Hybridní Logika

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Hybridní logika

První publikované Út 13. června 2006; věcná revize pá 24. března 2017

Hybridní logika je logika, která je výsledkem přidání další expresivní síly k běžné modální logice. Nejzákladnější hybridní logika se získá přidáním tzv. Nominálů, což jsou výrokové symboly nového druhu, z nichž každá platí přesně v jednom možném světě. Historie hybridní logiky sahá až do práce Arthura N. Prior v 60. letech.

• 1. Motivace pro hybridní logiku
• 2. Formální sémantika
• 3. Překlady
• 4. Arthur N. Prior a hybridní logika
• 5. Vývoj hybridní logiky od Prior
• 6. Axiomy pro hybridní logiku
• 7. Analytické důkazní metody pro hybridní logiku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Motivace pro hybridní logiku

Ve standardní sémantice Kripke pro modální logiku je pravda relativní k bodům v sadě. Tedy výrokový symbol by mohl mít různé hodnoty pravdy vzhledem k různým bodům. Obvykle se tyto body berou v úvahu možné světy, časy, epistemické stavy, stavy v počítači nebo něco jiného. To nám umožňuje formalizovat výroky v přirozeném jazyce, jejichž pravdivé hodnoty jsou relativní například v době, jako je výrok

prší

který má jasně různé hodnoty pravdy v různých časech. Nyní jsou některá tvrzení přirozeného jazyka pravdivá přesně v jeden čas, možný svět nebo něco jiného. Příkladem je prohlášení

je pět hodin 15. března 2006

což platí v době pěti hodin 15. března 2006, ale ve všech ostatních případech nepravdivé. První druh výroků přirozeného jazyka může být formalizován běžnou modální logikou, ale druhý druh nemůže.

Hlavní motivací pro hybridní logiku je přidat další expresivní sílu k běžné modální logice s cílem umožnit formalizaci druhého druhu prohlášení. Toto je získáno tím, že k obyčejné modální logice přidá druhý druh výrokových symbolů nazývaných nominály tak, že v Kripkeho sémantice je každá nominální hodnota ve vztahu k přesně jednomu bodu. Výrok přirozeného jazyka druhého druhu (jako příklad výroku s časem pěti hodin 15. března 2006) je poté formalizován pomocí nominálního, nikoli obyčejného výrokového symbolu (který by byl použit k formalizaci vzorového prohlášení za deštivého počasí).. Skutečnost, že nominál je pravdivý relativně přesně k jednomu bodu, znamená, že nominál může být považován za termín odkazující na bod, například pokud (mathtt {a}) je nominál, který znamená „je pět „hodiny 15. března 2006“,pak tento nominál může být považován za termín odkazující na čas pět hodin 15. března 2006. Proto v hybridní logice je termín specifickým druhem výrokového symbolu, zatímco v logice prvního řádu je argumentem predikátu.

Většina hybridních logik zahrnuje další další stroje než nominální hodnoty. Existuje řada možností pro přidání dalších strojů; zde budeme uvažovat o tom, čemu se říká operátory spokojenosti. Motivací pro přidání operátorů spokojenosti je být schopen formalizovat prohlášení pravdivé v určitém čase, možném světě nebo něčem jiném. Například chceme být schopni formalizovat, že prohlášení „prší“je pravdivé v době pěti hodin 15. března 2006, to znamená, že

v pět hodin 15. března 2006 prší.

Toto je formalizováno vzorcem (mathtt {@_ a p}), kde nominální (mathtt {a}) znamená "je pět hodin 15. března 2006" jak je uvedeno výše a kde (mathtt {p}) je běžný výrokový symbol, který znamená „prší“. Je to část (mathtt {@_ a}) vzorce (mathtt {@_ a p}), která se nazývá spokojenost operátor. Obecně, jestliže (mathtt {a}) je nominální a (mathtt { phi}) je libovolný vzorec, pak nový vzorec (mathtt {@_ a / phi}) nazýval lze sestavit prohlášení o spokojenosti. Prohlášení o spokojenosti (mathtt {@_ a / phi}) vyjadřuje, že vzorec (mathtt { phi}) je pravdivý vzhledem k jednomu konkrétnímu bodu, konkrétně k bodu, ke kterému nominální (mathtt {a }) odkazuje.

Abychom to shrnuli, nyní jsme přidali další expresivní sílu k běžné modální logice ve formě operátorů nominálů a spokojenosti. Neformálně má nominální (mathtt {a}) pravdu

(mathtt {a}) je pravdivý vzhledem k bodu (w)

pouze tehdy, je - li odkaz na (mathtt {a}) totožný s (w)

a prohlášení o spokojenosti (mathtt {@_ a / phi}) má pravdu

(mathtt {@_ a / phi}) je pravda vzhledem k bodu (w), a pouze tehdy, pokud

(mathtt { phi}) je pravda vzhledem k odkazu na (mathtt {a })

Všimněte si, že ve skutečnosti bod (w) nezáleží na skutečných podmínkách pro (mathtt {@_ a / phi}), protože operátor uspokojení (mathtt {@_ a}) přesouvá bod hodnocení na odkaz na (mathtt {a}) bez ohledu na identitu (w).

Je pozoruhodné, že nominály společně s operátory spokojenosti nám umožňují vyjádřit, že dva body jsou totožné: Pokud nominály (mathtt {a}) a (mathtt {b}) odkazují na body (w) a (v), potom vzorec (mathtt {@_ a b}) vyjadřuje, že (w) a (v) jsou totožné. Následující řádek odůvodnění ukazuje proč.

(mathtt {@_ a b}) je pravda vzhledem k bodu (w), a pouze tehdy, pokud

(mathtt {b}) je pravda vzhledem k odkazu na (mathtt {a})

pokud a pouze pokud

(mathtt {b}) je pravdivé vzhledem k (w), pokud a pouze pokud

je odkaz na (mathtt {b}) totožný s (w), pokud a pouze pokud

(v) je totožné s (w)

Identitní vztah na množině má známé vlastnosti reflexivity, symetrii a transitu, což se odráží ve skutečnosti, že vzorce

) begin {align *} & / mathtt {@_ a a} & / mathtt {@_ a b / rightarrow @_b a} & (mathtt {@_ a b / amp @_b c) rightarrow @ _a c} end {zarovnat *})

jsou platné vzorce hybridní logiky. Také vzorec

[(mathtt {@_ ab / amp @_a / phi) rightarrow @_b / phi})

je platný. Toto je pravidlo nahrazení.

Kromě operátorů nominálů a spokojenosti budeme v následujících úvahách brát v úvahu tzv. Pojiva (mathtt { forall}) a (mathtt { downarrow}), která nám umožní vytvářet vzorce (mathtt { forall a / phi}) a (mathtt {{ downarrow} a / phi}). Vazače váže nominály na body dvěma různými způsoby: Pojivo (mathtt { forall}) kvantifikuje přes body analogické ke standardnímu univerzálnímu kvantifikátoru prvního řádu, tj. (Mathtt { forall a / phi}) je pravdivé vzhledem k (w), a to pouze tehdy, pokud se na kterýkoli bod vztahuje nominální (mathtt {a}), je pravdou, že (mathtt { phi}) je pravdivé vzhledem k (w). Vazač (mathtt { downarrow}) váže nominální hodnotu k bodu hodnocení, to znamená, že (mathtt {{ downarrow} a / phi}) je pravdivý vzhledem k (w), pokud a pouze pokud (mathtt { phi}) platí ve vztahu k (w), když (mathtt {a}) odkazuje na (w). Ukázalo se, že pořadač (mathtt { downarrow}) je definovatelný z hlediska (mathtt { forall}) (viz obrázek níže).

2. Formální sémantika

Jazyk, který zvažujeme, je jazyk obyčejné modální logiky postavený na obyčejných výrokových symbolech (mathtt {p}, / mathtt {q}, / mathtt {r}, …) stejně jako nominály (mathtt {a}, / mathtt {b}, / mathtt {c}, …) a rozšířeno o operátory spokojenosti a pojiva. Bereme výrokové spojky (mathtt { wedge}) a (mathtt { neg}) za primitivní; ostatní výroková spojovací slova jsou definována jako obvykle. Podobně bereme modálního operátora (mathtt { Box}) jako primitivního a definujeme modálního operátora (mathtt { Diamond}) jako (mathtt { neg / Box / neg}). Jak název napovídá, pojiva váží nominály a pojmy volné a vázané výskyty nominálů jsou definovány analogicky s logikou prvního řádu. Operátoři spokojenosti nezavazují nominály, tj.volné nominální výskyty ve vzorci (mathtt {@_ a / phi}) jsou volné nominální výskyty v (mathtt { phi}) spolu s výskytem (mathtt {a}). Necháme (mathtt { phi [c / a]}) vzorec (mathtt { phi}), kde nominální (mathtt {c}) byl nahrazen za všechny výskyty zdarma nominální (mathtt {a}). Pokud nominální (mathtt {a}) nastane zdarma v (mathtt { phi}) v rámci (mathtt { forall c}) nebo (mathtt {{ downarrow} c}), poté se podle potřeby přejmenuje vázaný nominál (mathtt {c}) v (mathtt { phi}). Pokud nominální (mathtt {a}) nastane zdarma v (mathtt { phi}) v rámci (mathtt { forall c}) nebo (mathtt {{ downarrow} c}), poté se podle potřeby přejmenuje vázaný nominál (mathtt {c}) v (mathtt { phi}). Pokud nominální (mathtt {a}) nastane zdarma v (mathtt { phi}) v rámci (mathtt { forall c}) nebo (mathtt {{ downarrow} c}), poté se podle potřeby přejmenuje vázaný nominál (mathtt {c}) v (mathtt { phi}).

Nyní definujeme modely a rámečky. Model pro hybridní logiku je trojitý ((W, R, V)), kde (W) je neprázdná množina, (R) je binární relace na (W) a (V) je funkce, která každému páru sestávajícímu z prvku (W) a běžného výrokového symbolu přiřazuje prvek množiny ({0,1 }). Pár ((W, R)) se nazývá rámeček. Modely a rámce jsou tedy stejné jako v běžné modální logice. Prvky (W) se nazývají světy a vztah (R) se nazývá vztah přístupnosti. Model ((W, R, V)) je údajně založen na rámci ((W, R)).

Přiřazení modelu (M = (W, R, V)) je funkce (g), která každému nominálu přiřadí prvek (W). Přiřazení (g ') je (mathtt {a}) -odpora (g), pokud (g') souhlasí s (g) u všech nominálů, možná (mathtt) {A}). Vztah (M, g, w / vDash / phi) je definován indukcí, kde (g) je přiřazení, (w) je prvek (W) a (mathtt { phi}) je vzorec.

(M, g, w / vDash / mathtt {p}) iff (V (w, / mathtt {p}) = 1)

(M, g, w / vDash / mathtt {a}) iff (w = g (mathtt {a}))

(M, g, w / vDash / mathtt { phi / wedge / psi}) iff (M, g, w / vDash / mathtt { phi }) a (M, g, w / vDash / mathtt { psi})

(M, g, w / vDash / mathtt { neg / phi}), pokud ne (M, g, w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { Box} phi) iff pro libovolný prvek (v) z (W) tak, že (wRv), je to tak, že (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {@_ a / phi}) iff (M, g, g (mathtt {a}) vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { forall a / phi}) iff pro jakékoli (mathtt {a}) - varianta (g ') z (g), je to tak, že (M, g', w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {{ downarrow} a / phi}) iff (M, g ', w / vDash / mathtt { phi}) kde (g') je (mathtt {a}) - varianta (g) taková, že (g '(mathtt {a}) = w).

Vzorec (mathtt { phi}) je považován za pravdivý v (w), pokud (M, g, w / vDash / mathtt { phi}); jinak to je řekl, aby byl nepravdivý u (w). Konvencí (M, g / vDash / mathtt { phi}) znamená (M, g, w / vDash / mathtt { phi}) pro každý prvek (w) z (W) a (M / vDash / mathtt { phi}) znamená (M, g / vDash / mathtt { phi}) pro každé přiřazení (g). Vzorec (mathtt { phi}) je platný v rámci pouze tehdy, pokud (M / vDash / mathtt { phi}) pro jakýkoli model (M), který je založen na daném rámci. Vzorec (mathtt { phi}) je platný ve třídě rámců (F), a to pouze tehdy, pokud (mathtt { phi}) je platný v kterémkoli rámci v (F). Vzorec (mathtt { phi}) je platný pouze tehdy, pokud (mathtt { phi}) je platný ve třídě všech rámců. Definice uspokojivosti je ponechána na čtenáři.

Všimněte si, že pojivo (mathtt { downarrow}) je definovatelné z hlediska (mathtt { forall}) jako vzorec (mathtt {{ downarrow} a / phi / leftrightarrow / forall a (a / rightarrow / phi)}) platí v jakémkoli rámci.

Skutečnost, že hybridizace obyčejné modální logiky skutečně dává větší expresivní sílu, lze například vidět zvážením vzorce (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}). Je snadné zkontrolovat, zda je tento vzorec v rámci platný, a to pouze tehdy, je-li rámec nereplexivní. Irreflexivita tak může být vyjádřena hybridním logickým vzorcem, ale je dobře známo, že nemůže být vyjádřena žádným vzorcem běžné modální logiky. Irreflexivita může být ve skutečnosti vyjádřena pouze přidáním nominálů k běžné modální logice, konkrétně vzorcem (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}). Jiné příklady vlastností vyjádřitelných v hybridní logice, ale ne v běžné modální logice, jsou asymetrie (vyjádřená (mathtt {c / rightarrow / Box / neg / Diamond c})), antisymetrie (vyjádřená (mathtt {) c / rightarrow / Box (Diamond c / rightarrow c)})),a univerzálnost (vyjádřeno (mathtt { Diamond c})).

