Geometrie Devatenáctého Století

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-11-26 16:06

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Geometrie devatenáctého století

Poprvé publikováno 26. července 1999; věcná revize Čt 20. října 2016

V devatenáctém století prošla geometrie, stejně jako většina akademických disciplín, obdobím růstu, které se táhlo kataklyzmatem. Během tohoto období obsah geometrie a její vnitřní rozmanitost vzrostly téměř nad rámec uznání; axiomatická metoda, kterou obdivovatelé geometrie vychvalovali od starověku, konečně dosáhla skutečné logické dostatečnosti a země byla položena, aby v popisu fyzických jevů nahradila standardní geometrii Euklidu Riemannovým úžasně poddajným systémem. Moderní filosofové všech tendencí - Descartes a Hobbes, Spinoza a Locke, Hume a Kant - považovali euklidovskou geometrii za paradigma epistemické jistoty. Náhlé zmenšení euklidovské geometrie na poddruhy rozsáhlé rodiny matematických teorií vesmíru rozbilo některé iluze a vyvolalo důležité změny ve filozofickém pojetí lidského poznání. Například například po těchto devatenáctém století mohou filozofové, kteří sní o zcela jistém poznání pravého a špatného, zajištěného logickou inferencí ze zřejmých principů, již nemohou navrhovat euklidovskou geometrii jako příklad, v němž se podobný cíl ukázal jako dosažitelný. Tento článek shrnuje aspekty geometrie devatenáctého století, které mají velký význam pro filosofii a narážky na absolvování, podle jejich filosofického významu.filozofové, kteří sní o zcela jistém poznání správného a špatného zajištěného logickým odvozením od samozřejmých principů, již nemohou navrhovat euklidovskou geometrii jako příklad, v němž se podobný cíl ukázal jako dosažitelný. Tento článek shrnuje aspekty geometrie devatenáctého století, které mají velký význam pro filosofii a narážky na absolvování, podle jejich filosofického významu.filozofové, kteří sní o zcela jistém poznání správného a špatného zajištěného logickým odvozením od samozřejmých principů, již nemohou navrhovat euklidovskou geometrii jako příklad, v němž se podobný cíl ukázal jako dosažitelný. Tento článek shrnuje aspekty geometrie devatenáctého století, které mají velký význam pro filosofii a narážky na absolvování, podle jejich filosofického významu.

• 1. Lobachevskovská geometrie
• 2. Projektivní geometrie
• 3. Kleinův program Erlangen
• 4. Axiomatika zdokonalena
• 5. Diferenciální geometrie Riemanna

• 6. Lieovy skupiny

  Dodatek: Moderní formulace Riemannovy teorie

• Bibliografie

  • Primární zdroje
  • Sekundární literatura
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Lobachevskovská geometrie

Euclid (fl. 300 BCE) umístil v čele svých prvků řadu „definic“(např. „Bod je ten, který nemá žádnou část“) a „běžných pojmů“(např. „Pokud se rovná rovná se součtu, částky jsou stejné “) a pět„ žádostí “. Pravděpodobně tyto položky zprostředkovávaly všechny informace potřebné pro odvozování vět a řešení problémů geometrie, ale ve skutečnosti to tak není. Žádosti (aitemata), které se v angličtině obvykle nazývají „postuláty“, však musí být v každém případě uděleny, jinak důkazy Euclid neprojdou. Některé z nich jsou zjevně praktické:

1. Nakreslit přímku z libovolného bodu do libovolného bodu. 3. Nakreslit kruh s libovolným středem a poloměrem.

Pátý však zní spíše jako prohlášení o skutečnosti. Text Euclidu lze vykreslit v angličtině následovně: „Pokud přímá čára [c] padající na dvě přímé čáry [a a b] způsobí, že vnitřní úhly na stejné straně jsou menší než dva pravoúhlé úhly, budou tyto dvě přímé čáry [a a b], pokud jsou vyráběny na neurčito, setkávají se na té straně, na které jsou úhly menší než dva pravé úhly “(výrazy uvedené v závorkách jsou uvedeny pro větší přehlednost). To zní velmi přitažlivě. Přesto může být snadno parafrázován jako recept na konstrukci trojúhelníků (viz obrázek 1). Každý trojúhelník je tvořen třemi koplanárními přímkami, které se setkávají ve dvojicích ve třech bodech. Při jakémkoli segmentu PQ nakreslete přímku a až P a přímku b až Q, takže aab leží ve stejné rovině;ověřte, že úhly, které a a b tvoří s PQ na jedné ze dvou stran PQ, sčítají až dva pravé úhly; pokud je tato podmínka splněna, mělo by být uděleno, že a a b se setkávají v bodě R na stejné straně PQ, čímž tvoří trojúhelník PQR. Tato žádost se nazývá „Euclidův postulát“. Pokud je žádost zamítnuta - řekněme, protože věříme, že svět je konečný a není v něm prostor pro přizpůsobení vrcholu R, pokud se dotyčné vnitřní úhly přidají k velmi málo menším než dvěma pravým úhlům - pak hodně z Euclidova systému geometrie neprochází.protože věříme, že svět je konečný a není v něm prostor pro přizpůsobení vrcholu R, pokud se dotyčné vnitřní úhly sčítají až o velmi málo méně než dva pravoúhlé úhly - pak hodně z Euclidova systému geometrie neprochází.protože věříme, že svět je konečný a není v něm prostor pro přizpůsobení vrcholu R, pokud se dotyčné vnitřní úhly sčítají až o velmi málo méně než dva pravoúhlé úhly - pak hodně z Euclidova systému geometrie neprochází.

Obrázek 1

V temnějším věku, který následoval, Euclidův smysl pro matematickou svobodu byl ztracen a filozofové a matematici očekávali, že geometrie bude spočívat na zřejmých základech. Nyní, jestliže a je kolmý a b je téměř kolmý na PQ, aab se k sobě přibližují velmi pomalu na jedné straně PQ a není zřejmé, že se nakonec musí někde na této straně setkat. Koneckonců, nadsázka se na neurčito blíží svým asymptotům a přesto je prokazatelně nikdy nenaplní. Během staletí několik autorů požadovalo - a pokusilo se - důkaz Euclidova postulátu. John Wallis (b. 1616, d. 1703) jej odvozil z předpokladu, že existují polygony různých velikostí, které mají stejný tvar. Pak ale tento předpoklad potřebuje důkaz. Girolamo Saccheri (b. 1667, d. 1733) se pokusil reductio. Z negace Euclidova postulátu vyvodil dlouhou řadu výroků, dokud nedosáhl toho, který prohlásil za „odporující povaze přímky“. Saccheriho chápání této „přírody“však bylo zakořeněné v euklidovské geometrii a jeho závěr tuto otázku prosil.

Ve 20. letech 20. století Nikolaj I. Lobachevskij (1793, 1856) a Janos Bolyai (1802, 1860) samostatně řešili tuto otázku radikálně novým způsobem. Lobachevsky stavěl na negaci Euclidova postulátu alternativní systém geometrie, který nazval „imaginární“a pokusil se neprůkazně otestovat platnost v astronomickém měřítku výpočtem součtu vnitřních úhlů trojúhelníků tvořených hvězdami na obloze. Bolyai vystřihl postulát ze systému Euclid; zbývající rump je „absolutní geometrie“, kterou lze dále specifikovat přidáním buď Euclidova Postulátu, nebo jeho negací. Od roku 1790 Carl Friedrich Gauss (1777, 1855) pracoval na tématu stejným směrem, ale kvůli strachu ze skandálu se zdržel publikování. Protože Lobachevsky jako první publikoval,systém geometrie založený na uvedené „absolutní geometrii“plus negace Euclidova postulátu se správně nazývá lobachevská geometrie.

Výše uvedená konstrukce vysvětlující Euclidův postulát může být také použita pro objasnění jeho negace. Nakreslete přímku a průchod P v pravém úhlu se segmentem PQ. Je-li Euclidův postulát zamítnut, existuje bezpočet přímek přes Q, koplanární s a, které vytvářejí ostré úhly s PQ, ale nikdy se nesetkají s. Uvažujme množinu reálných čísel, která jsou velikostmi těchto ostrých úhlů. Největší dolní mez této sady je μ. Je zřejmé, μ> 0. Přes Q jsou přesně dvě přímky, koplanární s a, které vytvářejí úhel velikosti μ s PQ. (Viz obrázek 2.) Nazvěte je b ₁ ab ₂. Ani b ₁ ani b ₂splňuje a, ale splňuje každou linii přes Q, která je koplanární s a dělá s PQ úhel menší než μ. Gauss, Lobachevsky a Bolyai-nevědomí se navzájem - shodovali se v volání b ₁ a b ₂ paralely na a až Q. μ se nazývá úhel rovnoběžnosti pro segment PQ. Jeho velikost závisí na délce PQ a snižuje se s tím, jak se zvyšuje.

Obrázek 2

Předpokládejme, že úhel rovnoběžnosti pro PQ je polovina pravého úhlu. V tomto případě b ₁ a b ₂ vytvářejí v Q pravý úhel, a tak máme dvě vzájemně kolmé přímky ve stejné rovině jako a, které nesplňují a.

Lobachevského geometrie oplývá překvapivými větami (z nichž mnohé již Saccheri našel). Zde je několik: Tři vnitřní úhly trojúhelníku sčítají až dva pravé úhly. Rozdíl nebo „vada“je úměrná ploše trojúhelníku. V Lobachevské geometrii jsou tedy podobné trojúhelníky shodné. Navíc, pokud je trojúhelník rozdělen na menší trojúhelníky, vada celku se rovná součtu defektů částí. Protože vada nemůže být větší než dva pravoúhlé úhly, oblast trojúhelníků má konečné maximum. Pokud má čtyřúhelník konstrukcí tři pravoúhlé úhly, je čtvrtý úhel nutně ostrý. V Lobachevské geometrii tedy nejsou žádné obdélníky.

Existuje jednoduchá formální korespondence mezi rovnicemi Lobachevskovské trigonometrie a rovnic standardní sférické trigonometrie. Na základě toho Lobachevsky argumentoval, že jakýkoli rozpor vznikající v jeho geometrii by nevyhnutelně odpovídal rozporu v euklidovské geometrii. Toto se jeví jako nejčasnější příklad domnělého dokladu relativní konzistence, podle kterého je teorie prokazatelně konzistentní, protože jiná teorie - jejíž konzistence je obvykle považována za samozřejmost - není nekonzistentní.

Lobachevskian geometrie získala malou pozornost před pozdními 1860s. Když si to filozofové konečně všimli, jejich názory byly rozděleny. Někteří to považovali za formální cvičení v logické dedukci, bez fyzického nebo filosofického významu, který používal obyčejná slova - jako „přímá“a „rovina“- s tajně změněným významem. Jiní to uvítali jako dostatečný důkaz, že na rozdíl od vlivné teze Kant, euklidovská geometrie nepřináší žádné předpoklady lidské zkušenosti a že geometrická struktura fyzického prostoru je otevřena experimentálnímu zkoumání. Ještě jiní se shodli, že neeuklidovské geometrie jsou legitimní alternativy, ale zdůraznily, že konstrukce a interpretace fyzikálních experimentů obecně předpokládá určitou geometrii a že tato role byla předurčena Euclidovým systémem.

Bez ohledu na to, co by filozofové mohli říci, pro matematiky by lobachevská geometrie pravděpodobně nebyla víc než zvláštní zvědavost, kdyby pro ni nebyla nalezena výklenek v projektivní i diferenciální geometrii, dva hlavní proudy geometrického výzkumu devatenáctého století (§ § 2 a 5).

2. Projektivní geometrie

Dnešní projekční geometrie nehraje v matematice velkou roli, ale na konci devatenáctého století se stala synonymem pro moderní geometrii. Projektivní metody byly použity Desarguesem (b. 1591, d. 1661) a Pascalem (b. 1623, d. 1662), ale později byly zatemněny pomocí Descartesovy metody souřadnic. Prosadili se však poté, co Jean-Victor Poncelet (b. 1788, d. 1867) ukázal, že projektivní vlastnosti čísel poskytovaly důkazy, které byly přinejmenším stejně silné jako, a jistě intuitivnější a zdánlivě přesvědčivější než karteziánský postup nastavení a řešení rovnic mezi čísly představujícími body.

Projektivní vlastnosti jsou ty, které jsou zachovány projekcemi. Vezměte například dvě roviny Γ a H a bod P mimo ně. Nechť Φ je jakákoli postava na Γ. Nakreslete rovné čáry z P přes každý bod Φ. Obrázek tvořený body, kde se tyto čáry setkávají s H, je projekce Φ na H z P. Obecně se toto číslo bude lišit od velikosti a tvaru Φ. Projekce libovolného počtu přímek na Γ se v určitých bodech navzájem setkává zpravidla ze stejného počtu přímek na schůzce H, respektive při promítání těchto bodů. Co se však stane, když přímka spojující P s nějakým bodem Q meets nikdy nesplňuje H, protože PQ náhodou leží na rovině rovnoběžné s H? (Viz obrázek 3.)

Obrázek 3

Abychom se vyhnuli těmto nepříjemným výjimkám, přidala projekční geometrie ke každé přímce v prostoru ideální bod, sdílený každou rovnoběžkou s ní. Kontinuita vyžaduje, aby všechny ideální body ležely na jedné ideální rovině, která se setká s každou rodinou rovnoběžných rovin podél jiné ideální linie. Fundamentalisté se mohou otřesit zdánlivě nechtěným množením entit. Po staletí se však praktikovala v aritmetice, protože počáteční zásoba přirozených čísel 1, 2, 3,… byla doplněna nulou, zápornými celými čísly, neintegrálními racionály, iraciony a tzv. Imaginárními čísla.

Body přímky stojí ve vzájemných vztazích sousedství a pořádku. Abychom viděli, jak do těchto vztahů zapadá ideální bod, nechte H neustále rotovat kolem přímky m, kde se protíná Γ. (Viz obrázek 4.) Když H je rovnoběžná s PQ - řekněme, v čase t - projekce Q na H z P je ideálním bodem přímky přes P a Q. Těsně před t je uvedená projekce obyčejným bodem H, velmi daleko od m. Hned po t je projekce opět obyčejným bodem H, velmi daleko od m, ale na opačném konci roviny. Studiem plynulého posunu projekce během krátkého časového intervalu obklopujícího t, lze dojít k závěru, že pokud A a B jsou jakékoli dva body H, které stojí, respektive na obou stranách m, ideální bod přímky přes A a B musí být umístěny mezi A a B. Tím pádem,v projektivní geometrii jsou body přímky uspořádány cyklicky, tj. jako body kruhu. V důsledku toho se sousední vztahy mezi body v projektivním prostoru a na projektivních rovinách drasticky liší od těch, které jsou známé ze standardní geometrie, a jsou vysoce kontraintuitivní. Je spravedlivé říci, že projektivní geometrie znamenala mnohem hlubší a dalekosáhlou revoluci v lidském myšlení než pouhé popření Euclidova postulátu. Je spravedlivé říci, že projektivní geometrie znamenala mnohem hlubší a dalekosáhlou revoluci v lidském myšlení než pouhé popření Euclidova postulátu. Je spravedlivé říci, že projektivní geometrie znamenala mnohem hlubší a dalekosáhlou revoluci v lidském myšlení než pouhé popření Euclidova postulátu.

Obrázek 4

V novém nastavení lze projektivní vlastnosti čísel definovat nečekaně. jedno-jediné mapování projektivního prostoru na sebe je kolinecí, pokud posílá jakékoli tři kolineární body A, B a C na tři body (A), (B) a (C), které jsou také kolineární. Projektivní vlastnosti (a vztahy) jsou ty, které jsou chráněny kolinecemi. Zde je několik příkladů projektivních vlastností. Tři nebo více bodů: ležet na stejné přímce; ležet ve stejné rovině. Ze tří nebo více přímek: setkat se ve stejném bodě; ležet ve stejné rovině. Ze tří nebo více letadel: protínat se podél stejné přímky; sdílet stejný bod. Křivek: být kónický. Z povrchů: být kvadrický.

3. Kleinův program Erlangen

V brožuře vydané při vstupu na fakultu v Erlangenu (1872) Felix Klein (b. 1849, d. 1925) zhodnotil obrovský růst a diverzifikaci geometrie a navrhl stanovisko, z něhož by bylo možné mnoho jejích větví zorganizovat do podoby Systém. Z tohoto hlediska lze úlohu větve geometrie stanovit takto:

Vzhledem k rozdělovači a skupině transformací rozdělovače, studovat konfigurace rozdělovače s ohledem na ty rysy, které nejsou změněny transformacemi skupiny. (Klein 1893, s. 67)

V matematice devatenáctého století často „mnohonásobné“určovalo to, co nyní nazýváme množinou, ale Klein měl zřejmě něco konkrétnějšího na mysli:

Jsou-li n proměnné x ₁, …, x _n, pak… hodnotové systémy, které získáme, pokud necháme proměnné x nezávisle brát skutečné hodnoty z −∞ do + ∞, tvoří to, čemu říkáme… mnohonásobek n dimenzí. Každý konkrétní hodnotový systém (x ₁, …, x _n) se nazývá prvek rozdělovače. (Klein 1873, s. 116)

Jestliže S je v obou směrech různorodé, znamená transformace S jedno-jedno mapování S na sebe. Je jasné že

1. Pokud T ₁ a T ₂ jsou transformace S, složené zobrazení T ₂  ○ T ₁, který se skládá z T _1, následované T ₂, je také transformace S;
2. složení transformací je asociativní, tak, že pokud T ₁, T ₂ a T ₃ jsou transformace S, (T ₃  ○ T ₂) ○ T ₁ = T ₃  ○ (T ₂  ○ T ₁);
3. mapování identity I, které posílá každý bod S k sobě, je transformace S tak, že pro jakoukoli transformaci T, T ○ I = I ○ T = T;
4. pro každou transformaci T je transformace T ⁻¹, inverze T, takže T ⁻¹  ○ T = I (T − ¹ posílá každý bod S zpět na místo, odkud byla přivedena T).

Na základě podmínek (i) - (iv) transformace S tvoří skupinu G _S v přesném smyslu, jaký má tento výraz v algebře. G _S zahrnuje podskupiny, tj. Podskupiny, které obsahují I a splňují podmínky (i) a (iv). Jestliže H je podskupina G _S a Φ je znak S nebo jeho prvků nebo částí, které nejsou ovlivněny transformacemi Φ, říkáme, že Φ je H-invariantní. Jediný G _S-invariant je mohutnost S (tj. počet prvků v rozdělovači). Na druhé straně skupina {I}, sestávající pouze ze identity, triviálně zachovává všechny myslitelné rysy. Mezi těmito dvěma extrémy může být mnoho různých podskupin se všemi druhy zajímavých invariantů, v závislosti na příslušné struktuře skupiny. Pokud S není arbitrární (bezstrukturální) množina, ale numerické varieta, jak popisuje Klein, zdědí strukturu z pole reálných čísel, což přispívá k charakterizaci různých podskupin G _S a jejich invariantů. Skupina spojitých transformací tedy zachovává topologické vlastnosti (sousedské vztahy) a skupina lineárních transformací zachovává projektivní vlastnosti.

Lze tímto způsobem stanovit metrické vlastnosti? Tradičně jeden definuje vzdálenost mezi dvěma body (x ₁, …, x _n) a (y ₁, …, y _n) numerického rozdělovače jako kladnou druhou odmocninu (x ₁  - y ₁) ² +… + (x _n  - y _n) ². Skupina izometrií se skládá z transformací, které tuto funkci zachovávají. Jedná se však pouze o konvenci, která byla přijata s cílem zajistit, aby geometrie byla euklidovská. Díky projektivní geometrii myslel Klein na něco lepšího. Žádná skutečná hodnota párů bodů, definovaná ve všech projektivních prostorech, není invariantem projektivní skupiny, ale existuje funkce kolineárních bodových kvadruplů, nazývaných křížový poměr, který je takový invariant. V návaznosti na práci Arthur Cayley (b. 1821, d. 1895), Klein (1871, 1873) považován za příčný poměr bodových čtveřicích <P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ >. tak, že P ₃ a P ₄ patří k danému kónickému k v projektivní rovině, zatímco P₁ a P ₂ rozsah v oblasti, R, která je ohraničena nebo jinak stanovené mítk. Vzhledem k tomu, P ₃ a P ₄ musí být v místech, kde přímka přes P ₁ a P ₂ splňuje κ, přičemž uvedený příčný poměr může být považována za funkci páru bodu <P ₁, P ₂ >. Kolize, které mapují daný kónický tvar na sebe, tvoří skupinu a uvedená funkce je zjevně invariantní pro tuto skupinu. Klein ukázal, že určitá funkce této funkce se na R chová jako obyčejná vzdálenostní funkce. Podle povahy kónického k, struktura určená touto funkcí splňuje buď (i) všechny věty geometrie euklidovské roviny, nebo (ii) všechny věty z geometrie Lobachevské roviny, nebo (iii) teorie třetí geometrie, kterou Klein sám objevil a daboval 'eliptický'. (V eliptické geometrii se každá přímka setkává s každým druhým a tři vnitřní úhly trojúhelníku vždy sčítají více než dva pravé úhly. Kleinova jména pro geometrii Euklidu a Lobachevského byla „parabolická“a „hyperbolická“).

Takto Kleinův přístup funguje pro Lobachevskianovu geometrii v rovině. Nechť κ je skutečný kónus - kónus obsahující pouze skutečné body - na projekční rovině. Nechť G _κ je množina všech kolinecí, které mapují κ na sebe. G _κ je podskupina projektivní skupiny. Uvažujme nyní příčný poměr bodových čtveřicích <P ₁, P ₂, P ₃, P ₄ > tak, že P ₃ a P ₄ patří k mítk, zatímco P ₁ a P ₂rozsah přes vnitřní Int (κ) oblasti skutečné roviny ohraničené κ. (P ∈ Int (κ) tehdy a jen tehdy, pokud P je skutečný bod a žádný skutečný tangenciální k mítk prochází P.) Jak je uvedeno výše, výběr bodů P ₁ a P ₂ opravy P ₃ a P ₄, takže uvedený křížový poměr lze považovat za funkci pouze prvního páru bodů, řekněme, f _κ (P ₁, P ₂). Funkce f _mítk je jasně G _κ -invariant. Vložte d _mítk (P ₁, P ₂) = C log f _mítk (P ₁, P ₂), kde c je libovolná reálná hodnota, odlišná od 0, a log x označuje hlavní hodnotu přirozeného logaritmu x. Klein dokázal, že d _{κ se} chová přesně jako lobachevská vzdálenostní funkce na Int (κ). Jinými slovy, každá věta Lobachevskovy geometrie platí pro vhodné obrázky vytvořené z bodů Int (κ), pokud je vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma z těchto bodů dána funkcí d _κ. Předpokládejme například, čtyři body P ₁, P ₂, P ₃ a P ₄ v Int (κ), tak, že d _κ (P ₁, P ₂) = d _κ (P ₂, P ₃) = D _κ (P ₃, P ₄) = d _mítk (P ₄, P ₁). Jsou to vrcholy lobachevského rovnostranného čtyřúhelníku Q, které mohou mít nejvýše tři pravoúhlé úhly, v tomto případě musí být čtvrtý vnitřní úhel Q ostrý. (Kde „pravý úhel“znamená, jako obvykle, úhel rovnající se jeho sousednímu úhlu a dva úhly v Int (K) se považují za stejné, pokud jeden je obrazem druhého transformací skupiny _GK).

Pokud κ znamená jiný druh kónického, ne obyčejného skutečného, chová se funkce d _κ získaná výše uvedeným postupem na vhodně definovaných oblastech projektivní roviny jako je euklidovská vzdálenost nebo jako vzdálenostní funkce eliptické geometrie (to závisí na o povaze kuželosečky κ). Tedy, v závislosti na tom, zdaK patří k jednomu nebo druhému ze tří druhů kuželovitých tvarů, je skupina kolinecí, která mapuje κ na sebe, strukturálně identická s jednou ze tří skupin lobachevskovských, euklidovských nebo eliptických izometrií. Podobné výsledky platí i pro trojrozměrný případ s kvadrickým povrchem.

Kleinův výsledek vedl Bertranda Russella (nar. 1873, 1970), aby ve své neokantantské knize o základech geometrie (1897) tvrdil, že obecná „forma externality“je nám a priori odhalena v projektivní geometrii, ale jeho metrická struktura - která může být pouze lobachevskovská, euklidovská nebo eliptická - musí být stanovena a posteriori experimentem. Henri Poincaré (1854, 1912) zaujal radikálnější postoj: Pokud geometrie není nic jiného než studium skupiny,

dalo by se říci, že pravda geometrie Euklidu není neslučitelná s pravdou geometrie Lobachevského, protože existence skupiny není neslučitelná s pravdou jiné skupiny. (Poincaré 1887, s. 290)

Aplikace na fyziku je okamžitá: „Ze všech možných skupin jsme si vybrali jednu zvláště, abychom na ni odkazovali na všechny fyzikální jevy, stejně jako vybíráme tři souřadné osy, abychom jim označili geometrický útvar“(tamtéž, str. 291). Volba této konkrétní skupiny je motivována její matematickou jednoduchostí, ale také skutečností, že „v přírodě existují některá pozoruhodná těla, která se nazývají pevné látky, a zkušenosti nám říkají, že různé možné pohyby těchto těl jsou ve vzájemném vztahu stejným způsobem jako různé operace vybrané skupiny “(tamtéž). Tyto poznámky o Poincaré signalizovaly začátek konvencionismu ve filozofii vědy a poskytly jeho počáteční motivaci.

Kleinův skupinový-teoretický pohled na geometrii si mezi matematiky a filosofy velmi oblíbil. To dosáhlo významného úspěchu, když Minkowski (1909) ukázal, že podstatou Einsteinovy speciální teorie relativity byla geometrie (prostoročas) geometrie Lorentzovy skupiny, což byl zásadní výsledek, který si Klein (1911) žil užívat. To znamená, že nedávná debata o prioritě Minkowského chronogeometrie před Lorentzovou invariancí nebo naopak je naprosto nečinná, protože jsou logicky ekvivalentní, a tedy ve skutečnosti dvě strany téže mince (jak vysvětluje Acuña (2016)). Kleinův Erlangenův program však nedokázal pokrýt diferenciální geometrii Riemanna (§ 5), kterou Einstein (1915, 1916) umístil do jádra své obecné teorie relativity.

4. Axiomatika zdokonalena

Podle Aristotela musí být vědecké znalosti (epistémy) vyjádřeny v prohlášeních, která deduktivně navazují na konečný seznam samozřejmých výroků (axiomů) a používají pouze termíny definované z konečného seznamu nerozumných výrazů (primitivů). Po více než dvě tisíciletí se obecně předpokládalo, že Aristotelův ideál je ve skutečnosti realizován v Euclidových prvcích. Ve skutečnosti existuje již v Euclidu I.1 logická mezera (řešení tohoto problému spočívá na nestacionárním předpokladu kontinuity) a není jasné, že Euclid považoval své postuláty za evidentní (tím, že je označil jako „ žádá, navrhl, že ne). Myšlenka zajištění znalostí logickým odvozením od nezpochybnitelných principů měla pro moderní vědce, jako je Galileo a Newton, silnou fascinaci, z nichž oba laskavě praktikovali axiomatikuv každém případě jako literární forma, jako Spinoza ve své etice. Opravdu uspokojivý, a pokud to lze říci, vážný případ axiomatizace oboru znalostí nebyl k dispozici v tisku až v roce 1882, kdy Moritz Pasch (1843, 1930) publikoval své přednášky o moderní geometrii.

Pasch viděl geometrii jako přírodní vědu, jejíž úspěšné využití jinými vědami a v praktickém životě spočívá „výhradně na skutečnosti, že geometrické koncepty původně souhlasily přesně s empirickými objekty“(Pasch 1882, s. Iii). Geometrie se odlišuje od jiných přírodních věd, protože získává jen velmi málo konceptů a zákonů přímo ze zkušenosti a snaží se od nich získat zákony složitějších jevů čistě deduktivními prostředky. Empirické základy geometrie byly zapouzdřeny Paschem v jádru základních pojmů a základních tvrzení nebo axiomů. Základní pojmy se týkají tvaru a velikosti těl a jejich vzájemných pozic. Nejsou definovány, protože žádná definice nemůže nahradit „výstavu vhodných přírodních objektů“, což je jediná cesta k pochopení tak jednoduchého,neredukovatelné pojmy (tamtéž, s. 16). Všechny ostatní geometrické pojmy musí být nakonec definovány jako základní pojmy. Základní pojmy jsou vzájemně propojeny axiomy, které „uvádějí to, co bylo pozorováno v určitých velmi jednoduchých diagramech“(str. 43). Všechny ostatní geometrické výkazy musí být prokázány z axiomů nejpřísnějšími deduktivními metodami. Všechno, co je potřeba k jejich prokázání, musí být zaznamenáno bez výjimky v axiomech. Musí tedy zahrnovat celý empirický materiál zpracovaný geometrií, takže „po jejich ustavení již není nutné uchýlit se ke smyslovému vnímání“(str. 17). „Každý závěr, který se objeví v důkazu, musí najít své potvrzení v diagramu, ale není to odůvodněno diagramem, ale určitým dřívějším výrokem (nebo definicí)“(s. 43). Pasch jasně pochopil důsledky své metody. Píše (str. 98):

Má-li být geometrie skutečně deduktivní, musí být proces inference ve všech jejích částech nezávislý na významu geometrických konceptů, stejně jako musí být nezávislý na diagramech. Vše, co je třeba vzít v úvahu, jsou vztahy mezi geometrickými pojmy, zaznamenané ve výpisech a definicích. V průběhu dedukce je přípustné i užitečné mít na paměti význam geometrických konceptů, které se v ní vyskytují, ale není to vůbec nutné. Ve skutečnosti, když se to skutečně považuje za nezbytné, ukazuje se, že existuje důkaz v mezeře, a pokud mezeru nelze odstranit změnou argumentu, že prostory jsou příliš slabé na to, aby jej podpořily.

Paschovy přednášky o moderní geometrii se zabývaly projektivní geometrií. První axiomatizace euklidovské geometrie, která odpovídala Paschovým standardům - základy geometrie Davida Hilberta (nar. 1862, d. 1943) - se objevila v roce 1899 a měla obrovský vliv na matematiku a filozofii dvacátého století. Hilbert vyzývá čtenáře, aby zvážil tři svévolné sbírky objektů, které nazývá „body“, „přímky“a „roviny“a pět nedefinovaných vztahů mezi (i) bodem a přímkou, (ii) přímkou a rovina, (iii) tři body, (iv) dva páry bodů („segmenty“) a (v) dvě třídy ekvivalence trojic bodů („úhly“). Podmínky předepsané v Hilbert 's 20 axiomů - včetně Axioma úplnosti přidaného ve druhém vydání - postačuje k charakterizaci uvedených objektů a vztahů až po izomorfismus. Izomorfismus - tj. Strukturální ekvivalence - však může držet mezi různými, intuitivně odlišnými systémy objektů. Hilbert využil tuto vlastnost axiomatických teorií ke studiu nezávislosti některých axiomů od zbytku. Aby to dokázal, navrhl skutečné příklady (modely) struktury určené všemi axiómy kromě jednoho, plus negaci vynechaného. Frege si stěžoval, že geometrické axiomy zadržené v těchto cvičeních lze aplikovat na Hilbertovy přitažlivé modely pouze narušením přirozeného významu slov (srov. Alice s Humpty Dumpty). Hilbert odpověděl dne 29. prosince 1899:strukturální ekvivalence - může však držet mezi různými, intuitivně odlišnými systémy objektů. Hilbert využil tuto vlastnost axiomatických teorií ke studiu nezávislosti některých axiomů od zbytku. Aby to dokázal, navrhl skutečné příklady (modely) struktury určené všemi axiómy kromě jednoho, plus negaci vynechaného. Frege si stěžoval, že geometrické axiomy zadržené v těchto cvičeních lze aplikovat na Hilbertovy přitažlivé modely pouze narušením přirozeného významu slov (srov. Alice s Humpty Dumpty). Hilbert odpověděl dne 29. prosince 1899:strukturální ekvivalence - může však držet mezi různými, intuitivně odlišnými systémy objektů. Hilbert využil tuto vlastnost axiomatických teorií ke studiu nezávislosti některých axiomů od zbytku. Aby to dokázal, navrhl skutečné příklady (modely) struktury určené všemi axiómy kromě jednoho, plus negaci vynechaného. Frege si stěžoval, že geometrické axiomy zadržené v těchto cvičeních lze aplikovat na Hilbertovy přitažlivé modely pouze narušením přirozeného významu slov (srov. Alice s Humpty Dumpty). Hilbert odpověděl dne 29. prosince 1899:Aby to dokázal, navrhl skutečné příklady (modely) struktury určené všemi axiómy kromě jednoho, plus negaci vynechaného. Frege si stěžoval, že geometrické axiomy zadržené v těchto cvičeních lze aplikovat na Hilbertovy přitažlivé modely pouze narušením přirozeného významu slov (srov. Alice s Humpty Dumpty). Hilbert odpověděl dne 29. prosince 1899:Aby to dokázal, navrhl skutečné příklady (modely) struktury určené všemi axiómy kromě jednoho, plus negaci vynechaného. Frege si stěžoval, že geometrické axiomy zadržené v těchto cvičeních lze aplikovat na Hilbertovy přitažlivé modely pouze narušením přirozeného významu slov (srov. Alice s Humpty Dumpty). Hilbert odpověděl dne 29. prosince 1899:

Každá teorie je pouhým lešením nebo schématem pojmů spolu s jejich potřebnými vzájemnými vztahy a základní prvky lze koncipovat jakýmkoli způsobem. Beru-li za své body jakýkoli systém věcí, například systémovou lásku, zákon, kominík, … a já předpokládám všechny své axiomy jako vztahy mezi těmito věcmi, mé věty - například věta Pythagoras - také držet tyto věci. … Tato vlastnost teorií nemůže být nikdy nedostatkem a v každém případě je nevyhnutelná.

To vše samozřejmě vyplývá ze samotné povahy axiomatiky, jak je vysvětleno v pasáži citované z Pascha. Po Gergonne (1771–1859) v roce 1825 upozornil na následující princip duality: takové pravdivé uchování sémantických permutací nebylo v geometrii žádnou novinkou: Jakýkoli pravdivý výrok geometrie projektivní roviny vede k dalšímu, stejně pravdivému, dvojímu výroku získanému nahrazení „bodem“za „řádek“, „kolineárním“za „souběžný“, „setkáním“za „spojit se“a naopak, kdekoli se tato slova objevují v prvním. (V projektivní prostorové geometrii platí dualita pro body a roviny.) Stejný výsledek je samozřejmě zajištěn výměnou ne slov, ale jejich významů.

5. Diferenciální geometrie Riemanna

V přednášce „O hypotézách, které leží na základech geometrie“, přednesených na Filozofické fakultě v Göttingenu v roce 1854 a posmrtně publikovaných v roce 1867, Bernhard Riemann (b. 1826, d. 1866) představil některé radikálně inovativní pohledy na toto téma hmota. Poznamenal, že měřitelné vlastnosti diskrétního rozdělovače lze snadno určit počítáním. (Vzpomeňte na populaci země a na podíl znovuzrozených křesťanů nebo párů, které se rozváděly během prvního roku jejich manželství.) Tento přístup však nepřetržité rozvody nepřipouštějí. Zejména měřitelné vlastnosti fyzického prostoru, které jsou předmětem geometrie, závisí na vazebných silách, které na něj působí. Vzdálenost mezi dvěma body v prostoru lze zjistit pomocí tyče nebo pásky, nebo optickými prostředky,a výsledek v podstatě závisí na fyzickém chování použitých nástrojů. Dosud byly měřitelné vlastnosti prostoru úspěšně popsány v souladu s euklidovskou geometrií. Avšak „empirické koncepty, na nichž jsou založeny metrické určování prostoru - koncepty tuhého těla a světelného paprsku, ztratí svou platnost v nekonečně malém; je tedy docela pravděpodobné, že metrické vztahy prostoru v nekonečně malém nesouhlasí s předpoklady geometrie, a ve skutečnosti by to člověk musel přijmout, jakmile je lze jevy vysvětlit jednodušším způsobem “(Riemann 1854, str. 149). Aby připravil fyziky na tuto možnost, navrhl Riemann obecnější pojetí geometrie. Riemannův základní systém umožňuje počítat s mnohem větší obecností, než ve skutečnosti dosahuje; ale,podle jeho názoru by mělo stačit prozatím charakterizovat geometrii spojitých rozdělovačů tak, aby optimálně souhlasila s euklidovskou geometrií na malém sousedství každého bodu.

Riemann rozšiřuje do n dimenzí metody používané Gaussem (1828) v jeho studiu vnitřní geometrie zakřivených povrchů vložených do euklidovského prostoru (tzv. „Vnitřní“, protože popisuje metrické vlastnosti, které povrchy zobrazují samy, nezávisle na způsobu, jakým tyto povrchy zobrazují) leží ve vesmíru). Když se podíváme zpět na Gaussovu práci, získá lepší intuitivní pocit pro Riemannovy koncepty (viz Torretti 1978, s. 68–82). Kvůli stručnosti a ostrosti je však vhodné se těšit a využít některých konceptů představených pozdějšími matematiky, kteří se snažili Riemannův návrh pochopit. Zvažte moderní formulaci Riemannovy teorie v dodatku Moderní formulace Riemannovy teorie.

V jeho studii zakřivených povrchů, Gauss představil skutečnou-ceněná funkce, Gaussian zakřivení, který měří lokální odchylku povrchu od plochosti v podmínkách vnitřní geometrie povrchu. Riemann rozšířil tento koncept zakřivení na Riemannian n-manifolds. Použitím rozšířeného pojmu zakřivení dokázal s velkou elegancí charakterizovat metrické rozdělovače, ve kterých se všechny postavy mohou volně pohybovat, aniž by se měnila jejich velikost a tvar. Jsou to riemannianská potrubí konstantního zakřivení. Tento nápad lze pěkně kombinovat s Kleinovou klasifikací metrických geometrií. Pokud jde o Riemannianovy 3-variety, má euklidovský prostor konstantní nulové zakřivení, Lobachevskův prostor má konstantní negativní zakřivení a eliptický prostor má konstantní pozitivní zakřivení. Podle programu Erlangenkaždá z těchto geometrií konstantního zakřivení je charakterizována svou vlastní skupinou izometrií. Kleinova koncepce je však příliš úzká na to, aby obsáhla všechny Riemannovy geometrie, které zahrnují prostory s proměnlivým zakřivením. V obecném případě je skupina izometrií riemannského n-manifoldu triviální skupinou tvořenou pouze identitou, jejíž struktura neposkytuje vůbec žádné informace o příslušné geometrii.

6. Lieovy skupiny

Pro filosofa bylo nejuspokojivějším rysem obrovské komplikace, kterou matematika 19. století dosáhla, snad snadnost, s jakou se nově vytvořené (nebo objevené?) Matematické struktury dostaly do empirické vědy, což umožnilo intelektuální pochopení a zvládnutí skutečných jevů.. Tento průzkum o geometrii 19. století ukončíme několika světelnými poznámkami o zvláště bohaté a plodné struktuře, která má v současné fyzice hrdost na místo, konkrétně Lieových skupin, tzv. Po Sophus Lie (1842–1899), Nor matematik, který je hlouběji studoval po roce 1870. Lieova skupina je samozřejmě skupina v algebraickém smyslu, kterou jsme se setkali v § 3, tj. množina G taková, že (i) každý objednaný pár <x, y> ∈ G je spojen s jedinečným prvkem x · y ∈ G (známý jako produkt nebo součet xay);(ii) operace produktu je asociativní, tj. (x · y) · z = x · (y · z) pro každé x, y, z ∈ G; (iii) existuje jeden a pouze jeden prvek 0 ∈ G takový, že pro každé x ∈ G x x 0 = 0 x x x (0 je identita nebo neutrální prvek G); (iv) pro každé x ∈ G je jeden a pouze jeden prvek x⁻¹ ∈ G tak, že x · x ⁻¹ = 0 (x ⁻¹ je známo jako inverze x). Ale Lieova skupina je také hladkým množstvím, jak je popsáno v dodatku Moderní formulace Riemannovy teorie: množinu G lze reprezentovat patchwise systémy systémů reálných hodnot (nebo alternativně komplexních hodnot) souřadnic, vzájemně propojených dobře definovanými, variabilní transformace souřadnic, kdekoli se jejich příslušné záplaty překrývají. Struktura skupiny a potrubí G jsou vzájemně propojeny podmínkou, že operace produktu je diferencovatelné mapování G × G na G.

Jednoduchým, ale důležitým příkladem Lieovy skupiny je skupina SO (2), která je instalována rotací roviny kolem libovolného pevného bodu. Rozdělovač je topologicky kompaktní, a proto jej nelze pokrýt jedinou souřadnicovou záplatou, ale postačují tři: jedna zahrnuje, řekněme, všechny rotace proti směru hodinových ručiček o více než tři radiány a méně než čtyři, které lze přirozeně koordinovat pomocí skutečných čísel v otevřený interval (3,4); další záplata obsahující inverze bývalého, která může být mapována na otevřený interval (−4, −3), a třetí, který pokrývá všechny rotace proti směru hodinových ručiček o méně než dva pravé úhly plus jejich inverze ve směru hodinových ručiček, které lze mapovat na otevřený interval (−π, π). Všechny skupiny, se kterými jsme se setkali v § 3,které Klein použil pro charakterizaci euklidovské geometrie prostoru a klasických neeuklidovských geometrií, jsou Lieovy skupiny a jejich příslušné hladké struktury potrubí umožňují topologické vtípky. Euklidovské izometrie tedy představují rozpojené rozdělovače, přičemž zrcadlový odraz není zahrnut ve stejné složce jako podskupina euklidovských pohybů.

Stejně jako všechny hladké rozdělovače, Lieova skupina G má tečný vektorový prostor připojený ke každému prvku. Konkrétně se tangenciální prostor v neutrálním prvku 0 G stává Lieovou algebrou G definicí tzv. Lieovy závorky, bilineárním mapováním T ₀ G × T ₀ G do T ₀ G, což pro všechny u, v, w v T ₀ G odpovídá podmínce [u, u] = 0 a totožnost Jacobi: [u, [v, w] + [v, [w, u] + [w, [u, v] = 0. Lieova algebra G vrhá hodně světla na strukturu G prostřednictvím homeomorfního („exponenciálního“) mapování sousedství 0 ∈ T ₀ G do sousedství 0 ∈ G.

V dodatku „Moderní formulace Riemannovy teorie“se dotýkáme myšlenky svazku vláken tvořeného dvěma hladkými rozdělovači F a M spojenými „projekčním“mapováním π F na M, které rozděluje rozdělovač F na „vlákna”, Mapováno π do různých bodů M. Vláknitý svazek <F, M, π> se stává hlavním svazkem vláken <F, M, π, G>, pokud Lieova skupina G, známá jako strukturní skupina svazku, působí na F takovým způsobem, že každé vlákno F je orbit akce a několik dalších podmínek jsou splněny. Například, Lorentzova skupina je strukturní skupina hlavního svazku vláken tetradů (ortonormálních 4-násobků tečných vektorů v každém bodě) v libovolném relativistickém časoprostoru, bez ohledu na to, jak bizarní. Tímto způsobemLieové skupiny poskytují prostředek ke sjednocení mnoha modelů dovolených fyzikální teorií a zavedení určitého stupně homogenity mezi nimi.

Během poslední třetiny 20. století svazky vláken a jejich Lieovy skupiny prakticky převzaly základní fyziku. Není to místo, kde by se dalo vysvětlit, jak a proč, ale nezastavitelný vývoj fyziky směrem k stále více matematicky sofistikovanějším, prima facie méně přímým reprezentacím jejího předmětu, si zaslouží pozornost filozofů. Je zřejmé, že koncept určité stabilní věci, která by se mohla přinejmenším v zásadě držet a manipulovat, pro nás již není tak obslužná, jako tomu bylo kdysi pro naše předchůdce vyřezávajících kamínky.

Bibliografie

Primární zdroje

• Bolyai, J., 1832. Scientia absoluta spatii. Dodatek k Bolyai, F., Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae elementis ac sublimioris, Methodo intuitiva, evidentní huic propria, introducendi, Tomus Primus. Maros Vasarhely: J. et S. Kali. (Anglický překlad GB Halsted vytištěn jako příloha k Bonole 1955.)
• Cayley, Arthur, 1859. „Šestá monografie o kvantách,“Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně, 149: 61–90.
• Ehresmann, Ch., 1957. „Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable,“v Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Bruxelles 1950, Paříž: Masson, s. 29–55.
• Einstein, A., 1915. „Die Feldgleichungen der Gravitation“, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (1915), s. 844–847.
• Einstein, A., 1916. „Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie,“Annalen der Physik, 49: 769–822.
• Euklidy, Elementa, IL Heiberg (ed.), Lipsko: BG Teubner, 5 svazků, 1883–88. (Anglický překlad viz níže pod Heath).
• Gauss, CF, 1828. Disquisitiones generales circa superficies curvas, Göttingen: Dieterich. (Anglický překlad A. Hiltebietel a J. Morehead: Hewlett, NY, Raven Press, 1965.)
• Hilbert, D., 1899. „Die Grundlagen der Geometrie“ve Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber Denkmals, Leipzig: BG Teubner, s. 3–92.
• Hilbert, D., 1968. Grundlagen der Geometrie, mit Supplementen von P. Bernays. Zehnte Auflage. Stuttgart: Teubner. (Desáté, revidované vydání Hilberta 1899.)
• Klein, F., 1871. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie,“Mathematische Annalen, 4: 573–625.
• Klein, F., 1872. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen: A. Duchert.
• Klein, F., 1873. „Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Zweiter Aufsatz),“Mathematische Annalen, 6: 112–145.
• Klein, F., 1893. „Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen,“Mathematische Annalen, 43: 63–100. (Revidovaná verze Klein 1872).
• Klein, F., 1911. „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentz-Gruppe,“Physikalische Zeitschrift, 12: 17–27.
• Lie, S., 1888 - 1893. Theorie der Transformationsgruppen (3 svazky), Unter Mitwirkung von F. Engel, Leipzig: Teubner.
• Lobachevsky, NI, 1837. „Géométrie imaginaire,“Journal für die reine und angewandte Mathematik, 17: 295–320.
• Lobachevsky, NI, 1840. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlín: F. Fincke. (Anglický překlad GB Halsted vytištěn jako příloha k Bonole 1955.)
• Lobachevsky, NI, 1856. Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une générale et rigoureuse des parallèles, Kazan: Universitet.
• Locke, J., 1690. Esej o humánním porozumění (ve čtyřech knihách), Londýn: Vytištěno pro Thomase Basseta a prodáno Edwardem Moryem. (Publikováno anonymně; jméno autora bylo přidáno ve druhém vydání).
• Minkowski, H., 1909. „Raum und Zeit,“Physikalische Zeitschrift, 10: 104–111.
• Pasch, M., 1882. Vorlesungen über neueren Geometrie, Leipzig: Teubner.
• Poincaré, H., 1887. „Sur les hipothèses fondamentales de la géométrie,“Bulletin de la Société mathématique de France, 15: 203–216.
• Poncelet, JV, 1822. Traité des propriétés projectives des figures, Paris: Bachelier.
• Ricci, G. a T. Levi-Cività, 1901. „Aplikace Méthodes de calcul différentiel absolutu et leurs,“Mathematische Annalen, 54: 125–201.
• Riemann, B., 1854. „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen,“Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13 (1867): 133–152. (Anglický překlad viz níže v části Spivak.)
• Riemann, B., 1861. “Commentatio Mathatica, qua responent tentatur quaestioni ab illustrissima Acad. Parisiensi propositae, “v Bernhard Riemanns matematická matematika Werke und wissenschaftlicher Nachlass, Leipzig: Teubner, 1876, s. 391–404.
• Russell, B., 1897. Esej o základech geometrie, Cambridge: Cambridge University Press. (Nezměněný dotisk: New York, Dover, 1956.)
• Saccheri, G. 1733. Euclides ab omni nævo vindicatus sive conatus geometrus quo stabiliuntur prima ipsa universæ geometriæ principia, Mediolani: Ex Typographia Pauli Antonii Montani. (Reprint, s čelním anglickým překladem od GB Halsted: New York, Chelsea, 1986.)

Sekundární literatura

• Acuña, Pablo, 2016. „Minkowski spacetime a Lorentzova invariance: Košík a kůň nebo dvě strany jedné mince?“„Studie dějin a filozofie vědy (část B: Studium dějin a filozofie moderní fyziky), 55: 1-12.
• Blumenthal, LM, 1961. Moderní pohled na geometrii, San Francisco: Freeman.
• Boi, Luciano, 1995. Le problemème mathématique de l'espace: Une quête de l'intelligible, Berlin: Springer.
• Bonola, R., 1955. Neeuklidovská geometrie: Kritická a historická studie jejího vývoje. Anglický překlad s dalšími dodatky od HS Carslaw. New York: Dover.
• Freudenthal, H., 1957. „Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie,“Nieuw Archief vor Wiskunde, 5: 105–142.
• Freudenthal, H., 1960. „Die Grundlagen der Geometrie um die Wende des 19. Jahrhunderts,“Mathematisch-physikalische Semesterbericht, 7: 2–25.
• Gallot, S., D. Hulin, a J. Lafontaine, 2004. Riemannian Geometry, Berlin: Springer, 3. vydání. (Aktuální učebnice s řešeními lichých čísel. Část je věnována „pseudo“- romananské geometrii používané v teorii relativity.)
• Giedymin, J., 1982. Věda a konvence: Eseje o filozofii vědy Henri Poincaré a konvenční tradici, Oxford: Pergamon.
• Greenberg, MJ, 2008. Euklidovská a neeuklidská geometrie: vývoj a historie, New York: Freeman, 4. vydání. (Vynikající nástroj pro samostudium na úrovni středoškolských seniorů nebo vysokoškoláků.)
• Heath, TL, 1956. Třináct knih euklidovských elementů přeloženo z textu Heibergu se úvodem a komentářem, New York: Dover, 3 svazky, 2. vydání, revidováno s dodatky.
• Magnani, L., 2001. Filozofie a geometrie: Teoretické a historické problémy, Dordrecht: Kluwer.
• Nagel, E., 1939. „Formování moderních koncepcí formální logiky ve vývoji geometrie,“Osiris, 7: 142–224.
• O'Neill, B., 1983. Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, New York: Academic Press.
• Nomizu, K., 1956. Lieovy skupiny a diferenciální geometrie, Tokio: Matematická společnost Japonska.
• Ronan, M., 2008. „Lie Theory“, v T. Gowers (ed.), Princeton Companion to Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 229–234.
• Rosenfeld, BA, 1988. Historie neeuklidovské geometrie: Vývoj koncepce geometrického prostoru, přeloženo Abe Shenitzerem, New York: Springer.
• Spivak, M., 1979. Komplexní úvod do diferenciální geometrie (5 svazků), Berkeley: Publish or Perish, 2. vydání. (Obsahuje vynikající anglický překlad s matematickým komentářem Riemannovy přednášky „O hypotézách, které leží na základech geometrie“; viz svazek 2, str. 135 a další.)
• Torretti, R., 1978. Filozofie geometrie od Riemanna po Poincarého, Dordrecht: Reidel. (Opravená dotisk: Dordrecht, Reidel, 1984).
• Trudeau, RJ, 1987. Neeuklidovská revoluce, Boston: Birkhäuser.
• Winnie, JW, 1986. „Invarianty a objektivita: teorie s aplikacemi na relativitu a geometrii,“v RG Colodny (ed.), Od kvarků k kvasarům, Pittsburgh: Pittsburgh University Press, str. 71–180.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]