Ramsey A Mezigenerační Sociální Ekonomie

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Ramsey a mezigenerační sociální ekonomie

První zveřejněné So 1. června 2019

Jak bychom měli konceptualizovat lidské blaho v průběhu času a napříč generacemi? Jak je třeba brát v úvahu zájmy lidí ve vzdálené budoucnosti, když děláme svá vlastní rozhodnutí? Kolik z jeho produkce by měl národ investovat do budoucnosti? Do jakých aktiv by měla být tato investice provedena? Jaká by měla být rovnováha mezi soukromými, veřejnými a komunitárními investicemi v celkové investici, kterou generace generuje pro budoucnost? Kolik by měl svět utratit za boj proti globální změně klimatu?

V pozoruhodném článku Frank Ramsey vyvinul rámec, ve kterém lze každou z těchto otázek studovat ve formě, která je dostatečně přesná a dohledatelná k vyvolání odpovědí (Ramsey, 1928). Jeho přístup spočíval v použití klasicko-utilitárního počtu k identifikaci nejlepšího shody mezi dosažitelnými a žádoucími užitnými toky v čase a napříč generacemi. Přestože je tento dokument dnes velmi slavný, neměl žádný počáteční dopad. Někteří ekonomové přičítali nezájem o technický charakter papíru. Při odpovídání na otázku, kterou položil („Kolik produkce národa by to mělo ušetřit?“) Musel Ramsey použít variační počet. Není pochyb o tom, že jen málo ekonomů znal požadované technické předpoklady. Je však těžké si představit, že neexistovali ekonomové, kteří by se mohli naučit nezbytnou matematiku, kdyby si to přáli. Důvod, že se Ramseyův papír zajímal jen o kousek dál. V letech následujících po zveřejnění, období nyní známém jako Velká deprese, bylo hlavním hospodářským problémem v průmyslových zemích najít způsoby, jak zvýšit zaměstnanost. Továrny ležely nečinné, stejně jako lidé. Míra nezaměstnanosti v Evropě a USA byla v regionu 25%. Politiky, které byly zapotřebí, pak souvisely s vytvářením pobídek pro zaměstnavatele, aby najímali pracovníky. Přestože mezi ekonomy existovaly diskuse o tom, jaké by tyto politiky měly být, nikdo nepochyboval o tom, že industrializované společnosti čelí krátkodobému problému. Naproti tomu se Ramsey zabýval otázkou týkající se dlouhodobého hlediska; a aby měl přehledný problém analyzovat, vzal to za předpokladu, že v každém datu je kapitál i práce plně zaměstnán.

Se vznikem postkoloniálních národů po druhé světové válce se dlouhodobý ekonomický vývoj stal prominentním v ekonomických studiích. Začátkem šedesátých let bylo jasné, že Ramseyův dokument je přirozeným výchozím bodem pro studium sociální ekonomiky v dlouhodobém horizontu, nejen pro sledování optimálního rozvoje centrálně plánovaných ekonomik (Chakravarty, 1969), ale také pro použití v sociálních nákladech. analýza přínosů veřejných investic do smíšených ekonomik (Arrow a Kurz, 1970), volba technologie v ekonomikách s přebytkem pracovních sil (Little and Mirrlees, 1968, 1974), a v poslední době ekonomika prosperity změny klimatu (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Počet stezek, které Ramsey položil, byl pozoruhodný. V akademické ekonomii je to jeden z asi deseti nejvlivnějších článků 20. století.

Klasická utilitarismus bere dobro jako očekávanou hodnotu součtu utilit v průběhu času a napříč generacemi (Sidgwick, 1907). Ramseyova formulace byla postavena na tomto morálním uvažování. Pro interpretaci užitečnosti dokonce použil termín „potěšení“. Článek ztělesňuje druh etického jednání Sen a Williams (1982) s názvem „Vládní dům Utilitarianism“. Ale článek Ramseyho se dnes daří, protože vládní dům potřebuje etické vedení, které není pro platené funkcionáře rekvizitou, aby jednali nepotisticky, nevadí dravé způsoby, ale místo toho jsou nestranní ohledně potřeb a citlivosti lidí. Přestože Ramsey používal utilitářský jazyk, z velkorysého čtení jeho článku se uvádí, že toho by bylo mnoho, kdybychom místo „požitku“měli pracovat s širší představou „pohody“.„Takový krok umožňuje člověku věnovat větší pozornost faktorům, ať už jsou to materiální nebo jiné, které přispívají k vzkvétajícímu životu.

• 1. Výrobní možnosti v Ramseyově formulaci

• 2. Klasicko-utilitární počet

  2.1 Nulové diskontování budoucích blaho

• 3. Problém optimálního ukládání

  • 3.1 Nediskontované utilitarismus
  • 3.2 Re-normalizace nediskontovaného utilitarismu
  • 3.3 Kritérium předjíždění
  • 3.4 Zlevněné utilitarismus

• 4. Ramseyovo pravidlo a jeho důsledky

  • 4.1 Variační argument
  • 4.2 Neúplnost Ramseyovy analýzy
  • 4.3 Podmínka transverzality
  • 4.4 Numerické odhady optimální míry úspory
  • 4.5 Komentář
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Výrobní možnosti v Ramseyově formulaci

Ramseyův cíl byl praktický: „Kolik výstupu z národa by mělo být ušetřeno pro budoucnost?“Demografický profil v průběhu času byl považován za daný, což znamená, že budoucí počet lidí byl považován za exogenní a předvídatelný. Měli jsme si tedy představit, že hospodářské politiky mají zanedbatelný vliv na reprodukční chování (ale viz Dasgupta, 1969, pro studium problému společné populace / spoření, používající klasický utilitarismus jako hlavní princip). Parfit (1984) pokřtil volby zahrnující stejný demografický profil, „Stejná výběrová čísla“.

Složky Ramseyovy teorie jsou životními bytostmi jednotlivců. Vládní dům ve svém světě maximalizuje očekávaný součet životních blaho všech, kteří jsou zde dnes, a všech, kteří se někdy narodí, s výhradou omezení zdrojů. Z tohoto maximalizačního cvičení je odvozeno optimální rozdělení životních blaha po generace. Průběh času samozřejmě není stejný jako postup generací. Celoživotní blahobyt jednotlivce je souhrnem toku pohody, kterou zažívá, zatímco mezigenerační blahobyt je souhrnem životních blahobytů všech, kteří se objevují na scéně. Je pochybné, že oba agregáty by měly mít stejnou funkční formu. Na druhé straně existuje jen málo důkazů, které by naznačovaly, že bychom byli daleko od ochranné známky za předpokladu, že mají stejnou formu. Z hlediska praktické etiky to nesmírně pomáhá přiblížit se tím, že se nerozlišuje funkční forma něčí pohody v průběhu času od pohody po celé generace. Ramsey přijal tuto zkratku. Lidé byli také považováni za identické, takže můžeme také předpokládat, že v každém datu je jediná osoba. Tento krok odstraní jakýkoli rozdíl mezi časem a generacemi. Alternativní interpretace by nám umožnila představit si, že ekonomika sestává z jediné dynastie, kdy rodiče v každé generaci zanechávají odkaz na své děti (Meade, 1966, tuto interpretaci přijal). Ramsey také předpokládal, pravděpodobně proto, že matematika je jednodušší, že čas je spojitá proměnná, nikoli diskrétní. Pomáhá nesmírně přiblížit se tím, že nerozlišuje funkční formu něčí pohody v průběhu času od pohody po celé generace. Ramsey přijal tuto zkratku. Lidé byli také považováni za identické, takže můžeme také předpokládat, že v každém datu je jediná osoba. Tento krok odstraní jakýkoli rozdíl mezi časem a generacemi. Alternativní interpretace by nám umožnila představit si, že ekonomika sestává z jediné dynastie, kdy rodiče v každé generaci zanechávají odkaz na své děti (Meade, 1966, tuto interpretaci přijal). Ramsey také předpokládal, pravděpodobně proto, že matematika je jednodušší, že čas je spojitá proměnná, nikoli diskrétní. Pomáhá nesmírně přiblížit se tím, že nerozlišuje funkční formu něčí pohody v průběhu času od pohody po celé generace. Ramsey přijal tuto zkratku. Lidé byli také považováni za identické, takže můžeme také předpokládat, že v každém datu je jediná osoba. Tento krok odstraní jakýkoli rozdíl mezi časem a generacemi. Alternativní interpretace by nám umožnila představit si, že ekonomika sestává z jediné dynastie, kdy rodiče v každé generaci zanechávají odkaz na své děti (Meade, 1966, tuto interpretaci přijal). Ramsey také předpokládal, pravděpodobně proto, že matematika je jednodušší, že čas je spojitá proměnná, nikoli diskrétní.takže můžeme také předpokládat, že v každém datu je jediná osoba. Tento krok odstraní jakýkoli rozdíl mezi časem a generacemi. Alternativní interpretace by nám umožnila představit si, že ekonomika sestává z jediné dynastie, kdy rodiče v každé generaci zanechávají odkaz na své děti (Meade, 1966, tuto interpretaci přijal). Ramsey také předpokládal, pravděpodobně proto, že matematika je jednodušší, že čas je spojitá proměnná, nikoli diskrétní.takže můžeme také předpokládat, že v každém datu je jediná osoba. Tento krok odstraní jakýkoli rozdíl mezi časem a generacemi. Alternativní interpretace by nám umožnila představit si, že ekonomika sestává z jediné dynastie, kdy rodiče v každé generaci zanechávají odkaz na své děti (Meade, 1966, tuto interpretaci přijal). Ramsey také předpokládal, pravděpodobně proto, že matematika je jednodušší, že čas je spojitá proměnná, nikoli diskrétní.není diskrétní.není diskrétní.

Nechť (t / ge 0) označuje čas. V Ramseyově modelu neexistuje žádná nejistota (ale viz Levhari a Srinivasan, 1969, pro jedno z prvních rozšíření Ramseyho modelu, které zahrnuje nejistotu ohledně budoucích možností). Ekonomika je vybavena jedinou, neodpisovanou komoditou, kterou lze pracovat k produkci produkce ke každému datu (Gale, 1967 a Brock, 1973, byly mezi prvními z mnoha rozšíření Ramseyho modelu, která obsahují heterogenní sbírku) investičního majetku). Předpokládá se, že ekonomika je uzavřena mezinárodnímu obchodu (otevření ekonomiky obchodu vyžaduje pouze malé rozšíření Ramseyova modelu). To znamená, že část produkce může být investována tak, aby se zvýšila zásoba komodity, zatímco zbytek lze okamžitě spotřebovat. Nazýváme zásoby komodity, která slouží k produkci produkce, „kapitál“.„Problémem je pak nalezení optimálního rozdělení produkce k datu mezi spotřebou a investicí.

Ramsey předpokládal, že práce je nepříjemná. Ale protože zahrnutí disutility práce do našeho popisu jeho práce by nepřidalo nic podstatného, předpokládáme, že nabídka práce je exogenně daná konstanta (např. Je nezávislá na mzdách, které může práce vyžadovat). To nám umožňuje potlačit nabídku práce ve výrobě i faktory ovlivňující pohodu.

Jestliže (K) je kapitál kapitálu jediné a jediné komodity ekonomiky, považuje se produkce za (F (K)), kde (F (0) = 0) (tj. Výstup je nula pokud neexistuje kapitál, (dF (K) / dK / gt 0) (tj. marginální produkt kapitálu je kladný) a (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (tj. mezní součin (K) se nezvyšuje s (K)). (F (K)) je tok (produkce v okamžiku v čase), na rozdíl od (K), což je zásoba (množství kapitálu, období). Všimněte si také, že produkce závisí výhradně na kapitálu. Není zmíněna možná zlepšení kvality kapitálu nebo práce. V Ramseyově modelu tedy neexistuje perspektiva technologického pokroku nebo akumulace lidského kapitálu (viz Mirrlees, 1967,pro jedno z prvních rozšíření modelu Ramsey, které zahrnuje technologický pokrok ve výrobě a vytváření lidského kapitálu); v modelu také nejsou žádné přírodní zdroje (viz Dasgupta a Heal, 1974, pro jedno z prvních rozšíření Ramseyho modelu, které zahrnuje přírodní kapitál ve výrobě).

Nechť (C (t)) je spotřeba v (t). Je to tok (jednotky spotřeby za okamžik). Podobně píšeme (K (t)) pro kapitál v (t). Protože (dK (t) / dt) je míra změny základního kapitálu na (t), jedná se o „čistou investici v (t)“, což je také tok. A protože se předpokládá, že se kapitál neodpisuje, hrubá investice se rovná čisté investici.

V Ramseyově modelu se předpokládaná produkce v každém okamžiku rovná součtu zamýšlených investic a zamýšlené spotřeby. Záměry jsou vždy realizovány. Řečeno technicky, ekonomika je v každém okamžiku v rovnováze, což je další způsob, jak říci, že v každém okamžiku se zamýšlená úspora rovná zamýšlené investici. (Předpoklad nepotřebuje vysvětlení u modelu s jediným agentem, ale má skutečný skus ve světě, kde spořitelé nejsou stejnými agenty jako investoři.) Předpokládá se, že kapitál je vždy plně nasazen, a práce (která se skrývá ve výrobě) funkce (F (K))) je považována za plně využívanou. Výstup na (t) je (F (K (t))). Z toho vyplývá, že ekonomika je poháněna dynamickou rovnicí

) tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Rovnice (1) říká, že pokud je spotřeba (C (t)), zůstává to, co zůstane z výroby. Takže Ramseyův problém lze obsadit stejně jako: „Kolik výstupu by měl stát spotřebovat?“Pokud je spotřeba menší než produkce při (t) (tj. (C (t) lt F (K (t)))), investice je kladná (tj. (DK (t) / dt / gt 0)) a zásoby kapitálu se zvyšují, ale pokud spotřeba převyšuje produkci v (t), investice je záporná, což znamená, že kapitál je spotřebován a zásoby klesají (tj. (dK (t) / dt / lt 0)).) Nyní si představujeme, že vládní dům poskytuje rady „sociálně dotčenému občanovi“, což je osoba, která se snaží zjistit správnou rovnováhu mezi spotřebou ekonomiky a investicemi k danému datu. Ramsey si představoval, že DM je klasický Utilitarian.

2. Klasicko-utilitární počet

Klasická utilitarismus identifikuje dobro jako očekávaný součet pohody v průběhu času a napříč generacemi. Zde je Sidgwick (1907: 414) v této věci:

Zdá se… jasné, že doba, kdy muž existuje, nemůže z univerzálního hlediska ovlivnit hodnotu jeho štěstí; a že zájmy potomků se musí týkat utilitárů stejně jako zájmů jeho současníků, s výjimkou případů, kdy musí být vliv jeho jednání na potomstvo - a dokonce i na existenci lidských bytostí - nutně nejistější. (Kurzíva přidána)

Abychom to formalizovali, uvažujeme libovolné datum (t), ve kterém DM uvažuje. Nechť (tau) označuje data ne dříve než (t) (tj. (Tau / ge t)). Ramsey zvažoval deterministický, nekonečně žitý svět (ale viz Yaari, 1965, pro první z mnoha rozšíření Ramseyho modelu, který zahrnuje riziko individuálního nebo společenského vyhynutí). Předpokládá se, že blahobyt je numerická veličina. Nechť (U (t)) je blahobyt v (t), a ať (V (t)) je souhrnná míra toku blahobytu v čase a generacích, jak bylo vyhodnoceno v čase (t). Ramsey následoval Sidgwicka, když to předpokládal

) tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) je mezigenerační pohoda v (t). Protože Ramseyův svět je deterministický, (V (t)) je také očekávaná hodnota (V (t)). Sidgwickovo kritérium je tedy (V (t)) v rovnici (2).

Pohoda v kterémkoli daném datu se považuje za funkci výhradně spotřeby k tomuto datu. Proto píšeme (U (t) = U (C (t))). Ramsey předpokládal, že mezní pohoda je pozitivní (tj. (DU (C) / dC / gt 0)), ale klesá se zvyšující se úrovní spotřeby (tj. (D ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt) 0)). Poslední vlastnost znamená, že (U (C)) je přísně konkávní funkce. (Edgeworth, 1885, rutinoval myšlenku, že mezní blahobyt klesá se zvyšující se spotřebou.) Rovnici (2) lze tedy napsat jako

) tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Klasická Utilitarianism, jak se odráží v rovnici (3), vyžaduje, že pokud (U) je numerická míra pohody, pak je to také (alfa U + / beta), kde (alfa) je kladné číslo a (beta) je číslo kteréhokoli znaku. Formálně říkáme, že (U) je jedinečný až po „pozitivní afinní transformace“. V současné době potvrzujeme, že doporučení teorie jsou při takových transformacích invariantní.

2.1 Nulové diskontování budoucích blaho

V rovnici (3) nejsou budoucí hodnoty (U) diskontovány při pohledu od současného okamžiku, (t). Tento konkrétní krok vyvolal více debat mezi ekonomy a filozofy než kterýkoli jiný rys Ramseyovy teorie optimálního spoření. Debata se občas zmenšovala, než jsme zvyklí my ekonomové (viz zejména Nordhaus, 2007). S rizikem divokého zobecnění, ekonomové upřednostňovali použití pozitivních sazeb pro diskontování budoucích blahobytů (např. Arrow a Kurz, 1970), zatímco filozofové trvali na tom, že blahobytu budoucích lidí by měla být přikládána stejná váha jako to současných lidí (např. Parfit, 1984).

Jak by vypadal klasický utilitarismus s pozitivním zlevněním budoucích blahobytů? Nechť (delta / gt 0) je sazba, za kterou je považováno za žádoucí diskontovat budoucí blaho (pro jednoduchost považujeme diskontní sazbu za konstantní). Pak by místo rovnic (2) - (3), mezigenerační pohodu v (t), četlo jako

) tag {4} begin {zarovnat} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {zarovnat}]

V rovnici (4) (delta) „časová diskontní sazba“a (e ^ {- / delta}) výsledný „faktor diskontní doby“.

(delta / gt 0) znamená (e ^ {- / delta} lt 1). To znamená, že (e ^ {- / delta (tau -t)}) inklinuje k nule exponenciálně, protože (tau) má sklon k nekonečnu. Ve druhé části svého článku Ramsey (1928: 553–555) použil rovnici (4) ke studiu problému optimálního spoření, ale formulaci neschválil. Místo toho napsal (str. 543), že diskontovat později (U) ve srovnání s předchozími je „… eticky neobhájitelný a vychází pouze ze slabosti představivosti.“V knize, která zahájila formální studium ekonomického rozvoje, Harrod (1948: 40) následoval tento postup a nazval tuto praxi „… zdvořilým výrazem pro dravost a dobytí rozumu vášní“.

Silná slova, ale pro některé ekonomy se striktnost Ramseyho-Harroda v deterministickém světě čte jako nedělní prohlášení. Solow (1974a: 9) vyjádřil tento pocit přesně, když napsal: „Ve slavnostním shromáždění, tak řečeno, bychom měli jednat, jako by [diskontní sazba na budoucí blaho] byla nulová.“

Ale záležitost nemůže být vyřešena bez studia výrobních a spotřebních možností otevřených ekonomice. Zvažte následující napětí mezi dvěma sadami úvah:

1. Nízké míry spotřeby generací dostatečně daleko do budoucnosti by současný DM nepovažoval za špatnou věc, pokud by budoucí blahobyty byly diskontovány pozitivním tempem. Dnešní DM by proto doporučovalo vysokou spotřebu pro tuto chvíli i v blízké budoucnosti, i když by to znamenalo, že generace ve vzdálené budoucnosti budou žít v trestu. Pokud by se však tato politika dodržovala, nebyly by splněny požadavky dalšího morálního požadavku na klasický utilitarismus, který může mít DM, konkrétně „mezigenerační spravedlnost“. Proto bychom měli následovat Ramseyho a neměli bychom diskontovat budoucí blaho.
2. Napište (dF (K) / dK) jako (F_K). Z rovnice (1) je snadné odvodit, že (F_K) je míra návratnosti investice. V Ramseyově ekonomice (F_K / gt 0), což znamená, že každá jednotka výstupu, která je uložena, dává více než jednotka budoucí spotřeby, jiné věci jsou stejné. Například, pokud DM mělo snížit spotřebu na (t) o jednotku, další spotřeba, která by byla k dispozici v nejkratším časovém období později - píšeme to jako (Delta t) - bez ovlivnění spotřeby v jakémkoli budoucí datum bude (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Produktivita kapitálu je tedy spojena s časovou šipkou, která vytváří předsudek ve prospěch budoucích generací. Tato předpojatost skryje přísloví: „Můžeme udělat něco pro potomstvo,ale co pro nás potomstvo může udělat? “Myšlenka nevyhnutelně vyvstává, že snad by se mělo proti DMU počítat, pokud by jí měla být věnována určitá pozornost mezigenerační spravedlnosti v realizovaném blahobytu jako doplněk klasického utilitarismu. To zase naznačuje, že DM by mělo opustit Ramseyho a diskontovat budoucí blaho pozitivním tempem.

Síla každého uvažování byla prokázána v ekonomické literatuře. V souvislosti s jednoduchým modelem se ukázalo, že pokud výroba vyžaduje produkovaný kapitál a vyčerpatelné zdroje, pak optimální spotřeba v dlouhodobém horizontu klesne na nulu, pokud budou budoucí blaho diskontovány kladným tempem (Dasgupta a Heal, 1974), ale zvyšuje se na neurčito, pokud sledujeme Ramseyho v tom, že nebudeme diskontovat budoucí blaho (Solow, 1974b). Cvičení nám říkají, že dlouhodobé rysy optimálních úsporných politik závisí na relativních velikostech míry, jakou budou diskontovány budoucí blaho, a na dlouhodobé produktivitě kapitálových aktiv.

Zde je obecnější bod, který Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) prozkoumal v pozoruhodné sadě publikací o myšlence ekonomického rozvoje. V takových složitých cvičeních, jako jsou cvičení zahrnující spotřebu a investice v dlouhodobém horizontu, je pošetilé považovat jakýkoli etický princip (např. Klasický utilitarismus) za posvátný. Člověk nikdy nemůže předem vědět, proti čemu by mohl narazit. Rozumnější taktika než Ramseyova by bylo zahrát si jednu sadu etických předpokladů proti jinému v nevysvětlitelných světech, zjistit, jaké jsou jejich důsledky pro distribuci blaha mezi generacemi, a pak se odvolat k našim intuitivním smyslům, než se budou hádat o politika. Uspořádání ex ante, zda použít kladnou sazbu k diskontování budoucích blahobytů, by mohlo být sebezničujícím krokem. ^[1]

3. Problém optimálního ukládání

Ramsey považoval svět za neurčitou budoucnost. Mohlo by to vypadat jako zvláštní tah, ale má to silné odůvodnění. Předpokládejme, že DM mělo zvolit horizont (T) let. Protože neví, kdy náš svět skončí, bude chtít specifikovat zdroje, které by měly zůstat pozadu na (T) pro případ, že by svět nekončil. Abychom však našli zdůvodnění částky, která by měla zůstat v (T), bude DM potřebovat posouzení světa za hranicemi (T). To by však znamenalo zahrnutí světa za hranicemi (T). A tak dále.

Označte spotřební proud ze současného ((t = 0)) do nekonečna, protože ({C (t) }.) (K (0) gt 0) vymezuje ekonomiku; je to množství kapitálu, které společnost zdědila z minulosti. Matematici by nazvali (K (0)) „počáteční podmínkou“. Problém, který si Ramsey stanovil, spočíval v určení spotřebního proudu ({C (t) }) od 0 do nekonečna, který by DM vybrala, kdyby byla klasickým utilitářem.

3.1 Nediskontované utilitarismus

Volejte spotřební proud ({C (t) }) proveditelný, pokud splňuje rovnici (1) s počáteční podmínkou (K (0)). V Ramseyově deterministickém světě je klasickým utilitářským vyjádřením problému optimálního národního úspory k datu (t = 0) takto:

Ze sady všech možných toků spotřeby zjistěte, že ({C (t) }) maximalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt. “)

Tomuto problému optimalizace budeme říkat Ramsey Mark I.

Ramsey Mark I má vážné potíže: není koherentní. Nekonečné částky nemusí nutně konvergovat. Pro všechny ({C (t) }), pro které nekonečný integrál nekonverguje, (V (0)) neexistuje. Pokud integrál není konvergentní pro všechny možné toky spotřeby ({C (t) }), problém maximalizace nemá význam: Člověk nemůže maximalizovat něco, co se zdá být skutečnou hodnotou (V (0)) ve skutečnosti funkce neexistuje.

Síla tohoto pozorování je vidět v

Příklad 1 (připsán David Gale)

Předpokládejme jako extrémní zvláštní případ Ramseyovy ekonomiky, (F (K) = 0) pro všechny (K / ge 0). Potom se rovnice (1) sníží na

) tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Ekonomika popsaná v rovnici (5) sestává z nezhoršujícího se kusu koláče, velikosti (K (0) gt 0) k počátečnímu datu. Je zřejmé, že každý tok spotřeby ({C (t) }) vyhovující rovnici (5) má z dlouhodobého hlediska tendenci k nule. Formálně (C (t) rightarrow 0) jako (t / rightarrow / infty).

Protože funkce (U) je jedinečná až po pozitivní afinní transformace, můžeme ji bez ztráty obecnosti normalizovat tak, aby (U (0) ne 0). Je pak zřejmé, že pro všechny proveditelné ({C (t) }), (V (0)) v Ramsey Mark I se odchyluje na mínus nekonečno, pokud (U (0) lt 0), ale liší se na plus nekonečno, pokud (U (0) gt 0). To, že v modelu konzumace dortů neexistuje optimální politika, lze vidět, pokud si nyní vzpomeneme, že (U (C)) bylo považováno za striktně konkávní. Z předpokladu vyplývá, že jakékoli nerovnostářské rozdělení spotřeby mezi generacemi lze zlepšit vhodným přerozdělováním. Ideální distribucí by byla stejná spotřeba pro všechny generace. Jediný tok spotřeby s posledně uvedenou vlastností je (C (t) = 0) pro všechny (t). Ale to je nejhorší možná distribuce. QED

3.2 Re-normalizace nediskontovaného utilitarismu

Vyvstává otázka, zda existují okolnosti, za kterých je nejlepší tok spotřeby, i když (V (0)) nekonverguje pro všechny toky spotřeby. Ramsey otázku zformuloval tak, že změnil způsob, jakým je problém spoření.

Představte si, že blahobyt je omezen nad jakoukoli velkou spotřebu. Nechť (U) je numerická míra pohody, se kterou se DM rozhodne pracovat. (Všechny pozitivní afinní transformace (U) by byly stejně legitimními měřítky pohody.) Nechť (B) bude nejnižší horní hranice (U). Ramsey to pokřtil jako „blaženost“. Protože míra návratnosti investice ((F_K)) v jeho modelu je pozitivní, spotřeba by rostla donekonečna a měla by z dlouhodobého hlediska tendenci k nekonečnu, pokud by byly vhodně zvoleny míry úspor. To znamená, že existují možné cesty hospodářského rozvoje, v nichž (U (C (t))) dlouhodobě / \ B). Znamená to však, že existují možné cesty hospodářského rozvoje, v nichž je krátkodobý pokles (U (C (t))) z (B) z dlouhodobého hlediska sklon k nule). Pokud má krátký pokles dostatečně rychle nulu,existoval by nediskontovaný integrál rozdílu mezi (U (C (t))) a (B) a DM se mohlo snažit maximalizovat modifikovaný integrál. Máme tedy Ramseyho Mark II, který zní jako

Ze sady všech možných toků spotřeby zjistěte, že ({C (t) }) maximalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt. “)

Všimněte si, že Mark II je transformací Mark I. Transformace se rovná opětovné normalizaci kritéria optimality. Ramseyova část byla nejen geniálním přesunem z Marka I. do Marka II, ale také ukázala jeho morální integritu. Bylo by pro něj dost snadné požádat DM místo toho, aby snížil budoucí spotřebu a rozšířil škálu okolností, za nichž Utilitarianismus poskytuje odpověď na problém, který se DM pokouší vyřešit. Rozhodl se, že to neudělá.

Ramseyova intuice v přechodu z Marka I na Marka II byla silná, ale v článku, který inicioval moderní literaturu o Ramseyově problému, Chakravarty (1962) poznamenal, že spoléhat se výhradně na podmínku, kterou Ramsey označil za nezbytnou pro spotřební proud být optimální (viz níže) může vést k absurdním výsledkům (viz níže, kapitola 4). Chakravarty ve skutečnosti poznamenal, že nekonečné integrály, i když obsažené v re-normalizované formě v Ramsey Mark II, nemusí nutně konvergovat k konečným hodnotám.

3.3 Kritérium předjíždění

Bylo potřeba oddělit otázku, zda nekonečné integrály pohody se sbližují s otázkou, zda existují optimální toky spotřeby. Tento pohled poskytli Koopmans (1965) a von Weizsacker (1965). Posledně jmenované autorovo přehodnocení problému optimálního spoření bylo následující:

Řekneme, že reálný spotřební proud ({C ^ * (t) }) je lepší než reálný spotřební proud ({C (t) }), pokud existuje (T / gt 0) pro všechny (t / ge T),) tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Voláme ({C ^ * (t) }) optimální, pokud je lepší než všechny ostatní možné toky spotřeby.

Podmínka, která je reprezentována v nerovnosti (6), je známá jako kritérium předjíždění (OC), protože to je to, o co jde. OC se vyhýbá otázce, zda integrály na obou stranách nerovnosti (6) konvergují jako (t / rightarrow / infty). Pokud ano, OC se redukuje na klasickou utilitářství. Ale OC je schopen reagovat na Ramseyův problém s ukládáním v širší třídě situací. Ve své práci Koopmans (1965) identifikoval kanonický ekonomický model, ve kterém je funkce (U) omezena nahoře a ve kterém Ramsey Mark II je ekvivalentem problému optimalizace, který je kladen z hlediska OC.

Co máme udělat z etiky diskontování blaha budoucích generací? Ramsey (1928) začal tím, že ho propustil, ale pak ho studoval na konci svého článku. DM by samozřejmě mohla ospravedlnit diskontování budoucí pohody, pokud existuje možnost budoucího zániku. Sidgwick (1907) sám poznamenal, že v pasáži citované dříve. Pokud je za klasický utilitarismus chválen očekávaný součet dobrých bytostí, pak „míra rizika“k datu (t) (tj. Pravděpodobnost vyhynutí k datu (t), podmíněná přežití společnosti do (t))) se ve výrazu pro očekávaný blahobyt objeví jako diskontní sazba pro blahobyt na (t). Otázkou zůstává, zda by klasický utilitarismus trval na nulovém diskontování budoucích utilit v deterministickém světě.

V pozoruhodné dvojici děl Koopmans (1960, 1972) odhalil vnitřní rozpory v etickém uvažování v deterministickém světě v Ramsey Mark I i Ramsey Mark II. (A následně Diamond, 1965) ukázal, že pokud jsou na mezigenerační blaho v deterministickém světě kladeny relativně slabé normativní požadavky, je třeba upustit od rovného zacházení s funkcí (U) napříč generacemi. Nyní se k tomu obracíme.

3.4 Zlevněné utilitarismus

Ukazuje se, že matematika je mnohem jednodušší, pokud místo předpokladu, že je čas spojitý, je čas považován za diskrétní. Nyní tedy předpokládáme, že (t = 0,1,2, / ldots). Předpokládejme také, že mezigenerační pohodu v (t = 0) lze měřit pomocí numerické funkce (V). Cílem je požadovat, aby funkce, která je definována na nekonečných proudech pohody, splňovala vlastnosti, které odrážejí etické směrnice.

Nechť ({U (t) }) je nekonečný proud pohody, tj. ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U) (t), / ldots)). Říkáme, že (V ({U (t) })) je spojité, pokud ve vhodném matematickém smyslu jsou hodnoty (V) pro proudy pohody ({U (t) }) které se příliš neliší v prostoru ({U (t) }) s jsou blízko sebe. Další podmínkou funkce (V), která je eticky atraktivní, je „monotonicita“. Pro definování tohoto pojmu řekněme, že proud pohody je „lepší“vůči jiné, pokud žádná generace nemá požitek z pohody nižší než u druhé generace a pokud existuje alespoň jedna generace, která má u druhé větší pohody než v druhém případě. Říkáme, že (V) je monotónní, pokud (V) je větší pro proud pohody, než je tomu u jiného, pokud první je lepší než druhý.

Obě vlastnosti jsou atraktivní. I přes lexikografické objednávky neexistují přesvědčivé argumenty proti kontinuitě. Rawls (1972) samozřejmě upřednostnil pravidla a lexikografická uspořádání na objektech zájmu v jeho pojetí spravedlnosti, které přichází s nimi, do středu jeho teorie, ale to se ukázalo jako jeden z jeho nejspornějších kroků. Bohatství a hloubka jeho analýzy by se nezmenšila, pokud by mezi objekty spravedlnosti byly přijaty malé kompromisy. A je těžké najít důvody proti monotónnosti. Dokonce Rawls, jehož práce směřovala k distribuční spravedlnosti, trval na monotonicitě.

Lze však ukázat, že každá (V) - funkce, která uspokojí kontinuitu a monotonicitu, musí mít zabudované generování diskontování. Zdá se, že skutečná čísla nejsou dostatečně bohatá na to, aby pojala nekonečné proudy pohody takovým způsobem, který respektuje kontinuitu a monotonicitu a zároveň přiznává blahobytu všech generací stejnou váhu. Důkaz o propozici je v Diamond (1965) a autor byl připsán Menahemovi Yaari. Takže nyní představujeme pozitivní diskontování ve funkci (V) a formulujeme Ramsey Mark III.

Vraťte se znovu k formulaci, kde je čas nepřetržitý. Jako dříve, říkáme, že spotřební proud ({C (t) }) je proveditelný, pokud splňuje rovnici (1) s počátečním kapitálem (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) je pak:

Ze sady všech možných toků spotřeby zjistěte, že ({C (t) }) maximalizuje

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0. ")

V Mark III je diskontní sazba (delta) kladná konstanta. To znamená, že odpovídající diskontní faktor (e ^ {- / delta}) je menší než 1. Ten druhý může být ukázán tak, že znamená, že v široké škále ekonomických modelů (e ^ {- / delta t}) inklinuje k nule tak rychle, že Mark III má odpověď.

Nechť ({C ^ * (t) }) je řešením Ramseyho Mark III. Heuristicky je užitečné si představit, že v každém datu je DM. Míra mezigenerační pohody pro DM k datu (t) je (V (t)) rovnice (4). Všimněte si, že etické názory na následné DM jsou vzájemně shodné. Není proto třeba, aby DK uzavíraly „mezigenerační smlouvu“. DM bude vždy chtít zvolit úroveň spotřeby, kterou považuje za optimální, vědomo si, že následující DM si vyberou v souladu s tím, co pro ně plánovala. V moderní herní teorii je Ramseyův optimální spotřební tok ({C ^ * (t) }) „rovnováhou nespolupracujících“(Nash) mezi DM.

4. Ramseyovo pravidlo a jeho důsledky

Nyní vytvoříme neformální verzi variačního argumentu, který Ramsey použil pro určení ({C ^ * (t) }) v Mark III. Volně řečeno, DM vyžadují mezní rychlost eticky indiferentního substituce mezi spotřebou v jakémkoli dvou krátkých časových obdobích, aby se rovnala mezní sazbě, při které může být spotřeba přeměněna mezi stejným párem krátkých časových období. Jejich rovnost (tj. Správná rovnováha mezi „žádoucími“a „realizovatelnými“) je nezbytnou vlastností optimálního spotřebního proudu.

Ramsey vytvořil matematické vyjádření vlastnosti, ale nehledal podmínky, které jsou společně a jsou nezbytné i dostatečné. Použijeme jednoduchý příklad, který je také v jeho příspěvku, abychom ukázali, jak lze získat dostatečnou podmínku.

4.1 Variační argument

Napište (dU / dC = U_C) a (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Nechť ({C (t) }) je reálný spotřební proud. Nejprve odvodíme formální vyjádření mezní míry eticky lhostejného substituce mezi spotřebou v jakémkoli krátkém časovém období. Předpokládejme, že je záměrem snížit spotřebu k určitému budoucímu datu (t) o malé množství (Delta C (t)) a zvýšit spotřebu k blízkému datu (t + / Delta t) při současném zachování spotřeby jiná data stejná jako v ({C (t) }). Ztráta, která by vyplynula z pohybu, je (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Nyní se snažíme určit procentuální nárůst spotřeby, který by byl vyžadován při (t + / Delta t), pokud má (V (0)) zůstat nezměněn; protože to je mezní míra eticky indiferentního substituce mezi spotřebou při (t) a spotřebou při (t + / Delta t). Označte tuto míru pomocí (varrho (t)). Pak (varrho (t)) musí být procentní sazba, při které diskontovaná marginální pohoda klesá na (t). Z toho také vyplývá, že (varrho (t)) je míra, kterou by DM při (t = 0) použila k diskontování jednotky spotřeby při (t), aby ji přinesla do současnosti (protože to je to, co se rozumí procentní sazbou, při které diskontovaná marginální pohoda klesá na (t) - formální demonstrace viz Dasgupta, 2008). Někteří ekonomové nazývají (varrho (t)) úrokovou míru spotřeby (Little and Mirrlees, 1974), jiní ji nazývají sociální sazbou diskontu (Arrow a Kurz, 1970). (varrho (t)) je základním objektem v analýze sociálních nákladů a přínosů. Z toho také vyplývá, že (varrho (t)) je míra, kterou by DM při (t = 0) použila k diskontování jednotky spotřeby při (t), aby ji přinesla do současnosti (protože to je to, co se rozumí procentní sazbou, při které diskontovaná marginální pohoda klesá na (t) - formální demonstrace viz Dasgupta, 2008). Někteří ekonomové nazývají (varrho (t)) úrokovou míru spotřeby (Little and Mirrlees, 1974), jiní ji nazývají sociální sazbou diskontu (Arrow a Kurz, 1970). (varrho (t)) je základním objektem v analýze sociálních nákladů a přínosů. Z toho také vyplývá, že (varrho (t)) je míra, kterou by DM při (t = 0) použila k diskontování jednotky spotřeby při (t), aby ji přinesla do současnosti (protože to je to, co se rozumí procentní sazbou, při které diskontovaná marginální pohoda klesá na (t) - formální demonstrace viz Dasgupta, 2008). Někteří ekonomové nazývají (varrho (t)) úrokovou míru spotřeby (Little and Mirrlees, 1974), jiní ji nazývají sociální sazbou diskontu (Arrow a Kurz, 1970). (varrho (t)) je základním objektem v analýze sociálních nákladů a přínosů. Někteří ekonomové nazývají (varrho (t)) úrokovou míru spotřeby (Little and Mirrlees, 1974), jiní ji nazývají sociální sazbou diskontu (Arrow a Kurz, 1970). (varrho (t)) je základním objektem v analýze sociálních nákladů a přínosů. Někteří ekonomové nazývají (varrho (t)) úrokovou míru spotřeby (Little and Mirrlees, 1974), jiní ji nazývají sociální sazbou diskontu (Arrow a Kurz, 1970). (varrho (t)) je základním objektem v analýze sociálních nákladů a přínosů.

Nechť (Delta) je mizivě malá. Pak, podle definice

) tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

Abychom zjednodušili notaci, nechť (g (C (t))) označuje procentuální rychlost růstu v (C (t)) (tj (g (C (t)) = [dC (t)) / dt] / C (t)), což může být záporné), a nechť (sigma (C)) označuje elasticitu mezní pohody (tj. (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). Rovnice (7) pak zjednodušuje

) tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Protože ({C ^ * (t) }) je za předpokladu optimální, žádná reálná odchylka od ({C ^ * (t) }) nemůže zvýšit (V (0)). To znamená, že úroková míra spotřeby ((varrho (t))) se musí rovnat sociální míře návratnosti investic ((F_ {K (t)})) při každém (t). Chcete-li vidět proč, předpokládejme v nějakém mizivém malém časovém intervalu (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Potom (V (0)) by se mohlo zvýšit spotřebou jednotky méně v (t) a vychutnáním návratu ((1 + F_ {K (t)})) brzy poté. Alternativně, pokud by (F_ {K (t)} lt / varrho (t), V (0)) bylo možné zvýšit spotřebou jednotky více na (t) a snížením spotřeby brzy poté o částku rovnající se návrat ((1 + F_ {K (t)})). To znamená, že úroková míra spotřeby (varrho (t)) se rovná sociální míře návratnosti (F_ {K (t)}) podél ({C ^ * (t) }) na každé datum. Pomocí rovnice (8) máme,) tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Rovnice (9) je Ramseyho pravidlo. Je to nezbytná podmínka optimality v Ramsey Mark III a je nepochybně nejslavnější rovnicí v intertemporální ekonomice blahobytu. Pravidlo je formálním vyjádřením požadavku ({C ^ * (t) }), aby mezní míra substituce mezi spotřebou ke dvěma blízkým datům (na levé straně ekv. 9) byla rovna mezní rychlost transformace mezi spotřebou ve stejném páru blízkých dat (pravá strana ekv. (9).) Je jednoduché potvrdit, že rovnice (9) je invariantní při pozitivních afinních transformacích (U))-funkce.

4.2 Neúplnost Ramseyovy analýzy

V současné době určíme funkci (U), pro kterou je (sigma) nezávislá na (C). Momentálně pouze předpokládáme, že (sigma) je konstantní. V takovém případě Ramseyovo pravidlo zní:

) tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

V Ramsey Mark III je (K (0)) dáno jako dědictví z minulosti. To znamená, že (F_ {K (0)}) je uveden jako počáteční podmínka, není to volba pro DM na (t = 0). Navíc (delta) a (sigma) jsou parametry, které odrážejí etické hodnoty. DM proto může určit (g (C (0))) z rovnice (10). Ale to je optimální procentuální míra růstu spotřeby v počátečním datu. Ramseyovo pravidlo dává DM rovnici pro stanovení počáteční míry růstu spotřeby, ale neříká, jaká by měla být počáteční úroveň spotřeby. Níže uvádíme jako příklad, že existuje nekonečné množství možných cest, které splňují Ramseyovo pravidlo. Z toho vyplývá, že DM v (t = 0) potřebuje další podmínku k určení (C ^ * (0)).

Příklad 2 (lineární ekonomika)

Převzít

) begin {Zarovnat} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {zarovnat})

Z rovnice (11a) vyplývá, že (F_K = / mu), což znamená, že míra návratnosti investice je konstantní. Z rovnice (11b) vyplývá, že (sigma) je elasticita mezní pohody. Všimněte si také, že (U (C) rightarrow - / infty) jako (C / rightarrow 0) a že při zvolené normalizaci funkce (U) - (U (C) rightarrow) 0) jako (C / rightarrow / infty). Použitím rovnice (11a) v rovnici (1) se získá,) tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Napište (m = (mu - / delta) / / sigma). Použití rovnic (11a – b) na rovnici (10) redukuje Ramseyovo pravidlo na

) tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Rovnice (13) říká, že pokud (mu / lt / delta, C (t)) klesne na 0 exponenciální rychlostí. Empiricky je přijatelným případem, který je třeba zvážit, (mu / gt / delta), což je to, co zde uděláme. To znamená, že míra návratnosti investice ((mu)) překračuje míru, při které je diskontována ((delta)). A to zase znamená (m / gt 0). Výsledkem integrační rovnice (13)

) tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Rovnice (14) říká, že (C (t)) roste exponenciálně rychlostí (m). Potvrzujeme bod, který byl učiněn dříve, že ačkoli rovnice (14) odhaluje rychlost růstu optimální spotřeby k počátečnímu datu (tj. (T = 0)), neodhaluje počáteční úroveň spotřeby (tj., (C (0))). To je v Ramseyově pravidlu neurčitost.

Nejjednodušší způsob, jak určit optimální počáteční spotřebu, (C ^ * (0)), je pozorovat z rovnice (14), že pokud (C ^ * (t)) roste neurčitě rychlostí (m), takže by mělo být požadováno, aby (K (t)) rostl stejným tempem. Důvod je ten, že pokud by tempo růstu (K (t)) mělo být menší než (m), byl by spotřebován kapitál, což znamená, že by zásoby byly vyčerpány v konečném čase. Ekonomika by pak přestala existovat ((V (0))) by byla mínus nekonečno, pokud by tak byla budoucí trajektorie ekonomiky.) Pokud by naopak míra růstu (K (t)) Pokud by překročily (m), došlo by k nadměrné akumulaci kapitálu v tom smyslu, že spotřeba bude ke každému datu nižší, než je třeba. Situace by se podobala situaci, kdy DM zahodí část původního základního kapitálu (K (0)) a poté se usadí na spořicím chování, které splňuje Ramseyovo pravidlo.

Exponenciální růst v naší lineární ekonomice (ekv. 11a) nám říká, že míra úspor by měla být konstantní. Definujme míru úspory, (s), jako podíl produkce (HDP), která je investována v každém okamžiku. Potom lze rovnici (1) přepsat jako

) tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Rovnice (15) říká, že zamýšlená úspora se rovná zamýšlené investici. Výsledkem integrační rovnice (15)

) tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Trváme však na tom, aby (K (t)) i (C (t)) rostly stejným tempem. Rovnice (14) a (16) tedy znamenají

) tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Rychlost úspory v rovnici (17) je optimální. Takže to píšeme jako (s ^ *). Tím pádem

) tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Rovnice (16) - (18) nám říkají, že optimální míra růstu spotřeby, (g ^ *), je

) tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Všimněte si také, že pokud (delta = 0) se rovnice (18) sníží na

) tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Rovnice (20) nabízí tak elegantní a zjednodušenou odpověď, jak by se dalo na otázku, se kterou Ramsey zahájil svou práci.

4.3 Podmínka transverzality

Lineární technologie (rovnice 11a) a izoelastická (U) - funkce (rovnice 11b) nám umožnily okamžitě rozpoznat, že pokud má být tok spotřeby splňující Ramseyovo pravidlo optimální, měl by kapitál i spotřeba být rostou stejnou exponenciální rychlostí, (m). Určení dostatečné podmínky optimality u obecnějších modelů je mnohem obtížnější. Potřebujeme podmínku dlouhodobých vlastností proudu spotřeby, který splňuje Ramseyovo pravidlo a který zajistí, že je optimální. von Weizsacker (1965) ukázal, že požadovaná podmínka se týká dlouhodobého chování sociální hodnoty kapitálu spojené s tímto spotřebním tokem. Nyní formalizujeme podmínku.

Nechť (U) je účetní jednotka. Zvažte spotřební proud ({C (t) }). Z toho vyplývá, že (U_ {C (t)}) je společenská hodnota okrajové jednotky spotřeby. Zápis (P (t)) pro (U_ {C (t)}. P (t)) se nazývá (spotová) účetní cena spotřeby. Protože (e ^ {- / delta t} P (t)) je diskontovaná hodnota (P (t)), nazývá se účetní hodnota spotřeby současné hodnoty spotřeby. Pokud ({C (t) }) splňuje Ramseyovo pravidlo v Mark III, (e ^ {- / delta t} P (t)) je také účetní hodnota současné hodnoty kapitálové jednotky skladem. von Weizsacker (1965) ukázal, že dostatečnou podmínkou optimality ({C (t) }) je (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) rightarrow A) jako t (rightarrow / infty), kde (A) je (konečné) nezáporné číslo. Ve slovech,nezbytnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby ({C (t) }) byla optimální, je (i) to, že splňuje Ramseyovo pravidlo, a (ii) že současná hodnota kapitálu kapitálu je konečná. Podmínka (ii), která je všeobecně známá jako „podmínka transverzality“, vylučuje ty možné toky spotřeby, které splňují Ramseyovo pravidlo, ale podél kterých dochází k nadměrné úspoře. Jednoduchý výpočet potvrzuje, že v příkladu 2 je podmínka transverzality splněna, pokud je míra úspory (s ^ *) (ekv. 18). Jednoduchý výpočet potvrzuje, že v příkladu 2 je podmínka transverzality splněna, pokud je míra úspory (s ^ *) (ekv. 18). Jednoduchý výpočet potvrzuje, že v příkladu 2 je podmínka transverzality splněna, pokud je míra úspory (s ^ *) (ekv. 18).

4.4 Numerické odhady optimální míry úspory

Rovnice (18) říká, že (s ^ *) je rostoucí funkce návratnosti investice ((mu)), klesající funkce časové sazby diskontu ((delta)) a klesající funkce elasticity okrajové pohody ((sigma)). Každá z těchto vlastností je intuitivně zřejmá:

(1) Čím vyšší je míra návratnosti investic ((mu)), tím větší je zisk pro budoucí generace z mezního nárůstu úspor počátečních generací. To znamená, že optimální míra úspor by měla být rostoucí funkce (mu), jiné věci jsou stejné.

(2) Čím větší je hodnota časové diskontní sazby ((delta)) zvolené DM, tím nižší je váha, kterou uděluje blahu budoucích generací. To znamená vyšší optimální úroveň spotřeby pro rané generace (oddíl 2.1), což zase znamená, že optimální míra úspor je nižší, jiné jsou stejné.

(3) Jelikož návratnost investice je kladná ((mu / gt 0)), zobrazuje časová šipka zaujatost ve prospěch budoucích generací (kapitola 2.1). Čím větší je zvolená hodnota (sigma), tím více DM projevuje obavy ohledně vlastního kapitálu ve spotřebě po generace. Čím větší je tedy tento problém, tím vyšší je optimální míra spotřeby, kterou mají využívat počáteční generace. Měli bychom tedy očekávat, že optimální míra úspor bude klesající funkcí (sigma), ostatní věci budou stejné.

Je poučné zvážit stylizované obrázky pro parametry na pravé straně rovnic (18) a (19). Ačkoli jsou stylizované, jsou to čísla pro pár etických parametrů (sigma) a (delta), které ekonomové, kteří psali o ekonomice změny klimatu, převzali ve své práci. Jistě, ekonomika blahobytu v oblasti změny klimatu vyžaduje složitější modely než model, který je zastoupen v rovnicích (1) a (11a), ale jak potvrzujeme níže, nenabízí žádné další teoretické poznatky. V následujícím budeme brát rok jako jednotku času a předpokládáme, že (mu = 0,05) (tj. 5% ročně). Vedle optima se míra spotřeby úroku rovná míře návratnosti investice (Ramseyovo pravidlo), což znamená, že optimální míra spotřeby úroku se rovná konstantní 5% ročně.

Údaj 5% ročně pro (mu) znamená kapitálový výnos ((1 / / mu)) 20 let, což je mnohem více než odhady poměrů kapitálového výkonu z mezioborového průmyslu studie, k nimž dospěli ekonomové v různých částech světa (Behrman, 2001); reprezentativní číslo pro 1 / (mu) v této literatuře je 3 roky. Jejich odhady však byly založeny na definici „kapitálu“, který je omezen na „produkovaný“kapitál, jako jsou továrny, silnice, přístavy a budovy. Lidský kapitál (vzdělání, zdraví, znalosti) z nich chybí, stejně jako přírodní kapitál (ekosystémy, podzemní zdroje). Ramseyův model, jak je zapouzdřen v rovnici (11a), zahrnuje všechny formy investičního majetku. Jeho formulace bezpochyby vyžaduje hrdinské (přečtené, nemožné!) Seskupení, ale když se vezme v úvahu veškerý investiční majetek vstupující do výroby,měli bychom očekávat, že úhrnný poměr kapitálu a výkonu (který bychom měli nazvat poměrem (včetně) bohatství a výstupu), bude mnohem vyšší než 3 roky; možná i více než 20 let (Arrow et al., 2012, 2013). V národních ekonomických účtech chybí velké kategorie investičního zboží, které informují ekonomy o porozumění výrobních a spotřebních možností (Dasgupta, 2019). Zdá se tedy, že je ještě dlouhá cesta, než můžeme dosáhnout dobrého přiblížení toho, co bychom měli odkázat našim potomkům. V národních ekonomických účtech chybí velké kategorie investičního zboží, které informují ekonomy o porozumění výrobních a spotřebních možností (Dasgupta, 2019). Zdá se tedy, že je ještě dlouhá cesta, než můžeme dosáhnout dobrého přiblížení toho, co bychom měli odkázat našim potomkům. V národních ekonomických účtech chybí velké kategorie investičního zboží, které informují ekonomy o porozumění výrobních a spotřebních možností (Dasgupta, 2019). Zdá se tedy, že je ještě dlouhá cesta, než můžeme dosáhnout dobrého přiblížení toho, co bychom měli odkázat našim potomkům.

Příklad 3 (převzat z ekonomie změny klimatu)

Nyní se zaměřujeme na hodnoty dvou etických parametrů v rovnici (11b), které vybrali tři ekonomové v jejich studiu ekonomie změny klimatu.

) begin {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1.5 / quad & / text {and} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,03 / text {(3% ročně)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {a} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% ročně)} end {zarovnat})

(Pozn.: (sigma = 1) odpovídá logaritmické funkci blahobytu, tj. (U (C) =) log (C), a lze ji získat jako limit funkční formy (U (C)) v rovnici (11b) jako (sigma / rightarrow 1.))

Tyto hodnoty parametrů ukládáme, abychom zjistili, že optimální míra úspory (s ^ *) (rovnice 18) a optimální rychlost růstu spotřeby (rovnice 19) jsou naopak:

) begin {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 3.3 \% / text {year (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {a} quad g ^ * = 2,0 \% / text {rok (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 4,9 \% / text {rok (Stern)} end {zarovnat})

4.5 Komentář

Národní míra úspor 40% (ekv. 21b) není bezpochyby vysoká podle standardů současných západních ekonomik, ale existují země, které v posledních letech dosáhly 40–45% úspor (Čína je významným příkladem). Hodnota 67% pro (s ^ *) (ekv. 21a) je vyšší než míra úspor v kterékoli zemi, ale není naději. Skutečně výstřední čísla jsou 98% (ekv. 21c). Je to podivné zejména proto, že číslo je optimální míra úspor bez ohledu na to, jak malé (K (0)) se stane. Je pravda, že tento model (rovnice 11a – b) je fenomenálně stylizovaný, ale ostře odhaluje pozorování Koopmans (1965), že je pošetilé předpokládat, že (delta = 0) (nebo blízko 0) aniž by se nejprve ověřily jeho možné důsledky pro distribuci pohody generacím.

Rovnice (19) ukázala, že optimální rychlost růstu spotřeby je omezena výše na (mu), což vysvětluje, proč (g ^ *) je méně než 5% ročně pro každou ze tří parametrických specifikací, které máme považováno. Specifikace pocházejí ze tří studií v sociální ekonomii globálních klimatických změn, ve kterých autoři pracovali s modely, které jsou mnohem komplexnější než Ramseyovy. A přesto jejich zjištění jsou přesně to, na co by jeho formulace poukazovala (Dasgupta, 2008), jmenovitě, že pokud se budou ostatní věci shodovat, čím nižší je zvolená hodnota (delta) a / nebo čím větší bude poškození budoucích dobře- vzhledem k tomu, že se očekává, že bude způsobena globální změnou klimatu, tím větší je investiční úroveň, kterou by měl DM doporučit k odvrácení změny klimatu nebo zmírnění dopadů této změny na lidské blaho. Často pronikavá debata (např. Nordhaus,2007) o tom, do jaké míry by měly být globální investice zaměřeny na snižování nežádoucích účinků změny klimatu, vyvolaly rozdíly ve specifikaci modelu mezi ekonomy v oblasti změny klimatu.

Lineární technologie (rovnice 11a) a funkce iso-elastická (U) - (rovnice 11b), pokud byly vzaty dohromady, poskytly hluboké vhledy, i když jsme zde omezili diskusi na výpočty pera a papíru. Funkční formy nelze uvěřit; přesto je Ramsey využil. Jeho práce ukázala, že neuvěřitelně zjednodušené modely, za předpokladu, že jejich konstrukce je podložena silnou intuicí, mohou osvětlit otázky, které jsou zdánlivě nemožné zarámovat, natož kvantitativně odpovědět. To byl Ramseyův trvalý dar teoretické ekonomii.

Bibliografie

• Arrow, KJ, P. Dasgupta, LH Goulder, KJ Mumford a K. Oleson (2012), „Udržitelnost a měření bohatství,“Ekonomika životního prostředí a rozvoje, 17 (3), 317–355.
• ––– (2013), „Udržitelnost a měření bohatství: další úvahy“, Ekonomika životního prostředí a rozvoje, 18 (4), 504–516.
• Arrow, KJ a M. Kurz (1970), veřejné investice, míra návratnosti a optimální fiskální politika (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
• Behrman, JR (2001), „Economics of Development“, Mezinárodní encyklopedie společenských a behaviorálních věd (Amsterdam: Elsivier Science Direct), s. 3566–3574.
• Brock, WA (1973), „Některé výsledky jedinečnosti ustálených států v multisektorových modelech optimálního růstu při diskontování budoucích nástrojů,“International Economic Review, 14 (3), 535–559.
• Chakravarty, S. (1962), „Existence programů optimálního spoření“, Econometrica, 32 (1), 178–187.
• ––– (1969), plánování kapitálu a rozvoje (Cambridge, MA: MIT Press).
• Cline, WR (1992), The Economics of Global Warming (Washington, DC: Institute for International Economics).
• Dasgupta, P. (1969), „O konceptu optimální populace“, Přehled ekonomických studií, 36 (3), 295–318.
• ––– (2008), „Diskontování změny klimatu“, Journal of Risk and Unistness, 37 (2-3), 141–169.
• ––– (2019), Čas a generace: etika populace pro zmenšující se planetu (New York: Columbia University Press).
• Dasgupta, P. a GM Heal (1974), „Optimální vyčerpání vyčerpatelných zdrojů“, Přehled ekonomických studií, 41 (číslo sympozia), 3–28.
• Diamond, PA (1965), „Vyhodnocení nekonečných užitkových toků“, Econometrica, 33 (1), 170–177.
• Edgeworth, FY (1881), Mathematical Psychics: Esej o aplikaci matematiky na morální vědy (Londýn: Kegan Paul).
• Gale, D. (1967), „O optimálním vývoji v multisektorové ekonomice“, Přehled ekonomických studií, 34 (1), 1-18.
• Harrod, RF (1948), Směrem k dynamické ekonomice (Londýn: McMillan).
• Koopmans, TC (1960), „Stacionární řádová utilita a netrpělivost“, Econometrica, 28 (2), 287–309.
• ––– (1965) „K konceptu optimálního ekonomického růstu“, Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia, 28. Přetištěno v TC Koopmans (1966), Ekonometrický přístup k plánování rozvoje (Amsterdam: Severní Holandsko).
• ––– (1967), „Cíle, omezení a výsledky v modelech optimálního růstu“, Econometrica, 35 (1), 1-15.
• ––– (1972), „Reprezentace preferenčních objednávek v čase“, v CB McGuire a R. Radner, ed., Rozhodnutí a organizace (Amsterdam: Severní Holandsko).
• Levhari, D. a TN Srinivasan (1969), „Optimální úspory za nejistoty“, Přehled ekonomických studií, 36 (2), 153–163.
• Little, IMD a JA Mirrlees (1968), Manuál analýzy průmyslových projektů v rozvojových zemích: Analýza přínosů sociálních nákladů (Paříž: OECD).
• ––– (1974), Posouzení projektů a plánování pro rozvojové země (Londýn: Heinemann).
• Meade, JE (1966), „Úspory životního cyklu, dědictví a hospodářský růst“, Přehled ekonomických studií, 33 (1), 61–78.
• Mirrlees, JA (1967), „Optimální růst, když se mění technologie“, Přehled ekonomických studií, 34 (1), 95–124.
• Nordhaus, WD (1994), Management Global Commons: Ekonomie změny klimatu (Cambridge, MA: MIT Press).
• ––– (2007), „Recenze Sternovy recenze o ekonomice změny klimatu“, Journal of Economic Literature, 45 (3), 686–702.
• Parfit, D. (1984), Důvody a osoby (Oxford: Oxford University Press).
• Ramsey, FP (1928), „Matematická teorie spoření“, Economic Journal, 38 (4), 543–559.
• ––– (1931), „Epilog“, v RB Braithwaite, ed., Základy matematiky a dalších logických esejí (Londýn: Routledge a Kegan Paul).
• Rawls, J. (1972), Theory of Justice (Oxford: Oxford University Press).
• Sen, A. a B. Williams (1982), „Introduction“, v Utilitarianism and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press).
• Sidgwick, H. (1907), The Ethics Methods (London: MacMillan), 7. vydání.
• Solow, RM (1974a), „Ekonomie zdrojů a zdrojů ekonomiky“, American Economic Review, 64 (Papers & Proceedings), 1-21.
• ––– (1974b), „Mezigenerační kapitál a vyčerpatelné zdroje“, Přehled ekonomických studií, 41 (Symposium Issue), 29–45.
• Stern, NH (2006), Sternův přehled ekonomie změny klimatu (Cambridge: Cambridge University Press).
• von Weizsacker, CC (1965), „Existence optimálních programů akumulace pro nekonečný časový horizont,“Přehled ekonomických studií, 32 (2), 85–104.
• Yaari, M. (1965), „Nejistá životnost, životní pojištění a teorie spotřebitele“, Přehled ekonomických studií, 32 (2), 137–158.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]