Podrobný popis syntaxe a sémantiky hybridní logiky a mnoha dalších základních definic najdete v příručce Areces and ten Cate (2006). Syntaxe a sémantika výše mohou být rozšířeny řadou způsobů, zejména může být přidán stroj prvního řádu (samozřejmě rovnocenný způsob, jak získat hybridní logiku prvního řádu, je přidání hybridního logického stroje k modálnímu řádu prvního řádu. logika). Přehled hybridní logiky prvního řádu naleznete v Braüneru (2014), podrobnější popis naleznete v kapitole 6 Braünera (2011a) a v kapitole 7 Braünera (2011a) najdete podrobný popis hybridní logiky prvního řádu.

3. Překlady

Hybridní logika může být převedena do logiky prvního řádu s rovností a (fragment) logiky prvního řádu s rovností může být přeložena zpět do (fragmenty) hybridní logiky. Uvažovaný jazyk prvního řádu má 1-místný predikátový symbol (mathtt {p ^ *}) odpovídající každému běžnému výrokovému symbolu (mathtt {p}) modální logiky, 2-místný predikátový symbol (mathtt {R}) a dvoumístný predikátový symbol (mathtt {=}). Symbol predikátu (mathtt {p ^ *}) bude samozřejmě interpretován tak, že relativizuje interpretaci odpovídajícího modálního výrokového symbolu (mathtt {p}) vůči světům, symbolu predikátu (mathtt {R}) bude interpretován pomocí vztahu přístupnosti a predikátový symbol (mathtt {=}) bude interpretován pomocí vztahu identity na světech. Nechali jsme (mathtt {a}, / mathtt {b},\ mathtt {c}, / ldots) se pohybují nad proměnnými prvního řádu. Jazyk nemá konstantní nebo funkční symboly. Proměnné prvního řádu identifikujeme s nominály hybridní logiky.

Nejprve převedeme hybridní logiku do logiky prvního řádu s rovností. Vzhledem ke dvěma novým proměnným prvního řádu (mathtt {a}) a (mathtt {b}), překlady (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) a (mathrm { ST} _ / mathtt {b}) jsou definovány vzájemnou rekurzí. Dáme jen překlad (mathrm {ST} _ / mathtt {a}).

) begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {p}) & = / mathtt {p ^ * (a)} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt {c}) & = / mathtt {a = c} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { psi}) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {ST} _a (phi) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / phi }) & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { phi}) mathtt {)} / \ mathrm {ST } _ / mathtt {a} (mathtt {@_ c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {c} / / mathtt {a}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {a} / / mathtt {c}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { forall c / phi}) &= / mathtt { forall c} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) end {zarovnat *})

Definice (mathrm {ST} _ / mathtt {b}) se získá výměnou (mathtt {a}) a (mathtt {b}). Překlad je rozšířením dobře známého standardního překladu z modální logiky do logiky prvního řádu. Jako příklad ukážeme krok za krokem, jak se hybridní-logický vzorec (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) převede do vzorce prvního řádu:

) begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / neg c})) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { neg c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt {c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = c)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = A)}. / end {zarovnat *})

Výsledný vzorec prvního řádu je ekvivalentem (mathtt { neg R (a, a)}), což ukazuje, že (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) skutečně odpovídá vztah dostupnosti je irreflexivní, srov. výše.

Logiku prvního řádu s rovností lze překládat zpět do hybridní logiky pomocí překladu HT uvedeného níže.

) begin {align *} mathrm {HT} (mathtt {p ^ * (a)}) & = / mathtt {@_ a p} / \ mathrm {HT} (mathtt {R (a, c)}) & = / mathtt {@_ a / Diamond c} / \ mathrm {HT} (mathtt {a = c}) & = / mathtt {@_ a c} / \ mathrm {HT} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {HT} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {HT} (mathtt { psi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {HT} (mathtt { phi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { forall a / phi}) & = / mathtt { forall a} mathrm {HT} (mathtt { phi}) end {zarovnat *})

Nezapomeňte, že je potřeba hybridní logické pořadače (mathtt { forall}). Historie výše uvedených pozorování sahá až do práce Arthura N. Prior, k tomu se vrátíme později.

Podobně to, co se nazývá ohraničený fragment logiky prvního řádu, lze převést do hybridní logiky, ale zde je potřeba pouze pořadač (mathtt { downarrow}), jak je uvedeno v článku Areces, Blackburn a Marx (2001). Omezený fragment je fragment logiky prvního řádu s vlastností, že kvantifikátory se vyskytují pouze ve vzorci (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}), kde je vyžadován že proměnné (mathtt {a}) a (mathtt {c}) jsou odlišné. Překlad z ohraničeného fragmentu do hybridní logiky bez vazače (mathtt { forall}) lze získat nahrazením poslední věty v překladu HT výše výrazem

) mathrm {HT} (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) = / mathtt {@_ a / Box { downarrow} c} mathrm {HT} (mathtt { phi}).)

V Areces, Blackburn a Marx (2001) je uvedena řada nezávislých sémantických charakteristik ohraničeného fragmentu.

Výše uvedené překlady zachovávají pravdu. K formálnímu vyjádření toho lze využít dobře známého pozorování, že modely a přiřazení pro hybridní logiku lze považovat za modely a přiřazení pro logiku prvního řádu a naopak. Tyto výsledky uchování pravdy lze snadno formulovat a podrobnosti necháváme na čtenáři. Hybridní logika s pořadačem (mathtt { forall}) má tedy stejnou expresivní sílu jako logika prvního řádu s rovností a hybridní logika bez pořadače (mathtt { forall}) (ale s pořadač (mathtt { downarrow})) má stejnou expresivní sílu jako ohraničený fragment logiky prvního řádu (všimněte si, že překlad (mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) libovolného vzorce (mathtt { phi}) bez pořadače (mathtt { forall}) je v ohraničeném fragmentu).

Výše uvedené překlady lze rozšířit na hybridní logiku prvního řádu, v tomto případě je relevantní cílovou logikou dvouřadá logika prvního řádu s rovností, jeden druh pro světy a jeden druh pro jednotlivce, viz kapitola 6 Braünera (2011a). V případě intenzivní hybridní logiky prvního řádu se používají tři druhy, třetí typ je pro intenzitu, viz kapitola 7 Braünera (2011a).

4. Arthur N. Prior a hybridní logika

Historie hybridní logiky sahá až do hybridní napjaté logiky Arthura N. Prior, která je hybridizovanou verzí běžné napjaté logiky. Abychom to dále prozkoumali, uvedeme formální definici hybridní napjaté logiky: Jazyk hybridní napjaté logiky je jednoduše jazyk hybridní logiky definovaný výše, kromě toho, že existují dva modální operátoři, konkrétně (mathtt {G}) a (mathtt {H}) namísto jediného operátora modální dopravy (mathtt { Box}). Dva nové modální operátory se nazývají napjaté operátory. Sémantika hybridní napjaté logiky je sémantika hybridní logiky, srov. dříve, s klauzulí pro (mathtt { Box}) nahrazeno klauzulami pro napjaté operátory (mathtt {G}) a (mathtt {H}).

(M, g, w / vDash / mathtt {G / phi}) iff pro libovolný prvek (v) z (W) tak, že (wRv), je to tak, že (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {H / phi}) iff pro libovolný prvek (v) z (W) takový, že (vRw), je to tak, že (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

Nyní tedy existují dva modální operátoři, a to jeden, který „hledí dopředu“podél vztahu dostupnosti a druhý, který „hledí dozadu“. V napjaté logice se prvky množiny (W) nazývají momenty nebo instanty a vztah (R) se nazývá dřívější vztah.

Samozřejmě je jednoduché modifikovat překlady (mathrm {ST} _a) a (mathrm {HT}) výše tak, aby překlady byly získány mezi hybridní napjatou logikou (včetně (mathtt { forall) }) pořadač) a logiku prvního řádu s rovností. Uvažovaná logika prvního řádu je to, co Prior nazýval dřívější logikou prvního řádu. Vzhledem k překladům z toho vyplývá, že Priorova dřívější logika prvního řádu má stejnou expresivní sílu jako hybridní napjatá logika.

Nyní, Prior zavedl hybridní napjatou logiku v souvislosti s tím, co nazval čtyřmi stupni napjatě-logické účasti. Motivace pro jeho čtyři stupně časově logického zapojení byla filozofická. Čtyři známky byly představeny v knize Prior (1968), kapitola XI (také kapitola XI v novém vydání Prior (2003)). Navíc viz Prior (1967), kapitola V.6 a dodatek B.3-4. Pro obecnější diskusi viz posmrtně vydaná kniha Prior and Fine (1977). Fáze postupují od toho, co lze považovat za čistou logiku prvního řádu dříve a později, k čemu lze považovat za čistě napjatou logiku; cílem je, aby bylo možné uvažovat o napjaté logice čtvrté fáze jako o zahrnutí dřívější logiky první fáze. Jinými slovy, cílem bylo být schopno převést logiku prvního řádu dřívějšího vztahu do napjaté logiky. S ohledem na tento cíl Prior zavedl tzv. Okamžité návrhy:

To, čemu říkám třetí stupeň časově logické angažovanosti, spočívá v tom, že s okamžitými proměnnými (a, b, c) atd. Zachází také jako s návrhy. (Předchozí 2003, s. 124)

V souvislosti s modální logikou nazýval Prior takové návrhy světovými návrhy. To je samozřejmě to, co zde nazýváme nominální. Prior také představil pořadač (mathtt { forall}) a to, co zde nazýváme operátory spokojenosti (použil notaci (mathtt {T (a, / phi)}) místo (mathtt {@ _a / phi}) pro operátory spokojenosti). Ve skutečnosti je Priorova napjatá logika třetího stupně totožná s hybridní napjatou logikou, jak je definována výše. Pojivo (mathtt { downarrow}) bylo představeno mnohem později. Proto Prior získal expresivní sílu své logiky prvního řádu dříve - později přidáním k běžné napjaté logice další expresivní sílu ve formě nominálů, operátorů uspokojení a pořadače (mathtt { forall}). Z technického hlediska tedy jasně dosáhl svého cíle.

Z filozofického hlediska se však debatovalo o tom, zda je ontologický import jeho napjaté logiky třetího stupně stejný jako ontologický import logiky prvního řádu dříve a později. Například, pojivo (mathtt { forall}) je některými autory považováno za přímou analogii k kvantifikátoru (mathtt { forall}) prvního řádu, a proto existuje podezření; viz například papír Sylvan (1996) ve sbírce Copeland (1996). Relevantní je také řada dalších dokumentů v této sbírce. Viz Braüner (2002) pro diskusi o Prioritě čtvrté třídy napjaté logiky. Viz také Øhrstrøm a Hasle (1993), Øhrstrøm a Hasle (2006), Müller (2007) a Blackburn (2007). A konečně viz diskuse o čtyřech stupních Prior v kapitole 1 Braünera (2011a).

Výše uvedený článek Øhrstrøm a Hasle (2006) poskytuje podrobný popis logické práce Prior. Úplný popis života a práce Prior je uveden v knize Øhrstrøm and Hasle (1995). Článek Hasle a Øhrstrøm (2016) popisuje Priorův metodologický přístup, zejména jeho pohled na formalizaci a roli symbolické logiky v konceptuálních studiích.

5. Vývoj hybridní logiky od Prior

První zcela přísná definice hybridní logiky byla vydána v Bull (1970), který se objevil ve zvláštním čísle časopisu Theoria na památku Prior. Bull zavádí třetí druh výrokových symbolů, kde se výrokový symbol považuje za pravdivý přesně v jedné větvi („běh událostí“) v časovém modelu větvení. Tuto myšlenku třídění výrokových symbolů podle omezení jejich interpretace později dále rozvinula řada autorů, diskusi viz část 5 článku Blackburn a Tzakova (1999).

Hybridní logické strojní zařízení, které původně vynalezl Prior na konci 60. let, bylo znovuobjeveno v 80. letech Solomonem Passym a Tinko Tinchevem z Bulharska, viz Passy a Tinchev (1985), jakož i Passy a Tinchev (1991). Spíše než běžná modální logika se tato práce odehrávala v souvislosti s mnohem výraznějším prozatímním dynamickým logikem.

Hlavním přínosem v 90. letech bylo zavedení pojiva (mathtt { downarrow}). Ranou verzi pojiva pro downarrow představil Valentin Goranko v dokumentech Goranko (1994) a Goranko (1996). Verze této práce byla představena v Blackburn a Seligman (1995). Od té doby byla rozsáhle studována hybridní logika s pojivem (mathtt { downarrow}), viz například článek Areces, Blackburn a Marx (2001) o teoretických modelech této logiky. Komplexní studium modelové teorie hybridní logiky je dizertační prací deseti Cate (2004).

Také slabší hybridní logika získaná vynecháním obou pojiv (mathtt { downarrow}) a (mathtt { forall}) byla předmětem rozsáhlého průzkumu. Ukázalo se, že tato logika bez pojiva a řada variant je rozhodnutelná. V článku Areces, Blackburn a Marx (1999) je uvedeno několik výsledků komplexnosti pro hybridní modální a napjatou logiku přes různé třídy rámců, například libovolné, tranzitivní, lineární a větvení. Je pozoruhodné, že problém uspokojivosti hybridní logiky bez pojiva nad arbitrárními rámci je rozhodnutelný v PSPACE, což je stejné jako složitost rozhodování o uspokojivosti v běžné modální logice. Hybridizace běžné modální logiky tak dává výraznější sílu, ale složitost zůstává stejná. Byla provedena práce na simulaci nominálních hodnot v rámci modální logiky,viz Kracht a Wolter (1997).

Jakýkoli obyčejný modální vzorec vyjadřuje monadickou vlastnost druhého řádu na rámcích a je dobře známo, že pro některé modální vzorce, včetně toho, co se nazývá Sahlqvistické vzorce, je vlastnost druhého řádu ekvivalentní vlastnosti prvního řádu. V článku Goranko a Vakarelov (2006) se ukazuje, že to platí také pro třídu hybridních logických vzorců, včetně nominálů. Existuje několik algoritmů pro výpočet ekvivalentů prvního řádu běžného modálního vzorce. Jeden takový algoritmus, SQEMA, je v článku Conradie, Goranko a Vakarelov (2006) rozšířen o hybridní logické vzorce uvažované v Goranko a Vakarelov (2006).

Je pozoruhodné, že hybridní logika prvního řádu nabízí přesně funkce potřebné k prokázání interpolačních vět: I když interpolace selže v řadě dobře známých modálních logik prvního řádu, jejich hybridizované protějšky mají tuto vlastnost, viz Areces, Blackburn a Marx (2003) a Blackburn a Marx (2003). První článek poskytuje teoretický model interpolace, zatímco druhý článek poskytuje algoritmus pro výpočet interpolantů na základě systému tabelátorů.

Je třeba také zmínit, že logika podobná hybridní logice hraje ústřední roli v oblasti logiky popisu, což je rodina logik používaných pro reprezentaci znalostí v Umělé inteligenci, viz článek Blackburn a Tzakova (1998) a Carlos Areces 'PhD práce (2000).

Jak je popsáno v předchozí části, Prior zavedl hybridní napjatou logiku, která se zabývala konkrétním problémem ve filozofii času, ale v Prior (1968), Kapitola XIV (také Kapitola XIV v novém vydání Prior (2003)), také ukázal tato hybridní napjatá logika může nahradit dvourozměrnou časovou logiku zavedenou Hansem Kampem v Kampu (1971). Dimenze je jednoduše počet okamžiků, ve kterých je vzorec vyhodnocen vzhledem k, takže přidání hybridního-logického aparátu umožňuje nahradit dvě dimenze jednou. Na tuto práci nedávno navázalo v řadě článků Blackburn a Jørgensen, přehled viz Blackburn a Jørgensen (2016a). Nyní uvedeme krátký náčrt této linie práce, přizpůsobený terminologii této práce. Verze dotyčné hybridní logiky má jmenovitou nominální (mathtt {now}) a každý model přichází společně s určenou dobou (t_0) tak, že i) jakýkoli samostatný vzorec je vyhodnocen vzhledem k (t_0) a ii) nominální (mathtt {now}) označuje (t_0). Formálně přijímáme konvenci, že ((M, t_0), g / vDash / mathtt { phi}) znamená (M, g, t_0 / vDash / mathtt { phi}) a bereme v úvahu pouze přiřazení (g) kde (g (mathtt {now}) = t_0). Všimněte si, že nominál (mathtt {now}), považovaný za samostatný vzorec, je v této sémantice platný, ale neplatí to pro žádný jiný nominál. Tento nový pojem platnosti je Blackburnem a Jørgensenem označován jako kontextová platnost. Papír Blackburn a Jørgensen (2013) poskytuje axiomový systém, který je kompletní wrt. tento pojem kontextové platnosti. Papír Blackburn a Jørgensen (2012) poskytuje kompletní tabulový systém, ale sémantika tohoto článku je v souladu s původní Kampovou původní dvojrozměrnou sémantikou. Oba papíry také zvažují další indexy jako (mathtt {včera}), (mathtt {dnes}) a (mathtt {zítra}).

Článek Blackburn a Jørgensen (2016b) používá hybridní napjatou logiku, aby spojil myšlenky Prior s těmi, které vytvořil Hans Reichenbach o tom, jak reprezentovat časy přirozeného jazyka. Prior dával přednost známým napjatým operátorům popsaným výše, zatímco Reichenbach preferoval časové odkazy, to znamená odkazy na konkrétní časy, Reichenbach (1947). Ukazuje se, že oba přístupy lze kombinovat, což nebyla cesta, kterou provedl sám Prior - viz účet uvedený v Blackburn a Jørgensen (2016b),

6. Axiomy pro hybridní logiku

Řada článků se zabývala axiomy pro hybridní logiku, například Gargov a Goranko (1993), Blackburn (1993) a Blackburn a Tzakova (1999). V článku Gargov a Goranko (1993) je uveden axiomový systém pro hybridní logiku a je ukázáno, že pokud je systém rozšířen o sadu dalších axiomů, které jsou čistými vzorci (tj. Vzorci, kde jsou všechny výrokové symboly nominální), pak je systém rozšířené axiomy kompletní s ohledem na třídu rámců validujících dotyčné axiomy. Čisté vzorce odpovídají podmínkám prvního řádu ve vztahu přístupnosti (srov. Překlad (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) výše), takže axiomy pro nové hybridní logiky s podmínkami prvního řádu na přístupnosti vztah lze získat jednotným způsobem jednoduše přidáním axiomů podle potřeby. Tak,pokud je například jako axiom přidán vzorec (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}), pak je výsledný systém s ohledem na irreflexivní rámce kompletní, srov. dříve. Viz diskuse o těchto pravidlech v části 4 dokumentu Blackburn (2000).

Důkazní systém v Gargově a Goranku (1993) využívá složité pravidlo (nazývané COV), kde schéma vzorců obsahující aktivní část pravidla může být libovolně velké; ve skutečnosti je aktivní část zabudována do libovolně hlubokých hnízd modálních operátorů. Blackburn a Tzakova (1999) ukazují, že operátoři spokojenosti lze použít k formulaci axiomatického systému ve standardnějším formátu, za použití jednoduššího pravidla nazvaného PASTE, takže systém je stále ještě rozšířen o čisté axiony.

Článek Blackburn and ten Cate (2006) zkoumá pravověrná pravidla kontroly (což jsou pravidla kontroly bez vedlejších podmínek) v axiomových systémech a ukazuje se, že pokud si člověk vyžaduje rozšířenou úplnost pomocí čistých vzorců, pak jsou nezbytná neortodoxní pravidla kontroly v axiomových systémech pro hybridní logiku bez pojiva, ale axiomatický systém může být uveden pouze s ortodoxními pravopisnými pravidly pro silnější hybridní logiku včetně pojiva (mathtt { downarrow}). Viz také kniha Braüner (2011a) pro další axiomový systém pro hybridní logiku a axiomové systémy pro intuicionální hybridní logiku a hybridizaci Nelsonovy parakonzistentní logiky N4 (ve srovnání s Costa a Martins (2016), kde se uvažuje o další paraconsistentní hybridní logice). Přehled intuicionální hybridní logiky lze nalézt v Braüneru (2011b).

Článek Areces, Blackburn, Huertas a Manzano (2014) pojednává o hybridní logické verzi modální logiky vyššího řádu (tj. Modální logiky postavené na jednoduché církevní teorii typů). Axiom systémy jsou uvedeny a úplnost je prokázána wrt. Sémantika Henkinova typu. Papír Blackburn, Huertas, Manzano a Jørgensen (2014) rozšiřuje tyto výsledky tak, aby zahrnovaly pojivo sestupného směru a poskytuje překlady do az omezeného fragmentu logiky prvního řádu (viz výše).

7. Analytické důkazní metody pro hybridní logiku

Tableau, Gentzen, a teorie přirozeného dedukčního stylu pro hybridní logickou práci velmi dobře ve srovnání s běžnou modální logikou. Obvykle, když je uveden modální tabel, Gentzen, nebo přirozený dedukční systém, je to pro jednu konkrétní modální logiku a ukázalo se jako problematické formulovat takové systémy pro modální logiku jednotným způsobem bez zavedení metalinguistického aparátu. To lze napravit hybridizací, to znamená, že hybridizace modální logiky umožňuje formulaci jednotných tabulek, Gentzenových a přirozených dedukčních systémů pro široké třídy logiky. Článek Blackburn (2000) zavádí tabulkový systém pro hybridní logiku, který má tuto žádoucí vlastnost: Analogicky k axiomu systému Blackburn a Tzakova (1999) je úplnost zachována, pokud je tabákový systém rozšířen o sadu čistých axiomů, tj.,sada čistých vzorců, které mohou být přidány do tabulky během konstrukce tabulky. Tabulkový systém Blackburn (2000) je základem pro postup rozhodování o fragmentu hybridní logiky bez pojiva, který je uveden v Bolander a Braüner (2006). Tato práce pokračovala v dokumentech Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Příspěvek Cerrito a Cialdea (2010) představuje další rozhodovací postup založený na tabulkách pro hybridní logiku. Další rozhodovací postupy pro hybridní logiku, které jsou rovněž založeny na důkazní teorii, jsou uvedeny v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Tabulkový systém Blackburn (2000) je základem pro postup rozhodování o fragmentu hybridní logiky bez pojiva, který je uveden v Bolander a Braüner (2006). Tato práce pokračovala v dokumentech Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Příspěvek Cerrito a Cialdea (2010) představuje další rozhodovací postup založený na tabulkách pro hybridní logiku. Další rozhodovací postupy pro hybridní logiku, které jsou rovněž založeny na důkazní teorii, jsou uvedeny v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Tabulkový systém Blackburn (2000) je základem pro postup rozhodování o fragmentu hybridní logiky bez pojiva, který je uveden v Bolander a Braüner (2006). Tato práce pokračovala v dokumentech Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Příspěvek Cerrito a Cialdea (2010) představuje další rozhodovací postup založený na tabulkách pro hybridní logiku. Další rozhodovací postupy pro hybridní logiku, které jsou rovněž založeny na důkazní teorii, jsou uvedeny v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Tato práce pokračovala v dokumentech Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Příspěvek Cerrito a Cialdea (2010) představuje další rozhodovací postup založený na tabulkách pro hybridní logiku. Další rozhodovací postupy pro hybridní logiku, které jsou rovněž založeny na důkazní teorii, jsou uvedeny v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Tato práce pokračovala v dokumentech Bolander a Blackburn (2007) a Bolander a Blackburn (2009). Příspěvek Cerrito a Cialdea (2010) představuje další rozhodovací postup založený na tabulkách pro hybridní logiku. Další rozhodovací postupy pro hybridní logiku, které jsou rovněž založeny na důkazní teorii, jsou uvedeny v článku Kaminski a Smolka (2009). Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul. Postupy posledně uvedeného článku jsou založeny na formulaci hybridní logiky vyššího řádu zahrnující jednoduše typovaný lambda kalkul.

Článek Hansen, Bolander a Braüner (2017) uvádí rozhodovací proceduru založenou na tabulkách pro mnohohodnotnou hybridní logiku, tj. Hybridní logiku, kde byla dvojnásobná klasická logická základna zobecněna na mnohohodnotnou logickou základnu zahrnující prostor s pravdivou hodnotou, který má strukturu konečné Heytingovy algebry. Hansen (2010) poskytuje rozhodovací proceduru založenou na tabulkách pro hybridizovanou verzi dynamické epistemické logiky zvané veřejná annoucement logika. To je také hlavní téma disertační práce Hansen (2011).

V knize Braüner (2011a) byla zkoumána přirozená dedukční teorie teorie hybridní logiky. Tato kniha také dává Gentzen systém pro hybridní logiku. Tyto přirozené dedukční a Gentzenovy systémy lze rozšířit o další důkazní pravidla odpovídající podmínkám prvního řádu na přístupových vztazích vyjádřených tzv. Geometrickými teoriemi (to je samozřejmě analogické rozšiřování tabulkových a axiomových systémů o čistě axiomy). Viz také Braüner a de Paiva (2006), kde je uveden přirozený dedukční systém pro intuicionální hybridní logiku (kapitola 8 Braünera (2011a)).

Tableauovy systémy pro hybridní logiku prvního řádu lze nalézt v článku Blackburn and Marx (2002). Přirozené dedukční a axiomové systémy pro hybridní logiku prvního řádu lze nalézt v kapitole 6 knihy Braüner (2011a) a kapitola 7 knihy se zabývá přirozeným dedukcí pro intenzivní hybridní logiku prvního řádu. Příspěvek Barbosa, Martins a Carreteiro (2014) uvádí axiomatizaci fragmentu hybridní logiky prvního řádu zvané rovnice hybridní logiky prvního řádu.

Gentzen a přirozené dedukční systémy pro logiku podobnou hybridní logice byly prozkoumány již v 90. letech Jerrym Seligmanem, viz přehled v Seligmanu (2001). Seligman zejména vyvinul systémy důkazů, které pracují s libovolnými formami, nikoli pouze prohlášeními o spokojenosti, přičemž posledně uvedený je případ většiny systémů důkazů pro hybridní logiku, kde se operátoři spokojenosti používají k přístupu k informacím skrytým za způsoby. Přírodní selekční systém v tomto stylu byl představen v Seligmanu (1997) a tento systém byl dále rozvíjen v kapitole 4 knihy Braüner (2011a). Tabelové systémy v Seligmanově korektním stylu byly zvažovány v Blackburn, Bolander, Braüner a Jørgensen (2017), kde je uveden důkaz syntaktické úplnosti. Sémantický doplněk důkazu systému tabáku je uveden v Jørgensen, Blackburn, Bolander,Braüner (2016). Zdůvodnění v těchto systémech se přímo nespoléhá na globální kódování, která operátoři spokojenosti umožňují, a proto lze tyto systémy považovat za více v souladu s místním charakterem standardní sémantiky Kripke pro modální logiku. Ve skutečnosti tento lokálnější styl uvažování činí tyto systémy vhodnými pro formalizaci perspektivního uvažování, které se odehrává v určitých psychologických úvahách, viz Braüner (2014b) a Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016). Tento lokálnější styl uvažování umožňuje, aby tyto systémy byly vhodné pro formalizaci perspektivního uvažování, které se odehrává v určitých psychologických úvahách, viz Braüner (2014b) a Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016). Tento lokálnější styl uvažování umožňuje, aby tyto systémy byly vhodné pro formalizaci perspektivního uvažování, které se odehrává v určitých psychologických úvahách, viz Braüner (2014b) a Braüner, Blackburn a Polyanskaya (2016).

Byly provedeny některé práce v kalkulátorech rozlišení a modelové kontrole, viz Areces, de Rijke a de Nivelle (2001), jakož i Areces a Gorin (2011) pro kalkulace rozlišení a viz Franceschet a de Rijke (2006) a také Lange (2009) pro výsledky kontroly modelu.

Od poloviny 90. let práce na hybridní logice vzkvétala. Odkazujeme čtenáře na publikace v bibliografii pro další odkazy. Podívejte se také na internetové zdroje níže.

Bibliografie

• Areces, C., 2000. Logické inženýrství. Případ popisu a hybridní logiky, disertační práce, Ústav pro logiku, jazyk a výpočet, University of Amsterdam.
• Areces, C., Blackburn, P. a Marx, M., 1999. „Výpočetní složitost hybridní časové logiky“, Logický deník IGPL, 8: 653–679.
• –––, 2001. „Hybridní logika: charakterizace, interpolace a složitost“, Journal of Symbolic Logic, 66: 977–1010.
• –––, 2003. „Oprava interpolační věty v kvantifikované modální logice“, Annals of Pure and Applied Logic, 124: 287–299.
• Areces, C., Blackburn, P., Huertas, A., a Manzano, M., 2014. „Úplnost v teorii hybridního typu“, Journal of Philosophical Logic, 43: 209–238.
• Areces, C., de Rijke, M. a de Nivelle, H., 2001. „Resolution in Modal, Description and Hybrid Logic“, Journal of Logic and Computation, 11: 717–736.
• Areces, C. a Gorin, D., 2011. „Rozlišení s objednávkou a výběrem pro hybridní logiku“, Journal of Automated Reasoning, 46: 1-42.
• Areces, C. a deset Cate, B., 2006. „Hybrid Logics“, v Blackburn, van Benthem a Wolter (eds.) (2006).
• Barbosa, LS, Martins, MA, a Carreteiro, M., 2014. „Axilizace Hilberta pro ekvivalenční hybridní logiku“, Journal of Logic, Language and Information, 23: 31–52.
• Blackburn, P., 1993. „Nominal Tense Logic“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 14: 56–83.
• –––, 2000. „Internalizace štítkované odpočty“, Journal of Logic and Computation, 10: 137–168.
• –––, 2007. „Arthur Prior and Hybrid Logic“, Synthese, 150: 329–372.
• Blackburn, P., Bolander, T., Braüner, T. a Jørgensen, KF, 2017. „Úplnost a ukončení systému seligmanského tabelárního systému“, Journal of Logic and Computation, 27: 81–107.
• Blackburn, P., Huertas, A., Manzano, M., a Jørgensen, KF, 2014. „Henkin and Hybrid Logic“, v životě a díle Leon Henkin: Eseje o jeho příspěvcích (studie o univerzální logice), pp 279–306. Birkhäuser.
• Blackburn, P. a Jørgensen, KF, 2012. „Indexická hybridní časová logika“, v Advances in Modal Logic (svazek 9), s. 144–160. Publikace na vysoké škole.
• ––– 2013. „Kontextová platnost v hybridní logice“, v modelování pomocí kontextu (přednášky v informatice: svazek 8177), s. 185–198. Heidelberg: Springer.
• –––, 2016a. "Arthur Prior a 'now'", Synthese, 193: 3665–3676.
• –––, 2016b. „Reichenbach, předchozí a hybridní napjatá logika“, Synthese, 193: 3677–3689.
• Blackburn, P. a Marx, M., 2002. „Tabulky pro kvantifikovanou hybridní logiku“, v automatizovaném zdůvodňování analytickými tabulkami a souvisejícími metodami, TABLEAUX (Poznámky k přednáškám v umělé inteligenci: Svazek 2381), s. 38–52. Heidelberg: Springer.
• –––, 2003. „Konstruktivní interpolace v hybridní logice“, Journal of Symbolic Logic, 68: 463–480.
• Blackburn, P. a Seligman, J., 1995. „Hybridní jazyky“, Journal of Logic, Language and Information, 4: 251–271.
• Blackburn, P. a ten Cate, B., 2006. „Pure Extensions, Proof Rules and Hybrid Axiomatics“, Studia Logica, 84: 277–322.
• Blackburn, P. a Tzakova, M., 1998. „Hybridizing concept languages“, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 24: 23–49.
• –––, 1999. „Hybridní jazyky a časová logika“, Logický deník IGPL, 7: 27–54.
• Blackburn, P., van Benthem, J., a Wolter, F. (eds.), 2006. Handbook of Modal logic, Amsterdam: Elsevier.
• Bolander, T. a Blackburn, P., 2007. „Ukončení hybridního tabla“, Journal of Logic and Computation, 17: 517–554.
• –––, 2009. „Ukončení tabulkových výpočtů pro rozšíření hybridní logiky K“, ve sborníku metod pro modality 5 (Elektronické poznámky v teoretické informatice: svazek 231), s. 21–39.
• Bolander, T. a Braüner, T., 2006. „Rozhodovací postupy pro hybridní logiku založené na tabulkách“, Journal of Logic and Computation, 16: 737–763.
• Braüner, T., 2002. „Modální logika, pravda a hlavní modalita“, Journal of Philosophical Logic, 31: 359–386.
• –––, 2011a. Hybridní logika a její teorie důkazů (Applied Logic Series: Svazek 37), Dordrecht-Heidelberg-Berlin-New York: Springer.
• –––, 2011b. „Intuitionistic Hybrid Logic: Introduction and Survey“, Information and Computation, 209: 1437–1446.
• –––, 2014a. „Hybridní logika prvního řádu: Úvod a průzkum“, Logický deník IGPL, 22: 155–165.
• –––, 2014b. „Hybridní logické uvažování v úkolech smarties a Sally-Anne“, Journal of Logic, Language and Information, 23: 415–439.
• Braüner, T., Blackburn, P., a Polyanskaya, I., 2016. „Úkoly s falešnou vírou druhého řádu: analýza a formalizace“, v logice, jazyce, informacích a výpočtu: 23. mezinárodní seminář, WoLLIC (poznámky k přednáškám) in Computer Science: svazek 9803), str. 125–144. Heidelberg: Springer.
• Braüner, T. a de Paiva, V., 2006. „Intuitionistic Hybrid Logic“, Journal of Applied Logic, 4: 231–255.
• Bull, R., 1970. „Přístup k napjaté logice“, Theoria, 36: 282–300.
• Cerrito, S. a Cialdea, M., 2010. „Nominální substituce při práci s globálními a obrácenými modalitami“, v Pokrokech v modální logice (svazek 8), s. 57–74. Publikace na vysoké škole.
• Conradie, W., Goranko, V. a Vakarelov, D., 2006. „Algoritmická korespondence a úplnost v modální logice II. Polyadická a hybridní rozšíření algoritmu SQEMA”, Journal of Logic and Computation, 16: 579–612.
• Copeland, J. (ed.), 1996. Logika a realita: Eseje v odkazu Arthura Prior, Oxford: Clarendon Press.
• Costa, D. a Martins, MA, 2016. Objeví se „Paraconsistency in Hybrid Logic“, Journal of Logic and Computation. DOI:
• Franceschet, M. a de Rijke, M., 2006. „Kontrola modelu hybridní logiky (s aplikací na semistrukturovaná data)“, Journal of Applied Logic, 4: 279–304.
• Gabbay, D. a Woods, J. (eds.), 2006. Logika a modality ve dvacátém století. Příručka historie logiky (svazek 7). Amsterdam: Elsevier.
• Gargov, G. a Goranko, V., 1993. „Modální logika se jmény“, Journal of Philosophical Logic, 22: 607–636.
• Goranko, V., 1994. „Časová logika s referenčními ukazateli“, ve sborníku z 1. mezinárodní konference o časové logice (přednášky v umělé inteligenci: svazek 827), s. 133–148. Berlín: Springer.
• –––, 1996. „Hierarchie modální a časové logiky s referenčními ukazateli“, žurnál logiky, jazyka a informací, 5: 1–24.
• Goranko, V. a Vakarelov, D., 2001. „Sahlqvistické formule v hybridní polyadické modální logice“, Journal of Logic and Computation, 11: 737–754.
• Hansen, JU, 2010. „Ukončení tabulek pro dynamickou epistemickou logiku“, ve sborníku 6. workshopu o metodách pro modality (M4M-6 2009) (Elektronické poznámky v teoretické informatice: svazek 262), s. 141–156.
• –––, 2011. Logický nástroj pro modelování znalostí a informací v systémech s více agenty a sociální epistemologii, dizertační práce, Roskilde University.
• Hansen, JU, Bolander, T. a Braüner, T., 2015. Objeví se „Hybridní logika s mnoha hodnotami“, Journal of Logic and Computation. DOI:
• Hasle, P. a Øhrstrøm, P., 2016. „Priorův paradigma pro studium času a jeho metodologické motivace“, Synthese, 193: 3401–3416.
• Jørgensen, KF, Blackburn, P., Bolander, B. a Braüner, T., 2016. „Důkazy syntetické úplnosti pro seligmanové systémy tableau“, Advance in Modal Logic (Svazek 11), s. 302–321. Publikace na vysoké škole.
• Kaminski, M. a Smolka, G., 2009. „Ukončení tabelárních systémů pro hybridní logiku s rozdílem a konverzí“, Journal of Logic, Language and Information, 18: 437–464.
• Kamp, H., 1971. „Formální vlastnosti 'now' ', Theoria, 37: 237–273.
• Kracht, M. a Wolter, F., 1997. „Výsledky simulace a přenosu v modální logice - přehled“, Studia Logica, 59: 149–177.
• Lange, M., 2009. „Kontrola modelu pro hybridní logiku“, Journal of Logic, Language and Information, 18: 465–491.
• Müller, T., 2007. „Prior's Tense-Logical Universalism“, Logique et Analyze, 50: 223–252.
• Øhrstrøm, P. and Hasle, P., 1993. „Znovuobjevení Tense logiky AN Prior“, Erkenntnis, 39: 23–50.
• –––, 1995. Časová logika. Od starověkých nápadů k umělé inteligenci, Dordrecht: Kluwer.
• –––, 2006. „AN Prior's Logic“, v Gabbay and Woods (2006), s. 399–446.
• Passy, S. a Tinchev, T., 1985. „Kvantifikátory v kombinované PDL: úplnost, definovatelnost, neúplnost“, v základech teorie výpočtů FCT 85 (Poznámky k přednášce z informatiky: svazek 199), s. 512–519. Berlín: Springer.
• Passy, S. a Tinchev, T., 1991. „Esej v kombinované dynamické logice“, Information and Computation, 93: 263–332.
• Prior, AN, 1967. Minulost, současnost a budoucnost, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 1968. Papers on Time and Tense, Oxford: Clarendon Press.
• –––, 2003. Papers on Time and Tense, Oxford: Oxford University Press. Druhé revidované a rozšířené vydání Prior (1968). Editoval P. Hasle, P. Øhrstrøm, T. Braüner a J. Copeland.
• Prior, AN a Fine, K., 1977. Worlds, Times and Self, London: Duckworth. Na základě rukopisů Prior s předmluvou a postscript K. K. Fine.
• Reichenbach, H., 1947. Prvky symbolické logiky, New York: Free Press.
• Seligman, J., 1997. „Logika správného popisu“, v Pokrokech v intenzivní logice (Applied Logic Series: Svazek 7), s. 107–135. Kluwer.
• Seligman, J., 2001. „Internalizace: Případ hybridní logiky“, Journal of Logic and Computation, 11: 671–689.
• Sylvan, R., 1996. „Other Withered Stumps of Time“, v Copelandu (1996), s. 111–130.
• ten Cate, B., 2004. Teorie modelů pro rozšířené modální jazyky, disertační práce, Ústav pro logiku, jazyk a výpočet, University of Amsterdam.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje