strávil s Wittgensteinem a dalšími po přednášce: proběhla skvělá událost. Najednou a velmi objatě Wittgenstein začal mluvit filozofií - ve velké délce. Možná to byl zlom, od té doby, 1929, kdy se přestěhoval na univerzitu v Cambridge, byl Wittgenstein opět filozofem a začal uplatňovat obrovský vliv.

Jiní zpochybňují, že Brouwerova přednáška ovlivnila Wittgensteinovo myšlení (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Do jaké míry, pokud vůbec, byl Wittgenstein ovlivněn Brouwerovými myšlenkami, není zcela jasné, ale mezi jejich názory rozhodně existují zajímavé dohody a neshody. Marion (2003) tvrdí, že Wittgensteinova koncepce matematiky, jak je popsána v Tractatus, je velmi blízká koncepci Brouwera a že Wittgenstein souhlasí s odmítnutím zákona vyloučeného středa (rukopis z roku 1929, str. 155–156 v Wittgenstein 1994), ale nesouhlasí s Brouwerovými argumenty proti. Marion (2003) tvrdí, že Wittgensteinův postoj je radikálnější než Brouwerův v tom, že podle bývalého názoru je nedostatek platnosti zákona vyloučeného středa v matematice rozlišovacím znakem všech matematických tvrzení (na rozdíl od empirických tvrzení) a nejen zvláštnost matematiky nekonečna, jako je tomu u Brouwera.

Veldman (nadcházející) diskutuje o několika bodech (dis) dohody mezi Brouwerem a Wittgensteinem, jako je nebezpečí logiky, které podle obou může vést ke konstrukcím bez matematického obsahu. Jedna z neshod uvedených v tomto článku se týká Wittgensteinova názoru, že matematika je společný podnik, který je v ostrém kontrastu s Brouwerovým tvůrčím subjektem, a jeho názor, že matematika je bezvýznamná aktivita.

6.3 Dummett

Britský filozof Michael Dummett (1975) vyvinul filozofický základ pro Intuitionism, zejména pro intuicionální logiku. Dummett výslovně uvádí, že jeho teorie není exegezí Brouwerovy práce, ale možnou filosofickou teorií pro (podle jeho slov) odmítnutí klasického uvažování v matematice ve prospěch intuicionálního uvažování.

Dummettův přístup začíná myšlenkou, že volba jedné logiky před druhou musí nutně spočívat ve významu, který člověk přikládá logickým tvrzením. V teorii významu, kterou Dummett používá, která je založena na Wittgensteinových představách o jazyce, a zejména na jeho myšlence, že význam je použití, je význam věty určován způsobem, jakým se věta používá. Význam matematického tvrzení se projevuje v jeho použití a jeho chápání je znalost schopnosti používat toto tvrzení. Tento pohled je podporován způsobem, jakým získáváme matematické znalosti. Když se naučíme matematickou představu, naučíme se ji používat: jak ji vypočítat, dokázat nebo odvodit z ní. A jediný způsob, jak zjistit, že jsme pochopili význam matematického tvrzení, spočívá v naší znalosti správného používání tohoto tvrzení.

Vzhledem k tomuto pohledu na význam není ústřední pojem v teorii významu pro matematiku, jako v platonismu, pravda, ale důkaz; porozumění matematickému tvrzení spočívá ve schopnosti rozpoznat důkaz o tom, když je jeden předložen s jedním. To pak, jak tvrdí Dummett, vede k přijetí intuicionistické logiky jako logiky matematického uvažování.

Je zajímavé, jak poznamenává Dummett (1975), že jeho teorie významu je daleko od Brouwerových myšlenek o matematice jako v podstatě bezvýznamné činnosti. Aby existovaly přinejmenším dvě zcela odlišné linie myšlení, které vedou k přijetí intuicionistické logiky nad klasickou logikou, ta vyvinutá Brouwerem a druhá, kterou zastával Dummett. Dummettova práce na Intuitionism byla komentována různými filozofy takový jako Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) a Richard Tieszen (1994 en 2000).

6.4 Finitismus

Různé formy finitismu jsou založeny na podobném pohledu jako ten, který vyjádřil Dummett, ale ve kterém musí konstrukce, které mohou prokázat matematické tvrzení, existovat nejen v zásadě, ale také v praxi. V závislosti na přesném provedení posledně jmenovaného pojmu dochází k různým formám finitismu, jako je ultraintuitismus vyvinutý Alexanderem Yesseninem-Volpinem (1970) a přísný finitismus vyvinutý společností Crispin Wright (1982).

Bibliografie

• Aczel, P., 1978, „Typově-teoretická interpretace teorie konstruktivních množin,“v A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paříž (eds.), Logic Colloquium '77, zvláštní vydání Studie v logice a základů of Mathematics, 96: 55–66.
• van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
• ––– 2007, Brouwer se setká s Husserlem: O fenomenologii vybraných sekvencí Dordrecht: Springer.
• –––, 2008, „O hypotetickém úsudku v historii intuicionální logiky“, v C. Glymour a W. Wang a D. Westerståhl (ed.), Sborník z mezinárodního kongresu v Pekingu v roce 2007 (Logika, metodika a Philosophy of Science: Svazek XIII), Londýn: King's College Publications, 122–136.
• van Atten, M. a D. van Dalen, 2002, „Argumenty pro princip kontinuity,“Bulletin of Symbolic Logic, 8 (3): 329–374.
• Beth, EW, 1956, „Sémantická konstrukce intuicionistické logiky,“Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
• Brouwer, LEJ, 1975, Sbíraná díla I., A. Heyting (ed.), Amsterdam: Severní Holandsko.
• –––, 1976, Sbíraná díla II, H. Freudenthal (ed.), Amsterdam: Severní Holandsko.
• –––, 1905, Leven, kunst en mystiek, Delft: Waltman.
• –––, 1907, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Diplomová práce, University of Amsterdam, Katedra fyziky a matematiky.
• –––, 1912, 'Intuïtionisme en formalisme', Inaugurační adresa na univerzitě v Amsterdamu, 1912. Také ve Wiskundig tijdschrift, 9, 1913.
• –––, 1925, „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I,“Mathematische Annalen, 93: 244–257.
• –––, 1925, „Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II,“Mathematische Annalen, 95: 453–472.
• –––, 1948, „V zásadě negativní vlastnosti“, Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
• –––, 1952, „Historické pozadí, principy a metody intuicionismu“, Jihoafrický časopis vědy, 49 (říjen - listopad): 139–146.
• –––, 1953, „Body and Spaces“, „Canadian Journal of Mathematics, 6: 1–17.
• –––, 1981, Brouwerovy Cambridgeovy přednášky o intuicionismu, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press, Cambridge.
• –––, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
• Brouwer, LEJ a CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
• Coquand, T., 1995, „Konstruktivní topologický důkaz van der Waerdenovy věty,“Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
• van Dalen, D., 1978, „Interpretace intuicionistické analýzy“, Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
• –––, 1997, „Jak je spojeno intuicionální kontinuum?“„Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1147–1150.
• –––, 1999/2005, Mystic, geometer and intuitionist, Svazky I (1999) a II (2005), Oxford: Clarendon Press.
• –––, 2001, LEJ Brouwer (een biografie), Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker.
• –––, 2004, „Kolmogorov a Brouwer o konstruktivních důsledcích a vládu Ex Falso“, ruské matematické průzkumy, 59: 247–257.
• van Dalen, D. (ed.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
• Diaconescu, R., 1975, „Axiom výběru a komplementace“, v sborníku Americké matematické společnosti, 51: 176–178.
• Dummett, M., 1975, „The Filozofical Basis of Intuitionistic Logic,“in HE Rose and JC Shepherdson (eds.), Sborník logického kolokvia '73, zvláštní vydání Studie v logice a základy matematiky, 80: 5 –40.
• Fourman, M., a R. Grayson, 1982, „Formální prostory“, v AS Troelstra a D. van Dalen (eds.), Sté sympozium LEJ Brouwera, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Gentzen, G., 1934, „Untersuchungen über das logische Schließen I, II,“Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431.
• Gödel, K., 1958, 'Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes,' Dialectia, 12: 280–287.
• Hacker, PMS, 1986, Insight & Illusion. Témata ve filozofii Wittgensteina, revidované vydání, Clarendon Press, Oxford.
• Heyting, A., 1930, 'Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik,' Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Physikalisch-Mathatische Klasse, 42–56.
• –––, 1956, Intuitionismus, úvod, Amsterdam: Severní Holandsko.
• van der Hoeven, G. a I. Moerdijk, 1984, „Sheafovy modely pro výběrové sekvence“, „Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
• Kleene, SC, a RE Vesley, 1965, Základy intuitivní matematiky, Amsterdam: North-Holland.
• Kreisel, G., 1959, „Interpretace analýzy pomocí konstruktivních funkcionálů konečného typu“v A. Heyting (ed.), Konstruktivita v matematice, Amsterdam: Severní Holandsko.
• –––, 1962, „O slabé úplnosti intuicionální predikátové logiky,“Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
• –––, 1968, „Nepřípustné sekvence přirozených čísel,“Compositio Mathematica, 20: 222–248.
• Kripke, SA, 1965, 'Sémantická analýza intuicionistické logiky', v J. Crossley a M. Dummett (eds.), Formální systémy a rekurzivní funkce, Amsterdam: North-Holland.
• Lubarsky, R., F. Richman a P. Schuster 2012, „Kripkeho schéma v metrické topologii“, matematická logika čtvrtletně, 58 (6): 498–501.
• Maietti, ME a G. Sambin, 2007, „Směrem k minimalistickému základu pro konstruktivní matematiku“v L. Crosilla a P. Schuster (eds.), Od množin a typů po topologii a analýzu: směrem k minimalistickému základu pro konstruktivní matematiku, Oxford: Oxford University Press.
• Marion, M., 2003, 'Wittgenstein and Brouwer', Synthese 137: 103–127.
• Martin-Löf, P., 1970, Poznámky ke konstruktivní matematice, Stockholm: Almqvist & Wiskell.
• –––, 1984, Intuitionistická teorie typů, Napoli: Bibliopolis.
• Moschovakis, JR, 1973, „Topologická interpretace intuicionistické aritmetiky druhého řádu,“Compositio Mathematica, 26 (3): 261–275.
• –––, 1986, „Relativní bezpráví v intuicionistické analýze“, Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68–87.
• Myhill, J., 1975, 'Konstruktivní teorie množin,' Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
• Niekus, J., 2010, Brouwerovy neúplné předměty Historie a filozofie logiky, 31: 31–46.
• van Oosten, J., 2008, Realizovatelnost: Úvod do jeho kategorické stránky (Studie logiky a základy matematiky: svazek 152), Amsterdam: Elsevier.
• Prawitz, D., 1977, „Význam a důkazy: O konfliktu mezi klasickou a intuicionální logikou“Theoria, 43 (1): 2–40.
• Parsons, C., 1986, 'Intuition in Constructive Mathematics,' in Language, Mind and Logic, J. Butter (ed.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Sambin, G., 1987, 'Intuitionistic formální prostory', v Mathematical Logic and jeho Applications, D. Skordev (ed.), New York: Plenum.
• Scott, D., 1968, „Rozšíření topologické interpretace na intuicionální analýzu,“Compositio Mathematica, 20: 194–210.
• –––, 1970, „Rozšíření topologické interpretace na intuicionální analýzu II“, v teorii intuitionismu a důkazů, J. Myhill, A. Kino a R. Vesley (ed.), Amsterdam: Severní Holandsko.
• Sundholm, BG, „Konstruktivní rekurzivní funkce, církevní teze a Brouwerova teorie stvořitelského předmětu: Následky na společném zasedání v Paříži“, v Jacque Dubucs a Michel Bordeau (ed.), Konstruktivita a kompatibilita v historické a filozofické perspektivě (Logika, Epistemologie a Jednota vědy: Svazek 34), Dordrecht: Springer: 1–35.
• Tarski, A., 1938, 'Der Aussagenkalkül und die Topologie,' Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
• Tieszen, R., 1994, „Jaký je filozofický základ intuicionistické matematiky?“V D. Prawitz, B. Skyrms a D. Westerstahl (ed.), Logic, Methodology and Philosophy of Science, IX: 579–594.
• –––, 2000, „Intuitionismus, teorie významů a poznání,“Dějiny a filozofie logiky, 21: 179–194.
• Troelstra, AS, 1973, Metamathematical research of intuitionistic aritmetic and analysis, (Přednášky z matematiky: Svazek 344), Berlin: Springer.
• –––, 1977, Výběrové sekvence (Oxford Logic Guides), Oxford: Clarendon Press.
• Troelstra, AS, a D. van Dalen, 1988, Konstruktivismus I a II, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Veldman, W., 1976, „intuicionální věta o úplnosti pro intuicionální predikátovou logiku,“Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
• –––, 1999, „Borelská hierarchie a projektivní hierarchie v intuiční matematice“, Zpráva číslo 0103, Katedra matematiky, University of Nijmegen. [dostupný online]
• –––, 2004, „Intuitivní důkaz Kruskalovy věty,“Archiv pro matematickou logiku, 43 (2): 215–264.
• ––– 2009, „Brouwerova přibližná věta s pevným bodem je rovnocenná s Brouwerovou větrnou větou,“v S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (ed.), Logicismus, Intuitionismus a formalismus (Synthese Library: Svazek 341), Dordrecht: Springer, 277–299.
• ––– 2014, „Brouwerova věta o fanoušku jako axiom a na rozdíl od Kleenovy alternativy“, v Archivu pro matematickou logiku, 53 (5–6): 621–693.
• –––, nadcházející, „Intuitionismus je naprosto boze. Pokud to není inspirace, “v G. Alberts, L. Bergmans a F. Muller, (eds.), Significs and Vienna Vienna Circle: Intersections, Dordrecht: Springer. [předtisk je k dispozici online]
• Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,' Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
• Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Vienna, New York: Springer Verlag.
• Wright, C., 1982, 'Strict Finitism', Synthese 51 (2): 203–282.
• Yessenin-Volpin, AS, 1970, „Ultra-intuicionální kritika a antitradiční program pro základy matematiky“, v A. Kino, J. Myhill a R. Vesley (ed.), Intuitionismus a teorie důkazů, Amsterdam: North -Holland Publishing Company, 3–45.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje