Propoziční Funkce

Obsah:

Propoziční Funkce
Propoziční Funkce
Anonim

Vstupní navigace

  • Obsah příspěvku
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Náhled PDF přátel
  • Informace o autorovi a citaci
  • Zpět na začátek

Propoziční funkce

První publikované St 20. července 2011

Jak název napovídá, výrokové funkce jsou funkce, které mají výroky jako své hodnoty. Propoziční funkce hrály důležitou roli v moderní logice, od jejich počátků ve Fregeově teorii konceptů a jejich analýz v Russellových dílech, až po jejich vzhled ve velmi obecné podobě v současné teorii typů a kategoriální gramatice.

V tomto článku uvádím historický přehled využití výrokových funkcí v logické teorii a pohledů na jejich povahu a ontologický stav.

  • 1. Pre-History
  • 2. Logika příbuzných
  • 3. Propoziční funkce a zrození matematické logiky
  • 4. Fregeanské funkce a koncepty
  • 5. Vznik prozatímních funkcí
  • 6. Propoziční funkce v jednoduché teorii typů
  • 7. Propoziční funkce v teorii s řízeným typem
  • 8. Co je prozatímní funkce v Russellu?
  • 9. Možné světy a prozatímní funkce
  • 10. Montague sémantika
  • 11. Kategorická gramatika
  • 12. Závěr
  • Bibliografie

    • Důležitá díla, v nichž klíčové role hrají prozatímní funkce
    • Učebnice, ve kterých se prominentní funkce objevují
    • Další primární zdroje:
    • Ostatní práce citovány
  • Akademické nástroje
  • Další internetové zdroje
  • Související záznamy

1. Pre-History

Než začneme s diskusí o výrokových funkcích, bude užitečné si uvědomit, co přišlo před jejich zavedením. V tradiční logice je role výrokových funkcí přibližně zastávána termíny. V tradiční logice se s výroky jako „psi jsou savci“zachází jako s postulováním vztahu mezi výrazy „psi“a „savci“.

Termín je považován buď prodlouženě za třídu objektů, nebo intenzivně za sadu vlastností. „Záměr“pojmu „pes“zahrnuje všechny vlastnosti, které jsou obsaženy v úmyslu „savce“. Intenzivní zacházení se „psy jsou savci“interpretuje tuto větu jako pravdivou, protože sémantická interpretace subjektu je nadmnožinou interpretace predikátu. Při prodlouženém zacházení s větou je však věta pravdivá, protože interpretace subjektu (třída psů) je podmnožinou interpretace predikátu (souboru savců).

Tato dvě zpracování predikátu jsou typická pro dvě tradice v tradiční logice - intenční a extenzivní tradice. Logici, kteří se mohou mezi intenzivní logiky počítat, jsou Gottfried Leibniz, Johann Lambert, William Hamilton, Stanley Jevons a Hugh MacColl. Mezi rozšiřující logisty patří George Boole, Augustus De Morgan, Charles Peirce a John Venn.

Zacházení s výrazy ve vlastnostech intenzivní logické tradice některých vět může být pro moderní čtenáře zvláštní. Intenzita predikátu ve filozofii 20. století zahrnuje pouze ty vlastnosti, které by s tímto predikátem spojil každý kompetentní mluvčí jazyka. Tyto vlastnosti nejsou dostačující k tomu, aby činily pravdivé obyčejné výroky jako „každý pes v mém domě spí“. Můžeme však pochopit intenzivní pohled na termíny tím, že vezmeme v úvahu jeho původ. Jedním ze zakladatelů intenzivní logické tradice je Leibniz, který si myslí, že všechny pravdy jsou založeny na povaze jednotlivců. Kompletní pojetí jednotlivce obsahuje vše, co z něj platí. V návaznosti na to můžeme vidět, že úplný koncept termínu bude zahrnovat dost, aby zakotvila i jakákoli pravda o něm.

V intenční i extenzivní logické tradici vidíme teorie složitých pojmů. V rozšířené tradici se disjunktivní a konjunktivní termíny interpretují spojením a průnikem tříd. Spojovací výraz AB je interpretován jako průnik třídy A a třídy B a prodloužení disjunktivního termínu A + B se chápe jako spojení prodloužení A a B.

V intenzivní tradici platí opak. Termín AB je interpretován jako spojení vlastností v záměru A a záměr B a A + B je interpretován jako průnik vlastností v A a B. Toto obrácení má smysl, protože více věcí vyhovuje menšímu počtu vlastností a méně věcí vyhovuje většímu počtu vlastností.

Ačkoli někteří z logiků pracujících v termínu logika mají velmi komplikovaná řešení negace, můžeme vidět původ moderní koncepce také v extenzivní tradici. V Booleovi a většině jeho následovníků se negace termínu chápe jako soubor teoretických doplňků třídy reprezentované tímto termínem. Z tohoto důvodu se negace klasické výrokové logiky často nazývá „booleovská negace“.

2. Logika příbuzných

V 'Logic of Relatives' Charlese Peirce (1883) vidíme posun směrem k chápání pojmů jako funkcí. Jedním z problémů tradiční logiky je to, že postrádá schopnost vypořádat se s vztahy. Peirceova logika příbuzných to má napravit. Přidává výrazy do booleovské algebry, které reprezentují vztahy, a poskytuje jejich extenzivní interpretaci. Nejedná se o výrokové funkce v plném smyslu. Peirceovi příbuzní jsou „běžná jména“, která představují třídy párů objektů (1883, 328). Logika příbuzných tedy představuje zobecnění tradiční logiky spíše než odklon od ní.

Peirce rozšiřuje algebru výrazů, aby se vypořádala s konkrétními rysy vztahů. Stejně jako jiné termíny, můžeme mít konjunktivní, disjunktivní a negativní termíny. Pokud f a g jsou příbuzní, pak fg představuje třídu párů (I, J) tak, že nese f i g j. Podobně disjunktivní příbuzný f + g je takový, že reprezentuje (I, J), pokud nese buď f nebo g k J a f '- negace termínu f - představuje třídu párů (I, J) že f mezi nimi nedrží. Peirce má také operátora kompozice;, takové, že f; g jména (I, J), pokud existuje nějaká entita K taková, že f jména (I, K) ag jména (K, J).

V „kritice argumentů“(1892) Peirce přijímá pojem, který je ještě blíže pojmu výrokové funkce. Tam rozvíjí koncept „rhema“. Říká, že réma je jako relativní termín, ale není to termín. Obsahuje kopulu, to znamená, že při spojení se správným počtem argumentů vytváří tvrzení. Například „_ koupí _ od _ pro _“je čtyřmístná rhema. Jeho použití na čtyři objekty a, b, cad vytváří tvrzení, že a je koupeno b od c pro d (tamtéž 420).

Jeden obzvláště zajímavý bod o Peirceově rhémě je, že používá stejnou chemickou analogii jako Frege, když diskutuje o vztahu mezi vztahy a jejich argumenty. Oba porovnávají vztahy (a vlastnosti) s „atomy nebo radikály s nenasycenými vazbami“. Co přesně tato analogie říká o vztazích nebo vlastnostech, buď ve Frege nebo Peirce, je poněkud nejasná.

Podívejte se na záznam o Peirceově logice, kde je úplnější výklad jeho práce.

3. Propoziční funkce a zrození matematické logiky

V díle Giuseppe Peana (1858–1932) najdeme další důležitý krok k modernímu pojetí výrokové funkce. Ačkoli jeho práce není tak sofistikovaná jako Fregeova (viz níže), je důležitá, protože má vliv zejména na Bertranda Russella.

Ve svých „Zásadách aritmetiky prezentovaných novou metodou“(1889), Peano zavádí výrokové spojky v moderním smyslu (implikace, negace, spojení, disjunkce a dvousměrná) a výrokové konstanty (verum a falsum).

Důležitější pro nás je jeho zpracování kvantifikace. Peano umožňuje, aby návrhy obsahovaly proměnné, to znamená, že používá otevřené vzorce. Nedává výklad otevřených vzorců. Neříká nám, co představují. Jsou však použity v jeho teorii kvantifikace. Peano má pouze univerzální kvantifikátor. Nedefinuje existenciální kvantifikátor v „principech“. Kvantifikátor je vždy připojen k podmíněnému nebo dvousměrnému. Kvantifikované návrhy mají vždy podobu

A ⊃ x, y,… B

nebo

A = x, y,… B

Peano čte 'A ⊃ x, y, … B', když říká, že „cokoli x, y,… může být, z výroku A, jeden odvodí B 'a' = 'je Peanovo dvoustranné, které obvyklým způsobem definuje z podmíněného a spojení. Ale neposkytuje nám nic víc než to. Hovorí o proměnných jako o „neurčitých objektech“, ale nehovoří o tom, co by to mohlo být a jaké by mohlo být tvrzení (nebo výrokové funkce) obsahující výrokové objekty.

4. Fregeanské funkce a koncepty

Ve Frege máme celkem obecný výklad vět jako vyjádření funkcí vztahujících se k argumentům. Názor, který zde zkoumám, je ten, který rozvíjí v 90. letech 20. století.

Zvažte větu

Můj pes spí na podlaze.

Tato věta, stejně jako všechny jazykové výrazy, má smysl i referent. Jeho smysl je abstraktní objekt - myšlenka. Jeho referent je jeho pravdivostní hodnota (což je v tuto chvíli pravda). Brzy probereme Fregeovu analýzu myšlenky, ale teď se podívejme na odkazy výrazů, které tuto větu tvoří.

Výraz „můj pes“je podle Fregeho jedinečným termínem. Vybere předmět (můj pes, Zermela). Výraz „spí na podlaze“označuje pojem. Koncepty jsou funkce. V tomto případě je koncept funkcí od objektů k hodnotám pravdy (což jsou také objekty). Můžeme tedy zacházet s výše uvedenou větou jako s představou konceptu _ spí na podlaze jako při aplikaci na předmět můj pes.

Fregeovy koncepty jsou v moderním slova smyslu téměř výrokové funkce. Frege je explicitně rozpoznává jako funkce. Stejně jako Peirceova rhema je koncept nenasycený. Jsou v jistém smyslu neúplné. Přestože Frege ve svém popisu neúplnosti konceptů a dalších funkcí nikdy nepřekračuje metaforiku, jedna věc je jasná: rozdíl mezi objekty a funkcemi je hlavním dělením jeho metafyziky. Existuje něco zvláštního o funkcích, které je velmi liší od objektů.

Uvažujme znovu, „můj pes spí na podlaze“. Frege si myslí, že tuto větu lze analyzovat různými způsoby. Místo toho, abychom to považovali za vyjádření aplikace _, spí na podlaze mému psovi, můžeme to považovat za vyjádření aplikace konceptu

můj pes spí na _

k objektu

podlaha

(viz Frege 1919). Frege uznává, co je dnes v logické analýze přirozeného jazyka běžné. K jedné větě můžeme přiřadit více než jednu logickou formu. Říkejme tomu princip vícenásobných analýz. Frege netvrdí, že princip vždy platí, ale jak uvidíme, teorie moderních typů to tvrdí.

Pokud jde o smysl vět, jsou také výsledkem aplikace funkcí na objekty. Smysl 'mého psa' je abstraktní objekt. Smysl „spí na podlaze“je funkce od jednotlivých smyslů, jako je „můj pes“, po myšlenky (viz Frege 1891). Smysl „spí na podlaze“je koncepční. Zdá se, že princip vícenásobných analýz platí pro smysly stejně jako pro referenty. Frege však někdy hovoří, jako by smysly jednotlivých výrazů věty byly nějakým způsobem obsaženy v myšlence. Je obtížné pochopit, jak by všechny tyto smysly mohly být v myšlence, pokud existují různé způsoby, jak lze větu rozebrat na základní výrazy.

Kromě konceptů a koncepčních smyslů si Frege myslí, že existují i rozšíření konceptů. Frege nazývá rozšíření pojmu „průběh hodnot“. Průběh hodnot je určen hodnotou, kterou má koncept pro každý ze svých argumentů. Průběh hodnot pro koncept _ tedy pes zaznamenává, že jeho hodnota pro argument Zermela je True a pro Sokrates je False, a tak dále. Pokud mají dva koncepty stejné hodnoty pro každý argument, pak jsou jejich průběhy hodnot stejné. Průběhy hodnot jsou tedy extenzivní.

Pro více o Fregeově teorii pojmů a jeho vztahu k jeho logice, vidět záznam na Fregeově teorému a základy aritmetiky.

5. Vznik prozatímních funkcí

Termín „výroková funkce“se poprvé objevuje v tisku v Bertrand Russellově Principy matematiky (1903). Russell představí pojem prostřednictvím diskuse o různých tvrzeních. Vezměme si návrhy typu, který říká o něčem, co je to pes. Toto je druh 'x je pes'. Tento druh je výroková funkce, která vezme jakýkoli předmět o tvrzení, že o je pes.

V tomto období Russell tvrdí, že návrhy jsou entity, které mají jednotlivce a vlastnosti a vztahy jako složky. Tvrzení, že Socrates je člověk, má Sokrates a vlastnost být člověkem jako voliči. Ve složitých propozicích je vztah mezi výrokovou funkcí a výrokem méně jasný. Stejně jako Frege, Russell umožňuje abstrakci výrokové funkce z jakéhokoli opomenutí entity z výroku. Můžeme tedy zobrazit nabídku

pokud Sokrates pije hemlock, zemře

jako představující aplikaci funkce

x nápoje hemlock ⊃ x zemře

k Sokratovi nebo funkci

Socrates bude pít x ⊃ Socrates zemře

na hemlock atd. Jinými slovy Russell přijímá princip vícenásobných analýz.

V principech je kvantifikátor „vše“analyzován jako součást odkazujících frází, které vybírají třídy (1903, 72). To můžeme vidět, je hold-over z 19 -tého století protahování logiky (viz bod 1). Ale v poněkud pozdnějších pracích, takový jak 'On denoting' (1905), propoziční funkce jsou řekl, aby byl součásti univerzálních propozic. Podle této analýzy je výrok vyjádřený větami, jako je „Kůra všech psů“, tvořen výrokovou funkcí x je pes ⊃ x kůra a funkce (výrokových funkcí), která je reprezentována kvantifikační větou „vše“. Kvantifikované výroky jsou pro nás zajímavé, protože obsahují výrokové funkce jako složky.

Není jasné, zda Russell tvrdí, že výrokové funkce se vyskytují také jako součásti singulárních výroků, jako kdyby Socrates pije hemlock, který zemře. Tyto výroky obsahují vlastnosti, jako jsou zemře, a vztahy, jako nápoje, ale je sporné, zda Russell si myslí, že se jedná o výrokové funkce (viz Linsky 1999 a Landini 1998).

6. Propoziční funkce v jednoduché teorii typů

Při psaní Základy matematiky objevil Russell paradox, který nyní nese jeho jméno. Než se dostaneme k Russellově paradoxu, pojďme diskutovat o nějaké metodě diagonalizace, pomocí které se vytváří tento a mnoho dalších paradoxů.

Sada napájení sady S, ℘ S obsahuje všechny podmnožiny S. Georg Cantor (1845–1918) použil metodu diagonalizace, aby ukázal, že pro jakoukoli množinu S je ℘ S větší než S.

Tady je Cantorův důkaz. Předpokládejme, že ℘ S a S mají stejnou velikost. Potom, podle nastavených-teoretická definice „stejné velikosti“(více správně, ‚stejná mohutnost‘) je one-to-one surjection mezi S a ℘ S. To znamená, že existuje funkce, která spojuje každého člena S s jedinečným členem ℘S, takže nezůstanou žádné členy ℘S. Tuto funkci nazýváme f. Pak, pokud x je člen S, f (x) je v ℘ S. Nyní, protože ℘ S je sada energie S, může to být tak, že x je v f (x) nebo nemusí být v f (x). Definujme nyní soubor C:

C = {x ∈ S: x ∉ f (x)}

Je zřejmé, že C je podmnožinou S, takže je v ℘S. Hypotézou, f je na - pro každý člen y ze ℘ S je x ∈ S takové, že f (x) = y. Musí tedy existovat nějaké takové věci

f (c) = C

Teď taky

c ∈ C

nebo

c ∉ C.

Předpokládejme, že c je v C. Poté, podle definice C, c není vf (c). To znamená, c ∉ C. Ale pokud c není v C, pak c ∉ f (c). Takže podle definice C je c v C. Tím pádem,

c je v C, a pouze pokud c není v C.

Předpoklad, že množina je stejná jako její moc, tedy vede k paradoxu, a proto musí být tento předpoklad nepravdivý.

Cantorova věta má důležité důsledky pro teorii výrokových funkcí. Zvažte model logického jazyka (prvního řádu), který má doménu D. Proměnné jazyka se pohybují nad členy D. Nyní přidáme prediktivní proměnné do jazyka. Tito kandidují na výrokové funkce. Jak je interpretujeme v modelu? Standardní způsob, jak toho dosáhnout, který je zděděn z tradice rozšířené logiky, je mít rozsah predikátových proměnných přes podmnožiny domény. Model, ve kterém se predikátové proměnné pohybují ve všech podskupinách domény, se nazývá „standardní model“pro logiku druhého řádu. Cantorova věta nám říká, že doména pro predikátové proměnné ve standardním modelu je větší než doména pro jednotlivé proměnné. Pokud máme predikáty predikátů,pak je doména pro predikáty třetího řádu ještě větší. A tak dále.

Russellův paradox velmi úzce souvisí s Cantorovou větou. Existují dvě verze paradoxu: (1) třída verze; (2) výroková funkční verze. Diskutuji pouze o výrokové funkční verzi paradoxu.

Ve svých raných spisech chce Russell být univerzální vědou. Mělo by nám to umožnit mluvit o vlastnostech všeho. To znamená, že proměnné v logice by se měly brát tak, aby se pohybovaly ve všech entitách. Ale výrokové funkce, přinejmenším v principech, jsou entity. Proměnné by tedy měly přesahovat. Nyní považuj predikát R za takový,

(∀ x) (Rx = ¬ xx)

(Russellův predikát R je velmi podobný Cantorově sadě C.) Pokud budeme instanciovat a nahrazovat R x, dostaneme

RR ≡ ¬ RR

Zdá se tedy, že zacházení s proměnnými jako zcela obecnými a svoboda definovat výrokové funkce pomocí jakéhokoli dobře formovaného vzorce nám umožňuje vyvozovat rozpor.

Russell blokuje rozpor v principech zavedením teorie typů. Jde o jednoduchou teorii typů, která pouze rozlišuje mezi typy různých výrokových funkcí (nebo, ve své třídní podobě, tříd). Odchylme se od Russellova výkladu teorie typů, abychom poskytli přísnější a modernější verzi teorie. To usnadní mé prezentace rozvětvené teorie typů a modernějších verzí teorie typů.

Použijeme jeden základní typ, i (typ jednotlivců) a typy definujeme následovně:

  1. i je typ;
  2. jestliže t 1,…, t n jsou typy, pak je to také <t 1,…, t n >, kde n ≥ 0.
  3. Nic jiného není typ s výjimkou opakovaných aplikací (1) a (2).

Typ <t 1,…, t n > je typ vztahu mezi entitami typu t 1,…, t n. Pro jednoduchost to však budeme interpretovat jako typ funkce, která tyto entity dovede k výroku. (Všimněte si, že když n = 0, pak prázdný typ, je typem propozic.) Tato definice zahrnuje myšlenku opodstatněné struktury. Nejsou zde žádné cykly. Nemůžeme mít funkci, která bere jako argument funkci stejného nebo vyššího typu. Teorie jednoduchého typu tak zakazuje druh sebepoužívání, který vede k Russellově paradoxu.

Hierarchie typů úhledně odpovídá hierarchii domén, které jsme viděli v naší diskusi Cantorovy věty. Unární predikát má typ <i>; jeho doménou je D - sada jednotlivců. Unární predikát predikátů má typ << i >>, což odpovídá doméně podmnožin D. A tak dále.

Více viz příspěvek o Russellově paradoxu.

7. Propoziční funkce v teorii s řízeným typem

Po principech se však Russell domnívá, že jednoduchá teorie typů je nedostatečná. Důvod je spojen s lhářským paradoxem. Předpokládejme, že 'L' je název pro nabídku:

L je nepravdivý.

Toto tvrzení je nepravdivé, pouze pokud je pravdivé. Tento problém má co do činění s vlastním odkazem, nelze jej však vyhnout pouze jednoduchou teorií typů. U jednoduchých typů nám dejte pouze hierarchii typů výrokových funkcí. V jednoduché teorii typů mají všechny návrhy stejný typ.

Myšlenka teorie rozvětveného typu je také představit hierarchii propozic. Z tohoto pohledu mají výroky a výrokové funkce pořádek. Pokud je výroková funkce aplikována na návrh konkrétního řádu, pak dává návrh vyššího řádu. A každá funkce musí mít vyšší řád než její argumenty. Vyhýbáme se tak lhářskému paradoxu tím, že v sobě zakážeme výrok. Pokud se výrok p vyskytne v jiném výroku, protože argument funkce, jako je x, je nepravdivý, je výsledný výrok vyššího řádu než p.

Russell bohužel nikdy nedá přesnou formulaci teorie rozvětvených typů. Snad nejlepší formulace je díky Alonzo Church (1976). [1]

Téměř ve stejnou dobu, kdy přijme rozvětvenou teorii typů, Russell opouští návrhy. Od roku 1908 do roku 1918, i když Russell zachovává myšlenku, že existují skutečné návrhy, popírá, že existují nepravdivé. Když přemýšlíme o něčem, co je falešné, řekněme: Zermela je kočka, nemyslíme na falešný výrok, ale spíše objekty naší myšlenky jsou jen Zermela a vlastnost být kočkou. Může se zdát zvláštní, že existuje hierarchie speciálně navržená pro rozvrstvení propozic a poté tvrdí, že neexistují žádné propozice. Někteří tlumočníci však tvrdili, že Russelllovo popření existence výroků by nemělo být bráno vážně a že existují velmi dobré důvody, proč číst Principii jako převážně teorii výroků (viz Church 1984).

Jedním z důvodů, proč brát rozvětvenou teorii typů vážně (i bez přijetí návrhů), je to, že může být užitečně začleněna do substituční teorie kvantifikace. Pokud jde o substituční interpretaci kvantifikátorů, je univerzálně kvantifikovaný vzorec, jako je (∀ x) Fx pravdivý, pouze pokud jsou všechny jeho instance Fa 1, Fa 2, Fa 3,… pravdivé. Podobně (∀ x) Fa je pravdivý tehdy a pouze tehdy, je-li pravda alespoň jedna z jeho instancí.

Zvažte substituční interpretaci kvantifikátorů s proměnnými v rozsahu predikátů, jako ve vzorci ((P) Pa. Tento vzorec je pravdivý pouze tehdy, pokud jsou všechny jeho instance pravdivé. Na jednoduché teorii typů je typ proměnné P <i>, protože její argumenty jsou všichni jednotlivci (nebo singulární výrazy). Ale jednoduchý typ funkce (∀ P) Px je také. Příkladem (∀ P) Pa je tedy (∀ P) Pa sám. Substituční interpretace kvantifikátorů vyžaduje, aby instance byly jednodušší než vzorce, jejichž jsou příklady. V tomto případě zjistíme pouze to, že konkrétní vzorec je pravdivý, pouze pokud je pravdivý. To je neinformativní a zdá se to začarovaně kruhové.

Chcete-li blokovat tento druh kruhovitosti, můžeme se obrátit k rozvětvené teorii typů. Na rozvětvené teorii je výroková funkce (∀ P) Px řádu 2, protože přítomnost kvantifikátoru vázajícího proměnnou řádu 1. Takto rozvětvená teorie nutí vzorce, aby byly jednodušší (alespoň pokud jde o pořadí), než vzorce, jejichž jsou případy (viz Hazen a Davoren 2000).

8. Co je prozatímní funkce v Russellu?

Po roce 1905 vidíme v Russellu parsimoniální sklon. Chce vyloučit entity ze své ontologie. Nějaký čas mezi 1908 a 1910 on začne popírat existenci výroků a toto popření pokračuje, než on vyvine teorii výroků jako struktury obrazů nebo slov v (1918). Jaký je tedy osud výrokových funkcí? Může se zdát obtížné pochopit, co je výroková funkce, bez existence výroků, ale Russellův pohled není tak komplikovaný. Russell pouze odmítá falešné výroky. Ve své ontologii si zachovává fakta. V Principii jsou prozatímní funkce tím, čemu se nyní říká „dílčí funkce“. To znamená, že nemají vždy hodnoty. Například výroková funkce _ je pes nemá pro argument Sydney Opera House hodnotu,ale má hodnotu, když je můj pes považován za svůj argument. Takže odmítnutí falešných výroků nezpůsobuje vážný problém teorii výrokových funkcí v Russellu.

Po vyřešení tohoto problému se podívejme, co si Whitehead a Russell myslí o povaze výrokových funkcí. V Principii říkají:

Pod pojmem „výroková funkce“se rozumí něco, co obsahuje proměnnou x, a vyjadřuje výrok, jakmile je x přiřazena hodnota. To znamená, že se liší od návrhu pouze tím, že je nejednoznačné: obsahuje proměnnou, jejíž hodnota není přiřazena. (1910, 38).

V této pasáži se zdá, jako by říkali, že výroková funkce je nejednoznačným výrokem. S ohledem na odmítnutí výroků je tento názor obzvláště těžko pochopitelný. Urquhart (2003) říká, že pro Whitehead a Russell je výroková funkce něco jako vzorec. To se zdá správné, protože výrokové funkce obsahují proměnné.

Ale co přesně jsou výrokové funkce v Principii? Toto je věc vzrušené debaty mezi vědci Russell. Snad nejvlivnější interpretací je konstruktivní interpretace, způsobená Kurtem Gödelem (1944). V této interpretaci jsou výrokové funkce nějakým způsobem lidské konstrukce. Závisí na naší schopnosti myslet na ně nebo na ně odkazovat. Verze konstruktivní interpretace lze nalézt také v Linském (1999). Tam je také více nominální výklad v Landini (1998). Na realistické stránce jsou interpretace Alonzo Church (1984) a Warren Goldfarb (1989). Goldfarb si myslí, že logická teorie Principia je motivována Russellovým pokusem najít skutečnou povahu výrokových funkcí a že tato povaha je nezávislá na našem přemýšlení. Goldfarb má dobré místo,protože Russellova logika má být nápadným vyobrazením toho, jak věci fungují. Zdá se však, že Russell často popírá, že výrokové funkce jsou skutečné entity.

9. Možné světy a prozatímní funkce

Skočte o několik desetiletí dopředu, přidáním možných světů spolu s teorií množin do nástrojů logistiků jim poskytl velmi silný a flexibilní rámec pro provádění sémantiky.

Nejprve si připomeňme moderní pojem funkce. Funkce je sada objednaných párů. Pokud je <a, b> ve funkci f, znamená to, že hodnota f pro argument a je b nebo, přesněji, f (a) = b. Matematickou definicí funkce je pro každý argument funkce jedna a pouze jedna hodnota. Pokud je tedy uspořádaný pár <a, b> ve funkci f a je tedy <a, c>, pak b je totéž jako c.

Konstrukce výrokových funkcí začíná možnými světy a předpokladem, že existují množiny. Nazvěme soubor možných světů W. Návrh je soubor možných světů. Tvrzení, že například Zermela štěká, jsou všechny sady světů, ve kterých Zermela štěká. Musíme také předpokládat, že existuje soubor I možných jedinců (tj. Jednotlivců, kteří existují alespoň v jednom možném světě). Nyní máme všechny materiály pro konstrukci jednoduché typově teoretické hierarchie funkcí.

Obvyklé zacházení s významem predikátů se mírně liší od způsobu, který jsem zde popsal. Obvykle je intenzita predikátu považována za funkci od možných světů po sady jednotlivců (nebo sady uspořádaných párů jednotlivců pro binární vztahy, uspořádané trojice pro vztahy na třech místech atd.). Přesně řečeno, tyto funkce nejsou výrokové funkce, protože nepřijímají výroky jako hodnoty. Ale pro každou takovou funkci můžeme konstruovat 'ekvivalentní' výrokové funkce pomocí procesu zvaného 'Currying' po logikovi Haskell Curry. Začněme funkcí f ze světů do skupin jednotlivců. Potom můžeme zkonstruovat odpovídající výrokovou funkci g následovně. Pro každý svět w a jednotlivce i konstruujeme g tak

w je vg (i) pouze tehdy, když i je v f (w).

Takže standardnější zpracování významů predikátů je skutečně ekvivalentní použití výrokových funkcí.

10. Montague sémantika

Nyní, když máme celou hierarchii výrokových funkcí, měli bychom pro ně najít nějakou práci. Jednou z teorií, ve kterých výrokové funkce vykonávají dobrou práci, je sémantika Montague vyvinutá koncem 60. let Richardem Montague.

Abychom pochopili Montagueovu metodu, musíme pochopit lambda abstrakci. Pro vzorec A (x) čteme výraz λ x [A (x)] jako predikátový výraz. Rozšíření (v daném možném světě) je soubor věcí, které splňují vzorec A (x). Lambda abstractors se řídí dvěma pravidly známými jako a-konverze a β-redukce:

(a-con) A (a) (vzorec s volným pro x) lze nahradit λ x [A (x)] a.

(β-červená) λ x [A (x)] a může být nahrazena A (a) (kde x je zdarma pro v A (x)).

Vzhledem k ekvivalenci mezi vzorcem A (x) a λ x [A (x)] a, by se mohlo divit, proč přidat lambda abstractors do našeho jazyka. V Montague sémantice, odpověď má co do činění s velmi přímým způsobem, že převádí výrazy přirozených jazyků do svého logického jazyka. Budeme o tom diskutovat brzy, ale nejprve se naučíme něco o Montagueově intenzivní logice.

Montague přidá do svého jazyka další dva notové zápisy: a . Výraz λ x [Fx] představuje funkci od světů po množiny jednotlivců. Vzhledem k možnému světu w představuje λ x [Fx] funkci, která bere w k prodloužení λ x [Fx]. Operátor bere výrazy λ x [Fx] 'down' na své rozšíření ve světě, ve kterém je výraz vyhodnocen. Například prodloužení λ x [Fx] ve w je stejné jako rozšíření λ x [Fx] ve w.

Co je tak zvláštního na sémantice Montague je, že může být použit velmi přímým způsobem jako sémantika pro velké fragmenty přirozených jazyků. Zvažte následující větu:

Zermela štěká.

Význam této věty je v Montague sémantice chápán jako struktura významů jejích základních výrazů. Montague představuje významy výrazů pomocí překladatelských pravidel. Zde používáme následující pravidla překladu:

Zermela se překládá na λ P [( P) z]

štěká se převádí na B

Nyní můžeme vytvořit vzorec, který dává význam „Zermelským štěkáním“:

A P [( P) z] B

Všimněte si, že při sestavování věty umisťujeme výrazy ve stejném pořadí, v jakém se vyskytují v angličtině. Použití lambda abstraktů nám umožňuje obrátit pořadí dvou výrazů od způsobu, jakým by se objevily v obyčejných výrokech formálního logického jazyka (který nemá lambdy). Nyní můžeme použít β-redukci k získání:

(∨∧ B) z

A nyní použijeme Montagueovo pravidlo k eliminaci ∨∧:

B z

V tomto procesu začínáme výrazem, který má stejné pořadí výrazů jako původní anglická věta, a poté jej redukujeme na velmi standardní vzorec logiky. To nám říká, že pravdivou podmínkou věty „Zermela barks“je množina světů, což je výrok vyjádřený Bz. Samozřejmě jsme to věděli nezávisle na Montagueině práci, ale jde o to, že Montagueova redukce nám ukazuje, jak můžeme spojit povrchovou gramatiku anglických vět s formulací našeho logického jazyka. Vzorec standardní logiky navíc zobrazuje velmi pravdivě své pravdivé podmínky. Redukce z Montague nám tedy ukazuje souvislost mezi větami přirozených jazyků a jejich podmínkami pravdy.

11. Kategorická gramatika

Kategorické gramatiky byly poprvé postaveny ve 30. letech Kazamirem Ajdukiewiczem (1890–1963) a byly vyvinuty Yehoshua Barem Hillelem (1915–1975) a Joachimem Lambekem (1922–19) v 50. a 60. letech 20. století. Kategorické gramatiky jsou logické nástroje pro reprezentaci syntaxe jazyků.

V kategoriální gramatice je syntaxe jazyků reprezentována pomocí jiného druhu zobecnění funkčního zápisu než v Montague sémantice. V Montague sémantice se lambda abstraktor používá k přesunu významu výrazu na místo, kde výraz zabírá věta. V kategoriální gramatice jsou predikáty a mnoho dalších druhů výrazů považovány za funkce druhů. V kategoriální gramatice je však rozdíl mezi dvěma druhy použití funkce na její argumenty.

Uvidíme, jak to funguje. Začněme s primitivními typy CN (společné podstatné jméno) a NP (podstatné jméno věty). Neurčitý článek 'a' vezme obyčejné podstatné jméno (napravo) a vrátí NP. Má tedy typ NP / CN. Společné jméno „pes“má samozřejmě typ CN. Píšeme 'A má typ T' jako 'A ⊢ T'. Takže máme,

a ⊢ NP / CN

a

pes ⊢ CN

Abychom mohli tyto dvě sekvence spojit dohromady, můžeme použít formu pravidla modus ponens, která říká, že ze sekvence X ⊢ A / B a sekvence Y ⊢ B můžeme odvodit sekvenci X. Y ⊢ A. Toto pravidlo můžeme použít k odvození:

a. pes ⊢ NP

Navíc, intransitive sloveso má typ NP / S, kde S je typ věty. Zpětné lomítko v NP / S znamená, že výraz vezme argument typu NP na levé straně a vrátí výraz typu S. Sloveso 'bark' je intransitive, to znamená,

štěká ⊢ NP / S

Verze modus ponens, kterou používáme se zpětným lomítkem, se mírně liší. Říká nám, že z X ⊢ A / B a Y ⊢ A můžeme odvodit Y. X ⊢ B. Takže nyní můžeme získat,

(a. pes). štěká ⊢ S

Toto říká, že „štěká pes“je věta.

Logika použitá pro popis gramatik tímto způsobem je substrukturální logika.

Zajímavé pro nás je to, že v kategorických gramatikách jsou determinanty, jako jsou „a“a slovesa, považovány za funkce, ale mohou se od sebe navzájem lišit, pokud jde o to, zda hádají o své pravici nebo o své levici. V množině teoretických konceptů funkce jako množiny uspořádaných párů se na funkce uvažuje jen z hlediska jejich korelačních argumentů s hodnotami. Funkce, jak je chápána v kategoriální gramatice, má více struktury než tato. Toto je zajímavé zobecnění pojmu funkce, jak je používáno v logice. Vidíme, že má také důležité vazby na koncept výrokové funkce, zejména když se používá v Montague sémantice.

V kategoriální gramatice můžeme k jednomu výrazu v jazyce přiřadit více než jeden typ. Říkejme tomu princip více typů. Zde je příklad kvůli Markovi Steadmanovi. Zvažte větu

Nelíbí se mi a Mary si užívá muzikálů.

Transitivní slovesa „nelíbí“a „užívají si“mají typ (NP / S) / NP, to znamená, že na své pravici mají frázi substantiva a vrátí slovesnou frázi. Ale v případě „Nelíbí se mi a Marie si užívá muzikálů“jsou slovesa oddělena od jejich předmětu a spojena s jejich objekty. Steadman se tím zabývá zvýšením typu předmětů „I“a „Mary“. Obvykle s těmito slovy zacházíme jako s typem NP, ale zde mají typ S / (NP / S). Toto je typ výrazu, který vezme slovesnou frázi napravo a vrací větu. Steadman poté použije pravidlo, které způsobí, že zpětné lomítko je přechodné a odvozuje, že „I.dislike“má typ S / NP, který na jeho pravé straně vezme substantivní frázi (například „muzikály“) a vrací větu.

Vidíme, že princip více typů platí i při analýze vět jiných teorií typů, jako je jednoduchá teorie typů. Pro zvážení věty

Marie jí hamburger.

Při interpretaci této věty můžeme vzít „Mary“za typ i, ale můžeme ji také považovat za typ <>, tj. Typ výrokové funkce o výrokových funkcích jednotlivců. Můžeme také zvýšit typ „jí hamburger“na << >>, výrokovou funkci o výrokových funkcích o výrokových funkcích jednotlivců. A tak dále. Princip vícenásobných typů a princip vícenásobných analýz společně ukazují, že jeden výraz nebo věta lze interpretovat jako mající velmi velké množství logických forem.

12. Závěr

Tato krátká historie výrokových funkcí ukazuje, že jsou užitečnými entitami a že hrály ústřední roli v logice, protože se používají ve filozofii a lingvistice. Vynechal jsem více matematické využití výrokových funkcí, například v Russellových a Ramseyových konstrukcích tříd a v úpravách obecných modelů pro logiku vyššího řádu. Téma výrokových funkcí je však velké a my to nemůžeme pokrýt jediným článkem v encyklopedii.

Bibliografie

Důležitá díla, v nichž klíčové role hrají prozatímní funkce

  • Church, Alonzo, blížící se, Logika smyslů a denotace Alonzo Church, Cambridge: Cambridge University Press. (Toto jsou církevní papíry, ve kterých rozvíjí intenzivní logiku. V této logice hraje hierarchie výrokových funkcí důležitou roli při řešení paradoxů týkajících se výrokových postojových zpráv - tj. Výroků o tom, co lidé věří, myslí, popírají atd.)
  • Cresswell, MJ, 1973, Logics and Languages, London: Methuen. (Toto představuje jednodušší bratranec Montague sémantiky. Pohled je používán jako sémantika pro výrokové zprávy o postoji v M. Cresswell, Structured Meanings, Cambridge, MA: MIT Press, 1985.)
  • Frege, Gottlob, 1892, 'On Concept and Object', v Collected Papers, Oxford: Blackwell, 1991, 182–194. (Toto je klasická prezentace Fregeova pojmu pojmu.)
  • Goldblatt, Robert, 2011, Quantifers, Propositions and Identity, Cambridge: Cambridge University Press. (Toto představuje novou sémantiku pro modální predikátovou logiku, která používá propozice i světy. Kapitola 4 zkoumá některé formální důvody také pro přidání sémantických funkcí k výrokům.)
  • Montague, Richard, 1973, Formální filozofie, New Haven: Yale University Press. (Druhá polovina knihy je o Montagueově intenzivní logice a jeho sémantice pro přirozený jazyk.)
  • Ramsey, Frank, 1925, 'Základy matematiky', v Ramsey, Základy: Eseje v filozofii, logice, matematice a ekonomii, Atlantic Highlands, NJ: Humanities Press, 1978, 152–212. (Toto představuje teorii výrokových funkcí jako klíčový prvek Ramseyovy filozofie matematiky.)
  • Russell, Bertrand, 1903, Základy matematiky, New York: Norton a Norton. (Toto je Russellova první trvalá diskuse o výrokových funkcích.)
  • Whitehead, Alfred North a Bertrand Russell, 1910–1913 [1925], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press. (Toto je trvalá, ale extrémně obtížná prezentace teorie rozvětveného typu.)

Učebnice, ve kterých se prominentní funkce objevují

  • Dowty, David R., Robert E. Wall a Stanley Peters, 1981, Úvod do Montague sémantiky, Dordrecht: Reidel, 1981. (Toto je velmi jasná učebnice o sémantice Montague.)
  • Gamut, LTF, 1991, Logic, Language and Meaning, Chicago: University of Chicago Press. (Velmi dobrá a jasně psaná učebnice, která mimo jiné zahrnuje modální logiku, kategoriální gramatiku a Montague sémantiku.)
  • Hylton, Peter, 1990, Russell, Idealismus a vznik analytické filozofie, Oxford: Oxford University Press, 1990.
  • Hylton, Peter, 2005, Propozice, funkce a analýza: Vybrané eseje o Russellově filozofii, Oxford: Oxford University Press. (Tato práce a Hylton 1990 jsou důležité texty o interpretaci Russellovy logiky. Hylton tvrdí, že Russellův pojem výrokové funkce neodpovídá zbytku jeho metafyziky.)
  • Moortgat, Michael, 1988, kategoriální vyšetřování: Logické a lingvistické aspekty Lambekova počtu, Dordrecht: Foris Publications. (Toto je datovaná, ale vynikající kniha o kategoriální gramatice.)

Další primární zdroje:

  • Boole, George, 1854, Výzkum zákonů myšlení, na nichž jsou založeny matematické teorie logiky a pravděpodobnosti, New York: Dover, 1958.
  • Frege, Gottlob, 1891, dopis Edmundovi Husserlovi ze dne 24. května 1891, ve Frege, Philosophical and Mathematical Correspondence, Chicago: University of Chicago Press, 1980, 61–64.
  • Frege, Gottlob, 1919, 'Notes for Ludwig Darmstaedter', ve Frege, Posmrtné spisy, Chicago: University of Chicago Press, 1979, 253–257.
  • Frege, Gottlob, Shromážděné články o matematice, logice a filozofii, Oxford: Blackwell, 1991.
  • Jevons, WS, 1890, Pure Logic a další drobná díla, Whitefish, MT: Kessinger Publishing, 2009.
  • Peano, Giuseppe, 1889, „Principy aritmetiky prezentované novou metodou“, v J. van Heijenoort (ed.), Od Frege k Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press 1981, 83–97.
  • Peirce, CS, 1883, 'The Logic of Relatives', The Collected Papers of Charles Sanders Peirce (Svazek III: Exact Logic), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 195–209.
  • Peirce, CS, 1892, „Kritik argumentů“, ve Shromážděných dokumentech Charlese Sanderse Peirce (Svazek III: Přesná logika), Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933, 250–264.

Ostatní práce citovány

  • Church, Alonzo, 1976, „Srovnání Russellova řešení sémantických antinomií s řešením Tarského“The Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
  • Church, Alonzo, 1984, „Russelllova teorie identity propozic“Philosophia Naturalis, 21: 513–22.
  • Gödel, Kurt, 1944, 'Russelllova matematická logika', v PA Schilpp (ed.), The Philosophy of Bertrand Russell, New York: Tudor Publishing Co., 123–144.
  • Goldfarb, Warren, 1989, „Russell's Důvody pro ratifikaci“, v CW Savage a CA Anderson (eds.), Rereading Russell: Eseje o Bertrandovi Russellovi Metafyzika a epistemologie, Minneapolis: University of Minnesota Press, 24–40.
  • Hazen, AP a JM Davoren, 2000, „Russellův logický časopis z roku 1925“, Australasian Journal of Philosophy, 78: 534–566.
  • Kneale, William a Martha Kneale, 1984, Vývoj logiky, Oxford: Oxford University Press.
  • Landini, Gregory, 1998, Russellova skrytá substituční teorie, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, CI, 1918, Přehled symbolické logiky, Berkeley: University of California Press.
  • Linsky, Bernard, 1999, Russellova metafyzická logika, Stanford: CSLI.
  • Steadman, Mark, 1991, „Zvyšování typu a směrovost v kombinované gramatice“Pennsylvánská univerzita Technická správa, odborná zpráva MS-CIS-91-11.
  • Urquhart, Alasdair, 2003, 'Theory of Type', v N. Griffin (ed.), Cambridge Companion to Russell, Cambridge Cambridge University Press, 286–309.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho
ikona inpho
Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil
ikona papíry phil
Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]

Doporučená: