Finitismus V Geometrii

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Finitismus v geometrii

První publikované St 3. dubna 2002; věcná revize Čt 12. září 2019

V našich reprezentacích světa, zejména ve fyzice, hrají (matematické) nekonečna klíčovou roli. Kontinuum reálných čísel, (Re), jako reprezentace času nebo jednorozměrného prostoru, je jistě nejznámější příklad a rozšířením (n) - násobek kartézského produktu, (Re ^ {n}), pro (n) - rozměrný prostor. Tyto stejné nekonečna však také způsobují problémy. Člověk musí jen přemýšlet o Zenoových paradoxech nebo o současném pokračování této diskuse, konkrétně o diskuzi o supertaskech, aby bylo vidět obtíže (pro úplné ošetření se podívejte na záznam o supertaskech v této encyklopedii). Je proto velmi lákavým nápadem prozkoumat, zda je možné tyto nekonečnosti odstranit a být stále schopen dělat fyziku. Prvním krokem k odpovědi na tuto otázku je prozkoumat, zda je možná diskrétní geometrie, která může co nejblíže přibližovat klasickou spojitou geometrii. Například, pokud je tomu tak, může být druhá geometrie snadno nahrazena diskrétní verzí v jakékoli fyzikální teorii, která využívá toto konkrétní matematické pozadí.

Jak se úkol může zdát přímočarý, existují alespoň dva způsoby, jak pochopit pojem aproximace. Předpokládejme, že (T) je fyzikální teorie založená na klasické geometrii. Přibližování k (T) pak může znamenat dvě různé věci:

1. Pro všechny koncepty v (T), včetně geometrických konceptů, se navrhuje diskrétní analog (pokud taková věc existuje), nebo
2. Základní teorie (T ^ / prime) je formulována za použití možná odlišných konceptů takovým způsobem, že klasické pojmy lze odvodit z (T ^ / prime).

V částech, které následují po přehledu, budou představeny (některé) různé pokusy, které spadají pod (a) nebo (b). Než se však vydáme na tuto cestu, je třeba zmínit několik upozornění.

• 1. Některé obecné úvahy

  • 1.1 Logici
  • 1.2 Matematici
  • 1.3 Počítačoví vědci
  • 1.4 Fyzici
  • 1.5 Filozofové

• 2. Diskrétní geometrie jako přímé analogy

  • 2.1 Standardní axiomatizace pro euklidovskou geometrii roviny
  • 2.2 Finská škola a přírodní geometrie
  • 2.3 Konstruktivní přístup
  • 2.4 Přímý fyzický příklad: diskrétní verze speciální teorie relativity
  • 2.5 Některá částečná řešení a problémy, které je třeba řešit

• 3. Diskrétní geometrie jako generátory klasické geometrie

  • 3.1 Obecný rámec
  • 3.2 Ukázkový příklad, použití grafů
  • 3.3 Zvláštní případ: kombinatorická hierarchie
  • 3.4 Může to být empirický problém?
• 4. Co je třeba udělat dál?
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Některé obecné úvahy

Nejdůležitější věc, kterou je třeba vzít v úvahu, je s ohledem na konkrétní návrh na diskrétní geometrii, jaké jsou vědecké a / nebo filozofické pozadí autora (autorů) a co s tím souvisí, jaké jsou jejich záměry. Jsou to logici, matematici, počítačoví vědci, fyzici nebo filozofové (abychom uvedli pět nejčastěji se vyskytujících případů)? Chtějí vyřešit čistě technický, fyzický nebo filozofický problém? Bojí se o základní aspekty nebo je předmětem jejich výzkumu další rozvoj stávajících teorií? Pro objasnění těchto otázek je vhodné jít do podrobností pro každý z pěti uvedených typů autorů.

1.1 Logici

Logici se často zajímají o zobrazení základní logické struktury teorie, fyzické nebo matematické, ao zkoumání, zda existují alternativy, obvykle změnou základních logických principů. Dalo by se představit geometrii založenou nikoli na klasické logice, ale např. Na intuicionistické logice, kde principy jako vyloučená třetí, tj. (P) nebo ne - (p), pro jakékoli tvrzení (p)), nebo dvojitá negace, tj. pokud ne-ne - (p), pak (p), přestat. Cílem je často najít úplnou klasifikaci všech možností. Tento přístup znamená, že logik, který pracuje na vývoji diskrétních modelů, nemusí nutně věřit, že tyto modely jsou v jistém smyslu správné nebo pravdivé. Pomáhají pouze lépe porozumět tomu, co je klasická geometrie.

Dokonalým příkladem takového přístupu je práce na prostorové logice, viz Aiello et al. (2007) za vynikající přehled. Autoři porovnávají svůj přístup k práci prováděné v časové logice (viz záznam o časové logice v této encyklopedii). Existuje mnoho způsobů, jak modelovat čas: s počátečním a / nebo konečným bodem, diskrétní nebo spojité, lineární, cyklické nebo větvení,…. Logickým úkolem je vytvořit jazyk, který umožní člověku „mluvit“o všech těchto strukturách a umět mezi nimi rozlišovat. V časové logice takový jazyk používá operátory (Fp) ("já budu ten, že (p)") a (Pp) ("Bylo to tak, že (p)"). Jeden příklad: pokud je čas v budoucnosti lineární, lze tuto vlastnost vyjádřit následovně. Předpokládejme, že jsou zadány (Fp) a (Fq), pak jsou možné pouze tři věci:bude to buď / (F (p / amp q)), tj. (p) a (q), nebo (F (p / amp Fq)), tj. (p) nastane nejprve a poté (q), nebo (F (Fp / amp q)), tj. naopak. V jednom vzorci: ((Fp / amp Fq) rightarrow (F (p / amp q)) nebo (F (p / ampqq)) nebo (F (Fp / amp q))). Zcela podobným způsobem je konstruování takového jazyka tím, čeho chce prostorová logika dosáhnout pro geometrii, a souvisí tedy s návrhy, o nichž budeme diskutovat v části 3.konstruování takového jazyka je to, čeho chce prostorová logika dosáhnout pro geometrii, a je tedy spojena s návrhy, které budeme diskutovat v části 3.konstruování takového jazyka je to, čeho chce prostorová logika dosáhnout pro geometrii, a je tedy spojena s návrhy, které budeme diskutovat v části 3.

1.2 Matematici

Matematik by se mohl dívat na diskrétní nebo konečný protějšek existující teorie nebo studovat, aby např. Viděl, jaké věty zůstávají v obou případech prokazatelné. To samo o sobě je zajímavé z pohledu tzv. Reverzní matematiky. Hlavní otázkou je zjistit, co je nezbytně nutné k prokázání určitých vět? Viz např. Simpson (2005) a Stillwell (2016). Důkazy, které také drží v diskrétní geometrii, jsou tedy nezávislé na jakémkoli předpokladu o diskrétnosti nebo kontinuitě. Dalo by se však jít hlouběji do základů matematiky a studovat konečné geometrie z pohledu základů. Jedním takovým přístupem je přísný finitismus (i když někdy se také používají pojmy ultra-finitismus nebo ultraintuitionismus), který není zamýšlen jako podskupina jiných základních teorií, ale jako samostatná alternativa. S mnoha formami konstruktivismu sdílí základní názor, že matematické objekty a pojmy musí být matematikům přístupné, pokud jde o konstrukce, které lze provést nebo provést. Jednotlivé formy se od sebe liší tím, jak je třeba chápat pojmy „poprava“nebo „výkon“. Většina konstruktivistů počítá s potenciálně nekonečnou, tj. Pokud se procedura nebo algoritmus (prokazatelně) v budoucnu ukončí, je výsledek přijat jako konstruktivní. Viz Bridges & Richman (1987) pro přehled a záznam o konstruktivní matematice. Přísný finitismus chce jít ještě o krok dále a tvrdí, že neomezený výsledek není považován za výsledek, protože všechny výpočetní zdroje jsou konečné,mohlo by se velmi dobře stát, že tyto zdroje byly vyčerpány před dosažením výsledku. Další kvalifikace slouží k rozlišení Hilbertova finitismu, který, zhruba řečeno, lze považovat za formu finitismu na meta-úrovni (např. Ačkoli matematické teorie mohou mluvit o nekonečných strukturách, stále musí důkazy v těchto teoriích mít konečná délka). Jak se dalo očekávat, striktní finitismus není populární pohled ve filozofii matematiky. Bylo však předloženo několik návrhů. Historie a popis aktuálního (byť nyní poněkud datovaného) stavu věcí lze nalézt ve Welti (1987). V sekci 2 bude o takových návrzích uvedeno více.může být viděn jako forma finitismu na meta-úrovni (např. ačkoli matematické teorie mohou mluvit o nekonečných strukturách, důkazy v těchto teoriích musí mít konečnou délku). Jak se dalo očekávat, striktní finitismus není populární pohled ve filozofii matematiky. Bylo však předloženo několik návrhů. Historie a popis aktuálního (byť nyní poněkud datovaného) stavu věcí lze nalézt ve Welti (1987). V sekci 2 bude o takových návrzích uvedeno více.může být viděn jako forma finitismu na meta-úrovni (např. ačkoli matematické teorie mohou mluvit o nekonečných strukturách, důkazy v těchto teoriích musí mít konečnou délku). Jak se dalo očekávat, striktní finitismus není populární pohled ve filozofii matematiky. Bylo však předloženo několik návrhů. Historie a popis aktuálního (byť nyní poněkud datovaného) stavu věcí lze nalézt ve Welti (1987). V sekci 2 bude o takových návrzích uvedeno více. Historie a popis aktuálního (byť nyní poněkud datovaného) stavu věcí lze nalézt ve Welti (1987). V sekci 2 bude o takových návrzích uvedeno více. Historie a popis aktuálního (byť nyní poněkud datovaného) stavu věcí lze nalézt ve Welti (1987). V sekci 2 bude o takových návrzích uvedeno více.

1.3 Počítačoví vědci

V počítačových vědách jsou předložené teorie a návrhy zcela jiné povahy než logické a matematické, i když se navzájem inspirují. Problém, kterému zde čelíme, je přesně nastavit překlad z klasického geometrického, analogického modelu na model, jehož doména (obvykle) sestává z konečné sady pixelů nebo buněk, které tvoří (počítačovou) obrazovku. Zjevnou nevýhodou (z pohledu této položky) je to, že téměř všechny tyto modely předpokládají klasický (nekonečný) model v pozadí, a proto nemají vlastní základy svého vlastního - situace zcela analogická numerické analýze, která se spoléhá o klasické analýze pro prokázání správnosti postupů. Největší pozornost je věnována problému prokazování korespondence mezi originálem a diskrétním modelem, aby se zajistilo, že získaný obraz je v určitých ohledech věrný originálu. Jednoduchý matematický příklad se týká počtu děr v trojrozměrné euklidovské ploše. Jeden chce mít jistotu, že každá díra, která se objeví na digitálním obrázku, skutečně odpovídá díře v původním matematickém objektu. Další příklady viz Borwein & Devlin (2009). Nicméně, jak již bylo řečeno, je vykonávána práce, která se nechce spoléhat na klasické souvislé pozadí, ale místo toho hledá „správné“axiomatizace a / nebo formalizace geometrie pixelu. Viz Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde najdete několik pěkných příkladů.věrný originálu. Jednoduchý matematický příklad se týká počtu děr v trojrozměrné euklidovské ploše. Jeden chce mít jistotu, že každá díra, která se objeví na digitálním obrázku, skutečně odpovídá díře v původním matematickém objektu. Další příklady viz Borwein & Devlin (2009). Nicméně, jak již bylo řečeno, je vykonávána práce, která se nechce spoléhat na klasické souvislé pozadí, ale místo toho hledá „správné“axiomatizace a / nebo formalizace geometrie pixelu. Viz Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde najdete několik pěkných příkladů.věrný originálu. Jednoduchý matematický příklad se týká počtu děr v trojrozměrné euklidovské ploše. Jeden chce mít jistotu, že každá díra, která se objeví na digitálním obrázku, skutečně odpovídá díře v původním matematickém objektu. Další příklady viz Borwein & Devlin (2009). Nicméně, jak již bylo řečeno, je vykonávána práce, která se nechce spoléhat na klasické souvislé pozadí, ale místo toho hledá „správné“axiomatizace a / nebo formalizace geometrie pixelu. Viz Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde najdete několik pěkných příkladů. Jeden chce mít jistotu, že každá díra, která se objeví na digitálním obrázku, skutečně odpovídá díře v původním matematickém objektu. Další příklady viz Borwein & Devlin (2009). Nicméně, jak již bylo řečeno, je vykonávána práce, která se nechce spoléhat na klasické souvislé pozadí, ale místo toho hledá „správné“axiomatizace a / nebo formalizace geometrie pixelu. Viz Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde najdete několik pěkných příkladů. Jeden chce mít jistotu, že každá díra, která se objeví na digitálním obrázku, skutečně odpovídá díře v původním matematickém objektu. Další příklady viz Borwein & Devlin (2009). Nicméně, jak již bylo řečeno, je vykonávána práce, která se nechce spoléhat na klasické souvislé pozadí, ale místo toho hledá „správné“axiomatizace a / nebo formalizace geometrie pixelu. Viz Kulpa (1979) a nedávno Danielsson (2002), kde najdete několik pěkných příkladů.

Také si všimněte, že tyto teorie by neměly být zaměňovány s počítačovými programy, které mají schopnost uvažovat o geometrických objektech. Toto je část výzkumné oblasti automatizovaného uvažování - viz Chou et al. (1994) pro hezký úvod - a jeho základní objekty jsou důkazy, ne nutně matematické objekty, o nichž jsou důkazy.

1.4 Fyzici

Jak je obecně známo, jedním z žhavých témat ve fyzice je hledání sjednocení kvantové (polní) teorie a obecné teorie relativity. Pokud bude úspěšný, povede by k slavné „teorii všeho“. Jak je stejně dobře známo, nejobtížnějším problémem je řešení toho, jak se vypořádat s časoprostorem. Kvantová (polní) teorie vyžaduje jako pozadí prostor a čas, zatímco obecně relativita je struktura časoprostoru z velké části určena přítomností hmot a energií. Jedním z východisek - a většina z části 3 se zabývá takovými příklady - je najít „hlubší“strukturu, která je základem obou teorií a která v jistém smyslu vytváří prostor a čas z podstatnějších pojmů. Je zřejmé, že pokud by taková teorie byla nalezena, nejenom by vytvořila „jen“model, ale ve skutečnosti by byla považována za skutečnou reprezentaci reality. Většina z těchto modelů, spekulativních, protože některé z nich mohou být v současnosti, se ukáže jako diskrétní, a proto tyto návrhy, v rozporu, např. S logiky, tvrdí, že jsou správným popisem. Nejnovější neformální přehled viz Rovelli (2016), zejména kapitola 11 „Konec nekonečna“.

Z historického hlediska je třeba dodat, že někteří fyzici se pokusili zjistit, jak by mohly vypadat diskrétní protějšky existujících klasických fyzikálních teorií. Filozofické základy takového pokusu bývají obvykle spíše idiosynkratické. V části 2 bude uveden jeden takový příklad. Obvykle takové pokusy nevytvořily hlavní rozruch, rychle zmizely v pozadí, přesto obsahují některé zajímavé a relevantní myšlenky.

1.5 Filozofové

V poněkud přímočarém smyslu zahrnují všechny výše uvedené filosofy. Diskuse o logických systémech, o základních matematických teoriích, o Zeno paradoxech, o supertaskech, o tom, co je model a reprezentace, jsou obvykle tématy, které patří do oblasti filozofů. Navíc přinášejí argumenty z jiných filozofických a / nebo vědeckých oborů. Předpokládejme, že existují vynikající argumenty z epistemologického nebo ontologického hlediska, které tvrdí, že svět by měl být považován za diskrétní, pak tyto argumenty mohou podpořit hledání takového diskrétního pohledu na svět, včetně vypracování diskrétní geometrie. I když z matematického hlediska vypadá tato teorie poněkud neohrabaně nebo obtížně, s nimiž je třeba pracovat, nicméně, kvůli filosofickým úvahám, musí tomu tak být. Bez takových podpůrných argumentů by bylo postavení člověka v takovém případě mnohem slabší. Konečně také věnují pozornost historické stránce věci. Je celkem nápadné, ale to zde nebude představeno, abychom viděli, že v naší historii bylo předloženo mnoho návrhů, které ukazují, že prostor, čas a člověk by měly být považovány za konečné a / nebo diskrétní. Viz např. Sorabji (1983) a Moore (1993) pro vynikající historické přehledy, White (1992) pro vývoj dvacátého století a Franklin (2017) a Lyons (2017) pro některé nedávné příspěvky.abychom viděli, že v naší historii bylo předloženo mnoho návrhů, které ukazují, že prostor, čas a člověk by měly být považovány za konečné a / nebo diskrétní. Viz např. Sorabji (1983) a Moore (1993) pro vynikající historické přehledy, White (1992) pro vývoj dvacátého století a Franklin (2017) a Lyons (2017) pro některé nedávné příspěvky.abychom viděli, že v naší historii bylo předloženo mnoho návrhů, které ukazují, že prostor, čas a člověk by měly být považovány za konečné a / nebo diskrétní. Viz např. Sorabji (1983) a Moore (1993) pro vynikající historické přehledy, White (1992) pro vývoj dvacátého století a Franklin (2017) a Lyons (2017) pro některé nedávné příspěvky.

Jak bylo řečeno, těchto pět skupin je nejdůležitějších, takže úplnost nebyla prokázána a nebyla prokázána ani vzájemná exkluzivita. Tento krátký přehled měl pouze za cíl vyjmenovat různé záměry, motivace, účely a metodiky zúčastněných stran.

2. Diskrétní geometrie jako přímé analogy

První otázkou k vyřešení je, jaká bude klasická teorie. Protože většina práce, která byla provedena, byla omezena na rovinu, bude tato prezentace také omezena na tento konkrétní případ (ve většině návrhů je rozšíření na vyšší rozměrové geometrie považováno za zcela jednoduché). To však nestačí, protože existují různé cesty, jak postupovat při prezentaci geometrie roviny. Jednou z možností je vzít jakoukoli axiomatizaci (euklidovské) roviny - řekněme Hilbertovu formulaci z roku 1899 v jeho Grundlagen der Geometrie - a ukázat, jaké změny musí mít (a) konečné modely axiomatické teorie a (b) konečné modely které se co nejvíce přibližují klasickým (nekonečným, euklidovským) modelům. Jeden z prvních pokusů sahá až do konce 40. let,začátkem padesátých let, a proto zde bude představen jako příklad (v tom smyslu, že má jak všechny požadované kladné vlastnosti, tak zvláštnosti, které se zdají spolu s takovými pokusy). Konkrétně se jedná o práci Paula Kustaanheima v částečné spolupráci s G. Järnefeltem v období mezi lety 1949 a 1957. Následně bude projednán nedávný návrh, zcela odlišně, Patricka Suppse a poněkud starší návrh Ludwika Silbersteina, kde geometrie je přímo zapuštěna do fyzikální teorie, zvláštní teorie relativity musí být přesná. Závěrečná část této části se zabývá některými specifickými problémy a předběžnými řešeními.jedná se o práci Paula Kustaanheima v částečné spolupráci s G. Järnefeltem v období mezi lety 1949 a 1957. Další nedávný návrh bude projednán podle zcela jiných linií Patricka Suppese a poněkud starší návrh Ludwika Silbersteina, kde je geometrie je přímo zapuštěna do fyzikální teorie, přesněji řečeno speciální teorie relativity. Závěrečná část této části se zabývá některými specifickými problémy a předběžnými řešeními.jedná se o práci Paula Kustaanheima v částečné spolupráci s G. Järnefeltem v období mezi lety 1949 a 1957. Další nedávný návrh bude projednán podle zcela jiných linií Patricka Suppese a poněkud starší návrh Ludwika Silbersteina, kde je geometrie je přímo zapuštěna do fyzikální teorie, přesněji řečeno speciální teorie relativity. Závěrečná část této části se zabývá některými specifickými problémy a předběžnými řešeními. Závěrečná část této části se zabývá některými specifickými problémy a předběžnými řešeními. Závěrečná část této části se zabývá některými specifickými problémy a předběžnými řešeními.

2.1 Standardní axiomatizace pro euklidovskou geometrii roviny

Jak vypadá axiomatizace Hilbertova typu? První věc, kterou musíte udělat, je opravit (formální) jazyk. Obvykle se volí predikátová logika prvního řádu s identitou, tj. Jazyk obsahující názvy proměnných (a případně konstant), názvy funkcí (pokud je to nutné), jména predikátů včetně predikátu identity, logických spojek a kvantifikátorů a množina gramatických pravidel pro tvorbu vět. Omezení na logiku prvního řádu znamená, že kvantifikovat lze pouze proměnné. Aniž bychom se podrobně zabývali, je třeba poznamenat, že lze zvolit expresivnější jazyk, např. Umožňuje se také kvantifikace nad predikáty.

Jakmile je jazyk vybrán, dalším problémem je určení primitivních pojmů jazyka. U roviny euklidovské geometrie se jedná o body a čáry, i když někdy jsou čáry definovány jako konkrétní sady bodů. Dále je třeba vybrat základní predikáty. V současné době existuje celá řada různých axiomatizací. Nejčastěji používané predikáty jsou: incidenční vztah („bod (a) leží na čáře (A)“)), vztah mezi („bod (a) leží mezi body (b)) a (c) "), vztah ekvidistence (" vzdálenost od bodu (a) do (b) je stejná jako vzdálenost od bodu (c) do (d) "), kongruenční vztah („část čáry, určená dvěma body (a) a (b), je shodná s částí čáry, určená dvěma body (c) a (d) “). Všimněte si, že není nutné, aby se všechny objevily v axiomatizaci. Například, pokud řádky nejsou zavedeny jako primitivní termíny, pak obvykle neexistuje žádný výskytový vztah.

Dalším krokem je zavedení sady axiomů pro stanovení určitých vlastností výše uvedených vztahů. Pokud například axiomatizace používá vztah incidence, pak jsou typickými axiomy pro tento vztah:

• Přes dva body lze nakreslit přesně jednu přímku.
• Na každé přímce jsou nejméně dva body.
• Existují nejméně tři body, které nejsou na stejné přímce.

Nakonec hledáme interpretaci nebo model axiomatizace. To znamená, že hledáme význam primitivních termínů, jako jsou body a čáry, funkcí (pokud existují) a predikátů tak, aby se axiomy staly pravdivými výroky ve vztahu k interpretaci. I když máme často na mysli konkrétní interpretaci, když vyvíjíme axiomatizaci, nevylučuje to možnost existence spíše neočekávaných modelů. V jistém smyslu se finitistické modely spoléhají na tuto možnost, jak ukazuje následující odstavec.

2.2 Finská škola a přírodní geometrie

Paul Kustaanheimo byl členem skupiny matematiků se sídlem v Helsinkách, kteří se všichni zajímali o určitou formu konečné geometrie. Nejvýznamnějšími členy byli G. Järnefelt, P. Kustaanheimo a R. Lehti. Původ jejich inspirace je v díle JT Hjelmsleva, který vyvinul takzvanou „přirozenou“geometrii („Die natürliche Geometrie“, viz jeho kniha z roku 1923), také označovanou někdy jako „fyzická“geometrie. Jejich přístup neznal žádné pokračování, výjimkou je Reisler a Smith (1969). Podivným způsobem však existuje souvislost s Suppesovým přístupem, o kterém se bude diskutovat později v tom smyslu, že geometrie je primárně vnímána jako (téměř) experimentální věda, tj. Geometr se zabývá pravítky a kompasy, vytváří ploché povrchy k měření, a tak dále. Samozřejmě,protože my lidé dokážeme manipulovat pouze s konečnými objekty konečnými způsoby, musí vzniknout diskrétní geometrie.

Kustaanheimův návrh - zde hrubě vykresluji vynikající prezentaci jeho návrhu ve Welti (1987: 487–521), který je mnohem dostupnější než původní práce, vychází z následující linie odůvodnění. Standardní model pro klasickou axiomatickou teorii euklidovské geometrie se skládá z kartézského součinu reálných čísel se sebou samým. Nebo, jak je obvykle formulováno, je bod v rovině mapován na několik reálných čísel, jejich souřadnic. Reálná čísla mají matematickou strukturu nekonečného pole. Ale existují i konečná pole. Tak proč nenahradit nekonečné pole reálných čísel konečným polem, takzvaným Galoisovým polem?

Nejlepším výsledkem by bylo, že by každé konečné Galoisovo pole splnilo většinu axiomů euklidovské geometrie. To však není pravda. Výsledek výzkumu Kustaanheima je o něco složitější:

• Ne všechna konečná pole. Pokud voláme (p) počet prvků v doméně konečného pole, pak (p) musí splňovat některé podmínky. To znamená, že potenciálními kandidáty jsou pouze konečná pole určité velikosti, tj. Konkrétní hodnota pro (p).
• Pro „dobré“hodnoty (p) nebude celý model fungovat. Jako příklad vezměte rovné čáry. Podle jejich definice v konečném poli se ukázalo, že existují dva druhy přímek: otevřené a uzavřené. Ty druhé porušují některé axiomy, a proto omezíte model na ty otevřené. Toto omezení modelu se nazývá euklidovské „jádro“modelu.

Stručně řečeno, nikdo nemůže tvrdit, že nějaké konečné pole udělá, ale pouze některá a v tomto ohledu jen jeho část.

Tento přístup vyvolává některé důležité filozofické otázky:

• Je zřejmé, že velikost modelu je důležitým prvkem. Má to nějaký význam? Nebo negativně, co to znamená, že pole jiné velikosti nejsou vhodná jako modely? Předpokládejme, že jako myšlenkový experiment je euklidovská geometrie dobrým modelem pro geometrickou strukturu vesmíru. Má smysl tvrdit, že vesmír musí obsahovat přesně (p) body (ne (p-1), ne (p + 1))? Zdá se, že se za rohem skrývá nový druh pythagoreanismu.
• Příklad přímých čar ukazuje, že existují „pěkné“geometrické objekty (ty, které uspokojí většinu axiomů) a „špatné“geometrické objekty. Ignorování špatných je možná matematicky zajímavá strategie, ale nevylučuje je z plného modelu. Jinými slovy, ačkoli nehrají žádnou relevantní roli v „jádru“modelu, jsou tam. Co to znamená? Pro pokračování výše uvedeného experimentu je otázkou, co odpovídá „špatným“objektům ve vesmíru? Pokud nic neodpovídají, proč je potřebujeme především, abychom našli „dobré“předměty?

V obraně Kustaanheimova přístupu je třeba říci, že spojení mezi nekonečnými a konečnými modely jsou obvykle mnohem složitější, než se očekává. Konečný model není pouze zmenšenou verzí nekonečného modelu. Velmi často se objevuje jiná struktura. Jako analogie vezměte (nekonečnou množinu) přirozených čísel. Vezměte konečnou část, řekněte čísla 1 až (L). V konečném případě má smysl mluvit o malém a velkém počtu ve srovnání s (L). To klasicky není možné. Takže člověk najde další strukturu. Metaforicky řečeno, tím, že věci jsou konečné, se objeví podrobnější nebo „jemnozrnnější“struktura, která je vyhlazena v přítomnosti nekonečna. Možná je rozdíl mezi „dobrými“a „špatnými“geometrickými objekty takový další rys, který v klasickém euklidovském modelu zmizí. Tedy snad prvočísla mají význam. Stále však zůstává otázka: je to nový druh pythagoreanismu? Více podrobností o přístupu Kustaanheima lze nalézt v doplňkovém dokumentu: Konečná pole jako modely pro euklidovskou rovinnou geometrii.

2.3 Konstruktivní přístup

Originalita Suppesova přístupu spočívá v tom, že navrhuje zformulovat geometrii jako praxi konstrukcí, srovnatelnou s Hjelmslevovou prací, ale zcela odlišnou. Konstrukcí je třeba rozumět v elementárním smyslu výroby výkresů nebo diagramů, s využitím určitých nástrojů, jako je pravítko a / nebo kompas, a nikoli v moderním smyslu v základním smyslu, tj. Konstruktivním, axiomatickým základem pro geometrii.

Dva prvky jsou důležité z (přísné) finitistické perspektivy. Za prvé, konstrukce mohou být formulovány způsobem bez kvantifikátoru; výraz „nakreslit čáru“neznamená, že musíme mluvit o celé sadě čar v rovině. „Nakreslit čáru“bude mít za následek určitý konečný objekt, jmenovitě úsečku čáry např. Na kus papíru. Za druhé, všechny uvažované modely budou konečné, protože bez ohledu na to, jaké konstrukce se provádějí, bude výchozím bodem vždy konečná sada bodů.

Suppes zvažuje dvě základní operace: operace (B), která odpovídá protnutí čáry (ab) a operace (D), která odpovídá zdvojnásobení linky (ab). Krok (C_ {i}) v konstrukci sestává ze tří prvků: prvním prvkem je (nový) bod, který má být zkonstruován, druhým prvkem je dvojice bodů, které již existují, a třetím prvkem je buď (B) nebo (D), podle toho, jaká operace je vybrána. Výchozí pozice se skládá ze tří daných bodů, (a, b) a (c).

Příklad: zvažte konstrukci (((d, ac, B), (e, bd, D))) sestávající ze dvou kroků. První krok říká, že začíná s (ac) a konstruuje střední bod (d), a ve druhém kroku bereme segment (bd) a zdvojnásobíme jej. Schematické znázornění objasňuje, co se děje:

Obrázek 1

Počínaje trojnásobkem (a, b) a (c) jsme vytvořili rovnoběžník abce.

Pouhé uvedení souboru konstrukcí samozřejmě nestačí k mluvení o geometrické teorii, takže je třeba ukázat, jak se to skutečně děje u Suppů, že je možné formálně axiomatické zpracování. Stačí uvést seznam potřebných axiomů o operacích (B) a (D), takže lze prokázat, že číslo nakreslené ve výše uvedeném příkladu je skutečně rovnoběžník. Kromě toho je věta o reprezentaci prokázána tak, že bodům jsou přiřazeny racionální souřadnice.

Je třeba uvést dva důležité poznámky. Nejprve je třeba ukázat, že tato elementární geometrická teorie může být rozšířena až do plnohodnotné geometrické teorie, kterou lze považovat za věrohodnou alternativu klasické geometrie. Samotný Suppes se zdá být sebevědomý, když píše:

moje vlastní přesvědčení je, že člověk může jít čistě finitisticky celou vzdálenost nebo jistě téměř celou vzdálenost… (2001: 136)

Za druhé, zaměření na konstrukce otevírá nový způsob, jak se vypořádat s problémem funkce vzdálenosti. Nepotřebujeme obecnou funkci vzdálenosti, ale pro každý jednotlivý případ musíme být schopni přiřadit souřadnice bodům v diagramu a nic víc. Zbývá však zjistit, zda lze základní operace (B) a (D) rozšířit bez ztráty této důležité vlastnosti.

V části 2.5 se vrátím k problému vzdálenosti, abych představil některá další navržená řešení. Nejprve však zcela odlišný přístup z fyzické stránky.

2.4 Přímý fyzický příklad: diskrétní verze speciální teorie relativity

V roce 1936 Silberstein navrhuje poměrně přímou diskrétní teorii. Jedinou věcí, kterou ve fyzice používáme, jsou štítky (x, y, z, t), a pokud jsou diskrétní, mohou být vždy označeny celými čísly. V krátké brožuře, která sdružuje pět přednášek na toto téma, se Silberstein omezuje na jeden prostorový a jeden časový parametr. Přestože uznává problém vyšších dimenzí (1936: 15), nezabývá se jím. Takže problém vzdálenosti se stává spíše triviální, protože na linii se funkce diskrétní vzdálenosti a euklidovská vzdálenost shodují. Jeho návrh je elementární v tom smyslu, že nejmenší vzdálenost, viz. vzdálenost mezi dvěma sousedními body (x_ {i}) a (x_ {i + 1}) je rovna 1 a podobně pro časovou souřadnici, takže 1 se stává maximální rychlostí a je rovno (c), takže (c = 1). Jsou definovány analogy derivátů, diferenciální rovnice jsou nahrazeny diferenčními rovnicemi, analog z hlediska konečných rozdílů je odvozen z Taylorovy řady a většina klasické fyziky může být napodobena. Za zmínku stojí, že přednášky zahrnují hrubý výpočet velikosti chrononů, tj. Nejmenší jednotky času, a hodonů, tj. Nejmenší jednotky (jednorozměrného) prostoru. Předpokládejme, že (a) je počet hodin v jednom centimetru a (b) počet chrononů za sekundu, potom) frac {(1 / a)} {(1 / b)} = / frac {b} {a} = c = 3,10 ^ {10} text {cm / s,} quad / text {nebo} quad b = 3,10 ^ {10} cdot a.) Pokud opravíme nižší limit pro (a), řekněme (10 ^ {- 8}) cm (to je vlastně Silbersteinův návrh!), potom (b = 3,10 ^ {10} cdot a / geq 3,10 ^ {18}), což je počet chrononů za sekundu. Dále diskrétní časoprostorový rámec aplikuje na speciální relativitu a také zde je nalezen analog. Zcela zajímavý v tomto přístupu je skutečnost, že se objevují další podmínky, které nejsou v klasickém případě zapotřebí. Zde je jeden obrázek.

Speciální teorie relativity se spoléhá na výraz, zde omezený na jednu prostorovou dimenzi, viz. (X ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Jakákoli změna na nové souřadnice (x '), (t') tedy musí uspokojit (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c ^ {2} t '^ {2}). Předpokládejme, že píšeme (x = ax '+ bt') a (t = cx '+ dt'), pak inverzní vztahy budou [x '= / frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad / text {and} quad t '= / frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Pokud však, (x), (x '), (t) a (t') musí být celá čísla, pak nutně (ad - bc = 1). Tato poslední podmínka je čistým důsledkem skutečnosti, že uvažujeme diskrétně a používáme celá čísla.

2.5 Některá částečná řešení a problémy, které je třeba řešit

V této části budou probrány tři specifické problémy, které je třeba vyřešit, pokud má být jakýkoli návrh na diskrétní geometrii brány v úvahu vážně: problém funkce vzdálenosti, problém dimenze, problém s anizotropií a problém identifikace.

Problém funkce vzdálenosti. Existuje poněkud zničující argument, který ukazuje nemožnost skutečné funkce vzdálenosti pro diskrétní geometrii. Pochází z roku 1949 a byl poprvé vytvořen Hermannem Weylem:

Pokud je čtverec vytvořen z miniaturních dlaždic, pak je zde tolik dlaždic podél úhlopříčky, jaké jsou podél stran; tak úhlopříčka by měla být stejně dlouhá jako strana. (Weyl 1949: 43)

Byly formulovány alespoň tři řešení tohoto problému.

Van Bendegem (1987) tvrdil, že v konečné geometrii by mělo být základní skutečností, že čáry a body mají prodloužení. Především se předpokládá, že čáry mají konstantní šířku (nezávislou na orientaci čáry) (N_ {D}). Proto (N_ {D}) představuje velké (konečné) číslo odpovídající počtu čtverce, které tvoří (N_ {D}). Vzhledem k linii je šířka vždy definována jako kolmá k této linii. Nyní předpokládejme, že linie má orientaci odpovídající úhlu (alfa) mezi linií a osou (x). Pak bude šířka (N_ {D}) této linie při promítnutí na ose (x) - (left) frac {N_ {D}} { sin / alfa} right]) kde výraz ([x]) označuje největší celé číslo menší nebo rovno (x).

Obrázek 2

Vzdálenost (d) mezi dvěma body (p) a (q) je potom definována jako počet čtverců v obdélníku tvořeném přímkou od (p) do (q) a width (N_ {D}), děleno (N_ {D}). Myšlenka je taková, že ačkoli v diskrétní geometrii musí mít čáry nutně šířku, nejedná se o zásadní rys, takže ji lze rozdělit. Proto:

[d (p, q) = N_ {L} cdot / left) frac {N_ {D}} { sin / alfa} right] (mathrm {div}, N_ {D}).]

(N_ {L}) zde odpovídá počtu vrstev rovnoběžných s osou (x) mezi (p) a (q) a (n (mathrm {div}, m))) je podíl dělení (n) na (m.)

Pro ilustraci zvažte problém Weyl.

Obrázek 3.

Máme pravoúhlý trojúhelník pqr tak, že pro jednoduchost jsou pravé strany (pq) a (qr) rovny sobě a jsou vyrovnány s osami mřížky. Předpokládejme, že počet čtverců na pravé straně je (N_ {L}). Pak

) begin {zarovnat *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ / end {zarovnat *})

protože, samozřejmě, ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Přepážka však má úhel (alfa = / frac { sqrt {2}} {2}). Tím pádem,) begin {zarovnat *} d (p, r) & = N_ {L} cdot / left) frac {N_ {D}} { sin / alpha} right] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2}] _ {n}, / end {zarovnat *})

kde ([r] _ {n}) znamená číslo (r) až do (n) desetinných míst. Nejsou potřeba žádné výpočty, které by ukazovaly, že Pythagorova věta platí (blízká aproximace), tj. (D ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Nakonec existuje snadné vysvětlení, proč se vyskytuje problém Weyl: odpovídá případu omezení (N_ {D} = 1). Když (N_ {D} = 1), potom () sqrt {2} cdot N_ {D}] =) sqrt {2}] = 1), tedy (d (p, r)) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) a Pythagorova věta selhala.

Přestože zavedení šířky (N_ {D}) problém zjevně řeší, je stejně jasné, jaké jsou jeho nevýhody. Bez klasické euklidovské geometrie v pozadí neexistuje skutečný způsob, jak zahájit výstavbu. Neexistuje žádná definice přímky z hlediska samotné diskrétní geometrie a především se promítnutá šířka na ose (x) - osy čáry (L) vypočítává podle euklidovské vzdálenosti, která je není výslovně uvedeno. Stručně řečeno, existuje směs dvou funkcí vzdálenosti.

Peter Forrest (1995) představuje další řešení. Začíná představením rodiny diskrétních prostorů (E_ {n, m}), kde (n) odpovídá „klasické“dimenzi prostoru a (m) je měřítkem, který je třeba chápat jako následující: (m) je parametr rozhodující, kdy dva body sousedí nebo nesousedí, což je základní (a jediný) koncept jeho geometrie. V případě (n = 2) jsou tedy body označeny páry celých čísel ((i, j)) a dvěma body ((i, j)) a ((i ', j')) sousedí, pokud jsou zřetelné, a ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Jakmile je stanovena sousednost, lze snadno odvodit funkci vzdálenosti: vzdálenost mezi (p) a (q), (d (p, q)), je nejmenší počet „odkazů“v řetězec bodů spojující (p) a (q) tak, že každý z nich sousedí s předchozím. Dále není problém ukázat, že přímka procházející dvěma body je řetězec bodů, který má nejkratší vzdálenost.

Pokud má parametr (m) malou hodnotu, není výsledná funkce vzdálenosti Euclidean. Konkrétně, pokud (m = 1), pak máme opět situaci prezentovanou Weylem. Pokud ale řekněme (m = 10 ^ {30}) (číslo navržené samotným Forrestem), situace se změní. Pak je možné ukázat, že funkce vzdálenosti na diskrétním prostoru bude aproximovat euklidovskou funkci vzdálenosti tak blízko, jak si člověk přeje. Bez uvedení všech podrobností lze ukázat, že euklidovská vzdálenostní funkce (d_ {E}) a diskrétní vzdálenostní funkce (d) jsou spojeny měřítkovým faktorem, tj. (D_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = / mbox {konstanta} (m)), kde konstanta je určena hodnotou (m). Žádné výpočty nejsou potřeba znovu, aby se ukázalo, že původní funkce vzdálenosti (d) splňuje Pythagorovu větu.

Pokud člověk hledá slabé místo v tomto přístupu, musí nevyhnutelně skončit základním pojmem sousedství. Jaký je důvod definování sousedství v euklidovských podmínkách? Konec konců, podmínka, jako je ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}), vypadá stejně euklidovsky. Možná cesta ven je navržena ve Van Bendegem (1997). Jednou z výhod diskrétního přístupu - a ve skutečnosti se zdá, že to platí obecně pro přísné finitistické návrhy - je to, že definice, které jsou klasicky ekvivalentní, se v přísném finitistickém rámci liší. Konkrétněji tedy kruh může být definován (alespoň) dvěma způsoby:

1. jako množina bodů (p), které mají pevnou vzdálenost k pevnému bodu,
2. jako množina bodů (p) tak, že vzhledem k pevnému segmentu (ab) je úhel tvořený (apb) pravý úhel.

Klasicky jsou tyto dvě definice rovnocenné. Nejsou však v diskrétní geometrii. Je-li např. Funkce vzdálenosti definována jako nejnižší počet hodin, které spojují dva dané body, pak tyto dvě definice nejsou ekvivalentní. Použitím definice (a) bude mít kruh tvar čtverce (známá skutečnost v takzvané taxíkové geometrii), a tak zbytečné definovat sousedství, jak je uvedeno výše. Definice (b) na druhé straně vytváří postavu, která se může přiblížit euklidovskému kruhu co nejblíže. Tímto způsobem je Forrestova definice sousednosti přijatelná v diskrétním rámci, protože není odkaz na euklidovskou vzdálenostní funkci.

Třetí řešení je v Crouse a Skufca (2019), které představuje zajímavou syntézu dvou předchozích návrhů na řešení problému funkce vzdálenosti. Navrhují určitý druh fyzického výkladu, který umožňuje tři věci. Za prvé, umožňuje určit nejnižší velikosti pro hodony a chronony z hlediska Planckovy délky a času. Za druhé, navrhuje definici vzdálenosti od A do B z hlediska vzdálenosti ujeté „testovacím“hodonem (samozřejmě v diskrétních minimálních krocích). To okamžitě řeší problém anizotropie, protože žádné směry nejsou privilegovány. Zatřetí nepředpokládá apriorní existenci mřížky (nebo podobné struktury) jako absolutního referenčního rámce. Tím se otevírá možnost přeformulovat zvláštní teorii relativity, kterou dělají. Ačkoli Silbersteinův přístup (viz oddíl 2.4 výše) není zmíněn, je zjevně příbuzný a lze jej považovat za zlepšení, protože fyzický základ je filozoficky lépe motivován.

Pokud lze tyto návrhy a návrhy považovat za přiměřené reakce na problém Weylových dlaždic, nachází se v nedávné době ve Fritzu další skvělý příklad neúčinného přístupu (a doprovodné věty). Začněte s abstraktní formulací periodického grafu, tj. Sadou vrcholů a sadou hran. Z praktických důvodů lze periodicitu považovat za krystalickou strukturu. To znamená, že máme základní konečnou jednotku, která pokrývá celý graf pomocí opakovaných kopií této základní jednotky. Vezměme si jako příklad dvourozměrnou strukturu. Vrcholy mohou být označeny nebo „váženy“dvěma čísly ((i, j)). Trajektorie ((f_ {n}) _ {n / in N}) je posloupnost hmotností vrcholů, takže vrcholy nesoucí (f_ {n}) a (f_ {n + 1}) jsou spojeny hranou. Dále definujeme (makroskopickou) rychlost takové trajektorie jako

[u = / lim_ {n / rightarrow / infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

což zní naprosto přijatelně. Příklad: trajektorie taková, že (f_ {n} = (n, 0)), začínající od (f_ {0} = (0, 0)), bude mít makroskopickou rychlost 1 jako (f_ {n} - f_ {0} = (n, 0)) a po dělení (n) to ponechá (1, 0). Aniž by šel do detailů, pak ukazuje, že geometrická struktura všech (makroskopických) rychlostí v takovém grafu nemůže odpovídat struktuře euklidovského prostoru. Důvod je poměrně jednoduchý (ačkoli důkazy nejsou): v grafu budou vždy vyčleněny, „zvláštní“směry a anisotropie zůstanou detekovatelné i na makroskopické úrovni. Proto je vyloučen přechod z diskrétní úrovně na makroskopickou, spojitou, euklidovskou a izotropní úroveň. Toto je opravdu zajímavý výsledek, protože vrhá stín na všechny pokusy použít přímý,často spíše naivní přechod z diskrétní na kontinuální úroveň. Současně se dovolává složitějších přechodů z mikroskopické na makroskopickou úroveň, např. Zohledněním šířky čáry.

Problém dimenze. Tomuto problému nebyla věnována velká pozornost, i když je zásadní. Pokud se rovina skládá z diskrétní sady prvků, hodonů nebo atomů, musí mít tato množina nulovou dimenzi. Aby bylo možné určit rozměr, musí být tato sada vybavena topologií a jediným možným kandidátem je diskrétní topologie. To znamená, že rozměr je nula. Každý z nich má možnost jednoduše upustit od pojmu dimenze na základě argumentu, že pojem dimenze předpokládá koncept kontinuity a topologie, a proto nemá žádný finitistický význam. Nebo jeden hledá analog, ale není vůbec jasné, co to může být. Něco, co by se člověk neměl snažit udělat, je odvodit pojem dimenze z uspořádání vztahů. Předpokládejme, že hodiny jsou označeny celými čísly ((i,j)) v nějakém vhodném souřadnicovém systému, například (- L / le i), (j / le L), kde (L) je horní mez. Pak jsou možné zcela odlišné uspořádání objednávek. Jednou z možností je definovat ((i, j) lt (k, l)) pouze tehdy, pokud (i + j / lt k + l). Ale další možností je definovat ((i, j) lt (k, l)), pokud a pouze pokud buď / (i / lt k) nebo, pokud (i = k), pak (j / lt l). Vyžaduje tedy další argumenty, aby tvrdil, že mezi všemi možnými vztahy objednávek na dané sadě má jeden a pouze jeden zvláštní status. V oddíle 3 však uvidíme, že pomocí nástrojů teorie grafů lze skutečně určit definici dimenze.l)) pouze tehdy, pokud (i + j / lt k + l). Ale další možností je definovat ((i, j) lt (k, l)), pokud a pouze pokud buď / (i / lt k) nebo, pokud (i = k), pak (j / lt l). Vyžaduje tedy další argumenty, aby tvrdil, že mezi všemi možnými vztahy objednávek na dané sadě má jeden a pouze jeden zvláštní status. V oddíle 3 však uvidíme, že pomocí nástrojů teorie grafů lze skutečně určit definici dimenze.l)) pouze tehdy, pokud (i + j / lt k + l). Ale další možností je definovat ((i, j) lt (k, l)), pokud a pouze pokud buď / (i / lt k) nebo, pokud (i = k), pak (j / lt l). Vyžaduje tedy další argumenty, aby tvrdil, že mezi všemi možnými vztahy objednávek na dané sadě má jeden a pouze jeden zvláštní status. V oddíle 3 však uvidíme, že pomocí nástrojů teorie grafů lze skutečně určit definici dimenze.

Problém isotropie. Pokud je letadlo postaveno ze čtvercových hodonů, jako v předchozím odstavci, jsou hodony uspořádány tak, že každý hodon se dotýká čtyř dalších hodonů, tj. Letadlo může být modelováno jako čtvercová mřížka, pak je zřejmé, že existují preferované směry, v tomto případě budou dva preferované směry. Pokud však místo čtverců jsou hexagony považovány za hodons, pak existují tři upřednostňované směry. Takže bez ohledu na to, jaký je tvar hodonu, budou existovat upřednostňované směry a to znamená, že prostor je anisotropní. Všimněte si, že tyto případy nejsou ničím jiným než zvláštními případy obecného přístupu Tobiase Fritze, diskutovaného výše. Avšak pro fyzické aplikace bychom chtěli mít izotropii (nebo alespoň co nejblíže).

Jsou možné dva přístupy, které nespadají do Fritzovy věty o nečinnosti. Hodony mají buď určitý tvar, nebo nemají. V prvním případě bylo navrženo, že místo pravidelného pravidelného obkladu roviny je třeba hledat nepravidelné neperiodické obložení, jako je obklad Penrose.

Obrázek 4

Ačkoli nejsou k dispozici žádné propracované příklady, zdá se to slibná linie útoku. V případě obkladu Penrose je zajímavé vidět, že již neexistují žádné klasické přímky, přesně kvůli aperiodicitě. V druhém případě je možná nejasnost. Jak Peter Forrest v jeho (1995), a Crouse a Skufca v jejich (2019) hájí, celá myšlenka specifického znázornění diskrétního prostoru, např. Vytvořeného z malých čtverců, se zásadně mýlí. Pokud má hodon specifickou podobu, nelze se vyhnout otázkám o částech hodon, jako je jeho hranice, ale to nedává smysl, pokud jsou hodons nejmenší možné prostorové entity. Mezilehlá pozice bráněná ve Van Bendegem (1997) je zvažovat řadu diskrétních geometrií (G_ {i}), každá s hodonem určité velikosti, (h_ {i}),takový, že (h_ {i} ne h_ {j}), pro (i / ne j) a navíc existují (M) a (N) takové, že (M / lt h_ {i} lt N), pro všechny (i). Jeden může pak použít supervaluation techniku na sérii. To znamená, že příkaz bude True (False), pokud je true (false) v každé geometrii (G_ {i}). Ve všech ostatních případech je nerozhodnuto, tj. V některých případech pravdivé a v některých jiných nepravdivé. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů.existují (M) a (N) takové, že (M / lt h_ {i} lt N), pro všechny (i). Jeden může pak použít supervaluation techniku na sérii. To znamená, že příkaz bude True (False), pokud je true (false) v každé geometrii (G_ {i}). Ve všech ostatních případech je nerozhodnuto, tj. V některých případech pravdivé a v některých jiných nepravdivé. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů.existují (M) a (N) takové, že (M / lt h_ {i} lt N), pro všechny (i). Jeden může pak použít supervaluation techniku na sérii. To znamená, že příkaz bude True (False), pokud je true (false) v každé geometrii (G_ {i}). Ve všech ostatních případech je nerozhodnuto, tj. V některých případech pravdivé a v některých jiných nepravdivé. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů. Jeden může pak použít supervaluation techniku na sérii. To znamená, že příkaz bude True (False), pokud je true (false) v každé geometrii (G_ {i}). Ve všech ostatních případech je nerozhodnuto, tj. V některých případech pravdivé a v některých jiných nepravdivé. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů. Jeden může pak použít supervaluation techniku na sérii. To znamená, že příkaz bude True (False), pokud je true (false) v každé geometrii (G_ {i}). Ve všech ostatních případech je nerozhodnuto, tj. V některých případech pravdivé a v některých jiných nepravdivé. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů. Nyní, pokud (A) je příkaz „hodons have size (alpha)“(kde (alpha) je konkrétní číslo), bude to nerozhodnuto, pokud odpovídá alespoň jednomu z (Ahoj}). Takový přístup však vnáší do diskuse všechny problémy spojené s nejasností, což nemusí být nutně povzbudivou situací. I pro tento problém může být původní odpověď poskytnuta v rámci teorie grafů.

Identifikační problém. Předpokládejme, že máme plnohodnotnou diskrétní geometrii a předpokládáme, že klasickou geometrii fyzikální teorie nahradíme diskrétní verzí. Nyní budeme mluvit o hodonech a chrononech. „Přirozená“otázka, která vyvstává, je to, co je třeba identifikovat s čím? Představte si, že v souladu se Silbersteinem jsme trochu naivní a bylo by v pokušení identifikovat hodon s Planckovou délkou, (l_ {p} = 10 ^ {- 35} text {m}) a chronon s Planck time, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} text {s}). Pokud nyní člověk připouští, že maximální rychlost je jeden hodon na chronon, pak z této identifikace vyplývá, že maximální rychlost je skutečně (c = 3,10 ^ {8} text {m / s}). (Poznámka: tady se neděje nic úžasného, protože v klasické fyzice je (l_ {p}) definováno jako (sqrt { hbar G / c ^ 3},) a (t_ {p}) jako (sqrt { hbar G / c ^ 5},), takže je okamžitě zřejmé, že (l_ {p} / t_ {p} = c). Nyní položte jednoduchou otázku, jaká bude další rychlost, těsně pod (c)? Odpověď musí být: jeden hodon na dva chronony, ale to znamená rychlost (c / 2). Zdá se, že jsme vynechali celý rozsah mezi (c / 2) a (c). Existuje cesta ven, ale předpokládá se, že „trhaný“pohyb je považován za možný, esteticky docela ošklivý nápad. Objekt pohybuje dvěma hodonami ve dvou chrononech a poté čeká na jeden chronon a pak opakuje stejný pohyb. Průměrná rychlost je pak (2c / 3). Jedním z možných východisek, který bude stručně zmíněn v části 3.2, je zavedení prvku náhodnosti do struktury. Chcete-li ocenit úplnou složitost tohoto tématu přesahující pouhé numerické vztahy, podívejte se na vynikající přehled a diskusi o Hagaru (2014).

3. Diskrétní geometrie jako generátory klasické geometrie

3.1 Obecný rámec

Jak je uvedeno v oddíle 1, budeme zde diskutovat o návrzích, které hledají teorii nebo model, které jsou základem geometrické teorie, takže z nich lze odvodit klasické geometrické pojmy. Je zřejmé, že člověk musí být velmi opatrný, protože „nebezpečí“neustále existuje, že nekonečna vstupují do obrazu někde neviditelného nebo nepovšimnutého. Předpokládejme, že uvedeme jednoduchý příklad, že je povolena pouze sada konečných bodů, ale také operace, která generuje mezi jakoukoli dvojicí bodů třetí bod odlišný od všech přítomných bodů a neexistují žádná omezení počtu opakování operace mohou být aplikovány, pak je tu zjevně nekonečný počet bodů „v přestrojení“. Říkat takový model diskrétní geometrický model vypadá docela nevhodný.

Také je třeba být velmi opatrný, např. Tvrdí, že kvantová mechanika se zabývá diskrétními hodnotami, obvykle ve vztahu k Heisenbergovým principům neurčitosti, a proto je fyzika na základní úrovni diskrétní teorií. To je však velmi zavádějící. Stačí se podívat do jakékoli příručky kvantové mechaniky, abyste zjistili, že použitá matematika vyžaduje plné využití nekonečna. Bez ohledu na to, zda někdo používá Heisenbergův maticový přístup, Hilbertův operátorův formalismus, Schrödingerovu vlnovou rovnici nebo nějaký jiný formalismus, matematika zahrnuje integrály, deriváty, nekonečné (konvergentní) součty, prostory s nekonečnou dimenzí atd. (Viz položka o kvantové mechanice). Tady není moc diskrétnosti. To znamená, že i pro kvantovou mechaniku je skutečným problémem najít diskrétní protějšek. To jasně dokazují pokusy Gerarda 'Ho Hoofa přeformulovat kvantovou mechaniku skutečně diskrétním způsobem, viz' t Hooft (2014). Zajímavé je, že to ovlivňuje otázky, jako je determinismus versus indeterminismus.

Z historického hlediska lze nepochybně považovat práci Tullio Regge za první pokus vyvinout model, z něhož by bylo možné vyvinout geometrické koncepty. Původní práce pochází z roku 1961, viz Regge (1961). Konkrétně se zde zabýváme obecnou teorií relativity (GRT). Přestože původním záměrem Regge bylo konstruovat techniky pro řešení rovnic GRT v „obtížných“případech, tj. Tam, kde není přítomna žádná symetrie a teorie poruch není aplikovatelná. Raději než přepsat diferenciální rovnice GRT do diferenciálních rovnic, hledal Regge techniku, která vede k různým rovnicím úplně. Bez představení všech podrobností je jádrem jeho přístupu „úhel deficitu“. V GRT se zabýváme zakřivenými prostory. Vezměte dvourozměrný zakřivený povrch. Pokud je plochý, může být zakryt trojúhelníky. Pokud je zakřivený, lze jej aproximovat pomocí trojúhelníků, ale s důležitým rozdílem. Předpokládejme, že trojúhelníky se setkávají ve vrcholech, pak se můžeme podívat na jeden konkrétní bod a na všechny trojúhelníky, které se v tomto bodě setkávají. Pokud je tato část povrchu vyrovnána, bude někde mezera. K této mezeře odpovídá úhel a to je přesně úhel deficitu. Čím větší je zakřivení, tím větší je úhel deficitu. Stejná technika funguje pro čtyřrozměrný případ, kde se místo trojúhelníků používají simplexy. Krása tohoto přístupu spočívá v tom, že rovnice GRT mohou být přepsány z hlediska úhlu deficitu a délky hran simplexu a řešeny pomocí těchto konceptů. Misner a kol. (1973) obsahuje kapitolu (42:„The Regge Calculus“), který vysvětluje Reggeho přístup kompaktním a dokonale přístupným způsobem.

Dnes existuje poměrně působivé množství pokusů. Většina z nich má být považována za vysoce spekulativní, protože skutečně odráží současný stav věcí v plném rozvoji. Zbývá však řada přístupů, které se pomalu začínají objevovat a které se zdají být životaschopnými kandidáty a zajímavými pro finitistický pohled na geometrii (z hlediska časoprostoru). Je třeba poznamenat, že pro dotčené autory není jejich hlavním cílem tolik formulovat diskrétní formu geometrie, ale spíše zjistit, zda tento nebo tento model bude sloužit jako společný základ pro kvantovou (polní) teorii a GRT, tedy pro celá fyzika, abych tak řekl, nebo, pokud se jí líbí, „Teorie všeho“. Naše obavy jsou ve skutečnosti skromnější:říkají tyto modely něco o tom, jak mohou být diskrétní geometrie formulovány tak, že vytvářejí klasickou geometrii? Takže i kdyby fyzici takový model odmítli na základě dobrých solidních fyzikálních důvodů, stále by to mohlo zajímat otázku možnosti diskrétní geometrie.

Huggett & Wuthrich (2013a) představuje pěkný přehled současné situace, pokud jde o zbývající soubor. Je třeba zmínit, že tento článek je součástí zvláštního vydání, Huggett & Wuthrich (2013b), o vzniku časoprostoru v kvantových teoriích gravitace. Dohromady projednávají a hodnotí šest typů návrhů, ale budeme zde uvažovat pouze o třech. Zbývající tři jsou v současné době buď příliš spekulativní, nebo nezahrnují diskrétní časoprostory (jako je teorie strun a nekomutativní geometrie). Tři přístupy relevantní pro naše téma jsou:

• Mřížkový prostoročet: toto je blízko Reggeova přístupu v tom smyslu, že spojitý prostor (a čas) je nahrazen diskrétní strukturou, v tomto případě mříží. Pokud jsou tyto mříže vybaveny nějakou formou zjevně diskrétní metriky, spojení mezi spojitým a diskrétním prostorem (a časem) se velmi těsně uzavře. Následující část představuje takový návrh (vynechání fyziky),
• Nemetrické mříže: Nejznámějším příkladem v této položce jsou kauzální mříže. Spojení mezi „body“v mříži jsou kauzální vztahy, a to vyžaduje mnohem více práce, aby se z ní mohla odvodit časoprostorová struktura. Ve skutečnosti v mnoha případech máme ne-go věty v tom smyslu, že diskrétní mříže „nedokážou dobře chovat limity kontinua připomínající relativistické časoprostory“(str. 278), a tak „ozvěny“již zmíněného negativního výsledku Fritze (2013),

• Smyčka kvantové gravitace: tato teorie je jedním z pokusů, brát vážně, sjednotit kvantovou (polní) teorii a obecnou relativitu. Základními strukturami jsou tzv. Trojrozměrné spinové sítě. Pokud se těmto sítím dovolí vyvíjet se v čase, pak se objeví čtyřrozměrná struktura, tzv. Rotační pěna, která v limitu by měla generovat relativistickou časoprostorovou strukturu. Zde by měla být vložena výzva: ačkoli struktura spřádací sítě je struktura grafu se sadou uzlů a sadou hran, přesto jsou tyto uzly a hrany označeny fyzicky významnými veličinami, které zahrnují spojité struktury, jako jsou Lieovy skupiny. Tento krátký výňatek Reisenbergera (1999) je velmi ilustrativní, aniž by byl podrobně popsán:

  Hrany spinové sítě obecně nesou netriviální ireducibilní reprezentace (irrepy) rozchodové skupiny a vrcholy nesou intertwinery. Intertwiner pro vrchol může být jakýkoli invariantní tenzor reprezentace produktu (R) vytvořený součinem irreps nesených vstupními hranami a dvojic irreps na výstupních hranách. (str. 2047)

Abychom ocenili, jak rychle se věci vyvíjejí v této oblasti výzkumu, je třeba provést srovnání mezi Huggettem a Wüthrichem (2013a) a Meschini et al. (2005), také chtěl být průzkumový dokument. Je zajímavé, že Huggett a Wüthrich popisují svůj průzkum jako doplňkový k tomu druhému. Ve druhém článku je stručně představena práce Manfred Requardta, která bude sloužit jako prototyp, protože nezavádí fyzickou stránku věcí hned od začátku. Chcete-li mít chuť sofistikovanějších přístupů, které zahrnují fyziku hned od začátku, viz Smolin (2018), kde je diskutována také kvantová gravitační smyčka, zmíněná přímo výše. Ačkoli takové přístupy, základní i sofistikované případy, nejsou v literatuře o prostorové logice zmíněny,Spojení mezi nimi jsou však velmi hluboká a úzká a určitě je třeba je dále prozkoumat.

3.2 Ukázkový příklad, použití grafů

Výchozím bodem je diskrétní graf (G = / langle N, C / rangle) sestávající z množiny (N) uzlů, (n_ {i}) a množiny (C) spojení, (c_ {ij}), takže žádný uzel není připojen k sobě a uzly (n_ {i}) a (n_ {j}) mají maximálně jedno spojení. Nejzřetelnější se zdá, jak definovat funkci vzdálenosti a téměř ve všech návrzích je to skutečně následovaná strategie (podobná definicím navrženým v oddíle 2.5):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = nejmenší počet spojení vedoucích z (n_ {i}) na (n_ {j}).

Je snadné vidět, že klasické vlastnosti funkce vzdálenosti jsou splněny:

• (D (n_i, n_i) = 0,)
• (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
• (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

Na první pohled není vůbec zřejmé, jak by měl člověk postupovat dále, ale pokud člověk čte (n_ {i}) a (c_ {ij}) jako druh vektoru, pak lze lineární kombinace formovány, kde (f_ {i}) a (g_ {ij}) jsou např. přirozená nebo racionální čísla:

[f = / sum_i f_i n_i / quad / mbox {a} quad g = / sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Tyto dva výrazy lze číst jako funkce přes (n_ {i}) a (c_ {ij}). To, co nyní potřebujeme, je vztah mezi uzly a spojeními, proto představte speciální funkci (d):

[d: n_i / rightarrow / sum_k c_ {ik}.)

Je docela zajímavé vidět, co se stane, pokud lineárně rozšíříme funkci (d) tak, aby ji bylo možné aplikovat na libovolné funkce (f):

[df = / sum_i f_i / sum_k c_ {ik}.)

Pokud nyní stanovíme, že (c_ {ik} = -c_ {ki}) (jako druh vektorové rovnice s uvedením, že spojení mají směr), lze výše uvedený výraz přepsat následovně (vezměte v úvahu, že, protože nejsou povoleny žádné smyčky, (c_ {ii} = 0)):

[df = / frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Ačkoli je to ještě daleko, tento výraz (df) již má některé pěkné vlastnosti, které připomínají derivaci funkce (f):

• Je lineární: (d (f + g) = df + dg),
• Pokud (f) je konstantní funkce v tom smyslu, že v každém uzlu (f_ {i}) má stejnou hodnotu, pak je okamžité, že (df) pro (f) konstantu je 0,
• Pokud je (f) takové, že ve dvou přímo souvisejících uzlech (n_ {i}) a (n_ {i + 1}), (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), jinými slovy to vyjadřuje, že (f (i) = i), potom (df) je 1, kde 1 je funkce představovaná (sum_i n_i). Odvozená funkce identity je tedy konstantní funkce 1.

Jak však lze snadno ověřit pomocí výše uvedených definic, pravidlo produktu selže, tj. (D (f / cdot g)) se nerovná (df / cdot g + f / cdot dg).

Do jisté míry je tedy možné na diskrétních grafech konstruovat základní formu počtu. Nalezení „správných“protějšků vyžaduje nějakou vynalézavost a kreativní myšlení, ale tento jednoduchý příklad ukazuje, že z diskrétního grafu lze odvodit spoustu struktury. Ve skutečnosti je toho víc. Diskrétní grafy umožňují pěkné řešení problému s dimenzemi, které bylo zmíněno v kapitole 2.5. Toto je hrubý nástin myšlenky:

Zvažte uzel (n_ {i}), potom (U_ {1}) je množina uzlů (n_ {j}) taková, že (D (n_ {i}, n_ {j})) = 1), tj. (U_ {1}) sdružuje nejbližší sousedy (n_ {i}). Podobně můžeme definovat (U_ {2}) jako množinu uzlů (n_ {k}) tak, že (D (n_ {i}, n_ {k})) je nanejvýš 2. Je vyplývá, že (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}), a tak získáme vnořenou řadu sousedství (n_ {i}). Pokud člověk chápe dimenzi jako měřítko „růstu“sousedství, lze dimenzi definovat jako:

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln / lvert U_m / rvert} { ln m})

Jedním ze zajímavých rysů této definice je, že nemusí být jednotný v celém grafu, protože pro všechny závisí na výběru počátečního uzlu (n_ {i}). Ale v případě, že je graf dostatečně jednotný, bude rozměr konstantní. Dále, vezmeme-li klasický případ, jako je například trojrozměrný euklidovský prostor, rozměry se shodují. Předpokládejme, že jako základní graf máme pravidelnou mříž, pak má konkrétní uzel kostku jako množinu nejbližších sousedů (U_ {1}) sestávající z (3 ^ {3} = 27) bodů a sousedství (U_ {m}) bude počítat ((m + 2) ^ {3}) uzly. Proto

) mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad / mbox {nebo} quad / mbox {Dim} = / lim_ {m / rightarrow / infty} 3 / cdot / frac { ln (m + 2)} { ln m})

Protože pro (m) dostatečně velký, (frac { ln (m + 2)} { ln m}) se blíží 1, vyplývá, že (mbox {Dim} = 3). To ukazuje, že od diskrétních grafů jsme získali rozšíření pojmu dimenze. Jeden si mohl všimnout, že tento typ definice je docela podobný některým definicím použitým k definování rozměrů fraktálních obrazů.

Diskrétní grafy navíc umožňují zvládnout i problém anizotropie. Postačuje zavést prvek náhodnosti do sítě např. Měřením průměrů přes připojenou sadu uzlů, aby se zabránilo jakýmkoli privilegovaným směrům. Jsou zde zjevně podobnosti s nepravidelným obkladovým schématem nebo se zavedením nejasností, ale důležitým rozdílem je to, že statistické a pravděpodobnostní koncepty jsou (celkem) dobře pochopeny, zatímco problém s obkladem je, jak bylo uvedeno, otevřeným problémem a nejasnost zůstává notoricky obtížné pochopení pojmu (viz záznam o nejasnosti v této encyklopedii).

3.3 Zvláštní případ: kombinatorická hierarchie

Bylo by chybou se domnívat, že různé výše uvedené pokusy nějak vytvářejí úplný katalog, který umožňuje klasifikovat všechny možné přístupy. V tomto odstavci takový exotický příklad, viz. stručně je představena kombinatorická hierarchie. V tomto přístupu není důraz kladen na rovnice fyziky samotné, ale na fyzikální konstanty, které se v nich vyskytují, jako je rychlost světla (c), Planckova konstanta (h), hmotnost elektronů (m_ {e}) atd. Protože tyto hodnoty jsou nutně konečné, zdá se užitečné prozkoumat, zda finitistický přístup může vysvětlit, proč tyto konstanty mají hodnoty, které náhodou mají. Takové přístupy jsou někdy označovány jako „početní hry“.

Dovolte mi uvést jeden velmi jednoduchý příklad. Počínaje vesmírem sestávajícím z konečného počtu bitů, tj. Buď 0 nebo 1, je zavedena základní operace, tj. „Diskriminace“. K vyjádření této operace je zapotřebí další operace: sčítání modulo 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) a (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Pokud je výsledek 0, nerozlišují se prvky součtu, jinak jsou. Podívejte se nyní na sady, které obsahují 0 a / nebo 1, a pokud jsou dva prvky rozeznatelné, patří tento prvek také do sady. Existují přesně 3 ((= 2 ^ {2} -1)) takové sady: ({0 }, {1 }) a ({0,1 }). Pokud jsou tyto 3 prvky nyní považovány za nový základ namísto 0 a 1, inteligentní konstrukce ukazuje, že 7 ((= 2 ^ {3} -1)) takové sady existují, a v dalším kroku 127 ((= 2 ^ {7} -1)) se objeví. Nyní (3 + 7 + 127 = 137) a toto číslo se blíží konstantě elektromagnetické vazby.

Úspěch tohoto programu byl poněkud skromný, protože tyto modely se snadno nepřipojily ke stávajícím fyzickým teoriím. Samostatná prezentace tohoto programu se nachází v Bastin & Kilmister (1995). S prací AS Eddingtona existuje velmi silná podobnost. Není divu, že prezentaci práce Eddingtona na jeho základní teorii napsal Kilmister (1994).

3.4 Může to být empirický problém?

Dosud jsme prozkoumali několik teoretických možností diskrétní geometrie jako protějšku klasické geometrie. Vzhledem k příkladům, o nichž jsme hovořili v předchozích oddílech, je význam pro fyziku zřejmý. Přestože by bylo možné v pokušení uvěřit, že diskrétnost prostoru a / nebo času je čistě teoretickou záležitostí, přesto je zajímavou otázkou, zda by záležitost mohla mít také empirickou povahu. Konkrétněji, lze si představit, že bychom nějak mohli navrhnout experiment tak, aby výsledkem bylo, že prostor je diskrétní nebo že prostor je spojitý? To by mohlo znít opravdu přitažlivě, ale přesto se na tuto věc upoutali pozornost filosofů a konkrétní experiment byl skutečně navržen, i když v současné době bohužel není možné provést tento experiment.

Je docela zajímavé vidět, že již v roce 1961 Paul Feyerabend tuto možnost navrhoval. Nic víc však není řečeno

Zdá se, že současná situace spočívá v tom, že chybí diskrétní alternativy pro matematiku, která se v současnosti ve fyzice používá. (1961: 160)

Stejně zajímavá je skutečnost, že i Feyerabend zmiňuje standardní argument, že nedostatek Pythagorovy věty je skutečným problémem. Jeho návrh zní

musíme pouze předpokládat, že měření v různých směrech nedojde; a pak si snad můžeme ponechat teorém jako operátorovou rovnici. (1961: 161)

Také zde bohužel nic víc není řečeno. Peter Forrest (1995) tvrdí, že takový experiment je možný. Základním důvodem je to, že klasická matematika používá spojité proměnné, zatímco přísná finitistická matematika používá diskrétní proměnné. Pro diferenciaci a integraci je tedy třeba najít konečné analogy, které se přiblíží klasickému případu, ale nikdy se s ním neshodují. Proto budou vždy existovat malé rozdíly a nelze vyloučit, že by byly zjistitelné.

Jedna taková možnost detekce se týká následujícího zvláštního jevu. Vezměte diferenciální rovnici, (df / dx = ax (1 - x)). Je to jednoduché řešení, které je vyřeší a najdeme velmi elegantní kontinuální řešení, zatímco pokud vezmeme v diskrétním případě odpovídající diferenciální rovnici, (Delta f / / Delta x = ax (1 - x)), v závislosti na hodnotě parametru (a) vyvolává chování funkce (f) chaotické efekty, které v nepřetržitém případě chybí. Viz Van Bendegem (2000) a Welti (1987: 516–518). Výsledek takového experimentu by nebyl tak jasný, jak jsme si přáli, ale pozorovat chaotické efekty znamená, že prostor je diskrétní, zatímco pozorovat žádné chaotické efekty znamená, že buď je prostor nepřetržitý nebo že hodony jsou mnohem menší, než jsme si představovali. V současné době již není hlášen žádný další pokrok.

V tomto lemmatu bylo několikrát naznačeno, že různí vědci s různými úmysly a cíli as různým pozadím navrhli nebo navrhli stejně odlišné představy o diskrétní geometrii jako alternativě klasické geometrie. Mnoho autorů nemusí nutně představovat více či méně úplné teorie, ale spíše se omezit na vytváření návrhů a zkoumání určitých konkrétních myšlenek. Tyto dokumenty je třeba chápat jako zdroje inspirace při hledání plnohodnotné teorie. Několik příkladů jsou: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (jedná se o první z pěti papírových seriálů se stejným názvem ve stejném časopise), Dadić a Pisk (1979), Finkelstein & Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989), abychom jmenovali jen několik málo. Pro období 1925–1936Kragh and Carazza (1994) je vynikající přehled, který ukazuje, že mnoho fyziků si pohrávalo s finitistickými nápady.

4. Co je třeba udělat dál?

První úkol, který je třeba udělat, se zdá být docela přímočarý: vezměte všechny zde předložené návrhy a rozpracovejte je do plnohodnotné geometrie. Potom bude možné provést srovnání např. S Hilbertovou axiomatizací, která byla zmíněna. Druhý úkol se zdá poněkud zakazující: pomocí této diskrétní geometrie ukážeme, jak dělat fyziku. Obecně se jedná o obrovský závazek, ale existují dvě možné cesty. První cestou je ukázat, že tento přístup funguje, řekněme, pro klasickou mechaniku. Pokud bude úspěšný, bude to určitě považováno za hlavní argument ve prospěch diskrétních návrhů. Jak se to stane, již byla provedena určitá velmi důležitá práce, protože to, co budeme potřebovat, je plně formalizovaná verze klasické mechaniky, nikoliv verze učebnice, která ponechává mnoho věcí nezpomenutých,ale to by se mohlo ukázat jako zásadní pro základní geometrii. Takové verze existují v současnosti, viz např. Ax (1978), Andréka et al. (2008), Benda (2008), pro několik příkladů. Jak se to stane, jedna z nejstarších verzí zahrnuje Patrick Suppes, viz McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Podnik se tak jeví jako skutečná možnost. Druhou cestou je prozkoumat základní výzkum probíhající při hledání sjednocení QFT a GRT. Až před několika lety to bylo všechno spekulativní, dnes se objevuje několik vážných soutěžících a stojí za to je sledovat. Jak již bylo řečeno, jak na matematické, tak na fyzické úrovni je ještě třeba vykonat obrovské množství práce. Pravděpodobně nejlepším způsobem, jak charakterizovat současnou situaci, je, že některé „slavné“námitky k diskrétnímu nebo finitistickému přístupu v geometrii byly (částečně) zodpovězeny a že byla předložena řada matematických, fyzických a filozofických návrhů a nápadů a dílčí modely byly vyvinuty nebo se vyvíjejí. Jinými slovy, podmínky jsou splněny, takže je zajímavé pokračovat v tomto výzkumném programu.

Bibliografie

• Ahmavaara, Yrjo, 1965a, „Struktura prostoru a formalismus relativistické kvantové teorie pole I.“, Journal of Mathematical Physics, 6 (1): 87–93.
• –––, 1965b, „Struktura prostoru a formalismus relativní kvantové teorie pole II.“, Journal of Mathematical Physics, 6 (2): 220–227.
• Aiello, M., I. Pratt-Hartmann a J. van Benthem (eds.), 2007, Handbook of Spatial Logics, New York: Springer.
• Andréka, H., JX Madarász, I. Németi a G. Seékely, 2008, „Axiomatizující relativistická dynamika bez postulátů zachování“, Studia Logica, 89 (2): 163–186.
• Ax, J., 1978, „Základní základy časoprostoru“, základy fyziky, 8: 507–546.
• Bastin, T. & CW Kilmister, 1995, Combinatorial Physics, Singapore: World Scientific.
• Benda, T., 2008, „Formální konstrukce časoprostoru“, Journal of Philosophical Logic, 37 (5): 441–478.
• Biser, E., 1941, „Diskrétní reálný prostor“, Journal of Philosophy, 38 (Léto): 518–524
• Borwein, J. & K. Devlin, 2009, The Computer as Crucible. Úvod do experimentální matematiky, Wellesley: AK Peters.
• Bridges, D. & F. Richman, 1987, Variversity of Constructive Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press (LMS Lecture Notes Series 97).
• Buot, FA, 1989, „Diskrétní fázový prostorový model pro kvantovou mechaniku“, M. Kafatos (ed.), Bellova věta, kvantová teorie a koncepce vesmíru, Dordrecht: Kluwer, str. 159–162.
• Chou SC, XS Gao a JZ Zhang, 1994, Proofs of Machine v Geometry, Singapore: World Scientific.
• Coish, HR, 1959, „Elementární částice v geometrii konečného světa“, Physical Review, 114: 383–388.
• Crouse, D. & J. Skufca, 2019, „Relativistická časová dilatace a zkrácení délky v diskrétním časoprostoru pomocí modifikovaného vzorce vzdálenosti“, Logique et Analyze, 62 (246): 177–223.
• Dadić, I. & K. Pisk, 1979, „Dynamics of Discrete-Space Structure“, International Journal of Theoretical Physics, 18 (5): 345–358.
• Danielsson, N., 2002, Axiomatic Discrete Geometry, London: Imperial College. (Diplomová práce odevzdaná pro titul MSc z pokročilého výpočtu).
• Feyerabend, P., 1961, „Komentáře k Grünbaumově„ Zákonu a úmluvě ve fyzikální teorii ““, v H. Feigl a G. Maxwell (ed.), Aktuální čísla z filozofie vědy, New York: Holt, Rinehart a Winston, str. 155–161.
• Finkelstein, D., 1969, „Space-time code“, Physical Review, 184: 1261–1279.
• Finkelstein, D. & Rodriguez, E., 1986, „Kvantový časoprostor a gravitace“, v R. Penrose a CJ Isham (eds.), Kvantové koncepty v prostoru a čase, Oxford: Oxford University Press, p. 247– 254.
• Forrest, P., 1995, „Je časoprostor diskrétní nebo kontinuální? - Empirická otázka“, Synthese, 103: 327–354.
• Franklin, J., 2017, „Diskrétní a kontinuální: základní dichotomie v matematice“. Journal of Humanistic Mathematics, 7 (2): 355–378.
• Fritz, T., 2013, „Polytopy rychlosti periodických grafů a ne-go věta pro digitální fyziku“, Diskrétní matematika 313: 1289–1301.
• Hagar, A., 2014, Diskrétní nebo Kontinuální? Hledání základní délky v moderní fyzice, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hahn, H., 1980 [1934], „Existuje nekonečný?“, V B. Mcguinnessovi (ed.), Hans Hahn: Empiricismus, logika a matematika, Dordrecht: Reidel, str. 103–131 (původně publikováno v 1934).
• Hjelmslev, JT, 1923, Die Natürliche Geometrie, Hamburg: Gremmer & Kröger (faxové vydání: hardpress.net, 2008).
• Huggett, N. & C. Wuthrich, 2013a, „Naléhavá časoprostorová a empirická (ne) soudržnost“, studium dějin a filozofie vědy část B: studia dějin a filozofie moderní fyziky, 44 (3): 276–285.
• ––– (ed.), 2013b, „Zvláštní vydání: Vznik časoprostoru v kvantových teoriích gravitace“, Studium v dějinách a filozofie vědy Část B: Studium v dějinách a filozofie moderní fyziky, 44 (3): 273 –364.
• Järnefelt, G., 1951, „Úvahy o konečné aproximaci k euklidovské geometrii: fyzikální a astronomické vyhlídky“, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, řada A, I. Mathematica-Physica, 96: 1–43.
• Kilmister, CW, 1994, Eddingtonovo hledání fundamentální teorie: Klíč k vesmíru, Cambridge: Cambridge University Press.
• Kragh, H. & B. Carazza, 1994, „Od časových atomů po kvantifikaci časoprostoru: Idea diskrétního času, ca 1925–1936“, Studium dějin a filozofie vědy, 25 (3): 437– 462.
• Kulpa, Z., 1979, „O vlastnostech diskrétních kruhů, prstenů a disků“, počítačová grafika a zpracování obrazu, 10: 348–365.
• Kustaanheimo, P., 1951, „Poznámka o konečné aproximaci euklidovské roviny“, Societas Scientiarum Fennica. Commentationes Physico-Mathematicae, 15/19: 1–11.
• Lyons, BC, 2017, „Použitelnost délky Planck pro Zeno, Kalam a stvoření ex Nihilo“, Philosophia Christi, 19 (1): 171–180.
• McKinsey, JCC, AC Sugar, a P. Suppes, 1953, „Axiomatické základy klasické mechaniky částic“, Journal of Racional Mechanics and Analysis, 2 (2): 253–272.
• Meessen, A., 1989, „Je logicky možné zobecnit fyziku pomocí kvantování časoprostoru?“v P. Weingartner a G. Schurz (eds.), Philosophie der Naturwissenschaften. Akten des 13. Internationalen Wittgensteins Symposium, Vienna: Hölder-Pichler-Tempsky, pp. 19–47.
• Meschini, D., M. Lehto a J. Philonen, 2005, „Geometrie, pregeometrie a další“, Studie dějin a filozofie moderní fyziky, 36 (3) 435–464.
• Misner, CW, KS Thorne, a JA Wheeler, 1973, Gravitation, San Francisco: WH Freeman.
• Moore, AW, 1993, Infinity, Aldershot: Dartmouth.
• Regge, T., 1961, „Obecná relativita bez souřadnic“, Nuovo Cimento, 19: 558–571.
• Reisenberger MP, 1999, „O relativistických tocích vertikální sítě“, Journal of Mathematical Physics, 40 (4): 2046–2054.
• Reisler, DL & NM Smith, 1969, Geometrie přes konečné pole, Fort Belvoir, VA: Obranné technické informační středisko. (Plný text:
• Rovelli, C., 2016, realita není to, co se zdá. Cesta do Quantum Gravity, New York: Penguin. (Přeložil Simon Carnell a Erica Segre, původní vydání v roce 2014).
• Silberstein, L., 1936, Diskrétní prostor. Kurz pěti přednášek dodaný v laboratoři McLennan v Torontu: University of Toronto Press.
• Simpson, Stephen G. (ed.), 2005, Reverzní matematika 2001: Přednášky v logice 21, Sdružení pro symbolickou logiku.
• Smolin, L., 2018, „Co nám chybí při hledání kvantové gravitace?“, V J. Kouneiher (ed.), Základy matematiky a fyziky jeden století po Hilbertovi v New Yorku: Springer, s. 287–304.
• Smyth, MB & J. Webster, 2007, „Diskrétní prostorové modely“, Aiello, Pratt-Hartmann a van Benthem 2007: 713–798.
• Sorabji, R., 1983, Time, Creation & Continuum, London: Duckworth.
• Stillwell, J., 2016, Elements of Mathematics. Od Euclidu po Gödel, Princeton: Princeton University Press.
• Suppes, P., 2001, „Finitism in geometry“, Erkenntnis, 54: 133–144.
• 't Hooft, G., 2014, „Vztah kvantové mechaniky diskrétních systémů ke standardní kánonické kvantové mechanice“, Základy fyziky, 44: 406–425.
• Van Bendegem, JP, 1987, „Zenoovy paradoxy a argument Weylových dlaždic“, Filozofie vědy, 54 (2): 295–302.
• –––, 1997, „Na obranu diskrétního prostoru a času“, Logique et Analyze, 38 (150–152): 127–150.
• –––, 2000, „Jak vyprávět spojité z diskrétních“, ve François Beets a Eric Gillet (eds.), Logique en Perspective. Mélanges nabízí Paula Gocheta. Brusel: Ousia, s. 501–511.
• Welti, E., 1987, Die Philosophie des strikten Finitismus. Entwicklungstheoretische und Mathatische Untersuchungen über Unendlichkeitsbegriffe in Ideengeschichte und heutiger Mathematik, Bern: Peter Lang.
• Weyl, H., 1949, filozofie matematiky a přírodních věd, Princeton: Princeton University Press.
• White, MJ, 1992, Kontinuální a Diskrétní. Starověké fyzikální teorie ze současné perspektivy, Oxford: Clarendon Press.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

• Requardt, M., 1995, „Diskrétní matematika a fyzika na Planckově stupnici“, rukopis dostupný na arXiv.org.
• Van Bendegem, JP, 2019 „Annotated Bibliography of Strict Finitism“, průběžně aktualizovaná bibliografie.