Curryho Paradox

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Naposledy změněno: 2023-08-25 04:38

Vstupní navigace

• Obsah příspěvku
• Bibliografie
• Akademické nástroje
• Náhled PDF přátel
• Informace o autorovi a citaci
• Zpět na začátek

Curryho paradox

První publikované st 6. září 2017; věcná revize Pá 19. ledna 2018

„Curryho paradox“, jak jej dnes používají filosofové, odkazuje na širokou paletu paradoxů sebepoznání nebo kruhovitosti, které sledují jejich moderní předky k Currymu (1942b) a Löbovi (1955). ^[1]Společnou charakteristikou těchto takzvaných Curryových paradoxů je způsob, jakým využívají představu o implikaci, implikaci nebo následku, a to buď ve formě spojovacího, nebo ve formě predikátu. Curryho paradox vzniká v řadě různých domén. Stejně jako Russellův paradox může mít podobu paradoxu teorie množin nebo teorie vlastností. Může však mít také podobu sémantického paradoxu, blízce lhářskému paradoxu. Curryho paradox se liší od Russellova paradoxu a lhářského paradoxu v tom, že v zásadě nezahrnuje pojem negace. Obyčejné verze pravdivé teoretické verze zahrnují větu, která říká sama o sobě, že pokud je to pravda, pak je libovolně zvolený nárok pravdivý, nebo - použít více zlověstný příklad - říká sama o sobě, že pokud je to pravda, pak je každá nepravda pravdivá. Paradoxem je, že existence takové věty zřejmě naznačuje pravdu svévolně zvoleného nároku, nebo - ve zlověstnějším případě - každé nepravdy. V tomto příspěvku si ukážeme, jak je možné sestavit různé Curryho paradoxy, prozkoumat prostor dostupných řešení a vysvětlit některé způsoby, jak Curryho paradox je významný, a představuje výrazné výzvy.

• 1. Úvod: Two Guises of Paradox

  • 1.1 Neformální argument
  • 1.2 Omezení teorií
  • 1.3 Přehled

• 2. Vytváření kari vět

  • 2.1 Curryova první metoda a set-teoretické curry věty
  • 2.2 Curryho druhá metoda a pravdivě-teoretické Curryho věty

• 3. Odvození paradoxu

  • 3.1 Curry-Paradox Lemma
  • 3.2 Alternativní prostory

• 4. Reakce na Curryho paradox

  • 4.1 Kari-nekompletnost odpovědi

  • 4.2 Curry-Completeness Responses

    • 4.2.1 Reakce bez kontrakce
    • 4.2.2 Reakce bez oddělení
    • 4.2.3 Aplikace na neformální argument

• 5. Význam Curryho paradoxu

  • 5.1 Překonávání naděje na řešení negativních paradoxů

    • 5.1.1 Parakonzistentní řešení frustrovaná
    • 5.1.2 Paracomplete Solutions Frustrated
  • 5.2 Ukazující na obecnou paradoxní strukturu

• 6. Platnost Curry

  • 6.1 Spojovací formulář
  • 6.2 Formulář predikátu
  • 6.3 Význam

• Bibliografie

  • Klíčové historické zdroje
  • Další reference
• Akademické nástroje
• Další internetové zdroje
• Související záznamy

1. Úvod: Two Guises of Paradox

1.1 Neformální argument

Předpokládejme, že vám váš přítel řekne: „Pokud je to, co říkám, pomocí této věty pravdivé, čas je nekonečný“. Ukazuje se, že existuje krátký a zdánlivě přesvědčivý argument pro následující závěr:

(P) Pouhá existence tvrzení vašeho přítele znamená (nebo má za následek), že čas je nekonečný

Mnoho lidí si myslí, že (P) je nad vírou (a v tomto smyslu paradoxní), i když je čas skutečně nekonečný. Nebo, pokud to není dost špatné, zvažte jinou verzi, tentokrát s tvrzením, o kterém je známo, že je nepravdivý. Nechte svého přítele místo toho říci: „Pokud je to, co říkám pomocí této věty pravdivé, všechna čísla jsou prvořadá“. Nyní, mutatis mutandis, stejný krátký a zdánlivě přesvědčivý argument přináší (Q):

(Q) Pouhá existence tvrzení vašeho přítele znamená (nebo má za následek), že všechna čísla jsou prvořadá

Zde je argument pro (P). Nechť (k) je samoreferenční věta, kterou tvůj přítel vyslovil, poněkud zjednodušená, aby zněla "Pokud (k) je pravda, čas je nekonečný". S ohledem na to, co (k) říká, to víme moc:

(1) Za předpokladu, že (k) je pravda, je to tak, že pokud je k pravda, pak čas je nekonečný

Ale samozřejmě také máme

(2) Za předpokladu, že (k) je pravda, platí, že k je pravda

Za předpokladu, že (k) je pravda, jsme odvozili podmíněnou spolu s jejím předchůdcem. Použitím modus ponens v rámci předpokladu nyní odvozujeme následky podmíněného pod stejným předpokladem:

(3) Za předpokladu, že (k) je pravda, je čas nekonečný

Pravidlo podmíněného důkazu nás nyní opravňuje potvrzovat podmíněnost s naším předpokladem jako předchůdce:

(4) Pokud je (k) pravda, čas je nekonečný

Ale protože (4) je sám o sobě (k), máme tedy

(5) (k) je pravda

Nakonec, když spojíme (4) a (5) dohromady s modus ponens, dostaneme

(6) Čas je nekonečný

Zdá se, že jsme zjistili, že čas je nekonečný bez použití předpokladů nad existencí samoreferenční věty (k), spolu se zdánlivě zřejmými principy pravdy, které nás zavedly do (1) a také od (4) do (5). A totéž platí pro (Q), protože jsme mohli použít stejnou formu argumentu k dosažení falešného závěru, že všechna čísla jsou prvořadá.

1.2 Omezení teorií

Jednou z výzev, které představuje Curryho paradox, je určit, co se v předcházejícím neformálním argumentu pro (P), (Q) nebo podobně podobá. Ale počínaje Curryho úvodní prezentací v Curryho 1942b (viz doplňkový dokument o Curryho na Curryho paradoxu), diskuse o Curryho paradoxu měla obvykle jiné zaměření. Týkalo se to různých formálních systémů - nejčastěji stanovených teorií nebo teorií pravdy. V tomto nastavení je paradoxem důkaz, že systém má určitou vlastnost. Jedná se obvykle o drobnost. Teorie je považována za triviální nebo absolutně nekonzistentní, když potvrzuje každé tvrzení, které je vyjádřitelné v jazyce teorie. ^[2]

Argument prokazující, že určitá formální teorie je triviální, bude představovat problém, pokud nastane některá z následujících situací: (i) chceme použít formální teorii v našich dotazech, protože při matematice používáme teorii množin, nebo (ii) chtěli bychom použít formální teorii k modelování rysů jazyka nebo myšlení, zejména tvrzení, ke kterým se někteří řečníci nebo myslitelé zavázali. Ať tak či onak, trivialita cílové teorie by ukázala, že je pro svůj zamýšlený účel nedostačující. Toto je druhá výzva, kterou představuje Curryho paradox.

K objasnění smyslu, ve kterém Curryho paradoxní teorie omezuje teorie, musíme říci, co je Curryova věta. Neformálně je Curryova věta věta, která je, podle světel nějaké teorie, rovnocenná s podmíněnou sama o sobě jako předchůdce. Například, jeden by mohl myslet na argument části 1.1 jako přitažlivý k neformální teorii pravdy. Pak věta „(k) je true“slouží jako Curryho věta pro tuto teorii. Je tomu tak proto, že vzhledem k tomu, co nám naše neformální teorie říká o tom, co (k) zahrnuje pravdu, by „(k) je pravda“mělo být ekvivalentní „Je-li (k) pravda, čas je nekonečný “(Protože tato podmínka je sama o sobě (k)).

V následujícím textu se používá notace (vdash _ { mathcal {T}} alpha), že teorie (mathcal {T}) obsahuje větu (alpha) a (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) se používá k označení, že (alfa) vyplývá z prostor shromážděných v (Gamma) podle (mathcal {T}) (tj. podle (mathcal {T}) důsledkových vztahů (vdash _ { mathcal {T}})). ^[3] S výjimkou oddílu 4.2.1 se však budeme zabývat pouze tvrzeními o tom, co vyplývá z teorie z jediné premise, tj. Tvrzení vyjádřených větami tvaru (gamma / vdash _ { mathcal {T }} alfa). (Spoléháme se na kontext, abychom objasnili, kde se taková věta používá a kde se pouze zmiňuje.)

Dvě věty (v jazyce teorie (mathcal {T})) budou označeny jako vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T}), pokud bude pravda o jakémkoli tvrzení formuláře (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) není ovlivněn substitucemi jedné za druhou v (alpha) nebo jakoukoli větou v (Gamma). Nakonec předpokládáme, že jazyk obsahuje spojovací ({ rightarrow}), který slouží v určitém vhodném smyslu jako podmíněný. Pro účely následující definice nestavíme žádné zvláštní požadavky na chování této podmíněné. Nyní můžeme definovat pojem Curryho věty pro pár věty-teorie.

Definice 1 (Curryova věta) Nechť (pi) je věta jazyka (mathcal {T}). Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T}) je jakákoli věta (kappa) taková, že (kappa) a (kappa { rightarrow} pi) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T}). ^[4]

Různé verze Curryho paradoxu vycházejí z existence argumentů ve prospěch následujícího velmi obecného tvrzení. (Tyto argumenty, které vycházejí z předpokladů o podmíněném ({ rightarrow}), budou podrobně popsány v části 3.)

Potížový nárok Pro každou teorii (mathcal {T}) a každou větu (pi) v jazyce (mathcal {T}), pokud existuje Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T}), poté (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Argument, který vypadá, že zakládá problémový nárok, se bude považovat za paradoxní za předpokladu, že existuje také přesvědčivý důvod domnívat se, že tento požadavek je nepravdivý. Protějškem tvrzení o trápení by byla jakákoli teorie (mathcal {T}) a věta (pi) taková, že existuje Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T}), ale není to tak, že (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Jak bylo uvedeno výše, Curryho paradox je často chápán jako výzva k existenci netriviálních teorií. Vzhledem k tvrzení o trápení bude teorie triviální, kdykoli je možné formulovat Curryovu větu pro jakoukoli větu v jazyce teorie. Trivialita skutečně vyplývá ze slabší podmínky, kterou je následující definice výslovná.

Definice 2 (Curry-complete theory) Teorie (mathcal {T}) je Curry-complete za předpokladu, že pro každou větu (pi) v jazyce (mathcal {T}) existuje některé (pi ') takové, že (i) existuje Curryova věta pro (pi') a (mathcal {T}) a (ii) pokud (vdash _ { mathcal {T }} pi '), poté (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Zatímco jedna instance (pi ') splňující podmínku (ii) by byla sama o sobě (pi), další instance by byla "výbušná" věta (bot), která je obsažena v teorii, pouze pokud každá věta je obsažena v teorii. ^[5]

Troublingova tvrzení má nyní okamžitý důsledek: teorie Curryho úplné musí obsahovat každou větu ve svém jazyce.

Znepokojující důsledek Každá teorie o Curryovi je triviální.

Opět platí, že jakýkoli argument, který vypadá, že zakládá Trolling Corollary, se bude považovat za paradoxní za předpokladu, že existuje přesvědčivý důvod se domnívat, že existují netriviální teorie (skutečně pravdivé teorie), které jsou Curryho úplné.

1.3 Přehled

Po zbývající část této položky bude Curryho paradox chápán tak, že ukládá paradoxní omezení teoriím, jmenovitě té, které bylo řečeno výše zmíněným Troubling Corollary. Představení verze Curryho paradoxu, chápané tímto způsobem, zahrnuje dvě věci:

• argumentovat, že (mathcal {T}) je Curry-kompletní, pro nějakou zjevně netriviální cílovou teorii (mathcal {T}), a
• argument pro Troubling Nárok. ^[6]

Oddíly 2 a 3 se zabývají těmito dvěma úkoly v tomto pořadí. Prozatím lze základní myšlenku sdělit na příkladu samoreferenční věty (k), která zní: "Pokud (k) je pravda, čas je nekonečný". Zaprvé, s ohledem na naše chápání pravdy si uvědomujeme, že věta „(k) je pravdivá“je zaměnitelná s „Je-li (k) pravdivá, pak je čas nekonečný“. Za druhé, neformální argument oddílu 1.1 vyvozuje z této rovnocennosti paradoxní závěr. Čtenáři, kteří se zajímají hlavně o logické zásady spojené s tímto argumentem a souvisejícími, ao možnosti odolat těmto argumentům, se mohou chtít obrátit na oddíl 3.

2. Vytváření kari vět

Jak se dnes dnes standardně uvádí, Curryho paradox se týká „naivních“pravdivých teorií (těch, které mají „průhlednou“predikát pravdy) a „naivních“teorií množin (těch, které mají neomezené abstrakce množin). Tato část vysvětlí, jak každý druh teorie může vést k Curryovým větám. Začneme však verzí, která se týká teorií vlastností, verzí, která se více podobá Curryho formulaci. (Doplňkový dokument Curry on Curry's Paradox stručně charakterizuje cíle Curryho vlastních verzí paradoxu.)

Teorie vlastností zahrnuje neomezenou abstrakci majetku za předpokladu, že pro jakoukoli podmínku stavitelnou v jazyce teorie existuje vlastnost, která (podle teorie) je doložena přesně věcmi, které tuto podmínku splňují. Zvažte teorii (mathcal {T_P}) formulovanou v jazyce se zařízením pro abstrakci vlastností ([x: / phi x]) a vzorovým vztahem (epsilon). Například pokud (phi (t)) říká, že objekt, který označuje termín (t), je trojúhelníkový, (t / \ epsilon [x: / phi x]) říká, že tento objekt ilustruje vlastnost trojhrannosti. Poté, vzhledem k neomezené abstrakci majetku, bychom měli mít následující princip.

(Vlastnost) Pro každou otevřenou větu (phi) s jednou volnou proměnnou a každý termín (t), věty (t / \ epsilon [x: / phi x]) a (phi t) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T_P}).

Ve skutečnosti Curry (1942b) načrtává dvě „metody konstruování“Curryho vět pomocí svého protějšku (Property). Říká, že první je „založen na Russellově paradoxu“, zatímco druhý je „založen na paradoxu Epimenides“. Ačkoli jsou obě metody teoreticky vlastnické, první metoda dává předchůdce teoretických verzí Curryho paradoxu, zatímco druhá dává předchůdce verzí teoretických pravd.

2.1 Curryova první metoda a set-teoretické curry věty

Verze Russellova paradoxu, kterou se Curryho první metoda podobá, je ta, která se týká exemplifikace majetku. Jejím tématem je vlastnost takového, že se člověk nedokáže dokázat. Získáme vlastně-teoretickou větu Curry tím, že místo toho vezmeme v úvahu vlastnost bytí takovou, že se člověk doloží pouze tehdy, je-li čas nekonečný. Řekněme, že pro tuto vlastnost uvedeme název (h), určením (h = _ {def} [x: x / \ epsilon / x { rightarrow} pi]), kde věta (pi) říká, že čas je nekonečný. ^[7] Při použití principu (vlastnost) na větu (h / \ epsilon / h) najdeme:

(h / \ epsilon / h) a (h / \ epsilon / h { rightarrow} pi) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T_P}).

Jinými slovy, (h / \ epsilon / h) je Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T_P}).

Curryho první metoda následně vedla k set-teoretickým Curryovým větám. Teorie množin obsahuje neomezené abstrakce množin za předpokladu, že pro jakoukoli podmínku stavitelnou v jazyce teorie existuje soustava, která (podle teorie) obsahuje všechny a pouze věci, které tuto podmínku splňují. Nechť (mathcal {T_S}) je naší teorií množin, formulovanou v jazyce, který vyjadřuje abstrakci množin pomocí ({x: / phi x }) a nastavuje členství pomocí (in). Pak protějšek (Vlastnost) je

(Set) Pro každou otevřenou větu (phi) s jednou volnou proměnnou a každý termín (t), věty (t / in {x: / phi x }) a (phi t) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T_S}).

Chcete-li získat věty Curryho o teoretické množině, zvažte množinu sestávající z všeho, co je samo o sobě členem, pouze pokud je čas nekonečný. Řekněme, že pro tuto množinu uvedeme název (c) zadáním (c = _ {def} {x: x / in x { rightarrow} pi }). Při použití principu (Set) na větu (c / in c) najdeme:

(c / in c) a (c / in c { rightarrow} pi) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T_S}).

Jinými slovy, (c / in c) je Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T_S}).

Set-theoretic verze Curryho paradoxu byla představena v Fitch 1952 ^[8] a je také představena v Moh 1954 a Prior 1955.

2.2 Curryho druhá metoda a pravdivě-teoretické Curryho věty

Navzdory jeho poznámce o „Epimenides paradoxu“, formě lhářského paradoxu, je Curryho druhá metoda variantou příbuzného sémantického paradoxu, Grellingova paradoxu. ^[9]Ve své původní podobě považuje Grellingův paradox za vlastnost vlastněnou mnoha slovy, konkrétně za vlastnost, kterou má slovo, když nedokáže ilustrovat vlastnost, kterou zastupuje (Grelling & Nelson 1908). Například slovo „urážlivost“má tuto vlastnost: nedokáže doložit příklad, pro který stojí, protože není urážlivé (viz položka o paradoxech a současné logice). Ve skutečnosti Curry místo toho zvažuje vlastnost, kterou slovo poskytuje, pokud ilustruje vlastnost, za kterou stojí, pouze pokud je čas nekonečný. Nyní předpokládejme, že naše teorie zavádí pro tuto vlastnost název (u). Curry pak ukazuje, jak sestavit větu, která (neformálně) říká, že jméno (u) ilustruje vlastnost, o kterou se jedná. Ukazuje, že tato věta bude sloužit jako Curryova věta pro teorii vlastností a označení jmen.^[10]

Přestože je tento způsob získávání Curryho věty založen na sémantickém rysu výrazů, stále se spoléhá na abstrakci majetku. Lze jej však považovat za předchůdce zcela sémantické verze. (Spíše než o výše uvedené vlastnosti by člověk mohl uvažovat o predikátu „platí pro sebe pouze tehdy, je-li čas nekonečný“.) Vzhledem k tomu, že jako první ukázali Geach (1955) a Löb (1955), lze získat Curryovy věty pomocí sémantických principů samotných, aniž by se spoléhali na abstrakci majetku. Jejich cesta odpovídá neformálnímu argumentu v části 1.1, který zahrnuje samoreferenční větu (k), která zní: "Pokud (k) je pravda, čas je nekonečný."

Za tímto účelem nechť (mathcal {T_T}) je teorie pravdy, kde (T) je predikát pravdy. Předpokládejme zásadu „průhlednosti“

(Pravda) Pro každou větu (alfa) jsou věty (T / langle / alpha / rangle) a (alfa) vzájemně zaměnitelné podle (mathcal {T_T}).

Chcete-li získat Curryovu větu pomocí tohoto principu, předpokládejme, že existuje věta (xi), která je (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi). ^[11] Pak z toho (Pravda) okamžitě vyplývá, že

(T / langle / xi / rangle) a (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T_T}).

Jinými slovy, (T / langle / xi / rangle) je Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T_T}).

Geach poznamenává, že sémantický paradox, který je výsledkem věty typu (T / langle / xi / rangle), se podobá „Curryho paradoxu v teorii množin“. Löb, který nezmiňuje Curryho práci, připisuje paradox pozorování rozhodčího o důkazu toho, co je nyní známé jako Löbova věta o prokazatelnosti (viz zápis Gödelových teorémů neúplnosti). Rozhodčí, nyní známý jako Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), navrhl, že metoda, kterou Löb použil ve svém důkazu „vede k novému odvození paradoxů v přirozeném jazyce“, konkrétně k neformálnímu argumentu v oddíle 1.1 výše. ^[12]

3. Odvození paradoxu

Předpokládejme, že jsme použili jednu z výše uvedených metod k prokázání, pro nějakou teorii pravdy, množin nebo vlastností, že teorie je Curryho úplná (ve skutečnosti řekněme, že obsahuje Curryho větu pro každou větu jazyka, nebo pro výbušnou větu). Abychom dospěli k závěru, že uvedená teorie je triviální, postačuje nyní argumentovat pro Troubling Nárok. Toto je tvrzení, že pro každou teorii (mathcal {T}), pokud existuje Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T}), pak (vdash _ { mathcal {T}} pi). Takový argument využije předpokladů o logickém chování podmíněného ({ rightarrow}) zmíněného v definici 1. Za předpokladu, že je třeba odolávat nárokům na trápení, je tím omezeno chování tohoto podmíněného.

3.1 Curry-Paradox Lemma

Pro začátek je zde velmi obecný omezující výsledek, blízká varianta Lemmy v Curry 1942b. ^[13]

Curry-Paradox Lemma Předpokládejme, že teorie (mathcal {T}) a věta (pi) jsou takové, že (i) existuje Curryova věta pro (pi) a (mathcal {T}), (ii) všechny instance pravidla identity (Id) (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha) hold a (iii) podmíněné ({ rightarrow}) vyhovuje oběma následujících zásad:

) tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Pak (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Zde je MP verze modus ponens a Cont je princip kontrakce: dva výskyty věty (alfa) jsou „sjednoceny“do jednoho. (Brzy se setkáme s příbuznými principy, které jsou běžně označovány jako kontrakce. ^[14]) Curry-Paradox Lemma znamená, že jakákoli Curryova teorie musí porušovat jednu nebo více Id, MP nebo Cont o bolesti triviality.

Abychom dokázali Lemmu, ukazuje se, že Id, MP a Cont, spolu s „Curry-intersubstitutivity“z (kappa) s (kappa { rightarrow} pi), stačí založit (vdash_ { mathcal {T}} pi). Následující odvození se podobá neformálnímu argumentu oddílu 1.1. Tento argument rovněž zahrnoval podpoložku zásady Cont, která bude prozkoumána níže.

) begin {array} {rll} 1 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {Id} / 2 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Cont} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {3 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} end {array})

Oddíl 4 bude diskutovat o tom, jak mohou být všechny dva principy týkající se ({ rightarrow}) převzaté v Curry-Paradox Lemma ospravedlnitelné nebo odmítnuty.

3.2 Alternativní prostory

Existují protějšky Curry-Paradox Lemma, které vyvolávají alternativní sady logických principů (viz např. Rogerson & Restall 2004 a Bimbó 2006). Pravděpodobně nejběžnější verze nahrazuje pravidla Id a Cont odpovídajícími zákony:

) tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha)) tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alfa { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta))

Odvození nyní probíhá následovně:

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & / textrm {IdL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow}) pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {2 ContL} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm { 2, 3 MP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 6 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {4, 5 MP} / \ end {array})

Druhým společným protějškem Curry-Paradox Lemma je Meyer, Routley a Dunn (1979). ^[15] Používá dva principy týkající se spojení: právní forma modus ponens a idempotence spojení.

) tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alfa { rightarrow} beta) wedge / alfa) { rightarrow} beta)

(Idem (_ { wedge})) Věty (alpha) a (alpha / wedge / alpha) jsou vzájemně zastupitelné podle (T)

Tentokrát je odvození následující:

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {MPL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa / wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Idem (_ { wedge})} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} / \ end {array})

Formulování Curry-Paradox Lemma pomocí Cont, spíše než ContL nebo MPL, usnadní snahu upozornit (v další části) na významné rozdíly v rámci třídy odpovědí, které odmítají oba posledně uvedené principy. ^[16]

4. Reakce na Curryho paradox

Reakce na Curryho paradox lze rozdělit do dvou tříd, na základě toho, zda přijímají Trollingový důsledek, že všechny Curryovy teorie jsou triviální.

• Odpovědi na nekomplikovanou kari přijímají Trolling Corollary. Popírají však, že cílové teorie vlastností, množin nebo pravdy jsou Curryho úplné. Kari-nekompletnost odpovědi mohou a obvykle zahrnují klasickou logiku.
• Odpovědi na úplnost kari odmítají Trolling Corollary; Trvají na tom, že mohou existovat netriviální Curryho teorie. Každá taková teorie musí porušovat jeden nebo více logických principů převzatých v Curry-Paradoxově lemu. Jelikož tyto principy potvrzuje klasická logika, vyvolávají tyto reakce netradiční logiku. ^[17]

Existuje také možnost obhajovat Curryho-nekompletnost reakce na Curryho paradoxy vznikající v jedné doméně, řekněme teorii množin, zatímco obhajujeme Curryho-úplnost reakci na Curryho paradoxy vznikající v jiné doméně, řekněme teorii vlastností (např. Field 2008; Beall 2009).

4.1 Kari-nekompletnost odpovědi

Příklady prominentních teorií pravdy, které poskytují Curryho neúplnost odpovědí na Curryho paradox, zahrnují Tarskiho hierarchickou teorii, revizní teorii pravdy (Gupta & Belnap 1993) a kontexttualistické přístupy (Burge 1979, Simmons 1993 a Glanzberg 2001, 2004). Všechny tyto teorie omezují princip „naivní“transparentnosti (Pravda). Přehled naleznete v záznamu o lhářském paradoxu. V souvislosti s teorií množin zahrnují Curryovy neúplnosti odpovědi na rusellovské teorie typu a různé teorie, které omezují „naivní“zásadu abstrakce (množina). Podívejte se na záznamy o Russellově paradoxu a alternativních axiomatických teoriích množin.

Obecně platí, že úvahy týkající se hodnocení většiny odpovědí na Curryho neúplnost se nezdají být specifické pro Curryho paradox, ale týkají se stejně lhářského paradoxu (v pravo-teoretické oblasti) a Russellova paradoxu (v setu a vlastnictví) teoretické domény). ^[18] Z tohoto důvodu se zbytek tohoto příspěvku zaměří na Curryovy odpovědi na úplnost, ačkoli oddíl 6.3 se krátce vrací k rozlišování v souvislosti s tzv. Platnými Curryovými paradoxy.

4.2 Curry-Completeness Responses

Curryho-úplné odpovědi na Curryho paradox platí, že existují teorie, které jsou Curry-kompletní, ale netriviální; taková teorie musí porušovat jeden nebo více logických principů převzatých v Curry-Paradox Lemma. Protože pravidlo Id bylo obecně ponecháno nezpochybnitelné (ale viz francouzština 2016 a Nicolai & Rossi o nadcházejícím), znamenalo to popření, že podmíněná ({ rightarrow}) netriviální teorie Curry-Complete vyhovuje jak MP, tak Cont. V důsledku toho byly odpovědi rozděleny do dvou kategorií.

(I) Nejobvyklejší strategií bylo akceptovat, že podmíněnost takové teorie se řídí MP, ale popírá, že se řídí Cont. Protože Cont je kontrakční princip, lze takové reakce nazvat bez kontrakcí. Tuto strategii poprvé navrhl Moh (1954), který cituje Geach (1955) a Prior (1955)

(II) Druhou a mnohem novější strategií je akceptovat, že podmíněná teorie takové teorie vyhovuje Cont, ale popírá, že se řídí MP (někdy se nazývá pravidlo „oddělení“). Takové reakce lze nazvat bez oddělení. Tuto strategii obhajují různé způsoby Ripley (2013) a Beall (2015)

Každá kategorie odpovědí na úplnost kari může být dále rozdělena podle toho, jak blokuje domnělé odvození Cont a MP.

4.2.1 Reakce bez kontrakce

Princip Cont, který je odmítnut reakcemi bez kontrakce, vychází ze dvou standardních principů. Jedná se o podmíněný důkaz s jednoduchým předpokladem a o něco obecnější verzi modus ponens, která zahrnuje maximálně jednu premisu (gamma):

• (MP ') Pokud (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) a (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha), pak (gama / vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CP) Pokud (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta), pak (vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta)

) begin {array} {rll} 1 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha & / textrm {Id} / 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & / textrm {3 CP} / \ end {array})

Reakce bez kontrakce musí tedy odmítnout jeden nebo druhý z těchto dvou principů pro podmíněnost netriviální teorie Curryho úplné. Podle toho lze identifikovat dvě podkategorie teoretiků v kategorii (I):

(Ia) Odezva bez kontrakce popírá, že ({ rightarrow}) se řídí MP '(např. Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Slabá reakce bez kontrakcí akceptuje, že ({ rightarrow}) se řídí MP ', ale popírá, že se řídí CP (např. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

Důvodem, proč se odpovědi v kategorii (Ib) počítají pouze jako slabé kontrakce, je to, že, jak ukazují kroky 1-3, akceptují princip kontrakce, podle kterého, pokud (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), potom (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Zastánci silně kontrakčních odpovědí tvrdí, že MP 'nevyjadřuje odpovídající formu modus ponens. Obvykle prezentují svou vlastní formu tohoto pravidla v „substrukturálním“rámci, konkrétně takový, který nám umožňuje rozlišovat mezi tím, co vyplývá z předpokladu převzatého jednou a toho, co vyplývá ze stejného předpokladu převzatého dvakrát. (Viz položka o substrukturální logice.) V souladu s tím musí být MP 'nahrazeno

(MP ″) Pokud (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) a (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha), pak (gama, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

a pravidlo „strukturální kontrakce“musí být odmítnuto:

(sCont) Pokud (Gamma, / gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta), pak (Gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

Je to proto, že odmítají strukturální kontrakci, že přístupy se silnou kontrakcí mohou tvrdit, že zachovávají modus ponens navzdory odmítnutí MP “(viz Shapiro 2011, Zardini 2013 a Ripley 2015a).

Silně kontrakce bez kontrakcí musí také blokovat derivaci MP 'pomocí dvojice principů zahrnujících spojení:

(MP '(_ { land})) Pokud (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta) a (delta / vdash _ { mathcal {T} } alfa), potom (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta)

(Idem (_ { wedge})) Věty (alpha) a (alpha / wedge / alpha) jsou vzájemně zastupitelné podle (T)

) begin {array} {rll} 1 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / gamma / wedge / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} / 4 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {3 Idem (_ { wedge})} / \ end {array})

Vyhnutí se této derivaci MP 'vyžaduje popření, že existuje spojka (wedge), která se řídí jak MP' (_ { wedge}), tak Idem (_ { wedge}). Podle mnoha silně bez kontrakčních odpovědí (např. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), jeden druh spojení - „multiplikativní“druh nebo „fúze“-obeys MP '(_ { wedge}), ale ne Idem (_ { wedge}), zatímco jiný druh - "aditivní" druh - poslouchá Idem (_ { wedge}), ale ne MP '(_ { wedge}) (viz položka na lineární logika a Ripley 2015a). Pokud je použit výše popsaný substrukturální rámec, pak selhání MP '(_ { wedge}) odpovídá skutečnosti, že pro aditivní spojování (gamma, / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta) není ekvivalentní s (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Pokud jde o reakce bez slabě kontrakcí, selhání CP bylo někdy motivováno pomocí sémantiky „světů“, která zahrnuje rozlišení mezi logicky možnými a nemožnými světy (např. Beall 2009; Nolan 2016). K vyvrácení CP potřebujeme pravdu o (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) a falešnost (vdash_ / mathcal {T} alfa { rightarrow} beta). Na cílové „světy“se přístupy (vdash_ / mathcal {T}) definují jako uchování pravdy nad správnou podmnožinou světů (v modelu), konkrétně „možnými světy“modelu. Proto pro (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) platí, že neexistuje žádný možný svět (v jakémkoli modelu), ve kterém (alfa) je pravda a (beta) nepravdivé. Na druhou stranu, abychom vyvrátili (vdash_ / mathcal {T} alfa { rightarrow} beta), potřebujeme možný svět, ve kterém je (alfa { rightarrow} beta) nepravdivý. Jak se to stane? Protože spojnice jsou definovány způsobem, který bere v úvahu všechny (typy) světů v modelu (možné a pokud existují, nemožné) existuje možnost, že (alpha { rightarrow} beta) není pravda v možném světě, protože (alfa) je pravda a (beta) je nepravdivý v nemožném světě. A to je to, co se děje na cílových přístupech. (Přesně to, jak člověk definuje podmínky pravdy na světě a nepravdivosti na světě, závisí na přesném přístupu „světy“.)A to je to, co se děje na cílových přístupech. (Přesně to, jak člověk definuje podmínky pravdy na světě a nepravdivosti na světě, závisí na přesném přístupu „světy“.)A to je to, co se děje na cílových přístupech. (Přesně to, jak člověk definuje podmínky pravdy na světě a nepravdivosti na světě, závisí na přesném přístupu „světy“.)

4.2.2 Reakce bez oddělení

Odezvy bez odpojení musí blokovat přímou derivaci MP na základě principu transitivity spolu s obrácením jednorázového podmíněného důkazu:

• (Trans) Pokud (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta) a (vdash _ { mathcal {T}} alpha), potom (vdash _ { mathcal {T}} beta)
• (CCP) Pokud (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), pak (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta)

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1 CCP} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {2, 3 Trans} / \ end {array })

V kategorii (II) jsou dvě podkategorie teoretiků:

• (IIa) Silně nezávislá odpověď popírá, že ({ rightarrow}) vyhovuje CCP (Goodship 1996; Beall 2015).
• (IIb) Slabá odpověď bez oddělení přijímá, že ({ rightarrow}) se řídí CCP, ale odmítá Trans (Ripley 2013).

Důvodem, proč jsou odpovědi v kategorii (IIb) pouze slabě oddělené, je to, že ústřední protistrana, kterou tyto reakce přijímají, lze považovat za druh principu oddělení pro podmíněné.

Jednou ze strategií, jak reagovat na obvinění, že reakce bez oddělení jsou kontraintuitivní, bylo odvolání se na souvislost mezi důsledkem a naším přijetím a zamítnutím trestů. Podle tohoto spojení, kdykoli je to tak, že (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta), to znamená (nebo alespoň naznačuje), že je nesouvislá s teorii světla (mathcal {T}) přijmout (alfa) a odmítnout (beta) (viz Restall 2005). Předpokládejme, že podle teorie teorie (mathcal {T}) je nesoudržné odmítnout (alfa) a je také nesoudržné přijímat (alfa), zatímco odmítá (beta). Poté, Ripley (2013) tvrdí, není potřeba nic nesoudržného světla teorie o odmítnutí (beta), pokud člověk také nepřijme (alfa). Existuje tedy prostor pro to, aby se Trans vzdal a přijal slabě uvolněnou odpověď na Curryho paradox. Beallova obrana silně nezávislého přístupu spočívá na souvisejících úvahách. Tvrdí, že princip slabší než CCP může hrát významnou roli při omezování kombinací přijímání a odmítání vět včetně (alfa), (beta) a (alfa { rightarrow) }\beta).

4.2.3 Aplikace na neformální argument

Přístupy k Curryho paradoxu jen rozlišovaly najít chybu s různými závěry a dílčími závěry neformálního paradoxního argumentu v části 1.1. Silně kontrakční odpověď odpovídá blokovacímu kroku (3) tohoto argumentu, protože odmítá MP '. Slabá reakce bez kontrakce místo toho blokuje krok (4), protože odmítá CP. Žádný druh odpovědi bez oddělení nepřijme zdůvodnění v kroku (3). Vzhledem k tomu, že přijímají Cont, odpo- vídání bez oddělení nám umožňuje odvodit závěr (4), odkud tedy slabé reakce bez oddělení umožňují odvodit závěr (3) prostřednictvím CCP. Oba druhy odpoutání bez odpojení však zjistí chybu s konečným posunem MP k (6).

5. Význam Curryho paradoxu

V této části vysvětlíme několik zvláštních lekcí, které je možné se naučit zvážením Curryho paradoxu. Pro diskusi o významu, který verze Curryho paradoxu sdílejí se souvisejícími paradoxy, viz záznamy o Russellově paradoxu a lhářském paradoxu.

5.1 Překonávání naděje na řešení negativních paradoxů

Počínaje církví (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) a Prior (1955), diskuse o Curryho paradoxu zdůraznila, že se liší od Russellova paradoxu a lhářského paradoxu v tom, že se „ „„ v podstatě se jedná o negaci “(Anderson 1975: 128). ^[19] Jedním z důvodů stavu bez negativnosti Curryho paradoxních záležitostí je to, že činí paradox odolným vůči některým řešením, která by mohla být pro takové „negační paradoxy“přiměřená.

Geach tvrdí, že Curryho paradox představuje problém pro všechny zastánce teorie naivní pravdy nebo teorie naivní množiny, kteří čelí negativním paradoxům,

možná… doufat, že se těmto paradoxům vyhneme použitím logického systému, ve kterém „(p), pokud a pouze pokud ne - (p)“, byly větou pro některé interpretace „(p)“bez našeho být schopen odvodit odtud jakékoli svévolné prohlášení…. (Geach 1955: 71)

Problémem je, že Curryho paradox „nelze vyřešit pouhým přijetím systému, který obsahuje divnější druh negace“. Spíše „pokud si chceme zachovat naivní pohled na pravdu nebo naivní pohled na třídy…, pak musíme upravit základní pravidla odvozování vztahující se k„ if ““(1955: 72). Geachův pohled na význam Curryho paradoxu úzce znějí Meyer, Routley a Dunn (1979: 127). Došli k závěru, že Curryho paradox frustruje ty, kteří „doufali, že oslabení klasických negačních principů“vyřeší Russellův paradox. ^[20]

Stručně řečeno, jde o to, že existují neklasická logika se slabými negačními principy, které řeší Russellův paradox a lháře, a přesto zůstávají zranitelné vůči Curryho paradoxu. Jedná se o logiku s následujícími funkcemi:

• a) Mohou sloužit jako základ pro netriviální teorii, podle které je určitá věta vzájemně zaměnitelná s vlastní negací.
• (b) Nemohou sloužit jako základ pro netriviální teorii, která je Curryho úplná.

I když není jasné, na jakou logiku Geach možná myslel, existují skutečně neklasické logiky, které splňují tyto dvě podmínky. Teorie založené na těchto logikách proto zůstávají zranitelné vůči Curryho paradoxu.

5.1.1 Parakonzistentní řešení frustrovaná

Meyer, Routley a Dunn (1979) upozorňují na jednu třídu logiky, která splňuje podmínky (a) a (b). Patří mezi parokonzistentní logiku, což je logika, podle které věta spolu s její negací nebude mít za následek svévolnou větu. Parakonzistentní logiku lze použít k získání teorií, které řeší Russellův paradox a lháře, přijetím nekonzistence negace, aniž by podléhaly trivialitě.

Podle takové teorie (mathcal {T}) mohou být věty (lambda) a (lnot / lambda) vzájemně zastupitelné, pokud jsou obě (vdash _ { mathcal {T} } lambda) a (vdash _ { mathcal {T}} lnot / lambda). Takové teorie jsou „lepkavé“v tom smyslu, že spolu s jeho negací potvrzují určitou větu (viz záznam o dialetheismu). Přesto řada prominentních paraokonzistentních logik nemůže sloužit jako základ pro Curryho teorie o bolesti triviality. Někdy se říká, že taková logika není „Curryho paraconsistentní“(Slaney 1989). ^[21]

5.1.2 Paracomplete Solutions Frustrated

Mnoho z neklasických logik, které byly navrženy k upisování odpovědí na Russellův paradox a Liarův paradox, jsou paracomplete logiky, logiky, které odmítají zákon vyloučeného středu. Tyto logiky umožňují „veselé“teorie. Zejména tam, kde jsou (lambda) a (lnot / lambda) vzájemně zastupitelné podle takové teorie (mathcal {T}), selže to tak, že (vdash _ { mathcal {T}} lambda / lor / lnot / lambda). Některé z těchto paracomplete logik také splňují podmínky (a) a (b).

Jedním příkladem je logika Ł (_ {3}) založená na třech hodnotných tabulkách pravdy Łukasiewicze (viz např. Priest 2008). Protože splňuje podmínku (a), poskytuje Ł (_ {3}) možnou odpověď na Russellův paradox a zejména na lháře, šťastnou odpověď. Přesto považujeme iterované podmíněné (alfa { rightarrow} (alfa { rightarrow} beta)), které zkrátíme jako (alfa / Rightarrow / beta). Předpokládejme, že Curryova věta pro (pi) a Ł (_ {3}) teorii založenou na Ł (mathcal {T}) je předefinována tak, aby byla jakákoli věta (kappa), která je zaměnitelná s (kappa / Rightarrow / pi). Potom (mathcal {T}) splní všechny podmínky Curry-Paradox Lemma, jak poprvé poznamenal Moh (1954). Proto, pokud existuje (kappa), který je zaměnitelný za (kappa / Rightarrow / pi) podle (mathcal {T}), potom (vdash _ { mathcal { T}} pi). V důsledku toho Ł (_ {3}) nepřepíše odpověď na Curryho paradox.^[22]

Abych to shrnul: Curryho paradox stojí v cestě jiným jinak dostupným cestám pro řešení sémantických paradoxů pomocí lepkavých nebo šťastných teorií. V důsledku toho hrála nutnost vyhnout se Curryho paradoxu významnou roli ve vývoji neklasické logiky (např. Priest 2006; Field 2008).

5.2 Ukazující na obecnou paradoxní strukturu

Za druhým důvodem záleží na tom, zda je Curryho paradoxní stav bez negace. Prior uvádí následující důležitý bod:

Můžeme… říci nejen to, že Curryho paradox nezahrnuje negaci, ale že i Russellův paradox předpokládá pouze ty vlastnosti negace, s nimiž je implicitně sdílen. (Předchozí 1955: 180) ^[23]

Měl na mysli to, že Russellův paradox a Curryho paradox lze chápat jako důsledek stejné obecné struktury, která může být vytvořena instancí buď pomocí negace, nebo pomocí podmíněného. ^[24]

Obecná struktura může být explicitně definována definováním typu unárního spojiva, které dává vznik Curryho paradoxu, a ukázáním toho, jak je tento typ doložen jak negací, tak i unárním spojivem definovaným jako podmínka.

Definice 3 (Curryho pojivo) Nechť (pi) je věta v jazyce teorie (mathcal {T}). Unary spojovací (odot) je Curry spojovací pro (pi) a (mathcal {T}) za předpokladu, že splňuje dva principy:

) tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} pi.)) tag {P2} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha.)

Zobecněné curry-paradoxní lemu Předpokládejme, že (mathcal {T}) je takové, že Id platí a že pro některé dvojice vět (pi) a (mu), (i) (mu) a (odot / mu) jsou vzájemně zastupitelné podle (mathcal {T}) a (ii) (odot) je Curryho spojnice pro (pi) a (mathcal { T}). V tom případě (vdash _ { mathcal {T}} pi). ^[25]

Důkaz:

) begin {array} {rll} 1 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {Id} / 2 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {1 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {2 P2} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {3 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 P1} / \ end {array})

Generalizovaná curry-paradoxní lemma může být nyní instancována dvěma různými způsoby, aby dala buď Curryho paradox nebo negační paradox:

• Chcete-li získat Curryho paradox, nechte unárné spojivo (odot) takové, že (odot / alpha) je (alpha { rightarrow} pi) a nechte (mu) být věta zaměnitelná s (mu { rightarrow} pi) podle (mathcal {T}). Pak P1 odpovídá instanci MP použité v naší derivaci Curry-Paradox Lemma, zatímco P2 není nic jiného než naše pravidlo Cont.

  ) tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {and} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alfa { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

• Chcete-li získat paradox negace, nechte (odot / alpha) být (lnot / alpha) a nechte (mu) být věta, která je vzájemně zastupitelná, s (lnot / mu) podle (mathcal {T}). ^[26] Pak P1 představuje případ ex contradictione quodlibet (nebo „exploze“), zatímco P2 je princip reductio.

  ) tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {a} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Red} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha)

Prior poukazuje na to, že rysy negace, které jsou relevantní pro Russellův paradox nebo lhářský paradox, jsou vyčerpány svým statusem Curryho pojiva. To objasňuje, proč tyto paradoxy nezávisí na vlastnostech negace, jako je vyloučené vyloučení středních nebo dvojitých negací, které se nedrží v neklasických teoriích, kde negace zůstává Curryho pojivem (např. V intuičních teoriích, kde platí ECQ a Red). ^[27]

Navíc, kari spojovací nemusí být velmi negace-jako vůbec. Může to selhat i jako minimální negace (viz položka o negaci), protože nemusí dodržovat zákon dvojího zavedení:

) tag {DI} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / odot / alpha.)

Předpokládejme například, že (odot / alpha) je (alpha { rightarrow} pi). Pak, aby (odot) poslouchal DI, muselo by to být tak, že (alpha / vdash _ { mathcal {T}} (alfa { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Tento princip je porušen řadou neklasických teorií, pro které se (odot), jak je definováno tímto způsobem, kvalifikuje jako Curryho pojivo. ^[28]

Stručně řečeno: Curryho paradox ukazuje na obecnou strukturu vytvořenou širokým spektrem paradoxů. Tato struktura sama o sobě nezahrnuje negaci, ale je také zobrazena paradoxy, které (na rozdíl od Curryho paradoxu) v podstatě zahrnují negaci, jako je Russellův paradox a Liarův paradox.

Problematika paradoxů, které vykazují společnou strukturu, se stává důležitou ve světle „principu jednotného řešení“, které podle kněze (1994) zásadně zastává. Podle tohoto principu by paradoxy, které patří ke „stejnému druhu“, měly obdržet „stejný druh řešení“. Předpokládejme, že vymezíme jeden druh paradoxu takto:

Definice 4 (Generalized Curry Paradox) Máme generalizovaný Curry paradox v každém případě, kde se zdá, že předpoklady uvedené v Generalized Curry-Paradox Lemma platí.

Za předpokladu, že člověk přijme zásadu jednotného řešení, bude otázkou, co se počítá jako návrh jednotného řešení všech zobecněných Curryových paradoxů. Postačí zejména pro každý takto vymezený druh ukázat, že to, co se zdá být Curryovým pojmem, ve skutečnosti není jedno? Zdá se, že by to skutečně mělo stačit. Není jasné, proč by uniformita měla navíc vyžadovat, aby se všechna zdánlivá Curryho spojnice kvalifikovala jako taková z důvodu porušení stejné podmínky. Předpokládejme například, že jak negace, tak naše unární spojivo definované pomocí ({ rightarrow}) vyhovují zobecněnému principu P2, v prvním případě, protože se zdá, že ({ lnot}) se řídí Red a ve druhém případ, protože se zdá, že ({ rightarrow}) se řídí Cont. Pokud tyto dva vystoupení nesdílejí společný zdroj (např.implicitní spoléhání se na strukturální kontrakci, jak tvrdí Zardini 2011), nemusí být nic nepřiměřeně nejednotného ohledně toho, jak se jeden vzhled objeví v nominální hodnotě, zatímco druhý je odmítá jako klamný. (Pro diskuzi o filosofickém problému zde, aplikovaném na jinou třídu paradoxů, viz výměna v Smith 2000 a Priest 2000.)

Pokud je to správné, desideratum, které zobecňuje Curryho paradoxy, musí být rovnoměrně vyřešeno, nemusí rozlišovat mezi různými logicky revizními řešeními, která byla sledována. Zahrnují následující tři možnosti:

• Jeden by mohl si myslet, že to je princip P1 sám, který selže, když (odot / alpha) je instancován jak (lnot / alpha) (dostat paradox negace), zatímco to je P2 sám, který selže, když (odot / alpha) je instancí jako (alpha { rightarrow} pi) (pro získání Curryho paradoxu). Při tomto přístupu selhávají ECQ a Cont, zatímco Red a MP drží (Priest 1994, 2006).
• Jeden by si mohl myslet, že P2 sám selže pro obě instance (odot). Při tomto přístupu selhávají Red a Cont, zatímco ECQ a MP drží (Field 2008; Zardini 2011).
• Jeden by si mohl myslet, že P1 sám selže pro obě instance (odot). Při tomto přístupu selhávají ECQ a MP, zatímco Red and Cont hold (Beall 2015; Ripley 2013).

Například knězův vlastní přístup by se tedy počítal jako vyřešení Curryho paradoxu a lhářského paradoxu jednotně qua příklady zobecněného Curryho paradoxu. Tak by tomu bylo i přesto, že Priest hodnotí lhářské věty jako pravdivé i nepravdivé, zatímco odmítá tvrzení, že Curryovy věty jsou pravdivé.

V každém případě představuje Curryho paradox výzvy v souvislosti s otázkou, jaký typ uniformity by měl být vyžadován při řešení různých paradoxů (viz také Zardini 2015). Sám kněz upozorňuje na určitý druh paradoxu užšího než zobecněné Curryho paradoxy, druh, jehož příklady zahrnují paradoxy negace, ale vylučují Curryho paradox. Tento druh je vybrán v Priestově „schématu uzavření“(2002); viz položka o odkazu na sebe. Jedním z probíhajících sporů je to, zda by mohla existovat verze Curryho paradoxu, který se počítá jako „paradox uzavřeného prostoru“, ačkoli odolává Prietovu jednotnému dialetheickému řešení takových paradoxů (viz výměna v Beall 2014b, Weber et al. 2014 a Beall 2014a), stejně jako Pleitz 2015).

6. Platnost Curry

V posledním desetiletí (ke dni vydání této verze tohoto příspěvku) došlo k rozmachu pozornosti nad Curryho paradoxy, a možná zejména k tomu, co se nazývá validita Curry nebo v-Curry paradoxy (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). ^[29] V-Curry zahrnuje Curryovy věty, které konkrétně vyvolávají vztah teorie nebo „platnost“, použitím buď podmíněného, nebo predikátu, který se snaží vyjádřit vztah (mathcal {T}) teorie (vdash_) mathcal {T}) v jazyce samotného (mathcal {T}).

6.1 Spojovací formulář

Pro jednu formu paradoxu v-Curry je podmíněno uvedené v definici Curryho věty (Definice 1) spojovacím důsledkem ({ Rightarrow}). Věta s ({ Rightarrow}) jako jejím hlavním operátorem se má interpretovat takto: "To (p) znamená (podle (mathcal {T})), že (q)". Okamžitě získáváme vlastně-teoretické, množinové teoretické nebo pravdivě teoretické verze Curryho paradoxu za předpokladu, že ({ Rightarrow}) splňuje podmínky MP a Cont of Curry-Paradox Lemma.

Tento případ Curry-Paradox Lemma je obzvláště problematický v tom, že představuje překážku pro jednu společnou reakci na Curryho paradox, konkrétně na slabě kontrakční reakci diskutovanou v části 4.2.1. Tato odezva závisela na odmítnutí pravidla CP jednorázového podmíněného důkazu, jednoho směru jednorázové „dedukční věty“. Ale toto pravidlo se zdálo obtížné odolat spojitosti (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Pokud (beta) je důsledkem (alfa) podle důsledků vztahu teorie (mathcal {T}), kde tato teorie má ({ Rightarrow}) jako svůj vlastní důsledek spojovací, pak (mathcal {T}) musí určitě obsahovat následný požadavek (alpha { Rightarrow} beta). Stejně tak tato rozmanitost Curryho paradoxu představuje překážku pro odpoutání se odpoutanosti,které vyžadují odmítnutí pravidla MP. Pokud teorie s vlastním spojovacím důsledkem obsahuje jak (alfa), tak i podmíněný důsledek (alfa { Rightarrow} beta), musí určitě také obsahovat (beta). Nebo to alespoň vypadalo. Je pravda, že navrhovatel slabě odpoutané odpovědi bude argumentovat, že MP pro ({ Rightarrow}) nezákonně staví v transitivitě (viz oddíl 4.2.2). Přesto se zdá, že je to nevyhnutelné, obrácení CP, pravidla CCP, které je dalším směrem věty o dedukci s jednoduchým předpokladem. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci. Pokud teorie s vlastním spojovacím důsledkem obsahuje jak (alfa), tak i podmíněný důsledek (alfa { Rightarrow} beta), musí určitě také obsahovat (beta). Nebo to alespoň vypadalo. Je pravda, že navrhovatel slabě odpoutané odpovědi bude argumentovat, že MP pro ({ Rightarrow}) nezákonně staví v transitivitě (viz oddíl 4.2.2). Přesto se zdá, že je to nevyhnutelné, obrácení CP, pravidla CCP, které je dalším směrem věty o dedukci s jednoduchým předpokladem. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci. Pokud teorie s vlastním spojovacím důsledkem obsahuje jak (alfa), tak i podmíněný důsledek (alfa { Rightarrow} beta), musí určitě také obsahovat (beta). Nebo to alespoň vypadalo. Je pravda, že navrhovatel slabě odpoutané odpovědi bude argumentovat, že MP pro ({ Rightarrow}) nezákonně staví v transitivitě (viz oddíl 4.2.2). Přesto se zdá, že je to nevyhnutelné, obrácení CP, pravidla CCP, které je dalším směrem věty o dedukci s jednoduchým předpokladem. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci.zdálo se to. Je pravda, že navrhovatel slabě odpoutané odpovědi bude argumentovat, že MP pro ({ Rightarrow}) nezákonně staví v transitivitě (viz oddíl 4.2.2). Přesto se zdá, že je to nevyhnutelné, obrácení CP, pravidla CCP, které je dalším směrem věty o dedukci s jednoduchým předpokladem. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci.zdálo se to. Je pravda, že navrhovatel slabě odpoutané odpovědi bude argumentovat, že MP pro ({ Rightarrow}) nezákonně staví v transitivitě (viz oddíl 4.2.2). Přesto se zdá, že je to nevyhnutelné, obrácení CP, pravidla CCP, které je dalším směrem věty o dedukci s jednoduchým předpokladem. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci. Pokud teorie obsahuje podmíněný (alfa { Rightarrow} beta), pak jistě (beta) vyplývá z (alfa) podle teorie. To by stále vylučovalo silně nezávislou reakci.

6.2 Formulář predikátu

Druhá forma paradoxu v-Curry vyvstává pro teorii (mathcal {T} _V), jejíž předmět zahrnuje vztah důsledků s jedním předpokladem (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) který podle této teorie získává mezi větami ve svém jazyce. ^[30] Nechť je tento vztah vyjádřen predikátem (Val (x, y)), a dále předpokládejme, že existuje věta (chi), která je buď / (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)), nebo je s nimi alespoň vzájemně zaměnitelný podle (mathcal {T} _V). Jedna forma paradoxu v-Curry využívá dva principy, kterými se řídí (Val), které nazýváme „oddělení platnosti“a „důkaz platnosti“po Beall & Murzi (2013).

) tag {VD} textrm {If} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / rangle) textrm {a} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha / textrm {then} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta)) tag {VP} textrm {If } alpha / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / zazvonit))

Pomocí těchto principů získáme následující rychlý argument pro (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

) begin {array} {rll} 1 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {Id} / 2 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {2 Curry-intersubstitutivity} / 3 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm {1, 2 VD} / 4 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {3 VP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {4 Curry-intersubstitutivity} / 6 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm { 4, 5 VD} / \ end {array})

Jak je aplikováno na tuto predikátovou formu v-Curry, slabě kontrakční odpověď by odolávala „kontrakci“od kroku 2 do kroku 4 odmítnutím pravidla VP a odpověď bez odpojení by odmítla VD, dokonce i při nulové hodnotě forma premise použitá v kroku 6. Přesto se však jak VP, tak i VD s nulovým předpokladem zdají nevyhnutelné vzhledem k zamýšlené interpretaci predikátu (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Zardini 2014). ^[31] Konečně, i když je VD odmítnut jako nezákonně zahrnující tranzitivitu, zdá se, že je nevyhnutelný obrácení VP. Pokud ano, alespoň by to vyloučilo silně odpoutanou odpověď.

Pravděpodobně silnější verzi v-Curryho uvažování uvádí Shapiro (2013) a Field (2017: 7). Toto zdůvodnění může mít formu spojovací nebo predikátové, ale nezávisí na CP nebo VP. Zde zadáme predikátový formulář pomocí (Val). Stejně jako výše jsme nejprve odvodili, že (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) pomocí VD. S ohledem na význam (Val), závěr, že (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) ukazuje, že (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)) je true, tj. že (chi) je true. Ale pokud (chi) je pravda a (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), pak se zdá, že (pi) musí být také pravda. Vzhledem k tomu, že slabě oddělené (netransparentní) reakce na v-Curry umožňují odvození (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), toto zdůvodňování také vyvolává námitku proti takovým reakcím.

6.3 Význam

Pokud ve skutečnosti nejsou v-Curryho paradoxy přístupné pro slabé reakce bez silných kontrakcí nebo silně odpojitelné, pak (za předpokladu, že je zachováno pravidlo Id), je prostor Curry-kompletních odpovědí omezen na silně bez kontrakcí a slabě odpovědi bez oddělení. První odpovědi, jak je vysvětleno v oddíle 4.2.1, jsou obvykle prezentovány přeformulováním modus ponens (nebo oddělením pro predikát platnosti) v substrukturálním dedukčním systému a odmítnutím strukturálního kontrakčního pravidla sCont. Posledně uvedené odpovědi, jak je vysvětleno v části 4.2.2, odmítají strukturální princip transitivity. Z tohoto důvodu byly někdy použity paradoxy v-Curry k motivaci vztahů se strukturálními důsledky (např. Barrio et al. Připravované; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). ^[32]

Živá a široká debata o paradoxech v-Curry vedla ke skutečnému pokroku v našem chápání Curryho paradoxů. Nakonec se vyjasnilo, že zatímco paradoxy v-Curry mohou vyvolat různá rozlišení od ne-v-Curryových paradoxů, zůstávají ve stejné formě jako zobecněné Curryho paradoxy. Zejména v obecné šabloně oddílu 5.2 lze vzít (odot) na vyjádření (buď jako predikát nebo jako spojovací) důsledek ve světle samotného (vdash_ / mathcal {T}). Toto je srdce v-Curry. Vzhledem k tomu, že existuje (mnoho) různých (formálních) souvislostních vztahů definovatelných nad naším jazykem (např. Logický důsledek na základě logického slovníku, epistemický důsledek na základě logického plus plus epistemického slovníku atd.), Existuje mnoho různých v -Malé paradoxy, které mohou nastat. Ještě pořád,prostorem řešení těchto paradoxů je prostor řešení zobecněných Curryho paradoxů, které se objevily v této položce.

Zbývají však nejméně dva důvody, proč si paradoxy v-Curry zaslouží zvláštní pozornost. Zaprvé, jak bylo uvedeno výše, dvě kategorie řešení typu Curry - kompletní - možnosti se slabou kontrakcí a silně oddělitelné - se ukázaly jako zvláště problematické v případě paradoxů v-Curry. Za druhé, předpokládejme, že člověk zachází s obyčejným Curryovým paradoxem (vlastnost-teoretický, set-teoretický nebo sémantický) způsobem Curry-Complete. Stále může existovat důvod k tomu, aby se odpovídající (pojivový nebo predikátový) paradox v-Curry považoval za Curryho neúplný způsob, snad proto, že viděl důsledkový vztah teorie jako v podstatě mimo zachycení jakýmkoli pojivovým nebo predikátem v jazyce teorie (viz např. Myhill 1975; Whittle 2004). Tím pádem,„nejednotné“řešení obyčejných Curryho paradoxů a jejich protějšků v-Curry může být opět motivovanou nerovnoměrností.^[33]

Bibliografie

Klíčové historické zdroje

• Curry, Haskell B., 1942a, „Kombinované základy matematické logiky“, Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49–64. doi: 10,2307 / 2266302
• –––, 1942b, „Nekonzistence určitých formálních logik“, Journal of Symbolic Logic, 7 (3): 115–117. doi: 10,2307 / 2269292
• Curry, Haskell B. a Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, svazek 1, Amsterdam: North-Holland.
• Fitch, Frederic B., 1952, Symbolic Logic: Úvod, New York: Ronald Press Company.
• Geach, PT, 1955, „On Insolubilia“, Analysis, 15 (3): 71–72. doi: 10,1093 / analys / 15.3.71
• Löb, MH, 1955, „Řešení problému Leon Henkin“, Journal of Symbolic Logic, 20 (2): 115–118. doi: 10,2307 / 2266895
• Meyer, Robert K., Richard Routley a J. Michael Dunn, 1979, „Curryho paradox“, analýza, 39 (3): 124–128. doi: 10,1093 / analys / 39,3,124
• Moh Shaw-Kwei, 1954, „Logické paradoxy pro systémy s mnoha hodnotami“, Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10,2307 / 2267648
• Prior, AN, 1955, „Curryho paradox a logika se 3 hodnotami“, Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10,1080 / 00048405585200201

Další reference

• Anderson, Alan Ross, 1975, „Fitch on Consistency“, v Anderson, Marcus a Martin 1975: 123–141.
• Anderson, Alan Ross a Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Entailment: Logic of Relevance and Necessity, svazek 1, Princeton, NJ: Princeton University Press.
• Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus a RM Martin (eds), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
• Ashworth, EJ, 1974, Jazyk a logika v post-středověku, Dordrecht: Reidel.
• Bacon, Andrew, 2015, „Paradoxy logické ekvivalence a identity“, Topoi, 34 (1): 89–98. doi: 10,1007 / s11245-013-9193-8
• Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt a Diego Tajer, připravovaný „Zachycení naivní platnosti v přístupu bez omezení“, Synthese, první online 1. září 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
• Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199268733,001.0001
• –––, 2014a, „Konec uzavření“, Mind, 123 (491): 829–849. doi: 10,1093 / mind / fzu075
• ––– 2014b „Nalezení tolerance bez lepků“, Mind, 123 (491): 791–811. doi: 10,1093 / mind / fzu081
• ––– 2015, „Bez oddělení: Logika, racionalita a lepky“, Noûs, 49 (2): 410–423. doi: 10,1111 / č. 12029
• Beall, Jc a Julien Murzi, 2013, „Two Flavours of Curry's Paradox“, Journal of Philosophy, 110 (3): 143–165. doi: 10,5840 / jphil2013110336
• Bimbó, Katalin, 2006, „Paradoxy typu Curry“, Logique & Analyze, 49 (195): 227–240.
• Brady, Ross, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: Publikace CSLI.
• Bunder, MW, 1986, „Tautologie, které s neomezeným axiomem porozumění vedou k nekonzistentnosti nebo trivialitě“, Journal of Non-Classical Logic, 3 (2): 5-12.
• Burge, Tyler, 1979, „Sémantický paradox“, Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. doi: 10,2307 / 2025724
• Carnap, Rudolf, 1934, „Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik“, Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
• –––, 1937, Logická syntax jazyka, Amethe Smeaton (trans), Londýn: K. Paul Trench.
• Church, Alonzo, 1932, „Soubor postulátů pro založení logiky“, Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366. doi: 10,2307 / 1968337
• –––, 1942, „Recenze: Nekonzistence určitých formálních logik od Haskella B. Curryho“, Journal of Symbolic Logic, 7 (4): 170–71. doi: 10,2307 / 2268117
• Cook, Roy T., 2014, „Neexistuje žádný paradox logické platnosti!“, Logica Universalis, 8 (3–4): 447–467. doi: 10,1007 / s11787-014-0094-4
• Curry, Haskell B., 1930, „Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I & II)“, American Journal of Mathematics, 52: 509–36, 789–834.
• –––, 1950, Teorie formální dedukce, (Notre Dame Mathematical Lectures, 6), Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. [Curry 1950 k dispozici online]
• –––, 1952, „K definici negace fixním návrhem v inferenciálním počtu“, Journal of Symbolic Logic, 17 (2): 98–104. doi: 10,2307 / 2266240
• Curry, Haskell B., J. Roger Hindley, a Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, svazek 2, (Study in Logic and the Foundations of Mathematics, 65), Amsterdam: North-Holland.
• Field, Hartry, 2008, Saving Truth from Paradox, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199230747,001.0001
• ––– 2017, „odzbrojení paradoxu platnosti“, žurnál formální logiky Notre Dame, 58 (1): 1–19. doi: 10,1215 / 00294527-3699865
• Fitch, Frederic B., 1969, „Metoda vyhýbání se kari paradoxu“, v Nicholas Rescher (ed.), Eseje na počest Karla. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, s. 255–265.
• Francouzština, Rohan, 2016, „Strukturální reflexivita a paradoxy sebepříkazu“, Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10,3998 / ergo 12405314 0003,005
• Glanzberg, Michael, 2001, „Lhář v kontextu“, Filozofická studia, 103 (3): 217–251. doi: 10,1023 / A: 1010314719817
• –––, 2004, „Kontextově-hierarchický přístup k pravdě a lhářskému paradoxu“, Journal of Philosophical Logic, 33 (1): 27–88. doi: 10,1263 / B: LOGI.0000019227,09236.f5
• Goldstein, Laurence, 2000, „Sjednocené řešení některých paradoxů“, Sborník Aristotelian Society, 100 (1): 53–74. doi: 10,1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
• Goodship, Laura, 1996, „On Dialethism“, Australasian Journal of Philosophy, 74 (1): 153–161. doi: 10,1080 / 00048409612347131
• Grelling, Kurt a Leonard Nelson, 1908, „Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell und Burali-Forti“, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
• Gupta, Anil a Nuel Belnap, 1993, Revizní teorie pravdy, Cambridge, MA: MIT Press.
• Halbach, Volker a Albert Visser, 2014, „The Henkin Sentence“, v Maria Manzano, Ildikó Sain a Enrique Alonso (eds), Život a dílo Leon Henkin, (Study in Universal Logic), Cham: Springer International, pp 249–264. doi: 10,1007 / 978-3-319-09719-0_17
• Hanke, Miroslav, 2013, „Implikovaná analýza významů kurikula“, Historie a filozofie logiky, 34 (4): 367–380. doi: 10,1080 / 01445340.2013,812832
• Hilbert, David a Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, svazek II, Berlín: Springer.
• Humberstone, Lloyd, 2006, „Variace na téma kari“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10,1305 / ndjfl / 1143468315
• Kripke, Saul A., 1975, „Osnova teorie pravdy“, Journal of Philosophy, 72 (19): 690–716. doi: 10,2307 / 2024634
• Mares, Edwin a Francesco Paoli, 2014, „Logické důsledky a paradoxy“, Journal of Philosophical Logic, 43 (2–3): 439–469. doi: 10,1007 / s10992-013-9268-4
• Meadows, Toby, 2014, „Fixní body pro důsledkové vztahy“, Logique & Analyze, 57 (227): 333–357.
• Murzi, Julien, 2014, „Nevyslovitelnost platnosti“, analýza, 74 (1): 65–81. doi: 10,1093 / analys / ant096
• Murzi, Julien a Lorenzo Rossi, nadcházející „Naivní platnost“, Synthese, poprvé online 27. září 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
• Murzi, Julien a Lionel Shapiro, 2015, „Validita a ochrana pravdy“, v Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández a Kentaro Fujimoto (eds), Sjednocení filozofie pravdy, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_22
• Myhill, John, 1975, „Úrovně implikace“, v Anderson, Marcus a Martin 1975: 179–185.
• Nicolai, Carlo a Lorenzo Rossi, nadcházející, „Zásady objektově-lingvistických důsledků: od logické po irreflexivní“, Journal of Philosophical Logic, nejprve online 20. června 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
• Nolan, Daniel, 2016, „Podmíněné a kari“, filozofická studia, 173 (10): 2629–2649. doi: 10,1007 / s11098-016-0666-7
• Pleitz, Martin, 2015, „Curryho paradox a schéma inkluze“, v Pavel Arazim a Michal Dančák (eds), Logická ročenka 2014, Londýn: College Publications.
• Priest, Graham, 1994, „The Structure of Paradoxes of Self-Reference“, Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10,1093 / mysl / 103,409,25
• –––, 2000, „Na principu jednotného řešení: odpověď na Smith“, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10,1093 / mind / 109,433,123
• –––, 2002, Za hranicemi myšlení, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199254057,001.0001
• –––, 2006, In Contradiction, Oxford: Oxford University Press. Rozšířené vydání (první publikováno 1987). doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199263301,001.0001
• –––, 2008, Úvod do neklasické logiky: From if to Is, druhé vydání, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,017 / CBO9780511801174
• ––– 2015, „Fúze a zmatek“, Topoi, 34 (1): 55–61. doi: 10,1007 / s11245-013-9175-x
• Quine, WVO, 1953, „pane Strawson o logické teorii “, Mind, 62 (248): 433–451. doi: 10,1093 / mind / LXII.248.433
• Přečtěte si, Stephen, 2001, „Sebehodnocení a revize platnosti“, v Mikko Yrjönsuuri (ed.), Medieval Formal Logic, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 183–196. doi: 10,1007 / 978-94-015-9713-5_7
• Restall, Greg, 1993, „Jak být skutečně bez kontrakce“, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10,1007 / BF01057653
• –––, 1994, O logice bez kontrakce, doktorská práce, University of Queensland. [Restall 1994 je k dispozici online]
• –––, 2005, „Více závěrů“, v Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva a Dag Westerståhl (eds), Logika, metodologie a filozofie vědy: Sborník z 12. mezinárodního kongresu, Londýn: College Publications, pp. 189–205. [Restall 2005 je k dispozici online]
• Ripley, David, 2013, „Paradoxy a selhání řezu“, Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10,1080 / 00048402.2011.630010
• –––, 2015a, „Porovnání substrukturálních teorií pravdy“, Ergo, 2 (13): 299–328. doi: 10,3998 / ergo 12405314 0002,013
• –––, 2015b, „Kontrakce a uzavření“, myšlení, 4 (2): 131–138. doi: 10 1002 / tht 3,166
• Rogerson, Susan, 2007, „Přírodní dedukce a Curryho paradox“, Journal of Philosophical Logic, 36 (2): 155–179. doi: 10,1007 / s10992-006-9032-0
• Rogerson, Susan a Greg Restall, 2004, „Trasy k maličkosti“, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. doi: 10,1263 / B: LOGI.0000036853,44128,8f
• Rosenblatt, Lucas, 2017, „Naivní validita, internalizace a substrukturální přístupy k paradoxu“, Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10,3998 / ergo 12405314 0004,004
• Seldin, Jonathan P., 2006, „The Logic of Curry and Church“, v Dov M. Gabbay a John Woods (eds), Handbook of History of Logic, Volume 5: Logic from Russell to Church, Amsterdam: Elsevier, pp 819–873.
• Shapiro, Lionel, 2011, „Deflace logických důsledků“, The Philosophical Quarterly, 61 (243): 320–42. doi: 10,1111 / j.1467-9213.2010.678.x
• ––– 2013, „Posílení platnosti kari“, myšlení, 2: 100–107. doi: 10 1002 / tht3,80
• ––– 2015, „Naivní struktura, kontrakce a paradox“, Topoi, 34 (1): 75–87. doi: 10,1007 / s11245-014-9235-x
• Simmons, Keith, 1993, Universality and Liar: Esej o pravdě a diagonální argument, Cambridge: Cambridge University Press.
• Slaney, John, 1989, „RWX in Not Curry Paraconsistent“, Graham Priest, Richard Routley a Jean Norman (eds), Paraconsistent Logic: Eseje o nekonzistentním, Mnichov: Filozofie, s. 472–480.
• –––, 1990, „Obecná logika“, Australasian Journal of Philosophy, 68 (1): 74–88. doi: 10,1080 / 00048409012340183
• Smith, Nicholas JJ, 2000, „Princip jednotného řešení (paradoxů sebepříkazu)“, Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10,1093 / mind / 109,433,117
• Tajer, Diego a Federico Pailos, 2017, „Platnost v rámci Dialetheist“, Logique & Analyze, 60 (238): 191–202.
• van Benthem, Johan, 1978, „Čtyři paradoxy“, Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72. doi: 10,1007 / BF00245920
• Wansing, Heinrich a Graham Priest, 2015, „External Curries“, Journal of Philosophical Logic, 44 (4): 453–471. doi: 10,1007 / s10992-014-9336-4
• Weber, Zach, 2014, „Naivní platnost“, The Philosophical Quarterly, 64 (254): 99–114. doi: 10,1093 / pq / pqt016
• Weber, Zach, David Ripley, Graham Priest, Dominic Hyde a Mark Colyvan, 2014, „Tolerating Gluts“, Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10,1093 / mind / fzu057
• Weir, Alan, 2015, „Robustní nepřevodná logika“, Topoi, 34 (1): 99–107. doi: 10,1007 / s11245-013-9176-9
• White, Richard B., 1979, „Konzistence axiomu porozumění v nekonečně hodnotné predikátové logice Łukasiewicze“, Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. doi: 10,1007 / BF00258447
• Whittle, Bruno, 2004, „Dialetheismus, logické důsledky a hierarchie“, analýza, 64: 318–26. doi: 10,1093 / analys / 64.4.318
• Zardini, Elia, 2011, „Pravda bez kontrakce“, Recenze Symbolic Logic, 4 (4): 498–535. doi: 10,017 / S1755020311000177
• ––– 2013, „Naive Modus Ponens“, Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10,1007 / s10992-012-9239-1
• ––– 2014, „Naivní pravda a naivní logické vlastnosti“, Recenze Symbolické Logiky, 7 (2): 351–384. doi: 10,017 / S1755020314000045
• ––– 2015, „Získání jednoho pro dva nebo špatná dohoda dodavatelů“. Směrem ke sjednocenému řešení sémantických paradoxů “, v Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández a Kentaro Fujimoto (ed.), Sjednocení filozofie pravdy, Dordrecht: Springer. doi: 10,1007 / 978-94-017-9673-6_23

Akademické nástroje

	Jak citovat tento záznam.
	Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
	Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
	Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]