Frege-Hilbertova Diskuse

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

Obsah příspěvku
Bibliografie
Akademické nástroje
Náhled PDF přátel
Informace o autorovi a citaci
Zpět na začátek

První publikované 23. září 2007; věcná revize Čt 9. srpna 2018

V prvních letech dvacátého století se Gottlob Frege a David Hilbert, dva titani matematické logiky, zabývali sporem ohledně správného pochopení role axiomů v matematických teoriích a správného způsobu prokazování důslednosti a nezávislosti výsledků takovýchto axiomy. Spor se dotýká řady obtížných otázek v logice a filosofie logiky a představuje důležitý zlom ve vývoji moderní logiky. Tato položka podává přehled této diskuse a jejích filosofických základů.

1. Úvod
2. Hilbertovy základy geometrie
3. Frege-Background a počáteční rozdíly
4. Hlubší nesouhlas
5. Trpící problémy
6. Závěr
Bibliografie
- Primární zdroje
- Sekundární zdroje
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy

1. Úvod

V červnu 1899 při slavnostním ceremoniálu instalace nového Gauss-Weberova pomníku v Göttingenu přednesl David Hilbert přednášku o základech geometrie. Později téhož roku publikoval Teubner pod názvem „Grundlagen der Geometrie“(„Základy geometrie“), tento kus stojí jako předěl ve vývoji moderní matematiky a logiky. Přestože je předmětem práce geometrie, její trvalý vliv se týká širší role axiomů v matematických teoriích a systematického nakládání s takovými metatheoretickými otázkami, jako je konzistence a nezávislost. Tím, že Hilbert představuje bohatou ukázku důslednosti a nezávislosti, zde ukazuje sílu „formálního“přístupu k axiomům a položí základy pro to, co se brzy stane naším vlastním současným modelem - teoretickým přístupem k formálním systémům.(Pro historické pozadí Hilbertovy léčby axiomů viz Hallett 2012 a Geometrie 19. století; roli Hilbertovy práce ve vývoji teorie modelů viz teorie modelů a Eder & Schiemer 2018.)

Hilbertova přednáška a monografie inspirovaly ostrou reakci jeho současného Gottloba Fregeho, který našel jak Hilbertovo chápání axiomů, tak jeho přístup k demonstracím důslednosti a nezávislosti, prakticky nepochopitelný a v každém případě vážně vadný. Fregeova reakce je nejprve stanovena v jeho korespondenci s Hilbertem od prosince 1899 do září 1900 a následně ve dvou sériích esejů (oba s názvem „Na základech geometrie“) publikovaných v letech 1903 a 1906. Hilbert nikdy nebyl pohnut Fregeovými kritikami, a po roce 1900 na ně neodpověděl. Frege nebyl nikdy přesvědčen o spolehlivosti Hilbertových metod a až do konce si myslel, že jeho důsledky a důkazy nezávislosti byly fatálně vadné. ^[1]

V této filosofické debatě mezi dvěma matematiky vidíme střet dvou zcela odlišných způsobů pochopení podstaty matematických teorií a jejich ospravedlnění. Rozdíl v názorech na úspěch Hilbertových důkazů o důslednosti a nezávislosti je, jak je podrobně uvedeno níže, výsledkem významných rozdílů v názorech na takové základní otázky, jako: jak porozumět obsahu matematické teorie, v čem spočívá úspěšná axiomatizace, v čem „pravdy“matematické teorie jsou a konečně to, co se člověk opravdu ptá, když se člověk ptá na konzistenci souboru axiomů nebo nezávislosti daného matematického prohlášení od ostatních.

V následujícím textu se krátce podíváme na Hilbertovu techniku v základech geometrie, podrobně rozebíráme Fregeovy různé kritiky a nakonec nastíníme celkové koncepce logiky, které vedou k rozdílům.

2. Hilbertovy základy geometrie

Hilbertova práce v Základy geometrie (dále jen „FG“) spočívá především v stanovení jasného a přesného souboru axiomů pro euklidovskou geometrii a v podrobném předvedení vztahů těchto axiomů k sobě navzájem ak některým základním věty o geometrii. Zejména Hilbert demonstruje konzistenci různých podskupin axiomů, nezávislost řady axiomů od ostatních a různé vztahy prokazatelnosti a nezávislosti důležitých vět z konkrétních podskupin axiomů. Zahrnuty jsou nové demonstrace konzistence celé sady axiomů pro euklidovskou geometrii a nezávislosti axiomu paralel od ostatních euklidovských axiomů.

Pojem „nezávislost“, o který se zde jedná, je pojem nevykonatelnosti: říci, že dané prohlášení je nezávislé na sbírce prohlášení, znamená, že od nich nelze prokázat, nebo rovnocenně, že sbírka logicky neznamená, že prohlášení. Konzistence se chápe také jako prokazatelnost: říci, že soubor prohlášení je konzistentní, znamená, že z něj nelze prokázat žádný rozpor. Proto jsou dva pojmy, konzistence a nezávislost, definovatelné: množina prohlášení je konzistentní, pokud je na ní libovolně zvolený rozpor nezávislý, a prohlášení S je nezávislé na množině C, pokud množina (C / cup { sim} S) je konzistentní.

Hilbertovy demonstrace konzistence v FG jsou všechny demonstrace relativní konzistence, což znamená, že v každém případě je konzistence množiny AX geometrických axiomů snížena na konzistenci známé teorie pozadí B, což ukazuje, že AX je konzistentní, pokud B je. Důležitou technikou, kterou Hilbert používá, je reinterpretace geometrických termínů objevujících se v AX takovým způsobem, že, jak je reinterpretováno, členové AX vyjadřují věty o B. Například Hilbertův první soudržnost interpretuje pojmy „bod“, „řádek“a „leží na“tak, že stojí respektive pro konkrétní sbírku uspořádaných párů reálných čísel, pro sbírku poměrů reálných čísel a pro algebraicky definovaný vztah mezi takovými páry a poměry; v rámci této interpretace,dotyčné geometrické věty vyjadřují věty teorie pozadí reálných čísel.

To, že taková strategie reinterpretace zaručuje relativní konzistenci, lze vidět z následujícího zdůvodnění: Pokud by sada AX byla nekonzistentní, znamenalo by to logicky rozpor. Ale protože logická implikace je nezávislá na konkrétních významech takových termínů, jako je „bod“a „linie“, AX by v rámci své reinterpretace pokračovala v rozporu. Ale to znamená jen říci, že množina vět o B by znamenala rozpor, a proto by samotná B byla nekonzistentní.

Nezávislost je demonstrována přesně stejným způsobem. Abychom ukázali, že výrok I je nezávislý na množině výroků AX (ve vztahu k konzistenci B), interpretujeme relevantní geometrické výrazy tak, že členové AX, jak je interpretováno, vyjadřují věty o B, zatímco já vyjadřuji negace věty o B. To znamená, že nezávislost I od AX (vzhledem k konzistenci B) je prokázána prokázáním konzistence (textit {AX} cup {{ sim} I }) vzhledem k nezávislosti B.

Obecná myšlenka použití interpretace k prokázání konzistence nebyla ve FG nová; podobné strategie byly nedávno použity v různých matematických školách, aby se prokázala konzistence a nezávislost v aritmetice a ve třídě teorie, jakož i geometrie. ^[2] Tato technika má také předchůdce v dřívějším použití geometrických modelů k prokázání konzistence neeuklidovských geometrií. ^[3]Hilbertova práce v FG však přináší významný pokrok, pokud jde o srozumitelnost a systematické používání této techniky, a vlivný popis povahy metatheoretického uvažování zahrnutého v prokazování konzistence a nezávislosti prostřednictvím reinterpretace. Jakmile je Hilbertova technika aplikována na věty plně formalizovaného jazyka, což je vývoj, který se odehrává ve fázích během tří desetiletí po FG, získáme v podstatě moderní porozumění modelům, jejichž použití se dnes v demonstracích konzistence a nezávislosti liší pouze v detailech z Hilbertovy techniky. ^[4]

Hilbertova ústřední myšlenka se opět nezaměřuje na konkrétní geometrické pojmy, jako je bod a čára, ale místo toho věnuje pozornost logickým vztahům, o nichž se říká, že podle axiomů mají tyto pojmy udržet. Otázka nezávislosti axiomu rovnoběžnosti od ostatních euklidovských axiomů souvisí výhradně s logickou strukturou, kterou tyto axiomy vykazují, a nemá nic společného s tím, zda se jedná o geometrické body a čáry, o nichž se mluví, nebo o nějaký jiný předmět celkem. Jak říká Hilbert,

[I] t je jistě zřejmé, že každá teorie je pouze lešením nebo schématem pojmů spolu s jejich nezbytnými vztahy k sobě navzájem, a že o základních prvcích lze uvažovat jakýmkoli způsobem, který se mu líbí. Pokud při mluvení o mých bodech přemýšlím o nějakém systému věcí, např. O systému: láska, zákon, kominík … a pak předpokládám všechny své axiomy jako vztahy mezi těmito věcmi, pak jsou mé návrhy, např. Pythagorova věta, platí i pro tyto věci. Jinými slovy: jakoukoli teorii lze vždy aplikovat na nekonečně mnoho systémů základních prvků. (Dopis Fregeovi ze dne 29. prosince 1899, jak jej vyňal Frege [elipsis Hilbert's nebo Frege's] ve Frege 1980: 40)

Toto chápání geometrických termínů jako vnímavých vícenásobných interpretací umožňuje vidět samotné geometrické věty a jejich sady jako definice určitého druhu, typ obvykle označovaný jako „implicitní definice“. Konkrétně: Sada AX vět obsahujících n reinterpretovatelných termínů implicitně definuje n -place relace (R _ { textit {AX}}) držení právě těch n-tuplů, které, pokud jsou brány jako interpretace reinterpretovatelných AX podmínky, učinit členy AX pravdivé. (Například: pokud AX je množina {Existují alespoň dva body; Každý bod leží na alespoň dvou řádcích}, pak (R _ { textit {AX}}) je vztah, který drží libovolnou trojici (langle P, / textit {LO}, L / rangle) tak, že P má alespoň dva členy, L má alespoň dva členy,a LO je vztah, který drží mezi každým členem P a nejméně dvěma členy L.) Definovaný vztah je jednoduše abstraktní struktura, nebo jak ji Hilbert nazývá „lešení“, sdíleným jakýmkoli takovým n-párem.^[5]

Pokud sada vět poskytuje implicitní definici vztahu, lze se zeptat, zda je tento vztah (a v konečném důsledku i samotná sada vět) uspokojivý. To znamená, že je možné se ptát, zda existuje n-násobek, který, když slouží jako výklad příslušných výrazů ve větách, učiní každou větu pravdivou. Každá z Hilbertových demonstrací konzistence ve FG poskytuje n-násobek, který splňuje relevantní definovaný vztah, a tudíž poskytuje důkaz o uspokojivosti tohoto vztahu. Uspokojivost v tomto smyslu postačuje pro důslednost prostřednictvím výše uvedeného odůvodnění. ^[6]

Nyní můžeme stručně popsat Hilbertovu techniku takto: Vzhledem k množině vět AX, Hilbert apeluje na teorii pozadí B, aby vytvořil interpretaci geometrických termínů AX, podle nichž členové AX vyjadřují věty o B. Tato interpretace je, za předpokladu konzistence B, n-tka splňující vztah (R _ { textit {AX}}) definovaný AX. Její existence ukazuje na uspokojivost (R _ { textit {AX}}) a následně na konzistenci AX ve vztahu k B. Podobně za nezávislost I na AX.

3. Frege-Background a počáteční rozdíly

Pro Frege jsou věci radikálně odlišné. Frege se domnívá, že věty, které používáme v matematice, jsou důležité pouze kvůli nelingvistickým výrokům (nebo, jak uvádí) „myšlenkám“), které vyjadřují. Matematici pracující ve francouzštině a němčině pracují na stejném tématu, protože, jak to vidí Frege, jejich věty vyjadřují stejné myšlenky. Každá myšlenka se týká určeného předmětu a říká něco pravdivého nebo nepravdivého o tomto předmětu. ^[7] Myšlenky jsou také v tomto pohledu věci, které logicky naznačují nebo si vzájemně odporují, věci, které jsou pravdivé nebo nepravdivé, a věci, které společně tvoří matematické teorie. Podle Fregeho názoru jsou tedy spíše myšlenky než věty, o nichž vyvstávají otázky konzistence a nezávislosti.

Protože každá myšlenka má určitý předmět, nemá smysl mluvit o „reinterpretaci“myšlenek. Druh reinterpretace, do které se Hilbert zapojuje, tj. Přiřazování různých významů konkrétním slovům, je něco, co lze z fregejského hlediska použít pouze na věty. V souladu s tím první problém, který Frege poznamenává s Hilbertovým přístupem, spočívá v tom, že není jasné, co Hilbert znamená „axiomy:“pokud znamená druhy věcí, pro které mohou vyvstat otázky konzistence a nezávislosti, pak musí mluvit o myšlenkách, zatímco pokud má na mysli ty věci, které jsou citlivé na více výkladů, pak musí mluvit o větách.

Problémy se odtud množí. Když Hilbert poskytuje konkrétní reinterpretaci geometrických výrazů na cestě k prokázání relativní konzistence množiny vět AX vět, Frege poznamenává, že nyní máme ve hře dvě různé sady myšlenek: množinu, kterou bychom mohli nazvat „(textit {AX) } _ {G}) "myšlenek vyjádřených, když termíny AX nabývají obvyklých geometrických významů (např. Na kterém" bod "znamená bod) a množině, kterou bychom mohli nazvat" (textit {AX} _ {R})”Myšlenek vyjádřených, když termíny AX mají významy přiřazené Hilbertovou reinterpretací (na které např.„ Bod “znamená dvojici reálných čísel). Hilbertova reinterpretační strategie zahrnuje, z pohledu Frege,jednoduše posuneme naši pozornost ze souboru (textit {AX} _ {G}) myšlenek, které se běžně vyjadřují větami AX (av jejichž konzistenci nás zajímá), do nové sady (textit {AX} _ { R}) myšlenek vyjádřených AX pod reinterpretací. A skutečnost, že reinterpretované věty vyjadřují pravdy o reálných číslech, má z Fregeova pohledu jen málo společného s otázkami konzistence a nezávislosti, které vyvstávají pro původní myšlenky na body, linie a roviny.

Kromě zmatené (jak to vidí Frege) praxe posunu tam a zpět mezi různými sadami myšlenek při diskusi o dané sadě vět, Hilbertův postup také zahrnuje, jak to vidí Frege, dva další sporné aspekty.

První se týká potřeby důkazů o shodě. Podle Fregeova názoru axiomy teorie vždy tvoří sbírku pravých myšlenek; a protože pravda znamená soudržnost, soudržnost sbírky axiomů nikdy nepotřebuje demonstrace. Pro Hilberta na druhé straně skutečnost, že sbírka vět je brána jako axiomatická, není zárukou pravdy (nebo pravdy podle dané interpretace) a demonstrace konzistence je často klíčovým krokem při stanovení matematické úctyhodnosti toho kolekce axiomů.

Za druhé, Hilbert a Frege se významně liší v souvislosti mezi pravdou a důsledností. Vezmeme-li teorii, která má být axiomatizována množinou mnohonásobně interpretovatelných vět, je Hilbertův názor takový, že konzistence takové množiny postačuje pro existenci (nebo a) kolekce matematických entit uvedených v teorii. Soudržnost například teorie komplexních čísel je vše, co je třeba k ospravedlnění matematické praxe uvažování z hlediska těchto čísel. Naproti tomu pro Frege nemůže konzistence nikdy zaručit existenci. Jeho upřednostňovaným příkladem je, že konzistence (v Hilbertově smyslu) trojice vět

A je inteligentní bytost
A je všudypřítomný
A je všemocný

je nedostačující k zaručení jejich instanci. (Viz např. Fregeův dopis Hilbertovi ze dne 6. ledna 1900; Frege 1980: 47.)

Ústřední rozdíl mezi Fregeem a Hilbertem nad povahou axiomů, tj. Nad otázkou, zda axiomy jsou rozhodně pravdivými tvrzeními o pevném předmětu nebo reinterpretovatelných větách vyjadřujících vícenásobně okamžité podmínky, leží v jádru rozdílu mezi starším způsobem o teoriích myšlení, jehož příkladem je Frege, a nový způsob, který na konci 19. století nabral sílu. Snad nejjasněji ilustrovaný v Dedekindu 1888 je ústřední myšlenkou nového přístupu rozumět matematickým teoriím jako charakterizujícím obecné „strukturální“podmínky, které by mohly mít společné libovolné množství různých uspořádaných domén. Stejně jako v algebře, axiomy pro skupinu dávají obecné podmínky, které mohou být uspokojeny jakýmkoli způsobem objektu za vhodných vztahů,proto také v novém pohledu určují axiomy geometrie vícenásobně okamžité podmínky. Při pohledu na teorie z této moderní perspektivy je naprosto vhodné brát axiomy jako Hilbert, protože reinterpretovatelné věty jsou správná vozidla, která vyjadřují dané mnohonásobně okamžité podmínky.^[8] Z pohledu dřívějšího pojetí teorií s pevnou doménou jsou naopak tyto reinterpretovatelné věty jako axiomy zcela nevhodné, protože nedokážou určit určující předmět. Pokud jde o tuto otázku, tj. Otázku koncepce fixní domény (Fregean) vs. multiply-instantiable structure (Hilbertian) koncepce matematických teorií, porota je stále mimo: tato debata pokračuje v animaci současné filosofie matematiky (viz záznam o filozofii) matematiky).

Druhé číslo, které rozděluje Frege a Hilbert, pokud jde o oprávněnost závěru od soudržnosti k existenci, je stále naživu. Zatímco všichni (včetně pravděpodobně Hilbert) by souhlasili s Fregeem, že mimo matematickou doménu nemůžeme bezpečně odvodit existenci z konzistence, zůstává otázkou, zda to můžeme (nebo musíme) udělat v matematice. Fregeanský pohled je takový, že existence matematických objektů může být prokázána (pokud vůbec) odvoláním se na základní principy, zatímco Hilbertovo je to, že ve vhodných ryze matematických případech není nic více k prokázání, aby založil existenci, než důslednost teorie (viz záznamy o filozofii matematiky a platonismu ve filozofii matematiky).

Navzdory těmto rozdílům se Frege a Hilbert shodují na tom, že je třeba položit důležité matematické otázky ohledně konzistence a nezávislosti, a shodují se na tom, že např. Klasická otázka nezávislosti axiomu rovnoběžky od zbytku euklidovské geometrie je významná. Jak však bylo uvedeno výše, nesouhlasí s tím, zda Hilbertův postup postačuje k vyřešení těchto otázek. Obracíme se vedle problému Fregeova odůvodnění odmítnutí Hilbertovy metody prokazování konzistence a nezávislosti.

4. Hlubší nesouhlas

Jak je uvedeno výše, Frege si myslí, že Hilbertovy reinterpretace zahrnují posun pozornosti od geometrických myšlenek (jejichž konzistentnost a nezávislost jsou předmětem sporu) k myšlenkám zcela jiného druhu, myšlenkám na teorii pozadí B (jejichž konzistentnost a nezávislost nejsou zpochybněny).. Co se týče důkazů konzistence, jeho názor je, že Hilbert dělá nelegitimní odvození od konzistence kolekce (textit {AX} _ {R}) myšlenek o reálných číslech a konzistence kolekce (textit {AX} _ {G}) myšlenek o geometrických bodech, liniích a rovinách. Frege uznává, že Hilbertovu množinu AX vět lze chápat tak, že poskytuje implicitní definici abstraktní relace (R _ { textit {AX}}), která je uspokojena Hilbertovými konstruovanými n-násobky, a že konzistence (tj.,uspokojivost) z (textit {AX} _ {R}) znamená konzistenci definovaného vztahu. Ale i zde Frege považuje problém Hilberta za zásadní, od konzistence (R _ { textit {AX}}) k konzistenci (textit {AX} _ {G}), problematický. Jak sám Frege říká, odkazy na (textit {AX} _ {R}) a (textit {AX} _ {G}) jako na "speciální geometrie" a na (R _ { textit { AX}}) jako „obecný případ:“

[G] iven, že axiomy ve zvláštních geometriích jsou všechny speciální případy obecných axiomů, lze dospět k závěru od nedostatku rozporů ve speciální geometrii až po nedostatek rozporů v obecném případě, ale nikoli nedostatek rozporů v jiném zvláštním případě. (Dopis ze dne 6. ledna 1900 ve Frege 1980: 48)

Jakmile poukázal na to, co považuje za sporný závěr, Frege vezme to, že břemeno argumentu je přímo s Hilbertem: pokud si Hilbert myslí, že konzistence (textit {AX} _ {G}) vyplývá buď z konzistence (textit {AX} _ {R}) nebo z uspokojivosti (R _ { textit {AX}}), pak je to na Hilbertovi, aby to ukázal. Frege nevychází ze své cesty, aby dokázal, že rozhodující závěr je neplatný, ale zdá se, že jeho názor byl v podstatě učiněn, jakmile zde poukázal na potřebu odůvodnění.

Z pohledu Hilberta samozřejmě takové odůvodnění není nutné. Rozdíly, na které Frege trvá znovu a znovu mezi sadami vět (AX) a různými sadami myšlenek ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R})) atd.) jsou z Hilbertova hlediska zcela bezvýznamné. Protože konzistence, jak Hilbert chápe, platí pro „lešení“konceptů a vztahů definovaných AX, když jsou její geometrické termíny brány jako zástupné symboly, má konzistence, kterou má na mysli (vyjádřit ji myšlenkami), (textit {AX} _ {G}), pokud obsahuje (textit {AX} _ {R}), protože obě sady myšlenek jsou instancemi stejného „lešení“. Stejný bod lze vyjádřit slovy:Frege trvá na tom, že otázka konzistence, která vyvstává u vět podle jejich geometrického výkladu, je odlišná od té, která vyvstává u těchto vět podle jejich interpretace reálných čísel; pro Hilberta na druhé straně existuje pouze jedna otázka a je zodpovězena kladně, pokud existuje nějaký výklad, podle kterého věty vyjadřují pravdu. Proto, zatímco Frege vezme to, že Hilbert dluží vysvětlení závěru od konzistence (textit {AX} _ {R}) k tomu (textit {AX} _ {G}), pro Hilberta je prostě žádný závěr. Proto, zatímco Frege vezme to, že Hilbert dluží vysvětlení závěru od konzistence (textit {AX} _ {R}) k / \ / \ textit {AX} _ {G}), pro Hilberta je prostě žádný závěr. Proto, zatímco Frege vezme to, že Hilbert dluží vysvětlení závěru od konzistence (textit {AX} _ {R}) k tomu (textit {AX} _ {G}), pro Hilberta je prostě žádný závěr.

Fregeova nejasnost o jeho důvodech pro odmítnutí Hilbertovy procedury ponechává interpretační mezeru, ve vztahu k níž existuje prostor pro kontroverzi. Nejprve bychom si měli připomenout, že Hilbert má jasně pravdu, že jeho vlastní strategie reinterpretace postačuje pro relativní důslednost a výsledky nezávislosti, které tvrdí. Pokud je konzistence a nezávislost chápána, jak je uvedeno výše, z hlediska nevykonatelnosti, a pokud je důkaz, jak předpokládá Hilbert, nezávislý na významu geometrických pojmů, pak (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}), a dokonce i samotný AX je konzistentní, pokud je jeden z nich. Fregeovo odmítnutí Hilbertovy techniky musí tedy zahrnovat buď zmatek o tom, co Hilbert prokázal, nebo jiné chápání toho, co je předmětem otázek soudržnosti a nezávislosti.

Jedním ze způsobů, jak pochopit, jak Frege přispívá k Frege-Hilbertově debatě, je tedy uznat příspěvky, které Frege přispívá k objasnění Hilbertova vlastního přístupu k axiomům, ale mít za to, že Fregeovo negativní hodnocení Hilbertovy techniky pro prokázání konzistence a nezávislosti je mylné. Z tohoto důvodu, přes rozdíl mezi Frege a Hilbert nad povahou axiomů, přesto uspokojivost (R _ { textit {AX}}) prokazuje soudržnost sběru dotyčných axiomů, ať už je někdo z nich axiomy Hilbertovým způsobem jako věty (tj. jako kolekce AX) nebo Fregeovým způsobem jako myšlenky (tj. jako kolekce (textit {AX} _ {G})). Podobně za nezávislost. Fregeova chyba v tomto ohledu spočívá v tom, že si nevšiml, že druh výsledku je nevynutitelný (tj.konzistence nebo nezávislost), které Hilbert používá při interpretaci geometrických vět, má za následek odpovídající výsledek neprokázatelnosti (konzistence nebo nezávislosti) pro geometrické myšlenky (viz Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

Alternativní interpretace tvrdí, že Fregeovo chápání konzistence a nezávislosti je dostatečně odlišné od Hilbertovy, že daný předmět neplatí: že uspokojivost (R _ { textit {AX}}) a následná konzistence v Hilbertově smyslu pro AX, neznamená konzistenci ve Fregeově smyslu pro (textit {AX} _ {G}). Podobně za nezávislost. Podle této interpretace Frege správně tvrdí, že Hilbertovy demonstrace neprokazují důslednost a nezávislost ve smyslu, v jakém on, Frege, chápe tyto pojmy. ^[9]

Ústřední myšlenkou alternativního výkladu je, že pro Fregeho je otázka, zda daná myšlenka logicky vyvolává soubor myšlenek, citlivá nejen na formální strukturu vět použitých k vyjádření těchto myšlenek, ale také na obsah jednoduché (např. geometrické) termíny, které se objevují v těchto větách. Pokud je to správné, okamžitě vidíme, že konzistence (textit {AX} _ {R}) nemusí vyžadovat konzistenci (textit {AX} _ {G}), protože otázka, zda (textit {AX} _ {G}) logicky znamená, že rozpor může částečně ovlivnit konkrétně geometrické části dotyčných myšlenek, tj. obvyklé geometrické významy geometrických výrazů AX. Chcete-li zvolit ilustrativní příklad, i když ne ten, který sám Frege dává, zvažte pár vět

Bod B leží na přímce mezi body A a C;
Bod B nespočívá na přímce mezi body C a A.

Tato dvojice vět je prokazatelně konzistentní v Hilbertově smyslu. Ale při interpretaci Frege, která je zde navržena, tato konzistence (v Hilbertově smyslu) nezajišťuje, aby myšlenky vyjádřené těmito větami pod jejich běžným výkladem tvořily konzistentní soubor. Pokud například Frege chápe vztah „mezi“jako citlivý na koncepční analýzu, v souladu s níž první myšlenka může být logicky spojena s negací druhé, pak pár myšlenek je v přímém rozporu pocit logického vyvolání rozporu.

Myšlenka, že Frege má logický význam, aby byl citlivý na koncepční analýzu způsobem, který byl právě navržen, je z tohoto důvodu patrná ve strategii, kterou Frege ve svém celoživotním pokusu prokázat svou logicistickou tezi, tezi, že pravdy aritmetiky jsou prokazatelné z čisté logiky. V průběhu tohoto projektu Frege pravidelně poskytuje demonstrace, že daná myšlenka τ logicky vychází ze souboru T myšlenek, a to způsobem, který zahrnuje dva kroky. Zaprvé, Frege podrobí τ a / nebo členům T konceptuální analýze, čímž v těchto myšlenkách odhalí dříve nerozpoznanou koncepční složitost. Zadruhé prokazuje takto analyzovanou verzi τ od takto analyzovaných členů T. Například Frege se sám prokazuje, že myšlenka vyjádřená

(i) Součet dvou násobků čísla je násobkem tohoto čísla

logicky vyplývá z myšlenek vyjádřených

(ii) (forall m \; / forall n \; / forall p ((m + n) + p = m + (n + p)))

a tím

(ii) (forall n (n = n + 0).)

Demonstrace pokračuje pečlivou analýzou pojmu „násobek“, co se týče sčítání, a namísto (i) složitějšího (i '), což je poté prokázáno z (ii) a (iii). ^[10] Podobně významná část Fregeova logicistického projektu spočívá v pečlivé analýze takových aritmetických představ, jako je nula a nástupce, analýzy, která odhaluje dříve nepozorovanou složitost a usnadňuje důkaz aritmetických pravd. (K diskuzi o projektu logistiky viz položky Frege a logicismus a neologicismus.)

Jak to Frege uvádí na prvních stránkách svých základů aritmetiky, když se pokoušíme dokázat pravdu aritmetiky z nejjednodušších možných východisek,

… Velmi brzy přicházíme s návrhy, které nelze prokázat, pokud se nám nepodaří analyzovat pojmy, které se v nich vyskytují, do jednodušších konceptů nebo je redukovat na něco většího obecnosti. (Frege 1884: §4)

Zkrátka: složky myšlenek mohou být někdy analyzovány z hlediska jednodušších nebo obecnějších složek, a to způsobem, který odhaluje dříve skryté vztahy logického zaklínadla. Chceme-li tedy vědět, zda daná myšlenka logicky vyvolává soubor myšlenek, musíme věnovat pozornost, z pohledu Fregeho, nejen celkové struktuře vystavené věty vyjadřující tyto myšlenky, ale také obsahu jednotlivých výrazů, které se objevují v těchto větách.

Souvislost mezi tímto aspektem Fregeovy práce a jeho názory na nezávislost, o interpretaci, o kterou jde, je následující. Protože někdy zjistíme, že myšlenka τ je logicky spojena se sadou T myšlenek až po pečlivé analýze některých zdánlivě jednoduchých složek těchto myšlenek, budeme také někdy schopni zjistit, že soubor myšlenek je nekonzistentní, tj. že logicky znamená rozpor, na základě takové koncepční analýzy. Proto soudržnost souboru myšlenek vyjádřených množinou sentences vět je něco, co se neomezuje pouze na celkovou strukturu vět v Σ, ale na významy termínů uvedených v in větách.

Abychom objasnili tento poslední bod, podívejme se na nematematický příklad, který se výslovně nezabýval ani Hilbert, ani Frege. Vezměme si sadu vět {Jones měl noční můru, Jones neměl sen}, nebo rovnocenně jeho vydání prvního řádu, ({Nj, {{ sim} Dj} }). Soubor je jasně shodný ve smyslu používaném Hilbertem v FG; je jednoduché poskytnout výklady „Jones“, „x měl noční můru“a „x měl sen“(nebo „j“, „N“a „D“) tak, aby věty, tak interpretované, vyjadřovat pravdy. (Uvažujme například výklad, kterému je přiděleno „j“číslo 7, „N“množina prvočísel a „D“množina čísel větší než 12.) Ale z pohledu Fregean vyjádřené myšlenky jsou patrně nekonzistentní, protože součástí toho, co to znamená mít noční můru, je mít sen. Tato nekonzistence z pohledu Fregeho může být prokázána poskytnutím analýzy vyjádřených myšlenek a konstatováním, že výsledky této analýzy přinášejí množinu {Jones měl rušivý sen, Jones neměl sen}.

Ze stejného důvodu se dvě sady myšlenek, které jsou strukturálně podobné v tom smyslu, že mohou být vyjádřeny, pod různými interpretacemi, stejným souborem vět, mohou lišit s ohledem na Fregeovu konzistenci. Pokud jde o geometrický kontext, ústřední myšlenkou je z tohoto důvodu Fregeovy námitky vůči Hilbertovi, že druhy reinterpretace, v nichž se Hilbert angažuje, mohou vzít jednu z konzistentních sad myšlenek (např. (Textit {AX) } _ {R})) na nekonzistentní (např. (Textit {AX} _ {G})) kvůli posunu v předmětu, a tak zneplatnění závěru z konzistence prvního do konzistence druhého.

Frege netvrdí, že je schopen poskytnout specifické geometrické analýzy, které jsou v rozporu s konkrétními požadavky na soulad Hilberta, a neexistuje důkaz, že by některé z těchto tvrzení považoval za nepravdivé. To, že mohl mít na mysli některé takové analýzy, je naznačeno v dopise Hilbertovi, ve kterém tvrdí, že ve svých vlastních nedokončených vyšetřováních základů geometrie byl schopen „udělat si méně primitivních termínů“, což pravděpodobně znamená, že považuje některé z termínů, které Hilbert považuje za primitivní, za citlivé na analýzu prostřednictvím jiných (viz dopis Hilbertovi ze dne 27. prosince 1899 ve Frege 1980: 34). Každá taková analýza odhalí vztahy logické závislosti (z Fregeova pohledu), kde Hilbert najde nezávislost.

Protože žádná z Fregeových prací na tomto tématu nepřežila, nemáme žádné podrobnosti o konkrétních analýzách, které mohl provést. Rozhodujícím bodem Fregeovy kritiky vůči Hilbertovi však není neshoda ohledně konkrétních analýz nebo následné selhání konkrétních požadavků na soudržnost a nezávislost, ale spíše obecná metodologie důkazů o soudržnosti a nezávislosti. Protože pro Hilberta se soudržnost množiny vět zcela mění na celkové struktuře, kterou vykazují, zatímco u Frege je soudržnost množiny myšlenek vyjádřených otáček navíc na obsahu neslogických pojmů, které se objevují ve větách, z tohoto důvodu, Hilbertova konzistence neznamená Fregeovou konzistenci.

5. Trpící problémy

Zkoumali jsme dva způsoby, jak porozumět Fregeovým námitkám proti Hilbertovým technikám pro prokázání konzistence a nezávislosti. První bere Fregeho, aby se zásadně mýlil, přičemž chyba se nachází v jeho neschopnosti ocenit souvislost mezi uspokojivostí souboru reinterpretovatelných vět a souvisejícími požadavky na nezávislost / konzistenci. Druhý považuje Frege za zásadně správného v tom smyslu, že (i) chápe konzistenci a nezávislost myšlenek, aby se obrátil nejen na povrchovou syntaxi vět, které je vyjadřují, ale také na obsah jednoduchých výrazů použitých v jejich vyjádření a (ii) důslednost a nezávislost, jak je chápáno, nejsou Hilbertovým způsobem prokazatelné.

Žádná z těchto interpretačních možností není zcela bezproblémová. Důležitým problémem s prvním je jeho přičítání Fregeovi k velké míře záměny ohledně síly Hilbertových reinterpretací, což je patrně v určitém napětí se skutečností, že obecně řečeno, Fregeův popis Hilbertova metodologického postupu v FG je značně jasnější než vlastní Hilbert. Dalším zdrojem obtíží je to, že chápání nezávislosti připsané na tomto účtu Fregeovi je v rozporu s pochopením logického entealmentu, který figuruje centrálně v jeho logistické práci, porozumění, na kterém může být obsah matematických výrazů zásadní pro otázky logiky znamenat. Druhá interpretace, byť pro Fregeho výhodnější,je patrné, že Frege výslovně nezmínil význam koncepční analýzy pro otázky konzistence a nezávislosti.

Konečným zdrojem potenciálních obtíží pro jakýkoli účet Fregeových názorů na nezávislost a důslednost je velmi zajímavá část (iii) eseje z roku 1906 „Základy geometrie“. Důležitost tohoto textu a interpretační obtíže, které představuje, lze načrtnout následovně.

Esej z roku 1906 „Základy geometrie“je primárně re-prohlášení předchozích Fregeových námitek (diskutovaných výše) k Hilbertově zacházení s důsledností a nezávislostí. Po zkoušce těchto námitek se Frege v části iii obrátí na problém poskytnout pozitivní metodu prokazování nezávislosti. Jak by se mohl ptát, že by někdo dokázal danou myšlenku nezávislou na sbírce myšlenek? Odpověď Frege poskytuje náčrt potenciální metody a ukončuje diskusi tím, že poznamenává, že načrtnutá metoda je stále neúplná a že čelí určitým obtížím. Navzdory zjevné neúplnosti se Frege nikdy (pokud můžeme říci) vrací k návrhu a nakonec se zdá, že je neuspokojivý. To, že se domníval, že je to v zásadě neuspokojivé, naznačuje jeho nárok o čtyři roky později, v poznámce k Jourdainovi,že nelze prokázat nevyhovatelnost axiolu paralel (viz Frege 1980: 183n). To je, on by vypadal, že 1910 si myslí, že neexistuje žádná systematická metoda pro prokázání nezávislosti.^[11]

Samotný návrh z roku 1906 lze nastínit následovně. Předpokládejme, říká Frege, že máme kolekci C vět, z nichž každá vyjadřuje determinovanou myšlenku, a větu S, která podobně vyjadřuje determinovanou myšlenku. Srdcem navrhované metody pro prokázání nezávislosti S-myšlenky od C-myšlenek je to, že používáme mapování μ termínů na termíny (a tedy také věty na věty), které zachovávají syntaktický typ (mapování jmen na jména, predikáty na jednom místě na predikáty na jednom místě atd.) a mapují „logické“termíny k sobě. Pak: S-myšlenka je nezávislá na C-myšlenkách, pokud μ mapuje S na falešnou větu, zatímco mapuje všechny členy C na skutečné věty. (Pokud jde o diskusi a vývoj Fregeova návrhu, viz Antonelli a květen 2000, Eder 2016. Pro diskusi o Fregeových důvodech zamítnutí návrhu,viz Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

První zajímavou věcí návrhu je jeho nápadná podobnost s Hilbertovou metodou. Předpokládáme-li, že Fregeův jazyk je dostatečně bohatý na to, aby obsahoval termíny pro všechny objekty, funkce a sady, které by Hilbert mohl použít při reinterpretacích, bude pravděpodobně existovat mapování toho druhu, které Frege popisuje, pokud a pouze v případě reinterpretace toho druhu, který Hilbert používá ukázat nezávislost (jeho verze): kde Hilbertova reinterpretace poskytuje termín t s novým obsahem, Fregeova metoda by jednoduše mapovala t na nový termín s tímto samotným obsahem. A to by znamenalo, že navzdory všem námitkám, které vznesl Frege, by Hilbertova metoda nakonec stačila k prokázání toho, co Frege považuje za nezávislost myšlenek. Pokud je to správné,pak máme důvod pochybovat o jakékoli interpretaci Frege, na které je jeho odmítnutí Hilbertovy metody odůvodněné.

Hlavní důvody, které by mohly zpochybnit silnou rovnocennost, která byla právě navržena mezi Hilbertovou metodou a Fregeho návrhem, spočívají v tom, že (i) není jasné, jaký jazyk má Frege na mysli, a (ii) není jasné, zda třída termínů Frege by se počítal jako „logický“, tj. třída, jejíž členové μ se musí namapovat na sebe, je stejná jako třída termínů, které by Hilbert považovala za pevně interpretovanou. Je-li Fregeova třída pevných termínů širší než Hilbertova a / nebo Fregeův jazyk postrádá některou terminologii Hilberta, pak demonstrace nezávislosti v Hilbertově smyslu nebude znamenat existenci mapování prokazujícího nezávislost ve Fregeově smyslu. Jedním ze způsobů, jak přemýšlet o zásadní otázce, je otázka, zda pojmy jako „číslo“nebo „mezi“,termíny, které Frege považuje za citlivé na koncepční analýzu, budou povoleny v jazyce, který se Frege týká (na rozdíl od požadavku, aby jazyk obsahoval pouze „plně analyzované“termíny), a zda takové podmínky budou mezi těmi, které které μ mapuje na libovolnou novou terminologii. Frege si všímá důležitosti právě nastoleného druhého terminologického demarkačního problému, tj. Problému určení, které termíny jsou mapovány k sobě, a poznamenává, že tento problém je třeba řešit, aby se jeho skica stala proveditelnou strategií.. Protože nikdy neodpoví na pevnou terminologii nebo na druh dotyčného jazyka, Fregeův návrh není dostatečně určen pro jasné srovnání s Hilbertovým. Zůstali jsme tedy,s interpretační otázkou pochopení Fregeova návrhu metody a jejího následného zjevného odmítnutí, přičemž se uznává neúplná povaha tohoto návrhu. (Další diskuse o textu z roku 1906 viz: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Závěr

Protože požadavky na soudržnost a nezávislost jsou v zásadě nároky na nepřizpůsobení nebo neprokázatelnost, není zřejmé, i když máme k dispozici silné techniky pro prokázání matematických výsledků, jak by se dalo dokázat, jak dokázat soudržnost a nezávislost. To, co nám Hilbert v roce 1899 nabízí, je systematická a výkonná technika, kterou lze použít ve všech formalizovaných disciplínách, aby to bylo právě toto: k prokázání konzistence a nezávislosti. Přitom položí základy, ve spolupráci s různými jeho současníky, pro vznik současných modelových teoretických technik. (Pro další diskusi viz Mancosu, Zach a Badesa 2009; viz také položka o geometrii 19. století.)

Fregeovým odmítnutím a Hilbertovou obranou této techniky najdeme vyjasnění předpokladů, které jsou nezbytné pro její úspěch. Jak jsme viděli, klíčovým prvkem důkazu, který musí být převzat, aby reinterpretace ve stylu Hilberta prokázala výsledek, který nelze prokázat, je to, že prokazatelnost je necitlivá k obsahu těchto termínů, které Hilbert považuje za reinterpretovatelné - v tomto případě, geometrické pojmy. Alternativní pohled na soudržnost a nezávislost, na kterém je obsah a prokazatelnost citlivý na obsah geometrických pojmů, je pohled, ve kterém reinterpretace ve stylu Hilberta nemohou prokázat důslednost a nezávislost takto chápanou. Jak je uvedeno výše,čtení Frege, na kterém zastává takový názor na soudržnost a nezávislost, poskytuje Hilbertovi důvody pro jeho námitky a alternativní popis toho, co je v sázce v požadavcích na geometrickou konzistenci a nezávislost.

I přes jasné selhání komunikace mezi Hilbertem a Fregeem, jejich debata odhaluje řadu důležitých otázek, v neposlední řadě i) roli schematicky chápaných vět při poskytování implicitních definic, které Frege jasněji vyjadřuje jménem Hilberta než dosud Hilbert, a (ii) rozsah, v jakém mají být logické vztahy považovány za „formální“. V tomto posledním čísle je rozdíl mezi Fregeem a Hilbertem poučný. Již dlouho před debatou s Hilbertem Frege tvrdil, že logická přísnost vyžaduje použití formálních systémů dedukce, „formálních“v tom smyslu, že všechny myšlenky jsou vyjádřeny přesně stanovenými větami a že všechna odvozující pravidla a axiomy jsou prezentována syntakticky. (viz např. Frege 1879). Nejdůležitější pro naše účely je skutečnost, že Fregeovy formální systémy jsou zcela moderní v tom smyslu, že odvozitelnost věty ze souboru vět se v takovém systému mění jen na syntaktickou formu těchto vět. Slavné koncepční analýzy, na nichž se hodně z Fregeových pracovních tahů poskytuje, jsou před důkazem; na základě konceptuálních analýz je možné dospět k příslušným větám, které je třeba v rámci formálního systému řešit, ale samotné analýzy nehrají v rámci vlastních důkazů žádnou roli. Proto, pokud jde o pozitivní práci prokazující, že daná věta je odvozitelná ze sady vět, je Frege stejně jako Hilbert: na významu nezáleží. Ve skutečnosti v době jejich korespondence byla Fregeova práce mnohem „formálnější“než Hilbertova,protože Hilbert v té době nepoužíval explicitně syntakticky definovaný systém dedukce.

Fregeovo pojetí logiky má však za následek, že existuje pouze jednosměrné spojení mezi logickou implikací, protože to platí mezi myšlenkami a formální derivovatelností, protože to drží mezi větami. Při dobrém formálním systému lze větu σ odvodit z množiny Σ pouze tehdy, je-li myšlenka vyjádřená σ logicky vyvolána myšlenkami vyjádřenými členy Σ. (To jednoduše vyžaduje, aby něčí axiomy a pravidla odvozování byly dobře zvoleny.) Ale opak je nepravdivý: že σ nelze v takovém systému odvodit od Σ, není žádná záruka, že myšlenka vyjádřená σ je nezávislá na souboru myšlenek vyjádřeno členy Σ. Může být dobře, jako v případech výslovně zpracovaných Fregeovými vlastními analýzami, že další analýza myšlenek a jejich složek přinese složitější strukturu. Když se to stane,analýza může vracet ještě složitější (množiny) vět σ 'a such', takže σ 'je nakonec možné odvodit z Σ'. Podle výhodnějšího z výše uvedených dvou interpretačních možností je toto vysvětlení Fregeova odmítnutí Hilbertovy úpravy konzistence a nezávislosti v geometrii. Jak bychom mohli říci, protože značná logická složitost může ležet neobjevená v myšlenkách vyjádřených relativně jednoduchými větami, nederivovatelnost není zárukou nezávislosti, ve Fregeanově schématu věcí. Existuje logická mezera, jak by se dalo říci, mezi logickou a formální.toto je vysvětlení Fregeova odmítnutí Hilbertovy úpravy konzistence a nezávislosti v geometrii. Jak bychom mohli říci, protože značná logická složitost může ležet neobjevená v myšlenkách vyjádřených relativně jednoduchými větami, nederivovatelnost není zárukou nezávislosti, ve Fregeanově schématu věcí. Existuje logická mezera, jak by se dalo říci, mezi logickou a formální.toto je vysvětlení Fregeova odmítnutí Hilbertovy úpravy konzistence a nezávislosti v geometrii. Jak bychom mohli říci, protože značná logická složitost může ležet neobjevená v myšlenkách vyjádřených relativně jednoduchými větami, nederivovatelnost není zárukou nezávislosti, ve Fregeanově schématu věcí. Existuje logická mezera, jak by se dalo říci, mezi logickou a formální.

Naproti tomu pro Hilberta jsou logické vztahy přinejmenším v souvislosti s axiomatizovanou geometrií jednoduše formálně popisovatelnými vztahy, protože mají zcela společného se strukturou projevenou dotyčnými větami, nebo rovnocenně s „lešením“. konceptů definovaných těmito větami. Je to proto, že důslednost v Hilbertově smyslu se obrátí právě na tuto abstraktní strukturu, a nikoli na obsah termínů, které strukturu vytvářejí, že strategie reinterpretace je účinná.

Hilbert je v této debatě jednoznačně vítězem v tom smyslu, že zhruba jeho pojetí konzistence je to, co dnes znamená „konzistence“v kontextu formálních teorií, a nyní je téměř příbuzný jeho metodologie pro důkazy konzistence standardní. Nyní rutinně bereme konzistenci a nezávislost, jak to dělá Hilbert, abychom drželi nezávisle na významech tzv. „Nelogických“termínů, a proto jsme v podstatě Hilbertovým způsobem přímí prokazatelní. Tím nechci říci, že Fregeovy námitky byly splněny, ale spíše, že byly v zásadě odstraněny prostřednictvím zakotvení formální představy o konzistenci a nedostatku zájmu, přinejmenším pod tímto názvem, s tím, co Frege nazýval „důsledností“.

Bibliografie

Primární zdroje

Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, eine der aritmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle: Louis Nebert. Překlady jako konceptový skript, formální jazyk čistého myšlení podle aritmetického jazyka, Stefan Bauer-Mengelberg v Od Frege k Gödelovi, Jean van Heijenoort (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, s. 5– 82.
–––, 1881, „Booles rechnende Logik und die Begriffsschrift“, nepublikovaný rukopis ve Frege 1969: 9–52 [1979: 9–46].
–––, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-Mathatische Untersuchung über den Begriff der Zahl, Breslau: W. Koebner. JL Austin, Oxford: Oxford University Press, 1950 Přeloženo jako základy aritmetiky: Logicko-matematické vyšetřování do konceptu čísla. Přetisk Evanston, IL: Northwestern University Press, 1978.
–––, 1903, „Über die Grundlagen der Geometrie“(Na základech geometrie) - první série. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,
- 12: 319–324, [Frege 1903 (I) k dispozici online]
- 12: 368–375, [Frege 1903 (II) k dispozici online]
Anglický překlad ve Frege 1984: 273–284.
–––, 1906, „Über die Grundlagen der Geometrie“(Na základech geometrie) - druhá řada, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung,
- 15: 293–309, [Frege 1906 (I) k dispozici online]
- 15: 377–403, [Frege 1906 (II) k dispozici online]
- 15: 423–30, [Frege 1906 (III) k dispozici online]
Anglický překlad ve Frege 1984: 293–340.
–––, 1969 [1979], Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel a Friedrich Kaulbach (eds.), Hamburg: Felix Meiner Verlag, svazek 1. Anglický překlad některých výběrů jako Posmrtné spisy, překládán Peterem Long and Roger White, s pomocí Raymond Hargreaves, Chicago: University of Chicago Press.
–––, 1971, O základech geometrie a formálních teorií aritmetiky, Eike-Henner W. Kluge (trans.), New Haven, CT: Yale University Press.
–––, 1980, filozofická a matematická korespondence, Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, Albert Veraart, Brian McGuinness a Hans Kaal (ed.) Oxford: Blackwell Publishers.
–––, 1984, Collected Papers on Mathematics, Logic and Philosophy, Brian F. McGuinness (ed.), Oxford: Blackwell Publishers.
Hallett, Michael a Ulrich Majer (ed.), 2004, Přednášky Davida Hilberta o základech geometrie 1891–1902, Berlín: Springer.
Hilbert, David, 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner. Anglický překlad 10 ^th edition je k dispozici jako základů geometrie, Leo Unger (trans.), La Salle, IL: Open Court Press, 1971.
Huntington, Edward V., 1902, „Kompletní sada postulátů pro teorii absolutní kontinuální velikosti“, Transakce americké matematické společnosti, 3 (2): 264–279.
Padoa, Alessandro, 1900, „Essai d'une théorie algébrique des nombres entiers, précédé d'une představení logique u une theorie déductive quelconque“v Bibliothèque du Congrès International de Philosophie, Paříž, 1900, Paříž: Armand Colin, 1901, Svazek 3, str. 309–365; částečný anglický překlad jako „Logický úvod do jakékoli deduktivní teorie“v Od Frege po Gödel, Jean van Heijenoort (ed.), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967, s. 118–123.
Peano, Giuseppe, 1889, Principii di Geometria logicamente esposti, Torino: Fratelli Bocca.
Pieri, Mario, 1898, „I Principii della geometria di posizione composti in sistema logico deduttivo“, Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino (2. řada), 48: 1–62.
Veblen, Oswald, 1904, „Systém axiomů pro geometrii“, Transakce American Mathematical Society, 5 (3): 343–384. doi: 10,2307 / 1986462

Sekundární zdroje

Antonelli, Aldo a Robert May, 2000, „Fregeova nová věda“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 242–270. doi: 10,1305 / ndjfl / 1038336844
Blanchette, Patricia A., 1996, „Frege and Hilbert on Consistency“, Journal of Philosophy, 93 (7): 317–336. doi: 10,2307 / 2941124
––– 2007, „Frege on Consentency and Conceptual Analysis“, Philosophia Mathematica, 15 (3): 321–346. doi: 10,1093 / philmat / nkm028
––– 2012, Fregeova koncepce logiky, Oxford: Oxford University Press. Viz esp. Ch. 5. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199891610,001.0001
––– 2014, „Frege on Formality and 1906 Independence Test“, Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse, Godehard Link (ed.), Boston / Berlin: De Gruyter, s. 97–118.
––– 2017, „Modely v geometrii a logice: 1870–1920“, v logice, metodologii a filozofii vědy: Sborník 15. mezinárodního kongresu, Leitgeb, Niiniluoto, Seppälä. a Sober (eds.), London: College Publications, str. 41–61.
Bernays, Paul, 1922, „Die Bedeutung Hilberts fur die Philosophie der Mathematik“, Die Naturwissenschaften, 10 (4): 93–99. Anglický překlad Paola Mancosua z Brouwer do Hilbert; Debata o základech matematiky ve 20. letech, Paolo Mancosu (ed.), New York: Oxford University Press, s. 189–197. doi: 10.1007 / BF01591620 (německy)
Currie, Gregory, 1982, Frege: Úvod do jeho filozofie, Sussex: Harvester.
Dedekind, Richard, 1888 Byl Sind a byl Sollen zemřel Zahlen?. Anglický překlad jako „Příroda a význam čísel“v Dedekind, Eseje o teorii čísel, editoval a překládal Wooster Woodruff Beman, Chicago: Open Court, 1901.
Demopoulos, William, 1994, „Frege, Hilbert a koncepční struktura teorie modelů“, Historie a filozofie logiky, 15 (2): 211–225. doi: 10,1080 / 01445349408837233
Dummett, Michael, 1975, „Frege on Consentency of Mathematical Theory“, Studien zu Frege, Matthias Schirn (ed.), Stuttgart / Bad Cannstatt: Fromann-Holzboog, s. 229–242.
–––, 1991, Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Eder, Günther, 2013 „Poznámky k nezávislým důkazům a nepřímému odkazu“, Historie a filozofie logiky, 34 (1): 68–78. doi: 10,1080 / 01445340.2012.702568
–––, 2016 „Fregeovo„ Na základech geometrie “a axiomatické metatheory”, Mind, 125 (497): 5–40. doi: 10,1080 / 01445340.2012.702568
Eder, Günther a Georg Schiemer, 2018, „Hilbert, Dualita a geometrické kořeny teorie modelů“, Přehled symbolické logiky, 11 (1): 48–86. doi: 10,017 / S1755020317000260
Hallett, Michael, 2010, „Frege and Hilbert“, The Cambridge Companion to Frege, Tom Ricketts and Michael Potter (eds.), Cambridge: Cambridge University Press, str. 413–464. doi: 10,017 / CCOL9780521624282.011
––– 2012, „Více o Fregeovi a Hilbertovi“, analýza a interpretace v přesných vědách: Eseje na počest Williama Demopoulosa, Melanie Frappier, Derek Brown a Robert DiSalle (ed.), Dordrecht, New York: Springer, str. 135–162. doi: 10,1007 / 978-94-007-2582-9_8
Hodges, Wilfrid, 2004, „Důležitost a zanedbání koncepční analýzy: Hilbert-Ackermann iii.3“, v revizovaném logiku prvního řádu, Vincent F. Hendricks a kol. (eds.), Berlin: Logos Verlag, str. 129–153.
Korselt, Alwin, 1903, „Über die Grundlagen der Geometrie“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 12: 402–407. Anglický překlad od EH. W. Kluge in Frege 1971. [Korselt 1903 k dispozici online (německy)]
Mancosu, Paolo, Richard Zach a Calixto Badesa, 2009, „Vývoj matematické logiky z Russella do Tarski, 1900–1935“v The Modern Modern Logic, Leila Haaparanta (ed.), New York: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780195137316,003,0029
Nagel, Ernest, 1939, „Formování moderních koncepcí formální logiky ve vývoji geometrie“, Osiris, 7: 142–224. doi: 10,1086 / 368504
Resnik, Michael David, 1974, „Frege-Hilbertova diskuse“, filosofie a fenomenologický výzkum, 34 (3): 386–403. doi: 10,2307 / 2107085
Ricketts, Thomas, 1997, „Frege's Forward Into Metalogic z roku 1906“, Philosophical Topics, 25 (2): 169–188. doi: 10,5840 / philtopics199725214
Shapiro, Stewart, 2005, „Kategorie, struktury a Frege-Hilbertova diskuse: Stav meta-matematiky“, Philosophia Mathematica, 13 (1): 61–77. doi: 10,1093 / philmat / nki007
Tappenden, Jamie, 2000, „Osvobození axiomů, nepřímých důkazů a argumentů nezávislosti v geometrii: Odmítl Frege argumenty nezávislosti?“Notre Dame Journal of Formal Logic, 41 (3): 271–315. doi: 10,1305 / ndjfl / 1038336845
Wehmeier, Kai F., 1997, „Aspekte der Frege-Hilbert-Korrespondenz“, Historie a filozofie logiky, 18 (4): 201–209. doi: 10,1080 / 01445349708837289

Akademické nástroje

ikona sep muž	Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.