Hypotéza Kontinua

Obsah:

Hypotéza Kontinua
Hypotéza Kontinua

Video: Hypotéza Kontinua

Video: Hypotéza Kontinua
Video: Mirko Rokyta: Riemannova hypotéza -jeden z nejtěžších matematických problémů...(Pátečníci 24.5.2019) 2024, Březen
Anonim

Vstupní navigace

  • Obsah příspěvku
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Náhled PDF přátel
  • Informace o autorovi a citaci
  • Zpět na začátek

Hypotéza kontinua

Poprvé publikováno st 22. května 2013

Hypotézy kontinua (CH) jsou jedním z nejdůležitějších otevřených problémů teorie množin, což je důležité z matematických i filozofických důvodů.

Problém skutečně nastal s narozením teorie množin; ve skutečnosti to v mnoha ohledech stimulovalo zrod teorie množin. V roce 1874 Cantor ukázal, že existuje přirozená korespondence mezi přirozenými čísly a algebraickými čísly. Překvapivěji ukázal, že mezi přirozenými čísly a skutečnými čísly neexistuje vzájemná korespondence. Bereme-li v úvahu existenci vzájemné korespondence jako kritéria pro to, kdy mají dvě sady stejnou velikost (něco, co určitě udělal do roku 1878), tento výsledek ukazuje, že existuje více než jedna úroveň nekonečna, a tak porodila vyšší nekonečné v matematice. Cantor se okamžitě pokusil zjistit, zda existují nějaké nekonečné množiny reálných čísel, které byly střední velikosti, to znamená,zda existovala nekonečná množina reálných čísel, která nemohla být dána do vzájemné korespondence s přirozenými čísly a nemohla být dána do vzájemné korespondence s reálnými čísly. Hypotéza kontinua (pod jednou formulací) je jednoduše tvrzením, že taková množina reálných čísel neexistuje. To bylo přes jeho pokus prokázat tuto hypotézu, která vedla Cantora vyvinout teorii množin do sofistikovaného odvětví matematiky.[1]

Přes jeho úsilí Cantor nedokázal vyřešit CH. Problém trval a byl považován za tak důležitý tím, Hilbert, že ho poprvé uveden na jeho slavném seznamu otevřených problémů, které mají být s nimiž se setkávají v 20 th století. Hilbert také usiloval o vyřešení CH, opět bez úspěchu. Tento nedostatek pokroku byl nakonec vysvětlen kombinovanými výsledky Gödel a Cohena, které společně ukázaly, že CH nelze vyřešit na základě axiomů, které matematici zaměstnávali; v moderních termínech, CH je nezávislý na Zermelo-Fraenkel teorii množiny rozšířené o Axiom of Choice (ZFC).

Tento výsledek nezávislosti rychle následovalo mnoho dalších. Techniky nezávislosti byly tak silné, že teoretici souboru se brzy ocitli zaujati meta-teoretickým podnikem prokazujícím, že některá základní prohlášení nelze v ZFC prokázat nebo vyvrátit. Poté vyvstala otázka, zda existují způsoby, jak urovnat nezávislá prohlášení. Komunita matematiků a filozofů matematiky byla na tuto otázku do značné míry rozdělena. Pluralisté (jako Cohen) tvrdili, že výsledky nezávislosti účinně vyřešily otázku tím, že ukázaly, že nemá žádnou odpověď. Z tohoto pohledu by člověk mohl přijmout systém, ve kterémříkají, že CH byl axiom a bylo možné přijmout systém, ve kterém ¬CH byl axiom a to byl konec věci - nebylo pochyb o tom, které ze dvou nekompatibilních rozšíření bylo „správné“. Non-pluralisté (jako Gödel) tvrdili, že výsledky nezávislosti pouze naznačovaly nedostatek našich prostředků pro ohraničení matematické pravdy. Z tohoto pohledu byly zapotřebí nové axiomy, axiomy, které jsou pro tento úkol dostatečné a dostatečné. Gödel vlastně šel dál při navrhování kandidátů na nové axiomy - velké kardinální axiomy - a domníval se, že se vypořádají s CH. Gödel vlastně šel dál při navrhování kandidátů na nové axiomy - velké kardinální axiomy - a domníval se, že se vypořádají s CH. Gödel vlastně šel dál při navrhování kandidátů na nové axiomy - velké kardinální axiomy - a domníval se, že se vypořádají s CH.

Gödelův program pro velké kardinální axiomy se ukázal být pozoruhodně úspěšný. V průběhu příštích 30 let se ukázalo, že velké kardinální axiomy řeší mnoho otázek, které byly během éry nezávislosti prokázány jako nezávislé. CH však zůstal nedotčen. Ukázalo se, že situace je poněkud ironická, protože nakonec se ukázalo (v jistém smyslu, který lze přesně stanovit), že ačkoli standardní velké kardinální axiomy efektivně řeší všechny otázky složitosti přísně pod otázkou CH, nemohou (podle výsledků Levy a Solovay a další) vypořádat se s CH sám. Při výběru CH jako testovacího případu pro jeho program tedy Gödel položil prst přesně na místo, kde selhal. Z tohoto důvodu hraje CH nadále ústřední roli při hledání nových axiomů.

V tomto příspěvku uvedeme přehled hlavních přístupů k vypořádání CH a diskutujeme některé z hlavních základních rámců, které tvrdí, že CH nemá odpověď. Předmět je velký a my jsme museli obětovat plnou komplexnost ve dvou dimenzích. Zaprvé jsme nebyli schopni diskutovat o hlavních filosofických otázkách, které leží v pozadí. Čtenář se proto zaměřuje na položku „Velké kardinály a determinace“, která obsahuje obecnou diskuzi o výsledcích nezávislosti, povaze axiomů, povaze ospravedlnění a úspěších velkých kardinálních axiomů v říši „pod CH“.. Za druhé, nebyli jsme schopni diskutovat o každém přístupu k CH, který je v literatuře. Místo toho jsme se omezili na ty přístupy, které se zdají být nejslibnější z filozofického hlediska a kde se matematika vyvinula do dostatečně pokročilého stavu. V přístupech budeme hovořit o axuálních silách, teorii vnitřních modelů, kvázi velkých kardinálech - matematika byla v průběhu 40 let tlačena do velmi pokročilého stadia. A to nám trochu ztížilo náš úkol. Snažili jsme se udržet diskusi co nejpřístupnější a do koncových poznámek jsme vložili více technických položek. Čtenáři by však měli mít na paměti, že předkládáme ptačí pohled a že pro vyšší rozlišení by měl čtenář kdykoli ponořit do navrhovaných údajů, které se objevují na konci každé sekce. V přístupech budeme hovořit o axuálních silách, teorii vnitřních modelů, kvázi velkých kardinálech - matematika byla v průběhu 40 let tlačena do velmi pokročilého stadia. A to nám trochu ztížilo náš úkol. Snažili jsme se udržet diskusi co nejpřístupnější a do koncových poznámek jsme vložili více technických položek. Čtenáři by však měli mít na paměti, že předkládáme ptačí pohled a že pro vyšší rozlišení by měl čtenář kdykoli ponořit do navrhovaných údajů, které se objevují na konci každé sekce. V přístupech budeme hovořit o axuálních silách, teorii vnitřních modelů, kvázi velkých kardinálech - matematika byla v průběhu 40 let tlačena do velmi pokročilého stadia. A to nám trochu ztížilo náš úkol. Snažili jsme se udržet diskusi co nejpřístupnější a do koncových poznámek jsme vložili více technických položek. Čtenáři by však měli mít na paměti, že předkládáme ptačí pohled a že pro vyšší rozlišení by měl čtenář kdykoli ponořit do navrhovaných údajů, které se objevují na konci každé sekce. Snažili jsme se udržet diskusi co nejpřístupnější a do koncových poznámek jsme vložili více technických položek. Čtenáři by však měli mít na paměti, že předkládáme ptačí pohled a že pro vyšší rozlišení by měl čtenář kdykoli ponořit do navrhovaných údajů, které se objevují na konci každé sekce. Snažili jsme se udržet diskusi co nejpřístupnější a do koncových poznámek jsme vložili více technických položek. Čtenáři by však měli mít na paměti, že předkládáme ptačí pohled a že pro vyšší rozlišení by měl čtenář kdykoli ponořit do navrhovaných údajů, které se objevují na konci každé sekce.[2]

Ve skutečnosti existují dva druhy přístupů k novým axiomům - místní přístup a globální přístup. Při lokálním přístupu hledáme axiomy, které zodpovídají otázky týkající se specifikovatelného fragmentu vesmíru, jako je Vω + 1 nebo Vω + 2, kde leží CH. Na globálním přístupu hledáme axiomy, které se pokoušejí osvětlit celou strukturu vesmíru sad. Globální přístup je zjevně mnohem náročnější. V tomto příspěvku začneme s místním přístupem a ke konci se krátce dotkneme globálního přístupu.

Zde je přehled příspěvku: Oddíl 1 zkoumá výsledky nezávislosti v kardinální aritmetice, pokrývající případ běžných kardinálů (kde CH leží) i jednotlivých kardinálů. Oddíl 2 zvažuje přístupy k CH, kde jeden postupně ověřuje hierarchii sbližování s CH, z nichž každý je „efektivní“verzí CH. Tento přístup vedl k pozoruhodnému objevu Woodina, že je možné (v přítomnosti velkých kardinálů) mít účinné selhání CH, což ukazuje, že efektivní selhání CH je nevyřešitelné (s ohledem na velké kardinální axiomy) jako CH sám. Část 3 pokračuje vývojem, který vyplynul z tohoto objevu. Ústředním bodem diskuse je objev „kanonického“modelu, ve kterém CH selže. Toto tvořilo základ sítě výsledků, které Woodin společně prezentoval jako důvod pro selhání CH. Pro představení tohoto případu v nejefektivnější podobě představujeme silnou logiku Ω-logiku. Oddíl 4 se zabývá konkurenčním základním názorem, že řešení CH neexistuje. Tento pohled je naostřen z hlediska obecné vícerozměrné koncepce pravdy a ten pohled je poté zkoumán. Oddíl 5 pokračuje v posuzování případu pro ¬CH vyšetřováním paralelního případu pro CH. Ve zbývajících dvou sekcích se zaměříme na globální přístup k novým axiomům a zde budeme mnohem stručnější. Část 6 pojednává o přístupu prostřednictvím teorie vnitřních modelů. Sekce 7 pojednává o přístupu přes kvazi-velké kardinální axiomy. Pro představení tohoto případu v nejefektivnější podobě představujeme silnou logiku Ω-logiku. Oddíl 4 se zabývá konkurenčním základním názorem, že řešení CH neexistuje. Tento pohled je naostřen z hlediska obecné vícerozměrné koncepce pravdy a ten pohled je poté zkoumán. Oddíl 5 pokračuje v posuzování případu pro ¬CH vyšetřováním paralelního případu pro CH. Ve zbývajících dvou sekcích se zaměříme na globální přístup k novým axiomům a zde budeme mnohem stručnější. Část 6 pojednává o přístupu prostřednictvím teorie vnitřních modelů. Sekce 7 pojednává o přístupu přes kvazi-velké kardinální axiomy. Pro představení tohoto případu v nejefektivnější podobě představujeme silnou logiku Ω-logiku. Oddíl 4 se zabývá konkurenčním základním názorem, že řešení CH neexistuje. Tento pohled je naostřen z hlediska obecné vícerozměrné koncepce pravdy a ten pohled je poté zkoumán. Oddíl 5 pokračuje v posuzování případu pro ¬CH vyšetřováním paralelního případu pro CH. Ve zbývajících dvou sekcích se zaměříme na globální přístup k novým axiomům a zde budeme mnohem stručnější. Část 6 pojednává o přístupu prostřednictvím teorie vnitřních modelů. Sekce 7 pojednává o přístupu přes kvazi-velké kardinální axiomy. Oddíl 5 pokračuje v posuzování případu pro ¬CH vyšetřováním paralelního případu pro CH. Ve zbývajících dvou sekcích se zaměříme na globální přístup k novým axiomům a zde budeme mnohem stručnější. Část 6 pojednává o přístupu prostřednictvím teorie vnitřních modelů. Sekce 7 pojednává o přístupu přes kvazi-velké kardinální axiomy. Oddíl 5 pokračuje v posuzování případu pro ¬CH vyšetřováním paralelního případu pro CH. Ve zbývajících dvou sekcích se zaměříme na globální přístup k novým axiomům a zde budeme mnohem stručnější. Část 6 pojednává o přístupu prostřednictvím teorie vnitřních modelů. Sekce 7 pojednává o přístupu přes kvazi-velké kardinální axiomy.

  • 1 Nezávislost v kardinální aritmetice

    • 1.1 Pravidelní kardinálové
    • 1.2 Singular Cardinals
  • 2 Definovatelné verze hypotézy kontinua a její negace

    • 2.1 Tři verze
    • 2.2 Program Foreman-Magidor
  • 3 Případ pro ¬CH

    • Max. 3,1 ℙ
    • 3.2 Ω-Logic
    • 3.3 Případ
  • 4 Multiverse

    • 4.1 Širokopásmová zobrazení
    • 4.2 Generický multiverse
    • 4.3 Ω Conjecture a Generic Multiverse
    • 4.4 Existuje cesta ven?
  • 5 Místní případ byl znovu navrácen

    • 5.1 Případ pro ¬CH
    • 5.2 Paralelní případ pro CH
    • 5.3 Hodnocení
  • 6 Konečný vnitřní model
  • 7 Struktura teorie L (V λ + 1)
  • Bibliografie
  • Akademické nástroje
  • Další internetové zdroje
  • Související záznamy

1. Nezávislost v kardinální aritmetice

V této části budeme diskutovat výsledky nezávislosti v kardinální aritmetice. Nejprve se budeme zabývat případem pravidelných kardinálů, kde CH leží a kde je jen velmi málo určeno v kontextu ZFC. Zadruhé, kvůli srozumitelnosti se budeme zabývat případem singulárních kardinálů, kde lze v kontextu ZFC prokázat mnohem více.

1.1 Pravidelní kardinálové

Sčítání a násobení nekonečných kardinálních čísel je triviální: Pro nekonečné kardinály κ a λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Situace se stává zajímavou, když se člověk obrátí k vytěsnění a pokusu spočítat κ λ pro nekonečné kardinály.

Během úsvitu teorie množin Cantor ukázal, že pro každého kardinála κ

2 k > κ.

Neexistuje žádné tajemství o velikosti 2 n pro konečné n. První přirozená otázka je tedy, kde 2 0 je umístěno v alefské hierarchii: Je ℵ 1, ℵ 2,…, ℵ 17 nebo něco mnohem většího?

Kardinál 2 0 je důležitý, protože se jedná o velikost kontinua (množinu reálných čísel). Cantorova slavná hypotéza kontinua (CH) je tvrzením, že 2 0 = ℵ 1. Toto je zvláštní případ obecné hypotézy kontinua (GCH), která tvrdí, že pro všechny α, 2 α = ℵ α + 1. Jednou z výhod GCH je, že poskytuje kompletní řešení problému výpočtu κ λ pro nekonečné kardinály: Předpokládejme, že GCH, pokud κ ≤ λ, pak κ λ = λ +; pokud cf (k) ≤ λ ≤ κ, pak κ λ = κ +; a pokud λ <cf (κ), pak κ λ = κ.

U CH a GCH bylo dosaženo jen malého pokroku. Ve skutečnosti, v rané éře teorie množin, byl jediným dalším kusem pokroku nad Cantorovým výsledkem, že 2 κ > κ (a triviální výsledek, že pokud κ ≤ λ pak 2 κ ≤ 2 λ) byl Königův výsledek, že cf (2 κ) > κ. Vysvětlení nedostatku pokroku bylo poskytnuto výsledky nezávislosti v teorii množin:

Věta 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).
Předpokládejme, že ZFC je konzistentní. Pak jsou ZFC + CH a ZFC + GCH konzistentní.

Aby to dokázal, Gödel vynalezl metodu vnitřních modelů - ukázal, že CH a GCH držely v minimálním vnitřním modelu L ZFC. Cohen pak doplnil tento výsledek:

Věta 1.2 (Cohen 1963).
Předpokládejme, že ZFC je konzistentní. Pak jsou ZFC + ¬CH a ZFC + ¬GCH konzistentní.

Udělal to tím, že vynalezl metodu vnějších modelů a ukázal, že CH selhal v obecném rozšíření V B z V. Kombinované výsledky Gödel a Cohen tak ukazují, že za předpokladu konzistence ZFC je v zásadě nemožné vypořádat buď CH, nebo GCH v ZFC.

Na podzim roku 1963 Easton dokončil obraz ukázáním, že pro nekonečné pravidelné kardinály κ jsou jedinými omezeními funkce κ ↦ 2 κ, která jsou prokazatelná v ZFC, triviální omezení a výsledky Cantora a Königa:

Věta 1.3 (Easton 1963).

Předpokládejme, že ZFC je konzistentní. Předpokládejme, že F je (definovatelná třída) funkce definovaná na nekonečných pravidelných kardinálech tak, že

  1. pokud κ ≤ λ, pak F (κ) ≤ F (λ),
  2. F (K)> K a
  3. cf (F (K))> K.
Pak ZFC + „Pro všechny nekonečné kardinály κ, 2 κ = F (κ)“je konzistentní.

Teoretici setu tak vytlačili kardinální aritmetiku pravidelných kardinálů, pokud to bylo možné, tlačit v mezích ZFC.

1.2 Singular Cardinals

Případ kardinální aritmetiky na jednotlivých kardinálech je mnohem jemnější. Kvůli úplnosti se zastavíme, abychom to krátce probrali, než budeme pokračovat s hypotézou kontinua.

Obecně se věřilo, že, jako v případě běžných kardinálů, by chování funkce κ ↦ 2 κ bylo v rámci nastavení ZFC relativně neomezené. Ale pak Silver dokázal následující pozoruhodný výsledek: [3]

Věta 1.4 (Silver 1974).
Pokud je ℵ δ jedinečný kardinál nespočetné kofinality, pak, pokud GCH drží pod ℵ δ, pak GCH drží na ℵ δ.

Ukazuje se, že (díky hlubokému výsledku Magidora, publikovaného v roce 1977) může GCH nejprve selhat při ℵ ω (za předpokladu konzistence kardinálu superkompaktů). Silverova věta ukazuje, že nemůže nejprve selhat při ℵ ω 1, a to je prokazatelné v ZFC.

To vyvolává otázku, zda lze „kontrolovat“velikost 2 δ se slabším předpokladem, než že ℵ δ je jedinečný kardinál nespočetné koincity, takže GCH drží pod ℵ δ. Přirozenou hypotézou je, že ℵ δ je singulární kardinál nespočetné kofinality, což je silná limitní kardinál, to znamená, že pro všechny α <that δ, 2 α <ℵ δ. V roce 1975 Galvin a Hajnal prokázali (mimo jiné), že za tohoto slabšího předpokladu existuje určitá vazba:

Věta 1,5 (Galvin a Hajnal 1975).

Je-li δ δ jedinečným silným limitem kardinálem nepočítatelné koinality, pak

2 δ <ℵ (| 5 | cf (5)) +.

Je možné, že existuje skok, Woodin ukázal (opět za předpokladu velkých kardinálů), že je možné, že pro všechny κ, 2 κ = κ ++. Výše uvedená věta ukazuje, že v ZFC existuje prokazatelná vazba na to, jak velký může být skok.

Další otázkou je, zda převládá podobná situace s jedinečnými kardinály počítatelné kofinality. V roce 1978 Shelah ukázal, že tomu tak skutečně je. Chcete-li opravit nápady, zaměřme se na ℵ ω.

Věta 1.6 (Shelah 1978).

Pokud ℵ ω je kardinál silného limitu

2 ω <ℵ (2 0) +.

Jednou nevýhodou tohoto výsledku je, že hranice je citlivá na skutečnou velikost 2 0, což může být cokoli pod ℵ ω. Pozoruhodně Shelah byl později schopný napravit toto s vývojem jeho PCF (možné cofinalities) teorie. Jedním velmi citovatelným výsledkem této teorie je následující:

Věta 1,7 (Shelah 1982).

Pokud je ℵ ω silným limitem kardinálu, pak (bez ohledu na velikost 2 0)

2 ω <ℵ ω 4.

V souhrnu, ačkoli funkce kontinua u běžných kardinálů je v ZFC relativně neomezená, funkce kontinua u singulárních kardinálů je (prokazatelně v ZFC) významně omezena chováním funkce kontinua u menších kardinálů.

Další čtení: Pro větší kardinální aritmetiku viz Jech (2003). Více o případu singulárních kardinálů a teorie PCF viz Abraham & Magidor (2010) a Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Definovatelné verze hypotézy kontinua a její negace

Vraťme se k funkci kontinua na běžné kardinály a soustředíme se na nejjednodušší případ, velikost 2 0. Jedním z Cantorových původních přístupů k CH bylo zkoumání „jednoduchých“množin reálných čísel (viz Hallett (1984), s. 3–5 a §2.3 (b)). Jedním z prvních výsledků v tomto směru je Cantorova-Bendixsonova věta, že každá nekonečná uzavřená množina je buď spočítatelná, nebo obsahuje perfektní podmnožinu, v tomto případě má stejnou mohutnost jako množina realů. Jinými slovy, CH platí (v této formulaci), když člověk omezuje svou pozornost na uzavřené sady realit. Obecně lze říci, že otázky týkající se „definovatelných“sad realit jsou tažnější než otázky týkající se libovolných sad realit, což naznačuje, že bychom se měli dívat na definovatelné verze hypotézy kontinua.

2.1 Tři verze

Existují tři různé formulace hypotézy kontinua - interpolantová verze, dobře uspořádaná verze a verze s výrokem. Všechny tyto verze jsou v ZFC navzájem rovnocenné, ale uvalíme omezení definovatelnosti a v tomto případě mohou existovat zajímavé rozdíly (naše diskuse následuje Martin (1976)). Skutečně existuje hierarchie pojmů definovatelnosti až po Borelovu hierarchii, projektivní hierarchii, hierarchii v L (ℝ) a obecněji hierarchii univerzálně Baireových sad - a tak každá z těchto tří obecných verzí je skutečně hierarchie verzí, z nichž každá odpovídá dané úrovni hierarchie definovatelnosti (diskuse o hierarchii definovatelnosti viz §2.2.1 a §4.6 záznamu „Velké kardinály a determinace“).

2.1.1 Verze Interpolant

První formulace CH je, že neexistuje žádný interpolant, to znamená, že neexistuje nekonečná množina A reálných čísel, takže kardinalita A je striktně mezi přirozenými čísly a reálnými čísly. Pro získání definovatelných verzí jednoduše tvrdí, že neexistuje „definovatelný“interpolant, což vede k hierarchii definovatelných interpolantových verzí, v závislosti na tom, jaký pojem definovatelnosti člověk používá. Přesněji řečeno, pro danou bodovou třídu Γ v hierarchii definovatelných sad skutečností odpovídá odpovídající definovatelná interpolantová verze CH, že v Γ neexistuje interpolant.

Cantor-Bendixsonova věta ukazuje, že v Γ v případě, že Γ je bodová třída uzavřených množin, neexistuje interpolant, čímž se ověřuje tato verze CH. To zlepšil Suslin, který ukázal, že tato verze CH platí pro for kde Γ je třída Σ̰11 sad. V ZFC nelze jít mnohem dále - aby se prokázalo, že silnější verze musí přinést silnější předpoklady. Ukazuje se, že axiomy definovatelné determinace a velké kardinální axiomy toho dosahují. Například výsledky Kechris a Martin ukazují, že pokud Δ̰1 n -determinacy platí, pak tato verze CH platí pro bodovou třídu Σ̰1n + 1. Jde-li dále, předpokládá-li se AD L (ℝ)pak tato verze CH platí pro všechny sady reálných čísel, které se objevují v L (ℝ). Protože tyto hypotézy vyplývají z velkých kardinálních axiomů, existuje také to, že silnější a silnější velké kardinální předpoklady zajišťují silnější a silnější verze této verze efektivní hypotézy kontinua. Ve skutečnosti velké kardinální axiomy znamenají, že tato verze CH platí pro všechny sady real v hierarchii definovatelnosti, kterou zvažujeme; přesněji, pokud existuje správná třída kardinálů Woodina, pak tato verze CH platí pro všechny všeobecně Baireovy sady skutečností.

2.1.2 Řádná verze

Druhá formulace CH tvrdí, že každé řádové uspořádání realit má typ řádu menší než ℵ 2. Pro danou bodovou třídu Γ v hierarchii odpovídající definovatelná dobře uspořádaná verze CH tvrdí, že každá řádová objednávka (kódovaná sadou) v Γ má typ objednávky menší než ℵ 2.

Opět axiomy definovatelné determinace a velké kardinální axiomy naznačují tuto verzi CH pro bohatší představy o definovatelnosti. Například pokud AD L (ℝ) platí, pak tato verze CH platí pro všechny sady reálných čísel v L (ℝ). A pokud existuje správná třída kardinálů Woodina, pak tato verze CH platí pro všechny všeobecně Baireovy sady skutečností.

2.1.3 Verze vstřikování

Třetí verze formulace CH tvrdí, že neexistuje žádný odhad ρ: ℝ → ℵ 2, nebo rovnocenně, že nedochází k předběžnému řízení ℝ délky ℵ 2. Pro danou bodovou třídu Γ v hierarchii definovatelnosti, odpovídající verze s výrokem CH tvrdí, že neexistuje žádný výrok ρ: ℝ → ℵ 2, takže (kód pro) ρ je v Γ.

Zde je situace mnohem zajímavější. Axiomy definovatelné determinace a velké kardinální axiomy mají vliv na tuto verzi, protože kladou meze na to, jak dlouho mohou být definovatelné prewellorderings. Nechť δ̰1 n je supremum délek Σ̰1 n-vývodů realit a nechť Θ L (ℝ) je supremum délek prewellorderings realů, kde je prewellordering definovatelný ve smyslu bytí v L (ℝ). Je to klasický výsledek, že δ̰11 = ℵ 1. Martin ukázal, že δ̰12 ≤ ℵ 2 a že pokud existuje měřitelný kardinál, pak δ̰13 ≤ ℵ 3. Kunen a Martin také ukázali pod PD, ̰̰14 ≤ ℵ 4 a Jackson ukázali, že pod PD pro každé n <ω, δ̰1 n <ℵ ω. Tudíž za předpokladu, že existuje nekonečně mnoho Woodinských kardinálů, tyto hranice platí. Kromě toho se hranice nadále drží bez ohledu na velikost 2 0. Samozřejmě je otázkou, zda je možné tyto meze zlepšit, aby se ukázalo, že předběžná měření jsou kratší než ℵ 2. V roce 1986 Foreman a Magidor zahájili program, jak jej založit. V nejobecnější podobě chtěli ukázat, že velké kardinální axiomy naznačují, že tato verze CH platí pro všechny univerzální Baireovy sady skutečností.

2.1.4 Potenciální ložisko na CH

Všimněte si, že v kontextu ZFC jsou všechny tyto tři hierarchie verzí CH po sobě jdoucí aproximace CH a v mezním případě, kde Γ je bodová třída všech sad realit, jsou ekvivalentní CH. Otázkou je, zda tyto aproximace mohou poskytnout jakýkoli náhled do samotného CH.

Martin poukázal na asymetrii, konkrétně na to, že definovatelný protějšek k CH je skutečným protikladem, zatímco bez ohledu na to, jak daleko postupuje ověřování definovatelných verzí CH v žádném stádiu, se sám dotkne CH. Jinými slovy, přístup definovatelnosti mohl vyvrátit CH, ale nemohl to dokázat.

Přesto by se dalo tvrdit, že ačkoli přístup definovatelnosti nemohl prokázat CH, mohl by pro to poskytnout nějaký důkaz. V případě prvních dvou verzí víme, že CH platí pro všechny definovatelné sady. Poskytuje to důkaz o CH? Martin upozornil (dříve, než byly známy úplné výsledky), že je to velmi pochybné, protože v každém případě se jedná o atypické sady. Například v první verzi si v každé fázi zajistíme definovatelnou verzi CH ukázáním, že všechny sady ve třídě definovatelnosti mají vlastnost perfektní sady; přesto jsou takové sady atypické v tom, že za předpokladu AC je snadné ukázat, že existují sady bez této vlastnosti. Ve druhé verzi, v každé fázi jeden skutečně ukazuje nejen to, že každá řádka realit ve třídě definovatelnosti má typ objednávky menší než ℵ 2, ale také to, že má typ objednávky menší než ℵ 1. Žádná z těchto verzí tedy opravdu nesvítí CH.

Třetí verze má v tomto ohledu výhodu, protože ne všechny sady, se kterými se zabývá, jsou atypické. Například zatímco všechny sady Σ̰11 mají délku menší než there 1, existují Π̰11 sady o délce ℵ 1. Samozřejmě by se mohlo ukázat, že i když by měl program Foreman-Magidor uspět, sady by se mohly ukázat jako atypické v jiném smyslu, v takovém případě by na CH vrhlo trochu světla. Zajímavější je však možnost, že na rozdíl od prvních dvou verzí by skutečně poskytovala skutečný protějšek CH. To by samozřejmě vyžadovalo selhání programu Foreman-Magidor.

2.2 Program Foreman-Magidor

Cílem programu Foreman-Magidor bylo ukázat, že velké kardinální axiomy také znamenaly, že třetí verze CH se konala pro všechny sady v L (ℝ) a obecněji všechny univerzálně Baireovy sady. Jinými slovy, cílem bylo ukázat, že velké kardinální axiomy naznačují, že Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 a obecněji, že Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pro každou univerzálně Baireovu sadu A.

Motivace pocházela z oslavovaných výsledků Foremana, Magidora a Šelaha na Martinově maximu (MM), které ukázaly, že za předpokladu velkých kardinálních axiomů lze vždy nutit získat strmý ideál na ℵ 2 bez zhroucení ℵ 2 (viz Foreman, Magidor & Shelah) (1988)). Program zahrnoval dvoudílnou strategii:

  1. Posílte tento výsledek, abyste ukázali, že za předpokladu velkých kardinálních axiomů lze vždy nutit získat nasycený ideál na ℵ 2 bez kolapsu ℵ 2.
  2. Ukažte, že existence takového nasyceného ideálu znamená, že Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 a obecněji Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pro každou univerzálně Baireovu sadu A.

To by ukázalo, že ukazuje, že Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 a obecněji Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 pro každou univerzálně sadu Baire A. [4]

V prosinci 1991 následující výsledek přerušil naděje tohoto programu.

Věta 2.1 (Woodin).
Předpokládejme, že nestacionární ideál ℵ 1 je nasycený a že existuje měřitelný kardinál. Pak δ̰12 = ℵ 2.

Jde o to, že hypotéza této věty může být vždy vynucena za předpokladu velkých kardinálů. Je tedy možné mít Θ L (ℝ) > ℵ 2 (ve skutečnosti δ̰13> ℵ 2).

Kde se program pokazil? Foreman a Magidor měli přiblížení k (B) a nakonec se ukázalo, že (B) je pravda.

Věta 2.2 (Woodin).
Předpokládejme, že existuje řádná třída kardinálů Woodina a že existuje saturovaný ideál na ℵ 2. Pak pro každý A ∈ Γ , Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2.

Problém je tedy s (A).

To ilustruje zajímavý kontrast mezi našimi třemi verzemi efektivní hypotézy kontinua, konkrétně že se mohou rozpadnout. Přestože velcí kardinálové vylučují definovatelné protiklady prvních dvou druhů, nemohou vyloučit definovatelné protiklady třetího druhu. Musíme však znovu zdůraznit, že nemohou prokázat, že takové protiklady existují.

Ale je tu důležitý bod: Předpokládáme-li velké kardinální axiomy (AD L (ℝ) postačuje), ačkoli jeden může produkovat vnější modely, ve kterých δ̰13> ℵ 2, není v současné době známo, jak vyrábět vnější modely, ve kterých δ̰13> ℵ 3 nebo dokonce Θ L (ℝ) > ℵ 3. Je tedy otevřenou možností, že z ZFC + AD L (ℝ) lze prokázat Θ L (ℝ) ≤ ℵ 3. Pokud by tomu tak bylo, znamenalo by to, že ačkoli velcí kardinálové nemohou vyloučit definovatelnou poruchu CH, mohou vyloučit definovatelnou poruchu 2 0 = ℵ 2. To by mohlo poskytnout určitý vhled do velikosti kontinua a zdůraznit ústřednost ℵ 2.

Další čtení: Více o třech účinných verzích CH viz Martin (1976); více o programu Foreman-Magidor viz Foreman & Magidor (1995) a úvod do Woodina (1999).

3. Případ pro ¬CH

Výše uvedené výsledky vedly Woodina k identifikaci „kanonického“modelu, ve kterém CH selhává, a toto tvořilo základ jeho argumentu, že CH je nepravdivý. V části 3.1 popíšeme model a ve zbytku části představíme případ selhání CH. V části 3.2 představíme Ω-logiku a další pojmy potřebné k tomu, aby byl tento případ vytvořen. V části 3.3 představíme případ.

Max. 3,1 ℙ

Cílem je najít model, ve kterém je CH nepravdivý a který je kanonický v tom smyslu, že jeho teorii nelze změnit setkáním v přítomnosti velkých kardinálů. Základní motivací je toto: Zaprvé víme, že v přítomnosti velkých kardinálních axiomů je teorie aritmetiky druhého řádu a dokonce celá teorie L (ℝ) invariantní pod množstvím násilí. Důležité je, že to ukazuje, že naše hlavní techniky nezávislosti nelze použít ke stanovení nezávislosti otázek o aritmetice druhého řádu (nebo o L (ℝ)) v přítomnosti velkých kardinálů. Druhý,zkušenost ukázala, že se zdá, že velké kardinální axiomy odpovídají na všechny známé známé otevřené problémy týkající se aritmetiky druhého řádu a L (ℝ) a věty o nucených invariančních věcech dávají přesný obsah tvrzení, že tyto axiomy jsou „účinně úplné“.[5]

Z toho vyplývá, že pokud ℙ je jakýkoli homogenní částečný řád v L (ℝ), pak generické rozšíření L (ℝ) zdědí generickou absolutnost L (ℝ). Woodin zjistil, že existuje velmi zvláštní částečná objednávka ℙ max, která má tuto funkci. Navíc model L (ℝ) max vyhovuje ZFC + ¬CH. Klíčovým rysem tohoto modelu je to, že je „maximální“(nebo „nasycený“) s ohledem na věty, které mají určitou složitost a které lze prokázat jako konzistentní prostřednictvím vynucení prostřednictvím modelu; jinými slovy, pokud tyto věty dokážou držet (nastavením síly přes model), pak se drží v modelu. Abychom to přesněji uvedli, budeme muset zavést několik spíše technických pojmů.

Existují dva způsoby rozvrstvení vesmíru sad. První je z hlediska ⟨V α | α ∈ Na⟩ je druhá z hlediska ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, kde H (κ) je množina všech sad, jejichž kardinalita je menší než κ a jejichž členové mají kardinálnost menší než κ, jejichž členové mají kardinálnost menší než κ atd. Například H (ω) = V ω a teorie struktur H (ω 1) a V ω + 1jsou vzájemně interpretovatelné. Tato posledně jmenovaná struktura je strukturou aritmetiky druhého řádu a, jak bylo uvedeno výše, velké kardinální axiomy nám poskytují „účinně úplné“porozumění této struktuře. Měli bychom být ve stejné pozici, pokud jde o větší a větší fragmenty vesmíru a otázkou je, zda bychom měli postupovat z hlediska první nebo druhé stratifikace.

Druhá stratifikace je potenciálně jemnější. Za předpokladu, že jeden CH má, že teorie H (co 2) a V ω + 2 jsou vzájemně interpretovatelné a za předpokladu, že stále větší a větší fragmenty GCH tato korespondence pokračuje směrem nahoru. Ale pokud je CH false struktura H (ω 2) je méně bohatá než struktura V Sout 2. V tomto případě druhá struktura zachycuje úplnou aritmetiku třetího řádu, zatímco první zachycuje pouze malý fragment aritmetiky třetího řádu, ale přesto je dostatečně bohatá, aby vyjádřila CH. Vzhledem k tomu je při pokusu o pochopení vesmíru sad zpracováním prostřednictvím úrovně po úrovni, rozumné použít potenciálně jemnější vrstvení.

Naším dalším krokem je tedy pochopitelné H (Q 2). Ve skutečnosti se ukazuje, že budeme schopni rozumět o něco více, a to je poněkud technické. Budeme se zabývá konstrukcí ⟨H (co 2), ∈, I N, A G ⟩ ⊧ φ, kde jsem NS je nestacionární ideální na? 1 a A G je výklad (kanonické reprezentace) množina skutečností A v L (ℝ). Podrobnosti nebudou důležité a čtenář je požádán, aby přemýšlel o H (ω 2) spolu s některými „dalšími věcmi“a nestaral se o podrobnosti týkající se dalších věcí. [6]

Nyní jsme schopni uvést hlavní výsledek:

Věta 3.1 (Woodin 1999).

Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) a φ je Π 2- veta (v rozšířeném jazyce se dvěma dalšími predikáty) a existuje množina vynucující rozšíření V [G] tak, že

⟨H (ω 2), ∈, I N, A G ⟩ ⊧ φ

(kde A G je interpretace A ve V [G]). Pak

L (ℝ) max ⊧ „⟨H (ω 2), ∈, I NS, A⟩ ⊧ φ“.

Existují dva klíčové body: Zaprvé, teorie L (ℝ) max je „efektivně úplná“v tom smyslu, že je invariantní v rámci nastaveného nucení. Zadruhé, model L (ℝ) max je „maximální“(nebo „nasycený“) v tom smyslu, že vyhovuje všem Π 2- větám (o příslušné struktuře), které mohou případně obsahovat (ve smyslu, že mohou být zobrazeny) být konzistentní nastavením síly přes model).

Jeden by chtěl získat úchyt na teorii této struktury axiomatizací. Relevantní axiom je následující:

Definice 3.2 (Woodin 1999).
Axióm (*): AD L (ℝ) drží a L (P (ω 1)) je ℙ max -generic prodloužení L (ℝ).

Nakonec se tento axiom usadí CH:

Věta 3.3 (Woodin 1999).
Předpokládejme (∗). Pak 2 ω = ℵ 2.

3.2 Ω-Logic

Nyní budeme přepracovat výše uvedené výsledky z hlediska silné logiky. Plně využijeme velké kardinální axiomy a v tomto prostředí nás zajímá logika, která se „chová dobře“v tom smyslu, že otázka, co naznačuje, co není radikálně nezávislé. Například je dobře známo, že CH je vyjádřitelný v plné logice druhého řádu. Z toho vyplývá, že v přítomnosti velkých kardinálů lze vždy použít množinu nutit k převrácení pravdivé hodnoty domnělé logické platnosti plné logiky druhého řádu. Existují však silné logiky - jako ω-logic a β-logic -, které nemají tuto vlastnost - jsou dobře vychovány v tom smyslu, že v přítomnosti velkých kardinálních axiomů otázka, co znamená, co nelze změnit sadou nutit. Představíme velmi silnou logiku, která má tuto vlastnost-Ω-logiku. Ve skutečnosti,logiku, kterou představíme, lze charakterizovat jako nejsilnější logiku s touto funkcí (viz Koellner (2010) pro další diskusi o silné logice a pro přesné vyjádření tohoto výsledku).

3.2.1 Ω-logika

Definice 3.4.
Předpokládejme, že T je počítatelná teorie v jazyce teorie množin a φ je věta. Pak

T ⊧ Ω φ

pokud pro všechny kompletní booleovské algebry B a pro všechny ordinály α,

pokud VB α ⊧ T, pak VB α ⊧ φ.

Říkáme, že prohlášení φ je Ω- vyhovující, pokud existuje ordinální α a úplná booleovská algebra B taková, že VB α ⊧ φ, a říkáme, že φ je Ω- platné, pokud ∅ ⊧ Ω φ. Výše uvedená věta tedy říká, že (podle našich základních předpokladů) je prohlášení „φ vyhovující Ω“obecně nedotčeno a pokud jde o platnost Ω, jedná se jednoduše o následující:

Věta 3,5 (Woodin 1999).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že T je počítatelná teorie v jazyce teorie množin a φ je věta. Pak pro všechny kompletní booleovské algebry B,

T ⊧ Ω φ iff V B ⊧ „T ⊧ Ω φ.“

Tato logika je tedy robustní v tom, že otázka toho, co znamená, co je invariantní při nastaveném nucení.

3.2.2 Konjunkce Ω

Odpovídající sémantickému vztahu ⊧ Ω je kvazi-syntaktický vztah ⊢ Ω. „Důkazy“jsou určité robustní sady skutečností (všeobecně Baireovy sady skutečností) a testovací struktury jsou modely, které jsou pod těmito důkazy „uzavřené“. Přesné pojmy „uzavření“a „důkaz“jsou poněkud technické, a proto je budeme mlčet. [7]

Stejně jako sémantický vztah je tento kvazi-syntaktický důkazový vztah robustní za velkých kardinálních předpokladů:

Věta 3.6 (Woodin 1999).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že T je počítatelná teorie v jazyce teorie množin, φ je věta a B je úplná booleovská algebra. Pak

T ⊢ Ω φ iff V B ⊧ „T ⊢ Ω φ“.

Máme tedy sémantický vztah důsledků a kvazi-syntaktický důkazní vztah, oba jsou robustní za předpokladu velkých kardinálních axiomů. Je přirozené se ptát, zda věta o věrohodnosti a úplnosti platí pro tyto vztahy. Věta o věrohodnosti je známa:

Věta 3.7 (Woodin 1999).
Předpokládejme ZFC. Předpokládejme, že T je počítatelná teorie v jazyce teorie množin a φ je věta. Pokud T ⊢ Ω φ, pak T ⊧ Ω φ.

Je otevřeno, zda platí odpovídající věta o úplnosti. Argument Ω je jednoduše tvrzení, že:

Konjunkce 3.8Konjunkce).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak pro každou větu φ,

∅ ⊧ Ω φ iff ∅ ⊢ Ω φ.

Budeme potřebovat silnou formu této domněnky, kterou budeme nazývat Silná Ω domněnka. Je to poněkud technické, a tak ho v tichosti předáme. [8]

3.2.3 Ω-úplné teorie

Připomeňme, že jednou z klíčových ctností velkých kardinálních axiomů je, že „efektivně vypořádávají“teorii aritmetiky druhého řádu (a ve skutečnosti teorii L (ℝ) a více) v tom smyslu, že v přítomnosti velkých kardinálů nemůže použít metodu vynucení k vytvoření nezávislosti s ohledem na prohlášení o L (ℝ). Tento pojem invariance v rámci nucené síly hrál klíčovou roli v oddíle 3.1. Nyní můžeme tento pojem přeformulovat z hlediska Ω-logiky.

Definice 3.9.
Teorie T je Ω - úplná pro soubor vět Γ, pokud pro každou φ ∈ Γ, T ⊧ Ω φ nebo T ⊧ Ω ¬φ.

Inventarita teorie L (ℝ) pod množstvím nucených sil lze nyní přeformulovat následovně:

Věta 3.10 (Woodin 1999).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak je ZFC Ω -kompletní pro shromažďování vět ve tvaru „L (ℝ) ⊧ φ“.

Bohužel z řady výsledků, které vyplynuly z práce Levyho a Solovaye, bohužel vyplývá, že tradiční velké kardinální axiomy nedávají Ω-úplné teorie na úrovni Σ21, protože člověk může vždy použít „malé“(a tedy velké kardinální zachování) násilí změnit skutečnou hodnotu CH.

Věta 3.11.
Předpokládejme, že L je standardní velký kardinální axiom. Pak ZFC + L není Ω -kompletní pro Σ21.

3.3 Případ

Pokud však doplníme velké kardinální axiomy, přicházejí teorie Ω-úplné. To je vrchol věci proti CH.

Věta 3.12 (Woodin).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů a že Strong Ω Conjecture drží.
  1. Existuje axiom A takový, že

    1. ZFC + A je Ω-uspokojivý a
    2. ZFC + A je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2).
  2. Jakýkoli takový axiom A má tu vlastnost

    ZFC + A ⊧ W 'H (ω 2) ⊧ ¬CH'.

Pojďme to přeformulovat následovně: Pro každou A splňující (1), nechť

T A = {φ | ZFC + A ⊧ W 'H (ω 2) ⊧ ¬φ'}.

Věta říká, že pokud existuje správná třída Woodinových kardinálů a Ω Konjunkce platí, pak existují (netriviální) Ω-úplné teorie T A H (ω 2) a všechny takové teorie obsahují ¬CH.

Je přirozené se ptát, zda existuje větší shoda mezi omega-kompletní teorie T A. Ideálně by tam byl jen jeden. Nedávný výsledek (navazující na teorém 5.5) ukazuje, že pokud existuje taková teorie, existuje mnoho takových teorií.

Věta 3.13 (Koellner a Woodin 2009).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že A je axiom takový, že

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2).

Pak existuje axiom B takový, že

já. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2)

a T ≠ T B.

Jak si tedy vybereme z těchto teorií? Woodinova práce v této oblasti přesahuje teorém 5.1. Kromě izolace axiomu, který splňuje (1) věty 5.1 (za předpokladu Ω-splnitelnosti), izoluje také velmi zvláštní axiom, jmenovitě axiom (∗) („hvězda“) uvedený výše.

Tento axiom může být vyjádřen z hlediska (představitelnosti) Ω-logiky:

Věta 3.14 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak jsou ekvivalentní:
  1. (∗).
  2. Pro každou Π 2- větu φ v jazyce pro strukturu

    ⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    -li

    ZFC + „⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    je tedy Ω-konzistentní

    ⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Z toho vyplývá, že z různých teorií T A zapojených do věty 5.1 existuje jedna, která vyniká: Teorie T (∗) daná (∗). Tato teorie maximalizuje Π 2- teorii struktury ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Hypotéza kontinua v této teorii selhává. Navíc v maximální teorii T (∗) dané (∗) je velikost kontinua ℵ 2. [9]

Shrnutí: Za předpokladu, že silné Ohmů domněnek, je „dobrý“teorie H (ω 2), a všechny tyto teorie vyplývá, že CH selže. Navíc (opět za předpokladu silné Ω dohady) existuje maximální taková teorie av této teorii 2 0 = ℵ 2.

Další čtení: O matematice týkající se ℙ max viz Woodin (1999). Úvod do Ω-logiky viz Bagaria, Castells & Larson (2006). Více o nekompatibilních teoriích s kompletním Ω viz Koellner & Woodin (2009). Více o případu proti CH viz Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiverse

Výše uvedený případ selhání CH je nejsilnějším známým místním případem pro axiomy, které usazují CH. V této části a v další části se zaměníme na strany a vezmeme v úvahu pluralistické argumenty v tom smyslu, že CH nemá odpověď (v této části) a v tom smyslu, že existuje stejně dobrý případ pro CH (v další části). V poslední dvě části prozkoumáme optimistické globální scénáře, které poskytují naději na vyřešení problému.

Pluralista tvrdí, že výsledky nezávislosti účinně urovnávají nerozhodnuté otázky tím, že ukazují, že nemají žádnou odpověď. Jedním ze způsobů, jak vytvořit základní rámec pro takový pohled, je multivesmír. Z tohoto pohledu neexistuje jediný vesmír teorie teorií, nýbrž multiverza legitimních kandidátů, z nichž některé mohou být pro určité účely výhodnější než jiné, ale žádný z nich nelze považovat za „pravý“vesmír. Víceúrovňová koncepce pravdy je názor, že prohlášení o teorii množin lze považovat za pravého zjednodušovatele, pokud je pravdivé ve všech vesmírech multivesmíru. Pro účely této diskuse řekneme, že prohlášení je neurčité podle vícerozměrné koncepce, pokud není podle vícerozměrné koncepce pravdivé ani nepravdivé. Jak radikální je takový pohled, závisí na šíři koncepce multivesmíru.

4.1 Širokopásmová zobrazení

Pluralista je obecně non-pluralista o určitých doménách matematiky. Například, přísný finitista může být nepluralistou o PA, ale pluralistou o teorii množin a jeden může být nepluralistou o ZFC a pluralistou o velkých kardinálních axiomech a tvrzeních jako je CH.

Existuje určitá forma radikálního pluralismu, která obhajuje pluralismus týkající se všech oblastí matematiky. Z tohoto pohledu je každá konzistentní teorie legitimním kandidátem a odpovídající modely takových teorií jsou legitimními kandidáty na doménu matematiky. Říkejme tomu nejširší vícestranný pohled. Je obtížné formulovat tento názor, který může být vynesen následovně: Nejprve si musíme vybrat teorii pozadí, ve které diskutovat o různých modelech, což vede k obtížnosti. Například, podle široké multiverse pojetí, protože PA nemůže dokázat Con (PA) (podle druhé věty o neúplnosti, za předpokladu, že PA je konzistentní) existují modely PA + ¬Con (PA) a tyto modely jsou legitimní kandidáti, že je to, že jsou vesmírem v širokém multivesmíru. Nyní, abychom dospěli k tomuto závěru, musí být (v teorii pozadí) schopen prokázat Con (PA) (protože tento předpoklad je vyžadován pro použití druhé věty o neúplnosti v tomto konkrétním případě). Z pohledu teorie pozadí používané k argumentaci, že výše uvedené modely jsou legitimními kandidáty, tedy uvedené modely splňují falešnou větu Σ01, konkrétně ¬Con (PA). Stručně řečeno, chybí soulad mezi tím, co je drženo na úrovni meta a tím, co je drženo na úrovni objektu. Stručně řečeno, chybí soulad mezi tím, co je drženo na úrovni meta a tím, co je drženo na úrovni objektu. Stručně řečeno, chybí soulad mezi tím, co je drženo na úrovni meta a tím, co je drženo na úrovni objektu.

Jediným způsobem, jak se z této obtíže dostat, by se zdálo být považovat každé hledisko - každé artikulaci vícesměrné koncepce - za prozatímní a, když je stisknuto, přijmout pluralismus týkající se teorie pozadí. Jinými slovy, člověk by musel přijmout multiverse koncepci multiverse, multiverse koncepci multiverse koncepce multiverse, a tak dále, až do nekonečna. Z toho vyplývá, že taková pozice nemůže být nikdy plně vyjádřena - pokaždé, když se člověk pokouší artikulovat širokou multiversovou koncepci, musí použít teorii pozadí, ale protože jeden je pluralistou o této teorii pozadí, k níž dochází při použití širokého multivesmíru k vyjádření konceptu nedělají pojetí plné spravedlnosti. Pozici je tedy obtížné vyjádřit. Jeden může jistě zaujmout pluralitní postoj a pokusit se gestikulovat nebo projevovat názor, který má v úmyslu prozatímně řešit konkrétní teorii pozadí, ale poté, když je tlačí, obhajovat pluralitu. Pohled je tedy něčím „pohyblivým cílem“. Mlčíme tento pohled a soustředíme se na názory, které lze artikulovat v základním rámci.

V souladu s tím se podíváme na názory, které zahrnují nespluralismus s ohledem na daný úsek matematiky az důvodů prostoru, a protože se jedná o vstup do teorie množin, projdeme dlouhé debaty o přísném finitismu, finitismu, prediktivismu a zahájení s názory, které zahrnují pluralitu týkající se ZFC.

Nechť široký multiverse (založený na ZFC) je sbírka všech modelů ZFC. Široká vícerozměrná koncepce pravdy (založená na ZFC) je pak jednoduše názorem, že prohlášení o teorii množin je skutečným zjednodušujícím prostředkem, pokud je to prokazatelné v ZFC. Z tohoto pohledu jsou výrok Con (ZFC) a další nerozhodnuté příkazy011 klasifikovány jako neurčité. Tento pohled tedy čelí potížím rovnajícím se výše uvedenému, pokud jde o radikální pluralismus.

Toto motivuje posun k názorům, které zužují třídu vesmírů v multivesmíru pomocí silné logiky. Například, jeden může omezit se na vesmíry, které jsou ω-modely, β-modely (tj., Wellfounded), etc. Na pohledu kde jeden vezme ω-modely, sdělení Con (ZFC) je klasifikován jak pravdivý (ačkoli toto je citlivé k teorii pozadí), ale prohlášení PM (všechny projektivní množiny jsou Lebesgueově měřitelné) je klasifikováno jako neurčité.

Pro ty, kteří jsou přesvědčeni argumenty (zkoumanými v položce „Velké kardinály a determinace“) pro velké kardinální axiomy a axiomy definovatelné determinace, jsou i tyto multiverse koncepce příliš slabé. Budeme touto cestou. Ve zbytku tohoto příspěvku se budeme zabývat nespluralismem, pokud jde o velké kardiální axiomy a axiomy definovatelné determinace a zaměříme se na otázku CH.

4.2 Generický multiverse

Motivací za generickým multivesmírem je poskytnout důvod pro velké kardinální axiomy a definovatelnou determinaci, ale popírat, že výroky, jako je CH, mají určující pravdu. Abychom byli konkrétní o teorii pozadí, vezměme ZFC + „Existuje správná třída Woodinových kardinálů“a připomeňme, že tento velký kardinální předpoklad zajišťuje axiomy definovatelné determinace, jako je PD a AD L (ℝ).

Nechť je generický multiverse result výsledkem uzavření V pod generickými rozšířeními a generickými zdokonaleními. Jedním ze způsobů, jak to formalizovat, je vzít vnější výhodný bod a začít s počitatelným tranzitivním modelem M. Obecný multiverse založený na M je pak nejmenší množinou ? M tak, že M ∈ ? M a pro každou dvojici spočítatelných tranzitivních modelů (N, N [G]) tak, že N ⊧ ZFC a G ⊆ ℙ je N-generická pro některé částečné uspořádání v ℙ ∈ N, pokud je buď N nebo N [G] je v ? M pak N i N [G], jsou v ? M.

Nechť je obecná multivesmírová koncepce pravdy názorem, že prohlášení je pravdivým zjednodušujícím prostředkem, pokud je pravdivé ve všech vesmírech generického multiverse. Takové prohlášení označíme za generickou vícestrannou pravdu. Prohlášení se říká, že je neurčité podle obecné vícerozměrné koncepce, pokud to není ani pravdivé, ani nepravdivé podle obecné vícerozměrné koncepce. Například poskytnutím našich velkých kardinálních předpokladů takový názor považuje PM (a PD a AD L (ℝ)) za pravdivý, ale považuje CH za neurčitý.

4.3 Ω Conjecture a Generic Multiverse

Je obecná mnohostranná koncepce pravdy udržitelná? Odpověď na tuto otázku úzce souvisí s předmětem Ω-logiky. Základní spojení mezi generickou mnohovrstevnou pravdou a Ω-logikou je vyjádřeno v následující větě:

Věta 4.1 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak jsou pro každou Π 2- podmínku φ ekvivalentní:
  1. φ je obecná mnohostranná pravda.
  2. φ je Ω-neplatné.

Nyní si vzpomeňte, že podle věty 3.5 je podle našich předpokladů Ω-validita obecně neměnná. Z toho vyplývá, že s ohledem na naši základní teorii je pojem obecné multiversové pravdy robustní s ohledem na Π 2- stavy. Zejména pro Π 2- tvrzení je prohlášení „φ neurčité“samo o sobě určeno podle obecné vícerozměrné koncepce. V tomto smyslu není pojetí pravdy „sebepodporující“a nikdo není poslán do sestupné spirály, kde musí čelit multiverses multiverses. Takže prochází prvním testem. To, zda projde náročnějším testem, závisí na domněnce Ω.

Ω dohad má hluboké důsledky pro obecné vícesměrné pojetí pravdy. Nechat

? Ω = {φ | ∅ ⊧ Ω φ}

a pro jakýkoli specifikovaný kardinál κ, nech

? Ω (H (K +)) = {φ | ZFC ⊧ Ω “H (K +) ⊧ φ”},

kde si vzpomínám, že H (K +) je soubor sad dědičné kardinality menší než K +. Tedy, za předpokladu, že ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů, je sada ? Ω Turing ekvivalentní se sadou Π 2 generických vícerozměrných pravd a sada ? Ω (H (K +)) je přesně sada obecných multiverse pravdy H (K +).

Abychom popsali vztah Ω dohadu na obecně-vícerozměrné pojetí pravdy, zavádíme dva principy transcendence, které slouží jako omezení jakéhokoli udržitelného pojetí pravdy v teorii množin - omezení pravdy a omezení definovatelnosti.

Definice 4.2 (omezení pravdy).
Jakákoli udržitelná vícesměrná koncepce pravdy v teorii množin musí být taková, aby Π 2- pravdy (podle této koncepce) ve vesmíru množin nebyly rekurzivní v pravdách o H (κ) (podle této koncepce), pro jakoukoli specifikovatelnou kardinál.

Toto omezení je v duchu těch principů teorie množin - zejména reflexních principů - jejichž cílem je zachytit předheoretickou myšlenku, že vesmír sad je tak bohatý, že jej nelze „popsat zespodu“; přesněji řečeno, že tvrdí, že jakákoli obhajitelné pojetí pravdy je třeba respektovat názor, že vesmír sad je tak bohatá, že pravda (nebo dokonce jen Π 2 -truth) nelze popsat nějakým stanovitelnou fragmentu. (Všimněte si, že podle Tarského věty o nedefinovatelnosti pravdy je omezení pravdy triviálně uspokojeno standardní koncepcí pravdy v teorii množin, která bere multivesmír tak, aby obsahoval jediný prvek, konkrétně V.)

Existuje také související omezení týkající se definovatelnosti pravdy. Pro specifikovatelný kardinál κ je množina Y ⊆ ω definovatelná v H (κ +) napříč multiverzemi, pokud Y je definovatelná ve struktuře H (κ +) každého vesmíru multiverse (případně pomocí vzorců, které závisí na mateřském vesmíru).

Definice 4.3 (omezení definovatelnosti).
Jakákoli udržitelná multiverse pojetí pravdy v teorii množin musí být takové, aby Π 2- pravdy (podle této koncepce) ve vesmíru množin byly definovatelné v H (κ) napříč multiversovým vesmírem pro jakýkoli specifikovatelný kardinál κ.

Znovu si povšimněte, že Tarskiho větou o nedefinovatelnosti pravdy je omezení definovatelnosti triviálně uspokojeno degenerovanou multiversovou koncepcí, která bere multiverse, aby obsahoval jediný prvek V. (Všimněte si také, že pokud jeden modifikuje omezení definovatelnosti přidáním požadavku, aby definice byla jednotná napříč multiverzem, pak by omezení bylo automaticky splněno.)

Úvaha Ω dohady o udržitelnosti pojetí pravdy generického a multivesmíru je obsažena v následujících dvou větách:

Věta 4,4 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že Ω Conjecture drží. Pak ? Ω je rekurzivní v ? Ω (H (5 + 0)), kde δ 0 je nejméně Woodinův kardinál.
Věta 4.5 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že Ω Conjecture drží. Potom je Ω Ω definovatelné v H (δ + 0), kde δ 0 je nejméně Woodinův kardinál.

Jinými slovy, pokud existuje správná třída Woodinových kardinálů a pokud Ω Konjektura drží, pak obecná multiverse pojetí pravdy porušuje jak Pravdu omezení (na 5 0), tak i definovatelnost omezení (na 5 0).

Ve skutečnosti existují ostřejší verze výše uvedených výsledků, které zahrnují H (c +) namísto H (5 + 0).

Věta 4,6 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že Ω Conjecture drží. Potom je urs Ω rekurzivní v ? Ω (H (c +)).
Věta 4,7 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že Ω Conjecture drží a AD + Conjecture drží. Pak je ? Ω definovatelná v H (c +).

Jinými slovy, pokud existuje správná třída Woodinových kardinálů a pokud Ω Kontrakce drží, pak genericko-multiverse pojetí pravdy porušuje Pravdu Omezení na úrovni aritmetiky třetího řádu, a pokud navíc, AD + Konjektura platí, pak obecná-vícesměrná koncepce pravdy porušuje omezení definovatelnosti na úrovni aritmetiky třetího řádu.

4.4 Existuje cesta ven?

Zdá se, že existují čtyři způsoby, jak by zastánce generického multivesmíru mohl odolat výše uvedené kritice.

Za prvé, jeden by mohl tvrdit, že Ω konjunkce je stejně problematická jako CH, a proto jako CH je třeba ji považovat za neurčitou podle genericko-multiverseho pojetí pravdy. Problémy s tímto přístupem jsou následující:

Věta 4,8 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak, pro každou kompletní booleovskou algebru ?,

V ⊧ Ω-dohad iff V ? ⊧ Ω-dohad.

Na rozdíl od CH tedy nelze ukázat, že Ω Conjecture je nezávislá na ZFC + „Existuje nastavená třída Woodinových kardinálů“prostřednictvím nuceného nastavení. Pokud jde o obecnou mnohostrannou koncepci pravdy, můžeme to vyjádřit takto: Zatímco obecná mnohostranná koncepce pravdy považuje CH za neurčitou, nepovažuje Ω dohad za neurčitou. Výše uvedená odpověď tedy není k dispozici zastánci genericko-multiversového pojetí pravdy. Zastánce této koncepce již považuje hypotézu Ω za určující.

Za druhé, dalo by se přiznat, že Ω Konjunkce je určující, ale tvrdí, že je nepravdivá. Existuje několik způsobů, jak to udělat, ale to nesnižuje výše uvedený argument. Důvod je následující: Pro začátek existuje úzce související Σ 2- podmínka, kterou lze ve výše uvedených argumentech nahradit Ω dohad. Toto je prohlášení, že Ω dohad je (netriviálně) Ω splnitelný, to znamená, že: Existuje ordinální α a vesmír V 'multiverse tak, že

V ' α ⊧ ZFC + „Existuje správná třída Woodinových kardinálů“

a

V ' α ⊧ „Ω dohad“.

Tato Σ 2- podmínka je invariantní ve stanoveném vynucení, a proto je jeden, kdo dodržuje obecný mnohostranný pohled na pravdu, musí považovat za určující. Navíc výše uvedené klíčové argumenty prochází s touto Σ 2- podmínkou namísto Ω dohady. Osoba, která přijme tuto druhou řadu odpovědí, by tedy také musela tvrdit, že toto tvrzení je nepravdivé. Existuje však značný důkaz, že toto tvrzení je pravdivé. Důvod je ten, že neexistuje známý příklad Σ 2- stav, který je invariantní při nuceném nastavení vzhledem k velkým kardinálním axiomům a který nelze vyrovnat velkými kardinálními axiomy. (Takové tvrzení by bylo kandidátem na naprosto nerozhodnutelné tvrzení.) Lze tedy očekávat, že toto tvrzení je vyřešeno velkými kardinálními axiomy. Nedávné pokroky v teorii vnitřních modelů - zejména ty, které uvádí Woodin (2010) - však dokazují, že žádný velký kardinální axiom nemůže toto tvrzení vyvrátit. Spojení všeho dohromady: Je velmi pravděpodobné, že toto prohlášení je ve skutečnosti pravdivé; takže tato linie reakce není slibná.

Za třetí, jeden mohl odmítnout buď Pravdu Omezení, nebo Omezení definovatelnosti. Problém je v tom, že pokud někdo odmítne omezení pravdy, pak v tomto pohledu (za předpokladu Ω dohad) Π 2 pravda v teorii množin je redukovatelná ve smyslu Turingovy redukovatelnosti k pravdě v H (δ 0) (nebo za předpokladu silného Ω dohadu), H (c +)). A pokud někdo odmítne omezení definovatelnosti, pak v tomto pohledu (za předpokladu Ω dohad) truth 2 pravda v teorii množin je redukovatelná ve smyslu definovatelnosti k pravdě v H (δ 0) (nebo, za předpokladu silného Ω dohad, H (c) +)). V obou ohledech je redukce v napětí s přijetím pluralismu ohledně teorie pozadí ZFC + „Existuje správná třída Woodinových kardinálů“.

Začtvrté, člověk by mohl přijmout kritiku, odmítnout obecnou mnohostrannou koncepci pravdy a připustit, že existují některá tvrzení o H (δ + 0) (nebo H (c +), která navíc poskytují AD + dohad), které jsou skutečný zjednodušující prostředek, ale není pravdivý ve smyslu generického multivesmíru, a přesto nadále tvrdí, že CH je neurčitý. Obtížnost spočívá v tom, že každá taková věta φ je kvalitativně stejná jako CH v tom, že může být nucena držet se a nucena selhat. Výzva pro zastánce tohoto přístupu je upravit obecně-mnohotvárné pojetí pravdy takovým způsobem, že se počítá jako determinující a přesto se počítá s CH jako neurčitou.

Stručně řečeno: Existuje důkaz, že jediný způsob, jak ven, je čtvrtý, a tím přinese zátěž pluralistovi - pluralista musí přijít s upravenou verzí generického multiverse.

Další čtení: Pro více informací o spojení mezi Ω-logikou a generickým multiversem a výše uvedenou kritikou generického multiverse viz Woodin (2011a). Informace o nedávných výsledcích teorie vnitřních modelů o stavu Ω dohady viz Woodin (2010).

5. Místní případ byl znovu navrácen

Podívejme se nyní na druhý způsob, jak bychom mohli odolat místnímu případu pro selhání CH. Jedná se o paralelní případ CH. V části 5.1 přezkoumáme hlavní rysy případu pro ¬CH, abychom je porovnali s paralelním případem pro CH. V části 5.2 představíme paralelní případ CH. V části 5.3 vyhodnotíme srovnání.

5.1 Případ pro ¬CH

Připomeňme, že v případě uvedeném v oddíle 3.3 existují dva základní kroky. První krok zahrnuje Ω-úplnost (a to dává ¬CH) a druhý krok zahrnuje maximalitu (a to dává silnější 2 0 = ℵ 2). Pro snadné srovnání zde zopakujeme tyto funkce:

První krok je založen na následujícím výsledku:

Věta 5.1 (Woodin).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů a že Strong Ω Conjecture drží.
  1. Existuje axiom A takový, že

    1. ZFC + A je Ω-uspokojivý a
    2. ZFC + A je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2).
  2. Jakýkoli takový axiom A má tu vlastnost

    ZFC + A ⊧ W „H (ω 2) ⊧ ¬CH“.

Pojďme to přeformulovat následovně: Pro každou A splňující (1), nechť

T A = {φ | ZFC + A ⊧ W „H (ω 2) ⊧ ¬φ“}.

Věta říká, že pokud existuje správná třída Woodinových kardinálů a Strong Ω Conjecture platí, pak existují (netriviální) Ω-úplné teorie T A H (ω 2) a všechny takové teorie obsahují ¬CH. Jinými slovy, za těchto předpokladů existuje „dobrá“teorie a všechny „dobré“teorie naznačují ¬CH.

Druhým krokem začíná s otázkou, zda existuje větší shoda mezi omega-kompletní teorie T A. Ideálně by tam byl jen jeden. To však není tento případ.

Věta 5,2 (Koellner a Woodin 1999).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že A je axiom takový, že

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2).

Pak existuje axiom B takový, že

já. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -Kompletní pro strukturu H (ω 2)

a T ≠ T B.

To vyvolává otázku, jak je možné vybrat z těchto teorií? Ukazuje se, že mezi T A existuje maximální teorie, a to je dáno axiomem (∗).

Věta 5.3 (Woodin).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Pak jsou ekvivalentní:
  1. (∗).
  2. Pro každou Π 2- větu φ v jazyce pro strukturu

    ⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    -li

    ZFC + „⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    je tedy Ω-konzistentní

    ⟨H (ω 2), ∈, I N, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Takže z různých teorií T A zapojených do věty 5.1 existuje jedna, která vyniká: Teorie T (∗) daná (∗). Tato teorie maximalizuje Π 2- teorii struktury ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Základním výsledkem je, že v této maximální teorii

2 0 = ℵ 2.

5.2 Paralelní případ pro CH

Paralelní případ pro CH má také dva kroky, první zahrnuje Ω-úplnost a druhý maximální.

První výsledek v prvním kroku je následující:

Věta 5,4 (Woodin 1985).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída měřitelných Woodinových kardinálů. Pak ZFC + CH je Ω -kompletní pro Σ21.

Navíc, až do Ω-ekvivalence, je CH jedinečný Σ21-příkaz, který je Ω-úplný pro Σ21; to znamená, nechat T je Ω-kompletní teorie dána ZFC + A, kde A je Σ21, všechny tyto T jsou Ω-ekvivalentní T CH, a tudíž (triviálně) všechno toto T obsahovat CH. Jinými slovy, existuje „dobrá“teorie a všechny „dobré“teorie naznačují CH.

Abychom dokončili první krok, musíme určit, zda je tento výsledek robustní. Mohlo by se stát, že když vezmeme v úvahu další úroveň, Σ22 (nebo další úrovně, jako aritmetika třetího řádu) CH již není součástí obrazu, to znamená, že z velkých kardinálů vyplývá, že existuje axiom A takový, že ZFC + a je Ω-úplný pro Σ22 (nebo, jde dále, všechny třetí aritmetické objednávky) a ještě ne všichni takový přidružený T a, který obsahuje CH. Musíme to vyloučit, pokud máme zajistit první krok.

Nejoptimističtější scénář je následující: Scénář je takový, že existuje velký kardinální axiom L a axiomy A →, takže ZFC + L + A → je Ω-kompletní pro všechny aritmetiky třetího řádu a všechny takové teorie jsou Ω -kvivalentní a znamenají CH. Jde-li dále, snad pro každý specifikovatelný fragment V λ vesmíru množin existuje velký kardinální axiom L a axiomy A →, takže ZFC + L + A → je Ω-kompletní pro celou teorii V λ a navíc, že takové teorie jsou ekvivalentní a znamenají CH. Pokud by tomu tak bylo, znamenalo by to, že pro každý takový λ existuje jedinečný Ω-úplný obrázek V λa měli bychom jedinečné Ω-úplné porozumění libovolně velkým fragmentům vesmíru sad. To by zajistilo silný důvod pro nové axiomy doplňující axiomy ZFC a velké kardinální axiomy.

Tento optimistický scénář bohužel selže: Předpokládáme-li existenci jedné takové teorie, můžeme si vytvořit jinou, která se liší v CH:

Věta 5,5 (Koellner a Woodin 2009).
Předpokládejme ZFC a že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že V λ je specifikovatelný fragment vesmíru (který je dostatečně velký) a předpokládejme, že existuje velký kardinální axiom L a axiomy A → takové, že

ZFC + L + A → je Ω-kompletní pro Th (V λ).

Pak existují axiomy B → takové

ZFC + L + B → je Ω-kompletní pro Th (V λ)

a první teorie Ω - implikuje CH pouze tehdy, pokud druhá teorie Ω - implikuje ¬CH.

To nám stále ponechává otázku existence a odpověď na tuto otázku je citlivá na Ω dohad a AD + dohad:

Věta 5,6 (Woodin).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů a že Ω Konjunkce platí. Pak neexistuje rekurzivní teorie A → taková, že ZFC + A → je Ω -kompletní pro teorii V δ 0 +1, kde δ 0 je nejméně Woodinův kardinál.

Ve skutečnosti, za silnějších předpokladů, scénář musí selhat na mnohem dřívější úrovni.

Věta 5,7 (Woodin).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů a že Ω Konjunkce platí. Předpokládejme, že platí domněnka AD +. Pak neexistuje rekurzivní teorie A → taková, že ZFC + A → je Ω -kompletní pro teorii Σ23.

Je otevřené, zda taková teorie může existovat na úrovni Σ22. Předpokládá se, že ZFC + ◇ je Ω úplná (za předpokladu velkých kardinálních axiomů) pro Σ22.

Předpokládejme, že je zodpovězena kladně, a vraťme se k otázce jedinečnosti. Pro každý takový axiom A nechť T A je teorie Σ22 vypočtená pomocí ZFC + A v Ω-logice. Otázka jedinečnosti se jednoduše ptá, zda je T A jedinečný.

Věta 5,8 (Koellner a Woodin 2009).
Předpokládejme, že existuje správná třída Woodinových kardinálů. Předpokládejme, že A je axiom takový, že

i. ZFC + A je Ω-uspokojivý a

ii. ZFC + A je Ω -kompletní pro Σ22.

Pak existuje axiom B takový, že

já. ZFC + B je Ω-uspokojivý a

ii '. ZFC + B je Ω -kompletní pro Σ22

a T ≠ T B.

Toto je paralelní věta 5.2.

Pro dokončení paralelní bylo by třeba, že CH je mezi všemi T A. To není známo. Je to však rozumná domněnka.

Dohad 5.9.
Předpokládejte velké kardinální axiomy.
  1. Existuje ax22 axiom A takový, že

    1. ZFC + A vyhovuje Ω a
    2. ZFC + A je Ω-kompletní pro Σ22.
  2. Jakýkoli takový axiom A22 má tu vlastnost

    ZFC + A ⊧ Ω CH.

Pokud by tato domněnka platila, poskytla by skutečný analog věty 5.1. To by dokončilo paralelu s prvním krokem.

K dispozici je také paralelní s druhým krokem. Připomeňme, že pro druhý stupeň v předchozím odstavci jsme se, že i když různé T nesouhlasila, které všechny obsahovaly ¬CH a navíc, z mezi nimi je ten, který vyčnívá, a to teorie dán (*), protože tato teorie maximalizuje Π 2- teorii struktury ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. V současném kontextu CH máme opět (za předpokladu domněnky), že i když T Anesouhlasí, všechny obsahují CH. Ukazuje se, že opět mezi nimi je jeden, který vyniká, a to maximální. Protože je známo (v důsledku Woodina v roce 1985), že pokud existuje správná třída měřitelných Woodinových kardinálů, pak existuje nucené rozšíření vyhovující všem Σ22 větám φ, takže ZFC + CH + φ je Ω-vyhovující (viz Ketchersid, Larson a Zapletal (2010)). Z toho vyplývá, že pokud je otázka existence kladně zodpovězena pomocí A, což je Σ22, pak T A musí být touto teorií maxima Σ22 a v důsledku toho se všechny T A shodnou, když A je Σ22. Takže za předpokladu, že existuje T kde A je Σ22, pak, i když ne všechny T A souhlasí (když A je libovolný) existuje jeden, který vyniká, a to ten, který je maximální pro Σ22 vět.

Tedy, v případě, že výše domněnka platí, pak případ CH vyrovná se ¬CH, teprve nyní Σ22 zaujímá místo teorie H (ω 2).

5.3 Hodnocení

Za předpokladu, že domněnka drží případ CH paralelně s ¬CH, teprve nyní Σ22 nahradí teorii H (ω 2): Podle předpokladů na pozadí máme:

    1. Existuje tak, že ZFC + A je Ω-úplný pro H (ω 2)
    2. pro každé takové A obsahuje přidružená T A ¬CH a
    3. existuje T A, které je maximální, jmenovitě T (∗) a tato teorie obsahuje 2 0 = ℵ 2.
    1. existují Σ22-axiomy A takové, že ZFC + A je Ω-kompletní pro Σ22
    2. pro každý takový přidružený T obsahuje CH, a
    3. existuje T A, které je maximální.

Obě situace jsou z hlediska maximality paralelní, ale pokud jde o úroveň Ω-úplnosti, první je silnější. V prvním případě nezískáváme pouze Ω-úplnost s ohledem na teorii Π 2 H (ω 2) (s dalšími predikáty), ale spíše dostáváme Ω-úplnost s ohledem na všechny H (ω 2). Toto je pravděpodobně argument ve prospěch případu ¬CH, a to i za předpokladu domněnky.

Ale je tu silnější bod. Z teorie vnitřních modelů (o nichž budeme diskutovat v další části) existují důkazy o tom, že domněnka je ve skutečnosti nepravdivá. Pokud by se ukázalo, že by tomu tak bylo, narušilo by to paralelu a posílilo by to případ ¬CH.

Dalo by se tomu však čelit následovně: Vyšší stupeň Ω-úplnosti v případě ¬CH je opravdu iluzorní, protože je to artefakt skutečnosti, že pod (∗) je teorie H (ω 2) ve skutečnosti vzájemně interpretovatelný s tím H (ω 1) (hlubokým výsledkem Woodina). Tato posledně uvedená skutečnost je navíc v rozporu s duchem zásad transcendence diskutovaných v oddíle 4.3. Tyto zásady byly uplatněny v argumentu, že CH nemá odpověď. Tedy, když se veškerý prach usadí, skutečný import Woodinovy práce na CH (tak argument pokračuje) není, že CH je nepravdivý, ale spíše že CH má pravděpodobně odpověď.

Zdá se spravedlivé říci, že v této fázi je stav místních přístupů k řešení CH poněkud nevyrovnaný. Z tohoto důvodu se ve zbývající části této položky zaměříme na globální přístupy k vypořádání CH. Budeme velmi stručně diskutovat dva takové přístupy - přístup prostřednictvím teorie vnitřních modelů a přístup prostřednictvím kvazi velkých kardinálních axiomů.

6. Konečný vnitřní model

Cílem teorie vnitřních modelů je vyrábět modely podobné L, které obsahují velké kardinální axiomy. Pro každý velký kardinální axiom Φ, který byl dosažen teorií vnitřního modelu, má jeden axiom tvaru V = L Φ. Tato axiom má tu výhodu, že (stejně jako v nejjednodušším případě V = L) poskytuje „efektivně kompletní“řešení týkající se otázek o L Φ (což je, podle předpokladu, V). Bohužel se ukázalo, že axiom V = L Φ je nekompatibilní se silnějšími velkými kardinálními axiomy Φ '. Z tohoto důvodu axiomy této formy nebyly nikdy považovány za věrohodné kandidáty na nové axiomy.

Ale nedávný vývoj v teorii vnitřních modelů (kvůli Woodinovi) ukazuje, že se vše mění na úrovni superkompaktního kardinála. Tento vývoj ukazuje, že pokud existuje vnitřní model N, který „zdědí“superkompaktního kardinála z V (ve způsobu, jakým by se dalo očekávat, vzhledem k trajektorii teorie vnitřního modelu), pak existují dva pozoruhodné důsledky: Zaprvé, N je blízko k V (například v tom smyslu, že pro dostatečně velké singulární kardinály λ, N správně vypočítá λ +). Za druhé N zdědí všechny známé velké kardinály, které existují ve V. Na rozdíl od dosud vyvinutých vnitřních modelů by tedy vnitřní model na úrovni superkompaktů poskytoval axiom, který by nemohl vyvrátit silnější velké kardinální předpoklady.

Problém samozřejmě spočívá v tom, zda lze na této úrovni mít model typu „L-like“(model, který dává „efektivně kompletní“axiom). Existuje důvod se domnívat, že člověk může. Nyní existuje kandidátský model L Ω, který dává axiom V = L Ω s následujícími vlastnostmi: Za prvé, V = L Ω je „efektivně dokončen“. Za druhé, V = L Ω je kompatibilní se všemi velkými kardinálními axiomy. V tomto scénáři by tedy konečná teorie byla (otevřená) teorie ZFC + V = L Ω + LCA, kde LCA je schéma zastupující „velké kardinální axiomy“. Velké kardinální axiomy zachytí případy Gödelovy nezávislosti a axiomu V = L Ωzachytí zbývající případy nezávislosti. Tato teorie by naznačovala CH a vyřešila zbývající nerozhodnutá prohlášení. Nezávislost by přestávala být problémem.

Ukazuje se však, že existují další kandidátské axiomy, které sdílejí tyto rysy, a tak se znovu objeví přízrak pluralismu. Například existují axiomy V = L Ω S a V = L Ω (∗). Tyto axiomy by také byly „efektivně kompletní“a kompatibilní se všemi velkými kardinálními axiomy. Přesto by vyřešili různé otázky jinak než axiom V = L Ω. Například axiom V = L Ω (∗) by znamenal ¬CH. Jak tedy mezi nimi rozhodovat?

Další čtení: Úvod do teorie vnitřních modelů viz Mitchell (2010) a Steel (2010). Více o nedávném vývoji na úrovni jednoho superkompaktu a dále viz Woodin (2010).

7. Struktura teorie L (V λ + 1)

To nás přivádí k druhému globálnímu přístupu, který slibuje vybrat správný axiom z V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) a jejich varianty. Tento přístup je založen na pozoruhodné analogii mezi strukturní teorií L (ℝ) za předpokladu AD L (ℝ) a strukturní teorií L (V λ + 1) za předpokladu, že existuje elementární vložení z L (V λ + 1) do sebe s kritickým bodem pod λ. Tento vložený předpoklad je nejsilnějším velkým kardinálním axiomem, který se objevuje v literatuře.

Analogie mezi L (ℝ) a L (V λ + 1) je založena na pozorování, že L (ℝ) je jednoduše L (V ω + 1). A je tedy analog ω, λ + je analog ω 1 atd. Jako příklad paralely mezi strukturní teorií L (ℝ) pod AD L (ℝ) a strukturní teorií L (V λ + 1) pod vloženým axiomem, řekněme, že v prvním případě ω 1 je měřitelný kardinál v L (ℝ) a ve druhém případě analog ω 1 - pouze, λ + - je měřitelný kardinál v L (V λ + 1). Tento výsledek je způsoben Woodinem a je jen jedním z příkladů z mnoha příkladů paralel, které jsou obsaženy v jeho práci.

Nyní máme velké množství informací o strukturní teorii L (ℝ) pod AD L (ℝ). Jak jsme již uvedli výše, tato axioma je „skutečně úplná“, pokud jde o otázky týkající se L (ℝ). Naproti tomu osazovací axiom sám o sobě nestačí k tomu, aby naznačoval, že L (V λ + 1) má strukturní teorii, která plně srovnává s L (L) pod AD L (ℝ). Existence již tak bohaté paralely je však důkazem, že se paralelka rozšiřuje a my můžeme doplnit axiom vložení přidáním některých klíčových komponent. Když se tak stane, stane se něco pozoruhodného: doplňkové axiomy se stanou křehkými. To znamená, že mají potenciál vymazat nezávislost a poskytnout netriviální informace o V λ + 1. Například tyto doplňkové axiomy by mohly vyrovnat CH a mnohem více.

Obtížnost při zkoumání možností strukturální teorie L (V λ + 1) spočívá v tom, že jsme neměli správné čočky, přes které bychom ji mohli prohlížet. Problém je v tom, že model L (V λ + 1) obsahuje velkou část vesmíru - jmenovitě L (V λ + 1) - a teorie této struktury je radikálně poddeterminována. Výše diskutované výsledky nám poskytují správné čočky. Pro jednoho je možné zkoumat strukturní teorii L (V λ + 1) v kontextu konečných vnitřních modelů jako L Ω, L Ω S, L Ω (∗) a jejich variant. Jde o to, že tyto modely mohou pojmout vložený axiom a v každém z nich bude schopen vypočítat strukturní teorii L (V λ + 1).

To poskytuje prostředky pro výběr správného axiomu z V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗) a jejich variant. Jeden se jednoduše podívá na L (V λ + 1) každého modelu (kde axiom vložení platí) a zkontroluje, zda má skutečný analog strukturní teorie L (ℝ) za předpokladu AD L (ℝ). Je již známo, že určité části teorie struktury nemohou držet v L Ω. Je však otevřené, zda mohou držet v L Ω S.

Uvažujme jeden takový (velmi optimistický) scénář: Skutečný analog strukturní teorie L (ℝ) pod AD L (ℝ) drží L (V λ + 1) L Ω S, ale ne žádné z jejích variant. Tato teorie struktury je navíc „efektivně kompletní“pro teorii V λ + 1. Předpokládejme, že existuje správná třída λ, kde platí vložený axiom, což dává „účinně kompletní“teorii V. Pozoruhodné je, že součástí této teorie je, že V musí být L Ω S. Tento (samozřejmě velmi optimistický) scénář by představoval velmi silný případ pro axiomy, které vyřeší všechna nerozhodnutá prohlášení.

Na tento konkrétní scénář by se člověk neměl příliš zaměřit. Je to jen jeden z mnoha. Jde o to, že jsme nyní schopni napsat seznam konkrétních otázek s následujícími rysy: Za prvé, otázky na tomto seznamu budou mít odpovědi - nezávislost není problém. Zadruhé, pokud se odpovědi sblíží, pak bude mít silný důkaz pro nové axiomy, které urovnávají nerozhodnuté výroky (a tedy nepluralismus o vesmíru sad); zatímco pokud oscilují odpovědi, bude mít důkaz, že tato prohlášení jsou „naprosto nerozhodnutelná“, což posílí důvod pro pluralitu. Tímto způsobem dostávají otázky „absolutní nerozhoditelnosti“a pluralismu matematickou trakci.

Další čtení: Více o strukturní teorii L (V λ + 1) a paralelě s determinací viz Woodin (2011b).

Bibliografie

  • Abraham, U. a M. Magidor, 2010, „kardinální aritmetika“, v Foremanu a Kanamori 2010.
  • Bagaria, J., N. Castells, a P. Larson, 2006, „Ω-logický primer,“v J. Bagaria a S. Todorcevic (eds), Teorie množin, Trends in Mathematics, Birkhäuser, Basel, s. 1 –28.
  • Cohen, P., 1963, „Nezávislost hypotézy kontinua I.“, Sborník americké národní akademie věd, 50: 1143–48.
  • Foreman, M. a A. Kanamori, 2010, Příručka teorie množin, Springer-Verlag.
  • Foreman, M. a M. Magidor, 1995, „Velké kardinály a definovatelné protiklady k hypotéze kontinua,“Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
  • Foreman, M., M. Magidor a S. Shelah, 1988, „Martinovo maximum, nasycené ideály a nepravidelné ultrafiltry. Část i, “Annals of Mathematics 127: 1-47.
  • Gödel, K., 1938a. "Konzistentnost axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua," Sborník americké národní akademie věd, 24: 556–7.
  • Gödel, K., 1938b. "Důkaz konzistence pro zobecněnou hypotézu kontinua," sborník z Americké národní akademie věd, 25: 220–4.
  • Hallett, M., 1984, Cantoriánská teorie množin a omezení velikosti, sv. 10 Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
  • Holz, M., K. Steffens a E. Weitz, 1999, Úvod do kardinálních aritmetik, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
  • Jech, TJ, 2003, Teorie množin: 3. vydání tisíciletí, revidované a rozšířené, Springer-Verlag, Berlín.
  • Ketchersid, R., P. Larson a J. Zapletal, 2010, „Pravidelné vkládání stacionární věže a Woodinovy Sigma-2-2 věty o maximalitě.“Journal of Symbolic Logic 75 (2): 711–727.
  • Koellner, P., 2010, „Silná logika prvního a druhého řádu“, Bulletin of Symbolic Logic 16 (1): 1-36.
  • Koellner, P. a WH Woodin, 2009, „Nekompatibilní teorie Ω-kompletní“, The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
  • Martin, DA, 1976, „Hilbertův první problém: Hypotéza kontinua“, v F. Browder (ed.), Mathematical Developments vycházející z Hilbertových problémů, sv. 28 of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, Providence, s. 81–92.
  • Mitchell, W., 2010, „Začátek teorie vnitřního modelu“, Foreman a Kanamori 2010.
  • Steel, JR, 2010, „Nástin teorie vnitřních modelů“, Foreman a Kanamori 2010.
  • Woodin, WH, 1999, Axiom determinace, Nutí Axiomy a Nestacionární Ideál, sv. 1 z řady Gruyter v logice a jejích aplikacích, de Gruyter, Berlín.
  • –––, 2001a, „Hypotéza kontinua, část I“, sdělení American Mathematical Society 48 (6): 567–576.
  • –––, 2001b, „Hypotéza kontinua, část II“, Oznámení American Mathematical Society 48 (7): 681–690.
  • –––, 2005a, „Hypotéza kontinua“, R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević a C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, sv. 19 přednášek z logiky, Asociace symbolické logiky, s. 143–197.
  • –––, 2005b, „Teorie množin po Russellovi: cesta zpět do Edenu“, v G. Link (ed.), Sto let Russellova paradoxu: matematika, logika, filozofie, sv. 6 z řady Gruyter v logice a jeho aplikacích, Walter De Gruyter Inc, s. 29–47.
  • –––, 2010, „Vhodné prodlužovací modely I“, Journal of Mathematical Logic 10 (1–2): 101–339.
  • –––, 2011a, „Hypotéza kontinua, generický multiverza množin a Ω-dohad“, v J. Kennedy a R. Kossak (eds), Teorie množin, aritmetika a základy matematiky: Věty, Philosophies, sv. 36 přednášek v logice, Cambridge University Press.
  • –––, 2011b, „Vhodné prodlužovací modely II“, Journal of Mathematical Logic 11 (2): 115–436.

Akademické nástroje

ikona sep muž
ikona sep muž
Jak citovat tento záznam.
ikona sep muž
ikona sep muž
Náhled na PDF verzi tohoto příspěvku v Friends of the SEP Society.
ikona inpho
ikona inpho
Vyhledejte toto vstupní téma v projektu Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ikona papíry phil
ikona papíry phil
Vylepšená bibliografie tohoto záznamu ve PhilPapers s odkazy na jeho databázi.

Další internetové zdroje

[Obraťte se na autora s návrhy.]