Epistemologie Geometrie

Obsah:

Epistemologie Geometrie
Epistemologie Geometrie

Video: Epistemologie Geometrie

Video: Epistemologie Geometrie
Video: Annexe critique 2 — Qu'est-ce que l'épistémologie ? 2024, Březen
Anonim

Vstupní navigace

  • Obsah příspěvku
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Náhled PDF přátel
  • Informace o autorovi a citaci
  • Zpět na začátek

Epistemologie geometrie

Poprvé zveřejněno 14. října 2013; věcná revize po 31. července 2017

Geometrické znalosti se obvykle týkají dvou druhů věcí: teoretických nebo abstraktních znalostí obsažených v definicích, větách a důkazech v systému geometrie; a určitá znalost vnějšího světa, jak je vyjádřena v termínech převzatých ze systému geometrie. Rovněž je třeba zvážit povahu vztahu mezi abstraktní geometrií a jejím praktickým vyjádřením.

Tento esej se domnívá, různé teorie o geometrii, jejich důvody pro srozumitelnost, pro platnost, a pro fyzickou interpretovatelnosti ve sledovaném období do značné míry před příchodem teorií zvláštní a obecné teorie relativity v 20 th století. Ukazuje se, že složitá souhra mezi nejkratší a nejrovnější je v mnoha fázích.

Před 19 -tého století byl jen jeden geometrie studovali v libovolné hloubce nebo myšlenka být přesné nebo přesný popis fyzického prostoru, a to Euclidean geometrie. 19 th století sama viděla hojnost nových tvarů, z nichž nejdůležitější byly projektivní geometrie a non-Euclidean nebo hyperbolické geometrie. Projektivní geometrii lze považovat za prohloubení nemetrických a formálních stran euklidovské geometrie; neeuklidovská geometrie jako výzva pro její metrické aspekty a důsledky. Do zahájení let 20. letstoletí byla navržena řada riemannských diferenciálních geometrií, které vytvářely přísný smysl neeuklidovské geometrie. V oblasti abstraktních geometrií došlo také k významným pokrokům, jako byly ty, které navrhl David Hilbert. Z toho vyplývá, že pojmy ‚geometrie‘ a ‚fyzický prostor‘ nemají jednoduché významy v 19 th století, a měnící se pojetí těchto termínů nenásledují jednoduchý vzor kultivovanosti. Jejich vzájemné vztahy tedy mají také komplikovanou historii.

  • 1. Epistemologické problémy v Euclidově geometrii
  • 2. Epistemologické problémy v aplikované geometrii

    2.1 Důsledky mechaniky

  • 3. Projektivní geometrie

    • 3.1 Transformace souřadnic; Kleinská geometrie
    • 3.2 Hilbert a další v axiomatické projektivní geometrii
  • 4. Neeuklidovská geometrie
  • 5. Riemannova geometrie

    • 5.1 Geodesics and connection
    • 5.2 Riemann a Beltrami a přísná neeuklidovská geometrie
  • 6. Srozumitelnost neeuklidovské geometrie

    • 6.1 Herbartova filozofie
    • 6.2 Helmholtz a Poincaré
    • 6.3 Poincaré versus Russell
  • 7. Závěrečné poznámky
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Další internetové zdroje
  • Související záznamy

1. Epistemologické problémy v Euclidově geometrii

Podrobné zkoumání geometrie, jak Euclid představil, odhaluje řadu problémů. Je to stojí za zvážení nich v nějakém detailu, protože epistemologicky přesvědčivý status Euclidových elementů byl nesporný téměř všichni až v pozdějších desetiletích 19 th století. Mezi tyto problémy patří nedostatek jasnosti v definicích přímky a roviny a nejasnost mezi nejkratší a nejrovnější jako základní geometrickou vlastností. (Podívejte se na mnoho komentářů shromážděných v Heathově vydání Euclidových prvků.) Důsledky pro paralelní postulát budou zpracovány samostatně, viz oddíl o neeuklidovské geometrii.

První čtyři knihy Euclidových prvků jsou o přímkách a kružnicích, ale je dobře známo, že koncept přímky dostává pouze nejuspokojivější definici. Řádek je označován jako „délka bez šíře“a přímka jako čára „která leží rovnoměrně s body na sobě“. To může pomoci přesvědčit čtenáře, že sdílejí společné pojetí přímky, ale není to užitečné, pokud při vytváření teorie vzniknou neočekávané potíže - jak uvidíme.

Pro ty, kteří se rozhodli pozorně přečíst Prvky a vidět, jak jsou klíčové pojmy používány, vyšlo najevo, že účet je v některých ohledech pozoruhodně svědomitý a v jiných chybný. Přímky vznikají téměř vždy jako konečné segmenty, které lze donekonečna rozšířit, ale, jak poznamenalo mnoho komentátorů, i když Euclid uvedl, že existuje segment spojující jakékoli dva body, výslovně neřekl, že tento segment je jedinečný. Toto je vada v důkazu první věty o shodě (I.4), která říká, že pokud dva trojúhelníky mají dva páry stran stejné a zahrnutý úhel je stejný, pak zbývající strany trojúhelníků jsou stejné.

Věta I.4 je zajímavá jiným způsobem. Věta I.2 nese svědomitý a v žádném případě zřejmý důkaz, že daný úseček v rovině může být zkopírován přesně s jedním z jeho koncových bodů v kterémkoli předepsaném bodě v rovině. Věta I.4 správně vyžaduje důkaz, že úhel může být rovněž přesně zkopírován v libovolném bodě, ale tento Euclid nemůže poskytnout v této fázi (jeden je uveden v I.23, který však staví na těchto dřívějších výsledcích). Proto dal holohlavý požadavek, že jeden trojúhelník může být kopírován přesně v libovolné poloze, což vyvolává otázku, proč byla taková péče vynakládána na I.2. Ve skutečnosti celý koncept pohybu figur měl být v arabsko-islámských dobách dlouhodobým tématem diskuse. (o odpočtu v Euclidu, viz Mueller 1981).

Věrohodné čtení knihy prvků I je, že přímka může být chápána jako mající směr, takže je přímka v každém směru v každém bodě a pouze jedna přímka v daném bodě v daném směru. Paralelní postulát pak říká, že čáry, které protínají danou linii ve stejných úhlech, směřují stejným směrem a nesetkají se. To je však třeba považovat za interpretaci a za interpretaci, která si vyžaduje přesnou práci.

Směr je nicméně pravděpodobnějším kandidátem než vzdálenost; Euclid nezačal myšlenkou, že přímka spojující dva odlišné body je nejkratší křivka, která je spojuje. Relevantní primitivní koncept v Prvcích je koncept rovnosti segmentů, jako jsou všechny poloměry dané kružnice. Euclid uvedl jako běžnou představu 4, že pokud mohou být dva segmenty vytvořeny tak, aby se shodovaly, pak jsou si rovny, a (v nepříjemném I.4) použil obráceně, že pokud jsou dva segmenty stejné, mohou být vytvořeny tak, aby se shodovaly. Segmenty jsou takové, že jeden je menší než druhý nebo jsou si rovny, a v I.20 Euclid ukázal, že „v jakémkoli trojúhelníku jsou dvě strany pohromadě jakýmkoli způsobem větší než zbývající.“Tento výsledek je známý jako nerovnost trojúhelníku,a jde o dlouhou cestu k prokázání, že úsečka spojující jakékoli dva odlišné body je nejkratší křivkou procházející těmito body. Jakmile je zaveden paralelní postulát, Euclid ukázal, že protilehlé strany rovnoběžníku jsou stejné, takže vzdálenost mezi dvojicí rovnoběžných čar je konstantní.

Ale v Prvcích je další slabina, která stojí za zmínku, i když upoutala menší pozornost, a to je povaha letadla. Letadlo má další nestandardní definici, která je zjevně modelována na linii: „rovinný povrch je povrch, který leží rovnoměrně s přímými liniemi na sobě“(a překvapivě „povrch je ten, který má pouze délku a šířku““). Poté se slovo „letadlo“v prvních čtyřech knihách nezmiňuje, ačkoli se týká pouze geometrie roviny. Když se Euclid v knize IX obrátil na pevnou geometrii, začal se třemi větami, které postupně ukazují, že přímka nemůže ležet částečně v rovině a zčásti ne, že pokud se dvě přímé čáry odříznou, leží v rovině a každý trojúhelník leží v letadlo, a že pokud se setkají dvě letadla, dělají to v řadě. Nicméně,dá se říci, že si tyto výsledky nárokuje a činí je věrohodnými, protože nemůže použít svou definici letadla k prokázání některého z nich. Oni dělají, nicméně, tvořit východisko pro další věty: tam je kolmá k rovině v nějakém bodě roviny a všechny linky kolmé k dané linii v daném bodě tvoří rovinu.

I.4 je opět problematická. Zvažte pro účely redukce ad absurdum, že jeden má dva trojúhelníky, (ABC) a (A'BC) na stejné straně jejich společné základny (BC), a tak / \ BA = BA ') a (CA = CA'). Záměrem je ukázat, že se tedy vrcholy (A) a (A ') shodují, a proto musí, jak Gauss poznamenal (v nepublikovaných poznámkách, viz Gauss Werke 8, 193), použít skutečnost, že trojúhelníky leží ve stejné rovině. Vyžaduje se dobrá definice roviny, která umožňuje prokázat tento výsledek.

Řekněme, že čistě syntetická geometrie je taková, která se zabývá primitivními koncepty, jako jsou přímky a roviny, podobným způsobem jako výše. To znamená, že bere přímost přímky a rovinnost roviny jako základní a apeluje na právě popsané vlastnosti dopadu. To je odolné vůči myšlence vzít vzdálenost jako základní koncept, nebo k myšlence nahradit sdělení v geometrii sděleními o číslech (říkat, jako souřadnice), ačkoli to není nepřátelské koordinovat geometrii být vztyčen na to.

Řekněme také pro současné účely, že metrická geometrie je taková, ve které je vzdálenost primitivním pojmem, takže lze říci, že úsečkové segmenty mají stejnou délku, shodné obrázky mají odpovídající strany stejné délky a geometrické transformace zachovávají délky. Můžeme také připustit, aby podobnosti byly povoleny: jedná se o transformace, které vytvářejí kopie kopií v měřítku. (Žádná věta v Euclidových prvcích závisí na skutečné velikosti čísla: jakákoli věta, která se vztahuje na jeden obrázek, se vztahuje na všechny jeho kopie v měřítku.)

Elementární geometrie v moderním Západu se zmateným způsobem posunula směrem k tomu, aby se vzdálenost stala primárním primitivním konceptem, zatímco často udržuje euklidovský důraz na přímočarost, a tak často myluje důsledky různých konceptů. Pozoruhodný příklad toto bytí přesto produktivní byl argument Johna Wallise v obraně paralelního postulátu (daný jako přednáška v 1665 a publikoval v Wallis 1693). Jak si uvědomil, spočíval na schopnosti vytvářet kopie trojúhelníku v libovolném měřítku a zdá se, že poprvé došlo k uznání rovnocennosti mezi těmito dvěma systémy:

  1. Euclidovy prvky
  2. Euclidovy prvky s odstraněným paralelním postulátem a přidán předpoklad, že existují libovolné podobné hodnoty.

V Encylopédie Méthodique (1784: sv. 2, 132) definoval d'Alembert geometrii jako vědu, která nás učí poznat rozsah, polohu a pevnost těl. Jeho principy jsou založeny na pravdě tak zřejmých, že není možné je zpochybnit. Čára (ve smyslu křivky) je jednorozměrná a nejkratší čarou spojující dva body je přímka. Paralelní čáry jsou čáry, které se však nikdy nedostanou do styku, protože jsou všude stejně vzdálené.

Joseph Fourier, v diskusi s Monge, také pojal vzdálenost jako základní, ale začal s trojrozměrným prostorem. Poté definoval postupně kouli, rovinu (jako body ekvidistantní od dvou daných bodů) a linii (jako body ekvidistantní od tří daných bodů). To mu alespoň dalo definice těchto dříve znepokojujících konceptů (viz Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendreová byla matematikem sympatickým s didaktickými cíli Elementů, ale ne s původními formulacemi. On psal několik různých verzí jeho Éléments de géométrie (1794) s cílem obnovit Euclidean přísnost ve výuce geometrie, který podle jeho názoru byl zkorodován texty, takový jako jeden Clairaut (1741), to se spoléhalo na ponětí o sebevědomí. Jak se musel přiznat, velmi se liší v jejich neúspěšných pokusech odvodit paralelní postulát.

Ve všech těchto vydáních Legendre zaujal pevně metrický názor. Jeho úvodní definice prvního vydání prohlásila, že „geometrie je věda, jejímž předmětem je míra rozsahu“. Rozsáhlý, vysvětlil, má tři rozměry, délku a výšku; čára je délka bez šířky, její končetiny se nazývají body, a bod tedy nemá rozsah. Přímka je nejkratší cesta z jednoho bodu do druhého; povrchy mají délku a šířku, ale nemají výšku ani hloubku; a rovina je plocha, ve které jsou-li dva libovolné body spojeny přímkou, leží tato čára zcela na povrchu.

Legendre pak vyrazil dokázat věty elementů spolu s některými výsledky Euclid dával přednost předpokládat, takový jak (Legendreův první výsledek): nějaké dva pravé úhly jsou stejné. Jeho věta 3 prokázala, že čára spojující dva odlišné body je jedinečná (její existence byla mlčky považována za důsledek definice přímky). V každém vydání následují známé věty o shodě, dokud již nelze ignorovat paralelní postulát. Jakmile byla existence paralelních linií zajištěna, Legendre ukázal, že jsou stejně vzdálené.

Ve skutečnosti nebyly Legendrovy pokusy obnovit přísnost v léčbě elementární geometrie lepší než Euclidovy, a v některých ohledech horší, nejen proto, že jeho pokusy prokázat paralelní postulát nevyhnutelně selhaly, ale protože pašoval více do svého účtu, než si uvědomil. Ale jeho hlavní význam pro současné účely je to, že ilustruje pokus o uzemnění elementární geometrie na pojetí vzdálenosti, nebo spíše a přesněji na myšlence, že přímka je křivka nejkratší vzdálenosti mezi některým z jejích bodů. Samotná vzdálenost není definována.

Na závěr: rozumným pohledem v té době by bylo to, že by metrická geometrie potřebovala uvést dům do pořádku, a pravděpodobně by to nemohl udělat naroubováním koncepce vzdálenosti na strukturu modelovanou podle Euclidových prvků. To je nepříjemné postavení pro tradiční geometrii, která by mohla být, a možná to otevřelo mysl lidí možnostem alternativ. Určitě se měly vyrobit dva. Jedna, projektivní geometrie, zesílila a vylepšila syntetickou stranu geometrie. Druhou, neeuklidovskou geometrií, byla nová a náročná metrická geometrie. Než se na ně podíváme, obrátíme se na současné filozofické diskuse o geometrii.

2. Epistemologické problémy v aplikované geometrii

To je užitečné přes-zjednodušení říkat, že kolem 1800 názor byl že tam byl jeden fyzický prostor (vesmír), a že tento prostor byl popisován geometrií v Euclid elementech, který byl jediný kandidát pro takový úkol. Spory se týkaly přísné prezentace této geometrie a jejího přesného použití ve fyzickém světě. Povaha znalostí, které geometrie poskytla, byla také věcí nějaké diskuse.

Locke (viz záznam o Locke) vzal z aristotelské tradice myšlenku, že euklidovská geometrie a racionální teologie jsou příklady vědeckých poznatků, ale snažili se zakotvit jeho filozofii v intuitivních, demonstrativních a citlivých druzích znalostí. Intuitivní znalost je to, co je pochopeno okamžitě; demonstrativní znalosti využívají mezikroků důkazu, jako v geometrii. Obě tyto formy poznání jsou jisté. Citlivé znalosti nejsou jisté: je to to, co se učíme skrze naše smysly, představuje účinky, ale nikoli příčiny, je přinejlepším částečné a může být klamné. Ale protože Locke zakládal jisté znalosti na znalostech esencí, které podle nás byly navždy skryty před námi, byl nucen bránit tuto slabší formu poznání, která je vhodná pro lidské poznání. Prostor lze považovat za složený ze všech (skutečných a možných) pozic objektů; čistý prostor je prostor se všemi pevnými těly odstraněnými a vzdálenost primitivní koncepce, kterou používáme k diskusi o oddělení mezi těly.

Ve své eseji o porozumění člověku (1690) to Locke tvrdil

Když se držíme s nejvyšší bezpečností demonstrace, že tři úhly trojúhelníku jsou rovny dvěma správným, co víc než vnímáme, že rovnost se dvěma pravými nutně nutně souhlasí a je neoddělitelná od tři úhly trojúhelníku? (Esej IV.i.2)

a později to

… Myšlenka pravoúhlého trojúhelníku s sebou nutně přináší rovnost svých úhlů se dvěma pravými. Můžeme si také představit, že tento vztah, toto spojení těchto dvou myšlenek, je případně zaměnitelný nebo závislý na jakékoli svévolné Síle, která z toho učinila, nebo by to mohla udělat jinak. (Esej IV.iii.29, s. 559–560)

Citlivé znalosti odpovídajících objektů však nikdy nemohly mít takovou míru jistoty, a protože naše znalosti pocházejí z našich znalostí objektů, zdá se, že vědecké poznání prostoru je jiného druhu než naše znalosti geometrie. Euklidovská geometrie tak pro Locke poskytla jeden druh znalostí a zkušeností a vědecký experiment, další. Dalo by se říci, že epistemologická mezera zůstává dodnes ve filozofii ve formě rozdílu mezi empirickými a apriorními znalostmi, které jsou stále široce uznávány.

Situace s Humeem je komplikovanější, ale také patrně jasnější, protože mezera je řešena přímo. Ve svém díle Pojednání o lidské přírodě (1739–1740) bránil jistotu aritmetiky a algebry, ale z geometrie ji odmítl na základě toho, že naše znalost bodů a linií je ze své podstaty nepřesná. Pravdy o euklidovské geometrii nebyly pravdou o světě, ale o abstraktním systému, a zůstaly by pravdivé, kdyby na světě nebyly žádné postavy, které by odpovídaly jejich euklidovským ekvivalentům. Věta o rovnoramenném trojúhelníku, která tvrdí rovnost dvou stran trojúhelníku se dvěma stejnými úhly, je třeba chápat, Hume navrhl, jako tvrzení, že za daných okolností jsou dvě strany trojúhelníku přibližně stejné - a interpretovány tímto způsobem nárok je jistý (viz Badici 2011 a de Pierris 2012).

V Kantově metafyzice (viz jeho Kritika čistého důvodu (1781/1787) a vstup Kantových názorů na prostor a čas) je situace opět komplikovanější nebo sofistikovanější. Kant představil pojem a priori znalosti na rozdíl od a posteriori a syntetické znalosti na rozdíl od analytických znalostí, aby umožnil existenci znalostí, které se nespoléhaly na zkušenost (a proto byly a priori), ale nebyly tautologické povahy (a proto syntetické a ne analytické). Analytické výroky jsou a priori, sporná třída priori neanalytických výroků obsahuje ty, které nemohly být jinak, a tak poskytují určité znalosti. Mezi nimi jsou výroky o euklidovské geometrii; Kant přisuzoval syntetickému a priori stavu znalost prostoru. Rovněž připisoval jistotu euklidovské geometrii. Ale napsal Kant,není to filosof, kdo ví, že úhel součtu trojúhelníku jsou dva pravoúhlé úhly, je to matematik, protože matematik vytváří zvláštní konstrukci, která činí pravdu tvrzení prokazatelnou (viz Kritika, A 716, B 744).

Mezi francouzskými filozofy bylo dominantní postavení v sedmdesátých letech 20. století kartuziánské, které, jak dokládá Clairautova Élémens de géométrie (1741), bylo možná nepřiměřeně naivní ve svém naléhání na jasné a okamžité myšlenky. Pozice d'Alemberta byla ve svých článcích v Encylopédie Méthodique (1784) sofistikovanější. Geometrické objekty je třeba chápat tak, že z těl odejmeme každou kvalitu kromě toho, že jsou proniknutelné, dělitelné a vymýšlené. Mezi tyto objekty patří čáry, které postrádají šířku, a povrchy, které postrádají hloubku. Pravdy založené na geometrických objektech jsou čistě abstraktní a hypotetické, protože například nic takového jako dokonalý kruh neexistuje. Prokázané vlastnosti dokážou udržet skutečné kruhy pouze v případě, že se skutečný objekt blíží stavu dokonalého kruhu,

V jistém smyslu jsou limitem, a pokud to člověk dá říci takto, asymptotem fyzických pravd, termínem pro ty objekty, které se přibližují tak blízko, jak si člověk přeje, aniž by se k tomu přesně dostalo. (viz Encylopédie Méthodique II, 132)

Pokud se však matematické věty v přírodě přesně nedrží, tyto věty v praxi přinejmenším slouží s dostatečnou přesností. Aby byla prokázána s úplnou přísností, musí být považována za držení těl ve stavu abstraktní dokonalosti, kterou ve skutečnosti nemají.

Křivky zkoumané v geometrii nejsou dokonale rovné ani dokonale zakřivené, povrchy nejsou dokonale rovné ani dokonale zakřivené, ale čím více jsou téměř, tím více se přibližují ke stavu vlastností, které dokazují o řádcích přesně rovných nebo zakřivených a ploch přesně rovných nebo zakřivených.

Tyto reflexe, pokračoval d'Alembert, budou stačit k vyvrácení skeptiků, kteří si stěžují, že geometrické objekty ve skutečnosti neexistují, a dalších neznalých matematiky, kteří ji považují za zbytečnou a zbytečnou hru.

Zdá se tedy, že filosofové nenašli v Euklidovských prvcích žádné problémy, ale Hume, d'Alembert a další empiričtí přesvědčování zpochybňovali použitelnost teorémů z toho důvodu, že objekty geometrie nemusí mít na světě žádné odpovídající předměty.. Filozofové otevřenější myšlence na širokou škálu určitých znalostí (jako je například Kant) by mohli udělit geometrickým větám status a priori pravd, které nemohly být jiné, než jsou.

2.1 Důsledky mechaniky

Fyzický prostor byl naivní, trojrozměrná verze prostoru Euklidovských prvků a karteziánské koordinované trojrozměrné geometrie, a takto to Newton považoval ve své Principia Mathematica (1687). Byl koncipován jako neutrální aréna bez vlastních vlastností, která byla proniknuta různými druhy sil, které byly vytvořeny a následně ovlivněny fyzickými těly. Hlavním z nich byla gravitační síla, kterou matematici v karteziánské tradici považovali, když byla zavedena, za záhadný, dokonce nepřijatelný koncept, který však na počátku 19. stoletístoletí ukázalo, že Laplace dokázal dobře zvládnout všechny známé pohyby sluneční soustavy. V důsledku toho se gravitace stala přirozeným, primitivním konceptem, který již nepotřebuje další vysvětlení, a po roce 1800 bylo rozumné, aby lidé, kteří pracovali na nových teoriích magnetismu a elektřiny, je považovali za síly a případně je modelovali., o newtonovské gravitaci.

Fyzický prostor, jak popsal Newton ve své Principii, se má studovat přechodem od pozorování těl v pohybu vůči sobě navzájem a časováním libovolnými hodinami k odpovídajícímu skutečnému pohybu v absolutním prostoru a čase. Jak to Newton uvedl na konci svého prvního scholia, jeho úmyslem bylo ukázat

jak určit skutečné pohyby z jejich příčin, účinků a zjevných rozdílů, a naopak, jak určit z pohybů, ať už pravdivých nebo zjevných, jejich příčiny a účinky.

Nebylo jednoznačně není pochyb o tom v Newtonově mysli o euklidovské povaze fyzického prostoru, a dokonce se zdá, že byli mezi astronomy v 17. nepochybuje -tého století, který byl prostor popsat v termínech používaných v Euclidových elementů. Je také pravděpodobné, že rostoucí uznání zásluh Newtonovy fyziky utvrdilo víru, že prostor je trojrozměrný, homogenní, izotropní, a je třeba jej popsat, jako by to byla nekonečná souřadnicová mřížka, čímž se příkladné věty ilustrují - ne-li přesně definice prvků.

Mezi geometrické aspekty fyzického prostoru, které Newton založil, je prohlášení jeho prvního zákona:

Každé tělo si zachovává svůj stav klidu nebo rovnoměrného pohybu vpřed, kromě případů, kdy je nuceno změnit svůj stav působením sil.

Výsledkem je také to, že homogenní kulovitá pevná látka působí na jiná těla stejně jako gravitační účinek, jaký by byla stejná hmota soustředěná ve středu těla. To znamená, že taková těla se chovají způsobem, který je prokazatelně, a ne pouze přibližně, stejný jako bodové hmoty. Tímto způsobem získávají body a čáry fyzický význam ve své teorii dynamiky.

Byl to Laplace, kdo dal nejsilnější argument za to, že fyzický prostor se řídí euklidovskou geometrií. Ve své Exposition du système du monde z roku 1796 (viz Kniha V, Ch. V, s. 472) přidal zajímavou poznámku (citovanou v Bonole 1912: 54), která říká, že

Pokusy geometrů prokázat Euclidův postulát na Parallels byly dosud marné. Nikdo však nemůže pochybovat o tomto postulátu a teorémech, které z něj Euclid odvodil. Pojetí prostoru tedy zahrnuje zvláštní vlastnost, která je evidentní, bez níž nelze přesně stanovit vlastnosti paralel. Myšlenka ohraničené oblasti, např. Kruh, neobsahuje nic, co závisí na její absolutní velikosti. Pokud si však představíme, že se jeho poloměr zmenšuje, přivedeme se bezesporu ke zmenšení ve stejném poměru jeho obvodu a stran všech zapisovaných postav. Tato proporcionalita se mi zdá přirozenější postulát než Euclid a je třeba poznamenat, že je znovu objevena ve výsledcích teorie univerzální gravitace.

Toto je nápadně podobné pohledu Wallis přes století dříve, ačkoli Laplace nezmínil Wallise a možná nevěděl o jeho diskuzi o paralelním postulátu.

Kolem roku 1800 tedy obecně platilo, že problémy s pravdivými tvrzeními o euklidovské geometrii byly umístěny mezi obecné problémy týkající se našich znalostí o vnějším světě. Důvěra ve filozofické a vědecké kruhy v platnost euklidovské geometrie per se byla vysoká.

3. Projektivní geometrie

Podle názoru mnoha lidí v 19 th století, Euclidean geometrie ztratila svůj základní stav na geometrii, který byl považován za obecnější: projektivní geometrie. (Pro úvod k geometrie v 19 thstoletí, viz Gray 2011. Projektivní geometrie je popsána v příspěvku, Geometrie devatenáctého století, viz také eseje různých autorů v Bioesmat-Martagon 2011.) Projektivní geometrie má svůj vlastní základní problém, podobný problému vzdálenosti v euklidovské geometrii, který týká se konceptu křížového poměru a my musíme sledovat kroky k vytvoření projektivní geometrie jako nezávislého subjektu, k definování křížového poměru v tomto prostředí a k vyřešení epistemologických problémů, které se objevují (úspěch spojený s Kleinovým Erlangenovým programem)). Uvidíme také, že růst projektivní geometrie vytváří arénu pro Hilbertovu axiomatizaci geometrie.

Rovinná projektivní geometrie vzala zvláštní podporu z knihy Jean Victora Ponceleta z roku 1822 projektantů Traité des propriétés, kde ukázal sílu projektivních metod v provokativní formulaci nemetrické geometrie. Základní charakter nové geometrie spočívá ve způsobu, jakým se dá myslet, že zachycuje nejjednodušší vlastnosti přímky - dva odlišné body definují jedinečnou linii, dvě odlišné linie se setkávají nejvýše v jednom bodě - zatímco se zbavují metrických konceptů vzdálenost a úhel.

Ponceletovy požadavky na transformace roviny, která mapuje čáry na čáry, byly přepsány Chaslesem (1837) přísnějším způsobem, který zdůraznil stálost křížového poměru. Křížový poměr čtyř bodů (A), (B), (C), (D) na řádku je definován jako (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), a pokud jsou body mapovány na (A '), (B'), (C '), (D') příslušně projektivní transformací, pak

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

To však ponechalo subjekt v nepohodlném postavení, že se zdálo být obecnější než euklidovská geometrie, protože euklidovské, metrické transformace jsou projektivní transformace, ale nikoli naopak, zatímco se stále zdá, že se při definování svého základního invariantu spoléhají na metrický koncept.

Tuto otázku řešil ve 40. a 50. letech 20. století Georg Karl Karl Christian von Staudt. Jeho dvě knihy (1847, 1856–1860) se pokusily poskytnout základy pro projektivní geometrii, díky níž se stal autonomním subjektem nezávislým na euklidovské geometrii. Bylo těžké je číst a nedokonalým způsobem v mnoha ohledech, ale úkol vytvoření přísné teorie mohl být poprvé spatřen jako záležitost dokončení úkolu, který již byl zahájen. Von Staudt argumentoval, že transformace rovinné projektivní geometrie by mohla mapovat jakýkoli trojnásobek kolineárních bodů na jakékoli jiné, a jakékoli čtyřnásobné body (žádné tři z nich nebyly kolineární) na jiné, ale ne žádné čtyřnásobky kolineárních bodů na jiné. Poté provedl podrobnou studii kolineárních čtyřnásobků. Také stručně poznamenal, jak lze euklidovskou geometrii získat z projektivní geometrie,a z toho bylo vidět, že jeho teorie kolineárních čtyřnásobků se redukovala na známou teorii křížového poměru, jakmile byl do projektivní geometrie přidán koncept euklidovské vzdálenosti. Tento pohled byl objasněn a výslovný Klein v množství papírů v časných 1870s. První čitelnou učebnicí projektivní geometrie a tou, která jí dala jméno, byla Cremona's Elementi di geometria projettiva z roku 1873, a poté se předmět rychle zvedl a stal se základní klasickou geometrií.a ten, který jí dal jméno, byl Cremonovým prvkem Elementi di geometria projettiva z roku 1873, a poté se předmět rychle zvedl a stal se základní klasickou geometrií.a ten, který jí dal jméno, byl Cremonovým prvkem Elementi di geometria projettiva z roku 1873, a poté se předmět rychle zvedl a stal se základní klasickou geometrií.

Jeho základní pojmy byly body, čáry a roviny prostoru, který byl (mathbb {R} ^ 3) obohacen o to, co se často nazývalo rovinou v nekonečnu, takže se setkaly jakékoli dvě koplanární linie. Před axiomatisations teorií na konci 19 th století, bod, přímka, a letadlo bylo definována pojmy, s intuitivním výklad, který je povolen pro ready průchodu mezi projektivní a euklidovské geometrie. Povolené transformace mapy geometrie ukazují na body, přímky na čáry a roviny na roviny a zachovávají křížový poměr. Působí tranzitivně na prostoru, takže žádný bod, čára nebo rovina není zvláštní, a proto linie, které jsou rovnoběžné v jakékoli konečné části prostoru, mohou být namapovány na protínající se čáry a naopak.

Ve své syntetické formě byly úspěchy projektivní geometrie do značné míry omezeny na zjednodušení, které přineslo ke studiu kuželovitých tvarů - všechny nedegenerované kónické kužely (kruh, elipsa, parabola a hyperbola) jsou projektivně ekvivalentní. Ve své algebraické podobě se projektivní geometrie osvědčila téměř jako nezbytná při studiu rovinných algebraických křivek jakéhokoli stupně a, rozšířená o projektivní prostory vyšších dimenzí, ke studiu algebraických povrchů. To vše přispělo k ústřednímu významu, který je připisován nemetometrické geometrii založené na poněkud více než koncepci přímky a na dopadových vlastnostech čar a rovin.

Projektivní geometrie měla také jeden překvapující rys, nazývaný dualitou a považovaný Cremonou za zákon logiky. V rovinné projektivní geometrii je možné si vyměňovat termíny „bod“a „linie“, „náhodný“a „souběžný“a tímto způsobem si vyměňovat platná prohlášení. Výsledkem je, že všechny definice, věty a důkazy v projektivní geometrii mají dvojí charakter. Například dvojice prohlášení Desargovy věty a jejího důkazu je obrácení věty a jejího důkazu. Ve třech rozměrech mohou být pojmy „bod“a „rovina“vyměněny stejným způsobem a linie jsou vyměňovány za jiné linie. To vyvolává zajímavý epistemologický problém: je snadné si představit prostor jako složený z bodů, ale nelze jej intuitivně považovat za složený z linií. Aby toho nebylo málo,prostor je trojrozměrný, pokud je považován za vytvořený z bodů, ale čtyřrozměrný, když je vytvořen z čar.

3.1 Transformace souřadnic; Kleinská geometrie

Kleinův Erlangenův program a to, co se stalo známým jako Kleinianův pohled na geometrii, je popsáno v příspěvku Geometrie devatenáctého století. Stal se hlavním zdrojem pohledu, že geometrii lze definovat jako skupinu působící na prostor a geometrickou vlastností je jakákoli vlastnost invariantní ve všech transformacích příslušné skupiny.

Klein obhajoval tento názor v brožuře publikované, když se stal profesorem na univerzitě v Erlangenu v roce 1872 a dalšími publikacemi v časopisech v 70. letech 20. století, aby znovu sjednotil geometrii. Představil způsob, jak ukázat, že metrické geometrie, jako je euklidovská a neeuklidovská geometrie, a další geometrie, jako je inverzní geometrie a birační geometrie, lze považovat za zvláštní případy projektivní geometrie (stejně jako afinní geometrii, kterou nedokázal) o tom v roce 1872).

Základní geometrií byla skutečná projektivní geometrie, řekněme ve dvou rozměrech. V této geometrii je prostor skutečným projektivním prostorem a skupina je skupinou všech projektivních transformací. Tato skupina mapuje body na body, čáry na čáry, křivky stupně (n) na křivky stupně (n), a co je důležité, křížový poměr čtyř kolineárních bodů je při projektivní transformaci nezměněn. Z Kleinského pohledu to stanoví, že body, čáry, křivky stupně (n) a křížový poměr čtyř kolineárních bodů jsou vlastnosti geometrie.

Projektivní geometrie zahrnovala ostatní geometrie různými způsoby. Klein uvedl, že jeden může usilovat o přidání do seznamu konfigurací, v tom případě bude skupina, která je udržuje invariantní, obecně menší než hlavní skupina, nebo se může pokusit o rozšíření skupiny, v takovém případě bude třída invariantních konfigurací obecně se zmenšuje. Klein teprve nedávno dokázal, že neeuklidovská geometrie vzniká jako sub-geometrie omezením pozornosti na vnitřek kóniku v projektivním prostoru a na podskupinu, která mapuje vnitřek tohoto kuželu na sebe (viz Klein 1871, 1873)..

Epistemologický charakter Kleinova Erlangenova programu se vyjasní, když se podíváme na to, jak vyřešily známé nepříjemné pochybnosti o definici křížového poměru v projektivní geometrii. Kleinova odpověď pokračovala analogicky s délkami v euklidovské nebo neeuklidské geometrii. V těchto geometriích zachovává odpovídající skupina přímky a libovolný bod může být mapován na jakýkoli jiný bod, ale ve skupině není žádná transformace, která by mohla mapovat úsečku na její vlastní podsegment. Jakýkoli libovolný segment s pevnou čarou může být proto považován za jednotku délky a může být použit k měření segmentů čar vytvořením libovolných násobků a jejich dílčích násobků a jejich uspořádáním jako jednoho z pravítek. Nyní změřte délku segmentu (AB),jeden jednoduše stanoví bod (A) na jednom konci pravítka a uvidí, kde bod (B) padá na pravítko.

Kleinův vhled, sledující von Staudta, spočíval v tom, že pro definování křížového poměru v projektivní geometrii lze použít přesně podobný argument zahrnující čtyřnásobek kolineárních bodů. Projektivní skupina zachovává přímky a jakýkoli uspořádaný trojnásobek kolineárních bodů lze mapovat na jakýkoli uspořádaný trojnásobek kolineárních bodů a mapa, která vysílá daný uspořádaný trojnásobek odlišných bodů na jiný uspořádaný trojnásobek odlišných bodů, je jedinečná, ale existuje žádná transformace ve skupině, která může mapovat čtyřnásobek čtyř kolineárních bodů na libovolný takový čtyřnásobek. Jakýkoli libovolný, ale pevný kolineární čtyřnásobek může být proto považován za jednotku „velikosti“a komplikovaný, ale ne obtížný argument umožňuje člověku vytvořit libovolné násobky a dílčí násobky, které lze použít k měření křížových poměrů, uspořádáním jako jeden by vládce. Spíše než uvádět podrobnosti je lepší uvést tuto sugestivní ilustraci toho, proč je to možné. Nechť se měří křížový poměr čtyř kolineárních bodů (P), (Q), (R), (S) mapováním bodů na body (A), (B), (C), (D) na reálném řádku, kde (A) je na počátku, (C) na (infty) a (D) na 1, takže je to poměr (B), který určuje křížový poměr. To je jednoznačně určeno a pokud je délka (AB) (x), zjistíme, že (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).takže je to poměr (B), který určuje křížový poměr. To je jednoznačně určeno a pokud je délka (AB) (x), zjistíme, že (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).takže je to poměr (B), který určuje křížový poměr. To je jednoznačně určeno a pokud je délka (AB) (x), zjistíme, že (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

V jazyce času je délka dvoubodovým invariantem euklidovské nebo neeuklidovské skupiny a křížový poměr je čtyřbodovým invariantem projekční skupiny.

3.2 Hilbert a další v axiomatické projektivní geometrii

Problémy s některými technickými problémy v projektivní geometrie a rostoucí standardy přísnosti na konci 19. st století vyvolalo pokusy axiomatise téma. Úkol byl vzat do nejvíce energeticky by Pieri, Peano, a řada dalších italských geometry ve druhé polovině 19. th století, a podařilo se jim dávat pečlivý v úvahu reálné a komplexní projektivní geometrie ve dvou a třech rozměrech (viz Marchisotto a Smith 2007). Zároveň se jim však podařilo omezit předmět na přísné školení učitelů geometrie a neocenili cesty k výzkumu, které otevřeli. Oživení axiomatického přístupu k geometrii bylo ponecháno na Davidovi Hilbertovi (viz Hallett a Majer 2004).

Hilbert byl představen k řadě sporů o elementární projektivní geometrii, které se týkaly toho, jaké výsledky v jakém nastavení implikovaly, jaké další výsledky. Nejvýznamnější se týkalo Desarguesovy věty. V trojrozměrné projektivní geometrii je Desarguesova věta důsledkem osamocení o incidenci, ale je to věta o bodech a liniích v projektivní rovině (a tedy v dvojrozměrné geometrii), ale nikdo ji nemohl odvodit. z axiomů dopadu 2-rozměrné projektivní geometrie. Objevilo se podezření, že by to nemohlo být dedukovatelné pouze z těchto axiomů, a Giuseppe Peano dokázal, že to nelze skutečně odvodit bez nějakých zvláštních předpokladů. Nezávisle,Hilbert také uvedl příklad geometrie, která splňuje všechny axiomy incidence dvojrozměrné projektivní geometrie, ale v níž je Desarguesova věta nepravdivá. Později byl nahrazen jednodušším příkladem, který našel americký matematik a astronom FR Moulton ve všech pozdějších vydáních Hilbertovy Grundlagen der Geometrie (1899).

V axiomatických geometriích, které navrhl Hilbert, nejsou základní objekty (body, čáry, roviny) definovány. Místo toho Hilbert upřesnil, jak je lze použít a co o nich lze říci. Představil pět rodin axiomů seřazených podle konceptů, které použili nebo kodifikovali. Poté vytvořil řadu geometrií, které se řídily různými systémy axiomů, a vytvořil jejich soudržnost tím, že jim dal souřadnice přes vhodné kruhy a pole - často jeho geometrie připouští mnoho interpretací nebo modelů. Toto dalo těmto geometriím veškerou konzistenci aritmetiky a vedlo k Hilbertovu zájmu o pokusy zakořenit aritmetiku v nějaké formě teorie množin a logiky.

Hilbertův přístup vzkvétal, protože si uvědomil, že existuje matematika axiomů, studium různých, ale vzájemně propojených axiomových schémat a jejich důsledků. Poincaré ve své recenzi (1902) Hilbertovy knihy přijal nové geometrie jako platné, ale litoval, že byly, jak řekl, neúplné, protože jim chyběla psychologická složka. Tím myslel, že se jim nedá vyhovět v jeho vysvětlení, jak máme nějaké znalosti o geometrii fyzického prostoru, protože je nelze vrozeně získat.

4. Neeuklidovská geometrie

Vyšetřování paralelního postulátu začalo v řeckých dobách, pokračovalo v islámském světě a probíhalo na počátku moderního Západu. Ale z důvodů, které jsou stále nejasné, si lidé kolem roku 1800 snadněji představili, že Euclidovy prvky nemusí být jediným možným systémem metrické geometrie. Mezi faktory, které mohou pomoci vysvětlit, jak se nemyslitelné stalo i mimo komunitu matematiků, bylo hromadění vět na základě jiných předpokladů, než je paralelní postulát. Zdálo by se, že výroba nových, důsledných důsledků takového radikálního předpokladu a neschopnost najít rozpor, přiměly některé lidi k zamyšlení, že by mohla existovat celá geometrie jiná než Euclidova.

Signálním příkladem tohoto posunu je profesor práva FK Schweikart, který v roce 1818 poslal Gaussa přes Gerlinga, jeho kolegu na univerzitě v Marburgu, popis geometrie zcela odlišné od Euclidova. Schweikartovu geometrii přijal Gauss, který odpověděl, že všechny vlastnosti nové geometrie lze odvodit, jakmile je hodnota dána pro konstantu, která se objevila na Schweikartově účtu. To, co Gauss přijal a z jakých důvodů, je však méně jasné. Gauss už našel chybu s několika obranami Euclidových prvků a jak roky plynuly, byl si zcela jistý, že existuje nová, dvourozměrná geometrie odlišná od euklidovské geometrie letadla. Tuto geometrii lze popsat pomocí vzorců, které by viděl, byly podobné geometriím sférické geometrie. Nepopsal však trojrozměrnou geometrii tohoto druhu a nechal otevřenou možnost, že dvourozměrná geometrie je jakousi formální bezvýznamnou zvláštností. Na druhou stranu, v korespondenci s Besselem, dal jasně najevo, že nemůže připisovat euklidovské geometrii jistotu, kterou dal aritmetice, což bylo a priori, a on i Bessel si otevřeli možnost, že by astronomické oblasti vesmíru mohly selhat být euklidovský.

Úvěr za první plně matematický popis vesmíru jinými slovy než Euklidy musí proto jít do Jánose Bolyaje v Maďarsku a Nicolai Ivanoviče Lobachevského v Rusku samostatně. Bolyai ve svých „Dodatcích scientiam spatii absolutních veramů“(1832) a Lobachevskii ve svých „Neue Anfangsgrunde der Geometrie“(1835) a znovu ve svém Geometrische Untersuchungen (1840) nahradil paralelní postulát předpokladem, který dal linii a bod ne na této přímce, existuje mnoho přímek skrz bod, které leží v rovině definované daným bodem a danou přímkou a které nesplňují danou přímku. Z nich, jak ukázali, jedna linie v každém směru je asymptotická k dané linii a tyto asymptotické linie dělí rodinu všech ostatních linií v dané rovině a daným bodem na dvě rodiny:ty, které splňují danou linii, a ty, které ne. Následovalo mnoho práce, v každém případě skvěle podobné, zejména aby se ukázalo, že v trojrozměrném prostoru popsaném jejich předpoklady existuje plocha, na které drží euklidovská geometrie, a odvodit existenci trigonometrických vzorců popisujících trojúhelníky v rovině. Tyto vzorce se podobají odpovídajícím vzorcům pro trojúhelníky na kouli.

To vše přesvědčilo Bolyai i Lobachevskii, že nová geometrie může být popisem fyzického prostoru, a proto by bylo empirickým úkolem rozhodnout, zda je euklidovská geometrie nebo neeuklidovská geometrie pravdivá. Lobachevskii se dokonce pokusil určit záležitost astronomickými prostředky, ale jeho výsledky byly naprosto neprůkazné.

Je pravda, že žádné množství důsledných dedukcí v nové geometrii nevylučuje možnost, že existuje rozpor, ale zajímavý vztah nové geometrie ke sférické geometrii a existenci trigonometrických vzorců pro trojúhelníky důrazně naznačují že nová geometrie byla přinejmenším konzistentní. Ti, kteří to přijali, a před šedesátými léty jich bylo jen velmi málo, možná dobře přivítali lepší účet, než ten, který poskytli Bolyai a Lobachevskii. Předtím, než se obrátíme na to, čeho se to týká, je třeba pozastavit oceňování vzorců, protože mnoho geometrů je mělo najít přesvědčivými důkazy o platnosti nové geometrie i po reformulaci Riemanna a Beltramiho (například Enriques ve své hlavní eseji) (1907) o principech geometrie.

Nejde jen o to, že existují vzorce, ale že naznačují alternativní formulaci geometrie, v níž by se geometrie popsaná v Euclidových prvcích mohla ukázat jako zvláštní případ. Pokud by mohl existovat jiný způsob, jak definovat geometrii, takový, který by v těchto případech vedl k těmto vzorcům, byl by otevřen způsob, jak přehodnotit všechny otázky týkající se geometrie, které bylo zahájeno kritické zkoumání. Osoba, která byla ve třicátých a čtyřicátých létech nejvhodnější, byla Gauss. Velmi dobře věděl, co Bolyai a Lobachevskii udělali, a jeho diferenciální geometrie mu umožnila postupovat, ale zvědavě to neudělal. Na začátku 40. let 20. století napsal několik poznámek, které ukazují, že by mohl spojit novou dvourozměrnou geometrii s geometrií na povrchu konstantního negativního zakřivení, ale s tímto pozorováním neudělal nic.

Na druhou stranu by pouhá existence receptů nestačila na to, aby byly geometrické povahy. Tuto potřebu dát jim geometrické zakotvení uznal Lobachevskii ve svých nejranějších publikacích, ale protože byli v ruštině, nebyli čteni mimo Rusko (ani je neuznávali ruští matematici). Své úvahy o tomto druhu upustil ve svém pamfletu z roku 1840, na kterém hodně jeho pověsti závisí na tomto dni, ale přinesl je zpět ve své poslední prezentaci, Pangéométrie (1856), která však nečinila nic lepšího než předchozí verze.

Lobachevskii nejprve tvrdil, že geometrie byla věda těl ve vesmíru a že prostor je trojrozměrný. Nejprimitivnějším konceptem byl kontakt a jeho opak, řez oddělující dvě těla. Dvě těla, která nejsou v kontaktu, jsou oddělena a vhodné třetí tělo v kontaktu s oběma z nich měří vzdálenost mezi nimi, což je jinak nedefinovaný koncept. Mohl tedy definovat kouli s jejím středem v daném bodě jako soubor všech bodů vzdálených od daného bodu. Poté ukázal, jak definovat letadlo zachycením intuice, že dané dva odlišné body, letadlo je sbírka bodů v prostoru, které jsou stejné vzdálenosti od každého ze dvou daných bodů. V jeho podmínkách, daná dva body letadlo je množina bodů společných pro dvě koule se stejným poloměrem,jeden se soustředil na jeden z bodů a druhý na druhý. Řádek lze definovat podobně.

S intuicí, že vzdálenost je primitivní koncept, přichází větší zhodnocení pohybu, nebo přinejmenším výsledky schopnosti pohybovat objekty kolem, aniž by je měnily. Lze si představit transport tuhého těla kolem, řekněme krychle se stranami délky jednotky a pomocí jedné z jejích stran označit délky. Později uvidíme, že možnosti spojené s tímto procesem podnítilo diskusi kuře-a-vejce mezi Bertrand Russell a Henri Poincaré na konci 19. st století.

Nová geometrie představovala radikální výzvu pro euklidovskou geometrii, protože popírala tradiční geometrii svůj nejlepší nárok na jistotu, že je to jediný logický systém pro diskusi o geometrii vůbec. Využívalo také napětí známé odborníkům mezi pojmy nejjednodušší a nejkratší. Ale jinak to bylo konvenční. Nenabízel žádné nové definice známých konceptů, jako je přímost nebo vzdálenost, souhlasil s euklidovskou geometrií přes úhly, pouze nabízel jinou intuici o paralelních liniích založenou na jiné intuici o vzdáleném chování přímek. Její zastánci nenabídli skeptický závěr. Bolyai a Lobachevskii neřekli: „Podívejte, existují dvě logické, ale nekompatibilní geometrie, takže nikdy nebudeme vědět, co je pravda.“Namísto,dali naději, že o experimentech a pozorováních rozhodne. Epistemologická cena, kterou by lidé museli platit, kdyby astronomická pozorování sestoupila ve prospěch nové geometrie, byla v jistém smyslu mírná: bylo by třeba říci, že přímky mají přece jen nečekanou vlastnost, ale pouze jednu detekovatelné na velké vzdálenosti nebo s pozoruhodnými mikroskopy. Jistě, mnoho z teorémů euklidovské geometrie by muselo být přepracováno a jejich známé euklidovské protějšky by se objevily pouze jako velmi dobré aproximace. Ale to je zhruba srovnatelné se situací, kdy se newtonovská mechanika ocitla po příchodu zvláštní relativity.v jistém smyslu byly mírné: bylo by třeba říci, že přímé čáry mají přece jen nečekanou vlastnost, ale jednu lze detekovat pouze na velké vzdálenosti nebo s pozoruhodnými mikroskopy. Jistě, mnoho z teorémů euklidovské geometrie by muselo být přepracováno a jejich známé euklidovské protějšky by se objevily pouze jako velmi dobré aproximace. Ale to je zhruba srovnatelné se situací, kdy se newtonovská mechanika ocitla po příchodu zvláštní relativity.v jistém smyslu byly mírné: bylo by třeba říci, že přímé čáry mají přece jen nečekanou vlastnost, ale jednu lze detekovat pouze na velké vzdálenosti nebo s pozoruhodnými mikroskopy. Jistě, mnoho z teorémů euklidovské geometrie by muselo být přepracováno a jejich známé euklidovské protějšky by se objevily pouze jako velmi dobré aproximace. Ale to je zhruba srovnatelné se situací, kdy se newtonovská mechanika ocitla po příchodu zvláštní relativity.a jejich známé euklidovské protějšky se jevily jen jako velmi dobré aproximace. Ale to je zhruba srovnatelné se situací, kdy se newtonovská mechanika ocitla po příchodu zvláštní relativity.a jejich známé euklidovské protějšky se jevily jen jako velmi dobré aproximace. Ale to je zhruba srovnatelné se situací, kdy se newtonovská mechanika ocitla po příchodu zvláštní relativity.

5. Riemannova geometrie

K mnohem významnější změně došlo při příchodu velké expanze Gahardovy diferenciální geometrie Bernharda Riemanna. Mnoho z epistemologických otázek je již vzneseno Gaussovou prací (1828), proto se k ní nejprve obrátíme.

Gauss hluboce přemýšlel o tom, co to je definovat povrch, a zjistil, že jsou možné tři definice následné generality. Dá se předpokládat, že alespoň lokálně může být povrch uveden ve tvaru (z = f (x, y)) pro nějakou funkci (f) z (x) a (y). To platí o regionech sféry, ale ne o tom všem najednou. Obecněji lze předpokládat, že povrch je tvořen těmi body ((x, y, z)), které splňují rovnici tvaru (f (x, y, z) = 0), jako koule je. Obecněji řečeno, řekl Gauss, mohlo by to být tak, že povrch byl dán lokálně třemi funkcemi, každá ze dvou proměnných (u) a (v). Tyto dvě proměnné je třeba chápat jako souřadnice bodů v rovině a funkce (x (u, v), y (u, v)) a (z (u, v)) společně) uveďte souřadnice bodů na povrchu v prostoru. V tomto nastaveníkaždý bod části plochy má v rovině souřadnice (u) a (v). Vzdálenost mezi dvěma body na povrchu odpovídající ((u, v)) a ((u + du, v + dv)) v rovině je dána verzí Pythagorovy věty vzorcem formulář

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

kde (E, F) a (G) jsou určeny funkcemi (x, y) a (z) a splňují (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss dokázal definovat míru zakřivení povrchu v bodě a našel na tom něco pozoruhodného: míra zakřivení závisí pouze na (E, F) a (G) a jejich derivátech s respektovat (u) a (v), ale ne přímo na funkce (x (u, v), y (u, v)) a (z (u, v))). Přesný výraz je dlouhý a komplikovaný, ale implikace je, jak Gauss zdůraznil, že jeho míra zakřivení povrchu v určitém bodě je vlastní: je zcela určena měřením na povrchu a nezahrnuje žádnou otázku třetí rozměr v pravém úhlu k povrchu. Vzhledem k metrice, vzorci (*) pro vzdálenost lze najít křivost. Pokud je například vzorec pro vzdálenost vzorec pro mapu koule v rovině,zakřivení bude shledáno jako reciproční čtverec poloměru koule.

Gauss také zkoumal, kdy jeden povrch může být mapován na jiný takovým způsobem, že se vzdálenost nezmění: pokud dva body (P) a (Q) na jednom povrchu jsou od sebe vzdáleny (d), pak stejně tak jejich obrázky na druhém povrchu. Gauss dokázal, že nezbytnou podmínkou pro to, aby se to stalo, je to, že křivky v odpovídajících bodech jsou stejné. Například válec a rovina jsou místně izometrické; Ačkoli zakřivený, válec má nulové zakřivení v Gaussově smyslu, stejně jako rovina, což je důvod, proč je možný tisk z rotujícího bubnu.

To znamená, že existují geometrické vlastnosti, které lze odvodit z mapy povrchu, které jsou nezávislé na detailech mapy a odkazují na samotný povrch. Jeho Gaussovo zakřivení v každém bodě je známé a existují i další vlastnosti, které lze odvodit z poznání (ds ^ 2), například křivka nejkratší délky mezi dvěma body (s výhradou určitých podmínek).

Nebylo okamžitě oceněno, že Gaussův přístup umožnil matematikům definovat povrchy jako oblasti roviny s konkrétní metrikou, které nemají být získány z povrchů v euklidovském trojrozměrném prostoru. Samozřejmě, pokud jeden definuje povrch jako obrázek mapy od části (mathbb {R} ^ 2) do (mathbb {R} ^ 3), pak je samozřejmě v (mathbb {R} ^ 3). Ale pokud jeden definuje povrch jako oblast (mathbb {R} ^ 2) s konkrétní metrikou, pak nemusí existovat žádný povrch v (mathbb {R} ^ 3), kterému odpovídá. Zdá se, že první, kdo to ocenil, byl Riemann, který také rozšířil tuto myšlenku do libovolného počtu dimenzí.

Riemannovy myšlenky byly jak hluboké, tak naivní, a proto se ukázalo, že je obtížné je upřesnit, ale můžeme se spokojit s tím, že jsme zpočátku naivní. Předpokládal, že mu byl dán prostor (nazval jej „mnohonásobnost“), ve kterém je možné kdykoli v každém bodě uložit souřadnicový systém alespoň ve všech bodech blízkých libovolnému počátečnímu bodu, a pokud je tomu tak, každý bod je vzhledem k počátečnímu bodu seznamem čísel (n) řekl, že prostor je (n) - rozměrný. Tento proces můžeme považovat za poskytnutí mapy alespoň té části prostoru poblíž počátečního bodu na (mathbb {R} ^ n). Zatím se to liší od případu povrchu pouze v tom, že dva rozměry byly nahrazeny (n).

Poté předpokládal, že existuje způsob, jak říci, jaká vzdálenost byla nekonečně podobná, zobecněním vzorce pro proměnné (ds ^ 2) z 2 na (n). (Dokonce připustil, aby byly použity úplně jiné vzorce, ale nebudeme popisovat tu část jeho teorie, která ležela mnoho let ladem).

Dále zkontroloval, že tato vnitřní vlastnost zakřivení přetrvává ve vyšších dimenzích, což také činí. Toto je v podstatě proto, že (n) - rozměrný objekt má mnoho dvourozměrných povrchů, na které se Gaussova teorie vztahuje, takže pojem zakřivení (n) - rozměrného objektu v bodě lze odvodit z zohlednění dvourozměrných povrchů, které prochází bodem.

Nyní se zeptal, co víc chceme, abychom mohli udělat geometrii? Existují vlastnosti prostoru, které jsou nezávislé na souřadném systému. Pokud dva různé souřadnicové systémy rozdají různé souřadnice, ale udělají to tak, že vzdálenost mezi body je zachována, pak nám každý systém umožní provést geometrii, a když zjistíme, že oba souřadnicové systémy se shodují na křivostech v každém bodě, na vzdálenostech mezi body atd.

Protože vzorec pro (ds ^ 2) byl napsán s výhradou několika omezení, není důvod se domnívat, že Riemannova geometrie je definována s ohledem na předchozí euklidovskou geometrii. Neexistuje žádný nárok, že (n) - rozměrná riemannovská geometrie má být získána mapou z (n) - rozměrné podmnožiny nějakého euklidovského (N) - rozměrného euklidovského prostoru. To znamená, že geometrii lze provést bez odkazu na jakoukoli euklidovskou geometrii: Euklidovská geometrie již není epistemologicky před studiem jiných geometrií. Euclidova vláda byla - teoreticky - u konce.

5.1 Geodesics and connection

Vzhledem k pojetí vzdálenosti na potrubí je možné hovořit o geodetice - geodetické spojení dvou bodů je křivka nejkratší délky mezi těmito dvěma body. Existence a jedinečnost otázek může být vznesena a často zodpovězena. Významného pokroku dosáhl nezávisle Tullio Levi-Civita v roce 1917 a Hermann Weyl v roce 1918, inspirovaný Einsteinovou teorií obecné relativity, když ukázali, jak definovat paralelismus na zakřivené varietě (o příspěvku Levi-Civity viz Bottazzini 1999 a dále Weylův příspěvek viz Scholz 2001). Zhruba řečeno, ve Weylině prezentaci (1918) jsou dva vektory v různých bodech rovnoběžné, pokud patří do rodiny vektorů podél křivky, která se nemění podél křivky. Je to účinek zakřivení, že tato definice je nezávislá na rodině vektorů, ale závisí na křivce, pokud není zakřivení nulové; vektory na typickém rozdělovači lze říci, že jsou rovnoběžné podél křivky.

Koncept vzdálené rovnoběžnosti umožňuje vektoru pohybovat se po libovolné křivce způsobem, který jej udržuje v každém bodě rovnoběžně se sebou samým. Toto stalo se odkazoval se na jako způsob vytvoření spojení mezi různými body a teorie se stala nazývána teorií spojení na rozdělovačích. Zejména je možné se zeptat, zda je rodina tečných vektorů do křivky složena z vektorů rovnoběžných s tečným vektorem v počátečním bodě. Pokud ano, je křivka přirozeným kandidátem, který má být považován za nejrovnější křivku mezi svými koncovými body, protože tečný vektor nikdy podél křivky nezrychluje.

Spojení lze definovat nezávisle na metrice, ale pokud jsou metrika a spojení kompatibilní, lze ukázat, že jakýkoli malý kus této křivky je nejkratší křivkou spojující její koncové body, takže nejrovnější křivky na potrubí jsou geodetické. V moderní diferenciální geometrii jsou geodetika definována prostřednictvím spojení.

5.2 Riemann a Beltrami a přísná neeuklidovská geometrie

Riemannova „Ueber die Hypothesen…“(přednáška v roce 1854, publikovaná posmrtně v roce 1867) a Beltramiho „Saggio“(1868) uvedli různé, ale ekvivalentní popisy dvourozměrné neeuklidovské geometrie tím, že ji popsali jako geometrii uvnitř disku s novou metrikou. Riemannův účet, který byl uveden v rozměrech, souhlasí s názorem, který měl Poincaré použít v mnoha krátkých publikacích v letech 1880 a 1881, ale pouze výslovně popsat ve své hlavní práci (Poincaré 1882). V této metrice jsou geodetika oblouky kruhů kolmých na hranici disku a úhly jsou správně znázorněny. Ve verzi Beltrami jsou geodetika představována přímými segmenty, které jsou akordy disku. Disky Riemann a Beltrami rychle přesvědčily matematiky, že neeuklidovská geometrie Bolyai a Lobachevskii ano,Koneckonců, dávejte přísný matematický smysl. Poincaré příspěvek o deset let později měl udělat neeuklidovskou geometrii přirozenou geometrií pro určitá témata jinde v matematice, hlavně vývojem a důležitým předmětem Riemannových povrchů.

Neměla by se ignorovat důležitost přísného popisu jakékoli části matematiky, ale přijetí riemannské geometrie v nastavení neeuklidovské geometrie šlo nad rámec prezentace konzistentního formalismu. Označuje přijetí názoru, že geometrie je cokoli, co lze popsat v riemannském formalismu. Dveře se otevírají tak, že existuje mnoho geometrií, z nichž každá musí být konzistentní a žádná z nich se nemusí vztahovat k euklidovské geometrii. Počet dimenzí diskutovaného „prostoru“, topologický charakter tohoto „prostoru“a přesná metrika jsou věcí lhostejnosti. Existuje dvojrozměrná geometrie takového druhu, protože lze najít vhodnou metriku; protože existuje, jak to bylo, mapa toho,ne proto, že v (mathbb {R} ^ 3) byl nalezen povrch se správnými vlastnostmi. Opravdu bylo později ukázáno (Hilbert 1901), že v (mathbb {R} ^ 3) není žádný povrch, který by přesně odpovídal neeuklidovskému dvourozměrnému prostoru.

Riemann si byl jist, že epistemologické důsledky tohoto způsobu geometrie byly obrovské. Matematici by již neměli potřebovat odstraňovat některé základní intuice z toho, co věří ve fyzický prostor, jako je povaha a vlastnosti přímek nebo kruhů, a usilovat o vybudování skutečné geometrie na základě nějakého axiomatického vyjádření těchto intuicí. Spíše by směr myšlení měl jít opačným směrem: matematici mohli volně konstruovat nekonečně mnoho geometrií a vidět, které platí pro fyzický prostor. V této souvislosti bylo brzy ukázáno, že při nastavování neeuklidovské geometrie je možné provádět teoretickou mechaniku.

6. Srozumitelnost neeuklidovské geometrie

Epistemologický význam projektivní geometrie spočívá na jejích důsledcích pro povahu a přísnost klasické geometrie. Epistemologický význam neeuklidovské geometrie spočívá spíše na možnosti, že by mohla být pravda jakýmkoli způsobem, že by mohla být pravdivá euklidovská geometrie. Proto se obracíme na 19 th vyšetření století srozumitelnosti geometrie.

6.1 Herbartova filozofie

Johann Friedrich Herbart se stal Kantovým nástupcem v Königsbergu v roce 1808, kde zůstal až do roku 1833 v Göttingenu, kde zemřel v roce 1841, ale nebyl žádným ortodoxním Kantianem. Jeho hlavní práce, dvousvazková psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik z let 1824–1825, usilovala o psychologii základů ve filozofii a zacházela stejně se zkušenostmi a metafyzikou. Pomocí nějaké poněkud vymyšlené matematiky se snažil ukázat, jak paměť funguje a jak opakované podněty určitého druhu způsobují, že se mozek naučí vnímat, například čáry, rovnoběžné čáry, protínající se čáry a povrchy. Podle Herbart nejsou žádné vrozené myšlenky; vizuální prostor je konstruován ze zkušenosti, nejvýrazněji prostřednictvím konceptuálního aktu odvozujícího kontinuitu v prostorových procesech. A koncepty jsou vytvářeny shluky vzpomínek, na nichž logika potom funguje nezávisle na jejich původu. To byl Herbartův způsob, jak se vyhnout uzemňovací logice v psychologii.

Herbartovy myšlenky ovlivnily Riemanna (viz Scholz 1982). Riemann považoval přírodní vědu za pokus pochopit přírodu pomocí přesných konceptů, které je třeba upravit na základě našich zkušeností s nimi. Očekával, že nejúspěšnější koncepty budou zcela abstraktní, a souhlasil s Herbartem, že nemohou být a priori v Kantianově módě. Navíc to byl jejich původ ve vnímání, který dal těmto pojmům svůj význam pro vědu. V poznámkách psal pro sebe (viz Riemann Werke 1990: 539) Riemann řekl, že souhlasil s Herbartem ve věcech psychologie a epistemologie, ale ne ontologie nebo s jeho představami o konstrukci konceptů prostoru, času a pohybu. Nesouhlas zakrývá hlubší soucit. Herbart obhajoval trojrozměrný skutečný svět kauzálně spojených, ale diskrétních monád,které mysl zpracovává prostřednictvím konceptu kontinua, které dodává, čímž proměňuje své diskrétní zážitky v spektrum možností. Riemann neviděl žádný důvod omezit pozornost na tři dimenze a přesunul nepřetržitá spektra možností do velmi obecných geometrických konceptů, které vytvářel.

Tím se zmenšila nebo možná zůstala pozadu zkušenost, kterou Herbart zdůraznil. Riemann si uvědomoval, co Herbart řekl, došlo přirozeně: pokud zkušenost generuje koncepty, s nimiž rámujeme svět, pak, řekla Riemann, nechte matematiku vytvořit přesnější a flexibilnější koncepty, pomocí kterých bude provádět vědu.

6.2 Helmholtz a Poincaré

Riemannovy myšlenky zase ovlivnily Hermann von Helmholtz, který publikoval několik vlivných esejů o tom, jak je možné naše poznání geometrie možné. Ve své „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie“(1868) se snažil ukázat, jak lze vytvořit jen omezený počet riemannských geometrií, ve kterých existuje koncept pohybu tuhého těla. Tvrdil, že je to naše zkušenost s tuhými těly, která nás učí, jaký je prostor a zejména jaká je vzdálenost. Dále tvrdil, že dvourozměrný prostor, který připouští rigidní pohyby těla, bude buď euklidovská rovina nebo koule. Beltrami mu napsal, aby zdůraznil, že přehlédl možnost neeuklidovské geometrie a Helmholtz nejen souhlasil,ale napsal další esej (1870), ve které vysvětlil, jak by bylo možné, abychom měli znalosti o této geometrii v kantském smyslu (synteticky a priori). Mnoho Kantianů odmítlo být přesvědčeno, s největší pravděpodobností z pocitu, že Kant jistě věřil, že máme takové dokonalé znalosti o euklidovské geometrii, ale jednou osobou, kterou tyto myšlenky velmi pravděpodobně ovlivnily, byl Henri Poincaré (viz Gray 2012).

Jakmile Poincaré začal psát své populární filozofické eseje o geometrii, dal jasně najevo, že jeho hlavní starostí je to, jak bychom se mohli spolehnout na jakoukoli geometrii vůbec. Byl si dobře vědom velkého množství riemanniánských geometrií a závěrů Helmholtzových spekulací, které tehdy byly v práci Sophuse Liea přísné, že velmi omezený počet geometrií připouštěl rigidní pohyby těla. Jeho zájem o jeho „Na základech geometrie“(1898) se týkal epistemologie.

Poincaré tvrdil, že mysl si rychle uvědomí, že dokáže kompenzovat určité druhy pohybů, které vidí. Pokud k vám přijde sklenice, můžete jít dozadu takovým způsobem, že se zdá, že se sklo nemění. To samé můžete udělat, pokud se nakloní nebo otočí. Mysl přichází, aby obsahovala úložiště těchto vyrovnávacích pohybů, a uvědomuje si, že může následovat jeden s druhým a výsledkem bude třetí vyrovnávací pohyb. Tyto mentální činy tvoří matematický objekt zvaný skupina. Mysl však nemůže vytvářet kompenzační pohyby pro jiné pohyby, které vidí, jako je pohyb vína ve sklenici, když se točí kolem. Tímto způsobem mysl přichází k vytvoření konceptu tuhého tělesného pohybu, což je přesně ten pohyb, pro který může mysl vytvořit vyrovnávací pohyb.

Poincaré poté zvážil, jaká skupina může být skupina kompenzačních pohybů, a zjistil, že, jak navrhl Helmholtz a Lie tehdy dokázal, existovala striktně omezená sbírka takových skupin. Mezi nimi byly hlavní skupiny, které pocházejí z euklidovské a neeuklidovské geometrie a jako abstraktní skupiny se liší. Ale který z nich byl správný?

Poincarého kontroverzní názor byl ten, který člověk nikdy neví. Lidské bytosti si prostřednictvím evoluce a naší zkušenosti jako kojenci vyberou euklidovskou skupinu a tak říkají, že prostor je euklidovský. Ale jiný druh, čerpající z různých zkušeností, mohl vybrat neeuklidovskou skupinu, a tak říkají, že prostor byl neeuklidovský. Pokud bychom se setkali s takovým druhem, nebyl by žádný experiment, který by rozhodoval o problému.

Dalo by se představit, řekl, vyráběl velké trojúhelníky a měřil úhly. Strany trojúhelníku jsou, řekněme, vytvořeny paprsky světla. Předpokládejme, že v mezích experimentální chyby je výsledkem experimentu to, že úhel součtu trojúhelníku je menší než (pi), což je výsledek konzistentní s neeuklidovskou geometrií, ale nekonzistentní s euklidovskou geometrií. Jediným závěrem, který lze vyvodit, řekl Poincaré, je to, že buď světelné paprsky cestují podél přímek a prostor je neeuklidovský, nebo že prostor je euklidovský a světelné paprsky cestují po křivkách.

Tímto způsobem můžeme shrnout jeho argumenty. Naše znalosti o geometrii vnějšího světa jsou založeny na naší mentální schopnosti vypořádat se se skupinou rigidních pohybů těla. Tyto skupiny jsou velmi omezené, ale mezi nimi nemůže rozhodnout žádný experiment. Jediné, co můžeme udělat, je vybrat si a vybereme nejjednodušší. Jak se to stalo, byla to euklidovská skupina, protože, jak řekl Poincaré, jsme zjistili, že jedna z jejích vlastností nesdílených s neeuklidovskou skupinou je zvlášť jednoduchá. Ale lidský druh se rozhodl, jak to bylo, a tato volba byla nyní v lidské mysli vrozená. Z důvodu způsobu, jakým jsou znalosti získávány, a skutečnosti, že existuje více než jedna vhodná skupina, nemůžeme nikdy vědět, zda je prostor euklidovský nebo neuklidský, pouze že ho konstruujeme jako euklidovský.

Toto zkroucení kantianské nauky o nepoznatelnosti Ding a sich (věc sama o sobě) a našeho uvěznění ve světě zjevení bylo pro Poincarého vděčno za pracujícího fyzika, ale je třeba rozlišovat. Právě vysvětleným hlediskem je Poincarého filozofie geometrického konvencionalismu. Obhajoval konvencionismus v jiných oblastech vědy a tvrdil, že to, co nazýváme zákony přírody (Newtonovy zákony, zachování energie atd.), Nebyly ani empirické záležitosti otevřené revizi, ani absolutní pravdy, ale byly dobře zavedenými výsledky, které byly zvýšeny roli axiomů v současných vědeckých teoriích. Mohli by být napadeni, ale pouze v případě, že byla zpochybněna celá vědecká teorie, ne nečinně, když byla učiněna nějaká nepříjemná pozorování. Poincaré, tváří v tvář satelitu, který se nezdá být v souladu s Newtonovými zákony, by měl při práci zvážit některé dosud nepozorované síly a nesnažit se znovu napsat Newtona. Lze však navrhnout novou teorii založenou na různých předpokladech, které přepisují zákon přírody, protože tyto zákony nejsou věčné pravdy - takové věci bychom nikdy nemohli znát. A pokud by měla být navržena nová teorie, je možné si pohodlně vybrat mezi novou a starou.člověk si může vybrat mezi novým a starým z důvodu pohodlí.člověk si může vybrat mezi novým a starým z důvodu pohodlí.

Zásadní rozdíl zde spočívá v tom, že vědecký konvencionalismus funguje na vysoké úrovni. Volba se provádí vědomě a intelektuálně, debata je otevřena pouze lidem se značným množstvím specializovaného vzdělání. Geometrický konvencionismus působí na mysl dříve, než je schopen jakéhokoli formálního poučení, a pokud by neovládal nešťastný subjekt, nemohl by mít žádnou znalost vnějšího světa.

6.3 Poincaré versus Russell

Poincaréovy názory ho přivedly ke kolizi s Bertrandem Russellem v 90. letech 20. století, když se vynořil ze své krátké Hegelianovy fáze a vstoupil do své Kantianovy fáze. Russell se pokoušel ustanovit Kantian a priori argumentem, že existuje jedna základní geometrie, která je projektivní geometrií, a my ji synteticky a priori známe (viz Griffin 1991 o Russellovi a Nabonnand 2000 o kontroverzi).

Není pochyb o tom, že Poincaré se svým mnohem větším ovládáním matematiky vyhrál velkou část debaty, protože Russell s jeho charakteristickou ochotou připustit své chyby byl ochoten připustit. Významný rozdíl v přístupu mezi nimi však nikdy nebyl vyřešen. Poincarého analýza začala myšlenkou rigidních těl, z nichž je vytvořena koncepce vzdálenosti. Russell naopak namítl, že cokoli můžeme objevit pojem vzdálenosti, který máme, než začneme, že vzdálenost mezi Londýnem a Paříží je více než metr. Toto Poincaré popřel ve svém „Des fondements de la géométrie: à navrhuje d'un livre de M. Russell“(1899).

Podle Poincarého pohledu víme, co je vzdálenost od jednoho bodu k druhému, když jsme zjistili, co rigidní těla dělají, a tato znalost se v nás stala vrozená. Podle názoru Russella by žádná diskuse o pojmu vzdálenosti nemohla ani uvažovat o tom, že vzdálenost od Londýna do Paříže je menší než metr - věděli bychom, že nemluvíme o vzdálenosti, pokud bychom něco takového řekli. Poincaré trval na tom, že mluvit o tom, co víme, by vždy mělo záviset na tom, jak to víme; bez takové analýzy nebyly nároky vůbec znalostmi. Russell chtěl, aby vzdálenost byla považována za základní intuici.

Matematická ilustrace může osvětlit nesouhlas. Pro Poincaré, mluvit o tom, co bychom mohli nazvat obyčejnou geometrií, smyslem prostoru, který máme před pokročilými instrukcemi, je opravdu o schopnosti musíme měřit věci. Můžeme nosit tuhé tělo a použít ho jako pravítko. Je to proto, že můžeme udělat, že můžeme mluvit o vzdálenosti mezi místy. Pokud chcete, aby nastavení bylo více abstraktní, musí existovat mezera a skupina, která působí na prostor a pohybuje body v prostoru kolem. Pokud má tato skupina vlastnost, že se však oblast tohoto prostoru pohybuje kolem něj, nikdy není zmapována na vlastní podmnožinu sama o sobě, pak je možné konstruovat tuhá těla a mluvit o vzdálenosti.

U Russella si člověk může vzít mezeru a přiřadit „vzdálenost“každému páru bodů (s výhradou některých jednoduchých pravidel, která vynechám). Ve vztahu k tomuto pocitu vzdálenosti lze říci, že pokud se oblast pohybuje, body v ní zůstávají ve stejné vzdálenosti od sebe nebo ne. Udělali jsme to pro náš smysl pro vzdálenost na povrchu Země, a můžeme to udělat, ať už také máme nějaké rigidní pohyby těla. Z matematického hlediska by Russell byl spokojený s tím, co se nazývá metrický prostor. Jde o to, že člověk nemohl na metr Země umístit metriku, ve které by určitá dvojice bodů, řekněme v Cambridge, byla od sebe vzdálena metr a Londýn a Paříž byly od sebe vzdáleny jen půl metru - jeden mohl - ale ten může mluvit o vzdálenosti, aniž by předpokládal akci skupiny. Některé metrické prostory připouštějí akci skupin, které zachovávají vzdálenost,jiní ne, ale vzdálenost může být definována bez mluvení o skupině. Poincaré nebyl nikdy konfrontován s přesně tímto argumentem - metrické prostory jsou vynálezem 20th století, ale my víme, co by řekl. Řekl by, že je to platná matematika, ale je zcela formální a nelze ji považovat za skutečné znalosti, protože postrádá psychologický rozměr. To víme, protože to byla jeho kritika axiomatických geometrií konstruovaných Hilbertem (viz níže).

Poincaré argumenty také setkal se s námitkami od italského matematika Federigo Enriques. Poincaré tvrdil, že jedním ze způsobů, jak vidět platnost geometrického konvencionistického argumentu, bylo zvážit disk, ve kterém bylo všechno vyrobeno ze stejného materiálu, který se rozšiřoval, když se zahříval, a ve kterém byla teplota zvláštní funkcí vzdálenosti střed disku. Tato funkce, kterou specifikoval Poincaré, zajistila, že metrika na disku, měřená tyčemi vyrobenými ze stejného materiálu jako disk, byla neeuklidovskou geometrií. Bytosti žijící na disku by hlásily, že jejich prostor byl neeuklidovský; Odpověděli bychom, že tam byl prostor Euclidean, ale podléhal zkreslujícímu účinku teplotního pole. Je zřejmé, že si každá strana může udržet svou pozici bez rozporů.

Enriques ve svém Problemi della Scienza (1906) tvrdil, že to bylo nepřiměřené. Tvorové by měli právo přiřadit geometrii svůj prostor (a ve skutečnosti neeuklidovskou geometrii), protože deformující síla je mimo jejich kontrolu. Jejich geodetika je zabudována do prostoru a bylo by od nich nerozumné připisovat cesty geodetiky provozu „síly“, protože ta „síla“nebyla něčím, s čím by v zásadě mohli manipulovat. Teplo, gravitační účinek masivních objektů, všechny tyto zkreslující vlivy jsou věci, které lze dovolit, protože je lze změnit. Pokud by se ve výše uvedeném experimentu tvrdilo, že prostor je euklidovský, ale naši kandidáti na přímé čáry jsou zdeformovaní, mělo by být možné změnit stupeň deformace. Jeden by mohl vést experiment dále od jakýchkoli masivních předmětů, v prázdnějších oblastech vesmíru. Pokud by různé experimenty přinesly i mírně odlišné výsledky, bylo by v souladu s Poincarovými vlastními kritérii pro změnu vědeckých konvencí hledáno něco za okolností, které by odpovídalo za odchylku světelných paprsků od přímosti. Pokud by se však všechny experimenty shodly, Enriques tvrdil, že by bylo racionální dojít k závěru, že světelné paprsky putovaly po geodetice a geometrie prostoru byla neeuklidovská. Pokud by se však všechny experimenty shodly, Enriques tvrdil, že by bylo racionální dojít k závěru, že světelné paprsky putovaly po geodetice a geometrie prostoru byla neeuklidovská. Pokud by se však všechny experimenty shodly, Enriques tvrdil, že by bylo racionální dojít k závěru, že světelné paprsky putovaly po geodetice a geometrie prostoru byla neeuklidovská.

Je také třeba si povšimnout, že rostoucí sofistikovanost představ o tom, jak teoretická geometrie souvisí s praktickými zkušenostmi, ao povaze znalostí, které geometrie poskytuje, patří do roku 1900 do rodiny změn napříč celou matematikou. Objevila se samostatná disciplína matematiky to kladlo zvýšený důraz na formální aspekty předmětu a nabídlo komplikovaný a často vzdálený vztah ke světu zkušeností. Tento modernistický obrat v matematice je diskutován na různých místech (viz Gray 2008 a tam citovaná literatura).

7. Závěrečné poznámky

Tento esej zkoumala hlavní pobočky v rozvoji geometrie až do prvních let 20. st století pod okruhů teoretické či abstraktního poznání, empirické a dalších analýz srozumitelnosti těchto znalostí a deduktivní charakter tohoto poznání.

Stav přímky v elementární euklidovské geometrii jako nejkratší křivky spojující kteroukoli ze dvou jejích bodů a jako křivka, která ukazuje vždy stejným směrem, byl rozptýlen. Jedna linie výzkumu vedla k geometriím, které zdůrazňovaly přímost jako základní vlastnost (obvykle projektivní geometrii) a druhou k geometriím, které zdůrazňovaly nejkratší aspekt. Bývalý přístup byl od počátku vnímán jako nemetometrický a stal se oblíbenou arénou pro formální, dokonce axiomatická zkoumání geometrie jako deduktivního podniku. Cena měla čím dál méně o fyzickém prostoru (jak poznamenal Poincaré). Koncept geometrie byl radikálně rozšířen, ale způsobem, který nebyl zamýšlen jako popis inteligentního prostoru.

Metrický účet vedl k progresivnímu objasnění významné nejasnosti v Euklidovských živelech: paralelní postulát. Pro hodně z 19 -tého století, to byla jediná alternativa k Euclid to, že byl navržen jako srozumitelné geometrie, i když to bylo obecně dohodnuté, že pouze nejcitlivějším pokusy mohl doufat, že vyřeší záležitost. Poincaréův sporný názor byl takový, že žádný experiment se nemohl tak rozhodnout, a to vyvolalo důležité otázky o tom, jak se mají abstraktní pojmy interpretovat.

Kromě poutavé myšlenky na jednu alternativu k Euclidově geometrii, která stála dva tisíce let, existoval v Gaussově práci o diferenciální geometrii a zpracovaný Riemannovým objevem celá řada metrických geometrií. Zde se nakonec ukázalo, že je možné vysvětlit vztah mezi nejjednodušší a nejkratší ve vhodném obecném prostředí. Bylo také možné diskutovat o geometrii jako o souboru myšlenek, které vyrostly z naivních představ o délce, úhlu, tvaru a velikosti, a učinily tak sofistikovaným a důsledným způsobem bez odvolání se na axiomy, ať už byly tyto axiomy zamýšleny či nikoli jako destilace srozumitelné zkušenosti. Tímto způsobem bylo možné aplikovat geometrické myšlenky v nových prostředích a novými způsoby.

Do konce prvního desetiletí 20. -tého století, bylo jasné, že euklidovská geometrie ztratil svého výsadního postavení. Ve škole kolem Peana existovaly lepší formální, axiomatické systémy (jako například ty, které navrhl Hilbert a někteří matematici). Existovaly bohaté systémy, které byly zásadnější, ve smyslu použití méně vlastností postav tradiční geometrie, jako je přímka (mnoho verzí projektivní geometrie). A došlo k hojnosti metrických geometrií s přirozenějšími výchozími body a hlubšími teoriemi.

V důsledku toho se představy o tom, jak teoretická geometrie všeho druhu souvisí s prostorem kolem nás, staly mnohem sofistikovanějšími. Pravda o geometrii již neměla být považována za samozřejmost, ale stala se do jisté míry empirickými a prohloubily se také filozofické představy o srozumitelnosti geometrie.

Bibliografie

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, „Standardy rovnosti a Humeův pohled na geometrii“, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, „Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea“, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, v Opere matematiche I: 374–405. Anglický překlad v J. Stillwell, 1996, Sources of Hyperbolic Geometry (History of Mathematics 10), American and London Mathematical Society, p. 7–34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, Éléments d'une biographie de l'espace projectif, Nancy: Presses Universitaires de Nancy, Sbírka historie geometrie, 2.
  • Bolyai, J., 1832, „Dodatek scientiam spatii absolutní veramové výstavy“, ve W. Bolyai a J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam v Elementa Matheosis purae atd., Maros-Vásérhely, 2 sv. Anglický překlad GB Halsted, „The Science Absolute of Space“, dodatek v Bonole 1912 a JJ Gray, 2004, János Bolyai, neeuklidovská geometrie a povaha prostoru, Burndy Library, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, anglický překlad HS Carslaw, předmluva F. Enriquese, 1912, Historie neeuklidovské geometrie, Chicago: Open Court; dotisk, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999, „Ricci a Levi-Civita: od diferenciálních invariantů k obecné relativitě“, v JJ Grayovi (ed.) Symbolický vesmír: geometrie a fyzika 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Historický historický příběh a další obálky v genométrii… suivi d'un Mémoire de géométrie, atd. tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Paříž: David Fils. Přetištěno 1920, Paříž: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Turin. Anglický překlad C. Leudesdorfa, 1885, Elements of projective geometry, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Anglický překlad K. Royce, 1914, Problems of Science, Chicago: Open Court.
  • Enriques, F., 1907, „Prinzipien der Geometrie“, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Leipzig, Teubner.
  • Euclid, Třináct svazků euklidovských elementů, překlad a komentáře od Sir TL Heath, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, „Disquisitiones generales circa superficies curvas“, Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Přetištěno v roce 1870, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; a v P. Dombrowski (ed.), 1978, 150 let po Gaussově „Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas“, latinský originál, s dotiskem anglického překladu A. Hiltebeitel a J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Paříž: Société mathématique de France; a v P. Pesic, (ed.), 2005, Všeobecné vyšetřování zakřivených povrchů, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Lipsko: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platónův duch: Modernistická transformace matematiky, Princeton: Princeton University Press.
  • –––, 2011, světy mimo nic; kurz o historii geometrie v 19 th století, 2. přepracované vydání, Londýn:. Springer.
  • ––– 2012, Henri Poincaré: vědecká biografie, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russellova idealistická učňovská škola, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. a U. Majer (eds), 2004, přednášky Davida Hilberta o základech geometrie, 1891–1902, Berlín: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868, „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie“, Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. anglický překlad MF Lowe, 1921, „O faktech, z nichž vychází geometrie“, Epistemologické spisy, RS Cohen a Y. Elkana (eds), Boston Studies in Philosophy of Science, Boston: Reidel, ročník 37, 39–57.
  • –––, 1870, „Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome“, Vorträge und Reden, sv. 2, 1-31. Anglický překlad „O původu a významu axiomů geometrie“, v epistemologických spisech, s. 1–25.
  • –––, 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlín: Springer, P. Hertz a M. Schlick (eds), 1977, přeloženo MF Lowe jako epistemologické spisy, RS Cohen a Y. Elkana (eds), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vols, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen, Leipzig: Teubner, mnoho následujících vydání. Anglický překlad 10. vydání L. Ungera, 1971, Foundations of geometry, Chicago: Open Court.
  • –––, 1901, „Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung“, Transakce americké matematické společnosti 2: 87–99. V Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, Pojednání o lidské přírodě, Londýn. Prohledávatelný text na Pojednání o lidské přírodě od Davida Hume, přetištěný z původního vydání ve třech svazcích a editován analytickým indexem LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [online prohledatelné Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; překladatel Norman Kemp Smith, 1929, Kritika čistého rozumu Immanuela Kant, 2. vydání. rep. 1970, London: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie“, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Také v Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1 (č. XVI): 254–305, Berlín: Springer.
  • –––, 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Program zum Eintritt in the Filozofophische Facultät und den Senat der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, in Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (č. XX: 460): 467: 46–07 Anglický překlad od MW Haskell, 1892–1893, Bulletin New York Mathematical Society 2: 215–249, Berlín, Springer.
  • –––, 1873, „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz) “, Mathematische Annalen, 6: 112–145, v Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1 (č. XVIII): 311–343, Berlín: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796, „Exposition du système du monde“, Paříž: Crapelet, v Oeuvres VI, Paříž, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Paříž: Fermin Didot Frères, několik vydání.
  • Levi-Civita, T., 1917, „Nozione deallelismo in una varietà qualunque“, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835, „Neue Anfangsgrunde der Geometrie with einer vollständigen Theorie der parallellinien“, německý překlad v Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Lipsko, Teubner.
  • –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlín, opak. Mayer & Müller, 1887, anglický tr. GB Halsted, Geometric Researches in Theory of Parallels, Příloha v (Bonola 1912).
  • –––, 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des parales, Kasan. Anglický překlad s komentářem, Pangeometry, A. Papadopoulos (ed.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, Esej o porozumění člověka, Londýn. [Locke 1690 k dispozici online]
  • Marchisotto, E. a JT Smith, 2007, Odkaz Maria Pieriho v geometrii a aritmetice, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, filozofie matematiky a deduktivní struktury v euklidovských prvcích, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000, „La Polémique entre Poincaré et Russell au sujet du status des axiomes de la géométrie,“Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Anglický překlad Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, „Hume on space, geometry and diagrammatic reasoning“, Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 v Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898, „Na základech geometrie“(přeloženo TJ McCormackem) Monist 9: 1–43. Přetištěno v Ewaldu, 1996, z Kant na Hilbert: Zdrojová kniha v základech matematiky, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • –––, 1899, „Des fondements de la géométrie: à navrhuje d'un livre de M. Russell,“Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902, „Les fondements de la géométrie“, Journal des savants, 252–271. Anglický překlad EV Huntingtona, 1903, „Poincarého recenze Hilbertovy„ základy geometrie ““, Bulletin of American Mathematical Society, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (anglicky) k dispozici online]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Paříž: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867 [1854], „Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen,“Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Zveřejněno v Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Sbírané papíry: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber a Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (ed.) Berlín: Springer, str. 304–319. Bernhard Riemann, Collected Papers, přeloženo Rogerem Bakerem, Charlesem Christensonem a Henrym Ordem, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899, „Sur Les Axiomes de la Géométrie“, Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, překládán a přetištěn jako „Na Axioms of Geometry“, v N. Griffin a AC Lewis (eds), 1990, The Collected Papers of Bertrand Russell, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, „Herbartův vliv na Bernharda Riemanna“, Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • –––, 2001, „Weyl's Infinitesimalgeometrie“, Raum – Zeit – Materie Hermann Weyl a obecný úvod k jeho vědecké práci, E. Scholz (ed.) Basel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818, „Notiz“, v Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Norimberk.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 sv., Norimberk.
  • Villaggio, P., 2006, „O Enriquesových základech mechaniky“, v K. Williamsovi (ed.) Dvě kultury: Eseje na počest Davida Speisera, Birkhäusera, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, „De postulato quinto et definitione lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, v Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Anglický překlad třetího vydání (1920) Space-time-matter, London: Methuen.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho
ikona inpho
Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil
ikona papíry phil
Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

  • Dynamická verze Euclid's Elements, DE Joyce, Clark University
  • Anglický překlad Gauss (1828), v internetovém archivu.

Doporučená: