Hilbertův Program

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

Poprvé publikováno čt 31. července 2003; věcná revize pá 24. května 2019

Na začátku dvacátých let předložil německý matematik David Hilbert (1862–1943) nový návrh na založení klasické matematiky, který se stal známým jako Hilbertův program. Vyžaduje formalizaci celé matematiky v axiomatické formě, spolu s důkazem, že tato axiomatizace matematiky je konzistentní. Samotný důkaz konzistence měl být proveden pouze pomocí toho, co Hilbert nazvala „finální“metodou. Speciální epistemologický charakter finitivního uvažování pak přináší požadované zdůvodnění klasické matematiky. Ačkoli Hilbert navrhoval svůj program v této podobě až v roce 1921, jeho různé aspekty jsou zakořeněny v jeho základní práci s návratem do roku kolem roku 1900, kdy nejprve poukázal na nutnost přímého prokázání důslednosti analýzy. Práce na programu značně pokročily ve 20. letech s příspěvky od logiků, jako jsou Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann a Jacques Herbrand. Byl to také velký vliv na Kurt Gödel, jehož práce na teorémech neúplnosti byly motivovány Hilbertovým programem. Gödelova práce je obecně považována za ukázku, že Hilbertův program nelze provést. Přesto zůstal vlivným postavením ve filozofii matematiky a počínaje prací Gerharda Gentzena ve 30. letech 20. století byly práce na tzv. Relativizovaných Hilbertových programech pro vývoj teorie důkazů klíčové.jehož práce na teorémech neúplnosti byla motivována Hilbertovým programem. Gödelova práce je obecně považována za ukázku, že Hilbertův program nelze provést. Přesto zůstal vlivným postavením ve filozofii matematiky a počínaje prací Gerharda Gentzena ve 30. letech 20. století byly práce na tzv. Relativizovaných Hilbertových programech pro vývoj teorie důkazů klíčové.jehož práce na teorémech neúplnosti byla motivována Hilbertovým programem. Gödelova práce je obecně považována za ukázku, že Hilbertův program nelze provést. Přesto zůstal vlivným postavením ve filozofii matematiky a počínaje prací Gerharda Gentzena ve 30. letech 20. století byly práce na tzv. Relativizovaných Hilbertových programech pro vývoj teorie důkazů klíčové.

1. Historický vývoj Hilbertova programu
- 1.1 Včasná práce na základech
- 1.2 Vliv Principia Mathematica
- 1.3 Finitismus a hledání důkazů soudržnosti
- 1.4 Dopad Gödelových teorií neúplnosti
2. Konečný pohled
- 2.1 Konečné objekty a finistická epistemologie
- 2.2 Konečně smysluplné návrhy a konečné zdůvodnění
- 2.3 Konečné operace a důkaz
3. Formalismus, redukcionismus a instrumentalismus
4. Hilbertův program a Gödelovy věty o neúplnosti
5. Revidované programy společnosti Hilbert
Bibliografie
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

1. Historický vývoj Hilbertova programu

1.1 Včasná práce na základech

Hilbertova práce na základech matematiky má své kořeny v jeho práci na geometrii 90. let 20. století, která vyvrcholila jeho vlivnou učebnicí Základy geometrie (1899) (viz Geometrie 19. století). Hilbert věřil, že správný způsob rozvoje jakéhokoli vědeckého subjektu vyžaduje přísně axiomatický přístup. Při poskytování axiomatického ošetření by teorie byla vyvinuta nezávisle na jakékoli potřebě intuice a usnadnila by analýzu logických vztahů mezi základními pojmy a axiomy. Zásadní význam pro axiomatickou léčbu má tedy Hilbert, zkoumání nezávislosti a především konzistence axiomů. Pro axiomy geometrie lze konzistenci prokázat poskytnutím interpretace systému v reálné rovině, a tedykonzistence geometrie je snížena na konzistenci analýzy. Základ analýzy samozřejmě sám o sobě vyžaduje axiomatizaci a důkaz konzistence. Hilbert poskytl takovou axiomatizaci v (1900b), ale ukázalo se velmi rychle, že důslednost analýzy čelí významným obtížím, zejména proto, že upřednostňovaný způsob, jak poskytnout základ pro analýzu v Dedekindově práci, se spoléhal na pochybné předpoklady podobné těm, které vedou k paradoxům teorie množin a Russellovu paradoxu ve Fregeově založení aritmetiky.zejména proto, že upřednostňovaný způsob poskytování základů pro analýzu v Dedekindově práci se spoléhal na pochybné předpoklady podobné těm, které vedou k paradoxům teorie množin a Russellovu paradoxu ve Fregeově založení aritmetiky.zejména proto, že upřednostňovaný způsob poskytování základů pro analýzu v Dedekindově práci se spoléhal na pochybné předpoklady podobné těm, které vedou k paradoxům teorie množin a Russellovu paradoxu ve Fregeově založení aritmetiky.

Hilbert si tak uvědomil, že je nutný přímý důkaz konzistence analýzy, tj. Ten, který není založen na redukci na jinou teorii. Navrhl problém nalezení takového důkazu jako druhý ze svých 23 matematických problémů ve svém projevu k Mezinárodnímu kongresu matematiků v roce 1900 (1900a) a ve svém projevu v Heidelbergu (1905) předložil náčrt takového důkazu. Několik faktorů zpozdilo další rozvoj Hilbertovy zakladatelského programu. Jeden byl možná kritika Poincaré (1906) proti tomu, co viděl jako brutálně kruhové použití indukce v Hilbertově načrtnutém důkazu konzistence (viz Steiner 1975, dodatek). Hilbert si také uvědomil, že axiomatická vyšetřování vyžadují dobře propracovaný logický formalismus. V té době spoléhal na koncepci logiky založené na algebraické tradici, zejména na Schröderově tvorbě,což nebylo zvlášť vhodné jako formalismus pro axiomatizaci matematiky. (Viz Peckhaus 1990 o časném vývoji Hilbertova programu.)

1.2 Vliv Principia Mathematica

Publikace Russell a Whitehead's Principia Mathematica poskytla potřebný logický základ pro nový útok na základní otázky. Počínaje rokem 1914 studoval Hilbertův student Heinrich Behmann a další systém Principia (viz Mancosu 1999 o roli Behmanna v Hilbertově škole). Sám Hilbert se vrátil k práci na základních otázkách v roce 1917. V září 1917 předal adresu Švýcarské matematické společnosti s názvem „Axiomatické myšlení“(1918a). Je to jeho první publikovaný příspěvek k matematickým základům od roku 1905. V něm znovu zdůrazňuje požadavek důkazů konzistence pro axiomatické systémy: „Hlavní požadavek teorie axiomů musí jít dále (než se jen vyhýbat známým paradoxům), a to:ukázat, že v každém poli znalostí jsou rozpory založené na základním axiomovém systému naprosto nemožné. “Jako hlavní otevřené problémy opět předkládá důkaz konzistence aritmetiky (a teorie množin). V obou těchto případech se zdá, že není k dispozici nic zásadnějšího, k čemuž by mohla být konzistence snížena jinak než samotná logika. A Hilbert si pak myslel, že problém byl v zásadě vyřešen Russellovou prací v Principii. Ostatní základní problémy axiomatiky však zůstaly nevyřešeny, včetně problému „rozhodovatelnosti každé matematické otázky“, který také sleduje Hilbertovu adresu z roku 1900.zdá se, že není k dispozici nic zásadnějšího, k čemuž by mohla být konzistence snížena, kromě samotné logiky. A Hilbert si pak myslel, že problém byl v zásadě vyřešen Russellovou prací v Principii. Ostatní základní problémy axiomatiky však zůstaly nevyřešeny, včetně problému „rozhodovatelnosti každé matematické otázky“, který také sleduje Hilbertovu adresu z roku 1900.zdá se, že není k dispozici nic zásadnějšího, k čemuž by mohla být konzistence snížena kromě samotné logiky. A Hilbert si pak myslel, že problém byl v zásadě vyřešen Russellovou prací v Principii. Ostatní základní problémy axiomatiky však zůstaly nevyřešeny, včetně problému „rozhodovatelnosti každé matematické otázky“, který také sleduje Hilbertovu adresu z roku 1900.

Tyto nevyřešené problémy axiomatiky vedly Hilberta k tomu, aby v následujících letech věnoval značné úsilí práci na logice. V roce 1917 se k němu připojil Paul Bernays jako asistent v Göttingenu. V řadě kurzů z let 1917–1921 Hilbert s pomocí Bernays a Behmanna významně přispěl k formální logice. Kurz od roku 1917 (Hilbert, 1918b) obsahuje zejména sofistikovaný vývoj logiky prvního řádu a tvoří základ učebnice Hilberta a Ackermanna Principy teoretické logiky (1928) (viz Ewald a Sieg 2013, Sieg 1999 a Zach 1999, 2003).

1.3 Finitismus a hledání důkazů soudržnosti

Během několika příštích let však Hilbert odmítl Russellovo logistické řešení problému konzistence aritmetiky. Brouwerova intuitivní matematika zároveň získala měnu. Zejména Hilbertův bývalý student Hermann Weyl konvertoval k intuicionismu. Weylovu novinu „Nová základní krize v matematice“(1921) odpověděl Hilbert ve třech rozhovorech v Hamburku v létě 1921 (1922b). Zde Hilbert představil svůj vlastní návrh řešení problému zakládání matematiky. Tento návrh zahrnoval Hilbertovy myšlenky z roku 1904 týkající se přímých důkazů konzistence, jeho pojetí axiomatických systémů a také technického vývoje v axiomatizaci matematiky v práci Russella, jakož i dalšího vývoje, který uskutečnil on a jeho spolupracovníci. Novinkou byl způsob, jakým chtěl Hilbert přenést svůj projekt konzistence s filozofickým významem nezbytným k zodpovězení kritik Brouwera a Weyla: konečný pohled.

Podle Hilberta existuje privilegovaná část matematiky, obsahová teorie elementárních čísel, která se spoléhá pouze na „čistě intuitivní základ konkrétních znaků“. Zatímco práce s abstraktními koncepty byla považována za „neadekvátní a nejistá“, existuje říše

extra-logické diskrétní objekty, které existují intuitivně jako bezprostřední zážitek před všemi myšlenkami. Má-li být jistá logická inference, musí být tyto objekty schopny být zcela prozkoumány ve všech jejich částech a jejich prezentace, jejich rozdíl, jejich posloupnost (jako samotné objekty) musí pro nás existovat okamžitě, intuitivně, jako něco, co nemůže být redukován na něco jiného. (Hilbert 1922b, 202; pasáž se opakuje téměř doslovně v Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 a Hilbert 1931b, 267)

Pro Hilberta to byly znaky. Doména teorie obsahového čísla se skládá z konečných číslic, tj. Sekvencí tahů. Nemají žádný význam, tj. Nezastupují abstraktní objekty, ale lze je provozovat (např. Zřetězené) a porovnávat. Znalost jejich vlastností a vztahů je intuitivní a zprostředkovaná logickou inferencí. Teorie obsahuového čísla vyvinutá tímto způsobem je podle Hilberta bezpečná: žádné rozpory nemohou vzniknout jednoduše proto, že v návrzích teorie obsahuového čísla neexistuje žádná logická struktura.

Základem Hilbertovy metamatematiky jsou intuitivně-obsahové operace se znaky. Stejně jako teorie obsahu obsahu pracuje se sekvencemi tahů, tak metamathematika pracuje se sekvencemi symbolů (vzorce, důkazy). Vzorce a důkazy lze syntakticky manipulovat a vlastnosti a vztahy vzorců a důkazů jsou podobně založeny na intuitivní kapacitě bez logiky, která zaručuje jistotu znalostí o vzorcích a důkazech, k nimž takové syntaktické operace dospěly. Matematika sama o sobě však pracuje s abstraktními pojmy, např. Kvantifikátory, množinami, funkcemi a využívá logickou inferenci založenou na principech, jako je matematická indukce nebo princip vyloučeného středu. Tyto „koncepční formace“a způsoby uvažování byly Brouwerem a dalšími kritizovány na základě toho, že předpokládají nekonečnou totalitu, jak je dáno, nebo že zahrnují implikativní definice (které kritici považovali za začarované kruhy). Hilbertovým cílem bylo ospravedlnit jejich použití. Za tímto účelem poukázal na to, že mohou být formalizovány v axiomatických systémech (jako jsou systémy Principia nebo ty, které vyvinul sám Hilbert), a matematické výroky a důkazy se tak mění na vzorce a odvození z axiomů podle přísně vymezených pravidel odvození. Matematika, tak Hilbert, „se stává soupisem prokazatelných vzorců.“Tímto způsobem jsou důkazy matematiky podrobeny metamatematickému a obsahovému zkoumání. Cílem Hilbertova programu je pak dát obsahový,metamatematický důkaz, že nemůže existovat derivace rozporu, tj. žádné formální derivace vzorce (A) a jeho negace (neg A).

Tento náčrt cílů programu byl vypracován Hilbertem a jeho spolupracovníky v následujících 10 letech. Z koncepčního hlediska byly konečné stanovisko a strategie pro důkaz konzistence zpracovány Hilbertem (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) a Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), z něhož Hilbertův článek „Na nekonečno“(1926) poskytuje nejpodrobnější rozpracování konečného stanoviska. Kromě Hilberta a Bernayse bylo do technické práce na programu zapojeno i mnoho dalších lidí. V přednáškách v Göttingenu (Hilbert a Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) vyvinul Hilbert a Bernays (varepsilon) - počet jako svůj definitivní formalismus pro axiomy pro aritmetiku a analýzu. Hilbert zde také představil svůj přístup k poskytování důkazů o konzistenci pomocí své takzvané substituční metody (varepsilon). Ackermann (1924) se pokusil rozšířit Hilbertovu myšlenku na systém analýzy. Důkaz byl však chybný (viz Zach 2003). John von Neumann, poté navštěvující Göttingen, vydal v roce 1925 (publikovaný v roce 1927) korigovaný důkaz konzistence pro systém (varepsilon) - formalismu (který však nezahrnoval indukční axiom). Na základě práce von Neumanna vytvořil Ackermann nový (varepsilon) - substituční postup, který sdělil Bernaysovi (viz Bernays 1928b). Ve svém projevu „Problémy zakotvení matematiky“na Mezinárodní kongres matematiků v Boloni v roce 1928 (1929),Hilbert optimisticky tvrdil, že práce Ackermanna a von Neumanna prokázala soudržnost teorie čísel a že důkaz pro analýzu již provedl Ackermann „do té míry, že jediný zbývající úkol spočívá v prokázání elementární věty o konečnosti, že je čistě aritmetický. “

1.4 Dopad Gödelových teorií neúplnosti

Gödelovy věty o neúplnosti ukázaly, že Hilbertův optimismus byl nepřiměřený. V září 1930 Kurt Gödel oznámil svou první teorém neúplnosti na konferenci v Königsbergu. Von Neumann, který byl v publiku, okamžitě poznal význam Gödelova výsledku pro Hilbertův program. Krátce po konferenci napsal Gödelovi a řekl mu, že našel důsledek Gödelova výsledku. Gödel našel tentýž výsledek již nezávisle: druhá věta o neúplnosti, tvrdí, že systém Principia neprokazuje formalizaci tvrzení, že systém Principia je konzistentní (za předpokladu, že je). Všechny metody finitivního uvažování používané v důkazech konzistence až do té doby se však v Principii považovaly za formalizovatelné. Proto,pokud by konzistence Principia byla prokazatelná metodami používanými v Ackermannových důkazech, mělo by být možné tento důkaz v Principii formalizovat; ale to je to, co říká druhá věta o neúplnosti. Bernays si také uvědomil důležitost Gödelových výsledků bezprostředně poté, co studoval Gödelův dokument v lednu 1931 a napsal Gödelovi, že (za předpokladu, že v Principii může být formální zdůvodnění formalizováno), věta o neúplnosti ukazuje, že důkaz Principia o konečné konzistenci je nemožný. Krátce nato von Neumann ukázal, že Ackermannův důkaz konzistence je chybný a poskytl protiklad k navrhovanému postupu nahrazování (varepsilon) (viz Zach 2003).ale to je to, co říká druhá věta o neúplnosti. Bernays si také uvědomil důležitost Gödelových výsledků bezprostředně poté, co studoval Gödelův dokument v lednu 1931 a napsal Gödelovi, že (za předpokladu, že v Principii může být formální zdůvodnění formalizováno), věta o neúplnosti ukazuje, že důkaz Principia o finální konzistenci je nemožný. Krátce nato von Neumann ukázal, že Ackermannův důkaz konzistence je chybný a poskytl protiklad k navrhovanému postupu nahrazování (varepsilon) (viz Zach 2003).ale to je to, co říká druhá věta o neúplnosti. Bernays si také uvědomil důležitost Gödelových výsledků bezprostředně poté, co studoval Gödelův dokument v lednu 1931 a napsal Gödelovi, že (za předpokladu, že v Principii může být formální zdůvodnění formalizováno), věta o neúplnosti ukazuje, že důkaz Principia o finální konzistenci je nemožný. Krátce nato von Neumann ukázal, že Ackermannův důkaz konzistence je chybný a poskytl protiklad k navrhovanému postupu nahrazování (varepsilon) (viz Zach 2003).psaní Gödelovi, že (za předpokladu, že v Principii může být formalizováno finální zdůvodnění), věta o neúplnosti ukazuje, že důkaz Principia o finální konzistenci je nemožný. Krátce nato von Neumann ukázal, že Ackermannův důkaz konzistence je chybný a poskytl protiklad k navrhovanému postupu nahrazování (varepsilon) (viz Zach 2003).psaní Gödelovi, že (za předpokladu, že v Principii může být formalizováno finální zdůvodnění), věta o neúplnosti ukazuje, že důkaz Principia o finální konzistenci je nemožný. Krátce nato von Neumann ukázal, že Ackermannův důkaz konzistence je chybný a poskytl protiklad k navrhovanému postupu nahrazování (varepsilon) (viz Zach 2003).

V (1936), Gentzen publikoval důkaz konzistence prvního řádu Peano aritmetiky ((PA)). Jak ukázal Gödel, bylo nutné, Gentzenův důkaz používal metody, které nemohly být formalizovány v (PA) samotném, konkrétně, indukce transfinitu podél ordinální (varepsilon_0). Gentzenova práce je začátkem post-Gödelianovy teorie důkazů a prací na Relativizovaných Hilbertových programech. Důkazová teorie v tradici Gentzena analyzovala axiomatické systémy podle toho, jaká rozšíření konečného hlediska jsou nezbytná k prokázání jejich konzistence. Obvykle byla síla konzistence systémů měřena pomocí důkazně-teoretického ordinálu systému, tj. Indukce ordinálních transfinitů, po které stačí prokázat konzistenci. V případě (PA) je tento řádek (varepsilon_0). (Pro další diskusi,viz příspěvek o vývoji teorie důkazů.)

2. Konečný pohled

Základní kámen Hilbertovy filozofie matematiky a podstatně nový aspekt jeho zakladatelského myšlení od roku 1922b dále spočíval v tom, čemu říkal konečné stanovisko. Toto metodologické hledisko spočívá v omezení matematického myšlení na ty objekty, které jsou „intuitivně přítomny jako bezprostřední zkušenost před všemi myšlenkami“, a na ty operace a metody uvažování o takových objektech, které nevyžadují zavedení abstraktních konceptů, zejména bez odvolání na dokončené nekonečné totality.

Při porozumění Hilbertovy konečné podoby existuje několik základních a vzájemně souvisejících otázek:

Jaké jsou objekty finálního uvažování?
Jaké jsou konečně smysluplné návrhy?
Jaké jsou konečně přijatelné metody konstrukce a zdůvodnění?

2.1 Konečné objekty a finistická epistemologie

Hilbert charakterizoval doménu finitivního uvažování ve známém odstavci, který se objevuje ve zhruba stejné formulaci ve všech Hilbertových filozofičtějších článcích z dvacátých let (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] Podmínkou pro použití logických závěrů a provádění logických operací musí být již naší fakultě reprezentace, určitým extralogickým konkrétním objektům, které jsou intuitivně přítomny jako bezprostřední zážitek před veškerým myšlením, již něco. Má-li být logická inference spolehlivá, musí být možné prozkoumat tyto objekty úplně ve všech jejich částech a musí být okamžitě dána skutečnost, že se vyskytují, že se navzájem liší a že se navzájem sledují, nebo jsou zřetězené. intuitivně, spolu s objekty, jako něco, co nelze redukovat na nic jiného, ani nevyžaduje redukci. Toto je základní filozofické postavení, které považuji za nezbytné pro matematiku a obecně pro veškeré vědecké myšlení, porozumění a komunikaci. (Hilbert, 1926, 376)

Tyto objekty jsou pro Hilberta znaky. V oblasti teorie obsahového čísla jsou dotčenými znaky číslice jako

1, 11, 111, 11111

Na otázku, jak přesně Hilbert chápal číslice, je těžké odpovědět. Nejedná se o fyzické předměty (například skutečné tahy na papíře), protože musí být vždy možné rozšířit číslici přidáním dalšího tahu (a jak Hilbert také tvrdí v „Na nekonečno“(1926), je pochybné, že fyzický vesmír je nekonečný). Podle Hilberta (1922b, 202) lze „jejich tvar obecně a jistě rozeznat - nezávisle na prostoru a čase, na zvláštních podmínkách výroby značky a na nevýznamných rozdílech v hotovém výrobku“. Nejedná se o mentální konstrukce, protože jejich vlastnosti jsou objektivní, ale jejich existence závisí na jejich intuitivní konstrukci (viz Bernays 1923, 226). V každém případě je jasné, že jsou logicky primitivní, tj.nejsou to ani pojmy (jako Fregeova čísla), ani množiny. Důležité není zde především jejich metafyzické postavení (abstraktní versus konkrétní v současném smyslu těchto termínů), ale to, že nevstupují do logických vztahů, např. Nemohou být předpovídáni o ničem. V Bernaysových nejvyspělejších prezentacích finitismu (Hilbert a Bernays, 1939; Bernays, 1930) jsou objekty finitismu charakterizovány jako formální objekty, které jsou rekurzivně generovány procesem opakování; symboly tahů jsou pak konkrétními reprezentacemi těchto formálních objektů. V Bernaysových nejvyspělejších prezentacích finitismu (Hilbert a Bernays, 1939; Bernays, 1930) jsou objekty finitismu charakterizovány jako formální objekty, které jsou rekurzivně generovány procesem opakování; symboly tahů jsou pak konkrétními reprezentacemi těchto formálních objektů. V Bernaysových nejvyspělejších prezentacích finitismu (Hilbert a Bernays, 1939; Bernays, 1930) jsou objekty finitismu charakterizovány jako formální objekty, které jsou rekurzivně generovány procesem opakování; symboly tahů jsou pak konkrétními reprezentacemi těchto formálních objektů.

Otázka, co si Hilbert myslel, že epistemologický stav objektů finitismu je stejně obtížná. Za účelem zajištění bezpečného základu pro infinitistickou matematiku musí být přístup k finálním objektům okamžitý a jistý. Hilbertovo filozofické pozadí bylo obecně Kantian, stejně jako Bernays's, který byl úzce spojen s neokantianskou filozofickou školou kolem Leonarda Nelsona v Göttingenu. Hilbertova charakterizace finitismu často odkazuje na Kantianovu intuici a na objekty finitismu jako na objekty intuitivně dané. V Kantově epistemologii je bezprostřednost bezprostředně definující charakteristikou intuitivního poznání. Otázka zní, jaký druh intuice je ve hře? Mancosu (1998b) identifikuje posun v tomto ohledu. Tvrdí, že zatímco intuice zahrnutá v Hilbertových raných novinách byla jakousi percepční intuicí, v pozdějších spisech (např. Bernays 1928a) je identifikována jako forma čisté intuice v kantianském smyslu. Zhruba ve stejnou dobu však Hilbert (1928, 469) stále identifikuje druh intuice ve hře jako percepční. V (1931b, 266–267) vidí Hilbert konečný způsob myšlení jako samostatný zdroj apriorního poznání kromě čisté intuice (např. Prostoru) a rozumu, přičemž tvrdí, že „rozpoznal a charakterizoval třetí zdroj znalost, která doprovází zážitek a logiku. “Bernays i Hilbert ospravedlňují finitární znalosti v široce kantských termínech (aniž by však zacházeli tak daleko, že poskytují transcendentální dedukci), charakterizující finitivní uvažování jako druh zdůvodnění, který je základem všech matematických,a skutečně, vědecké, myšlení a bez kterého by takové myšlení nebylo možné. (Viz Kitcher 1976 a Parsons 1998 o epistemologii finitismu a Patton 2014 pro historické a filozofické souvislosti Hilbertovy teorie znamení.)

2.2 Konečně smysluplné návrhy a konečné zdůvodnění

Nejzákladnější soudy o konečných číslicích jsou ty o rovnosti a nerovnosti. Konečné stanovisko navíc umožňuje operace s konečnými objekty. Zde je nejzákladnější zřetězení. Zřetězení číslic 11 a 111 je sděleno jako „(2 + 3)“, a prohlášení, že 11 zřetězené s 111 vede ke stejné číslici jako 111 zřetězené s 11 „“(2 + 3 = 3 + 2)). “V reálném důkazu-teoretická praxe, stejně jako explicitně v (Hilbert a Bernays, 1934; Bernays, 1930), jsou tyto základní operace zobecněny na operace definované rekurzí, paradigmaticky, primitivní rekurze, např. Multiplikace a exponentiace (viz Parsons 1998 pro filosofické potíže ve vztahu k exponentaci a 2007 pro rozšířenou diskuzi o intuitivní matematice a finitismu). Podobně,konečné rozsudky mohou zahrnovat nejen rovnost nebo nerovnost, ale také základní rozhodné vlastnosti, jako například „je prvotřídní“. To je konečně přijatelné, pokud je charakteristická funkce takové vlastnosti sama o sobě konečná: Například operace, která transformuje číslici na 1, pokud je prvořadá, a 11 může být jinak definována primitivní rekurzí a je tedy konečná. Takovéto konečné tvrzení lze kombinovat obvyklými logickými operacemi spojování, disjunkce, negace, ale také omezené kvantifikace. (Hilbert, 1926) uvádí příklad tvrzení, že „existuje prvočíslo mezi (p + 1) a (p! + 1)“, kde (p) je určité velké prvočíslo. Toto tvrzení je konečně přijatelné, protože „slouží pouze ke zkrácení tvrzení“, že buď / (p + 1) nebo (p + 2) nebo (p + 3) nebo … nebo (p! + 1)) je nejlepší.

Problematickými finitivními tvrzeními jsou ty, které vyjadřují obecná fakta o číslech, jako je ta pro kteroukoli danou číslici (n, 1 + n = n + 1). Je to problematické, protože, jak tvrdí Hilbert, „není z finitistického hlediska možné negovat“(1926, 378). To znamená, že protichůdné tvrzení, že existuje číslice (n), pro které (1 + n / ne n + 1) nemá konečně smysl. „Člověk nakonec nemůže vyzkoušet všechna čísla“(1928, 470). Ze stejného důvodu nelze finální obecnou propozici chápat jako nekonečnou konjunkci, ale „pouze jako hypotetický úsudek, který při uplatnění číslice přichází k prosazení“(tamtéž). Přestože jsou v tomto smyslu problematická, mají obecná konečná prohlášení zvláštní význam pro Hilbertovu teorii důkazů,protože prohlášení o shodě formálního systému (S) je takové obecné formy: pro jakoukoli danou posloupnost vzorců (P, P) není odvození rozporu v (S).

2.3 Konečné operace a důkaz

Pro pochopení finitismu a Hilbertovy teorie důkazů má zásadní význam otázka, jaké operace a jaké zásady dokazování by měly být z finitistického hlediska povoleny. To, že je nutná obecná odpověď, vyplývá z požadavků Hilbertovy teorie důkazů, tj. Nelze očekávat, že vzhledem k formálnímu systému matematiky (nebo dokonce jediné posloupnosti vzorců) lze „vidět“, že je konzistentní (nebo že to nemůže být skutečná derivace nekonzistence) tak, jak můžeme vidět, např. (11 + 111 = 111 + 11). Pro důkaz konzistence je vyžadována operace, která při formálním odvození transformuje takovou derivaci na jednu ze zvláštních forem, plus důkazy, že operace ve skutečnosti toto dělá a že důkazy zvláštního druhu nemohou být důkazem nekonzistence.. Aby bylo možné počítat jako důkaz konečné konzistence, musí být operace sama o sobě přijatelná z hlediska finitisty a požadované důkazy musí používat pouze konečně přijatelné zásady.

Hilbert nikdy nedal obecný popis toho, které operace a metody dokazování jsou z finitistického hlediska přijatelné, ale pouze příklady operací a metod odvozování v teorii obsahových konečných čísel, které akceptoval jako konečný. Obsahová indukce byla přijata ve své žádosti o závěrečná prohlášení hypotetického, obecného druhu výslovně v Hilbert (1922b). (1923, 1139) uvedl, že intuitivní myšlení „zahrnuje rekurzi a intuitivní indukci pro konečné existující totality“, a použil exponentaci v příkladu v roce 1928. Bernays (1930) vysvětlil, jak exponentiace lze chápat jako finální operaci číslic. Hilbert a Bernays (1934) uvádějí jediný obecný popis teorie konečných obsahových čísel; podle toho,operace definované primitivní rekurzí a důkazy využívající indukci jsou konečně přijatelné. Všechny tyto metody mohou být formalizovány v systému známém jako primitivní rekurzivní aritmetika ((PRA)), který umožňuje definice funkcí primitivní rekurzí a indukcí na vzorcích bez kvantifikátoru (tamtéž). Ani Hilbert, ani Bernays však nikdy netvrdili, že pouze primitivní rekurzivní operace se počítají jako finitivní, a ve skutečnosti používali některé nepr primitivní rekurzivní metody v zdánlivě finálních důkazech konzistence již v roce 1923 (viz Tait 2002 a Zach 2003).ani Hilbert, ani Bernays nikdy netvrdili, že pouze primitivní rekurzivní operace se počítají jako finitivní, a ve skutečnosti používaly některé nepr primitivní rekurzivní metody v zdánlivě finálních důkazech konzistence již v roce 1923 (viz Tait 2002 a Zach 2003).ani Hilbert, ani Bernays nikdy netvrdili, že pouze primitivní rekurzivní operace se počítají jako finitivní, a ve skutečnosti používaly některé nepr primitivní rekurzivní metody v zdánlivě finálních důkazech konzistence již v roce 1923 (viz Tait 2002 a Zach 2003).

Zajímavější koncepční otázkou je, které operace by měly být považovány za finální. Vzhledem k tomu, že Hilbert nebyl úplně jasný, v čem spočívá konečné stanovisko, existuje určitá volnost při stanovování omezení, epistemologická a jinak musí být splněna analýza finitistické operace a důkazu. Hilbert charakterizoval (viz výše) objekty teorie konečných čísel jako „intuitivně dané“, „sledovatelné ve všech jejich částech“, a řekl, že jejich základní vlastnosti musí „existovat intuitivně“pro nás. Bernays (1922, 216) naznačuje, že ve finální matematice vstupují do hry pouze „primitivní intuitivní poznání“a používá termín „hledisko intuitivního důkazu“v souvislosti s finitismem 1930, 250. Tuto charakterizaci finitismu jako primárně spojenou s intuicí a intuitivními znalostmi zdůraznil zejména (Parsons, 1998), který tvrdí, že to, co lze v tomto porozumění počítat jako finitivní, není víc než ty aritmetické operace, které lze definovat sčítáním a násobením. pomocí omezené rekurze. Zejména podle něj není exponentiace a obecná primitivní rekurze konečně přijatelná.

Teze, kterou se finitismus shoduje s primitivním rekurzivním zdůvodněním, získala silnou obranu (Tait 1981; viz také 2002 a 2005b). Tait, na rozdíl od Parsonse, odmítá aspekt reprezentativnosti v intuici jako punc finality; místo toho bere konečné uvažování jako „minimální druh uvažování předpokládaný všemi netriviálními matematickými úvahami o číslech.“a analyzuje finitivní operace a metody dokazování jako ty, které jsou implicitní v samotném pojmu číslo jako forma konečné sekvence. Tato analýza finitismu je podporována Hilbertovým tvrzením, že finitivní uvažování je předpokladem pro logické a matematické, vlastně jakékoli vědecké myšlení Hilbert (1931b, 267). Protože finální uvažování je ta část matematiky, která je předpokládána veškerým netriviálním uvažováním o číslech, je to,tak Tait, „nepopsatelný“v karteziánském smyslu, a tuto nezměnitelnost jako vše, co by bylo vyžadováno z finálního uvažování, aby poskytlo epistemologické zakládání matematiky, kterou Hilbert zamýšlel.

Další zajímavou analýzu finitního důkazu, která však neposkytuje tak podrobně filosofické zdůvodnění, navrhl Kreisel (1960). Výsledkem je, že přesně tyto funkce jsou finální, což lze prokázat jako celkem v aritmetice prvního řádu (PA). Je založen na konceptu teoretického důkazu principu reflexe; viz Zach (2006) pro více podrobností a Dean (2015) pro analýzu. Kreisel (1970, oddíl 3.5) poskytuje další analýzu zaměřením na to, co je „vizualizovatelné“. Výsledek je stejný: finitativní prokazatelnost se ukáže být souběžná s prokazatelností v (PA).

Taitova technická analýza vede k závěru, že finitistické funkce jsou přesně primitivní rekurzivní, a finitistické teorie číselných teoret jsou přesně ty, které lze prokázat v teorii primitivních rekurzivních aritmetických (PRA). Je důležité zdůraznit, že tato analýza se neprovádí z hlediska finitistického hlediska. Protože obecné pojmy „funkce“a „důkaz“nejsou samy o sobě definitivní, finitista nemůže pochopit Taitovu tezi, že vše, co lze v (PRA) prokázat, je konečně pravdivé. Podle Taita nesmí řádná analýza finitistické prokazatelnosti předpokládat, že finitismus sám má přístup k takovým nefinančním pojmům. Kreiselův přístup a některé kritiky Tait, které se spoléhají na principy reflexe nebo (omega) - pravidla plynou z tohoto požadavku (viz Tait 2002, 2005b). Na druhou stranu,dalo by se tvrdit, že (PRA) je příliš silná teorie, aby se mohla počítat jako formalizace toho, co je „předpokládáno všemi netriviálními matematickými úvahami o číslech“: existují slabší, ale netriviální teorie, které se vztahují k menším třídám funkcí než primitivních rekurzivních, jako je (PV) a (EA), vztahujících se k polynomiálním časovým a Kalmarovým elementárním funkcím (viz Avigad 2003 o tom, kolik matematiky lze provádět v (EA)). Ganea (2010) při použití analýzy podle stejných linií jako Tait's dospěla k odpovídající třídě Kalmarových elementárních funkcí jako ty, které jsou finitistické.existují slabší, ale netriviální teorie, které se vztahují k menším třídám funkcí než primitivní rekurzivní, jako jsou (PV) a (EA), vztahující se k elementárním funkcím polynomu času a Kalmar (viz Avigad 2003 o tom, kolik matematiky lze provést v (EA)). Ganea (2010) při použití analýzy podle stejných linií jako Tait's dospěla k odpovídající třídě Kalmarových elementárních funkcí jako ty, které jsou finitistické.existují slabší, ale netriviální teorie, které se vztahují k menším třídám funkcí než primitivní rekurzivní, jako jsou (PV) a (EA), vztahující se k elementárním funkcím polynomu času a Kalmar (viz Avigad 2003 o tom, kolik matematiky lze provést v (EA)). Ganea (2010) při použití analýzy podle stejných linií jako Tait's dospěla k odpovídající třídě Kalmarových elementárních funkcí jako ty, které jsou finitistické. Ganea (2010) dospěla k odpovídající třídě Kalmarových elementárních funkcí jako těch, které jsou finitistické. Ganea (2010) dospěla k odpovídající třídě Kalmarových elementárních funkcí jako těch, které jsou finitistické.

3. Formalismus, redukcionismus a instrumentalismus

Weyl (1925) byl smířlivou reakcí na Hilbertův návrh v letech 1922b a 1923, který nicméně obsahoval některé důležité kritiky. Weyl popsal Hilbertův projekt jako nahrazení obsahové matematiky nesmyslnou hrou vzorců. Poznamenal, že Hilbert chtěl „zabezpečit nikoli pravdu, ale důslednost analýzy“, a navrhl kritiku, která zopakuje dřívější Frege: Proč bychom měli brát konzistenci formálního systému matematiky jako důvod věřit v pravdu předformální matematika kodifikuje? Není Hilbertův bezvýznamný soupis vzorců jen „bezkrvný duch analýzy“? Weyl navrhl řešení:

Pokud matematika má zůstat vážným kulturním problémem, pak musí být k Hilbertově hře vzorců připojen nějaký smysl a já vidím jen jednu možnost, jak jí (včetně jejích transfinitních složek) přiřadit nezávislý intelektuální význam. V teoretické fyzice máme před sebou skvělý příklad [druhu] znalostí zcela jiného charakteru než běžné nebo fenomenální znalosti, které vyjadřují čistě to, co je dáno v intuici. Zatímco v tomto případě má každý úsudek svůj vlastní smysl, který je zcela realizovatelný v intuici, v žádném případě tomu tak není pro výroky teoretické fyziky. V takovém případě je to spíše systém jako celek, který je konfrontován se zkušenostmi. (Weyl, 1925, 140)

Analogie s fyzikou je pozoruhodná a podobné nápady lze nalézt i v Hilbertově vlastním psaní - možná to Hilbert ovlivnil Weyl. Ačkoli se Hilbertovy první návrhy zaměřovaly výhradně na soudržnost, v Hilbertově myšlení je patrný vývoj směrem k obecnému reduktivistickému projektu, jaký byl v té době ve filozofii vědy běžný (jak zdůraznil Giaquinto 1983). V druhé polovině dvacátých let nahradil Hilbert program konzistence programem konzervativnosti: Formalizovaná matematika měla být považována za analogii s teoretickou fyzikou. Konečné zdůvodnění teoretické části spočívá v její konzervativnosti nad „skutečnou“matematikou: kdykoli teoretická „ideální“matematika prokáže „skutečný“návrh, je tento návrh také intuitivně pravdivý. Toto ospravedlňuje použití transfinitové matematiky: je nejen interně konzistentní, ale dokazuje pouze skutečné intuitivní výroky (a skutečně vše, protože formalizace intuitivní matematiky je součástí formalizace celé matematiky).

V roce 1926 Hilbert zavedl rozlišení mezi skutečnými a ideálními formulemi. Tento rozdíl nebyl přítomen v roce 1922b a naznačen teprve v roce 1923. Ve druhém uvádí Hilbert nejprve formální systém teorie kvantifikátorů bez kvantifikátorů, o kterém říká, že „prokazatelné vzorce, které takto získáme, mají charakter konečný “(1139). Poté se přidají transfinitové axiomy (tj. Kvantifikátory) pro zjednodušení a doplnění teorie (1144). Zde kreslí analogii s metodou ideálních prvků poprvé: „V mé teorii důkazů jsou transfinitové axiomy a vzorce přilehlé k konečným axiomům, stejně jako v teorii komplexních proměnných jsou imaginární prvky spojeny se skutečnými a stejně jako v geometrii jsou ideální konstrukce spojeny se skutečným “(tamtéž). Když Hilbert,v roce 1926 výslovně zavádí pojem ideálního výroku, a v roce 1928, když poprvé mluví o skutečných výrokech, je zcela zřejmé, že skutečná část teorie sestává pouze z rozhodujících, bez proměnných rovnic. Předpokládá se, že jsou „přímo schopni ověřovat“- a to podle návrhů odvozených od přírodních zákonů, které lze ověřit experimentem (1928, 475). Nový obrázek programu byl tento: Klasická matematika má být formalizována v systému, který zahrnuje formalizace všech přímo ověřitelných (výpočtem) návrhů obsahové teorie konečných čísel. Důkaz konzistence by měl ukázat, že všechny skutečné návrhy, které lze prokázat ideálními metodami, jsou pravdivé, tj. Mohou být přímo ověřeny konečným výpočtem.(Skutečné důkazy, jako je (varepsilon) - substituce byly vždy takové povahy: poskytují finitivní postupy, které vylučují transfinitové prvky z důkazů skutečných tvrzení, zejména (0 = 1).) Opravdu, Hilbert viděl, že něco silnějšího je pravda: nejenom, že důkaz o konzistenci stanoví pravdu reálných vzorců prokazatelných ideálními metodami, ale také poskytuje finální důkazy finálních obecných tvrzení, pokud je odpovídající volná proměnná receptura odvozitelná pomocí ideálních metod (1928, 474)..ale poskytuje konečné důkazy o konečných obecných tvrzeních, pokud je odpovídající volně proměnná rovnice odvozitelná pomocí ideálních metod (1928, 474).ale poskytuje konečné důkazy o konečných obecných tvrzeních, pokud je odpovídající volně proměnná rovnice odvozitelná pomocí ideálních metod (1928, 474).

Hilbert navrhl další omezení teorie kromě konzervativnosti: jednoduchost, stručnost důkazů, „ekonomika myšlení“a matematická produktivita. Formální systém transfinitové logiky není libovolný: „Tato formule je prováděna podle určitých pravidel, v nichž je vyjádřena technika našeho myšlení. […] Základní myšlenkou mé teorie důkazů není nic jiného, než popsat činnost našeho porozumění, vytvořit protokol pravidel, podle kterých naše myšlení skutečně pokračuje “(Hilbert, 1928, 475). Když se Weyl (1928) nakonec odvrátil od intuicionismu (z důvodů, viz Mancosu a Ryckman, 2002), zdůraznil tuto motivaci Hilbertovy teorie důkazů: ne proměnit matematiku v nesmyslnou hru symbolů,ale proměnit ji v teoretickou vědu, která kodifikuje vědeckou (matematickou) praxi.

Hilbertův formalismus byl tak docela sofistikovaný: Vyhnul se dvěma zásadním námitkám: (1) Pokud jsou vzorce systému bezvýznamné, jak může derivovatelnost v systému vyvolat jakýkoli druh víry? (2) Proč akceptovat systém (PA) a ne jakýkoli jiný konzistentní systém? Obě námitky jsou známé od Frege; obě otázky jsou (částečně) zodpovězeny důkazem o konzervativnosti skutečných výroků. Pro (2) má Hilbert navíc naturalistické kritérium přijatelnosti: při výběru systémů jsme omezeni úvahami o jednoduchosti, plodnosti, uniformitě a tím, co matematici skutečně dělají; Weyl by dodal, že konečným testem teorie bude její užitečnost ve fyzice.

Většina filozofů psaní matematiky na Hilbertovi ho četla jako instrumentalisty (včetně Kitchera 1976, Resnika 1980, Giaquinta 1983, Sieg 1990 a zejména Detlefsen 1986) v tom, že čtou Hilbertovo vysvětlení, že ideální výroky „nemají samy o sobě význam“. (Hilbert, 1926, 381), protože tvrdí, že klasická matematika je pouhým nástrojem a že výroky o transfinitové matematice nemají pravdu. Pokud je to přesné, musí být chápáno jako metodologický instrumentalismus: Úspěšné provedení programu teoretických důkazů by ukázalo, že člověk by mohl předstírat, že matematika nemá smysl. Analogie s fyzikou tedy není: transfinitové výroky nemají žádný význam, stejně jako výroky zahrnující teoretické pojmy nemají žádný význam, ale:transfinitové výroky nevyžadují žádný přímý intuitivní význam, stejně jako člověk nemusí přímo vidět elektrony, aby se o nich teoretizoval. Hallett (1990), s přihlédnutím k matematickému pozadí 19. století, z něhož Hilbert přišel, a publikovaným a nepublikovaným zdrojům z celé Hilbertovy kariéry (zejména Hilbert 1992, nejrozsáhlejší diskuse o metodě ideálních prvků), dochází k následujícímu závěru:

[Hilbertovo zacházení s filosofickými otázkami] není míněno jako druh instrumentalistického agnosticismu o existenci a pravdě a tak dále. Naopak, je zamýšleno poskytovat neskeptické a pozitivní řešení těchto problémů, řešení kognitivně přístupné. A zdá se, že stejné řešení platí pro matematické i fyzikální teorie. Jakmile budou přijaty nové koncepty nebo „ideální prvky“nebo nové teoretické pojmy, pak existují ve smyslu, ve kterém existují nějaké teoretické entity. (Hallett, 1990, 239)

4. Hilbertův program a Gödelovy věty o neúplnosti

Tam byla nějaká debata o dopadu Gödelových teorém neúplnosti na Hilbertův program, a zda to byla první nebo druhá věta o neúplnosti, která dodala tah de grâce. Názor těch, kteří se na vývoji přímo podíleli, byl nepochybně přesvědčen, že věty měly rozhodující dopad. Gödel oznámil druhou teorém neúplnosti abstraktem publikovaným v říjnu 1930: žádný důkaz konzistence systémů, jako jsou Principia, Zermelo-Fraenkelova teorie množin nebo systémy zkoumané Ackermannem a von Neumannem, není možné metodami, které lze v těchto systémech formulovat. V plné verzi svého článku Gödel (1931) nechal otevřenou možnost, že by mohly existovat finitivní metody, které nejsou v těchto systémech formalizovatelné a které by poskytly požadované důkazy o konzistenci. Bernaysova první reakce v dopise Gödelovi v lednu 1931 byla rovněž taková, že „pokud, jak to dělá von Neumann, člověk si je jistý, že jakákoli a každá konečná úvaha může být formalizována v systému (P) - stejně jako vy že v žádném případě nedojde k závěru, že finální demonstrace konzistence (P) není možná “(Gödel, 2003a, 87).

Jak Gödelovy věty ovlivňují Hilbertův program? Prostřednictvím pečlivého („Gödel“-) kódování posloupností symbolů (vzorců, důkazů) ukázal Gödel, že v teoriích (T), které obsahují dostatečné množství aritmetiky, je možné vytvořit vzorec (Pr (x), y)) což „říká“, že (x) je (kód) důkazem (vzorec s kódem) (y). Konkrétně, pokud (ulcorner 0 = 1 / urcorner) je kód vzorce (0 = 1), pak (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) lze považovat za „říci“, že (T) je konzistentní (žádné číslo je kód odvození v (T) z (0 = 1)). Druhá věta o neúplnosti (G2) říká, že říká, že za určitých předpokladů o (T) a kódovacím aparátu (T) neprokazuje (Con_T). Předpokládejme, že existuje konečný důkaz konzistence (T). Metody použité v takovém důkazu by byly pravděpodobně formalizovatelné v (T). („Formalizovatelný“znamená, že pokud důkaz používá finitivní operaci (f) o derivacích, které transformují jakoukoli derivaci (D) na derivaci (f (D)) jednoduchého tvaru; je vzorec (F (x, y)), takže pro všechny derivace (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) Konzistence (T) by bylo konečně vyjádřeno jako obecná hypotetika, že pokud (D) je jakákoli daná posloupnost symbolů, (D) není derivací v (T) vzorce (0 = 1). Formalizace této nabídky je vzorec (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), ve kterém se proměnná (x) vyskytuje zdarma. Pokud by existoval konečný důkaz konzistence (T), jeho formalizace by poskytla derivaci v (T) z (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), ze kterého lze (Con_T) odvodit v (T) jednoduchou univerzální generalizací na (x). Přesto je odvození (Con_T) v (T) vyloučeno G2.

Jak bylo uvedeno výše, původně si Gödel a Bernays mysleli, že obtíže při dokazování konzistence (PA) by mohly být překonány použitím metod, které, i když nejsou formalizovatelné v (PA), jsou přesto konečné. To, zda by takové metody byly považovány za konečné podle původní koncepce finitismu, nebo zda by představovaly rozšíření původního finitistického hlediska, je věcí debaty. Nové zvažované metody zahrnovaly finální verzi pravidla (omega) navrženého Hilbertem (1931b; 1931a). Je však spravedlivé říci, že zhruba po roce 1934 bylo téměř všeobecně přijato, že metody dokazování přijaté jako konečné před Gödelovými výsledky jsou všechny formalizovatelné v (PA). Rozšíření původního finitistického stanoviska byla navržena a bráněna z obecně finitárních důvodů, např. Gentzen (1936) bránil použití transfinitové indukce až do (varepsilon_0) ve svém důkazu konzistence pro (PA) jako „nesporný“, Takeuti (1987) dal další obranu. Gödel (1958) představil další rozšíření finitistického stanoviska; výše zmíněné Kreiselovo dílo lze považovat za další pokus o rozšíření finitismu při zachování ducha Hilbertovy původní koncepce.

Detlefsen (1986; 2001; 1979) navrhl jiný pokus poskytnout cestu kolem Gödelovy druhé věty pro Hilbertův program. Detlefsen představuje několik obranných linií, z nichž jedna je podobná té, která byla právě popsána: argumentovat, že verze pravidla (omega) - je konečně přijatelná, i když není schopna formalizace (viz však Ignjatovic 1994). Detlefsenův další argument proti společnému výkladu Gödelovy druhé věty se zaměřuje na pojem formalizace: To, že konkrétní formalizace „(T) je konzistentní“podle Gödelova vzorce (Con_T), neznamená, že by nemohla existovat ' t být jiné vzorce, které jsou prokazatelné v (T) a které mají stejné právo být nazýváno „formalizací konzistence (T). Ty se spoléhají na odlišné formalizace predikátu proviritelnosti (Pr_T) než ty standardní. Je známo, že formalizovaná prohlášení o shodě jsou neprokázatelná, kdykoli predikát prokazatelnosti splňuje určité obecné podmínky odvozitelnosti. Detlefsen tvrdí, že tyto podmínky nejsou nutné pro to, aby se predikát počítal jako pravý predikát, a ve skutečnosti existují predikáty predikovatelnosti, které porušují podmínky prokazatelnosti a které vedou ke vzniku vzorců konzistence, které jsou prokazatelné v jejich odpovídajících teoriích. Ty však závisí na nestandardních koncepcích prokazatelnosti, které by Hilbert pravděpodobně nepřijal (viz také Resnik 1974, Auerbach 1992 a Steiner 1991). Je známo, že formalizovaná prohlášení o shodě jsou neprokázatelná, kdykoli predikát prokazatelnosti splňuje určité obecné podmínky odvozitelnosti. Detlefsen tvrdí, že tyto podmínky nejsou nutné pro to, aby se predikát počítal jako pravý predikát, a ve skutečnosti existují predikáty predikovatelnosti, které porušují podmínky prokazatelnosti a které vedou ke vzniku vzorců konzistence, které jsou prokazatelné v jejich odpovídajících teoriích. Ty však závisí na nestandardních koncepcích prokazatelnosti, které by Hilbert pravděpodobně nepřijal (viz také Resnik 1974, Auerbach 1992 a Steiner 1991). Je známo, že formalizovaná prohlášení o shodě jsou neprokázatelná, kdykoli predikát prokazatelnosti splňuje určité obecné podmínky odvozitelnosti. Detlefsen tvrdí, že tyto podmínky nejsou nutné pro to, aby se predikát počítal jako pravý predikát, a ve skutečnosti existují predikáty predikovatelnosti, které porušují podmínky prokazatelnosti a které vedou ke vzniku vzorců konzistence, které jsou prokazatelné v jejich odpovídajících teoriích. Ty však závisí na nestandardních koncepcích prokazatelnosti, které by Hilbert pravděpodobně nepřijal (viz také Resnik 1974, Auerbach 1992 a Steiner 1991).a skutečně existují predikáty prokazatelnosti, které porušují podmínky prokazatelnosti a které vedou ke vzniku vzorců konzistence, které jsou prokazatelné v odpovídajících teoriích. Ty však závisí na nestandardních koncepcích prokazatelnosti, které by Hilbert pravděpodobně nepřijal (viz také Resnik 1974, Auerbach 1992 a Steiner 1991).a skutečně existují predikáty prokazatelnosti, které porušují podmínky prokazatelnosti a které vedou ke vzniku vzorců konzistence, které jsou prokazatelné v odpovídajících teoriích. Ty však závisí na nestandardních koncepcích prokazatelnosti, které by Hilbert pravděpodobně nepřijal (viz také Resnik 1974, Auerbach 1992 a Steiner 1991).

Smorynski (1977) tvrdil, že již první věta o neúplnosti poráží Hilbertův program. Hilbertovým cílem nebylo pouze ukázat, že formalizovaná matematika je konzistentní, ale konkrétně to ukázat tak, že ideální matematika nikdy nemůže vést k závěrům, které nejsou v souladu se skutečnou matematikou. Tak, aby uspěl, ideální matematika musí být konzervativní nad skutečnou částí: kdykoli formalizovaná ideální matematika prokáže skutečný vzorec (P, P) sám (nebo konečný návrh, který vyjadřuje), musí být konečně prokazatelný. Pro Smorynského zahrnují reálné vzorce nejen numerické rovnice a jejich kombinace, ale také obecné vzorce s volnými proměnnými, ale bez neomezených kvantifikátorů.

Nyní Gödelova první věta o neúplnosti (G1) říká, že pro každou dostatečně silnou, konzistentní formální teorii (S) existuje věta (G_S), která je pravdivá, ale nelze ji odvodit v (S). (G_S) je skutečná věta podle Smorynského definice. Nyní zvážit teorii (T), která formuje ideální matematiku a její subtheory (S), která formuje skutečnou matematiku. (S) splňuje podmínky G1, a proto (S) není odvozeno (G_S). Přesto, (T), být formalizace celé matematiky (včetně toho, co je vyžadováno, aby bylo vidět, že (G_S) je pravda), odvozuje (G_S). Máme tedy skutečné prohlášení, které lze prokázat v ideální matematice a nikoli v reálné matematice.

Detlefsen (1986, dodatek; viz také 1990) hájil Hilbertův program proti tomuto argumentu. Detlefsen argumentuje, že “Hilbertian” instrumentalismus uniká argumentu od G1 tím, že popírá, že ideální matematika musí být konzervativní ve skutečné části; vše, co je potřeba, je skutečná zdravost. Hilberský instrumentalismus vyžaduje pouze to, aby ideální teorie neprokázala nic, co by bylo v rozporu se skutečnou teorií; nevyžaduje se, aby prokázala pouze reálná tvrzení, která skutečná teorie dokazuje. (Viz Zach 2006 pro více informací o otázce konzervativnosti a konzistence, příslušná část v zápisu o Gödel pro další diskusi, Franks 2009 pro související obranu a přehodnocení Hilbertova projektu a McCarthy 2016 pro alternativní přístup k prokazatelnosti konzistence a G2 kvůli samotnému Gödelovi.)

5. Revidované programy společnosti Hilbert

I když žádný aritmetický důkaz o soudržnosti nelze poskytnout, otázka nalezení důkazů o soudržnosti je přesto cenná: metody použité v takových důkazech, přestože musí jít nad rámec Hilbertovy původní pocitu finitismu, by mohly poskytnout skutečný vhled do konstruktivního obsahu aritmetické a silnější teorie. Gödelův výsledek ukázal, že neexistuje matematický důkaz absolutní konzistence; proto práce v teorii důkazů poté, co se Gödel soustředil na relativní výsledky, a to jak: vzhledem k systému, pro který byl dán důkaz konzistence, tak vzhledem k použitým metodám důkazu.

Teorie reduktivního důkazu v tomto smyslu následovala dvě tradice: první, prováděná hlavně teoretiky důkazů po Gentzenovi a Schütte, sledovala program tzv. Ordinální analýzy a je doložena Gentzenovým prvním důkazem konzistence (PA)) indukcí až do (varepsilon_0. / varepsilon_0) je určitý transfinit (i když spočítatelný) ordinál, nicméně „indukce do (varepsilon_0)“ve zde použitém smyslu není skutečně transfinitní procedurou. Ordinální analýza nefunguje s nekonečnými pořadovými čísly, ale spíše s ordinálními notačními systémy, které samy o sobě mohou být formalizovány ve velmi slabých (v podstatě konečných) systémech. Řádková analýza systému (T) je uvedena, pokud:(a) člověk může vytvořit ordinální notační systém, který napodobuje ordinály méně než některé ordinály (alfa_T), takže (b) lze konečně prokázat, že formalizace (TI (alfa_T)) principu indukce do (alpha_T) znamená konzistenci (T) (tj. (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) a (c) (T) dokazuje (TI) (beta)) pro všechny (beta / lt / alpha_T) ((S) je teorie formalizující finální metamatematiku a je obecně slabou sub-teorií (T)). Má-li mít jakýkoli základní význam, je také nutné, aby bylo možné dát konstruktivní argument pro indukci transfinitu až do (alfa_T). Jak bylo zmíněno výše, udělali to Gentzen a Takeuti pro (varepsilon_0), důkazní teoretický řádek (PA),ale pro silnější teorie se stává obtížnějším a progresivně sporným filosofickým významem.

Filozoficky uspokojivější pokračování Hilbertova programu v teoretických pojmech bylo navrženo Kreiselem (1983; 1968) a Fefermanem (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Tato práce vychází z širšího pojetí Hilbertova programu jako pokus ospravedlnit ideální matematiku omezenými prostředky. V této koncepci bylo cílem Hilbertovy teorie důkazů ukázat, že alespoň pokud jde o určitou třídu skutečných propozic, ideální matematika nepřekračuje skutečnou matematiku. To by dokázal konečný důkaz konzistence, jaký předpokládal Hilbert: pokud ideální matematika prokáže skutečný návrh, pak je tento návrh již prokazatelný skutečnými (tj. Konečnými) metodami. V jistém smyslu to redukuje ideální matematiku na skutečnou matematiku. Důkazově teoretická redukce teorie (T) na teorii (S) ukazuje, že pokud jde o určitou třídu propozic, pokud (T) prokáže propozici, pak (S) to dokazuje a důkaz o této skutečnosti je sám o sobě konečný. Hilbertův důkazní teoretický program lze pak považovat za hledání důkazní teoretické redukce celé matematiky na konečnou matematiku; v relativizovaném programu člověk hledá redukce teorií slabších než celá klasická matematika na teorie často silnější než konečná matematika. Důkazní teoretici získali řadu takových výsledků, včetně redukcí teorií, které na jejich tváři vyžadují značné množství ideální matematiky pro jejich zdůvodnění (např. Subsystémy analýzy) finitivním systémům. (Feferman,1993b) použil tyto výsledky v kombinaci s jinými výsledky, které ukazují, že většina, pokud ne všechny, vědecky použitelné matematiky lze provést v systémech, pro které jsou taková redukce k dispozici, aby argumentovala proti argumentu nezbytnosti ve filozofii matematiky. Filozofický význam takových důkazních teoretických redukcí je v současné době předmětem debaty (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Program tzv. Reverzní matematiky vyvinutý zejména Friedmanem a Simpsonem je dalším pokračováním Hilbertova programu. Vzhledem k Gödelovým výsledkům, které ukazují, že ne všechny klasické matematiky lze redukovat na finitivní, se snaží odpovědět na otázku: kolik klasické matematiky lze tak snížit? Reverzní matematika se snaží poskytnout přesnou odpověď na tuto otázku zkoumáním, které věty klasické matematiky jsou prokazatelné ve slabých subsystémech analýzy, které lze redukovat na konečnou matematiku (ve smyslu diskutovaném v předchozím odstavci). Typickým výsledkem je, že Hahn-Banachova věta o funkční analýze je prokazatelná v teorii známé jako (WKL_0) (pro „slabé Königovo lemma“); (WKL_0) je konzervativní před (PRA) pro (Pi ^ {0} _2) věty (tj.věty ve tvaru (forall x / existuje yA (x, y)). (Viz Simpson 1988 pro přehled a Simpson 1999 pro technické zpracování.)

Bibliografie

Rozšířenou verzi první revize tohoto záznamu lze nalézt v Zachu (2006).

Ackermann, Wilhelm, 1924, „Begründung des“terium non datur „mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit“, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
Auerbach, David, 1992, „Jak říkat věci s formalismem“, v Proof, Logic and Formalization, Michael Detlefsen, ed., London: Routledge, 77–93.
Avigad, Jeremy, 2003, „Teorie čísel a základní aritmetika“, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Předtisk je k dispozici online]
Bernays, Paul, 1922, „Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Anglický překlad v Mancosu (1998a, 215–222).
–––, 1923, „Erwiderung auf die Note von Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen“, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Anglický překlad v Mancosu (1998a, 223–226).
–––, 1928a, „Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik“, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
–––, 1928b, „Zusatz zu Hilberts Vortrag über„ Die Grundlagen der Mathematik ““, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Anglický překlad v: van Heijenoort (1967, 485–489).
–––, 1930, „Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie“, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Přetištěno v Bernays (1976, 17–61). Anglický překlad v Mancosu (1998a, 234–265).
–––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
Dean, Walter, 2015, „Aritmetická reflexe a prokazatelnost zvuku“, Philosophia Mathematica, 23: 31–64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
Detlefsen, Michael, 1979, „O interpretaci Gödelovy druhé věty“, Journal of Philosophical Logic, 8: 297–313. Přetištěno s postscriptem v Shankerovi (1988, 131–154).
–––, 1986, Hilbertův program, Dordrecht: Reidel.
–––, 1990, „O údajném vyvrácení Hilbertovho programu pomocí Gödelovy první věty o neúplnosti“, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
––– 2001, „Co říká Gödelova druhá věta?“, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
Ewald, William Bragg (ed.), 1996, od Kant do Hilbert. A Source Book in the Foundations of Mathematics, sv. 2, Oxford: Oxford University Press.
Ewald, William Bragg a Wilfried Sieg (ed.), 2013, Přednášky Davida Hilberta o základech aritmetiky a logiky 1917–1933, Berlín a Heidelberg: Springer.
Feferman, Solomon, 1988, „Hilbertův program relativizovaný: Proof-teoretické a fondační redukce“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
–––, 1993a, „Co na čem spočívá? Důkazově teoretická analýza matematiky “, ve filozofii matematiky. Sborník z patnáctého mezinárodního sympozia Wittgenstein, 1. část, Johannes Czermak, ed., Vídeň: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Přetištěno v Fefermanovi (1998, Ch. 10, 187–208). [Předtisk je k dispozici online].
–––, 1993b, „Proč trochu jde dlouhou cestu: Logické základy vědecky aplikovatelné matematiky“, PSA 1992, 2: 442–455. Přetištěno v Fefermanovi (1998, Ch. 14, 284–298). [Předtisk je k dispozici online].
–––, 1998, Ve světle logiky, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2000, „Má teorie reduktivních důkazů životaschopné zdůvodnění?“, Erkenntnis, 53: 63–96. [Předtisk je k dispozici online].
Franks, Curtis, 2009, Autonomie matematických znalostí: Revitováno Hilbertův program, Cambridge: Cambridge University Press.
Ganea, Mihai, 2010, „Dva (nebo tři) pojmy finitismu“, Recenze Symbolic Logic, 3: 119–144.
Gentzen, Gerhard, 1936, „Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie“, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Anglický překlad v Gentzenu (1969, 132–213).
–––, 1969, Sběratelské papíry Gerharda Gentzena, Amsterdam: Severní Holandsko.
Giaquinto, Marcus, 1983, „Hilbertova filozofie matematiky“, British Journal for Philosophy of Science, 34: 119–132.
Gödel, Kurt, 1931, „Über formální unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Přetištěno a přeloženo v Gödel (1986, 144–195).
–––, 1958, „Über eine bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes“, Dialectica, 280–287. Přetištěno a přeloženo v Gödel (1990, 217–251).
–––, 1986, Collected Works, sv. 1, Oxford: Oxford University Press.
–––, 1990, Collected Works, sv. 2, Oxford: Oxford University Press.
–––, 2003, Collected Works, sv. 4, Oxford: Oxford University Press.
Hallett, Michael, 1990, „Fyzismus, redukcionismus a Hilbert“, v Physism in Mathemtics, Andrew D. Irvine, ed., Dordrecht: Reidel, 183–257.
Hilbert, David, 1899, „Grundlagen der Geometrie“, ve Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals v Göttingenu, Lipsko: Teubner, 1–92, 1. vydání.
–––, 1900a, „Mathematische Probleme“, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 253–297. Přednáška na Mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Částečný anglický překlad v Ewaldu (1996, 1096–1105).
–––, 1900b, „Über den Zahlbegriff“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180-184. Překlad do angličtiny v Ewaldu (1996, 1089–1096).
–––, 1905, „Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik“, ve Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses v Heidelbergu vom 8. bis 13. srpna 1904, A. Krazer, ed., Leipzig: Teubner, 174–85. Anglický překlad ve van Heijenoort (1967, 129–138).
–––, 1918a, „Axiomatisches Denken“, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Přednáška ve Švýcarské společnosti matematiků, 11. září 1917. Přetištěno v Hilbertovi (1935, 146–156). Anglický překlad v Ewaldu (1996, 1105–1115).
–––, 1918b, „Prinzipien der Mathematik“, přednášky Paula Bernayse. Zimní semestr 1917/18. Strojopis. Bibliothek, Mathematisches Institut, Universität Göttingen. Upraveno v Ewaldu a Siegovi (2013, 59–221)..
–––, 1922a, „Grundlagen der Mathematik“, Vorlesung, zimní semestr 1921/22. Přednášky Paul Bernays. Strojopis. Bibliothek, Mathematisches Institut, Universität Göttingen. Upraveno v Ewaldovi a Siegovi (2013, 431–527).
–––, 1922b, „Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Série přednášek na univerzitě v Hamburku, 25. – 27. Července 1921. Přetištěno poznámkami Bernays v Hilbert (1935, 157–177). Překlad do angličtiny v Mancosu (1998a, 198–214) a Ewald (1996, 1115–1134).
–––, 1923, „Die logischen Grundlagen der Mathematik“, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Přednáška na Deutsche Naturforscher-Gesellschaft, září 1922. Přetištěno v Hilbert (1935, 178–191). Anglický překlad v Ewaldu (1996, 1134–1148).
–––, 1926, „Über das Unendliche“, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Přednáška v Münsteru, 4. června 1925. Anglický překlad ve van Heijenoort (1967, 367–392).
–––, 1928, „Die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Přetištěno v Ewaldovi a Siegovi (2013, 917–942). Anglický překlad ve van Heijenoort (1967, 464–479).
–––, 1929, „Probleme der Grundlegung der Mathematik“, Mathematische Annalen, 102: 1-9. Přednáška na Mezinárodním kongresu matematiků, 3. září 1928. Přetištěno v Ewaldu a Siegovi (2013, 954–966). Anglický překlad v Mancosu (1998a, 227–233).
–––, 1931a, „Beweis des Tertium non datur“, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-phys. Klasse, 120-125. Přetištěno v Ewaldovi a Siegovi (2013, 967–982).
–––, 1931b, „Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre“, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Přetištěno v Hilbert (1935, 192–195) a Ewald a Sieg (2013, 983–990). Překlad do angličtiny v Ewaldu (1996, 1148–1157).
–––, 1935, Gesammelte Abhandlungen, sv. 3, Berlín: Springer.
–––, 1992, Natur und Mathatisches Erkennen, Basel: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–20.
Hilbert, David a Ackermann, Wilhelm, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlín: Springer.
Hilbert, David a Bernays, Paul, 1923, „Logische Grundlagen der Mathematik“, Vorlesung, Winter-Semester 1922-23. Přednášky Paula Bernayse, s ručně psanými poznámkami od Hilberta. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Paní Hilbert 567.
–––, 1934, Grundlagen der Mathematik, sv. 1, Berlín: Springer.
–––, 1939, Grundlagen der Mathematik, sv. 2, Berlín: Springer.
Hofweber, Thomas, 2000, „Důkazová redukce jako nástroj filozofa“, Erkenntnis, 53: 127–146.
Ignjatovic, Aleksandar, 1994, „Hilbertův program a omega pravidlo“, Journal of Symbolic Logic, 59: 322–343.
Kitcher, Philip, 1976, „Hilbertova epistemologie“, Philosophy of Science, 43: 99–115.
Kreisel, Georg, 1960, „Řádná logika a charakterizace neformálních důkazů“, ve sborníku Mezinárodního kongresu matematiků. Edinburgh, 14. – 21. Srpna 1958, JA Todd, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
–––, 1968, „Přehled teorie důkazů“, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
–––, 1970, „Zásady dokazování a ordinály implicitní v daných pojmech“, v Intuitionismu a Teorii důkazů, A. Kino, J. Myhill a RE Veseley, ed., Amsterdam: Severní Holandsko.
–––, 1983, „Hilbertův program“, ve filozofii matematiky, Paul Benacerraf a Hilary Putnam, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 207–238, 2. vydání.
Mancosu, Paolo (ed.), 1998a, z Brouweru na Hilbert. Debata o základech matematiky ve 20. letech, Oxford: Oxford University Press.
Mancosu, Paolo, 1998b, „Hilbert a Bernays on Metamathematics“, (Mancosu, 1998a), 149–188. Přetištěno v Mancosu (2010).
––– 1999, „Mezi Russellem a Hilbertem: Behmann o základech matematiky“, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (3): 303–330. Přetištěno v Mancosu (2010).
–––, 2010, Dobrodružství rozumu: souhra mezi filozofií matematiky a matematické logiky, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press.
Mancosu, Paolo a Ryckman, Thomas, 2002, „Matematika a fenomenologie: korespondence mezi O. Beckerem a H. Weylem“, Philosophia Mathematica, 10: 130–202. Přetištěno v Mancosu (2010).
McCarthy, T., 2016, „Gödelova třetí věta o neúplnosti“, Dialectica 70: 87–112.
Parsons, Charles, 1998, „Finitismus a intuitivní znalosti“, v The Philosophy of Mathematics Today, Matthias Schirn, ed., Oxford: Oxford University Press, 249–270.
––– 2007, matematické myšlení a jeho objekty, Cambridge: Cambridge University Press.
Patton, Lydia, 2014, „Hilbertova objektivita“, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
Poincaré, Henri, 1906, „Les mathématiques et la logique“, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Překlad do angličtiny v Ewaldu (1996, 1038–1052).
Resnik, Michael D., 1974, „O filozofickém významu důkazů konzistence“, Journal of Philosophical Logic, 3: 133–47.
–––, 1980, Frege a filozofie matematiky, Ithaca: Cornell University Press.
Shanker, Stuart G., 1988, Gödelova věta v centru pozornosti, Londýn: Routledge.
Sieg, Wilfried, 1990, „Úvahy o Hilbertově programu“, v herectví a reflexi, Wilfried Sieg, ed., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Přetištěno v Sieg (2013).
–––, 1999, „Hilbertovy programy: 1917–1922“, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (1): 1-44. Přetištěno v Sieg (2013).
––– 2013, Hilbert's Programs and Beyond, New York: Oxford University Press.
Simpson, Stephen G., 1988, „Částečné realizace Hilbertova programu“, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349–363.
––– 1999, Subsystémy aritmetiky druhého řádu, Berlín: Springer.
Smorynski, Craig, 1977, „Věty o neúplnosti“, v Handbook of Mathematical Logic, Jon Barwise, ed., Amsterdam: North-Holland, 821–865.
Steiner, Mark, 1975, Mathematical Knowledge, Ithaca: Cornell University Press.
–––, 1991, „Recenze Hilbertova programu: Esej o matematickém instrumentalismu (Detlefsen, 1986)“, Journal of Philosophy, 88 (6): 331–336.
Tait, WW, 1981, „Finitism“, Journal of Philosophy, 78: 524–546. Přetištěno v Tait (2005a, 21–42).
–––, 2002, „Poznámky k finitismu“, v Úvahy o základech matematiky. Eseje na počest Solomon Feferman, Wilfried Sieg, Richard Sommer a Carolyn Talcott, eds., Association for Symbolic Logic, LNL 15. Přetištěno v Tait (2005a, 43–53). [Předtisk je k dispozici online]
–––, 2005a, Provenience čistého důvodu: Eseje ve filozofii matematiky a její historie, New York: Oxford University Press.
–––, 2005b, „Dodatek ke kapitolám 1 a 2“, v Taitu (2005a, 54–60)
Takeuti, Gaisi, 1987, Proof Theory (Study in Logic: 81), Amsterdam: North-Holland, 2. vydání
van Heijenoort, Jean (ed.), 1967, Z Frege do Gödel. Source Book in Mathematical Logic, 1897–1931, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
von Neumann, Johann, 1927, „Zur Hilbertschen Beweistheorie“, Mathematische Zeitschrift, 26: 1-46.
Weyl, Hermann, 1921, „Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik“, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Přetištěno ve Weyl (1968, 143–180). Anglický překlad v Mancosu (1998a, 86–118).
–––, 1925, „Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik“, Symposion, 1: 1–23. Přetištěno v: Weyl (1968, 511–42). Anglický překlad v: Mancosu (1998a, 123–42).
–––, 1928, „Diskusesbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86–88. Anglický překlad ve van Heijenoort (1967, 480–484).
–––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, sv. 1, Berlín: Springer Verlag.
Zach, Richard, 1999, „Úplnost před příspěvkem: Bernays, Hilbert a vývoj výrokové logiky“, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (3): 331–366. [Předtisk je k dispozici online]
–––, 2003, „Praxe finitismu. Epsilonský počet a důkazy o konzistenci v Hilbertově programu “, Synthese, 137: 211–259. [Předtisk je k dispozici online]
–––, 2004, „Hilbertova„ Verunglückter Beweis “,„ první epsilon věta a důkazy o konzistenci “, Historie a filozofie logiky, 25: 79–94. [Předtisk je k dispozici online]
––– 2006, „Hilbertův program tehdy a teď“, v: Dale Jacquette, ed., Philosophy of Logic. Handbook of the Philosophy of Science, sv. 5. Amsterdam: Elsevier, 411–447. [Předtisk je k dispozici online]

Akademické nástroje

ikona sep muž	Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]

Hilbertův Program

Obsah:

Video: Hilbertův Program

Hilbertův program