Definice

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Definice

První vydání 10. dubna 2008; věcná revize po 20. dubnu 2015

Definice se zajímali o filozofy od starověku. Platónovy počáteční dialogy zobrazují Sokrata, který vyvolává otázky o definicích (např. V Euthyphru „Co je to zbožnost?“) - otázky, které se zdají najednou hluboké a nepolapitelné. Klíčovým krokem Anselmova „ontologického důkazu“o existenci Boha je definice „Bůh“a stejné držení Descartesovy verze argumentu v jeho meditaci V. Více nedávno, Frege-Russell definice čísla a Tarski definice pravdy mají formativní vliv na širokou škálu současných filozofických debat. Ve všech těchto případech - a mnoho dalších lze citovat - nebyly projednány pouze konkrétní definice; diskutovalo se také o povaze a požadavcích na definice. Některé z těchto debat lze urovnat rozlišením,pro definice nejsou všechny jednoho druhu: definice slouží různým funkcím a jejich obecný charakter se liší podle funkce. Některé další debaty však nejsou tak snadno urovnány, protože zahrnují sporné filozofické myšlenky, jako je esence, koncepce a význam.

• 1. Některé varianty definice

  • 1.1 Reálné a nominální definice
  • 1.2 Definice slovníku
  • 1.3 Stipulativní definice
  • 1.4 Popisné definice
  • 1.5 Vysvětlující definice
  • 1.6 Výrazné definice
  • 1.7 Poznámka

• 2. Logika definic

  • 2.1 Dvě kritéria
  • 2.2 Základy tradičního účtu
  • 2.3 Konzervativnost a eliminovatelnost
  • 2.4 Definice v normální formě
  • 2.5 Implicitní definice
  • 2.6 Princip bludného kruhu
  • 2.7 Kruhové definice
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Některé varianty definice

Obyčejný diskurs rozpoznává několik různých druhů věcí jako možných definičních objektů a rozpoznává několik druhů činností jako definování věci. Abychom uvedli několik příkladů, hovoříme o provizi jako o vymezení hranice mezi dvěma národy; Nejvyššího soudu, který ve svých rozhodnutích definuje „osobu“a „občana“; chemika objevujícího definici zlata a lexikografa pojmu „cool“; účastníka debaty, který definuje sporný bod; a matematika, který stanoví definici „skupiny“. Zde jsou definovány různé druhy věcí: hranice, právní postavení, podstata, slovo, teze a abstraktní druh. Kromě toho různé definice nemají stejný cíl: mezní komise může usilovat o dosažení přesnosti; Nejvyšší soud, spravedlnost;chemik a lexikograf, přesnost; debater, jasnost; a matematik, plodnost. Normy, podle nichž jsou definice posuzovány, se tedy mohou případ od případu lišit. Různé definice lze snad zahrnout do aristotelského vzorce, že definice dává podstatu věci. To však pouze zdůrazňuje skutečnost, že „dát podstatu věci“není jednotný druh činnosti.

Také ve filozofii je často hráno několik různých druhů definic a definice mohou sloužit různým funkcím (např. Pro zvýšení přesnosti a jasnosti). Ve filozofii však byly definovány také definice, které plní vysoce rozlišovací roli: řešení epistemologických problémů. Například problém představuje epistemologický stav matematických pravd. Immanuel Kant si myslel, že tyto pravdy jsou a priori syntetické, a aby vysvětlil jejich stav, nabídl teorii prostoru a času - jmenovitě prostoru a času jako formy vnějšího a vnitřního smyslu. Gottlob Frege a Bertrand Russell se snažili podkopat Kantovu teorii argumentem, že aritmetické pravdy jsou analytické. Přesněji, oni pokusili se sestavit odvození aritmetických principů od definic aritmetických pojmů,používající pouze logické zákony. Aby byl projekt Frege-Russell úspěšný, musí mít použité definice zvláštní charakter. Musí být pojmové nebo vysvětlující význam; nemohou být syntetické. Právě tento druh definice vzbudil v posledním století asi tak největší zájem a nejvíce kontroverzi. A to je naše definice, která bude naším prvořadým zájmem. Začněme vyznačením některých předběžných, ale důležitých rozdílů. Začněme vyznačením některých předběžných, ale důležitých rozdílů. Začněme vyznačením některých předběžných, ale důležitých rozdílů.

1.1 Reálné a nominální definice

John Locke rozlišoval ve své Eseji „skutečnou podstatu“od „nominální podstaty“. Nominální podstatou je podle Locke „abstraktní myšlenka, ke které je připojeno Jméno (III.vi.2).“Jmenovitou podstatou jména „zlato“tedy Locke řekl: „je to složitá myšlenka, kterou slovo zlato znamená, ať je to například tělo žluté, určité hmotnosti, poddajné, tavitelné a pevné.“Naproti tomu skutečnou podstatou zlata je „složení necitlivých částí tohoto těla, na kterém závisí tyto vlastnosti [uvedené v nominální podstatě] a všechny ostatní vlastnosti zlata (III.vi.2).“Hrubým způsobem, jak rozlišovat mezi skutečnými a nominálními definicemi, je říci, že podle Lockeho bývalý uvádí skutečnou podstatu, zatímco druhý uvádí nominální podstatu. Chemik se zaměřuje na skutečnou definici,zatímco lexikograf se zaměřuje na nominální definici.

Tato charakterizace rozdílu je hrubá, protože definice „tygra“zoologem by se měla počítat jako skutečná definice, i když nemusí poskytnout „sestavení necitlivých částí“tygra. Kromě toho by se význam slova měl počítat jako nominální definice, i když nemusí mít podobu Lockeanovy formulace „abstraktní myšlenky, ke které je jméno připojeno“. Možná je užitečné uvést rozdíl mezi skutečnými a nominálními definicemi: pro objevení skutečné definice pojmu (X) je třeba prozkoumat věc nebo věci označené (X); k objevení nominální definice je třeba prozkoumat význam a použití (X). Zda hledání odpovědi na otázku Sokratu „Co je ctnost?“je hledání skutečné definice nebo hledání nominální definice závisí na něčí koncepci této konkrétní filozofické činnosti. Když sledujeme sokratickou otázku, snažíme se získat jasnější pohled na naše použití slova „ctnost“, nebo se pokoušíme vysvětlit ideál, který je do jisté míry nezávislý na těchto použitích? Podle dřívější koncepce usilujeme o nominální definici; pod posledním, ve skutečné definici.usilujeme o nominální definici; pod posledním, ve skutečné definici.usilujeme o nominální definici; pod posledním, ve skutečné definici.

Kritická diskuse o různých činnostech, které byly zahrnuty do „skutečné definice“, viz Robinson 1950. Pro starověké pohledy na definice viz eseje v Charles 2010.

1.2 Definice slovníku

Nominální definice - definice, které vysvětlují význam pojmu - nejsou všechny jednoho druhu. Slovník vysvětluje význam termínu v jednom smyslu této věty. Cílem slovníků je poskytnout definice, které obsahují dostatečné informace k tomu, aby bylo možné porozumět pojmu. O uživatelích jazyků je skutečností, že jakmile dostaneme určité malé množství informací o nějakém termínu, nějakým způsobem pochopíme a použijeme potenciální nekonečno vět obsahujících termín. Přesně, jak se to stane, je velké tajemství. Stává se to, a slovníky to využívají. Upozorňujeme, že položky ve slovníku nejsou jedinečné. Různé slovníky mohou dát různé informace a přesto být stejně efektivní při vysvětlování významu termínů.

Definice hledané filosofy nejsou takového typu, jaký se nachází ve slovníku. Fregeova definice čísla (1884) a Alfred Tarskiho definice pravdy (1983, kap. 8) nejsou nabízeny jako kandidáti na slovní zásobu. Když epistemolog hledá definici „znalostí“, nehledá dobrý slovníkový slovník pro slovo „vědět“. Filozofické hledání definice může být někdy plodně charakterizováno jako hledání vysvětlení významu. Ale smysl pro „vysvětlení významu“je zde velmi odlišný od smyslu, ve kterém slovník vysvětluje význam slova.

1.3 Stipulativní definice

Definitivní definice uděluje definici definovaný význam a nezahrnuje žádný závazek, že přiřazený význam souhlasí s předchozím použitím (pokud existuje) daného termínu. Stipulativní definice jsou epistemologicky speciální. Přinášejí soudy s epistemologickými charakteristikami, které jsou jinde záhadné. Pokud někdo stanoví „raimex“jako, řekněme, racionální, imaginativní, prožívající bytí, pak je rozsudek „raimexes racionální“zajištěn, že je nezbytný, jistý a a priori. Filozofové zjistili, že je lákavé vysvětlit záhadné případy, např. Aprioricity, odvoláním se na určující definice.

Saul Kripke (1980) upozornil na zvláštní druh určující definice. Můžeme dočasně zavést nové jméno (např. „Jack Rozparovač“) pomocí popisu (např. „Muž, který zavraždil (X, Y) a (Z)“)). V takovém ustanovení Kripke zdůraznil, že popis slouží pouze k opravě odkazu na nové jméno; název není synonymem pro popis. Za rozsudek

(1) Jack Rozparovač je muž, který zavraždil (X, Y) a (Z), pokud vraždy spáchal jedinečný člověk

je podmíněné, i když rozsudek

Jack Rozparovač je Jack Rozparovač, pokud vraždy spáchal jedinečný muž

je nutné. Jméno, jako je „Jack Rozparovač“, tvrdí Kripke, je rigidní: vybírá stejného jedince napříč možnými světy; na druhé straně popis není rigidní. Kripke použil taková ustanovení o stanovení referencí, aby argumentoval, že příkladem je existence kontingentu a priori pravdy (1). Referenční definice určující odkazy mohou být uvedeny nejen pro jména, ale také pro termíny v jiných kategoriích, např. Běžná substantiva.

Viz Frege 1914 k obraně strohého pohledu, že alespoň v matematice by se měly počítat pouze určující definice. ^[1]

1.4 Popisné definice

Popisné definice, stejně jako ustanovení, určují význam, ale také se snaží být přiměřené stávajícímu použití. Když filozofové nabízejí definice např. „Vědí“a „svobodní“, nejsou prikázaní: nedostatek přizpůsobení se stávajícímu použití je proti nim námitka.

Je užitečné rozlišovat tři stupně popisné přiměřenosti definice: extenzivní, intenzivní a smysl. Definice je extenzivně přiměřená, pokud neexistují skutečné protiklady; je přiměřeně přiměřené, pokud neexistují žádné možné protiklady; a je smysluplné (nebo analytické), pokud poskytuje definovanému pojmu správný smysl. (Poslední stupeň sám přiměřenosti rozdělí do různých pojmů, pro „smysl“může být vysvětleno v několika různými způsoby.) Definice „Voda je H ₂ O,“například, je intensionally přiměřené, protože totožnost vody a H ₂O je nutné (za předpokladu Kripkeho-Putnamova pohledu na rigiditu termínů přírodního druhu); definice je proto také přiměřeně rozšířená. Není to však rozumné, protože smysl pro „vodu“není vůbec stejný jako pro „H ₂ O“. Definice „George Washington je prvním prezidentem Spojených států“je přiměřená pouze dočasně, ale nikoli ve dvou dalších stupních, zatímco „člověk je smějící se zvíře“není ve všech třech stupních adekvátní. Pokud jsou definice epistemologické, je intenzivní přiměřenost obecně nedostatečná. Takové definice nemohou podepsat racionalitu nebo aprioricitu problematického předmětu.

Viz Quine 1951 a 1960 pro skepticismus ohledně analytických definic; viz také záznam o analytickém / syntetickém rozlišení. Horty 2007 nabízí některé způsoby myšlení o smyslech definovaných výrazů, zejména v rámci Fregeanské sémantické teorie.

1.5 Vysvětlující definice

Někdy definice není nabídnuta ani popisně ani dohodnutě, ale jak, jak Rudolf Carnap (1956, §2) nazýval, vysvětlení. Účelem tohoto výkladu je respektovat některá ústřední použití termínu, ale u ostatních je závazná. Vysvětlení může být nabídnuto jako absolutní zlepšení existujícího, nedokonalého konceptu. Nebo to může být nabídnuto jako „dobrá věc znamenat“termínem v konkrétním kontextu pro určitý účel. (Citovaná věta je způsobena Alanem Rossem Andersonem; viz Belnap 1993, 117).

Jednoduchý příklad vysvětlení poskytuje definice uspořádaného páru v teorii množin. Zde je dvojice (langle x, y / rangle) definována jako množina ({ {x }, {x, y } }). Tato definice, chápaná jako vysvětlení, nemá za cíl zachytit všechny aspekty předchůdných použití „uspořádaného páru“v matematice (a v běžném životě); místo toho se snaží zachytit základní použití. Zásadní skutečností o našem použití „uspořádaného páru“je to, že se řídí zásadou, že páry jsou identické, pokud jsou jejich příslušné komponenty identické:

) langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

A lze ověřit, že výše uvedená definice splňuje princip. Definice má některé důsledky, které nejsou v souladu s běžnou představou. Definice například znamená, že objekt (x) je členem dvojice (langle x, y / rangle), a tato implikace není součástí běžné představy. Neshoda však není námitkou k vysvětlení. Co je důležité pro vysvětlení, není předchůdný význam, ale funkce. Dokud je tento zachován, může být první ponechán. Právě tento rys vysvětlení vedl WVO Quine (1960, §53) k tomu, aby vychvaloval své ctnosti a prosazoval definici „objednaného páru“jako filozofického paradigmatu.

Podmíněně funkční podmínka poskytuje další ilustraci vysvětlení. Tento podmíněný se v některých základních ohledech liší od běžných podmíněných. Nicméně podmíněně fungující pravda může být v určitých kontextech navržena jako vysvětlení běžných podmíněných pro určité účely. To, zda je návrh přiměřený, závisí rozhodujícím způsobem na příslušných cílech a kontextech. To, že se tyto dvě podmínky liší v důležitých, i podstatných ohledech, návrh automaticky nezpůsobuje.

1.6 Výrazné definice

Výrazné definice obvykle závisí na kontextu a zkušenostech. Předpokládejme, že konverzační kontext způsobí, že jeden pes bude mezi několika viditelnými. Pak můžeme zavést jméno „Freddie“ustanovením „nechť je Freddie tímto psem“. Předpokládejme například, že se díváte na větvičku keře a dočasně zavedete jméno 'Charlie' takto: „nechť je Charlie hmyzem v této větvi.“Tato definice může připnout referenta na „Charlie“, i když je na větvi mnoho hmyzu. Pokud vám váš vizuální zážitek přináší pouze jeden z těchto hmyzů (řekněme, protože ostatní jsou příliš malí na to, aby byli viditelní), pak tento hmyz je označení vašeho použití popisu „hmyz na této větvi“. Můžeme myslet na zkušenost jako na představení předmětu s omezenou částí světa. Tato část může sloužit jako bod hodnocení výrazů v ostenzivní definici.^[2] V důsledku toho může definice s pomocí zkušeností připojit referenta k definovanému pojmu, pokud by bez této podpory tak neučinil. V tomto příkladu popis „hmyz na této větvi“neznamená, když je hodnocen na celém světě, ale označuje, když je hodnocen v té části, která je prezentována ve vašem vizuálním zážitku. Viz Gupta 2019, kde je popis příspěvku zkušenosti ke smyslu zdánlivě definovaného pojmu.

Výrazná definice může přinést podstatné obohacení jazyka. Ostrá definice „Charlie“obohacuje jazyk názvem konkrétního hmyzu a mohlo by se stát, že před obohacením tento jazyk postrádal zdroje pro označení tohoto konkrétního hmyzu. Na rozdíl od jiných známých definic mohou ostenzivní definice zavádět pojmy, které jsou nevylučitelné. (Ostenzivní definice tedy nemusí splňovat kritérium Eliminability vysvětlené níže; mohou také nesplnit i kritérium konzervativnosti, které je také vysvětleno níže.)

Schopnost okázalých definic zavést v podstatě novou slovní zásobu přiměla některé myslitele, aby je považovali za zdroj všech primitivních konceptů. Russell tak tvrdí, že

všechny nominální definice, pokud jsou dostatečně posunuty zpět, musí nakonec vést k pojmům, které mají pouze ostenzivní definice, a v případě empirické vědy musí empirické termíny záviset na termínech, kterých je ostenzivní definice dána ve vnímání. (str. 242)

V „Významové a ostenzivní definici“CH Whiteley bere jako předpoklad, že ostenzivní definice jsou „prostředky, díky nimž se muži učí významům většiny, ne-li všech, těch elementárních výrazů ve svém jazyce, v nichž jsou definovány další výrazy. “(332) Je však třeba poznamenat, že nic v logice a sémantice ostenzivních definic nezaručuje základový obraz pojmů nebo jazykové výuky. Ludwig Wittgenstein rozhodl takto fundacionistické obrázky rozhodně kritizovat při svých filosofických vyšetřováních. Wittgensteinovy pozitivní názory na ostenzivní definici však zůstávají nepolapitelné; interpretaci viz Hacker 1975.

Důležité definice jsou důležité, ale jejich chápání zůstává na základní úrovni. Zaslouží si větší pozornost od logiků a filozofů.

1.7 Poznámka

Druhy, do kterých jsme tříděli definice, se vzájemně nevylučují, ani nejsou vyčerpávající. Definitivní definice termínu může být, jak se to stane, v dostatečné míře přiměřená předcházejícímu použití termínu. Slovník může nabídnout ostherní definice některých slov (např. Barevných slov). Výrazné definice mohou být také vysvětlující. Například, jeden může nabídnout zlepšení dříve existujícího pojetí “jedna noha” tak: “nechat jednu nohu být současná délka toho prutu.” Ve svém dřívějším používání může být pojem „jedna noha“docela vágní; na rozdíl od toho může být zdánlivě zavedené vysvětlení relativně přesné. Navíc, jak uvidíme níže, existují i jiné druhy definic, než jaké byly dosud zvažovány.

2. Logika definic

Mnoho definic - stipulativní, popisné a vysvětlující - lze analyzovat do tří prvků: termín, který je definován ((X)), výraz obsahující definovaný pojem ((ldots X / ldots)) a další výraz ((- - - - - -)), který je roven definici s tímto výrazem. Takové definice lze reprezentovat takto:

) tag {2} X: / ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

(Odkládáme ostenzivní definice, které zjevně vyžadují bohatší reprezentaci.) Když je definovaný pojem z kontextu jasný, může být reprezentace zjednodušena na

) ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

Výraz na levé straně '(eqdf)' (tj. (Ldots X / ldots)) je definicí definice a výraz na pravé straně je její definice - Předpokládalo se, že definice a definice patří do stejné logické kategorie. Všimněte si rozdílu mezi definovaným termínem a definiendem: definovaný termín v tomto příkladu je (X); Definice je nespecifikovaný výraz na levé straně '(eqdf)', který může nebo nemusí být totožný s (X). (Někteří autoři nazývají definovaný termín „definiendum“; jiní používají výraz zmateně, někdy se odkazují na definovaný termín a někdy na vlastní definici.) Ne všechny definice obsažené v logické a filozofické literatuře spadají do schématu (2). Částečné definice například nespadají do systému;další příklad poskytuje definice logických konstant z hlediska úvodních a vylučovacích pravidel, která je řídí. Nicméně definice, které jsou v souladu s (2), jsou nejdůležitější a budou naším prvořadým zájmem.

Zaměřme se na určující definice a zamyslíme se nad jejich logikou. Jak je vidět, některé důležité lekce zde převádějí do popisných a vysvětlujících definic. Pro jednoduchost se podívejme na případ, kdy jediná definice dočasně zavádí pojem. (Více definic přináší notační složitost, ale nevyvolává žádné nové koncepční problémy.) Předpokládejme tedy, že jazyk (L), základní jazyk, je rozšířen přidáním nového termínu (X) do rozšířeného jazyka (L ^ {+}), kde (X) je dočasně definováno definicí (mathcal {D}) formy (2). Jaká logická pravidla se řídí (mathcal {D})? Jaké požadavky musí definice splňovat?

Než budeme tyto otázky řešit, vezměme si na vědomí rozdíl, který není označen v logických knihách, ale který je užitečný při přemýšlení o definicích. V jednom druhu definice - nazýváme to homogenní definice - definovaný pojem a definiendum patří do stejné logické kategorie. Takže singulární termín je definován prostřednictvím singulárního termínu; obecný termín prostřednictvím obecného termínu; věta prostřednictvím věty; a tak dále. Řekněme, že homogenní definice je pravidelná, pokud je její definice shodné s definovaným termínem. Zde je několik příkladů pravidelných homogenních definic:

) tag {3} begin {zarovnat *} 1: 1 & / eqdf / text {nástupce} 0, \\ / text {man}: / text {man} a / eqdf / text {racionální zvíře}, \\ / text {The True}: / text {The True} & / eqdf / text {vše je stejné jako on sám}. / end {zarovnat *})

Všimněte si, že „Pravda“, jak je definována výše, patří do kategorie věty, nikoli do kategorie jednotného čísla.

Někdy se říká, že definice jsou pouhé recepty pro zkratky. Alfred North Whitehead a Bertrand Russell tak říkají o definicích - zejména o těch, které se používají v Principia Mathematica - že to jsou „přísně řečeno, typografické vymoženosti (1925, 11)“. Toto hledisko má věrohodnost pouze pro pravidelné homogenní definice - i když to není opravdu udržitelné ani zde. (Whitehead a Russellova vlastní pozorování objasňují, že jejich definice jsou více než pouhé „typografické vymoženosti“. ^[3]) Myšlenka, že definice jsou pouhé zkratky, není vůbec věrohodná pro druhý druh definice, k níž se nyní změníme.

Ve druhém druhu definice - nazveme ji heterogenní definicí - definovaný pojem a definiendum patří do různých logických kategorií. Například obecný pojem (např. „Člověk“) může být definován pomocí sentimentálního definice (např. „(X) je člověk“). Pro další příklad může být singulární termín (např. '1') definován pomocí predikátu (např. 'Je identický s 1'). Heterogenní definice jsou mnohem běžnější než homogenní definice. Například ve známých jazycích prvního řádu je zbytečné definovat, řekněme, jednostranný predikát (G) homogenní definicí. Tyto jazyky nemají zdroje pro vytváření složených predikátů; proto, definice homogenní definice (G) je vázáno být atomové. V heterogenní definici však mohou být definice snadno složité; například,) tag {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Pokud má jazyk zařízení pro abstrakci - např. Pro formování množin - můžeme dát jiný druh heterogenní definice (G):

) tag {5} text {množina} G / text {s} eqdf / text {množina čísel mezi 3 a 10.})

Všimněte si, že heterogenní definice, jako je (4), není pouhou zkratkou. Pokud by tomu tak bylo, výraz (x) v ní by nebyl skutečnou proměnnou a definice by neposkytovala vodítko pro roli (G) v jiných kontextech než (Gx). Kromě toho, pokud by takové definice byly zkratkami, podléhaly by požadavku, aby definice bylo kratší než definice, ale takový požadavek neexistuje. Na druhou stranu by skutečné požadavky na definice neměly smysl. Následující ustanovení není legitimní definicí:

) tag {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Pokud je však považována za pouhou zkratku, není nic nezákonného.

Některé určující definice nejsou nic jiného než pouhé prostředky zkratky (např. Definice, kterými se řídí vynechání závorek ve vzorcích; viz Church 1956, § 11). Mnoho definičních definic však není takového druhu; vnášejí do našeho projevu smysluplné věci. Definice (4) tedy činí (G) smysluplný unary predikát: (G) vyjadřuje na základě (4) konkrétní koncept. Naproti tomu podle ustanovení (6) není (G) smysluplným predikátem a nevyjadřuje žádný koncept jakéhokoli druhu. Ale co je zdrojem rozdílu? Proč je (4) legitimní, ale ne (6)? Obecněji, kdy je definice legitimní? Jaké požadavky musí definiens splňovat? A na to přijde definitivní prohlášení? Musí být definicum například atomové, jako v (3) a (4)? Pokud ne, jaká omezení (pokud existují) existují v konečném znění?

2.1 Dvě kritéria

Je pravděpodobné, že při každé odpovědi na tyto otázky budou dodržena dvě kritéria. ^[4] Zaprvé, určující definice by nám neměla umožnit stanovit v zásadě nové nároky - nazývat to kritériem konzervativnosti. Neměli bychom být schopni stanovit pouhým ustanovením nové věci, například o měsíci. Je pravdou, že pokud není toto kritérium upřesněno, je předmětem triviálních protikladů, protože zavedení definice významně ovlivňuje některá fakta. Kritérium však může být upřesněno a obhájitelné a brzy uvidíme některé způsoby, jak toho dosáhnout.

Za druhé, definice by měla opravit použití definovaného výrazu (X) - nazvat toto kritérium použití. Toto kritérium je věrohodné, protože pouze definice - a nic jiného - je k dispozici, aby nás vedla při používání (X). Jsou zde však komplikace. Co se počítá jako použití (X)? Jsou zahrnuty výskyty v rozsahu „říkat“a „vědět“? A co výskyt (X) v kontextu nabídek, a to například ve slovech, například 'Xenophanes'? Poslední otázka by měla dostat, je zřejmé, odpověď „Ne.“Odpovědi na předchozí otázky však nejsou tak jasné. Existuje další komplikace: i když můžeme nějak oddělit skutečné výskyty (X), je možné, že některé z těchto výskytů jsou podle definice právem ignorovány. Například,definice kvocientu může nechat některé výskyty termínu nedefinované (např. tam, kde je dělení 0). Ortodoxní pohled má vládnout takovým definicím jako nelegitimní, ale pravoslaví si zaslouží výzvu. Nechme však tuto výzvu na jinou příležitost a pokračujte v obcházení komplikací prostřednictvím idealizace. Omezme se na pozemní jazyky, které mají jasně určenou logickou strukturu (např. Jazyk prvního řádu) a které neobsahují žádné výskyty definovaného pojmu (X). A omezme se na definice, které neomezují legitimní výskyt (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Ortodoxní pohled má vládnout takovým definicím jako nelegitimní, ale pravoslaví si zaslouží výzvu. Nechme však tuto výzvu na jinou příležitost a pokračujte v obcházení komplikací prostřednictvím idealizace. Omezme se na pozemní jazyky, které mají jasně určenou logickou strukturu (např. Jazyk prvního řádu) a které neobsahují žádné výskyty definovaného pojmu (X). A omezme se na definice, které neomezují legitimní výskyt (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Ortodoxní pohled má vládnout takovým definicím jako nelegitimní, ale pravoslaví si zaslouží výzvu. Nechme však tuto výzvu na jinou příležitost a pokračujte v obcházení komplikací prostřednictvím idealizace. Omezme se na pozemní jazyky, které mají jasně určenou logickou strukturu (např. Jazyk prvního řádu) a které neobsahují žádné výskyty definovaného pojmu (X). A omezme se na definice, které neomezují legitimní výskyt (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Omezme se na pozemní jazyky, které mají jasně určenou logickou strukturu (např. Jazyk prvního řádu) a které neobsahují žádné výskyty definovaného pojmu (X). A omezme se na definice, které neomezují legitimní výskyt (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Omezme se na pozemní jazyky, které mají jasně určenou logickou strukturu (např. Jazyk prvního řádu) a které neobsahují žádné výskyty definovaného pojmu (X). A omezme se na definice, které neomezují legitimní výskyt (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X). Kritérium použití nyní diktuje, že definice by měla opravit použití všech výrazů v rozšířeném jazyce, ve kterém se vyskytuje (X).

Variantní formulace kritéria použití je tato: definice musí stanovit význam definice. Nová formulace je méně určující a spornější, protože se spoléhá na „význam“, nejednoznačný a teoreticky sporný pojem.

Všimněte si, že tato dvě kritéria upravují všechny určující definice, bez ohledu na to, zda jsou jedno nebo více, nebo zda mají formu (2) nebo ne.

2.2 Základy tradičního účtu

Tradiční popis definic je založen na třech myšlenkách. První myšlenkou je, že definice jsou zobecněné identity; druhý, že sentiment je primární; a třetí, redukce. První myšlenka, že definice jsou zobecněné identity, motivuje inferenční pravidla tradičních účtů pro definice. Jsou to hrubě řečeno, že (i) jakýkoli výskyt definitiendu může být nahrazen výskytem definiens (Generalized Definiendum Elimination); a naopak, (ii) jakýkoli výskyt definiens může být nahrazen výskytem definiendum (Generalized Definiendum Introduction).

Druhá myšlenka - prvenství sentimentu - má své kořeny v myšlence, že základní použití termínu jsou v tvrzení a argumentu: pokud chápeme použití definovaného pojmu v tvrzení a argumentu, pak tento pojem plně pochopíme. Smysl je však primárně v argumentech a tvrzeních. Proto, aby vysvětlil použití definovaného termínu (X), druhá myšlenka tvrdí, je nutné a dostatečné vysvětlit použití sentimentálních položek, které obsahují (X). (Pod významnými položkami se zde rozumí věty a věty podobné věty s volnými proměnnými, např. Definice (4); od té doby se tyto položky budou nazývat vzorce.) Problémy, které druhá myšlenka vyvolává, jsou samozřejmě velké a důležité, ale v krátkém průzkumu je nelze řešit. Přijmeme tento nápad jednoduše jako daný.

Třetí myšlenka - redukce - je to, že použití vzorce (Z) obsahujícího definovaný pojem je vysvětleno redukcí (Z) na vzorec v základním jazyce. Tato myšlenka, když se spojí s nadřazeností sentimentu, vede k silné verzi kritéria použití nazvaného Kritérium eliminovatelnosti: definice musí redukovat každý vzorec obsahující definovaný pojem na vzorec v základním jazyce, tj. Jeden bez definovaný termín. Eliminovatelnost je charakteristická teze tradičního účtu a, jak uvidíme níže, může být zpochybněna.

Upozorňujeme, že tradiční účet nevyžaduje snížení všech výrazů rozšířeného jazyka; vyžaduje pouze redukci vzorců. Například definice predikátu (G) nemusí poskytovat žádný způsob, jak redukovat (G) izolovaně na predikát základního jazyka. Tradiční účet je tedy v souladu s myšlenkou, že domněnková definice může do jazyka přidat nový koncepční zdroj, protože nic v základním jazyce nevyjadřuje predikativní pojem, který (G) vyjadřuje v rozšířeném jazyce. Tím nechceme popřít, že v rozšířeném jazyce není vyjádřen žádný nový návrh - alespoň ve smyslu pravdy - podmínky.

2.3 Konzervativnost a eliminovatelnost

Podívejme se nyní, jak lze konzervativnost a eliminabilitu upřesnit. Nejprve zvažte jazyky, které mají přesný systém důkazů známého druhu. Nechť je jazyk země (L) takový. Důkazní systém (L) může být klasický, tříhodnotový, modální nebo relevantní, nebo jiný; a to může nebo nemusí obsahovat některé neslogické axiomy. Předpokládáme pouze, že máme k dispozici pojmy „věta o (L)“a „prokazatelně ekvivalentní v (L)“, a také pojmy „věta o (L ^ {+})“a „ prokazatelně ekvivalentní v (L ^ {+}) , k němuž dochází, když je kontrolní systém (L) doplněn definicí (mathcal {D}) a logickými pravidly, kterými se řídí definice. Kritérium konzervativnosti lze nyní upřesnit následovně.

Kritérium konzervativnosti (syntaktická formulace): Jakýkoli vzorec (L), který je prokazatelný v (L ^ {+}), je prokazatelný v (L).

To znamená, že jakýkoli vzorec (L), který lze prokázat pomocí definice (mathcal {D}), je také prokazatelný bez použití (mathcal {D}): definice nám neumožňuje dokázat nic nového v (L). Kritérium eliminovatelnosti může být upřesněno takto:

Kritérium eliminace (syntaktická formulace): Pro jakýkoli vzorec (A) z (L ^ {+}) existuje vzorec (L), který je prokazatelně ekvivalentní v (L ^ {+}) do (A).

(Folklór připisuje polskému logikovi S. Leśniewskému za formulaci kritérií konzervativnosti a eliminability, to je však chyba; diskuse a další reference viz Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak a Hämäri 2012). ^[5]

Nyní vybavme (L) sémantiku modelu. To znamená, že se sdružujeme s (L) třídou interpretací a zpřístupňujeme pojmy "platné v (L) v interpretaci (M)" (aka: "true v (L)) v (M) ") a" sémanticky ekvivalentní v (L) vzhledem k (M). " Nechají se při sémantice / sémantiky / vycházet pojmy "platné v (L ^ {+}) v (M)" a "sémanticky ekvivalentní v (L ^ {+}) vzhledem k (M)". (L) je doplněno definicí (mathcal {D}). Kritéria konzervativnosti a eliminability lze nyní upřesnit takto:

Kritérium konzervativnosti (sémantická formulace): Pro všechny vzorce (A) z (L) a všechny interpretace (M), pokud (A) platí v (L ^ {+}) v (M), potom (A) platí také v (L) v (M).

Kritérium eliminace (sémantická formulace): Pro jakýkoli vzorec (A) z (L ^ {+}) existuje vzorec (B) z (L) takový, že vzhledem ke všem interpretacím (M, B / je sémanticky ekvivalentní v (L ^ {+}) k (A).

Syntaktická a sémantická formulace obou kritérií jsou zjevně paralelní. Avšak i když předpokládáme, že pro (L) a (L ^ {+}) platí věty o úplné úplnosti, obě formulace nejsou ekvivalentní. Ve skutečnosti je v každém rámci, syntaktickém a sémantickém, možné několik různých, neekvivalentních formulací těchto dvou kritérií.

Všimněte si, že splnění kritérií konzervativnosti a eliminovatelnosti, ať už v jejich sémantickém nebo syntaktickém složení, není absolutní vlastností definice; spokojenost je ve vztahu k základnímu jazyku. Různé pozemské jazyky s nimi mohly spojovat různé systémy důkazů a různé třídy interpretací. Definice tedy může splňovat tato dvě kritéria, je-li přidána do jednoho jazyka, ale nemusí-li tak učinit, je-li přidána do jiného jazyka. Pro další diskusi o kritériích viz Suppes 1957 a Belnap 1993.

2.4 Definice v normální formě

Pro konkrétnost určme základní jazyk (L) jako klasický jazyk prvního řádu s identitou. Důkazní systém (L) může obsahovat některé neslogické axiomy (T); interpretace (L) jsou pak klasické modely (T). Stejně jako dříve, (L ^ {+}) je rozšířený jazyk, jehož výsledkem je definice (mathcal {D}) nonlogické konstanty (X) přidaná do (L); proto, (X) může být jméno, predikát nebo funkční symbol. Volejte dvě definice ekvivalentní, pokud poskytují stejné věty v rozšířeném jazyce. Pak lze ukázat, že pokud (mathcal {D}) splňuje kritéria konzervativnosti a eliminability, pak (mathcal {D}) odpovídá definici v normální podobě, jak je uvedeno níže. ^[6] Protože definice v normální podobě splňují požadavky konzervativnosti a eliminability, tradiční účet znamená, že neztrácíme nic podstatného, pokud požadujeme, aby definice byly v normální formě.

Normální formu definic lze specifikovat následovně. Definice jmen (a, n) - ary predikáty (H), a (n) - ary funkční symboly (f), musí mít následující podobu:

) begin {Zarovnat} tag {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / tag {8} H (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldots, x_ {n}), \\ / tag {9} f (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {zarovnat})

kde proměnné (x_ {1}), …, (x_ {n}), (y) jsou všechny odlišné a definice v každém případě splňují podmínky, které lze rozdělit na obecné a konkrétní část. ^[7] Obecná podmínka pro definiens je v každém případě stejná: nesmí obsahovat definovaný pojem ani žádné volné proměnné jiné, než jsou proměnné uvedené v definici. Obecné podmínky zůstávají stejné, pokud se tradiční účet definice vztahuje na neklasickou logiku (např. Na mnohohodnotnou a modální logiku). Specifické podmínky jsou variabilnější. V klasické logice je specifická podmínka na definiens (psi (x)) z (7), že splňuje podmínku existence a jedinečnosti: že je prokázáno, že něco splňuje (psi (x)) a že nanejvýš jedna věc vyhovuje (psi (x)). ^[8]Neexistují žádné specifické podmínky pro (8), ale podmínka pro (9) je stejná jako u (7). Musí existovat požadavek na existenci a jedinečnost: univerzální uzavření vzorce

) existuje y \, / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v) chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

musí být prokazatelné. ^[9]

V logice, která počítá s prázdnými jmény, by byla specifická podmínka v definicích (7) slabší: podmínka existence by byla zrušena. Naproti tomu v modální logice, která vyžaduje, aby jména byla bez vakua a rigidní, by se specifická podmínka posílila: nejen musí existovat a jedinečnost ukázat nutně, musí být prokázáno, že definice jsou splněny jedním a stejný objekt napříč možnými světy.

Definice, které odpovídají bodům (7) - (9), jsou heterogenní; Definice je sentimentální, ale definovaný termín není. Jedním zdrojem specifických podmínek na (7) a (9) je jejich heterogenita. Jsou nutné specifické podmínky, aby se zajistilo, že definice, i když nikoli z logické kategorie definovaného pojmu, jí propůjčují správné logické chování. Podmínky tak zajišťují, že logika rozšířeného jazyka je stejná jako logika základního jazyka. To je důvod, proč se specifické podmínky na běžných formách mohou lišit podle logiky základního jazyka. Všimněte si, že bez ohledu na tuto logiku nejsou pro pravidelné homogenní definice zapotřebí žádné zvláštní podmínky.

Tradiční účet umožňuje jednoduchá logická pravidla pro definice a také jednoduchou sémantiku pro rozšířený jazyk. Předpokládejme, že definice (mathcal {D}) má sentimentální definici. (V klasické logice lze všechny definice snadno transformovat, aby splňovaly tuto podmínku.) Nechť (mathcal {D}) bude

) tag {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

kde (x_ {1}), …, (x_ {n}) jsou všechny proměnné volné v (phi) nebo (psi). A nechť (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) a (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) vycházejí ze současného nahrazení termínů (t_ {1}), …, (t_ {n}) pro (x_ {1}), …, (x_ {n}), v tomto pořadí, (phi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n})) a (psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n})); změna vázaných proměnných podle potřeby. Potom pravidla pro odvozování, která řídí (mathcal {D}), jsou jednoduše tato:

) begin {align *} frac { phi (t_1, / ldots, t_n)} { psi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Eliminace definiendum} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Definice úvodů} end {zarovnat *})

Sémantika rozšířeného jazyka je také přímá. Předpokládejme například, že (mathcal {D}) je definice názvu (a) a předpokládejme, že je-li uveden v normální podobě, odpovídá ekvivalentu (7). Poté se každá klasická interpretace (M) z (L) rozšíří na jedinečnou klasickou interpretaci (M ^ {+}) rozšířeného jazyka (L ^ {+}). Označení (a) v (M ^ {+}) je jedinečný objekt, který splňuje (psi (x)) v (M); podmínky na (psi (x)) zajišťují, že takový objekt existuje. Sémantika definovaných predikátů a funkčních symbolů je podobná. Logika a sémantika definic v neklasické logice dostávají podle tradičního účtu paralelní zacházení.

Všimněte si, že inferenciální síla přidání definice (10) do jazyka je stejná jako síla přidání jako axiom, univerzální uzavření

) tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Tato podobnost v logickém chování (10) a (11) by však neměla zakrývat velké rozdíly mezi dvoustrannou ('(leftrightarrow)') a definiční ekvivalencí ('(eqdf)'). První z nich je sentimentální spojivo, ale druhé je transkategorické: na obou stranách '(eqdf)' se mohou vyskytnout nejen vzorce, ale také predikáty, jména a položky jiných logických kategorií. Navíc může být dvousměrná iterována - např. (((Phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)) - ale ne definiční ekvivalence. Konečně, termín může být zaveden dohodou definice do základního jazyka, jehož logické zdroje jsou omezeny, řekněme, na klasickou konjunkci a disjunkci. To je dokonale proveditelné, i když dvoustranná není v jazyce vyjádřitelná. V takových případech,Inferenciální role určující definice není zrcadlena žádným vzorcem rozšířeného jazyka.

Na tradiční účetnictví definic by nemělo být pohlíženo, jako by vyžadovaly, aby definice byly v normální formě. Jediné požadavky, které ukládá, jsou: i) definice obsahuje definovaný pojem; ii) že definicum a definitiens patří do stejné logické kategorie; a (iii) definice vyhovuje Konzervativnosti a Eliminovatelnosti. Pokud jsou tyto požadavky splněny, neexistují žádná další omezení. Definice, stejně jako definice, mohou být složité; a definiens, stejně jako definiendum, může obsahovat definovaný pojem. Tedy například není nic formálně špatného, pokud definice funkčního výrazu „počet“má jako své definici vzorec „počet (F) s je počet (G) s '. Role normálních forem je pouze poskytnout snadný způsob, jak zajistit, aby definice vyhovovaly konzervativnosti a eliminovatelnosti; neposkytují jediný legitimní formát pro provizorní zavedení termínu. Důvodem, proč (4) je, ale (6) není, tedy není legitimní definice, že (4) je v normální formě a (6) není.

) begin {align *} tag {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / tag {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / end {zarovnat *})

Důvodem je, že (4) respektuje, ale (6) tato dvě kritéria nesplňuje. (Předpokládá se, že základní jazyk obsahuje obyčejnou aritmetiku; za tohoto předpokladu druhá definice znamená rozpor.) Následující dvě definice nejsou také v normální formě:

) begin {align *} tag {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx & / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / end {zarovnat *})

Ale oba by se měli počítat jako legitimní v rámci tradičního účtu, protože splňují kritéria konzervativnosti a eliminovatelnosti. Z toho vyplývá, že obě definice lze uvést v normální podobě. Definice (12) je zjevně rovnocenná s (4) a definice (13) je ekvivalentní s (14):

) tag {14} Gx / eqdf x = 0.)

Všimněte si, že definice (13) nejsou logicky ekvivalentní žádnému vzorci bez (G). Nicméně definice má normální podobu.

Podobně je tradiční účet dokonale kompatibilní s rekurzivními (aka: induktivními) definicemi, jako jsou definice obsažené v logice a matematice. Například v Peano Aritmetice může být exponentiace definována pomocí následujících rovnic:

) tag {15} begin {zarovnat *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / end {zarovnat *})

Zde první rovnice nazvaná základní klauzule definuje hodnotu funkce, když exponent je 0. A druhá klauzule nazvaná rekurzivní klauze - používá hodnotu funkce, když exponent je (n) pro definování hodnota, když exponent je (n + 1). To je podle tradičního popisu naprosto legitimní, protože věta Peano Aritmetiky stanoví, že výše uvedená definice je ekvivalentní definici v normální formě. ^[10] Rekurzivní definice mají kruhový tvar a ve skutečnosti je to právě tato okružnost, která je činí nápadnými. Ale kruhovitost je zcela na povrchu, jak ukazuje existence normálních forem. Viz diskuse o kruhových definicích níže.

2.5 Implicitní definice

Výše uvedené hledisko umožňuje tradičnímu účtu vnést do jeho záhybů myšlenky, které by se na první pohled mohly zdát v rozporu. To je někdy navrhl, že termín (X) moci být představen axiomatically, to je, tím, že stanoví jako axiómy jisté věty rozšířeného jazyka (L ^ {+}). Axiomy jsou pak implicitně definovány (X). Tato myšlenka se snadno přizpůsobí tradičnímu účtu. Nechť teorie je množina vět rozšířeného jazyka (L ^ {+}). Pak, říci, že teorie (T ^ *) je implicitní (stipulativní) definice X znamená, že (X) se řídí definicí

) phi / eqdf / text {The True},)

kde (phi) je spojení členů (T ^ *). (Je-li (T ^ *) nekonečné, bude pro každou větu (psi) v (T ^ *) potřeba ustanovení výše uvedeného formuláře.) ^[11] Definice je legitimní, podle tradiční účet, pokud splňuje kritéria konzervativnosti a eliminovatelnosti. Pokud splňuje tato kritéria, zavolejme (T ^ *) jako přípustné (pro definici X). Tradiční účet tedy vyhovuje myšlence, že teorie mohou dočasně zavádět nové termíny, ale klade silnou poptávku: teorie musí být přípustné. ^[12]

Vezměte v úvahu konkrétní případ klasických jazyků prvního řádu. Nechť je jazyk země (L) jedním takovým a jeho interpretace jsou modely některých vět (T). Řekněme, že interpretace (M ^ {+}) z (L ^ {+}) je rozšířením interpretace (M) z (L) iff (M) a (M ^ {+}) mají stejnou doménu a přiřazují stejné sémantické hodnoty k logickým konstantám v (L). Dále to řekněme

(T ^ *) je implicitní sémantická definice X iff, pro každou interpretaci (M) z (L) existuje jedinečný model (M ^ {+}) z (T ^ *) takový, že (M ^ {+}) je rozšíření (M).

Poté je následující nárok okamžitý:

Pokud je přípustné (T ^ *), pak (T ^ *) je implicitní sémantická definice (X).

To znamená, že přípustná teorie stanoví sémantickou hodnotu definovaného pojmu v každé interpretaci základního jazyka. Toto pozorování poskytuje jednu přirozenou metodu prokazování, že teorie není přípustná:

Padoaova metoda. Abychom ukázali, že (T ^ *) není přípustné, stačí zkonstruovat dva modely (T ^ *), které jsou expanzemi jedné a stejné interpretace základního jazyka (L). (Padoa 1900)

Zde je jednoduchá a filozoficky užitečná aplikace Padoovy metody. Předpokládejme, že systém důkazů (L) je Peano aritmetický a že (L) je rozšířen přidáním unárního predikátu (Tr) (pro „Gödel číslo skutečné věty (L)“)). Nechť (mathbf {H}) je teorie skládající se ze všech vět („Tarskiho dvoustranná pravidla“) následující podoby:

[Tr (s) leftrightarrow / psi,)

kde (psi) je věta (L) a (s) je kanonický název pro Gödelovo číslo (psi). Padoaova metoda naznačuje, že (mathbf {H}) není pro definování (Tr) přípustné. Pro (mathbf {H}) neopravuje interpretaci (Tr) ve všech interpretacích (L). Zejména to ve standardním modelu nedělá, protože (mathbf {H}) neklade žádná omezení na chování (Tr) na ta čísla, která nejsou Gödelovými čísly vět. (Pokud kódování udělí každému přirozenému číslu Gödelovo číslo věty, pak nestandardní model Peano Aritmetiky poskytne potřebný protipříklad: má nekonečně mnoho rozšíření, které jsou modely (mathbf {H}).) A varianta tohoto argumentu ukazuje, že Tarskiho teorie pravdy, jak je formulována v (L ^ {+}), není pro definování (Tr) přípustná.

A co obrácení metody Padoa? Předpokládejme, že můžeme ukázat, že při každé interpretaci základního jazyka fixuje teorie (T ^ *) jedinečnou sémantickou hodnotu pro definovaný pojem. Můžeme dojít k závěru, že (T ^ *) je přípustné? Tato otázka dostává negativní odpověď na některé sémantické systémy a pozitivní odpověď na ostatní. (Naproti tomu Padoa metoda funguje tak dlouho, dokud není sémantický systém vysoce vymyšlený.) Konverze selže např. Pro klasické jazyky druhého řádu, ale platí pro jazyky prvního řádu:

Bethova věta o definovatelnosti. Pokud (T ^ *) je implicitní sémantická definice (X) v klasickém jazyce prvního řádu, je přípustný (T ^ *).

Všimněte si, že věta platí i v případě, že (T ^ *) je nekonečná množina. Důkaz věty viz Boolos, Burgess a Jeffrey 2002; viz také Beth 1953.

Myšlenka implicitní definice tedy není v rozporu s tradičním účtem. Tam, kde vznikne konflikt, je ve filozofických aplikacích myšlenky. Selhání přísných redukcionistických programů koncem devatenáctého a začátkem dvacátého století přimělo filozofy k prozkoumání volnějších druhů redukcionismu. Například Fregeova definice čísla se ukázala být nekonzistentní, a tudíž neschopná udržet logicistickou tezi, že principy aritmetiky jsou analytické. Ukazuje se však, že principy aritmetiky lze odvodit bez Fregeovy definice. Vše, co je potřeba, je jedním z důsledků, a to Humeův princip:

Humeův princip. Počet (F) s = počet (G) s iff existuje vzájemná korespondence mezi (F) a (G) s.

Pokud přidáme Humeův princip k logice druhého řádu, můžeme analyticky odvodit (druhého řádu) Peano aritmetiku. (Podstata argumentu se nachází již ve Frege 1884.) Ústřední tezí Neo-Fregeanismu je, že Humeův princip je implicitní definicí funkčního výrazu „počet“(viz Hale a Wright 2001). Pokud je možné tuto obhajobu obhájit, může se logicismus o aritmetice udržet, zatímco se vzdává Fregeovy explicitní (a nekonzistentní) definice. Neo-Fregeanova teze je však v rozporu s tradičním popisem definic, protože Humeův princip porušuje jak konzervativnost, tak eliminačnost. Princip umožňuje dokázat, pro libovolné (n), že existují alespoň (n) objekty.(Související aplikace si klade za cíl udržet analytičnost geometrie prostřednictvím myšlenky, že axiomy geometrie jsou implicitní definice geometrických konceptů, jako je „bod“a „čára“. I zde existuje konflikt s tradičním účtem pro konzervativnost a Eliminovatelnost je porušena.)

Další příklad: Program redukcionismu pro teoretické koncepty (např. Fyzikální) měl za cíl vyřešit epistemologické problémy, které tyto pojmy představují. Cílem programu bylo omezit teoretické věty na (třídy) pozorovacích vět. Udržení se však ukázalo jako obtížné, ne-li nemožné. Vznikl tak návrh, že možná nepozorovací součást teorie lze bez jakéhokoli požadavku na redukci považovat za implicitní definici teoretických termínů. Přesná charakterizace nepozorovací složky se může lišit podle konkrétního epistemologického problému, který je po ruce. Musí však dojít k porušení jednoho nebo obou těchto kritérií, konzervativnosti a eliminability. ^[13]

Konečný příklad: Víme o Tarski, že žádná teorie nemůže být přípustnou definicí predikátu pravdy, (Tr), pro jazyk Peano Aritmetiky uvažovaný výše. Nicméně, možná ještě můžeme považovat teorii (mathbf {H}) za implicitní definici (Tr). (Paul Horwich předložil úzce související návrh na běžný pojem pravdy.) I zde je znovu vyvíjen tlak na hranice stanovené tradičním účtem. (mathbf {H}) splňuje kritérium konzervativnosti, ale nikoli kritérium Eliminability.

Abychom mohli posoudit výzvu, kterou tyto filozofické aplikace představují pro tradiční účet, musíme vyřešit problémy, které jsou v současné filozofické debatě. Některé z problémů jsou následující. (i) Je zřejmé, že některá porušení konzervativnosti jsou nelegitimní: člověk nemůže napravit ustanovením, že například Merkur je větší než Venuše. Pokud tedy filozofická aplikace vyžaduje, aby některá porušení konzervativnosti byla legitimní, potřebujeme vysvětlit rozdíl mezi těmito dvěma druhy případů: legitimním porušením konzervativnosti a neoprávněným. A musíme pochopit, co činí jednoho legitimním, ale ne druhým. (ii) Podobný problém vyvstává v případě Eliminability. Zdá se, že žádná stará teorie nemůže být implicitní definicí pojmu (X).(Teorie může obsahovat pouze tautologie.) Pokud ano, pak znovu potřebujeme vymezení teorií, které mohou sloužit k implicitnímu definování termínu od těch, které nemohou. A potřebujeme odůvodnění pro rozlišení. (iii) Filozofické aplikace jsou zásadně založeny na myšlence, že implicitní definice stanoví význam definovaného pojmu. Potřebujeme proto vysvětlit, co tento význam znamená a jak to implicitní definice opravuje. Pod tradičním účtem lze považovat vzorce, které obsahují definovaný pojem, za získávání jejich významu ze vzorců základního jazyka. (S ohledem na nadřazenost sentimentu to opravuje význam definovaného pojmu.) Tento krok však není k dispozici podle liberalizované koncepce implicitní definice. Jak tedyměli bychom myslet na význam vzorce při předpokládaném odklonu od tradičního účtu? iv) I když jsou předchozí tři otázky uspokojivě vyřešeny, přetrvává důležitá obava. Předpokládejme, že dovolujeme, aby teorie (T), fyziky, dokázala definovat její teoretické termíny a aby tyto termíny vybavila konkrétními významy. Otázkou zůstává, zda takto dotované významy jsou totožné s (nebo dost podobnými) významům, které mají teoretické pojmy v jejich skutečném použití ve fyzice. Tato otázka musí být zodpovězena kladně, pokud implicitní definice mají sloužit jejich filosofické funkci. Cílem vyvolání implicitních definic je zohlednit racionalitu nebo aprioricitu nebo analytičnost našich běžných úsudků,ne o mimořádných soudech, které jsou nějak přiřazeny běžným znakům.

Pro další diskusi o těchto otázkách viz Horwich 1998, zejména kapitola 6; Hale and Wright 2001, zejména kapitola 5; a tam citovaná díla.

2.6 Princip bludného kruhu

Další odklon od tradiční teorie začíná myšlenkou, že teorie není příliš přísná, ale že je příliš liberální, že umožňuje nelegitimní definice. Tradiční teorie tedy umožňuje následující definice „lháře“a třídy přirozených čísel (mathbf {N}):

• (16) (z) je lhář (eqdf) všechny výroky uplatňované (z) jsou nepravdivé;
• (17) (z) patří do (mathbf {N}) (eqdf) (z) patří do každé indukční třídy, kde třída je induktivní, pokud obsahuje 0 a je uzavřena pod následná operace.

Russell argumentoval, že takové definice zahrnují jemný druh začarovaného kruhu. Definice první definice se dovolávají, uvažoval Russell, součet všech propozic, ale definice, pokud je legitimní, by vedla k propozicím, které lze definovat pouze odkazem na tuto totalitu. Podobně se druhá definice pokouší definovat třídu (mathbf {N}) odkazem na všechny třídy, což zahrnuje definovanou třídu (mathbf {N}). Russell tvrdil, že takové definice jsou nelegitimní. A on uložil následující požadavek - volal “Vicious-kruhový princip” - na definicích a pojmech. (Henri Poincaré také navrhl podobný nápad.)

Princip Vicious-Circle. "Ať už zahrnuje celou sbírku, nesmí to být jedna ze sbírek (Russell 1908, 63)."

Další formulace, kterou Russell dal tomuto principu, je tato:

Princip Vicious-Circle (formulace variant). "Pokud by určitá sbírka měla celkem, měla by členy pouze definovatelné z hlediska tohoto součtu, pak uvedená sbírka nemá žádný součet (Russell, 1908, 63)."

V připojené poznámce pod čarou Russell vysvětlil: „Když říkám, že sbírka nemá celkem, myslím, že prohlášení o všech jejích členech jsou nesmysl.“

Russellovou primární motivací pro princip Vicious-Circle byly logické a sémantické paradoxy. Pojmy jako „pravda“, „výrok“a „třída“vytvářejí za určitých nepříznivých podmínek paradoxní závěry. Tvrzení „Cheney je lhář“, kde se „lhář“chápe jako v (16), vede k paradoxním závěrům, pokud Cheney tvrdí, že je lhář, a všechny ostatní tvrzení, které uplatňuje, jsou ve skutečnosti nepravdivé. Russell použil princip Vicious-Circle, aby naznačil, že pokud „Cheney je lhář“, vyjadřuje výrok, nemůže to být v rozsahu kvantifikátoru v definicích (16). Obecněji Russell tvrdil, že kvantifikace ve všech propozicích a ve všech třídách porušuje princip Vicious-Circle Princip, a je tedy nelegitimní. Dále,tvrdil, že výrazy jako „true“a „false“nevyjadřují jedinečný koncept - v Russellově terminologii, jedinečnou „výrokovou funkci“- ale jednu z hierarchie výrokových funkcí různých řádů. Poučení, které Russell vyvodil z paradoxů, je tedy tak, že doména smysluplného je omezenější, než by se mohlo zdát, že tradiční popis pojmů a definic je třeba učinit restriktivnějším, aby se vyloučily zájmy (16) a (17).že tradiční popis pojmů a definic je třeba učinit restriktivnější, aby se vyloučily zájmy (16) a (17).že tradiční popis pojmů a definic je třeba učinit restriktivnější, aby se vyloučily zájmy (16) a (17).

Při aplikaci na běžné neformální definice princip Vicious-Circle Princip neposkytuje, je třeba říci, jasnou metodu vymezení smysluplného od nesmyslného. Definice (16) je považována za nelegitimní, protože kvantifikátor je ve svých definicích v rozsahu všech návrhů. A bylo nám řečeno, že je to zakázáno, protože, pokud by to bylo dovoleno, celá řada výroků „by měla členy pouze definovatelné z hlediska celkového počtu“. Pokud však nebudeme vědět více o povaze návrhů a dostupných prostředcích k jejich definování, není možné určit, zda (16) porušuje zásadu. Může se stát, že návrh, jako je „Cheney je lhář“- nebo uvést méně sporný příklad,„Buď je Cheney lhář, nebo není“- lze definovat tak, aby se neodvolával na všechny návrhy. Pokud jsou například návrhy souborem možných světů, pak by se taková definice jevila jako proveditelná.

Princip Vicious-Circle však slouží jako účinná motivace pro konkrétní popis legitimních konceptů a definic, konkrétně těch, které jsou obsaženy v Russelllově Ramifiedově teorii typů. Myšlenka je taková, že jeden začíná nějakými bezproblémovými prostředky, které nevyžadují kvantifikaci nad propozicemi, koncepty apod. Tyto zdroje umožňují definovat například různé unární koncepty, které jsou tak zajištěny splněním principu Vicious-Circle. Kvantifikace nad těmito pojmy je tedy povinná být legitimní a může být přidána do jazyka. Totéž platí pro návrhy a koncepty spadající pod jiné typy: pro každý typ lze přidat kvantifikátor, který se rozprostírá nad položkami (tohoto typu), které jsou definovatelné pomocí počátečních bezproblémových zdrojů. Nové kvantifikační zdroje umožňují definici dalších položek každého typu; tito také respektují princip a opět mohou být do jazyka legitimně přidány kvantifikátory, které se pohybují přes rozšířené totality. Nové zdroje umožňují definovat ještě další položky. A proces se opakuje. Výsledkem je, že máme hierarchii propozic a konceptů různých řádů. Každý typ v hierarchii typů se rozrůstá do množství objednávek. Toto rozvětvení zajišťuje, že definice formulované ve výsledném jazyce musí respektovat princip Vicious-Circle. Pojmy a třídy, které lze definovat v rámci tohoto schématu, jsou považovány za prediktivní (v jednom smyslu tohoto slova); ostatní, nevysvětlující.kvantifikátory pohybující se přes rozšířené součty mohou být do jazyka legitimně přidány. Nové zdroje umožňují definovat ještě další položky. A proces se opakuje. Výsledkem je, že máme hierarchii propozic a konceptů různých řádů. Každý typ v hierarchii typů se rozrůstá do množství objednávek. Toto rozvětvení zajišťuje, že definice formulované ve výsledném jazyce musí respektovat princip Vicious-Circle. Pojmy a třídy, které lze definovat v rámci tohoto schématu, jsou považovány za prediktivní (v jednom smyslu tohoto slova); ostatní, nevysvětlující.kvantifikátory pohybující se přes rozšířené součty mohou být do jazyka legitimně přidány. Nové zdroje umožňují definovat ještě další položky. A proces se opakuje. Výsledkem je, že máme hierarchii propozic a konceptů různých řádů. Každý typ v hierarchii typů se rozrůstá do množství objednávek. Toto rozvětvení zajišťuje, že definice formulované ve výsledném jazyce musí respektovat princip Vicious-Circle. Pojmy a třídy, které lze definovat v rámci tohoto schématu, jsou považovány za prediktivní (v jednom smyslu tohoto slova); ostatní, nevysvětlující. Výsledkem je, že máme hierarchii propozic a konceptů různých řádů. Každý typ v hierarchii typů se rozrůstá do množství objednávek. Toto rozvětvení zajišťuje, že definice formulované ve výsledném jazyce musí respektovat princip Vicious-Circle. Pojmy a třídy, které lze definovat v rámci tohoto schématu, jsou považovány za prediktivní (v jednom smyslu tohoto slova); ostatní, nevysvětlující. Výsledkem je, že máme hierarchii propozic a konceptů různých řádů. Každý typ v hierarchii typů se rozrůstá do množství objednávek. Toto rozvětvení zajišťuje, že definice formulované ve výsledném jazyce musí respektovat princip Vicious-Circle. Pojmy a třídy, které lze definovat v rámci tohoto schématu, jsou považovány za prediktivní (v jednom smyslu tohoto slova); ostatní, nevysvětlující.

Pro další diskusi o principu Vicious-Circle viz Russell 1908, Whitehead a Russell 1925, Gödel 1944 a Chihara 1973. Formální představení teorie roztroušených typů viz Church 1976; pro více neformální prezentaci viz Hazen 1983. Viz také záznamy o teorii typů a Principia Mathematica, které obsahují další odkazy.

2.7 Kruhové definice

Paradoxy lze také použít k motivaci závěru, který je pravý opak vůči Russellově. Zvažte následující definici jednostranného predikátu (G):

) tag {18} begin {zarovnat *} Gx / eqdf x = / text {Socrates} & / vee (x = / text {Plato} amp Gx) & / vee (x = / text {Aristotle } amp { sim} Gx). / end {zarovnat *})

Tato definice je v podstatě kruhová; to není redukovatelné na jeden v normální formě. Přesto intuitivně poskytuje podstatné vodítko pro použití (G). Definice například stanoví, že Sokrates spadá pod (G), a že nic jiného než tři zmínění starověcí filozofové tak neučiní. Definice neovlivňuje stav pouze dvou objektů, jmenovitě Plata a Aristoteles. Pokud předpokládáme, že Platón spadá pod (G), definice dává, že Platón spadá pod (G) (protože Platón splňuje definice), což potvrzuje naši domněnku. Totéž se stane, pokud předpokládáme opak, konkrétně, že Platón nespadá pod (G); opět je potvrzena naše domněnka. S Aristotelem nás jakýkoli pokus o rozhodnutí, zda spadne pod (G), nás dostane do ještě nejistější situace:pokud předpokládáme, že Aristoteles spadá pod (G), jsme vedeni k závěru z definice, že nespadá pod (G) (protože nesplňuje definice); a naopak, pokud předpokládáme, že nespadá pod (G), jsme vedeni k závěru, že ano. Ale ani na Plato a Aristoteles není chování (G) neznámé: (G) se zde chová tak, jak se koncept Pravdy chová na Pravdivém pravdě („To, co nyní říkám, je pravda“) a lhář („To, co nyní říkám, není pravda“). Obecněji existuje silná paralelnost mezi chováním pojmu pravdy a chováním konceptů definovaných kruhovými definicemi. Oba jsou obvykle dobře definováni v řadě případů a oba vykazují různé neobvyklé logické chování v ostatních případech. Vskutku,všechny různé druhy matoucího logického chování nalezeného s konceptem pravdy se nacházejí také v koncepcích definovaných kruhovými definicemi. Tento silný paralelismus naznačuje, že vzhledem k tomu, že pravda je zjevně legitimním pojmem, existují také pojmy definované kruhovými definicemi, jako je (18). Paradoxy podle tohoto pohledu zpochybňují legitimitu pojmu pravdy. Ukazují pouze, že logika a sémantika kruhových konceptů se liší od logiky a sémantiky kruhových konceptů. Toto hledisko je vyvinuto v revizní teorii definic.nepochybuji o legitimitě pojmu pravdy. Ukazují pouze, že logika a sémantika kruhových konceptů se liší od logiky a sémantiky kruhových konceptů. Toto hledisko je vyvinuto v revizní teorii definic.nepochybuji o legitimitě pojmu pravdy. Ukazují pouze, že logika a sémantika kruhových konceptů se liší od logiky a sémantiky kruhových konceptů. Toto hledisko je vyvinuto v revizní teorii definic.

V této teorii uděluje kruhová definice definovanému pojmu význam, který má hypotetický charakter; sémantická hodnota definovaného termínu je pravidlo revize, nikoli jako u nekruhových definic, pravidlo aplikace. Zvažte znovu (18). Jako každá definice, (18), opravuje interpretaci definice (pokud), interpretace non-logických konstant v definiens. Problém s (18) je v tom, že definovaný pojem (G) se vyskytuje v definiens. Předpokládejme však, že libovolně přiřadíme (G) interpretaci - řekněme, že necháme být množinou (U) všech objektů ve vesmíru diskursu (tj. Předpokládáme, že (U) je množina objekty, které vyhovují (G)). Pak je snadno vidět, že definice jsou pravdou přesně pro Sokratesa a Platóna. Definice tedy diktuje, že podle naší hypotézyinterpretace (G) by měla být množina ({ text {Socrates}, / text {Plato} }). Podobný výpočet lze provést pro jakoukoli hypotézu o interpretaci (G). Pokud je například hypotéza ({ text {Xenocrates} }), výsledkem definice bude výsledek ({ text {Sokrates}, / text {Aristotle} }). Stručně řečeno, ačkoli (18) neřeší ostře, které objekty spadají pod (G), dává pravidlo nebo funkci, která, když je zadána hypotetická interpretace jako vstup, dá další jako výstup. Základní myšlenkou revizní teorie je považovat toto pravidlo za revizní pravidlo: interpretace výstupu je lepší než vstupní (nebo je alespoň tak dobrá; tato kvalifikace bude považována za přečtená). Sémantická hodnota, kterou definice propůjčuje definovanému pojmu, není rozšířením - vymezení vesmíru diskurzu na objekty, které spadají pod definovaný pojem, a těch, které tomu tak není. Sémantická hodnota je pravidlo revize.

Pravidlo revize vysvětluje chování, jak obyčejného, tak mimořádného, kruhového konceptu. Nechť (delta) je revizní pravidlo dané definicí a nechť (V) je libovolná hypotetická interpretace definovaného pojmu. Můžeme se pokusit zlepšit naši hypotézu (V) opakovanými aplikacemi pravidla (delta). Výsledná sekvence, [V, / delta (V), / delta (delta (V)), / delta (delta (delta (V)))), / ldots,)

je posloupnost revizí pro (delta). Úplnost revizních sekvencí pro (delta), pro všechny možné počáteční hypotézy, je proces revize generovaný pomocí (delta). Například pravidlo revize pro (18) generuje proces revize, který se skládá mimo jiné z následujících revizních sekvencí:

[U, { text {Socrates}, / text {Plato} }, { text {Socrates}, / text {Plato}, / text {Aristotle} }, { text {Socrates}, / text {Plato} }, / ldots)) / \ text {Xenocrates} }, { text {Socrates}, / text {Aristotle} }, { text {Socrates} }, { text {Socrates}, / text {Aristotle} }, / ldots)

V tomto procesu sledujte chování našich čtyř starověkých filozofů. Po několika počátečních fázích revize Socrates vždy spadá do revidovaných interpretací a Xenokráty vždy spadají ven. (V tomto konkrétním příkladu je chování obou opraveno po počáteční fázi; v jiných případech to může trvat mnoho fází revize, než bude stav objektu vyřešen.) Proces revize přináší kategorický verdikt obou filozofů: Socrates kategoricky spadá pod (G) a Xenocrates kategoricky spadá mimo (G). Předměty, u nichž proces nedává kategorický verdikt, jsou považovány za patologické (vzhledem k pravidlu revize, definici nebo definovanému konceptu). V našem příkladu jsou Platón a Aristoteles patologicky příbuzní (18). Stav Aristoteles není stabilní v žádné revizní posloupnosti. Je to, jako by se o něm proces revize nemohl rozhodnout. Někdy je Aristoteles považován za spadající pod (G), a pak se proces obrátí sám a prohlásí, že nespadá pod (G), a pak se proces opět obrátí. Když se objekt chová tímto způsobem ve všech revizních sekvencích, říká se, že je paradoxní. Platón je také patologický ve vztahu k (G), ale jeho chování v procesu revize je odlišné. Plato získává stabilní stav v každé revizní sekvenci, ale stav, který získává, závisí na počáteční hypotéze. Když se objekt chová tímto způsobem ve všech revizních sekvencích, říká se, že je paradoxní. Platón je také patologický ve vztahu k (G), ale jeho chování v procesu revize je odlišné. Plato získává stabilní stav v každé revizní sekvenci, ale stav, který získává, závisí na počáteční hypotéze. Když se objekt chová tímto způsobem ve všech revizních sekvencích, říká se, že je paradoxní. Platón je také patologický ve vztahu k (G), ale jeho chování v procesu revize je odlišné. Plato získává stabilní stav v každé revizní sekvenci, ale stav, který získává, závisí na počáteční hypotéze.

Procesy revize pomáhají poskytovat sémantiku pro kruhové definice. ^[14] Mohou být použity k definování sémantických pojmů, jako je „kategorická pravda“a logických pojmů, jako je „platnost“. Charakteristiky logických pojmů, které získáváme, závisí zásadně na jednom aspektu revize: počtu fází, než se objekty v procesu revize ustálí na svém pravidelném chování. Definice je považována za konečnou, pokud její revizní proces nutně vyžaduje pouze tolik takových fází. ^[15] Pro konečné definice existuje jednoduchý logický počet, (mathbf {C} _ {0}), který je pro revizní sémantiku zdravý a úplný. ^[16] S konečnými definicemi se proces revize rozšiřuje na transfinit. ^[17]A tyto definice mohou do jazyka přidat značnou expresivní sílu. (Když jsou přidány k aritmetice prvního řádu, tyto definice činí definovatelné všechny (Pi ^ {1} _ {2}) sady přirozených čísel.) Kvůli expresivní síle je obecný pojem platnosti pro nekonečný kruh definice nejsou axiomatizovatelné (Kremer 1993). Můžeme dát přinejlepším zvukový logický počet, ale ne úplný. Situace je obdobná jako u logiky druhého řádu.

Podívejme se na některé obecné rysy revizní teorie definic. (i) Podle této teorie logika a sémantika nekruhových definic - tj. definic v normální podobě - zůstávají stejné jako v tradičním účtu. Pravidla pro zavedení a vyloučení platí neomezeně a fáze revize jsou zbytečné. K odchylkám od tradičního účtu dochází pouze přes kruhové definice. (ii) Podle teorie cirkulární definice nenarušují logiku základního jazyka. Věty obsahující definované termíny podléhají stejným logickým zákonům jako věty základního jazyka. (iii) Konzervativnost platí. Žádná definice, bez ohledu na to, jak krutá je kruhovitost, v základním jazyce neznamená nic nového. I naprosto paradoxní definice

[Gx / eqdf { sim} Gx)

respektuje požadavek konzervativnosti. (iv) Eliminovatelnost selhává. Věty rozšířeného jazyka nejsou obecně redukovatelné na věty rozšířeného jazyka. Toto selhání má dva zdroje. Zaprvé, revizní teorie opravuje použití, v tvrzení a argumentaci, vět rozšířeného jazyka, ale bez omezení vět na věty základního jazyka. Teorie tak splňuje kritérium použití, ale ne silnější kritérium eliminability. Zadruhé, v této teorii může definice přidat logický a expresivní výkon do základního jazyka. Přidání kruhové definice může vést k definovatelnosti nových sad. To je další důvod, proč eliminovatelnost selže.

Může být namítáno, že každý koncept musí mít rozšíření, že musí existovat určitá skupina objektů, které spadají pod tento koncept. Pokud je to správné, pak má predikát smysl - vyjadřuje koncept - pouze pokud predikát nutně demarkauje svět ostře na ty objekty, na které se vztahuje a na ty, na které se nevztahuje. Proto námitka končí, žádný predikát s v podstatě kruhovou definicí nemůže být smysluplný. Námitka není zjevně rozhodující, protože spočívá na předpokladu, který vylučuje mnoho obyčejných a zjevně smysluplných predikátů (např. „Plešatý“). Je však pozoruhodné, protože ukazuje, jak obecné otázky týkající se významu a konceptů vstupují do debaty o požadavcích na legitimní definice.

Hlavní motivace pro teorii revizí je popisná. Tvrdilo se, že teorie nám pomáhá lépe porozumět našim běžným pojmům, jako je pravda, nutnost a racionální volba. Tvrdí, že obyčejné i matoucí chování těchto konceptů má své kořeny v kruhovitosti těchto konceptů. Pokud je to správné, pak neexistuje žádný logický požadavek na popisné a vysvětlující definice, že jsou nekruhové.

Podrobnější zpracování těchto témat viz Gupta 1988/89, Gupta a Belnap 1993 a Chapuis a Gupta 1999. Viz také záznam o revizní teorii pravdy. Kritické diskuse o revizní teorii naleznete v článcích Vann McGee a Donalda A. Martina a v odpovědi Gupty ve Villanuevě 1997. Viz také Shapiro 2006.

Bibliografie

• Belnap, N., 1993, „On Rigorous Definitions“, Philosophical Studies, 72: 115–146.
• Beth, EW, 1953, „O Padonově metodě v teorii definic“, Indagationes Mathematicae, 15: 330–339.
• Boolos, GS, Burgess, JP, a Jeffrey, RC, 2002, Computability and Logic, čtvrté vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Carnap, R., 1956, Význam a nutnost: Studium sémantiky a modální logiky, rozšířené vydání, Chicago: University of Chicago Press.
• Chapuis, A. a Gupta, A. (eds.), 1999, Circularity, Definition and Truth, New Delhi: Indian Council of Philosophical Research.
• Charles, D. (ed.), 2010, Definice v řecké filozofii, Oxford: Oxford University Press.
• Chihara, CS, 1973, ontologie a princip začarovaného kruhu, Ithaca: Cornell University Press.
• Church, A., 1956, Úvod do matematické logiky, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1976, „Porovnání Russellova usnesení sémantických antinomií s řešením Tarského,“Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
• Demopoulos, W., 2003, „O racionální rekonstrukci našich teoretických znalostí“, British Journal for the Philosophy of Science, 54: 371–403.
• Dudman, VH, 1973, „Frege on Definitions“, Mind, 83: 609–610.
• Frege, G., 1879, Begriffschrift, z Frege do Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931, editoval J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), s. 1–82.
• –––, 1884, Základy aritmetiky: Logicko-matematické zkoumání pojmu číslo, druhé revidované vydání (1980), Evanston: Northwestern University Press.
• –––, 1914, „Logika v matematice“, v Gottlob Frege: Posmrtné spisy, editoval H. Hermes, F. Kambartel a F. Kaulbach, Chicago: University of Chicago Press (1979), s. 203–250.
• Gödel, K., 1944, „Russelllova matematická logika“, dotisknut v jeho Sbíraných dílech: Svazek II: Publikace 1938–1974, New York: Oxford University Press (1990), s. 119–141
• Gupta, A., 1988/89, „Poznámky k definicím a pojmu pravdy“, sborník Aristotelian Society, 89: 227–246.
• ––– 2006, „Konečné kruhové definice“, v publikaci Self-Reference, editoval T. Bolander, VF Hendricks a SA Andersen, Stanford: CSLI Publications, s. 79–93.
• –––, 2019, vědomé zkušenosti: Logické šetření, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Gupta, A. a Belnap, N., 1993, Revizní teorie pravdy, Cambridge MA: MIT Press.
• Hacker, PMS, 1993, „Wittgenstein on Ostensive Definitions“, dotaz, 18: 267–287.
• Hale B. a Wright C., 2001, Správná studie o důvodech: Eseje k neo-fregejské filozofii matematiky, Oxford: Clarendon Press.
• Hazen, A., 1983, „Prediktivní logika“, v Handbook of Philosophical Logics: Svazek I: Prvky klasické logiky, editoval D. Gabbay a F. Guenthner, Dordrecht: Reidel, s. 331–407.
• Hodges, W., 1993, „Tarski's Theory of Definition“, v New Essays on Tarski and Philosophy, Ed. D. Patterson, Oxford: Oxford University Press, s. 94–132.
• Horty, J., 2007, Frege on Definitions: Případová studie sémantického obsahu, New York: Oxford University Press.
• Horwich, P., 1998, Meaning, Oxford: Clarendon Press.
• Kremer, P., 1993, „Systémy Gupta-Belnap (mathbf {S} ^ { #}) a (mathbf {S} ^ {*}) nejsou axiomatizovatelné," Notre Dame Journal of of Formal Logic, 34: 583–596.
• Kripke, SA, 1980, Naming and Necessity, Cambridge MA: Harvard University Press.
• Locke, J., 1689, An Essay about Human Understanding, editoval PH Nidditch, Oxford: Oxford University Press (1975).
• Martinez, M., 2001, „Některé vlastnosti uzavírání konečných definic,“Studia Logica, 68: 43–68.
• Moschovakis, Y., 1974, Elementární indukce abstraktních struktur, Amsterdam: Severní Holandsko.
• Padoa, A., 1900, „Logický úvod do jakékoli deduktivní teorie“, v Od Frege k Gödel: Zdrojová kniha v matematické logice, 1879–1931, editoval J. van Heijenoort, Cambridge MA: Harvard University Press (1967), str. 118–123.
• Quine, WVO, 1951, „Dva dogmata empirismu“, dotisknut ve svém Z logického hlediska, Cambridge MA: Harvard University Press (1953), s. 20–46.
• –––, 1960, Word and Object, Cambridge MA: MIT Press.
• Robinson, R., 1950, Definice, Oxford: Clarendon Press.
• Russell, B., 1908, „Matematická logika založená na teorii typů“, dotisknut ve své logice a znalostech: Eseje 1901–1950, Londýn: George Allen & Unwin (1956), s. 59–102.
• –––, 1948, Lidské znalosti: její rozsah a limity, New York: Simon a Schuster.
• Shapiro, L., 2006, „Důvody sémantiky revizí a pravidel“, filozofická studia, 129: 477–515.
• Suppes, P., 1957, Úvod do logiky, New York: Van Nostrand Reinhold.
• Tarski, A., 1983, Logic, Sémantika, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, druhé vydání, editoval J. Corcoran, Indianapolis: Hackett Publishing Company.
• Urbaniak, R. a Hämäri, KS, 2012, „Busting mýtus o Leśniewski a definicích,“Historie a filozofie logiky, 33: 159–189.
• Villanueva, E., (ed.), 1997, Truth (Philosophical Issues 8), Atascadero: Ridgeview Publishing Company.
• Whitehead, AN, a Russell, B., 1925, Principia Mathematica, sv. 1, druhé vydání, Cambridge: Cambridge University Press.
• Whiteley, CH, 1956, „Význam a ostenzivní definice“, Mind, 65: 332–335.
• Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, New York: Macmillan.

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje