První publikováno Út 28. srpna 2001; věcná revize Čt 13. prosince 2018
Všichni jsme zapojeni a používáme platné zdůvodnění, ale zdůvodnění, které ve skutečnosti provádíme, se liší v různých ohledech od závěrů studovaných většinou (formálních) logiků. Zdůvodnění, jaké vykonávají lidé, obvykle zahrnuje informace získané prostřednictvím více než jednoho média. Naproti tomu formální logika se dosud primárně zabývala platným zdůvodněním, které je založeno na informacích pouze v jedné formě, tj. Ve formě vět. V poslední době si mnoho filosofů, psychologů, logiků, matematiků a počítačových vědců stále více uvědomuje důležitost multimodálního uvažování a navíc bylo provedeno mnoho výzkumů v oblasti nesymbolických, zejména grafických, reprezentačních systémů. [1] Tento příspěvek nastiňuje celkové směry této nové oblasti výzkumu a zaměřuje se na logický stav diagramů v důkazech, jejich reprezentativní funkci a adekvátnost, různé druhy diagramových systémů a roli diagramů v lidském poznání.
1. Úvod
2. Diagramy jako reprezentační systémy
2.1 Eulerovy diagramy
2.2 Vennovy diagramy
2.3 Peirceovo rozšíření
2.4 Diagramy jako formální systémy
2.5 Eulerovy kruhy byly znovu zkontrolovány
3. Důsledky prostorových vlastností diagramů
3.1 Omezení v grafickém znázornění a zdůvodnění
3.2 Účinnost diagramů
4. Schematické systémy v geometrii
4.1 Názory na Euclidových diagramů od 4 tého století BCE do 20 th století nl
4.2 Přesné / společné přesnosti mandátů a problém obecnosti
4.2.1 Přesné / společné přesné rozlišení
4.2.2 Obecný problém s konstrukcemi Euclidu
4.3 Formální systémy FG a Eu
5. Schémata a poznání, aplikace
5.1 Některé další diagramové systémy
5.2 Schémata jako mentální reprezentace
5.3 Kognitivní role diagramů
souhrn
Bibliografie
Reference
Relevantní literatura
Akademické nástroje
Další internetové zdroje
Související záznamy
1. Úvod
Diagramy nebo obrázky patrně patří k nejstarším formám lidské komunikace. Nejsou používány pouze pro reprezentaci, ale mohou být také použity k provádění určitých typů uvažování, a proto hrají zvláštní roli v logice a matematice. V moderní historii logiky však dominovaly systémy sentimentální reprezentace (např. Logika prvního řádu), zatímco diagramy byly do značné míry vnímány pouze jako okrajové. Diagramy jsou obvykle přijímány jako heuristický nástroj při zkoumání důkazu, ale ne jako součást důkazu. [2] Jedná se o zcela nové hnutí mezi filozofy, logisty, kognitivními vědci a počítačovými vědci, kteří se zaměřují na různé typy reprezentačních systémů, a mnoho výzkumu bylo zaměřeno zejména na schematické reprezentační systémy.
Ti, kteří pracují na multimodálním uvažování, vyzývají dlouhodobé předsudky proti schématickému znázornění, zvolili různé přístupy, které můžeme rozdělit do tří různých skupin. Jedno odvětví výzkumu lze nalézt ve filozofii mysli a kognitivní vědy. Protože hranice jazykových forem jsou jasné těm, kteří pracovali na mentálním zastoupení a uvažování, někteří filozofové a kognitivní vědci s nadšením přijali tento nový směr multimodálního uvažování a prozkoumali lidské uvažování a mentální zastoupení zahrnující nelingvistické formy. (Cummins 1996; Chandrasekaran a kol. 1995). Další část práce na schématickém uvažování ukazuje, že neexistuje žádný vnitřní rozdíl mezi symbolickými a schématickými systémy, pokud jde o jejich logický stav. Někteří logici předložili případové studie, které prokazují, že diagramové systémy mohou být zdravé a úplné ve stejném smyslu jako symbolické systémy. Tento typ výsledku přímo vyvrátil široce uznávaný předpoklad, že diagramy jsou neodmyslitelně zavádějící, a zrušily teoretické námitky proti diagramům používaným v důkazech (Shin 1994; Hammer 1995a). Třetí směr v multimodálním uvažování zaujali počítačoví vědci, jejichž zájem je mnohem praktičtější než zájem ostatních skupin. Není divu, že ti, kdo pracují v mnoha oblastech výpočetní techniky - například reprezentace znalostí, návrh systémů, vizuální programování, návrh grafického uživatelského rozhraní, atd., Objevili nové a vzrušující příležitosti v této nové koncepci „heterogenního systému“a implementovali schématické reprezentace v jejich výzkumných oblastech.
Pro tuto položku máme následující cíle. Nejprve bychom chtěli čtenáře seznámit s podrobnostmi některých konkrétních schématických systémů. Příspěvek se zároveň bude zabývat teoretickými otázkami zkoumáním povahy grafického znázornění a uvažování z hlediska expresivní moci a správnosti. Případová studie druhé sekce nejen uspokojí náš první cíl, ale také nám poskytne solidní materiál pro teoretičtější a obecnější diskusi ve třetí části. Čtvrtá část představuje další případovou studii a posuzuje ji na základě obecné diskuse třetí části. Jak bylo uvedeno výše, téma diagramů přitahovalo velkou pozornost s důležitými výsledky z mnoha různých oblastí výzkumu. Proto,Cílem naší páté sekce je představit různé přístupy ke schématickému uvažování v různých oblastech.
Pro další diskusi musíme objasnit dvě související, ale odlišná použití slova „diagram“: diagram jako vnitřní mentální reprezentace a diagram jako externí reprezentace. Následující citace od Chandrasekaran et al. (1995: p. Xvii) stručně shrnuje rozdíl mezi interními a externími diagramovými reprezentacemi:
Externí diagramové reprezentace: Jsou konstruovány agentem na médiu ve vnějším světě (papír atd.), Ale jsou míněny jako reprezentace agentem.
Vnitřní diagramy nebo obrázky: Jedná se o (kontroverzní) interní reprezentace, u nichž se předpokládá, že mají některé obrazové vlastnosti.
Jak uvidíme níže, logici se zaměřují na externí diagramové systémy, debata o obrazech mezi filozofy mysli a kognitivními vědci je hlavně o interních diagramech a výzkum kognitivní role diagramů se dotýká obou forem.
2. Diagramy jako reprezentační systémy
Dominance systémů sentimentální reprezentace v historii moderní logiky zakrývala několik důležitých faktů o schématických systémech. Jedním z nich je, že před dobou moderní logiky bylo jako heuristický nástroj k dispozici několik známých schématických systémů. Eulerovy kruhy, Vennovy diagramy a Lewis Carrollovy čtverce byly široce používány pro určité typy sylogických úvah (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Další zajímavý, ale opomíjený příběh je, že zakladatel moderní symbolické logiky Charles Peirce nejen revidoval Vennovy diagramy, ale také vynalezl grafický systém Existenciální grafy, který se ukázal jako ekvivalent predikátového jazyka (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).
Tyto stávající diagramy inspirovaly ty vědce, kteří nedávno upozornili na multimodální reprezentaci. Logici, kteří se účastní projektu, prozkoumali toto téma dvěma různými způsoby. Nejprve se jejich zájem zaměřil výhradně na externě nakreslené reprezentační systémy, na rozdíl od interních mentálních reprezentací. Za druhé, jejich cílem bylo zjistit logický stav systému, spíše než vysvětlit jeho heuristickou sílu, testováním správnosti a expresivní síly selektivních reprezentačních systémů. Pokud systém nedokáže ospravedlnit jeho zdravost nebo je-li jeho expresivní síla příliš omezená, logistický zájem o tento jazyk zmizí (Sowa 1984; Shin 1994).
V této části zkoumáme historický vývoj Eulerových a Vennových diagramů jako případovou studii, abychom ilustrovali následující aspekty: Zaprvé, tento proces nám ukáže, jak se jednoduchá intuice jednoho matematika o mapování sylogických úvah postupně vyvinula do formálního reprezentačního systému. Za druhé, budeme pozorovat různé důrazy dané různým fázím rozšíření a modifikace schématického systému. Zatřetí a související, tento historický vývoj ilustruje zajímavé napětí a kompromis mezi expresivní silou a vizuální jasností schématických systémů. Nejdůležitější je, že čtenář bude svědkem logiků, kteří se zabývají otázkou, zda existuje nějaký vnitřní důvod, že sentimentální systémy, ale nikoli diagramové systémy, by nám mohly poskytnout přísné důkazy,a jejich úspěch v odpovědi na tuto otázku záporně.
Čtenář proto nebude překvapen následujícím závěrem, který vyvodili Barwise a Etchemendy, první logici, kteří zahájili šetření logických důkazů v logice,
neexistuje principiální rozdíl mezi inferenčními formalismy, které používají text, a formáty, které používají diagramy. Jeden může mít přísné, logicky zdravé (a úplné) formální systémy založené na diagramech. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)
Toto přesvědčení bylo nezbytné pro zrod jejich inovativního počítačového programu Hyperproof, který přijímá jak jazyky prvního řádu, tak schémata (v multimodálním systému) k výuce elementárních logických kurzů (Barwise & Etchemendy 1993 a Barwise & Etchemendy 1994).
2.1 Eulerovy diagramy
Leonhard Euler, matematik z 18. století, přijal uzavřené křivky, aby ilustroval syllogistické uvažování (Euler 1768). Čtyři druhy kategorických vět jsou jím znázorněny, jak je znázorněno na obrázku 1.
Čtyři případy: první označený „Všechny A jsou B“má vnitřní kruh označený „A“zcela uvnitř vnějšího kruhu označeného „B“; druhý označený „Ne A je B“má dva nepřekrývající se kruhy, jeden označený „A“a druhý „B“; třetí označený „Některé A je B“má dva překrývající se kruhy, překrytí je označeno „A“a bit, který se nepřekrývá, je označen „B“; čtvrtý případ označený „Některé A není B“má dva překrývající se kruhy, bit nepřekrývající se jeden je označen „A“a bit nepřekrývající se druhý je označen „B“
Obrázek 1: Eulerovy diagramy
Pro dva univerzální příkazy systém přijímá prostorové vztahy mezi kruhy intuitivním způsobem: Pokud je kruh označený „A“zahrnut do kruhu označeného „B“, pak diagram představuje informaci, že vše A je B. Pokud mezi dvěma kruhy není žádná překrývající se část, pak diagram zobrazuje informaci, že žádné A není B.
Toto zastoupení se řídí následující úmluvou: [3]
Každému objektu x v doméně je přiřazeno jedinečné umístění, řekněme l (x), v rovině tak, že l (x) je v oblasti R, a to pouze tehdy, když x je členem sady, kterou region R představuje.
Síla této reprezentace spočívá v tom, že objekt, který je členem sady, je snadno konceptualizován jako objekt spadající do sady, stejně jako umístění na stránce se považuje za padající uvnitř nebo vně nakreslených kruhů. Síla systému spočívá také v tom, že nejsou potřeba žádné další konvence pro stanovení významu diagramů zahrnujících více než jednu kružnici: vztahy mezi množinami jsou prosazovány prostřednictvím stejných vztahů mezi kruhy, které je reprezentují. Reprezentace dvou univerzálních výroků „Všechny A jsou B“a „Ne A je B“ilustrují tuto sílu systému.
Po přechodu ke dvěma existenciálním tvrzením není tato jasnost zachována. Euler ospravedlňuje schéma „Některá A je B“a říká, že můžeme vizuálně odvodit, že něco v A je také obsaženo v B, protože část oblasti A je obsažena v oblasti B (Euler 1768: 233). Je zřejmé, že sám Euler věřil, že stejný druh vztahu vizuálního omezení mezi oblastmi lze použít v tomto případě i v případě univerzálních prohlášení. Eulerova víra však není správná a tato reprezentace vyvolává škodlivou dvojznačnost. V tomto diagramu je nejen část kruhu A obsažena v oblasti B (jak popisuje Euler), ale platí následující: (i) část kruhu B je obsažena v oblasti A (ii) část kruhu A není obsažena v kruh B (iii) část kruhu B není obsažena v kruhu A. To znamená, že třetí diagram lze odečíst jako „Některé B je A,“„ Některá A není B “a„ Některá B není A “a„ Některá A je B “. Abychom se vyhnuli této dvojznačnosti, musíme stanovit několik dalších úmluv.[4]
Eulerovy vlastní příklady pěkně ilustrují silné a slabé stránky jeho schématického systému.
Příklad 1. Všechny A jsou B. Všechny C jsou A. Proto všechny C jsou B.
Tři soustředné kruhy, nejvnitřnější označené „C“, další označené „A“a nejkrajnější označené „B“
Příklad 2. Ne A je B. Všechny C jsou B. Proto žádný C není A.
Vlevo kruh označený „A“a napravo dva soustředné kruhy, vnitřní kruh označený „C“a vnější kruh označený „B“
V obou příkladech může čtenář snadno odvodit závěr, a to ilustruje vizuálně silné rysy Eulerových diagramů. Když jsou však zastoupeny existenciální výroky, věci se stávají komplikovanějšími, jak je vysvětleno výše. Například:
Příklad 3. Ne A je B. Některé C je A. Proto některé C není B.
Žádný jednotlivý diagram nemůže představovat tyto dva prostory, protože vztah mezi množinami B a C nemůže být plně specifikován v jednom jediném diagramu. Místo toho Euler navrhuje následující tři možné případy:
Tři případy: Případ 1 má na levé straně dva překrývající se kruhy, překrytí je označeno „C“a nepřekrývající se část prvního kruhu je označena „A“; vpravo a odděleně je třetí kruh označený „B“. Případ 2 má tři kruhy, dva kruhy se překrývají a překryvná část je označena „C“a nepřekrývající se část prvního kruhu je označena „A“; v nepřekrývající se části druhého kruhu je třetí kruh označený „B“. Případ 3 je podobný případu 2 s tou výjimkou, že třetí kruh není zcela uvnitř nepřekrývající se části druhé kružnice; část třetího kruhu mimo druhý kruh je označena „B“
Euler tvrdí, že návrh „Některé C není B“lze vyčíst ze všech těchto diagramů. Není však ani zdaleka jasné, jak první dva případy vedou uživatele k přečtení tohoto návrhu, protože uživatel by mohl odečíst „No C is B“z případu 1 a „All B is C“z případu 2.
Reprezentace existenciálních tvrzení tedy nejen zakrývá vizuální jasnost Eulerových kruhů, ale také způsobuje vážné interpretační problémy systému. Zdálo se, že sám Euler rozpoznal tento potenciální problém a zavedl nové syntaktické zařízení „*“(představující nevyplnění) jako pokus o opravu této chyby (1768: Letter 105).
Závažnější nevýhoda je však zjištěna, když tento systém nepředstavuje určité kompatibilní (tj. Konzistentní) informace v jediném diagramu. Například Eulerův systém nám neumožňuje nakreslit jediný diagram představující následující dvojice příkazů: (i) „Všechny A jsou B“a „Ne A je B“(které jsou konzistentní, pokud A je prázdná sada). (ii) „Všechny A jsou B“a „Všechny B jsou A“(které jsou konzistentní, když A = B). (iii) „Některé A jsou B“a „Všechny A jsou B“. (Předpokládejme, že jsme pro dřívější nabídku vytvořili Eulerův diagram a pokusili jsme se do tohoto stávajícího diagramu přidat novou kompatibilní informaci, tj. Druhou). Tento nedostatek úzce souvisí s Vennovou motivací pro jeho vlastní grafický systém (viz oddíl 3.1) pro další nedostatky Eulerova systému).
2.2 Vennovy diagramy
Vennova kritika Euler Circles je shrnuta v následující pasáži:
Slabá stránka v tomto [Eulerově diagramu] a ve všech podobných schématech spočívá v tom, že pouze striktně ilustrují skutečný vztah tříd k sobě navzájem, spíše než nedokonalé znalosti těchto vztahů, které můžeme mít, nebo mohou si přeje sdělit prostřednictvím návrhu. (Venn 1881: 510)
Kvůli jeho přísnosti, Eulerův systém někdy nedokáže reprezentovat konzistentní informace v jediném diagramu, jak je uvedeno výše. Kromě tohoto výrazového omezení trpí Eulerův systém také jinými druhy výrazných omezení, pokud jde o neprázdné množiny, kvůli topologickým omezením na obrázcích letadel (viz oddíl 3.1).
Vennův nový systém (1881) měl překonat tato výrazná omezení, aby bylo možné reprezentovat dílčí informace. Řešením byla jeho myšlenka „primárních diagramů“. Primární diagram představuje všechny možné teorie teoretických vztahů mezi množinou množin, aniž by se na ně vztahovaly jakékoli existenciální závazky. Například obrázek 2 ukazuje primární diagram o sadách A a B.
dva překrývající se kruhy, první označený „A“a druhý označený „B“
Obrázek 2: Vennovy primární diagramy
Podle Vennova systému tento diagram nepřináší žádné konkrétní informace o vztahu mezi těmito dvěma sadami. Toto je hlavní rozdíl mezi Eulerovými a Vennovými diagramy.
Pro znázornění univerzálních výroků, na rozdíl od vizuálně jasných vztahů prostorového kontejnmentu v případě Eulerových diagramů, Vennovým řešením je „zastínit je [příslušné oblasti]“(Venn 1881: 122). Použitím tohoto syntaktického zařízení získáváme diagramy pro univerzální příkazy, jak je znázorněno na obrázku 3.
Dva Vennovy diagramy. První je s názvem „Všechny A jsou B“a skládá se ze dvou překrývajících se kruhů označených „A“a „B“, část A, která se nepřekrývá s B, je zastíněna. Druhý je nazván „No A is B“a také se skládá ze dvou překrývajících se kruhů označených „A“a „B“, překrytí těchto dvou kruhů je zastíněno
Obrázek 3: Vennovo stínování
Vennova volba stínování nemusí být naprosto svévolná v tom, že stínování lze interpretovat jako vizualizaci prázdné prázdnoty. Je však třeba poznamenat, že zastínění je nové syntaktické zařízení, které Euler nepoužíval. Tato revize poskytla systému flexibilitu, takže určité kompatibilní informace mohou být reprezentovány v jediném diagramu. V následujícím diagramu vlevo se kombinují dvě informace: „Všechny A jsou B“a „Ne A je B“, aby se vizuálně předaly informace „Nic není A“. Diagram napravo, který představuje „Všechny A jsou B“a „Všechny B jsou A“, jasně ukazuje, že A je stejné jako B:
Dva Vennovy diagramy: první má dva překrývající se kruhy označené 'A' a 'B' kruh A je zastíněn. Druhým jsou také dva překrývající se kruhy označené 'A' a 'B', oba kruhy jsou stínované, kromě případů, kdy se překrývají
Ve skutečnosti se použití primárních diagramů také vyhýbá některým dalším problémům s expresivitou (co do činění s prostorovými vlastnostmi objektů diagramu), které jsou popsány níže, v části 3. Venn překvapivě mlčel o reprezentaci existenciálních příkazů, což byla další obtíž Eulerových diagramů. Můžeme si jen představit, že Venn mohla představit jiný druh syntaktického objektu představujícího existenciální závazek. To je to, co Charles Peirce udělal asi o dvacet let později.
2.3 Peirceovo rozšíření
Peirce poukazuje na to, že Vennův systém nedokáže reprezentovat následující druhy informací: existenciální výkazy, disjunktivní informace, pravděpodobnosti a vztahy. Peirce si kladl za cíl rozšířit Vennův systém ve výrazové moci s ohledem na první dva druhy výroků, tj. Existenciální a disjunktivní prohlášení. Toto rozšíření bylo dokončeno pomocí následujících tří zařízení. (i) Nahradit Vennovo stínování představující prázdnotu novým symbolem „o“. ii) Zavést symbol „x“pro existenciální import. iii) Pro disjunktivní informace uveďte lineární symbol „-“, který spojuje symboly „o“a „x“.
Například obrázek 4 představuje prohlášení „Všechny A jsou B nebo některé A je B“, které ani Eulerův, ani Vennův systém nemohou představovat v jediném diagramu.
Dva překrývající se kruhy označené „A“a „B“; uvnitř překrytí je štítek „x“a uvnitř nepřekrývajícího se kousku kruhu A je štítek „o“; čára spojuje „x“s „o“
Obrázek 4: Peirceův diagram
Důvod, proč Peirce nahradil Vennovo stínování pro prázdnotu, symbolem 'o' se zdá být zřejmý: Nebylo by snadné spojit stínování nebo stínování a 'x', aby představovaly disjunktivní informace. Peirce tak zvýšila expresivní sílu systému, ale tato změna nebyla bez nákladů.
Například následující diagram představuje návrh „Buď jsou všechny A B a některé A jsou B, nebo žádné A je B a některé B není A“:
dva překrývající se kruhy označené „A“a „B“; za prvé, uvnitř nepřekrývající se části kruhu A je „o“spojené čarou s „o“uvnitř překrytí; za druhé, také v nepřekrývající se části kruhu A je další 'o' spojené čarou s 'x' v nepřekrývající se části kruhu 'B' třetí v překrývající se části obou kruhů jsou 'x a' o 'spojené čarou; čtvrtý 'x' v překrývajícím se úseku spojeném linií s 'x' v nepřekrývajícím se úseku kruhu B
Čtení tohoto diagramu vyžaduje více než čtení vizuálního uzavření mezi kruhy (jako v Eulerových diagramech) nebo stínování (jako v Vennových diagramech), ale také vyžaduje zvláštní konvence pro čtení kombinací symbolů 'o,' 'x' a čar. Peirceovy nové úmluvy zvýšily expresivní sílu jednotlivých diagramů, ale svévolnost svých úmluv a více matoucí reprezentace (například výše uvedený diagram) obětovala vizuální jasnost, kterou Eulerův původní systém těší. V tuto chvíli se Peirce přiznává, že „ve výrazu je velká složitost, která je pro význam nezbytná“(Peirce 1933: 4.365). Když byla dokončena Peirceova revize, většina Eulerových původních myšlenek na vizualizaci byla ztracena, až na to, že geometrický objekt (kruh) se používá k reprezentaci (možná prázdných) sad.
Další důležitý příspěvek Peirce ke studiu diagramů začíná následující poznámkou:
„Pravidlo“se zde používá ve smyslu, v jakém mluvíme o „pravidlech“algebry; to znamená jako povolení za přesně stanovených podmínek. (Peirce 1933: 4,361)
Peirce byl pravděpodobně první osobou, která diskutovala o pravidlech transformace v systému nes sentimentálních reprezentací. Stejně jako nám pravidla algebry říkají, které transformace symbolů jsou povoleny a které nikoli, měla by platit i pravidla manipulace se schématy. Některá z Pierceových šesti pravidel potřebovala více vyjasnění a ukázalo se, že jsou neúplná - problém, který Peirce sám očekával. A co je důležitější, Peirce neměl žádný teoretický nástroj - jasný rozdíl mezi syntaxí a sémantikou -, který by přesvědčil čtenáře o tom, že každé pravidlo je správné nebo aby určil, zda je zapotřebí dalších pravidel. To znamená, že jeho důležitá intuice (že by mohla existovat transformační pravidla pro diagramy) zůstala opodstatněná.
2.4 Diagramy jako formální systémy
Shin (1994) sleduje Peirceovu práci dvěma směry. Jedním je zlepšení Peirceovy verze Vennových diagramů a druhým je prokázat spolehlivost a úplnost tohoto revidovaného systému.
Shinova práce mění Peirceovy modifikace Vennových diagramů, aby se dosáhlo zvýšení expresivní síly bez tak výrazné ztráty vizuální jasnosti. Tato revize se provádí ve dvou fázích: (i) Venn-I: zachovává Vennovy stínování (pro prázdnotu), Peirceho „x“(pro existenciální import) a Peirceovu spojovací linku mezi „x“(pro disjunktivní informace). (ii) Venn-II: Tento systém, který se prokázal jako logicky ekvivalentní monadické predikátové logice, je stejný jako u Venn-I s tou výjimkou, že je nově zavedena spojovací čára mezi diagramy pro zobrazení disjunktivních informací.
Vrátíme-li se k jednomu z Eulerových příkladů, jasně uvidíme kontrast mezi těmito různými verzemi:
Příklad 3. Ne A je B. Některé C je A. Proto některé C není B.
Euler připouští, že nelze reprezentovat žádný Eulerův diagram, který by reprezentoval prostory, ale že musí být nakresleny tři možné případy. Vennův systém mlčí o existenciálních prohlášeních. Systémy Peirce a Shin nyní představují tyto dva prostory v jediném diagramu takto:
Dva diagramy skládající se ze tří překrývajících se kruhů označených „A“, „B“a „C“. První diagram, nazvaný „Peirce“, má v překrývání všech tří kruhů „x“spojené s „x“v překrývání pouze kruhů A a C; má také v překrývání všech tří kruhů „o“a také „o“v překrývání pouze kruhů A a B. Druhý diagram s názvem „Shin“má v překrývání všech tří kruhů „x“'spojené s' x 'v překrývání pouze kruhů A a C; překrytí A a B je zastíněno
V případě Shinova diagramu Vennova stínovací konvence pro prázdnotu, na rozdíl od Peirceova 'o', mnohem přirozeně vede čtenáře k závěru „Některá C není B“než v případě Peircovho diagramu.
Venn-I však nemůže vyjádřit disjunktivní informace mezi univerzálními výroky nebo mezi univerzálními a existenciálními výroky. Zachování výrazné síly Venn-I umožňuje Venn-II umožnit připojení diagramů pomocí linky. Peirce je matoucí vypadající schéma výše je ekvivalentní k následujícímu Venn-II diagramu:
Dva obdélníky spojené čarou, z nichž každý obsahuje dva překrývající se kruhy; v prvním obdélníku překrytí dvou kruhů obsahuje „x“a nepřekrývající se část prvního kruhu je zastíněna; ve druhém obdélníku je překrývající se část obou kruhů zastíněna a „x“je v nepřekrývající se části druhé kružnice
Kromě této revize představil Shin (1994) každý z těchto dvou systémů jako standardní formální reprezentační systém vybavený vlastní syntaxí a sémantikou. Syntaxe nám říká, které diagramy jsou přijatelné, tj. Které jsou dobře tvarované a jaké manipulace jsou v každém systému přípustné. Sémantika definuje logické důsledky mezi diagramy. Pomocí těchto nástrojů je prokázáno, že systémy jsou zdravé a úplné, ve stejném smyslu jako některé symbolické logiky.
Tento přístup představoval zásadní výzvu pro některé předpoklady o systémech reprezentace. Od vývoje moderní logiky byly důležité pojmy, např. Syntaxe, sémantika, inference, logické důsledky, platnost a úplnost, aplikovány pouze na systémy reprezentativní reprezentace. Nic z toho se však ukázalo jako neodmyslitelné pouze pro tyto tradiční symbolické logiky. Pro jakýkoli reprezentační systém, ať už je to sentimentální nebo diagramový, můžeme diskutovat dvě úrovně, syntaktickou a sémantickou úroveň. Jaká odvozovací pravidla nám říkají, jak manipulovat s danou jednotkou, ať už symbolickou nebo schematickou, s jinou. Definice logických důsledků je rovněž prostá jakékoli specifické formy reprezentačního systému. Stejný argument platí pro důkazy o důkladnosti a úplnosti. Když se ukáže, že systém je zdravý,měli bychom to být schopni přijmout jako důkaz. Ve skutečnosti mnoho současných výzkumů zkoumá použití diagramů v automatizovaném prokazování věty (viz Barker-Plummer a Bailin 1997; a Jamnik et al. 1999).
2.5 Eulerovy kruhy byly znovu zkontrolovány
Je zajímavé a důležité si všimnout, že postupné změny od Eulerových kruhů až k Shinovým systémům sdílejí jedno společné téma: zvýšit expresivní i logickou sílu systému tak, aby byl zdravý, úplný a logicky ekvivalentní monadické predikátové logice. Hlavní revize Eulerových a Vennových diagramů, představující primární diagramy, nám umožňuje reprezentovat dílčí znalosti o vztazích mezi množinami. Rozšíření z diagramů Venna na Peirce je provedeno tak, aby existenční a disjunktivní informace mohly být reprezentovány efektivněji.
Venn i Peirce přijali stejné řešení, aby dosáhli těchto vylepšení: představit nové syntaktické objekty, tj. Stínování Vennem a „x“, „o“a linie od Peirce. Na druhé straně však tyto revidované systémy trpí ztrátou vizuální srozumitelnosti, jak je vidět výše, hlavně kvůli zavedení libovolnějších úmluv. Úpravy diagramů Peirce na Shin se zaměřují na obnovení vizuální jasnosti, ale bez ztráty výrazové síly.
Hammer a Shin jdou jinou cestou z těchto revizí: Oživit Eulerův homomorfní vztah mezi kruhy a množinami - kontejnery mezi kruhy představuje podmnožinový vztah mezi množinami a nepřekrývání regionů představuje nesouvislý vztah - a zároveň přijmout Vennovy primární diagramy ve výchozím nastavení. Na druhé straně tento revidovaný Eulerův systém není soběstačným nástrojem pro sylogické uvažování, protože nemůže představovat existenciální tvrzení. Více podrobností o tomto revidovaném systému viz (Hammer & Shin 1998).
Tato případová studie vyvolává zajímavou otázku pro další výzkum schématického zdůvodnění. V průběhu různých vývojů Eulerových diagramů se zdá, že zvyšování jeho expresivní síly a zvyšování jeho vizuální jasnosti se navzájem doplňují. V závislosti na účelu musíme dát přednost jedné před druhou. Hammerův a Shinův alternativní systém poskytuje jednoduchý model pro vývoj dalších efektivních nes sentimentálních reprezentačních systémů, což je téma, které získává stále větší pozornost v oblasti informatiky a kognitivní vědy.
3. Důsledky prostorových vlastností diagramů
I když je často možné dovolit diagramům stejný logický stav jako vzorce (jak bylo uvedeno výše), stále existují důležité rozdíly (které mohou mít dopady na správnost systému) mezi diagramy a tradičními lineárními korekčními kalkulemi. Důležitým bodem k poznámce o diagramech (srov. Russell 1923) je, že prostorové vztahy mezi objekty v diagramu lze použít k reprezentaci vztahů mezi objekty v jiné doméně. Sekvenční jazyky (např. Symbolická logika, přirozené jazyky) však pro reprezentaci vztahů mezi objekty používají pouze vztah zřetězení. Zvláštní reprezentativní využití prostorových vztahů v případě diagramů je přímé a intuitivní, jak je vidět ve vývoji Eulerových diagramů výše, ale má také své nebezpečí - jak budeme diskutovat. Prostorová omezení, která jsou typická pro schematické systémy,lze očekávat, že bude důležitým zdrojem jejich silných i slabých stránek. Psychologické úvahy týkající se lidských schopností pro vizuální zpracování informací a dovednosti při kvalitativním prostorovém uvažování mají také dopady na účinnost uvažování pomocí diagramů, ale nebudeme je zde zkoumat.
Zvláštním rozlišovacím znakem diagramů je to, že dodržují určitá „nomická“nebo „vnitřní“omezení kvůli použití rovinných ploch jako média reprezentace. Myšlenka je taková, že sentimentální jazyky jsou založeny na akustických signálech, které jsou sekvenční povahy, a proto musí mít kompenzačně složitou syntaxi, aby mohly vyjádřit určité vztahy - zatímco diagramy, které jsou dvourozměrné, jsou schopny zobrazit některé vztahy bez zásahu komplexní syntax (Stenning & Lemon 2001). Schémata využívají tuto možnost - využití prostorových vztahů k reprezentaci dalších vztahů. Otázkou je; jak dobře mohou prostorové vztahy a objekty představovat jiné (možná abstraktnější) objekty a vztahy?
Logické uvažování s diagramy se často provádí na základě jejich zobrazení všech možných modelů situace, až po topologickou ekvivalenci diagramů (to samozřejmě záleží na konkrétním používaném schématu). Jediný diagram je často abstrakce nad třídou situací, a jakmile je vytvořen vhodný diagram, lze závěry jednoduše přečíst odečtením bez jakékoli další manipulace. V některých schématických systémech (např. Eulerovy kruhy) je odvozování prováděno správným konstruováním diagramů a čtením informací z nich. Složitost použití inferenčních pravidel v symbolické logice je v těchto případech nahrazena problémem správného kreslení konkrétních diagramů. [5]Například diagram Eulerových kruhů se pokouší zachytit vztahy mezi množinami pomocí topologických vztahů mezi rovinnými oblastmi tak, aby zobrazoval všechny možné způsoby, kterými by určitá sbírka teoretických tvrzení mohla být pravdivá. To má dva důležité důsledky: (1) pokud nelze určitý diagram nakreslit, musí být popsaná situace nemožná (nazývaná „samostatnost“) a (2) pokud musí být nakreslen určitý vztah mezi objekty diagramu, pak odpovídající vztah lze odvodit jako logicky platný. (Viz četné příklady v části 2.) Tento jev se často nazývá „jízda na volné noze“(Barwise & Shimojima 1995). Tento styl schématického uvažování je tedy závislý na konkrétním reprezentativním použití diagramů - to, že představují třídy modelů. Pokud určitá třída modelů nemůže být reprezentována schématickým systémem, nebudou tyto případy zohledněny v závěrech používajících systém a mohou být vyvodeny nesprávné závěry. Tato skutečnost učiní reprezentativní přiměřenost diagramových systémů, omezenou jejich prostorovou povahou, prvořadou důležitost, jak nyní prozkoumáme.
3.1 Omezení v grafickém znázornění a zdůvodnění
Reprezentativní využití prostorových vztahů v rovině omezuje schematické znázornění, a proto uvažování s diagramy, určitými důležitými způsoby. Zejména existují topologické a geometrické (spojme je dohromady jako „prostorové“) vlastnosti diagramových objektů a vztahy, které omezují expresivní sílu diagramových systémů. Například v teorii grafů je známo, že některé jednoduché struktury nelze v rovině nakreslit. Například graf K 5je graf skládající se z 5 uzlů, z nichž každý je spojen obloukem. Tento graf není rovinný, což znamená, že jej nelze vykreslit bez překročení alespoň dvou oblouků. To je jen druh omezení možných diagramů, které omezují expresivní sílu diagrammatických systémů. Nyní, protože diagramové uvažování může nastat pomocí výčtu všech možných modelů situace, tato reprezentativní nedostatečnost (druh neúplnosti) způsobuje, že mnoho schématických systémů je nesprávných, pokud jsou použity pro logické uvažování (např. Viz kritika Englebretsena 1992 v Lemon & Pratt 1998).
Snad nejjednodušším příkladem je Lemon a Pratt [6] (viz např. 1997). Zvažte Eulerovy kruhy - kde konvexní oblasti roviny představují sady a překrývání oblastí představuje neprázdný průnik odpovídajících sad. Výsledek konvexní topologie známé jako Hellyova věta uvádí (pro 2 rozměrný případ), že pokud má každá trojice ze 4 konvexních průniků neprázdný průnik, pak všechny čtyři regiony musí mít neprázdný průnik.
Chcete-li pochopit důsledky tohoto, zvažte následující problém:
Příklad 4. Pomocí Eulerových kruhů zastupujte následující prostory:
A ∩ B ∩ C ≠ ∅
B ∩ C ∩ D ≠ ∅
C ∩ D ∩ A ≠ ∅
Všimněte si, že pokud jde o teorii množin, vyplývají z těchto prostor jen triviální důsledky. Eulerův diagram prostor, jako je obrázek 5, však vede k nesprávnému závěru, že A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (kvůli čtyřnásobné oblasti překrývání ve středu diagramu):
Čtyři překrývající se kruhy označené „A“, „B“, „C“a „D“
Jinými slovy, uživatel Eulerových kruhů je nucen [7] reprezentovat vztah mezi množinami, což není logicky nutné. To znamená, že existují logicky možné situace, které systém nemůže reprezentovat, a že uživatel by udělal nesprávné závěry, pokud by se spoléhal na systém pro zdůvodnění. Obecně lze tento typ výsledku generovat pro mnoho různých typů schématického systému, v závislosti na konkrétních prostorových vztazích a objektech, které používají v reprezentaci - probíhající výzkumný program.
Například použití nekonvexních regionů (např. „Kuliček“místo kruhů) vede k podobnému problému, ale místo Hellyho věty jsou zapojeny pouze nerovinné grafy. Podobný výsledek se týká lineárních diagramů pro syllogismy Englebretsen 1992, kde se čáry používají k reprezentaci množin, body představují jednotlivce, průsečík bod-čára představuje set členství a průsečík čar představuje průsečík. Omezení rovinnosti opět omezují expresivní sílu systému a vedou k nesprávným závěrům.
Atsushi Shimojimaova „hypotéza omezení“možná nejlépe shrnuje toto vše:
Reprezentace jsou objekty na světě a jako takové dodržují určitá strukturální omezení, která řídí jejich možnou formaci. Rozdíl v inferenčním potenciálu různých způsobů reprezentace je do značné míry způsoben různými způsoby, ve kterých se tato strukturální omezení reprezentací shodují s omezeními na cílech reprezentace (Shimojima 1996a, 1999).
3.2 Účinnost diagramů
Jak bylo uvedeno výše, velký zájem o diagramy byl generován tvrzením, že jsou pro určité typy úkolů nějak „účinnější“než tradiční logické reprezentace. Například mapa je jistě větší pomůckou k navigaci než slovní popis krajiny. I když však jistě existují psychologické výhody, které lze pomocí diagramů získat, jsou (jako v případě Eulerových kruhů) často neúčinné jako reprezentace abstraktních objektů a vztahů. Jakmile se jedná o ryze intuitivní představu, lze zkoumat non-psychologické tvrzení o „účinnosti“schématických systémů z hlediska standardních formálních vlastností jazyků (Lemon et al. 1999). Zejména mnoho diagramových systémů je nesoudržných, nesprávných a neúplných a složitost závěrů s diagramy je obtížná. Naproti tomu většina sentimentálních logik, i když je schopna vyjádřit nekonzistence, je úplná a správná[8].
Na druhé straně, neschopnost reprezentovat rozpory by nám mohla poskytnout zajímavé poznatky o povaze schematického znázornění. Pokud je ústředním cílem jazyka reprezentovat svět nebo stav věcí, pak se zpochybňuje reprezentace rozporů nebo tautologií. Ani rozpory, ani tautologie nejsou součástí světa. Jak můžeme nakreslit obrázek nebo vyfotit protiklad, že „prší a neprší“? A co obrázek disjunktivních informací „prší nebo neprší“? Nyní se zdá, že jsme mnohem blíže k Wittgensteinově klasické obrazové teorii jazyka (Wittgenstein 1921).
4. Schematické systémy v geometrii
Matematici používali a nadále používají diagramy značně. Komunikace matematických konceptů a důkazů - v učebnicích, na tabulích - není jednotně sentimentální. Obrázky a obrázky jsou běžné. V souladu s převládajícím pojmem logiky jako v podstatě sentimentální však obvykle nejsou považovány za roli v přísném matematickém uvažování. Jejich použití se považuje za omezené na posílení porozumění důkazu. Obvykle se nepovažuje za součást samotného důkazu.
Tento postoj je dobře ilustrován standardním hodnocením Euclidovy metodologie v Elements. V žádném matematickém předmětu nejsou diagramy výraznější než v elementární geometrii, kterou se Euclid v textu vyvíjí. Zdá se, že důkazy předmětu jsou v jistém smyslu o diagramech trojúhelníků a kruhů, které se s nimi objevují. To je zejména případ geometrických důkazů prvků. Diagramy pro Euklidy nejsou pouze ilustrativní. Některé z jeho inferenčních kroků závisí na vhodně vytvořeném diagramu. Ve standardním příběhu tyto kroky naznačují mezery v Euclidových důkazech. Ukazují, jak Euclid plně neuskutečnil projekt axiomatického vývoje geometrie.
Ken Manders se rozhodl tento příběh explodovat svou klíčovou prací „Euklidovský diagram“(2008 [1995]). Jeho analýza metody Euclidova schématického důkazu ukazuje, že Euclid využívá schémata řízeným a systematickým způsobem. Zpochybňuje tak společné negativní hodnocení přísnosti prvků. Specifika Mandersovy analýzy navíc naznačují, že důkazy textu lze chápat tak, že dodržují formální diagramovou logiku. To bylo následně potvrzeno vývojem formálních schématických systémů určených k charakterizaci takové logiky. Prvním z nich byl FG (představen v Miller 2007), následovaný systémem Eu (Mumma 2010).
Tato část je věnována objasnění Mandersovy analýzy a formálních systémů, které z ní vyplynuly. Po krátkém průzkumu toho, jak byly Euclidovy diagramy prohlíženy v průběhu staletí, je představen Mandersův obraz jejich role v geometrických důkazech. Následuje popis toho, jak systémy FG a Eu formálně vykreslují tento obrázek a charakterizují logiku euklidovských diagramů.
4.1 Názory na Euclidových diagramů od 4 tého století BCE do 20 th století nl
Elementární geometrie prvků byl vzat být základní pro matematiku od svého vzniku ve starověkém Řecku až do 19 -tého století. V souladu s tím se filozofové zabývající se povahou matematiky ocitli povinni komentovat schematické důkazy textu. Ústředním problémem, ne-li ústředním problémem, byl problém obecnosti. Schéma, která se objevuje s euklidovským důkazem, poskytuje jednu instanci typu geometrických konfigurací, o kterých je důkaz. Přesto se vlastnosti, které vidíme v diagramu, považují za obsažené ve všech konfiguracích daného typu. Co ospravedlňuje tento skok z konkrétního na generála?
Pro ilustraci vezměte v úvahu důkaz pro výrok 16 knihy I prvků.
Návrh je:
V kterémkoli trojúhelníku, pokud je vytvořena jedna ze stran, je vnější úhel větší než kterýkoli z vnitřních a opačných úhlů.
Euclidův důkaz je:
Trojúhelník ABC se segmentem BC sahajícím do bodu D a přímkou BF, která protíná segment AC
Nechť ABC je trojúhelník a jeho strana BC se nechá vyrobit D;
Říkám, že úhel ACD je větší než vnitřní a opačný úhel BAC.
Nechť AC je rozděleno na E [I, 10], a nechť je BE spojen a vyroben v přímce k F;
nechť EF se stane rovným BE [I, 3] a nechť se připojí FC.
Poté, protože AE se rovná EC a BE se rovná EF, jsou obě strany AE, EB stejné jako obě strany CE, EF; a úhel AEB se rovná úhlu FEC [I, 15].
Proto je základna AB rovna základně FC a trojúhelník ABE je roven trojúhelníku CFE [I, 4], proto je úhel BAE roven úhlu ECF (což je také úhel ACF);
Úhel ACD je však větší než úhel ACF;
Úhel ACD je proto větší než BAE.
Zdá se, že důkaz odkazuje na části diagramu poskytnuté s důkazem. Důkazem však není vytvořit něco jen o trojúhelníku v diagramu, ale něco o všech trojúhelnících. Schéma tak nějakým způsobem představuje všechny trojúhelníky.
Roli diagramů jako znázornění uvádí Aristoteles v knize A, kapitola 10 zadní analýzy:
Geometr nezakládá žádný závěr na konkrétní linii, kterou nakreslil, je ten, který popsal, ale [odkazuje] na to, co je znázorněno na obrázcích. (Překlad je T. Heath, nalezený v Euclid 1956: sv. I, str.119)
Aristoteles se v pasáži nesoustředí na otázku, jak geometr používá diagramy k úvahám o tom, co ilustrují. O několik století později Proclus dělá ve svém komentáři k elementům. Proclus tvrdí, že přechod z konkrétní instance na univerzální závěr je oprávněný, protože geometry
… Objekty uvedené v diagramu nepoužívejte jako tyto konkrétní obrázky, ale jako obrázky připomínající ostatní stejného druhu. Úhel, který přede mnou je, není tak velký, že je předpjatý, ale jako přímočarý a nic víc … Předpokládejme, že daný úhel je pravý úhel … pokud nevyužiji jeho správnost a vezmu v úvahu pouze jeho přímočarost Znak bude návrh platit stejně pro všechny úhly s přímočarými stranami. (Komentář k první knize euklidovských prvků, Morrow 1970: 207))
Místo diagramů v geometrii zůstalo problémem do raného novověku. Hlavní filozofické postavy v 17 th a 18 th staletí pozic na něm. Očekává převládající moderní pohled, Leibniz tvrdí:
… Geometry neposkytují důkaz čísla, i když styl expozice vás může přimět k tomu, abyste si to mysleli. Síla demonstrace je nezávislá na nakreslené postavě, která je kreslena pouze za účelem usnadnění poznání našeho významu a upoutání pozornosti; jsou to univerzální výroky, tj. již definované definice, axiomy a věty, které zdůvodňují, a které by to udržely, i když by tam figura nebyla. (1704 nových esejí: 403)
V úvodu k jeho Zásadám lidského poznání (1710, oddíl 16) Berkeley zopakuje o 13 století později, že se Proclus přebírá k problému obecnosti. Ačkoli jeden má vždy určitý trojúhelník „v pohledu“, když pracuje přes demonstraci o trojúhelnících, v demonstraci je „nejméně zmínka“o konkrétních detailech konkrétního trojúhelníku. Demonstrace tak podle Berkeleyho dokazuje obecný návrh o trojúhelnících.
Nejrozvinutější a předvídatelně nejsložitější a nejobtížnější popis geometrických diagramů v moderní době lze nalézt v Kantu. Kant viděl něco hlubokého epistemologického významu v geometrově použití konkrétního diagramu k uvažování o geometrickém pojetí. Tímto způsobem geometr
považuje tento koncept za konkrétní, i když ne empiricky, ale spíše za jediný, který projevil a priori, tj. postavený, a ve kterém musí to, co vyplývá z obecných podmínek konstrukce, také obecně být předmětem zkonstruovaného pojmu. (1781, Kritika čistého důvodu, A716 / B744.)
Kontrastní pohledy na to, co tyto pasáže prozrazují o tom, kde diagramy zapadají do Kantovy filozofie geometrie, viz Shabel 2003 a Friedman 2012.
V 19 -tého geometrie století a matematiku jako celek podstoupil revoluci. Koncepty daleko abstraktnější a obecnější než ty, které se nacházejí v elementech (např. Neeuklidovské geometrie, množiny). Nejenže otázky o povaze Euclidovy diagramové metody ztratily naléhavost, tato metoda se chápe jako matematicky vadná. Druhý pohled našel jeho nejpřesnější výraz v průkopnickém díle Moritze Pasche, který poskytl první moderní axiomatizaci elementární geometrie v Paschu (1882). V něm Pasch ukázal, jak by se subjekt mohl vyvinout bez odkazu na diagramy nebo dokonce na instanční diagramy geometrických konceptů. Metodologická norma, která dílo řídí, je pěkně vyjádřena v následující často citované pasáži:
Pokud je geometrie skutečně deduktivní, musí být proces dedukce ve všech ohledech nezávislý na smyslu geometrických konceptů, stejně jako musí být nezávislý na číslech; je třeba brát v úvahu pouze vztahy stanovené mezi geometrickými pojmy používanými v příslušných výrokech (resp. definicích). (Pasch 1882: 98; důraz v originále. Překlad je zde ze Schlimm 2010)
Norma se od té doby zakotvila v matematice i ve filosofických diskusích o matematice. Manders v Manders 2008 [1995] vystupuje proti jejímu zakořenění. V účtu, který vyvíjí starověkou geometrii, nutnost nahlédnutí do diagramu v důkazu nenaznačuje deduktivní mezeru. Schéma a text společně tvoří přísný a deduktivní matematický důkaz.
4.2 Přesné / společné přesnosti mandátů a problém obecnosti
4.2.1 Přesné / společné přesné rozlišení
Aby vysvětlil dělení práce mezi textem a diagramem ve starověké geometrii, rozlišuje Manders mezi přesnými a přesnými vlastnostmi geometrických diagramů v Manders 2008 [1995]. Základem rozdílu je pojem variace. Přesné podmínky realizované diagramem „jsou takové podmínky, které nejsou ovlivněny určitým rozsahem každé kontinuální variace specifikovaného diagramu“. Naproti tomu přesné podmínky jsou ovlivněny, jakmile se diagram změní na nejmenší. Zhruba spoluvlastní vlastnosti diagramu zahrnují způsoby, jak jeho části definují konečnou sadu rovinných oblastí, a vztahy mezi těmito oblastmi. Výrazný přesný vztah je rovnost dvou velikostí v diagramu. Například,k tomu, aby úhly BAE a ECF byly nerovnoměrné, je zapotřebí pouze nejmenší změna polohy CF v diagramu pro návrh 16.
Mandersova klíčová pozorování je taková, že Euclidovy diagramy přispívají k důkazům pouze prostřednictvím jejich přesných vlastností. Euclid nikdy nevyvede přesnou vlastnost z diagramu, pokud to nevyplývá přímo z co-přesné vlastnosti. Vztahy mezi veličinami, které nejsou vystaveny jako kontejnment, jsou buď převzaty od samého počátku, nebo jsou prokázány prostřednictvím řetězce závěrů v textu. To lze snadno potvrdit důkazem výroku 16. Jediný závěr, který se spoléhá na diagram, je druhým posledním odvozením důkazu. Z toho vyplývá, že úhel ACD je větší než úhel ACF. Toto je zásadně založeno na vidět z diagramu, že úhel ACD obsahuje úhel ACF. Existuje mnoho dalších vztahů tvrdil držet v důkazu. Ačkoli je diagram vytváří, jsou v textu explicitně odůvodněny. A s těmito vztahyrelata jsou prostorově oddělené velikosti.
Není těžké předpokládat, proč by se Euclid takovým způsobem omezil. Schémata se zdají být schopná efektivně fungovat jako symboly důkazu pouze ve své schopnosti reprezentovat spoluobjektivní vlastnosti a vztahy. Přesné vlastnosti diagramů jsou příliš upřesněny, aby byly snadno reprodukovatelné a podporovaly určující úsudky. Jak to říká Manders
Praxe má prostředky k omezení rizika neshod ohledně (explicitních) přesných atributů z diagramu; postrádá však takové zdroje pro přesné přiřazení, a proto je nemohl dovolit, aniž by se rozpustil v nepořádek neslučitelně protichůdných rozsudků. (Manders 2008 [1995]: 91–92)
Mandersovy vhledy přirozeně vedou k myšlence, že Euclidovy argumenty by mohly být formalizovány podobným způsobem, jakým byly formalizovány Vennovy diagramy v Shinu 1994. Přesné informace, které Euclidovy diagramy obsahují, jsou diskrétní. Když je pro tuto informaci konzultován diagram, záleží na tom, jak její čáry a kruhy rozdělí ohraničenou rovinnou oblast na konečnou sadu podoblastí. Toto otevírá dveře konceptualizaci Euclidových diagramů v rámci syntaxe Euclidovy metody důkazu.
4.2.2 Obecný problém s konstrukcemi Euclidu
Realizace této koncepce ve formálním systému množství důkazů, jako v Shin 1994, ke stanovení syntaxe a sémantiky diagramů. Na syntaktické stránce to znamená přesně definovat Euclidovy diagramy jako formální objekty a dát pravidla, podle nichž se diagramy jako formální objektové číslo odvozují z Euclidových návrhů. Na sémantické stránce to znamená, jak specifikovat, jak mají být odvozitelné výrazy interpretovány geometricky, nebo jinými slovy, jak přesně mají být chápány jako reprezentující Euclidovy návrhy.
Sémantická situace s Euclidovými diagramy se tedy liší od situace s Vennovými. Vennovy diagramy se používají k prokázání logických výsledků. Závěry s nimi jsou tématicky neutrální. Euclidovy diagramy se naopak používají k prokázání geometrických výsledků. Závěry s nimi jsou specifické pro konkrétní téma. Zejména, ačkoli jsou objekty roviny euklidovské geometrie abstraktní (např. Geometrické linie jsou bez šíře), jsou stále prostorové. V důsledku toho problémy týkající se prostorovosti diagramů a reprezentačního rozsahu nevznikají u Euclidových diagramů, jako tomu je například u Eulerových diagramů. V případě geometrie se ve skutečnosti prostornost diagramů počítá ve jejich prospěch. Prostorová omezení na tom, co je možné s geometrickými konfiguracemi, fungují také s prostorovými euklidovskými diagramy.
Nicméně, jak je uznáno ve filozofickém komentáři k Euclidově geometrii od starověku, s euklidovskými diagramy je třeba se vypořádat s otázkami reprezentativního rozsahu. Jaký je důvod pro to, aby se vlastnosti jediného geometrického diagramu považovaly za reprezentativní pro všechny konfigurace v rozsahu důkazu? Jak může jediný diagram prokázat obecný výsledek? Základem pro částečnou odpověď je přesný a spolu-přesný rozdíl Mandrů. Přesné vlastnosti diagramu mohou být sdíleny všemi geometrickými konfiguracemi v rozsahu důkazu, takže v takových případech je jedna z nich oprávněna odečíst souběžné vlastnosti z diagramu. Například v důkazu o trojúhelnících je variace mezi konfiguracemi v rozsahu důkazu variace přesných vlastností - např. Míra úhlů trojúhelníků,poměry mezi jejich stranami. Všichni sdílejí stejné spolu-přesné vlastnosti - tj. Všechny se skládají ze tří ohraničených lineárních oblastí, které společně definují oblast.
Toto není úplná odpověď, protože důkazy Euclidu obvykle zahrnují konstrukce na počátečním typu konfigurace. S důkazem výroku 16 je například uvedena konstrukce na trojúhelníku s jednou stranou prodlouženou. V takových případech může diagram adekvátně představovat spolu-přesné vlastnosti počáteční konfigurace. Nelze však předpokládat, že výsledek použití konstrukce důkazu bude představovat spolu-přesné vlastnosti všech konfigurací vyplývajících z konstrukce. Abychom to viděli, nemusíme uvažovat o složitých geometrických situacích. Předpokládejme například, že počáteční typ konfigurace důkazu je trojúhelník. Pak diagram
trojúhelník (ostrý trojúhelník)
slouží k reprezentaci spolu-přesných vlastností tohoto typu. Předpokládejme dále, že prvním krokem konstrukce důkazu je pokles kolmice z vrcholu trojúhelníku na linii obsahující stranu opačnou k vrcholu. Pak výsledek provedení tohoto kroku v diagramu
stejný trojúhelník jako předchozí obrázek s kolmicí klesl z jednoho vrcholu
přestává být reprezentativní. To, že kolmice spadá do trojúhelníku v diagramu, je jeho přesným rysem. Existují však trojúhelníky s přesnými vlastnostmi odlišnými od původního diagramu, kde použití konstrukčního kroku má za následek, že kolmice leží mimo trojúhelník. Například s trojúhelníkem
Tupý trojúhelník
výsledkem použití konstrukčního kroku je
Tupý trojúhelník s kolmým klesáním z jednoho z ostrých úhlů k prodloužení protější strany trojúhelníku
4.3 Formální systémy FG a Eu
A tak provedení euklidovské konstrukce na reprezentativním diagramu může vést k nereprezentativnímu diagramu. Ústředním úkolem formalizace schématických důkazů Euclidu je účetnictví - tj. Poskytnutím svých pravidel metodu pro rozlišení obecných přesných prvků od ne-obecných v diagramových reprezentacích konstrukcí. Systémy FG a Eu k tomuto úkolu zaujímají dva různé přístupy.
Při použití metody FG musí člověk s diagramem vytvořit každý případ, který by mohl vyplynout z konstrukce. Obecný přesný vztah konstrukce je pak takový, který se objevuje v každém případě. Požadavek FG, aby byl každý případ vyprodukován, by byl samozřejmě trochu zajímavý, pokud by také neposkytoval způsob jejich výroby. Metoda FG poskytuje závisí na skutečnosti, že čáry a kruhy v diagramech systému jsou definovány čistě topologicky. Výsledná flexibilita umožňuje formulovat a implementovat do počítačového programu obecnou metodu generování případů. [9]
Čáry a kruhy diagramů Eu nejsou podobně flexibilní. V souladu s tím nemůže vyřešit obecný problém pomocí případové analýzy jako FG. Ústřední myšlenkou jeho přístupu je umožnit, aby diagramy od začátku obsahovaly dílčí informace. V rámci derivace EU má diagram vytvořený konstrukcí důkazu počáteční obsah spočívající ve všech kvalitativních vztazích výchozího diagramu důkazu. Kvalitativní vztahy týkající se objektů přidaných konstrukcí nelze okamžitě načíst z diagramu. Ty, které lze načíst z diagramu, musí být odvozeny z pravidel systému. [10]
Rozdíly mezi přístupy FG a Eu k formalizaci Euclidových konstrukcí lze chápat jako představující různé obecné koncepce role diagramů v matematice. FG ztělesňuje koncepci, kde diagramy konkrétně realizují řadu matematických možností. Podporují matematický závěr poskytováním přímého přístupu k těmto možnostem. Eu naproti tomu ztělesňuje koncepci, kde diagramy představují v jednom symbolu různé složky složité matematické situace. Podporují matematický závěr tím, že umožňují matematickému uvažování zvážit všechny tyto komponenty na jednom místě a zaměřit se na ty komponenty, které jsou relevantní pro důkaz.
5. Schémata a poznání, aplikace
Navzdory formálním omezením některých výše zmíněných schématických systémů je v současné době v mnoha kontextech používáno mnoho různých systémů; logická výuka, automatizované uvažování, specifikace počítačových programů, uvažování o situacích ve fyzice, grafické uživatelské rozhraní k počítačovým programům atd. Obecně není dosud známo, jak efektivní (ve výše uvedeném smyslu) je mnoho z těchto schématických systémů. Nyní uvádíme stručný přehled dalších schématických systémů a jejich použití, jakož i filozofičtějších otázek vyvolaných debatou o stavu schématického uvažování.
5.1 Některé další diagramové systémy
Stojí za zmínku, že mnoho matematiků a filozofů navrhlo schématické systémy, často s didaktickou motivací. Některé systémy, jako Lewis Carroll's v „The Game of Logic“(1896), jsou variantami návrhů Eulera a Venna. Jiní, jako Frege (1879), používali spíše linie než oblasti letadel. (Popis Fregeovy notace je uveden v části Komplexní prohlášení a obecnost v položce Gottlob Frege. Viz také Englebretsen 1992.) Systém Carrollu nahrazuje Venna v tom, že doplňky souborů jsou explicitně reprezentovány jako regiony diagramu, spíše než zůstane jako oblast pozadí, proti které se kruhy objevují. To znamená, že Carrollův systém je schopen vyvodit závěry o vztazích mezi komplementy vlastností, na úkor reprezentace některých vlastností jako nesouvislých (tj.nespojené) regiony. Tento posun úzce odráží posun v logice z argumentace predikátu subjektu na reprezentaci funkce-argument (Stenning 1999).
Peirce, zakladatel moderní kvantifikované logiky, také vynalezl grafický systém nazvaný Existenciální grafy, který je logicky ekvivalentní predikátové logice. Spolu s průkopnickou prací Don Roberta na Existenciálních grafech a kreativní aplikací Peirceových grafů Johnem Sowou nedávno poskytla skupina diagramových vědců rozmanitější přístupy k Existenciálním grafům v širším teoretickém kontextu (Shin 2003).
Na praktičtějším tématu vědci AI, mezi jejichž hlavní starosti patří heuristická síla reprezentačních systémů, kromě jejich expresivní moci, debatovali o různých formách reprezentace po celá desetiletí (Sloman 1971, 1985, 1995). Proto uvítali diskuse o odlišné úloze vizuálního uvažování a nedávno hostili interdisciplinární sympozia o schématickém uvažování na konferencích AI. [11] Současně si uvědomili, že lidé přijímají různé formy reprezentace v závislosti na druzích problémů, kterým čelí, někteří vědci AI a teoretici designu praktikovali doménově specifické přístupy k zavádění forem reprezentace přizpůsobených problémům. [12]
Například Harel (1988) vynalezl higraphs reprezentovat systémové specifikace v informatice. Tato myšlenka byla převzata v průmyslových aplikacích (např. UML, v Booch et al. 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) předkládají případovou studii ve vývoji počítačů, které mohou provádět druh analogických úvah, které lidé provádějí při dokazování určitých matematických vět. V nedávné době byl zajímavý výsledek představen Matejou Jamnikovou z Alan Bundy's Mathematical Reasoning Group v Edinburghu (Jamnik 2001). Jamnik ukazuje, jak může poloautomatický formální důkazní systém provádět některé z vnímavých závěrů, které lidé považují za tak přirozené. Například, že součet prvních n lichých přirozených čísel je n na druhou, je snadno vidět rozložením n × n mřížky na „ells“(Jamnik et al. 1999).
Učenci na University of Brighton realizují zajímavé projekty jak ve vývoji schématických systémů, tak v aplikaci vizuálních nástrojů ve vývoji softwaru, viz odkaz v části Další zdroje Internetu.
Je třeba také zmínit, že vědci, jako jsou chemici a fyzici, také používají diagramy k provedení určitých výpočtů. Feynmanovy diagramy se například používají k provádění výpočtů v subatomární fyzice. V poslední době bylo pro kvantovou teorii vyvinuto formální schematické uvažování (Coecke & Kissinger 2017). V teorii uzlů (která má aplikace ve fyzice, Kauffman 1991) jsou tři Reidemeister Moves diagramové operace, které tvoří úplný počet pro prokázání ekvivalentu uzlů. Není divu, že uzlové diagramy přitahovaly zájem vědců (De Toffoli & Giardino 2014). Rovněž byla zkoumána klíčová role diagramů a schématického uvažování v abstraktní matematice teorie kategorií (Halimi 2012; De Toffoli 2017).
5.2 Schémata jako mentální reprezentace
Mají naše mentální reprezentace jako komponenty diagramové nebo obrázkové entity? Tato otázka má dlouhou historii jak ve filozofii, tak v psychologii, nezávisle na sobě. V poslední době se však někteří filosofové účastnili této „imaginární debaty“, jedné z nejuznávanějších diskusí v psychologii, a někteří kognitivní psychologové považují určité epistemologické teorie ve filozofii za užitečné pro podporu jejich názorů na danou problematiku.
Povaha mentální reprezentace byla jedním z trvalých témat ve filosofii a my můžeme snadno vystopovat filozofické diskuse o obrazech a mentální reprezentaci do dávných dob. [13]Spisy Hobbese, Lockeho, Berkeleye a Hume se ve velké míře zabývají mentálním diskurzem, významem slov, mentálních obrazů, konkrétních myšlenek, abstraktních myšlenek, dojmů atd. Descartesův známý rozdíl mezi představivostí a představou něco vyvolal hodně diskuse o jedinečné roli vizuálních obrazů v mentálních reprezentacích. Vývoj kognitivní vědy ve 20. století přirozeně přiblížil určitou skupinu filozofů a psychologů a najdeme řadu autorů, jejichž díla snadno patří do obou disciplín (blok 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).
Snímky založené na introspekci byly hlavním zaměřením v časném vývoji psychologie, dokud behaviorální přístup nezůstal v oboru dominantní. Během éry behaviorismu bylo z jakékoli seriózní výzkumné agendy vyloučeno cokoli související s mentální inspekcí, včetně obrazů. Nakonec, když se téma mentálních obrazů v psychologii vrátilo v 60. letech 20. století, vědci přijali skromnější agendu pro mentální zobrazování než dříve: Ne všechny mentální reprezentace zahrnují zobrazování a zobrazování je jedním z mnoha způsobů manipulace s informacemi v mysli. Také díky vlivu behaviorismu se uznává, že introspekce nestačí k prozkoumání snímků, ale tvrzení o duševních obrazech musí být potvrzeno experimenty, aby se ukázalo, že duševní události úspěšně externalizujeme. To znamená,pokud to, co nám jistá duševní introspekce říká, je skutečné, pak by byly pozorovatelné vnější důsledky tohoto duševního stavu.
Diskuse o současných obrazech mezi kognitivními vědci se tedy týká tvrzení, že obrazové obrazy existují jako mentální reprezentace a jak interpretujeme určité experimenty. [14]
Kosslyn (1980, 1994) a další pictorialists (Shepard & Metzler 1971) předkládají experimentální data na podporu svého postavení, že některé z našich mentálních obrazů jsou spíše obrazy než lineární forma jazyka (například přirozené jazyky nebo umělé symbolické jazyky) v některé důležité aspekty, i když ne všechny vizuální mentální obrazy a obrázky jsou přesně stejného druhu. Naproti tomu Pylyshyn (1981) a další popisoví odborníci (Dennett 1981) vyvolávají otázky ohledně stavu podobného obrazu mentálních obrazů a tvrdí, že mentální obrazy jsou vytvářeny ze strukturovaných popisů. Mentální obrazy pro ně představují spíše jazyk než obrazy, a proto neexistují žádné obrazové vizuální mentální obrazy.
Obě strany debaty někdy používaly filosofickou teorii jako podpůrný faktor. Například, pictorialists v debatě o metaforách shledal moderní teorii smysl-datum ve filozofii docela blízko k jejich pohledu. Stejně tak kritici teorie smyslových dat tvrdili, že chybný obrazový pohled na mentální obrazy vychází hlavně z našeho zmatku o běžném jazyce a tvrdil, že mentální obrazy jsou epifenomeny.
5.3 Kognitivní role diagramů
Někteří vědci se bez výrazného zapojení do debaty o obrazech soustředili na odlišnou roli, kterou v našich kognitivních činnostech hrají diagramy nebo obrázky - na rozdíl od tradičních sentimentálních forem. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Na základě domněnek, že lidé přijímají ve svých úvahách o konkrétních nebo abstraktních situacích diagramové nebo prostorové vnitřní mentální reprezentace (viz Howell 1976; Sober 1976), se někteří kognitivní vědci soustředili na funkce obrázky nebo diagramy v našich různých kognitivních činnostech, například paměť, představivost, vnímání, navigace, odvozování, řešení problémů atd. Zde se hlavní téma výzkumu stalo výraznou povahou „vizuální informace“, která je získávána buď prostřednictvím interních mentálních obrazů, nebo prostřednictvím externě nakreslených diagramů. Přestože většina těchto děl předpokládá, že existují mentální obrazy (to znamená, že přijímají požadavek pictorialistů), striktně řečeno, nemusí se zavázat k názoru, že tyto obrazy existují jako základní jednotky v našem poznání. Popisalisté nemusí zahodit diskuse o funkcích obrázků, ale pouze dodat, že tyto obrazy nejsou primitivní jednotky uložené v naší paměti, ale jsou vytvořeny ze strukturovaných popisů, které se podobají větám jazyka (viz Pylyshyn 1981).ale stačí dodat, že tyto obrazy nejsou primitivní jednotky uložené v naší paměti, ale jsou vytvořeny ze strukturovaných popisů, které se podobají větám jazyka (viz Pylyshyn 1981).ale stačí dodat, že tyto obrazy nejsou primitivní jednotky uložené v naší paměti, ale jsou vytvořeny ze strukturovaných popisů, které se podobají větám jazyka (viz Pylyshyn 1981).
Hledání odlišné role diagramů vedlo vědce k prozkoumání rozdílů mezi různými formami vnějších nebo vnitřních reprezentací, a zejména mezi diagramovými a sentimentálními reprezentacemi. Mnoho důležitých výsledků bylo dosaženo v kognitivní vědě. Lindsayova práce vychází z Larkinovy a Simonovy klasické případové studie (1987), která ilustruje rozdíl mezi informační a výpočetní ekvivalencí mezi systémy reprezentace, a lokalizuje, kde leží tento výpočetní rozdíl, který nazývá „nededuktivní“metodou. Jak bylo stručně uvedeno výše, tento proces inference se nazývá „volná jízda“Barwise a Shimojiima (1995), tj. Druh závěru, ve kterém se zdá, že závěr je automaticky vyčten z reprezentace prostor. V Gurr, Lee a Stenning (1998) a Stenning a Lemon (2001),existuje vysvětlení jedinečnosti diagramových inferencí, pokud jde o stupeň „přímosti“interpretace, a tvrdí se, že tato vlastnost je relativní, a proto „některé jízdy jsou levnější než jiné“. Majíce na paměti roli grafů, Wang a Lee (1993) představují formální rámec jako vodítko pro správné vizuální jazyky. V tomto bodě jsme velmi blízko k aplikovaným aspektům výzkumu v multimodální teorii uvažování a designu a výzkumu AI - poskytováním těchto disciplín výpočetní podporou vizuálního uvažování. Wang a Lee (1993) představují formální rámec jako vodítko pro správné vizuální jazyky. V tomto bodě jsme velmi blízko k aplikovaným aspektům výzkumu v multimodální teorii uvažování a designu a výzkumu AI - poskytováním těchto disciplín výpočetní podporou vizuálního uvažování. Wang a Lee (1993) představují formální rámec jako vodítko pro správné vizuální jazyky. V tomto bodě jsme velmi blízko k aplikovaným aspektům výzkumu v multimodální teorii uvažování a designu a výzkumu AI - poskytováním těchto disciplín výpočetní podporou vizuálního uvažování.
S tématem imagistické mentální reprezentace souvisí zkoumání sémantiky různých schématických systémů a toho, co nás mohou naučit o povaze jazyků obecně (např. Goodman 1968). Například Robert Cummins (1996) mimo jiné tvrdí, že příliš málo pozornosti bylo věnováno schématickým reprezentacím a že zaměření na pojem „strukturální reprezentace“více podobné schématickému znázornění může pomoci vysvětlit podstatu samotné reprezentace. Domníváme se, že výše uvedené úvahy nám přinášejí určité empirické zpracování tohoto typu tvrzení alespoň v závislosti na použitých obrazových objektech a vztazích, vzorce nesprávného závěru by měly být předvídatelné a zjistitelné. Důležitým, byť málo známým článkem na toto téma, je Malinas 1991. Zde Malinas zkoumá koncepty obrazové reprezentace a „pravdy“v obraze prostřednictvím pojmu podobnosti a zvažuje různé sémantické hádanky o obrazové reprezentaci. Vyvíjí Peacockeho „Centrální práci“zobrazení (Peacocke 1987), kde zkušenostní podobnosti mezi vlastnostmi obrazových objektů a jejich referenty ve zorném poli vedou k vztahu zobrazení. Dále poskytuje formální sémantiku obrázků, která je „analogická sémantice pro ideální jazyk“.kde zkušené podobnosti mezi vlastnostmi obrazových objektů a jejich referenty ve zorném poli vedou k vztahu zobrazení. Dále poskytuje formální sémantiku obrázků, která je „analogická sémantice pro ideální jazyk“.kde zkušené podobnosti mezi vlastnostmi obrazových objektů a jejich referenty ve zorném poli vedou k vztahu zobrazení. Dále poskytuje formální sémantiku obrázků, která je „analogická sémantice pro ideální jazyk“.
souhrn
Začali jsme motivováním filozofického zájmu diagramů, jejich role v lidské uvažování a jejich vztahu ke studiu jazyka obecně a multimodálnímu zpracování informací. Poté jsme vysvětlili kompromis mezi expresivní silou a vizuální jasností schématických systémů tím, že jsme zkoumali historický vývoj schématických systémů od Eulera a Venna, přes Peirceovu práci, až po nedávnou práci Shina a Hammera. Tvrdilo se, že schématické systémy mohou mít stejný logický stav jako tradiční kámen s lineárními korekcemi. Poté jsme vysvětlili některá potenciální úskalí grafického znázornění a zdůvodnění tím, že prozkoumali prostorová omezení na schématických systémech a jak mohou ovlivnit správnost a expresivní sílu. Uzavřeli jsme průzkumem dalších systémů diagramů,zájem o diagramy generované v informatice a kognitivní vědě a představil úvod do debaty o obrazech ve filozofii mysli.
Bibliografie
Reference
Allwein, G. a J. Barwise (eds.), 1996, Logické uvažování s diagramy, Oxford: Oxford University Press.
Avigad, J. s E. Deanem a J. Mummou, 2009, „Formální systém pro euklidovské prvky“, Přehled symbolické logiky, 2: 700–768.
Barker-Plummer, D. a S. Bailin, 1997, „Úloha diagramů v matematických důkazech“, stroj GRAPHICS and VISION, 6 (1): 25–56. (Zvláštní vydání týkající se schématického znázornění a odůvodnění).
Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem a P. Scotto di Luzio, 2002, Words, Proofs and Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
Barwise, J., 1993, „Heterogenous loging“, v G. Mineau, B. Moulin a J. Sowa, (eds), ICCS 1993: Koncepční grafy pro reprezentaci znalostí (Poznámky k přednášce v Umělé inteligenci: Svazek 699), Berlín: Springer Verlag, s. 64–74.
Barwise, J. a J. Etchemendy, 1989, „Information, Infons and Inference“, v Cooper, Mukai a Perry, (eds), Situační teorie a její aplikace, svazek 1, Stanford: CSLI Publications.
–––, 1991, „Vizuální informace a platné odůvodnění“, v Zimmerman a Cunningham, (eds), Vizualizace ve výuce a učení matematiky, strany 9–24. Washington: Mathematical Association of America.
–––, 1993, Jazyk logiky prvního řádu, Stanford: Publikace CSLI.
–––, 1995, „Heterogenous Logic“, v J. Glasgow, N. Hari Narayanan a B. Chandrasekaran, (eds), Schematické zdůvodnění: Kognitivní a výpočetní perspektivy, strany 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / MIT Press.
Barwise, J. a A. Shimojima, 1995, „Surrogate Reasoning“, Cognitive Studies: Bulletin of Japanese Cognitive Science Society, 4 (2): 7-27.
Berkeley, G., 1710, Principy lidského poznání, v David Armstrong (ed.), Berkeley's Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
Block, N., (ed.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 1983, „Mentální obrazy a kognitivní věda“, The Philosophical Review, 92: 499–541
Booch, G., J. Rumbaugh a I. Jacobson, 1999, Referenční příručka jazyka Unified Modeling Language Reference, Reading, Mass.: Addison-Wesley.
Coecke, B. a Kissinger, A., 2017, zobrazování kvantových procesů. První kurz kvantové teorie a schématického uvažování, Cambridge: Cambridge University Press.
Carroll, L., 1896, Symbolic Logic, New York: Dover.
Chandrasekaran, B., J. Glasgow a N. Hari Narayanan, (eds.), 1995, Schématické zdůvodnění: Kognitivní a výpočetní perspektivy, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
Cummins, R., 1996, Reprezentace, cíle a postoje, Cambridge, MA: MIT Press.
De Toffoli, S., 2017, „Chasing The Diagram - Využití vizualizací v algebraickém uvažování“, Recenze Symbolic Logic, 10 (1): 158–186.
De Toffoli, S. a Giardino, V., 2014, „Formy a role diagramů v teorii uzlů“, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
Dennett, D., 1981, „Povaha obrazů a introspektivní past“, v bloku 1981, s. 87–107.
Englebretsen, G., 1992, „Lineární diagramy pro Syllogisms (s Relationals)“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (1): 37–69.
Euclid, The Thirteen Books of Elements (druhé vydání, Vols. I – III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Přeloženo úvodem a komentářem Sira Thomase L. Heatha, z textu Heiberga.
Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, St. Petersburg; l'Academie Imperiale des Sciences.
Fodor, J., 1981, „Imagistická reprezentace“, v bloku 1981, s. 63–86.
Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
Friedman, M., 2012, „Kant na geometrii a prostorové intuici“, Synthese, 186: 231–255.
Gardner, M., 1958, Logic Machines and Diagrams, Sussex: Harvester Press.
Goodman, N., 1968, Jazyky umění: přístup k teorii symbolů, Londýn: Oxford University Press.
Greaves, M., 2002, Filozofický stav diagramů, Stanford: CSLI Publications.
Grigni, M., D. Papadias, a C. Papadimitriou, 1995, „Topological Inference“, na Mezinárodní společné konferenci o umělé inteligenci (IJCAI '95), strany 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
Gurr, C., J. Lee a K. Stenning, 1998, „Teorie schématického uvažování: Rozlišování problémů s komponentami“, Minds and Machines, 8: 533–557.
Halimi, B., 2012, „Schémata jako skici“, Synthese, 186 (1): 387–409.
Hamami Y. a Mumma J., 2013, „Prolegomena kognitivního zkoumání euklidovského schématického uvažování“, Journal of Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
Hammer, E., 1995a, „Zdůvodnění pomocí vět a diagramů“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
Hammer, E. a S. Shin, 1998, „Eulerova vizuální logika“, historie a filozofie logiky, 19: 1–29.
Harel, D., 1988, „On Visual Formalisms“, Komunikace ACM, 31 (5): 514–530.
Howell, R., 1976, „Obyčejné obrázky, mentální reprezentace a logické formy“, Synthese, 33: 149–174.
Jamnik, M., 2001, Matematické uvažování s diagramy, Stanford: CSLI Publications.
Jamnik, M., A. Bundy a I. Green, 1999, „O automatizaci schématických důkazů aritmetických argumentů“, Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 297–321.
Kant, I., 1781, Critique of Pure Reason, přeloženo a editováno P. Guyerem a A. Woodem, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
Kauffman, L. 1991, Uzly a fyzika, Singapur: World Scientific.
Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
–––, 1994, Image and Brain: rozlišení debaty o obrazech, Cambridge, MA: MIT Press.
Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlín: Akademie Verlag, 1990.
Larkin, J. a H. Simon, 1987, „Proč má diagram (někdy) hodnotu 10 000 slov“, Cognitive Science, 11: 65–99.
Leibniz, G., 1704, Nové eseje týkající se lidského porozumění, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
Lemon, O., 2002, „Srovnání účinnosti vizuálních jazyků“, v Barker-Plummer et al. (eds.), 2002, s. 47–69.
Lemon, O., M. de Rijke a A. Shimojima, 1999, „Účinnost schématického uvažování“(Editorial), Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 265–271.
Lemon, O. a I. Pratt, 1997, „Prostorová logika a složitost schématického uvažování“, Machine Graphics and Vision, 6 (1): 89–108, 1997. (Zvláštní vydání týkající se schématického znázornění a odůvodnění).
––– 1998, „O nedostatečnosti lineárních diagramů pro syllogismy“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
Malinas, G., 1991, „Sémantika pro obrázky“, Canadian Journal of Philosophy, 21 (3): 275–298.
Manders, K., 2008 [1995], „Euklidovský diagram“, ve filozofii matematické praxe, P. Mancosu (ed.), Oxford: Clarendon Press, 2008, s. 112–183. (Nejprve rozeslán jako rukopis v roce 1995.)
Miller, Nathaniel, 2007, Euclid a jeho dvacáté století soupeři: Diagramy v logice euklidovské geometrie, (CSLI studie v teorii a aplikaci diagramů), Stanford: CSLI Publications.
––– 2006, „Výpočetní složitost uspokojení diagramů v euklidovské geometrii“, Journal of Complexity, 22: 250–74.
Morrow, G., 1970, Proclus: Komentář k první knize Euclidových prvků, Princeton: Princeton University Press, 1970.
Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
Peacocke, C., 1987, „Depiction“, The Philosophical Review, 96: 383–410
Peirce, CS, 1933, Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press.
Pylyshyn, Z., 1981, „Imagery and Artificial Intelligence“, v N. Block, (ed.), Readings in Philosophy of Psychology, svazek 2, strany 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
Roberts, D., 1973, Existenciální grafy Charlese S. Peirce, Haag: Mouton.
Russell, B., 1923, „Vagueness“, v J. Slater, (ed.), Eseje o jazyce, mysli a záležitosti: 1919–26 (The Collected Papers of Bertrand Russell), strany 145–154. Londýn: Unwin Hyman.
Schlimm, D., 2010, „Paschova filozofie matematiky“, Recenze Symbolic Logic, 3 (1): 93–118.
Shabel, L., 2003, Mathematics in Kant's Critical Philosophy: Reflections on Mathematical Practice, New York: Routledge.
Shepard, R. a J. Metzler, 1971, „Mentální rotace trojrozměrných objektů“, Science, (171): 701–3.
Shimojima, A., 1996a, O účinnosti reprezentace, Ph. D. práce, Indiana University.
–––, 1999, „Zastoupení zachovávající omezení“, v L. Moss, J. Ginzburg a M. de Rijke, (eds), Logic, Language and Computation: Volume 2, CSLI Lecture Notes # 96, strany 296– 317. Stanford: CSLI Publications.
Shin, S., 1994, Logický stav diagramů, Cambridge: Cambridge University Press.
–––, 2003, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge: MIT Press (Bradford).
––– 2015, „Tajemství dedukce a schématické aspekty reprezentace“, Recenze filozofie a psychologie: Obrazové a prostorové reprezentace, 6: 49–67.
Sloman, A., 1971, „Interakce mezi filozofií a umělou inteligencí: role intuice a logického uvažování ve inteligenci“, ve sborníku Druhá mezinárodní společná konference o umělé inteligenci, Los Altos, CA: Morgan Kaufmann.
–––, 1985, „Proč potřebujeme mnoho formalismů reprezentujících znalosti“, M. Bramer, (ed.), Research and Development in Expert Systems, strany 163–183.
–––, 1995, „Musings o rolích logických a nelogických reprezentací ve inteligenci“, v Chandrasekaran et al., 1995, s. 7–32.
Sober, E., 1976, „Mental Representations“, Synthese, 33: 101–148
Sowa, J., 1984, Konceptuální struktury: Zpracování informací v mysli a stroji, Londýn: Addison Wesley.
Stenning, K., 1999, „Recenze Dase Spiel der Logika, Lewis Carrol“, Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
Stenning, K. a O. Lemon, 2001, „Zarovnání logických a psychologických perspektiv na schématické zdůvodnění“, Recenze umělé inteligence, 15 (1–2): 29–62. (Přetištěno v myšlení s diagramy, Kluwer, 2001.)
Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
Wang, D. a J. Lee, 1993, „Vizuální zdůvodnění: jeho formální sémantika a aplikace“, Journal of Visual Language and Computing, 4: 327–356.
Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears a B. McGuinness (trans), Londýn: Routledge & Kegan Paul, 1961
Zeman, J., 1964, Grafická logika CS Peirce, Ph. D. diplomová práce, University of Chicago.
Relevantní literatura
Barwise, J. a E. Hammer, 1994, „Schémata a koncepce logického systému“, v Gabbay, D. (ed.), Co je to logický systém? New York: Oxford University Press.
Hammer, E., 1995b, Logické a vizuální informace, Studium logiky, jazyka a výpočtů. Stanford: CSLI Publications and FoLLI.
Hammer, E. a S. Shin, 1996, „Euler a role vizualizace v logice“, v Seligman, J. a Westerståhl, D. (eds), Logic, Language and Computation: Volume 1, CSLI Lecture Notes # 58, strany 271–286. Stanford: CSLI Publications.
Kneale, W. a Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
Lemon, O., 1997, „Recenze logických a vizuálních informací, EM Hammerem“, Journal of Logic, Language and Information, 6 (2): 213–216.
Roberts, D., 1992, „The Existential Graphs of Charles S. Peirce“, Computer and Math. Applic., (23): 639–663.
Shimojima, A., 1996b, „Provozní omezení ve schématickém uvažování“, v J. Barwise a G. Allwein (eds), Logické uvažování s diagramy, New York: Oxford University Press, strany 27–48.
–––, 1996c, „Zdůvodnění pomocí diagramů a geometrických omezení“, v Seligman, J. a Westerståhl, D. (eds), Logic, Language and Computation: Volume 1, CSLI Lecture Notes # 58, strany 527–540. Stanford, CSLI Publications.
Shin, S., 1991, „Situačně-teoretický popis platného uvažování s Vennovými diagramy“, v J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin a S. Tutiya, (eds), Situační teorie a její aplikace: Svazek 2, Poznámky k přednáškám CSLI # 26, strany 581–605. Stanford: CSLI Publications.
–––, 1999, „Rekonstituce beta grafů do efektivního systému“, Journal of Logic, Language and Information, 8: 273–295.
–––, 2000, „Oživení ikonicity beta grafů“, v Anderson, Cheng a Haarslev, (eds), Teorie a aplikace diagramů, strany 58–73. Springer-Verlag.
–––, 2002a, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge, MA: MIT Press.
–––, 2002b, „Vícečetné čtení Peirceových alfa grafů“, v M. Anderson, B. Meyer a P. Olivier, (eds), Schematické znázornění a zdůvodnění, Londýn: Springer-Verlag, s. 297–314.
